université hassan ii mohammedia

L.ELARROUM p1/74

Université Hassan II Mohammedia Faculté des Sciences Ben M’sik

Département de physique

Filières SMC

Module Physique 3

Support

COURS et TD D’ELECTRICITE II

Pr: L.ELARROUM

Département de physique Laboratoire de Physique de la matière Condensée (L.PM.C.)

(Unité de Recherche Associée au CNRST (URAC10)

Equipe physique d’agrégats et nano systèmes

Casablanca, Maroc

fax: (212) 0522707675 E-mail:[email protected]

Année universitaire 2010/2011

L.ELARROUM p2/74

Contenue :

A- Cours d’électricité II

B- Enoncés des TD.

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A- Cours d’électricité II

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PROGRAMME:

• CH I : Magnétostatique du vide;

• CH II : Courant continu et alternatif;

• CH III : Les équations de Maxwell dans le vide;

• CH IV : Les ondes électromagnétiques dans le vide.

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Bibliographie: 1) a) FEYMAN (Electromagnétisme 1); b) FEYMAN (Electromagnétisme 2); 2) M.Berlin, J.P.Faroux et J.Renault: Electromagnétisme 3 ( Deux livres): 1ier livre : Magnétostatique, induction, équation de Maxwell……. 2ieme livre : Équations de Maxwell et relativité; 3) Exercices: a) J. Renault: Electromagnétisme 2 b) Michel Hulin: Electromagnétisme 4) Internet (Cours et TD): Choisir un moteur de recherche (Google par ex) puis donner un mot clef (Par exemple : Electromagnétisme cours, magnétostatique cours……). Exemple de site : http://eunomie.u-bourgogne.fr/elearning/ressources-elearning.html

L.ELARROUM p6/74

CHI: Magnétostatique du vide I-1- Introduction:

a- Définition et historique:

L’électrostatique est l’étude de l’interaction entre les charges électriques immobiles et de ses

effets.

L’étude des phénomènes magnétiques (Magnétisme) est l’étude de l’interaction entre les

charges électriques en mouvement et de ses effets.

La Magnétostatique est l’étude des phénomènes magnétiques indépendants du temps.

Le magnétisme est une branche de la physique dont les origines remontent au moment ou on a

observé des roches (magnétite) attiraient la limaille de Fer. Cette pierre se trouvait en

Magnésie ( nom d’une ville d’Asie Mineur: actuellement Turquie), Ainsi le mot Magnétisme

dérive de Magnésie.

L’électricité est une branche de la physique dont les origines remontent à l’observation de

l’attraction de brindilles de paille par l’ombre jaune frotté (600 ans Av J.C : Thalès et Miller).

Ces deux branches étaient séparées jusqu’en 1820, année ou Christian Oersted (1777-1831),

observe une interaction entre elle. Depuis lors une nouvelle branche de la physique

(Electromagnétisme) ne cesse pas de se développer par des recherches de Michael Faraday

(1791-1867).

James Clerck Maxwell (1831-1879) a modélisé l’électromagnétisme. Ses équations

constituent des lois fondamentales de l’électromagnétisme qui permettent d’expliquer les

principes de tous les gros appareils optiques et électromagnétiques (Moteur électrique, la

radio, la télévision, le radar hyperfréquence, le microscope et le télescope)………….

b -Les effets magnétiques sont à distance:

L’expérience montre que les effets magnétiques procèdent d’une interaction à distance:

- L’expérience d’OERSTEAD (1820) par exemple a mis en évidence l’effet d’un courant

électrique sur un aiment: il s’agit d’un fil conducteur placé au-dessus et parallèlement à une

aiguille aimantée posée sur un pivot; Lorsque le fil est parcouru par un courant électrique,

l’aiguille s’oriente perpendiculairement au fil et le sens de l’orientation change avec celui du

courant (fig1):

L.ELARROUM p7/74

D’autres expériences ont mis en évidence l’action d’un aimant (d’un champ magnétique) sur

un courant:

Le conducteur mobile parcouru par un courant I, placé au voisinage d’un aimant, se déplace à

droite ou à gauche suivant le sens de I (fig2).

Conducteur mobile

Comme en électrostatique, les effets magnétiques peuvent être décrits, dans la région ou ils se

manifestent, à l’aide d’une grandeur (Champs magnétique), fonction de l’endroit choisi

Indépendamment de sa source.

I-2- Champs magnétique crée par une charge électrique ponctuelle en mouvement:

L’expérience montre qu’une charge q animée d’une vitesse crée en tout point

M( r ) de l’espace un champs magnétique:

Où µ0=1.26 10-6 H/m : perméabilité magnétique du vide :

Le module de est

S

N

Mercure

I≠0 I=0

Fig2

E

K

I

Aiman

t

V

r

rVqrB

3

0

4)(

S.I4

1070

) ,( avec 4

2

0 rVqVSin

B

r

B

L.ELARROUM p8/74

Son sens est tel que forment un trièdre direct:

L’unité de B en (S.I) est Tesla (T) . Dans le système CGS c’est le Gauss (G):

1G=10-4 T.

À partir du flux (d=Bds), on définit l’unité de B : Weber/m2 (Wbm-2).

Ordre de grandeur de quelques champs magnétiques:

-Champs magnétique terrestre:

Composante Horizontale 0.2 G = 2 10-5 T

Composante verticale 0.4 G = 4 10-5 T

-Electro-aimant dans l’entrefer: 0.1 à 2 T.

- Bobine supraconductrice: 5 à50 T.

I.3-Action d’un champs magnétique sur une charge en mouvement:

a) Loi de la place:

Une charge ponctuelle q en mouvement avec une vitesse V dans un champ magnétique

B est soumise entre autre à une force magnétique:

BVqF

, , rVB

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b) Force électromagnétique entre deux charges ponctuelles en mouvement:

Une charge électrique q1 en mouvement crée en tout point de l’espace un champs

électromagnétique 11, BE :

Elle exerce alors sur une autre charge 2q en mouvement avec une Vitesse 2V :

• Une force électrostatique ( 2q supposée fixe)

• Et une force magnétique (de Laplace: 2q est en mouvement dans 1B ):

Cette force est nulle : (F12) m = 0

Si q2 est fixe soit V2 = 0,

Ou q1 est fixe soit V1 = 0 C.à.d B1=0,

Ou 12 // BV en effet dans ce cas on a 012 BV

D’après le principe de superposition,

la force globale que q1 exerce sur q2 (Force de Lorentz) est:

Remarques:

1) Les forces électrostatiques obéissent au principe de l’action et de la réaction:

; 1

3q

4 10

1 r

rE

rVqB

rr

3

1

1

0

1 4)(

rrq

Ee 3

12

1221

01212

q

4q)F(

1

rrVq

F 3

12

1211

22

0

122m12

)( Vq

4BVq)(

BVE 121212 qF

rrq

Ee 3

21

2112

02121

q

4q)F(

1

rrq

Ee 3

12

1221

01212

q

4q)F(

1

)F()F( 2112-

ee

L.ELARROUM p10/74

2) En générale les forces magnétiques n’obéissent pas au principe de l’action et réaction

(à cause des produits vectoriels), sauf dans le cas ou 21 VV (sens, module et direction) .

3) De manière générale, si une particule q de vitesse V est soumise à un champs

électromagnétique 11, BE , quelque soit sa source, alors cette particule est soumise à la force

de Lorentz

I-4- Loi de Biot et Savart:

a)Champ magnétique crée par des courants stationnaires caractérisé par la densité J:

Le vecteur densité de courant est J = ρm V

Ou ρm est la densité volumique des charges en mouvement avec une vitesse moyenne V.

ρm ≠ ρ. ρ étant la densité volumique totale qui est égale le plus souvent à zéro.

Le courant électrique à travers une surface est la charge électrique totale qui la traverse par

unité de temps.

Si on suppose que toutes les charges mobiles se déplacent avec une vitesse moyenne V alors

les charges qui traversent Δ S pendant un temps Δ t sont ceux contenues dans le volume d du

cylindre de base Δ S et de génératrice V Δ t (fig3):

BVEqF

dS

ΔS

VΔt q

V J

fig3

d=VΔt

ΔS

L.ELARROUM p11/74

On appelle régime permanent ou stationnaire, les situations où les répartitions de charges et

les courants sont indépendants du temps.

On obtient des courants permanents à l’aide des générateurs qui obligent les charges à

circuler.

Soit une distribution volumique de charges en mouvement avec la vitesseV , une charge

élémentaire dq= ρd peut être considérée comme une charge ponctuelle

mobile avec la vitesse V

dq crée alors en un point M un champs magnétique:

Le champs magnétique crée par toutes les charges contenues dans le volume est:

J V

M

r

d

P

d

d

r

rJ

r

rV

r

rVdqdB

m

3

0

3

0

3

0

4

4

4

3

0

4d

r

rJB

L.ELARROUM p12/74

b) Cas d’un circuit filiforme:

Un fil conducteur a des dimensions transversales négligeables: d = dl

d l à le même sens que I

Le champs magnétique crée par le fil conducteur (c) est :

P

dl

I

d B

( c )

et ) (fil dldeffet en

44

4

4

44

m

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

dl

dq

d

dq

Idldt

dldl

dld

r

rdl

r

rdl

dl

dq

r

rV

dl

dq

r

rV

r

rJ

r

rJdB

m

)(

3

0 4

c r

rldIB

direct. un trièdre forme ,,,

rdlB

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C- Application à un fil rectiligne:

.Fil de longueur fini:

Un élément d l en un point P du fil crée en tout point M un champs magnétique élémentaire:

Perpendiculaire au plan ),( rdl dont le sens est donné par la règle du tire bouchon de

Maxwell :

« Le Bouchon progresse dans le sens du courant, par rotation par la main droite dans le sens

des lignes de champs »

= (NPM) , =(NMP), 1 = (NMA1), 2 =(NMA2)

4

3

0

r

rdlIdB

sinsin4

d cos 4

cosII

12

00

0

2

0

- 2

1

; 4

sin 4

aI

aI

B

ad

r

dldB

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.Fil rectiligne indéfinie

Pour un fil indéfini on a :

I-5- Théorème d’ampère:

« La circulation du champ magnétique le long d’une courbe fermée est égale au produit de

µ0 par la somme algébrique des courants Ii qui traversent toute surface S s’appuyant sur »

Un courant Ii > 0 s’il a le même sens que n. Ii < 0 s’il est de sens contraire à n.

I5 ne traverse pas la surface S choisit s’appuyant sur ( ).

aI

B

20

21 2- et

2

Les lignes de champs sont des cercles d’axe Δ

i

iIdlB 0.

IIIIIdlB 62

43210.

L.ELARROUM p15/74

Dans le cas d’une distribution volumique de courant de densité J :

Application:fil rectiligne indéfinie

I-6-Potentiel vecteur du champs magnétique:

a)définition:

On a vu que pour une distribution volumique de courant caractérisée par une densité J

j ne dépend que des coordonnées de P,

les dérivations se font par rapport aux

coordonnées de M. Donc

Dou

aI

IaB

dlaBdlB

2B

2

//B2.

0

0

Soit

Ampère)d' (théorème

effet en

( )

S dSJdlB ..0

3

0

4d

r

rJB

dJr

grad

dr

gradjB

rgrad

)1

(4

)1

(4

1

r

r

0

-

)(or

0

3 JgradJRotrr

JRot r

)1

()(1

)(

0)( JRot

d

r

JRotB )(

40

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b) Cas particulier:

* Pour une charge ponctuelle q animée d’une vitesse V : Vd

dqj

* Pour un courant filiforme: d

dlIj

En magnétisme le potentiel vecteur A joue un rôle analogue à celui du potentiel scalaire en

électrostatique.

I-7- Action des champs magnétiques sur les courants:

I-7-1-Cas d’un circuit électrique placé dans un champs

a) Charge volumique de densité j placée dans un champ magnétique B :

Chaque élément de charge dq se déplaçant à vitesse V est soumis à une force

La densité volumique de force est

Le sens et la direction de dF sont donnés par la règle de la main droite :

j (Courant) : pouce

B (Champs) : Indexe

dF (Force) : Majeur

.magnétique vecteur potentiel leest

0 avec )(

0

)(

4A

4

40

A

dr

JARotB

dr

JRot

dr

JRotB

r

Vq

r

dV

d

dqA

4

0 0

4

r

dlIA

4

0

BJdBVdd

dqBVdqFd

BJd

Fd

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b) Conducteur filiforme:

I-7-2 Interaction de deux circuits:

Soient deux circuits (C1) et (C2) parcourus respectivement par des courants I1 et I2

En un point M2 de (C2) chaque élément 1dl de (C1) crée un champs magnétique

3

12

1211

0

14 r

rdlIBd

Il exerce alors sur (C2) une force élémentaire:

BlIdF

Chaque élément dl contient une charge dq qui se

déplace à vitesse V et qui est soumise à une

force:

Le fil tout entier est soumis à une force:

BlIdBVdtdt

dqBVdqFd

3

12

121221

0

12212

2

4

r

rdldlII

BdlIFd

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De même, en un point M1 de (C1) chaque élément 2dl de (C2) crée un champs magnétique :

3

21

2122

02

4 r

rdlIBd

Il exerce alors sur (C1) une force élémentaire:

12

2

21

2 FdFd

Donc pour les forces magnétiques, le principe de l’action et de la réaction n’est pas satisfait à

l’échelle élémentaire.

Mais dans le cas de courants continues (régimes stationnaires) les actions totales entre circuits

fermés obéissent à l’égalité de l’action et de la réaction (ce qui est vérifié expérimentalement).

I-7-3- Action mutuelle de deux circuits rectilignes indéfinis:

3

21

212121

0

21121

2

4

r

rdldlII

BdlIFd

En M1, I2 crée le champ 2B :

i

a

IiBB

2

2022

En M2, I1 crée le champ 1B :

ia

IiBB

2

1011

et 2

)(2

2

21010

2212212 jdla

IIi

a

IldIBldIFd

jdla

IIi

a

IldIBldIFd

1

210201121121

22

longueur) de unitépar (force 2

210

1

21

2

12

a

II

dl

dF

dl

dF

Si I1 et I2 sont de même sens, il y a attraction ; Si I1 et I2 sont de sens contraire, il y a répulsion.

0=410-7

; si I1=I2=1A et a=1m alors 710*2 dl

dF N/m. Ces valeurs ont servi à vérifier l’unité de

l’intensité (L’ampère: A)

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I-8-Travail des forces électromagnétiques:

a) Champ propre et champ appliqué:

Tout élément d’un conducteur ( C ) parcouru par un courant I et placé dans un champ

magnétique appliqué est soumis à:

* Une force provenant de l’action du champ extérieur (appliqué):

* Une force provenant de l’action du champ propre , crée par tous les

éléments du circuit autre que :

b) Travail mécanique des forces de Laplace et flux coupé:

Pour un circuit rigide (indéformable), le travail des forces intérieurs est nul ( Ti=0) alors que

celui des forces extérieurs est non nul (Ta0).

Exemple1: déplacement d’un cadre rectangulaire:

Soit un circuit filiforme rectangulaire (ABCD), parcouru par un courtant I et situé dans un

champ magnétique B inhomogène, perpendiculaire au plan ABCD . Supposons que B=0 là

ou se trouve CD et non nul et uniforme à l’autre extrémité. Translatons le cadre de AA’

parallèlement aux côtés BC et AD:(figure) :

Bilan des forces de Laplace:

hypotèse)(par 0car 0F ;'//F ;

'F ;

'F ;

'//F ;

BAABDCIF

AABADIF

AABCBIF

AABBAIF

DCDCCD

ADAD

BCBC

ABAB

Le travail des forces de Laplace se réduit à celui de soit:

aB

aa BlIdFd

pp BlIdFd

ld

pB

ld

ABF

(AA’=l et AB=a)

'

AAFT AB

')B (')B ( AAABIAABAI

BalIBAAI ** )AB '(

(il s’oppose au déplacement)

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al * est la surface balayée par AB et Bal ** est le flux de B

à travers cette surface. Ce flux BlaC ** est appelé flux coupé par AB lors de son

déplacement

c : Flux coupé c.à.d le flux de B à travers la surface balayée par le circuit.

C) Théorème de Maxwell:

« Le travail des forces de Laplace au cours du déplacement d’un circuit ( C) indéformable

parcouru par un courant constant d’intensité I et placé dans un champ magnétique B est égale

au produit de I par la variation 12 du flux de B à travers le contour constitué par

( C) »

( 2 est le flux de B à travers (C ) dans sa position finale et 1 est le flux de B à travers (C )

dans sa position initiale )

CIT

IT

L.ELARROUM p21/74

Démonstration:

Considérons les surfaces S1 et S2 s’appuyant sur les positions (C1 ) et ( C2 ) du départ et

d’arrivée du circuit (C ). Lors de son déplacement ( C ) engendre une surface coupée Sc

orientée par continuité vers S1: S1+Sc+S2 constitue une surface fermée (S)

Conséquence:

Le travail des forces magnétiques ne dépend pas du chemin suivi, donc ces forces dérivent

d’une énergie potentielle U:

L’énergie potentielle d’interaction relative à une position d’un circuit (C ) est ;

étant le flux de B à travers ( C ) dans cette position. Donc connaissant dans une position,

on peut déduire U. cela nécessite le choix de l’origine des énergies électromagnétiques, c.à.d

que U n’est déterminée qu’à une constante arbitraire prés.

IITDoù

A)(Rotdiv()Btif: div(x consérva est à fluBdBdivdsB

C

Cc

ts

0

)0( 0)(.

1221

)(

UgradF

-IU U- IT

UTsoit dUldUgradldFT

IU

L.ELARROUM p22/74

Remarque:

Pendant un déplacement infinitésimal réversible de ( C ), l’opérateur fournie un travail dW

opposé au travail dT des forces de Laplace:

Règle du flux maximal:

Si on relâche le circuit , il se déplacera sous l’effet des forces de Laplace qui fourniront alors

un travail dT positif:

Le circuit se déplace de façon à ce que le flux de B à travers ( C ) soit maximal.

I-9-Inductance propre d’un circuit et inductance mutuelle de deux circuits (Coefficient

d’auto-induction):

I-9-1-induction propre:

a)définition:

Soit un circuit ( C ) parcouru par un courant I, le flux propre p est le flux du champ

magnétique propre PB de ( C ) à travers la surface s’appuyant sur ( C ). Le champ PB étant

proportionnel à I , de même le flux est proportionnel à I.

Le coefficient L s’appelle le coefficient d’auto indiction ou inductance propre.. L ne

dépend que des caractéristiques géométrique de ( C ), son unité est le Henry: [L]=H

b) exemples:

Cas d’un solénoïde indéfini de section S constitué de n spires par unité de longueur:

N: nombre de spires

l: longueur du solénoïde ( l très grand (infini))

InBP 0 ; Son flux à travers une spire est ISnSBP 01

Le flux total est 11 NlNP

IlSnISnnlP 0

2

0 )(

lSnL 2

0

LIp

dTdWdU

0 dIddUdT

IIB pp ~~

LIp

lNn /

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I-9-2 Induction mutuelle de deux circuits:

Soient (C1) et (C2) deux circuits parcouru respectivement par I1 et I2

* I1 crée un champ B1 I1

Le flux de B1 à travers C2 est 12 = B1 S2 = M21 I1

Le flux propre est 11 = L1 I1

* I2 crée un champ B2 I2

Le flux de B2 à travers C1 est 21 = B2 S1 = M12 I2

Le flux propre est 22 = L2 I2

* Le flux à travers C1: 1 = 11 + 21 = L1 I1 +M12 I2

* Le flux à travers C2: 2 = 22 + 12 = L2 I2 +M21 I1

Remarques:

a) Les inductances entre C1 et C2 ne dépendent que de leur position respective,

On démontre que M12=M21=M appelée inductance mutuelle entre les deux circuits

1 = L1 I1 +M I2

2 = L2 I2 +M I1

Soit sous forme matricielle:

b) Pour n circuits:

2

1

2

1

2

1

I

I

LM

ML

n

2

1

21

2221

1121

2

1

I

.

.

I

I

.

..

.....

.....

..

. .

.

.

nnn

n

n

n LMM

MLM

MML

Matrice inductance

L.ELARROUM p24/74

C)

* L’énergie potentielle d’interaction de deux circuits est donnée par:

U = -I121 = -I212

= -I1M12I 2 = -I2M21I1

* Généralisation à plusieurs circuits:

A travers Ci le flux envoyé par les autres circuits Cj (j i )

est : ; Mij : coefficient d’induction mutuelle entre Ci et Cj.

Pour des courants permanents, l’énergie potentielle d’interaction de l’ensemble des circuits

est obtenue par sommation des interaction deux à deux soit:

U = - M12 I1 I2

j

ij

iji IM

ji

i ij

iji

i

i IIMIU

2

1

2

1

L.ELARROUM p25/74

I-10- Phénomène d’induction électromagnétique:

I-10-1- Étude expérimentale:

Le phénomène d’induction électromagnétique a été mis en évidence depuis 1831 par Faraday:

Soit ( C) un circuit fermé ne contenant pas de générateur muni d’un galvanomètre:

Le circuit C est l’induit (dans lequel est crée une f.e.m d’induction).

L’aimant, C1 et C2 sont les inducteurs.

Explication: Les inducteurs créent un champ magnétique et les variations du flux de ce

champ à travers C sont à l’origine de cette f.e.m

• Lorsque (C ) est seul, le galvanomètre

n’indique pas la présence d’un courant.

• Lorsqu’on déplace un aimant à côté de ( C)

le galvanomètre détecte

un courant induit i traversant ( C).

• De même en présence d’un circuit C1 parcouru

par un courant variable, le galvanomètre indique

la présence d’un courant induit i.

• Le déplacement d’un circuit C2 parcouru par un

courant fixe I2 à côté de C, engendre un courant

induit i qui traverse C.

L.ELARROUM p26/74

I-10-2-Interprétation théorique:

Dans tous les cas on définit un champ électromoteur d’induction mE (champ électrique) tel

que la f.e.m d’induction est la circulation de mE :

Considérant un induit mobile par rapport à un observateur lié à l’inducteur fixe:

Ainsi dans le cas de déplacement de C dans B, la force électromotrice induite est la circulation

de Em:

Csur apuyant s' surface :S (stokes) )(

)(dsEotRldEe m

SC

m

Tout se passent comme étant un circuit C se déplaçant d’une position C1 à une position C2 dans un

champ B. Une charge dq portée par dl est entraînée avec la vitesse V=dr/dt dans B invariable. Elle est

soumise alors à la force de Laplace:

induction)d'eur electromot (champ avec

BVE

EdqBVdqFd

m

m

ldBdt

rdldBVldEe

CCC

m

)()(

Bdt

SdBld

dt

rdB

dt

rdld

CCC

2

)()(

C

22 dBSd

dt

d

dt

de C

C

C

2

coupé)(flux circuit le ' :

traversàinductiondfluxdeVariationd

dt

de

C

C

L.ELARROUM p27/74

I-10-3 Lois de l’induction:

a) Loi de Faraday:Lorsqu’un circuit ( C) est traversé par un flux (t) qui varie dans le temps,

quelque soit la cause de cette variation, il est soumis à une force électromotrice induite:

b) Loi de Lenz:

Le sens du courant induit est tel que par ses effets électromagnétiques, il s’oppose à la cause

qui lui a donné naissance.

I-10-4 Énergie électromagnétique:

a) Circuit filiforme unique:

Wem: énergie électromagnétique emmagasinée par la bobine.

La self (L) est un réservoir d’énergie c.à.d qu’elle absorbe une partie de l’énergie du

générateur. S’il y’a baisse de tension, la self restitue, conformément à la loi de Lenz, une

partie de cette énergie pour lutter contre la baisse.

b) Cas de deux circuits filiformes:

Soient deux circuits ( C1) , ( C2) de résistances R1 et R2, d’inductances L1 et L2 et de f.e.m

E1 et E2, tel que à t=0, I1=I2=0.

dtde

dt

dILRILI

dt

dRI

dt

dRIeRIE

)(

L dans eemmagasiné (Wem) jouleeffet par generateur lepar

nétiqueélectromag énergie dissipée Energie fournie Energie

00

2

0

dILIdtRIEIdt

Itt

ILIWem2

1

2

1 2

dt

dIM

dt

dILIRE

dt

dIM

dt

dILIRE

122222

211111

L.ELARROUM p28/74

L’énergie fournie par E1 pendant dt est:

L’énergie fournie par E2 pendant dt est:

L’énergie électromagnétique totale (Wm) :

Dou

En fonction du flux:

Pour deux circuits:

Pour n circuits:

L’énergie électromagnétique dans le cas de circuit non filiforme:

dtJAdlAdsJ

dsARotIdsIBIW

s

isi

ii

i

im

2

1

2

1

)(2

1

2

1

2

1

J : Densité de courant volumique.

A : Potentiel vecteur.

Intégrale étendue au volume total ( ) parcouru par les courants

21111

2

11111 dIMIdIILdtIRdtIEdW

12222

2

22222 dIMIdIILdtIRdtIEdW

]2[2

1 212

2

212

1

1222221111

IMIILILd

dIMIdIILdIMIdIILdWm

]2[2

1212

2

212

1 IMIILILWm

1222

2111

MIIL

MIIL

)2(2

1211 IIWm

n

i

iim IW12

1

dJAWm

.

2

1

L.ELARROUM p29/74

CH II: Courant continu et alternatif II.1-Generalités:

II-1-1- Approximation des régimes quasi stationnaires (A.R.Q.S)

Soit tp = ( t1 – t0) le temps de propagation d’un signal électrique à travers un système

électrique SE:

Soit T la période d’évolution dans le temps des sources ( , j ) des signaux e(t) et s(t)

lorsque tp << T on a un régime lentement variable

( l’évolution des sources r , J dans le temps est suffisamment lent )

Dans ce cas on peut admettre que les potentiels et donc le champs suivent instantanément

l’évolution des sources. On peut alors calculer les potentiels à l’aide des mêmes formules

qu’en régime stationnaire, valable à chaque instant:

Cette approximation est appelée l’approximation des régimes quasi stationnaires (A.R.Q.S),

conditionnée par tp << T .Soit (A.R.Q.S) est valable pour des distances r << (=CT=C/)

tp << T r << (=CT=C/)

Exemple:

1) Circuit électrique de dimensions inférieur à 1m (r<1m), alimenté par un signal de

fréquence , pourra être étudié dans l’A.R.Q.S si =1/T<<C/r =(3 108ms

-1)/1m = 3 10

8Hz

=300Mhz.

La plus parts des circuits électriques usuels ne dépassent pas 1m. Donc l’A.R.Q.S est

valable dans la majorité des applications électriques même en hautes fréquences.

2)Cas d’un circuit industriel:

Au (Maroc, France, Belgique..) la tension secteur est telle que: V= 220-230V ; =50Hz

r <<C/ = 3108/50=6000Km Donc l’A.R.Q.S est valable pour des dimensions importantes.

Cette distance est bien supérieure à la plus part des longueurs des circuits de distribution.

s (t1)

e (t0)

SE

dvPM

tPJtMA

dvPM

tPtMV

volume

volume

),(

4,(

),(

4

1),(

0

0

L.ELARROUM p30/74

Conclusion:

a) l’A.R.Q.S « Si les dimensions d’un circuit sont petites et les variations des signaux sont

lentes alors les lois d’électrocinétiques sont encore valables ».

b) Conséquence: Dans les circuits électriques usuels les lois d’électrocinétiques (Ohm,

Kirchhoff…) sont valables en régime variable (alternatif) qu’en régime continu.

II-1-2- Dipôles électrocinétiques:

Toute système électrique ne communicant avec l’extérieur que par deux bornes A,B s’appelle

dipôle électrocinétique:

Dans le cadre de l’A.R.Q.S le courant qui entre en A est égal à celui qui sort en B.

Le courant est compté positivement s’il va de A vers B (i=iAB).

Nous appellerons tension ( ou différence de potentiel aux bornes du dipôle):

U=UAB=VA-VB (VA:potentiel en A et VB: potentiel en B).

U est orientée par convention dans le sens opposé à celui de i ( on dit que le courant décroît

les potentiels)

U=ZAB i (Loi d’Ohm)

L.ELARROUM p31/74

II-1-3 Circuit en régime transitoire:

Le régime transitoire est le passage de i=0 à i=cte, pendant le temps de ce passage on a

un courant i(t). Pour étudier les différents dipôles concernés on se place dans l’A.R.Q.S.

a- Les composants R-L et C

* Résistance morte R:

U=VA-VB

U(t)= Ri(t)

* Inductance L:

La variation du courant qui traverse L (I=o à I ==cte) entraîne la variation du flux magnétique

traversant L. L est alors une source de tension de f.e.m induite

e(t) = -d/dt=-Ldi(t)/dt : loi de Faraday

L est donc un dipôle dont la tension appliquée est

U(t)=-e(t)= Ldi(t)/dt : Loi de Lenz ( e(t) s’oppose à U(t) )

*Condensateur C:

C’est un dipôle dont la tension est donnée par:

U(t) = q(t)/C avec i(t) = dq(t) / dt

q étant la charge de l’armature reliée à A

dttidititq )(C

1 U(t); )()(

L.ELARROUM p32/74

Remarque:

Une bobine réelle possède toujours une résistance interne r :

De même un condensateur réel présente une résistance de fuite R due à la conductivité non

nulle de son diélectrique:

L.ELARROUM p33/74

b- Etude d’un dipôle R.L.C série:

Soit un dipôle R.L.C série soumis à une tension U(t)

Loi de mail :

dt

dqti )(or

La charge q vérifie alors la relation :

qC

qLqRtU1

)(...

Soi (Eq.1) )(1...

tUqC

qRqL

Toute solution de cette équation différentielle peut se mettre sous forme:

)()()( 21 tqtqtq

)(1 tq : Solution générale de l’équation homogène (Sans second membre) (Eq.2):

(Eq.2) 01...

qC

qRqL

)(2 tq : une solution particulière de l’équation complète (Eq.1).

)(

)()(C

q

dt

tdiLtRitU

L.ELARROUM p34/74

II-2- Définitions:

II-2-1- Régime continu (DC ou =):

C’est le régime dont le quel toutes les tensions dans un circuit et touts les courants qui le

parcourent sont indépendants du temps:

- Récepteurs:

Le seul récepteur existant en régime établi continu est la résistance R dont le fonctionnement

est régi par la loi d’Ohm

- Puissance:

Lorsqu’un récepteur électrique en régime continu est soumis à la fois à une tension et à un

courant, il est le siège d’une dissipation de puissance. On dit alors que la puissance électrique

est fournie par la source et consommée par la résistance.

Le générateur fourni la puissance UIPf . La résistance reçoit la puissance IUP Rr .

fr PP . La puissance mise en jeux est :

R

URIUIP

22

R en Ohm ( )

L.ELARROUM p35/74

II.2.2. Courant alternatif:

a) Grandeur périodique quelconque:

Une grandeur S(t) (courant i(t) ou tension v(t) ) est périodique de période T (en seconde ( s) )

est telle que :

)()( tSTtS

Tf

1 est la fréquence de répétition de S(t) exprimée en (Hz)

.Valeur moyenne:

La valeur moyenne de S(t) notée <S> est :

<S> représente la composante continue de S(t)

. Valeur efficace:

La valeur efficace ( Seff) de S(t) est :

Remarques:

* C’est la recherche de la puissance dissipée par effet joule due à un courant alternatif qui

mène à la notion des valeurs efficaces. La formulation des puissances sera la même en

alternatif et en continu à condition d’utiliser les valeurs efficaces dans tous les cas

effeffelectrique IUP

* Les voltmètres et les ampèremètres utilisés en TP (alternatif) nous donnent des valeurs

efficaces.

Si )()()( )()()( )()()( 2eff12121 tItItImaistititialorstititieffeff

(Voir TP du transformateur)

. Décomposition en série de Fourrier d’une grandeur périodique:

Toute grandeur périodique S(t) de période T, peut être écrite sous la forme:

Cette forme s’appelle série de Fourrier.

Le terme )( 00 Cosa (n=0) est appelé terme fondamental, les autres termes sont des termes

harmoniques: 1er

harmonique (n=1) , 2éme

harmonique (n=2)………..

)(

)(1

)(T

dttST

tS

)(

2 )(1

T

dttST

Seff

Tnn

tCosatS

n

n

nnn

2

)()(0

L.ELARROUM p36/74

b) Courant alternatif:

C’est un courant périodique dont la valeur moyenne est nulle par exemple les courants :

Carré : triangulaire :

et sinusoïdal:

Remarque :

Seulement pour le courant sinusoïdal qu’on a2

maxII eff ; pour les autres courant

alternatifs2

maxII eff .

* Sinusoïdal :

2 ;)cos()( max TtIti

2

2

2

)2cos(

22

)2cos(1)(

1

max

2

max

0

2

max

0

2

max

0

2

max

0

2

max

0

22

max

2

IIDou

T

Idt

T

I

dtt

T

Idt

T

It

T

ItCosI

TI

eff

T

TTTT

eff

i(t)

surf

-surf

t

surf

-surf

i(t)

t

i(t)

t

surf

-surf

0)(1

))()((1

)(

2

2

0

surfsurfT

dttidttiT

ti

T

T

T

L.ELARROUM p37/74

* Carré :

TtT

Iti

TtIti

2pour )(

20pour )(

max

max

max

2

max

2/

0 2/

2

max

2

max

0

22

)()(1

)(1

IIDou

IdtIdtIT

dttiT

I

eff

T T

T

T

eff

II-3- Courant sinusoïdale ( AC ou ~ ):

Dans un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal, tous les courants et toutes les tensions dans

le circuit sont sinusoïdaux, de même pulsation que la source d’alimentation.

II_3_1. Définitions:

a_ Expression analytique:

Une grandeur S(t) qui varie sinusoïdalement en fonction du temps avec une période Test

représentée par l’expression générale:

Pour définir une telle grandeur, il suffit de connaître trois paramètres: Smax, T et f

Dipôle capacitif :

I

U

Il y a un déphasage

U

Le courant est en quadrature

Avant par rapport à la tension :

I

I = - 90°

I U = 0°

.tt :)2

(

; )0 ( :

; :

1 )2

()(

max

max

annéeaninsphaselatT

phasedeangleaussiappeléetàinitialephase

AmplitudeS

)(tT

SinStS

L.ELARROUM p38/74

b_ fréquence ( f ou ) et pulsation ( ):

C_ Valeur crête:

La plus grande valeur d’une grandeur S(t) dans un intervalle de temps spécifié est appelée

valeur de crête. On la note Ŝ .

Pour une grandeur périodique, l’intervalle est la période et la valeur de crête est égale à

l’amplitude: Ŝ=Smax. Et la valeur crête à Crête Vcc=2Ŝ

C_ Valeur moyenne:

d_ Valeur efficace:

Remarques:

A- On trouvera lors de l’utilisation des appareils de mesure le terme

« RMS » « Root-Mean-Square » : Valeur efficace en anglais.

(3) . ; 222

(2) ; 1

1

1

sradfT

sHzfT

f

0)()2()()(2

)()2(2

)()(2

)2

(2

1)

2(

2

1

)2

(1

)2

(1

)(

2

2

0

2

2

0

CosCosCosCosS

CosCosS

CosCosS

tT

CosST

Tt

TCosS

T

T

dttT

SinST

dttT

SinST

tS

T

T

T

T

T

T

2222

)2

(2cos

2

2

)2

(2cos1

)2

(1

)(1

2

0

2

0 0

2

0

2

0

22

0

2

SSdt

T

Sdt

tTdt

T

S

dt

tT

T

S

dttT

SinST

dttST

S

TT T

T

TT

eff

L.ELARROUM p39/74

B- La notion de valeur efficace est directement liée à celle de la puissance moyenne;

II-3-2-Representation complexe:

a- Définition:

En électronique, on appelle valeur instantanée complexe d’une grandeur sinusoïdale

L’expression complexe:

En régime sinusoïdal, tous les éléments du circuit varient avec la même pulsation, donc le

terme ej

est commun à la représentation de toutes les grandeurs sinusoïdales du circuit et

peut donc être simplifié.

La grandeur complexe s’appelle le phaseur.

Le phaseur contient la valeur essentielle de la valeur efficace et du déphasage par rapport à

une origine choisie arbitrairement

b- opérations élémentaires:

Dérivation:

Intégration:

)(. ; (Continu) .

)(11)(1

)tantan ( )(

)().()(

22

2

0

2

0

2

2

alternatifR

IIVP

R

IIVP

R

Idtti

TRdt

R

ti

TP

néeinspuissanceR

tititvtp

eff

effeffmoy

effTT

moy

sousnotelaonettSts )sin()(

)( tjess

tjjtj eesesstSts . )sin()( )(

eSSj

sjssje

dt

des

dt

sd tjj .

s

jdtss

jdtsdts ee

tjj

1

1

e

ej

j

jj

jNB

2

22

1

1j pure) e(imaginair :

L.ELARROUM p40/74

II-3-3- Représentation de Fresnel:

Puisque les phaseurs sont des nombres complexes, il est possible de les représenter

graphiquement dans le plan complexe sous forme de demi droite partant de l’origine si et

seulement si ils ont la même pulsation. Ce mode de représentation appelé diagramme de

Fresnel, permet de mettre en évidence les déphasages relatifs des différentes grandeurs

sinusoïdales et d’effectuer des opérations élémentaires ( addition, soustraction):

Remarque:

On appelle déphasage la différence entre la phase de la tension et du courant:

L’angle est défini à 2k (k entier), on le ramènera toujours à sa valeur principale comprise

dans l’intervalle [-,+].

Lorsque > 0 on dit que la tension est en avance sur le courant .

Lorsque <0 on dit que la tension est en retard par apport au courant

II-4- Impédance et admittance complexe:

II-4-1 Définitions:

eeeeeetj

I

jtjtj

V

jtjIIiVVv

)()(courant du et

tension la de complèxes éesinstantann valeursLes

phase de oppositionen sont tension laet courant le

phase de quadratureen sont tension laet courant le 2

si

si

eeee

ee

eejj

j

j

tj

tj

tjtj

ZI

V

I

V

I

V

I

VZ

IiparV

)(

)(

)()(

v

dequotient leest sinusoidalpermanent régimeen dipôleun d’ Z complexe impédanceL’

L.ELARROUM p41/74

V

I

Z

enmesuréuleZZ

ZZ ej

1Y

:impedancel' de inversel'est complexe admetanceL'

(argument) déphasage le

Ohm mod

R

XArctg

Z

ZX

ZR

avecjXR

jI

VZ

I

VZX

I

VZR

XR

ej

22

sin

cos

Z

)sin(cosZ

:écrires'peut Z Donc

sin)Im(

:antcorrespend dipôledu X réactance la appeléeest Z de imaginaire partie La

cos)Re(

:ntcoresponda dipôledu R résistance la appeléeest complexe impedancel' de réelle partie La

L.ELARROUM p42/74

II-4-2 Impédance complexe des dipôles élémentaire:

a- Résistance:

La relation en valeurs instantanée v(t)=Ri(t) entre tension et courant dans une résistance R

se traduit pour le régime sinusoïdal en valeur complexe par:

b- Inductance L:

RZ

etRI

VZIRV

R

R

RR

11Yest admettanceL'

frequence. la de teindependanest résistance uned' impedanceL'

0

:suivant leest Fresnel de diagramme le ,imaginairepurement est Elle

2et Z :par donnéssont inductance uned' déphasage leet

complexe impedancel'dou , Vpar complexe en valeurs

sinusoidal régime lepour traduit se qui véesinstantannen valeur relation la aon LPour

L

jL

IjLVIjLdt

IdL

dt

diL

L

dérivation

ouvert.circuit un comme

comporte se L infinie, fréquence unepour circuit),-(court filun comme comporte secontinu en bobine Une

0Z continu)(courant nule fréquence unepour Ainsifrequence. la avecnt lineaireme Varie :

1Yest admettanceL'

LL

L

LZ

jL

L.ELARROUM p43/74

C- Condensateur C:

II-5- Lois d’Ohm et de Kirchhoff en régime sinusoïdal:

II-5-1- les lois (modèle complexe)

:suivant leest Fresnel de diagramme le ,imaginairepurement est Elle

2et -

1Z :par donnéssont ur condensateun d' déphasage leet

complexe impedancel'dou , 111

Vpar complexe en valeurs

sinusoidal régime lepour traduit se qui éesinstantannen valeur relation la aon CPour

C

nintegratio

jCjC

jC

IVI

jCdtI

C

dt

dvC

dt

dqi

C

.

circuit)-(court filun

comporte se C infinie, fréquence unepour ouvert,circuit un comme comme comporte secontinu en ur condensateUn

Z continu)(courant nule fréquence unepour Ainsifrequence. la à nelleproportiont inversemenest :1

Yest admettanceL'

CC

C

CZ

jC

mailles) des (loi 0 ; noeuds) des (loi 0

:Kirchhoff de Lois Les

:complexe modèle le dans lablerestent va éélectricitd' lois les toutesOhm,d' loi la Comme

:complexenotation lautilisant en

Ohmd' loi lar generalise depermet impedancel' denotion la deon introductiL'

:Ohmd' Loi

k

k

k

k VI

IZV

L.ELARROUM p44/74

II-5-2-Impédance (admittances) en série et parallèle:

C- exemple1:

k kp

k

kp

p

k

kp

k

ks

s

k

ks

ZY

Y

ZZ

1

Z

1 autrement ;

1

Y

1Zest antecorrespond ampedancel'

; Yest parallele admettanceL'

:parallelen Mise b)

1

Z

1Yest antecorrespond admettancel' ; Zest serie ampedancel'

:serieen Mise a)

L.ELARROUM p45/74

d- exemple 2:

)

1

Arctg(

1

)Re(

)Im(est / déphasage Le

)1

( module Le

:suivant Fresnel de diagramme leobtient obtient On

)1

(1

22

R

CL

R

CL

Z

Ztg

CLZZ

CLjR

jCjLRZ

AB

AB

ABAB

AB

R

s.admettance les avecr travaillede preferableest il ,parallelesen circuits lesPour

)Arg()Arg( 11

)1

()1

1

()Arg( ; )1

(1

)1

(111

2

2

abab

ab

ab

ab

ab

abab

ab

YZetY

ZY

Z

LCArctgR

R

LC

ArctgYL

CR

Y

LCj

RjC

jLRY

L.ELARROUM p46/74

II-6- Puissance et facteur de puissance:

II-6-1 Puissance instantanée p(t) en régime sinusoïdale :

a- Définitions:

dev(t)et i(t) de celle de double

frequence de fluctuante Composante

)2cos(

constante composante

)2cos()cos(

)2cos()cos(22

)(cos)2cos(2

1

)cos()cos()().()(

)cos(

teffeff

t

tIV

tIV

tItVtitvtp

VIVI

VI

effeff

effeff

charge. laet source la entreenergied' eréverssiblet

reoscillatoi échangeun Traduit nule.est moyenne valeur ladont

,sin amplituded'esinusoidal

e,alternativ composante

chargeun et source une entre onnelunidurecti

énergied' échangeun Traduit

.cos moyennevaleur la deautour ossile qui

0toujours pulsée, composante

)22sin(sin )22cos(1cos

)22sin(sin)22cos(coscos)(

:dou

)22sin(sin)22cos(cos

)22cos()2cos(

effI

effV

effI

effV

tIVtIV

tIVtIVIVtp

tt

tt

effeffeffeff

effeffeffeffeffeff

L.ELARROUM p47/74

II-6-2 Puissance active P:

C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t):

II-6-3 Puissance réactive (Q):

C’est l’amplitude de la composante alternative de la puissance instantanée:

Q est une puissance fictive, qui ne répond pas à une véritable définition physique’ mais qui

permet de caractériser l’échange d’énergie non convertible apparaissant dans le cas d’une

charge réactive.

La notion de puissance réactive est utile pour caractériser la nature d’un utilisateur:

Pour une charge inductive (X>0),>0 de même sin>0 soit Q>0.

Pour une charge capacitive (X<0), <0 de même sin<0 soit Q<0: on dit que la charge

capacitive fournit de la puissance réactive

Elle est reliée aux puissances active P et réactive Q par

p

T

T

effeff

T

p

T

p

TT

t

t

IVP

effeffeffeffdtT

Tdttp

TP

p

p

p

p

tIVtIV

242

0)22sin(

0)22cos(

effeten cos

1

p(t). de période laest 2

T avec )(1

0

0

0

0

p

)22sin(sin )22cos(1cos

VARQIVQ effeff sin

II-6-4 Puissance apparente (S):

La puissance apparente est l’amplitude des fluctuations de la puissance

instantanée p(t) par rapport à sa valeur moyenne :

AVIVS effeff .S

22 QPS

L.ELARROUM p48/74

Le produit est apparemment une puissance mais il ne fournit pas

nécessairement un travail d’ou son nom de puissance apparente.

La puissante apparente est une mesure pratique de l’importance d’un équipement

alternatif ou d’une installation électrique.

Les puissances apparentes correspondant à un module, ne peuvent pas être

additionnées.

II-6-5- Puissance dans un circuit élémentaire:

a- Résistance pure (R):

En régime sinusoïdal une résistance n’introduit pas de déphasage (=0)

P>0 R absorbe de l’énergie électrique qu’elle convertie, par effet Joule, en

énergie calorifique

b- Inductance pure (L):

En régime sinusoïdal une inductance introduit un déphasage ()

Par convention, on considère que la puissance réactive est fournie par la source à l’inductance

qui la consomme.

Cet échange d’énergie correspond à l’accumulation puis à la libération d’énergie

électromagnétique dans L

La valeur moyenne de la puissance active est nulle. Il ne se produit aucun transfert net

d’énergie entre une inductance et la source.

c- Capacité pure (C):

En régime sinusoïdal une inductance introduit un déphasage

Q<0 conduit à assimiler le condensateur à un générateur de puissance réactive et à considérer

par convention que la puissance réactive est fournie par le condensateur à la source qui la

consomme.

effeff IV

0sin*

0cos* 22

effeff

effeffeffeffeff

IVQ

RIR

VIVIVP

002

sin*

02

cos*

2

effeffeffeffeff

effeff

ILIVIVQ

IVP

002

sin*

02

cos*

2

effeffeffeffeff

effeff

VCIVIVQ

IVP

L.ELARROUM p49/74

Cet échange d’énergie correspond à la libération puis l’accumulation d’énergie électrostatique

dans le diélectrique du condensateur ( charge et décharge de C).

II-6-6 Puissance complexe:

II-6-7 Facteur de puissance (Fp)

On appelle facteur de puissance le rapport entre la puissance active

et la puissance apparente:

Le facteur de puissance est toujours compris entre 0 et 1: 0<=Fp<=1.

Il caractérise l’efficacité d’un réseau de distribution d’énergie. Pour un réseau de distribution

d’énergie électrique, il est souhaitable d’avoir un facteur de puissance aussi proche que

possible de 1

S

: Spar Sexprimer peut on

,Iphaseur du conjugué leet phaseur lent introduisaen

arente: réactive;: )Im( active; : )Re(

:ntprécédemme définies puissance sdifférente lesregrouper depermet Elle

sincos

complexe puissance appelleOn

)(*

**

22

j

effeff

j

effeff

j

eff

j

effeffeff

effeff

j

effeff

eff

j

effeff

j

effeffeffeffeffeff

eIVeIVeIeVIV

IVeII

eVV

appQPSSSQSP

eIVIjVIVjQPS

coscos

:sinusoidal régimeEn

effeff

effeff

p

p

IV

IVF

S

PF

L.ELARROUM p50/74

Ch III – Équations de Maxwell dans le vide

III-1-Définition:

Dans un référentiel d’étude supposé galiléen, une distribution caractérisée par la densité

volumique total de charge tot et la densité volumique de courant Jtot, crée en tout point M à

l’instant t un champs électromagnétique , qui satisfait aux quatre équations

suivantes, appelées équations de Maxwell, sur lesquelles repose toute l’électromagnétisme:

Elle indique que les lignes du champ divergent à partir des charges + pour aboutir aux charges

- :

Elle traduit le théorème de Gauss généralisé:

: Théorème de divergence ou de Gréen-ortrogratsky

Ampère.-Maxwell deEquation :)(

)( Rot 4)

Faraday;Maxwell deEquation : )(

)( Rot 3)

l,rotationne de champsun est B : 0)( 2)

Gauss,Maxwell deEquation : )( )1

000

0

t

tEJtB

t

tBtE

tBdiv

tEdiv

tot

tot

))(),(( tBtE

GaussMaxwell deEquation : )( )10

tottEdiv

dEdivdsEs

(v))(

0

int

(v)0(v) 0)(

1

QdddsE tot

tot

s

L.ELARROUM p51/74

Elle indique que les lignes de champs B sont des courbes fermées et ne peuvent jamais se

couper :

Elle exprime que B est à flux conservatif:

Elle exprime le phénomène d’induction magnétique:

(Théorème rotationnel ou de Stokes - Ampère)

) B( de champsun est B : 0)( 2) ARotlrotationnetBdiv

0 (s)

dBdivdsBv

FaradayMaxwell deEquation : )(

)( Rot 3)

t

tBtE

dsERotdlE s

Faraday derelation :)(

)( B

)(

ss

dt

BddlE

dt

Bdds

tds

t

tBdlE

Ampère.-Maxwell deEquation :)(

)( Rot 4) 000t

tEJtB tot

dt

EddsJdlB

dsdsJ

dsBRotdlB

iI

tot

tot

)(

t

E

(théorème)

00

s

0

s

00

s

0

s

L.ELARROUM p52/74

Si E et B ne dépendent pas de t , on retrouve les équations locales de l’électrostatique et de la

magnétostatique:

L.ELARROUM p53/74

CH IV : Ondes électromagnétiques dans le vide.

1- Equations de Maxwell dans le vide, en l’absence de charge et de courant ;

Equation d’onde :

Loin des sources d’un champ électromagnétique (pour =0 et J=0), les équations de

Maxwell s’écrivent :

Laolacien leest où que Rapelons divgradRotRot

0 2) de tenu compte encore,Soit

Soit

) 4éqution l' aprésd' ( -

) 1éqution l' aprésd' ( )()(

: Formons

2

2

00

2

2

00

00

Ediv

t

EEEdivgrad

t

E

t

E

t

BRottt

BRotERotRot

ERotRot

0 3) de tenu compte encore,Soit

Soit

) 1éqution l' aprésd' (

) 4éqution l' aprésd' ( )(

: formons même De

2

2

00

2

2

00

00

00

Bdiv

t

BBBdivgrad

t

B

t

ERot

t

ERotBRotRot

BRotRot

t

tEtBtBdivtEdiv

t

tBtE

)()( Rot 4) ; 0)( 3) ; 0)( )2 ;

)()( Rot 1) 00

02

2

00

t

EE

02

2

00

t

BB

L.ELARROUM p54/74

Remarque : Dans le cas de la jauge de Lorenz )(2

2

00t

BAdiv

les potentiels vecteurs

VA scalaireet obéissent aux équations suivantes :

Conclusion : En l’absence de charges et de courant, les champs et , ABE et éventuellement le

potentiel scalaire V satisfont à la même équation aux dérivées partielles :

: Laplacien vectoriel ou scalaire selon que F est une grandeur vectorielle ( , , ABE ) ou

scalaire (V).

En introduisant l’opérateur de D’Alombert 2

2

00t

Cette équation peut s’écrire :

Cette équation s’appelle équation d’onde ou équation de D’Alombert. De façon générale, on

appelle équation d’onde ou équation de d’Alombert une équation aux dérivées partielles de la

forme :

Où C est une constante (dans le temps). Dans le cas où F est une fonction sinusoïdale du

temps de pulsation , C peut éventuellement dépendre de . On dit alors qu’il y a dispersion.

0

0

2

2

00

2

2

00

t

VV

t

AA

02

2

00

t

FF

F=0

01

2

2

2

t

F

CF

L.ELARROUM p55/74

2- Etude de quelques solutions de l’équation d’onde.

2-1- Ondes planes :

On dit qu’une onde est plane si à chaque instant la fonction F a la même valeur en tout

point d’un plan perpendiculaire à une direction fixe définie par un unitaire ue :

1

2vet

1

2u avec

1

2

1

2

22

dv

22

dv

:est df lledfferentie la , t)f(x,fonction uneSoit

22

dvdtet

22

dvCdx

2

uvet t

2

u-vCx et Posons

tCx

C

tCx

C

dvv

fdu

u

f

dut

f

Cx

fCdv

t

f

Cx

fC

du

t

f

t

fdu

x

fC

x

fC

dtt

fdx

x

fdf

duduC

C

xtv

C

xtu

Revenons à l’équation d’onde :

01

2

2

22

2

t

F

Cx

F

Elle peut se mettre sous la forme :

0111

t

F

Cx

F

tCt

F

Cx

F

x

Si nous choisissons cette direction suivant ox (ceci

revient à écrire F sous la forme F(x,t) ); l’équation

d’onde s’écrira alors :

01

2

2

22

2

t

F

Cx

F

L.ELARROUM p56/74

Soit donc :

012

0212

v

F

tCxC

v

F

CtCv

F

Cx

Une 1ère

intégration/u donne :

)(1 vgv

F

où )(1 vg est une fonction de la seule variable v (constante/u) ; une seconde intégration/v

donne :

)()(1 ufdvvgF ( )(uf est constante/v)

Or dvvg )(1 , fonction de la seule variable v, peut être notée )(vg ; Ainsi :

)()( vgufF

et la solution générale de l’équation d’onde 01

2

2

22

2

t

F

Cx

F, s’écrit :

Interprétation :

L’onde plane de direction ox, solution de l’équation d’onde, apparaît comme

étant la somme de deux termes : )(C

xtf et )(

C

xtg , où f et g sont deux

fonctions arbitraires.

A un instant t donné f et g sont constantes dans tout plans (x=cte) :

f et g décrivent des ondes planes.

Remarquons que la fonction f aura la même valeur dans un plan (x=x1)

observé à l’instant t1 et dans un autre plan (x=x2) observé à l’instant t2 si

soi

1212

22

11

ttC

xx

C

xt

C

xt

02

v

F

uC

)()(),(C

xtg

C

xtftxF

)C(x- x 1212 tt

L.ELARROUM p57/74

On peut interpréter cette relation en disant que si l’on connaît la fonction en tout point à

l’instant t1, sa valeur à l’instant t2 s’obtient en effectuant une translation d’amplitude

)C(x- x 1212 tt

Ceci revient à dire que le phénomène s’est propagé en bloc à la vitesse C le long de l’axe

ox :

De même la fonction )(C

xtg correspond à une onde plane se propageant suivant ox

négatif à la vitesse C.

Les ondes décrites par f et g sont appelées ondes plane progressives O.P.P

L’onde plane la plus générale dans la direction ox est donc la somme de deux ondes

planes progressives se propageant en sens opposés sur ox

En d’autre terme, la dépendance en (C

xt ) traduit une onde plane se propageant

suivant ox positif à la vitesse C.

L.ELARROUM p58/74

Remarque : Cas où la direction de propagation est quelconque :

Une O.P.P dans la direction de l’unitaire ue . u étant la coordonnée d’espace suivant cette

direction (r par exemple) est

)C

OMg(t)

C

OMf(tF(OM,t)

e.OMOMu

)C

ug(t)

C

uf(tF(u,t)

u

Soit a, b et c les composante de ue dans un repère orthonormé de base ),,( kji

zcybxaeOMuOM

cbakcjbiae

u

u

....

1 avec 222

Onde plane dans une direction de vecteur unitaire ue

)C

zcybxag(t)

C

zcybxaf(tF(OM,t)

......

L.ELARROUM p59/74

3- Onde Plane Progressive Electromagnétique (O.P.P.E) :

3-1-Vitesse de propagation des ondes planes électromagnétique dans le vide :

On vu que dans le vide, en l’absence de charges et de courant électrique les champs , BE

étaient solution des équations 02

2

00

t

EE et 0

2

2

00

t

BB

Il découle de l’équation d’onde ou équation de D’Alombert : 01

2

2

2

t

F

CF

que

00

1

est homogène à une vitesse C :

00

1

C ; Vitesse de la lumière dans le vide

3-2- Structure d’O.P.P.E

Soit une O.P.PE se déplaçant dans la direction ue . Pour simplifier, choisissant

ue suivant ox (x : positif). Cette onde est caractérisée par le champ électromagnétique :

Bz

B

B

B

E

E

E

E y

x

z

y

x

, , les composantes zyxzyx BBBEEE ,,,,, sont des fonctions qui ne

dépendent que deC

xtu . Soit F une composante de deou BE :

du

dF

t

u

du

dF

t

F

du

dF

Cx

u

du

dF

x

F

uFF

1

)(

CteBdu

dBBdivOr

du

dB

Cx

BBdiv

z

B

y

B

z

B

y

B

x

BBdiv

x

x

xx

zyzyx

0Maxwell) de 3 (Eq 0

1Soit

Plane) (Onde 0 avec

Cette constante est un champ magnétostatique qui ne nous intéresse pas ici et qu’on

considère alors nulle 0 xB . Soit donc

Les ondes électromagnétiques (O.E ) se propagent dans le vide à la vitesse C : 12

00 C

00 xBBdiv

Ainsi le champ magnétique suivant la direction de propagation est nul : B est transversal

L.ELARROUM p60/74

De même

00Maxwell) de 2 (Eq 0

1

CteEdu

dEEdivOr

du

dE

Cx

EEdiv

xx

xx

L’équation de Maxwell-Farady :

Comme E est transversal ),,()( BEeeE uu forme un trièdre direct.

En conclusion, la structure d’une O.P.P.E est tel que ),,( BEeu forme un trièdre direct :

00 xEEdiv

Donc le champ électrique est aussi transversal

0)cte (avec 1

C

1

C

1

écrits' (1) )(

)( Rot

cteEeC

B

ctedu

Ede

du

Bd

du

Bd

du

Ede

t

tBtE

u

u

u

EeC

B u 1

L.ELARROUM p61/74

En fin l’équation de Maxwell-Ampére :

Cette relation est identique à la relation précédente. Elle porte le nom de relation de structure

d’une O.P.P

4- OPPE Monochromatique (ou harmonique) :

4.1- Définition et expression :

Une solution particulière de l’équation de propagation est l’onde plane dépendante

sinusoïdalement du temps. Elle est appelée Onde Plane Progressive Harmonique, ou

Monochromatique (O.P.P.H ou O.P.P.M).

Considérons une O.E.P.P.H se propageant suivant l’axe xx’, vers les x positifs ; le

champ électrique est de la forme

30

20

)(cos

)(cos

0

C

xtEE

C

xtEE

E

E

zz

yy

x

0)cte (avec

C

1

écrits' (1) )(

)( Rot

00

00

cteBeCE

ctedu

BdeC

du

Ed

du

Ed

du

Bde

t

tEtB

u

u

u

ueBCE

En résumé :

Une O.P.P.E dans le sens défini par le vecteur unitaire ue est caractérisée par des vecteurs champ

électrique E et champ magnétique B qui ne dépendent que de la variable )(C

ert u , vérifiant dans

le vide : 0. ; 0. uu eBeE ; EeC

B u 1

ou ueBCE

Les O.P.P.E sont des ondes transversales (i.e E et B sont perpendiculaires à ue ) et ),,( BEeu forme

un trièdre direct.

L.ELARROUM p62/74

Ou les amplitudes yE0 et zE0 ainsi que les phases 32 et sont des constantes. Le terme en

3,2)( C

xt définit la phase de l’onde plane progressive harmonique.

Une O.P.P.H se propageant à la célérité C dans le sens du vecteur unitaire ue est caractérisée

par :

- Fréquence temporelle ou sa pulsation temporelle

- Sa longueur d’onde

C

CT ou son nombre d’onde

- Son vecteur d’onde

Une OPPH présente une double périodicité, temporelle de période T et spatiale de

période.. Ainsi pour une OPPH :

Les champs , BE sont transversaux ;

Le trièdre ),,( BEk est direct

On peut écrire Ek

B

Les champs et BE vibrent en phases.

Vitesse de phase :

Les points tels que la phase rkt . est constante définissent à chaque instant

un plan perpendiculaire à la direction de propagation définie par le vecteur d’onde

k , appelé plan équiphase ou plan d’onde.

On en déduit que le plan équiphase se déplace à une vitesse appelée vitesse de

phase définie par.

Dans le vide on a kC , la vitesse de phase est donc constante, indépendante de

la fréquence de l’onde

2

2

1

uu eC

ek

2

CV

kV

L.ELARROUM p63/74

4-2- Polarisation d’une O.P.P.H

La polarisation d’une O.P.P.H est définie à partir de son vecteur E . C’est la nature de

la courbe décrite par l’extrémité de E dans le plan d’onde.

Par convention, le sens de rotation (Gauche ou Droite) est défini pour un observateur

qui reçoit l’onde :

Conventionnellement le plan ) , ( Ek est appelé plan d’oscillation et le plan ) , ( Bk le

plan de polarisation..

Soit une O.P.P.H se propageant suivant l’axe xx’, vers les x positifs. Moyennant un

choix judicieux de l’origine des dates, on peut écrire le champ E sous la forme :

)cos(

)cos(

0

0

0

kxtEE

kxtEE

E

E

zz

yy

x

Dans le plan x=0, l’extrémité de E décrit la courbe d’équation )cos(

)cos(

0

0

tEE

tEE

zz

yy

)cos(2)(sin)()(

)sin()sin()cos()(

)cos()sin()sin( )(

)sin()sin()cos()cos( ; )cos(

00

2

0

2

0

222

0

00

00

y

y

z

z

y

y

z

z

y

y

y

y

z

z

z

z

y

y

E

E

E

E

E

E

E

Eba

E

Etb

E

E

E

Eta

ttE

Et

E

E

Equation d’une ellipse, le sens de parcours dépend du signe de )sin(

)(sin)cos(2 2

00

2

0

2

0

y

y

z

z

y

y

z

z

E

E

E

E

E

E

E

E

L.ELARROUM p64/74

)sin( <0 :

)sin( >0 :

Ainsi dans le cas général, une O.P.P.H est polarisée elliptiquement.

Cas particuliers :

00

0

0

0

00

2

00

CteE

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

z

y

z

y

z

z

y

y

z

z

y

y

000

0

00

2

00

CteE

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

z

y

z

y

z

z

y

y

z

z

y

y

L.ELARROUM p65/74

4.3-Differents états de polarisation d’une O.P.P.H :

Fin Bonne chance

L.ELARROUM p66/74

B-Enoncés des TD.

L.ELARROUM p67/74

Université Hassan II Mohammedia Année Universitaire 2010/2011

Faculté des Sciences Ben M’sik Filière : SMC

Département de physique Module : Physique3

Casablanca

Electricité II (Série N°1)

I- Rappels :

a) Analyse vectorielle (Coordonnées Cartésiennes) :

Soit f une fonction scalaire, on définit son vecteur gradient par :

kz

fj

y

fi

x

ffgrad

Soit A une fonction vectorielle de composantes (Ax , Ay , Az), on définit la divergence

par : z

A

y

A

x

AAdiv zyx

)(

On définit le rationnel de A par :

ky

A

x

Aj

x

A

z

Ai

z

A

y

AArot xyzxyz )()()()(

Le Laplacien vectoriel de A est le vecteur ayant pour composantes les Laplaciens

scalaires des composantes de A :

kAjAiAA zyx

b) Quelques relations utiles en électromagnétisme :

Soient m et n des nombres complexes, f (M) et g(M) des fonctions scalaires,

)()( MBetMA des fonctions vectorielles en tout point de l’espace :

AfgradArotfAfrotfgradAAfdivAfdiv

AAdivgradArotB

graddivgradgradgrad

Amdiv

Arotdivfgradrot

)()()( 10) )()()( )9

)(rot 8) )B(rotA -)A(rotB)Adiv( 7)

f(f))( 6) f)(g g)(ffg)( 5)

)Bndiv(A)mdiv()Bn( 4) (g)gradn (f)gradmng)(mfgrad 3)

0 2) 0 )1

II- Exercices : Exercice 1 : En utilisant les coordonnées cartésiennes, établir les relations 1),2) , 9) et 10) ci-

dessus.

Exercice 2 : Soient ),,(, kjikzjyixr base orthonormée et r

ru vecteur unitaire.

Calculer urotudiv et .

Exercice 3 : On donne les deux champs de vecteurs kzjzyxiyxA 8)5()23(1

et zyxyx ekejeiA

2 , calculer )( )(),(),( 2121 ArotetArotAdivAdiv

L.ELARROUM p68/74




Casablanca


Exercice1 : Soit une spire filiforme de rayon R, de centre O, parcourue par un courant

d’intensité I. Calculer le champ magnétique B crée en un point M de l’axe de la spire situé à

une distance x de O.

Exercice2 : On considère un solénoïde de longueur L comportant N spires jointives de même

rayon R qui sont régulièrement réparties.

1- Déterminer le champ magnétique crée en un point quelconque de l’axe du solénoïde

en fonction des ongles 1 et 2 sous les quels du point considéré on voit les faces

terminales du solénoïde.

2- Que devient l’expression du champ magnétique dans le cas du solénoïde infiniment

long (L>>R).

Exercice 3 : Soit un segment P1P2 parcouru par un courant I. On appellera 1 et 2 les ongles

entre la perpendiculaire au fil issu d’un point M(x) situé à la distance x du segment et les

droites joignant M aux extrémités P1 et P2.

1- Calculer le champ magnétique crée par ce segment en tout point M(x).

2- En déduire le champ magnétique créer par un fil indéfini.

Exercice 4 : Soit un fil rectiligne infiniment long de diamètre 2 R et d’axe oz, de vecteur

unitaire k , parcouru par un courant d’intensité i, supposé uniformément dans la section du

conducteur.

1- trouver le champ magnétique )(MB en tout point M situé à la distance r de l’axe du fil

RrRr et .

2- Représenter l’évolution de B( r ) sur un graphe.

3- Sachant que le potentiel vecteur s’écrit krAMA )()( et en utilisant la symétrie

cylindrique, montrer quer

rArB

)()( .

4- Trouver l’expression de A( r ) RrRr et .

L.ELARROUM p69/74

Exercice 5 : Un cadre ayant la forme d’un triangle rectangle isocèle (AB=CA=a) , est placé

tel que son angle non droit B située à la distance d d’un fil indéfini parcouru par un courant

d’intensité I1. L’ensemble est placé dans le vide (fig1).

1- Exprimer à l’aide du théorème d’Ampère le champ magnétique )(1 xB crée par le fil

en tout point situé à la distance x du fil.

2- Exprimer le flux magnétique capté par le cadre en fonction de 0, I1, a, et d.

3- Le cadre est maintenant parcouru par un courant d’intensité I2, déterminer les forces

BCABAC FFF et , s’exerçant respectivement sur les côtés AC, AB et BC.

L.ELARROUM p70/74




Casablanca


Exercice 1 : soit un câble coaxial formé de deux cylindres de longueur infinie, de rayons R1

et R2, parcourus par des courants surfaciques 21 et SS jj colinéaires à l’axe oz des deux

cylindres. Le cylindre intérieur est alimenté par une intensité I, qui ressort parle cylindre

extérieur (fig1).

1- Calculer le champ magnétique B dans tout l’espace.

2- En déduire la densité volumique d’énergie magnétique dans tout l’espace.

3- Quelle est l’énergie magnétique emmagasinée dans l’espace situé entre deux plans de

côtes z et z+L.

4- En déduire l’induction propre L par unité de longueur de ce câble coaxial.

Exercice 2 : On déplace une barre AB de longueur L, à vitesse V sur deux rails horizontaux,

la résistance électrique de la barre et des rails est négligeable devant la résistance R introduite

dans le circuit. L’ensemble est placé dans un champ magnétique informe B perpendiculaire

au plan des rails (fig2).

1- Déterminer le champ électromoteur mE

2- Calculer l’intensité dans le circuit.

3- Calculer la puissance dissipée par effet joule dans la résistance R.

Exercice 3 : Calculer la résistance d’un conducteur tronconique de résistivité de rayons a et

b et de hauteur h (fig. 3).

L.ELARROUM p71/74

Exercice 4 :

Soit un milieu de résistivité comprise entre deux demis sphères S1 et S2 de rayons a et b

(b>a). Déterminer la résistance de la portion située entre S1 et S2 si les lignes de champs sont

radiales (fig.4)

Exercice 5 :

On réalise le circuit représenté sur la figure 5. Le générateur a une résistance interne

négligeable.

1- A l’instant t=0, on ferme l’interrupteur k. Déterminer les courant i1 dans la résistance

R et i2 dans la bobine. Au bout d’un temps très long, on ouvre l’interrupteur k.

2- Calculer le courant i circulant dans la bobine.

3- Calculer la ddp VA-VB.

4- Montrer que pendant un laps du temps assez bref devantrR

L

, VA-VB peut être

supérieur à E si les paramètres sont bien choisis.

Exercice 6 :

On considère le circuit de la figure 6. L’ensemble des deux enroulements couplés par

mutuelle inductance est un transformateur idéal ( 21

2 * LLM ). On néglige la résistance des

enroulements. L’impédance Z est l’impédance de charge du secondaire.

1- Calculer l’impédance d’entrée définie par pe IZE . Simplifier son expression dans le

cas où Z est négligeable devant 2jL

2- Calculer la tension U aux bornes du circuit secondaire.

L.ELARROUM p72/74




Casablanca


I- On constitue un montage à l’aide de trois impédances CBA ZetZZ , branchées comme

indiqué sur le schéma (fig.1). Ce montage est alimenté par une source de tension

sinusoïdale tutu cos)( 0

1) Déterminer en fonction de CBA ZetZZu ,, le courant Ai qui circule dans l’impédance

AZ

2) Déterminer en fonction de CBA ZetZZu ,, le courant Ci qui circule dans l’impédance

CZ

3) Comment peut-on construire , BA ZZ pour que le courant Ci soit indépendant de CZ

II-On considère le circuit électrique présenté sur la fig.2

1) Etablir l’expression de l’impédance complexe ABZ de ce circuit (module et argument).

2) Entre les bornes A et B on applique la tension sinusoïdale tVtv cos)( max , déterminer

par la méthode des nombres complexes, le courant principal i(t), on posera

),cos()( max tIti représente le déphasage du courant par rapport à la tension.

L.ELARROUM p73/74

3) Déterminer la tension )(tVMB aux bornes de l’association de R et C en parallèle en

fonction de r, R, C, et .

4) Déterminer le courant )cos()( tIti CMC .

5) Entre les bornes A et B on superpose maintenant à la tension sinusoïdale précédente

une tension continue .cos)(soit max00 tVVtvV Déterminer les courants )(et )( titi RC

III- 1) On dispose de deux dipôles (fig.3): le dipôle MN constitué d’une résistance R1et

d’une inductance pure L1 associées en parallèle, et le dipôle PQ constitué d’une résistance

R2 et d’une inductance pure L2 associées en série. Et d’une tension sinusoïdale de

pulsation .

a) En régime sinusoïdal, déterminer R2 et L2 en fonction de R1, L1 et

pour que ces deux dipôles soient équivalents.

b) Indiquer alors la pulsation 0 pour laquelle on a2

1

2

1

L

L

R

R

c) Calculer 0 si R1=100 et L1=0.01H.

2) On associe les deux dipôles équivalent précèdent en série comme indiqué sur

la fig.4. On applique aux bornes de MQ une tension

sinusoïdale tUtu M cos)( . On écrira les expressions demandées sous la

forme la plus simple en tenant compte des hypothèses et en fonction des

grandeurs UM, R1 et L1.

a) Déterminer l’impédance complexe du dipôle ainsi constitué.

b) Donner l’expression de l’intensité i(t) sous

forme : )cos()( tIti M

c) Déterminer en fonction de U les expressions de 21 et UU , grandeurs

complexe associées aux tensions MNutu )(1 et NQutu )(2

d) Déterminer les grandeurs complexe associées aux intensités )(1 ti et

)(2 ti

3) Calculer la capacité que l’on doit mettre en série dans ce circuit pour que

l’intensité i(t) soit en phase avec la tension u(t) pour la pulsation 0

L.ELARROUM p74/74




Casablanca


Exércice1 : On considère un fil conducteur rectiligne placé dans le vide, parcouru par un

courant alternatif de basse fréquence, d’intensité )cos()( 0 tIti .

1- Déterminer le champ magnétique ),( tMB crée par le fil à l’instant t en un point M.

2- En déduire le champ électromoteur ),( tMEm :

a- par l’intermédiaire du potentiel vecteur.

b- à l’aide de l’équation de Maxwell Faraday..

3- Dans le plan définit par le fil et le point M situé à la distance r du fil, on place une

petite boucle conductrice carrée, de côté a et de résistance R. Etablir l’expression de la

force électromotrice e(t) induite dans la boucle :

a- à partir de l’expression de mE

b- à partir du flux magnétique.

4- En déduire le courant qui circule dans la boucle.

Exércice2 : On superpose dans le vide deux ondes planes monochromatiques de même

fréquence, se propageant dans la même direction ox et dans le même sens i , l’une

circulaire droite, l’autre circulaire gauche, on demande d’étudier l’onde résultante dans

l’hypothèse de composantes sur oy en phase.

université hassan ii mohammedia

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