un solveur well-balanced entropique pour le système de

—LAT EXprosper—

Séminaire fluides compressibles, 8 février 2010, Chevaleret

Un solveur well-balanced entropique pour le système deshallow water Savage-Hutter 2d avec termes de courbure

François BOUCHUT

CNRS & LAMA

Université Paris-Est Marne-la-Vallée

et

Anne MANGENEY

Institut de Physique du Globe de Paris

Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 1

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Plan

⊲ Partie 1. Modélisation des écoulements granulaires denses : les

modèles de type Savage et Hutter

⊲ Les modèles de Saint Venant, de Savage et Hutter, de Bouchut,

Mangeney, Perthame, Vilotte

⊲ Dérivation à partir des équations d’Euler incompressible

⊲ Modélisation de la friction

⊲ Le cas bidimensionnel

⊲ Partie 2. Méthode de volumes finis well-balanced

⊲ Formulation quasilinéaire

⊲ Solveur intégrant la géométrie


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Réferences : modélisation des avalanches granulaires

⊲ S.B. Savage, K. Hutter, The dynamics of avalanches of granularmaterials from initiation to run-out, Acta Mech. 86 (1991), 201-223.

⊲ J.M.N.T. Gray, M. Wieland, K. Hutter, Gravity driven free surface flow ofgranular avalanches over complex basal topography, Proc. R. Soc.Lond. A 455 (1999), 1841-1874.

⊲ F. Bouchut, A. Mangeney-Castelnau, B. Perthame, J.-P. Vilotte, A newmodel of Saint Venant and Savage-Hutter type for gravity driven shallowwater flows, C.R. Acad. Sci. Paris, série I 336 (2003), 531-536.

⊲ F. Bouchut, M. Westdickenberg, Gravity driven shallow water models forarbitrary topography, Comm. in Math. Sci. 2 (2004), 359-389.

⊲ O. Pouliquen, Y. Forterre, Friction law for dense granular flows:application to the motion of a mass down a rough inclined plane, J. FluidMech. 453 (2002), 133-151.

⊲ I. Luca, Y.C. Tai, C.Y. Kuo, Non-Cartesian, topography-based avalancheequations and approximations of gravity driven flows of ideal andviscous fluids, Math. Models Methods Appl. Sci. 19 (2009), 127-171.

⊲ E.D. Fernández-Nieto, F. Bouchut, D. Bresch, M.J. Castro Díaz, A.Mangeney, A new Savage-Hutter type model for submarine avalanchesand generated tsunami, J. Comput. Phys. 227 (2008), 7720-7754.


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Partie 1. Les modèles de type Savage et Hutter

Contexte : écoulement unidimensionnel d’un fluide (eau dans une rivière) ou

d’un milieu granulaire dense (sable, lave de volcan) sur une pente régulière.

z(x) : topographie

h(t, x) : épaisseur de l’écoulement, u(t, x) : vitesse

équilibre au repos

Equations sur h et u ?

⊲ Des hypothèses sont nécessaires pour dériver un modèle, à partir d’un

système de Navier-Stokes. En particulier, il faut une couche mince,

h << L dimension typique des phénomènes à étudier.

⊲ Hypothèses sur la topographie z pour simplifier les équations,

⊲ Modélisation des phénomènes de friction,

⊲ Modélisation des mélanges (ex. avalanche solide/liquide)


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Le modèle de Saint Venant (shallow water) pour les rivières

La coordonnée x est mesurée horizontalement.

x

z(x) : altitude de la topographie

h(t, x) : épaisseur verticale de l’écoulement

u(t, x) : vitesse horizontale

Les équations sont

∂th + ∂x(hu) = 0,

∂t(hu) + ∂x(hu2 + gh2/2) + ghzx = 0,

(1)

avec g constante de la gravitation, zx = dz/dx est la pente.

Hypothèse essentielle en plus de couche mince : pente faible zx << 1.


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Le modèle de Saint Venant : propriétés

Propriétés du modèle de Saint Venant :

⊲ Le système est hyperbolique,

⊲ Il admet une entropie convexe, l’énergie. L’inégalité associée s’écrit

∂t(hu2/2+ gh2/2+ ghz) + ∂x

((hu2/2+ gh2 + ghz)u

)≤ 0. (2)

⊲ La masse totale est conservée

d

dt

∫h dx = 0, (3)

⊲ l’épaisseur h reste positive ou nulle, et le cas "à sec" h = 0 est bien

rendu par les équations,

⊲ Les équilibres au repos

u ≡ 0, h(x) + z(x) = cste (4)

sont des solutions stationnaires du système.


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Le modèle de Savage et Hutter pour les écoulements sur pente

La coordonnée x est toujours mesurée horizontalement.

x


h(t, x) : épaisseur normale de l’écoulement

u(t, x) : vitesse tangentielle

Les équations sont

∂t(h

cos θ) + ∂x(hu) = 0,

∂t(hu

cos θ) + ∂x(hu

2 + gh2

2cos θ) + gzx(h−

h2

2cos θ θx) = 0,

(5)

où θ(x) est l’angle entre l’horizontale et la tangente à la topographie,

tan θ = zx, −π/2 < θ < π/2. (6)

Hypothèse essentielle en plus de couche mince : pente à faible variation

(courbure petite) θx << 1/L. Bon modèle pour les pentes presque constantes.


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Le modèle de Savage et Hutter : propriétés

Propriétés du modèle de Savage et Hutter :


⊲ Il admet une entropie convexe, l’énergie. L’inégalité associée s’écrit

∂t

(hu2/2+ g h2

2 cos θ + ghz

cos θ

)+ ∂x

((hu2/2+ gh2 cos θ + ghz)u

)≤ 0.

(7)⊲ La masse totale est conservée

d

dt

∫h

cos θdx = 0, (8)




u ≡ 0, h(x) cos θ(x) + z(x) = cste (9)



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Le modèle de Savage et Hutter : propriétés

Identités algébriques :

⊲ En combinant les deux équations on trouve pour les solutions régulières

∂tu

cos θ+ ∂x

(u2/2+ hg cos θ + gz

)= 0. (10)

⊲ On en déduit immédiatement avec l’équation de masse que u = 0 et

h cos θ + z = cst est une solution stationnaire.

⊲ D’autre part, multipliant l’équation de masse par u2/2+ hg cos θ + gz et

(10) par hu on trouve l’inégalité d’entropie.

∂t

(hu2/2+ g h2

2 cos θ + ghz

cos θ

)+ ∂x

((hu2/2+ gh2 cos θ + ghz)u

)≤ 0.

(11)⊲ Le modèle (5) est en fait légèrement différent de celui introduit par

Savage et Hutter, il inclut en plus le terme en cos θ θxh2/2. Notons que

cos θ θx est la courbure de la topographie. C’est ce (petit) terme qui

permet d’avoir l’inégalité d’entropie et les solutions stationnaires aurepos.


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Le modèle de Bouchut, Mangeney, Perthame, Vilotte

Mêmes notations géométriques.

x



u(t, x) : vitesse tangentielle

Les équations sont (sous forme non conservative)

∂th− h2

2 θXcos θ

+ ∂x

(ln(1− hθX)

−θXu

)= 0,

∂tu

cos θ+ ∂x

(u2

2

1

(1− hθX)2+ hg cos θ + gz

)= 0,

(12)

où tan θ = zx, et θX = cos θ θx. Pas d’autre hypothèse que celle de couchemince.


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Le modèle de BMPV : propriétés

Propriétés du modèle :


⊲ Il admet une entropie convexe, l’énergie.

⊲ La masse totale est conservée

d

dt

∫h− h2

2 θXcos θ

dx = 0, (13)




u ≡ 0, h(x) cos θ(x) + z(x) = cste (14)


⊲ la densité de masse h− h2

2 θX ne reste pas nécessairement positive. Cela

est dû à l’impossibilité géométrique de définir h (solution multivaluée).


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Dérivation des modèles : coordonnées

⊲ On définit l’abscisse curviligne X(x) sur la topographie par

dX = dx/ cos θ. Ceci définit un changement de variable, et on a

cos θ dX = dx, ∂X = cos θ ∂x. (15)Les modèles peuvent alors se réécrire en variable t,X, car une équation

∂t(A/ cos θ) + ∂xB = 0 devient ∂tA + ∂XB = 0.

⊲ On a tan θ = zx, et il faut supposer z(x) assez régulier.

⊲ On définit pour chaque temps t le domaine Ωt du plan occuppé par le

volume de fluide. Il est délimité par le fond et la surface libre. Un point

M dans Ωt peut être repéré par sa projection orthogonale sur le fond

(donc par X ou x), et par sa distance au fond Z, 0 < Z < h(t,X).

x

M

1

2

(X)

X

X

Xz(x)


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Dérivation des modèles : coordonnées

⊲ On a

M = (x, z(x)) + Z(− sin θ(x), cos θ(x)), (16)

et donc

∇X,ZM =

(J cos θ − sin θ

J sin θ cos θ

), J = 1− ZθX = det∇X,ZM. (17)

⊲ On suppose que (X,Z) 7→ M est un difféomorphisme (J > 0), ce qui

caractérise l’admissibilité du système de coordonnées.

⊲ Le volume de fluide compris entre deux abscisses X1 et X2 est∫

X1<X<X2

dM =∫ X2

X1

∫ h(t,X)

0J dXdZ, (18)

donc la densité de fluide par rapport à X est∫ h(t,X)

0J dZ = h− h2

2θX . (19)


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Dérivation des modèles : équations d’Euler

⊲ On part des équations d’Euler incompressible dans le domaine occuppé

par le fluide,

∂t~U + (~U · ∇M)~U + ∇MP = −~g, (20)

avec la condition d’incompressibilité

divM ~U = 0, (21)

où ~U est le champ de vitesse, P la pression, et ~g = (0, g).

⊲ Les conditions aux limites sont

~U ·~n = 0 au fond (Z = 0), (22)

P = 0 à la surface libre (Z = h(t,X)), (23)

⊲ Il faut une loi d’évolution de la surface libre (bord supérieur de Ωt), qui

dépend du temps :

La surface libre est advectee a la vitesse ~U.Cela peut s’écrire

∂t(1IM∈Ωt) + divM(1IM∈Ωt

~U) = 0 à travers la surface libre. (24)


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Dérivation des modèles : équations d’Euler en référentiel mobile

⊲⊲ On transforme les équations en variable t,X,Z, et on représente ~U par

ses composantes dans le repère mobile attaché à la topographie, Ucomposante tangentielle, W composante normale. On trouve

∂XU + ∂Z(JW) = 0,

∂t(JU) +U∂XU + JW∂ZU + ∂XP = −Jg sin θ +UWθX,

∂t(JW) +U∂XW + JW∂ZW + J∂ZP = −Jg cos θ −U2θX .

(25)

⊲ Les conditions aux limites sont

W(t,X,Z = 0) = 0, P(t,X,Z = h(t,X)) = 0. (26)

⊲ Pour la surface libre, on écrit que 1IM∈Ωt= 1I0<Z<h(t,X) et ∂t J = 0, d’où

∂t(1IZ<h(t,X)J)+ ∂X(1IZ<h(t,X)U)+ ∂Z(1IZ<h(t,X)JW) = 0 à travers la surface libre.

(27)Prenant la partie proportionnelle à δ(Z− h(t,X)), il vient

J∂th +U∂Xh = JW pour Z = h(t,X). (28)

Combinant avec l’intégrale en Z de ∂t J + ∂XU + ∂Z(JW) = 0, on trouve

∂t

∫ h

0J dZ + ∂X

∫ h

0U dZ = 0. (29)


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Dérivation des modèles : intégration des équations

⊲ Soit ε l’ordre de grandeur de h/L, où L est une longueur caractéristique.

Les hypothèses sont que ε est assez petit, et

⊲ Couche mince h/L = O(ε),

⊲ Courbure petite θX = O(ε) pour SH,

⊲ Pente petite θ = O(ε) pour SV.

⊲ Les équations s’intègrent comme suit :

⊲ L’équation d’incompressibilité et la condition aux limites sur W

définit W(t,X,Z),

⊲ l’équation d’accélaration normale en ∂tW permet de définir ∂ZP, et

avec la condition aux limites sur P celà définit P(t,X,Z),

⊲ l’équation d’accélération tangentielle en ∂tU est l’équation

principale, et il faut trouver un profil compatible en Z de U(t,X,Z),

en terme d’une fonction u(t,X). Cela donne une équation sur

u(t,X),

⊲ l’équation de surface libre donne l’équation de masse sur h(t,X).

⊲ On néglige les termes en ε3 dans les équations sur h et hu.


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Dérivation des modèles : hiérarchie

⊲ Le modèle SH se déduit de BMPV en négligeant les termes en ε3,

sachant que θX = O(ε). Le modèle SV se déduit de également de SH.

⊲ Les inégalités d’énergie peuvent se déduire à ε3 près de l’équation

d’énergie pour Euler incompressible.

⊲ La préservation des solutions d’équilibre au repos se déduit à ε3 près de

la solution triviale ~U = 0 des équations d’Euler avec surface librehorizontale.

⊲ La propriété d’exactitude pour l’inégalité d’énergie et les équilibres au

repos est en surplus, cela n’est pas une conséquence de la méthode de

dérivation des équations.

⊲ Le fait de tirer ∂ZP de l’équation d’accélération sur W est lié au fait qu’on

a fait en sorte de négliger l’accélération normale

∂t(JW) +U∂XW + JW∂ZW (30)

C’est l’hypothèse hydrostatique. Elle est cruciale pour pouvoir dériver

un modèle de couche mince.


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Dérivation des modèles : le modèle de Savage et Hutter

Pour le modèle SH, les calculs se font comme suit.

⊲ On suppose ∂ZW borné, ce qui donne avec la condition d’annulation sur

le fond que W = O(ε), puisque 0 < Z < h et que h = O(ε). Comme

θX = O(ε), on a J = 1− ZθX = 1+O(ε2).

⊲ L’équation sur ∂ZP donne ∂ZP = −g cos θ +O(ε), qui s’intègre,

P = (h− Z)g cos θ +O(ε2). (31)

⊲ Reportant dans l’équation sur U on trouve

∂tU +U∂XU +W∂ZU + ∂X((h− Z)g cos θ) = −g sin θ +O(ε2). (32)

⊲ On cherche un profile de U(t,X,Z) indépendant de Z,

U(t,X,Z) = u(t,X) +O(ε2), (33)

et tenant compte de Z = O(ε) et θX = O(ε), on obtient

∂tu + ∂X(u2/2+ hg cos θ) = −g sin θ +O(ε2). (34)

Comme sin θ = ∂Xz, c’est bien l’équation désirée (10), à O(ε2) près.

⊲ L’équation de surface libre (29) donne l’équation de masse

∂th + ∂X(hu) = O(ε3). (35)


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Dérivation des modèles : commentaires

⊲ Pour le modèle BMPV, le profil de U qui permet de résoudre le

problème n’est pas constant en Z, mais de la forme

U(t,X,Z) =u(t,X)

1− ZθX. (36)

⊲ Le modèle BMPV apparaît trop compliqué en pratique. De plus il n’est

valide que sous la condition 1− hθX > 0, qui n’est a priori pas

préservée par les équations. On lui préfère donc le modèle SH, sous la

forme présentée ici (avec le terme correcteur en θXh2/2).

⊲ On peut vérifier que pour le modèle BMPV, le profil (36) donne en fait

une solution exacte des équations d’Euler hydrostatique avec surface

libre, où on a seulement négligé l’accélération normale (et rien d’autre).

On a la même propriété pour le modèle SH avec le profil constant si on

fait l’hypothèse de pente constante, θX = 0. Ceci explique que les

modèles peuvent avoir une certaine validité même sans l’hypothèse decouche mince.


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Modélisation de la friction

⊲ Force de friction des grains avec le fond, ou des grains entre eux.

⊲ Pour les avalanches : friction de Coulomb

x

z(x)

h(t, x) : épaisseur normale

u(t, x) : vitesse tangentielle~fn

~ft

Deux forces en jeu : la force de friction tangentielle ~ft, qui s’oppose à la

vitesse, et la force de réaction normale ~fn. La force de réaction ~fn est

telle que la couche de fluide glisse sans pénétrer la topographie. La

force de friction tangentielle doit vérifier les conditions de Coulomb

|~ft| ≤ µ|~fn|, |~ft| = µ|~fn| si la vitesse est non nulle, (37)

où µ = µ(h, u) ≥ 0 dépend du matériau.


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Le modèle de Savage et Hutter avec friction de Coulomb

⊲ Le modèle de Savage et Hutter avec friction de Coulomb s’écrit

∂t(h

cos θ) + ∂x(hu) = 0,

∂t(hu

cos θ) + ∂x(hu

2 + gh2

2cos θ) + gzx(h−

h2

2cos θ θx)

= −µgh(sgn u)

(1+

u2θXg cos θ

)

+,

(38)

⊲ La partie positive impose la condition que la friction est dissipative.Notons que si la courbure θX est positive, la partie positive n’agit pas,

alors que si θX < 0 et si |u| est assez grand on trouve zéro (cela

correspond au décollement du fluide de la topographie).

⊲ Le terme sgn u est multivalué lorsque u = 0. Notant sgn u = f (t, x), cela

signifie que

| f (t, x)| ≤ 1, f (t, x) = sgn u(t, x) si u(t, x) 6= 0. (39)


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⊲ L’équation associée à u est (pour les solutions régulières)

∂tu

cos θ+ ∂x

(u2/2+ hg cos θ + gz

)= −µg(sgn u)

(1+

u2θXg cos θ

)

+.

(40)⊲ Les équilibres au repos (solutions stationnaires avec u = 0) sont

caractérisées par

∂x (hg cos θ + gz) = −µg(sgn u). (41)

Mais comme sgn u est n’importe quelle fonction entre −1 et 1, cela se

simplifie en

|∂x (h cos θ + z) | ≤ µ. (42)

⊲ Si µ = 0 on retrouve la condition h cos θ + z = cste. Sinon, la condition

(42) signifie que la pente de la surface libre n’es pas trop grande.


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Commentaires sur les équilibres au repos

x

z(x)


y

h cos θ + z

⊲ La condition pour que la surface libre ait une pente au plus µ serait

|∂y (h cos θ + z) | ≤ µ. (43)

⊲ Comme y = x− h sin θ, on a dy/dx = 1− ∂x(h sin θ), et cette relation

diffère de l’équation des équilibres au repos du modèle,

|∂x (h cos θ + z) | ≤ µ. (44)

⊲ Ceci est un défaut du modèle SH avec friction. Il est dû à la dérivationnon complètement comprise de la friction à partir d’un système de

Navier-Stokes incompressible.

⊲ Ce problème n’arrive pas pour Saint Venant avec friction.


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Commentaires sur les équilibres au repos

⊲ Les équilibres au repos, caractérisés par

u = 0, |∂x (h cos θ + z) | ≤ µ. (45)

sont très nombreux ! Pour quasiment tous les problèmes de Cauchy, on

converge en temps fini vers un tel équilibre au repos.

⊲ La loi de friction µ = µ(h, u), dépendant du matériau, est très difficile à

déterminer. Pouliquen et Forterre donnent une dépendence en u à hfixé, de la forme

µ

uEn particulier, il y a une partie pour u petit pour laquelle dµ/du < 0. Elle

donne lieu à des équilibres au repos instables, avec des phénomènes

d’hystérésis.


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Les modèles de Bouchut et Westdickenberg en deux dimensions

Contexte : écoulement sur une topographie bidimensionnelle z(x), où x ∈ R2

est la coordonnée horizontale. Les inconnues sont h(t, x), épaisseur normale

de l’écoulement, u(t, x) ∈ R2 vitesse de l’écoulement. Le matériau occuppe

un volume de R3 au dessus du graphe de z.

⊲ Description de la géométrie : on note ~n = (−s, c) la normale unitaire à la

topographie,

~n =

(− ∇xz√

1+|∇xz|2, 1√

1+|∇xz|2

)≡ (−s, c) ∈ R

2 × R. (46)

z(x)

−s

xx2

c~n

x1


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Les modèles de Bouchut et Westdickenberg en deux dimensions

⊲ Le scalaire c > 0 est le cosinus de l’angle entre ~n et la verticale. On a

s2 + c2 = 1, s et c remplacent sin θ et cos θ en 1d.

⊲ La courbure est un tenseur symétrique 2× 2 donné par H = c3∂2xxz.

⊲ La vitesse physique 3d s’écrit par ses composantes horizontales etverticales

V tg = (cu, stu) ∈ R3, (47)

qui vérifie V tg ·~n = 0. Autrement dit, u ∈ R2 paramétrise les vitesses

tangentielles V tg.

⊲ On a les modèles de Saint Venant (pour pente faible), Savage et Hutter

généralisé (pour courbure petite), et l’analogue de BMPV (sans

condition sur la topographie). Pour chacun on a des propriétés

similaires au cas 1d.


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Le modèle SH généralisé en deux dimensions

⊲ Le modèle SH2d avec friction s’écrit (sous forme non conservative)

∂t(h/c) + ∇x ·(hu)

= 0, (48)

∂tu + cu · ∇xu + 1c

(I − s s

t)∇x

(g(hc + z)

)

= − 1

c(utHu) s +

1

c(stHu)u− gµc u√

c2|u|2 + (s · u)2

(1+

utHu

gc

)

+.

(49)⊲ Une nouveauté par rapport au 1d est la présence des termes de

courbure − 1c (u

tHu) s + 1c (s

tHu)u.

⊲ Les équilibres au repos sont donnés par

u = 0,(∇x(hc + z)t

)(I − ss

t)∇x(hc + z) ≤ µ2c2. (50)

⊲ Le système est invariant par rotation horizontale.

⊲ Pour le cas sans friction, on a le transport du tourbillon le long des

caractéristiques associées à u (il faut écrire les équations sous une

forme très particulière pour le voir...).


—LAT EXprosper—

Partie 2. Méthode de volumes finis well-balanced

Formulation quasilinéaire

⊲ Le modèle SH2d avec friction peut se généraliser comme suit :

∂th + ϑ∇x ·(hu)

= 0, (51)

∂t(hu) + ϑ∇x ·(huut

)+ ϑ I−s s

t

1−|s|2

(∇x

(p(h)ι

)+ h∇xZ + he(h)∇xι

)

= ϑ

(s · (u · ∇xs)

I − s st

1− |s|2 − s(u · ∇xs)t

)hu− ϑ

hgµ u√(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2

,

(52)avec Z = gz, e′(h) = p(h)/h2, (p(h) = gh2/2).

⊲ Les fonctions ϑ(x) > 0, ι(x) > 0, Z(x) ∈ R, s(x) ∈ RN , |s(x)| < 1 sont

données.

⊲ Les inconnues sont h(t, x) ≥ 0, u(t, x) ∈ RN .

⊲ Le cas physique correspond à ϑ = ι = c =√

1− |s|2, et

s = ∇xz/√

1+ |∇xz|2.

⊲ En "oubliant" ces relations on a un système quasilinéaire avec entropie.


—LAT EXprosper—

Formulation quasilinéaire

⊲ L’inégalité d’entropie s’écrit

∂t

(h(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2

2+ he(h)ι + hZ

)

+ϑ∇x ·((

(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2

2+ (e(h) + p(h)/h)ι + Z

)hu

)

+ϑhgµ√

(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2 ≤ 0.

(53)⊲ Formulation géométrique : Vtg = (

√1− |s|2 u, s · u) ∈ R

N+1 vérifie

∂tVtg + ϑ u · ∇xV

tg + ϑ

√

1− |s|2 I − s st

1− |s|2s

∇x

((e(h) + p(h)/h)ι + Z

)

+ϑgµVtg

|Vtg| = −ϑ(u · ∇x~n) ·Vtg~n,

(54)avec ~n(x) = (−s,

√1− |s|2) ∈ R

N+1, |~n| = 1, Vtg ·~n = 0.

⊲ Equilibres au repos (µ = 0) : u = 0 et (e(h) + p(h)/h)ι + Z = cst.


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Terme de courbure

⊲ Si on néglige les termes de pression et la friction, il reste

∂tVtg + ϑ u · ∇xV

tg = −ϑ(u · ∇x~n) ·Vtg~n, (55)

avec ~n = ~n(x), Vtg ·~n = 0.

⊲ Prenant le produit scalaire avec ~n on trouve

∂t(Vtg ·~n

)+ ϑ u · ∇x

(Vtg ·~n

)= 0, (56)

ce qui est cohérent avec la propriété Vtg ·~n = 0.

Le terme de courbure (membre de droite de (55)) représente une force

qui contraint le matériau à rester sur la topographie, il maintient une

vitesse tangente à la topographie.

⊲ En 1d les solutions stationnaires de (55) sont les fonctions Vtg(x) telles

que la trajectoire de (Vtg,~n) soit une courbe intégrale de

dVtg = −(d~n) ·Vtg~n. (57)

⊲ On va utiliser cette propriété pour discrétiser ce terme de courbure en

well-balanced, en faisant intervenir les courbes intégrales explicitement.Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 30

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Courbes intégrales

⊲ L’équation des courbes intégrales est

dVtg = −(d~n) ·Vtg~n, (58)

avec |~n| = 1, Vtg ·~n = 0. Notons qu’en prenant le produit scalaire avec

Vtg on trouve d(∣∣Vtg

∣∣2)

= 0 (conservation de l’énergie).

⊲ Etant donné ~n0, Vtg0, ~n1, on veut trouver Vtg1 tel qu’il existe une courbe

intégrale (~n(t),Vtg(t)) pour 0 ≤ t ≤ 1 telle que

~n(0) = ~n0, Vtg(0) = Vtg0, ~n(1) = ~n1, Vtg(1) = Vtg1. (59)

⊲ La valeur Vtg1 n’est pas unique car la forme différentielle de (58) n’est

pas intégrable : il n’existe pas de fonction ϕ(~n,Vtg) telle que (58) se

réécrive d(

ϕ(~n,Vtg))

= 0.

⊲ Cette situation est inhabituelle. Par exemple pour Saint Venant, les

équations des courbes intégrales d(hu) = 0, d(hu2 + gh2/2) + ghdz = 0

se réécriventd(hu) = 0, d

(u2/2+ g(h + z)

)= 0. (60)


—LAT EXprosper—

Courbes intégrales : résolution

⊲ En pratique, on résout

dVtg

dt= − d~n

dt·Vtg

~n, 0 < t < 1 (61)

avec donnée initiale Vtg(0) = Vtg0, où ~n(t) est choisi tel que

|~n(t)| = 1, ~n(0) = ~n0, ~n(1) = ~n1. (62)

On en déduit Vtg1 = Vtg(1).

⊲ On obtient automatiquement

Vtg1 ·~n1 = 0,∣∣∣Vtg1

∣∣∣ =∣∣∣Vtg0

∣∣∣ . (63)

⊲ Pour résoudre (61) il suffit d’avoir pour tout t,

Vtg(t) ·~n(t) = 0,dVtg

dtcolinear to ~n(t). (64)

⊲ Prenant ~n(t) = ((1− t)~n0 + t~n1)/|...| (la géodésique), on trouve

Vtg1 = Vtg0 − Vtg0 ·~n11+~n0 ·~n1 (~n0 +~n1). (65)

Sachant que 1+~n0 ·~n1 = |~n0 +~n1|2/2,

Vtg1 est le symétrique de Vtg0 par rapport à l’hyperplan de normale

~n0 +~n1.Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 32

—LAT EXprosper—

Courbes intégrales : formule

⊲ La formule

Vtg1 = Vtg0 − Vtg0 ·~n11+~n0 ·~n1 (~n0 +~n1) (66)

vérifie ∣∣∣Vtg1∣∣∣ =

∣∣∣Vtg0∣∣∣ , Vtg1 ·~n1 = 0, (67)

et la propriété asymptotique quand ~n1 −~n0 tend vers 0

Vtg1 −Vtg0 = −Vtg0 ·(~n1 −~n0

)~n0 +O

(~n1 −~n0

)2. (68)

qui garantit la consistance avec

dVtg = −(d~n) ·Vtg~n, (69)

⊲ Reprenant la formulation initiale

~n =

(−s,

√1− |s|2

), Vtg =

(√1− |s|2 u, s · u

), (70)

partant de s et u on arrive à s∗ et u∗ ≡ (u)∗

s→s∗ donné par

√1− |s∗|2u∗ =

√1− |s|2u +

√1− |s∗|2u · s−

√1− |s|2u · s∗

1+ s · s∗ +√

1− |s|2√

1− |s∗|2(s + s

∗),

(71)et on a la conservation de l’énergie

(1− |s∗|2)|u∗|2 + (s∗ · u∗)2 = (1− |s|2)|u|2 + (s · u)2. (72)


—LAT EXprosper—

Système 1d (résolution par interface)

⊲ Le modèle SH2d généralisé avec friction s’écrit par interface

∂th + ϑ∂x(hux

)= 0, (73)

∂t(hu) + ϑ∂x(huux

)+ ϑ I−s s

t

1−|s|2

(1

0

)(∂x(p(h)ι

)+ h∂xZ + he(h)∂x ι

)

= ϑ

(s · ∂xs

I − s st

1− |s|2 − s(∂xs)t

)huux − ϑ

hgµ u√(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2

.

(74)⊲ Les fonctions ϑ(x) > 0, ι(x) > 0, Z(x) ∈ R, s(x) ∈ R

N , |s(x)| < 1 sont

données.

⊲ L’inégalité d’entropie est

∂t

(h(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2

2+ he(h)ι + hZ

)

+ϑ∂x

(((1− |s|2)|u|2 + (s · u)2

2+ (e(h) + p(h)/h)ι + Z

)hux

)

+ϑhgµ√

(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2 ≤ 0.

(75)Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 34

—LAT EXprosper—

Schéma de reconstruction hydrostatique

⊲ Notons U = (h, hu). Considérons un flux numérique F (Ul,Ur, ι, s) pour

le problème à s, ι,Z constants, qui est conservatif (ϑ ≡ 1, pas de

friction).

⊲ Etant donnés Ul ,Ur, sl , ιl ,Zl , sr, ιr,Zr, on définit s∗, ι∗,Z∗ des valeurs

"interface" (en particulier Z∗ = max(Zl ,Zr))

⊲ On définit u∗l = (ul)∗sl→s

∗ , u∗r = (ur)∗sr→s∗ , puis U∗

l = (h∗l , h∗l u

∗l ),

U∗r = (h∗r , h∗r u∗r ), avec

(e + p/h)(h∗l ) =((e + p/h)(hl)ιl + Zl − Z∗

)

+/ι∗,

(e + p/h)(h∗r ) =((e + p/h)(hr)ιr + Zr − Z∗

)

+/ι∗.

(76)

⊲ On définit les flux numériques par

Fl(Ul,Ur,∆Z, ιl , ιr, sl , sr)

=

F0(U∗l ,U

∗r , ι

∗, s∗)(F1(U∗

l ,U∗r , ι

∗, s∗) − I − s∗s∗t

1− |s∗|2

(1

0

)p(h∗l )ι∗

)∗

s∗→sl

+I − sl sl

t

1− |sl |2

(1

0

)p(hl)ιl

(77)


—LAT EXprosper—

Schéma de reconstruction hydrostatique

⊲ Flux à droite :

Fr(Ul,Ur,∆Z, ιl , ιr, sl , sr)

=

F0(U∗l ,U

∗r , ι

∗, s∗)(F1(U∗

l ,U∗r , ι

∗, s∗)− I − s∗s∗t

1− |s∗|2

(1

0

)p(h∗r )ι∗

)∗

s∗→sr

+I − sr sr

t

1− |sr|2

(1

0

)p(hr)ιr

(78)

⊲ Le schéma

Un+1i −Ui +

∆t

∆xiϑi

(F li+1/2 −F r

i−1/2

)= 0 (79)

vérifie :

⊲ la positivité de h sous condition de CFL,

⊲ la consistance pour les solutions régulières,

⊲ la conservativité pour ϑ, ι, Z, s réguliers,

⊲ la propriété well-balanced pour les solutions telles que u = 0,

(e(h) + p(h)/h)ι + Z = cst,

⊲ une inégalité d’entropie conservative semi-discrète (limite ∆t → 0).Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 36

—LAT EXprosper—

Inégalité d’entropie

⊲ Le flux (exact) du système conservatif à s, ι,Z constants est

F(U, ι, s) =

hux

huux +I − s s

t

1− |s|2

(1

0

)p(h)ι

(80)

⊲ Il a le couple entropie/flux d’entropie

η(U, ι, s) = h(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2

2+ he(h)ι,

G(U, ι, s) =

((1− |s|2)|u|2 + (s · u)2

2+ (e(h) + p(h)/h)ι

)hux.

(81)

⊲ Le couple entropie/flux d’entropie pour le système complet est

η(U,Z, ι, s) = η(U, ι, s) + hZ, G(U,Z, ι, s) = G(U, ι, s) + huxZ.

(82)⊲ Si le flux numérique F (Ul,Ur, ι, s) pour le système conservatif admet

une inégalité d’entropie semi-discrète de flux d’entropie numérique

G(Ul ,Ur, ι, s), alors le schéma hydrostatique admet le flux d’entropie

numérique

G(Ul ,Ur,Zl ,Zr , ιl , ιr, sl , sr) = G(U∗l ,U

∗r , ι

∗, s∗) + F0(U∗l ,U

∗r , ι

∗, s∗)Z∗.


—LAT EXprosper—

Commentaires sur le schéma hydrostatique avec courbure

⊲ L’inégalité d’entropie utilise de façon fondamentale la conservation de la

norme dans les courbes intégrales associées à la courbure.

⊲ La consistance utilise la consistance différentielle de ces courbesintégrales.

⊲ La formule des flux numériques est directement inspirée de l’inégalité

d’entropie à satisfaire.

Extensions :

⊲ La friction se traite par la méthode de topographie apparente

⊲ On passe à l’ordre deux par reconstruction de pentes, et définition d’un

flux centré dans le même esprit.

⊲ Le passage en deux dimensions (maillage cartésien) est immédiat.

Le code dénommé shaltop a été utilisé intensivement depuis 2004 (Anne

Mangeney) et s’avère extrêmement robuste.


un solveur well-balanced entropique pour le système de

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