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Une relation simplifiée pour le calcul de la périodefondamentale de certains types de bâtimentsirréguliersTaieb Branci a , Boualem Tiliouine b & Ahmed Mebarki ca Département de génie civil, Faculté des sciences et sciences de l'ingénieur , UniversitéHassiba Ben Bouali , Route de Sendjas, BP 151, Chlef, Algérie E-mail:b Laboratoire de génie sismique et dynamique des structures , Ecole NationalePolytechnique , 32, avenue Hassan Badi, Alger, Algérie E-mail:c Laboratoire de mécanique , Université Marne-la-Vallée , Cité Descartes—5, bdDescartes Champs-sur-Marne, F-77454, Marne-la-Vallée cedex 2 E-mail:Published online: 05 Oct 2011.

To cite this article: Taieb Branci , Boualem Tiliouine & Ahmed Mebarki (2006) Une relation simplifiée pour le calcul de lapériode fondamentale de certains types de bâtiments irréguliers, Revue Européenne de Génie Civil, 10:4, 457-474

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Revue européenne de génie civil. Volume 10 – n° 4/2006, pages 457 à 474

Une relation simplifiée pour le calcul de la période fondamentale de certains types de bâtiments irréguliers Taieb Branci* — Boualem Tiliouine** — Ahmed Mebarki*** * Département de génie civil, Faculté des sciences et sciences de l’ingénieur, Université Hassiba Ben Bouali, Route de Sendjas, BP 151, Chlef, Algérie brancit@yahoo.fr

** Laboratoire de génie sismique et dynamique des structures Ecole Nationale Polytechnique, 32, avenue Hassan Badi, Alger, Algérie tiliouine_b@yahoo.fr

*** Laboratoire de mécanique Université Marne-la-Vallée, Cité Descartes - 5, bd Descartes Champs-sur-Marne, F-77454 Marne-la-Vallée cedex 2 mebarki@univ-mlv.fr RÉSUMÉ. Les règles parasismiques du code algérien RPA 99 interdisent d’utiliser la méthode de charge statique équivalente pour obtenir la réponse sismique des bâtiments ayant des irrégularités en plan et en élévation. La raison en est que cette méthode est basée sur une période fondamentale valable uniquement pour les bâtiments réguliers sans décrochements. L’objectif de cette étude est de présenter un modèle dynamique afin d’évaluer la période fondamentale de bâtiments comportant un seul décrochement en élévation. Le modèle est basé sur un système à deux degrés de liberté, tenant compte des caractéristiques dynamiques de la partie « tour » et de celles de la « base » du bâtiment ainsi que du mouvement sismique du sol. La relation déduite de cette étude est simple et peut être facilement introduite dans un code calcul de bâtiments. ABSTRACT. Building codes, as Algerian code RPA 99, don’t allow the use of the equivalent static load method to design buildings presenting a setback in plan and elevation when submitted to seismic loads. One of the reasons is that this method is based on the fundamental period that is calculated using simplified expressions valid only for regular buildings. The objective of this study is to present a dynamic model for estimate the fundamental period of buildings with one level in elevation presenting a setback. The model is based on a two degrees of freedom system accounting for the upper and the lower part of structure. A simple relation to calculate the fundamental period of such buildings is proposed. This relation can be introduced to different design codes. MOTS-CLÉS : règles, réponse, sismique, irrégulier, période, fondamentale, décrochement. KEYWORDS: codes, response, seismic, irregular, period, fundamental, set-back.

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1. Introduction

La réglementation parasismique algérienne (RPA 99, 1999) présente une formule empirique pour le calcul de la période fondamentale de vibration des structures régulières, exprimée, selon les cas, par la relation suivante :

75.0t.règl HCT = [1]

où H et Ct indiquent respectivement la hauteur totale (en mètres) du bâtiment et le type de contreventement. Cette formule a été développée en utilisant des données obtenues pour un certain nombre de bâtiments ayant des formes géométriques simples et une distribution uniforme de rigidité et de masse. En considérant que l’effort tranchant sismique de base varie selon l’inverse de la période (1/T), que les forces latérales sont distribuées linéairement sur la hauteur H et que les déflexions sont contrôlées par les déplacements relatifs limites, une simple analyse de la période de vibration par la méthode de Rayleigh a mené à la conclusion que la période fondamentale de vibration des structures résistant aux moments varie approximativement en H0.75 (Goel et al., 1997). Selon le règlement RPA 99, la valeur de la période fondamentale de la structure peut être limitée par les deux bornes suivantes :

75.0.règl

75.0 H085.0≤T≤H05.0 [2]

La borne inférieure correspond, à la fois, à la période fondamentale des structures en portiques autostables en béton armé ou en acier avec remplissage en maçonnerie, et à la période des structures dont le contreventement est assuré partiellement ou totalement par des voiles en béton armé, des palées triangulées et des murs en maçonnerie. La borne supérieure correspond à la période des structures en portiques autostables en acier sans remplissage en maçonnerie. Entre les deux bornes s’échelonnent les valeurs des périodes des structures composées par d’autres systèmes de contreventement tels que les structures en portiques autostables en béton armé sans remplissage en maçonnerie (Ct = 0,075). Mais il n’est pas tout à fait sûr que cette formule soit applicable pour les bâtiments irréguliers, du moment qu’il existe peu de données sur les périodes naturelles de bâtiments comportant des irrégularités plus ou moins importantes.

Par ailleurs, le règlement RPA 99 suggère que des analyses plus poussées doivent être menées pour une détermination plus précise de la période fondamentale, soit par l’utilisation de la méthode de Rayleigh, soit par d’autres méthodes plus rationnelles. Néanmoins, les valeurs des périodes, calculées à partir des formules de Rayleigh ou de méthodes numériques ne doivent pas dépasser celles estimées à partir des formules empiriques appropriées de 30 %. Dans le présent travail, le type de bâtiment irrégulier étudié est illustré par la figure 1, dans laquelle Hb, Ht et H sont respectivement la hauteur de la base, de la tour et du bâtiment tout entier. Ce type de bâtiment comporte un seul décrochement, de configuration symétrique, dont les deux parties du bâtiment situées en haut et en bas du niveau de décrochement sont

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dénommées respectivement « tour » et « base ». Chaque bâtiment irrégulier est défini par deux paramètres : Rh et Ra, donnés respectivement par :

HH

=R th et

b

ta A

A=R [3]

Le comportement des structures irrégulières sous action sismique constitue, par ailleurs, un thème récurrent en génie parasismique et a fait l’objet de plusieurs investigations de recherches antérieures (Humar et al., 1977 ; Cheung et al., 1987 : Shahrooz et al., 1990 ; Tiliouine et al., 1993 ; Wong et al., 1994 ; Das et al., 2003 : Dinh et al., 2004 ; Chatpan et al., 2004 ; Branci et al., 2004).

Figure 1. a) Bâtiment irrégulier ; b) vue en plan

2. Formulation du modèle

2.1. Rappel des composants du modèle dynamique élémentaire

Les caractéristiques physiques essentielles de toute structure élastique linéaire soumise à des charges de nature dynamique sont sa masse, ses propriétés élastiques (souplesse ou rigidité) et son mécanisme de déperdition d’énergie, ou amortissement. A titre de rappel, dans le modèle le plus simple de système à un degré de liberté, chacune de ces caractéristiques est supposée condensée dans un élément physique unique : la figure 2 montre un schéma d’un tel système. Toute la masse m de ce modèle simple est localisée dans le bloc rigide. Des rouleaux contraignent son déplacement de manière qu’il ne puisse se produire que suivant une translation simple ; l’unique coordonnée de déplacement horizontal x définit donc complètement sa position. La résistance élastique au déplacement est représentée par le ressort sans masse de rigidité k, et le mécanisme de déperdition d’énergie par l’amortisseur c. Le mécanisme de chargement externe qui provoque la réponse dynamique du système est la charge P(t) variable dans le temps.

Tour

Base

Niveau du décrochement

Ht

Hb

H

a)

Ab : section de la base. At : section de la tour.

At Ab

b)

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Figure 2. Modèle type d’un système à un seul degré de liberté : a) composantes élémentaires ; b) forces d’équilibre

2.2. Choix du modèle dynamique

Le calcul dynamique des structures nécessite une représentation adéquate des structures réelles par un modèle mathématique. On distingue généralement deux catégories de modèles : les modèles discrets et les modèles continus. Le premier modèle, dans lequel la masse de la structure est considérée comme concentrée en un certain nombre de points séparés (ou discrets), peut être utilisé pour des études préliminaires ou pour y déterminer le comportement approximatif général de la structure. En revanche, le deuxième modèle, où la masse du système est répartie partout de manière pratiquement uniforme, donne le comportement précis de la structure. Dans ce dernier cas, le système complet des forces d’inertie agissant sur une structure peut être déterminé seulement après évaluation des accélérations et par conséquent, des déplacements de chaque point. Ceci signifie que les déplacements sont déterminés pour chaque point de la structure, ce qui demande un travail gigantesque. Néanmoins, l’analyse peut être simplifiée si les déplacements de la structure peuvent être adéquatement spécifiés à un nombre limité de points. Cette manière de spécifier la déformée de la structure est appelée approche par des déplacements généralisés (Clough et al., 1993 ; Tiliouine, 2000 ; Paultre, 2004 ; Chopra, 2004). Par cette approche, l’équation du mouvement du système, décrite précédemment (figure 2), peut s’écrire sous la forme suivante :

0)t(*effP)t(Y)x(*k)t(Y)x(*m =−+&& [4]

où m*(x), k*(x) et P*eff(t) sont respectivement la masse généralisée, la rigidité

généralisée et la charge effective généralisée du système. Le principe de Hamilton par l’intermédiaire des principes énergétiques constitue la base de la formulation de l’équation [4].

P(t) FI

Fk

Fa

x b) a)

x0

c

k

m P(t)

x

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2.3. Rappel du principe de Hamilton

C’est le concept variationnel le plus général. Il s’exprime mathématiquement par :

∫t

t∫

t

tnc

2

1

2

10=dtWδ+dt)TV(δ [5]

où T et V représentent respectivement les énergies cinétiques et potentielles du système considéré. Le travail Wnc des forces non conservatrices inclut les forces d’amortissement Fa et toute autre charge extérieure arbitraire.

L’énergie potentielle V se compose en général de l’énergie de déformation et du potentiel des forces conservatrices. Le principe est valable quelle que soit la variation considérée durant l’intervalle de temps [t1, t2]. On rappelle également que les variations δ(t1) et δx(t2) aux points extrêmes de l’intervalle doivent être nulles.

Il est intéressant de remarquer que le principe de Hamilton se réduit en statique, donc pour T = 0, à la relation :

0)WV(δ nc =− [6]

expression mathématique bien connue, associée au principe de l’énergie potentielle minimale.

Ainsi, d’après le système masse-ressort (figure 2), nous avons :

2.xm

21

=T [7]

2kx21

=V [8]

Les forces non conservatrices Fa et P(t) effectueront une variation de travail :

.nc xδxc-xδ)t(P=Wδ [9]

D’après le principe de Hamilton, on a :

0=dt)xδxc-xδ)t(P(+dt)kx21

-xm21

(δ ∫t

t

.22.

∫t

t

2

1

2

1 [10]

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0=dt)xδxc-xδ)t(P+dt)xδx2k21

-xδx2m21

(δ...

∫t

t

2

1 [11]

soit, après réarrangement :

0=x)dtδ(t)P+xδkx-xδxc-xδxm(∫t

t

...2

1 [12]

mais comme :

0=xdtδxm-xδxm=dtxδxm∫t

t∫

t

t

..tt

...2

1

2

1

21

[13]

et puisque :

0=xδxm 21

tt

. pour 0=xδ à t=t1 et t=t2. [14]

il vient donc :

[ ] 0=xdtδ)t(P+kx-xc-xm-∫t

t

2

1&&& [15]

La variation δx étant arbitraire, l’expression entre crochets doit être nécessairement nulle, d’où l’équation finale attendue :

)t(P=kx+xc+xm &&& [16]

On remarque également qu’à l’instar d’autres méthodes telles que la méthode basée sur le principe des travaux virtuels, le principe de Hamilton utilise des quantités scalaires uniquement.

3. Modèle basé sur les déplacements généralisés : application aux bâtiments irréguliers

En traitant la tour et la base du bâtiment irrégulier à l’aide de systèmes généralisés à un seul degré de liberté, le bâtiment irrégulier peut être modélisé par un système à deux degrés de liberté. La répartition de la masse de la tour est mt(xt), où xt est la distance verticale mesurée à partir du pied de la tour. La déformée de la tour mesurée à partir du pied de la tour à l’instant t est décrite par la fonction ψt(xt,t)

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et la flèche relative au sommet de la tour est désignée par Yt(t). De même, la base est caractérisée par les mêmes paramètres où l’indice t est remplacé par l’indice b. En supposant qu’à la fois la tour et la base vibrent seulement selon leur mode fondamental, les réponses dynamiques de ce modèle peuvent être décrites par un système à deux degrés de liberté en faisant intervenir les deux coordonnées généralisées Yb(t) et Yt(t) représentant respectivement le déplacement du sommet de la base et de celui de la tour à l’instant t. Celui de la tour est mesuré à partir du sommet de la portion « base ».

3.1. Etude de la partie « base »

Illustrons l’utilisation de la méthode des systèmes généralisés à un seul degré de liberté avec les modèles décrits par la figure 3. La partie « base » supportera simultanément sa propre charge représentée par sa masse linéique mb(xb) (charge uniformément répartie) et celle de la tour Mt supposée concentrée à son sommet et oscillera sous l’action du mouvement de translation vg(t) de son point d’appui. Par conséquent, l’équation du mouvement de la base sera définie par l’équation suivante, conformément à l’équation généralisée [4] précédente du système à un seul degré de liberté :

0)t(*beffP)t(bY)bx(*

bk)t(bY)bx(*bm =−+&& [17]

où : ( ) b2

∫H0 bbbb*b dx)x(ψ)x(m=)x(m b , ( ) b

2∫H0 bbb

*b dx)x("ψ)x(EI=)x(k b

et comme la base est soumise au effets simultanés du mouvement de translation de son appui et à la force perturbatrice générée par l’action dynamique de la tour au niveau de son sommet, sa charge effective correspondante sera donc :

=+= sol*effP*

toureffP*beffP

∫+−∫− bH

0 bdx)bx(ψ)bx(bmtM)t(gvtdx)tx(ψ)tx(tH0 tm)t(tY &&&& [18]

3.2. Etude de la partie « tour »

Le modèle à un seul degré de liberté de la base n’est soumis qu’au déplacement du sol vg. En revanche, l’excitation par déplacement d’appui du même modèle permettant d’étudier le comportement vibratoire de la tour, dont la structure propre est supposée indépendante de celle de la partie « base », résulte de la considération, en plus du déplacement du sol, de celui du sommet de la base Yb(t), figure 3. Ainsi, le calcul dynamique de la tour doit tenir compte de l’influence des oscillations

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propres de la base. Par conséquent, l’équation du mouvement de la tour sera donnée par :

0)t(*teffP)t(tY)tx(*

tk)t(tY)tx(*tm =−+&& [19]

où : ( ) tdx2

tH0 )tx(ψ)tx(tm)tx(*

tm ∫= , ( ) tdx2

tH0 )tx("ψ)tx(EI)tx(*

tk ∫= et

( )∫+−= tH0 tdx)tx(ψ)tx(tm)t(bY)t(gv*

teffP &&&& [20]

Figure 3. Décomposition du mouvement de la structure décrochée : a) base ; b) tour

3.3. Etude de l’ensemble « base + tour »

Si on pose, à titre de simplification :

bdx)bx(bH0 bmbM ∫= ,

( )bM

bdx2)bx(ψ)bx(bH0 bm

bA∫

= et

b)

vg(t)+Yb(t)

vtot(x,t)

Yt(t)

mt(x)

EI(x)

Axe

de

réfé

renc

e

v(xt,t) xt

a)

vg(t)

Axe

de

réfé

renc

e

Yb(t)

Mt

mb(xb)

EI(x)

v(xb,t)

xb

vtot(x,t)

Ftour(t)

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bMbAbdx)bx(ψ)bx(bH

0 bmbB

∫= , également : tdx)tx(tH

0 tmtM ∫= ,

( )tM

tdx2)tx(ψ)tx(tH0 tm

tA∫

= et tMtA

tdx)tx(ψ)tx(tH0 tm

tB∫

= , les équations [17] et

[18] des mouvements des deux systèmes à un seul degré de liberté définissant respectivement le comportement vibratoire de la base et de la tour peuvent s’écrire de la façon suivante :

( ) ( ) +++++ )t(vMMBA)t(Y)x(k)t(YMMA gtbbbbb*bbtbb &&&&

0)t(YMBA ttt =+ && [21]

( ) 0)t(v)t(YMBA)t(Y)x(k)t(YMA gbttttt*tttt =+++ &&&&&& [22]

Par conséquent, le mouvement du système à deux degrés de liberté représentant la structure décrochée toute entière (base + tour) sera défini, finalement, par l’équation matricielle globale suivante :

=

+

+ )t(Yb

)t(Yt*bk00*

tk)t(Yb

)t(YtMtMbAbtMBtAt

MtBtAtMtAt&&

&&

)t(gvtMbMbBbA

tMtBtA&&

+− [23]

Par ailleurs, à titre de simplification, il est supposé, d’une part, que la base et la tour vibrent, toutes deux, suivant une forme linéaire de sorte que ψ(xt) = xt/Ht et ψ(xb) = xb/Hb et, d’autre part, les masses par unité de hauteur de la tour et de la base sont constantes, soit : mt(xt) = Mt/Ht = Cte et mb(xb) = Mb/Hb = Cte.

Sur la base de ces hypothèses, les expressions des couples de coefficients Ab, Bb et At, Bt se simplifient et prennent les valeurs suivantes :

31

tAbA == et 23

tBbB == [24]

Le système d’équations précédent devient :

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=

+

+ )t(Yb

)t(Yt*bk00*

tk)t(Yb

)t(Yt

MtMb31

tM21

Mt21

tM31

&&

&&

)t(vgMtMb2

1Mt2

1

&&

+− [25]

La solution du système d’équations précédent [25] sera obtenue en considérant d’abord le système d’équations homogènes obtenues en annulant les seconds membres :

=

+

+ 00

)t(Yb

)t(Yt*bk00*

tk)t(Yb

)t(Yt

tMbM31

tM21

Mt21

Mt31

&&

&& [26]

La solution du système en oscillations libres en l’absence de chargements s’écrit :

tωiebYtY

)t(bY)t(tY

=

[27]

ω étant la pulsation fondamentale du mouvement du système à deux degrés de liberté et Yb, Yt représentent les amplitudes maximales du mouvement de la base et de la tour. En substituant cette expression dans le système d’équations [26] on obtient :

=

+

−−

+

tωi

b

t

b*b

t*ttωi

2b

2t

tbt

tte

YY

)x(k00)x(ke

ωYωY

MM31M

21

M21

M31

=00

[28]

Après développement, ce système d’équations, devient :

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=

+

+−+−

=−

+−

0bY)bx(bk2ωtMbM31

tY2ωtM21

0bY2ωtM21

tY)tx(*tk2ωtM

31

[29]

La solution la plus évidente pour ce système d’équations est Yt = Yb = 0 ; elle correspond à la position d’équilibre du modèle mais elle ne permet pas de rendre compte de son mode de vibration. Le système d’équations [29] aura par conséquent des solutions non nulles sauf si le déterminant des amplitudes Yb et Yt est nul :

0)bx(*

bk2ωtMbM312ωtM

21

2ωtM21)tx(*

tk2ωtM31

=+

+−−

−+− [30]

Le développement du déterminant conduit à l’équation caractéristique suivante en ω2:

+

++−

+ 2ωtM)bx(*

bktM)tx(*tk3bM)tx(*

tk4ω2tM

41

bMtM31

0)bx(*bk)tx(*

tk3 =+ [31]

L’équation caractéristique a deux solutions, données par la formule quadratique suivante :

a2ac42bb2

2,1ω−−

=m [32]

où :

2tM

41

bMtM31a +=

++−= tM)bx(*

bktM)tx(*tk3bM)tx(*

tkb

)bx(*bk)tx(*

tk3c =

Comme l’expression contenue sous le radical de l’équation [32] est toujours positive (b2≥4ac), les racines ω1

2 et ω22 sont donc réelles. Il est également visible

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que le terme correspondant à la racine carrée, ac4b2 − , est inférieur à –b, c’est-à-

dire ( 0ac4bb 2 fm −− ) et que les racines 21ω et 2

2ω sont positives. Il est à noter, également, qu’un système stable conduit à des matrices de masse et de rigidité symétriques définies positives, et dans ce cas les racines de l’équation aux pulsations seront réelles et positives. Par ailleurs, l’équation [32] est écrite de sorte que ω1<ω2. Finalement, l’équation caractéristique aura deux pulsations naturelles de vibration dépendant uniquement des constantes physiques du système. Ainsi, les deux solutions (ω1

2 et ω22) sont les carrés des pulsations (ou fréquences circulaires) des

deux modes de vibration possibles. Le mode correspondant à la pulsation la plus basse (ω1) est le premier mode ou mode fondamental.

Dans le but d’obtenir une formule plus simple adaptée au calcul de la pulsation du modèle considéré, les trois coefficients précédents a, b et c sont transformés de la façon suivante :

++−= 1

bMtM

*bkbM

tMtk3*

bkbM

tMtk*

bktMb

*bk*

tk3bMtM

232bMtM

32ac4

+=

+=

bMtM

232

3bMtMa2

Sachant que : tM

*tk2

tω = , bM

*bk2

bω = représentent respectivement les pulsations

fondamentales propres de la tour et de la base, considérées comme séparées et

encastrées à leur base. En posant : b

1Ωωω

= , bωtωt =Ω et

bMtMµ = , les

expressions précédentes deviennent :

]2t)µ31(1[*

bktM2bωb Ω++−=

2t)µ34(2)*

bk(2tMac4 Ω+=

]µ5.12[3

bMtMa2 += .

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Etude d’un modèle dynamique 469

Après simplification, la pulsation fondamentale du mouvement de la structure toute entière (base + tour) divisée par la pulsation fondamentale du mouvement de la base sera donnée finalement par :

( ) ( )[ ] ( )µ5.12

µ342t

22tµ3112

tµ3112+

+Ω−Ω++−Ω++=Ω [33]

Finalement, la connaissance à la fois du rapport Ωt des pulsations fondamentales (base/tour) et celui des masses, µ, conduit facilement, à l’aide de l’expression précédente [33], à la détermination de la pulsation fondamentale, ω1, du bâtiment irrégulier. Les pulsations fondamentales de la base et de la tour, considérées comme structures régulières, peuvent être déterminées par la formule du règlement [1], valable uniquement pour les structures régulières.

A titre de simplification, on peut exprimer les deux paramètres µ et Ωt en fonction des caractéristiques géométriques de la structure irrégulière, à savoir Rh et Ra. En supposant que la masse par unité d’aire est distribuée de manière uniforme à travers toute la structure, le rapport des masses, µ, peut s’écrire :

( )[ ] hR1hRaR

H/tHH1

hRaRH/bH

1hRaR

bHbAtHtA

bMtMµ

−=

−==== [34]

De même, si on suppose que les pulsations fondamentales de la tour et de la base (ωt et ωb) sont inversement proportionnelles à leur hauteur respective, le paramètre, Ωt, devient :

h

h

htt

t

t

b

b

tt R

R11R11

HH

HHH

HH

ωω −

=−=−=−

===Ω [35]

Ainsi, en utilisant les dernières expressions [34] et [35] relatives respectivement aux deux paramètres µ et Ωt la pulsation ou la période fondamentale de la structure irrégulière sera encore plus facile à déterminer.

4. Application : comparaison entre analyse dynamique directe et méthode proposée

4.1. Introduction

Une étude comparative est effectuée en vue d’illustrer l’évolution de la période, T, en fonction du rapport des hauteurs, Rh, égale à 0.0, 0.2, 0.4, 0.6 et 0.8 pour un certain nombre de rapports des aires Ra, à savoir 1/9, 1/3 et 2/3, caractérisant chacun la section de la tour par rapport à celle de la base. La première valeur de Rh

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correspond à une structure régulière, tandis que les autres valeurs successives correspondent respectivement à des structures irrégulières dont la tour comporte 3, 6, 9 et 12 étages. Au total, treize bâtiments dont un régulier sont considérés.

L’étude est menée en comparant les résultats obtenus par la relation précédente [21], correspondant au système généralisé à deux degrés de liberté, à ceux obtenus par une étude dynamique en utilisant le logiciel de calcul SAP90 (Wilson et al., 1989).

4.2. Logiciel de calcul

Le logiciel SAP90 dispose de plusieurs éléments, parmi lesquels l’élément poutre-colonne (FRAME Element), destiné à la modélisation de systèmes composés de portiques ou de treillis en deux et en trois dimensions. Ce logiciel dispose également de plusieurs options d’analyse dynamique, parmi lesquelles celles qui correspondent à la détermination des fréquences et des modes propres de vibration de manière directe ou par la génération automatique des vecteurs de Ritz, utilisés dans l’analyse de superposition modale ou de réponse spectrale.

Le programme peut résoudre les structures planes statiquement indéterminées aussi bien que celles statiquement déterminées qui ont leurs liaisons soit articulées soit rigides. Les barres (poutres et poteaux) de la structure peuvent être prismatiques. Pour une charpente à nœuds rigides, les conditions d’appuis peuvent être soit articulées, soit fixes, soit mixtes. Plusieurs systèmes de charges peuvent être appliqués à la structure. Les données d’entrées comprennent les caractéristiques de base et géométriques de la structure et aussi les charges agissant sur la structure (sur les barres et sur les nœuds). Pour faciliter l’entrée des données, chaque barre et chaque nœud sont numérotés. A partir de la géométrie et des caractéristiques de la structure et moyennant l’analyse matricielle des structures, le logiciel construit la matrice de rigidité, la matrice de transformation des déplacements et la matrice des forces nodales de la structure. La masse de la structure est définie par une matrice diagonale représentant les masses bloquées aux nœuds correspondant aux déplacements nodaux. En général, les masses bloquées peuvent prendre la forme de masses linéaires ou de masses en rotation correspondant respectivement à des forces nodales ou à des moments nodaux. Le problème des vibrations libres des structures peut être ainsi simplifié en discrétisant la structure en éléments finis et en supposant la masse de la structure rassemblée aux nœuds et la structure réduit ainsi à l’état de squelette et sans poids. Puisque la présente étude est consacrée au problème des vibrations latérales de la structure, les déplacements des nœuds intéressés par le calcul des modes et ainsi par la pulsation des vibrations sont limités aux déplacements latéraux de chaque niveau.

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4.3. Analyse dynamique

Théoriquement, l’équation du mouvement d’un système à plusieurs degrés de liberté se déplaçant librement sans amortissement s’écrit sous la forme matricielle suivante :

[ ] [ ] ( ) 0vωMK 2 =− [36]

où [K], |M], v et [ω2] représentent respectivement la matrice de rigidité, la matrice de masse, le vecteur de déplacements et la matrice des pulsations du système. Les matrices |M] et [ω2] sont diagonales. L’équation [36] représente un système de n équations à n inconnues qui sont les composantes de v. Une solution différente de zéro n’est possible que si le déterminant de la matrice ([K]-[M]ω2)) est nul :

[ ] [ ] 0ωMK 2 =− [37]

Si on développe ce déterminant, on obtient une équation de degré n en ω2. La résolution de cette équation fournit les valeurs des pulsations ω1, ω2…, ωj…, ωn relatives aux n modes de vibration possibles. Le vecteur des déplacements vj qui correspond au mode de vibration j, de pulsation ωj, est donné par la relation [36] :

[ ] [ ] 0vωMK j2j =− [38]

Le déterminant de la matrice [K]-[M]ω2) étant nul, il existe une solution différente de zéro pour le vecteur vj, qui peut être calculée, à une constante près, en fixant arbitrairement une composante (par exemple la première).

Le logiciel SAP90 résout le problème des pulsations propres et leurs vecteurs de déplacements correspondants en utilisant un algorithme basé sur un procédé d’itération de sous-espace. Durant la phase de résolution, le programme affiche la pulsation propre approchée après chaque itération. Une fois que les vecteurs des déplacements convergent, ceux-ci sont écartés et de nouveaux vecteurs de déplacements approchés sont introduits. Ainsi, le résultat final est obtenu quand, pour des approximations successives, les vecteurs de déplacements ne changent plus ou sont compris dans des limites convenables.

4.4. Résultats et analyse

Les résultats obtenus par les deux méthodes sont illustrés par la figure 4 et sont sensiblement les mêmes.

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Figure 4. Périodes de bâtiments irréguliers

5. Conclusion

Une méthode utile et nécessaire au calcul préliminaire de la période fondamentale de bâtiments irréguliers comportant un seul décrochement et de configuration symétrique est présentée. Une des complications dans le calcul de la réponse sismique des structures irrégulières est due au changement brusque de la rigidité du niveau du décrochement. Pour surmonter cette difficulté, un modèle dynamique, basé sur un système généralisé à deux degrés de liberté, est employé dans la méthode proposée. Au niveau du décrochement, la structure irrégulière entière est considérée comme divisée en deux parties : une partie inférieure appelée « base » et une partie supérieure appelée « tour ». Chaque partie se comporte comme un système généralisé à un seul degré de liberté tenant compte à la fois des caractéristiques dynamiques et de la déformation de l’autre. Le déplacement latéral du niveau de décrochement sert de couplage. Moyennant quelques hypothèses simplificatrices, la réponse finale peut être obtenue en combinant les réponses individuelles des deux parties de la structure. Selon les étapes de développement du modèle, les principales hypothèses adoptées sont données comme suit :

– la masse de chaque portion de la structure est supposée uniformément répartie sur toute la hauteur,

– à chaque instant, les oscillations propres de la tour et de la base sont définies, chacune, par une déformée linéaire, caractéristique principale du mode fondamental de vibration,

– les deux degrés de liberté du modèle considéré correspondent aux déplacements latéraux des sommets de chaque portion de la structure,

1,8

2,2

2,6

3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Rapports des aires, Ra

Pério

des,

sec

.

analyse dynamique méthode approchée

Rh = 0.2 Rh = 0.4 Rh = 0.6 Rh = 0.8 Rh = 0.0

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– la base et la tour sont considérées comme structures régulières indépendantes et leurs pulsations fondamentales respectives peuvent être déterminées par la formule empirique du règlement,

– les pulsations fondamentales de la tour et de la base sont inversement proportionnelles à leur hauteur respective.

Des exemples numériques ont été utilisés pour démontrer la performance de la méthode d’analyse proposée. Les résultats obtenus montrent une concordance substantielle avec ceux obtenus avec la méthode d’évaluation des valeurs propres par itération matricielle dont le procédé d’itération est employé par le logiciel SAP90. Dans tous les cas, la période fondamentale de la structure régulière équivalente est supérieure à celle de la structure irrégulière. Par conséquent, l’application de la formule de la période du règlement RPA 99 aux structures irrégulières conduit à une surestimation de la période et, par conséquent, à une sous-estimation de l’effort tranchant de base. A ce stade, il convient de noter que les formules empiriques recommandées par les règlements sont en général volontairement calibrées pour sous-estimer la période afin que l’effort tranchant de base soit évalué de manière conservative. De même, la méthode de la charge statique équivalente n’est pas utilisée dans le cas des structures irrégulières parce qu’elle ne peut pas prendre en compte correctement l’influence des modes supérieures. Suite aux hypothèses considérées dans cette présente étude, la période empirique [1] du règlement a une influence prédominante sur la période approchée [33] des structures irrégulières. Ceci peut être constaté dans les deux cas extrêmes suivants :

– lorsque la tour est très élancée et la base très courte, la période fondamentale du bâtiment irrégulier tend vers celle de la tour,

– lorsque la tour est très courte et la base très élevée, la période fondamentale du bâtiment irrégulier tend vers celle de la base.

Par conséquent, la formule approchée [33] peut être très utile dans le cas où le niveau du décrochement Rh est situé à mi-hauteur (ou tout proche de celle-ci) de la structure irrégulière. Pour les bâtiments dont la variation de la rigidité satisfait aux hypothèses de base de la méthode proposée, la procédure peut mener à une solution exacte du problème. Pour les structures qui n’obéissent pas d’une manière stricte aux hypothèses établies, la procédure peut quand même donner une estimation raisonnable de la période fondamentale.

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