un mod¨le num©rique d'endommagement ductile orthotrope pour les transformations finies

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Numéro d'ordre 011SAL00 Année 2002

Thèse

Un modèle numérique d'endommagement ductile orthotropepour des transformations nies

Présentée devantL'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Pour obtenirLe grade de docteur

Formation doctorale : Génie MécaniqueÉcole doctorale : MEGA

ParCyril BORDREUIL

Soutenue le 31 octobre 2002 devant la commission d'examen

JURY MM.

Rapporteur Jacques BESSON Chargé de RechercheDirecteur Jean-Claude BOYER Professeur

Michel BRUNET ProfesseurRapporteur Jean-Claude GÉLIN Professeur

Jean-Claude MICHEL Chargé de RecherchePrésident François SIDOROFF Professeur

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MARS 2002INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Directeur : STORCK.A

Professeurs :AUDISIO S. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEBABOT D. CONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENT IONISANTSBABOUX J.C. GEMPPM***BALLAND B. PHYSIQUE DE LA MATIEREBAPTISTE P. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSBARBIER D. PHYSIQUE DE LA MATIEREBASTIDE J.P. LAEPSI****BAYADA G. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEBENADDA B. LAEPSI****BETEMPS M. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEBIENNIER F. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSBLANCHARD J.M. LAEPSI****BOISSON C. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEBOIVIN M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES SOLIDESBOTTA H. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement UrbainBOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement UrbainBOULAYE G. (Prof. émérite) INFORMATIQUEBOYER J.C. MECANIQUE DES SOLIDESBRAU J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du bâtimentBREMOND G. PHYSIQUE DE LA MATIEREBRISSAUD M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEBRUNET M. MECANIQUE DES SOLIDESBRUNIE L. INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONBUREAU J.C. CEGELY*CAVAILLE J.Y. GEMPPM***CHANTE J.P. CEGELY*- Composants de puissance et applicationsCHOCAT B. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaineCOMBESCURE A. MECANIQUE DES CONTACTSCOUSIN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresDAUMAS F. (Mme) CETHIL - Energétique et ThermiqueDOUTHEAU A. CHIMIE ORGANIQUEDUFOUR R. MECANIQUE DES STRUCTURESDUPUY J.C. PHYSIQUE DE LA MATIEREEMPTOZ H. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONESNOUF C. GEMPPM***EYRAUD L. (Prof. émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEFANTOZZI G. GEMPPM***FAVREL J. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSFAYARD J.M. BIOLOGIE APPLIQUEEFAYET M. MECANIQUE DES SOLIDESFERRARIS-BESSO G. MECANIQUE DES STRUCTURESFLAMAND L. MECANIQUE DES CONTACTSFLORY A. INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONFOUGERES R. GEMPPM***FOUQUET F. GEMPPM***FRECON L. INFORMATIQUEGERARD J.F. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESGERMAIN P. LAEPSI****GIMENEZ G. CREATIS**GOBIN P.F. (Prof. émérite) GEMPPM***GONNARD P. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEGONTRAND M. CEGELY*- Composants de puissance et applicationsGOUTTE R. (Prof. émérite) CREATIS**GOUJON L. GEMPPM***GOURDON R. LAEPSI****.GRANGE G. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEGUENIN G. GEMPPM***GUICHARDANT M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEGUILLOT G. PHYSIQUE DE LA MATIEREGUINET A. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSGUYADER J.L. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEGUYOMAR D. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEHEIBIG A. LAB. MATHEMATIQUE APPLIQUEES LYON JACQUETRICHARDET G. MECANIQUE DES STRUCTURESJAYET Y. GEMPPM***JOLION J.M. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONJULLIEN J.F. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresJUTARD A. (Prof. émérite) AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEKASTNER R. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - GéotechniqueKOULOUMDJIAN J. INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONLAGARDE M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIELALANNE M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES STRUCTURESLALLEMAND A. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermiqueLALLEMAND M. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermiqueLAREAL P. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - GéotechniqueLAUGIER A. PHYSIQUE DE LA MATIERELAUGIER C. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIELEJEUNE P. GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES

3

LUBRECHT A. MECANIQUE DES CONTACTSMAZILLE H. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEMERLE P. GEMPPM***MERLIN J. GEMPPM***MIGNOTTE A. (Mle) INGENIERIE, INFORMATIQUE INDUSTRIELLEMILLET J.P. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEMIRAMOND M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaineMOREL R. MECANIQUE DES FLUIDESMOSZKOWICZ P. LAEPSI****MOURA A. GEMPPM***NARDON P. (Prof. émérite) BIOLOGIE APPLIQUEENIEL E. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLENORTIER P. DREPODET C. CREATIS**OTTERBEIN M. (Prof. émérite) LAEPSI****PARIZET E. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEPASCAULT J.P. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESPAVIC G. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEPELLETIER J.M. GEMPPM***PERA J. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - MatériauxPERRIAT P. GEMPPM***PERRIN J. ESCHIL - Equipe Sciences Humaines de l'Insa de LyonPINARD P. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIEREPINON J.M. INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONPONCET A. PHYSIQUE DE LA MATIEREPOUSIN J. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEPREVOT P. GRACIMP - Groupe de Recherche en

Apprentissage, Coopération et Interfaces Multimodales pour la ProductiquePROST R. CREATIS**RAYNAUD M. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et MatériauxREDARCE H. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEREYNOUARD J.M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresRIGAL J.F. MECANIQUE DES SOLIDESRIEUTORD E. (Prof. émérite) MECANIQUE DES FLUIDESROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. émérite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESROUBY D. GEMPPM***ROUX J.J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique de l'HabitatRUBEL P. INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONRUMELHART C. MECANIQUE DES SOLIDESSACADURA J.F. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et MatériauxSAUTEREAU H. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESSCAVARDA S. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLESOUIFI A. PHYSIQUE DE LA MATIERESOUROUILLE J.L. INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLETHOMASSET D. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEUBEDA S. CENTRE D'INNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICESTHUDEROZ C. ESCHIL - Equipe Sciences Humaines de l'Insa de LyonUNTERREINER R. CREATIS**VELEX P. MECANIQUE DES CONTACTSVIGIER G. GEMPPM***VINCENT A. GEMPPM***VRAY D. CREATIS**VUILLERMOZ P.L. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE

Directeurs de recherche C.N.R.S. :BERTHIER Y. MECANIQUE DES CONTACTSCONDEMINE G. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUECOTTE-PATAT N. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEFRANCIOSI P. GEMPPM***MANDRAND M.A. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEPOUSIN G. BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIEROCHE A. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESSEGUELA A. GEMPPM***

Directeurs de recherche I.N.R.A. :FEBVAY G. BIOLOGIE APPLIQUEEGRENIER S. BIOLOGIE APPLIQUEERAHBE Y. BIOLOGIE APPLIQUEE

Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. :PRIGENT A.F. (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIEMAGNIN I. (Mme) CREATIS**

* CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D'APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L'IMAGE ET DU SIGNAL***GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX

****LAEPSI LABORATOIRE D'ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS

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RemerciementsJe remercie Jean-Claude Boyer pour son aide et ses idées issues d'une longue expérience

sur l'endommagement ductile.Je remercie François Sidoro, pour le temps qu'il a pu nous consacré, les conseils et

les questions qui ont permis d'améliorer ce travail.Je remercie Jean-Claude Gélin et Jacques Besson pour avoir accepté sans hésitation

de rapporter mon travail.Je remercie les taroteurs fous (Chouchou, Hélène, Laurent, Ivan, Arnaud, Bébert,

Pédro) et les amateurs de Morgon et de Vacqueyras (Chouchou et Laurent (encore eux)).Je remercie Eric Maire pour sa disponibilité lors de la vérication du modèle et Laurent

Babout pour le don de son matériau modèle.Je remercie également les membres du laboratoires (Manue et Fabrice) pour leurs

aides.

Table des matières

1 Introduction 151.1 Cadre du Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Phénomènes physiques de l'endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Nucléation-Germination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Coalescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Potentiel Plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Originalité du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Outils théoriques 212.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Cinématique du milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Opérations tensorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3 Conguration/Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.4 Tenseurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.5 Taux de déformation et Taux de rotation . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.6 Décomposition du gradient de la transformation . . . . . . . . . . . 26

2.3 Objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Représentation des fonctions isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Concepts généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2 Applications aux comportements anisotropes . . . . . . . . . . . . . 312.4.3 Applications à l'orthotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.4 Dérivées des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Thermodynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1 Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.2 Diérentes mesures de déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.3 Grandeurs conjuguées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Variables internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5

6 TABLE DES MATIÈRES

3 Croissance de Cavités 513.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Passage méso/macro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1 La cellule unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.2 Contrainte macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.3 Déformation macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Transformation d'une géométrie elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1 Caractéristiques d'un ellipsoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.2 Transformation des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.3 Forme taux des changements de caractéristiques . . . . . . . . . . . 55

3.4 Principe de Rice et Tracey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.2 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.3 Solution originale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.4 Approximation pour des hauts taux de triaxialité . . . . . . . . . . 643.4.5 Comparaison des comportements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.6 Cas d'un contact inclusion-matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.7 Forme de Thomason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5 Modèle éléments nis pour la croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.6 Rotation de la cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6.1 Théorie de la rotation plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.6.2 Identication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6.3 Comportement du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Loi d'écoulement plastique 894.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Modélisation de l'endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.1 La variable d'endommagement : D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2.2 Changement de métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2.3 Fraction volumique/rapports de forme . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Modèles de Gurson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3.1 Cavités sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3.2 Cavités elliptiques axisymmétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.3 Prise en compte d'une inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.4 Matrice orthotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4 Modèles du LMSo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4.1 Dissipation et normalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4.2 Potentiel plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4.3 Cas des cavités sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4.4 Cas des cavités elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.5 Comparaison des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.6 Contact matrice/Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4.7 Orientation quelconque d'un ellipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4.8 Écrouissage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

TABLE DES MATIÈRES 7

4.4.9 Orthotropie de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5 Écriture dans la conguration intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Intégration numérique 1155.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2 Objectivité incrémentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.1 Passage taux/incrément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3 Schémas locaux de plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.1 Algorithme de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.3.2 Simo et Ortiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3.3 Ortiz et Popov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.3.4 Algorithme implicite à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4 Intégration des variables internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.4.1 caractéristiques du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.4.2 Déformation plastique équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.4.3 Fraction volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4.4 Intégration des rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4.5 Variables d'orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.5 Algorithme d'Aravas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.6 P.O.L.L.U.X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.7 Programmation dans ABAQUS/Standard c© . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.7.1 Méthode de résolution de la plasticité locale . . . . . . . . . . . . . 1265.7.2 Matrice cohérente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6 Exemples 1316.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2 Changements d'orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.2.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2.2 Algorihtme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.3 Ecrasement d'un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.3.1 Schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3.2 Temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.3.3 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.4 Ecrasement d'un lopin tridimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4.1 Modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4.2 Résulats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.4.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.5 Application à une gamme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.5.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.5.2 Les phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8 TABLE DES MATIÈRES

6.5.3 Simulations et Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7 Conclusion 1617.1 Travail établi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A Sous-Routine UMAT 163A.1 Plasticité compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163A.2 Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B Linéarisation du modèle proposé 165B.1 Ensemble d'équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

C Rotations des tenseurs du second ordre 169

D Réduction d'une fonction orthotrope 171D.1 Représentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171D.2 Réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

E Linéarisation du potentiel 173

Liste des tableaux

2.1 Quelques invariants pour diérentes combinaisons de variables . . . . . . . 302.2 Quelques générateurs pour une fonction isotrope du second ordre anti-

symétrique pour quelques variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 Quelques générateurs pour une fonction isotrope du second ordre symé-

trique pour quelques variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Générateurs pour fonctions tensorielles symétriques et anti-symmétriques

orthotropes par rapport à D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Algorithme pour la résolution avec une décomposition multiplicative ciné-

matique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1 Résultats pour diverses rapports de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2 Paramètres de la fonction de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1 Algorithme de résolution de la plasticité proposé par Simo et Ortiz . . . . 1195.2 Calcul de la matrice tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.1 Algorithme à deux niveaux de résolution avec variables internes d'orientations1336.2 Comparaison des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.3 Algorithme à deux niveaux de résolution pour le potentiel spécique . . . . 1376.4 Temps de calcul suivant les deux algorithmes lors de l'écrasement d'un

élément de 50% de sa hauteur. Fraction initiale de 2.5% pour le premierincrément. Précision 2 niveaux de 1d-7 sur les contraintes. . . . . . . . . . 138

6.5 Propriétés mécaniques du Duraluminium choisi . . . . . . . . . . . . . . . 141

9

10 LISTE DES TABLEAUX

Table des gures

1.1 Courbe d'évolution de la variation relative de densité pour un acier 42CrMo4à 900 degrés Celsius pour diérentes vitesses de déformations.Contrat Anvar/Fortech-Pamiers/Giat-2001. Mesures IRSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Décomposition élasto-plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Dénition de l'estimation élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Déniton des grandeurs induites dans la décomposition multiplicative . . . 402.4 Comparaison des deux formalismes(décomposition additive et multiplica-

tive) dans le cas d'un critère d'écoulement de Gurson, Contrainte moyenneet la fraction volumique, E=200000MPa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Comparaison des deux formalismes(décomposition additive et multiplica-tive) dans le cas d'un critère d'écoulement de Gurson, contrainte de vonMises et Déformation plastique, E=200000MPa . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6 Comparaison des deux formalismes(décomposition additive et multiplica-tive) dans le cas d'un critère d'écoulement de Gurson, Contrainte moyenneet fraction volumique, E=5000MPa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7 Comparaison des deux formalismes(décomposition additive et multiplica-tive) dans le cas d'un critère d'écoulement de Gurson, contrainte de vonMises et Déformation plastique, E=5000MPa . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Évolution bidimensionnelle d'une géométrie elliptique dans une matrice saine 543.2 Résultats originaux de Rice et Tracey pour plusieurs fonctions de courant.

a,dilatation(3A)/comparaison avec la forme analytique proposée ;b,1+Bpartie quantiant le changement de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Résultats du principe de Rice et Tracey pour diérentes fractions volumiques. 633.4 Résolution du problème anisotrope. a, Comparaison du modèle anisotrope

proposé. b,Modèle isotrope vs. modèle orthotrope de Hill . . . . . . . . . . 673.5 Valeurs des fonctions.a,Pour la modication de Rice et Tracey. b,Fonction

c(k) pour approximation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6 Approximation de la solution numérique pour un écrouissage linéaire pour

les deux intervalles choisies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.7 Comparaison des divers comportements introduits.b, faibles taux de triaxia-

lités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.8 Évolution d'une cavité autour d'une inclusion. Schéma de principe dans le

cas de contact équatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11

12 TABLE DES FIGURES

3.9 Comparaison des diérentes dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.10 Maillage 3D pour la simulation de la croissance de la cavité . . . . . . . . . 743.11 Evolution des rayons d'une cavité dans une matrice. Fraction volumique

initiale de 0.25%. Prédicition par la simulation numérique (num) et celledonnée par la version modiée de Thomason(cal) dans le cas d'une sollici-tation en traction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.12 Evolution des rayons d'une cavité dans une matrice. Fraction volumiqueinitiale de 0.25%. Prédicition par la simulation numérique (num) et celledonnée par la version modiée de Thomason(cal) pour un paramètre deLode de µ = 0.5 et un taux de triaxialité de 2/3. . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.13 Repères introduits dans la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.14 Maillage pour identication du coecient η . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.15 Évolution du paramètre η en fonction du rapport de forme . . . . . . . . . 803.16 Évolution de la fonction f en fonction du rapport de forme. . . . . . . . . . 813.17 Évolution des diérentes caractéristiques au cours de la déformation. *

repère un rapport de 1.25, o de 1.5, + un de 1.75, ♦ un de 2 et ? un de 3 . 823.18 Vitesse d'évolution des rayons des ellipsoïdes pour les divers rapports de

forme. ♦ symbolise le modèle donné par l'équation 3.67 et ? symbolise lecalcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.19 Vitesse d'évolution et rayons des ellipsoïdes pour les divers rapports deforme. ♦ symbolise le modèle donné par l'intégration de 3.67 et ? symbolisele calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.20 Évolution dans une projection stéréographique du repère lié à l'ellipsoïdepar rapport à celui lié à la matière. o désigne la position des axes de lamatière, ¤ la position initiale du repère lié à l'ellipsoïde et * est le suivi del'orientation au cours du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1 Comparaison des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2 Comparaison de Gurson et du modèle LMSo dans le cas de cavités sphériques.1004.3 Comparaison de diérents modèles d'endommagement dans le cas d'un

cisaillement cylindrique plus une pression hydrostatique pour une cavitéellipsoide axisymmétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4 Comparaison du modèle Spécique Sphérique sans inclusion et avec inclu-sion à l'intérieur de la cavité , pour une fraction volumique de 1% . . . . . 104

4.5 Surface d'écoulement tracé pour un cisaillement cylindrique superposé àune contrainte moyenne pour une fraction volumique de 0.1%. . . . . . . . 106

4.6 Inuence de l'orientation pour une cavité ellipsoide pour une fraction vo-lumique de 1%. L'angle th correspond à une rotation autour de l'axe 3 desrayons principales et ph de l'axe 1 de ces directions tournées. . . . . . . . . 108

4.7 Potentiels pour k=0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.8 Potentiel pour un matériau poreux avec les directions d'orthotropie dans

1,2,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1 Interprétation géométrique de l'algorithme proposé dans 5.1. . . . . . . . . 1195.2 Interprétation géométrique de l'algorithme proposé dans 5.1. . . . . . . . . 121

TABLE DES FIGURES 13

5.3 Résolution thermo-mécanique dans P.O.L.L.U.X . . . . . . . . . . . . . 125

6.1 Potentiel de Hill dans les directions principales du chargement pour le mo-dèle exprimé précédemment. Les directions d'orthotropie sont inclinées deπ/4 par rapport à 3. La direction du déviateur suivant 1 est la directionhorizontale. Les contraintes sont normalisées par σ0 . . . . . . . . . . . . . 134

6.2 Problème de résolution pouvant intervenir dans le cas orthotrope, si lamatrice est rigide plastique. On ne peut rabattre sur la surface de charge . 135

6.3 Orientation de q11 repérant l'orientation du repère matériel par rapport aurepère d'orthotropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.4 Contraintes pour les deux types de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.5 Contraintes pour les deux types de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.6 Lopin en 2017 pour l'essai de compression après et avant compression . . . 1406.7 Comportement du 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.8 maillage pour la simulation du lopin tridimensionnelle . . . . . . . . . . . . 1426.9 Fraction volumique pour le modèle de Gurson . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.10 Fraction volumique pour le modèle du LMSo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.11 Orientation q33 de l'ellipsoide dans le repère matériel . . . . . . . . . . . . 1466.12 Rayon dans la direction 1 du repère de l'ellipsoide . . . . . . . . . . . . . . 1476.13 Rayon dans la direction 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.14 Particule cassée dans le lopin en Duraluminium écrasé entre deux tas plats.

Photo :E.Maire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.15 Particule cassée et cavité au voisinage d'une inclusion dans le lopin en

Duraluminium écrasé entre deux tas plats. Photo :E.Maire . . . . . . . . . 1506.16 Matériau modèle [1]. Le matériau est comprimé dans le sens vertical. Photo :E.Maire1516.17 Première Phase de Forgeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.18 Deuxième Phase de Forgeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.19 Troisième Phase de Forgeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.20 Quatrième Phase de Forgeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.21 Cinquième Phase de Forgeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.22 Évolution du rapport de forme au cours des quatres premières phases . . . 1576.23 Évolution de la fraction volumique au cours des quatres premières phases . 1586.24 Évolution des directions au cours des quatres premières phases . . . . . . . 1596.25 Évolution de la fraction volumique et de l'orientation au cours de la dernière

phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.26 Rapport de forme à la n de la mise en forme . . . . . . . . . . . . . . . . 160

14 TABLE DES FIGURES

Chapitre 1

Introduction

Idées directrices : Dans ce chapitre, le travail est situé dans la politique du laboratoireet recalé par rapport aux travaux de la littérature. Les phénomènes physiques de l'en-dommagement sont présentés à ce niveau et ne seront pas revus par la suite. Parmi cesphénomènes, seule la croissance sera étudiée dans ce mémoire puisqu'il est le phénomènedominant lors de grandes transformations plastiques rencontré en mise en forme.

1.1 Cadre du Travail

La thème de la modélisation de l'endommagement est un sujet de travail du Labora-toire de Mécanique des SOlides de l'INSA de Lyon, depuis de nombreuses années. C'estune préoccupation majeure de du thème mise en forme. Les buts à long terme sont d'unepart de pouvoir prédire précisément les limites de mise en forme de diérents produits(produits plats dans le cas de l'emboutissage, lopin massif dans le cas du forgeage) etd'autre part de modéliser l'évolution des défauts sous chargements complexes.

C'est dans le cadre de la modélisation du matricage et de l'estampage que plusieurscontrats (ANVAR,...) ont été contractés par l'équipe Modélisation du Forgeage. Les par-tenaires sont des industriels de l'aéronautique, de l'automobile, du nucléaire et de nom-breux secteurs de la mécanique. Les conditions sévères d'utilisation des pièces fabriquéesdemandent une bonne maîtrise des procédés de fabrication. En particulier, les défauts deporosité(micro-cavités) doivent être limités au maximum pour éviter le rebut de la pièce.Une modélisation se rapprochant des phénomènes physiques est alors indispensable pourpouvoir optimiser l'état nal de la pièce.

Les déformations plastiques subies lors des opérations de forgeage ont des conséquencespour l'utilisation des pièces dans sa vie (obtention des bruts, mise en forme des pièces,fatigue....). Une bonne prédiction des défauts permettra de mieux apprécier la durée devie de la pièce ainsi fabriquée.

C'est dans ce cadre que s'inscrit ce travail.

15

16 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

1.2 Phénomènes physiques de l'endommagementLe processus d'endommagement d'un matériau peut être décomposé en trois étapes

distinctes. La première correspond à la nucléation des défauts, encore appelée germination.Cela correspond à la création des défauts dans la matrice vierge. La seconde correspond àla phase de croissancedes cavités dans le matériau subissant des déformations. La troisièmeest la coalescence de cavités, et correspond au regroupement des micro-défauts menantà l'aaiblissement de la structure par formation de ssures. Si le premier et le dernierphénomène semblent correspondre à des instabilités de la matière tel n'est pas le cas dela phase de croissance.

Tous ces phénomènes peuvent être étudiés à diérentes échelles. La première estl'échelle microscopique. Le comportement du matériau est celui du cristal se déformant parl'intermédiaire des dislocations. La seconde est l'échelle macroscopique. La structure estconsidérée comme un milieu continu. Une partie importante des travaux actuels portentsur les liens entre les échelles micro et macro. La troisième est l'échelle mésoscopique. Lataille de la structure étudiée est susamment grande pour que l'on puisse approcher lecomportement par la mécanique des milieux continus.

1.2.1 Nucléation-GerminationLa nucléation ou germination est étudiée, le plus souvent, suivant deux approches.La première est microscopique et revue en détail dans un article de Goods et Brown

[2]. Il ressort de cet exposé que les cavités se créent essentiellement autour des inclusionsou des particules de seconde phase. Deux types de germination peuvent se créer. Soit unmécanisme de décohésion a lieu entre l'inclusion et la matrice, soit l'inclusion se fragmentesous l'inuence de l'écoulement plastique de la matrice (cas des inclusions "molles").Dans le cas de la décohésion de l'interface, ils proposent une méthode énergétique qui enpremière approche surestime la déformation plastique de nucléation.

La seconde est une étude mésoscopique proposée par Argon et ensuite reprise dansune étude nalisée par Needleman [3]. Le critère mésoscopique d'une cellule est étudié engrandes transformations. Cette étude permet d'établir un comportement en contrainte.

Les études à tempéraures élevées ont été développées par Raj [4] dans le cas du uage.Si cette étude prend bien en compte la physique du matériau, les échelles de temps consi-dérées ne sont pas signicatives pour les opérations de mise en forme.

Un dernier type de modèle proposé (Abeyaratne et Hou [5]), considère la nucléationde cavité dans une matrice incompressible (élastique). Si leur modélisation est élégante,les valeurs obtenues pour la contrainte moyenne de nucléation sont 3 à 4 fois supérieuresà la contrainte d'écoulement du matériau.

1.2.2 CroissanceDiverses échelles peuvent être aussi considérées. La plus commune est l'échelle méso-

scopique. Au niveau expérimental, peu de travaux consistants existent. On trouve cepen-dant quelques mesures sur l'évolution de l'endommagement au cours de la déformation

1.2. PHÉNOMÈNES PHYSIQUES DE L'ENDOMMAGEMENT 17

plastique. Babout et coll. [1] ont procédé à des mesures in-situ sur un matériau mo-dèle formé d'une matrice d'aluminium et d'inclusion indéformable en zircone. Sémiatin etcoll.[6] proposent des mesures de fraction volumique sur des alliages de titane à chaud.On retrouve une démarche identique sur des aciers inoxydables, soumis à des chargementsthermomécaniques. À chaud, on observe que sous l'action de la diusion, les cavités sesphéroîdisent. Une étude d'évolution de l'endommagement sous diérents chargementsthermo-mécaniques et pour diérents matériaux a été réalisée dans le cadre d'un contratréférencé ANVAR (gure 1.1). Il ressort de cette étude qualitative, et pour diérentstypes de matériaux que la variation relative de fraction volumique diminue avec le tauxde déformation et augmente avec la température.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

−3

Déformation plastique/Déformation totale

VR

D

5d−25d−35d−4

Fig. 1.1 Courbe d'évolution de la variation relative de densité pour un acier 42CrMo4à 900 degrés Celsius pour diérentes vitesses de déformations.Contrat Anvar/Fortech-Pamiers/Giat-2001. Mesures IRSID

On remarque pour ces diérents matériaux la sensibilité de l'évolution de l'endomma-gement par rapport au comportement du matériau. Les travaux théoriques modélisent lematériau au niveau mésoscopique. La matrice saine est perturbée par la présence d'unecavité. Les champs mésoscopiques doivent alors être modiés. C'est dans ce contexte queRice et Tracey [7] ont étudié le taux de croissance d'une cavité dans une matrice innie.Le comportement de la matrice est rigide parfaitement plastique. Budiansky, Hutchinsonet Slutsky [8] ont adapté l'étude de Rice et Tracey pour modéliser un matériau visqueux.Depuis, peu de travaux ont étudié la modications de la croissance suivant des modica-tions du comportement. Dans ce travail, on introduira deux nouveaux comportements dematrice, une matrice de matériau écrouissable et une matrice de matériau orthotrope àcritère quadratique de Hill, au niveau du principe de Rice et Tracey.


Un grand nombre d'études numériques a été mené sur la croissance/coalescence àpartir d' éléments nis. On reviendra plus en détail sur ce point, lors de la vérication dumodèle tri-dimensionnel de croissance proposé. On note seulement la contribution la plusexhaustive dans les cas de chargements axisymmétriques due à Koplik et Needleman [9].

1.2.3 CoalescenceDiverses études expérimentales ont été menées. À chaud, on retiendra l'étude de Sto-

well, Livesey et Ridley [10]. Leurs expériences et le modèle proposé donnent de précieusesinformations. L'identication est à faire sur chaque matériau. Une étude théorique estprésentée par Thomason [11]. Il analyse les conditions géométriques au voisinage de deuxcavités pour que la coalescence ait lieu. L'étude de la coalescence est intéressante auniveau de la détermination/prédiction des charges limites de la structure. Si la coales-cence augmente rapidement la fraction volumique, on aaiblit alors considérablement lastructure.

Dans le cas du forgeage, on évite ce stade. La structure ne doit pas être aaiblie parles opérations de mise en forme. On s'intéressera donc uniquement à la croissance. Unpotentiel plastique sera cependant développé pour pouvoir analyser l'aaiblissement de lastructure lors de la coalescence.

1.3 Potentiel PlastiqueChronologiquement, les modèles d'évolution des cavités dans une structure sont appa-

rus avant les potentiels plastiques poreux. L'analyse menée par Gurson [12] suit l'analyseproposée par Rice et Tracey. Gurson travaille sur une cellule sphérique (ou cylindrique)de dimension nie. Les déformations macroscopiques sont liées aux déformations dansla cellule. À l'aide de la loi de normalité, il obtient le lieu des contraintes provoquantl'écoulement. Rousselier [13] propose un modèle basé directement sur la normalité macro-scopique. Il a besoin d'un modèle microscopique. Il utilise le modèle de Rice et Tracey.En opérant ainsi, on trouve des résultats similaires à ceux de Gurson.

À partir de ces deux premiers travaux, on trouve beaucoup de publications ranant cesmodélisations initiales. Gologanu et coll.[14] adaptent les travaux de Gurson au cas d'unecavité axisymmétrique sous un chargement axisymmétrique. Siguret [15] adapte ce trai-tement lorsqu'une inclusion est présente à l'intérieur de la cavité. Récemment, Benzergaet Besson [16] ont adapté au cas d'une matrice orthotrope type Hill, le potentiel macro-scopique de Gurson. Dans une démarche quasi identique, on retrouve les travaux de Duvaet Hutchinson [17] qui s'inspirent des modèles de Budiansky et coll. Dans le même typed'analyse, Haghi et Anand [18] proposent un modèle sensible aux chargements thermo-mécaniques. Tous ces modèles ne sont sensibles qu'à la contrainte moyenne. Le modèle deRousselier est particulièrement intéressant puisqu'avec un minimun d'hypothèses (cavitésde forme ellipsoide) on peut intégrer tout type de cavités, prendre en compte le contactmatrice inclusion et l'inuence du comportement. C'est dans ce cadre particulièrementintéressant qu'on se placera. Il faut d'ores et déja signaler les limites du modèle déduit

1.4. INTÉGRATION NUMÉRIQUE 19

avec ces hypothèses. Le modèle ne s'appliquera que pour de matériaux de faibles fractionsvolumiques et pour de faibles taux de triaxialités.

1.4 Intégration numériqueLa simulation numérique des procédés de mise en forme, permet à moindre coût d'opti-

miser les gammes de fabrication en réduisant le nombre de prototypes. Une fois l'évolutionconnue des défauts, il convient d'intégrer ce comportement au niveau des outils de simu-lation. Ces simulations font intervenir un formalisme de grandes transformations [19].Après avoir présenté ce formalisme, il convient d'intégrer le comportement du matériauau niveau local.

Le problème est résolu par une méthode éléments nis. Deux codes de calcul se-ront utilisés. Le premier P.O.L.L.U.X [20] est un code dédié à la simulation thermo-mécanique des pièces axisymmétriques forgées. Dans le soucis d'étendre nos travaux aucas tri-dimensionel, on utilisera le code commercial ABAQUS. Ce dernier permet à l'uti-lisateur la création de ses propres sous-routines. On choisit de résoudre le problème demanière implicite. Ceci pose des problèmes de résolution lors de la prise en compte descontacts qui risquent alors de ralentir la convergence de la méthode implicite. On choisitde le résoudre ainsi pour deux raisons. La première est que ces méthodes en présence deproblèmes plus ou moins stationnaires permettent des pas de temps relativement grands,ce qui permet d'atteindre plus rapidement la solution. La seconde est que la mise enplace d'un modèle de comportement par une méthode implicite avec résolution par uneméthode de Newton (ou Newton modié), comme c'est le cas dans ABAQUS, est plusdélicate. Elle interdit les erreurs de programmation et de raisonnement. Cela impose unemeilleur maîtrise des concepts introduits par le comportement.

1.5 Originalité du travailL'endommagement est classiquement quantié par une grandeur isotrope ou par des

tenseurs. L'endommagement sera supposé se développer comme une cavité ellipsoïde dansune cellule. L'orientation et les rayons de la cavité sont les grandeurs quantiant l'endom-magement. Les évolutions de ces variables sont alors découplées pour ce type de défaut.En quantiant l'orientation, l'évolution de l'endommagement sera prise en compte quelleque soit le chargement (pas seulement axisymmétrique dans les directions de l'ellipsoide).

La prise en compte de l'orientation nécessite le développement de nouveaux algo-rithmes pour la résolution locale de la plasticité. Un schéma a deux niveaux sera présenté.

Chapitre 2

Outils théoriques

Idées directrices : L'évolution de l'orientation des ellipsoïdes doit être objective. Elleest basée sur le taux de rotation instantanée représenté par un tenseur anti symétriqueet sur la théorie de la représentation des fonctions isotropes. Dans un deuxième temps,les grandeurs à utiliser dans des transformations nies sont présentées. Si le formalismedéveloppé dans la conguration intermédiaire est exploité ici, c'est dans le but d'une ex-ploitation future par une résolution explicite du problème mécanique et dans le soucis dedécoupler les comportements élasto-plastique.

2.1 IntroductionLa mécanique des milieux continus est un cadre théorique propice à la modélisation

du comportement d'un matériau lors de sa mise en forme. L'endommagement que l'ondésire modéliser entraîne des discontinuités au niveau de la microstructure. On supposerade faibles fractions de cavités an de pouvoir appliquer les théorèmes de la mécanique dumilieu continu sans ambiguïté. Le matériau subit de grandes transformations. Il convientalors de se donner une mesure adaptée pour quantier les déformations subies par la ma-tière. Les diérentes mesures classiquement introduites dans la littérature sont revues.Par dualité, à chaque mesure de déformation ou plus précisément à chaque taux de dé-formation, est associée une mesure de contrainte.

Les taux de déformation ou les déformations sont reliées aux contraintes par des loisde comportement. Les changements subis par la matière au cours des transformationsirréversibles entraînent des modications du comportement. Un des comportements debase est la sensibilité du matériau à la direction des sollicitations. Le matériau est alorsanisotrope. Un formalisme adapté est à mettre en place pour ce type de comportement.Les bases ont été données par Wang [21] et par une série de travaux de Boehler [22]. Onrevoit ces diérentes lois an d'exprimer des lois objectives. La résolution est dans ce casincrémentale. Le passage entre les lois taux et incrémentales restent à expliciter.

Si on s'intéresse à la mise en forme lors d'opérations de forgeage des métaux, unformalisme petites déformations sura. Soucieux de découpler les actions liées à la défor-mation élastique et plastique ainsi que des diverses variables associées, on présentera ladécomposition du gradient de la transformation en gradient élastique et plastique.

21

22 CHAPITRE 2. OUTILS THÉORIQUES

Le matériau subit des transformations irréversibles. On le modélise par un comporte-ment élasto-plastique. L'extension au cas élasto-visco-plastique se fera naturellement enajoutant comme variable le taux de déformation.

Dans un premier temps, on présentera les notations et divers outils de l'algèbre ten-sorielle utiles lors de l'élaboration de modèle macroscopique et de l'établissement de leurmodèle numérique. Ensuite, on mettra en évidence la cinématique du milieu continu ainsique les notions associées à la déformation. Les décompositions seront introduites et lesformes en taux correspondantes seront présentées.

Dans le cadre de la représentation d'un comportement anisotrope, il convient de res-pecter certaines formes de fonctions tensorielles an d'assurer l'objectivité de la représen-tation. On exposera alors la représentation de fonctions isotropes avec un développementparticulier dans le cas des fonctions tensorielles antisymmétriques. Le but est de pouvoirsuivre l'orientation des défauts considérés ellipsoïdaux dans une pièce lors de sa mise enforme.

La résolution d'un problème mécanique du milieu continu, type opérations de mise enforme, s'appuie sur le principe des puissances virtuelles. Les changements de géométrieet le comportement non-linéaire des matériaux nécessitent une résolution incrémentale.Cette résolution fait intervenir une méthode de Newton en linéarisant le principe despuissances virtuelles. Cette linéarisation introduit des dérivées de contraintes. On passeraen revue diverses dérivées.

2.2 Cinématique du milieu continu2.2.1 Notations

On travaille essentiellement dans des bases orthonormées. Les bases co et contrava-riantes sont identiques de telle sorte que les vecteurs et les tenseurs n'auront qu'un seultype de composantes :

F i.j = F ij = Fij = F .j

i (2.1)

Les vecteursIls seront notés par des lettres minuscules grasses : a,b, . . .

Les tenseursIls seront notés par des lettres majuscules grasses : A,B, . . . Certains tenseurs seront

notés par des lettres minuscules par exemple le tenseur des contraintes de Cauchy : σ.Les vecteurs (tenseur d'ordre 1) et les tenseurs sont caractérisés par leurs composantes

dans une base. Par exemple, un tenseur du second ordre se note :

A = Aijei ⊗ ej (2.2)où Aij sont les composantes du tenseur A dans la base e1, e2, e3. Les tenseurs sont

des opérateurs linéaires entre deux espaces vectoriels ou d'un espace dans lui-même (en-domorphisme).

2.2. CINÉMATIQUE DU MILIEU CONTINU 23

2.2.2 Opérations tensoriellesLes entités introduites modélisent des grandeurs physiques, contraintes, taux de défor-

mations. Pour travailler sur ces grandeurs, on utilise diverses opérations. Les principaleset les plus utiles sont rappelées.

Le produit tensoriel : Il se note AB avec A = Aijei ⊗ ej et B = Bklfi ⊗ fj alors :

AB = AijBklei ⊗ ej ⊗ fk ⊗ fl (2.3)Contraction d'un indice : Une composante des deux tenseurs est redondante. On

obtient une sommation des composantes ayant cet indice en commun (on utilisera laconvention d'Einstein sauf mention contraire) :

a.b = aibiei.ei (2.4)ou pour la contraction du second ordre :

A.b = Aijbj(ei ⊗ ej).ej = Aijbjei (2.5)Pour deux tenseurs du second ordre, on peut utiliser la double contraction :

A : B = tr(AT .B) (2.6)où tr est la notation de la trace du tenseur.Quelques propriétés utiles :

(A.B)T = BT .AT (2.7)où l'exposant T signie la transposée qui se traduit au niveau des composantes par

Aji = ATij. Une propriété intéressante est :

A : B.C = BT .A : C = A.CT : B (2.8)

2.2.3 Conguration/RepèresSoit la conguration non déformée B0 à laquelle on lie le repère R0 (O,g1,g2,g3),où

(g1,g2,g3) est une base orthonormée et la conguration déformée Bt à laquelle on lie lerepère Rt (O, e1, e2, e3), où (e1, e2, e3) est une base orthonormée.

Le repère R0 est appelé aussi repère initial ou repère matériel et la congurationassociée est lagrangienne. Le repère Rt est appelé repère spatial ou de travail et laconguration associée est eulérienne.

Les coordonnées d'un point M0 dans la conguration non déformée sont (x10, x

20, x

30) où

l'indice inférieur 0 fait référence à l'instant initial. Pour suivre la transformation du corpsde la conguration non déformée à la conguration déformée, on adopte un formalismelagrangien. On suit un point M0. À l'instant t, il coïncide avec un point M de l'espace detravail de coordonnées (x1

t , x2t , x

3t ).

La transformation au voisinage du point M0 est quantié entre t0 et t par le gradientde la transformation. Soit dxt la bre matérielle à t (coïncidente avec le vecteur dx de


l'espace de travail) et dx0 la bre matérielle à t0. Comme le mouvement des points estcaractérisé par :

xit = xi(x1

0, x20, x

30, t) (2.9)

la transformation au voisinage du point considéré, est alors quantiée par :

dxt = Ft0.dx0 (2.10)

où

Ft0 =

∂xit

∂xj0

ei ⊗ gj (2.11)

Le point important est que ce tenseur agit entre la conguration initiale (xe) etla conguration déformée. Si l'on décide de changer de base de travail, seul l'indice quicorrespond à la base de travail a lieu d'être changé. La transformation au voisinage d'unpoint est caractérisé par un tenseur, la transformation est approchée au premier ordre.Les non-linéarités sont alors occultées. Étant donné qu'on travaille uniquement en baseorthonormée, le changement ne peut être qu'une rotation de la base.

Il est donc utile d'étudier les changements de bases orthogonales.

2.2.4 Tenseurs orthogonauxLes changements de bases orthonormées sont eectués à l'aide d'opérateurs orthogo-

naux. Un tenseur orthogonal Q satisfait à la condition :

Q.QT = I (2.12)Ces tenseurs permettent d'exprimer les composantes d'un vecteur (ou d'un tenseur)

lié à une base orthonormée dans une autre base orthonormée de l'espace de travail. Onfera un usage de ces changements de base lorsqu'on étudiera l'évolution d'un repère lié àune sous-structure par rapport au repère lié à la matière, lui-même en mouvement dansle repère de travail. Comme ces opérateurs agissent entre deux repères (bases), on lesnotera : Q1

2. Cela signie que l'on étudie le changement de composantes exprimées dansla base 2 par rapport à la base 1. On adopte cette notation pour les mouvements relatifsdes repères. On notera l'expression de ce tenseur :

Q12 = e1

i ⊗ e1j (2.13)

Ainsi, si on eectue le produit Q12.b où b = b1e2

1 + b2e22 + b3e2

3, on retrouve les formulesclassiques de changement de base. Il faut alors voir dans ce tenseur, un opérateur deprojection dans le repère 1.

On peut également projeter la base du repère 1 dans le repère 2, et c'est là que lanotation 1

2 prend alors son sens, de telle sorte que :

Q12 = (Qij)

12e

1i ⊗ e2

j (2.14)


Il est important de noter les bases de projections an de savoir dans quelles bases sontrepérées les composantes avec lesquelles on travaille.

Une propriété importante est la composition des tenseurs. On note :

Q13 = Q1

2.Q23 (2.15)

Cette propriété sera utile lorsqu'on étudiera l'intégration numérique des lois de com-portement et que, entre deux congurations, la matière aura subie des rotations.

Taux de rotation :Si on dérive l'équation 2.12 par rapport au temps :

Q12.Q

1T2 + Q1

2.Q1T2 = 0 (2.16)

qui peut s'écrire sous la forme :

Q12 = W1

2.Q12 (2.17)

où W12 = Q1

2.Q1T2 .

Si on veut intégrer cette équation tenso diérentielle, on doit avoir une conditioninitiale. Cette équation est une forme en taux, elle sera utilisée comme base lors de la ré-solution incrémentale. On passera à une version incrémentale en intégrant cette équation,en ne perdant pas de vue que la propriété 2.12 doit être maintenue.

L'équation de composition 2.15, se diérentie :

Q13 = Q1

2.Q23 + Q1

2.Q23 (2.18)

si l'on multiplie par Q1T3 :

Q13.Q

1T3 = Q1

2.Q1T2 + Q1

2.Q23.Q

2T3 .Q1T

2 (2.19)en notant W1

2 = Q12.Q

1T2 et [W2

3]1 = Q12.Q

23.Q

2T3 .Q1T

2 qui correspond au taux derotation de 3 par rapport à 2 vue de 1. L'équation 2.19 s'écrit :

W13 = W1

2 + [W23]1 (2.20)

2.2.5 Taux de déformation et Taux de rotationOn vient d'introduire des quantités taux de rotation pour des mouvement de repères.

On va introduire les formes taux de déformations pour le mouvement au voisinage d'unpoint. Il ressort que le gradient des vitesses peut se décomposer en une partie de défor-mation et une de rotation (en moyenne, cf Dogui [23]).

Gradient des vitessesL'équation 2.10 peut être dérivée par rapport au temps :

dxt = F.dx0 (2.21)


puisque dx0 est xe. En utilisant l'inverse de l'équation 2.10, on obtient :

dxt = F.F−1.dxt (2.22)

On dénit alors :

L = F.F−1 (2.23)

ce tenseur est le tenseur gradient des vitesses, il agit sur la conguration spatiale :

L = Lijei ⊗ ej (2.24)

Taux de Déformation

La partie symétrique du gradient des vitesses est le taux de déformation spatiale desbres matérielles (c'est un tenseur eulérien objectif) :

D =1

2(L + LT ) (2.25)

que l'on notera aussi :

D = Dijei ⊗ ej (2.26)

Taux de Rotation

La partie anti-symétrique du gradient des vitesses est le taux de rotation (moyen)eulérien des bres matérielles (ce n'est pas un tenseur objectif) :

W =1

2(L− LT ) (2.27)

Ce tenseur taux de rotation est souvent attaché au taux eulérien de rotation de lamatière par rapport au repère de travail, on le notera : Wtravail

matiere étant le taux du repèreplacé en indice inférieur par rapport au repère placé en indice supérieur. On le notera :

W = Wijei ⊗ ej (2.28)

2.2.6 Décomposition du gradient de la transformationLe gradient de la transformation introduit précédemment, grandeur incrémentale entre

deux congurations, peut être décomposé en diérentes entités. La première, bien connue,est la décomposition polaire, la seconde, moins utilisée dans les applications, est la dé-composition élasto-plastique. On introduit la décomposition élasto-plastique car cela nouspermet de découpler complètement les eets élastiques et plastiques sans hypothèse surle taux de déformation volumique élastique.


Fig. 2.1 Décomposition élasto-plastique

Décomposition polaireOn introduit la décomposition polaire du tenseur gradient de la transformation :

F = R.U = V.R (2.29)où R = Rijei ⊗ gj, U = Uijgi ⊗ gj et V = Vijei ⊗ ej avec les valeurs propres de

U identique à celle de V. U et V sont des tenseurs symétriques représentant la partiedéformation pure et R est un tenseur orthogonal représentant l'incrément de rotationentre les deux congurations.

Décomposition élasto-plastiqueLa décomposition de la transformation totale en transformation élastique et plastique

est introduite par Mandel [24] et Lee [25]. Il est postulé que :

F = Fe.Fp (2.30)où Fe et Fp sont les gradients de transformation élastique et plastique. Une nou-

velle conguration est alors introduite, elle correspond à une conguration relâchée descontraintes, après un retour élastique virtuel. On exprime, pour deux instants naux dif-férents, ce concept sur la gure 2.1.

Le repère lié à la conguration intermédiaire Bi sera noté Ri (Oi, i1, i2, i3). Dans ce caset pour travailler avec les bonnes quantités, on note : Fe = F e

ijei ⊗ ij et Fp = F pijii ⊗ gj.


Il est intéressant de réécrire les divers tenseurs de taux de déformation et de rotationavec cette nouvelle décomposition. Une fois ces diérents taux de déformation introduits,on peut par la dissipation relier ces taux à des contraintes et mettre ces diérentes gran-deurs en dualité.

En réappliquant la dénition du gradient de la transformation à l'équation 2.30, ilvient de manière directe que :

L = Le + Lp (2.31)

avec pour expression du tenseur gradient des vitesses élastiques :

Le = Fe.Fe−1 (2.32)

et pour le tenseur gradient des vitesses plastiques :

Lp = Fe.Fp.Fp−1.Fe−1 (2.33)

la notation suivante est introduite :

Lp = Fp.Fp−1 (2.34)

Lp est la grandeur Lp transportée de la conguration courante par la transformationélastique dans la conguration relâchée. Cela posera des problèmes d'interprétations phy-siques pour l'intégration des formes taux des déformations plastiques et pour la dénitiondes déformations plastiques (voir Sidoro [26]).

Dans le cas où la décomposition de la transformation élastique peut s'écrire :

Fe = Re.Ue (2.35)

Ue est un tenseur agissant uniquement sur la conguration intermédiaire et Re agitcomme rotation entre la conguration relâchée et la conguration courante. Alors le gra-dient des vitesses de la déformation élastique s'écrit :

Le = Re.Ue.Ue−1.Re−1 (2.36)

La décomposition 2.30 est indéterminée à une rotation près. Diérentes méthodessont proposées pour lever l'indétermination. Weber et Anand [27] résument quelques mé-thodes. Ils commencent par une des idées les plus naturelles qui correspond à déterminerla conguration intermédiaire (ou relâchée) à partir du relâchement des contraintes. Lescontraintes sont reliées à la partie des déformations pures du gradient de la déformationélastique. Le gradient de la transformation se résume à Ve = VeT ce qui entraîne unecontrainte au niveau de Lp. Cette contrainte est beaucoup trop lourde à respecter. Dafaliasmontre [28] que toutes ces modélisations, c'est à dire dans diérentes congurations inter-médiaires (tel que Ve = VeT ou la conguration isocline), sont identiques. Par simplicité,la conguration isocline(Wp = 0) est intéressante dans sa mise en oeuvre [27].

De la forme du gradient de la transformation, les parties taux de déformation et tauxde rotation sont déduites :

2.3. OBJECTIVITÉ 29

De = (Fe.Fe−1)s,Dp = (Fe.Fp.Fp−1.Fe−1)s (2.37)et

We = (Fe.Fe−1)a,Wp = (Fe.Fp.Fp−1.Fe−1)a (2.38)de telle sorte que :

D = De + Dp (2.39)et

W = We + Wp (2.40)

2.3 ObjectivitéLorsqu'on eectue des calculs sur la matière, il faut que la solution obtenue soit in-

dépendante du repère de calcul dans une rotation quelconque. L'objectivité se traduit auniveau mathématique par la notion d'isotropie. Si on change de repère de travail :

[t0F]2 = Q21.[

t0F]1 (2.41)

alors on doit avoir :

[σ]2 = Q12.[σ]1.Q

1T2 (2.42)

Les fonctions dites isotropes doivent rester invariantes dans ce changement de repèrede travail, soit :

f([σ]2) = f([σ]1) (2.43)Cette notion d'isotropie mathématique est indépendante de la notion du matériau

isotrope. Ainsi la loi constitutive d'un solide anisotrope devra être isotrope au sens ma-thématique, c'est à dire objective.

Remarque : L'équation 2.42 doit être valable quels que soient les arguments de lafonction f. On peut trouver des variables vectorielles dans les arguments de la fonction.De même, la fonction peut être vectorielle ou tensorielle. Pour satisfaire cette obligation,des formes de fonctions sont proposées dans le paragraphe suivant.

2.4 Représentation des fonctions isotropes2.4.1 Concepts généraux

Dans ce paragraphe, les bases de la représentation des fonctions isotropes pour desfonctions scalaires et tensorielles sont exposées. On suppose ainsi, que le comportement


est modélisé par des tenseurs. Dans le cas où des eets de texture se développent, on conti-nuera d'approcher la solution par ces fonctions et ce malgré le comportement non-linéaire(introduction des fonctions des distributions d'orientation). Les contributions importantesdans le domaine des représentations des fonctions isotropes sont introduites dans le travailinitial de Wang [21]. L'adaption de ces travaux au cas des fonctions pour les comporte-ments anisotropes a été étudiée abondamment dans les travaux de Boehler [29].

On reprend l'exposé relatif à la représentation des fonctions isotropes (scalaire ettensorielle) et on présentera quelques notions dérivées permettant d'eectuer un travailnumérique sur les lois de comportement.

Pour pouvoir représenter des fonctions de manière invariante, on passe par des basesscalaires dans le cas des fonctions scalaires et des bases tensorielles dans le cas des fonctionstensorielles. Un tenseur est représenté par :

F = ηiGi (2.44)où ηi est une fonction scalaire des invariants des arguments de la fonction et Gi sont

les générateurs. Le problème est de déterminer l'ensemble des générateurs de manière àce que la base créée soit irréductible. Les démonstrations originelles de Wang [21] fontintervenir un ensemble de concepts géométriques associés aux diérents arguments pré-sents dans la fonction. Plus on a d'arguments, plus il y aura de générateurs (G). Dansce travail, on s'attachera à exprimer les générateurs associés aux fonctions nécessaires ànotre application. C'est à dire pour la représentation des fonctions scalaires orthotropeset tensorielles antisymétriques orthotropes.

Si l'équation 2.44 est l'expression la plus générale, il faudra mettre en place la structuremathématique adéquate pour la description du comportement anisotrope. Conformémentà Boehler [22], on suppose que la fonction considérée s'exprime :

T = F(A1,A2, . . . ,v1, . . .) (2.45)Ai sont des tenseurs du second ordre et les vj sont des vecteurs.Pour exprimer une fonction isotrope, il convient de trouver les invariants pour un

ensemble d'arguments d'une part et de trouver l'ensemble des générateurs d'autre part.On remarque que pour une liste de n arguments, l'ensemble des générateurs est donnépar toutes combinaisons de 0, 1, 2 ,3,..... et n arguments. On donne à titre d'exemple,les invariants et les générateurs pour diérents types et nombres d'arguments dans lestableaux 2.1, 2.2 et 2.3.

Une variable InvariantsA tr(A),tr(A2),tr(A3)v v.vW tr(W2)

Deux variables InvariantsA1,A2 tr(A1A2),tr(A2

1A2) ,tr(A1A22),tr(A2

1A22)

Tab. 2.1 Quelques invariants pour diérentes combinaisons de variables

2.4. REPRÉSENTATION DES FONCTIONS ISOTROPES 31

Variables GénérateursA1,A2 A1A2 −A2A1,A

21A2 −A2A

21,A1A

22 −A2

2A1,A1A2A

21 −A2

1A2A1,A2A1A22 −A2

2A1A2

A1,A2,A3 A1A2A3 −A3A2A1,A2A3A1 −A1A3A2,A3A1A2 −A2A1A3

Tab. 2.2 Quelques générateurs pour une fonction isotrope du second ordre anti-symétrique pour quelques variables

Variables GénérateursA1,A2 A1A2 + A2A1,A

21A2 + A2A

21,A1A

22 + A2

2A1,A1A2A

21 + A2

1A2A1,A2A1A22 + A2

2A1A2

A1,A2,A3 A1A2A3 + A3A2A1,A2A3A1 + A1A3A2,A3A1A2 + A2A1A3

Tab. 2.3 Quelques générateurs pour une fonction isotrope du second ordre symétriquepour quelques variables

Le tableau des invariants sert de base pour les fonctions ηi. Les générateurs sontdonnés dans les autres tableaux. Dans la mise en place d'un modèle, on se limitera souventà l'expression la plus simple de la représentation. En choisissant un grand nombre defonction et de générateurs associés, il faut prévoir que l'identication pose un problèmelorsqu'un grand nombre de paramètres est à prendre en compte.

Une fois cette théorie établie, il faut adapter ces représentations au cas des fonctionsanisotropes.

2.4.2 Applications aux comportements anisotropesLes types d'anisotropie qui peuvent être traité par ces représentations sont :

L'isotropie L'isotropie transverse L'orthotropie L'anisotropie

On reprend les développements présentés par Boehler [29] sur l'expression des fonctionsanisotropes.

Soit une fonction quelconque telle que :

T = F(A1, . . . ,An, ξ1, . . . , ξ2) (2.46)

Cette fonction est une représentation isotrope par rapport à tous ces arguments. Celasignie que quelle que soit la transformation orthogonale : Q ∈ O, on a :

F(A1, . . . , A2, ξ1, . . . , ξ2) = F(A1, . . . ,A2, ξ1, . . . , ξ2) (2.47)

où les quantités surmontées d'une barre signient la grandeur tournée d'un repère àun autre. Par exemple, pour un tenseur du second ordre : A = Q.A.QT .


La fonction F est isotrope au sens mathématique. Elle sera utilisée tout de même pourla modélisation d'un comportement anisotrope. Soit un matériau montrant des caracté-ristiques d'anisotropie par rapport aux arguments Ai. Soit S, le groupe d'invariance desarguments additionnels de F, ces arguments (ξi) caractérisent le type de l'anisotropie.Pour ce groupe de rotation, on a :

F(A1, . . . , A2, ξ1, . . . , ξ2) = F(A1, . . . ,A2, ξ1, . . . , ξ2) (2.48)

Alors la fonction F a bien une représentation isotrope par sa construction à base degénérateurs, mais elle caractérise un comportement anisotrope par rapport aux premiersarguments (Ai).

2.4.3 Applications à l'orthotropieOn rappelle que la représentation d'une fonction isotrope est donnée par l'équation

2.44. On reprend un travail de Loret [30] pour décrire les arguments d'une fonction (sca-laire ou tensorielle) pour une fonction orthotrope par rapport à l'argument D de direc-tions d'orthotropie v1,v2,v3. On remarque que v1 = v2 ∧ v3. Une fonction caractérisantun comportement orthotrope s'écrit1 :

f(D) = f(D,M22,M33) (2.49)

où M22 = v2 ⊗ v2 et M33 = v3 ⊗ v3.L'ensemble des invariants servant à exprimer les fonctions ηi est :

tr(D), tr(D2), tr(D3), tr(M33D), tr(M33D2), tr(M22D), tr(M22D

2) (2.50)

L'ensemble des générateurs est donné pour les deux types de fonctions tensoriellesdans le tableau 2.4.

Symmétrique I,D,D2,M33,D.M33 + M33.D,D2.M33 + M33.D

2 + idem avec M22

Antisymmétrique D.M33 −M33.D, D2.M33 −M33.D2,

D.M33.D2 −D2.M33.D, + idem avec M22 ,

+ M33.D.M22 −M22.D.M33

Tab. 2.4 Générateurs pour fonctions tensorielles symétriques et anti-symmétriques or-thotropes par rapport à D

1Les trois directions auraient dues être gardées, on montre dans l'annexe D comment réduire lesinconnues.

2.5. THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS 33

2.4.4 Dérivées des invariantsEn mécanique du milieu continu, on peut exprimer un grand nombre de loi de com-

portement avec une loi de normalité. On déduit des grandeurs en dérivant un potentielpar rapport à d'autres grandeurs. Par exemple en (hyper)-élasticité, les contraintes sontdéduites de la dérivation du potentiel élastique par rapport aux déformations élastiques.Les potentiels (fonctions scalaires) seront censés être exprimés par des invariants desarguments. Il faut alors également connaître la dérivée des invariants par rapport à lagrandeur introduite dans la dérivée. Ces dérivées nous seront particulièrement utiles lorsde la programmation des relations de comportement déduite de la dérivée d'un potentiel.Les deux dérivations les plus courantes sont lorsque s (tenseur du second ordre) est l'ar-gument selon lequel il y a anisotropie et M (tenseur du second ordre) un des argumentscaractérisant les directions d'orthotropie :

∂tr(M.s)

∂s= M (2.51)

et

∂tr(M.s2)

∂s= M.s + s.M (2.52)

À partir de ces deux relations, on peut exprimer tous les types d'anisotropie.

SYNTHÈSE : On retiendra de ce paragraphe l'expression d'une fonction isotrope :

F = ηiGi

avec les divers tableaux des invariants et des générateurs, et leurs expressions dansle cas des fonctions orthotropes, tableau 2.4.Ainsi que la dérivée des invariants par rapport au quels le matériau est orthotrope :

∂tr(M : s)

∂s= M

et∂tr(M : s2)

∂s= M.s + s.M

2.5 Thermodynamique des milieux continusAn de mettre en évidence les diérentes grandeurs duales, l'inégalité réduite de la

dissipation sera considérée. Diérents choix de mesure des déformations seront présentéspour l'état local.

2.5.1 DissipationDans le cas purement mécanique l'inégalité de Clausius Duheim se réduit à [19] :


−ρψ + σ : D ≥ 0. (2.53)où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy et D est le taux de déformation totale,

ψ est l'énergie libre spécique. Elle est fonction d'un ensemble de variables internes notéesα et de la déformation élastique Ee qui sera dénie dans la suite. Ainsi l'équation 2.53peut se réécrire :

− ∂ψ

∂Ee: Ee − ∂ψ

∂α.α + σ : D ≥ 0. (2.54)

2.5.2 Diérentes mesures de déformationsLa mesure de déformation doit généraliser la mesure unidirectionnelle. Si λ est l'al-

longement et g() la fonction servant de mesure des déformations, alors : g(λ = 1) = 0et g′(λ = 1) = 1. Dans ce contexte, diérentes mesures des déformations peuvent êtreintroduites. Soit C = FT .F le tenseur des dilatations ou de Cauchy-Green droit. À partirde ce tenseur, on peut dénir le tenseur des déformations de Green-Lagrange à partir del'étude des changements de longueur des bres matérielles :

EGL =1

2(C− I) (2.55)

Une autre mesure des déformations est :

Eln = ln(U) =1

2ln(C) (2.56)

Cette mesure des déformations lorsqu'elle est dérivée par rapport au temps, dans unecinématique triaxiale, donne : U.U−1 qui correspond (cf. Gurtin et Spear [31]) à la partieD du gradient des vitesses. On supposera dans les autres cas néanmoins que cette mesurepeur être une bonne approximation. Les deux déformations introduites précédemmentsont lagrangiennes, elles sont introduites dans la conguration de référence.

Les taux de ces deux déformations sont reliés à la mesure eulérienne des taux dedéformation D :

EGL =1

2(FT .F + Ft.F) = FT .D.F (2.57)

et

Eln = RT .D.R (2.58)

Cinématique en cisaillementLa cinématique locale d'un cisaillement est introduite an de mieux percevoir comment

réagissent ces deux mesures de déformation. La cinématique en cisaillement est telle quele gradient de la déformation s'écrit :

F = e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 + γe1 ⊗ e2 (2.59)


Dans ce cas, on détermine facilement le tenseur des déformation de Green-Lagrange :

EGL =γ

2(e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1) +

γ2

2e2 ⊗ e2 (2.60)

Dans le cas des petites déformations (γ petit, termes du second ordre négligés), onretrouve le tenseur des petites déformations. En petites transformations, le changementde volume est associé à la trace du tenseur des déformations, ce qui est une approximationau premier ordre. Dans le cas du cisaillement, on a tr(EGL) = γ2. Pour de grandes défor-mations, la trace ne rend plus compte du changement de volume. Il faut travailler avec unenouvelle mesure. On introduit le nouveau tenseur de Green-Lagrange Droit C = J−2/3C.Une nouvelle mesure du changement de forme est alors EGL = 1

2(C−I). Ces considérations

sont obligatoires lors de la programmation des lois en formalisme lagrangien, en grandestransformations élastiques. On remarque que det(C) = 1, C quantie alors le changementde forme. Le changement de volume est à prendre en compte par l'intermédiaire de J.Ainsi les déformations du matériau sont quantiés par J−2/3 et par EGL.

Dans le cas de la déformation logarithmique, les mêmes inconénients sont à retenir.Il convient alors d'exploiter prudemment les travaux de Weber et Anand [27]. Dans lerepère des directions principales, on a : 1

2ln(C) = ln(1 + 1/2 γ2 + 1/2

√4 γ2 + γ4)d1 ⊗

d1 + ln(1 + 1/2 γ2 − 1/2√

4 γ2 + γ4)d2 ⊗ d2. Cette forme, pour γ petit, est à trace nullemais ne l'est plus pour de grandes transformations.

2.5.3 Grandeurs conjuguéesDans la dissipation apparait le terme σ : D. Avec la forme 2.57 et à l'aide de 2.8 on

pose que :

ρσ : D = ρ0S : EGL (2.61)où S est le second tenseur des contraintes de Piola Kircho déni tel que :

S = JF−1.σ.F−T (2.62)de manière identique, avec la déformation logarithmique, on peut montrer que :

ρσ : D = ρ0T : Eln (2.63)où T est le tenseur des contraintes déni par :

T = JRT .σ.R (2.64)En reprenant la forme 2.53 et en utilisant la séparation des taux de déformations en

partie élastique et plastique 2.39, on a :

−ρψ + σ : De + σ : Dp ≥ 0. (2.65)ainsi avec les relations entre grandeurs lagrangiennes et eulériennes, on a pour la partie

élastique les deux équations suivantes :


−ρi∂ψ

∂EeGL

: EeGL − ρi

∂ψ

∂α.α + S : Ee

GL + σ : Dp ≥ 0. (2.66)

et

−ρi∂ψ

∂Eeln

: Eeln − ρi

∂ψ

∂α.α + T : Ee

ln + σ : Dp ≥ 0. (2.67)

Le terme relatif à la dissipation plastique est gardé de coté pour le moment et serapris en compte au moment de l'étude des grandeurs conjuguées pour la partie plastique.L'inégalité doit être vériée quel que soit le processus. On a :

S = ρi∂ψ

∂EeGL

(2.68)

et

T = ρi∂ψ

∂Eeln

(2.69)

On remarque la propriété de normalité pour l'obtention des contraintes. Diérentes loispeuvent être obtenues. Entre autre, le potentiel peut avoir une forme quadratique, de tellesorte qu'une relation linéaire soit établie entre les contraintes et les déformations. Cetteformulation pose des problèmes pour de grandes déformations élastiques. Pour mener àbien la décomposition de la dilatation et du changement de forme, on suit les travauxde Simo [32]. Il divise l'énergie libre spécique en une partie due aux déformations dechangements de volume et une autre partie due de changement de forme. Il propose uneforme de ψ telle que :

ψe = U(J) + W (C) (2.70)où C = J−2/3C avec det(C) = 1. On notera que l'expression de la contrainte en fonc-

tion du tenseur des dilatations de Cauchy-Green droit ou du tenseur de Green Lagrangeest dépendante puisque :

∂ψ(E)

∂E= 2

∂ψ(C)

∂C(2.71)

On peut écrire alors la relation liant les contraintes et les déformations sous la forme :

S = ρ0JC−1∂ψ

∂J+ 2ρ0J

−2/3(∂ψ

∂C)D (2.72)

où l'exposant D exprime la partie déviatorique. Pour être cohérent avec la loi de Hookeen petites déformations, on prend :

∂ψ

∂J= K ln(J), (

∂ψ

∂C)D = G(I− C−1)D (2.73)

qui correspond à une forme de potentiel néo-hookéen de la forme :


ψe(J, C) =G

2(I1 − 3)−G ln(

√I3) + K ln(J)2 (2.74)

Dans le cas de la déformation logarithmique, si on suit les développements de Weberet Anand [27], on note :

T = LEeln (2.75)

Dans ce cas, L représente un tenseur du quatrième ordre, correspondant aux tenseursen petites déformations. En réalité, on devrait utiliser la forme de C déni par J2/3C etdans ce cas on aura un potentiel identique à la forme présentée pour la déformation deGreen-Lagrange.

Ces relations entre contraintes et déformations sont introduites entre une congurationcourante et relâchée. Il semble alors naturel d'exprimer les relations dans la congurationintermédiaire. Ainsi les équations précédentes sont à écrire en remplaçant le gradientde la transformation par celui de la transformation élastique. Le formalisme développéest lagrangien. Cependant, on aurait pu de manière similaire développer tout dans laconguration courante.

Grandeurs conjuguées pour la mesure de déformation plastiqueLes développements de Lubliner sont repris [33]. La partie de la dissipation associée

aux phénomènes irréversibles est dans le cas de la plasticité :

σ : Dp (2.76)

avec Dp donnée par 2.37. Comme la contrainte de Cauchy est représentée par untenseur symétrique, on peut écrire la relation suivante :

σ : Dp = σ : Lp (2.77)

ainsi avec la propriété 2.8, on montre que :

σ : Lp = FeT .σ.Fe−T : Lp = Σ : Lp (2.78)

Cette nouvelle mesure des contraintes est la grandeur duale de Lp dans la congurationintermédiaire. Cette mesure est relié aux grandeurs déja dénies par :

Σ = JFe−T .σ.FeT (2.79)

et par :

Σ = Fe.S.FeT (2.80)

ainsi que :

Σ = Ue−1.T.Ue (2.81)


À partir de ces diverses représentations, le formalisme eulérien s'impose par sa simpli-cité. Néanmoins, on garde nos développements dans la conguration intermédiaire puisquel'élasticité semble être mieux considérée en formalisme lagrangien. Ainsi suivant la mesurede déformation choisie, on aura une ou l'autre des contraintes liés à σ.

Σ et Lp sont mis en dualité par la dissipation. Lubliner [33] précise que si f est un critèred'écoulement alors on peut exprimer une condition de normalité dans la congurationintermédiaire relachée par :

Lp = λ∂f

∂Σ(2.82)

On remarquera que Σ est de dimension 9 avec trois équations de liaisons, ainsi cetenseur ne dénit pas un espace à 9 dimensions pour le gradient des vitesses plastiques, detelle sorte que la partie antisymmétrique de Lp doit être spéciée par une loi constitutive.

Intégration des diérentes mesuresDans ce paragraphe, le formalisme développé par Weber et Anand est exactement

identique à une formulation implicite de la résolution du problème.Dans la suite, les deux choix de déformations élastiques possibles seront programmés

an de comparer les prédictions de comportement lors d'un cisaillement cylindrique as-socié à une dilatation. Le modèle est tel que l'hyperélasticité peut être considérée. Lemodèle plastique choisi est un modèle de Gurson. La résolution numérique est une mé-thode d'Euler implicite inspirée par Aravas [34]. Le choix de la conguration intermédiairedemeure. Par simplicité, on choisit la conguration isocline (Wp = 0). On remarqueraque les diérentes grandeurs introduites sont objectives. Le taux de déformation plastiqueest associé au gradient des déformations plastiques :

Lp = Dp = λ∂f

∂Σ= λNp (2.83)

Weber et Anand [27] choisissent de travailler dans la conguration isocline donc :

Fp.Fp−1 = Dp (2.84)Ils intègrent cette relation avec l'opérateur exponentiel tel que :

Fpn+1 = Fp

n.exp(∆εp) (2.85)où ∆εp est calculée par une méthode d'Euler implicite à partir de la loi d'écoulement :

∆εp = ∆λ∂f

∂T(2.86)

Le calcul avec l'opérateur exp est lourd. Il nécessite le calcul des directions principales,de prendre l'exponentiel des valeurs propres et de retourner le résultat dans le repèrede travail. Aravas [35] propose un développement limité de cet opérateur. Les résultatsobtenus ont une convergence nettement moins bonne qu'avec l'opérateur exponentiel. Cetype de développement doit être intéressant en explicite par son gain en temps de calcul.


Fig. 2.2 Dénition de l'estimation élastique

On dénit Fe∗, l'estimation élastique entre la conguration relâchée à l'incrément net la conguration courante à n+1 (gure 2.2).

On a Fe∗ = Fn+1.Fp−1n+1. On a également

Fen+1 = Fn+1.F

p−1n+1 (2.87)

soit en introduisant le gradient de la transformation de prédiction élastique Fe∗ etavec l'opérateur choisi pour intégrer le gradient de transformation plastique, on a :

Fen+1 = Fe∗.exp(−∆λNp) (2.88)

en utilisant la décomposition polaire des diérents gradients :

Ren+1.U

en+1 = Re∗.Ue∗.exp(−∆λNp) (2.89)

comme Fp−1 est symétrique par intégration alors on note en séparant les parties sy-métriques et de rotations :

Uen+1 = Ue∗.exp(−∆λNp) (2.90)

et

Ren+1 = Re∗ (2.91)

avec la déformation logarithmique introduit précédemment :


Een+1,ln = Ee∗

ln −∆λNp (2.92)On retrouve la forme classique lorsque l'on additionne les incréments de déformation

avec une méthode d'intégration d'Euler implicite. On obtient alors l'évaluation de lacontrainte :

Tn+1 = T∗ − L∆λNp (2.93)

On présente dans la suite une version basée sur la décomposition multiplicative s'ins-pirant d'Aravas [35] avec opérateur exponentiel. Les cas isotherme et thermomécaniqueseront exposés.

Modèle isothermeL'algorithme présenté par Weber et Anand [27] est repris et adapté au modèle de

Gurson [34]. La mesure des déformations élastiques choisie est celle de Green-Lagrange. Lacontrainte à utiliser est alors le second tenseur des contraintes de Piola-Kircho. Lorsqueles lois de plasticité sont exprimées dans la conguration intermédiaire, la grandeur dualedu taux de déformation plastique exprimé dans cette conguration est diérente de cellePiola-Kircho. On rapelle sur la gure 2.3 les diérentes grandeurs induites.

Fig. 2.3 Déniton des grandeurs induites dans la décomposition multiplicative

Ce type d'algorithme semble tout à fait adéquat à la séparation des eets élastiques etplastique. Il faut savoir cependant comment exprimer le potentiel. Si on se place dans la


conguration intermédiaire, on considère alors que le comportement plastique est libérédes actions élastiques. C'est dans ce cas que le modèle de Rice et Tracey est établi puis-qu'on a considéré uniquement un comportement rigide plastique. Le potentiel s'exprimealors par :

φ = φ(Σ,H) (2.94)où H est l'ensemble des variables internes exprimé dans la conguration intermédiaire.

C'est la conguration isocline qui est choisie. Il faut alors exprimer le changement d'orien-tations dans ce repère.

Les liens existant entre les diérentes mesures de contraintes sont donnés dans leséquations 2.79 et 2.80.

On présente alors l'algorithme résumé dans le tableau 2.5 pour l'algorithme de plasti-cité compressible.

L'intégration des variables internes est identique à l'intégration du modèle dans laconguration courante avec décomposition additive de l'incrément de déformation. Onpeut trouver une version modiée de l'intégration de la fraction volumique :

detFpn+1 =

1− f0

1− fn+1

(2.95)

que l'on peut appliquer avec le gradient incrément de la transformation :

det∆Fp =1− fn

1− fn+1

(2.96)

Dans cette résolution, la conguration intermédiaire est choisie. Les contraintes sontretournées naturellement par le transport. Les contraintes n'ont pas besoin d'être retour-nées.

Modèle thermomécaniqueDans la simulation des opérations de forgeage, le procédé réel a de forts gradients

thermiques. Il faut alors prendre en compte l'inuence de la température sur le comporte-ment. On introduit une nouvelle décomposition sans chargement thermique Fθ. On suitles développement de Srikanth et Zabaras [36]. La décomposition choisie est :

F = Fe.Fp.Fθ (2.97)La seule modication à apporter à l'algorithme précédent est l'étape sur l'estimation

élastique. L'inuence de la thermique sur la cinématique est une expansion isotrope :

Fθ.Fθ−1 = βθI (2.98)où θ représente la température du milieu continu. Il faut modier alors l'estimation

élastique en enlevant la partie thermique. En modiant le travail de Srikanth et Zabaraset en utilisant alors la solution de l'incrément de température supposé connu, il faut écrirel'estimation élastique à partir de :


1. Estimation élastique des contraintes :

Fe∗ = Fn+1.Fpn

2. Calcul de Ee∗

3. Valeur du second tenseur de Piola-Kircho :

Se∗ = ρi∂ψ

∂Ee∗

4. Transport de S pour trouver Σe∗

5. Si φ(Σe∗,H) > 0 calcul de la plasticité sinon aller à 7.6. Calcul de la plasticité

(a) Résolution de la plasticité pour l'incrément de déformation.

φ(Σn+1,H) = 0

avec

Fpn+1 = Fe∗−1.exp(∆εp)

avec

∆εp = ∆εpn + ∆εvI/3

où ∆εv et ∆εp sont les inconnues du problèmeet

Fen+1 = Fn+1.F

pn+1

on calcule alors :

Een+1 → Sn+1

7. Passage de Sn+1 à σ = 1/JFeT .Σ.Fe−T et des variables internes f et ε.8. Fin d'algorithme : passage des contrainte n + 1 → n.

Tab. 2.5 Algorithme pour la résolution avec une décomposition multiplicative cinéma-tique


Fe∗ = Fn+1.∆Fθ−1 (2.99)

où

∆Fθ = exp(β∆θI) (2.100)

Résolution numériqueL'ensemble des équations ont été résolues numériquement. Les inconnues principales

sont les deux déformations introduites par Aravas [34]. Dans la littérature, la program-mation de la matrice tangente consistante est rarement réalisé. Weber et Anand [27]reprennent celle issue de la décomposition additive. Dans ces développements, il fautprogrammer soit une raideur initiale, soit une raideur tangente du milieu continu, soitl'algorithme de Kojic et Bathe [37].

Deux schémas de résolutions vont être comparés an de connaître la modélisationadéquate à choisir pour le comportement global. Le premier correspond à la résolutionEuler Implicite classique employée avec décomposition additive de l'incrément de défor-mation. La seconde sera une intégration de l'algorithme de résolution de la décompositionmultiplicative avec la loi élastique dénie entre Green-Lagrange et le second tenseur dePiola-Kircho.

On choisit une cinématique triaxiale telle que :

F = λ1e1 ⊗ e1 + λ2(e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3) (2.101)

avec λ1λ22 légèrement supérieur à 1. On dénit l'incrément de déformation tel que :

∆ε = 12lnC. On a alors :

∆ε = lnλ1e1 ⊗ e1 + lnλ2(e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3) (2.102)

Avec la condition sur le déterminant de F, on peut écrire encore l'incrément de défor-mation sous la forme :

∆ε = ∆εp(e1 ⊗ e1 − 1

2e2 ⊗ e2 − 1

2e3 ⊗ e3) + ∆εvei ⊗ ei (2.103)

À partir de ces deux dénitions, on va observer la diérence de réaction des deuxalgorithmes suivant les propriétés mécaniques et la taille de l'incrément. Par simplicité larésolution est numérique. On regardera la diérence de résultats au niveau de :

la fraction volumique la contrainte moyenne la déformation plastique la contrainte équivalente de von Mises.La loi élastique est dénie à partir d'une mesure de Green-Lagrange dans la congura-

tion intermédiaire d'un coté et par la loi étendue en petites déformations dans l'autre cas.On s'attend à trouver les mêmes réponses pour de petites déformations élastiques (grandmodule d'Young).


a,1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4

5

5.05

5.1

5.15

5.2

5.25

5.3x 10

−3 fraction volumique

F11

Fra

ctio

n v

olu

miq

ue

decomposition additive decomposition multiplicative, mesure de Green−Lagrange

b,1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4

0

20

40

60

80

100

120sm

F11

Co

ntr

ain

te m

oye

nn

e


Fig. 2.4 Comparaison des deux formalismes(décomposition additive et multiplicative)dans le cas d'un critère d'écoulement de Gurson, Contrainte moyenne et la fraction volu-mique, E=200000MPa

a,1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

F11

Dé

form

atio

n é

qu

iva

len

te

εp


b,0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

550

600

650

700

750

800

F11

Co

ntr

ain

te e

n M

pa


Fig. 2.5 Comparaison des deux formalismes(décomposition additive et multiplicative)dans le cas d'un critère d'écoulement de Gurson, contrainte de von Mises et Déformationplastique, E=200000MPa


a,1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

5

5.01

5.02

5.03

5.04

5.05

5.06

5.07

5.08

5.09x 10

−3

F11

Fra

ctio

n v

olu

miq

ue

décomposition additive décomposition multiplicative, mesure de Green−Lagrange

b,1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

0

10

20

30

40

50

60

F11

Co

ntr

ain

te m

oye

nn

e


Fig. 2.6 Comparaison des deux formalismes(décomposition additive et multiplicative)dans le cas d'un critère d'écoulement de Gurson, Contrainte moyenne et fraction volu-mique, E=5000MPa

Sur les gures 2.4 et 2.5, on remarque que les deux formalismes sont identiques, commeon pouvait s'y attendre. Sur les gures 2.6 et 2.7 (Module de Young faible), on remarqueune sensibilité plus importante à la contrainte moyenne pour une mesure de déformationde Green-Lagrange. Avec un modèle de Gurson, la fraction volumique est dénie à partir dela contrainte moyenne, on trouve une fraction volumique plus importante et une sensibilitéà l'écoulement donc plus importante.

Il convient alors pour des matériaux élasto-plastique à faible module d'Young, c'est àdire à forte compressibilité élastique, de choisir le bon formalisme. L'algorithme à décom-position multiplicative proposé sera intéressant pour les polymères et les métaux à hautestempératures.


a,1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

F11

Dé

form

atio

n é

qu

iva

len

te

εp


b,1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

0

100

200

300

400

500

600

700

800

F11

Co

ntr

ain

te é

qu

iva

len

te d

e V

on

Mis

es


Fig. 2.7 Comparaison des deux formalismes(décomposition additive et multiplicative)dans le cas d'un critère d'écoulement de Gurson, contrainte de von Mises et Déformationplastique, E=5000MPa

SYNTHÈSE : On retiendra de ce paragraphe, les liens entre les diérentescontraintes, dénies dans la conguration intermédiaire :

S = JF−1.σ.F−T

T = JRT .σ.R

avec J = ρi

ρ0, ainsi que le lien avec le gradient des vitesses plastiques déni dans la

conguration intermédiaire :Σ = Ue−1.T.Ue

Σ = Fe.S.FeT

couplée à la loi élastique et la loi d'écoulement

Lp = λ∂f

∂Σ

S = ρ0JC−1∂ψ

∂J+ 2ρ0J

−2/3(∂ψ

∂C)D

On retiendra l'analyse en grandes déformations élastiques et les précautions dans cecas.

2.6 Variables internesLa dissipation impose une condition sur l'évolution des variables internes. Il est souvent

plus commode de se donner des lois d'évolution indépendamment des lois de normalité.Pour la déformation plastique équivalente en traction, elle est dénie à partir de l'équiva-

2.6. VARIABLES INTERNES 47

lence de la dissipation instantanée. Cette dénition n'entrave en rien sa validité pour unmatériau à partir du moment où elle est intégrée au cours du temps. C'est l'intégrationd'Euler implicite qui est plus discutable.

La condition majeure est que la dissipation reste positive.On décrit un certain nombre de propriétés pour les variables internes. La loi d'écoule-

ment sera revue au moment de l'expression du potentiel plastique.Le comportement des matériaux est décrit par un certains nombres de variables. Des

variables sont mesurables directement à l'instant t, les déformations totales et la tempé-rature. D'autres ne sont pas directement mesurables et n'interviennent pas directementau niveau des équations de mouvement. Elles sont souvent attachées aux phénomènesdissipatifs. On parle de variables internes. Ces variables internes caractérisent des réar-rangements de microstructure, tels que celui des dislocations ou celui des textures. Dansle cadre de la modélisation de l'endommagement, la microstructure correspond à la priseen compte des défauts. Ces défauts ont une taille, une forme et une orientation par rap-port à la matière. Ce seront ces diverses quantités qui inueront sur la modication ducomportement. Ces variables internes modélisées par le vecteur α doivent être intégréesau niveau du potentiel de dissipation dans le cas de la modélisation des processus irré-versibles. On va discuter l'intégration des variables internes suivant leur nature. Plus oncherche à avoir d'informations plus on aura de variables internes. Un grand nombre devariables internes demandera également un grand nombre d'essais pour identier les loisconstitutives. De plus un certain nombre de restrictions sont imposées pour l'évolutiondes variables internes.

Dissipation

Dans l'équation de dissipation, si on considère la loi élastique vériée quel que soit leprocessus, la dissipation associée s'écrit alors dans la conguration eulérienne :

σ : Dp − ∂ψ

∂α.α ≥ 0 (2.104)

Le vecteur α contient des grandeurs indépendantes. Les variables ∂ψ/∂α sont lesgrandeurs duales des variables internes. On les note ξ. En utilisant la transformée deLegendre, le taux de variables internes peut être déduit d'un potentiel. Dans la suite,cette considération n'aura pas lieu d'être puisque l'évolution sera exprimée à partir de loisd'évolution microscopique. Il faudra cependant vérier que le modèle proposé respecte leprincipe de la dissipation positive. Une condition forte est que chaque terme soit positif.Les variables internes développées dans ce travail seront de deux ordres. Les premièresseront les variables associées à la plasticité compressible : la déformation plastique équiva-lente en traction, la fraction volumique, et les rapports de formes associés aux rapports durayon moyen sur les rayons de l'ellipsoide, de l'autre les variables d'orientations associéesà l'orientation de l'endommagement. Il faut conserver les trois rapports de forme. Dansle cas des variables internes d'orientations, on a uniquement trois variables d'orientationsindépendantes. On a 3 contraintes de normalités et 3 contraintes dues à la normalisationdes vecteurs de bases. On reviendra sur ce point au moment de l'intégration.


2.7 Principe des puissances virtuellesDans ce paragraphe, on va montrer que la résolution proposée doit être légèrement

modiée dans le cas des transformations où la dilatation volumique n'est plus négligeable.Le principe des puissances virtuelles s'écrit :

∫

V0

τ : δεdV0 =

∫

S

tT .δvdS +

∫

V

fT .δvdV (2.105)

où τ est la contrainte de Kircho . Trois types de non-linéarité interviennent danscette expression. La première est géométrique. Elle correspond à la modication de lagéométrie sous chargement. La seconde provient de la réponse des matériaux. La dernièreest la prise en compte des contacts. On s'intéresse dans cette partie aux non-linéaritésmatérielles dans la résolution incrémentale du problème. Il faut alors linéariser 2.105. Enlinéarisant, on a un taux de contraintes qui intervient par l'intermédiaire de la matricejacobienne :

H =dτ

dε(2.106)

Mc Meecking et Rice [38] proposent ensuite une résolution de ce principe dans lecas d'un comportement élastique et plastique incompressible. Dans ce cas, les taux decontraintes de Cauchy et de Kircho coïncident à un terme près, de l'ordre de la contraintesur le module d'Young. Si il y a de la dilatation plastique, il se peut que ce terme ne soitpas négligeable lors de grands incréments. Il faut alors modier la matrice jacobienne.

Il existe la relation suivante entre les deux taux de Jaumann de contraintes de Cauchyet de Kircho :

τ J = σJ + σDkk (2.107)De telle manière que la matrice jacobienne doit être calculée de la manière suivante :

Hijkl = Cijkl + σijδkl + CijklDnn (2.108)Si ces considérations modient éventuellement la vitesse de convergence, elles ne mo-

dient pas la précision du résultat. Il faut évidemment que la dilatation soit importante,pour avoir une modication de l'ordre de convergence.

2.8 ConclusionDans ce chapitre, les bases de travail ont été établies pour la modélisation de l'endom-

magement en transformations nies. Lorsque qu'un repère sera attaché à la sous-structure"endommagement", on aura tous les outils pour pouvoir suivre ses changements d'orien-tation et de caractéristiques, à l'aide des théorèmes des représentations. Dans le chapitresuivant, on adaptera le formalisme développé au cas de la croissance des cavités.

Le formalisme développé dans le cadre de la conguration intermédiaire permet undécouplage total des comportements élastique et plastique. Due à la diculté d'obtention

2.8. CONCLUSION 49

de la matrice cohérente, ces développements seront bien adaptés à une résolution explicitedu problème.

Chapitre 3

Croissance de Cavités

Idées directrices : Les résultats de Rice et Tracey pour une cellule de dimension inniesont adaptés au cas d'une cellule de dimensions nies. Le but est de connaître l'évolutiond'une cavité sous un chargement extérieur donné (déformation déviatorique xée pluscontrainte moyenne). La relation obtenue est un lien entre la dilatation et la distorsionqui à priori ne sont pas liées. En réalité, la loi d'écoulement(chapitre suivant) comprendune relation qui dénira l'écoulement d'un milieu poreux. Le changement d'orientation estintroduit pour la sous-structure endommagement.

3.1 IntroductionDans ce chapitre, on s'intéresse à la croissance d'une cavité dans une cellule se défor-

mant plastiquement. Deux approches vont être développées. La première est basée sur lemodèle de Rice et Tracey. La seconde correspond à une étude de validité du modèle choiside croissance tri-dimensionnelle avec une méthode éléments nis. Dans les deux cas, c'estune modélisation mésoscopique qui est retenue. Les défauts (cavités) sont susammentgrands pour que le comportement de la matrice soit considéré au niveau macroscopique. Lepremier modèle considère la croissance d'une cavité dans une matrice de dimension innie.La seconde intègre la fraction volumique au niveau de la résolution. Dans la littérature,on trouve d'autres études sur la croissance de cavités. Elles couplent d'autres phénomènesphysiques à celui de la déformation plastique ou visco-plastique. Par exemple, Needlemanet Rice [39] introduisent un couplage uage/diusion. Ce type de phénomènes coupléssera particulièrement intéressant dans la modélisation de la mise en forme à chaud desmatériaux. Ce point de vue a été abandonné à cause des dicultés expérimentales pourl'identication des constantes de diusion. On se cantonne donc à analyser la croissanceà partir de la modélisation numérique. Thomason [11] souligne que l'étude d'une cavitésemble une bonne approche pour la phase de croissance puisqu'en réalité les cavités sontsusamment éloignées les unes des autres après la germination.

La première méthode suit les développements de Rice et Tracey. La solution originaleest d'abord retrouvée, puis quelques adaptations sont eectuées. Entre autres, des varia-tions de comportement sont introduites comme l'écrouissage du matériau de la matrice.Cette étude nécessite une légère modication du principe variationnel original. Cette mo-dication est identique au passage du principe des puissances virtuelles au principe des

51

52 CHAPITRE 3. CROISSANCE DE CAVITÉS

travaux virtuels. Une seconde modication consiste à considérer la matrice avec une aniso-tropie initiale. Il semble bien établi que l'endommagement évolue au voisinage d'inclusionscontenues dans la matrice. On adaptera alors le principe variationnel pour voir commentse modie le comportement de la cavité avec la présence d'une inclusion à l'intérieur.Les comportements introduits seront uniquement plastiques sans partie élastique. Ainsiles lois développées peuvent servir de base pour la modélisation dans la congurationintermédiaire.

Tous les développements de Rice et Tracey considèrent une cavité sphérique. Lagénéralisation au cas tridimensionnel fait appel à une remarque de Thomason [11]. Lesrésultats trouvés précédemment sont alors adaptés au modèle proposé par Thomason. Cemodèle est heuristique. Il faut ensuite corréler le modèle tridimensionnel avec un modèlenumérique.

La cellule poreuse est modélisée par un modèle éléments nis. L'étude sera menéeen faisant varier le paramètre de Lode. Ces études seront menées uniquement dans lecas de la croissance. Dans ces simulations, la localisation n'est pas un facteur limitant.L'évolution de la cavité dans la cellule devra être menée à triaxialité constante. Le modèle3D nécessite des chargements triaxiaux. L'évolution des rayons est déterminée pour unecinématique triaxiale où les directions de l'ellipsoïde sont alignées avec le chargement.L'ellipsoïde peut cependant avoir une orientation quelconque. Une étude éléments nissera menée pour des directions de l'ellipsoïde non coïncidentes avec le chargement et lemodèle analytique sera présenté.

3.2 Passage méso/macroLe fait de modéliser la matière au niveau mésoscopique nécessite de considérer une

cellule. Par cellule ou élément de matière représentatif, on entend le volume de matièretel que l'échantillon choisi soit périodique. Si le travail de Rice et Tracey considère unecellule innie, la taille de la cellule inuera sur la croissance de la cavité au niveau dessimulations éléments nis. La méthode de Rice et Tracey doit être adaptée au cas de lacellule de dimension nie. Il faut alors introduire un certain nombre de notions sur la priseen compte de la taille. Cela passera par une technique d'homogéinisation qui permettrade relier directement les grandeurs macroscopiques aux grandeurs liées à la cellule.

On va présenter succintement ces diverses techniques.

3.2.1 La cellule unitaireSon volume de contrôle sera caractérisé par Vc. On travaille en grandeurs eulériennes.

3.2.2 Contrainte macroscopiqueLa contrainte macroscopique sera la contrainte moyenne agissant sur la cellule unitaire.

Elle s'écrit :

σij =1

Vc

∫

Vc

σijdV (3.1)

3.3. TRANSFORMATION D'UNE GÉOMÉTRIE ELLIPTIQUE 53

où σij est la contrainte macroscopique, σij la contrainte mésoscopique et Vc le volumede la cellule

3.2.3 Déformation macroscopiqueDe manière identique à la contrainte, la déformation macroscopique s'écrit sous la

forme :

Dij =1

Vc

∫

Vc

DijdV (3.2)

que l'on peut réécrire (voir Ponte-Castañeda [40]) en fonction des vitesses à la frontièrede la cellule unitaire :

Dij =1

2Vc

∫

∂Vc

(vinj + vjni)dS (3.3)

∂Vc sa frontière de la cellule.

3.3 Transformation d'une géométrie elliptiqueOn verra dans la partie suivante le modèle de Rice et Tracey. Si on analyse les champs

de vitesses proposés, on remarquera qu'ils sont l'addition des vitesses dues à une trans-formation homogène dans la cellule et d'un champ de perturbation due à la cavité. L'idéede ce paragraphe est de regarder comment se déforme une géométrie elliptique dans unecellule saine. On va considérer une transformation homogène. On regardera comment évo-lue la géométrie elliptique dessinée sur la cellule pour un chargement quelconque. Si onconsidère un cas 2D, on obtient la gure 3.1.

On remarque que l'ellipse a tendance à changer son inclinaison par rapport au char-gement. On montrera que cette ellipse se transforme en une autre ellipse. Pour son chan-gement d'orientation, on proposera une approche mais le problème sera résolu en n dechapitre pour une matrice avec cavité.

Le cas général 3D va être développé. La transformation homogène est caractériséepar le gradient de la transformation. Au lieu de l'appliquer aux bres innitésimales auvoisinage du point, on applique la transformation aux bres :

xt = F.x0 (3.4)où x0 est la position de la bre dans la conguration à l'instant initial (dans la con-

guration intiale B0 et où xt est la position à l'instant t (dans la conguration couranteBt).

3.3.1 Caractéristiques d'un ellipsoïdeUn ellipsoïde est caractérisé par la direction d'un repère orthonormé et par les rayons

de l'ellipsoïde dans ce repère. Au niveau mathématique, un ellipsoïde est caractérisé par


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

ellipse initialedeformée

Fig. 3.1 Évolution bidimensionnelle d'une géométrie elliptique dans une matrice saine

3.3. TRANSFORMATION D'UNE GÉOMÉTRIE ELLIPTIQUE 55

l'ensemble des points de coordonnées (x10, x

20, x

30) dans le repère de travail représenté par

le vecteur x0 tel que :

xT0 .QT .[R].Q.x0 = 1 (3.5)

Si (l1, l2, l3) représentent la base des directions propres rattachée à l'ellipsoïde et r1, r2

et r3 les rayons suivant cet axe, alors :

R =1

r21

l1 ⊗ l1 +1

r22

l2 ⊗ l2 +1

r23

l3 ⊗ l3 (3.6)

et

Q =∑i=1,3

∑j=1,3

Qijli ⊗ ej (3.7)

où e1, e2 et e3 représentent la base du repère de travail. Cette équation est celle d'unellipsoïde centré sur le repère de travail. Les deux repères sont supposés ne subir que desrotations relatives.

3.3.2 Transformation des caractéristiquesDans le cas où tous les points du matériau subissent une transformation homogène,

l'équation des points situés sur l'ellipsoïde à l'instant t0 se transforme en :

xTt .F−1T .QT .[R].Q.F−1.xt = 1 (3.8)

qui avec le théorème de décomposition en valeurs singulières appliqué à la matrice dusecond ordre symétrique, s'écrit :

xTt .F−1T .QT .[R].Q.F−1.xt = xT

t .(Q′)T .[R′].Q′.xt (3.9)où Q′ est le nouveau tenseur d'orientation du repère de l'ellipsoïde dans le repère spa-

tial. On remarque la forme similaire de 3.9 et de l'équation 3.5. Un ellipsoïde se transformeen un nouvel ellipsoïde. Les nouvelles caractéristiques sont données par la décompositionen valeurs singulières. Cette dernière forme permet alors de déterminer l'orientation et laforme de l'ellipsoïde. Lorsque le comportement de la matrice est dépendant du taux dedéformation il est intéressant de développer les formes taux de cette équation pour tenterde trouver le lien qui existe entre l'évolution des rayons et le gradient de la transformation.

3.3.3 Forme taux des changements de caractéristiquesLe deuxième terme de l'équation 3.9 va être dérivée par rapport au temps. on obtient :

xTt .QT

t .[Rt].Qt.xt + xT .QTt .[Rt].Qt.xt + xT .(Qt)

T .[Rt].Qt.xt+

xTt .QT

t .[Rt].Qt.x + xTt .QT

t .[Rt].Qt.xt = 0 (3.10)

et en remarquant que xt = Lt.xt et Q = WQ.Qt :


xTt .(LT

t .QTt .[Rt].Qt + WQ.[Rt].Qt+

QTt .[Rt].Qt + QT

t .[Rt].WQ + QTt .[Rt].Qt.L).xt = 0 (3.11)

que l'on simplie en factorisant par Qt à droite et par QTt à gauche :

xTt .QT

t .[Qt.LTt .QT

t .[Rt] + WTQ.[Rt] + [Rt] + [Rt].WQ + [Rt].Qt.L.QT

t ].Qt.xt = 0 (3.12)

Avec Qt.L.QTt correspondant au gradient des vitesses exprimées dans la base de l'el-

lipsoïde, on obtient la forme nale :

xTt .QT

t .(2[Rt].[L]sellipse + WTQ.[Rt] + [Rt] + [Rt].WQ).Qt.xt = 0 (3.13)

cette équation donne deux types d'équations diérentielles. La première correspond àl'extraction de la partie sphérique :

[Rt] = −2Diag(([Rt].[L]ellipse)s) (3.14)

[Rt] est diagonale. Le signe moins provient de la forme de [Rt]. On a alors la variationde [Rt] qui est fonction du taux de déformation homogène. Cela rappelle les développe-ments de Rice et Tracey revus dans le paragraphe suivant. Le deuxième type d'équationscorrespond à la partie antisymmétrique et donnera l'évolution de la rotation de la cavitédans le repère de travail. Cette équation est complexe. Le taux de rotation de l'ellipse dansle repère de travail sera alors xé par une loi constitutive s'inspirant de la représentationdes fonctions isotropes.

3.4 Principe de Rice et TraceyDans cette partie, les développements de Rice et Tracey sur la croissance d'une cavité

dans une matrice rigide plastique [7] sont repris à l'identique. Ensuite, ils sont adaptés àdeux comportements, le premier pour une matrice écrouissable, le second pour une matriceayant un comportement orthotrope caractérisé par un potentiel quadratique de Hill. Lemodèle de Rice et Tracey va nous servir de base pour les développements ultérieurs d'unpotentiel plastique d'une matrice poreuse. D'autres contributions ont traité ces types decomportement. Tracey [41], et plus récemment Leblond et coll. [42], ont traité le cas d'unematrice à écrouissage exponentiel. Les résultats sont numériques et ils ne donnent pas deforme analytique à exploiter. Pour observer la modication de l'écrouissage suivant lescaractéristiques du matériau, des fonctions et des abaques sont proposés en fonction dela pente instantanée de l'écrouissage. L'endommagement sera alors fonction du type dechargement. Le deuxième type de comportement est pour une matrice anisotrope. Cecomportement a été utilisé dans la dérivation d'un modèle de Gurson par Benzerga etBesson [16]. Leur travail sera adapté au cas du principe variationnel proposé.

L'endommagement est localisé au voisinage d'inclusions. Le modèle de Rice et Traceyayant été établi pour une cavité vide, il est modié pour prendre en compte l'inclusion

3.4. PRINCIPE DE RICE ET TRACEY 57

à l'intérieur de la cavité sphérique. Dans ce cas, il est considéré que la décohésion a eulieu tout au long de l'interface, préalablement à la phase de croissance. Ainsi, seule lacondition de contact unilatéral est prise en compte.

Pour l'application au niveau macroscopique, il faut adapter le travail de Rice et Traceypour une matrice innie au cas d'une cellule de dimensions nies.

3.4.1 PrincipeRice et Tracey [7] proposent, pour déterminer l'évolution d'une cavité dans une matrice

plastique innie, de trouver le champ de vitesses qui minimise la dissipation (principe detravail plastique maximum). Ils postulent la forme suivante du champs de vitesses sous laforme :

vi = Dijxj + AvAi + BvB

i (3.15)

où vi est la vitesse locale dans le matériau avec cavité, Dij correspond au taux dedéformation plastique à l'inni, vA

i est le champ de vitesse permettant de prendre encompte le changement de taille de la cavité et où vB

i est le champ de vitesse permettantde prendre en compte le changement de forme de la cavité. vi doit être telle que le champde vitesse doit être incompressible .

On peut remarquer que cette forme peut être exprimée d'une manière similaire pourune cellule de dimensions nies.

vi = DDij xj + AvA

i + BvBi (3.16)

où cette fois DDij correspond au taux de déformation macroscopique déviatorique et

les champs vAi et vB

i sont identiques. On suppose alors que la dilatation est égale à :

Dkk =1

V

∫

S

AvAi nidS (3.17)

Contrairement à Gurson, la dilatation n'est pas un paramètre. Par contre, une condi-tion aux limites est en contrainte moyenne. On suppose une décroissance susammentrapide en R et de faibles fractions volumiques telle que la contribution du changementde forme n'intervienne pas au niveau macroscopique. On connaît alors les déformationsmacroscopiques. Les développements cellule nie/innie sont alors très proches. Les ré-sultats pour une dimension nie sont alors à normaliser par D pour la cellule nie quicorrespond à la déformation équivalente en traction.

Le champ proposé peut être modié an d'améliorer la solution. Budiansky et coll. [8]proposent d'étendre le champ de changement de forme. Cette amélioration permet uneplus grande croissance pour de hauts taux de triaxialité comme l'a montré Huang [43].Dans les développements suivants, on gardera la forme originale de Rice et Tracey.

L'expression locale du principe de Hill s'écrit :

(σDij − (σD

ij )∗)Dij ≥ 0 (3.18)


où σDij est la contrainte déviatorique locale et (σD

ij )∗ un état de contrainte déviato-

rique quelconque à l'intérieur de la surface de charge. Appliquée à une cellule innie, ilsdénissent la fonctionnelle :

Q(v) =

∫

V

(σij − σij)DijdV −∫

S

σijnivjdS (3.19)

où σij correspond à l'état de contrainte qui existerait si la cellule était non poreuse.C'est cette fonctionnelle traduisant le principe de Hill qu'il convient de minimiser suivantla forme du champ de déplacement. Rice et Tracey montrent que les champs des vitessesdoivent satisfaire certaines conditions pour assurer l'existence de l'intégrale de volumedans le cas rigide plastique et écrouissable.

Ce principe variationnel peut se modier pour être écrit en incrément de déplacementet de déformations plutôt qu'en vitesses et taux de déformations. On écrit alors :

Q(δu) =

∫

V

(σij − σij)δεijdV −∫

S

σijniδujdS (3.20)

Ce principe sera particulièrement utile lorsqu'on cherchera à résoudre le problème lorsd'un comportement plastique écrouissable.

Les champs de Rice et Tracey sont dans le cas d'une solution en traction :

vAi = D(

R0

R)3xi (3.21)

etvB

R =1

R2sin(φ)

∂ψ

∂φ, vB

φ =1

Rsin(φ)

∂ψ

∂R(3.22)

où ψ = 12R3

0F (R)sin2φcosφ et F(R) une fonction satisfaisant l'incompressibilité s'ins-pirant de l'écoulement d'un uide visqueux au voisinage d'une boule. Elle satisfait àF (R0) = 1. R est le rayon du point considéré. Avec ces conditions, l'évolution des rayonsde la cavité peut s'exprimer en fonction des constantes à identier.

vr(R0, 0) = (A + 1 + B)DR0, vr(R0,π

2) = (A− 1 + B

2)DR0 (3.23)

Cette forme est intéressante. Si on considère la croissance de la cavité sphérique derayon R0, on remarque que la dilatation instantanée de la cavité n'est pas fonction duterme de changement de forme B. La dilatation instantanée est exprimée par :

Vv

Vv

= 3R0

R0

(3.24)

où Vv est le volume de la cavité. Cette forme masque un certain nombre de propriétésintéressantes pour la suite. Il faut mieux voir dans la dilatation la somme des 3 vitessesdes rayons(cas de l'ellipsoïde). On écrit alors :

Vv

Vv

=vr(R0, 0)

R0

+ 2vr(R0,

π2)

R0

(3.25)

qui se simplie par :


Vv

DVv

= 3A (3.26)

La forme 3.25 est intéressante car elle fait intervenir les vitesses des rayons. Cetteremarque prendra tout son sens lorsqu'on étudiera les cavités elliptiques.

Les champs de vitesses sont supposés connus. Il reste à expliciter le lien entre contrainteset déformations. Les taux de déformation sont liés aux vitesses par la relation :

Dij =1

2(vi,j + vj,i) (3.27)

Dans ce contexte, il faut un lien entre les contraintes et les taux de déformation. C'estla loi de comportement qui l'assurera.

3.4.2 Lois de comportementLe comportement de la matrice va être un élément prépondérant du comportement de

la cellule. Trois types de comportement plastique seront considérés. Le premier considérerala matrice parfaitement plastique et isotrope. Le second correspond à une matrice orientée,par exemple par un allongement des joints de grains lors de la mise en forme du matériauet le comportement de la matrice sera considéré rigide plastique orthotrope. Le troisièmecorrespond à une matrice de matériau linéairement écrouissable.

Matrice isotropeRice et Tracey ont étudié le cas d'une matrice isotrope. La loi reliant les contraintes

et les déformations est :

σDij =

√(2)τ0

Dij

(DijDij)12

(3.28)

où Dij = 1/2(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi). τ0 est la limite d'écoulement identiée en cisaille-ment. Cette forme de la contrainte déviatorique doit être introduite dans la fonctionnelle3.19. Cette dernière est uniquement fonction des champs de vitesses introduits. La mini-misation de la fonctionnelle en fonction des coecients des champs tests est eectuée. Unefois les coecients trouvés, le champ de vitesse est connu et donc l'évolution instantanéede la cavité.

Matrice orthotropeUne loi de plasticité type Hill est introduite an de prendre en compte une éventuelle

anisotropie du voisinage de la cavité. Dans sa forme la plus générale, le potentiel orthotropede Hill s'écrit :

f = F (σ33−σ22)2 +G(σ33−σ11)

2 +H(σ11−σ22)2 +2Lσ2

13 +2Mσ231 +2Nσ2

12− k2 (3.29)


où F,G,H,L,M et N sont les coecients du critère de Hill et k le paramètre d'écrouis-sage du matériau composant la matrice. Les contraintes sont exprimées dans le repèred'orthotropie. On reviendra sur une autre expression lors de la résolution de la plasticitéorthotrope induite lors de la modélisation macroscopique et numérique.

La loi d'écoulement est caractérisée de manière classique par :

Dij = λ∂f

∂σij

(3.30)

où λ est le multiplicateur plastique. Si on introduit la contrainte eective sous laforme :

σ2e = 3/2(F (σ33−σ22)

2 +G(σ33−σ11)2 +H(σ11−σ22)

2 +2Lσ213 +2Mσ2

31 +2Nσ212) (3.31)

la déformation équivalente D = 23σeλ est (voir Chen[44]) :

D = (2

3(F + G + H)[(F (GD22 −HD33)

2 + G(HD33 − FD11)2 +

H(FD11 −GD22)2)/(FG + GH + HF )2 +

D232

2L+

D231

2M+

D221

2N])1/2 (3.32)

Ainsi le multiplicateur est identié et la contrainte peut être exprimée en fonction desdivers taux de déformations en inversant l'équation 3.30. On obtient :

σD11 = 1/3/λ(2FD11 −GD22 −HD33)/(FG + GH + HF )(F + G + H)

σD22 = 1/3/λ(−FD11 + 2GD22 −HD33)/(FG + GH + HF )(F + G + H)

σD33 = 1/3/λ(−FD11 −GD22 + 2HD33)/(FG + GH + HF )(F + G + H)

σ12 = D12/L/λ(F + G + H)σ13 = D13/M/λ(F + G + H)σ23 = D23/N/λ(F + G + H)

(3.33)

Ces contraintes sont introduites dans la fonctionnelle 3.19 et les paramètres des champstests sont minimisés.

Remarque : Pour retrouver le comportement isotrope d'une matrice, les constantes deHill doivent être égales à F=G=H=1 et L=M=N=3

Ecrouissage linéaireL'écrouissage est introduit dans le modèle d'évolution de cavité, pour prendre en

compte le durcissement de la matrice. Budiansky et al. [8] ont introduit le comportementd'une matrice visqueuse. Il montre que la dilatation est fonction de l'exposant choisi. Pluscet exposant est grand, plus le taux de dilatation augmente. Dans le cas critique où ntends vers∞, les résultats de Rice et Tracey [7] sont retrouvés. Le principe est formulé envitesses ce qui empêche toute prise en compte de l'écrouissage dans une matrice plastique.En écrivant, le principe de Rice et Tracey de manière incrémentale, l'écrouissage peut être


introduit de manière simpliste. Le but est de prendre en compte l'eet du comportementplastique de la matrice sur l'évolution du taux de dilatation. Seul le cas de l'écrouis-sage linéaire est pris en compte, car les lois de comportement, au niveau des simulationsd'opérations de mise en forme sont souvent tabulées.

Dans le cas de l'écrouissage linéaire, la relation entre la contrainte équivalente et larésistance du matériau devient :

τe = τ0 + Kεp (3.34)où εp est la déformation équivalente de cisaillement. Lorsque le principe de Rice et

Tracey 3.19 est appliqué, aucune évolution de la structure interne n'est prise en comptecar la résistance de la matrice n'évolue pas. Ce n'est plus le cas si une matrice isotrope àécrouissage linéaire est considérée. Si on applique le principe sous sa forme incrémentaleà une matrice poreuse, il ne sera valable que pour une matrice vierge avec une contraintehomogène σ0 dans toute la matrice. Néanmoins, cela montrera l'inuence qualitative dumodule d'écrouissage sur l'évolution de la cavité. Dans ce cas, la relation entre la contrainteéquivalente et la résistance en traction devient :

σe = σ0 + K0δεp (3.35)

Les champs des incréments de déplacements spatiaux sont les mêmes que les champsdes vitesses.

Pour comparer, les résultats de l'écrouissage linéaire sont normalisés par la résistanceinitiale à l'écoulement. On introduit le paramètre k qui correspond à la perturbation dela solution par rapport à la solution sans écrouissage :

k =K

τ0

(3.36)

que l'on peut aussi exprimer en fonction du module d'écrouissage (K0) lors d'uneidentication en traction grâce à :

K

τ0

=2√3

K0

σ0

(3.37)

3.4.3 Solution originaleOn va développer la solution de manière identique à Rice et Tracey. On montrera

alors l'exploitation des courbes et les formules analytiques déduites. Les conditions auxlimites, sont telles que le champ de taux de déformation déviatorique correspond à celuid'une traction et que l'on ait à l'inni une contrainte moyenne xée. La déformationdans la direction de traction est D. On assimile alors cette déformation à la déformationéquivalente en traction. La dilatation s'exprimera alors en fonction de ces deux conditionsà priori indépendantes.

À partir de l'approximation pour des hauts taux de triaxialités (cf. paragraphe sui-vant), Rice et Tracey déduisent une forme exponentielle pour le coecient A. Comme lecomportement de croissance est symétrique en traction ou en compression hydrostatique,ils choisissent une forme en sinus hyperbolique. Cette forme est :


a,0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

σm

/σ0

dila

tation

fonction courant 1fonction courant 2fonction courant 3fonction courant 4

b,0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

σm

/τ0

1+

B

Fonction courant 1Fonction courant 2Fonction courant 3Fonction courant 4

Fig. 3.2 Résultats originaux de Rice et Tracey pour plusieurs fonctions de courant.a,dilatation(3A)/comparaison avec la forme analytique proposée ;b,1+B partie quantiantle changement de forme

A = 0.558sinh(3

2

σm

σ0

) (3.38)

On répète que pour des hauts taux de triaxalité, on peut trouver des dilatations plusimportantes en améliorant les champs [43]. Cette forme donne une idée de la dilatation.On simpliera souvent le 0.558 par 1/2. On remarque la dépendance non-linéaire de ladilatation vis à vis de la contrainte moyenne. Pour la forme de B, ils supposent que cedernier paramètre est invariant et le choisissent égal à 5/3.

Le champ de vitesse s'écrit alors :

vi =5

3DiR0 +

1

2sinh(

3

2

σm

σ0

)DR0 (3.39)

On remarque que cette forme dépend du rayon. Lorsqu'on somme les 3 vitesses, ona alors uniquement le terme relatif à la dilatation qui intervient. La forme générale estalors l'addition d'un terme dû à la transformation de la matrice saine et d'un terme d'ex-pansion. On retrouve alors le concept introduit lors de la transformation d'une géométrieelliptique dans une transformation homogène. Cela nous permettra d'adapter ce cas à uneorientation quelconque du défaut.

Pour l'adaption à des cellules de dimensions nies, on remarque que le résultat pré-cédent n'est jamais intégré sur l'inni. Les vitesses diminuant en 1/R2, l'intégrale seraquasi identique pour de faibles fractions volumiques. Il convient de vérier cette assertioncas d'une cellule de dimension nie, il convient de vérier que le résultat n'est pas tropmodié par cette considération. Sur la gure 3.3, le principe variationnel a été calculépour une cellule de dimensions innies et les résultats ont été comparés au cas du résulatd'une cellule de dimensions nies.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

25

30

σm

/σ0

A

cellule infinie0.1 pour cent 8 pour cent

Fig. 3.3 Résultats du principe de Rice et Tracey pour diérentes fractions volumiques.


On remarque sur la gure 3.3 que pour de fortes fractions volumiques la solution di-verge de celle d'une matrice innie. Par contre pour des métaux (comportant des fractionsvolumiques faibles 0.1%), l'approximation est bonne. On étendra alors ce résultat.

3.4.4 Approximation pour des hauts taux de triaxialitéRice et Tracey montrent que la dilatation devient rapidement plus importante que le

changement de forme. Dans ce cas, ils cherchent à approcher cette solution pour de hautstaux de triaxialité. Ils montrent alors que la solution trouvée est une bonne approxima-tion de la solution à bas taux de triaxialités pour une sollicitations en traction. On vachercher à exploiter leur démarche dans le cas de la matrice orthotrope et dans le cas dela matrice à écrouissage linéaire. Dans le cas de la matrice orthotrope une solution exacteest impossible. On suit alors la méthode de Benzerga et Besson [16] pour un potentielanisotrope de Hill type Gurson pour approcher la solution. Dans le cas de la matrice àécrouissage linéaire, une forme exacte est aussi impossible à obtenir. Les dernières ap-proches connues (Tracey [41] et Leblond et coll. [42]) étaient numériques. On proposeraalors dans le paragraphe suivant la création d'abaques pour approcher la solution.

Matrice orthotrope

On désire approcher la solution pour un milieu anisotrope. On doit approcher la valeurde A. Rice et Tracey pour approcher cette partie dilatatoire proposent une étude de leurprincipe de manière analytique pour de forts taux de triaxialité. On notera les formulesprécédentes 3.33 sous la forme suivante :

σD =σ0

Dh : D (3.40)

où h est un tenseur du quatrième ordre caractérisant l'orthotropie plastique et σ0 estla contrainte d'écoulement identiée en traction. Dans ce cas, le principe variationnel pourles forts taux de triaxialités se simplie en :

∫

V

(σD − σD∞) : DAdV = σm

∫

S

vAi nidS (3.41)

où DA est la partie du taux de déformation relatif au coecient A. La déformationplastique équivalente, s'écrit à partir de la loi de comportement choisie 3.40 :

D =

√2

3D : h : D (3.42)

Avec la loi de comportement 3.40 et la décomposition des taux de déformations en unepartie due aux actions à l'inni et une partie due à la dilatation de la sphère, le principes'écrit alors :


∫

V

2

3

σ0√23(D∞ + ADA) : h : (D∞ + ADA)

DA : h : (D∞ + ADA)−

2

3

σ0√23D∞ : h : D∞

DA : h : D∞dV = σm

∫

S

vAi nidS (3.43)

Si on développe les diérents termes et en remarquant que :

DA =R3

0

R3DnA (3.44)

où nA = −2er ⊗ er + eθ ⊗ eθ + eφ ⊗ eφ et où on note dans le repère sphérique :

D∞ = Dn∞ (3.45)

où suivant le chargement, n∞ varie suivant l'orientation. Ces diérentes grandeursne sont fonction que de l'orientation. À partir de là, on introduit de manière identiqueaux travaux de Rice et Tracey la grandeur λ = R3

0/R3. On rajoute deux constantes

P = nA : h : n∞ et Q = nA : h : nA. Le principe variationnel s'écrit alors :

2

3σ0DR3

0

∫

Ω

∫ 1

0

−P/λ− AQ√1 + 2AλP + A2λ2Q

+P

λdλdΩ = σm

∫

S

vinidS (3.46)

que l'on peut intégrer en λ et que l'on peut également intégrer pour le membre dedroite. En considérant A grand, on peut simplier l'équation et obtenir :

2

3σ0DR3

0

∫

Ω

√QdΩ ln A + . . . = σmDR3

0π (3.47)

Pour déterminer ce type d'équation, on doit calculer∫Ω

QdΩ :

1√6

∫

Ω

√QdΩ =

∫ π

0

∫ 2π

0

√nA : h : nAsinφdθdφ (3.48)

il reste à exprimer h et nD dans le repère sphérique. Cette intégrale n'a pas de solutionanalytique. On rappelle que le A cherché minimise la dissipation. Donc si on remplacedans l'équation

∫Ω

√QdΩ par

√∫Ω

QdΩ comme

∫

Ω

√QdΩ ≤

√∫

Ω

QdΩ (3.49)

alors la valeur A qui minimise le nouveau problème est une estimation supérieure duproblème. Cette démarche s'inspire des travaux de Benzerga et Besson [16]. Si on note :

h =

∫

Ω

QdΩ (3.50)


on obtient après intégration et avec la loi de comportement anisotrope dénie précé-demment :

h = 6/5G2H

(FG + GH + HF ) M+

18

5

FGH

(FG + GH + HF ) M+ 6/5

G2H

L (FG + GH + HF )

+8/5HF

FG + GH + HF+ 6/5

F 2G

(FG + GH + HF ) N+ 6/5

F 2G

(FG + GH + HF ) M

+6/5F 2G

L (FG + GH + HF )+ 6/5

HF 2

(FG + GH + HF ) M+ 6/5

HF 2

(FG + GH + HF ) N

+6/5HF 2

L (FG + GH + HF )+ 4/5

F 2

FG + GH + HF+ 6/5

FG2

(FG + GH + HF ) N

+6/5G2H

(FG + GH + HF ) N+ 6/5

FG2

(FG + GH + HF ) M+ 8/5

GH

FG + GH + HF

+18

5

FGH

(FG + GH + HF ) N+ 8/5

FG

FG + GH + HF+ 6/5

FG2

L (FG + GH + HF )

+4/5G2

FG + GH + HF+ 6/5

GH2

(FG + GH + HF ) N+ 6/5

GH2

(FG + GH + HF ) M

+6/5H2F

(FG + GH + HF ) M+ 6/5

H2F

(FG + GH + HF ) N+ 6/5

H2F

L (FG + GH + HF )

+6/5GH2

L (FG + GH + HF )+ 4/5

H2

FG + GH + HF+

18

5

FGH

L (FG + GH + HF )(3.51)

Cette forme n'est pas simpliée mais est symétrique en F, G, H, L, M et N. Ainsila variation de l'un des coecients du modèle a la même inuence. Elle donne la formesuivante du coecient A :

A = C(ν)exp(3

2

√6√h

σm

σ0

) (3.52)

que l'on symétrise de la même manière que Rice et Tracey :

A = 0.558 sinh(3

2

√6√h

σm

σ0

) (3.53)

Sur la gure 3.4, on remarque la bonne approximation de la solution approchée ana-lytique et de celle issue des calculs numériques.

Ecrouissage linéaire

Dans un premier temps, il faut remarquer que Rice et Tracey proposent une versionpour l'écrouissage linéaire. Ils obtiennent une solution par une analogie élastique. Lecoecient est constant. Il n'évolue pas suivant le chargement (taux de déformation ettempérature).


a,0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

σm

/σ0

Dila

tatio

n,D

Dilatation pour un matériau orthotrope de Hill, pour F=2,G=H=1,L=M=2,N=3

modèle analytique minimisation du principe variationnel

b,0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Dilatation matériau orthotrope et isotrope

σm

/σ0

D

OrthotropeIsotrope

Fig. 3.4 Résolution du problème anisotrope. a, Comparaison du modèle anisotropeproposé. b,Modèle isotrope vs. modèle orthotrope de Hill

On reprend les développements pour de hauts taux de triaxialité. La loi de comporte-ment est alors modiée pour le cas d'une matrice écrouissable linéaire. Le premier termes'écrit :

1√3π

∫

Ω

∫ 1

0

[A− µ/2λ

(4A2λ2 − 4Aµλ + 1)12

+ K(A− µ/2λ) + µ/2λ + Kµ/2λ)]dλdΩ (3.54)

Si les considérations de Rice et Tracey sont reprises, A est solution de :

KA + 1/2 ln(4A) =σm

τ0

(3.55)

Le A solution de cette équation est une fonction de Lambert qui n'a pas de forme àbase de fonctions simples. On préfère approcher une fonction de la solution de l'équation3.19.

La solution de Rice et Tracey est modiée et interpolée pour des taux de triaxialitésallant de 0 à 2, cas de triaxialités le plus communément rencontrés dans les opérations demise en forme.

Remarque : Dans Rice et Tracey, la contrainte initialement utilisée est identiée encisaillement.

L'approximation s'eectuera par morceaux. La première fonction sera une modicationde la forme obtenue par Rice et Tracey :

A = f(k)0.558sinh(g(k)3

2

σm

σ0

) (3.56)

valable lorsque k aura de petites valeurs et pour des taux de triaxialité inférieurs à 2.La deuxième valable pour de grandes valeurs de k (>0.2) sera une approximation linéaire :


A = c(k)σm

σ0

(3.57)

Les fonctions ont les formes des gures 3.5,a et b.

a,0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

K/τ0

f(k)g(k)

b,0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

K/τ0

c(k)

Fig. 3.5 Valeurs des fonctions.a,Pour la modication de Rice et Tracey. b,Fonction c(k)pour approximation de la solution

Les fonctions approchent la solution numérique de Rice et Tracey. Deux courbes sonttracées pour diérents intervalles. La première gure a de 3.6 montre l'interpolation pourune valeur de k inférieure à 0.2. La deuxième b de 3.6 montre l'interpolation pour ksupérieur à 0.2.

a,0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

σm

/σ0

Dila

tatio

n

RT(solution) RT(interpolé) k=0.2(solution) k=0.2(interpolé)

b,0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

σm

/σ0

Dila

tatio

n

k=0.2(solution) k=0.2(interpolé) k=1.45(solution) k=1.45(interpolé)

Fig. 3.6 Approximation de la solution numérique pour un écrouissage linéaire pour lesdeux intervalles choisies


On remarquera que la solution originale de Rice et Tracey n'est pas retrouvée pourk=0. La fonction identiée par Rice et Tracey l'a été sur un intervalle de taux de triaxialitéplus important. Pour un intervalle réduit, le résultat est diérent.

Remarque : Les calculs ont été menés de manière identique pour B. B a tendance àdiminuer vers 0 avec l'écrouissage. La modication doit intervenir dans l'expression enremplaçant 5/3 par une fonction de k.

3.4.5 Comparaison des comportementsOn va comparer succinctement l'évolution de cavités pour les diérents comportement

en fonction de la triaxialité pour les modèles analytiques proposés Isotrope Orthotrope F=G=1,H=1.5,L=M=N=3 Ecrouissable k=0.1On suppose une sollicitation en traction. On obtient alors le comportement sur la

gure 3.7. On remarque que le comportement le plus dilatatoire est le comportement

a,0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

27.5

30

σm

/σ0

dila

tation

rigide plastiqueorthotrope ecrouissage

rigide plastique

b,0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

σm

/σ0

dila

tation

rigide plastiqueorthotrope ecrouissage

Fig. 3.7 Comparaison des divers comportements introduits.b, faibles taux de triaxialités

rigide plastique. Ce modèle nous sura dans une approche sécuritaire de calcul de ruinede la strucure. Cependant, il vaut mieux prédire le plus précisemment les défauts pourune meilleur approximation de la durée de vie des pièces. On va voir que l'introductiondu contact matrice inclusion augmente encore la dilatation pour des taux de triaxialitésintervenant en mise en forme.

3.4.6 Cas d'un contact inclusion-matriceIl semble bien établi que l'endommagement se développe au voisinage de cavités. Les

modèles précédents sont valables lorsque la cavité est totalement détachée de l'inclusion.Ces modèles sont tout à fait adaptés lors de l'étude en phases nales de l'endommagement.


Par contre, pour prédire l'évolution de l'endommagement dans les matériaux lors de leurmise en forme, il convient de modéliser ce contact inclusion/matrice lors de la déformationà de faibles taux de triaxialité.

Lorsqu'un contact entre la matrice et l'inclusion est considéré, la solution originaleest modiée. Le contact perturbe la solution. Il faut alors contraindre le problème and'imposer une vitesse nulle si le contact a lieu entre la matrice et l'inclusion. Cela imposeune relation entre A et B. La méthode choisie est une minimisation sous contrainte.

Suivant le type de contact (équatorial ou azimuthal), la condition de contact unilatéralsera :

Rcavite = Rinclusion (3.58)et

Rcavite ≤ 0 (3.59)Le problème est schématisé sur la gure 3.8. C'est une modélisation grossière qui

néanmoins donne des idées qualitatives.

Fig. 3.8 Évolution d'une cavité autour d'une inclusion. Schéma de principe dans le casde contact équatorial

La considération de ce type de comportement a été tout d'abord développé au La-boratoire par Staub et Boyer [45] avec intégration au niveau macroscopique (cf.chapitre


suivant). Des travaux identiques ont été adaptés au cas des cavités elliptiques axisymé-triques dans un travail de Siguret [15] à Paris VI.

Le but est de comparer la solution du champ de vitesses donné par le modèle de Riceet Tracey avec le champ obtenu numériquement par le problème contraint.

La contrainte s'écrit :

vr(R0, 0) = 0 (3.60)ou

vr(R0,π

2) = 0 (3.61)

suivant le type de contact si les conditions de contact sont rencontrées. Le but de l'étudeest toujours l'évolution de la dilatation. Lorsqu'il y a contact, la partie changement deforme aura une inuence puisque la partie 1+E ne sera pas annulée par (1+E)/2 (vitessenulle). Si on approche la solution par le champ obtenu en 3.39, la dilatation au lieu d'être3A est donnée par le rapport de la vitesse croissante sur le rayon. On a alors la dilatationégale à :

Vv

DVv

=5

3ni +

1

2sinh(

3

2

σm

σ0

) (3.62)

où ni est la normale à l'écoulement suivant la direction i. Dans le cas d'une cavitésphérique cette normale s'exprime simplement en fonction du paramètre de Lode. On re-marque l'intervention de l'écoulement plastique dans la dilatation. On reverra au momentde l'intégration du potentiel plastique cette expression.

Les résultats sont montrés sur la gure 3.9.Les résultats sont tracés pour des contraintes moyennes positives. Le résultat n'est pas

symétrique par rapport à l'origine. On remarque que les deux dilatations obtenues nu-mériquement et analytiquement sont relativement proches. Elles donnent qualitativementles mêmes informations. La forme de Rice et Tracey est intéressante puisqu'elle donneune solution indépendante de l'évolution des autres rayons. Si on considère un ou deuxcontacts, les solutions ne seront pas identiques pour le champ de vitesses. Si on choisit,les diverses solutions indépendantes les unes des autres, on aura alors une seule vitesseassociée à chaque rayon et ceci quels que soient les contacts mis en jeu. Cela simplieraconsidérablement l'analyse au niveau du potentiel plastique. Avec ou sans contact, onchoisira une seule forme pour l'évolution des rayons correspondants au modèle de Rice etTracey. Une remarque importante est que si on augmente la contrainte moyenne, alors aubout d'un moment les vitesses d'évolution des rayons en contact deviennent positives detelle sorte que la dilatation est la somme des 3 vitesses. On retrouve la dilatation obtenuepar minimisation du principe de Rice et Tracey .

3.4.7 Forme de ThomasonThomason [11] s'inspire de la forme trouvée par Rice et Tracey, pour donner une

version tri-dimensionnelle de l'évolution d'une cavité dans une matrice rigide plastique. Ilpropose simplement d'appliquer la formule 3.39 au cas des cavités elliptiques. Il remarque


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

σm

/σ0

Dila

tatio

nSolution numérique Rice et Tracey/Cavité Rice et Tracey/Inclusion

Passage 2 contacts / 0 contact

Fig. 3.9 Comparaison des diérentes dilatations

que la formule est établie pour des cavités sphériques d'une façon telle qu'il propose dechanger le rayon de la sphère par un rayon équivalent ou moyen. Il faut alors se donnerune dénition de ce rayon moyen. Deux sont possibles :

R =1

3(R1 + R2 + R3) (3.63)

ou encore

R = (R1R2R3)13 (3.64)

Dans ces deux cas, la forme modiée de 3.39 est simplement :

vi =5

3DiR +

1

2sinh(

3

2

σm

σ0

)DR (3.65)

dans le cas d'une matrice rigide plastique. Cette forme servira de base pour l'évolutionde la cavité. On introduira dans cette équation toutes les modications dues aux diverscomportements. Dans le cas du contact, on gardera cette forme d'évolution. Il faut doncs'assurer que cette forme donne une bonne approximation de la loi d'évolution des rayonsassociés à la cavité. Dans ce but, on va mener une étude éléments nis succincte, qui nouspermettra d'optimiser les coecients introduits.

On s'intéresse au changement de rayons lorsque l'ellipsoïde est orienté par rapport auchargement. Il faut alors exprimer la loi d'évolution pour les rayons. On s'inspirera del'évolution d'une géométrie ellipsoïde. La loi s'écrit par analogie :

3.5. MODÈLE ÉLÉMENTS FINIS POUR LA CROISSANCE 73

ri = (5

3[Dp

ii]ellipsode +1

2sinh(

3

2

σm

σ0

)D)R (3.66)

où [Dpii]ellipsoide est le taux de déformation plastique exprimé dans le repère lié à l'el-

lipsoïde, que l'on réécrit :

ri = (5

3[nii]ellipsoide +

1

2sinh(

3

2

σm

σ0

))DR (3.67)

Une idée est de remplacer le R par le Ri. Les modèles éléments nis de la partiesuivante montrent une meilleur approximation de l'évolution des rayons avec R.

3.5 Modèle éléments nis pour la croissanceLa modélisation éléments nis fait intervenir une cellule de dimension nie. La forme

de Thomason 3.65 s'adapte à une cellule. Le taux de déformation Di n'est par contre pasconnu. On remarque cependant que Di

Dcorrespond à la normale à la surface de charge

dans une matrice saine et s'exprime simplement en fonction des contraintes déviatoriques.Un grand nombre de modèle éléments nis ont été développés pour étudier l'évolution

d'une cavité dans une matrice plastique. L'étude la plus conséquente est celle de Kopliket Needleman [9]. Siguret [15] a également mené ce genre d'étude pour l'étude de lacoalescence à de faibles taux de triaxialités dans le cas d'une inclusion. Ces modèles ontété essentiellement développés en modèles axisymmétriques. Récemment, Zhang, Bai etFrancois [46] ont étudié l'évolution d'une cavité dans une cinématique triaxiale. Ils étudientla croissance en fonction du taux de triaxialité et du paramètre de Lode. On va reprendreces développements pour observer la validité du choix du modèle de Thomason. Diérentesconditions vont devoir être remplies. La première est le maintien du taux de triaxialitéet du paramètre de Lode. Ensuite, il va falloir extraire de la résolution incrémentale desformes taux pour comparer au modèle de Thomason.

La forme de Rice et Tracey modiée par Thomason 3.67 peut être réécrite :

ri = (c1nii + c2sinh(3

2

σm

σ0

))RD (3.68)

Deux essais à paramètre de Lode (ν = −3 D2

D1−D3) et à taux de triaxialité diérents

vont être eectués pour identier les constantes c1 et c2. On peut également développerune méthode des moindres carrés sur un ensemble de résultats. Quelques grandeurs sontintroduites pour l'exploitation des résultats éléments nis. La déformation dans le repèrede travail est dénie par :

Ei = ln(lil0

) (3.69)

où Ei est la déformation macroscopique dans la direction i. li et l0 sont respectivementles longueurs à t et à t0 de la cellule dans cette direction. Les contraintes sont telles qu'ontravaille sur un volume spatial. Le suivi lagrangien réactualisé nécessite que les contraintessoient ramenées sur la surface du volume. On a alors la dénition de la contrainte :


1

2

3

Fig. 3.10 Maillage 3D pour la simulation de la croissance de la cavité

Σi =1

Si

∫

Si

σ.nidS (3.70)

On choisit une cinématique triaxiale. Le repère de la cellule coïncide avec les directionsprincipales du chargement. La contrainte moyenne est simplement dénie simplement par :

Σm =Σ1 + Σ2 + Σ3

3(3.71)

La contrainte d'écoulement est dénie par l'expression suivante :

Σeq =

√3

2((Σ3 − Σ2)2 + (Σ2 − Σ1)2 + (Σ1 − Σ3)2) (3.72)

Le taux de triaxialité est alors déni par :

T =Σm

Σeq

(3.73)

et le paramètre de Lode par :

ν =2Σ2 − Σ1 − Σ3

Σ1 − Σ3

(3.74)

Si Σ1 > Σ2 > Σ3.

3.6. ROTATION DE LA CAVITÉ 75

Un ensemble de simulations va être eectué. On choisit les rapports de triaxialité de1/3 et 2/3 ainsi que des paramètres de Lode de 1 et 1/2. L'évolution des rayons est donnéesur les gures 3.11 et 3.12.

Les résultats permettent de visualiser la bonne corrélation du modèle et des simula-tions numériques. Sur la gure 3.11, les deux calculs issus du modèle et de la simulationnumérique sont montrés pour la sollicitation en traction et sur la gure 3.12 pour ledeuxième cas ν = 0.5 et σm/σ0 = 2/3. L'identication est réalisée par une méthode desmoindres carrés pour l'ensemble des points appartenant à la surface de l'ellipsoïde mêmesi la forme n'est plus forcément une ellipsoïde. C'est particulièrement valable dans le casde la considération de l'inclusion où la forme diverge d'une ellipsoïde. Les résultats sontle rayon en fonction de la déformation équivalente. Le rayon est intégré par une méthodeaux diérences nies. On choisit cette variable de manière à observer l'évolution d'unecavité en grandes transformations. Il est évident que plus la cellule subit des déformationsplus elle se distort et plus les caractéristiques associées risquent de modier la croissance.

La corrélation obtenue est satisfaisante. Il semble que plus la cellule subit des dis-torsions moins le modèle de Thomason semble corréler la simulation numérique. Des di-vergences apparaissent pour de grandes déformations plastiques pour lesquelles la celluleinitiale répétitive à une forme totalement diérente. Il ressort de cette analyse que lescoecients de 5/3 et de 1/2 sont gardés.

a, 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

equivalent tensile strain

radii

in m

illim

ete

r

num1

num2

cal1

cal2

num3

cal3

b, 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

déformation plastique équivalente en traction

rayo

ns

num1

num2

cal1

cal2

num3

cal3

Fig. 3.11 Evolution des rayons d'une cavité dans une matrice. Fraction volumiqueinitiale de 0.25%. Prédicition par la simulation numérique (num) et celle donnée par laversion modiée de Thomason(cal) dans le cas d'une sollicitation en traction.

3.6 Rotation de la cavitéTrès peu de travaux traitent le problème de la réorientation du défaut dans la matrice

se déformant plastiquement. Fleck et Hutchinson [47] étudient le changement d'orientation


a, 0 0.2 0.4 0.6 0.80.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Equivalent tensile strain

radii

in m

icro

mete

rs

num1

num2

cal1

cal2

num3

cal3

b, 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Déformation plastique équivalente ra

yo

ns

num1

num2

cal1

cal2

num3

cal3

Fig. 3.12 Evolution des rayons d'une cavité dans une matrice. Fraction volumiqueinitiale de 0.25%. Prédicition par la simulation numérique (num) et celle donnée par laversion modiée de Thomason(cal) pour un paramètre de Lode de µ = 0.5 et un taux detriaxialité de 2/3.

d'une cavité dans un cisaillement dans le cas d'un matériau linéairement visqueux. On vatraiter le cas d'une matrice rigide plastique.

On a vu lors de la transformation de la géométrie elliptique dans une transformationhomogène que l'ellipse avait tendance à se réorienter dans le sens du chargement. Ce pro-blème est important. Les limites de ductilité sont toujours considérées avec les directionsde l'ellipsoïde coïncidentes avec le chargement. Les chargements complexes et répétitifsdes opérations de mise en forme font que cette condition n'est pas respectée. Il faut alorspouvoir prédire la rotation du défaut dans un champ quelconque.

Un premier modèle avait montré que l'ellipsoïde suit les directions principales duchargement. On peut se demander ce que deviennent ces hypothèses en grandes trans-formations. Pour étudier la réorientation, il faut se donner un cadre théorique. Le défautpeut être assimilé à une sous-structure. Le problème se rapproche alors de la théorie dela rotation plastique pour le changement de direction de l'orthotropie [48]. Ces dévelop-pements sont adaptés en les simpliant. La théorie de la rotation plastique s'inspire de lareprésentation des fonctions isotropes. La forme de base est compliquée. Il faut pouvoiridentier les diérents coecients. On le fera à l'aide d'une simulation numérique.

On appliquera cette théorie dès lors que le défaut est elliptique. Lorsque le défaut estsphérique, il n'a pas de direction privilégiée, on n'appliquera pas la rotation de la théorieplastique. Dans ce cas particulier, le repère s'orientera suivant les directions principalesdu chargement.

3.6.1 Théorie de la rotation plastiqueOn a vu le cas de la géométrie elliptique tracée sur la matrice. Les formes développées

dans le cas de la plasticité sont données en forme taux. L'évolution de l'orientation du


Fig. 3.13 Repères introduits dans la résolution

défaut sera fournie par une relation constitutive. Ce qui nous intéresse nalement est larotation du défaut par rapport à la matière. On introduit les divers repères sur la gure3.13.

La loi proposée devra être indépendante du repère de travail. Pour cela, il est nécessairede représenter de manière objective la loi constitutive. Le repère lié à l'ellipsoïde est notépar Rel. La base attachée à ce repère est notée (l1, l2, l3). On note les tenseurs associésA1 = l1 ⊗ l1, A2 = l2 ⊗ l2 et A3 = l3 ⊗ l3 . On garde alors deux arguments1. Onmontre que si l'on garde 3 arguments, la forme nale obtenue avec la combinaison linéaireD.2 est identique au cas de deux arguments. La représentation d'une fonction tensorielleantisymmétrique anisotrope par rapport à D de directions d'orthotropie parallèles à labase présentée précédemment a pour arguments :

W = F(D,A1,A2) (3.75)On remarque que cette fonction représentera la rotation de la matière par rapport au

repère lié à l'ellipsoïde de telle sorte qu'on notera dorénavant W = Wellipsodemateriau. La fonction

tensorielle 3.75 a trois arguments. Les générateurs sont alors les combinaisons de 2 ou/et3 arguments. Les invariants appliqués à ces arguments sont à choisir dans la liste suivante,voir tableau 2.1 :

tr(D), tr(D2), tr(D3), tr(A1D), tr(A1D2), +idemA2 (3.76)

1Voir annexe D


Les septs générateurs sont, pour toutes les combinaisons possibles :

A1D−DA1,A1D2 −D2A1,DA1D

2 −D2A1D, +idemA2, +A1DA2 −A2DA1 (3.77)

En utilisant la forme 2.44, on exprime la fonction sous la forme :

Wellipsodemateriau = η1(A1.D−D.A1) + η2(A2.D−D.A2) + η3(A1.D.A2 −A2.D.A1)

η4(A1.D2 −D2.A1) + η5(A2.D

2 −D2.A2) + η6(D.A1.D2 −D2.A1.D) +

η7(D.A2.D2 −D2.A2.D) (3.78)

3.6.2 IdenticationUne première simplication consiste à garder uniquement les termes linéaires. On

aura uniquement trois coecients à identier. Les développements de Dafalias sur lechangement d'orientation de directions d'orthotropie sont appliqués à un état plan dedéformation. Il a uniquement un coecient à identier. Le but est d'établir un modèletri-dimensionnel. On doit alors garder les trois coecients η1, η2 et η3. Les coecientsdépendront de la forme des défauts. Ainsi pour un défaut sphérique qui n'a pas de direc-tion privilégiée, le taux est inni puisque la cavité se réoriente immédiatement dans lesdirections principales du chargement.

Cas simpleLe problème de l'identication est complexe puisque les trois coecients restants vont

dépendre des rayons de l'ellipsoïde. La première étude sera pour une cavité axisymmé-trique inclinée par rapport à une seule direction de chargement. Cette première étudepermettra de donner des idées sur la variation. L'équation s'écrit alors :

Wellipsoidemateriau = η1[A1.D−D.A1] + η2[A2.D−D.A2] + η3[A1.D.A2 −A2.D.A1] (3.79)

Cette quantité ne fait pas intervenir le repère de travail. C'est pour cette raison qu'elledoit être objective. Les ηi sont choisis constants quelle que soit la triaxialité ou le rapportde forme. L'essai sera donc le plus simple possible. Une des directions de l'ellipsoïdesera coïncidente avec la direction de chargement. Dans le plan perpendiculaire, elle serainclinée de quarante cinq degrés. On choisit une forme axisymétrique (simplicité au niveaudu prétraitement) par rapport à l'un des axes inclinés. Le chargement a lieu dans l'une desdirections inclinée par rapport à l'ellipsoïde sans maintien de la triaxialité. Le maillagede la cellule est le plus isotrope possible. La cellule est représentée sur la gure 3.14.

Si on eectue un chargement suivant les axes de la cellule, la matière ne subira pas derotation par rapport au repère de travail. À l'origine, l'équation suivante est à utiliser :

Wspatialmateriau = Wspatial

ellipsode + Wellipsoidemateriau (3.80)

qui se simplie en :


Fig. 3.14 Maillage pour identication du coecient η

0 = Wspatialellipsoide + Wellipsoide

materiau (3.81)

Si on repère l'ellipsoïde dans le repère de travail, on aura le taux de rotation dumatériau par rapport à l'ellipsoïde. Le cosinus directeur représentatif de l'orientation del'ellipsoïde dans le repère de travail est θ. Si on projette suivant 3 avec toutes les conditionsénoncées précédemment, on obtient :

θ + ω12 = 0 (3.82)

où θ sera identié par la simulation numérique et ω12 est donné par la loi constitutive.ω12 représente le taux de rotation du matériau par rapport à l'ellipsoïde suivant 3. Lors-qu'on exprime ce taux à l'aide de l'équation constitutive 3.79 exprimé dans le repère liéà l'ellipsoïde, on obtient :

ω12 = ηDp12 (3.83)

avec η = η1+η3−η2. Pour l'état de déformation choisi, il faut exprimer Dp12 en fonction

des déformations globales. Un état de traction suivant 1 est appliqué. La déformation dans1-2 s'écrit :

D = D1e1 ⊗ e1 + D2e2 ⊗ e2 + D3e3 ⊗ e3 (3.84)


a,0 0.05 0.1 0.15 0.2

0

1

2

3

4

5

6

7

Déformation plastique équivalente

∆ θ

/ ∆

ε

a/b=1.25a/b=1.5 a/b=1.75a/b=2. a/b=3. η=2.13

η=1.56

η=1.31 η=1.12

η=.783

b, 1 1.5 2 2.5 30.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

ηra

pport

de

s r

ayons

calcul E.F Interpolation

Fig. 3.15 Évolution du paramètre η en fonction du rapport de forme

Le repère de l'ellipsoïde est repéré par l'angle θ par rapport au repère lié à l'ellipsoïde.Si on exprime alors ce tenseur dans le repère lié à l'ellipsoïde, on extrait la composante12 :

Dp12 = −(D1 −D2) cos θ sin θ (3.85)

D1 et D2 sont déterminés par le calcul. Comme on étudie essentiellement une transfor-mation plastique, on a D2 ' −D1/2. Avec les équations 3.85, 3.83 et 3.82, on identie η.La cellule évolue tout au long de la transformation. Il faut pour chaque instant, calculerθ. Les points de l'ellipse (dans 1-2) sont déterminés à chaque incrément. Les coecientsde l'ellipse interpolant ces points sont trouvés par la résolution d'un système non-linéaireà cinq inconnues. Une fois les deux rayons, la position du centre de l'ellipse, et l'orien-tation trouvés, il faut identier η. Il faut passer de la version en forme taux à la versionincrémentale. On utilisera simplement une méthode de diérences nies pour approcherles dérivées. Comme on travaille avec θ, cela ne pose pas de problème particulier. Ensuite,une méthode des moindres carrés sera mise en oeuvre pour identier η pour l'ensembledes incréments. Le résultat est donné sur la gure 3.15.

L'équation 3.85 est utilisée sous cette forme car tous les résultats sont connus avec larésolution éléments nis.

Le comportement est rigide plastique. On montre sur la gure 3.15,a, les résultats pourdivers rapports. On s'aperçoit que plus la cavité a une forme sphérique, plus l'ellipsoïde àtendance à se réorienter rapidement. Sur la gure 3.15,b, on remarque la variation de ηen fonction du rapport de forme. Dans le cas particulier où le défaut est une sphère et queles directions sont choisies de manière quelconque, la vitesse est innie. Cela signie quecomme la sphère n'a pas de direction privilégiée, elle se réoriente immédiatement dans lesdirections principales.

Les rapports de forme dans le plan 1-2 sont de 1.25, 1.5 ,1.75 ,2. et 3. et la fractionvolumique initiale est de 0.25%. L'identication donne les valeurs numérique du tableau


3.1. De ce tableau, on peut extraire une forme de fonction pour la variation de η en

Rapport initial 1.25 1.5 1.75 2. 3.η 2.133 1.56 1.31 1.12 0.783

Tab. 3.1 Résultats pour diverses rapports de forme

fonction du rapport de forme. La fonction doit être identique pour un rapport de formeet son inverse. On identie alors un type de fonction. Cette fonction est choisie telle quela singularité en 1 soit présente. Elle est choisie avec la forme :

f(λ) =a1

|ln(λ)|a2(3.86)

Les deux paramètres de la fonction sont identiés par la méthode des moindres carrés,on obtient les valeurs dans le tableau 3.2.

a1 0.8993a2 0.5839

Tab. 3.2 Paramètres de la fonction de rotation

On représente la fonction sur la gure 3.16.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

14

Fig. 3.16 Évolution de la fonction f en fonction du rapport de forme.

On remarque alors que suivant le rapport choisi, la vitesse est égale pour un rapportet son inverse. Si suivant le rapport de forme la rotation a tendance à changer de sens,il faut alors prendre en compte cette asymétrie de comportement à l'aide d'une fonctionindicatrice.


L'angle de l'ellipsoïde évolue également en fonction de la déformation plastique, lesrésultats sont montrés sur la gure 3.17,a. Le rapport de forme évolue également au coursde la déformation. Les résultats sont montrés sur la gure 3.17,b.

a,0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1


θ

b,0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2


Ra

pp

ort

a/b

Fig. 3.17 Évolution des diérentes caractéristiques au cours de la déformation. * repèreun rapport de 1.25, o de 1.5, + un de 1.75, ♦ un de 2 et ? un de 3

L'ensemble de ces simulations donne également des informations sur l'évolution desrayons lorsque l'ellipsoïde est incliné par rapport au chargement. On peut alors vérier lathéorie développée au paragraphe 3.3. Cela permet de minimiser les coecients introduitsdans la version modiée de Rice et Tracey par Thomason étendu heurestiquement au casdes cavités inclinées. Un ensemble de résultats est donné dans les gures 3.18 et 3.19.

L'ensemble des résultats sur la vitesse d'évolution des rayons et sur la version incré-mentale semble corréler la version modiée de Thomason par diverses considérations etles résultats par éléments nis.

Cas avancéOn va extrapoler les résultats obtenus. Le but de cette partie est de pouvoir se donner

une forme pour l'évolution tridimensionnelle du taux de rotation de l'orientation de l'el-lipsoïde dans le repère matériel. On se choisira une forme de fonction qu'il conviendra decorréler dans des développements futurs. La première idée est de se donner des formes dela fonction 3.86 pour chaque taux de rotation autour de chaque axe de l'ellipsoïde. Ainsien projetant dans le repère lié à l'ellipsoïde les équations 3.79, on obtient :

ω12 = (η1 − η2 + η3)Dp12 (3.87)

ω13 = (η2)Dp13 (3.88)

ω23 = (η1)Dp23 (3.89)

On propose alors la forme des fonctions :


0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

a0/b

0=1.25

0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

a0/b

0=1.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

a0/b

0=1.75

0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

a0/b

0=2.

Fig. 3.18 Vitesse d'évolution des rayons des ellipsoïdes pour les divers rapports de forme.♦ symbolise le modèle donné par l'équation 3.67 et ? symbolise le calcul numérique


0 0.1 0.20

0.02

0.04

0.06

0.08

a0/b

0=3.

0 0.1 0.22.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

a0/b

0=1.25

0 0.1 0.22.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

a0/b

0=1.5

0 0.1 0.22.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

a0/b

0=1.75

0 0.1 0.22

3

4

5

6

7

a0/b

0=2.

0 0.1 0.22

3

4

5

6

7

8

9

a0/b

0=3.

Fig. 3.19 Vitesse d'évolution et rayons des ellipsoïdes pour les divers rapports de forme.♦ symbolise le modèle donné par l'intégration de 3.67 et ? symbolise le calcul numérique


η1 = f(r2

r3

) (3.90)

η2 = f(r1

r3

) (3.91)

η1 − η2 + η3 = f(r1

r2

) (3.92)

où le r2/r3 représente le λ introduit précédemment. Lorsqu'on a une sphère, on s'alignedirectement avec les directions principales. Il convient alors de prendre des précautionslorsqu'on a un ellipsoide axisymétrique non aligné avec les directions de chargements. Onchoisit de projeter alors les directions principales suivant la troisième direction caracté-risant l'orthotropie. Une autre solution est de projeter le tenseur D dans le repère liéà l'ellipsoïde puis de chercher les directions principales dans le plan où il n'y a pas dedirections privilégiés.

3.6.3 Comportement du modèleDans ce paragraphe, le comportement du modèle va être montré dans divers cas de

chargements tridimensionnels. Cela permet de visualiser l'évolution des directions et per-met d'appréhender les prémices de la programmation. Le repère lié à l'ellipsoïde doit êtrerepéré par rapport au repère lié à la matière. Pour cela, on peut choisir les angles d'Euler.La résolution numérique du problème nécessite une méthode de Runge Kutta. L'équa-tion diérentielle de base est la version étendue au cas tridimensionnel de l'équation 3.82.Cette équation doit être exprimée dans un repère. La forme du système de résolution desdiérents angles est fortement non linéaire. Les non-linéarités proviennent des fonctionstrigonométriques. Les solutions ne sont pas toujours très ecaces. On choisit alors derésoudre le problème de manière incrémentale avec l'algorithme que l'on proposera aumoment de l'intégration numérique des orientations. Les cosinus directeurs sont choisiscomme variables. L'incrément de rotation est trouvé par un schéma de Hughes et Win-get [49]. On choisit alors la projection stéréographique pour visualiser les changementsd'orientation. Pour une orientation initiale donnée par θ0 = π/4,φ0 = π/6 et ψ0 = π/4(a)et θ0 = π/4,φ0 = π/3 et ψ0 = π/6(b), on obtient l'évolution sur la gure 3.20. Les axesde chargement sont les axes horizontaux et verticaux.

On remarque sur la projection stéréographique qu'au fur à mesure de la déformation,c'est à dire de l'intégration dans le temps, le repère lié à l'ellipsoïde se réoriente dansles directions du chargement. On remarque que suivant l'orientation, le chemin (issu del'intégration) n'est pas trivial. Cela crée encore de fortes non-linéarités.

Une des particularités du modèle est de découpler l'orientation et les caractéristiquespropres, les rayons. On peut se demander si il est possible d'avoir une rotation sansdéformation. Si on considère une géométrie elliptique une fois de plus, et une déformationen cisaillement, on peut montrer que dans le cadre des petites déformations assimilablesà des formes en taux, on retrouve au premier ordre une rotation unique de l'ellipse. Legradient de la transformation s'écrit :

F = I + ∆ε = e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 + γ(e2 ⊗ e1 + e1 ⊗ e2) (3.93)


a, −1 1−1

1

theta0=0.7854,phi

0=0.5236,psi

0=0.7854

b, −1 1−1

1

theta0=0.7854,phi

0=1.0472,psi

0=0.5236

Fig. 3.20 Évolution dans une projection stéréographique du repère lié à l'ellipsoïde parrapport à celui lié à la matière. o désigne la position des axes de la matière, ¤ la positioninitiale du repère lié à l'ellipsoïde et * est le suivi de l'orientation au cours du temps.

On montre alors que si l'ellipse est orientée suivant le repère de travail, alors la trans-formation (équation 3.8 s'écrit si A et B caractérisent les composantes de la matrice R :

1

1− γ2

[A + γ2B −γ(A + B)−γ(A + B) B + γ2A

](3.94)

Si on cherche à extraire les valeurs propres on remarque que l'équation caractéristiques'écrit :

[A + γ2B − λ][B + γ2A− λ]− γ2(A + B)2 = 0 (3.95)

Pour des γ faibles, les termes du second ordre peuvent être négligés de telle sorte queles valeurs propres sont identiques. La géométrie elliptique n'a subi qu'une rotation. C'estce que prédisent les équations constitutives.

Lors de la programmation de ce petit exemple, on se rend rapidement compte que sion change de repère de travail, le résultat est identique. Soit Qtrav1

princ et le second tel queQtrav2

princ, les tenseurs de rotation entre les directions principales de chargement et le repèrede travail. Le repère matériel est repéré par rapport aux directions principales par :

Qmatprinc. Comme D est objectif, cette dernière quantité est indépendante du repère de

travail. On a donc une forme objective.

3.7. CONCLUSION 87

SYNTHÈSE :Dans ce chapitre, on s'est donné des formes pour les vitesses d'évolution des rayonsde l'ellipsoïde. On retiendra la forme la plus globale :

ri = (5

3[Dp

ii]ellipsoide +1

2sinh(

3

2

σm

σ0

)D)r

Les diverses comportements interviennent en modiant les constantes des fonctionsintervenant dans l'expression ci-dessus. On retiendra la forme à potentiel quadra-tique orthotrope de Hill :

ri =5

3[Dp

ii]ellipsoide +1

2sinh(

3

2

√6√h

σm

σ0

)RD

avec h donné par l'équation 3.51.Dans les développements sur la rotation du défaut, on a développé une équationconstitutive pour le taux de rotation du repère lié à la matière par rapport à celuilié à la cavité :

Wellipsoidemateriau = η1[A1D−DA1] + η2[A2D−DA2] + η3[A1DA2 −A2DA1]

avec les η s'exprimant en fonction de la fonction f(λ).

3.7 ConclusionDans ce chapitre, on a vu divers modèles prenant en compte le comportement de

la matrice, la forme et l'orientation de la cavité. Cette étude nous permet d'approcherla vitesse d'évolution des rayons. Cette analyse reste sommaire. En eet, les modèles decroissance et de réorientation ont été développés puis extrapolés au cas du contact matrice-inclusion. Cela mériterait une étude plus complète du comportement matrice inclusion.

Dans le chapitre suivant, ces résultats seront intégrés au niveau macroscopique. Unpotentiel sera obtenu. Ce potentiel sera utile au niveau de la résolution d'état limitelorsqu'une loi d'évolution pour la coalescence sera établie.

Chapitre 4

Loi d'écoulement plastique

Idées directrices : Le but est de se donner un critère d'écoulement pour un milieuporeux. Avec des hypothèses simplistes, un potentiel est trouvé basé sur le modèle de crois-sance développé au chapitre précédent.

4.1 IntroductionLa présence de la cavité modie le comportement plastique macroscopique de la cellule.

Si la matrice est plastique incompressible au niveau microscopique, les cavités induisentune sensibilité de l'écoulement à la contrainte moyenne. Le matériau devient donc plasti-quement compressible.

Il faut introduire par des variables la présence de la cavité. Plus il y aura de cavitésmoins la structure sera résistante. On dira que plus il y a de cavités, plus le matériau estendommagé. Il convient de se donner des mesures de l'endommagement.

L'endommagement est souvent lié au caractère irréversible de la déformation. La dé-formation plastique agit implicitement sur le développement de la cavité.

Le modèle d'endommagement macroscopique le plus classique est celui de Gurson [12].De nombreuses modications lui ont été apportées. On notera l'inuence de la forme dela cavité introduite par Gologanu et coll. [14]. Siguret [15] a adapté un travail de Staubet Boyer [45] pour prendre en compte la présence d'une inclusion. Plus récemment, Ben-zerga et Besson [16] ont adapté ce modèle au cas d'une matrice plastique incompressibleorthotrope.

Une deuxième classe de modèles s'inspire des travaux de Staub et Boyer [45]. La versionmodiée de Thomason développée servira de base pour l'établissement de ce modèle. Cetteforme a l'intérêt d'intégrer les eets de forme tridimensionnelle sur l'évolution de la cavité.

L'intérêt de se donner un critère d'écoulement macroscopique est de pouvoir prédirel'aaiblissement de la structure. Les modèles sont abondamment utilisés pour dénir descritères de formabilité [50].

89

90 CHAPITRE 4. LOI D'ÉCOULEMENT PLASTIQUE

4.2 Modélisation de l'endommagementLa proportion de défauts inue sur le comportement globale d'un matériau. Dans le

cas extrême où le matériau a une faible cohérence, il y aura rupture. Il faut donc pouvoirquantier l'endommagement en intensité et en direction.

4.2.1 La variable d'endommagement : DLemaitre et Chaboche [51] proposent de mesurer l'endommagement par l'aire des

défauts sur une facette de normale n. Ils considèrent que l'endommagement isotrope estquantié uniquement par son intensité. On note la variable d'endommagement D et ellecorrespond au rapport des surfaces des défauts sur la surface résistante. La variable D estidentiée à l'aide du concept de la contrainte eective.

Cordebois et Sidoro [52] étendent le concept de D au cas de l'endommagement or-thotrope par l'intermédiaire d'un tenseur du second ordre.

4.2.2 Changement de métriqueL'endommagement inue sur la dilatation et sur la densité. Menzel et Steinmann

[53] ont récemment introduit ce concept pour modéliser l'endommagement. Ils dénissentune conguration saine. À partir du gradient de la transformation entre cette nouvelleconguration et la conguration initiale, ils dénissent une métrique (tenseur du secondordre) qui dénira l'endommagement. Cette grandeur peut caractériser l'anisotropie. Avecla représentation des fonctions isotropes, ils ont alors le cadre théorique pour exprimerl'inuence de l'endommagement isotrope sur le comportement.

Le manque d'assise physique de ce formalisme fait que l'on choisit de décrire l'endom-magement par un troisième type de grandeur.

4.2.3 Fraction volumique/rapports de formeL'endommagement est caractérisé par deux types de défauts : des micro-ssures des cavitésCes dernières semblent bien décrire les défauts dans les métaux. Le volume de cavité

sur le volume total de la cellule dénit la fraction volumique de défaut. Pour le premiertype de défauts plus révélateur des bétons, on peut adapter cette notion, en dénissantune fraction volumique eective. Cette grandeur est isotrope et physique. On choisiracette grandeur scalaire pour décrire l'endommagement. Pour décrire l'endommagementanisotrope, il faudra approcher statistiquement la forme générale des défauts. Dans cecas, en supposant qu'en moyenne la distribution générale des défauts est approchée parun ellipsoide, les rapports des rayons seront une bonne mesure de l'écart par rapport àl'isotropie. Si ces diérentes grandeurs ne sont pas disponibles physiquement, il faudraapprocher ces évolutions. L'expression mathématique de la fraction volumique s'écrit :

f =Vv

Vc

(4.1)

4.3. MODÈLES DE GURSON 91

où Vv est le volume occupé par la cavité et Vc est le volume occupé par la cellule. Levolume de la cavité est inclue dans celui de la cellule, d'où f compris entre 0 et1.

Pour mesurer l'écart de forme par rapport à une sphère (pas de directions privilégiées),on introduit les rapport de formes. Plusieurs variables sont disponibles. Les rayons del'ellipsoide sont les variables primaires. On choisit alors comme variables les rapports durayon moyen sur les rayons. Ce sont les αi.

4.3 Modèles de GursonDans cette partie, la théorie développée par Gurson sera revue succinctement. Elle

s'inspire des développement de Rice et Tracey. Ensuite, les modèles modiés sont présen-tés.

4.3.1 Cavités sphériquesGurson [12] minimise la dissipation macroscopique (intégrale de la dissipation micro-

scopique). Gurson déduit la normalité à partir du principe du travail plastique maximumde Hill adapté à la cellule de dimensions nies en suivant les développements de Bishop etHill [54]. Les champs de vitesse proposés ressemblent à ceux de l'analyse de Rice et Tra-cey. Ils satisfont les conditions aux limites de la cellule. La dissipation est minimisée visà vis des déformations macroscopiques. Le lieu des contraintes provoquant l'écoulementest alors trouvé. Pour des cavités sphériques, la surface limite prend la forme :

φg =3

2

σDij σ

Dij

σ20

+ 2q1f cosh(3

2q2

σm

σ0

)− (1 + q3f2) (4.2)

où σDij dénote la partie déviatrique du tenseur des contraintes de Cauchy, f est la frac-

tion volumique de défauts et les qi sont des coecients introduits par Tvergaard [55] pourfaire coïncider des simulations éléments nis avec l'équation 4.2. La fraction volumiqueest déduite de la conservation de la masse :

f = (1− f)Dpkk (4.3)

où

Dpkk = λ

∂φg

∂σm

(4.4)

En dérivant l'équation 4.2 par rapport à la contrainte moyenne, seul un terme fonctionde la contrainte moyenne intervient. Le terme de dilatation a alors une forme similaireau coecient (A) de dilatation de Rice et Tracey. Les termes déviatriques n'interviennentpas sur la fraction volumique. Lors d'un cisaillement (contrainte moyenne nulle), il n'y apas d'endommagement.

On remarquera encore que ce modèle s'applique à des cavités sphériques. Si on appliquela formule modiée de Thomason entre t et t + ∆t, la cavité sphérique se transforme enellipsoide, on peut s'interroger sur la validité du modèle.


4.3.2 Cavités elliptiques axisymmétriquesGologanu [14] établit d'une manière identique à Gurson le critère d'écoulement dans

une matrice. Au lieu de considèrer une cellule sphérique avec une cavité, une celluleellipsoïdale avec cavité confocale est choisie. Les champs de déplacements doivent êtreadaptés. Lee et Mear proposent de tels champs [56]. Pour un chargement axisymmétriquecoïncident avec les directions principales de la cavités, le critère d'écoulement s'écrit :

φgo =C

σ0

(σzz − σxx + ησh)2 + 2(g + f)(g + 1)cosh(κ

σh

σ0

)− (g + 1)2 − (g + f)2 (4.5)avec

σh = 2α2σxx + (1− 2α2)σzz (4.6)où α2,C , κ et g sont dénis à partir du facteur de forme S = lna/b et f . a et b sont

les rayons de l'ellipsoide. Ces diérents coecients ont une forme diérente suivant quel'ellipse soit allongée ou aplatie par rapport au chargement axisymmétrique. Le modèledéveloppé est complexe. Ce modèle a été étendu dans le cas du comportement anisotropede la matrice mais sans inuence sur la dilatation.

4.3.3 Prise en compte d'une inclusionSiguret [15] reprend les développements de Gologanu en prenant en compte l'inclusion

à l'intérieur de la cavité. La forme suivante est obtenue :

φs =Cbl

σ0

(σzz − σxx + ησblh )2 + 2(g + f)(g + 1)cosh(κbl σ

blh

σ0

)− (g + 1)2 − (g + f)2 (4.7)avec

σblh = 2αbl

2 σxx + (1− 2αbl2 )σzz (4.8)

Les variables bloquées sont telles qu'il y ait continuité entre la solution avec contactet sans contact.

4.3.4 Matrice orthotropeBenzerga et Besson [16] ont développé un modèle prenant en compte l'orthotropie de

la matrice. On a suivi des développements identiques dans l'étude de la croissance de lacavité dans une matrice innie. On rappelle que la solution est une borne supérieure. Lepotentiel proposé est :

φbb =3

2

σDij Hijklσ

Dkl

σ20

+ 2fcosh(1

hbb

σm

σ0

)− (1 + f 2) (4.9)

où

hbb = [8

5

h1 + h2 + h3

h1h2 + h1h3 + h2h3

+4

5(

1

h4

+1

h5

+1

h6

)]12 (4.10)

4.4. MODÈLES DU LMSO 93

4.4 Modèles du LMSoDans le modèle de Gurson, la dilatation plastique est reliée à la fraction volumique

par la conservation de la masse. La dilatation est reliée à la normale à la surface decharge dans la direction de la contrainte moyenne. Avec ces concepts de base, un potentielspécique (par unité de masse) sera exprimé. Comme la cavité perturbe le comportement,le potentiel plastique classique type Von Mises sera perturbé. Rousselier [13] ou encoreDuva et Hutchinson [17] ajoutent un terme au potentiel de Von Mises. Le lien entre lepotentiel et l'évolution doit être fait.

Le but est de pouvoir présenter un potentiel plastique unique prenant en compteles diverses caractéristiques du couple matrice(cavité)/inclusion. L'approche de Gursonnécessite la connaissance d'un champ tridimensionnel de dilatation au voisinage de lacavité. On est alors limité par la connaissance de ces champs. L'idée est alors de se basersur la version de Thomason d'évolution des rayons qui est tridimensionnelle. Les grandeursmacroscopiques sont déterminées à partir de la loi d'écoulement.

Historiquement, on a considéré que la cavité suivait les directions principales du char-gement. On présentera cette approche puis on étendra la méthode au cas de directionsquelconques de l'ellipsoide et du chargement. Cette version considère que les déformationsélastiques restent petites. Soucieux de découpler le comportement élastique et plastique,on proposera un potentiel plastique exprimé dans la conguration intermédiaire.

Démarche suivie1. la loi de normalité est postulée au niveau macroscopique.2. une forme de potentiel est supposée en ajoutant une partie dilatatoire au potentiel

de Mises.3. la conservation de la masse est écrite.4. les défauts se déforment en ellipsoide.5. l'identication du potentiel est trouvée en liant l'évolution instantanée des défauts

et la loi de normalité.L'évolution des défauts nous sert uniquement à identier la partie dilatatoire. Le dé-

formation D introduite au niveau microscopique ainsi que les contraintes ne sont pasconnues à priori. Elles sont xées par la loi d'écoulement. Les rayons sont fonction de cescontraintes (par l'intermédiaire des déformations). On identiera la normale à la surfacede charge dans le plan déviatorique à celle de la surface de Mises pour obtenir un poten-tiel simplement. Cette remarque entraîne que tous les développements sont valables pourde faibles taux de triaxialité. À cause de ces considérations, le modèle sera uniquementcomparé dans le domaine des faibles taux de triaxialités(0 à 1.5).

4.4.1 Dissipation et normalitéLa dissipation macroscopique s'écrit en formalisme eulérien :

σijDpij ≥ 0 (4.11)


où dans cette écriture la dissipation est exprimée par unité de volume. Seuls les eetsmécaniques sont considérés. An de travailler sur des éléments matériels, la dissipationest écrite :

σij

ρDp

ij ≥ 0 (4.12)

Cette fois, la dissipation est exprimée par unité de masse. Dans l'équation 4.12, onvoit apparaître σij/ρ la contrainte de Kircho introduite par Rougée [57]. On a cherchéà exprimer le potentiel plastique et la normalité en fonction des grandeurs σij/ρ et Dp

ij.Si, on retrouve des équations similaires dans le cas de la plasticité incompressible, nousne pouvons écrire une telle relation dans le cas de la plasticité compressible puisquel'évolution de la densité est directement reliée à la dilatation. Si nous gardons la dissipationet la loi de normalité associée, nous écrirons le potentiel sous une forme spécique (cf.Boyer [58]). La loi de normalité s'écrit :

Dpij = λ

∂φ

∂σij

(4.13)

où φ est le potentiel spécique de plasticité.

4.4.2 Potentiel plastiqueLorsque la matrice est saine, le potentiel macroscopique est directement relié au mi-

croscopique. Les deux sont égaux si la transformation est homogène. Rousselier [13] induitune modication lorsqu'une cavité est présente dans la matrice. On réécrit ce potentielen suivant les développements de Staub et Boyer[45] sur l'écriture spécique :

φ =σD

ij σDij

2ρ− σ2

0

3ρ0

+φv

ρ(4.14)

σ0 est la limite d'écoulement en traction du matériau de la matrice, ρ0 est sa massevolumique dans le matériau sain et ρ est la masse volumique apparente de l'agrégatmatrice-cavité. φv est le potentiel plastique de dilatation. Lorsque la cellule ne contientaucune cavité ρ = ρ0, la fraction volumique est nulle. Le potentiel de Von Mises doit êtreretrouvé. Cela entraine que φv doit être au moins homogène de degré un par rapport àla fraction volumique. Aucune hypothèse particulière n'est à faire quant à la dépendancede φv par rapport au chargement. Il peut être fonction de la contrainte moyenne et destermes déviatoriques. La seule certitude est qu'il est fonction de la contrainte moyenne siil y a dilatation.

On réécrit la loi de normalité an d'extraire les déformations macroscopiques de chan-gement de forme et de volume. La dilatation dérive de la normalité par :

Dpkk = λ

∂φ

∂σij

δij (4.15)

Le formalisme est eulérien et tout à fait convenable dans le cas de petites déformationsélastiques. Les contraintes se séparent en :


σij = σDij + σmδij (4.16)

ainsi la normale au potentiel dans l'espace des contraintes peut se décomposer :

∂φ

∂σij

=∂φ

∂σDkl

∂σDkl

∂σij

+∂φ

∂σm

∂σm

∂σij

(4.17)

avec l'équation 4.16, on peut écrire :

∂σDkl

∂σij

= δikδjl − 1

3δijδkl (4.18)

et

∂σm

∂σij

=δij

3(4.19)

ces équations s'écrivent sous forme tensorielle :

∂σD

∂σ= J− 1

3II (4.20)

et

∂σm

∂σ=

I

3(4.21)

où I est le tenseur identité du second ordre et J le tenseur identité du quatrième ordre.On montre alors que la dilatation plastique s'écrit :

Dpkk = λ

∂φ

∂σm

(4.22)

Avec la forme de potentiel choisie, on a :

Dpkk =

λ

ρ

∂φv

∂σm

(4.23)

La partie déviatorique s'écrit alors :

DDp = λ

∂φ

∂σD(4.24)

Dans le cas où les contraintes déviatoriques n'interviennent pas dans la dilatation, casdes sphères sans inclusion en contact, on peut écrire :

D = λ∂φ

∂σeq

(4.25)

Le cas de l'orthotropie est plus complexe. L'intervention des contacts complique éga-lement cette formule puisque comme il a été vue au niveau de la croissance de cavité lestermes déviatoriques inuent sur la dilatation. Néanmoins si on considère que les termesintervenant sont négligeables par rapport au terme issue de Von Mises (faibles fractions


volumiques), on peut supposer que l'équation 4.25 est toujours valable. Il faudra alorsvérier cette assertion au niveau numérique.

Si on élimine alors le multiplicateur plastique entre les deux équations 4.25 et 4.24, onobtient la relation :

D∂φ

∂σm

−Dkk∂φ

∂σeq

= 0 (4.26)

Avec une technique d'homogéinisation classique type 3.2, on peut relier la densitéapparente à la densité de la matrice :

ρ = (1− f)ρ0 (4.27)

Conservation de la masseLa matrice est supposée avoir un comportement plastique incompressible. La dilatation

apparente de la cellule provient des changements de volume de la cavité. Par l'intermé-diaire de la conservation de la masse, la dilatation macroscopique sera reliée à l'évolutionde la cavité. La conservation de la masse pour un milieu continu s'écrit :

Dpkk = −1

ρ

∂ρ

∂t(4.28)

Avec la dénition de la fraction volumique, on a la relation suivante :

∂f

∂t=

Vv

Vc

(4.29)

Si la forme de la cavité est assimilée à un ellipsoide, alors l'équation 4.29 se réécrit :

∂f

∂t= f

∑i=1,3

ri

ri

(4.30)

où ri est la vitesse d'évolution des rayons de l'ellipsoide. La dilatation macroscopiqueest alors liée à l'évolution de la cavité par :

Dpkk =

f

1− f

∑i=1,3

ri

ri

(4.31)

Cette forme permet de traiter indépendamment les 3 rayons et ainsi de considérer leschangements de forme. Les vitesses d'évolution ont été exprimées pour divers comporte-ments. Il reste à exprimer le potentiel.

Équations de baseLa dilatation est connue par la loi de normalité 4.22 et avec la conservation de la masse

4.31. Mais la dilatation est liée au taux D par les lois microscopiques établies au chapitreprécédent. En introduisant alors l'équation 4.31 dans l'équation 4.26 avec les évolutionsdes rayons, la relation suivante est obtenue :


∂φ

∂σm

=f

1− f

∑ ri

Dri

∂φ

∂σeq

(4.32)

Un deuxième type d'équations peut être utiliser. C'est l'équation 4.31 en remplaçantles grandeurs macroscopiques par leurs valeurs issues de la loi d'écoulement.

4.4.3 Cas des cavités sphériquesPour cette première étude, le modèle original de Rice et Tracey va être intégrer. On

modiera cependant la forme originale par la modication de Thomason. Cette formu-lation sera fortuite dans ces développementd, mais elle a été développé avec les idées debase. Á partir de l'équation 3.66, l'équation 4.32 se réécrit dans le cas des cavité sphériques(αii = r/ri = 1,

∑αi = 3) :

∂φv

∂σm

=2fσeq

3(1− f)

3

2sinh(

3

2

σm

σ0

) (4.33)

or à l'écoulement, le critère d'écoulement est vérié : φ = 0. Dans ce cas, on a :

σeq =

√(1− f)σ2

0 − 3φv (4.34)

Si cette équation est introduite dans l'équation 4.33, on obtient l'équation diérentielleà intégrer :

∂φv

∂σm

=2f

3(1− f)

√(1− f)σ2

0 − 3φv3

2sinh(

3

2

σm

σ0

) (4.35)

En supposant σeq =√

1− fσ0, l'équation 4.33 peut s'écrire simplement

∂φv

∂σm

=2fσ0

3√

1− f

3

2sinh(

3

2

σm

σ0

) (4.36)

qui s'intègre directement en

φv =f√

1− fσ2

0

2

3cosh(

3

2

σm

σ0

) (4.37)

On compare cette solution et celle de l'équation diérentielle 4.36 sur la gure 4.1.On remarque que les deux solutions sont trés proches pour des rapports de triaxialités

communément rencontrés (<2) et pour des fractions volumiques pouvant être fortes(5%).L'intégration simpliée sera eectué dans le paragraphe suivant lorsque la forme des cavi-tés sera prise en compte. Cette méthode sera la méthode de base d'obtention de potentiel.On remarque que l'obtention du potentiel repose sur deux hypothèses :

Extension du principe de Rice et Tracey au cas des cellules de dimensions nies. Pour de faibles taux de triaxialités, l'hypothèse σeq =

√1− fσ0.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σm

/σ0

φv /σ0

fraction volumique 5% calculé fraction volumique 5% equa diff fraction volumique 1% calculé fraction volumique 1% equa diff

Fig. 4.1 Comparaison des potentiels

Ces deux hypothèses font que le modèle est beaucoup moins rigoureux que ceux basésur l'approche de Gurson. Dans ces derniers, la dilatation et le changement de forme sontpostulés à priori, permettant le découplage. Dans ce modèle, le découplage est postulé àposteriori. Il permet néanmoins dans le domaine de travail de bonne approche qualitativesur l'évolution de l'endommagement au vu des résultats sur la croissance.

4.4.4 Cas des cavités elliptiquesL'équation 4.31 sert de base pour l'obtention d'un potentiel plastique pour des cavités

elliptiques et des inclusion dans la matrice. Il faut alors remplacer l'évolution des rayonspar leur expression. La déformation déviatorique macroscopique n'est pas connu. On peutnéanmoins faire les mêmes hypothèses que précédemment. On peut supposer que la nor-male à la surface de charge dans le plan déviatorique est donnée par celle à la surface deVon Mises. Le potentiel s'écrit :

λ∂φv

∂σm

=f

1− f

∑(5

3λ

∂φ

∂σD+

1

2λ

√2

3

∂φ

∂σD:

∂φ

∂σDsinh(

3

2

σm

σ0

))r

ri

(4.38)

En supposant que ∂φ/∂σD = 2σeq/σ20n alors l'équation précédente se simplie :

∂φv

∂σm

=2fσ0

3√

1− f

∑(5

3nii + A)

r

ri

(4.39)


on introduit αi = r/ri qui correspond à un paramètre de forme de la cavité. Deuxdénitions du rayon moyen peuvent coexister.

Estimation de nii = Di

D

Di

Dest une grandeur dénie sur le matériau sans cavité. Elle correspond à une matrice

incompressible. Deux paramètres sont alors nécessaires pour quantier l'état du tauxde déformation. Le champ de vitesse introduit par Rice et Tracey est normalisé par ladéformation équivalente en traction. C'est une des deux quantités pour quantier l'étatde déformation. La deuxième correspond au paramètre de Lode ν :

ν = − 3DII

DI −DIII

(4.40)

où DI > DII > DIII sont les directions principales du taux de déformation pour lacellule saine. Ainsi à partir des deux grandeurs ν et D, les diérents taux de déformationssont obtenus. Les trois équations sont :

DI + DII + DIII = 0ν = − 3DII

DI−DIII

D =√

23(D2

I + D2II + D2

III)

(4.41)

desquelles, les divers rapports Di

Dsont déduits :

DI

D= 1

2

√(3+ν)2

3+ν2

DII

D= −

√ν2

3+ν2

DIII

D= −1

2

√(3−ν)2

3+ν2

(4.42)

On notera γνi= Di

Dces diérents paramètres. Ces formes sont intéressantes pour un

travail dans un domaine donné. Il convient d'assigner les bons αii au bon γνiqui sont

fonction de l'ordre de Di.

IntégrationL'équation 4.39, s'écrit :

2σ0

3

f√1− f

∑(5

3γνi

+ A)αi =∂φv

∂σm

(4.43)

Cette équation diérentielle s'intègre sous la forme :

φv =f√

1− fσ2

0(10

9

∑αiγνi

σm

σ0

+4

90.558

∑αi cosh(

3

2

σm

σ0

) + K) (4.44)

où K est une constante à déterminer. Avec cette intégration sommaire, le potentiel n'estpas continu pour de haut taux de triaxialité. Cette discontinuité provient des hypothèsesgrossières émises dans le choix des champs de vitesses et des simplications faites dans


le cas de l'intégration. Le modèle est développé pour de faibles taux de triaxialité. On aalors dans le domaine d'applications à avoir la continuité du potentiel. Ce sera le cas lorsde la prise en compte du contact inclusion matrice.

Dans le cas où il n'y a pas de pression hydrostatique, la plasticité classique est retrou-vée, K=0. Si αi = 1, c'est le cas des cavités sphériques,

∑Di = 0, on retrouve une forme

similaire au potentiel de Gurson. Un certain nombre de simplications va être réalisé.Premièrement, le 0.558 est remplacée par 1/2. En introduisant le potentiel de dilatationdans la forme générale du potentiel, on obtient :

φ =3σD

ij σDij

2σ20

+ f√

1− f(10

3

∑αiγνi

σm

σ0

+2

3

∑αi cosh(

3

2

σm

σ0

))− 1 + f (4.45)

On va tracer ce potentiel dans le cas d'un cisaillement cylindrique superposé à unecontrainte moyenne variable. On se place dans le plan (σeq,σm). On trace aussi le poten-tiel de Gurson pour des cavités sphériques. On remarque sur la gure 4.2 que les deuxpotentiels ont des formes identiques. On remarque que ce potentiel est également valablepour des cavités ellipsoides. La forme elliptique est prise en compte par les rapports deforme αi.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

σm

/σ0

σe

q/σ

0

LMSo cavitésGurson

Fig. 4.2 Comparaison de Gurson et du modèle LMSo dans le cas de cavités sphériques.


Pour de faibles taux de triaxialité le principe donne directement la dilatation en fonc-tion de l'état contrainte qui découle du critère d'écoulement.

SYNTHÈSE : Les diérentes équations menant à l'expression du potentiel dedilatation sont :

Dpkk =

f

1− f

∑i=1,3

ri

ri

et/ou

Dpkk =

λ

ρ

∂φv

∂σm

menant à2σ0f

3

∑ ri

Dri

=∂φv

∂σm

Dans ce premier cas, en négligeant les termes d'ordre 2 en fraction volumique, et ensupposant que l'ellipsoide suit les directions principales du chargement, le potentiela la forme suivante :

φ =3σD

ij σDij

2σ20

+ f√

1− f(10

3

∑αiγνi

σm

σ0

+2

3

∑αi cosh(

3

2

σm

σ0

))− 1 + f

4.4.5 Comparaison des modèles

On va comparer les diérents modèles proposés dans la littérature et celui proposédans le cas de cavités ellipsoïdes. On insiste une fois de plus sur le fait que le modèlen'est valable que pour de faibles taux de triaxialité et de faibles fractions volumiques.Ceci semble réduire les champs d'applications du modèle, mais couvre tous les cas desopérations de mise en forme. On compare les modèles de Gologanu, Gurson, Rousselieret celui développé au LMSo sur la gure 4.3.

La gure 4.3 est intéressante pour la comparaison des dilatations prédites suivant lalieu des contraintes. Le modèle de Gurson est parfaitement symétrique par rapport à lacontrainte moyenne car il correspond à des cavités sans inclusion qui restent sphériquespendant la déformation plastique. Le modèle de Gologanu et le modèle proposé ne sont passymétriques car ils prennent en compte l'excentricité des cavités ellipsoïdes, ce qui conduità des dilatations volumiques positives pour des faibles contraintes moyennes négatives. Cestrois modèles prédisent des dilatations négatives pour de fortes pressions hydrostatiquesalors que le modèle Rousselier conduit à une dilatation volumique positive quelque soitle signe de la contrainte moyenne. Cette réversibilité de la fraction volumique correspondà des cavités sans inclusion ou à des cavités dont les rayons sont supérieurs à ceux del'inclusion. Le modèle proposé se décale par rapport à l'état de contrainte de moyennenulle de manière asymétrique en fonction de l'excentricité de l'inclusion.


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50.56

0.57

0.58

0.59

0.6

0.61

0.62

0.63

0.64

0.65

0.66

σm

/σ0

σ1D/σ

0

Gologanu a/b=0.5 f=0.017094Gurson lmso sans inclusion Rousselier

Fig. 4.3 Comparaison de diérents modèles d'endommagement dans le cas d'un cisaille-ment cylindrique plus une pression hydrostatique pour une cavité ellipsoide axisymmé-trique.


4.4.6 Contact matrice/InclusionDans cette partie, le contact inclusion-matrice va être intégré au niveau du potentiel

d'écoulement. Le critère d'écoulement est aussi la surface de charge. Le changement deconditions cinématiques entraîne une modication du potentiel plastique. Dans ce travail,les conditions de contact seront traitées indépendamment. En réalité, une condition decontact inue sur la solution globale.

Avec les champs cinématiques choisis (indépendance de chacun d'eux), on ne peut pasmaintenir la condition de convexité du potentiel. Pour assurer la convexité, il faut assurerla continuité. La continuité sera assurée par une constante K ajoutée pour satisfaire lacondition cinématique.

Conditions de décollementLe décollement aura lieu lorsque la vitesse au niveau du contact deviendra positive.

On note les deux conditions suivantes : Au niveau du contact : le rayon de la cavité doit coïncider avec celui de l'inclusion. La vitesse d'évolution des rayons de la cavité elliptique doit être positive.Lors d'une évolution dans les directions principales de chargement, le dernier rayon à

se décoller sera celui qui aura le plus petit rapport Di

D. Pour cette direction, le décollement

aura lieu lorsque :

5

3γνIII

+1

2sinh(

3σm

2σ0

) = 0 (4.46)

La condition de décollement pour la contrainte moyenne s'écrit :

σIIIm

σ0

=2

3asinh(−10

3γνIII

) (4.47)

Les conditions de décollement pour les autres directions sont obtenues de manièreidentique.

PotentielLa continuité de la normale est forcément respectée puisque le décollement a lieu

lorsque vIII = 0. Il reste à assurer la continuité du potentiel lors de la perte du contactmatrice inclusion. Le potentiel sans contact s'écrit :

φv =f

1− fσ2

0(10

9

∑αiγνi

σm

σ0

+2

9

∑αi cosh(

3

2

σm

σ0

)) (4.48)

celui avec un contact prend la forme :

φv =f

1− fσ2

0(10

9(αIIγνII

+ αIγνI)σm

σ0

+2

90.5(αI + αII) cosh(

3

2

σm

σ0

+ KIII) (4.49)

de telle sorte que la constante est égale à :


KIII =10

9αIIIγνIII

σIIIm

σ0

+2

9αIII cosh(

3

2

σIIIm

σ0

) (4.50)

où σIIIm /σ0 est uniquement fonction de γνIII

.De manière identique, en assurant la continuité du potentiel on obtient les deux autres

constantes correspondant aux contacts matrice inclusion dans le cas des deux autresrayons :

KII = 109αIIγνII

σIIm

σ0+ αII

29cosh(3

2σII

m

σ0)

KI = 109αIγνI

σIm

σ0+ αI

29cosh(3

2σI

m

σ0)

(4.51)

où les σim/σ0 sont dénis de manière identique. Si on a contact, il faudra rendre la

constante active et sa contribution au niveau de la dilatation inactive. L'ensemble desconditions agissant sur la dilatation peut être traité au niveau tensoriel. Les constantesintroduites de par leur forte non-linéarité doivent être traitées indépendamment les unesdes autres.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

σm

/σ0

σ 1D/σ

0

Modèle Spécifique avec contactsans contact frontière de σ D<0

Fig. 4.4 Comparaison du modèle Spécique Sphérique sans inclusion et avec inclusionà l'intérieur de la cavité , pour une fraction volumique de 1%

Le potentiel a été tracé dans le cas où la cavité est remplie par une inclusion sphériqueet pour une décohésion totale entre la matrice et l'inclusion. Le modèle de croissance estalors applicable. On remarquera la continuité du potentiel dans le cas de la cavité avecinclusion. Lorsque la contrainte moyenne est susamment importante le décollement dela matrice de l'inclusion est impossible. On remarque alors qu'on retrouve la plasticité


incompressible de Mises, mais que le seuil a augmenté. Les inclusions, dans ces conditions,augmentent la résistance à l'écoulement.

Avec inclusion, contrairement au cas de cavités vides, on a une dilatation sous contraintemoyenne nulle et même pour des contraintes moyennes faiblement négatives. Cela semblealler à l'encontre du second principe de la thermodynamique, car dans ce cas σmDkk < 0.Sur le graphe de la gure 4.4 est tracé le domaine correspondant à σijDij < 0. C'estle domaine intérieur à la courbe tracée. Comme pour ces points, on est dans le domaineélastique Dij = 0, cela ne pose pas de problème de principe. Il y aurait eu un problèmesi il y avait une partie du domaine σijDij < 0 à l'extérieur du domaine élastique. Cetteviolation du second principe provient de l'homogéinisation de la dilatation. On moyennele taux de dilatation sur la surface de contrôle du volume, même si le ux de matière estorienté dans une direction. Si l'inclusion bloquait la fermeture de la cavité suivant 2 et 3,alors la dilatation serait essentiellement suivant 1.

Sur la gure 4.5, on compare dans le domaine de triaxialité qui nous intéresse la surfacede charge pour une cavité sphérique vide et pour une cavité sphérique remplie par uneinclusion parfaitement rigide. La fraction volumique est la fraction volumique d'inclusiondans le cas où il y a eu décohésion. Si un critère de décohésion/adhérence est introduit lacourbe sera décalée dans la direction des contraintes moyennes.

On remarque sur la gure 4.5 que la continuité du potentiel est assurée avec les condi-tions de contact. On distingue trois parties. La première se situe dans le domaine destaux de triaxialité négatifs et correspond aux conditions de contact sur les trois rayonsde l'ellipsoïde. Le décollement de l'inclusion de la matrice est impossible. L'endommage-ment ne peut se développer, on retrouve un comportement de plasticité de Von Mises.La deuxième partie correspond au décollement de la matrice dans le sens du cisaillementcylindrique positif. Un endommagement peut se développer. Dans le cas particulier (ci-saillement cylindrique superposé à une contrainte moyenne), la troisième condition estrencontrée identiquement pour les deux autres rayons en contact. On a alors l'endomma-gement qui se développe tout autour de l'inclusion. On retrouve l'endommagement pourune cavité. Les deux courbes coïncident.

4.4.7 Orientation quelconque d'un ellipsoideDans cette section, le potentiel est développé pour un ellipsoide d'orientations quel-

conques, dans une matrice parfaitement plastique. Deux points nouveaux sont particu-lièrement importants : maintenir l'objectivité de la loi et rendre le calcul du potentielplus simple qu'avec le calcul des valeurs propres. Le point de départ est la formule modi-ée de Thomason adaptée à une inclinaison quelconque. On remarquera que sous formetensorielle la composante D11 s'écrit :

Dp11 = Dp : (e1 ⊗ e1) (4.52)

Cette forme est importante car cela va nous permettre d'écrire le potentiel de manièreobjective. En projetant le tenseur taux de déformation dans le repère lié à l'ellipsoide, onest objectif. On se rapproche de l'expression classique de l'anisotropie. Ceci tient égalementpour la normale à la surface de charge. Avec l'équation modiée, on remplace les γνi

par


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50.61

0.62

0.63

0.64

0.65

0.66

0.67

0.68

σm

/σ0

σ1D/σ

0

pour une cavité sphérique direction coincidente et inclusionRousselier

Fig. 4.5 Surface d'écoulement tracé pour un cisaillement cylindrique superposé à unecontrainte moyenne pour une fraction volumique de 0.1%.


la projection de la normale dans le repère de l'ellipsoide. C'est la composante ii expriméedans le repère de l'ellipsoide.

IntégrationOn considérera le cas de la cavité sans inclusion. La forme du potentiel de dilatation

s'écrit :

φv = f√

1− fσ20(

10

9n : α

σm

σ0

+2

9α : I cosh(

3

2

σm

σ0

)) (4.53)

où α est le tenseur correspondant à αii = rri

lorsque qu'il est exprimé dans le repèreattaché à l'ellipsoide. On remarque la forme particulière du potentiel puisqu'elle ne faitpas appel au calcul des valeurs propres. Dans la suite des calculs, il conviendra d'exprimeralors la normale à la surface de charge dans le repère lié à l'ellipsoide. La forme objectiveest assurée par la forme du potentiel de dilatation. φv est une fonction isotrope puisqu'elleest uniquement fonction de variables invariantes par changement de repère de travail(σm,α : I et n : α). Pour cela, on utilise le transport classique par rotation :

n = QT .n.Q (4.54)L'inuence de l'orientation sur le comportement global n'est intéressant que dans le cas

où la direction de l'allongement d'un rayon de l'ellipsoide a une inuence sur la coalescencedes cavités.

Sur la gure 4.6, on compare l'inuence de l'orientation sur la dilatation pour descavités sans inclusion.

On remarque sur la gure 4.6, l'inuence de l'orientation sur le comportement globalde la cellule. Dans le cas extrème où les composantes de la normale dans le repère lié à lacavité est un cisaillement pure (terme de la diagaonale nulle), le comportement tend verscelui d'une cavité sphérique.

Cas du contactDans le cas où le contact avec une inclusion est pris en compte, il faut de nouveau

introduire des constantes an d'assurer le maintien de la convexité du potentiel. Lesconditions de contact sont les mêmes qu'auparavant, à l'exception qu'elles sont expriméesdans le repère lié à l'ellipsoide. Dans ce cas la valeur particulière de la contrainte moyennesatisfait :

σim

σ0

=2

3asinh(−10

3nii (4.55)

où nii correspond à la valeur de la normale dans le repère de l'ellipse. On a cette valeuravec l'équation 4.52. Ensuite la constante est déterminée pour assurer la continuité dupotentiel :

Ki =10

9αiinii

σim

σ0

+ αi2

9cosh(

3

2

σim

σ0

) (4.56)


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50.6

0.61

0.62

0.63

0.64

0.65

0.66

σm

/σ1D

σ1D/σ

0

lmso incliné ph=1.0472 th=0.5236 lmso coincident rapport 1=0.5 et 2=0.66667gurson f=0.01

Fig. 4.6 Inuence de l'orientation pour une cavité ellipsoide pour une fraction volumiquede 1%. L'angle th correspond à une rotation autour de l'axe 3 des rayons principales etph de l'axe 1 de ces directions tournées.


Chaque constante doit être prise séparément lors de l'intégration numérique.

4.4.8 Écrouissage linéaireL'écrouissage instantanée modie l'évolution de l'endommagement. Il faut alors l'in-

tégrer au niveau du potentiel pour regarder le comportement d'une structure subissantdiverses conditions de chargement.

L'écrouissage linéaire sera pris en compte par les deux types de fonctions proposées auchapitre précédent. La croissance est donnée par les équations 3.56 et 3.57. On supposeque la dilatation identiée dans le cas de la cavité sphérique s'étend aux autres typesde comportement. An de pouvoir intégrer ces considérations sur les divers potentiels,on remarquera que ce type de modication modie également les constantes de contact.Les champs sont modiés par la prise en compte de l'écrouissage. Les modications sontalors :

φv = f√

1− fσ20(

10

9n : α

σm

σ0

+2h(k)

9g(k)α : I cosh(

3

2g(k)

σm

σ0

)) (4.57)

pour le potentiel de dilatation. La condition de contact sur la contrainte moyenne estdans le cas de la fonction hyperbolique modiée :

σim

σ0

=2

3g(k)asinh(−10

3nii) (4.58)

et

σim

σ0

= − 1

f(k)

5

3nii) (4.59)

Pour la fonction linéaire, les constantes deviennent :

Ki =10

9αiinii

σim

σ0

+ αiif(k)

2

σi2m

σ20

(4.60)

et

Ki =10

9αiinii

σim

σ0

+ αi2h(k)

9g(k)cosh(

3

2g(k)

σim

σ0

) (4.61)

On va vérier que la transition entre les fonctions (hyperbolique puis linéaire) estcontinue. Cette condition est nécessaire an d'assurer la convexité du potentiel est ainsid'assurer la bonne convergence des processus itératifs que l'on va développer dans lechapitre suivant. Sur la gure 4.7, les deux potentiels sont tracés.

On remarque que les deux potentiels sont alors quasiment identiques. La diérencesera gommé par l'intégration numérique.


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20.52

0.53

0.54

0.55

0.56

0.57

0.58

0.59

0.6

σm

/σ0

σ1D/σ

0

écrouissage linéairerigide plastique

Fig. 4.7 Potentiels pour k=0.2

4.4.9 Orthotropie de HillOn traite le même problème que précédemment avec la dilatation dénie dans le cas

orthotrope. Dans ce cas la forme devient :

φv = f√

1− fσ20(

10

9n : α

σm

σ0

+2√

h

9√

6α : I cosh(

3

2

√6√h

σm

σ0

)) (4.62)

les n = 3/2h : σD/σeq sont les normales à la surface de charge orthotrope. Elles sont liéesà la surface de charge. De la même manière, les constantes induites lors d'un contact sontmodiés :

σim

σ0

=2√

h

3√

6asinh(−10

3nii) (4.63)

et

Ki =10

9αiinii

σim

σ0

+ αii2√

h

9√

6cosh(

3

2

√6√h

σim

σ0

) (4.64)

Un exemple de potentiel est donné pour une orthotropie de Hill sur la gure 4.8.L'orthotropie induit la prise en compte directionnelle de l'écoulement de la matrice. Le

durcissement dans une direction de la résistance à l'écoulement tend à retarder la dilata-tion. En plus des développements classiques sur l'orthotropie, on remarque que le modèle


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

σm

/σ0

σ1D/σ

0

Modèle plastique orthotropeModèle plastique isotrope

Fig. 4.8 Potentiel pour un matériau poreux avec les directions d'orthotropie dans 1,2,3

proposé induit également la prise en compte de l'orientation du défaut tridimensionnel,dans une matrice orthotrope.

4.4.10 ConclusionLe modèle proposé prend en compte la forme, le contact avec l'inclusion et l'orienta-

tion de la cavité dans la matrice. Ce modèle de base ne prend pas diverses considérationsphysique comme le frottement matrice inclusion, ni pour le moment l'aaiblissement dela structure due à la fragmentation de l'inclusion. Il permet néanmoins de donner quali-tativement des idées sur le comportement.

Le dernier modèle est particulièrement intéressant pour l'intégration numérique. Lepotentiel avec directions principales demande le calcul de ces directions. Ici, seule uneprojection est nécessaire.

Les nij sont simplement reliés à l'état déviatorique. On rappelle que ceci représente lanormale à l'écoulement dans un milieu non poreux.

Le modèle développé se distingue des autres modèles par sa généralité (prise en comptede diverses considérations). L'inclusion induit une sensibilité de la dilatation à l'état dé-viatorique. On endommage sous contrainte moyenne nulle ou/et faible. Ceci est particu-lièrement intéressant pour la modélisation de l'endommagement lors la mise en forme dela pièce.


SYNTHÈSE : Les diérents potentiels introduits sont revus. On remarquera quele dernier est le plus général et contient tous les autres.

φ =3σD

ij σDij

2σ20

+ f√

1− f(10

3

∑αiγνi

σm

σ0

+2

3

∑αi cosh(

3

2

σm

σ0

) +∑

KI)− 1 + f

Pour les cavités ellipsoides orientées arbitrairement :

φ =3σD

ij σDij

2σ20

+ f√

1− fσ20(

10

9n : α

σm

σ0

+2

9α : I cosh(

3

2

σm

σ0

) +∑

Ki)− 1 + f

On note la forme la plus générale qu'on peut obtenir en couplant les eets d'écrouis-sage :

φ =3σD

ij HijklσDkl

2σ20

+ f√

1− fσ20(

10

9n : α

σm

σ0

+

2

9

√h√6

g(k)

h(k)α : I cosh(

3

2

√6√hh(k)

σm

σ0

) +∑

Ki)− 1 + f (4.65)

4.5 Écriture dans la conguration intermédiaireAn de découpler les actions élastiques et plastiques, la théorie de la décomposition

du gradient de la transformation va être appliquée. Ainsi, un potentiel d'écoulement vadevoir être exprimé dans la conguration intermédiaire. On réutilisera des développe-ments présentés dans le premier chapitre. On vient de développer un potentiel dans laconguration courante à l'aide de la contrainte de Cauchy. Les modèles établis s'inspirentde la modélisation mésoscopique de Rice et Tracey . Ce modèle ne rend pas comptesdes actions élastiques. Cela signie que si les diérentes grandeurs sont transposées dansla conguration intermédiaire alors on se retrouve dans un cas similaire et la grandeurà utiliser dans les équations constitutives est la grandeur duale de Dp : Σ. Le potentielgarde alors la même forme et devient :

φ(σ, Hα) → φ(Σ,Hα) (4.66)

Les variables internes (Hα) sont à prendre également dans la conguration intermé-diaire (Hα). Lorsque les variables internes sont des vecteurs ou des tenseurs, il faut bienexprimer ces variables internes dans la conguration intermédiaire. Il faudra alors se dé-nir quelle est cette conguration. Le choix arbitraire de la conguration intermédiaireentraîne que les grandeurs ainsi exprimées ne seront pas forcément signicatives si lamatière subit des rotations. Dans la conguration intermédiaire, la rotation est celle del'ellipsoide par rapport à la matière. Or le résultat nal est représenté dans la congurationcourante. Il faudra bien intégrer les diverses rotations.

Ces rotations sont une partie des variables internes. Le problème est de savoir si elles

4.6. CONCLUSION 113

sont indépendantes des autres. Le changement de rayons est-il totalement indépendantde la rotation ? Dans sa version instantanée à partir du moment où D11, D22 et D33 sonttous identiquement nulles. En deux dimensions, pour une sollicitation en cisaillement pureplastique, on a une sollicitation sans changements de rayons mais uniquement avec unerotation de l'ellipsoide.

4.6 ConclusionDans ce chapitre, un potentiel plastique a été exprimé. Il découle des lois de croissance

identiées au chapitre précédent. Il est relativement simple et est modèle tridimensionnel.On remarquera que ce modèle est exprimé pour de nombreux types de matériaux. Une

diérence est cependant induite par la prise en compte de l'écrouissage. On peut égalementadapter le modèle en mettant des constantes multiplicatives à tous les facteurs du modèles,an de le faire coïncider avec des expériences. Ici, c'est uniquement qualitativement quele modèle nous intéresse puisque l'on cherche à trouver la meilleure forme d'outils pourminimiser la présence de défauts.

L'intérêt de développer ce potentiel est de pouvoir prédire le comportement macro-scopique lorsque la coalescence aura lieu. Suivant la forme des défauts diverses modesde coalescence pourront avoir lieu, qui pourront éventuellement inuer sur les modesde ambage. Dans cette optique, il est particulièrement intéressant de pouvoir prédirel'orientation générale des défauts après diverses procédés de mise en forme et de l'intégrerau niveau de la structure. Dans ce cas, il convient de mener l'intégration numérique dumodèle.

Il faut se méer de l'application de ce modèle simplier pour de haut taux de triaxialitéscar le potentiel est obtenu par une intégration qui reste valable uniquement pour de faiblestaux de triaxialités. Pour de fort taux de triaxialités, il faudrait mener plus en détailsl'analyse de l'intégration. L'utilisation du modèle dans ces domaines, peut mener à dessurfaces de charges au comportement aberrant(discontinuité par exemple)

Pour améliorer les prédictions des modèles, il faudrait pouvoir prendre en compte l'évo-lution réelle de l'endommagement et introduire des constantes pour prendre en compteles conditions d'adhésion.

Chapitre 5

Intégration numérique

Idées directrices : Ce chapitre traite de manière générale l'intégration numérique locald'une loi de comportement. Quelques spécicités du modèle du LMSo sont vues. L'ecacitédes algorithmes sera mise en évidence sur les exemple du chapitre précédent.

5.1 IntroductionDans ce chapitre, le modèle de comportement du matériau présenté au chapitre pré-

cédent va être intégré au niveau d'un code de calcul de simulation d'opérations de miseen forme. Le problème est modélisé par la méthode des éléments nis. Le comportementest intégré au niveau local. L'intégration s'eectue aux points de Gauss des éléments.Les grandes caractéristiques sont revues et les résultats seront montrés dans le chapitresuivant.

Diverses méthodes sont maintenant bien établies et sont robustes pour des comporte-ments simples élastoplastiques isotropes avec fonction de charge de Von Mises (cf.Kulaket coll [59]). Pour des modèles, plus complexes d'autres méthodes sont proposées.

La particularité du potentiel plastique proposé est la prise en compte de l'orientationde l'ellipsoide. Ce peut être le cas de n'importe quelle sous-structure, dont les directionschangent avec l'écoulement plastique.

Une méthode implicite de résolution du problème est choisie au niveau local et auniveau global. Cette méthode demande une précision de la dénition des diverses variablesintroduites. Les méthodes de résolution sont des méthodes de Newton. Il faut alors pouvoirdénir la dérivée pour les équations an d'assurer la convergence d'ordre deux et ainsipouvoir prendre de grands pas de temps. La méthode implicite a un faible intérêt dansle cas de la simulations des opérations de mises en forme, car le contact est un facteurlimitant.

Dans un premier temps, les concepts liés aux grandes transformations seront adaptésà la résolution incrémentale d'un problème non-linéaire. Ensuite divers algorithmes serontprésentés. Un algorithme prenant en compte le changement de direction des défauts seraalors présenté.

Le modèle sera intégré dans un code dédié à la simulations des opérations de forgeage,P.O.L.L.U.X développé au laboratoire. Ensuite pour vérier la validité et tester le modèle

115

116 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE

tridimensionnel, l'intégration dans un code de calcul commercial ABAQUS/Standard c©

sera présentée.

5.2 Objectivité incrémentaleLe problème est initialement présenté sous sa forme en taux, avec le principe des puis-

sances virtuelles. La résolution incrémentale doit être compatible avec divers concepts.Entre autres, le concept d'objectivité introduit sera généralisé sur l'incrément de résolu-tion. Hughes et Winget [49] introduisent les premiers cette idée et un travail similaire esttrouvé dans un article de Rubinstein et Alturi [60]. Plus que les travaux sur l'objectivitéincrémentale, on observera les algorithmes proposés pour passer d'une conguration à uneautre et les dénitions des incréments de rotation.

Dans un premier temps, on va reprendre quelques concepts liés à la résolution incré-mentale.

5.2.1 Passage taux/incrémentLe taux de contrainte utilisé dans la résolution en grandes transformations est le plus

fréquemment déni par le taux de Jaumann :

σJ = σ + W.σ − σ.W (5.1)où W est le taux de rotation du repère lié à la matière par rapport au repère de travail.

En réalité le problème est résolu entre t et t + ∆t. Ainsi cette forme taux est transforméepar Hughes et Winget [49] :

σn+1 = σn + ∆σ (5.2)où σn+1 est la contrainte de Cauchy à l'instant t+∆t exprimée dans le repère matériel

et σn est la contrainte de Cauchy à t vue du repère matériel à t + ∆t :

σn = Q.σn.QT (5.3)

où Q est l'incrément de rotation du repère matériel entre t et t + ∆t. Le tenseurdes contraintes est sauvegardé dans le repère matériel. ∆σ est l'incrément de contrainteentre t et t + ∆t. Dans la méthode des éléments nis, les inconnues sont les déplacementsnodaux, de telle sorte que l'on itère sur ces variables pour la résolution du problème. ∆σest lié à ∆ε. La dénition de l'incrément de déformation est relié au taux de déformationpar :

∆ε =

∫ t+∆t

t

Ddt (5.4)

Lorsque l'on passe directement de t à t + ∆t, il faut alors se donner une estimation decette intégrale. En général, ∆ε est choisi tel que :

∆ε =√

∆λiei ⊗ ei (5.5)

5.3. SCHÉMAS LOCAUX DE PLASTICITÉ 117

où ∆λi et ei sont respectivement les valeurs et directions principales de ∆U. Il fautpouvoir déterminer Q. C'est à ce niveau que se diérentie la méthode de Hughes et Wingetet celle de Rubinstein et Alturi. Hughes et Winget proposent une dénition de l'incrémentde rotation à partir de l'intégration tenso-diérentielle suivante :

Q = W.Q (5.6)Ils obtiennent alors l'incrément de rotation entre t et t + ∆t :

Q = (I− αWα)−1.(I + αWα) (5.7)Si α = 1

2, l'algorithme présenté est objectif. Il faut pouvoir déterminer dans la con-

guration milieu les diérentes grandeurs. La caractéristique principale est le maintien del'orthogonalité. Rubinstein et Alturi proposent une version diérente en faisant intervenirl'opérateur exponentiel. Si W = ω3(e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1) + ω2(e1 ⊗ e3 − e3 ⊗ e1) + ω1(e2 ⊗e3 − e3 ⊗ e2) alors :

Qn+1 = exp(W).Qn (5.8)avec pour dénition de exp(W) :

exp(W) = I +sinΩ

ΩW +

1− cosΩ

Ω2W2 (5.9)

avec Ω2 = ω21 + ω2

2 + ω23. Cette formulation est utilisée par Marin et Dawson [61] pour

la réorientation des cristaux dans un polycristal. Pour nir avec ces diverses concepts, onremarquera que la loi de comportement est exprimée de manière hypo-élastique. Dans lecas du cisaillement pure, ce type de comportement donne des oscillations de la contraintede Cauchy exprimée dans le repère matériel.

5.3 Schémas locaux de plasticitéLe comportement plastique est caractérisé par un critère d'écoulement est nulle, et par

le taux de déformation plastique qui est normal à la surface de charge. Ces deux conceptsse traduisent par les équations φ(σ, Hα) = 0 et ∆εp = λ∂g/∂σ pour une plasticité indé-pendante de la vitesse de chargement. Pour le comportement élastique, on a simplement∆σ = D : ∆εe.

5.3.1 Algorithme de baseOwen et Hinton [62] décrivent une méthode de résolution qui a été largement utili-

sée dans la programmation de ces modèles de comportement. Les développements sontdans le cadre d'une plasticité associée. Le potentiel plastique et le critère d'écoulementcoïncident(g = φ). Si la matière plastie φ ≥ 0, ils utilisent comme point de départ, ladiérentiation du critère d'écoulement :

dφ =∂φ

∂σ: dσ +

∂φ

∂H.dH = 0 (5.10)


où H représente le vecteur de base en notant que ∂φ/∂σ = n est la normale à la surfaced'écoulement et en notant A = −1/dλ∂φ/∂H.dH

dφ = n : dσ − Adλ = 0 (5.11)

où dλ est le multiplicateur plastique. On remarque que A dépend de dλ, mais dHα

peut être également fonction de dλ de telle sorte que A ne soit plus fonction de dλ. Lecomportement élastique avec la décomposition additive du taux de déformation s'écrit :

dσ = D : (dε− dεp) (5.12)

On peut écrire ceci d'une manière diérente :

dε = D−1 : dσ + dλm (5.13)

Dans le cas de la plasticité non associée, on doit diérentier ici n = ∂φ/∂σ et m =∂g/∂σ. Si on multiplie cette équation par n : D, on obtient :

n : D : dε = n : dσ + dλn : D : m (5.14)

mais n : dσ = Adλ , d'où l'expression pour le multiplicateur plastique :

dλ =n : D : dε

A + n : D : m(5.15)

Owen et Hinton déterminent alors toutes les valeurs de manière explicite. L'équation5.10 est intéressante si au début du pas de temps, l'état de contrainte est sur la sur-face de charge. Si ce n'est pas le cas, il faut prédire un retour radial pour rabattre lescontraintes sur la surface de charge. Ce type de résolution est particulièrement utilisé dansles algorithmes de résolution explicite du problème mécanique.

5.3.2 Simo et OrtizLa méthode présentée par Simo et Otriz [63] va être décrite. Ils vont développer l'al-

gorithme dans un formalisme hyperélastique plastique avec décomposition multiplicative.L'algorithme s'adapte très bien à la décomposition additive de l'incrément de déformation.on résume les idées de base de la résolution dans le tableau 5.1.

Cet algorithme s'inspire fortement du premier présenté précédemment. La méthodeest implicite. Les exposants i correspondent à l'itération i. Pour le passage d'une itérationi à i+1, les grandeurs trouvées sont assignées de i+1 à i. Simo et Ortiz donnent uneinterprétation géométrique de cette méthode. Le schéma est reproduit sur la gure 5.1.

On note du passage d'une itération à une autre que l'on passe d'une solution nonconvergée à une autre non convergée. Si la résolution se fait à l'aide de petits pas detemps, cela ne pose pas de problème, par contre on peut s'interroger sur la validité surdes gros pas de temps lorsque l'estimation élastique est loin de la surface de charge.

Ce type de résolution coïncide avec les algorithmes de retour radial pour les potentielshomogènes de degré un (Von Mises ...). Ce type de résolution n'est pas très ecace pour

5.3. SCHÉMAS LOCAUX DE PLASTICITÉ 119

1. Prédiction élastique :

σ0n+1 = σn + D : ∆ε

2. Test Si φ > 0 aller à 3 sinon aller à 53. Correction plastique :

(a)∆λ =

φin+1

Ain+1 + ni

n+1 : Din+1 : ni

n+1

(b) Réactualisation des Contraintes :

σi+1n+1 = σi

n+1 −∆λDin+1 : ni

n+1

(c) Calcul de l'incrément de déformation plastique :

∆εi+1pn+1 = ∆εip

n+1 + ∆λnin+1

(d) Réactualisation des variables internes.

4. Vérication de la convergence φi+1n+1 < ε Si oui aller à 5 sinon retour à 3

5. Stockage des contraintes et des variables internes.

Tab. 5.1 Algorithme de résolution de la plasticité proposé par Simo et Ortiz

Fig. 5.1 Interprétation géométrique de l'algorithme proposé dans 5.1.


un modèle avec un grand nombre de variables internes ou dans des modèles complexes(anisotropes par exemple). Elle reste attractive quand il y a une seule inconnue.

La faiblesse de ce type d'intégration, nous entraîne vers une modélisation plus robustes'inspirant des travaux d'Ortiz et Popov.

5.3.3 Ortiz et PopovLa méthode proposée par Ortiz et Popov [64] comprend diérents types d'algorithmes.

Un paramètre α permet de passer d'un algorithme explicite à un algorithme implicite. Onse place uniquement dans le cadre d'un algorithme implicite. Les auteurs montrent quece type est inconditionnellement stable. Deux types d'algorithmes sont présentés :

la loi trapézoïdale généralisée la loi du point milieuDans le cas que l'on traite, méthode implicite, les algorithmes sont identiques. Les

équations se résument à :

σn+1 = σeln+1 −∆λD : nn+1 (5.16)

et pour l'évolution des variables internes

Hn+1 = Hn + ∆λh(σn+1, Hβn+1) (5.17)

et on doit avoir :

φn+1 = 0 (5.18)ici la loi d'écoulement a été directement exprimée. Elle n'est normalement vériée qu'à

la n de l'incrément :

∆εpn+1 = ∆λ

∂φ

∂σn+1

(5.19)

Pour résoudre ce type de problème, il faut que le bon nombre de variables soit choisi.Comme la loi d'écoulement ne sera vériée qu'à la solution, il convient de se donner les in-créments de déformations plastiques comme inconnues supplémentaires. L'intégration seraalors eectuée au niveau de la description tridimensionnelle du comportement orthotrope.Cette algorithme sera développé au chapitre suivant sur un comportement orthotrope deHill avec réorientation de la sous structure au cours de la déformation. Sur la gure 5.2,on remarque la forme géométrique de l'algorithme choisi.

5.3.4 Algorithme implicite à deux niveauxLors de l'intégration de modèles complexes, avec variation de sous structures par

exemple, les variables internes ne peuvent être résolues en même temps que la solution.On doit néanmoins toujours avoir φn+1 = 0 à la n de l'incrément. Des méthodes ontété proposées par Lush et coll [65] pour la résolution de problème viscoplastiques. Celaconsiste en un schéma à deux niveaux. Cette idée de schéma a été reprise récemment

5.4. INTÉGRATION DES VARIABLES INTERNES 121

Fig. 5.2 Interprétation géométrique de l'algorithme proposé dans 5.1.

dans un travail de Marin et Dawson [61] sur les réorientations de cristaux dans un poly-cristal. L'algorithme comprend d'abord une résolution implicite à variables d'orientationsbloquées. Ensuite, on estime les variables d'orientations et on regarde si on a toujoursl'équilibre satisfait. Ce schéma sera détaillé dans le chapitre suivant.

Les diérents algorithmes présentées dans la suite ont un point commun dans leurversion implicite, la version incrémentale de l'intégration des variables internes. Elle seraimplicite ou explicite suivant le code.

5.4 Intégration des variables internes5.4.1 caractéristiques du modèle

Le modèle dans sa formulation spatiale comprend 8 variables internes : la déformation plastique la fraction volumique 3 rayons des demi axes les variables d'orientations au nombre de 3

5.4.2 Déformation plastique équivalenteLa déformation plastique équivalente est déterminée par l'équation d'égale dissipation.

La dissipation dans le matériau poreux est égale à la dissipation dans le matériau nonporeux. Cela se traduit par l'équation de forme en taux :

σ : Dp

ρ=

σ0D

ρ0

(5.20)


où D est le taux de déformation équivalent en traction et σ0 est la limite d'écoule-ment du matériau sain ou de la matrice identiée lors d'un essai de traction. La versionincrémentale s'écrit :

σ : ∆εp

ρ=

σ0∆εp

ρ0

(5.21)

d'où on extrait l'incrément de déformation plastique équivalente :

∆ε =σ : ∆εp

(1− f)σ0

(5.22)

L'hypothèse sous jacente est que l'on considère le taux de déformation constant. Enréalité, au niveau des codes ∆ε est directement calculé à partir de la conguration milieu.

5.4.3 Fraction volumiqueLa fraction volumique est intégrée à partir de la version incrémentale de la conservation

de la masse :

∆f = (1− f)∆εpkk (5.23)

On remarque la dépendance vis à vis de la dilatation de l'incrément de fraction volu-mique.

5.4.4 Intégration des rayonsSous sa forme taux, l'équation est celle donnée par la forme modiée de Thomason.

La version incrémentale est :

∆ri = (5

3nii +

1

2sinh(

3

2

σm

σ0

))∆εr (5.24)

∆ε est le terme correspondant aux termes déviatoriques des contraintes. Dans le casoù les conditions de contact sont vériées :

∆ri = 0 (5.25)

On remarque que nii est la normale à la surface de charge du matériau sain vu durepère lié à l'ellipsoide. On choisit de garder les trois rayons. Si le volume élémentaireest connu, un des rayons est redondant puisque la fraction volumique est dénie par lerapport du volume de l'ellipsoide sur le volume élémentaire.

5.4.5 Variables d'orientationsLes variables d'orientations correspondent aux cosinus directeurs du repère de l'ellip-

soide dans le repère de travail. En fait ce tenseur d'orientation comprend 9 composantesqui sont reliées par 6 équations. Le fait de prendre des variables d'orientations au niveau

5.4. INTÉGRATION DES VARIABLES INTERNES 123

du modèle n'est pas commun dans un modèle implicite. On a montré que la prise encompte de ces 6 équations de contraintes entraîne de lourd calculs(cf.annexe B).

Les incréments de rotation doivent être intégré avec soin. On doit trouver des incré-ments de rotation (la matrice des composantes doit être orthogonale). Si on reprend laforme en taux de la rotation, on a typiquement :

Q = WQ.Qt (5.26)Si on cherche la version incrémentale et que l'on intègre basiquement cette équation

sur un pas de temps, on obtient :

∆Q = ∆tWQ.Qt (5.27)La matrice incrément de rotation obtenue n'est pas orthogonale. Les variables conti-

nues à intégrer sont les trois angles d'Euler représentant les rotations d'un repère parrapport à l'autre. Dans le cadre de l'intégration objective des grandeurs d'orientations,on utilise l'algorithme de Hughes et Winget [49]. L'incrément de rotation de Hughes etWinget s'écrit :

∆Q = (I− 1

2ω)−1.(I +

1

2ω) (5.28)

où ω est la partie antisymmétrique déduit de l'incrément du gradient des vitesses àla conguration milieu. Dans notre cas d'intégration de l'orientation de la sous-structureellipsoide par rapport à la matière, ce tenseur incrémental sera fourni par la théorie de lareprésentation des fonctions isotropes identiée dans le cas particulier de la rotation del'ellipsoide. Si on adapte l'équation 5.28 à la rotation de l'ellipse par rapport au matériau,on a :

∆Qellipsoidemateriau = (I− 1

2ωellipsoide

materiau)−1.(I +1

2ωellipsoide

materiau) (5.29)

où la notation ∆Qellipsoidemateriau signie que le tenseur de rotation est celui du repère lié

au matériau par rapport au repère lié à l'ellipsoide. Cet incrément de rotation est dénipar ωellipsoide

materiau que l'on xe par une loi constitutive indépendamment du repère de travail.De manière incrémentale, on travaille essentiellement avec les incréments de rotation. Onremarquera que les incréments de rotation se composent contrairement à la forme tauxqui s'additionne. Ainsi nalement, dans le cas de l'incrément de rotation du repère lié àl'ellipsoide, on a :

∆Qspatialellipsoide = ∆Qspatial

materiau.(∆Qellipsoidemateriau)−1 (5.30)

Il est également intéressant d'eectuer le passage d'un repère à un autre. On considèrele cas tridimensionnel où les tenseurs du second ordre symétriques sont représentés parune matrice 6 lignes et 1 colonne. On écrit le changement de base de la façon suivante :

[σ]1 = Q12.[σ]2.Q

1T2 → [σ]1 = Q1

2.[σ]2 (5.31)où Q1

2 est dénie en annexe C.


On remarquera que les contraintes sont généralement stockées dans le repère maté-riel. L'incrément de rotation ∆Qspatial

materiau est déjà estimé au niveau des contraintes. Ainsiles normales calculées le sont dans le repère matériel. Il faut alors prendre uniquement∆Qellipsoide

materiau en considération.

5.5 Algorithme d'AravasLa résolution de la plasticité suit les développements d'Aravas d'intégration d'un mo-

dèle plastique compressible isotrope. Comme les variables internes sont gelées lors de larésolution du problème, on peut considérer que la forme du potentiel est isotrope. Les γνi

sont xes. Si on considère l'incrément de déformation ∆ε xe tout au long de l'incrément,on peut considérer en première approximation que le modèle est isotrope. La normale à lasurface de charge du matériau sain est constante. On peut alors appliquer l'algorithme àdeux inconnues d'Aravas pour le potentiel de Gurson. On résume les principales lignes. Lesdéveloppements avec la prise en compte des variables internes dépendant de la solutionsont détaillés à l'annexe A. Les diérentes équations mises en jeu sont :

la décomposition du taux de déformation : ∆ε = ∆εe + ∆εp

le comportement élastique isotrope du matériau : Cijkl = 2Gδikδjl − (K − 23G)δijδkl

le respect de la condition d'écoulement en n d'incrémént : φg = 0. la loi de normalité : ∆εp

ij = ∆λ ∂φ∂σij

Aravas montre que l'ensemble de ces équations est ramené à la résolution du problèmeplastique :

∆εp ∂φ∂σe

−∆εv ∂φ∂σm

= 0

φg(σe, σm) = 0σe = σel

e − 3G∆εp

σm = σelm −K∆εv

(5.32)

où ∆εv et ∆εp sont reliés à l'incrément de déformation par :

∆εp =1

3∆εvI + ∆εpn (5.33)

où I est le tenseur identité du second ordre et n = 32σe

σD.Les deux inconnues du problème sont ∆εp et ∆εv. L'ensemble du problème se résument

à la résolution d'un système à deux équations à deux inconnues.

5.6 P.O.L.L.U.XDans ce paragraphe, quelques caractéristiques du code développé au laboratoire vont

être rappelées.P.O.L.L.U.X résoud des problèmes thermo-mécaniques axisymmétriques. La résolu-

tion se divise en deux phases principales montrées sur la gure 5.3.Le schéma numérique est ecace comme l'a montré Simo et Miehe [66] à l'aide d'un

séparateur. La résolution du problème mécanique est une méthode d'Euler implicite. Une

5.7. PROGRAMMATION DANS ABAQUS/STANDARD c© 125

Fig. 5.3 Résolution thermo-mécanique dans P.O.L.L.U.X

méthode à raideur initiale assure un mauvais taux de convergence ce qui a pour but delimiter le pas de temps. Les problèmes de simulations de forgeage ont deux origines. Lapremière est le grand changement de géométrie du lopin. Des remaillages sont utiliséspour ne pas avoir des maillages trop distordus. La seconde provient des conditions decontact. Les conditions unilatérales provoquent un aaiblissement du taux de convergencede la solution. La résolution de la thermique s'eectue sur la géométrie courante par uneméthode explicite.

Les faibles pas de temps induits par la résolution du problème permet de résoudrela mécanique du matériau de manière explicite. Les variables internes sont résolues àla n de l'incrément pour être réinjectées au début de l'incrément suivant. Pendant larésolution mécanique les variables internes et la température sont xées. La résolution dela mécanique du matériau est dans ce cas simpliée.

5.7 Programmation dans ABAQUS/Standard c©

Ne disposant pas de code de simulations tridimensionnelles permettant le couplagethermique et mécanique, on a décidé d'introduire le potentiel développé au chapitre pré-cédent dans ABAQUS/Standard c© . Le potentiel s'introduit via une sous routine utilisa-teur UMAT. ABAQUS/Standard c© donne une série de variables que l'on doit intégrer auniveau du calcul. Les grandeurs sont sauvegardées dans le repère matériel. La résolutiondes équations issues du principe de puissances virtuelles est implicite. Le principe doit être


linéarisé et une matrice tangente doit être calculée [67]. Ce problème a déjà été abordéau moment des taux de contraintes. Il faut que la matrice jacobienne soit cohérente pourassurer la convergence au second ordre(Simo et Taylor [68]). Il faut que la matrice ja-cobienne prenne en compte les particularités de la résolution incrémentale. Les auteursmontrent les diérences de taux de convergence sur un modèle de plasticité de Von Mises.Dans ce cas particulier, une seule inconnue est à garder.

5.7.1 Méthode de résolution de la plasticité localeLa méthode générale de Simo et Ortiz à une inconnue montre rapidement ces limites, en

particulier pour les modèles orthotropes. On doit réduire le pas de temps ce qui interditles grands pas de temps et enlève ainsi l'intérêt de la méthode implicite. Il faut alorsrelacher des inconnues pour que le problème ait une solution.

Les inconnues que l'on va relacher sont alors les incréments de déformations plastiques.L'ensemble d'équations à résoudre à la n de l'incrément est :

l'équation d'élasticité :

σn+1 = σn + Del : (∆ε−∆εp) (5.34) la loi d'écoulement :

∆εp = ∆λ∂φ

∂σ(5.35)

l'évolution des variables internes qui s'écrivent sous sa forme générale :

H = ∆λh(σ,H) (5.36) le critère d'écoulement :

φ = 0 (5.37)Les notations sont reprises d'ABAQUS/Standard c© Theory Manual.

Ces équations sont non-linéaires. Une résolution itérative par une méthode de Newtonest nécessaire.

Pour résoudre ce problème, il convient de linéariser ces équations. Si on linéarise leséquations liant les contraintes à t+∆t et les déformations plastiques à t+∆t, on obtient :

∂σ = −Del : ∂εp (5.38)ensuite on linéarise l'équation d'évolution des variables internes :

∂Hα = ∂λhα (5.39)équations que l'on peut réécrire sous la forme :

∂Hα = ∂λHα + w : ∂σ (5.40)où :

5.7. PROGRAMMATION DANS ABAQUS/STANDARD c© 127

Hα = [δαβ −∆λ∂hβ

∂Hα]−1hβ (5.41)

et

w = ∆λ[δαβ −∆λ∂hβ

∂Hα]−1∂hβ

∂σ(5.42)

Pour la programmation de ces entités, il conviendra de remarquer que l'équation 5.41est un vecteur de degré égal au nombre de variables internes utilisées dans le modèleet 5.42 est une matrice de rang égal au nombre de variables internes fois le nombre decontraintes utilisées dans le modèle. Si on linéarise les équations restantes on obtient pourl'équation reliant les contraintes et les déformations :

∂σ = −Del : ∂ε (5.43)la loi d'écoulement est traitée sous forme de résidu puisqu'on la suppose exacte uni-

quement pour la solution :

∂εp − ∂εp ∂φ

∂σ∆λ(

∂2φ

∂σ∂σ: ∂σ + λ

∂2φ

∂σ∂Hα: ∂Hα) = ∆λ

∂φ

∂σ−∆εp (5.44)

On peut réécrire cette équation :

[J + ∆λN : Del] : ∂εp − n∂λ = ∆λ∂φ

∂σ−∆εp (5.45)

où :

N =∂2φ

∂σ∂σ+ λ

∂2φ

∂σ∂Hαw (5.46)

et :

n =∂φ

∂σ+ ∆λ

∂φ2

∂σ∂HαHα (5.47)

Si on linéarise la loi d'écoulement, on a alors :

∂φ

∂σ: ∂σ +

∂φ

∂H∂Hα = −φ (5.48)

que l'on peut réécrire à l'aide de la relation qui lie les contraintes et les déformations,sous la forme :

m : Del : ∂ε− φ

∂HαHα∂λ = φ (5.49)

où :

m =∂φ

∂σ+

∂φ

∂Hαw (5.50)

En éliminant ∂λ des équations 5.49 et 5.45, on obtient après une double contractionsuivant la direction donnée par m : Del :


∂λ =1

dm : Del : N : Del : ∂ε− 1

dm : Del : (∆λ

∂φ

∂σ−∆εp) +

1

dφ (5.51)

où d = m : Del : n− ∂f/∂HαHα nalement, on obtient la résolution pour l'équationdes déformations plastiques :

[J + ∆λ : N : Del] : ∂εp = Z : (∆λ∂φ

∂σ−∆εp) +

1

dφn (5.52)

avec Z = J − 1dnm : Del Une fois ∆εp trouvé, on trouve ∆λ. Le problème est alors

résolu.

5.7.2 Matrice cohérenteLa résolution incrémentale du problème fait que la matrice tangente (exprimée à l'aide

des formes en vitesse des relations de comportement) n'est pas exactement celle du ma-tériau. An d'obtenir un meilleur taux de convergence pour la résolution, il faut alorscalculer la matrice introduite par Simo et Taylor [68]. Dans le cas du modèle global ex-primé précédemment, cette matrice est obtenue en linéarisant les diérentes équations àt + ∆t, elle s'écrit :

D = [J + ∆λ : Z : N]−1 : Del : Z (5.53)

Pour surmonter la programmation de problème complexe, Kojic et Bathe [37] pro-posent le calcul de la matrice tangente par une méthode de perturbation. Ce type deméthode s'avère plus coûteuse et peu ecace dans des modèles complexes. On la cite carelle a été utilisée pour donner des résultats rapidement.

Pour calculer la matrice cohérente, on utilise :

C =∂∆σ

∂∆ε(5.54)

Pour calculer ses dérivées, on utilise une procédure de perturbation ou de diérencesnies.

C = [C(1)...C(n)] (5.55)

où n est le nombre de contraintes dans le problème. Les vecteurs colonnes sont :

C(i) =δσ(i)

δ(i)(5.56)

où δ(i) est la perturbation du vecteur incrément de déformations ∆ε. La résolution duproblème peut être résumée dans le tableau 5.2.

5.8. CONCLUSION 129

1. Calcul des contraintes à la n de l'incrément : σn+1 = f(ε)

2. Boucle pour les i contraintes.(a) Calcul de l'incrément des déformations modiées : ε(i) = ε + δ(i)

(b) Calcul de la contrainte à la n de l'incrément : σ(i)n+1 = f(ε(i))

(c) Calcul de de la diérence de contrainte : δσ(i) = σ(i)n+1 − σn+1

(d) Calcul de la colonne C(i)

3. Réorganisation de la matrice tangente

Tab. 5.2 Calcul de la matrice tangente

5.8 ConclusionDans cette partie, diérents algorithmes ont été présenté dans diérents formalismes.

Dans la suite du travail, on va regarder comment réagissent les diérents modèles numé-riques. Les particularités des diérents modèles seront appréciées sur les exemples traitésdans le chapitre suivant.

Les algorithmes présentés n'ont pas tous la même complexité de programmation. Onretient que l'ecacité numérique va souvent de paire avec la simplicité. Plus le modèle a devariables internes plus le modèle numérique sera délicat à mettre en place. Une intégrationdu modèle de Gurson est plus complexe et plus longue à mettre en place qu'un modèle deplasticité de Von Mises. La résolution est également plus coûteuse en temps. Il faut êtresûr de l'intérêt des modèles couplés.

Chapitre 6

Exemples

Idées directrices : Diérents exemples sont développés pour mieux appréhender les pro-priétés des schémas présentés. L'application sur des exemples simples permet l'observationdes variables obtenues (cosinus directeurs par exemple).

6.1 IntroductionLes bases théoriques et algorithmiques ont été présentées aux chapitres précédents.

Dans ce chapitre, une série d'applications va être eectuée pour mieux appréhender lesdiérentes caractéristiques des schémas et des modèles présentés.

Dans un premier temps, les caractéristiques et les performances de l'algorithme àdeux niveaux seront montrées. L'exemple traité sera une barre d'un matériau orthotropemodélisé par un critère quadratique de Hill dans le domaine plastique avec les directionsd'orthotropie non alignées avec les directions du chargement et changeant d'orientationavec la déformation.

Dans un deuxième temps, le modèle tridimensionnel de plasticité est appliqué surun test d'endommagement en compression. Les deux schémas présentés sont comparéset les résultats numériques sont comparés qualitativement avec des essais expérimentauxpermettant d'apprécier la limite de validité du modèle développé.

Dans un schéma plus simple, une gamme de fabrication d'un disque spacer sera mo-délisé pour montrer l'intérêt de modéliser les variables d'orientations.

6.2 Changements d'orientationsLes matériaux sont caractérisés par des directions d'orthotropie. La plupart des algo-

rithmes présentés dans la littérature considère les directions xes dans le repère matériel.Pour modéliser plus nement le comportement, il convient de suivre les changementsde directions au cours de l'incrément. Ces orientations sont assimilées à des variablesinternes. Dans un comportement de Hill, ces orientations correspondent aux directionsd'orthotropie qui peuvent évoluer au cours de la déformation.

131

132 CHAPITRE 6. EXEMPLES

6.2.1 MéthodeDans cet exemple, on va étudier le schéma à deux niveaux en développant les détails

de programmation présentés au chapitre précédent. Le matériau est modélisé par uncomportement orthotrope de Hill dans le repère d'orthotropie Ranisotropie :

f(σ) =√

F (σyy − σzz)2 + G(σzz − σxx)2 + H(σxx − σyy)2 + 2Lσyz2Mσzx + 2Nσxy

Le lieu d'écoulement est tel que :

f(σ)− σ0 = 0

Les contraintes sont exprimées dans le repère d'anisotropie. Elles doivent être projetéesdans le repère à t + ∆t qui n'est pas connu par avance. On reprend la forme décritedans la formulation générale. On se rajoute des variables internes d'orientations de lasous structure orthotrope par rapport à la matière. L'intégration de l'évolution du repèred'orientation s'eectue de la même manière que pour celle du repère lié à l'ellipsoide, onchoisit l'évolution suivante :

[Wanisotropiemateriau ]ij = ηDij (6.1)

où les indices sont telles que les i 6= j et le chapeau indique les composantes dans lerepère d'anisotropie. Il est évidemment impossible de linéariser la version incrémentaled'évolution des rotations. Le repère a une évolution par rapport à celui du matériau. Unefois le repère connu à t + ∆t par l'algorithme à deux niveaux, la solution est trouvée.Les contraintes doivent alors être retournées dans le repère matériel. La matrice tangenteconsistante s'exprime facilement dans le repère lié à la sous-structure. Il faut alors letransporter dans le repère matériel. Les diérentes grandeurs introduites précédemmentsont reprises pour résoudre la plasticité et exprimer la matrice tangente.

6.2.2 AlgorihtmeOn reprend succinctement, quelques détails de la résolution. Les déformations plas-

tiques sont des inconnues. Le cas tridimensionnel est traité avec ABAQUS/Standard c© quidonne les contraintes et les incréments de déformations totaux dans le repère matériel. Audébut de l'incrément, les contraintes sont introduites dans le repère de la sous-structure :

[σn]sous−strucuture = Qsous−structuremateriel .[σn]materiel (6.2)

Finalement la solution nale doit être retournée dans le repère matériel à la n del'incrément :

[σn+1]materiel = Qmaterielsous−structure.[σn+1]sous−strucuture (6.3)

On itère l'algorithme à deux niveaux jusqu'à ce que la solution soit obtenue. Pour quela solution implicite soit complète, il faut programmer la matrice tangente consistante. Il

6.2. CHANGEMENTS D'ORIENTATIONS 133

est facile de trouver D dans le repère lié à la sous-structure, il faut alors le retourner dansle repère matériel. Le tenseur du quatrième ordre se transporte par :

[D]matieriel = Qsous−structureTmateriel .[D]sous−structure.Qsous−structure

materiel (6.4)Conformément à la version de l'algorithme détaillé dans l'intégration numérique, on

remarque que la matrice consistante est identique à celle exprimée normalement. Elles'exprime par l'équation 5.53.

Lors de la résolution du problème, le changement d'orientation est bloqué. Une foisles variables internes trouvées, le changement d'orientation est calculé. On calcule alorsde nouveau la plasticité en partant du même état initial mais avec le nouvel incrément derotation. Toutes les variables internes sont déterminées à la n de l'incrément. On résumel'algorithme dans le tableau 6.1.

1. Si : φ > 0 calcul de la plasticité sinon aller à 3.2. Calcul de la plasticité


φ(σn+1,H,Q) = 0

et

∆εp = ∆λ∂φ

∂σ

et

∆H = ∆λh(σn+1,Hn+1,Q)

(b) Calcul de la rotation de la sous structure Q avec les résultats obtenus àl'étape précédente :

Wmateriauani = ∆εη

∑Gi

où Gi sont les trois générateurs linéaires dans une représentation d'unefonction tensorielle antisymmétrique. Avec le schéma de Hughes et Win-get :

∆Qmateriauani = (I− 1/2Wmateriau

ani )−1.(I + 1/2Wmateriauani )

(c) retour à 2 avec le nouveau Q. On itère jusqu'à stationarité des contraintes.3. Fin d'algorithme : passage des contrainte n + 1 → n.

Tab. 6.1 Algorithme à deux niveaux de résolution avec variables internes d'orientations

On mettra en évidence sur un essai de traction d'un matériau orthotrope le bon tauxde convergence de la méthode proposée.


6.2.3 RésultatsDans un premier temps, les temps de convergence de la solution d'un algorithme clas-

sique de résolution de la plasticité (modèle dans ABAQUS/Standard c© ) et du modèleavec directions d'anisotropie tournantes sont comparés. Les deux modèles ont un compor-tement de Hill avec les coecients suivants :

F = 0.68, G = 0.14, H = 0.55, L = 1.5,M = 1.23, N = 1.66R11 = 1.2, R22 = 0.9, R33 = 1.1, R12 = 0.95, R13 = 1.1, R23 = 1.

(6.5)

Sur la gure 6.1 a, on a représenté la surface de charge pour ces valeurs. C'est unellipsoide dans le plan du déviateur.

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 6.1 Potentiel de Hill dans les directions principales du chargement pour le modèleexprimé précédemment. Les directions d'orthotropie sont inclinées de π/4 par rapport à3. La direction du déviateur suivant 1 est la direction horizontale. Les contraintes sontnormalisées par σ0

L'ecacité du schéma numérique à grands incréments dépend de la forme de la surfacede charge puisque le retour sur la surface de charge s'eectue en fonction de la normaleà t + ∆t. Sur la gure 6.2, on voit le type de problèmes qui peuvent surenir. On choisitalors pour remédier à ce problème un fort écrouissage.

La réorientation des directions d'orthotropie est donnée par une loi constitutive choisiepour la réorientation de la cavité. Les coecients ηi sont tous égaux. On choisit unevaleur de η = 0.5. L'orientation est telle que les directions d'orthotropie sont inclinéesde 45 degrés par rapport à l'axe 1 de chargement et coïncident par rapport à l'axe 3.L'éprouvette parallélipédique a pour dimensions 140x20x20. La géométrie est maillée enC3D8, briques à huit noeuds. Les deux résultats sont exprimés dans le tableau 6.2.

Les résultats du tableau 6.2 montrent que l'algorithme à deux niveaux a de bonnescaractéristiques de convergence. On peut toujours avoir de grands incréments sans que la

6.3. ECRASEMENT D'UN ÉLÉMENT 135

Fig. 6.2 Problème de résolution pouvant intervenir dans le cas orthotrope, si la matriceest rigide plastique. On ne peut rabattre sur la surface de charge

Type de Calcul Temps user Nbre d'incr Itérations Incr max en %Calcul ABAQUS/Standard c© 100. 11 18 24.1Sous-routine à deux niveaux 230. 11 27 24.1

Tab. 6.2 Comparaison des résultats

convergence soit susamment dégradée. Les 2 fois plus viennent du fait que l'on a choisisur cette exemple une grande précision sur le deuxième niveau et que malgré tout plusd'itérations sont nécessaires.

La poutre est inclinée dans le sens de la direction 1 du repère global. Dans ce cas, on tiredans la direction 1. Le repère d'orthotropie change de direction. C'est la loi constitutivequi donne sa variation. Sur la gure 6.3, on a représenté la composante q11 du tenseur derotation entre le repère matériel et celui d'orthotropie à l'instant t. La valeur initiale estde√

2/2.

6.3 Ecrasement d'un élément

Pour tester les caractéristiques du schéma à deux niveaux adapté au cas du modèlespécique, l'écrasement d'un élément est présenté. C'est un écrasement entre deux tasplats avec conditions bloquantes sur l'outil. L'élément choisi est linéaire, ce qui limitel'analyse des résultats.


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1

2

3

Fig. 6.3 Orientation de q11 repérant l'orientation du repère matériel par rapport aurepère d'orthotropie.


6.3.1 SchémaLe schéma numérique développé est similaire à celui développé pour le comportement

orthotrope de Hill. Il est adapté au cas du potentiel spécique. Les particularités choisiessont :

1. Traitement des rayons et des orientations dans le même niveau.2. Résolution des contraintes, de la fraction volumique et de la déformation plastique

équivalente par l'algorithme proposé par Aravas pour les potentiels plastiques com-pressibles isotropes.

Le schéma utilisé est alors détaillé dans le tableau 6.3.

1. Si : φ > 0 calcul de la plasticité sinon aller à 3.2. Calcul de la plasticité


φ(σn+1, ri, f, ε,Q) = 0

et

∆εp ∂φ

∂σm

−∆εv ∂φ

∂σeq

= 0

Conformément à Aravas [34] :

∆εp = ∆εpn +1

3I∆εv

(b) Calcul de la rotation de la sous structure Q avec les résultats obtenues àl'étape précédente :

Wmateriauellipsoide = ∆εη

∑Gi

(c) retour à 2 avec le nouveau Q. On calcule jusqu'on ait une solution.3. Fin d'algorithme : passage des contrainte n + 1 → n.

Tab. 6.3 Algorithme à deux niveaux de résolution pour le potentiel spécique

La particularité du modèle est son caractère orthotrope avec ses variables d'orientation.On va présenter le cas global d'un comportement de la matrice orthotrope et une matricerigide plastique de telle sorte que les coecients du modèle ne soient pas sensibles àl'écrouissage.

Une première méthode a été programmée suivant l'algorithme de Simo et Ortiz (mé-thode numérique). Les variables d'orientations et les rayons ont été intégrés de manièreexplicite. Il faut alors limiter la taille des pas de temps. On perd ainsi l'intérêt de laméthode implicite. On choisit alors la méthode proposée par Ortiz et Popov.


sous routine Aravas 2 niveauxtemps 3.4 4.6

Tab. 6.4 Temps de calcul suivant les deux algorithmes lors de l'écrasement d'un élémentde 50% de sa hauteur. Fraction initiale de 2.5% pour le premier incrément. Précision 2niveaux de 1d-7 sur les contraintes.

La diculté est de savoir si la normale à la surface de charge du matériau sain est dé-nie à partir de l'estimation élastique ou pas. La matrice tangente cohérente est fonctionde la normale et sera sensible à l'incrément de déformation. Avec les hypothèses sur lanormale à la surface de la charge pour l'obtention du potentiel plastique, on peut considé-rer la normale à la surface de charge dans le plan déviatorique constante. Le problème estconsidérablement simplié. Dans l'annexe E, le potentiel a été linéarisé par rapport auxcontraintes déviatoriques. Le problème est complexe à mettre en place. On choisit alorsla méthode d'Aravas pour les modèles de plasticité compressible isotrope en considérantla normale à la surface de charge donné par 2σeq/σ

203/2σ

Dij /σeq. Cela signie que toutes

les linéarisations du potentiel vis à vis des contraintes déviatoriques ont été occultées.Il faut alors travailler avec un schéma à deux niveaux. Le premier niveau correspond àl'intégration des contraintes, de la déformation plastique et de la fraction volumique. Lesecond niveau est la réactualisation des rayons et des orientations. Le taux de convergencedu second ordre est alors perdu.

6.3.2 Temps

Dans cette partie, on va comparer le temps de calcul pour la sous routine à deuxniveaux et une sous routine pour un modèle de Gurson. Les deux résultats sont présentésdans le tableau 6.4.

Sur cet exemple, la sous routine à deux niveaux donne des temps de convergencesimilaires à ceux de la sous routine écrite selon Aravas.

6.3.3 Précision

Dans le but d'apprécier la précision de ce type de schéma deux calculs vont êtreeectué. Le premier correspond au cas où de grands incréments sont eectués lors dela résolution du problème mécanique. Le second correspond au cas où l'incrément estmaintenue à une taille petite. Ce deuxième cas approche plus nement la solution. Encomparant la première solution à cette dernière, l'erreur faite pourra être appréciée.

Les résultats sont comparés pour deux points de Gauss appartenant chacun à unetranche de l'élément. Les contraintes et les variables de déformation plastique et fractionvolumique sont comparées dans les gures 6.4 et 6.5. Sur ces gures, on remarque lesbonnes approximations des diérentes grandeurs lors d'une résolution à grands incréments.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1600

−1400

−1200

−1000

−800

−600

−400

−200

0

écrasement en mm

co

ntr

ain

e e

n M

Pa

s11 npt=1 gros pass33 npt=1 gros pass11 npt=7 gros pass33 npt=7 gros pass11 npt=1 pas fins33 npt=1 pas fins11 npt=7 pas fin s33 npt=7 pas fin

Fig. 6.4 Contraintes pour les deux types de calculs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

écrasement en mm

dé

form

atio

n p

lastiq

ue

éq

uiv

ale

nte

npt=1 pas grosnpt=7 pas grosnpt=1 pas fin npt=7 pas fin

0 0.5 1 1.5 2 2.5 35

5.5

6

6.5

7

7.5x 10

−3

écrasement en mm

fra

ctio

n v

olu

miq

ue

npt=1 pas grosnpt=7 pas grosnpt=1 pas fin npt=7 pas fin

Fig. 6.5 Contraintes pour les deux types de calculs


6.4 Ecrasement d'un lopin tridimensionelAn de valider le modèle, on eectue un écrasement d'un lopin parallépipédique aux

coins arrondis (gure 6.6). En raison du frottement, cette forme entraîne l'établissementd'un état de contrainte non homogène.

Numériquement, le lopin sera écrasé de 30% de sa hauteur initiale. L'algorithme derésolution locale de plasticité est celui à deux niveaux présenté précédemment. Les condi-tions choisies pour la simulation sont décrites par rapport aux conditions expérimentales.

L'un des faits marquants du modèle est le développement d'endommagement souscompression. Le modèle s'applique lorsque les inclusions (ou les particule de secondesphases) sont indéformables. Des observation expérimentales sont menées sur le lopin pourvalider ces prédictions.

Fig. 6.6 Lopin en 2017 pour l'essai de compression après et avant compression

6.4.1 Modèle numériqueLe modèle de comportement est le modèle du LMSo pour une matrice isotrope sans

écrouissage. Dans une application, il convient de noter que ce modèle surestime la dilata-tion et par conséquent la fraction volumique.

L'essai a été initialement eectué sur un lopin en duraluminium. Les caractéristiquesont été obtenues avec un essai de traction(gure 6.7). L'éprouvette de traction ainsi quele lopin ont été extraits d'une barre lée. Le tournage et le contournage ont été eectuésdans le sens des bres.

6.4. ECRASEMENT D'UN LOPIN TRIDIMENSIONEL 141

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

100

200

300

400

500

600

déformation équivalente en %

Co

ntr

ain

te e

n M

Pa

Fig. 6.7 Comportement du 2017

Le lopin est ensuite écrasé entre deux tas plats en 45CrMo4 rectiés. La forme nale(coin anguleux et forme en tonneau) laisse envisager des conditions de frottements deCoulomb. On choisit µ = 0.1.

La géométrie du lopin (gure 6.6) permet de modéliser qu'un seizième. Les conditionsde contact modieront l'état au voisinage du coin supérieur. Il convient de mailler plusnement à cet endroit. La discrétisation est montrée sur la gure 6.8.

Les caractéristiques du matériau sont données dans le tableau 6.5. La fraction vo-lumique initiale de cavité correspond à la fraction volumique initial de l'inclusion. Celasuppose que la matrice est en contact en tout point de l'inclusion. Le modèle ne considèreaucun critère d'adhésion. Si la matrice entoure l'inclusion, c'est un contact unilatéral quiest traité. Les fractions volumiques et les rayons n'ont pas de signication physique parti-

Caractéristiques ValeursYoung 75 000 MPaPoisson 0.3rinclusion 1.d-6rcavite 1.d-6finclusion 0.5%fcavite 0.5%

Tab. 6.5 Propriétés mécaniques du Duraluminium choisi


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1

2

3

Fig. 6.8 maillage pour la simulation du lopin tridimensionnelle


culière. Le but est de voir l'évolution des diérentes quantités introduites par le modèle.

6.4.2 Résulats numériquesLes résultats numériques qui nous intéressent sont :1. La fraction volumique. Le modèle Lmso est comparé avec celui de Gurson.2. L'orientation de l'ellipsoide par rapport au repère matériel.3. L'évolution de la cavité : les rayons.Tout d'abord, on va comparer les prédictions du modèle de Gurson et de celui du

LMSo. Sur la gure 6.9, la carte de la fraction volumique est tracée pour le modèle deGurson. Sur la gure 6.10, la carte pour le modèle du LMSo.

Pour le modèle de Gurson, on a évidemment une diminution de la fraction volumiquepartout dans le lopin. Le modèle du Lmso prédit un accroissement de la fraction volumiquedu aux conditions de contact introduit par la présence de l'inclusion dans la matrice.

Le modèle donne des informations sur l'orientation de la cavité par rapport au repèrematériel. On notera que les orientations visualisées (que l'on a calculées et stockées)sont celles de l'ellipsoides dans le repère matériel. Pour une meilleur appréciation deces diérentes grandeurs, l'orientation stockée doit être celle du repère de l'ellipsoidepar rapport à celui de travail. Le modèle choisi (µ = 0.1) entraîne de faibles rotationsmatérielles sauf sous le contact. Cela signie que dans ce cas particulier, l'orientationdonnée par les variables internes correspondent à l'orientation de l'ellipsoide dans le repèrematériel. On montre sur la gure 6.11 l'orientation de la direction 3 dénie par un cosinusdirecteur de l'ellipsoide par rapport à la direction 3 du repère matériel. Une valeur de 1entraîne la coïncidence des deux directions.

Une fois les directions visualisées, on s'intéresse aux valeurs des rayons dans ce repère.Sur la gure 6.12. On s'intéresse particulièrement aux valeurs sur la face plane de normal2 (du repère global) car c'est sur cette face qu'ont été eectués les observations. Sur cetteface peu de rotations matérielles ont eu lieu et la direction du repère lié à l'ellipsoidecoïncide avec celle du repère global. On remarque alors un développement de l'endomma-gement dans le sens perpendiculaire au sens de compression. Le rayon 2 est visualisé surla gure 6.13. Il est intéressant de l'observer dans le plan de normal 1.

6.4.3 Résultats expérimentauxSur le premier matériau choisi, un duraluminium, le mode d'endommagement de la

matière semble correspondre à deux modes. La première est un endommagement localiséau voisinage d'inclusions dans les bandes de cisaillement. Le second mode d'endomma-gement semble être la rupture des inclusions qui ne peuvent alors plus être considéréescomme indéformables (voir gure 6.14 et 6.15) .

Il conviendra dans les modèles à venir de prendre en compte la déformation et lerésistance de l'inclusion dans l'écoulement plastique.

Babout et coll [1] ont développé un matériau modèle avec inclusion de Zirconium dansune matrice en aluminium. Bordreuil, Maire et coll [69] proposent alors une étude de l'essaidécrit précédemment avec ce matériau modèle. Le processus d'endommagement sera alors


ABAQUSPrinted on: Sun Aug 18 09:30:55 GTB 2002

1

2

3

Fig. 6.9 Fraction volumique pour le modèle de Gurson



1

2

3

Fig. 6.10 Fraction volumique pour le modèle du LMSo



1

2

3

Fig. 6.11 Orientation q33 de l'ellipsoide dans le repère matériel



1

2

3

Fig. 6.12 Rayon dans la direction 1 du repère de l'ellipsoide



1

2

3

Fig. 6.13 Rayon dans la direction 2

6.5. APPLICATION À UNE GAMME 149

Fig. 6.14 Particule cassée dans le lopin en Duraluminium écrasé entre deux tas plats.Photo :E.Maire

celui décrit par le modèle. On montre sur la gure 6.16 que lors de la compression dulopin, on a croissance du rayon perpendiculaire au sens de compression.

6.4.4 ConclusionLe modèle prédit de l'endommagement en compression. Cette sensibilité provient de

la considération de l'inclusion indéformable dans la matrice. Il convient d'être prudentsur l'application du modèle puisque comme on a pu s'en apercevoir, il faut être sûr quel'on puisse considérer l'inclusion indéformable.

6.5 Application à une gammeDans cette application, on va regarder l'intérêt de suivre les directions des ellipsoides.

6.5.1 SituationLa société Fortech/HTM Pamiers forge des disques pour des turbines aéronautiques et

terrestres. Les pièces sont forgées à chaud en INCONEL 718. Suivant la forme des outils,des défauts peuvent apparaître.


Fig. 6.15 Particule cassée et cavité au voisinage d'une inclusion dans le lopin en Dura-luminium écrasé entre deux tas plats. Photo :E.Maire


Fig. 6.16 Matériau modèle [1]. Le matériau est comprimé dans le sens vertical.Photo :E.Maire

L'utilisation dans des conditions sévères de la pièce entraîne systématiquement le rebud'une pièce comportant des porosités importantes. Même dans les phases de prototypage,il convient de minimiser les essais pour ne pas avoir de rebut.

Si une modélisation ne et correcte est ecace, on pourra éviter certains prototypes.Dans ce cas simplié, les variables internes seront directement déduites de la plasticité

de Von Mises. Elles sont alors post-traitées par rapport à la résolution.

6.5.2 Les phases1er Phase

La gamme comprend plusieurs phases. Le lopin cylindrique est chaué à 1040 degrésCelsius. Il est ensuite écrasé entre un tas plat et un poinçon comme sur la gure 6.17.

2ème Phase

Ensuite un écrasement est réalisé (voir la gure 6.18).

3ème Phase

Ensuite, le lopin est de nouveau poinçonné (voir gure 6.19).


Fig. 6.17 Première Phase de Forgeage

Fig. 6.18 Deuxième Phase de Forgeage


Fig. 6.19 Troisième Phase de Forgeage

4ème PhaseEnsuite, le lopin est écrasé sous forme de galette, voir gure 6.20.Les quatres premières phases de forgeage libre correspondent au travail du lingot pour

le transformer en ébauche de matriçage. Les deux phases de poinçonnage permettent deplastier les extrémités supérieure et inférieure du lingot dans les zones mortes des deuxphases d'écrasement entre tas plats.

5ème PhaseFinalement, la galette est mise en forme pour obtenir la forme du disque voir gure

6.21.C'est le cas optimisé avec matrices fermées qui va être étudié. En n de mise en forme,

la montée de la contrainte moyenne est assez importante pour que la porosité diminuejusqu'à sa valeur initiale dans certaines parties du lopin.

6.5.3 Simulations et RésultatsLes simulations numériques vont être eectuées avec P.O.L.L.U.X sans eet ther-

mique. Le frottement est bloquant. Seul le comportement découplé est utilisé dans cecas.

Les quantités observées sont : la fraction volumique.


Fig. 6.20 Quatrième Phase de Forgeage

Fig. 6.21 Cinquième Phase de Forgeage


le rapport de forme min/max, rapport de forme (c.s.g). l'orientation des défauts. C'est l'orientation de l'ellipsoide dans le repère de travail

qui sont représentés.Les résultats des gures 6.22, 6.23, 6.24 et 6.25 peuvent être analysés suivant trois

groupes. Les poinçonnages conduisent à des déformations plastiques équivalentes de 25%en moyenne sur une profondeur d'environ 100 mm sous chaque poinçon pour un lingot de1500 mm de hauteur. La zone plastiée sous le poinçon reste systématiquement en com-pression avec un rapport de triaxialité maxi de -1.5 environ. Dans ces conditions la fractionvolumique n'augmente que de 10% à l'extrémité de la zone plastiée. Les directions descavités ellipsoiïdes s'orientent dans les directions principales du chargement étant donnéque la forme initiale est sphérique. Les deux phases de poinçonnage du lingot n'induisentpas de grandes transformations plastiques. L'endommagement induit est négligeable.

Les deux phases d'écrasement entre tas plats conduisent à des résultats globalementéquivalents à ceux obtenus sans phase de poinçonnage. La première opération entraîneune déformation plastique de 125% au coeur du lingot et voisine de 100% sur les rayonsextérieurs de contact lopin outil. Le maximum de la fraction volumique se situe dans lamême zone que la déformation plastique maxi avec une valeur triple de la valeur initiale.Le rapport de forme des cavités a atteint une valeur de 1.7 de part et d'autre du planmédian du lopin. Les défauts les plus dangereux se sont donc formés au coeur du lopin dansdes zones en compression avec un rapport de triaxialité voisin de -0.75. Dans cette zonedu plan médian les défauts ont gardés leurs orientations initiales en raison de la symétriede l'opération. Les directions de l'orientation pendant ces phases se sont signicativeslorsque les rapports de forme sont supérieurs à 1. Ainsi, l'orientation représente vraimentl'orientation de l'ellipsoïde et non la première orientation de l'ellipsoide dans les directionsprincipales de l'écoulement plastique.

Le second poinçonnage travaille la zone morte inférieure du lopin mais a aussi pourconséquence de diminuer légèrement la fraction volumique en la ramenant au centre dulopin à une valeur égale à 2.5 fois sa valeur initiale. Par ailleurs cette opération augmentele volume de la zone où les défauts ont un rapport de forme de 1.7.

Pendant le second écrasement entre tas plats, la déformation plastique à coeur aug-mente de 125% à 230%. Dans cette zone, le rapport de triaxialité voisinant -2, les cavitésse referment complètement, on retrouve la valeur initiale de la fraction volumique. Parcontre en périphérie du lopin, la contrainte moyenne est nulle ou positive. On observe danscette zone une augmentation de la fraction volumique qui atteint le triple de sa valeurinitiale avec de surcroît des rapports de forme de cavités supérieurs à 2.

Le matriçage de cette ébauche conduit à des déformations plastiques de 80% sur lesfaces externes au centre du lopin jusqu'à 400% dans des zones de contact à fortes cour-bures. En moyenne à coeur du disque a été transformé avec une déformation plastiquede 200%. Pendant cette opération de matriçage, à l'exception des points de contact où lefrottement bloquant réduit les singularités, la fraction volumique dans la zone du bom-bée du lopin conserve une valeur triple de sa valeur initiale avec des rapports de formepouvant atteindre 2.3. Cet endommagement est celui du produit lorsqu'il est forgé enmatrices ouvertes. Des défauts importants ont été détectés par sondage ultra sonore danscette zone. Pour un matriçage avec outillage fermé, la formation de la bavure impose unetrès forte montée de la pression hydrostatique avec des rapports de triaxialités à -2. Cet


état de contrainte bénéque permet de ramener la fraction volumique à 1.25 fois sa valeurinitiale dans la zone dangereuse mais ne réduit le rapport de forme que de 2 à 1.8.

Dans la dernière phase, le lieu où les orientations sont signicatives correspondent aulieu où les rapports de forme sont importants. Si le rapport de forme et la fraction donnedes informations sur la zone dangereuse, l'orientation donne des informations sur commentla zone est dangereuse. On remarque pour les orientations des valeurs symétriques parrapport au plan médian (15 degrés et 90-15 degrés).

Les diérentes phases ont été simulées sans aucun eet de température. Il peut êtreintéressant de prendre en compte la température particulièrement dans la n de la dernièrephase où des eets de diusion peuvent se coupler pendant le maintien de la pressionhydrostatique.

6.6 ConclusionTout au long de ces exemples, on a vu les diérentes caractéristiques des algorithmes

proposés.Sur la réorientation de l'orthotropie, on a vu que la solution proposée donne de bons

résultats en convergence.Plus que l'algorithme proposé sur l'essai tridimensionnel, on remarquera l'intérêt du

modèle avec inclusion par rapport à un modèle pour des cavités vides. Le modèle estcapable de prédire de l'endommagement en compression.

Pour compléter ces diérents modèles pour obtenir des limites de ductilité, il convien-drait d'introduire la coalescence de cavité en prenant en compte le couplage entre lerapport de forme des ellipsoides et la fraction volumique. À partir du suivi dans les trans-formations nies, un critère intrinsèque pourra être développé dans le cadre des grandestransformations.

6.6. CONCLUSION 157

Fig. 6.22 Évolution du rapport de forme au cours des quatres premières phases


Fig. 6.23 Évolution de la fraction volumique au cours des quatres premières phases

6.6. CONCLUSION 159

Fig. 6.24 Évolution des directions au cours des quatres premières phases


Fig. 6.25 Évolution de la fraction volumique et de l'orientation au cours de la dernièrephase

Fig. 6.26 Rapport de forme à la n de la mise en forme

Chapitre 7

Conclusion

7.1 Travail établiTout au long de ce travail, on s'est attaché à décrire et à modéliser numériquement

la croissance de cavités. On retiendra qu'à partir du modèle Rice et Tracey, on exprimel'évolution des rayons pour prendre en compte le changement de forme et son inuence auniveau macroscopique. Ensuite, les directions des défauts peuvent toujouts être considérésen modiant légèrement le champ de vitesse proposé par Thomason.

Au niveau de l'intégration numérique, on retiendra l'algorithme à deux niveaux pluscouteux que la linéarisation mais permettant d'avoir une solution à moindre coût. L'e-cacité des schémas numériques lors d'une résolution à grand pas de temps est directementrelié au schéma choisi. Lorsqu'un modèle de Von Mises est choisi tous les schémas sontidentiques. En particulier celui de Simo et Ortiz [63] se confond avec celui d'Ortiz et Po-pov [64] plus général. Par contre pour des comportements orthotropes ou pour un modèleavec variables internes, il convient de préférer le schéma d'Ortiz et Popov.

7.2 PerspectivesL'endommagement dans les matériaux métalliques se décompose au voisinage des in-

clusions de deux manières diérentes. La première correspond à l'endommagement décritau voisinage de l'inclusion indéformable, la seconde correspond à une inclusion molle sui-vant la déformation plastique de la matrice et subissant une forte compression hydrosta-tique. Les déformations subies par cette inclusion deviennent telles que l'inclusion ne peutplus continuer de se déformer et entraine alors une instabilité générale du comportement.

Au niveau de l'échelle du comportement, il convient de noter que l'on considère unemodélisation macroscopique de la plasticité. Suivant l'échelle de l'inclusion par rapportà la matrice, il serait possible de modéliser la matrice à partir d'un comportement typepolycrystal et voir la réaction avec l'inclusion.

Il convient évidemment de coupler les modèles de croissance avec les modèles de coa-lescence pour pouvoir prédire les limites de formabilité.

Le modèle semble surestimer les conditions de contact. Il faudrait alors à la manièrede Tvergaard [55], optimiser les coecients pour qu'ils coïncident avec les simulations. Il

161

162 CHAPITRE 7. CONCLUSION

ne faut alors plus simplement considérer une décohésion tout au long de la matrice maisprendre un potentiel d'adhésion entre la matrice et l'inclusion.

Il est observé [2] et [1] que l'endommagement n'est pas tout autour de l'inclusion maisse localise sur les poles. Il conviendrait alors de prendre ceci en considération pour ne passurestimer l'évolution de l'endommagement.

Annexe A

Sous-Routine UMAT

Dans cette partie, les détails de l'intégration numérique de la loi de comportement plas-tique compressible sont développés. Les grandes lignes sont identiques au travail d'Ara-vas [34]. Quelques spécicités sont adaptées et quelques détails de programmation sontmontrés. La résolution est implicite. Les équations et leur résolution pour un potentielplastique compressible seront détaillées. L'obtention de la matrice tangente sera exposée.Quelques détails de programmation spécique à ABAQUS/Standard c© seront précisés.

A.1 Plasticité compressibleLes équations sont :

∆εv ∂φg

∂σe−∆εp ∂φg

∂σm= 0

φg(σe, σm) = 0σe = σel

e − 3G∆εp

σm = σelm −K∆εv ∆Hα = hα(∆εp, ∆εv, σe, σm, Hα)

(A.1)

où Hα est un ensemble de variables internes à réactualiser. Le problème de l'état nal estfonction de deux inconnues (∆εp, ∆εv). Ici φg représente le potentiel de Gurson mais peutreprésenter toutes formes de potentiel de plasticité compressible.

La résolution des équations par une méthode de Newton nécessite d'étudier les varia-tions des deux premières équations par rapport à (∆εp, ∆εv) avec les équations d'évolu-tions suivantes pour les autres variables. Le système à résoudre s'écrit alors :

a11∂∆εv + a12∂∆εp = −b1a21∂∆εv + a22∂∆εp = −b2

(A.2)

a11 = ∂φg

∂σe+ ∆εv[−K ∂2φg

∂σe∂σm+ ∂2φg

∂σe∂Hα∂Hα

∆εv ]−∆εp[−K ∂2φg

∂σ2m

+ ∂2φg

∂σm∂Hα ]∂Hα

∆εv

a12 = − ∂φg

∂σm+ ∆εv[−3G∂2φg

∂σ2e

+ ∂2φg

∂σe∂Hα∂Hα

∆εp ]−∆εp[−3G ∂2φg

∂σm∂σe+ ∂2φg

∂σm∂Hα ]∂Hα

∆εp

a21 = −K ∂φg

∂σm+ ∂φg

∂Hα∂Hα

∆εv a21 = −3G∂φg

∂σe+ ∂φg

∂Hα∂Hα

∆εp

b1 = ∆εv ∂φg

∂σe−∆εp ∂φg

∂σmb2 = φg(σe, σm)

(A.3)

163

164 ANNEXE A. SOUS-ROUTINE UMAT

où la variation de Hα a été exprimée grace aux équations d'évolution des variables internes,conformément à Aravas. Dans le cas de deux variables internes :

(1− ∂hα

∂Hα )∂Hα − ∂hα

∂Hβ ∂Hβ = ( ∂hα

∂∆εv −K ∂hα

∂σm)∂∆εv + ( ∂hα

∂∆εp − 3G ∂hα

∂σm))∂∆εp

− ∂hβ

∂Hα ∂Hα + (1− ∂hβ

∂Hβ )∂Hβ = ( ∂hβ

∂∆εv −K ∂hβ

∂σm)∂∆εv + ( ∂hβ

∂∆εp − 3G ∂hβ

∂σm))∂∆εp (A.4)

L'algorithme continue tant que la condition d'écoulement n'est pas vériée dans une cer-taine erreur.

Matrice Tangente Matérielle : Les développements sont exactement identiques àceux d'Aravas, la matrice est consistante avec l'algorithme de résolution de telle sortequ'une convergence quadratique est assurée. On rappelle la forme de la matrice tangente :

D = (M + Del)−1 (A.5)où

M =1

3mvIII +

1

3mvnIn + mpInI + mpnnn + ∆εp ∂n

∂σ(A.6)

avec mvI ,mvn,mpI ,mpn dépendant des paramètres A11, A12, A21, A22, B11, B12, B21, B22 dela même manière qu'Aravas. Ces coecients sont modiés par la forme choisie (p rempla-cer par σm) :

A11 = ∂φg

∂σe+ ∆εv ∂2φg

∂σe∂Hα cαβ∂hβ

∆εv −∆εp ∂2φg

∂σm∂Hα cαβ∂hβ

∂∆εv

A12 = − ∂φg

∂σm+ ∆εv ∂2φg


∂∆εp −∆εp ∂2φg


∂∆εp

A12 = ∂φg

∂Hα cαβ∂hβ

∂∆εv

A22 = ∂φg

∂Hα cαβ∂hβ

∆εp

B11 = −13∆εv[ ∂2φg

∂σe∂σm+ ∂2φg


∂σm] + 1

3∆εp[∂2φg

∂σ2m

+ ∂2φg


∂σm]

B12 = −∆εv[∂2φg

∂σ2e

+ ∂2φg


∂σe] + ∆εp[ ∂2φg

∂σm∂σe+ ∂2φg


∆σe]

B21 = −13

∂φg

∂σm− 1

3∂φg

∂Hα cαβ∂hβ

∂σm

B22 = −∂φg

∂σe− ∂φg

∂Hα cαβ∂hβ

∂σe

(A.7)

A.2 ProgrammationLa programmation au niveau de l'UMAT d'ABAQUS/Standard c© nécessite quelques

précautions : ABAQUS/Standard c© travaille avec des déformations ingénieurs pour les compo-

santes de cisaillement :γij = 2εij. ABAQUS/Standard c© travaille avec des vecteurs pour les tenseurs des contraintes

et les déformations. Le tenseur d'élasticité du quatrième ordre doit donc être écritsous forme matricielle.

ABAQUS/Standard c© modie le pas de temps au niveau d'UMAT si le résultat obte-nue est aberrant et repart de l'incrément précédent.

De la première remarque, il faut donc donner la bonne matrice Jacobienne :∂σ∂ε. De la

deuxième, le passage au tenseur du quatrième ordre s'écrit :σ11 = L1111ε11 + L1122ε22 + L1133ε33 + 2L1112ε12 + 2L1113ε13 + 2L1123ε23 (A.8)

dans le cas des tenseurs symétriques.

Annexe B

Linéarisation du modèle proposé

B.1 Ensemble d'équationsL'ensemble des équations à résoudre est pour ce cas anisotrope :

σ2eq

σ20

− 1 + f√

1− fσ20(

10

9n : α

σm

σ0

+2

9α : I cosh(

3

2

σm

σ0

)) = 0. (B.1)

∆ε =∆λσ : n

(1− f)σ0

(B.2)

∆f = (1− f)∆λn : I (B.3)

∆ri = (5

3nii +

1

2sinh(

3

2

σm

σ0

))r∆ε (B.4)

ωellipsoidemateriau = η[(DA1 −A1D) + (DA2 −A2D) + (A1DA2 −A2DA1)] (B.5)

Qn+1 = ∆QQn (B.6)

avec pour évolution de l'incrément de rotation de l'ellipsoide dans le repère spatial :

∆Qspatialellipsoide = ∆Qspatial

materiau(∆Qellipsoidemateriau)−1 (B.7)

ωellipsoidemateriau = η[(DA1 −A1D) + (DA2 −A2D) + (A1DA2 −A2DA1)] (B.8)

∆Qellipsoidemateriau = (I− 1

2ωellipsoide

materiau)−1(I +1

2ωellipsoide

materiau) (B.9)

Si nalement Qspatialellipsoide est une rotation seules trois de ses composantes sont indépen-

dantes. Les composantes sont liées par :

q211 + q2

12 + q213 = 1 (B.10)

q221 + q2

22 + q223 = 1 (B.11)

q231 + q2

32 + q233 = 1 (B.12)

q11q21 + q12q22 + q13q23 = 0 (B.13)q31q21 + q32q22 + q33q23 = 0 (B.14)q11q31 + q12q32 + q13q33 = 0 (B.15)

165

166 ANNEXE B. LINÉARISATION DU MODÈLE PROPOSÉ

On va choisir trois de ces composantes pour exprimer les autres. On choisit les qii. Dansce cas, si on linériase les équations précédentes, on obtient :

q11∂q11 + q12∂q12 + q13∂q13 = 0 (B.16)q21∂q21 + q22∂q22 + q23∂q23 = 0 (B.17)q31∂q31 + q32∂q32 + q33∂q33 = 0 (B.18)

∂q11q21 + q11∂q21 + ∂q12q22 + q12∂q22 + ∂q13q23 + q13∂q23 = 0 (B.19)∂q31q21 + q31∂q21 + ∂q32q22 + q32∂q22 + ∂q33q23 + q33∂q23 = 0 (B.20)∂q11q31 + q11∂q31 + ∂q12q32 + q12∂q32 + ∂q13q33 + q13∂q33 = 0 (B.21)

que l'on écrit sous forme matricielle :

q12 q13 0 0 0 00 0 q21 q23 0 00 0 0 0 q31 q32

q22 q23 q11 q23 0 00 0 q31 q33 q21 q22

q32 q33 0 0 q11 q12

∂q12

∂q13

∂q21

∂q23

∂q31

∂q32

=

−q11∂q11

−q22∂q22

−q33∂q33

−q21∂q11 − q12∂q22

−q31∂q11 − q13∂q33

−q32∂q22 − q23∂q33

(B.22)

Les inconnues primaires dans le cas de la résolution du système d'équations sont lesincréments de déformations plastiques. Elles sont reliés aux contraintes par la loi élastiqueet la décomposition de l'incrément de déformation totale :

σn+1 = σn + C : (∆ε−∆εp) (B.23)

Si les contraintes dépendent de la déformation toutes les autres grandeurs introduitesdans la résolution le sont aussi. On retrouve alors une démarche similaire à celle décritedans le THEORY MANUAL d'ABAQUS/Standard c© . Sauf que dans le cas général ilconvient d'exprimer les lois dans le cas des grandeurs indépendantes. Les composantes desrotations ne sont pas indépendantes comme montré ci dessus, il convient alors d'exprimerles diérentes contraintes. Si on linéarise, les équations de l'incrément de rotation :

∂∆Qspatialellipsoide = −∆Qspatial

matriau.∂∆Qellipsoidematriau .(∆Qellipsoide

matriau )2 (B.24)

or l'incrément de rotation est donné par une formule de Hughes et Winget :

∂∆Qellipsoidematriau =

1

2∂ωellipsoid

matriau : (I−1

2ωellipsoid

matriau)−2(I+1

2ωellipsoid

matriau)+1

2(I−1

2ωellipsoid

matriau)−1 : ∂ωellipsoidmatriau

(B.25)avec l'équation consitutive du taux de rotation linéarisé :

∂ωellipsoidmatriau = η∂∆ε((n.A1 −A1.n) + (n.A2 −A2.n) +

(A1.n.A2 −A2.n.A1)) + η∆ε((∂n

.∂σ : ∂σA1 −A1.

∂n

∂σ: ∂σ)

+(∂n

∂σ: ∂σ.A2 −A2.

∂n

∂σ: ∂σ) +

A1.∂n

∂σ: ∂σA2 −A2.

∂n

∂σ: ∂σA1)) (B.26)

B.1. ENSEMBLE D'ÉQUATIONS 167

il faut encore linéariser l'incrément de déformation équivalente par rapport aux inconnuesdu problèmes. Au niveau de la linéarisation de l'équation B.22. On exprime alors l'évolu-tion des variables internes rotations vis à vis des inconnues du problèmes (3 équations).On a alors un ensemble d'équation relativement complexe à résoudre. La programma-tion semble quasi insurmontable, c'est pour cela qu'on se dirige vers une méthode typenumérique de résolution du problème ou vers un schéma à deux niveaux.

168 ANNEXE B. LINÉARISATION DU MODÈLE PROPOSÉ

Annexe C

Rotations des tenseurs du second ordre

An de programmer facilement le changement de repère associé à l'expression d'untenseur, on remarque la forme développée. Soit Q :

Q =

q11 q12 q13

q21 q22 q23

q31 q32 q33

(C.1)

Comme on utilise la représentation du tenseur des contraintes de Cauchy par unematrice, il faut se donner la forme de la matrice de rotation lorsqu'on travaille avec desmatrice 1x6. La forme générale de la matrice 6x6 prend la forme :

Q =

q211 q2

12 q213 2q11q12 2q11q13 2q12q13

q221 q2

22 q223 2q21q22 2q21q23 2q22q23

q231 q2

32 q233 2q31q32 2q31q33 2q32q33

q11q21 q12q22 q13q23 q21q12 + q11q22 q21q13 + q23q11 q23q12 + q22q13



(C.2)

Les tenseurs du quatrième ordre utilisés peuvent être représentés par des matrices 6x6.D'un repère à un autre on note alors :

[L]1 = Q.[L]2.QT (C.3)On utilisera ce type d'arguments dans lorsque la matrice consistante sera exprimé dans

un repère alors que sa forme est attendue dans un autre.

169

170 ANNEXE C. ROTATIONS DES TENSEURS DU SECOND ORDRE

Annexe D

Réduction d'une fonction orthotrope

D.1 Représentation généraleDans le cas d'une fonction orthotrope, le trièdre dans lequel l'anisotropie est carac-

térisé a pour base (v1, v2 et v3. On préfère alors travailler avec Ai = vi ⊗ vi. Alors lafonction antisymétrique ayant pour arguments les Ai et D doit s'exprimer en fonction desgénérateurs. On note la forme avec uniquement les générateurs linéaires :

Wellipsoidemateriau = η1(A1.D−D.A1) + η2(A2.D−D.A2) +

+η3(A3.D−D.A3) + η4(A1.D.A2 −A2.D.A1) +

η5(A3.D.A2 −A3.D.A1) + η6(A1.D.A3 −A3.D.A1)+ (D.1)

D.2 RéductionCette expression est rarement utilisée sous cette forme. Une forme réduite est alors

utilisée. Il existe une relation entre les diérents Ai comme déja noté :

A3 = I−A2 −A1 (D.2)en introduisant cette équation dans D.1, on réduit facilement l'équation à celle à trois

opérateurs linéaires et deux arguments. Soit :

Wellipsoidemateriau = η′1(A1.D−D.A1) + η′2(A2.D−D.A2) + η′3(A1.D.A2 −A2.D.A1) (D.3)

où les η′ introduits sont une combinaison linéaire des précédents.

171

172 ANNEXE D. RÉDUCTION D'UNE FONCTION ORTHOTROPE

Annexe E

Linéarisation du potentiel

Cette partie avait été originellement traité dans la résolution locale. L'obtention dupotentiel considère que la normale dans l'état déviatorique est égale à celle de Von Misesce qui simplie considérablement l'analyse. En réalité le problème est beaucoup pluscomplexe. À l'origine le modèle a été entièrement linéarisé. Si ces développements sontobsolètes, il permettent néanmoins d'appréhender certains concepts comme la dérivationd'une fonction d'une composante d'un tenseur.

Le modèle est complètement linéarisé. La normale dans le plan déviatrique est sim-plement donnée par :

n =3

2

σD

σeq

(E.1)

et la dérivée de cette normale par rapport à l'état de contrainte :

∂n

∂σ=

3

2[J− 1

3II− nn] (E.2)

C'est un tenseur du quatrième ordre. Cette normale intervient au niveau du potentielpar l'intermédiaire de deux termes n : α et Ki. Il faut alors dériver ces termes par rapportà l'état de contraintes pour trouver la normale. Si le premier terme peut être traité d'uncoup, les constantes Ki doivent être traitées séparément. La diculté de la dérivationde la constante par rapport à la contrainte provient également du fait que la constantedépend d'une fonction fortement non-linéaire (sinh). On va étudier un cas particulier dansle repère lié à l'ellipsoide de la direction 1. On rapelle la forme de la constante :

Ki =10

9αiinii

σim

σ0

+ αi2

9cosh(

3

2

σim

σ0

) (E.3)

avec la condition :

σim

σ0

=2

3asinh(−10

3nii) (E.4)

On rappelle également que n11 = n : A1, qui peut se réécrire n11 = n : Qellipsoidemateriau.A1.Q

ellipsoideTmateriau ,

Cette forme est intéressante. Si on dérive cette forme par rapport à σ, on a :

173

174 ANNEXE E. LINÉARISATION DU POTENTIEL

∂n11

∂σ=

∂n

∂σ: Qellipsoide

materiau.A1.QellipsoideTmateriau (E.5)

La normale à la surface de charge suivant la direction 1 dans le repère lié à l'ellipsoidefait intervenir une fonction non-linéaire de la composante qu'il convient alors de dériverpar rapport à la contrainte.

∂Ki

∂σ=

10

9αii

∂nii

∂σ

σim

σ0

+10

9αiinii

∂σim/σ0

∂σ+ αi

1

3sinh(

3

2

σim

σ0

)∂σi

m/σ0

∂σ(E.6)

Il faut alors exprimer la dérivé de σim/σ0 par rapport à l'état de contrainte.

∂σim/σ0

∂σ=

∂σim/σ0

∂nii

∂nii

∂σ(E.7)

La normale à la surface de charge est trouvée. Il faut mettre en place la structure derésolution globale avec l'ensemble des variables internes. Il faut évidemment calculer cesdérivés de constantes si il y a contact. Il faut ajouter la présence de fonction indicatricedu contact. Pour compléter l'intégration du modèle il faut introduire la dérivée des va-riables internes vis à vis des contraintes et des autres variables internes. On a choisi derésoudre un modèle à deux niveaux où les variables internes d'orientations sont intégréesà posteriori. Dans ce type de modèle, le multiplicateur plastique est diérent de l'incré-ment de déformation plastique équivalente. On veut faire apparaître alors le multiplicateurplastique dans la variation de déformation plastique :

∆ε = ∆λσ : n (E.8)Il faut exprimer la dérivée de σ : n par rapport aux contraintes :

∂σ : n

∂σ= n + σ :

∂n

∂σ(E.9)

On remarquera que les rayons dépendent de la normale à la surface de charge dumatériau sain et de la contrainte moyenne. Il faut alors utiliser la dérivée des composantes11,22 et 33 de la normale à la surface de charge vis à vis de la contrainte. Il faut aussiajouter l'inuence de la contrainte moyenne par l'intermédiaire de :

∂sinh(3/2σm/σ0)

∂σ=

1

2σ0

cosh(3

2

σm

σ0

)I (E.10)

Finalement pour les rayons on a :

∂hα

∂σ= (

5

3

∂nαα

∂σ+

1

2σ0

cosh(3

2

σm

σ0

)I)rσ : n + (5

3nαα +

1

2sinh(

3

2

σm

σ0

))r∂σ : n

∂σ(E.11)

L'ensemble des quantités nécessaires pour programmer le modèles est donné.Pour calculer la plasticité locale de manière implicite, on a besoin des dérivées secondes

du potentiel par rapport aux contraintes. On a alors besoin de calculer ∂2Ki/∂σ2 pourobtenir ∂2f/∂σ2. Le calcul de ces diérentes quantités n'est pas trivial. On trouve :

175

∂2φ/∂σ2 = 2/σ20nn + 2σeq/σ

20∂n/∂σ+

f(10/3α : ∂2n/∂σ2σm/σ0 + 20/3α : ∂n/∂σ∂σm/∂σα : I/σ0cosh(3/2σm/σ0)∂σm/∂σ∂σm/∂σ

∂2K1/∂σ2 + ∂2K2/∂σ2 + ∂2K3/∂σ2)

(E.12)

avec la dérivée de la constante par rapport aux contraintes qui est :

∂2Ki/∂σ2 = 10/3αii∂2nii/∂σ2σi

m/σ0 + 10/3αii∂nii/∂σ∂σim/σ0/∂σ+

20/3αiinii∂2σi

m/σ0/∂σ2 + αii3/2cosh(3/2σim/σ0)(∂σi

m/∂σ0)2+

αiisinh(3/2σim/σ0)∂

2σim/σ0/∂σ

(E.13)

avec les deux quantités :

∂σim/σ0/∂σ = −20/3∂nii/∂σ/

√9 + 100n2

ii (E.14)et

∂2σim/∂σ2 = −20/3∂2nii/∂σ/

√9 + 100n2

ii + 2000/3nii(∂nii/∂σ)2/(9 + 100n2ii)

3/2

(E.15)On doit également calculer la dérivée seconde de la normale à la surface de charge

par rapport aux contraintes. Dans ce cas, on obtient un tenseur du sixième ordre quipose des problèmes pour travailler avec des matrices en deux dimensions. Dans ce cas,il faut prévoir les contractions avant tout calcul pour éviter de garder des tenseurs en 3dimensions. Il faut avoir la forme avant contraction de la dérivée seconde de la normalepar rapport aux contraintes. La dérivée de la normale par rapport aux contraintes estdonnée par l'équation E.2. En redérivant cette équation par rapport aux contraintes, onobtient :

∂2n

∂σ= − n

σ2eq

(3

2J− 1

2II− nn)− 1

σeq

(n∂n

∂σ+

∂n

∂σn) (E.16)

Avec cette équation, l'ensemble d'équations est complet. Cette méthode est lourde àmettre en place. On comparera le coût calcul pour un algorithme à deux niveaux et laméthode explicite présentée au paragraphe précédent.

176 ANNEXE E. LINÉARISATION DU POTENTIEL

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FOLIO ADMINISTRATIFTHÈSE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES

APPLIQUÉES DE LYON

NOM : BORDREUIL DATE de SOUTENANCE : 31 octobre 2002Prénoms : CYRIL

TITRE Un modèle d'endommagement ductileorthotrope pour des transformations nies

NATURE : Doctorat Numéro d'ordre 02ISALFormation doctorale MEGA-Lyon

Cote B.I.U.-Lyon T50/210/19 / et bis Classe :

Résumé : L'endommagement ductile dans les matériaux est habituellement traité à partird'un modèle de Gurson ou de Gologanu-Leblond pour des cavités sphériques ou axisymmé-triques dans l'axe du chargement. On présente une méthode prenant en compte l'existenced'une inclusion et l'orientation de l'ellipsoide à partir d'une loi de normalité macrosco-pique associée. L'intégration numérique des modèles est souvent programmé pour unerésolution explicite. On propose un schéma implicite à deux niveaux prenant en comptel'évolution de l'orientation des défauts. Ces divers schémas sont ensuite appliquées à desprocédés de mise en forme.

Abstract : Ductile damage is modelled by Gurson-Like model. The prolate or oblatevoid is aligned with the loading. We consider orientation of the ellipsoid and express amacroscopic criteria. We present numerical scheme to take into account the orientation.We model, then, some bulk forming processes.

Mots clés : Plasticité, Endommagement, Schémas numériques, variables d'orientations,Mise en forme, Croissance.

Laboratoire de Recherche : Laboratoire de Mécanique des Solides de L'Insa de Lyon.

Directeur de Thèse : Jean-Claude Boyer

Président du Jury : François Sidoro (Centrale-Lyon)Composition du Jury : Jacques Besson (Mines de Paris)

Jean-Claude Boyer (INSA-Lyon)Michel Brunet (INSA-Lyon)Jean-Claude Gélin (Micromécanique-Besançon)Jean-Claude Michel (LMA-Marseille)

un mod¨le num©rique d'endommagement ductile orthotrope pour les transformations finies

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