solveur de riemann hllc pour les équations 2d de saint

Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456 445

ISSN 1813-548X, http://www.afriquescience.info

Abdou Wahidi BELLO et al.

Solveur de Riemann HLLC pour les équations 2D de Saint Venant et application a

l'écoulement dans la lagune de Cotonou

Abdou Wahidi BELLO *, Tahirou DJARA et M. Kokou ASSOGBA

Laboratoire d'Electrotechnique de Télécommunication et d'Informatique Appliquée (LETIA), Ecole Polytechnique d'Abomey Calavi (EPAC), University d'Abomey-Calavi, 01 BP 2009 Cotonou, Bénin

_________________ * Correspondance, courriel : [email protected]

Résumé

Nous présentons dans ce papier la résolution des équations de Saint-Venant par la méthode des volumes-

finis. Nous considérons des maillages non-structurés obtenus par le mailleur emc2. L'implémentation

numérique est réalisée par un schéma de volumes finis de type Godunov utilisant le solveur approché de

Riemann HLLC bien adapté pour le traitement des ondes de chocs. Grâce à la propriété d'invariance par

rotation du flux des équations de Saint-Venant, nous montrons que l'étude du cas 2D découle de la bonne résolution du système monodimensionnel des équations de Saint-Venant. Enfin, nous présentons des résultats

numériques des cas-tests de laboratoire ainsi que des résultats de calculs dans la lagune de Cotonou (Rép. Bénin).

Mots-clés : équations de Saint-Venant, volumes finis, solveur de Riemann HLLC, lagune de Cotonou.

Abstract

HLLC Riemann solver for 2D shallow water equations and application to the flow in

the lagoon of Cotonou

We present in this paper the resolution of the shallow water equations by the method volume-finish. We

consider not-structured grids obtained by the maillor emc2. The numerical implementation is carried out by a

diagram of finished volumes of Godunov type using the approximate Riemann solver HLLC adapted well for

the treatment of the shock waves. Thanks to the property of invariance per rotation of the flow of the shallow

water equations, we show that the study of the case 2D rises from the good resolution of the monodimensional

system of the shallow water equations. Lastly, we have numerical results of the case-tests of laboratory as

well as computation results in the lagoon of Cotonou (Rep. Benin).

Keywords : shallow water equations, finite volumes, HLLC Riemann solver, lagoon of Cotonou.

1. Introduction

La ville de Cotonou est dans une cuvette ceinturée de plans d'eau et traversée du nord au sud par un chenal,

la Lagune de Cotonou, creusé par les Français en 1855. Cette lagune fait 6500 m de long sur 350 m de large

et relie le lac Nokoué à l'océan Atlantique (Figure 1). Les quelques ouvrages d'assainissement dont dispose

446 Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456


la ville sont généralement en bordure des routes et, pour la plupart, connectés au chenal. Les écoulements

d'un tel réseau d'adduction sont des écoulements à surface libre, en eaux peu profondes (shallow water) et sont alors régis par un système bidimensionnel des Équations de Saint-Venant. Ces Équations sont obtenues

à partir des équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible en faisant l'hypothèse de pression

hydrostatique, de vitesses uniformes suivant la verticale, d'un fond et d'une surface libre imperméables.

Figure 1 : Chenal de Cotonou

(Source : google map)

Le modèle peut être écrit sous sa forme conservative comme suit :

𝜕𝑤

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥𝐹(𝑤) +

𝜕

𝜕𝑦𝐺(𝑤) = 𝑆(𝑤) ; (𝑥, 𝑦) ∈ Ω, 𝑡 ≥ 0 (1)

𝑤 = (ℎ

ℎ𝑢ℎ𝑣

) ;

𝐹(𝑤) = (

𝑞𝑞2

ℎ+

1

2𝑔ℎ2

𝑞𝑟

ℎ

) ; 𝐺(𝑤) = (

𝑟𝑞𝑟

ℎ

𝑟2

ℎ+

1

2𝑔ℎ2

) ; 𝑆(𝑤) = (

0

−𝑔ℎ𝜕𝑎

𝜕𝑥− 𝑔ℎ𝑆𝑓

𝑥

−𝑔ℎ𝜕𝑎

𝜕𝑦− 𝑔ℎ𝑆𝑓

𝑦

)

𝑞 = ℎ𝑢 ; 𝑟 = ℎ𝑣 ; �⃗� = (𝑞, 𝑟).

Le système (1) décrit l'écoulement au temps 𝑡 en un point (𝑥, 𝑦) ∈ Ω, où ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡) représente la

hauteur d'eau au point (𝑥, 𝑦) à l'instant 𝑡 (mésurée de la topographie du fond à la surface libre de l'eau),

Ω désigne la projection du domaine occupé par l'eau sur un plan horizontal de référence 𝑥𝑦 et 𝑎(𝑥, 𝑦) est

la topographie du milieu au point (𝑥, 𝑦). (𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑡)) est le système de coordonnées de la

vitesse �⃗� (qui est horizontale dans l'hypothèse Saint-Venant) et 𝑔 est l'accélération gravitationelle.

Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456 447


Figure 2 : Représentation géométrique des variables des équations de Saint-Venant

Dans (1), le terme source se compose de deux parties : les pentes topographiques dans les directions de 𝑥 et

𝑦 données respectivement par 𝜕𝑎

𝜕𝑥,

𝜕𝑎

𝜕𝑦 et le terme de frotement 𝑆𝑓

𝑥 et 𝑆𝑓𝑦

dans les mêmes directions. Le

terme de frottement est exprimé en utilisant les lois empiriques de Manning :

𝑆𝑓𝑥 =

𝑛2𝑢√𝑢2+𝑣2

ℎ4/3 ; 𝑆𝑓

𝑦=

𝑛2𝑣√𝑢2+𝑣2

ℎ4/3 (2)

où, 𝑛 représente le coefficient de rugosité de Manning.

2. Matériel et méthodes

La démarche méthodologique adoptée dans le cadre de cette étude a consisté en l’intégration numérique (1), le

maillage du domaine de la Lagune de Cotonou, le traitement des données, l’analyse et l’interprétation des résultats.

2-1. Bilan des équations

Le traitement numérique du système (1) se fait en deux étapes : traitement des équations sans le terme

source puis traitement du terme source. En supposant le terme source nul, le système (1) s'écrit :

𝜕𝑤

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥𝐹(𝑤) +

𝜕

𝜕𝑦𝐺(𝑤) = 0 (3)

Le système (3) peut se mettre sous forme non-conservative :

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝐴(𝑤)

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝐵(𝑤)

𝜕𝑤

𝜕𝑦= 0 (4)

où, 𝐴(𝑤) =𝜕𝐹(𝑤)

𝜕𝑤et 𝐵(𝑤) =

𝜕𝐺(𝑤)

𝜕𝑤 désignent respectivement les matrices jacobiennes de 𝐹(𝑤)

et 𝐺(𝑤).

448 Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456


L’intégration numérique des équations 2D de Saint-Venant découle de la résolution du système

monodimensionnel des équations de Saint-Venant grâce à la propriété d'invariance par rotation du flux de ces

Équations. En effet : Soit 𝑤: Ω × [0, T] → ℋ, (𝑥, 𝑦, 𝑡) ↦ 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡)une solution régulière de (4);

𝑅𝜃 la rotation plane d'angle 𝜃 de Ω :

𝑅𝜃 (ℎ𝑞𝑟

) = (1 0 00 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃0 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

) (ℎ𝑞𝑟

) (5)

Pour tout (𝜃, 𝑤) ∈ ℝ × ℋ, avec les mêmes notations que dans (1), on pose :

Φ(𝜃, 𝑤) = (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹(𝑤) + (𝑠𝑖𝑛𝜃)𝐺(𝑤) (6)

Alors on a :

∀(𝜃, 𝑤) ∈ ℝ × ℋ, Φ(𝜃, 𝑤) = 𝑅𝜃[𝐹(𝑅−𝜃)(𝑤)] (7)

Pour les conditions aux limites, on désigne par Γ le bord du domaine Ω et �⃗⃗� la normale extérieure unité de

Ω. Le bord Γ se décompose comme suit :

Γ = Γ𝑖𝑛 ∪ Γ𝑜𝑢𝑡 ∪ Γ𝑐 (8)

avec, 𝛤𝑖𝑛 désignant une frontière ouverte où le flux est entrant, 𝛤𝑜𝑢𝑡 une frontière ouverte où le flux est

sortant et 𝛤𝑐 correspond à une frontière fermée.

Sur Γ𝑖𝑛, nous imposons un débit 𝑞𝑖𝑛 et une condition de Neumann homogène sur la hauteur d'eau :

(�⃗� ∙ �⃗⃗�)|Γ𝑖𝑛(t) = 𝑞𝑖𝑛(t) , (

𝜕ℎ

𝜕�⃗⃗�)

|Γ𝑖𝑛

(t) = 0, ∀𝑡 ∈]0, 𝑇] (9)

où, (𝜕ℎ

𝜕�⃗⃗�)

|𝛤𝑖𝑛

(𝑡) ≡ �⃗⃗�(𝑥, 𝑦) ∙ 𝛻ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡)|𝛤𝑖𝑛

Sur Γ𝑜𝑢𝑡 , nous imposons :

soit un niveau d’eau 𝑧𝑜𝑢𝑡 :

h𝑜𝑢𝑡(t) = z𝑜𝑢𝑡(t) − 𝑎|Γ𝑜𝑢𝑡(t) ; (

𝜕(�⃗⃗�∙�⃗⃗�−√𝑔ℎ)

𝜕�⃗⃗�)

|Γ𝑜𝑢𝑡

(t) = 0, ∀𝑡 ∈]0, 𝑇] (10)

soit une condition de Neumann homogène sur la hauteur et le débit d'eau :

(𝜕ℎ

𝜕�⃗⃗�)

|Γ𝑜𝑢𝑡

(t) = 0 ; (𝜕𝑞

𝜕�⃗⃗�)

|Γ𝑜𝑢𝑡

(t) = 0 ∀𝑡 ∈]0, 𝑇] (11)

Sur le bord Γ𝑐 , on impose une condition de glissement parfait sur la vitesse et une condition de

Neumann homogène sur la hauteur d'eau :

(�⃗� ∙ �⃗⃗�)|Γ𝑐(t) = 0 , (

𝜕ℎ

𝜕�⃗⃗�)

|Γ𝑐

(t) = 0, ∀𝑡 ∈]0, 𝑇] (12)

Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456 449


2-2. Intégration numérique

Pour l'approximation de (1) on discrétise le domaine de calcul Ω par un maillage composé de cellules

quadrangulaires 𝐾𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 telles que :

Ω = ⋃𝑖∈𝐼

𝐾 ;

𝐾𝑙⋂𝐾𝑗 = ∅, ∀(𝑙, 𝑗) ∈ 𝐼2, 𝑙 ≠ 𝑗 ;

Le bord 𝜕𝐾𝑖 de chaque cellule 𝐾𝑖 se décompose en 4 interfaces 𝑎𝑖𝑗 , 𝑗 = 1, 2, 3, 4 ;

si 𝑎𝑖𝑗 est une interface (arête) du bord 𝜕𝐾𝑖 du quadrangle 𝐾𝑖 , il existe un unique quadrangle 𝑅

tel que 𝑎𝑖𝑗 = 𝐾𝑖⋂𝑅,

Figure 3 : Cellules adjacentes du maillage

Nous considérons la notation vectorielle symbolique : ℱ⃗⃗(𝑤) = (𝐹(𝑤), 𝐺(𝑤)) et nous allons intégrer (1)

sur 𝐾𝑖 . Pour cela notons : �⃗⃗�𝑖𝑗(𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖𝑗 , 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖𝑗) le vecteur normal unitaire extérieur à la 𝑗𝑖è𝑚𝑒 arête

𝑎𝑖𝑗 de 𝐾𝑖𝑗 , formant un angle 𝜃𝑖𝑗 avec l'axe des abscisses. On a :

∫𝜕𝑤

𝜕𝑡𝑑Ω

𝐾𝑖+ ∫ ∇ ∙ ℱ⃗⃗(𝑤)𝑑Ω

𝐾𝑖= ∫ 𝑆(𝑤)𝑑Ω

𝐾𝑖 (13)

En appliquant la formule de Green-Ostrogradski au volume de contrôle 𝐾𝑖 de bord 𝜕𝐾𝑖 et la propriété

d’invariance de flux (7), le terme de flux devient :

∫ ∇ ∙ ℱ⃗⃗(𝑤)𝑑Ω𝐾𝑖

= ∑ ∫ 𝑇𝜃𝑖𝑗[𝐹(𝑇−𝜃𝑖𝑗

(𝑤))] 𝑑s𝑎𝑖𝑗

4𝑗=1 (14)

La méthode des volumes finis repose sur le fait qu'à chaque instant, la solution 𝑤 est constante par cellule.

En notant |𝐾𝑖| l'aire de la cellule 𝐾𝑖 , nous définissons la moyenne de 𝑤 sur chaque cellule 𝐾𝑖 :

𝑤𝑖 =1

|𝐾𝑖|∫ 𝑤𝑑Ω

𝐾𝑖 (15)

450 Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456


Par un solveur de Riemann approché, nous allons calculer une approximation du flux (14) à travers chaque

arête 𝑎𝑖𝑗 à partir de 𝑤𝑖 et de 𝑤𝑖(𝑗), valeur moyenne de 𝑤𝑖 sur le volume adjacent 𝐾𝑖(𝑗) ≡ 𝑅 à 𝐾𝑖 par

l'arête 𝑎𝑖𝑗 (Figure 3).

En posant 𝑊 = 𝑇−𝜃𝑖𝑗(𝑤), 𝑊𝐿 = 𝑇−𝜃𝑖𝑗

(𝑤𝑖), 𝑊𝑅 = 𝑇−𝜃𝑖𝑗(𝑤𝑖(𝑗)), �̂�(𝑊𝐿, 𝑊𝑅)le flux normal

moyen et 𝑆𝑖 une approximation 𝑆(𝑤) sur 𝐾𝑖 , nous obtenons alors le schéma numérique suivant :

𝑤𝑖𝑛+1 = 𝑤𝑖

𝑛 −∆𝑡

|𝐾𝑖|∑ |𝑎𝑖𝑗|4

𝑗=1 𝑇𝜃𝑖𝑗[�̂�(𝑊𝐿

𝑛, 𝑊𝑅𝑛)] + ∆𝑡𝑆𝑖

𝑛 (16)

où, 𝑤𝑖𝑛 est l'approximation au temps 𝑡𝑛 = 𝑛∆𝑡 de 𝑤𝑖 .

Une analyse de stabilité sur les équations linéarisées fournit la restriction 𝐶𝐹𝐿 suivante [3] :

𝐶𝐹𝐿 = ∆𝑡max (‖�⃗⃗�‖+𝑐)

min (𝑑𝐿,𝑅) ≤ 1 (17)

où, 𝑑𝐿,𝑅 est la distance entre le centre du volume 𝐿 et le centre de sa face qui la sépare du volume 𝑅.

Il reste à déterminer pour chaque interface de la cellule 𝐾𝑖 choisie, et à chaque instant 𝑡𝑛, le flux discret

�̂�(𝑊𝐿𝑛, 𝑊𝑅

𝑛) à travers l'interface considérée.

2-3. Calcul du flux numérique à travers les interfaces des cellules

Nous avons à résoudre à chaque interface le problème de Riemann auquel conduit le modèle 1D des

Équations de Saint-Venant couplé de la condition initiale :

ℛ(𝑊𝐿, 𝑊𝑅): {

𝜕𝑊

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥𝐹(𝑊) = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0

𝑊(𝑥, 0) = {𝑊𝐿 , 𝑥 < 0𝑊𝑅 , 𝑥 > 0

(18)

D'après [1], la moyenne de la solution 𝑊 du problème de Riemann ℛ(𝑊𝐿 , 𝑊𝑅) dans la région

intermédiaire est :

𝑊ℎ𝑙𝑙 =𝑆𝑅𝑊𝑅−𝑆𝐿𝑊𝐿+𝐹𝐿−𝐹𝑅

𝑆𝑅−𝑆𝐿 (19)

2-4. Solveur de Riemann approché HLLC

Le solveur approché HLLC [9] est une modification du solveur HLL qui prend désormais en compte la présence

de l'onde de choc dans la solution du problème de Riemann ℛ(𝑊𝐿, 𝑊𝑅) ("C" étant mis pour Contact).

Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456 451


Figure 4 : Solveur de Riemann Approché HLLC

On suppose connues les vitesses d'ondes 𝑆𝐿, 𝑆𝑅 , 𝑆∗ et on pose 𝐹𝐾 = 𝐹(𝑊𝐾), 𝐹𝐾∗ = 𝐹(𝑊𝐾

∗), 𝐾 = 𝐿, 𝑅

L’analyse du problème de Riemann ℛ(𝑊𝐿 , 𝑊𝑅) permet d’imposer les contraintes :

ℎ𝐿∗ = ℎ𝑅

∗ ≡ ℎ∗

𝑣𝐿∗ = 𝑣𝑅

∗ = 𝑆∗

𝑣𝐿∗ = 𝑣𝐿

𝑣𝑅∗ = 𝑣𝑅

} (20)

Dans contient le flux à travers l'interface entre 𝑊𝐿 et 𝑊𝑅 du schéma (16) par :

�̂�ℎ𝑙𝑙𝑐(𝑊𝐿, 𝑊𝑅) = {

𝐹𝐿 , 𝑠𝑖 𝑆𝐿 ≥ 0 𝐹𝐿

∗, 𝑠𝑖 𝑆𝐿 ≤ 0 ≤ 𝑆∗

𝐹𝑅∗, 𝑠𝑖 𝑆∗ ≤ 0 ≤ 𝑆𝑅

𝐹𝑅 , 𝑠𝑖 𝑆𝑅 ≤ 0

(21)

𝑆∗ =𝑆𝐿ℎ𝑅(𝑢𝑅−𝑆𝑅)−𝑆𝑅ℎ𝐿(𝑢𝐿−𝑆𝐿)

ℎ𝑅(𝑢𝑅−𝑆𝑅)−ℎ𝐿(𝑢𝐿−𝑆𝐿) (22)

3. Résultats et discussion

3-1. Rupture partielle de barrage

Ce cas-test consiste à étudier l'écoulement torrentiel d\^u à une rupture partielle et asymétrique de barrage.

Il est largement utilisé par de nombreux modélisateurs ([2, 4 - 6], etc.) pour valider leurs modèles de rupture

de barrage. L'intérêt particulier de ce problème est que sa solution est caractérisée par :

une onde de choc qui se propage vers l'aval en y augmentant brusquement la hauteur d'eau et se

modifie par une onde de réflexion (lorsqu'elle se heurte à la paroi) ;

une onde de raréfaction (de dépression), qui se déplace vers l'amont en y diminuant la hauteur d'eau,

souvent décrite comme choc de raréfaction.

452 Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456


Figure 5 : Rupture partielle de barrage : Géométrie du bassin

Nous étudions un bassin de 200 m de large, 200 m de long et de fond plat, sans frottement. L'eau est retenue

dans la partie gauche du bassin. On suppose qu'à 𝑡 = 0, brusquement le barrage du réservoir est en rupture

partielle et non symétrique sur une longueur de 75 m. L'épaisseur du barrage est de 10 m sur la direction des

écoulements. La Figure 5 donne une description géométrique de ce problème.Un rapport de ℎ2/ℎ1 = 0.5

est initialement fixé avec ℎ1 = 10𝑚 comme hauteur d'eau dans le réservoir et ℎ2 = 5𝑚 comme hauteur

d'eau en aval du barrage. L'eau dans le bassin est en repos à 𝑡 = 0, c'est-à-dire 𝑢 = 𝑣 = 0 partout. Le

bassin est fermé sur les quatre côtés. Une condition de "non glissement" est imposée à toutes les parois.

Comme dans [6], le domaine étudié a été discrétisé en 1600 carrés dont le pas d'espace est régulièrement

fixé à ∆𝑥 = 5𝑚. Le pas de temps ∆𝑡 = 0.01𝑠 pour toutes les simulations. La durée de simulation est de

10.2𝑠 comptée à partir de la rupture de barrage. La Figure 6 présente les résultats obtenus par le modèle

proposé aux instants 2.2 s, 4.2 s, 6.2 s, 7.1 s, 7.2 s, 8.2 s et 10.2 s :

Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456 453


Figure 6 : Rupture partielle de barrage

A t = 7.1 s, le front d'onde est parvenu jusqu'à la paroi gauche du bassin ; le front est bien développé dans

la partie centrale en aval. Ces résultats semblent très similaires à ceux présentés par les études existantes

et précédemment mentionnées. Nous remarquons un haussement très léger de la surface libre au niveau du

front d'onde. On observe également ce haussement dans [6]. Les résultats obtenus par le modèle proposé

sont très comparables aux résultats de [6].

3-2. Chute d'eau d'un bassin

Le deuxième problème est l'un des cas-tests du code de Telemac développé à EDF / LNHE et présenté dans [7]; il

concerne une baisse de l'eau dans un bassin carré et la solution finale est observée après quelques réflexions

sur les bords du bassin. Le bassin est une boîte 20 × 20 𝑚2 avec un fond plat. Initialement, l'élévation

d'eau du bassin est définie par :

ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡 = 0) = 2.4(1 + 𝑒−0.25[(𝑥−10.05)2+(𝑦−10.05)2]) (23)

et l'eau dans le bassin est au repos, c'est-à-dire 𝑢 = 𝑣 = 0 partout.

Le bassin est fermé sur les quatre côtés. Une condition de "non glissement" est imposée à toutes les parois.

Le domaine étudié a été discrétisé en 35282 triangles grâce au logiciel d'Edition de Maillages et contours

bidimensionnels 𝐸𝑀𝐶2 [8]. Le pas de temps est ∆𝑡 = 0.001𝑠. La durée totale de simulation est de

𝑇 = 4𝑠 comptée à partir de la première solution (Figure 7-a). La solution initiale (t = 0s) et les résultats

obtenus par notre modèle à t = 1 s, 2 s, 3 s et 4 s, respectivement sont représentés par la Figure 7. Ces

résultats obtenus par notre modèle sont très comparables à ceux présentés dans [7].

454 Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456


Figure 7 : Chute d'eau d'un bassin

3-3. Simulation numérique de l’écoulement dans la lagune de Cotonou

Dans ce troisième cas-test, nous considérons l'écoulement la lagune de Cotonou. Nous faisons l'hypothèse

d'un fond plat, des vitesses initiales sont nulles et le niveau du barrage placé à 3000 m. Le maillage du

domaine de la Lagune de Cotonou par le logiciel 𝐸𝑀𝐶2 [8].

Figure 8 : Maillage de la lagune de Cotonou : 2 triangles, 1135 quadrangles, 240 arêtes

Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456 455


La hauteur d'eau initiale est de 2 m avant le barrage et 1.5 m après. Les observations sont réalisées à 1 mn,

3 mn, 5 mn et 10 mn et sont représentées par la Figure 9. Elles montrent une bonne stabilité du schéma

numérique hllc utilisé.

Figure 9 : Hauteur d'eau de la lagune de Cotonou au Bénin

4. Conclusion

Nous avons présenté dans cet article, l'extension des résultats obtenus dans [1] au cas bidimensionnel. Nous

avons réalisé l'implémentation numérique par un schéma de volumes finis de type Godunov utilisant le

solveur approché de Riemann HLLC bien adapté pour le traitement des ondes de chocs. Grâce à la propriété

d'invariance par rotation du flux des équations de Saint-Venant, nous avons montré que l'étude du cas 2D

découle de la bonne résolution du système monodimensionnel. Des cas tests réalisés nous ont donné des

résultats satisfaisants avec une bonne stabilité du schéma numérique lors des simulations des écoulements

dans la lagune de Cotonou (Rép. Bénin).

456 Afrique SCIENCE 13(5) (2017) 445 - 456


Références

[1] - A.-W. BELLO, T. DJARA and A. GOUDJO, Un solveur hllt pour les équations de Saint-Venant et traitement

des confluences et des inondations, Journal de la recherche scientifique de l’Université de Lomé,

ISSN : 1727-8651], (2016), http://www.ajol.info/index.php/jrsul/issue/view/14675 [2] - A. I. DELIS and TH. KATSAOUNIS, Numerical solution of the two-dimensional shallow water equations

by the application of relaxation methods, Applied Mathematical Modeling, Vol. 29, (2005) 754 - 783 p. [3] - K. S. ERDURAND AND V. KUTIJA and C. J. M. HEWETT, Performance of finite volume solutions to the

shallow water equations with shock-capturing schemes, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 40 (2002) 1237 - 1273 p.

[4] - S. GUILLOU, Résolution des équations de saint-venant pour les écoulements côtiers Univ Européenne, (2010)

[5] - Y. LOUKILI and A. SOULAIMANI, Numerical tracking of shallow water waves by the unstructured

finite volume WAF approximation, Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering,

Vol. 8, (2007) 1 - 14 p. [6] - M. LA ROCCA, A. MONTESSORI, P. PRESTININZI and S. SUCCI, A multispeed Discrete Boltzmann Model

for transcritical 2D shallow water flows, Journal of Computational Physics, (2015) [7] - N. RAFIFE, How to improve the numerical reproducibility of hydrodynamics simulations : analysis and

solutions for one open source HPC software, Université de Perpigan Via Domitia (2016),

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01418384/file/main.pdf [8] - E. SATELl and F. HECHT, EMC2 : Un logiciel d'édition de maillages et de contours bidimensionnels, INRIA

Research Report, 74 (2006) [9] - E.- F. TORO, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics : A Pratical Introduction,

Springer, (2009)

solveur de riemann hllc pour les équations 2d de saint

Documents