contribution à l'étude des lois d'endommagement en...

N° d’ordre 2003ISAL0025 Année 2003

Thèse

Contribution à l'étude des lois d'endommagement en fatigue

Présentée devant L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Pour obtenir

Le grade de Docteur

École doctorale : MEGA Formation doctorale : MECANIQUE

Par Kimtangar NGARGUEUDEDJIM

Soutenue le 07 JUILLET 2003 devant la Commission d’examen

Jury MM.

Directeur Jean-Louis ROBERT, Professeur à l'IUT de Montluçon Rapporteur Christophe PETIT, Professeur à l'IUT d'Egletons Rapporteur Gérard MESMACQUE, Professeur à l'IUT "A" de Lille Membres Mahamat Ahmat ALHABO, Maître de Conférences à l'Université de N'Djaména

Michel BRUNET, Professeur à l'INSA de Lyon Jean CHICOIS, Maître de Conférences à l'INSA de Lyon

Laboratoire de recherche : LMSo de l'INSA de Lyon

DEDICACES A l'honneur de :

Tom ERDIMI

Jean CHICOIS

Que Dieu vous prête longue vie pour

davantage d'actions meilleures ! A l'honneur et au plaisir de :

mon épouse YOTAM Ngarmbate

mes enfants : DEBOUM DJIMRA

NGOMDEBAYE

MADJIOUDJIM

MIGUEBAYE

mes parents KIMTANGAR ET TIRYOM

REMERCIEMENTS Je tiens à remercier Monsieur Jean-Louis ROBERT, Professeur à l'IUT de Montluçon, pour

avoir accepté, il y a six ans, de diriger mon DEA, et d'assurer la direction et l'encadrement de ma thèse. Je remercie Messieurs Christophe PETIT et Gérard MESMACQUE, Professeurs à l'IUT

d'Egletons et à l'IUT "A" de Lille respectivement, de m'avoir fait l'honneur de rapporter cette thèse. Je remercie Monsieur Michel BRUNET, Professeur à l'INSA de Lyon et Directeur du

Laboratoire de Mécanique des Solides (LMSo), pour avoir géré mes inscriptions au LMSo et avoir accepté de faire partie de mon jury.

Je remercie Monsieur Mahamat Ahmad ALHABO, Maître de Conférences à l'Université de

N'Djaména d'avoir accepté de participer à mon jury. Mes remerciements vont également à Monsieur Christian BASILICO, Directeur de l'IUT de

Montluçon pour m'avoir accueilli à l'IUT et avoir facilité mes conditions de travail au Laboratoire d'Etudes et Recherches en Mécanique des Structures. J'exprime ma plus sincère reconnaissance et ma gratitude à tout le personnel administratif et technique de l'IUT, en particulier à Alice BRUGEAT, à Wanda FLOUZAT et à Pascal VELLEAUD pour leur sympathie à mon égard.

Je remercie particulièrement Messieurs Jean CHICOIS, Maître de Conférences à l'INSA de

Lyon et membre de mon jury de thèse, et Tom ERDIMI, ancien Doyen de la FSEA, qui sont les deux principaux initiateurs et acteurs du projet de formation des formateurs de l'enseignement supérieur du Tchad. Sans vous cette thèse n'aurait pas eu lieu. Vous m'avez fait confiance en portant votre choix sur moi, j'espère que je ne vous ai pas déçus !

A mes collègues Eddy MARONNE et Philippe DARCIS du LERMES, et à Bertin SOH

FOTSING de l'IUT de Bandjoun, qui m'ont de temps en temps remonté le moral, j'exprime ma plus sincère reconnaissance et mon amitié.

Aux deux familles CHICOIS et ROBERT, où il ne me reste qu'à changer de nom pour leur

appartenir définitivement, j'adresse toute ma reconnaissance et ma gratitude. Merci à toi, mon épouse YOTAM, qui as pu supporter mes longs moments d'absence et

s'occuper toute seule de nos enfants et de mes parents. Je serai désormais beaucoup plus à tes côtés et à ton écoute pour réaliser nos projets.

Mon cher Jean-Louis, il n'y a que six ans que nous travaillons ensemble, mais les tâches

effectuées côte à côte sont allées au-delà de mon attente : la mise en place de la plate-forme de TP de RDM à la FSEA de N'Djaména, l'élaboration et le suivi régulier du programme des enseignements de la mécanique au Département de Technologie de la FSEA, la mise à disposition de la FSEA de machines-outils par l'IUT de Montluçon, la signature de l'accord cadre entre l'Université Blaise Pascal et l'Université de N'Djaména, pour ne citer que ceux-là. Outre nos bonnes relations professionnelles, je me félicite de notre amitié. J'aimerais que tu saches qu'il nous reste encore beaucoup de choses à faire ensemble pour le développement de l'enseignement et de la recherche à l'Université de N'Djaména ainsi que pour l'amélioration des conditions de vie des tchadiens. Ces mots vont aussi à ta compagne Emmanuelle.

OCTOBRE 2002

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON Directeur : STORCK A. Professeurs : AUDISIO S. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE BABOT D. CONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENTS IONISANTS BABOUX J.C. GEMPPM*** BALLAND B. PHYSIQUE DE LA MATIERE BAPTISTE P. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BARBIER D. PHYSIQUE DE LA MATIERE BASTIDE J.P. LAEPSI**** BAYADA G. MECANIQUE DES CONTACTS BENADDA B. LAEPSI**** BETEMPS M. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE BIENNIER F. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BLANCHARD J.M. LAEPSI**** BOISSON C. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE BOIVIN M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES SOLIDES BOTTA H. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain BOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain BOULAYE G. (Prof. émérite) INFORMATIQUE BOYER J.C. MECANIQUE DES SOLIDES BRAU J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du bâtiment BREMOND G. PHYSIQUE DE LA MATIERE BRISSAUD M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE BRUNET M. MECANIQUE DES SOLIDES BRUNIE L. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION BUREAU J.C. CEGELY* CAVAILLE J.Y. GEMPPM*** CHANTE J.P. CEGELY*- Composants de puissance et applications CHOCAT B. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine COMBESCURE A. MECANIQUE DES CONTACTS COUSIN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures DAUMAS F. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et Thermique DOUTHEAU A. CHIMIE ORGANIQUE DUFOUR R. MECANIQUE DES STRUCTURES DUPUY J.C. PHYSIQUE DE LA MATIERE EMPTOZ H. RECONNAISSANCE DE FORMES ET VISION ESNOUF C. GEMPPM*** EYRAUD L. (Prof. émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE FANTOZZI G. GEMPPM*** FAVREL J. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS FAYARD J.M. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS FAYET M. MECANIQUE DES SOLIDES FERRARIS-BESSO G. MECANIQUE DES STRUCTURES FLAMAND L. MECANIQUE DES CONTACTS FLORY A. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONS FOUGERES R. GEMPPM*** FOUQUET F. GEMPPM*** FRECON L. REGROUPEMENT DES ENSEIGNANTS CHERCHEURS ISOLES GERARD J.F. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES GERMAIN P. LAEPSI**** GIMENEZ G. CREATIS** GOBIN P.F. (Prof. émérite) GEMPPM*** GONNARD P. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GONTRAND M. PHYSIQUE DE LA MATIERE GOUTTE R. (Prof. émérite) CREATIS** GOUJON L. GEMPPM*** GOURDON R. LAEPSI****. GRANGE G. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GUENIN G. GEMPPM*** GUICHARDANT M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE GUILLOT G. PHYSIQUE DE LA MATIERE GUINET A. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS GUYADER J.L. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE GUYOMAR D. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE HEIBIG A. MATHEMATIQUE APPLIQUEES DE LYON JACQUET-RICHARDET G. MECANIQUE DES STRUCTURES JAYET Y. GEMPPM*** JOLION J.M. RECONNAISSANCE DE FORMES ET VISION JULLIEN J.F. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures JUTARD A. (Prof. émérite) AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE KASTNER R. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique KOULOUMDJIAN J. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION LAGARDE M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE LALANNE M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES STRUCTURES LALLEMAND A. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique LALLEMAND M. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique LAREAL P. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique LAUGIER A. PHYSIQUE DE LA MATIERE LAUGIER C. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE LEJEUNE P. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE

OCTOBRE 2002 LUBRECHT A. MECANIQUE DES CONTACTS MASSARD N. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE MAZILLE H. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE MERLE P. GEMPPM*** MERLIN J. GEMPPM*** MIGNOTTE A. (Mle) INGENIERIE, INFORMATIQUE INDUSTRIELLE MILLET J.P. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE MIRAMOND M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine MOREL R. MECANIQUE DES FLUIDES ET D’ACOUSTIQUES MOSZKOWICZ P. LAEPSI**** MOURA A. GEMPPM*** NARDON P. (Prof. émérite) BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS NIEL E. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE NORTIER P. DREP ODET C. CREATIS** OTTERBEIN M. (Prof. émérite) LAEPSI****

PARIZET E. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE PASCAULT J.P. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES PAVIC G. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE PELLETIER J.M. GEMPPM*** PERA J. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Matériaux PERRIAT P. GEMPPM*** PERRIN J. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE PINARD P. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE PINON J.M. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION PONCET A. PHYSIQUE DE LA MATIERE POUSIN J. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE PREVOT P. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE PROST R. CREATIS** RAYNAUD M. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux REDARCE H. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE REYNOUARD J.M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures RIGAL J.F. MECANIQUE DES SOLIDES RIEUTORD E. (Prof. émérite) MECANIQUE DES FLUIDES ROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. émérite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES ROUBY D. GEMPPM*** ROUX J.J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON – Thermique de l’Habitat RUBEL P. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION RUMELHART C. MECANIQUE DES SOLIDES SACADURA J.F. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux SAUTEREAU H. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES SCAVARDA S. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE

SOUIFI A. PHYSIQUE DE LA MATIERE SOUROUILLE J.L. INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLE THOMASSET D. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE UBEDA S. CENTRE D’INNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICES THUDEROZ C. ESCHIL – Equipe Sciences Humaines de l’Insa de Lyon UNTERREINER R. CREATIS** VELEX P. MECANIQUE DES CONTACTS VIGIER G. GEMPPM*** VINCENT A. GEMPPM*** VRAY D. CREATIS** VUILLERMOZ P.L. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE Directeurs de recherche C.N.R.S. : BERTHIER Y. MECANIQUE DES CONTACTS CONDEMINE G. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE COTTE-PATAT N. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE FRANCIOSI P. GEMPPM*** MANDRAND M.A. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE POUSIN G. BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE ROCHE A. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES SEGUELA A. GEMPPM*** Directeurs de recherche I.N.R.A. : FEBVAY G. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS GRENIER S. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS RAHBE Y. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. : PRIGENT A.F. (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE MAGNIN I. (Mme) CREATIS** * CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON ** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’IMAGE ET DU SIGNAL ***GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX ****LAEPSI LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS

INSA DE LYON DEPARTEMENT DES ETUDES DOCTORALES MARS 03

Ecoles Doctorales et Diplômes d’Etudes Approfondies

habilités pour la période 1999-2003

ECOLES DOCTORALES

n° code national

RESPONSABLE

PRINCIPAL

CORRESPONDANT

INSA

DEA INSA

n° code national

RESPONSABLE

DEA INSA

CHIMIE DE LYON

(Chimie, Procédés, Environnement)

EDA206

M. D. SINOU UCBL1 04.72.44.62.63 Sec 04.72.44.62.64 Fax 04.72.44.81.60

M. R. GOURDON 87.53 Sec 84.30 Fax 87.17

Chimie Inorganique 910643

Sciences et Stratégies Analytiques

910634

Sciences et Techniques du Déchet 910675

M. R. GOURDON Tél 87.53 Fax 87.17

ECONOMIE, ESPACE ET

MODELISATION DES COMPORTEMENTS

(E2MC)

EDA417

M.A. BONNAFOUS LYON 2 04.72.72.64.38 Sec 04.72.72.64.03 Fax 04.72.72.64.48

Mme M. ZIMMERMANN 60.91 Fax 87.96

Villes et Sociétés 911218

Dimensions Cognitives et Modélisation

992678

Mme M. ZIMMERMANN Tél 60.91 Fax 87.96 M. L. FRECON Tél 82.39 Fax 85.18

ELECTRONIQUE,

ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE

(E.E.A.)

EDA160

M. D. BARBIER INSA DE LYON 85.47 Fax 60.82

Automatique Industrielle 910676

Dispositifs de l’Electronique Intégrée

910696

Génie Electrique de Lyon 910065

Images et Systèmes

992254

M. M. BETEMPS Tél 85.59 Fax 85.35 M. D. BARBIER Tél 85.47 Fax 60.82 M. J.P. CHANTE Tél 87.26 Fax 85.30 Mme I. MAGNIN Tél 85.63 Fax 85.26

EVOLUTION, ECOSYSTEME,

MICROBIOLOGIE , MODELISATION

(E2M2)

EDA403

M. J.P FLANDROIS UCBL1 04.78.86.31.50 Sec 04.78.86.31.52 Fax 04.78.86.31.49

M. S. GRENIER 79.88 Fax 85.34

Analyse et Modélisation des Systèmes Biologiques 910509

M. S. GRENIER Tél 79.88 Fax 85.34

INFORMATIQUE ET INFORMATION

POUR LA SOCIETE

(EDIIS)

EDA 407

M. J.M. JOLION INSA DE LYON 87.59 Fax 80.97

Documents Multimédia, Images et Systèmes d’Information Communicants

992774 Extraction des Connaissances à partir des Données

992099

Informatique et Systèmes Coopératifs pour l’Entreprise 950131

M. A. FLORY Tél 84.66 Fax 85.97 M. J.F. BOULICAUT Tél 89.05 Fax 87.13 M. A. GUINET Tél 85.94 Fax 85.38

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-

SANTE

(EDISS)

EDA205

M. A.J. COZZONE UCBL1 04.72.72.26.72 Sec 04.72.72.26.75 Fax 04.72.72.26.01

M. M. LAGARDE 82.40 Fax 85.24

Biochimie 930032

M. M. LAGARDE Tél 82.40 Fax 85.24

MATERIAUX DE LYON

UNIVERSITE LYON 1

EDA 034

M. J. JOSEPH ECL 04.72.18.62.44 Sec 04.72.18.62.51 Fax 04.72.18.60.90

M. J.M. PELLETIER 83.18 Fax 85.28

Génie des Matériaux : Microstructure, Comportement Mécanique, Durabilité

910527

Matériaux Polymères et Composites 910607

____________________________________________ Matière Condensée, Surfaces et Interfaces

910577

M. J.M.PELLETIER Tél 83.18 Fax 85.28 M. H. SAUTEREAU Tél 81.78 Fax 85.27 M. G. GUILLOT Tél 81.61 Fax 85.31

MATHEMATIQUES ET

INFORMATIQUE FONDAMENTALE

(Math IF)

EDA 409

M. F. WAGNER UCBL1 04.72.43.27.86 Fax 04.72.43.00.35

M. J. POUSIN 88.36 Fax 85.29

Analyse Numérique, Equations aux dérivées partielles et Calcul Scientifique

910281

M. G. BAYADA Tél 83.12 Fax 85.29

MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE

CIVIL, ACOUSTIQUE

(MEGA)

EDA162

M. J. BATAILLE ECL 04.72.18.61.56 Sec 04.72.18.61.60 Fax 04.78.64.71.45

M. G.DALMAZ 83.03 Fax 04.72.89.09.80

Acoustique 910016

Génie Civil

992610 Génie Mécanique

992111

Thermique et Energétique 910018

M. J.L. GUYADER Tél 80.80 Fax 87.12 M. J.J.ROUX Tél 84.60 Fax 85.22 M. G. DALMAZ Tél 83.03 Fax 04.78.89.09.80 M. J. F. SACADURA Tél 81.53 Fax 88.11

En grisé : Les Ecoles doctorales et DEA dont l’INSA est établissement principal

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TABLE DES MATIERES

Liste des figures ..................................................................................................................... p. 8 Liste des tableaux ................................................................................................................. p. 12 Notations .............................................................................................................................. p. 14 Avant-propos........................................................................................................................ p. 18 Introduction .......................................................................................................................... p. 21 CHAPITRE I : Bibliographie - Etude des lois d’endommagement en fatigue 1 – Classification des lois d’endommagement en fatigue …………… ............................... p. 23 1.1 – Les différents types d’approche des lois d’endommagement en fatigue … ............... p. 24 1.2 – Les différentes échelles du dommage par fatigue …………………………….. ........ p. 24 1.3 – Les bases physiques des lois d’endommagement en fatigue ………………….......... p. 24 1.4 – Synthèse ……………………………………………………………………… ........ p. 25 2 – Etude des lois d’endommagement en fatigue ……………………………………........ p. 26 2.1 – Les lois du modèle de l’énergie de déformation ……………………………… ........ p. 27 2.1.1 – La loi linéaire de Miner ……………………………………………………... ........ p. 27 2.1.1.1 – Description de la loi ………………………………………………………. ........ p. 27 2.1.1.2 – Avantages et inconvénients ……………………………………………….......... p. 29 2.1.2 – La loi de Ellyin et al. [2, 3 et 4] ………………………………………………....... p. 30 2.1.2.1 – Description de la loi …………………………………………………….. ........... p. 30 2.1.2.2 – Détermination des paramètres …………………………………………….......... p. 34 2.1.2.3 – Avantages et inconvénients ……………………………………………….......... p. 35 2.2 – Les lois du modèle de progation de fissure ………………………………….. .......... p. 35 2.2.1 – La loi bilinéaire d’endommagement de Grover …………………………….. ........ p. 35 2.2.1.1 – Description de la loi ………………………………………………………. ........ p. 35 2.2.1.2 – Généralisation aux chargements à plusieurs niveaux ……………………........... p. 38 2.2.1.3 – Avantages et inconvénients ……………………………………………….......... p. 39 2.2.2 – La loi bilinéaire d’endommagement de Manson et al. ………………………… .... p. 39 2.2.2.1 – Description de la loi ………………………………………………………. ........ p. 39 2.2.2.2 – Application de la loi de Manson à un chargement à 2 niveaux de contraintes .... p. 40 2.2.2.3 – Avantages et inconvénients ………………………………………………... ....... p. 41 2.2.3 – La loi de Miller. ……………………………………………………………........... p. 42 2.2.3.1 – Description de la loi ………………………………………………………... ...... p. 42 2.2.3.2 – Avantages et inconvénients ………………………………………………... ....... p. 43 2.3 – Les lois du modèle de variation de la limite d’endurance ……………………......... p. 44 2.3.1 – La loi de Henry ……………………………………………….…………….......... p. 44 2.3.1.1 – Description de la loi ……………………………………………….……… ....... p. 44 2.3.1.2 – Avantages et inconvénients ………………………………………………... ....... p. 45 2.3.2 – La loi de Gatts ……………………………………………………………….. ....... p. 46 2.3.2.1 – Description de la loi ……………………………………………………….. ....... p. 46 2.3.2.2 – Application de la loi de Gatts à un chargement à deux niveaux de contraintes ... p. 48 2.3.2.3 – Avantages et inconvénients ………………………………………………... ....... p. 49 2.3.3. – La loi de Bui Quoc et al …………………………………………………… ........ p. 49 2.3.3.1 – Description de la loi ……………………………………………………….. ....... p. 49 2.3.3.2 – Avantages et inconvénients ………………………………………………... ....... p. 27 2.4 – Les lois du modèle de courbe d’endommagement …………………………….. ....... p. 52

5

2.4.1 – La loi de Freudenthal – Heller …………………………………………………..... P. 52 2.4.1.1 – Description de la loi ……………………………………………………….. ....... P. 52 2.4.1.2 – Détermination des paramètres ……………………………………………... ....... P. 54 2.4.1.3 – Avantages et inconvénients…………………………………………………....... P. 54 2.4.2– La loi de Subramanyan …………………………………………………………..... P. 55 2.4.2.1 – Description de la loi ………………………………………………………... ...... P. 55 2.4.2.2 – Avantages et inconvénients…………………………………………………....... P. 56 2.5 – La loi d’endommagement continu de Lemaitre et Chaboche ………………… ........ P. 57 2.5.1 – Description de la loi …………………………………………………………. ....... P. 57 2.5.2 – Généralisation à plusieurs niveaux de contrainte ……………………………........ P. 59 2.5.3 – Extension aux cas de sollicitations multiaxiales …………………………….. ....... P. 60 2.5.4 – Détermination des constantes β et β−

0aM ……………………………………….. P. 61 2.5.5 – Avantages et inconvénients …………………………………………………......... P. 61 3 – Synthèse …………………………………………………………………………. ....... P. 61 3.1 – Paramètres constants des lois ………………………………………………….. ..... P. 62 3.2 – Domaine d’application des lois ………………………………………………… ...... P. 63 Conclusion ………………………………………………………………………….......... P. 64 CHAPITRE II : Présentation des résultats d'essais de la bibliographie 1 – Les résultats expérimentaux de Krouse et Moore pour les aciers "Maraging"

300CVM et SAE 4130 ………………………………………………………............... p. 66 1.1 – Présentation des matériaux …………………………………………………............. p. 66 1.1.1 – Composition chimique des deux aciers ……………………………………........... p. 66 1.1.2 – Les éprouvettes ……………………………………………………………............ p. 67 1.1.3 – Caractéristiques mécaniques monotones …………………………………............. p. 68 1.1.4 – Caractéristiques mécaniques de fatigue ……… ..................................................... p. 68 1.2 – Les résultats expérimentaux ………………………………………………… ........... p. 69 2 – Résultats expérimentaux de Palin-Luc et Bennebach ………………………… ........... p. 70 2.1 – Présentation de la machine d’essais du Laboratoire Matériaux Endommagement

Fiabilité (LAMEF) …………………………………………......................................... p. 70 2.2 – Présentation du matériau ………………………… .................................................... p. 70 2.2.1 – Traitement thermique ……………………………… .............................................. p. 70 2.2.2 – Les éprouvettes ……………………………………………………………............ p. 70 2.2.3 – Composition chimique …………………………………………………… ........... p. 71 2.2.4 – Propriétés mécaniques monotones ………………………………………... ........... p. 72 2.2.5 – Propriétés d’écrouissage ………………………………………………….............. p. 72 2.2.6 – Propriétés mécaniques de fatigue …………………………………………............ p. 73 2.3 – Résultats expérimentaux …………………………………………………… ........... p. 74 3 – Résultats expérimentaux de Vivensang sur l’acier 35CD4 ………………….............. p. 75 3.1 – Présentation de la machine d’essais ………………………………………… ........... p. 75 3.2 – Présentation du matériau ………………………………………………… ................ p. 75 3.2.1 – Composition chimique ………………………………………………… ................ p. 76 3.2.2 – Traitement thermique……………………………………………………… ........... p. 76 3.2.3 – Les éprouvettes …………………………………………………………............... p. 76 3.2.4 – Propriétés mécaniques en traction monotone …………………………….............. p. 76 3.2.5 – Caractéristiques mécaniques cycliques …………………………………… ........... p. 77 3.3 – Résultats expérimentaux …………………………………………………… ........... p. 78 Conclusion ………………………………………………………………………............... p. 79

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CHAPITRE III : Validation des lois d’endommagement en fatigue 1 – Critères et variables d’évaluation des performances des lois étudiées ……….............. p. 80 1.1 – Critères d’évaluation des performances des lois ……………………………. ........... p. 81 1.2 – Variables d’évaluation d’une loi d’endommagement en fatigue …………… ........... p. 82 1.2.1 – Evaluation avec la notion de fraction de vie ……………………………… ........... p. 82 1.2.2 – Evaluation avec la variable "durée de vie totale" du matériau ……………............ p. 82 1.3 – Conclusion ………………………………………………………………………...... p. 83 2 – Comparaison des performances des lois présentées ………………………….............. p. 83 2.1 – Evolution non linéaire de l’endommagement par fatigue ..………………… ............ p. 83 2.2 – Effets de l’histoire de chargement ………………………………………….............. p. 84 2.2.1 – Position des courbes de fraction de vie …………………………………… ........... p. 84 2.2.2 – Erreurs relatives de prévision………………………………………………........... p. 85 2.3 – Comportement des lois par rapport à la nature de la sollicitation ………….............. p. 89 2.4 – Comportement des lois par rapport aux niveaux de contrainte …………….............. p. 92 3 – Analyse des résultats de confrontation des lois à l’expérience ……………... .............. p. 97 Conclusion ………………………………………………………………………............. p. 100 CHAPITRE IV : Etude de la sensibilité des lois par rapport à la variation de leurs paramètres d’influence 1 – Variation de la limite d’endurance …………………………………………… .......... p. 102 1.1 – Modèle de la variation de limite d’endurance de Henry ………………… .............. p. 103 1.2 – Modèle de la variation de limite d’endurance de Gatts …………………................ p. 104 2 – Etudes de sensibilité des lois d'endommagement vis à vis de la variation de leurs

paramètres d’influence ……………………………………………………………….p. 106 2.1 – Etude de sensibilité de la loi de Ellyin par rapport à la variation de sa limite

d’endurance réduite *DN ……………………………………………….................... p. 106

2.2 – Etude de sensibilité de la loi de Bui Quoc à la variation de la constante m ……………………………………………………………………. ........ p. 108

2.3 – Etude de sensibilité de la loi de Lemaitre et Chaboche à la variation de la constante β …………………………………………………….. ....................... p. 109 2.4 – Etude de sensibilité de la loi de Manson à la variation de ses

constantes p et b ……………………………………………………………….......... p. 110 3 – Synthèse et conclusion ……………………………………………………….. .......... p. 113 CHAPITRE V : Proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre et Chaboche 1– Mise en évidence de la variation du paramètre matériau β de la loi de

Lemaitre et Chaboche .................................................................................................. p. 116 2 – Recherche de la loi d'évolution du paramètre β ........................................................... p. 119 2.1 – Hypothèses ................................................................................................................ p. 119 2.2 – Propositions............................................................................................................... p. 120 2.3 – Comparaison des résultats......................................................................................... p. 121 2.4 – Application des deux propositions de la loi d'évolution de β ................................... p. 123 2.4.1 – Courbes des fractions de vie................................................................................... p. 123 2.4.2 – Prévision de durée de vie totale.............................................................................. p. 126 2.4.3 − Conclusion ............................................................................................................. p. 127

7

2.4.4 – C Application à d'autres types de chargement ....................................................... p. 128 3 – Conclusion et perspectives ........................................................................................ p. 136 Bibliographie..................................................................................................................... p. 139 Annexe 1 : Classification des lois d’endommagement par fatigue............................... p. 143 Annexe 2 : Fiches techniques des lois d'endommagement étudiées............................. p. 144 Annexe 3 : Données expérimentales de Krouse et Moore............................................. p. 155 Annexe 4 : Courbes d'évolution de la limite d'endurance............................................ p. 159 Annexe 5 : Détermination de la valeur des paramètres β et β−

0aM de la loi de Lemaitre et Chaboche par la méthode de la régression linéaire................................................ p. 160

Annexe 6 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale ERP de la loi originale (N0) et la loi modifiée (Nβ) de Lemaitre et Chaboche............................ p. 162

8

LISTE DES FIGURES

Figure 1 : Différents niveaux de classification des lois d’endommagement en fatigue ............ p. 26

Figure 2 : Liste des lois d'endommagement étudiées dans chaque modèle .............................. p. 27

Figure 3 : Description d'un type de chargement ........................................................................ p. 28

Figure 4 : Courbe des fractions de vie de la loi de Miner.......................................................... p. 29

Figure 5 : Définition de la courbe de vie du matériau .............................................................. p. 31

Figure 6 : Définition des courbes de vie et d'isodommage du matériau .................................... p. 32

Figure 7 : Principe d'utilisation de la courbe d'isodommage .................................................... p. 33

Figure 8 : Courbes S-N servant au calcul du dommage, selon la loi de Grover........................ p. 36

Figure 9 : Cumul du dommage dans la phase d'amorçage......................................................... p. 37

Figure 10 : Cumul du dommage dans la phase de propagation ................................................. p. 38

Figure 11 : Cumul du dommage selon la loi de Manson ........................................................... p. 41

Figure 12 : Courbe contrainte-déformation ; la zone hachurée est supposée

être une mesure possible du dommage en fatigue................................................................ p. 47

Figure 13 : Représentation des courbes S-N théorique et expérimentale .................................. p. 53

Figure 14 : Position d’une courbe d’isodommage par rapport à la courbe S-N expérimentale. p. 55

Figure 15 : Eprouvettes d’essais (d'après [10]).......................................................................... p. 66

Figure 16 : Caractéristiques en fatigue des matériaux (d'après [10])......................................... p. 68

Figure 17 : Géométries et dimensions des éprouvettes en fonte GS61 (d'après [36]) ............... p. 71

Figure 18 : Courbe d’écrouissage monotone et résultats d'essais d’écrouissage

cyclique (d'après [36]).......................................................................................................... p. 72

Figure 19 : Courbes de Wöhler de la fonte GS61 sous sollicitations d’amplitude

constante sur éprouvettes lisses (d'après [36]) ..................................................................... p. 73

Figure 20 : Géométrie des éprouvettes d’acier 35CD4 pour les essais de flexion

rotative de Vivensang (d'après [38]) .................................................................................... p. 76

Figure 21 : Courbe de traction monotone de l’acier 35CD4 trempé revenu (d'après [39]) ....... p. 77

Figure 22 : Courbe S-N de l’acier trempé revenu (d'après [38]) ............................................... p. 78

Figure 23 : Définition des essais Haut-Bas et des essais Bas-Haut et leur positionnement

dans le repère des fractions de vie par rapport à la droite de Miner .................................... p. 81

Figure 24 : Courbes des fractions de vie décrivant l’évolution de l’endommagement

par fatigue du matériau......................................................................................................... p. 83

Figure 25 : Comportement des lois vis à vis de l’ordre d’application des niveaux de

chargement ........................................................................................................................... p. 85

9

Figure 26 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale des lois

d’endommagement pour le chargement Haut-Bas en flexion rotative, de

niveaux respectifs 2000 MPa et 827 MPa, appliqués à l'acier 300CVM ............................. p. 86

Figure 27 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le chargement

Bas-Haut en flexion rotative, de niveaux respectifs 827 MPa et 2000 MPa,

appliqué à l'acier 300CVM................................................................................................... p. 87


Haut-Bas en flexion rotative, de niveaux respectifs 2000 MPa et 1655 MPa,

appliqué à l'acier 300CVM................................................................................................... p. 87


Bas-Haut en flexion rotative, de niveaux respectifs 1655 MPa et 2000 MPa appliqué

à l'acier 300CVM ................................................................................................................. p. 88

Figure 30 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour les chargements

Haut-Bas et Bas-Haut en flexion plane sur la fonte GS61................................................... p. 90


Haut-Bas et Bas-Haut en torsion sur la fonte GS61............................................................. p. 90


Haut-Bas et Bas-Haut en flexion plane suivie de torsion ou inversement sur

la fonte GS61........................................................................................................................ p. 91


Haut-Bas (σ1 = 965 MPa et σ2 = 827 MPa) en flexion rotative sur l’acier doux

SAE 4130 ............................................................................................................................. p. 93



SAE 4130 ............................................................................................................................. p. 94


Haut-Bas (σ1 = 827 MPa et σ2 = 586 MPa) en flexion rotative sur l’acier

doux SAE 4130 .................................................................................................................... p. 95

Figure 36 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale

en flexion rotative pour l’acier 300CVM sollicité à des niveaux de contrainte

définis par σ1 = 2000 MPa et σ2 = 724 MPa ........................................................................ p. 95

10


pour l’acier 300CVM en flexion rotative, pour un chargement Haut-Bas défini

par σ1 = 1834 MPa et σ2 = 724 MPa .................................................................................... p. 96


en flexion rotative pour l’acier 300CVM sollicité par un chargement Haut-Bas

définis par σ1 = 1793 MPa et σ2 = 724 MPa ........................................................................ p. 97

Figure 39 : Courbes des fractions de vie de la fonte GS61 sous sollicitations de flexion

plane et torsion ..................................................................................................................... p. 99

Figure 40 : Correspondance et équivalence au sens de la durée de vie entre les

niveaux de contrainte en torsion et les niveaux de contrainte en flexion plane,

pour la fonte GS61 (d'après [36])....................................................................................... p. 100

Figure 41 : Modèle d’évolution de la limite d’endurance selon Henry .................................. P. 102

Figure 42 : Modèle d’évolution de la limite d’endurance selon Gatts..................................... p. 105

Figure 43 : Sensibilité de la loi de Ellyin vis à vis de la limite d’endurance réduite *DN pour une fonte GS61.................................................................................................. p.107

Figure 44 : Sensibilité de la loi de Bui-Quoc à la variation de sa constante m pour

l’acier Maraging 300CVM en flexion rotative................................................................... p. 109

Figure 45 : Sensibilité de la loi de Lemaitre-Chaboche à sa constante β pour l’acier

Maraging 300CVM en flexion rotative.............................................................................. p. 110

Figure 46 : Sensibilité de la loi de Manson à ses constantes p et b pour l’acier

Maraging 300CVM ............................................................................................................ p. 112

Figure 47 : Courbes des fractions de vie de la loi de Manson pour l’acier 300CVM

en flexion rotative............................................................................................................... p. 113

Figure 48 : Evolution du paramètre β en fonction du premier niveau de contrainte

γ1 et de la fraction de vie r1 sous ce niveau ........................................................................ p. 118

Figure 49 : Courbes d'évolution du paramètre β modifié pour des essais de flexion

rotative en régime de contrainte Haut-Bas......................................................................... p. 122

Figure 50 : Courbes d'évolution du paramètre β modifié pour les essais de

flexion rotative en régime de contrainte Bas-Haut sur l'acier 300CVM............................ p. 123

Figure 51 : Courbes des fractions de vie pour l'acier doux SAE 4130 soumis à une

flexion rotative (d'après [10]) : r2β0 correspond à la loi de Lemaitre-Chaboche d'origine et

r2β1G à la loi de Lemaitre-Chaboche modifiée par la limite d'endurance de Gatts ............. p. 124

11

Figure 52 : Courbes de fraction de vie pour l'acier 300CVM soumis à une

flexion rotative en régime de contrainte Bas-Haut (d'après [10]) ...................................... p. 125

Figure 53 : Allure générale d’une courbes S-N avec les 2 points particuliers......................... p. 130

Figure 54 : Calage de la loi de Lemaitre et Chaboche à partir de la courbe S-N

expérimentale de l'acier 300CVM en flexion rotative restreinte (d'après [10]) ................. p. 130

12

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1 : Récapitulatif des paramètres nécessaires à l’utilisation des lois pour la

prévision des durées de vie en fatigue ........................................................................... p. 62

Tableau 2 : Limites d’application des lois étudiées. La croix indique que la loi est

applicable pour la configuration correspondante........................................................... p. 63

Tableau 3 : Composition chimique des aciers SAE 4130 et Maraging 300CVM ............... p. 66

Tableau 4 : Caractéristiques mécaniques monotones des aciers SAE 4130 et

Maraging 300CVM......................................................................................................... p. 68

Tableau 5 : Caractéristiques en fatigue et coefficients de la loi de Lemaître &

Chaboche ........................................................................................................................ p. 69

Tableau 6 : Résultats des mesures d’états de surface sur éprouvettes lisses en

fonte GS61 ..................................................................................................................... p. 71

Tableau 7 : Composition chimique en % de la fonte GS61 ................................................ p. 71

Tableau 8 : Caractéristiques mécaniques en traction monotone de la fonte GS61 ............. p. 72

Tableau 9 : Limite d’endurance de la fonte GS61 pour différentes configurations de

sollicitations (σ-1 ou τ-1 à 106 cycles ; écart-type σ; Ktfp = 1,07 ; Ktto = 1,05) ............... p. 73

Tableau 10 : Constantes propres aux lois d’endommagement en fatigue de la

fonte GS61 (d'après [36]) .............................................................................................. p. 74

Tableau 11 : Conditions des essais de cumul de dommage sur éprouvettes lisses

en fonte du lot GS61.I (To : torsion, Fp : flexion plane d'après [36-37]) ...................... p. 74

Tableau 12 : Résultats expérimentaux des essais de cumul de dommage sur l

a fonte GS61 du lot GS61.I (d'après [36-37]) ................................................................ p. 75

Tableau 13 : Composition chimique de l’acier 35CD4........................................................ p. 76

Tableau 14 : Caractéristiques mécaniques monotones de l’acier 35CD4 (d'après [39]) ..... p. 77

Tableau 15 : Caractéristiques mécaniques cycliques de l’acier trempé

revenu (d'après [38]) ...................................................................................................... p. 77

Tableau 16 : Les résultats expérimentaux des essais en flexion rotative sur

l’acier 35CD4 [8]............................................................................................................ p. 78

Tableau 17 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le

chargement Haut-Bas en flexion rotative, de niveaux respectifs contrainte 2000 MPa et

827 MPa, sur l’acier Maraging 300CVM....................................................................... p. 86

13

Tableau 18 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le

chargement Bas-Haut en flexion rotative, de niveaux respectifs 827 MPa et 2000 MPa, sur

l’acier Maraging 300CVM ............................................................................................. p. 86

Tableau 19 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le chargement

Haut-Bas en flexion rotative de niveaux respectifs en contrainte 2000 MPa et

1655 MPa sur l’acier Maraging 300CVM...................................................................... p. 87


Bas-Haut en flexion rotative, de niveaux respectifs 1655 MPa et 2000 MPa sur l’acier

300CVM ......................................................................................................................... p. 88

Tableau 21 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour les chargements

Haut-Bas et Bas-Haut en flexion plane sur la fonte GS61 ............................................. p. 89


Haut-Bas et Bas-Haut en torsion sur la fonte GS61 ....................................................... p. 90


Haut-Bas et Bas-Haut en flexion plane suivie de torsion ou inversement sur la

fonte GS61...................................................................................................................... p. 91



SAE 4130........................................................................................................................ p. 93



SAE 4130........................................................................................................................ p. 93



SAE 4130........................................................................................................................ p. 94

Tableau 27 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale

pour l’acier 300CVM en flexion rotative, pour un chargement Haut-Bas défini

par σ1 = 2000 MPa et σ2 = 724 MPa............................................................................... p. 95

Tableau 28 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale en flexion

rotative pour l’acier 300CVM sollicité par un chargement Haut-Bas défini

par σ1 = 1834 MPa et σ2 = 724 MPa .................................................................................... p. 96

14

Tableau 29 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale

en flexion rotative pour l’acier 300CVM sollicité par un chargement Haut-Bas

définis par σ1 = 1793 MPa et σ2 = 724 MPa................................................................... p. 96

Tableau 30 : Récapitulatif des données des essais de fatigue à deux niveaux ................... p. 116

Tableau 31 : Valeurs du paramètre matériau β pour les essais de cumul de

dommage sur la fonte GS61 ......................................................................................... p. 118

Tableau 32 : Valeurs du paramètre matériau β en fonction de la nature de

la sollicitation, du niveau de contrainte et du nombre de cycles appliqués

à l'acier 35CD4 trempé revenu ..................................................................................... p. 119

Tableau 33 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale de l'acier 300CVM soumis à

une flexion rotative à deux niveaux de contrainte (Bas-Haut) ..................................... p. 127

Tableau 34 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale en fatigue pour deux

matériaux (fonte GS61 et acier 35CD4) ....................................................................... p. 128

Tableau 35 : Valeurs des paramètres matériau β et β−0aM de la loi de Lemaitre

Chaboche d'origine (les valeurs de β calculées ici ont été notées auparavant β0)........ p. 131

Tableau 36 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour les essais

Bas-Haut sur l'acier 300CVM en flexion rotative. ....................................................... p. 132

Tableau 37 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour des essais

Haut-Bas en flexion rotative (d'après [10]) ................................................................. p. 133

Tableau 38 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour les essais

de fatigue sur la fonte GS61 (d'après [36])................................................................... p. 134

15

NOTATIONS

σ, σi : Amplitude de la contrainte appliquée

∆σ : Etendue de la contrainte

σm : Contrainte moyenne

σmax, ∗σmax : Contrainte maximale

σmin : Contrainte minimale

σe : Limite élastique du matériau

σe0,2 : Limite élastique du matériau à 0,2% de déformation plastique

σe0,02 : Limite élastique du matériau à 0,02% de déformation plastique

Rr, Rm : Résistance à la rupture du matériau

Rmn : Résistance du matériau après l'application de n cycles de contrainte appliqués

RmNr : Résistance du matériau après l'application de Nr cycles à la rupture appliqués

Ru, σu : Résistance ultime du matériau

σD : Limite d’endurance du matériau

σD0 : Limite d’endurance du matériau vierge

σDH : Limite d’endurance de Henry du matériau

σDG : Limite d’endurance de Gatts du matériau

δσ0 : Accroissement de contrainte dû à l’adoucissement ou au durcissement du matériau

σ-1 : Limite d’endurance en traction alternée symétrique du matériau

1−τ : Limite d’endurance en torsion alternée symétrique du matériau

γ, γi : "Amplitude" de contrainte (sans dimension)

σ : Matrice (ou tenseur) des contraintes

AII, ∗IIA : Contraintes du critère de Sines

σeff, IIA~ : Contraintes effectives

J2 : Deuxième invariant du tenseur déviateur des contraintes.

γD, γDi : Limites d’endurance (sans dimension)

γmax : Contrainte maximale (sans dimension) ∗γ u , γu : Résistance ultime du matériau (sans dimension)

R : Rapport de contrainte (R=σmin/σmax)

Rc : Dureté Rockwell

16

E, ∗0E : Module d’élasticité longitudinale (module de Young) du matériau

ν : Coefficient de Poisson

A : Allongement pour cent

ε : Amplitude de la déformation

∆εt : Etendue de la déformation totale

εt : Déformation monotone

εm : Déformation moyenne

εmax : Déformation maximale

εmin : Déformation minimale

∆εp : Etendue de la déformation plastique

∆εe : Etendue de la déformation élastique

∆γp : Etendue de la déformation de cisaillement (de torsion) plastique

n, ni : Nombre de cycles appliqués

Nr, Nri : Nombre de cycles à la rupture

ND, ∗DN : Nombre de cycles à la limite d’endurance du matériau

N0, N0i : Nombre de cycles nécessaires à l’amorçage d'une fissure

∆N : Durée de vie du matériau en terme de propagation de fissure

dn : Nombre de vie

r, ri : Fraction de cycles appliqués

rieq : Fraction de vie équivalente

rires : Fraction de vie restante

αi : Proportion de cycles appliqués sous le ième niveau de contrainte

W : Energie totale de déformation

∆We : Accroissement d’énergie de déformation élastique

∆Wp : Accroissement d’énergie de déformation plastique

∆W : Accroissement d’énergie de déformation totale

∆WD, ∗∆ DW : Accroissement d’énergie de déformation à la limite d’endurance du matériau

C : Energie de traction élastique

Ui : Energie élémentaire de déformation

dD : Dommage élémentaire du matériau

Di : Dommage du matériau sous le niveau σi de contrainte

D : Dommage total du matériau

17

L, a : Longueur de fissure

L0 : Longueur initiale de fissure

Lr : Longueur de fissure à la rupture de l'éprouvette

da : Longueur élémentaire de fissure

n, n’, n*, k, k’, k*, α, α’ : Constantes du comportement cyclique du matériau

b, p : Constantes de la loi de Manson

m, b : Constantes matériau de la loi de Gatts

δ, β : Constantes matériau de la loi de Freudenthal-Heller

a, M0, M, b : Constantes matériau de la loi de Lemaitre et Chaboche

α, β, β0 : Constantes matériau de la loi de Miller et de la loi de Lemaitre et chaboche

c, k : Constantes matériau de la loi de Miller

K, K0 : Constantes matériau de la loi de Henry

kt : Coefficient théorique de concentration de contrainte

ktfp : Coefficient théorique de concentration de contrainte en flexion plane

ktto : Coefficient théorique de concentration de contrainte en torsion

θi, θD : Angle d’inclinaison des courbes S-N

ϕ : Déphasage

Ra, Rt, Rmax : Rugosités

S, SRa, SRt, SRmax : Ecart-types des rugosités

18

AVANT – PROPOS

L'équipe "Fatigue" du Laboratoire de Mécanique des Solides (LMSo) a travaillé

depuis longtemps sur différents outils utilisés pour la prévision de la durée de vie des

structures en fatigue sous chargement multiaxial et à amplitude variable : les critères de

fatigue multiaxiaux qui prennent en compte le caractère multiaxial des états de contraintes

rencontrés pour certaines applications, le comptage Rainflow destiné à l'identification des

cycles de contrainte lors d'une sollicitation à amplitude variable, et une démarche

d'endommagement de type plan critique pour traiter le problème du dimensionnement en

fatigue dans le cas le plus général (multiaxial aléatoire) des sollicitations de service. Les lois

d'endommagement, qui sont un rouage essentiel de l'analyse en fatigue, n'avaient pas encore

fait l'objet d'une investigation particulière de l'équipe "Fatigue" du LMSo. Ce travail de thèse

est une première contribution de l'équipe pour aborder cette partie du dimensionnement des

structures. C'est toujours au demeurant un des thèmes d'actualité des chercheurs du domaine

en France, puisqu'un des groupes de travail de la SF2M (Société Française de Métallurgie et

de Matériaux) poursuit et coordonne aujourd'hui les travaux de recherche sur ce sujet.

L’endommagement des matériaux par fatigue provient du caractère cyclique des

sollicitations qui leur sont appliquées. Ce dommage peut conduire à la ruine du composant ou

de la structure lorsque son accumulation atteint une valeur critique qui est fonction du

matériau. Cette notion d’endommagement par fatigue, même si elle est très ancienne, demeure

aujourd’hui un domaine de préoccupation important en fatigue car sa modélisation reste

parfois en décalage avec les observations expérimentales. L’objectif d’une loi

d’endommagement en fatigue est de fournir un outil de prévision de durée de vie pour tout

composant mécanique soumis à des sollicitations variables.

Les premières modélisations de l’endommagement par fatigue datent de près de 70

ans. Au départ, l’expression mathématique fut très simple, et restreinte à des cas de

sollicitations relativement simples eux aussi. De nombreux autres modèles ont suivi, qui se

sont attachés à traduire plus précisément l’aspect physique du phénomène tant du point de vue

métallurgique et microstructural qu'expérimental, afin d’être exploitable en conception.

19

D’une manière générale, les théories d’endommagement développées avant les années

1970 sont essentiellement phénoménologiques tandis que celles apparues depuis lors sont

semi-analytiques. Il faut cependant reconnaître qu’aucune d’entre elles ne couvre entièrement

l’ensemble des domaines d’application. On distingue très souvent l’expression du dommage,

engendré par l'application d’un cycle de sollicitations, de sa règle de cumul qui exprime la

totalité du dommage lié à l’application successive de tous les cycles rencontrés au cours de la

vie du composant.

Deux types principaux d’évolution du dommage (et de son cumul) par fatigue classent

les lois :

• Les lois à évolution linéaire du dommage : il s’agit du type de modèle à la fois le plus

ancien et le plus simple. Comme toute modélisation d’un phénomène physique, la première

démarche tentée est généralement la plus simple. Les inconvénients incombant à cette

modélisation ont justifié les études ultérieures, qui ont mené à la seconde catégorie de

modèles.

• Les lois à évolution non linéaire du dommage : cette catégorie se compose des lois à

évolution bilinéaire et curviligne. Les lois à évolution bilinéaire du dommage concernent

essentiellement les modèles incluant deux phases distinctes du processus d’endommagement

par fatigue : une phase d’amorçage suivie d’une phase de propagation. Celles à évolution non

linéaire du dommage sont pour la plupart les lois de la génération la plus récente.

L'étude des lois d’endommagement porte essentiellement sur les points suivants :

• L’échelle du dommage : certaines lois établissent le dommage à partir de défauts

microscopiques plutôt qu'à partir de défauts macroscopiques.

• Les bases physiques sur lesquelles les lois sont fondées. En général, elles concernent

les théories de la mécanique des solides déformables (critères de résistance, plasticité, énergie

de déformation, etc.…).

• L’expression mathématique de la fonction du dommage et de celle de son cumul : c’est

au travers de ces expressions mathématiques et des résultats de l’expérimentation que certains

paramètres de la loi (liés aux comportements monotones et cycliques) peuvent être identifiés.

Le calage de la loi, c'est à dire la détermination des coefficients qui lui sont propres et qui

dépendent du matériau considéré, relève de cet aspect mathématique.

20

• Le caractère linéaire ou non de la loi,

• Le domaine d’application : cet aspect définit les limites d’application de la loi. Il fait

ressortir les avantages et les inconvénients ou insuffisances de la loi.

Cette étude des lois d’endommagement (et de son cumul) que nous avons entamée en

septembre 1998 est menée suivant la démarche scientifique nécessaire à la compréhension et à

l’interprétation d’un phénomène physique. Comme pour tout travail de recherche, il est

indispensable non seulement de connaître ce qui a été fait par ses prédécesseurs dans le

domaine mais aussi de le comprendre et de le maîtriser. C’est dans cette optique que nous

avons commencé notre travail par une étude bibliographique sur les lois d’endommagement

par fatigue dans leur contexte le plus général.

Cette thèse s'est déroulée suivant le principe de l'alternance mise en place par la

Coopération Française : trois mois par an en France et neuf mois au Tchad où, au service

d'enseignement à temps complet, s'ajoutent la mise en place d'une plate-forme de Travaux

Pratiques de Résistance Des Matériaux et certaines tâches administratives que j'assure à la

Faculté des Sciences Exactes et Appliquées de l’Université de N’Djaména. La première

alternance s’est déroulée au Laboratoire de Mécanique des Solides (LMSo) de l’INSA de

Lyon, où je suis inscrit, les quatre dernières alternances ont eu lieu à l’IUT de Montluçon, au

Laboratoire d'Etudes et de Recherches en Mécanique des Structures (LERMES) de

l’Université Blaise Pascal (suite à la nomination de mon directeur de thèse à l'IUT de

Montluçon en septembre 1999).

21

Introduction

Les contraintes économiques actuelles poussent de plus en plus les industriels à

optimiser le coût de fabrication des structures mécaniques. Dans ce contexte, les bureaux

d'études qui conçoivent les mécanismes ne peuvent pas ignorer le dimensionnement des

pièces vis à vis de leur tenue en fatigue.

En général, l'endommagement d'un matériau est une altération de ses propriétés

physiques et mécaniques, dégradation qui accompagne une sollicitation soit monotone

(chargement lié à une mise en forme par exemple), ou variable au cours du temps

(chargement généralement endommageant par fatigue). Nous ne nous intéressons dans ce

travail qu'à la seconde catégorie de ces sollicitations qui conduit au dommage par fatigue.

L'endommagement par fatigue des matériaux conduit à leur dégradation progressive

due aux sollicitations appliquées, variables au cours du temps. Il est responsable de près de

90% des cas de défaillance des systèmes mécaniques. Son évolution quantitative est liée à la

définition de la variable choisie pour représenter ce phénomène. Il existe en général deux

types de méthodes d'évaluation du dommage :

• Celles qui utilisent l'évolution d'une propriété du matériau (résistance électrique,

résistance à la rupture, limite d'endurance, …) engendrée par l'endommagement,

• Celles qui s'intéressent aux dégradations physiques (les fissures par exemple). La

plupart de ces méthodes sont élaborées dans le cadre de la fatigue oligocyclique où les

déformations sont importantes et les perturbations des microfissures sont beaucoup plus

facilement observables et quantifiables que celles engendrées lors des essais de fatigue à

grands nombres de cycles.

Les différentes méthodes de calcul prévisionnel de durée de vie ne permettent pas

encore d'expliquer toute la complexité du phénomène d'endommagement en fatigue. Outre le

comportement local qui est souvent très différent du comportement global du matériau

sollicité, l'influence de la variation des propriétés mécaniques du matériau doit être prise en

compte dans les calculs. L'influence de la variation des propriétés mécaniques sur la tenue en

fatigue des matériaux a été suggérée notamment par Palin-Luc [36].

22

Notre étude, qui a pour but la prise en compte de la variation des paramètres matériau

(appelés souvent constantes des lois) dans les calculs de prévision de durée de vie en fatigue,

comporte plusieurs étapes :

• Une recherche bibliographique finalisée par la présentation de cinq groupes de lois à

l'intérieur desquels une loi au moins, jugée bien représentative, est présentée. L'étude de ces

lois, applicables en fatigue à faibles et grandes durées de vie, porte sur les hypothèses et les

configurations des chargements pour lesquelles elles s'appliquent.

• La validation des lois étudiées : les particularités et l'efficacité des lois sont ici vérifiées

à l'aide des résultats des essais de la bibliographie.

• L'étude de sensibilité de quelques-unes de ces lois vis à vis de la variation de leurs

paramètres d'influence.

• Une amélioration de la loi d'endommagement continu de Lemaitre-Chaboche, par

l'introduction du modèle de la limite d'endurance de Gatts : ce concept de la variation de la

limite d'endurance permet d'élaborer une méthode de calcul de durée de vie qui s'appuie sur la

propriété caractéristique essentielle du matériau en fatigue (sa limite d'endurance), et qui

s'attache à reconnaître son évolution comme un effet du dommage.

La conclusion générale de cette étude ainsi que les perspectives ouvertes à la fois vers

l'expérience et vers le développement du concept proposé sont présentées à la fin du

document.

Chapitre I Bibliographie : Etude des lois d’endommagement en fatigue

23

CHAPITRE I

BIBLIOGRAPHIE - ETUDE DES LOIS

D’ENDOMMAGEMENT EN FATIGUE

L’endommagement par fatigue d’un matériau est un phénomène physique que l’on peut

appréhender qualitativement et quantitativement par la mesure de certaines propriétés physiques

(comme la résistance électrique par exemple) et mécaniques (caractéristiques monotones,

cycliques, etc…) du matériau. Les variables d’endommagement couramment utilisées pour

exprimer le dommage par fatigue sont :

• Des variables liées à la sollicitation : ce sont les contraintes et les déformations qui

traduisent le chargement appliqué au composant mécanique,

• Des caractéristiques mécaniques monotones (ν, E, σe, Rm, Ru) et cycliques (σD, Nr,…).

Ces caractéristiques, qui par essence sont intrinsèques au matériau, peuvent être modifiées en

fonction de la nature de la sollicitation,

• Des paramètres d’influence : ils regroupent les coefficients d’écrouissage cyclique, les

facteurs d’échelle, d’état de surface, de gradient de contrainte et de triaxialité des contraintes,

• Des paramètres de service : ces derniers traduisent les conditions du fonctionnement du

composant mécanique (température, surcharge, fréquence de la sollicitation, agressivité du

milieu, etc…). La plupart de ces paramètres servent à définir les conditions initiales et finales du

problème.

La définition de ces variables d’endommagement sert de support essentiel à notre analyse

des lois d’endommagement de la bibliographie, en tout premier lieu, et à leur classification.

1 – CLASSIFICATION DES LOIS D’ENDOMMAGEMENT EN FATIGUE

Pour mener l'étude des lois d’endommagement en fatigue recensées dans la littérature

nous les avons classées en plusieurs modèles suivant leurs bases physiques et leurs concepts.

Nous avons défini pour cela trois niveaux de classement : le type d’approche de la loi, l'échelle

du dommage par fatigue et la base physique de la loi.


24

1.1 – Les différents types d’approche des lois d’endommagement en fatigue

Les lois d’endommagement en fatigue appartiennent à l’une ou l’autre des quatre

approches suivantes, qui caractérisent en fait la démarche scientifique utilisée pour décrire le

dommage par fatigue :

• L’approche empirique : les lois relevant de cette approche reposent sur des résultats

expérimentaux obtenus pour des sollicitations et des matériaux spécifiques. C’est le cas

principalement des lois d’endommagement développées avant 1970,

• L’approche phénoménologique : ces lois se sont développées avec les progrès techniques

qui permettent d’observer et de mesurer avec une grande précision certains paramètres

indicateurs du dommage tels que les extrusions, les bandes de glissement, la longueur de fissure,

etc… Elles tentent d’expliquer au mieux le mécanisme d’endommagement du matériau à l’aide

de l’évolution de ces paramètres,

• L’approche dite conceptuelle : les lois de cette catégorie ont la particularité d'émettre des

postulats (couche superficielle durcie du métal (Kamer [43]), notion de contrainte interne

inférieure à la contrainte réellement appliquée (Matsuda et Ikai [44]), déformation plastique

cumulée représentative du dommage du matériau (Azari [45]), etc….). Elles sont d’une certaine

façon à mi-chemin entre l’approche phénoménologique et l’approche analytique,

• L’approche analytique : on retrouve ici les lois élaborées à partir des théories de la

mécanique des solides. Les lois entrant dans cette catégorie s'appuient sur des critères de

résistance, sur l'énergie de déformation, sur la plasticité ou d'autres caractéristiques de la loi de

comportement.

1.2 – Les différentes échelles du dommage par fatigue

L’endommagement par fatigue d’un solide est, par définition, l’altération progressive de

ses propriétés physiques et mécaniques pouvant conduire à sa rupture suite à l’application d’une

sollicitation fluctuante. Ce phénomène est quantifié le plus souvent par la mesure de la longueur

de la fissure amorcée et qui se propage. Deux niveaux d’échelles de mesure sont utilisés par les

auteurs : les fissures microscopiques (ou petites fissures) pour traduire un dommage à l'échelle

microscopique et les fissures macroscopiques pour le dommage à l'échelle macroscopique.

1.3 – Les bases physiques des lois d’endommagement en fatigue

Quelles que soient son approche et son échelle, chaque loi d’endommagement en fatigue

a une base (ou une justification) physique spécifique. Parmi l'ensemble des lois recensées, nous

distinguons cinq types ou modèles de bases physiques :


25

• Les modèles d’énergie de déformation : les lois d'endommagement développent des

théories basées ici sur les énergies de déformation. Elles présentent l’avantage de tenter de

concilier les endommagements d’origines diverses : le fluage, la thermique et la fatigue,

• Les modèles de propagation de fissure : ils permettent notamment de décrire les

phénomènes de retard de propagation et revêtent un intérêt marqué dès lors que la croissance du

dommage est directement liée à l'évolution des paramètres physiques de la propagation, comme

l’accroissement de la longueur de fissure par exemple. Ils relèvent en général de la mécanique

linéaire de la rupture et sont pour l’essentiel basés sur l’intégration d’une expression de la vitesse

de propagation de la fissure, parfois en prenant en compte l’interaction des niveaux de charges

successifs et les dimensions, changeantes, de la partie de l’éprouvette non fissurée,

• Les modèles de variation de la limite d’endurance du matériau : ces modèles postulent une

évolution de la limite d’endurance du matériau au cours de sa vie, fonction des niveaux

successifs du chargement et de leur interaction,

• Les modèles d'évolution de courbe S-N du matériau : ces modèles sont également basés

sur une interaction des niveaux successifs du chargement. Ils introduisent une modification des

courbes S-N du matériau, cette modification étant liée aux niveaux de contrainte rencontrés et à

leur ordre d’apparition (effet de séquence). La différence avec la catégorie précédente de

modèles est que la limite d'endurance du matériau n'est pas la seule donnée de fatigue affectée,

c'est toute la courbe S-N qui est modifiée ici,

• Les modèles d’endommagement continu, lesquels sont souvent associés à une

déformation plastique cumulée. Initiés au départ pour décrire le phénomène du fluage, ils ont été

étendus au dommage par fatigue.

1.4 – Synthèse

La figure 1 récapitule les différents critères de classification des lois d’endommagement

en fatigue que nous venons de décrire. L'appartenance des lois d'endommagement à ces

différents éléments de classification est donnée en annexe 1.

Remarques : a ) Il n’y a guère de frontière stricte entre ces différentes catégories. Certains

modèles sont hybrides d’une certaine façon, c’est à dire qu’ils peuvent être ramenés par certains

aspects à plusieurs des catégories répertoriées ci-dessus.

b ) Les lois seront présentées au cours de leur analyse par le modèle de base

physique dont elles relèvent, c’est à dire en utilisant le troisième niveau de la classification

proposée.


26

Figure 1 : Différents niveaux de classification des lois d’endommagement en fatigue

2 – ETUDE DES LOIS D’ENDOMMAGEMENT EN FATIGUE

Cette partie du chapitre présente un certain nombre de lois d’endommagement en fatigue,

en fonction de leur base physique. Les lois sont décrites sans entrer systématiquement dans le

détail des calculs (qui sera abordé lors de la comparaison des lois entre elles), mais en insistant

sur leurs hypothèses de base et leurs caractéristiques propres. Une attention particulière est

portée aux points suivants :

• Le caractère linéaire ou non de la fonction du dommage en fatigue et de son cumul,

• La contribution au dommage des petits cycles de contraintes, c'est à dire des cycles dont le

niveau de contrainte est inférieur ou égal à la limite d’endurance du matériau,

• L’effet de l’ordre d’application des niveaux de contrainte des différents blocs (effet de

séquence ou encore effet de mémoire du chargement),

• La prise en compte de la contrainte moyenne,

• La nature de la sollicitation (triaxialité ou non des états de contrainte),

• La détermination des principaux paramètres de la loi, c'est à dire son calage sur des

propriétés de base du matériau en fatigue.

Approche

Phénoménologique

Conceptuelle

Empirique

Echelle

Macroscopique

Microscopique

Base physique

Propagation de fissure

Endommagement continu

Energie de déformation

Variation de la limite d’endurance

Evolution de la courbe S-N

Analytique

Approche

Phénoménologique

Conceptuelle

Empirique

Echelle

Macroscopique

Microscopique

Base physique

Propagation de fissure

Endommagement continu

Energie de déformation


Evolution de la courbe S-N

Analytique


27

Une loi au moins est étudiée dans chaque modèle afin d’obtenir le maximum

d’enseignements sur celui-ci. La figure 2 donne la liste des lois qui seront étudiées pour chaque

base physique.

Figure 2 : Liste des lois d'endommagement étudiées dans chaque modèle

2.1 – Les lois du modèle basé sur l’énergie de déformation

2.1.1 – La loi linéaire de Miner

2.1.1.1 – Description de la loi

Miner est pratiquement le premier auteur ayant donné une formulation mathématique

d’une loi d’endommagement en fatigue [1]. Les hypothèses de base de sa loi, qui date de 1945,

sont les suivantes :

Hyp.1 : le chargement est une fonction sinusoïdale du temps,

Hyp.2 : c'est la totalité du travail absorbé par le matériau qui engendre sa rupture par fatigue,

Hyp.3 : le diagramme de Goodman modifié est la modélisation du diagramme de Haigh qui

représente le plus fidèlement le comportement expérimental des matériaux,

Hyp.4 : l’amorçage d’une fissure macroscopique est l’indicateur de la ruine du matériau.

Il faut noter que Miner souligne les restrictions supplémentaires suivantes à l'utilisation

de sa loi :

• des alliages d'aluminium seuls ont été utilisés pour valider la loi,

Energie de déformationLoi de Miner

Loi de Ellyin

Propagation de fissureLoi de Grover

Loi de Miller & al.Loi de Manson & al.


Loi de Henry

Loi de Bui Quoc & al.Loi de Gatts

Evolution de la courbe S-NLoi de Freudenthal et HellerLoi de Subramanyan

Endommagement continu Loi de Lemaitre & Chaboche

Energie de déformationLoi de Miner

Loi de Ellyin Energie de déformation

Loi de Miner

Loi de Ellyin

Propagation de fissureLoi de Grover

Loi de Miller & al.Loi de Manson & al.Propagation de fissureLoi de Grover

Loi de Miller & al.Loi de Manson & al.


Loi de Henry

Loi de Bui Quoc & al.Loi de GattsVariation de la limite

d’endurance

Loi de Henry

Loi de Bui Quoc & al.Loi de Gatts

Evolution de la courbe S-NLoi de Freudenthal et HellerLoi de SubramanyanEvolution de la courbe S-NLoi de Freudenthal et HellerLoi de Subramanyan

Endommagement continu Loi de Lemaitre & ChabocheEndommagement continu Loi de Lemaitre & Chaboche


28

• seuls les cycles dont la contrainte maximale est supérieure à celle qui provoque la ruine

par fatigue (amorçage de fissure) à 107 cycles sont à prendre en compte.

En se basant sur la seconde hypothèse, Miner choisit, pour établir le dommage Di du

matériau après application de ni cycles identiques (figure 3), la fraction du travail total absorbé

par le matériau.

ri

iii N

nWuD ==

(1)

où ui est l'énergie absorbée par le matériau (transmise par ni cycles),

W est le travail total absorbé par le matériau à la ruine par fatigue,

Nri est le nombre de cycles considérés à la ruine.

Ce concept conduit à une sommation linéaire des fractions de vie riii Nnr = propres à

chaque type de cycles appliqués :

∑∑==

==p

1ii

p

1i ri

i rNnD (2)

Figure 3 : Description d'un type de chargement

(a) séquence composée de plusieurs blocs de sollicitations,

(b) nombre de cycles ni du ième bloc,

(c) courbe S-N (amplitude de contrainte en fonction du nombre de cycles)

σ

NNrini

σai σm = σmi

(c)

t

σσaiσmi

ni cycles

(b)

····

····

t

σ Bloc 1 Bloc 4Bloc 3Bloc 2

(a)

· · · ·

σ

NNrini

σai σm = σmi

(c)

σ

NNrini

σai σm = σmi

(c)

t

σσaiσmi

ni cycles

(b)

····

····t

σσaiσmi

ni cycles

(b)

····

····

t


(a)

· · · ·

t


(a)

· · · ·


29

La ruine du matériau se produit quand la somme D vaut l'unité. Il s’ensuit l’expression

suivante de la fraction de vie résiduelle rp au niveau p, après application de p-1 blocs de cycles

de contrainte :

∑−

=

−==1p

1ii

rp

pp r1

Nn

r (3)

np et Nrp sont respectivement le nombre de cycles appliqués au niveau p et le nombre de

cycles à la ruine par fatigue du matériau sous ce type de chargement.

L’application de l’équation (3) au cas d'un chargement à deux niveaux de contrainte

donne : 12 r1r −= (4)

r1 et r2 sont les fractions de vie aux niveaux 1 et 2 respectivement.

La représentation graphique de la loi de Miner, dans le repère des fractions de vie (r1, r2),

est une droite diagonale (dite droite de Miner) indépendante du niveau de la sollicitation (figure

4).

Figure 4 : Courbe des fractions de vie de la loi de Miner (chargement à deux niveaux)

2.1.1.2 – Avantages et inconvénients

a ) Avantages

• La loi de Miner est simple d’application. Elle reste de ce fait la loi la plus utilisée,

• Cette loi n’a aucun paramètre particulier à déterminer : elle nécessite simplement la

connaissance de la courbe S-N du matériau.

0 r1

r2

1

1Droite de M

iner

0 r1

r2

1

1Droite de M

iner


30

b ) Inconvénients

• La loi de Miner ne prend pas en compte la fraction de vie atteinte (c'est à dire le niveau

d'endommagement du matériau) pour la description du dommage engendré par un cycle,

• Elle ne tient pas compte de l’ordre d'apparition des cycles (histoire du chargement). Elle

ne décrit donc aucun effet de séquence,

• Elle ne prend pas en compte l’effet endommageant des cycles d'amplitude inférieure à la

limite d'endurance du matériau ("petits" cycles) même si ceux-ci sont appliqués après que

l’endommagement du matériau soit initié (par un ou plusieurs cycles d’amplitude supérieure à la

limite d’endurance).

2.1.2 – Loi de Ellyin et al.


Golos et Ellyin estiment que la méthode classique de dimensionnement en fatigue des

composants mécaniques basée sur l'utilisation des courbes S-N ne permet pas de décrire

convenablement le processus d'endommagement des matériaux. La raison évoquée est liée au fait

que, pour des zones fortement déformées, l'amplitude de contrainte utilisée comme donnée

d'entrée dans les calculs est une contrainte élastique fictive du fait des déformations plastiques

rencontrées localement [4].

Une approche plus réaliste aux yeux des auteurs consiste à relier l'énergie de déformation

totale par cycle à la durée de vie totale du matériau, l'endommagement du matériau par fatigue,

en particulier pour les faibles durées de vie, étant causé par la déformation plastique cyclique.

Aussi la courbe S-N est-elle transformée en une relation qui lie l'énergie de déformation totale au

nombre de cycles à rupture Nr (courbe de vie) : α=∆ rt kNW pour Nr < ND (zone d'endurance limitée)

Dt WW ∆=∆ pour Nr > ND (zone d'endurance illimitée)

k, α, ∆WD et ND sont des constantes du matériau. ∆WD est l'énergie de déformation en traction

du matériau correspondant à une sollicitation qui n'occasionne pas de dommage perceptible et

qui correspond en fait à la limite de fatigue du matériau. La figure 5 présente cette courbe de vie.


31

Figure 5 : Définition de la courbe de vie du matériau

Les hypothèses utilisées par Ellyin et al. sont les suivantes :

Hyp.1 : l’endommagement provenant d’une sollicitation cyclique est une fonction de l’énergie

mécanique totale transmise au matériau. La densité volumique de cette énergie de déformation

par cycle de sollicitation ∆Wt est la somme de la densité volumique d’énergie de déformation

plastique par cycle ∆Wp et de la densité volumique d’énergie de déformation élastique ∆We :

pet WWW ∆+∆=∆ (5)

Hyp.2 : si le matériau a un comportement de type Masing, sa limite de fatigue est définie par la

densité de l’énergie de déformation plastique suivante :

pp n1n1W ε∆σ∆

′+′−

=∆ (6)

où ∆σ est l’étendue de contrainte sur un cycle de sollicitation,

n′ est un coefficient de durcissement en déformation cyclique du matériau,

∆εp est l'étendue de la déformation plastique par cycle :

n1

'p k22

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ∆

=ε∆ (7)

k' est un coefficient de résistance du matériau.

Remarque : un matériau a un comportement de type Masing lorsque l'étendue de son domaine

d'élasticité demeure constante quand l'étendue de déformation plastique imposée augmente. Sa

réponse cyclique est alors décrite par : 'n1

'k22

E⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ∆

+σ∆

=ε∆ (8)

où E est le module d’élasticité longitudinale du matériau.

Le comportement n'est pas de type Masing lorsque, à l'inverse, le domaine d'élasticité

varie avec l'étendue de la déformation plastique. Sa réponse cyclique s'écrit alors :

log(∆Wt)

logNrND

∆WD

log(∆Wt)

logNrND

∆WD


32

*n

1

*

***

k22

E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ∆+

σ∆=ε∆ (9)

Hyp.3 : Si le matériau a un comportement qui n'est pas de type Masing, sa limite de fatigue est

définie par la densité d'énergie de déformation plastique suivante :

( ) p0p0p *n1*n1W ε∆δσ+ε∆δσ−σ∆

+−

=∆ (10)

où δσ0 est la variation du domaine élastique du matériau,

k* et n* sont des coefficients d'écrouissage du matériau.

L'énergie de déformation totale absorbée par le matériau dont le comportement n'est pas

de type Masing est, pour un cycle d'étendue de contrainte ∆σ et de valeur moyenne σm :

( ) ε∆δσ+ε∆δσ−σ∆+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+

σ∆=∆ 0p0

2

mt *n1*n1

2E21W (11)

Il faut noter que, lorsque le matériau a un comportement de type Masing, l'expression

précédente se simplifie du fait de : n* = n' et δσ0 = 0.

La loi de dommage et celle de son cumul, proposées par Ellyin, précisent le processus

d'endommagement du matériau en distinguant la phase d'amorçage de fissure de la phase de

propagation. Les hypothèses retenues par les auteurs sont les suivantes :

Hyp.4 : la limite d'endurance du matériau est définie par le couple (ND, ∆WD) de la courbe de

vie, qui représente les coordonnées du point d'intersection de ses deux asymptotes oblique

(endurance limitée) et horizontale (endurance illimitée) décrites par la figure 5.

Hyp.5 : le cumul de dommage est réalisé à l'aide d'une courbe d'isodommage inspirée du

diagramme de French [8]. Cette courbe d'isodommage est une droite passant par un point de la

limite d'endurance réduite, de coordonnées ( )*DD W,N ∆∗ et situé sur l'asymptote oblique de la

courbe de vie (figure 6).

L'expression du dommage par fatigue du matériau engendré par n1 cycles identiques est

donnée par :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∆∆

*DN1nlog*

DW1tWlog

*D

1*D

1t

Nn

WW (11)

où ∆Wt1 est la densité d'énergie de déformation totale correspondant aux cycles considérés.


33

L'exposant de *D

1

Nn est la pente de la courbe d'isodommage passant par le point

représentatif des n1 cycles appliqués (figure 7).

Figure 6 : Définition des courbes de vie et d'isodommage du matériau

Soit ∆Wt2 la densité d'énergie de déformation totale correspondant à un autre niveau de

contrainte. Le nombre n21 de cycles conduisant au même dommage que le premier bloc de n1

cycles correspond au point situé sur la même courbe d'isodommage et d'ordonnée ∆Wt2 (figure

Figure 7 : Principe d'utilisation de la courbe d'isodommage

Les deux points (n21,∆Wt2) et (n1,∆Wt1) étant situés sur la même courbe de dommage, on

a : ( )( )

( )( )*

D21

*D2t

*D1

*D1t

NnlogWWlog

NnlogWWlog ∆∆

=∆∆

log(∆Wt)

logNrND

Courbe S-N

∆WD

*DW∆

*DN

Courbe d’isodommage

n1n21

∆Wt2

∆Wt1

log(∆Wt)

logNrND

Courbe S-N

∆WD

*DW∆

*DN


n1n21

∆Wt2

∆Wt1

log(∆Wt)

logNrND

Courbe S-N

∆WD

*DW∆

*DN

Courbe d’isodommagelog(∆Wt)

logNrND

Courbe S-N

∆WD

*DW∆

*DN



34

D'où :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆∆⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

*DW1tWlog*

DW2tWlog

*D

1*D

21

Nn

Nn (12)

La règle de cumul du dommage de la loi s'appuie sur l'expression de la courbe de vie

(dans le domaine de l'endurance limitée) et sur l'expression précédente de n21. En notant n2 le

nombre de cycles du second niveau qu'il faut appliquer au-delà des n21 cycles pour obtenir la

rupture du matériau ( 2r221 Nnn =+ ), on a :

1Nn

Nn

2r

2

2r

21 =+ (13)

Or *D

2r

2r

21*D

21

NNlog

Nnlog

Nnlog +=

⇔ *D

2r*D

21

2r

21

NNlog

Nnlog

Nnlog −= (14)

(12) ⇔ ( )( ) *

D

1

D1t

D2t*D

21

Nnlog

WWlogWWlog

Nnlog ∗

∗

∆∆∆∆

= (15)

De plus, d'après l'expression de la courbe de vie du matériau :

( ) 2r2t2r2t NlogklogWlogkNW α+=∆⇒=∆ α

( ) 1r1t1r1t NlogklogWlogkNW α+=∆⇒=∆ α

( ) *D

*D

*D

*D NlogklogWlogkNW α+=∆⇒=∆

α

D’où : ( )( ) *

D

1r*D1t

*D2t

*D

2r

NNlog

WWlogWWlog

NNlog

∆∆∆∆

=

Ainsi (14) ⇔ ( )( ) 1r

1*D1t

*D2t

2r

21

Nnlog

WWlogWWlog

Nnlog

∆∆∆∆

=

La loi du cumul du dommage à deux niveaux de contrainte s'écrit ainsi :

(13) ⇔ 1Nn

Nn

2r

2

*DW1tWlog*

DW2tWlog

1r

1 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆∆⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆∆

(16)

En remarquant que ( )( )

( )( )*

D1r

*D2r

*D1t

*D2t

NNlogNNlog

WwlogWWlog

=∆∆∆∆ , cette relation peut s'écrire :

(16) ⇔ 1Nn

Nn

2r

2

*DN1rNlog*

DN2rNlog

1r

1 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

(17)


35

2.1.2.2 – Détermination des paramètres

La mise en pratique de la loi d'endommagement proposée par Ellyin et al. suppose la

connaissance de la courbe de vie (obtenue à partir d'une courbe S-N classique) et d'une courbe

d'isodommage pour déterminer le point ( )*DD W,N ∆∗ .

La courbe d'isodommage est obtenue en effectuant des essais à deux niveaux de

contraintes, le second niveau correspondant à la limite de fatigue du matériau. Le dommage

apporté par les cycles du premier niveau est considéré comme "perceptible" lorsque 106 à 107

cycles du second niveau entraînent la rupture.

L'intersection de la courbe d'isodommage ainsi obtenue avec l'asymptote oblique de la

courbe de vie permet d'obtenir le point correspondant à la limite de fatigue réduite ( )*DD W,N ∆∗ .

Les paramètres k et α sont obtenus à l'aide d'un essai d'écrouissage cyclique.


a ) Avantages

• La loi de Ellyin et al. prend en compte l’histoire du chargement, mais seulement pour

des niveaux de contraintes supérieurs à celui de la limite d’endurance du matériau,

• La contrainte moyenne, ainsi que la nature de la sollicitation, peuvent être prises en

compte au travers de la limite d’endurance,

• La loi peut s'appliquer à des chargements par blocs de plusieurs types de sollicitations

à condition de vérifier que des cycles de contraintes de natures différentes et conduisant à une

durée de vie identique génèrent une densité d'énergie de déformation totale identique.

b ) Inconvénients

• La loi proposée considère que les chargements dont le niveau est inférieur à la limite

d'endurance du matériau ne sont pas endommageants,

• La détermination de la limite d'endurance réduite, de par sa procédure et la dispersion

habituelle des résultats d'essais de fatigue, ne semble pas aisée à mettre en œuvre.


36

2.2 – Les lois du modèle de propagation de fissure

2.2.1 – La loi bilinéaire d’endommagement de Grover


La proposition de loi d’endommagement faite par Grover en 1960 a eu pour origine entre

autres le fait que la loi de Miner traduisait mal la réalité du comportement réel en fatigue des

matériaux dans certains cas de chargement. Grover souligne également les limitations d’autres

formulations de loi de cumul, plus complexes, qui ont pour inconvénient l’absence de référence à

un mécanisme physique clairement identifié, ou un calage nécessitant beaucoup trop de données

expérimentales pour être appliquées concrètement, ou encore une méthodologie de calcul lourde

et fastidieuse.

Partant de là, Grover propose une méthode de calcul et de cumul du dommage basée sur

deux aspects de l’endommagement par fatigue : la phase d’amorçage d’une fissure

macroscopique, puis la phase de propagation jusqu’à la rupture. Chacune des deux phases

comprend un nombre de cycles propres notés respectivement NI et NII. La durée de vie du

matériau à la rupture s’exprime donc suivant : IIIr NNN += .

Le nombre de cycles à l’amorçage d’une fissure macroscopique (fin de la phase I) est

exprimé en fonction du nombre total de cycles à rupture suivant : rI NN α=

où α est un coefficient compris entre 0 et 1, et qui présente en général la particularité de

diminuer lorsque le niveau de contrainte augmente.

Les données matériau servant au calcul et au cumul du dommage sont donc constituées

en fait de deux courbes S-N, l’une à l’amorçage, l’autre à la rupture (figure 8).

Figure 8 : Courbes S-N servant au calcul du dommage, selon la loi de Grover

Courbe S-N à l’amorçage

N

Courbe S-N à la rupture

Nr

σ

σ

αNr

Courbe S-N à l’amorçage

N

Courbe S-N à la rupture

Nr

σ

σ

αNr


37

Dans son principe, la loi de Grover revient à appliquer la loi de Miner soit aux durées de

vie correspondant à l’amorçage d’une fissure macroscopique, soit aux durées de vie

correspondant à la phase de propagation. Le choix de l’une ou de l'autre des deux possibilités,

dans le cas d'un chargement à deux niveaux de contrainte par exemple, dépend du niveau

d'endommagement atteint après application des cycles du premier niveau.

1er cas : on applique n1 cycles au premier niveau, n1 ≤ NI1

On cherche le nombre n2 de cycles du second niveau à la rupture.

Figure 9 : Cumul du dommage dans la phase d'amorçage

En appliquant la loi de Miner aux durées de vie à l'amorçage, on a :

1N

XNn

2r2

2

1r1

1 =α

+α

(18)

avec ( ) ( )22r22r22r22 1NnNNnX α−−=α−−=

D'où (18) ⇔ ( ) 1N

1NnNn

2r2

22r2

1r1

1 =α

α−−+

α

1r

1

1

2

2r

2

1r

1

Nn11

Nn

Nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα

−+=+ (19)

2ème cas : n1 cycles du premier niveau sont appliqués, avec cette fois-ci n1 ≥ NI1

En appliquant la loi de Miner aux durées de vie en propagation, on a :

( ) ( ) 1N1

nN1Nn

2r2

2

1r1

1r11 =α−

+α−α−

NNr1

σ

σ1

α1Nr1 α2Nr2n1 Nr2

σ2

n2

x2

NNr1

σ

σ1

α1Nr1 α2Nr2n1 Nr2

σ2

n2

x2


38

⇔ 22r

2

1

2

1r

1r11 1Nn

11

NNn

α−=+α−α−α−

⇔ 21

2

1r

11

1

2

2r

2 111

Nn

11

Nn

α−+α−α−

−αα−α−

=

⇔ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−α−α

+−α−α−α

+=1

21

1r

1

1

21

2r

2

11

Nn

11

Nn

⇔ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

α−α−α

+=+1r

1

1

21

1r

1

2r

2

Nn1

11

Nn

Nn (20)

Figure 10 : Cumul du dommage dans la phase de propagation

En notant 1r11 Nnr = et 2r22 Nnr = les fractions de vie totale correspondant aux blocs

de cycles des deux niveaux, on a :

11

22 r1r

αα

−= (dans le premier cas) (21)

( )11

22 r1

11r −

α−α−

= (dans le second cas) (22)

Généralisation aux chargements à plusieurs niveaux.

Pour une éprouvette soumise à plusieurs blocs de ni cycles à chacun des niveaux i avant

amorçage, puis à plusieurs autres blocs de nj cycles à chacun des niveaux j durant la phase de

propagation jusqu'à la rupture, le cumul de dommage par fatigue se traduit, dans les phases

d'amorçage puis de propagation, par :

NNr1

σ

σ1

α1Nr1 α2Nr2n1 Nr2

σ2

n2

NNr1

σ

σ1

α1Nr1 α2Nr2n1 Nr2

σ2

n2


39

1N

ni rii

i =α∑

( ) 1N1

n

j rjj

j =α−∑

2.2.1.2 – Avantages et inconvénients.

a ) Avantage

• La loi de Grover est simple d'exploitation,

• Elle permet de prendre en compte l’effet de séquence : il suffit d'observer que les

sommes des fractions de vie données par les relations (21) et (22) diffèrent en permutant l'ordre

des deux niveaux 1 et 2 utilisés.

b ) Inconvénients

• La loi de Grover ne prend pas en compte l'influence en fatigue des cycles de

contraintes de niveau inférieur à celui de la limite d'endurance,

• La détermination du coefficient α, qui dépend du niveau de contrainte considéré, n'est

pas aisée à réaliser. La difficulté réside en fait dans le choix du critère de détection de

l'amorçage,

• La prise en compte de chargements complexes requiert la connaissance des deux

courbes S-N (amorçage et propagation) sous ces chargements, ce qui, sauf exception, n'est pas

envisageable dans le cas le plus général.

2.2.2 – La loi d’endommagement bilinéaire de Manson et al.


Le formalisme de la loi d'endommagement proposée par Manson et al. est basé sur la

prise en compte de deux phases dans le processus d'endommagement. La première est une phase

d'amorçage de fissure (phase I), la seconde une phase de propagation de fissure (phase II) [10].

Chacune des deux phases comprend sa propre fonction de dommage linéaire. En cela, la loi de

Manson conserve le concept de la loi de Grover, la distinction entre les deux phases se voulant

simplement plus rationnelle et plus clairement explicite.

L'objectif principal de la loi proposé est de corriger l'insuffisance de la loi de Miner vis à

vis de l'effet de l'ordre d'apparition des cycles (effet de séquence).

Les hypothèses retenues par Manson pour l'élaboration de la loi sont les suivantes :


40

Hyp.1 : La durée (∆N)ri de la période de propagation de fissure jusqu’à rupture s'exprime en

fonction de la durée de vie totale Nri (nombre total de cycles, pour la phase d'amorçage et de

propagation, sous le niveau σi de contrainte ou εi de déformation) selon :

si Nri > 730 cycles ( ) briri pNN =∆

si Nri < 730 cycles (∆N)ri = Nri (23)

où b et p, ainsi que le seuil de 730 cycles, sont des constantes de la loi propres au matériau. Les

valeurs expérimentales de ces constantes, pour les catégories d'acier utilisées par les auteurs, sont

: b = 0,6 et p = 14.

Hyp.2 : Le nombre de cycles à l’amorçage N0i est donc :

( )ririi0 NNN ∆−= (24)

Dans le cas d'une durée de vie totale très courte (et inférieure à 730 cycles), la phase

d'amorçage est négligée. L'apparition d'une fissure est supposée immédiate dès le premier cycle :

N0i ≈ 0. En particulier pour une séquence d'amplitude variable, la fissure est considérée comme

amorcée dès lors qu'un cycle pour lequel la durée de vie du matériau est inférieure à 730 cycles

est rencontrée.

Hyp.3 : Les expressions de la fonction de cumul de dommage de la loi bilinéaire de Manson

distinguent les phases d'amorçage et de propagation :

- Pour la phase I : ( ) 1NnD i0iI == ∑ à l'amorçage d'une fissure, dans le cas où

Nri > 730 cycles

- Pour la phase II: ( )( ) 1NnD riiII =∆= ∑ à la rupture

2.2.2.2 – Application de la loi de Manson à un chargement à deux niveaux de contraintes

La figure 11 illustre l’évolution des fractions de vie r1 et r2 à la rupture enregistrées pour

un chargement à deux niveaux de contraintes, le premier étant d'amplitude plus élevée que le

second (chargement " Haut-Bas ").

Le segment de droite AB correspond à un nombre de cycles au premier niveau inférieur à

celui correspondant à l'amorçage d'une fissure à ce niveau (ni < N0i). Le bloc de cycles du second

niveau comprend alors une partie qui permet d'atteindre l'amorçage puis d'effectuer la

propagation de la fissure jusqu'à rupture. Le segment de droite BC correspond au cas où le

nombre de cycles n1 du premier niveau est supérieur au nombre de cycles à l'amorçage de ce

niveau (ni > N0i). La fraction de vie du second niveau correspond donc uniquement à une phase

de propagation. Le point B intersection des deux parties linéaires du diagramme, est le point


41

particulier pour lequel le bloc de cycles du premier niveau a permis de réaliser l'amorçage de la

fissure uniquement et le second bloc (second niveau) celle de la propagation.

Sur la figure 11 est également décrite l'évolution bilinéaire du cumul de dommage dans le

cas d'un chargement Bas-Haut (traits pointillés). Il se situe au-dessus de la droite de Miner.

Figure 11 : Cumul du dommage selon la loi de Manson

Les expressions analytiques de la fraction de vie r2 sont les suivantes :

* pour Nr1 > 730 cycles :

si ( ) 2r0201

12011 NN

Nn1nNn ∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=<

si ( ) 2r2011 NnNn ∆==

si ( ) ( ) 2r1r

0112011 N

NNn1nNn ∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆−

−=>

* pour Nr1 < 730 cycles : ( ) 2r1r

12 N

Nn1n ∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=


a ) Avantages

• La loi de Manson est simple du point de vue de sa mise en application,

B

Loi de Manson (Chargement Bas-Haut)

Loi de Manson (Chargement Haut-Has)

Loi de Miner

r2

r1

1

1

C

A

0

2r

02

NN

( )1r

1r

NN∆

1r

01

NN

( )2r

2r

NN∆

B

Loi de Manson (Chargement Bas-Haut)

Loi de Manson (Chargement Haut-Has)

Loi de Miner

r2

r1

1

1

C

A

0

2r

02

NN

( )1r

1r

NN∆

1r

01

NN

( )2r

2r

NN∆

(Chargement Haut-Bas)


42

• Elle prend en compte l'effet de séquence, c'est à dire l’histoire du chargement,

• Elle peut s’appliquer à tout type de chargement a priori à condition de connaître les

courbes S-N caractéristiques du comportement en fatigue du matériau ( ) ( )riri NfN =∆ et

( )iri gN σ=

b ) Inconvénients

• L'effet en fatigue des cycles de contrainte d’amplitude inférieure à la limite d’endurance

n'est pas pris en compte,

• La détermination précise de la frontière entre l’amorçage et la propagation de fissure est

un peu le talon d'Achille de la caractérisation expérimentale nécessaire en fatigue. L'auteur

reconnaît par ailleurs que la distinction optimale à prendre en considération entre les deux phases

ne coïncide pas forcément avec l'amorçage effectif d'une fissure.

2.2.3 – La loi d’endommagement de Miller et al

2.2.3.1 – Présentation du modèle

La loi d’endommagement proposée par Miller est basée exclusivement sur la propagation

des fissures [15]. L’endommagement par fatigue s’exprime par l’accroissement de la longueur de

fissure. Trois types de régimes de propagation de fissure sont distingués, dont les deux premiers

concernent ce qu’il est convenu d’appeler les petites fissures.

- Le régime microstructural de propagation des petites fissures

L’hypothèse de l’auteur est qu’il y a toujours des défauts au sein du matériau qui peuvent

être assimilés à des petites fissures. La première phase de propagation de ces microfissures

dépend des barrières dominantes que représente la microstructure, barrières qui sont des

obstacles à la propagation des petites fissures. L’espacement d entre ces barrières les plus

importantes est un paramètre pris en compte dans la modélisation de la propagation de fissure

propre à ce régime :

( ) ( )adAdNda −γ∆= α (25)

où a est la longueur de la petite fissure,

∆γ est l’étendue du cisaillement appliqué,

A et α sont des constantes caractéristiques du matériau concerné.

La longueur des petites fissures concernées est de l’ordre de la distance d.


43

- Le régime de propagation physique des petites fissures

Cette phase de propagation (plus précisément la vitesse de propagation) dépend

davantage, selon Miller, du niveau de contrainte que de la longueur de fissure. La modélisation

de la propagation pour un second régime est régie par :

( ) CaBdNda −γ∆= β (26)

où B et β sont des constantes du matériau,

C représente le seuil de propagation.

La limite de cette seconde étape de la propagation est liée à la fois au niveau de

contrainte, à la longueur de fissure et au facteur d’intensité de contrainte seuil ∆Kseuil.

- Le régime de propagation d’une fissure macroscopique

Cette troisième étape est habituellement régie par la mécanique linéaire de la rupture (loi

de Paris).

L’approche proposée conduit notamment à considérer la limite de fatigue comme une

frontière entre la propagation continue et la non propagation des fissures de fatigue, étant

entendu (et observé expérimentalement) que des petites fissures sont fréquemment amorcées et

se développent au cours de la première phase de propagation mais restent bloquées ensuite grâce

aux barrières naturelles de la microstructure.

Les proportions relatives des durées de vie attachées aux trois régimes de propagation

sont très dépendantes des niveaux de contraintes appliquées.


a ) Avantages

• La loi de Miller, non linéaire, peut rendre compte des effets de séquence,

• Elle s’applique et prend en compte les cycles de contrainte dont les niveaux sont inférieurs

à la limite de fatigue du matériau.

b ) Inconvénients

Le calage des modèles de propagation de fissure proposés ne semble pas aisé a priori, car les

résultats d’essais dépendent de la microstructure qui n’a pas un caractère déterministe en général

et suppose des moyens d’observation poussés pour distinguer les différentes phases considérées.


44

2.3 – Les lois du modèle de variation de la limite d’endurance

2.3.1 – La loi de Henry


A la différence des autres lois d’endommagement en fatigue, la loi de Henry lie

l’évolution du dommage du matériau à la variation de sa limite d’endurance : le dommage par

fatigue est ainsi directement relié à une caractéristique de fatigue du matériau [17].

Les principales hypothèses de Henry sont les suivantes :

Hyp.1 : la courbe de Wöhler d’un matériau pour un type sollicitation peut être représentée, dans

le domaine des contraintes d’amplitude σ supérieure à la limite d’endurance σD, par une

équation empirique : D

rKNσ−σ

= . Si le matériau est vierge, elle est donnée par :

0D

0r

KN

σ−σ= , avec la condition de Weibull [18] : 0D0D 5,1 σ<σ<σ

où σD est la limite d’endurance du matériau après n cycles de sollicitation,

σD0 est la limite d’endurance du matériau vierge,

K et K0 sont des coefficients empiriques dépendant du matériau mais aussi de l’état de surface et

de la géométrie de l’éprouvette.

Hyp.2 : la limite d’endurance σD est proportionnelle à la constante K. De plus, elle évolue avec

l’état d’endommagement du matériau.

Hyp.3 : le point critique de la pièce où se produit un endommagement peut être considéré comme

une entaille de coefficient de concentration de contrainte Kt ; l’équation empirique de Henry

devient : ( ) D0Dt

0r

KK

KNσ−σ

=σ−σ

= .

D’après l’auteur, le coefficient de concentration de contrainte Kt est défini par :

D

0D0t K

KKσσ

== .

La fonction du dommage peut être exprimée comme la variation de la limite d’endurance

du matériau par : 0D

D0DDσ

σ−σ= (27)

L’expression de la limite d’endurance instantanée, proposée par Henry, est :

( )

( )

( )rr1

r1

r1

0D

0DD −γ

−σ=

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ−σ−σ

=σ (28)


45

où rNnr = est la fraction de vie sous le niveau de contrainte σ,

0Dσσ=γ est le facteur de surcharge sous le niveau σ.

En insérant l’équation (28) dans la relation (27), l’expression du dommage créé par ni

cycles de niveau σi s’écrit :

( )ii

iii r

1rD−γ−γ

= (29)

A la rupture de l’éprouvette le dommage total vaut l’unité. Dans le cas d'un chargement à

plusieurs blocs successifs, Henry applique la méthode des cycles équivalents. Ainsi, pour un

chargement à deux niveaux de contrainte σ1 et σ2, où on applique d’abord n1 cycles puis n2

cycles, la fraction de vie équivalente r12 sous le second niveau a pour expression :

1DDr

21

2112 −γ+

γ= (30)

où ( )

11

111 r

1rD−γ

−γ= est le dommage sous le premier niveau.

La fraction de vie résiduelle r2 au second niveau de la sollicitation avant la rupture

est donnée par : ( )( )

( ) ( )12121

121

21

212 r1

r111D

D1rγ−γ−−γγ

−−γγ=

−γ+γ

−= (31)

Cette méthode des cycles équivalents s’applique aussi aux cas de chargement à p blocs de

sollicitations. Mais l’auteur suggère d’utiliser un calcul par récurrence pour le dommage total Dp.

L’expression obtenue est :

( ) ( )

( )( ) ( )p1pppp1p

pp1pp1pppp 1Dr1D

1DDrD

γ+−γ+−γ+

γ+γ⋅+γ+γ=

−−

−− (32)

avec ( ) 0D0Dpp σσ−σ=γ .


a ) Avantages

• La loi de Henry exprime le caractère non linéaire de l’évolution du dommage du matériau,

• L’application de cette loi est simple car il n’y a pas de paramètre particulier à déterminer,

• Cette loi prend en compte la nature de la sollicitation par l’intermédiaire de la limite

d’endurance du matériau vierge et est valable pour des chargements par blocs avec des niveaux

de sollicitions différents. Ces chargements peuvent être symétriques ou dissymétriques.

• Sur le plan physique de l’endommagement par fatigue, la loi de Henry est plus réaliste car

elle considère comme variable la limite d’endurance qui est une grandeur mesurable.


46

b ) Inconvénients

La loi de Henry ne s’applique pas aux chargements comportant des contraintes de niveau

inférieur à celui de la limite d’endurance du matériau.

2.3.2 – La loi de Gatts


Gatts propose en 1961 une fonction de dommage en fatigue basée sur la variation de la

limite de fatigue d’un matériau soumis à des chargements d’amplitude constante. Les principales

hypothèses de son formalisme sont :

Hyp. 1 : L’endommagement d’un matériau entraîne la diminution de sa résistance en traction

monotone ainsi que de sa limite d’endurance. Cette hypothèse a été utilisée dans certaines

références [17, 19, 24, 25]. L’endommagement est ainsi lié à la variation de la résistance

maximale en traction monotone Rm par une relation de type :

( )RkDdn

dR mn −= (33)

où R est une variable homogène à une contrainte,

k est une constante de proportionnalité dépendant du matériau,

Rmn est la valeur instantanée de la résistance qui décroît et passe de Rm0 à RmNr.

Hyp. 2 : Quel que soit le nombre n de cycles appliqués, la limite d’endurance instantanée σD est

proportionnelle à la résistance Rmn :

mnD CR=σ (34)

C est une constante empirique. Les conditions aux limites sont :

si n = 0 ⇒ Rmn = Rm0 = Ru

si n = Nr ⇒ Rmn = RmNr = σ

où Ru est la résistance maximale à la traction monotone,

σ est l’amplitude de la contrainte appliquée (limite de fatigue).

Hyp. 3 : Pour tenir compte des contraintes de niveau inférieur à la limite d’endurance, Gatts

donne à la variable du dommage l’expression suivante : ( ) pDRRD σ−= ,

où l’exposant p est une constante du matériau ; elle est égale à l’unité d’après l’auteur [20],

si R - σD ≤ 0 ⇒ ⟨R - σD⟩ = 0, si R - σD > 0 ⇒ ⟨R - σD⟩ = R - σD.


47

D’après l’auteur, la relation mnD CR=σ permet de passer outre cette notation.

Hyp.4 : Gatts suppose qu’en traction alternée symétrique, la déformation plastique se produit dès

le premier cycle appliqué, et qu’elle peut atteindre une valeur supposée critique pour créer un

dommage. La partie 0A de la courbe (figure 12) représente une déformation élastique par

analogie avec la déformation élastique monotone. La partie AB, également élastique mais avec

un module différent de celui de OA, correspond aux sollicitations d’amplitude supérieure à la

limite d’endurance.

Figure 12 : Courbe contrainte-déformation ; l'aire de la zone hachurée

est supposée être une mesure possible du dommage en fatigue [20].

Hyp. 5 : Dans la zone située sous le segment AB, il existe de petites déformations plastiques,

assez critiques pour engendrer la ruine du matériau. Ce dommage est supposé proportionnel à

l’énergie correspondant à l’aire hachurée :

( ) ( )∫∫σ

σ

ε

εσ−−=εσ−−=

D DD Dmn dRRKdRk

dndR (35)

K est un nouveau coefficient de proportionnalité.

Hyp.6 : Gatts suppose que la limite d’endurance σD et le coefficient K restent constants durant le

nème cycle, l’intégration de l’équation (35) donnant :

( )2D

mn Kdn

dRσ−σ⋅′−= (36):

D’après la seconde hypothèse, on a :

( )2mn

mn CRKdn

dR−σ⋅′−= et

dndRC

dnd mnD =

σ

D'où : ( )2D

D CKdn

dσ−σ⋅′−=

σ (37)

avec K' = K/2

ε

σ D

εnεD

σ n σ

0 E

A

B

ε

σ D

εnεD

σ n σ

0 E

A

B


48

Les conditions aux limites sont :

si n = 0 σD = σD0

si n = Nr σD = Cσ = σD0 /Ru.σ

L’intégration de l’équation (37), d’après l’auteur, donne :

Dn0D

11nσ−σ

−σ−σ

=ρ (38)

ρ est une nouvelle constante. En utilisant les dernières conditions aux limites, (38)

devient :

( )C111N

0Dr −σ

−σ−σ

=ρ (39)

En éliminant ρ dans les équations (38) et (39), et en posant rNnr = , 0Dσσ=γ ,

0DDnD σσ=γ , Gatts obtient l’équation suivante de la courbe de Wöhler :

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−γγ

+−

−γ=γ r11C1

r11D (40)

Remarque : u0D RC σ= , d’après les conditions aux limites ci-dessus.

Dans le cas d’un chargement à un seul niveau de contrainte, l’expression de la fraction de

vie résiduelle rres s’obtient à partir des équations (38) et (39).

Pour les chargements à plusieurs blocs successifs d’amplitudes différentes, Gatts

proposent d’utiliser comme dans les lois précédentes la fraction de vie équivalente. La fraction

de vie restante rires au début de chaque bloc de niveau σi est donnée par :

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−γ

γ−

−γ−γ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−γγ−γγ

−γ−=−= −−

1C11

11r1r

i

i1Dii

i

1Diiiiieqires (41)

avec ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−γ−γ

+−

−γ=γ−

−−−−− 1

r1C1

r111i

1i1i1i1i1Di

2.3.2.2 – Application de la loi de Gatts à un chargement à deux niveaux de contraintes

Supposons que le chargement comporte deux blocs successifs de sollicitations

d’amplitudes constantes mais différentes. Le principe des cycles équivalents permet d’écrire :


49

( ) ( )2D

122

2122

11

1111D

r11C1

r11

r11C1

r11 γ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−γ

γ+

−

−γ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−γ

γ+

−

−γ=γ

où r12 est la fraction de vie au second niveau équivalente à r1. Son expression est :

( )( )( )( )1C

1C1r

1D2

1D212 −γγ−γ

−γ−γ=

La fraction de vie r2 au moment de la rupture totale du matériau sous le second niveau de

contrainte σ2 après n1 cycles appliqués sous σ1 vaut :

( )( )( )( )1C

1C11r1D2

1D22 −γγ−γ

−γ−γ−= (42)


a ) Avantages

La loi de Gatts tient compte de la nature de la sollicitation et de l'effet de la contrainte moyenne

grâce à la limite d’endurance du matériau.

Elle prend en compte les effets de séquence.

b ) Inconvénients

Cette loi ne s’applique pas aux chargements de niveau inférieur ou égal à la limite

d’endurance : les effets sur les durées de vie des cycles de faible amplitude sont donc ignorés.

2.3.3. – La loi de Bui Quoc et al


Bui Quoc et al. ont proposé une loi d’endommagement dont les hypothèses sont les

suivantes :

Hyp. 1 : L’endommagement d’un matériau conduit à un abaissement de sa limite d’endurance et

de sa résistance statique [17, 20].

Hyp. 2 : L'évolution du dommage est intimement liée au niveau de contrainte appliquée.

Hyp. 3 : L’endommagement évolue continûment dans le même sens que celui de la croissance

des fissures de fatigue macroscopiques [26].


50

Hyp. 4 : Bui Quoc et al. reprennent l’hypothèse de Gatts [20], selon laquelle, pour des

contraintes au-dessus de la limite d’endurance l’endommagement par fatigue est une fonction

puissance de la forme :

( )muID γγ=γ (43)

avec 0DDD σσ=γ , 0Duu R σ=γ et 0DII σσ=γ

où σD0 est la limite d’endurance du matériau vierge,

σD est la limite d’endurance instantanée du matériau (après n cycles),

σI est la valeur instantanée de la résistance en traction monotone du matériau,

Ru est la résistance maximale du matériau en traction monotone,

M est une constante empirique supérieure à l’unité.

Hyp .5 : Pour des contraintes maximales supérieures à la limite d’endurance, le taux de variation

de la limite d’endurance peut être lié aux paramètres de chargement par la relation suivante :

( )2Dmax

max

minmaxbmax

n

D

K1

dd

γ−γ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ

γ−γγ−=

γ (44)

où γmax = σmax/ σD0 et γmin = σmin/ σD0

σmax est la contrainte maximale et σmin la contrainte minimale.

K et b sont des constantes du matériau, et n le nombre de cycles appliqués.

γD est la limite d’endurance adimensionnelle du matériau après n cycles de sollicitation,

et γD0 celle du matériau vierge.

Les conditions aux limites données par les auteurs sont :

si n = 0 ⇒ 10DD =γ=γ

si n = Nr ⇒ ( )mumaxDC γγ=γ (45)

avec 0Duu R σ=γ

où Nr est le nombre de cycles à rupture, et m la constante dépendant du matériau. D’après les

auteurs, m est supérieure à 6 pour les aciers.

En fatigue sous contrainte contrôlée (grand nombre de cycles) les auteurs proposent la

solution suivante à l’équation (44) :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡γ−γ

−−γ−γ−

=0Dmaxmaxmax

11

11

1R1

Kn (46)

avec R = σmin /σmax (rapport des contraintes).


51

En intégrant les conditions aux limites (45) dans l’équation (46) on obtient l'équation de

la courbe de fatigue sous contrainte cyclique maximale :

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

γγ−γ−

−γγ−= m

umaxmaxmaxbmax

r1

111

R1KN (47)

Dans le cas de sollicitations alternées symétriques (R = -1), elle vaut :

( ) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

γγ−γ−

−γγ= m*

umaxmaxmax*b

max

r1

111

2KN avec

e

u*u

σ

σ=γ (48)

où eσ : limite d’élasticité du matériau,

b* : coefficient du matériau pour une sollicitation alternée symétrique.

D’après les auteurs, les coefficients b et b* sont liés par la relation : 21

*u

u

u

*u

* 11

bb

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

γ

γ−γ−γ

= .

La relation de Bui Quoc qui lie la limite d’endurance γD à la fraction de vie r, pour un

niveau de contrainte γmax donné, est :

( ) ( ) ( )[ ]mumaxmaxmax

maxDr1r1

1

γγ−γ+−γ−−γ=γ (49)

Remarque : Bui Quoc a adapté ce modèle au calcul de la contrainte résiduelle statique de

traction. Il suppose que si un essai de fatigue est arrêté et qu’un essai statique s’en suit,

l’éprouvette aura une contrainte résiduelle σresid de traction égale à la contrainte statique σs

d’expression : 0Dssresid σγ=σ=σ . Exprimée en fonction des paramètres précédents, cette

contrainte a la forme :

( ) ( ) ( )[ ]

m1

mumaxmaxmax

maxmrésidr1r11R

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

γγ−γ+−γ−−γ=σ

La fonction d’endommagement D proposée par l'auteur est :

Dc

D

11D

γ−γ−

= (50)

En tenant compte de (43) et (49) dans (50), il obtient :

( )

( ) ( ) ( )( )mumaxmaxmax

max

r11r

1rD

γγ−γ−+−γ

−γ= (51)

Pour un chargement à deux niveaux de contrainte définis par ( )1umax11 ,,r γγ et

( )2umax22 ,,r γγ au cours duquel n1 cycles sont appliqués au niveau σ1, suivis de la sollicitation


52

au second niveau jusqu'à rupture, l’expression de la fraction de vie r12 sous le second niveau qui

causerait le même dommage que celui de la fraction r1 du premier niveau est :

( )( )( )( )m

umax21max2

mumax2max21

121D

Dr

γγ−+γ

γγ−γ=

La fraction de vie r2 restant au second niveau peut être alors établie par :

122 r1r −= (52)


a ) Avantages

• L’évolution du dommage décrite par cette loi est non linéaire,

• La loi peut s’appliquer aux chargements composés d’un seul type de sollicitations simples

ou composées.

• Les effets de la contrainte moyenne sont pris en compte par l’intermédiaire de la limite

d’endurance du matériau,

• La nature de la sollicitation est aussi prise en compte grâce à la limite d’endurance.

b ) Inconvénients

Cette loi n’est pas applicable aux chargements avec des contraintes de niveau inférieur à

celui de la limite d’endurance. Par conséquent, l’histoire du chargement n’est que partiellement

prise en compte.

2.4 – Les lois du modèle de courbe d’endommagement

2.4.1 – La loi de Freudenthal-Heller


A partir d'essais de simulation des conditions réelles d’utilisation des pièces sous un

chargement à plusieurs niveaux de contrainte, Freudenthal et Heller ont développé une théorie

qui permet de prendre en compte les effets d’interactions entre les blocs de sollicitations [14]. Ils

considèrent, pour cela, les hypothèses suivantes :

Hyp.1 : les imperfections de la loi de Miner proviennent de la sommation linéaire de dommages

et de l’hypothèse de l'indépendance de la courbe dommage-fraction de vie du niveau de la

sollicitation.

Hyp.2 : ils supposent qu’il existe un point de coordonnées ( )*max

* ,N σ où convergent la courbe S-

N du matériau vierge et sa courbe S-N théorique (figure 13). Ce point, indépendant du


53

chargement considéré, est choisi de telle sorte que son abscisse N* soit comprise entre 103 et 104

cycles.

La durée de vie 'riN (sur la courbe S-N théorique) correspondant à la contrainte σimax est donnée

par : δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ

=maxi

*max

*

'ri

NN (53)

La durée de vie Nr (sur la courbe S-N expérimentale) pour la même contrainte est donnée

par :

β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ

=maxi

*max

*ri

NN (54)

où β et δ sont des constantes du matériau et sont déterminées expérimentalement.

Figure 13 : Représentation des courbes S-N théorique et expérimentale [14].

Pour un chargement à p niveaux de contrainte, le nombre total de cycles appliqués

occasionnant la rupture du matériau peut être calculé à l’aide des relations suivantes :

- Pour la courbe S-N expérimentale :

∑= α

=p

1i i

rir

NN (55)

- Pour la courbe S-N théorique :

∑= α

=p

1i i

'ri'

rNN (56)

où αi est la proportion du nombre de cycles à rupture sous le niveau σi. Le rapport terme à terme des équations (55) et (56) donne :

NririN ′N *

σ imax

∗ σ max

σ

logN

Courbe S -N théorique

Courbe S -N expérimentale

AtanαAtanβ

NririN ′N *

σ imax

∗ σ max

σ

logN

Courbe S -N théorique

Courbe S -N expérimentale

AtanαAtanβ


54

( ) ( )∑∑==

αα=p

1iiri

p

1ii

'ri

r

'r NN

NN

(57)

En tenant compte des équations (53) et (54) dans l’équation (57), on peut établir la relation

suivante qui lie les deux durées de vie :

( ) ( )∑∑=

β

=

δ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ σσα⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ σσα=

p

1i

*maxmaxii

p

1i

*max

'maxiir

'ri NN (58)

2.4.1.2 – Détermination des paramètres

La courbe S-N réelle (ou expérimentale) permet de déterminer la valeur de la constante β

à partir de l'équation (54). D’après les auteurs, des essais de fatigue sous chargement particulier à

plusieurs niveaux de contrainte fournissent la valeur de Nr. La valeur de 'rN est calculée à l’aide

de la loi de Miner. Par suite, la formule (58) permet de calculer la valeur de la pente δ de la

courbe modifiée.


a ) Avantages

• La loi de Freudenthal et Heuler donne une expression simple de la courbe S-N,

• Cette loi prend en compte l'histoire du chargement.

b ) Inconvénients

• Le point de référence ( )*max

*,N σ ne peut être déterminé avec une grande précision sur une

courbe S-N, ce qui rend les résultats assez approximatifs,

• Le calcul de durée de vie nécessite des essais d’endurance à plusieurs niveaux de

contrainte, ce qui complique la tâche des utilisateurs de cette loi,

• L'effet des cycles de petite amplitude n'est pas pris en compte,

• La loi ne s’applique pas à tout type de chargement.


55

2.4.2 – Loi de Subramanyan


Les hypothèses utilisées par Subramanyan sont [28] :

Hyp. 1 : toutes les lignes d’isodommage convergent vers la limite d’endurance du matériau

(figure 14). La courbe S-N du matériau vierge (ou courbe de durée de vie) délimite le domaine

de fatigue utilisable.

Figure 14 : Position d’une courbe d’isodommage

par rapport à la courbe S-N expérimentale (d'après [28])

Hyp. 2 : pour des contraintes de niveau σi (σi > σD0), le dommage élémentaire Di peut être

mesuré à l’aide de la pente de la ligne d’isodommage considérée et de celle de la courbe de durée

de vie :

( )iD

riD

riD

0Di

iD

0DiDiiii nlogNlog

NlogNlogNlogNlognlogNlog

tgtgn,D−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−σ−σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−σ−σ

=θθ=σ (59)

où ni est le nombre de cycles appliqués sous le niveau de contrainte σi,

Nri est le nombre de cycles à rupture pour ce niveau de contrainte.

Cette hypothèse suppose que la limite d'endurance reste constante à tous les stades de

l'endommagement. C’est un postulat qui permet d'obtenir une expression mathématique

linéarisée du dommage au point anguleux de la courbe S-N, de coordonnées (ND, σD0).

Pour un chargement comprenant deux niveaux de contrainte σ1 et σ2, Subramanyan

utilise la méthode des cycles équivalents décrite précédemment, en posant :

σi

ni

σD0

θi

θD

σ

Nri ND logN

Courbe S-N expérimentale

Ligne d’isodommage

σi

ni

σD0

θi

θD

σ

Nri ND logN

Courbe S-N expérimentale

Ligne d’isodommage


56

12D

2rD

1D

1rD1 nlogNlog

NlogNlognlogNlogNlogNlogD

−−

=−

−= (60)

où Nr1 et Nr2 sont les nombres de cycles à rupture aux niveaux σ1 et σ2 respectivement,

n12 est le nombre de cycles qu’il faut appliquer au second niveau pour obtenir le même

dommage qu’avec n1 cycles du premier niveau.

L'équation (60) peut se mettre sous la forme :

( ) ( )( ) ( )1D1rD

12D2rD

1D

12D

1rD

2rD

nlogNlogNlogNlognlogNlogNlogNlog

nlogNlognlogNlog

NlogNlogNlogNlog

−−−−−−

=−−

=−−

Ainsi ( )( )1r1

2r12

1r1

2r12

1rD

2rD

NnlogNnlog

NlognlogNlognlog

NlogNlogNlogNlog

=−−

=−−

soit ( )( )1r1

2r12

1rD

2rD

NnlogNnlog

NlogNlogNlogNlog

=α=−− (61)

En posant r1 = n1/Nr1 et r2 = n2/Nr2 et sachant que n12 = Nr2 - n2, l’expression de la fraction

de vie résiduelle sous le second niveau σ2, déduite de l’équation (61) est : α−= 12 r1r (62)

Pour les cas de chargement comportant plus de deux niveaux de contrainte, et en utilisant

le même principe de cycle équivalent, la fraction de vie résiduelle au ième niveau a l'expression

suivante :

1i2i21

1rrrr1r 22i1ii

−−

αααα−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⋅⋅⋅++−= (63)

où ( )( ) ( )DrkD1krk NNlogNNlog ++=α

1i,,2,1k −⋅⋅⋅=


a ) Avantages

• La loi de Subramanyan est simple d’application et ne nécessite que la courbe de Wöhler

comme données matériau,

• Elle prend en compte les effets de séquence du chargement,

• Elle tient compte de la nature de la sollicitation ainsi que des effets de la contrainte

moyenne à travers la limite d’endurance du matériau.


57

b ) Inconvénients

Cette approche n'est pas valable pour des niveaux de contraintes proches de la limite

d'endurance du matériau, pour les deux raisons suivantes :

• Le point anguleux est un point singulier pour toutes les lignes d’isodommage qui passent

par ce point,

• La courbe S-N expérimentale n'est pas linéaire au voisinage de la limite de fatigue.

• La loi ne prend pas en compte l'effet des cycles d’amplitude inférieure à la limite

d’endurance.

2.5 – La loi d’endommagement continu de Lemaitre et Chaboche

2.5.1 – Description de la loi

A l’origine, les théories de l’endommagement continu ont été élaborées par Rabotnov

[32] et Kachanov [33] pour expliquer le processus de détérioration continue du matériau soumis

à un essai de fluage. Le succès de cette modélisation de l’endommagement par fluage a suscité

son extension à l’endommagement par fatigue.

Chaboche [29] a proposé en 1974 le premier modèle. Depuis lors, de nombreuses

tentatives d’amélioration ont été développées. Nous ne nous intéressons qu’aux derniers

développements [30, 31].

Les hypothèses fondamentales de cette loi sont :

Hyp. 1 : les sollicitations sont supposées périodiques.

Hyp. 2 : pour des essais de fatigue à amplitude de contrainte constante dans le domaine des

faibles nombres de cycles à rupture (moins de 104 cycles) il existe une loi cyclique liant les

paramètres mécaniques au cycle stabilisé de la forme ( )σ∆=ε∆ fp . Cette relation est applicable

quand la fréquence de la sollicitation est suffisamment élevée pour éliminer les effets de

viscosité.

Hyp. 3 : la loi cyclique reste valable durant tout l’essai, à condition de remplacer l’amplitude de

la contrainte nominale par une amplitude effective D1eff −

σ∆=σ∆ .

Hyp. 4 : les paramètres de chargement dont dépend l’état d’endommagement du matériau sont la

contrainte maximale σmax et la contrainte moyenne σm de chaque cycle. D’autres paramètres tels

que la fréquence de la sollicitation, la température et un paramètre décrivant l’histoire du


58

chargement sont supposés constants et connus. Ces derniers définissent les conditions initiales et

finales du problème.

Hyp.5 : l’amorçage et la propagation des microfissures se manifestent par une évolution continue

du dommage, traduite par l'équation différentielle de la variable de dommage D qui vaut zéro à

l'état initial (matériau vierge) et 1 à la rupture (quand une fissure macroscopique est amorcée) :

( )( ) dn

MDdD

m

mmax, mmax

βσσα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ−σ= (64)

où β est un coefficient positif,

α est une fonction définie par : ( )

maxu

mDmax

Ra1

σ−σσ−σ

−=α . La notation ⟨X⟩ signifie :

0Xsi0X ≤= et 0XsiXX >= (finalement 10 ≤α≤ )

σD est la limite d’endurance courante du matériau,

M est un coefficient dépendant de la contrainte moyenne ( ) ( )m0m b1MM σ−=σ ,

avec ( )[ ] β+β= 10 1aBM ,

a, et B sont des constantes du matériau dépendant de la température,

b est un coefficient matériau qu’on peut déterminer à partir de la pente du diagramme de

Haigh en traction, modélisé par : ( )m0DmD b1 σ−σ+σ=σ (ou b = 1/Ru d’après [31]),

L’intégration de l’équation (64), pour σmax et σm constantes, donne l'expression suivante

de la durée de vie en fatigue : ( )

β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ−σα−

=m

mmaxr M1

1N (65)

Dans le cas d'une sollicitation à deux niveaux de contrainte, la fraction de vie au second

niveau est donnée par : p

1r

1

2r

2

Nn1

Nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (66)

avec ( )( )1m1max

2m2max

1

2

,1,1

11p

σσα−σσα−

=α−α−

=

Afin de prendre en compte les interactions des différents types d'endommagement, les

auteurs ont remplacé la variable D par la fonction ( ) 1D11 +β−− dans l’équation (54) et

obtiennent [34]:

( )[ ] ( )

( )( ) dnD1M

D11dDm

mmax,1 mmax

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−σσ−σ

−−=σσα+β (67)

L'expression de la durée de vie en fatigue à la rupture devient :


59

( ) ( )( ) ( )

β−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ−σσσα−+β

=m

mmax

mmaxr M,11

1N (68)

Finalement, l'évaluation du dommage est établie par :

1

1

11

rNn11D

+βα−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= (69)

Pour des essais à deux niveaux de contraintes, la fraction de vie r2 restant au second

niveau peut être calculée en tenant compte des situations suivantes :

1er cas : D2 σ>σ (α < 1) :

η

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1r

1

2r

2

Nn1

Nn (70)

avec ( )( )

β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−σ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ−σσσ−σ

=α−α−

=η2

1

2r

1r

max2u

max1u

1mDmax1

2mDmax2

1

2

NN

RR

11

où σ1 et σ2 sont les amplitudes des cycles de contrainte aux niveaux correspondants.

2e cas : D2 σ≤σ (α = 1) :

Ce cas de situation inclut les sollicitations de niveau inférieur à la limite de fatigue.

L'équation (64), en terme de contrainte sous le second niveau, s’écrit :

( )( ) ( ) dn

MdD

D11D1

2m

2m2max1

β

+β

β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ−σ

=−−

− (71)

Le nombre n2 de cycles résiduels est issu de l'intégration de l'équation (71) ; il a pour

expression :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−σσ−σ

−=β

1r

1

2m2max

1m1max2r2 N

nlnNn (72)

2.5.2 – Généralisation à plusieurs niveaux de contrainte

Pour une succession de blocs de sollicitations de niveau σi, de durée ni et de nombre de

cycles à rupture Nri, les auteurs proposent de distinguer deux cas.

1er cas : pour les cycles d’amplitude supérieure à la limite d’endurance, la relation établie est :

( )[ ] ( )[ ]ri

i1i111i

i11i N

nD11D11 +−−=−− −α−+β−

α−+β (73)


60

Si avec ni cycles le second membre de cette relation est supérieur à 1, la rupture a lieu au

cours du bloc i. Le nombre de cycles à rupture est alors :

[ ][ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−++++=

α−+β−−

i111iri1i21r D111Nn...nnN (74)

2e cas : pour les cycles d’amplitude inférieure à la limite d’endurance, les auteurs obtiennent :

( ) ( )[ ] ( ) ( )

β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

σ−σ+β

+β−

+β −−=−− mi

miimaxM

11

1i1

i expD11D11 (75)

2.5.3 – Extension aux cas de sollicitations multiaxiales

La généralisation de la loi de Lemaitre et Chaboche consiste à utiliser simultanément :

• L’anisotropie de la loi d’endommagement qu’on peut exprimer par l’intermédiaire d’un

critère de fatigue, par exemple le critère de Sines :

( ) ( )( )02tt

II ttJMaxMax21A

0σ−σ= (76)

avec ( ) ( )mHlmH*IIII b31AA σ−σ=σ≤

• Un critère tridimensionnel de limite d'élasticité, par exemple celui de Von Mises dans le

domaine d’endurance illimitée :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21232

231

2212eq 2

1J σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ=σ (77)

La loi unidimensionnelle qui permet de décrire l’évolution de l’endommagement en

traction et les effets de cumul non linéaire par l’intermédiaire de la fonction α :

( ) ( )maxequ

mH*IIII

maxeqmHII RAAa1,,A

σ−σ−

−=σσα et ( ) ( )mH0lmH b31M σ−σ=σ

• L’amplitude de la contrainte effective tridimensionnelle peut être exprimée sous la forme

de : ( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ−σ=≅≅

02t0tII ttJMaxMax21A~

Ainsi la loi différentielle du dommage pour les cas de sollicitations multiaxiales devient :

( )[ ] ( )( ) dn

MA~

D11dDmH

II,,A1 maxeqmHII

βσσα+β

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

σ−−= (78)


61

2.5.4 – Détermination des constantes β et β−0aM

L’équation de la courbe S-N du matériau, dans le cas d’une traction alternée symétrique

(σD = σ-1), peut être mise sous la forme :

β−

β− σ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−σ

σ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+β

=imax1imax

imaxu

0ri

1RaM

11

1N (79)

On en déduit une expression logarithmique suivante :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+β+σβ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

σ−σβ−

−

0imax

imaxu

1imaxri aM1

1lnLnR

Nln (80)

Dans le repère ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

σ−σ −imax

imaxu

1imaxri ln,

RNln cette équation peut être mise sous la

forme : ii yCAx =+ .

2.5.5 – Avantages et inconvénients

a ) Avantages

• La loi de Lemaitre et Chaboche prend en compte l’histoire du chargement,

• Elle prend en compte également l’effet de la contrainte moyenne pour tout rapport de

contrainte,

• Elle décrit la non linéarité du cumul de dommage,

• Dès que le dommage initié, l’effet des cycles d’amplitude inférieure à la limite

d’endurance est pris en compte,

• La loi est applicable aux sollicitations multiaxiales et aux chargements constitués de

sollicitations successives de natures différentes.

b ) Inconvénient

La loi de Lemaitre et Chaboche comporte un certain nombre de paramètres à déterminer.

Cependant on n'a pas besoin de connaître tous ces paramètres pour son application.

3 – SYNTHESE

L’étude que nous venons de faire des lois d’endommagement en fatigue de la

bibliographie nous a permis de mesurer l'applicabilité de ces lois pour prévoir la durée de vie en


62

fatigue d’un matériau. Chaque loi nécessite en général deux sources d’information : la

connaissance des paramètres constants et la connaissance des limites d’application de la loi.

3. 1 – Paramètres constants des lois

Ces paramètres regroupent les caractéristiques mécaniques aussi bien monotones que

cycliques et les constantes propres à chaque loi. Nous les avons rassemblés dans le tableau 1.

Loi Caractéristiques monotonesCaractéristiques de

fatigue

Paramètres particuliers

nécessaires à

l’application de la loi

Miner [1] Courbe S-N

Ellyin et al.

[2, 3, 4] Courbe S-N

Limite d’endurance

apparente : N*

Grover [9] Courbe S-N Proportion de cycles à

rupture appliqués : α

Manson et al.

[10] Courbe S-N Constantes : p et b

Miller et al

[15, 16] Courbe S-N

Longueur initiale,

critique et à l'amorçage

de fissure : L0, Lr, LI

Henry [17] Courbe S-N

Limite d’endurance σD0

Gatts [20] Courbe S-N


Bui-Quoc et al.

[22]

Résistance maximale en

traction (Rm)

Courbe S-N

Limite d’endurance σD0 constante : m

Freudenthal-

Heller [14] Courbe S-N

Subramanyan

[28]

Courbe S-N


Lemaître et

Chaboche [30]

Résistance maximale en

traction (Rm)

Courbe S-N

Limite d’endurance σD0 Constantes : α, β β−

0aM

Tableau 1 : Récapitulatif des paramètres nécessaires à l’utilisation des lois d'endommagement

pour la prévision des durées de vie en fatigue.


63

3. 2 – Domaine d’application des lois

Il faut remarquer que chaque loi d'endommagement ne peut être utilisée en fait que dans

les configurations pour lesquelles elle a été élaborée. Nous avons constaté au cours de cette étude

que les bases physiques diffèrent d’une loi à une autre. Aussi, la plupart de ces lois ne sont pas

applicables à tout type de chargement. Les configurations des chargements pour lesquelles ces

lois sont a priori applicables sont cochées dans le tableau 2.

1 seul type de

sollicitat. simple

1 seul type de

sollicitat.

composée

Mixité de

plusieurs

sollicitat.

LOIS

Evo

lutio

n N

on li

néai

re d

u do

mm

age

His

toir

e du

cha

rgem

ent

Con

trai

nte

moy

enne

Tous

les

bloc

s i,

Cer

tain

s

bloc

s i,

Tous

les

bloc

s i,

Cer

tain

s

bloc

s i,

Tous

les

bloc

s i,

Cer

tain

s

bloc

s i,

≤

Miner [1] X X X X X X

Ellyin et al.

[2, 3, 4]

X

X

X

X

X

X

X

Grover [9] X X X X

Manson et al. [10] X X X X X X X X

Miller et al

[15, 16]

X

X

X

X

X

X

Henry [17] X X X X X X

Gatts [20] X X X X X

Bui-Quoc et al.

[22]

X

X

X

X

X

X

Freudenthal-Heller

[14]

X

X

X

X

X

Subramanyan

[28]

X

X

X

X

X

Lemaître et

Chaboche [30]

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Tableau 2 : Limites d’application des lois étudiées. La case cochée indique que la loi est

applicable pour la configuration correspondante.


64

Ces deux tableaux rassemblent les informations nécessaires à l’utilisation des lois

présentées. La détermination de certains paramètres n’est pas aisée, voire impossible, parce que

les auteurs ne donnent pas toujours les informations suffisantes sur la méthode d'identification

des données requises. C'est le cas par exemple :

• des proportions de cycles à rupture à appliquer, pour la loi de Grover,

• de la frontière expérimentale entre amorçage et propagation des fissures microscopiques,

pour la loi de Miller.

• de la position exacte du point de convergence de la courbe S-N expérimentale et des

courbes d’endommagements théoriques, pour la loi de Ellyin.

Le tableau 2 indique que, parmi les lois étudiées, seules les lois de Miner, de Manson et

de Lemaitre et Chaboche sont applicables aux sollicitations quelconques d’amplitude variable

par blocs, quel que soit le niveau des amplitudes des cycles de contraintes.

Toutes les lois qui intègrent la limite d’endurance dans leur formulation ont l’avantage de

prendre en compte la nature de la sollicitation ainsi que les effets de la contrainte moyenne.

Les lois qui utilisent la variation de la limite d’endurance (loi de Gatts, loi de Henry et loi

de Bui Quoc) et les courbes d’endommagement (loi de Freudenthal et loi de Subramanyan) ne

sont pas applicables aux chargements comportant certains blocs de sollicitations d’amplitude

inférieure ou égale à la limite d’endurance.

Cette limitation remet par conséquent en cause la prise en compte intégrale de l’histoire

du chargement par la loi.

3. 3 – Conclusions

Comme cela a été souligné au paragraphe 1.4, la classification des lois parmi les modèles

de loi d’endommagement en fatigue nous sert de cadre de travail. En réalité, il n’existe pas de

frontière stricte pour certaines lois qui se retrouvent de par certains aspects à cheval sur deux

modèles.

Il n’y a pas à ce jour de modèle d’endommagement universel, c’est à dire permettant de

prendre correctement en compte l’ensemble des facteurs phénoménologiques reconnus tels que

l’effet de séquence (ordre d’apparition des niveaux successifs du chargement), les étapes

successives de la dégradation par fatigue, les effets des contraintes statiques superposées, la

nature non linéaire de l’accroissement du dommage telle qu’elle peut être observée à l’échelle

microscopique ou macroscopique, etc...


65

La complexité des modèles augmente sans commune mesure avec le nombre de

facteurs que le modèle élaboré souhaite prendre en compte. Aussi constate-t-on que le modèle le

plus utilisé aujourd’hui pour le dimensionnement en fatigue reste le plus simple et le plus ancien,

le modèle de Miner, et ceci malgré ses imperfections. C’est donc dans ce domaine des lois

d’endommagement où, même si des progrès importants de compréhension des mécanismes

d’endommagement ont été réalisés, notamment grâce au développement des moyens

d’observation, les avancées en terme de modélisation adaptée au bureau d’études ont été les

moins significatives.

Chapitre II Présentation des résultats d'essais de la bibliographie

66

CHAPITRE II

PRESENTATION DES RESULTATS

D'ESSAIS DE LA BIBLIOGRAPHIE

L'ensemble des résultats expérimentaux que nous utilisons dans ce travail de thèse

provient de la bibliographie (thèses et articles). Ce chapitre présente les trois sources de

résultats expérimentaux que nous avons jugés adaptés aux objectifs de validation que nous

nous sommes fixés dans cette étude des lois d’endommagement en fatigue, et qui comportent

les données nécessaires à leur exploitation.

1 – LES RESULTATS EXPERIMENTAUX DE KROUSE ET MOORE SUR L'ACIER

MARAGING 300CVM ET L'ACIER SAE 4130

1.1 – Présentation des matériaux

Deux aciers, SAE 4130 (doux ou dur suivant les traitements thermiques subis) et

Maraging 300CVM, ont été étudiés par Krouse et Moore. Leurs résultats d'essais ont été

publiés dans les références [10, 29, 31].

1.1.1 – Composition chimique des deux aciers

Le tableau 3 rassemble la composition chimique des deux aciers.

Composition chimique

Matériau C Si Mn S P Ni Co Mo Al Ti B Zn Ca Cr Fe

SAE 4130

doux

0,3

0,28

0,5

0,04

0,04

0,2

0.95

97,69

SAE 4130

dur

0,3

0,28

0,5

0,04

0,04

0,2

0.95

97,69

Maraging

300CVM

0,03

0,1

0,1

0,01

0,01

18,5

9,0

4,8

0,1

0,6

0,003

0,02

0,05

66,67

Tableau 3 : Composition chimique des aciers SAE 4130 et Maraging 300CVM


67

1.1.2 – Les éprouvettes

Les éprouvettes en acier SAE 4130 ont été usinées après traitement thermique, celles

en acier 300CVM ont d’abord été usinées, puis vieillies avant de subir les opérations de

finition dans leur section utile.

Les éprouvettes en acier SAE 4130 doux et dur ont subi une trempe puis un revenu à

des températures et des durées distinctes. L’acier Maraging 300CVM a été maintenu en

température à 900°C pendant 1 heure, puis refroidi à l’air. Toutes les éprouvettes de flexion

rotative ont été polies successivement à l'aide d'abrasifs à grains fins (320, 400 et 500).

La figure 15 précise la géométrie et les dimensions des éprouvettes.

Figure 15 : Eprouvettes d’essais (d'après [10])

(A) : éprouvette pour les essais de flexion rotative de Krouse

(B) : éprouvette pour les essais de flexion rotative de Moore

(C) : éprouvette pour les essais de traction – compression


68

1.1.3 – Caractéristiques mécaniques monotones

Les caractéristiques mécaniques des deux aciers sont rassemblées dans le tableau 4.

Matériau

σe0,2

(MPa)

Rm

(MPa)

Ru

(MPa)

E

(MPa)

Dureté

(Rc)

Réductions de

surface (%)

SAE 4130 doux 779 890 1689 220640 25-27 67.3

SAE 4130 dur 1337 1420 2028 199955 39-40 54.7

Maraging

300CVM

2034

2620

186165

52

50.7

Tableau 4 : Caractéristiques mécaniques monotones des aciers SAE 4130 et Maraging

300CVM

1.1.4 – Caractéristiques de fatigue

Les courbes S-N en flexion rotative des deux aciers sont données par la figure 16(a).

Figure 16 : Caractéristiques en fatigue des matériaux (d'après [10])

(a) Courbes S-N en flexion rotative pour les aciers SAE 4130 (doux et dur) et 300CVM

(b) Courbe de Manson-Coffin (en traction) de l’acier 300CVM


69

La courbe de Manson-Coffin pour l’acier Maraging 300CVM en traction-compression

est donnée par la figure 16(b). Les limites d’endurance en contrainte ainsi que les coefficients

de la loi d'endommagement de Lemaitre et Chaboche sont rassemblés dans le tableau 5.

Limite d’endurance

σD0 (MPa)

Coefficients de la loi de Lemaitre et Chaboche

Matériaux

Krouse

Moore

ND

(cycles)

β

B0

M

γ

C

*Dσ

(MPa)

*DN

(cycles)

SAE 4130

doux

482,5

6,16.105

5,5

1590

2537

9,6

318,1021

1792,7

2

SAE 4130

dur

586

1,86.106

5

2460

3551

9,2

105,1022

2854,5

1

Maraging

300CVM

689

881

106

4

5820

8963

6,7

35,1018

4068

10

Tableau 5 : Caractéristiques en fatigue et coefficients de la loi de Lemaitre & Chaboche

1.2 – Résultats expérimentaux

Les essais de flexion rotative et de traction-compression de Krouse et Moore sont

réalisés sous des chargements à deux niveaux de contrainte : un premier niveau de

chargement est appliqué pendant un nombre donné de cycles, ensuite un second niveau de

chargement est appliqué jusqu’à la rupture du matériau. Pour de faibles niveaux de contrainte,

une vitesse de 5000 tours par minute a été utilisée, alors que pour des niveaux de contrainte

élevés, une vitesse de 100 tours par minute a été employée, ceci afin d’éviter un échauffement

excessif de l'éprouvette dû à l'énergie des boucles d’hystérésis dans le repère contrainte-

déformation.

L'ensemble des résultats expérimentaux de Krouse et Moore que nous utiliserons pour

la validation des lois d'endommagement étudiées est présenté dans l'annexe 3.


70

2 – RESULTATS EXPERIMENTAUX DE BENNEBACH ET PALIN-LUC

2.1 – Présentation de la machine d’essais du Laboratoire Matériaux Endommagement

Fiabilité (LAMEF)

La machine d’essais du LAMEF à Bordeaux permet d’appliquer une sollicitation de

flexion plane ou de flexion rotative, et simultanément ou non une sollicitation de torsion. Elle

a été conçue pour des essais au-delà de 106 cycles (fatigue à grand nombre de cycles). C’est

une machine à asservissement hydraulique pilotée par un micro-ordinateur. La fréquence de

travail est comprise entre 10 et 60 Hz pour les chargements sinusoïdaux et de 10 à 50 Hz pour

les chargements pseudo-aléatoires. Les autres spécifications de cette machine sont données

dans la référence [36].

2.2 – Présentation du matériau

Le matériau d’essais est une fonte à graphite sphéroïdal (GS) utilisée par RENAULT

dans la fabrication des vilebrequins de certains moteurs à explosion. RENAULT lui attribue la

désignation fonte GS61.

2.2.1 – Traitement thermique

Les vilebrequins bruts élaborés avec la fonte GS61 sont obtenus par moulage, puis

subissent le traitement thermique suivant :

- un maintien en température à 920 °C pendant 1 à 2 H,

- un refroidissement lent jusqu'à 870 °C en 3 à 4 H,

- une trempe à l’air.


Les éprouvettes ont été directement usinées dans le contre-poids des vilebrequins bruts

de fonderie après le traitement thermique. Des barreaux parallélépipédiques ont d’abord été

découpés dans les contrepoids par RENAULT. L’ébauche et la demi-finition par copiage ainsi

que la finition par rectification en plongée à la meule de grains 25A60 ont été faites au

LAMEF, à l'ENSAM-Bordeaux (CER de Bordeaux).

Les éprouvettes du lot GS61.I, dont nous utilisons les résultats, ont été testées par

Bennebach dans le cadre de sa thèse [37]. Les deux autres lots (GS61.II et GS61.III) ont été

traités par Palin-Luc. Signalons que nous ne pouvons pas utiliser les résultats de ces deux

derniers lots car nous ne disposons pas d’informations suffisantes sur les conditions et la


71

méthode de traitement des résultats. Les éprouvettes cylindriques comportent des parties

toriques dans la zone utile (Figure 17 (a)). Les coefficients de concentration de contrainte sont

ktfp = 1,07 (pour la flexion plane) et ktto = 1,05 (pour la torsion). Les résultats de mesure des

états de surface sont présentés dans le tableau 6.

Moyenne Ecart-type Valeurs mésurées.

→

Lot d’éprouvettes ↓ Ra(µm) Rt(µm) Rmax(µm) sRa(µm) sRt(µm) sRmax(µm)

GS61.I 0,202 3,93 2,53 0,009 0,613 0,593

GS61.II 0,155 > 4,46 2,34 0,033 0,793 0,648

GS61.III 0,125 3,88 2,71 0,032 1,44 1,26

Tableau 6 : Mesures des états de surface sur éprouvettes lisses en fonte GS61

Figure 17 : Géométries et dimensions des éprouvettes en fonte GS61 [36]

(a) pour la machine du L.A.M.E.F., (b) pour la machine INSTRON 8032 de

RENAULT.

2.2.3 – Composition chimique

La composition chimique (%) de la fonte GS61 est donnée dans le tableau 7.

C Mn Si S P Ni Cu Sn Fe

3,5 – 3,9 0,85 1,8-2,8 < 0,02 < 0,05 0,03 0,03 0,01 93

Tableau 7 : Composition chimique (en %) de la fonte GS61

(a) (b)


72

2.2.4 – Propriétés mécaniques en traction monotone

Des essais de caractérisation en traction monotone ont été effectués par RENAULT

sur une machine INSTRON 8032 avec des éprouvettes lisses de diamètre 7 mm, telles que

celle de la figure 17 (b). Les résultats issus de ces essais sont donnés dans le tableau 8.

σe0.02 (MPa) σe0.2 (MPa) Rm (MPa) σu (MPa) E (MPa) ν A (%)

320 462 795 815 164900 0,275 9

Tableau 8 : Caractéristiques mécaniques en traction monotone de la fonte GS61

2.2.5 – Propriétés d’écrouissage

Les essais d’écrouissage cyclique (loi de comportement d’équation

n1

t

K2E22′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′σ∆

+′

σ∆=

ε∆ ) et d’écrouissage monotone (loi d’équation n1

t EE⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

+σ

=ε ) réalisés

chez RENAULT ont montré que, dans le domaine des déformations de ± 0,6%, les courbes

représentatives de ces deux essais sont identiques. Les coefficients des deux lois

d’écrouissage, établis dans la référence [36], sont : K = K' = 1121 MPa, E = E' = 164900 MPa

et n = n' = 0,144.

La figure 18 donne une représentation graphique des résultats obtenus.

Figure 18 : Courbe d’écrouissage monotone et résultats d'essais d’écrouissage cyclique [36]


73

2.2.5 – Propriétés mécaniques de fatigue

Les courbes de Wöhler obtenues en utilisant le logiciel ESOPE sont données par la

figure 19. Pour les sollicitations simples (flexion plane ou torsion), l’axe des ordonnées

représente l’amplitude de contrainte. Pour les sollicitations combinées (flexion et torsion),

c’est l’amplitude de la contrainte de flexion qui est représentée. Pour la flexion plane avec le

rapport de contraintes R = 0,1, c’est la contrainte maximale sur un cycle qui est représentée en

ordonnée. Le tableau 9 rassemble les résultats pour les différentes configurations de

chargement.

Sollicitation R= σmin/σmax σ /τ ϕ (°C) σ-1 (τ-1 ) (MPa) σ (MPa)

-1 280,7 8,1

Flexion plane 0,1 385,1 15,7

Torsion -1 211,8 3,2

-1 ; -1 3 0 219,4 10,9

-1 ; -1 3 90 234,1 7,8

Flexion Plane (Fp) +

Torsion (To) -1 ; -1 1,35 0 192,7 4,5

Tableau 9 : Limite d’endurance de la fonte GS61 pour différentes configurations de

sollicitations (σ-1 ou τ-1 à 106 cycles ; s écart-type ; Ktfp = 1,07 ; Ktto = 1,05)

Figure 19 : Courbes de Wöhler de la fonte GS61 sous sollicitations d’amplitude constante sur

éprouvettes lisses [36]


74

Les constantes des lois calculées par Palin-Luc sont données dans le tableau 10.

Lemaitre & Chaboche Manson Bui Quoc Corten - Dolan Ellyin

β = 1,805 β−

0aM = 1,328.10-9

p = 14

α = 0,463

b = 1,81.10-3

b = 0,6

m = 8

d = 10,122

N*D = 13,2005.106

Tableau 10 : Constantes propres aux lois d’endommagement par fatigue de la fonte GS61

[36]


Les résultats expérimentaux des tableaux 11 et 12 ont été établis par Bennebach [36-

37] pour le lot d'éprouvettes GS61.I.

Repère

Sollicitations

Nombre

d’éprouvettes

σ1

(MPa)

Nr1med

(cycles)

n1

(cycles)

σ2

(MPa)

Nr2med

(cycles)

A Fp 10 320 284540 110000 352 124240

B Fp 10 352 124240 50000 320 284540

C Fp 15 352 124240 50000 303 573400

D Fp 15 303 573400 160000 352 124240

E To 15 249 144890 50000 233 274180

F To 15 233 274180 160000 249 144890

G To + Fp 20 233 274180 160000 352 124240

H To + Fp 10 249 144890 50000 303 57340

I Fp + To 17 352 124240 50000 233 274180

J Fp + To 20 303 573400 160000 249 144890

Tableau 11 : Conditions des essais de cumul de dommage sur éprouvettes lisses en fonte du

lot GS61.I (To : torsion, Fp : flexion plane [36-37])


75

Log(Nr2)

(cycle)

Log(n2)

(cycles)

Repère

Sollicitations

Médiane E-type médiane E-type

Nr med

(cycle)

n2

(cycle)

r1

r2

A Fp 5,2879 0,0429 4,9182 0,1051 194070 82830 0,39 0,67

B Fp 5,2590 0,0760 5,1156 0,1083 181550 130510 0,40 0,46

C Fp 5,4117 0,1440 5,3118 0,1767 258040 205040 0,40 0,36

D Fp 5,4447 0,0440 5,0669 0,1027 278420 116650 0,28 0,94

E To 5,3117 0,0657 5,1883 0,0868 204970 154270 0,35 0,56

F To 5,3228 0,0445 4,6657 0,2189 210300 46310 0,58 0,32

G To + Fp 5,3787 0,0554 4,87778 01687 239180 75480 0,58 0,61

H To + Fp 5,4242 01002 5,3303 0,1267 265580 21394 0,35 0,37

I Fp + To 5,4718 0,0994 5,3889 0,1193 296330 244870 0,40 0,89

J Fp + To 5,4244 0,0479 5,0119 0,1404 265740 102770 0,28 0,71

Tableau 12 : Résultats expérimentaux des essais de cumul de dommage sur la fonte GS61 du

lot GS61.I ([36-37])

3 – RESULTATS EXPERIMENTAUX DE VIVENSANG SUR L’ACIER 35CD4

3.1 – Présentation de la machine d’essais

C’est une machine électrodynamique à résonance qui permet d’effectuer des essais de

flexion plane ou rotative sur des éprouvettes de section circulaire ou rectangulaire.

L’ensemble, machine et éprouvette, est astreint à fonctionner à la résonance. Pour des essais à

chargement imposé, l’effort est asservi en amplitude et en valeur moyenne. Le moment

maximum applicable sur chaque voie (2 voies au total) est de 70 Nm. La fréquence de

fonctionnement peut varier de 50 à 120 Hz.

L'éprouvette est fixe, la charge qui lui ai appliquée est tournante.

3.2 – Présentation du matériau

Deux nuances d’acier 35CD4, l’une à l’état recuit et l’autre à l’état trempé revenu, ont

été sollicitées. L'ensemble des éprouvettes des deux nuances provient du même lot de barres.

Nous nous intéressons en particulier à la nuance d’acier trempé revenu, pour lequel

nous disposons d’informations suffisantes pour l’exploiter des résultats expérimentaux.


76

3.2.1 – Composition chimique

Le tableau 13 récapitule la composition chimique de l’acier 35CD4.

C Mn Si S P Ni Cr Mo Fe

0,37 0,79 0,30 0,01 0,019 < 0,17 1,00 0,18 97,16

Tableau 13 : Composition chimique de l’acier 35CD4

3.2.2 – Traitement thermique

L’acier trempé revenu a été austénitisé à 850 °C pendant 30 minutes, trempé à l’huile,

puis revenu à 550 °C pendant 1 heure. Il est essentiellement composé de martensite revenue.


Ce sont des éprouvettes cylindriques de révolution dans la zone d’amarrage et toriques

dans la zone d’essais (Figure 20). La zone d’essais est rectifiée en plongée à la meule 38A180

par passes de 0,22 mm pour l’ébauche, et à la meule 38A320 par passes de 0,08 mm en

finition.

Figure 20 : Géométrie des éprouvettes d’acier 35CD4

pour les essais de flexion rotative de Vivensang [38]

3. 2. 4 – Propriétés mécaniques en traction monotone

Les caractéristiques mécaniques monotones de cet acier ont été déterminées par

Choukairi [39]. Elles sont rassemblées dans le tableau 14. La courbe de traction monotone est

représentée sur la figure 21.


77

Figure 21 : Courbe de traction monotone de l’acier 35CD4 trempé revenu [39]

σe (MPa) σe0,02 (MPa) σe0,2 (MPa) Rm (MPa) Ru (MPa) E (MPa) A (%)

823 875 950 1068 1800 2.105 18

Tableau 14 : Caractéristiques mécaniques monotones de l’acier 35CD4 [39]

3.2.5 – Caractéristiques mécaniques cycliques

La courbe de Wöhler en flexion rotative, de l’acier 35CD4 trempé revenu est donnée

par la figure 22. Les caractéristiques mécaniques cycliques de cet acier sont rassemblées dans

le tableau 15.

Valeur moyenne (MPa) 524,85

Limite d’endurance à 107 cycles Ecart-type (MPa) 20,86

K' (MPa) 2015

Coefficients d’écrouissage cyclique n' 0,165

Tableau 15 : Caractéristiques mécaniques cycliques de l’acier trempé revenu [38]


78

Figure 22 : Courbe S-N de l’acier trempé revenu [38]


Les résultats expérimentaux du tableau 16 proviennent des travaux de Choukairi [39].

Ils ont été utilisés par Vivensang pour tracer la courbe de Wöhler de la figure 22.

Conditions d' essais Résultats obtenus

σ1 MPa) Nr1 (cycles) n1 (cycles) σ2 (MPa) Nr2 (cycles) n2 (cycles) r1 r2

650 70000 15000 550 330000 140000 0,21 0,42

550 330000 20000 650 70000 64000 0,06 0,91

630 95000 30000 560 320000 105000 0,31 0,33

560 320000 100000 660 56000 37000 0,33 0,66

Tableau 16 : Les résultats expérimentaux des essais en flexion rotative sur l’acier 35CD4 [8]


79

CONCLUSION

• Les résultats expérimentaux que nous utiliserons pour notre étude des lois

d’endommagement en fatigue sont ceux qui viennent d'être présentés.

• Pour les résultats provenant des thèses [36] et [38], les données numériques et

graphiques sont intégralement celles des auteurs.

• Pour les résultats issus des essais de Krouse et de Moore [10], il faut remarquer que :

- Les valeurs de tous les couples de fractions de vie (r1 = n1/Nr1 et r2 = n2/Nr2) ont été

relevées sur les courbes de fraction de vie des références bibliographiques [10, 29, 31], car

les données numériques ne figurent pas dans les documents à disposition.

- Les limites d’endurances à 106 cycles de l’acier Maraging 300CVM de Krouse et

Moore [10] sont également estimées à partir de relevés graphiques sur les courbes de

Wöhler de la figure 11.

- Les limites d’endurance des deux nuances d’acier SAE 4130 (doux et dur) ainsi que

les constantes de la loi de Lemaitre et Chaboche pour les aciers 300CVM et SAE 4130

proviennent des références [30-31].

Chapitre III Validation des lois d’endommagement en fatigue

80

CHAPITRE III

VALIDATION DES LOIS

D’ENDOMMAGEMENT EN FATIGUE

Ce chapitre est consacré à la confrontation de l’expérience aux prévisions des lois

étudiées, et à la comparaison des performances de ces lois entre elles. Nous utilisons pour

cela, les résultats expérimentaux du chapitre II.

Les constantes de la loi de Lemaitre et Chaboche relatives à l’acier 35CD4 n’ont

pas été fournies par les auteurs. Nos calculs nous ont donné les valeurs suivantes :

267,0=β , 259,10b= et 100 10.7,5aM −β− = .

La loi de Ellyin ne sera confrontée à l’expérience que pour la fonte GS61 dont nous

connaissons les caractéristiques nécessaires au calcul des constantes [36]. Pour

l’application de la loi de Grover aux chargements à deux blocs de niveaux différents, nous

avons choisi la valeur 35,0=α pour la proportion du nombre de cycles à rupture du

niveau haut et 45,0=α pour le niveau bas. Nous avons gardé ce choix pour tous les

matériaux étudiés. Nous ne disposons pas des valeurs admissibles des longueurs initiale et

finale des fissures (ni des paramètres relatifs à leur propagation) pour les différents

matériaux pour pouvoir appliquer la loi de Miller. De même l’absence de la valeur du

paramètre ∗σmax de la loi de Freudenthal et Heller pour les différents matériaux a rendu

impossible l’établissement de ses prévisions et leur confrontation à l’expérience.

1 – CRITERES ET VARIABLES D’EVALUATION DES PERFORMANCES DES

LOIS ETUDIEES

Nous avons vu au chapitre I que la technique de l’étude expérimentale de cumul du

dommage par fatigue des matériaux utilisée par bon nombre d’auteurs consiste à appliquer

à l’éprouvette des blocs de chargement d’amplitudes différentes. En particulier, pour les

essais à deux blocs de chargement dont nous allons utiliser les résultats, on parle d’essais

Haut-Bas ou Bas-Haut suivant l’ordre des niveaux des blocs successifs du chargement. La


81

figure 23 illustre ces deux types de chargement ainsi que la position de leurs points

représentatifs dans le repère des fractions de vie. On distingue par r1 et r2 les fractions de

vie, respectivement au premier niveau et au second niveau de contrainte, les quantités

définies par : r1 = n1/Nr1 et r2 = n2/Nr2.

La fraction de vie est en fait la variable la plus couramment utilisée par les lois

d'endommagement par fatigue. La droite de Miner constitue la frontière entre le domaine

des courbes pour les essais Haut-Bas et les essais Bas-Haut (figure 23).

Figure 23 : Définition des essais Haut-Bas et des essais Bas-Haut et de leur

position dans le repère des fractions de vie par rapport à la droite de Miner

1.1 – Critères d’évaluation des performances des lois

Nous utiliserons l’erreur relative de prévision (ERP) de la durée de vie totale par

rapport aux résultats expérimentaux pour l’évaluation des performances des lois. On définit

cette erreur par l’expression :

( ) 100érimentaleexpValeur

théoriquevaleurérimentaleexpValeur%ERP ×−

=

Une loi d’endommagement pourra être considérée comme de bonne précision être

utilisable en bureaux d’études si l’erreur relative ERP de sa prévision reste inférieure à

20% en valeur absolue. Cette valeur de 20% tient compte des erreurs systématiques ou

accidentelles pouvant provenir des mesures de certains paramètres à partir des courbes.

Une loi sera dite :

• Conservative si ( ) 0%ERP > : les valeurs de ses prévisions sont inférieures aux

valeurs expérimentales. Pour le Bureau d’Etudes, la loi assure une certaine sécurité mais

elle conduit au surdimensionnement des pièces.

Bloc 2

(n2 cycles)

Bloc 1

(n1 cycles)

temps

σσ1σ2

0

Bloc 2

(n2 cycles)Bloc 1

(n1 cycles)

temps

σσ2

σ1

0

Droite de Miner

1

1

r2

Haut-Bas

r1

Bas-Haut

Bloc 2

(n2 cycles)

Bloc 1

(n1 cycles)

temps

σσ1σ2

0

Bloc 2

(n2 cycles)Bloc 1

(n1 cycles)

temps

σσ2

σ1

0

Droite de Miner

1

1

r2

Haut-Bas

r1

Bas-Haut


82

• Non conservative si ( ) 0%ERP < : les valeurs des prévisions sont supérieures aux

valeurs expérimentales. Dans ce cas, la loi ne garantit pas la sécurité, ce qui peut s’avérer

très pénalisant pour la pérennité des structures calculées.

1.2 – Variables d’évaluation d’une loi d’endommagement en fatigue

1.2.1 – Evaluation avec la notion de fraction de vie

Dans le cas d’un essai de fatigue à deux niveaux de contrainte, l’évaluation de la

validité des lois d’endommagement et leur comparaison peuvent se faire en établissant les

courbes de prévision de la fraction de vie au second niveau (r2) en fonction de la fraction

au premier niveau (r1), puis en confrontant ces courbes prédictives avec les résultats

expérimentaux correspondants.

Les résultats d’essais en fatigue étant fortement dispersés en règle générale, il est

bien entendu souhaitable, pour la fiabilité des conclusions qui peuvent être tirées à l’issue

de la démarche précédente, que les résultats expérimentaux de cumul du dommage reportés

sur les diagrammes de fractions de vie soient les représentants de plusieurs essais

similaires menés dans les mêmes conditions (une représentativité tout à fait analogue est

d’ailleurs menée en général pour la détermination des courbes S-N, courbes qui servent au

demeurant pour le calcul des fractions de vie).

1.2.2 – Evaluation avec la variable durée de vie totale du matériau

La durée de vie totale du matériau est une variable d’évaluation qui semble plus

représentative de la performance d’une loi d’endommagement par fatigue vis à vis d’un

matériau soumis à des chargements par blocs successifs d’amplitude constante, car elle a

l’avantage d’être la grandeur physique mesurable qui répond à la préoccupation du bureau

d’Etudes. Elle constitue en effet le but de toute loi d’endommagement, qui demeure la

prévision de la durée de vie totale d’un matériau.

Compte tenu de la nature dispersive des résultats d’essais comprenant plusieurs

blocs de sollicitations, il faut garder à l’esprit d’associer à la variable durée de vie totale

son écart-type pour un bon jugement de la performance d’une loi d'endommagement par

fatigue.


83

1.3 – Conclusion

Bien que la fraction de vie ne soit pas la plus représentative directement des

variables de comparaison de la performance des lois, nous l’utiliserons pour la mise en

évidence de l’évolution non linaire de l’endommagement par fatigue d’un matériau, ainsi

que pour justifier la position des courbes par rapport à la droite de Miner dans le plan des

fractions de vie.

Notre moyen de comparaison des lois sera donc l’erreur relative de prévision (ERP)

de la durée de vie totale. Toutefois, pour certains essais Haut-Bas avec le second niveau de

contrainte proche de la limite d’endurance, nous utiliserons le simple rapport de la durée de

vie théorique à la durée de vie expérimentale définie par : expthéo NNR = .

2 – COMPARAISON DES PERFORMANCES DES LOIS ETUDIEES

2.1 – Evolution non linéaire de l’endommagement par fatigue

Toutes les lois confrontées à l’expérience, hormis la loi de Miner, traduisent plus ou

moins le caractère non linéaire de l’endommagement par fatigue. Les figures 24(a) et 24(b)

illustrent ce comportement pour une sollicitation de type Haut-Bas et Bas-Haut

respectivement. La loi de Grover et la loi de Manson décrivent bien une évolution

bilinéaire du dommage comme prévue. Les courbes de fractions de vie des autres lois sont

curvilignes.

(a) (b)

Figure 24 : Courbes de fractions de vie décrivant l’évolution de l’endommagement par

fatigue du matériau

(a) acier Maraging 300CVM soumis à un essai Haut-Bas de flexion rotative.

(b) fonte GS61 soumise à un essai Bas-Haut de flexion plane.

Fonte GS61, Flexion plane 573400-124240 cycles [36]

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

r2 Gatts

Henry

Ellyin

Lemaitre

M anson

SubramanyanM iner

Exp

Bui Quoc

Acier 300CVM, Flexion rotative2350-244000 cycles (Krouse)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

r2Bui Quoc

EXP

Henry

Lemaître

Gatts

Grover

Manson

SubramanyanMiner


84

2.2 – Effets de l’histoire de chargement

2.2.1 – Position des courbes de fraction de vie

Pour les essais Haut-Bas et Bas-Haut avec des niveaux de contrainte supérieurs à la

limite d’endurance, la confrontation des lois à l’expérience montre que seule la loi de

Miner ne prend pas en compte l’ordre d’application des niveaux de chargement. On

rappelle que les positions des courbes de fractions de vie des essais Haut-Bas et Bas-Haut

se situent de part et d’autre de la droite de Miner, diagonale du plan des fractions de vie

relatives aux deux niveaux d’essais (figure 23).

La figure 25 présente les courbes de fractions de vie prévues par les lois

d’endommagement étudiées pour l’acier 300CVM sollicité en flexion rotative par deux

types de séquences Haut-Bas et Bas –Haut. L’un explore le cumul de dommage pour deux

niveaux à faibles durées de vie et sensiblement équivalents, l’autre pour deux niveaux

présentant une forte disparité de durée de vie.

Nous constatons sur les figures 25(a) à (25d) que les courbes de fractions de vie de

la loi de Gatts évoluent très différemment de celles des courbes des autres lois. Nous

reviendrons sur cette particularité du comportement de la loi de Gatts dans le chapitre IV.

2.2.2 – Erreurs relatives de prévision

Les figures 26 à 29 et les tableaux 17 à 20 présentent les erreurs relatives de

prévision de durée de vie totale ((n1 = n2), q’il s’agisse des chargements de type Bas-Haut

ou de type Haut-Bas). Nous avons choisi, pour cette illustration, quatre séries de cas de

chargement où le niveau 2000 MPa (durée de vie à rupture de 1280 cycles) est toujours

présent.

Ces quatre séries de résultats d’essais de flexion rotative sur l'acier 300CVM

montrent que toutes les lois à part celle de Miner tiennent compte de l’ordre d’application

des niveaux de chargement, aussi bien en régime de contrainte Haut-Bas que Bas-Haut.


85

(a) (b)

(c) (d)

Figure 25 : Comportement des lois vis à vis de l’ordre d’application des niveaux de

chargement

(a) essais Haut-Bas de niveaux σ1 = 2000 MPa et σ2 = 1655 Mpa,

(b) essais Bas-Haut de niveaux σ1 = 1655 MPa et σ2 = 2000 Mpa,

(c) essais Haut-Bas de niveaux σ1 = 2000 MPa et σ2 = 827 Mpa,

(d) essais Bas-Haut de niveaux σ1 = 827 MPa et σ2 = 2000 Mpa.

Acier 300CVM en flexion rotative 1280-244000 cycles [10]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

r1

r2 EXP

Bui Quoc

Henry

Lemaître

Gatts

Grover

Manson

SubramanyanMiner


-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

r1

r2

Exp

Henry

Bui Quoc

Lemaitre

Gatts

Grover

Manson

SubramanyanMiner


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

r2

BuiQuocHenry

Lemaître

Gatts

Grover

Manson

SubramanyanMiner

Exp


-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

r2

Bui Quoc

Henry

Exp

Lemaître

Gatts

Grover

Manson

SubramanyanMiner


86


Haut-Bas en flexion rotative, de niveaux respectifs en contrainte 2000 MPa et 827 Mpa,

sur l’acier Maraging 300CVM

Figure 26 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale des lois

d’endommagement pour le chargement Haut-Bas en flexion rotative, de niveaux respectifs

2000 MPa et 827 Mpa, appliqués à l'acier 300CVM

Tableau 18 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le chargement Bas-

Haut en flexion rotative, de niveaux respectifs en contrainte 827 MPa et 2000 Mpa, sur

l’acier Maraging 300CVM

Erreurs de prévision de durée de vie (ERP en %), acier 300CVMFlexion rotative 1280-244000 cycles (Krouse)

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

1 2 3 4 5 6

Sollicit .

ERP (%)

Bui Quoc

Gatts

Grover

Henry

Lemaitre

Manson

Miner

Subramanyan

σ1 Nr1 σ2 Nr2 Bui Subram- (MPa) (cycles) (MPa) (cycles) Quoc Gatts Grover Henry Lemaitre Manson Miner manyan

-0,17 0,12 0,08 -0,16 -0,32 -0,20 0,20 -0,32

827 244000 2000 1280 -0,03 0,28 0,22 -0,02 -0,18 -0,07 0,34 -0,18

-0,02 0,33 0,20 -0,01 -0,19 -0,09 0,32 -0,18

0,29 0,83 0,46 0,29 0,16 0,07 0,48 0,20

0,29 0,83 0,46 0,29 0,32 0,20 0,48 0,32

0,02 0,12 0,08 0,01 0,16 0,07 0,20 0,18

0,13 0,39 0,24 0,12 0,21 0,11 0,33 0,22

0,13 0,31 0,16 0,13 0,07 0,06 0,12 0,06

Valeur absolue maxi

Valeur absolue mini

Moyenne

Ecart-type

Données expérimentales, acier 300CVM Erreur ERP (%) sur la prévision de durée de vie totale


-8,70 -56,79 -53,55 -10,62 45,72 46,28 -62,37 37,72

-16,58 -68,16 -64,68 -18,64 41,79 42,38 -74,14 33,21

-32,31 -157,06 -127,30 -302,48 28,15 67,29 -162,51 16,79

2000 1280 827 244000 -49,89 -286,04 -210,35 -54,65 11,28 53,62 -266,47 -3,19

-33,53 -397,53 -231,60 -38,23 13,60 48,90 -291,23 -0,63

8,18 -477,98 -158,12 4,86 35,33 57,21 -203,89 25,07

49,89 477,98 231,60 302,48 45,72 67,29 291,23 37,72

8,18 56,79 53,55 4,86 11,28 42,38 62,37 0,63

24,87 240,59 140,93 71,58 29,31 52,61 176,77 19,44

16,52 175,24 73,45 114,62 14,39 8,90 95,61 15,37


Valeur absolue maxi

Valeur absolue mini

Moyenne

Ecart-type


87

Figure 27 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le chargement Bas-

Haut en flexion rotative, de niveaux respectifs 827 MPa et 2000 Mpa, appliqué à l'acier

300CVM


Haut-Bas en flexion rotative de niveaux respectifs en contrainte 2000 MPa et 1655 MPa

sur l’acier Maraging 300CVM

Figure 28 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le chargement Haut-

Bas en flexion rotative, de niveaux respectifs 2000 MPa et 1655 Mpa, appliqué à l'acier

300CVM

Erreurs de prévision de durée de vie (ERP en%), acier 300CVMFlexion rotative 1280-3800 cycles (Krouse)

-6 5

-5 5

-4 5

-3 5

-2 5

-1 5

-5

5

1 5

2 5

1 2 3 4 5 So llicit .

ERP (%) Bui Quoc

Gatts

Grover

Henry

Lemaitre

Manson

Miner

Subramanyan

Erreus de prévision de durée de vie (ERP en%), acier 300CVMFlexion rotative 244000-1280cycles (Krouse)

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1 2 3 4Sollicit.

ERP(%)

Bui QuocGattsGroverHenry

LemaitreMansonMiner

Subramanyan


-16,46 -25,24 -13,11 -17,04 -4,79 10,97 -19,20 -11,76-24,11 -43,98 -14,82 -25,21 -9,60 10,24 -29,36 -18,69

2000 1280 1655 3800 -19,82 -52,80 -11,78 -21,22 -6,14 7,41 -26,61 -15,25-14,17 -61,20 -9,47 -15,56 -3,09 5,55 -21,09 -10,9212,92 -37,59 12,99 12,05 18,80 22,55 8,50 14,4024,11 61,20 14,82 25,21 18,80 22,55 29,36 18,6912,92 25,24 9,47 12,05 3,09 5,55 8,50 10,9217,50 44,16 12,43 18,21 8,49 11,35 20,95 14,204,54 13,84 1,98 5,11 6,24 6,63 8,07 3,08

MaximumMinimumMoyenneEcart-type

Erreur ERP (%) sur la prévision de durée de vie totaleDonnées expérimentales, acier 300CVM


88

Tableau 20 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le chargement Bas-

Haut en flexion rotative, de niveaux respectifs en contrainte 1655 MPa et 2000 MPa sur

l’acier 300CVM

Figure 29 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour le chargement Bas-

Haut en flexion rotative, de niveaux respectifs 1655 MPa et 2000 MPa appliqué à l'acier

300CVM

Une première analyse rapide des résultats obtenus pour les quatre séries d'essais

étudiés indique que les écarts enregistrés entre les prévisions des lois et la réalité

expérimentale (erreur relative de prévision) étaient beaucoup plus prononcés pour les

chargements Haut-Bas que pour les chargements Bas-Haut conservant les mêmes niveaux

de contrainte, et ceci est d'autant plus vrai que la différence entre les deux niveaux de

contraintes concernées est importante.

L'explication de cette tendance est relativement simple et est liée à la construction

de l'essai réalisé. Le nombre de cycles du premier niveau n1 est imposé, les cycles du

second niveau complètent le dommage introduit par les cycles du premier niveau jusqu'à la

rupture. Pour un essai Bas-Haut, l'essentiel de la durée de vie totale est constitué des cycles

Erreurs de prévision de durée de vie (ERP en%), acier 300CVMFlexion rotative 3800-1280 cycles (Krouse)

-5

0

5

10

15

20

1 2 3 S ollic it .

ERP (%)

Bui Quoc

Gatts

Grover

Henry

Lemaitre

Manson

Miner

Subramanyan


8,21 18,26 5,52 8,56 3,83 -1,74 9,95 6,62

1655 3800 2000 1280 3,91 16,61 2,20 4,23 0,64 -4,34 5,47 2,94

0,40 15,03 -0,11 0,61 -1,35 -3,12 1,39 0,00

8,21 18,26 5,52 8,56 3,83 4,34 9,95 6,62

0,40 15,03 0,11 0,61 0,64 1,74 1,39 0,00

4,17 16,63 2,61 4,47 1,94 3,07 5,61 3,19

3,91 1,61 2,73 3,98 1,68 1,30 4,28 3,32

Valeur absolue maxi

Valeur absolue mini

Moyenne

Ecart-type



89

du premier niveau, le second niveau de contrainte, plus élevé que le premier, donne lieu à

une durée de vie plus faible (voire beaucoup plus faible lorsque la différence entre les deux

niveaux de contrainte est très importante). Même en cas de différence très significative

entre les lois (sur l'évaluation du nombre de cycles n2 du second niveau), les écarts relatifs

sur la durée de vie totale (n1 + n2) apparaissent moins sensibles que si on ne comparait que

les nombres le nombre de cycles n2. Il en va tout autrement pour les essais Haut-Bas où le

nombre de cycles n1 du premier niveau est bien plus faible que celui du second niveau (n2).

Les disparités entre les lois, matérialisées par la durée d vie n2, apparaissent alors beaucoup

plus visiblement sur la durée de vie totale n1 + n2.

Cette distinction entre les chargements Bas-Haut et Haut-Bas est d'autant plus

sensible que la différence entre les deux niveaux de contrainte concernés est importante.

Elle transparaît ainsi beaucoup plus pour le cas des niveaux 2000 MPa et 827 MPa que

pour le cas des niveaux 2000 MPa et 1655 MPa.

La comparaison des lois entre elles est réalisée dans le paragraphe 2.4.

2.3 – Comportement des lois par rapport à la nature de la sollicitation

En général, les lois d’endommagement recensées dans la littérature sont élaborées

au départ pour des sollicitations simples d’amplitude constante ou variable par blocs. C’est

en fait par extension qu’on les applique aux sollicitations complexes. Leur performance

dépend donc du type de chargement pour lequel elles sont utilisées. Les figures 30 à 32 et

les tableaux 21 à 23 illustrent les comportements des lois par rapport à la nature de la

sollicitation.

a ) Flexion plane


Haut-Bas et Bas-Haut en flexion plane seule sur la fonte GS61

σ1 Nr1 σ2 Nr2 Subra-(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) Bui Quoc Ellyin Gatts Grover Henry Lemaitre Manson manyan Miner

1 FP 320 284540 352 124240 -3,25 -0,75 -2,26 -1,71 -3,24 -10,70 2,84 -7,70 3,842 FP 352 124240 320 284540 -21,73 -31,67 -25,49 -27,62 -21,75 -3,41 -41,78 -12,03 -44,893 FP 352 124240 303 573400 19,64 0,02 14,52 -8,72 19,62 42,23 -20,68 44,49 -25,614 FP 303 573400 352 124240 2,86 4,05 3,39 7,07 2,86 -2,18 9,06 -2,31 9,86

21,73 31,67 25,49 27,62 21,75 42,23 41,78 44,49 44,892,86 0,02 2,26 1,71 2,86 2,18 2,84 2,31 3,84

11,87 9,12 11,41 11,28 11,87 14,63 18,59 16,63 21,0510,22 15,13 10,89 11,30 10,22 18,78 17,14 18,99 18,35

Sollic.

Conditions expérimentales

Ref

MoyenneEcart-type

Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale ERP (%) pour la flexion seule

Valeur absolue maxiValeur absolue mini


90


Haut-Bas et Bas-Haut en flexion plane seule sur la fonte GS61

b ) torsion


Haut-Bas et Bas-Haut en torsion seule sur la fonte GS61


Haut-Bas et Bas-Haut en torsion seule sur la fonte GS61

Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale ERP (%) pour la fonte GS61 en flexion plane seule.

-50-40-30-20-10

01020304050

1 2 3 4 Sollic.

ERP (%)

Bui QuocEllyinGattsGroverHenryLemaitreMansonSubramanyanMiner

Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale ERP (%) pour la fonte GS61 en torsion seule.

-25-20

-15-10

-5

05

1015

1 2

Sollic.

ERP (%) Bui QuocEllyinGattsGroverHenryLemaitreMansonSubramanyanMiner


1 To 249 144890 233 154270 3,93 -4,57 2,90 1,34 3,93 12,76 -10,63 7,38 -12,082 To 233 274180 249 46310 -15,74 -10,56 -15,17 -12,44 -15,74 -19,70 -8,28 -16,69 -7,05

15,74 10,56 15,17 12,44 15,74 19,70 10,63 16,69 12,083,93 4,57 2,90 1,34 3,93 12,76 8,28 7,38 7,059,84 7,56 9,03 6,89 9,84 16,23 9,46 12,04 9,578,36 4,24 8,68 7,85 8,36 4,91 1,66 6,58 3,55

Ref Sollic

Valeur absolue maxi


Valeur absolue mini MoyenneEcart-type

Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale ERP (%) pour la torsion seule


91

c ) Flexion plane suivie de torsion ou inversement


Haut-Bas et Bas-Haut en flexion plane suivie de torsion ou inversement sur une fonte

GS61


Haut-Bas et Bas-Haut en flexion plane suivie de torsion ou inversement sur la fonte GS61

d ) Bilan

Les valeurs moyennes des erreurs relatives de prévision de durée de vie et leurs

écarts-types, pour ces trois types de sollicitation, montrent que :

• Toutes les lois confrontées à l’expérience donnent relativement de bonnes

prévisions de durée de vie pour les chargements à deux blocs d’une même sollicitation

(figure 30 et tableau 21 pour la flexion plane seule ; figure 31 et tableau 22 pour la torsion

seule),

Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale ERP (%) pour la fonte GS61 en torsion suivie de flexion plane ou inversement

-120-100

-80-60-40-20

020406080

1 2 3 4

Sollic.

ERP (%)Bui Quoc

Ellyin

Gatts

Grover

Henry

Lemaitre

Manson

SubramanyanMiner


1 T+FP 233 274180 352 75480 -11,31 6,82 -9,16 13,47 -11,31 9,26 8,87 1,36 10,052 T+FP 249 144890 303 213940 -96,35 -32,28 -92,57 -78,04 -96,35 43,66 -56,64 23,81 -61,083 FP+T 352 124240 233 244870 65,49 33,35 60,84 35,69 65,48 28,67 28,56 42,60 27,074 FP+T 303 573400 249 102770 10,15 -7,14 8,58 3,85 10,14 -15,91 -1,40 -15,29 -0,55

96,35 33,35 92,57 78,04 96,35 43,66 56,64 42,60 61,0810,15 6,82 8,58 3,85 10,14 9,26 1,40 1,36 0,5545,82 19,90 42,79 32,76 45,82 24,38 23,87 20,76 24,6942,44 14,92 41,25 33,00 42,44 15,17 24,67 17,25 26,62

Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale ERP (%)

Ecart-type

Ref Sollic

Valeur absolue maxi


Valeur absolue mini Moyenne

pour la torsion suivie de la flexion plane ou inversement


92

• La loi de Ellyin est celle qui se prête le mieux au calcul en Bureaux d’Etudes

pour les chargements de flexion plane suivie de torsion ou inversement (figure 32 et

tableau 23), car c'est elle qui présente la meilleure ERP en moyenne et en écart-type.

2.4 – Comportement des lois par rapport aux niveaux de contraintes

Nous ne pouvons étudier ici que les cas de chargements de niveaux supérieurs à la

limite d’endurance car nous ne disposons pas de résultats d’essais avec des niveaux de

contrainte inférieurs à la limite d’endurance.

Pour les essais Haut-Bas, les lois basées sur la variation des limites d’endurance

(Gatts, Henry, Bui Quoc) donnent des erreurs relatives tantôt très élevées si les écarts entre

les deux niveaux de contrainte sont importants, tantôt acceptables quand ces essais se font

dans le domaine de petits nombres de cycles (inférieurs à 104 cycles).

En effet, pour les essais Haut-Bas de niveaux respectifs 20001 =σ MPa et

16552 =σ MPa, les prévisions de durée de vie totale obtenues avec les lois de Gatts et de

Miner ne sont pas justes (Figure 28 et tableau 19).

Pour les essais Haut-Bas en flexion rotative sur l'acier doux SAE 4130 de niveaux

respectifs 9651 =σ MPa et 8272 =σ MPa, seules les prévisions de durée de vie totale

obtenues avec la loi de Manson peuvent être considérées comme éloignées de la réalité

(figure 32 et tableau 24).

Toujours en flexion rotative sur l'acier doux SAE 4130, pour les essais Haut-Bas de

niveaux respectifs 8271 =σ MPa et 7582 =σ MPa, ce sont les prévisions de durée de vie

totale obtenues avec les lois de Bui Quoc, de Gatts, de Henry et de Miner qui s'écartent des

résultats expérimentaux (figure 34 et tableau 25).

Les prévisions de durée de vie totale obtenues avec les lois de Grover, de Lemaitre

et de Subramanyan sont globalement satisfaisantes pour les trois séries d'essais

précédentes.

Il faut noter que le comportement de la loi de Ellyin pour ces différents

chargements n’a pas pu être étudié car nous ne disposons pas des valeurs de la limite

d’endurance réduite ∗DN de l'acier 300CVM et de l'acier doux SAE 4130.


93


Haut-Bas (σ1 = 965 MPa et σ2 = 827 MPa) en flexion rotative sur l’acier doux SAE 4130


Bas (σ1 = 965 MPa et σ2 = 827 MPa) en flexion rotative sur l’acier doux SAE 4130



σ1 Nr1 σ2 Nr2 Subra-(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) Bui Quoc Gatts Grover Henry lemaitre Manson Miner manyan

1 -7,62 -9,91 -6,29 -7,67 4,11 32,08 -9,86 -3,812 -16,28 -21,44 -12,35 -16,38 -0,51 23,39 -20,93 -11,50

965 485 827 1700 3 -4,99 -15,18 1,90 -5,14 10,23 24,27 -12,41 -1,304 16,08 2,12 18,32 15,95 26,23 32,75 9,10 17,805 9,20 -13,85 9,43 9,09 15,47 18,46 3,66 9,80

16,28 21,44 18,32 16,38 26,23 32,75 20,93 17,804,99 2,12 1,90 5,14 0,51 18,46 3,66 1,30

10,83 12,50 9,66 10,85 11,31 26,19 11,19 8,845,11 7,13 6,20 5,06 10,12 6,10 6,31 6,53

Erreur relative de prévision de durée de vie totale ERP (%), acier doux SAE 4130

ref.

Données expérimentales

Valeur absolue maxiValeur absolue miniMoyenneEcart- type

Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale, Acier doux SAE 4130 sous une flexion rotative 485-1700 cycles [10]

-30 -20 -10

0 10 20 30 40

1 2 3 4 5 Sollicit.

ERP (%)

Bui Quoc Gatts Grover Henry Lemaitre Manson Miner Subramanyan


1 -49,39 -57,64 -62,26 -49,51 59,10 78,66 -65,11 2,622 -133,28 -156,73 -169,14 -133,60 41,15 63,93 -178,47 -46,98

965 485 586 81250 3 -158,35 -210,07 -231,42 -158,96 38,41 53,24 -258,79 -62,484 -266,79 -418,85 -445,73 -268,13 11,20 14,56 -544,47 -145,095 -130,52 -313,71 -319,17 -131,55 39,59 31,84 -394,47 -67,09

266,79 418,85 445,73 268,13 59,10 78,66 544,47 145,0949,39 57,64 62,26 49,51 11,20 14,56 65,11 2,62147,66 231,40 245,54 148,35 37,89 48,44 288,26 64,8578,21 139,77 145,88 78,63 17,15 25,49 186,84 51,58

Valeur absolue maxiValeur absolue miniMoyenne


ref.

Ecart- type

Erreur relative de prévision de durée de vie totale ERP (%), acier doux SAE 4130


94



Pour les chargements Haut-Bas, aucune des lois étudiées ne donne de bonnes

prévisions de durée de vie dès que le rapport de la contrainte du premier niveau à la

contrainte du second niveau excède 1,4. Cette remarque est encore plus vraie pour les

chargements dont le second niveau de contrainte est voisin de la limite d’endurance du

matériau comme l’illustrent les tableaux 26 et 29 et les figures 35 à 38.




-50 -40 -30 -20 -10

0 10 20

1 2 3 4 5

Sollicit.

ERP (%)

Bui Quoc Gatts Grover Henry Lemaitre Manson Miner Subramanyan


1 -45,36 -49,87 -54,51 -45,40 45,81 -37,32 -57,43 -46,152 -114,74 -127,11 -139,10 -114,83 26,61 -84,94 -148,29 -47,44

827 1700 586 81250 3 -108,68 -139,52 -157,23 -108,86 33,42 35,72 -192,38 -43,124 -142,10 -227,59 -266,46 -142,41 15,28 -2,23 -330,66 -80,985 -13,24 -148,33 -81,43 -13,37 37,99 26,37 -107,63 2,34

142,10 227,59 266,46 142,41 45,81 84,94 330,66 80,9813,24 49,87 54,51 13,37 15,28 2,23 57,43 2,3484,83 138,48 139,75 84,97 31,82 37,31 167,28 44,0153,45 63,28 82,20 53,51 11,59 30,09 104,06 27,93



MoyenneEcart- type

ERP (%) de prévision de durée de vie totale, acier doux SAE 4130

réf.


95



Tableau 27 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale pour

l’acier 300CVM en flexion rotative, pour un chargement Haut-Bas défini par σ1 = 2000

MPa et σ2 = 724 MPa

Figure 36 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale en flexion

rotative pour l’acier 300CVM sollicité à des niveaux de contrainte définis par σ1 = 2000



-350-300-250-200-150-100

-500

50

1 2 3 4 5

Sollicit .ERP (%)

Bui Quoc

Gatts

Grover

Henry

Lemaitre

Manson

Miner

Subramanyan

σ1 Nr1 σ2 Nr2 Subra-

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) Réf Gatts Grover Henry Lemaitre Manson Miner manyan1 0,67 1,04 1,26 0,68 0,26 0,92 1,28 0,032 1,45 3,04 4,24 1,49 0,72 1,31 4,49 0,09

2000 1280 724 940000 3 1,31 4,01 6,18 1,36 0,90 0,53 7,29 0,114 0,95 3,52 5,63 0,98 0,74 0,48 6,66 0,105 1,55 7,96 11,85 1,61 1,39 1,03 14,00 0,19

1,55 7,96 11,85 1,61 1,39 1,31 14,00 0,190,67 1,04 1,26 0,68 0,26 0,48 1,28 0,031,18 3,91 5,83 1,22 0,80 0,85 6,74 0,110,37 2,52 3,87 0,39 0,41 0,35 4,69 0,06

Bui Quoc


MoyenneEcart-type

Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale, acier 300CVM [10]


Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale,acier Maraging 300CVM en flexion rotative, 1280-940000 cycles.

Limite d'endur. de Krouse à 106 cycles = 689 MPa

0

5

10

15

1 2 3 4 5 Sollicit .

R=Nth/Nexp

Bui Quoc

Gatts

Grover

Henry

Lemaitre

Manson

Miner

Subramanyan


96

Tableau 28 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale en

flexion rotative pour l’acier 300CVM sollicité par un chargement Haut-Bas définis par σ1

= 1834 MPa et σ2 = 724 MPa

Figure 37 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale pour l’acier

300CVM en flexion rotative, pour un chargement Haut-Bas défini par σ1 = 1834 MPa et σ2

= 724 Mpa


Limite d'endur. de Krouse à 106 cycles = 689 MPa

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4Sollicit .

R=Nth/Nexp Bui-Quoc

Gatts

Grover

Henry

Lemaitre

Manson

Miner

Subramanyan

σ1 Nr1 σ2 Nr2 Subra-(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) Ref Gatts Grover Henry Lemaitre Manson Miner manyan

1 4,95 6,67 8,03 5,00 2,00 7,34 8,16 0,25

1834 2050 724 940000 2 1,68 2,94 4,37 1,70 0,86 3,22 4,58 0,10

3 1,37 3,09 5,44 1,40 0,92 1,75 6,14 0,12

4 1,37 4,13 7,96 1,39 1,16 0,83 9,41 0,15

4,95 6,67 8,03 5,00 2,00 7,34 9,41 0,25

1,37 2,94 4,37 1,39 0,86 0,83 4,58 0,10

2,34 4,21 6,45 2,37 1,24 3,28 7,07 0,16

1,75 1,73 1,84 1,76 0,53 2,88 2,14 0,07

Bui Quoc

MoyenneEcart-type

Données expérimentales Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale, acier 300CVM [10]



97

Tableau 29 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale en

flexion rotative pour l’acier 300CVM sollicité par un chargement Haut-Bas définis par σ1

= 1793 MPa et σ2 = 724 MPa

Figure 38 : Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale en flexion

rotative pour l’acier 300CVM sollicité par un chargement Haut-Bas définis par σ1 = 1793



Limite d'endur. de Krouse à 10 6 cycles = 689 MPa

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00

10,00 12,00

1 2 3 4 5 Sollicit.

R=N th /N exp Bui Quoc Gatts Grover Henry Lemaitre Manson Miner Subramanyan

σ1 Nr1 σ2 Nr2 Subra-(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) Ref Gatts Grover Henry Lemaitre Manson Miner manyan

1 0,47 0,67 0,86 0,48 0,21 0,78 0,88 0,03

2 0,63 1,13 1,79 0,64 0,35 1,31 1,90 0,04

1793 2350 724 940000 3 2,26 4,67 8,29 2,29 1,49 4,31 9,21 0,18

4 1,56 4,57 9,22 1,59 1,39 1,02 10,90 0,18

5 0,89 4,45 7,13 0,90 7,98 0,83 8,41 0,17

2,26 4,67 9,22 2,29 7,98 4,31 10,90 0,18

0,47 0,67 0,86 0,48 0,21 0,78 0,88 0,03

1,16 3,10 5,46 1,18 2,28 1,65 6,26 0,12

0,74 2,02 3,86 0,75 3,24 1,50 4,55 0,08

Bui Quoc

MoyenneEcart-type



Rapport de la durée de vie calculée à la durée de vie expérimentale, acier 300CVM [10]


98

3 – ANALYSE DE LA COMPARAISON PREVISIONS - RESULTATS

EXPERIMENTAUX

Les raisons de la piètre performance des lois d’endommagement, appliquées aux

chargements à deux blocs de sollicitations, avec le premier niveau ou les deux niveaux de

contrainte appartenant au domaine oligocyclique du matériau, peuvent avoir deux origines

suivantes :

• La non intégration du caractère évolutif des caractéristiques de durcissement ou

d’adoucissement cycliques des matériaux dans les calculs de durée de vie : en effet, dans le

domaine oligocyclique, le matériau est plastifié dès l’application des premiers cycles. Les

contraintes réelles dans la section utile ainsi que sans doute d'autres paramètres du

comportement cyclique du matériau à un moment donné de l’essai ne sont plus identiques

à ceux de départ. C’est ce qui explique pourquoi toutes les lois basées sur la variation de la

limite d’endurance [Gatts, Henry, Bui Quoc], qui utilisent explicitement les amplitudes de

contrainte initiales, ne donnent pas de bonnes prévisions de durée de vie pour les

sollicitations relevant du domaine oligocyclique (figures 35 à 38 et tableaux 26 à 29). Les

prévisions de durée de vie obtenues avec la loi de Lemaitre et Choche sont bien souvent

plus justes parce que cette loi utilise dans sa formulation la contrainte effective.

L’importance de la modification de la contrainte, due au durcissement ou à

l’adoucissement cyclique du matériau a d'ailleurs été mentionnée par Manson [10] pour

l’acier 300CVM (matériau à adoucissement cyclique).

• La seconde source de mauvaise performance des lois peut être liée à la valeur

de l’écart entre les niveaux des deux blocs de sollicitation. En effet, quand les niveaux des

deux blocs de sollicitations sont très proches le chargement se rapproche d’une sollicitation

simple à amplitude constante. La plupart des lois confrontées à l’expérience donnent alors

de bonnes prévisions de durée de vie puisqu’elles sont calées sur ces chargements

d'amplitude constante (figures 28, 29 et 33, et tableaux 19, 20 et 24). Au contraire, plus

l’écart est grand entre les deux niveaux, moins justes sont les prévisions des durées de vie

données par les lois dans ces cas de chargement où soit le premier niveau de contrainte soit

les deux sont dans le domaine oligocyclique du matériau comme le montrent les figures 35

à 38 et les tableaux 26 à 29.

La mauvaise performance des lois relativement à la nature des sollicitations peut

provenir des deux causes suivantes :


99

• La première raison, la plus simple, concerne le domaine d’application des lois :

les lois d’endommagement par fatigue étudiées sont d’abord conçues pour des

sollicitations simples alternées symétriques et à amplitude constante ; c’est par la suite que

les auteurs proposent des extensions de leur application aux sollicitations complexes,

souvent sans confrontation à l’expérience.

• La seconde raison est liée à la nature des sollicitations (états de contrainte) et

aux répercussions que cela engendre quant aux contraintes réelles s'exerçant sur les plans

matériels. Dans le cas de chargements où des sollicitations de flexion plane et de torsion se

succèdent, les contraintes correspondantes n’ont pas les mêmes directions principales. Les

lois de Miner, de Ellyin, de Grover, de Manson et de Subramanyan qui n’utilisent que les

nombres de cycles dans leur fonction de dommage, ne tiennent pas compte de la nature

distincte des sollicitations dans une séquence, ces nombres de cycles étant introduits

indépendamment de la nature de la sollicitation. A titre d'exemple, si on s'intéresse

seulement aux niveaux de contraintes, on risque de considérer des essais de flexion plane

puis torsion et de torsion puis flexion plane (figures 39(a) et 39(b)) comme des essais Bas-

Haut et des essais Haut-Bas, respectivement. C’est d’ailleurs l’erreur qui est commise avec

les lois de Gatts, de Henry et de Bui Quoc qui utilisent les contraintes sans se soucier du

fait que les amplitudes des contraintes de flexion plane et de torsion sont dans un certain

rapport pour une équivalence en durée de vie (ce rapport est sensiblement égal à 2 dans

le cas des essais de Bennebach [36], figure 40).

(a) (b)

Fonte GS61 en torsion (249 MPa) puis en flexion plane (303 MPa)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2 Gatts

Bui Quoc

Ellyin

Lemaitre

Manson

SubramanyanMiner

Exp

Henry

Fonte GS61 en f lexion plane (303 MPa) puis en torsion (249 MPa)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

r2Gatts

Bui-QuocHenry

Ellyin

Lemaitre

Manson

SubramanyanMiner

Exp


100

(c) (d)

Figure 39 : Courbes de fractions de vie de la fonte GS61 sous sollicitations de flexion

plane et torsion

(a) : essais Haut-Bas de torsion puis flexion plane (249 MPa, 303 MPa)

(b) : essais Bas-Haut de flexion plane puis torsion (303 MPa, 249MPa)

(c): essais Bas-Haut de flexion plane puis torsion (352 MPa, 233 MPa)

(d) : essais Haut-Bas de torsion puis flexion plane (233 MPa, 352 MPa)

Fonte GS61en flexion plane (352 MPa) puis en torsion (233 MPa)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

r2 Gatts

Bui-Quoc

Henyr

Ellyin

Manson

SubramanyanMiner

Exp

Lemaitre

Fonte GS61 en torsion (233 MPa) puis en f lexion plane (352 MPa)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

r2 Gatts

bui-Quoc

Henry

Ellyin

Manson

SubramanyanMiner

Exp

Lemaitre


101

A priori, l’allure particulière des courbes de fractions de vie de la loi de Gatts peut

provenir de la définition de sa limite d’endurance instantanée. Les études du prochain

chapitre, consacré à la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence, nous

permettront de mieux comprendre cette particularité.

Figure 40 : Correspondance et équivalence au sens de la durée de vie entre les niveaux de

contrainte en torsion et les niveaux de contrainte en flexion plane, pour la fonte GS61 [36]

4 – CONCLUSION

La confrontation des lois à l’expérience d’une part et la comparaison de leurs

performances d’autre part conduisent aux observations suivantes :

• La "défaillance" commune aux lois d'endommagement en fatigue semble provenir

du fait qu'elles ne tiennent pas compte de la variation des paramètres matériau lors des

calculs de durée de vie. Pour la plupart des auteurs, ces constantes ne dépendent que du

matériau et du niveau de contrainte considéré, alors qu’elles dépendent probablement

également du niveau d'endommagement atteint, c'est à dire de la fraction de écoulée (donc

du nombre de cycles subis). La prise en compte de la variation de ces constantes s’avère

être un bon moyen de tenir compte de l’histoire du chargement, et donc de l'effet mémoire

de l'endommagement.

• Les mauvaises performances des lois dans des cas de chargement comportant des

blocs de sollicitations de niveaux très éloignés se justifient par le fait que les lois sont, en


102

général, élaborées pour être appliquées à des sollicitations simples alternées symétriques

dont le mécanisme physique d'endommagement est analogue ou tout au moins supposé

comme tel. Pour des niveaux de contraintes fortement distants, il est probable que les

mécanismes mis en jeu sont très distincts et n'obéissent pas au même modèle.

• En ce qui concerne le cumul de dommage consécutif à des blocs de cycles de

sollicitations différentes, les lois qui utilisent explicitement les contraintes dans leurs

fonctions de dommage doivent tenir compte des rapports de sévérité, du point de vue de la

fatigue, entre les contraintes normale et tangentielle en vue de traduire correctement

l’influence de la nature de la sollicitation dans les calculs de durée de vie. Les exemples de

la figure 36 sont là pour l'attester.

Notons que l’influence de la contrainte moyenne n’a pas été étudiée en raison du manque

de résultats d’essais appropriés. Mais toutes les lois qui utilisent les limites d’endurance

sont capables de prendre en compte cet effet par l'intermédiaire d'une contrainte

équivalente au sens du diagramme de Haigh.

Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence

102

CHAPITRE IV

ETUDE DE LA SENSIBILITE DES LOIS

VIS A VIS DE LEURS PARAMETRES D’INFLUENCE

L’objet de ce chapitre est l’étude de la sensibilité des lois par rapport à la variation de

leurs paramètres d’influence, cette sensibilité étant mesurée sur les prévisions de durée de vie.

Nous avons suggéré à la fin du chapitre 3 que les erreurs de prévision des lois

d’endommagement pouvaient provenir de la non prise en compte, dans les calculs

prévisionnels de durée de vie, de la variation des caractéristiques des matériaux au cours de

leur vie.

Nous cherchons en fait à travers cette étude une manière adéquate d’intégrer la

variation de ces paramètres dans les calculs de durée de vie. Certains modèles postulent

d'ailleurs une évolution d'une propriété caractéristique du comportement en fatigue, la limite

d'endurance.

Nous allons observer dans un premier temps l'évolution de ce paramètre au cours de la

vie du matériau pour établir le lien effectif entre le postulat de départ et sa traduction au sein

du formalisme.

La première partie de ce chapitre est donc consacrée à l'étude de la variation de la

limite d'endurance telle qu'elle est prévue par les modèles de Henry et de Gatts. La seconde

partie du chapitre vise à mesurer l'influence de la variation des constantes des lois (elles sont

souvent issues de caractéristiques cycliques des matériaux), qui apparaissent comme

coefficients de calage ou comme exposants dans les formulations des lois, sur les résultats de

fraction de vie qu'elles fournissent.

1 – VARIATION DE LA LIMITE D’ENDURANCE

Henry et Gatts ont proposé, comme cela a été explicité au chapitre I, des fonctions

d’évolution de la limite d’endurance en fonction de la fraction de vie r et de la contrainte

addimentionnelle γ :


103

( )( )r

r1D −γ

−γ=γ

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−γ−γ+−

−γ=γ1r1C1r

11D

Nous les avons appliquées aux quatre matériaux différents soumis à des essais de

fatigue à deux niveaux de contrainte (essais Haut-Bas et Bas-Haut).

1. 1 – Modèle de variation de la limite d’endurance de Henry

Quelles que soient la nature du matériau et celle des sollicitations, la particularité du

mode d’évolution de la limite d’endurance est la suivante :

• La valeur instantanée (ou valeur courante) de la limite d’endurance décroît de sa

valeur initiale (celle du matériau vierge) à la valeur nulle quand le nombre de cycles appliqués

sous le niveau de contrainte donné varie de zéro au nombre de cycles à rupture.

• Plus le niveau de contrainte est élevé, plus grand est le taux de décroissance de cette

limite d’endurance (figure 41).

1. 2 – Modèle de variation de la limite d’endurance de Gatts

Les figures 42(a) à 42(c) montrent qu’avec ce modèle, quels que soient la nature du

matériau, celle de la sollicitation et le niveau de contrainte appliqué, la limite d’endurance du

matériau sollicité ne s’annule pas au moment de sa ruine (c’est à dire à la rupture, où la

fraction de vie r1 au premier niveau de contrainte vaut l’unité).

La loi de Gatts s’adapte de manière particulière aux sollicitations de niveau supérieur à

1,6.σD0 (σD0 étant la limite d’endurance initiale c’est à dire celle du matériau vierge) comme

le montre la figure 42(a). Les courbes représentatives de la décroissance de la limite

d’endurance, pour ces niveaux de contrainte (au-dessus de 1,6.σD0), sont des droites.

On constate de plus que la décroissance de la limite d’endurance, selon le modèle de

Gatts, est d’autant plus importante que le niveau de sollicitation est faible (un premier niveau

de contrainte importante n’entraîne pas une grande diminution de la limite d’endurance

initiale alors qu’au contraire des sollicitations légèrement au dessus de la imite d’endurance

veut voir cette dernière fortement chuter).


104

(a) (b)

(c) (d)

Figure 41 : Modèle d’évolution de la limite d’endurance selon Henry

(a) acier 35CD4 en flexion rotative,

(b) acier doux SAE 4130 en flexion rotative,

(c) Fonte GS61 en flexion plane,

(d) Fonte GS61 en torsion.

Evolution de la limite d'endurance en fonction duniveau de contrainte et de la fraction de vie à ce niveau . Modèle de Henry pour la fonte GS61 en flexionplane. La limite d'endurance initiale est σD0 = 280,7MPa.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

γD

320 MPa

352 MPa

303 MPa

Evolution de la limite d'endurance en fonction duniveau de la contrainte et de fraction de vie à ce niveau . Modèle de Henry pour la fonte GS61 en torsion. Lalimite d'endurance initiale estσD0 = 211,8 MPa.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

γD

249 MPa

233 MPa

Evolution de la limite d'endurance en fonction duniveau de contrainte et de la fraction de vie à ce niveau. Modèle de Henry pour l'acier 35CD4 en flexionrotative. La limite d'endurance init iale est σD0 = 524,85 MPa

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0,0 0,5 1,0r1

γ D

650 MPa

630 MPa

550 MPa

560 MPa

Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau de contrainte et de la fraction de vie à ce niveau . Modèle deHenry pour l'acier SAE 4130 en flexion rotative. La limited'endurance initiale est σD0 = 482,5 MPa,

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

γD

965 MPa

827 MPa

689 MPa

586 MPa

517 MPa


105

(a)

(b) (c)

Figure 42 : Modèle d’évolution de la limite d’endurance selon Gatts

(a) Acier Maraging 300CVM en flexion rotative,

(b) Fonte GS61 soumise à une flexion plane,

(c) Fonte GS61 soumise à une torsion.

Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau de contrainte et de la fraction de vie à ce niveau. Modèle de Gatts pour l'acier 300CVM en flexion rotative. La limite d'endurance initiale est σD0 = 689 MPa,

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

γD

2000 MPa

1793 MPa

1655 MPa

1379 MPa

1103 MPa

1448 MPa

965 MPa

1241 MPa

724 MPa

827 MPa

Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau decontrainte et dde la fraction de vie à ce niveau. Modèle de Gatts pour la fonte GS61 en flexion plane. La limite d'enduranceinitiale est σD0 = 280,7 MPa.

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

γD

320 Mpa

352 Mpa

303 MPa

Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau decontrainte et de la fraction de vie à ce niveau. Modèle de Gattspour la Fonte GS61 en torsion. La limite d'endurance initiale est τD0 = 211,8 MPa,

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

γD

249 MPa

233 MPa


106

La particularité du modèle de Gatts consiste en une décroissance de la limite

d’endurance du matériau au cours de sa vie, plus faible lorsque les niveaux de contrainte

appliqués sont les plu importants.

2 – ETUDE DE LA SENSIBILITE DES LOIS D’ENDOMMAGEMENT VIS A VIS DE

LEURS PARAMETRES D’INFLUENCE

Pour ce travail, nous faisons varier la valeur des paramètres dans des proportions

d’étude de ± 10%, ± 5% et de + 1%, puis nous calculons simplement les écarts entre les

valeurs de la fraction de vie obtenues et celles calculées avec la valeur initiale du paramètre.

Cet écart de fraction de vie est défini par : 20%x22 rrr −=∆ ,

où r20 est la fraction de vie correspondant à la valeur initiale du paramètre,

r2x% est la fraction de vie correspondant à la nouvelle valeur du paramètre, avec x%

pouvant prendre les valeurs modifiées de ± 10%, ± 5% et de + 1%.

2.1 – Etude de sensibilité de la loi de Ellyin à la variation de la limite d’endurance

réduite *DN

La figure 43 présente les variations de fraction de vie observées pour les essais de

flexion plane à deux niveaux ou de torsion à deux niveaux également, soit pour un

chargement Haut-Bas, soit pour un chargement Bas-Haut.

Nous constatons sur les figures 43(a) à 43(d) que quels que soient la nature de la

sollicitation et le type d’essais (essais Haut-Bas ou essais Bas-Haut) les valeurs des écarts

obtenus pour les cinq pourcentages sont négligeables : aucune valeur n’excède 5.10-3. Toute

diminution de la valeur de la constante *DN augmente la valeur de la fraction de vie au second

niveau de contrainte pour les essais Bas-Haut, et inversement la réduit dans le cas des essais

Haut-Bas. Réciproquement, l’augmentation de la valeur de *DN augmente la valeur de la

fraction de vie au second niveau de contrainte pour les essais Haut-Bas mais la réduit pour les

essais Bas-Haut. Compte tenu des très faibles valeurs des écarts de fractions de vie au second

niveau de contrainte, nous pouvons considérer la loi de Ellyin comme étant très peu sensible à

la variation de son paramètre *DN .


107

(a) (b)

(c) (d)

Figure 43 : Sensibilité de la loi de Ellyin vis à vis de la limite d’endurance réduite *DN pour

une fonte GS61

(a) et (b) : essais Haut-Bas et Bas-Haut de flexion plane

(c) et (d) : essais Haut-Bas et Bas-Haut de torsion

Sensibilité de la loi de Ellyin par rapport à ND*

Fonte GS61 en flexion plane 124240-573400 cycles.

-6,0E-03

-4,0E-03

-2,0E-03

0,0E+00

2,0E-03

4,0E-03

6,0E-03

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


Fonte GS61 en flexion plane 573400-124240 cycles.

-6,0E-03

-4,0E-03

-2,0E-03

0,0E+00

2,0E-03

4,0E-03

6,0E-03

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


Fonte GS61 en torsion 144890-274180 cycles.

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


Fonte GS61 en torsion 274180-144890 cycles.

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%-5%

1%

5%


108

2.2 – Etude de sensibilité de la loi de Bui Quoc à la variation de la constante m

Les quatre graphiques de la figure 44 montrent que la diminution de la valeur de la

constante m entraîne une diminution des valeurs de la fraction de vie au second niveau de

contrainte pour les essais Haut-Bas mais l’augmente dans le cas des essais Bas-Haut.

Réciproquement, l’augmentation de la valeur de m augmente les valeurs de la fraction de vie

au second niveau de contrainte pour les essais Haut-Bas et les abaisse pour les essais Bas-

Haut. Les valeurs de ces écarts sont cependantassez faibles (inférieures 3.10-3) pour être

négligées. Autrement dit, la loi de Bui-Quoc est assez peu sensible à la variation de sa

constante m.

Pour des essais Haut-Bas avec des écarts importants entre les deux niveaux de

contrainte (figure 44 (a)), les valeurs maximales des écarts de fractions de vie au second

niveau de contrainte sont atteintes pour de faibles valeurs de la fraction de vie au premier

niveau de contrainte. Par contre, pour des essais Bas-Haut avec les mêmes écarts importants

entre les deux niveaux de contraint, elles sont atteintes pour de grandes valeurs de fraction de

vie au premier niveau de contrainte (figure 44 (d)). Dans les cas d’essais avec deux niveaux

de contrainte proches, les valeurs maximales des écarts sont atteintes pratiquement à moitié de

vie du matériau sous le premier niveau de contrainte.

2.3 – Etude de sensibilité de la loi de Lemaitre et Chaboche à la variation de la constante β La figure 45 montre que la valeur de la fraction de vie au second niveau de contrainte

varie dans le même sens que la constante β pour les essais Haut-Bas et Bas-Haut. Les valeurs

maximales des écarts de fractions de vie au second niveau de contrainte pour la loi de

Lemaitre et Chaboche sont supérieures à celles obtenues avec la loi de Ellyin et la loi de Bui-

Quoc : elles atteignent près de 4.10-2 ce qui n’est pas forcément négligeable.


109

(a) (b)

(c) (d)

Figure 44 : Sensibilité de la loi de Bui-Quoc à la variation de sa constante m pour l’acier

Maraging 300CVM en flexion rotative

(a) et (b) Essais Haut-Bas,

(c) et (d) Essais Bas-Haut.

Sensibilit é de la lo i de Bui Quoc à la variat ion de la const ant e m . Acier 300CVM en flexion rot at ive :

1280-244000 cycles.

-3 ,0E-03

-2 ,0E-03

-1 ,0E-03

0,0E+00

1,0E-03

2,0E-03

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sensibilit é de la lo i de Bui Quoc à la variat ion de la const ant e m . Acier 300CVM en flexion

ro t at ive : 12000-44000cycles.

-4 ,0E-04

-3 ,0E-04

-2 ,0E-04

-1 ,0E-04

0,0E+00

1,0E-04

2,0E-04

3,0E-04

4,0E-04

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sensibilit é de la lo i de Bu -Quoc à la variat ion de la const ant e m . Acier 300CVM en flexion rot at ive :

94000-3800 cycles.

-2 ,0E-03

-1,0E-03

0,0E+00

1,0E-03

2,0E-03

0,0 0 ,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sensibilit é de la lo i de Bui Quoc à la variat ion de la const ant e m. Acier 300CVM en flex ion rot at ive :

244000-1280 cycles.

-2 ,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

3,0E-03

0,0 0,2 0,4 0 ,6 0,8 1,0r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


110

(a) (b)

(c) (d)

Figure 45 : Sensibilité de la loi de Lemaitre-Chaboche à sa constante β pour l’acier Maraging

300CVM en flexion rotative


(c) et (d) : Essais Bas-Haut.

2.4 – Etude de sensibilité de la loi de Manson à la variation de ses constantes p et b

Pour la loi de Manson, nous avons étudié séparément l’influence de la variation de ses

deux paramètres p et b sur son comportement. L’étude est réalisée, avec les mêmes essais que

ceux utilisés pour les études de sensibilité des lois de Bui-Quoc et de Lemaitre-Chaboche. Les

résultats sont présentés sur la figure 46. On s’aperçoit que le sens de variation de la fraction

Sensibilit é de la lo i de Lem ait re-Chaboche à la variat ion de la const ant e β . Acier 300CVM en

flex ion ro t at ive : 1280-244000 cycles.

-0 ,04

-0 ,02

0,00

0,02

0,04

0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


flex ion ro t at ive : 12000-44000 cycles.

-0 ,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


flex ion ro t at ive : 94000-3800 cycles

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,0 0,5 1,0

∆ r2

r1-10%

-5%

1%

5%

10%


flexion rot at ive : 244000-1280 cycles.

-0 ,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,0 0,2 0 ,4 0,6 0,8 1 ,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


111

de vie au second niveau de contrainte est le même que le sens de variation de l’une ou de

l’autre des deux constantes. Les valeurs des écarts de fraction de vie au second niveau de

contrainte sont très importantes (environ 0,85) dans le cas de la variation de la constante b

(figure 46(a)), ce qui apparaît justifié puisqu’il s’agit de l’exposant de la durée de vie totale

dans l’expression de la courbe S-N du matériau.

(a)

(b)

Sensibilit é de la lo i de M anson à la variat ion de la const an t e p . Acier 300CVM en flex ion ro t at ive

1280-244000 cycles.

-0 ,4

-0 ,3

-0 ,2

-0 ,1

0 ,0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sensibilit é de la lo i de Manson à la variat ion de la const ant e b. Acier 300CVM en lexion ro t at ive

1280-244000 cycles.

-0 ,9

-0,7

-0,5

-0,3

-0,1

0,1

0,3

0,5

0,0 0,2 0 ,4 0,6 0,8 1,0r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sensibilité de la loi de M anson à la variat ion de la constante p . Acier 300CVM en flexion

rotative :12000-44000 cy cles,

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

r1

∆r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sensibilité de la loi de M anson à la variation de la constante b. Acier 300CVM en flexion

rotative :12000-44000 cy cles.

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


112

(c)

(d)

Figure 46 : Sensibilité de la loi de Manson à ses constantes p et b pour l’acier Maraging

300CVM


(c) et (d) Essais Bas-Haut.

Remarque : Les courbes des écarts de la fraction de vie au second niveau de contrainte

comprennent pour simplifier trois segments de droite. La raison en est simple, elle peut

s’expliquer sur la figure 47 où est représentée, dans deux cas particuliers de cumul de

Sensibilité de la loi de M anson p ar rap p ort à la variat ion de la constante p . Acier 300CVM en

fexion rotative :94000-3800 cy cles.

-0 ,05

-0 ,04

-0 ,03

-0 ,02

-0 ,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sensibilit é de la lo i de Manson par rapport à la variat ion de la const ant e b. Acier 300CVM en

fexion ro t at ive :94000-3800 cycles.

-0 ,4

-0 ,3

-0 ,2

-0 ,1

0 ,0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sensibilité de la loi de M anson p ar rap p ort à la variat ion de la constante p . Acier 300CVM en

fexion rotat ive :244000-1280 cy cles.

-0,10

-0,08-0,06

-0,04

-0,020,00

0,02

0,04

0,060,08

0,10

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆r2

-10%

-5%

1%

5%

10%

Sens ibilité de la lo i de M ans on par rapport à la variation de la cons tante b . 300CVM

en flexion rotative 244000-1280 cycles .

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

∆ r2

-10%

-5%

1%

5%

10%


113

dommage à deux niveaux, la fraction de vie r2 au second niveau en fonction de la fraction de

vie r1. Le formalisme de la loi est tel qu’une courbe r2 = f(r1) est composée de deux segments

de droite qui s’interceptent en un point anguleux. La sensibilité de la loi au paramètre p ou au

paramètre b se traduit par une nouvelle courbe dont le point anguleux n’a pas la même

abscisse que la courbe initiale (obtenue sans variation ni de p, ni de b). L’écart de la fraction

de vie au second niveau, qui s’obtient par soustraction des deux courbes, donne lieu à trois

segments de sens de variation successifs opposés, ce qui explique leur forme particulière,

figure 46.

(a) (b)

Figure 47 : Courbes de fractions de vie de la loi de Manson pour l’acier 300CVM en flexion

rotative

(a) influence de la variation du paramètre p,

(b) influence de la variation du paramètre b.

3 – SYNTHESE ET CONCLUSION

L'étude de la variation de la limite d'endurance telle qu'elle est modélisée au sein des

lois d'endommagement de Henry et de Gatts, et l'étude de l'influence de différents paramètres

propres aux lois d'endommagement étudiées sur leurs prévisions de fraction de vie, ont permis

de faire plusieurs observations relatives à l'interprétation et à la validité des résultats obtenus :

• L’idée de la variation de la limite d’endurance d’un matériau vierge est justifiable. En

effet, la littérature désigne par limite d'endurance d'un matériau vierge le niveau de contrainte

maximale d'un cycle de contrainte que ce matériau peut supporter indéfiniment sans connaître

Sensibilité de la loi de M anson p ar rap p ort à la variation de p . Acier 300CVM en flexion

rotat ive, 1280-244000 cy cles

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

r2

-10%

-5%

5%

10%

0%

1%

exp

Sensibilité de la loi de M anson p ar rap p ort à la variat ion de b. Acier 300CVM en flexion

rotative, 244000-1280

-0,1

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,1

1,3

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

r2

0%

-10%

-5%

1%

5%

10%

exp


114

l'amorçage d'une fissure macroscopique. Un matériau endommagé, c'est à dire ayant été

soumis à un certain nombre de cycles de niveau de contrainte supérieur à celui de la limite

d'endurance du matériau vierge, peut très bien se voir attribuer la même règle pour la

définition de sa nouvelle limite d'endurance : le niveau de contrainte maximal pour lequel il

peut supporter un nombre infini de cycles. On conçoit ainsi aisément que la limite

d'endurance d'un matériau, telle que définie ci-dessus, diminue progressivement au fur et à

mesure que le cumul de dommage du matériau augmente.

• Chaque loi d'endommagement a ses propres paramètres ou variables de calage. L'étude

de l'influence de la variation de ces paramètres sur les prévisions de fractions de vie des lois

témoigne d'une sensibilité plus ou moins marquée suivant les cas. La variation imposée de ces

paramètres autour de leur "nominale" issue des essais recensés dans la littérature va de +10%

à –10%. La limite d'endurance réduite de la loi de Ellyin n'a que très peu d'influence sur les

fractions de durée de vie du second niveau (pour un essai de fatigue à deux niveaux). La loi de

Bui Quoc est-elle aussi peu sensible aux variations de son paramètre m. les calculs de fraction

de vie réalisés à l'aide de la loi de Lemaitre et Chaboche montrent une certaine sensibilité aux

variations du paramètre β de la loi. En ce qui concerne la loi de Manson, sa sensibilité à ses

deux paramètres p et b a été étudiée. Les résultats de ses prévisions sont entièrement

dépendants de toute variation de ces deux paramètres. Il est clair que pour cette loi une grande

précision doit être apportée à la détermination des paramètres en question car les résultats

peuvent être complètement modifiés encas d'approximation de leurs valeurs.

• Les paramètres qui entraînent la plus grande variabilité des résultats sont ceux qui

touchent à la courbe S-N (ou aux courbes S-N) du matériau. Il paraît conforme à la logique

q'une variation relative de la position de cette courbe S-N puisse avoir une grande incidence

sur les fractions de vie (d'autant plus que les fractions utilisent les nombres de cycles tandis

que la courbe S-N a bien souvent une échelle logarithmique (logN) pour son abscisse, ce qui

décuple l'effet de la variation.

Remarque : Nous avons volontairement choisi volontairement dans ce chapitre d'examiner

les variations des fractions de vie plutôt que leurs variations relatives pour juger de la

sensibilité des lois à certains de leurs paramètres. La raison en est simple : c'est pour éviter de

donner beaucoup d'importance à certaines variations qui ne sont pas forcément significatives.

Prenons le cas d'un essai à deux niveaux dans lequel le premier niveau apporte la majeure

partie du dommage. Le second niveau va donc se retrouver avec une fraction de vie très

faible. La variation du paramètre étudié peut dans certains cas légèrement modifier la fraction


115

de vie au premier niveau et incidemment celle du second niveau, ce qui en valeur relative, va

considérablement modifier cette dernière. C'est la particularité de l'essai à deux niveaux choisi

qui donnerait à la fraction de vie calculée en valeur relative une très grande importance dans

ce cas, ce qui nous a paru nécessaire d'éviter car il est mal représentatif.

Chapitre V Proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre & Chaboche

116

CHAPITRE V

PROPOSITION D’AMELIORATION DE LA LOI DE

LEMAITRE ET CHABOCHE

L’étude de la sensibilité des lois d'endommagement en fatigue aux variations de leurs

paramètres d'influence, réalisée au chapitre IV, a suggéré que certains paramètres du

matériau, longtemps considérés sans doute à tort comme des constantes immuables tout au

long de la vie du matériau se révèlent en fait être des quantités variables.

Leur variabilité est fonction des niveaux de contrainte des cycles appliqués, de l'ordre

d'apparition de ces niveaux de contrainte (effet de séquence), de la nature de la sollicitation et

du nombre de cycles appliqués aux différents niveaux rencontrés. Pour simplifier, les

caractéristiques ou paramètres matériau sont susceptibles d’évoluer en fonction de l’état

d’endommagement du matériau.

1– MISE EN ÉVIDENCE DE LA VARIATION DU PARAMÈTRE β DE LA LOI DE

LEMAITRE ET CHABOCHE

Pour mettre en exergue le fait que le paramètre β de la loi de Lemaitre et Chaboche

doit nécessairement varier pour traduire correctement le cumul de dommage observé

expérimentalement lors d’essais de fatigue à deux niveaux, nous avons cherché à calculer la

valeur de β pour chaque essai qui permet une évaluation exacte de la fraction de vie résiduelle

du second niveau. C’est un peu le principe d’une méthode inverse qui est appliquée ici, même

si ce principe est ici simple d’application.

Lors de la présentation de la loi de Lemaitre et Chaboche au chapitre I, nous avons vu

que la fraction de vie r2 d’un essai à deux niveaux s’exprime suivant :

1er cas : 0D2 σ>σ ( )10 <α< : ( )( )βσσ−= 212rN1rN12 r1r (81)

2ème cas : 0D2 σ<σ ( )0=α : ( )( )βσσ−= 2112 rlnr (82)


117

Connaissant, σ1, Nr1 et r1 d’une part (données expérimentales du premier niveau) et σ2,

Nr2 et r2 d’autre part (au second niveau), on détermine la valeur de β correspondant à la

relation (81) ou (82) concernée par le cas rencontré. Les expressions sont données par :

1er cas : )10(0D2 <α<σ>σ

[ ] )/ln(/)rln(N/)r1ln(Nln 2111r22r σσ−=β

2ème cas : )0(0D2 =ασ≤σ

)/ln(/)rln/rln( 2112 σσ−=β

La valeur de β a ainsi été calculée pour chaque essai de cumul de dommage à deux

niveaux (essais présentés au chapitre II et déjà mis à contribution au chapitre III).

Le tableau 30 récapitule les données matériau de l’ensemble des essais, notamment en

indiquant le rapport γ1 relatif au premier niveau (γ1 = σ1/σD0).

Type d'essai Bas-Haut Haut-Bas Bas-Haut Haut-Bas Haut-Bas Haut-Bas Bas-Haut Haut-Bas

γ1 =σ1/σD0 1,20 1,43 1,60 1,71 2,00 2,10 2,40 2,90

σ1 σ2 σ1 σ2 σ1 σ2 σ1 σ2 σ1 σ2 σ1 σ2 σ1 σ2 σ1 σ2

Acier doux

SAE4130

689

MPa

586

MPa

827

MPa

758

MPa

965

MPa

827

MPa

Acier

300CVM

827

MPa

2000

MPa

1103

MPa

2000

MPa

1379

MPa

1103

MPa

1448

MPa

965

MPa

1655

MPa

2000

MPa

2000

MPa

1655

MPa

Tableau 30 : Récapitulatif des données des essais de fatigue à deux niveaux

La figure 48 pour sa part présente graphiquement les valeurs de β calculées pour tous

les essais de cumul de dommage concernant l’acier SAE4130 (figure 48(a)) et l’acier

Maraging 300CVM (figure 48(b)).


118

(a) (b)

Figure 48 : Evolution du paramètre β en fonction du premier niveau de contrainte γ1

et de la fraction de vie r1 sous ce niveau

(a) : acier SAE 4130, essai Haut-Bas en flexion rotative,

(b) : acier 300CVM, essai Haut-Bas et Bas-Haut en flexion rotative.

β0 est la valeur de β du matériau vierge, calculée initialement selon la procédure

habituelle mise en œuvre pour la loi de Lemaitre et Chaboche.

Une étude similaire est réalisée pour les essais de cumul de dommage menés sur la

fonte GS61 et sur l'acier 35CD4 trempé revenu. Les résultats obtenus sont présentés dans les

tableaux 31 et 32 respectivement. Ils mettent en évidence l'effet sur la valeur de β, de l’ordre

d’apparition des blocs de cycles des 2 niveaux, de la nature de la sollicitation appliquée et de

la fraction de vie du premier niveau.

Tableau 31 : Valeurs du paramètre matériau β pour les essais de cumul de dommage sur la

fonte GS61

Evolution de β en fonction du niveau de contrainte et du nombre de cycles appliqués.Acier SAE 4130, flexion rotative, β0

= 5,5

456789

10111213

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0r1

β

γ 1=2,00

γ 1=1,71

γ 1=1,43

Evolution de β en fonction du niveau decontrainte et du nombre de cycles appliqués.Acier 300CVM, flexion rotative, β0 = 4

1

2

3

4

5

6

7

8

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

β

γ 1=2,90

γ 1=2,00

γ 1=2,10

γ 1=2,40

γ 1=1,20

γ 1=1,60

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles)Fp 352 124 240 320 284 540 0,40 1,25 4,53Fp 352 124 240 303 573 400 0,40 1,25 5,40Fp+To 352 124 240 233 274 180 0,40 1,60 4,05

To 233 274 180 249 144 890 0,58 1,10 14,80To+Fp 233 274 180 352 124 240 0,58 1,06 0,59To 244 144 890 233 274 180 0,35 1,18 5,90To+Fp 244 144 890 303 573 400 0,35 1,13 -2,83FP 303 573 400 352 124 240 0,28 1,08 4,91Fp+To 303 573 400 249 144 890 0,28 1,38 -7,15

γ1 β

et du nombre de cycles de contrainte du premier niveau, pour la fonte GS61 [36].Valeurs du paramètre β en fonction de la nature de la sollicitation, du niveau

Sollicitation r1


119

Tableau 32 : Valeurs du paramètre β en fonction de la nature de la sollicitation, du niveau de

contrainte et du nombre de cycles appliqués à l'acier 35CD4 trempé revenu

Nous pouvons affirmer, à partir de cette étude, que le paramètre β (appelé auparavant

constante de la loi de Lemaitre et Chaboche) évolue en fonction des paramètres du

chargement. Par conséquent, les autres paramètres de la loi de Lemaitre et Chaboche, à savoir

α et M0, varient eux aussi en fonction de l'état d'endommagement du matériau.

Le paragraphe suivant présente la recherche d'une loi d'évolution du paramètre β en vue

d’intégrer l'influence des différents paramètres du chargement, pour améliorer ses prévisions

de tenue à la fatigue du matériau.

2 – RECHERCHE DE LA LOI D'ÉVOLUTION DU PARAMÈTRE β

Nous avons choisi de lier l'évolution du paramètre β à celle de la limite d'endurance du

matériau. Ce choix a l'avantage de coupler les variations de deux propriétés caractéristiques

du matériau, toutes les deux modifiées par le chargement appliqué. De plus, à travers la

variable limite d'endurance, nous pouvons intégrer les effets de la contrainte moyenne et de la

nature de la sollicitation. Nous utilisons pour cela les deux modèles d'évolution de la limite

d'endurance, celui de Henry [11] et celui de Gatts [20].

2.1 – Hypothèses

Outre les hypothèses propres à la loi de Lemaitre et Chaboche (cf chapitre I), nous

supposons que :

Hyp. 1 : L’endommagement du matériau entraîne l'altération continue de ses propriétés

physiques, métallurgiques et mécaniques. En particulier, il engendre une diminution de sa

résistance statique et de sa résistance à la fatigue (limite d’endurance).

σ 1 N r1 σ 2 N r2(MPa) (cycles) (MPa) (cycles)

650 70 000 550 330 000 0,21 1,24 2,98 630 95 000 560 320 000 0,31 1,20 1,20 550 330 000 650 70 000 0,06 1,05 10,21 560 320000 660 56000 0,33 1,07 10,77

Valeurs du paramètre β en fonction du niveau et du nombre de cycles de contrainte au premier niveau, pour l'acier 35CD4 trempé revenu soumis à une flexion rotative [38].

r 1 γ 1 β


120

Hyp. 2 : Le matériau endommagé a une limite d’endurance actuelle (ou instantanée) liée à son

paramètre β. A l’état vierge du matériau, β admet une valeur β0, obtenue à partir de la courbe

S-N.

Les hypothèses utilisées pour les lois de Henry et de Gatts restent valables ici.

2.2 – Propositions

On suppose qu'un matériau soumis à un chargement composé de plusieurs blocs

successifs d'amplitudes différentes (mais constantes au sein de chaque bloc), a des

caractéristiques mécaniques qui dépendent de l’effet des cycles de contrainte précédemment

appliqués. Une façon pratique de graduer la vie d'un matériau, et donc de prendre en compte

ces effets de chargement est d'utiliser la fraction de vie équivalente (ou le nombre de cycles

équivalent), comme cela a été fait pour la présentation des différentes lois de la bibliographie.

Ainsi, en tenant compte des résultats de l'étude du premier paragraphe de ce chapitre,

l'évolution du paramètre β peut être décrite par l’une ou l’autre des 2 propositions suivantes :

ieqrDI

01 eγ

β=β

( ) ( )102

−+= DIieqrieq er γββ

Où γDI est la limite d'endurance de Henry (γDH), ou de Gatts (γDG), correspondant à la

fraction de vie ri, suivant le modèle utilisé de la limite d'endurance.

rieq est la fraction de vie équivalente, c'est à dire la fraction de vie sous le niveau de

contrainte σi qui produirait le même dommage que les ni-1 cycles du niveau de contrainte σi-1.

Ses expressions pour la loi de Henry et celle de Gatts sont respectivement :

11

1

−+=

−

−

ii

iiieq D

Drγγ avec ( )

1i1i

1i1i1i r

1rD−−

−−− −γ

−γ= (dommage causé par les ni-1 cycles),

( )( )( )( )1

1

111

−

−

−−−−

=DGiii

DGiiieq γγCγ

γCγr

avec ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−γ−γ

+−

−γ=γ−

−−−−− 1

r1C1

r111i

1i1i1i1i1DGi

γDGi-1est la limite d'endurance du matériau à la fin de la fraction de vie ri-1.

Pour des essais de fatigue à deux niveaux avec n1 cycles au premier niveau, puis des

cycles au second niveau jusqu'à rupture de l'éprouvette, les deux fonctions d'évolution de β

s'écrivent :


121

DI1r01 e γβ=β

( ) ( )1102

1 −+= DIrer γββ .

2.3 – Comparaison des résultats

Les confrontations des résultats des deux propositions d'évolution de β aux valeurs

expérimentales sont représentées sur la figure 49 pour les essais Haut-Bas et sur la figure 48

pour les essais Bas-Haut.

Pour les essais Haut-Bas sur l'acier SAE 4130 doux c'est la première proposition

(notée β1G) utilisant la limite d'endurance de Gatts qui approche au mieux les résultats

expérimentaux. Pour l'acier 300CVM en revanche, aucune des deux propositions ne fournit

d'amélioration substantielle des prévisions.

(a) (b)

(c) (d)

Evolution de Beta pour l'acier doux SAE 4130 sous flexion rotative de 1700-14000 cycles

β0 = 5,5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 r1

β

Exp

β1H

β1G

β2H β2G

Evolution de Beta pour l'acier doux SAE 4130 sous flexion rotative de 485-1700 cycles.

β 0 = 5,5

0 2 4 6 8

10 12

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 r1

β

Exp

β1H

β1G

β2H

β2G


β0 = 5,5

0

2

4

6

8

10

12

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 r1

β

Exp β1H

β1G

β2H β2G


β0 = 5,5

0 2 4 6 8

10 12 14

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 r1

β

Exp

β1H

β1G

β2H

β2G


122

(e) (f)

Figure 49 : Courbes d'évolution du paramètre β modifié pour des essais de flexion rotative en

régime de contrainte Haut-Bas : (a) – (d) : sur l'acier doux SAE 4310, (e), (f) : sur l'acier

300CVM. Les courbes β1H et β1G sont celles données par la première proposition de la loi

d'évolution de β utilisant la limite d'endurance de Henry et de Gatts respectivement ; β2H et

β2G sont celles données par la seconde proposition.

(a) (b)

Evolution de Beta pour 300CVM sous flexion rotative de 12000-44000 cycles. β 0 = 4

012345678

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

β

β1H β1G β2H β2G Exp


0

2

4 6

8

10

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

β β1H

β1G

β2H

β2G

Exp


012345678

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

β

exp β1G β2H βG2 β1H


0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

β β1H β1G β2H β2G exp


123

Evolution de Beta pour 300CVM sous flexion rotative de 94000-1280 cycles. β 0 =4

0 1 2 3 4 5 6 7

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

β

Exp

β1H

β1G

β2H

β2G

(c)

Figure 50 : Courbes d'évolution du paramètre β modifié pour les essais de flexion rotative en

régime de contrainte Bas-Haut sur l'acier 300CVM

2.4 – Application des deux propositions de la loi d'évolution de β

Dans le souci de déterminer parmi les lois d'évolution de β celles qui donnent les

prévisions de durée de vie les plus proches des résultats expérimentaux, nous avons intégré

dans la loi originale de Lemaitre et Chaboche, le modèle de limite d'endurance de Gatts pour

les essais Haut-Bas (le modèle de limite d’endurance de Henry a été écarté au vu de

l’évolution de β qu’il engendre - figure 51) et les deux modèles de limite d'endurance (Gatts

et Henry) pour les essais Bas-Haut. Les figures et les tableaux qui suivent donnent les

prévisions de tenue à la fatigue en terme de fraction de vie d'une part et de durée de vie totale

d'autre part, ces deux paramètres étant les critères de validation habituels des lois

d’endommagement.

2.4.1 – Courbes de fraction de vie

Les courbes de fraction de vie de la figure 51 servent de premier indicateur pour le

choix de la loi recherchée, qui doit prévoir au mieux le comportement réel des matériaux en

fatigue.


124

(a) (b)

(c) (d)

Figure 51 : Courbes de fraction de vie pour l'acier doux SAE 4130 soumis à une flexion

rotative [10] : r2β0 correspond à la loi de Lemaitre et Chaboche d'origine et r2β1G à la loi de

Lemaitre et Chaboche modifiée par la limite d'endurance de Gatts

Les courbes de fraction de vie de la figure 52 visent à comparer sur des chargements

de type Bas-Haut, les prévisions de la loi de Lemaitre et Chaboche d’origine avec celles de la

loi modifiée par la limite d’endurance de Gatts et celle de Henry (2ème proposition).

Courbes de fraction de vie pour l'acier SAE 4130 soumis à une flexion rotative de

14000-81250 cycles

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2

r2β0

r2β1G

Exp


14000-203000 cycles

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2

r2β0 r21βG Exp


1700-5400 cycles

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2

r2β0 r2β1G Exp


485-1700 cycles

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2

r2β0

r2β1G

Exp


125

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figure 52 : Courbes de fraction de vie pour l'acier 300CVM soumis à une flexion rotative en

régime de contrainte Bas-Haut [10] : r2β0 correspond à la loi de Lemaitre et Chaboche

d'origine, r2β2G à la loi de Lemaitre et Chaboche modifiée par la limite d'endurance de Gatts et

r2β2H à celle modifiée par la limite d'endurance de Henry

Courbes de fraction de vie pour l'acier 300CVM en flexion rotative,

244000-1280 cycles

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2

r2β0 r2β2H r2β2G Exp


3800-1280 cycles

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2

r2β0

r2β2H

r2β2G

Exp


94000-3800 cycles

0,0

0,20,4

0,60,8

1,01,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2

r2β0

r2β2H r2β2G Exp


44000-1280 cycles

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

r2 r2β0

r2β2H

r2β2G

Exp


584750-990 cycles

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

0,0 0,5 1,0

r1

r2

r2β0

r2β2H

r2β2G

Exp


126

Pour ces chargements Bas-Haut, les courbes ne montrent pas de différence notoire

entre les résultats donnés par la loi originale et les résultats de la seconde proposition.

Comme déjà souligné au chapitre 3, une loi d'endommagement par fatigue sert

généralement à prévoir la durée de vie totale d’un matériau plutôt que la fraction de vie

résiduelle. Nous allons donc utiliser par la suite les erreurs relatives de prévision de durée de

vie totale pour choisir parmi les deux modèles de limite d'endurance le plus pertinent, c'est à

dire celui qui traduit le mieux le comportement en fatigue du matériau sous des chargements

de type Bas-Haut.

2.4.2 – Prévision de durée de vie totale

Les résultats de l'application de la seconde proposition pour les calculs de durée de vie

totale des éprouvettes en acier 300CVM soumis aux essais de fatigue en flexion rotative à

deux niveaux de contrainte (Bas-Haut) sont présentés dans les tableaux suivants.

(a) (b)

(c) (d)

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles)1 3,83 3,64 4,46

1655 3800 2000 1280 2 0,99 -0,46 1,253 -1,35 -3,62 -1,60

3,83 3,64 4,460,99 0,46 1,252,06 2,57 2,431,55 1,83 1,76

Valeur absolue miniMoyenneEcart type

Valeur absolue maxi


Réf N2β0

ERP de duréede vie totale (%)

N2β2H N2β2G

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles)1 -0,32 -0,32 -0,32

827 244000 2000 1280 2 -0,18 -0,18 -0,183 -0,19 -0,18 -0,184 0,16 0,05 0,09

0,32 0,32 0,320,16 0,05 0,090,21 0,18 0,190,07 0,11 0,09


Valeur absolue maxi


Réf N2β0


N2β2H N2β2G

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles)1 2,40 2,41 2,41

1103 44000 2000 1280 2 -0,83 -0,78 -0,763 0,65 0,54 0,694 1,99 1,19 1,62

2,40 2,41 2,410,65 0,54 0,691,47 1,23 1,370,86 0,83 0,81


Valeur absolue maxi


Réf N2β0 N2β2H N2β2G


σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles)1 0,74 0,84 0,852 -3,07 -2,97 -2,963 -0,53 -0,42 -0,35

965 94000 2655 3800 4 1,66 1,77 1,835 2,22 1,97 2,186 2,53 2,29 2,497 1,77 0,86 1,28

3,07 2,97 2,960,53 0,42 0,351,79 1,59 1,710,92 0,92 0,93


Valeur absolue maxi





127

(e)

Tableau 33 : Erreurs Relatives de Prévision (ERP) de durée de vie totale de l'acier 300CVM

soumis à une flexion rotative à deux niveaux de contrainte (Bas-Haut) : ERP obtenues avec la

loi originale (N2β0), la loi utilisant la limite d'endurance de Henry (N2β2H) et la loi utilisant

celle de Gatts (N2β2G). Les données expérimentales des tableaux 33(a) à 33(d) proviennent de

Krouse [10]. Celles du tableau 33(e) sont de Moore [10].

Il faut noter que les valeurs maximales et minimales d'une part, la moyenne et l'écart-

type d'autre part, indiqués dans ces tableaux, sont établis à partir des valeurs absolues des

ERP.

Les erreurs relatives de prévision de durée de vie totale obtenues avec les deux

modèles de limite d'endurance (Gatts et Henry) en régime de contrainte Bas-Haut et celles de

la loi de Lemaitre et Chaboche d'origine présentent des écarts négligeables. Nous retiendrons

cependant, pour la suite de l'étude, le modèle d'évolution de la limite d'endurance de Gatts

quand il s'agit des essais Bas-Haut car ses résultats sont plus précis que ceux obtenus à partir

des deux autres modèles.

2.4.3 − Conclusion

Parmi les lois d'évolution de β proposées, ce sont celles qui utilisent la limite

d'endurance de Gatts qui donnent de meilleurs résultats. Aussi, notre proposition de la loi

d'évolution du paramètre β de la loi de Lemaitre et Chaboche pour des chargements de fatigue

composés de plusieurs blocs successifs d'amplitude constante (les blocs étant différents les

uns des autres) est la suivante :

ieqrDG0eγβ=β si σi-1 > σi

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles)1 -0,05 -0,05 -0,05

900 584750 2086 990 2 0,00 0,00 0,003 -0,01 -0,01 -0,014 -0,03 -0,03 -0,035 0,02 0,02 0,02

0,05 0,05 0,050,00 0,00 0,000,02 0,02 0,020,02 0,02 0,02


Valeur absolue maxi



de vie totale (%)ERP de durée


128

( ) ( )10

−+= DGieqrieq er γββ si σi-1 < σi

où γDG est la limite d'endurance de Gatts.

2.4.4 − Application à d’autres types de chargement

Nous avons appliqué cette proposition de la loi d'évolution de β à l'acier 35CD4

(résultats d'essais de Vivensang [38]) et à la fonte GS61 (résultats d'essais de Palin-Luc [36]).

Les résultats sont présentés dans les tableaux ci-dessous :

(a) (b)

(c) (d)

Tableau 34 : Erreurs relatives de prévision (ERP) de durée de vie totale en fatigue pour deux

matériaux (fonte GS61 et acier 35CD4) :

(a) : essais de flexion plane (FP) à deux niveaux de contrainte sur la fonte GS61,

(b) : essais de torsion (To) à deux niveaux de contrainte sur la fonte GS61,

(c) : essais de flexion plane suivie de torsion ou inversement (FP+To ou To+FP) à deux

niveaux de contrainte sur la fonte GS61,

(d) : essais de flexion rotative à deux niveaux de contrainte sur l'acier 35CD4 trempé revenu.

Les notations N0 et Nβ indiquent que les calculs sont effectués respectivement avec la

loi originale et avec la nouvelle loi proposée.

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) N0 Nβ1 FP 320 284540 352 124240 -10,70 -10,092 FP 352 124240 320 284540 12,88 9,333 FP 352 124240 303 573400 29,30 23,784 FP 303 573400 352 124240 -2,18 -2,08

2,18 2,0829,30 23,7813,77 11,3211,34 9,06

MoyenneEcart-type

Valeur absolue miniValeur absolue maxi

ERP (%) Données expérimentales

Réf Sollicdurée de vie totale σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) N0 Nβ1 To 249 1E+05 233 274180 12,76 10,662 To 233 3E+05 249 144890 -19,70 -18,94

12,76 10,6619,70 18,9416,23 14,804,91 5,85Ecart-type

Valeur absolue miniValeur absolue maxiMoyenne

Données expérimentales pour la fonte GS61 ERP (%)

Référ Sollicdurée de vie totale

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) N0 Nβ7 T+FP 233 274180 352 124240 9,26 12,528 T+FP 249 144890 303 573400 43,66 45,659 FP+T 352 124240 233 274180 28,67 18,29

10 FP+T 303 573400 249 144890 -15,91 -15,939,26 12,5243,66 45,6524,38 23,1015,17 15,22

ERP (%)

Référ Sollicdurée de vie totale

MoyenneEcart-type

Valeur absolue miniValeur absolue maxi

Données expérimentalesσ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) N0 Nβ1 650 70000 550 330000 27,43 26,92 630 95000 560 320000 6,755 6,1233 550 330000 650 70000 -7,545 -7,5454 560 320000 660 56000 -13,26 -13,23

27,43 26,96,755 6,12313,75 13,459,569 9,479

ERP (%) durée de vie total

Ecart-type

Valeur absolue miniMoyenne

Référ


Valeur absolue maxi


129

Les prévisions de durée de vie obtenues avec la nouvelle loi de Lemaitre et Chaboche qui

utilise la limite d'endurance de Gatts sont satisfaisantes pour la fonte GS61 et l'acier 35CD4

comme le montrent les tableaux 34(a) à 34(d). La nouvelle loi réduit quelque peu les erreurs

de prévision de la loi d’origine.

Remarques :

Nous avons constaté, au cours de cette étude des lois d'endommagement en fatigue,

que les prévisions de durée de vie données par les différents modèles de la loi de Lemaitre et

Chaboche, appliqués à l'acier 300CVM, ne sont pas en accord avec les résultats

expérimentaux. Les principales causes de cet état de fait peuvent provenir :

• De l'utilisation des valeurs des paramètres matériau relevées dans la littérature mais ne

correspondant pas forcément au matériau des essais répertoriés : la valeur initiale de β (β0 =

4) utilisée dans nos calculs a été relevée dans la littérature [29] avec une toute autre limite

d'endurance (310 MPa pour l’acier Maraging) que celle donnée par Krouse : σ-1=689 MPa

[10] ou celle de Moore : σ-1=842 MPa [10]. La validité de la valeur de β0 est de ce fait très

discutable.

• De valeurs mal connues des paramètres matériau : à ce propos, J.–L. Chaboche

reconnaît que la courbe S-N des matériaux est assez mal définie dans le domaine des faibles

nombres de cycles, en particulier pour σ ≈ σ∗ (figure 53) [29]. Cette anomalie de la définition

de la courbe S-N concerne aussi, pour d'autres raisons, les points aux voisinages de la limite

d'endurance (points de coordonnées (ND, σD) de la figure 53). En pratique, on utilise les

droites de régression linéaire en considérant des portions du domaine compris entre ces deux

points particuliers de la courbe S-N. Ces droites ont des pentes qui varient suivant la largeur

de la fenêtre considérée. Il en est de même pour les valeurs des paramètres calculés en

utilisant ces droites. La figure 54 illustre ce point sur un exemple type. Pour une courbe S-N

(celle de l'acier 300CVM sur l'exemple étudié), la valeur du paramètre β de la loi de Lemaitre

et Chaboche est respectivement égale à 1,8289, à 1,6210 et à 0,7202 respectivement pour les

portions (a), (b) et (c) utilisées pour établir la droite de régression.

Ces observations indiquent clairement qu’on ne peut utiliser, avec la loi de Lemaitre et

Chaboche, des valeurs des paramètres matériau que dans le domaine de la courbe S-N où ces

paramètres ont été déterminés. Ce problème de détermination des paramètres matériau aux

voisinages de la limite d'endurance a été évoqué par Bathias et Baïlon [42]. Ces

considérations nous ont conduits à recalculer les valeurs initiales β0 du paramètre β.


130

Figure 53 : Allure générale d’une courbes S-N avec les 2 points particuliers ; (σ*, N*) et (σD,

ND) souvent définies de manière imprécise d'après Chaboche [29], ou Bathias et Baïlon [42].

(a) (b) (c)

Figure 54 : Calage de la loi de Lemaitre et Chaboche à partir de la courbe S-N expérimentale

de l'acier 300CVM en flexion rotative [10] restreinte au domaine compris :

(a) entre 747 MPa et 1992 MPa,

(b) entre 747 MPa et 1647 MPa,

(c) entre 747 MPa et 1341 MPa.

ND LogNr

σ*

σD

N*

2N∗

Logσ*

ND LogNr

σ*

σD

N*

2N∗

Logσ*

Loi de Lemaitre-Chaboche d'origineCourbe S-N de l'acier 300CVM en flexion rotative (essais de Krouse)

LogY = -1,8289Logσ + 21,937

8

9

10

6,4 6,8 7,2 7,6 Log σ

Log Y

Courbe S-N de l'acier300CVM en flexion rotative (essais de Krouse)

Logσ = -0,1735LogNr + 8,8481

6,4

6,6

6,8

7,0

7,2

7,4

7,6

7,8

6 8 10 12 14Log Nr

Log σ


Logσ = -0,1735LogNr + 8,8481

6,4

6,6

6,8

7,0

7,2

7,4

7,6

7,8

6 8 10 12 14Log Nr

Log σ


LogY = -1,6210Logσ + 20,504

7,6

8,6

9,6

6,4 6,8 7,2 7,6 Log σ

Log Y


Logσ = -0,1735LogNr + 8,8481

6,4

6,6

6,8

7,0

7,2

7,4

7,6

7,8

6 8 10 12 14Log Nr

Log σ


LogY = -0,7202Logσ + 14,361

7,6

8,6

9,6

6,4 6,8 7,2 7,6 Log σ

Log Y


131

Les valeurs initiales 0β et 00aM β− de la loi de Lemaitre et Chaboche sont établies avec

la limite d’endurance du matériau vierge. On utilise, comme cela a été dit précédemment, la

droite de régression linéaire de la courbe S-N, dans le domaine de contrainte supérieure à la

limite d’endurance du matériau vierge, et dans un repère particulier. Cette courbe est donnée

par l’équation :

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+β+σβ−=σ−σ−σ

β−−

000i0iu1iri aM11lnlnRNln (84)

Par le changement de variables suivant : ( ) ( )( )iu1irii RNlny σ−σ−σ= − , 0A β−= ,

ii lnx σ= et ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+β−=

β− 000 aM1lnB , on obtient la nouvelle la forme de :

BAxy ii += .

Les valeurs de β et 00aM β− sont calculées à partir l’ordonnée à l’origine et de la pente

de la droite de régression. Ces valeurs sont récapiulées dans le tableau 35.

Essais

Matériau Référence

β

β−0aM

Acier 300CVM [10] 2,137 (Krouse)

2,448 (Moore)

1,012 10-11

(Krouse) 1,042 10-12 (Moore)

Acier doux SAE 4130 [10] 5,209 1,211 10-19

Acier 35CD4 trempé revenu [28] 0,267 1,865 10-05

Fonte GS61 [36] 1,774 5,700 10-10

Tableau 35 : Valeurs des paramètres matériau β et β−0aM de la loi de Lemaitre et Chaboche

d'origine (les valeurs de β calculées ici ont été notées auparavant β0)

Les prévisions de durée de vie, obtenues en utilisant dans les calculs les anciennes et

les nouvelles valeurs de β0, sont présentées dans les tableaux 36(a) et 36(b) pour les essais

Bas-Haut sur l'acier 300CVM, 37(a) et 37(b) pour les essais Haut-Bas sur l'acier 300CVM et

l'acier doux SAE 4130, et 38(a) à 38(c) sur la fonte GS61.


132

(a)

(b)

Tableau 36 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour les essais Bas-Haut sur

l'acier 300CVM en flexion rotative. N0 : ERP pour la loi originale, Nβ : ERP pour la loi

modifiée (limite d’endurance de Gatts)

(a)

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) β0 = 4 β0 = 2,137 β0 = 4 β0 = 2,137

1 2,40 2,37 2,41 2,372 -0,83 -0,98 -0,76 -0,98

1103 44000 2000 1280 3 0,65 -0,03 0,69 -0,024 1,99 0,68 1,62 0,68

2,40 2,37 2,41 2,370,65 0,03 0,69 0,021,47 1,02 1,37 1,010,86 0,99 0,81 0,99

N0 NβERP (%) de durée de vie totale Données Expérimentales pour l'acier 300CVM

Réf

Valeur maxiValeur miniMoyenneEcart type

σ1 Nr1 σ2 Nr2


1 -4,79 12,33 -10,61 9,022 -9,60 10,35 -24,88 2,88

2000 1280 1655 3800 3 -5,55 11,22 -28,59 1,274 -3,09 12,13 -35,26 -0,365 18,80 27,07 -6,12 18,35

18,80 27,07 35,26 18,353,09 10,35 6,12 0,368,37 14,62 21,09 6,376,30 7,00 12,30 7,50

Données Expérimentales pour l'acier 300CVM

Réf


ERP (%) de durée de vie totale N0 Nβ

σ1 Nr1 σ2 Nr2


1 3,83 -2,02 4,46 -1,241655 3800 2000 1280 2 0,99 -4,60 1,25 -3,72

3 -1,35 -5,01 -1,60 -4,543,83 5,01 4,46 4,540,99 2,02 1,25 1,242,06 3,88 2,43 3,161,55 1,62 1,76 1,71


Données Expérimentales pour l'acier 300CVM

Réf



133

(b)

Tableau 37 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour des essais Haut-Bas en

flexion rotative [10] : (a) acier 300CVM, (b) acier doux SAE 4130 (N0 : ERP pour la loi

originale, Nβ : ERP pour la loi modifiée avec la limite d’endurance de Gatts).

(a)

(b)

σ1 Nr1 σ2 Nr2


1 15,00 17,18 11,82 14,162 3,21 6,02 -4,81 -1,51

689 14000 586 81250 3 27,53 29,82 13,33 16,674 25,10 27,41 2,13 6,375 22,64 24,76 -6,13 -1,336 31,57 32,34 19,46 21,52

31,57 32,34 19,46 21,523,21 6,02 2,13 1,3320,84 22,92 9,61 10,2610,26 9,78 6,43 8,42



Données Expérimentales pour l'acier SAE 4130

Réf

σ1 Nr1 σ2 Nr2

(MPa) (cycles) (MPa) (cycles) β0 = 1,805 β0 = 1,774 β0 = 1,805 β0 = 1,774

1 To 249 144890 233 274180 12,76 12,85 10,66 10,792 To 233 274180 249 144890 -19,70 -19,75 -18,94 -18,99

19,70 19,75 18,94 18,9912,76 12,85 10,66 10,7916,23 16,30 14,80 14,894,91 4,88 5,85 5,80Ecart-type

Valeur maxiValeur miniMoyenne

Données expérimentales pour la fonte GS61 [36]

Référ Sollic


σ1 Nr1 σ2 Nr2 (MPa) (cycles) (MPa) (cycles) β0=1,805 β0=1,774 β0=1,805 β0=1,774

1 FP 320 284540 352 124240 -10,70 -10,76 -10,09 -10,152 FP 352 124240 320 284540 12,88 13,02 9,33 9,543 FP 352 124240 303 573400 29,30 29,51 23,78 24,114 FP 303 573400 352 124240 -2,18 -2,19 -2,08 -2,10

29,30 29,51 23,78 24,112,18 2,19 2,08 2,10

13,77 13,87 11,32 11,4711,34 11,42 9,06 9,18

MoyenneEcart-type

Valeur maxiValeur mini

Données expérimentales de la fonte GS61 [36]

Référ Sollic



134

(c)

Tableau 38 : Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale pour les essais de fatigue

sur la fonte GS61 [36] : (a) flexion plane (FP), (b) torsion (To) et (c) flexion plane suivie de

torsion (FP + T) ou inversement.

Pour les essais Bas-Haut, aussi bien en terme de valeurs moyennes que d’écart-types

des ERP, il n'y a pas de grand changement entre les prévisions des durées de vie calculées

avec l'ancienne valeur β0 = 4 et la nouvelle valeur β0 = 2,137 d'une part et les ERP de la loi

originale et la de loi modifiée d'autre part comme le montrent les tableaux 36(a) et 36(b). Les

erreurs d’estimations sont très faibles par ailleurs. Pour les essais Haut-Bas en revanche, et

avec la valeur de β0 égale à 2,137, le modèle de la loi de Lemaitre et Chaboche modifiée par

la limite d'endurance de Gatts donne d’importantes améliorations à la prévision de durée de

vie (tableaux 37 (a) et (b). Les ERP sont réduites de plus de moitié avec le calage de la loi sur

la courbe S-N effective.

Pour le cas de la fonte où les deux niveaux de contrainte, pour les essais Haut-Bas

comme pour les essais Bas-Haut, sont dans le domaine de l'endurance limitée (nombre de

cycles compris entre 105 et 106 cycles) les écarts entre les valeurs moyennes et les écart-types

des ERP calculées avec les deux valeurs de β0 sont de l'ordre de 2 à 6%, aussi bien pour la loi

originale que pour la loi modifiée (cette dernière réduisant légèrement les erreurs par rapport à

la loi d'origine).

σ1 Nr1 σ2 Nr2


7 T+FP 233 274180 352 124240 9,26 9,04 12,52 12,328 T+FP 249 144890 303 573400 43,66 43,46 45,65 45,469 FP+T 352 124240 233 274180 28,67 29,11 18,29 18,9010 FP+T 303 573400 249 144890 -15,91 -15,91 -15,93 -15,93

43,66 43,46 45,65 45,469,26 9,04 12,52 12,32

24,38 24,38 23,10 23,1515,17 15,20 15,22 15,11

ERP (%) de durée de vie totaleN0 Nb

MoyenneEcart-type

Valeur maxiValeur mini

Données expérimentales pour la fonte GS61[36]

Réf Sollic


135

3 – CONCLUSIONS

Partant du constat que la loi de Lemaitre comportait intrinsèquement un certain

nombre d’avantages potentiels en matière de cumul du dommage par fatigue (prise en compte

de l’effet de séquence, contribution au dommage des cycles inférieurs à la limite d’endurance

du matériau, évolution non linéaire du dommage) mais que des écarts importants de ses

prévisions par rapport aux résultats expérimentaux étaient observés dans certains cas, nous

avons proposé une modification de la loi pour améliorer ses prévisions. Cette modification est

basée entre autres sur le principe d’une variation continue de la limite d’endurance du

matériau avec son niveau d’endommagement, ce qui agit directement sur son paramètre β. Le

calcul de la valeur de β optimale pour chaque essai de cumul de dommage (optimale dans le

sens où la loi de Lemaitre et Chaboche prévoit exactement la fraction de vie expérimentale au

second niveau) montre en effet que cette donnée β est variable.

Deux formulations de la relation entre β et la limite d’endurance sont proposées et

étudiées. De plus la limite d’endurance utilisée dans ces expressions est fonction de la fraction

de vie du matériau, soit par l’intermédiaire de la relation donnée par Henry, soit par celle de

Gatts.

A l’épreuve de la confrontation des prévisions de la loi avec les résultats

expérimentaux, plusieurs enseignements peuvent être tirés de cette étude.

• Pour les essais de type Haut-Bas c’est la première expression de β en fonction de la

limite d’endurance qui sied le mieux au comportement réel des matériaux en fatigue.

• Pour les essais de type Bas-Haut en revanche, c’est la seconde proposition qui

convient le mieux.

• La loi de Lemaitre et Chaboche est très sensible à l’étendue du domaine de la courbe

S-N du matériau vierge pris pour le calage du paramètre β0 (matériau vierge). Il est

recommandé pour cette raison de n’utiliser lors du calage de la loi que la zone de la courbe

S-N qui est exploitée pour les prévisions.

• L’observation de la durée de vie totale pour la validation de la prévision de la loi dans

le cas d’un essai Bas-Haut avec un grand nombre de cycles au premier niveau ne constitue

pas une indication valable, le nombre de cycles du second niveau n’étant pas significatif,

proportionnellement parlant, devant la durée de vie totale.

• La proposition développée dans ce chapitre réalise une amélioration substantielle de la

prévision de durée de vie par rapport à la loi originale de Lemaitre et Chaboche.

136

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

Le travail abordé dans ce mémoire vise à explorer et analyser le comportement des lois

d’endommagement en fatigue en vue de tenter d’apporter une réponse à certains

inconvénients constatés. S’il est un domaine de la fatigue où les chercheurs ont travaillé dans

de multiples directions depuis très longtemps sans pour autant avoir fait évoluer la pratique et

surtout les outils employés en bureau d’études, c’est bien celui des lois d’endommagement.

Les chercheurs en question n’ont pourtant pas manqué d’idées pour aborder le problème mais

cela n’a pas véritablement débouché sur un modèle qui serait venu supplanter la loi de Miner

qui est utilisée depuis l’origine (près de 60 ans maintenant et toujours pas à la retraite, serait-

ce un signe ?). L’absence de modèle d’endommagement universel témoigne en fait de la

difficulté à concilier de manière simple des objectifs disparates et dans certains cas

antagonistes :

• la prise en compte de l’ordre d’apparition des cycles pour distinguer en fatigue les

effets d’un chargement démarrant par des cycles de faible amplitude suivis par des

cycles de plus forte amplitude de ceux d’un autre chargement où seraient permutés ces

deux blocs de cycles.

• l’effet des cycles d’amplitude inférieure à la limite d’endurance (une fois que le

dommage est initié).

• une bonne traduction du caractère endommageant des cycles, aussi bien dans le

domaine des faibles durées de vie que dans celui des durées de vie plus grandes, alors

que les mécanismes physiques mis en œuvre sont vraisemblablement différents dans

les deux cas de par la plasticité et l’écrouissage présents dans le domaine

oligocyclique.

• la capacité d’intégrer dans le calcul du dommage des cycles de contraintes successifs

de sollicitations différentes, des cycles comprenant une contrainte moyenne, ou encore

des cycles de contraintes multiaxiales.

La complexité de l’endommagement ou tout au moins son (ou ses) mécanisme(s)

physique(s) explique sans doute la multitude des modèles proposés pour répondre à des cas

bien spécifiques. Il faut reconnaître d’ailleurs que la pratique actuelle en Mécanique ou en

Sciences des Matériaux fait que l’on désigne souvent sous le même vocable de dommage des

137

grandeurs ou caractéristiques de comportement très différentes d’un domaine à un autre,

générées par des sollicitations monotones dans certains cas ou cycliques dans d’autres.

La première partie du travail effectué a concerné une étude bibliographique des lois

d’endommagement. Onze modèles ont été retenus qui concernent les principaux concepts mis

en œuvre dans le domaine de la modélisation du dommage par fatigue : l’énergie de

déformation, la propagation de fissure, la variation de la limite d’endurance, celle de la courbe

S-N et enfin l’endommagement continu. Ce travail, élaboré dans le premier chapitre, a été

l’occasion de mieux cerner les défauts ou qualités des modèles, voire des concepts sur

lesquels sont basés ces modèles.

Le second chapitre concerne également la bibliographie. Il s’agissait là de recenser

l’ensemble des résultats d’essais de fatigue à plusieurs niveaux de contraintes (deux en

général) sur lesquels les lois d’endommagement auraient à s’exprimer, ce qui allait permettre

de scruter leur validité. Trois sources de résultats expérimentaux ont été utilisées pour

constituer en quelque sorte une banque de données d’essais de cumul de dommage. La

confrontation des prévisions de durée de vie des lois d’endommagement avec ces résultats

expérimentaux est réalisée dans le troisième chapitre. Même si les essais recensés ne

regroupent pas tous les cas imaginables de séquences de chargement, ils sont suffisamment

diversifiés pour mettre en évidence les carences de certains modèles vis à vis de cas plus

discriminants que d’autres. On comprend mieux pourquoi la loi de Miner supplante encore

aujourd’hui tous les autres modèles quand on observe les résultats obtenus ou qu’on mesure

les difficultés de détermination des paramètres matériau pour certaines lois

d’endommagement. La loi de Miner est pourtant la seule à ne pas prendre en compte

l’influence de l’ordre d’apparition des cycles !

Le quatrième chapitre tente de mesurer quantitativement la sensibilité des prévisions

des modèles à certaines données matériau nécessaires à leur mise en œuvre. Il s’agit là d’un

indicateur qui mesure la précision (ou le soin) à apporter le cas échéant à la détermination des

données matériau nécessaires à l’exploitation des lois d’endommagement. Il apparaît d’une

part que les lois d’endommagement sont (parfois fortement) sensibles aux données qui

touchent à la courbe S-N du matériau et d’autre part que certains paramètres matériau qui

passent généralement pour être des constantes s’avèrent en fait dépendre du niveau

d’endommagement atteint par le matériau.

Le chapitre 5 a porté sur une proposition d’amélioration de la loi de Lemaitre et

Chaboche, amélioration qui s’appuie sur les observations faites au chapitre 4. Il s’agit de

138

considérer comme variable le paramètre β de la loi, en le liant à la limite d’endurance du

matériau et en couplant cette dernière à la fraction de vie courante. Pour bénéficier pleinement

de cette nouvelle formulation de la loi, il apparaît indispensable d’utiliser pour son calage le

domaine de la courbe S-N pour lequel la loi est utilisée. Le gain apporté à la prévision de

durée de vie (ou de fraction de vie), dans le cas le plus discriminant qui est le cas d’une

séquence Haut-Bas, est substantiel puisqu’il réduit de moitié l’erreur de prévision de la

version initiale de la loi de Lemaitre et Chaboche. Cette avancée ouvre des perspectives

puisqu’elle a permis d’entrevoir le principe à appliquer pour améliorer les lois existantes : la

modélisation de la transformation des caractéristiques mécaniques des matériaux, monotones

et cycliques, en fonction de leur endommagement. La poursuite du travail effectué dans ce

chapitre sera donc axée sur la proposition de nouvelles lois ou l’amélioration de lois

existantes avec la même philosophie que ce qui a été fait ici.

Un point qui paraît très important quant à la fiabilité de l’action entreprise concerne à

la fois la maîtrise de l’aspect probabiliste des résultats expérimentaux, que les essais soient à

un seul niveau de contrainte (pour l'élaboration d'un point d'une courbe S-N) ou à deux

niveaux pour un essai de cumul de dommage, et l’élargissement de la banque de données à

d’autres matériaux. La machine de fatigue présente à l’Université de N’Djamena pourra se

prêter à une campagne d’investigation expérimentale sur le cumul de dommage dans un

proche avenir.

139

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] : Miner M. A., Cumulative damage in fatigue. Journal of Applied Mechanics, 1945, 67, A159-A164. [2] : Kujawski D. et Ellyin F., A cumulative damage theory of fatigue crack initiation and propagation. Intern. Journal of Fatigue, 1984, 6 (2), 83-88. [3] : Golos K.et Ellyin G. F Generalization of cumulative damage criteron to multilevel cyclic loading. Theorical and Applied Fracture Mechanics, 1987, 7, 169-176. [4] : Golos K. et Ellyin F., A total strain energy density theory for cumulative fatigue damage. ASME Journal of Pressure Vessel Technology, 1988, 110, 36-41. [5] : Ellyin F. et Kujawski D., Plastic strain energy in fatigue failure. ASME Journal of Pressure Vessel Technology, 1984, 106, 342-347. [6] : Lefevre D. et Ellyin F., Cyclic response and inelastic strain energy in low fatigue. Intern. Journal of Fatigue, 1984, 6 (1), 9-15. [7] : Ellyin F. Fatigue life prediction under multiaxial stress condition. Development in eng. Mecha. , A.P.S Selvadurai. Commemorative centrennial vol. , Elsevier, UK, 1987, 133-158. [8] : French H. J., Fatigue and hardening of steels. Trans. American Society of Steel Testing, 1933, 21, 899-946. [9] : Grover H.J., An observation concerning the cycle ratio in cumulative damage. In Symposium on Fatigue of Aircraft Structures, ASTM STP 274. American Society for Testing and Materials, Philadelphia, PA, 1960, 120-124. [10] : Manson S. S., Freche J. C. et Ensign S. R., Application of a double linear damage rule to cumulative fatigue. In Fatigue Crack Propagation, ASTM STP 415. American Society for Testing and Materials, Philadelphia, PA, 1967, 384-412. [11] : Manson S. S., Interface between fatigue, creep, and fracture. Intern. Journal of Fracture Mechanics, 1966, 2, 328-363. [12] : Langer B. F., Fatigue failure from stress cycle varying amplitude. ASME Journal of Applied Mechanics, 1937, 59, A160-A162.

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[26] : Valluri S. R., An unified engineering theory of high stress level fatigue. Aerospace Engineering, 1961, 20, 18-19. [27] : Dubug J., Bui-quoc T. , Bazergui A. et Biron A., Unified Theory of comulative damage in metal fatigue. W.R. C. Bulletin, 1971, 162, 1-20. [28] : Subramanyan S., A Cumulative damage rule based on the knee point of the S-N curve. ASME Journal of Engineering Materials and Technology, 1976, 98 (4), 316-321. [29] : Chaboche J. L., Une loi différentielle d’endommagement de fatige avec cummulation non linéaire. Revue Française de Mécanique, N°50-51, 1974. A differential law for nonlinear cumulative fatigue damage. Materials and Building Research. Paris Institut Technique du bâtiment et des Travaux Publics, Annales de l'UTBTP, HS N° 39, 1974, 117-124. [30] : Lemaitre J; et Chaboche J. L., Aspect phénoménologique de la rupture par endommagement. Journal Mécanique appliquée,1978, 2 (3) 317-365. [31] : Lemaitre J. et Chaboche J.L., Mécanique des Matériaux Solides, Dunod, Paris, 1996. 2e édit. [32] : Rabotnov, Y.N., Creep Problems in Structural Members. North-Holland, Amsterdam, 1969. [33] : Kachanov L.M., Introduction to Continuum Damage Mechanics. Martinus Nijhoff, The Netherlands, 1986. [34] : Lemaitre J. et Chaboche J.L., Mechanics of Solid Materials, Trans. B. Shrivastava. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1990. [35] : M. Chaudonneret et J.-L. Chaboche Prédiction de la durée de vie en fatigue des éprouvettes entaillées. Office Nationale d’Etude et de Recherches Aérospatiales, Châtillon, Cédex, France. [36] : Palin-Luc T. Fatigue multiaxiale d’une fonte GS sous sollicitation combinée d’amplitude variable. Thèse de l’ESAM de Bordeaux, 7 novembre 1996, 261 p. [37] : Bennebech M. Fatigue multiaxiale d’une fonte GS. Influence de l’entaille et de traitement de surface. Thèse de l’ENSAM CER de Bordeaux, 22 septembre, 157 p. [38] : Vivensang M. Comportement en fatigue de deux nuances d'acier 35CD4. Cumul d'endommagement: aspect microtructural de l'endommagement. Thèse de l'ENSAM-CER de Bordeaux, 1994, 197 p.

142

[39] : Choukairi F. Z. Cumul d’endommagement en fatigue des matériaux : évaluation de la durée de vie d’une éprouvette en acier 35CD4 après une série d’épreuves. Thèse de l'ENSAM-CER de Bordeaux, 1991. [40] : Fatemi A. et Yangt L. Cumulative fatigue damage and life prediction theories : a survey of the state of the art for homogeneous materials. Int. Journal Fatigue, Vol. 20, N° 1, 9-31, 1998. [41] : Galtier A. Contribution à l’étude de l’endommagement par fatigue des aciers sous sollicitations uni ou multiaxiales. Thèse de l’ENSAM de Bordeaux, 1993, 342 p. [42] : Bathia C. et J. P. Baïlon La fatigue des matériaux et Structures. Paris, 1997 Hermés, 2ème édition. [43] : KramerI. R. A mecanism of fatigue failure. Metallurgical transaction, 1974, 5, 1735-1742 [44] : Matsuda M. et Ikai Y. Fatigue life prediction from viewpoint of internal et stress and effective stress. International Journal of Fatigue, 1989, 11(3), 187-192. [45] : Azari Z., Lebienvenu M. et Pluvinage G. Function of damage in low-cycle fatigue. Advanced in Fracture Research (ICF 6), Vol. 3, Pergamon Press, Oxford 1984, 1815-1821.

143

ANNEXE 1

Classification des lois d’endommagement par fatigue

Modèle de variation de la limite d’endurance Auteurs Référence Concept Approche Henry [17] Macroscopique Phénoménologique Gatts [20] Macroscopique Phénoménologique Bui-Quoc et al. [22] Macroscopique Analytique

Modèle de la propagation de fissure.

Auteurs Référence Concept Approche Manson et al. [10] Microscopique Empirique Miller et al. [15, 16] Microscopique Phénoménologique Miller [17] Microscopique Analytique Grover [9] Microscopique Empirique Valluri [26] Macroscopique Analytique Corten-Dolan [13] Microscopique Analytique

Modèle de l’endommagement continu Auteurs Référence Concept Approche Lemaître et al. [30] Macroscopique Analytique

Modèle de l’énergie de déformation Auteurs Référence Concept Approche Miner [1] Macroscopique Conceptuelle Ellyin. et al. [2, 3, 4] Macroscopique Conceptuelle

Modèle d'évolution de la courbe S-N

Auteurs Référence Concept Approche

Marco et Starkey [19] Macroscopique Conceptuelle Subramanyan [28] Macroscopique Conceptuelle Freudenthal-Heuler [14] Macroscopique Analytique

144

ANNEXE 2

Fiches techniques des lois d'endommagement étudiées Terminologie: CON : conceptuelle DNC : dépend du niveau de contrainte PHE : phénoménologique PCIC : prend en compte l'interaction des charges EMP : empirique

PCDCPA : prend en compte le dommage de cycles de petite amplitude

ANA : analytique CLE : cumul linéaire de l'endommagement SANA : semi-analytique ECS-N : Evolution de la courbe S-N ELD : évolution linéaire du dommage LBE : loi bilinéaire de l'endommagement Remarque : La lettre n précédant un sigle signifie non. Loi de Miner [1], 1945 Bases physiques – Formulation - Caractéristiques :

Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Absorption d’énergie constante par cycle. (CON). ( ) ∑∑

====

p

1ii

i

p

1irii rNnD ELD, nDNC, nPCIC,

nPCDCPA Paramètres matériau nécessaires à l’application de la loi :

Caractéristiques monotones

Caractéristiques en fatigue

Paramètres propres à la loi

Courbe S-N

Configurations de chargement dans lesquelles la loi est applicable :

Chargement

Un seul type de sollicitation Un seul type de sollicitations

composées Mélange de plusieurs

sollicitations Tous les blocs

i, σi > σDi Certains blocs

i, σi ≤ σDi Tous les blocs

i, σi > σDi Certains blocs

i, σi ≤ σDi Tous les blocs

i, σi > σDi Certains blocs i,

σi ≤ σDi

X

X

145

Loi de Henry [17], 1955 Bases physiques – Formulation - Caractéristiques :

Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Variation de la limite d’endurance. (PHE).

( )∑

+γ

−γ=

σ

σ−σ=

i ii

ii

0D

n,D0D

r1r

D nELD, DNC, nPCIC nPCDCPA

Paramètres matériau nécessaires à l’application de la loi :

Caractéristiques monotones



Courbe S-N Imite d’endurance σD0

Le paramètre γi,K, K0


Chargement

Un seul type de sollicitation Un seul type de sollicitations composées

Mélange de plusieurs sollicitations

Tous les blocs i, σi > σDi

Certains blocs i, σi ≤ σDi





X

X

146

Loi de FREUDENTHAL [14], 1959 Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Courbe de vie fictive. Analyse probabiliste. (sANA).

( )

( )∑

∑

=

δ

=

β

σσα

σσα= p

1i

*max

'ii

p

1i

*max

'ii

R'R NN

nELD, DNC, nPCIC, PCDCPA

Paramètres matériau nécessaires à l’application de la loi : Caractéristiques monotones



*maxσ , b et δ


Chargement Un seul type de sollicitation Un seul type de sollicitations


sollicitations Tous les locs i, σi > σDi






X

X

147

Loi de GROVER [9], 1960 Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Initiation et propagation de fissure. (EMP) ( )

nN

Initiation de fissure

mN

propagation de fissure

i

i ii

i

i ii

α

α

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

∑

∑

1

11

LBE, DNC, nPCIC nPCDCPA

Paramètres nécessaires à l’application de la loi : Caractéristiques monotones



Proportion de vie α de la phase d’amorçage de la fissure




sollicitations Tous les blocs i, σi > σDi






X

X

148

Loi de Manson et al. [10] Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Initiation et propagation de fissure.(EMP)

IPhase1

pNNn

Nn

ibff

i

i Ii

i =−

= ∑∑

IIphase1pNm

Nm

ibf

i

i IIi

i == ∑∑

LBE, DNC, nPCIC nPCDCPA




Courbe S-N en flexion rotative

L’exposant constant b et le coefficient p Valeurs conseillées (p = 14, b = 0,6)










X

X

149

Loi de BUI QUOC [22], 1971 Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Variation de la limite d’endurance. (sANA). ( ) ( )

8m1

r1r

r11

Di

i

muii

ii

i

ec

e

=−γ

γγ−γ−+

=γ−γ−

= ∑ nELD, DNC, nPCIC PCDCPA




Les contraintes ultime σy, Rm, Ru

Courbe S-N La limite d’endurance initiale σD0 et la déformation correspondante εD0

L’exposant m


Chargement









X

X

150

Loi de MILLER [15, 16] Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

2 phases de croissance de fissure. (PHE).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

2

211r1I r

1rrNN

( ) ( )( )r0

r1I

1I12 aaLn

aaLnr1

1r1r ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1Ir11r1

r

1I

r aa

aaD

−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

nELD, DNC, nPCIC nPCDCPA




S-N

Longueurs des fissures a0 et ar.


Chargement









X

X

151

Loi de ELLYIN [2, 3, 4] Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Convergence de la courbe de vie et de la courbe d’endommagement. Energie de déformation totale. (sANA).

( ) ( )*

i*

i NnlogWWlog

*i

iN

nD

∆∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ELD, PCIC, PCDCPA




Module de Young E

- Courbe S-N et ∆W-N, la limite d’endurance apparente σ*( *

RDN ), NRD.

- les constantes K’ et n’ (matériau Masing),

- les constantes K* et n* (matériau non Masing)

- les exposants b et c. Configurations de chargement dans lesquelles la loi est applicable :









X

X

X

X

152

Loi de Lemaître et Chaboche [30] Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Concept de la contrainte effective. (ANA)

D r= − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−+

1 11

1

11

αβ

nELD, DNC, PCDCPA




Courbe S-N en traction (R-1) β et M










X

X

X

X

153

Loi de SUBRAMANYAN [28], 1976 Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Convergence au point "pivot." (CON).

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1i,...,2,1kNNlogNNlog

...rr...rr1r

nlogNlogNlogNlogn,D

RDkRD1kk

122i1ii

iRDRiRDii1i2i21

−==α

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++−=

−−=σ

+

αααα−−

−−

ELD, PCIC, nPCDCPA




Courbe S-N. La limite d’endurance σD à NRD cycles


Chargement









X

X

154

Loi de Gatts [20], 1961 Bases physiques – Formulation - Caractéristiques : Bases physiques

Formulations

Caractéristiques

Variation de la résistance statique et variation de la limite d’endurance. (CON).

( )( )( )( )

ii n,D

n,D

c11c1

D ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ−γγ−

γ−−γ= nELD, DNC, PCIC, PCDCPA




Rm, Ru

Courbe S-N : σD0

Les constantes p et c









Certains blocs i,

σi ≤ σDi

X

X

X

155

ANNEXE 3

Données expérimentales de Krouse et Moore [10] Acier 300CVM en flexion rotative Chargement Haut-Bas (H-B) avec un faible nombre de cycles au premier niveau σ1 = 2000 MPa à Nr1 = 1280 cycles σ2 = 1655 MPa à Nr2 = 3800 cycles n1/Nr1 (%)

16,0

31,2

48,2

64,2

79,4

n2/Nr2 (%)

69,6

50,8

37,5

25,8

25

σ1 = 2000 MPa à Nr1 = 1280 cycles σ2 = 1379 MPa à Nr2 = 12000 cycles n1/Nr1 (%)

7,1

16

29,4

48,2

64,2

78,5

n2/Nr2 (%)

80,3

74,1

45,5

36,6

29,4

25


15,1

16

32,1

50,8

63,3

79,4

n2/Nr2 (%)

58

38,3

38,3

21,4

19,6

7,10


16

16

32

47,3

64,2

80,3

n2/Nr2 (%)

51,7

48,2

25,8

14,2

8,9

6,2


7,1

16

34,8

46,4

62,5

n2/Nr2 (%)

72,3

18,7

8,9

8

2,6

σ1 = 1834 MPa à Nr1 = 2050 cycles σ2 = 1379 MPa à Nr2 = 12000 cycles n1/Nr1(%)

5,3

16

29,4

49,1

75

n2/Nr2(%)

81,2

64,2

51,7

39,2

22,3


5,3

14,2

28,5

49,1

74,1

n2/Nr2(%)

116

18,7

11,6

5,3

0,8


8

16,9

24,1

51,7

76,7

n2/Nr2(%)

68,7

39,2

22,3

8

6,2

σ1 = 1793 MPa à Nr1 = 2350 cycles σ2 = 724 MPa Nr2 = 940000 cycles n1/Nr1(%)

7,1

16,9

25,8

50,8

76,7

n2/Nr2(%)

105,8

43,7

8,0

4,40

2,60


3,5

8

16,9

24,4

33

76,7

n2/Nr2(%)

80,3

56,2

52,6

36,6

15,1

9,8

156


4,4

8

25,8

15,1

34,8

51,7

68,7

85,7

n2/Nr2 (%)

94,6

51,7

54,4

44,6

50,8

20,5

11,6

8,9

Flexion rotative en chargement H-B avec un grand nombre de cycles au premier niveau


12

16

27

27

27

43

54

54

82

85

88

n2/Nr2 (%)

63

51

53

30

26

16

20

14

9

14

10

σ1 = 1448 MPa à Nr1 = 9000 cycles

σ2 = 965 MPa à Nr2 = 94000 cycles n1/Nr1 (%)

6,6

12,5

22,5

48,3

65,8

88,3

n2/Nr2 (%)

105,8

56,6

32,5

24,3

17,3

2,5


8,3

8,3

20

41,6

61,6

81,6

n2/Nr2 (%)

91,6

55,8

78,3

61,6

19,1

17,5


9,1

21,6

31,6

43,3

63,3

83,3

n2/Nr2 (%)

196

144

19,1

33,3

8,3

2,5

σ1 = 1103 MPa à Nr1 = 44000 cycles σ2 = 827MPa à Nr2 = 244000 cycles n1/Nr1(%)

9,1

18,3

26,6

36,6

55

72,3

n2/Nr2(%)

185

60

20,8

14,1

9,1

5


8,3

17,5

18,3

36,6

67,5

n2/Nr2(%)

81,6

75,8

30,81

5,8

5

(Moore) σ1 = 1310 MPa à Nr1 = 15925 cycles σ2 = 900 MPa à Nr2 = 584750 cycles n1/Nr1 (%)

5,8

12,5

24,1

43,3

62,5

n2/Nr2 (%)

63,3

16,6

8,3

5

3,3

(Moore)

Flexion rotative en chargement B-H


19,6

39,3

58,9

78,6

n2/Nr2 (%)

8,9

80,3

54,4

25


13

26,7

53,3

81,2

107,1

n2/Nr2 (%)

113,3

90,1

99,1

106,2

2,6

157


19,6

24,1

40,1

81,2

n2/Nr2 (%)

87,9

91,6

84,4

93,5


16,9

33,9

50,8

67,8

76,8

n2/Nr2 (%)

94,6

98,9

97,3

88,3

110,7

(Moore)

σ1 = 965 MPa à Nr1 = 94000 cycles σ1 = 1655 MPa à Nr2 = 3800 cycles

n1/Nr1 (%)

24,1

24,1

41,9

41,9

62,5

62,5

83,9

n2/Nr2 (%)

103,5

77,6

85,7

110,7

110,7

116

77,6

Données expérimentales de Moore sur l'acier SAE4130 en flexion rotative Acier doux SAE4130 sous chargement H-B avec un faible nombre de cycles au premier niveau σ1 = 965 MPa à Nr1 = 485 cycles σ2 = 827 MPa à Nr2 = 1700 cycles n1/Nr1 (%)

10,5

21,1

42,3

64,4

84,6

n2/Nr2 (%)

81,2

64,2

50

41

16,9

σ1 = 965MPa à Nr1 = 485 cycles σ2 = 689 MPa à Nr2 = 14000 cycles n1/Nr1 (%)

5,7

10,7

11,5

25,9

43,2

64,2

n2/Nr2 (%)

59,6

26,7

30,3

26,7

16,9

12,5


5,7

10,5

21,1

41,3

63,4

n2/Nr2 (%)

57,1

32,1

21,9

8,9

7,1


5,7

11,9

29,8

60,5

91,3

n2/Nr2 (%)

89,4

9,2

53,4

25

4,8


6,1

11,5

29,8

60,5

91,3

n2/Nr2 (%)

59,6

35,5

23,6

8,2

3,2


5,7

12,5

30,7

61,5

61,5

92,3

n2/Nr2 (%)

95,5

47,6

30,7

17,3

34,6

11,5

158

Chargement H-B avec un grand nombre de cycles au premier niveau σ1 = 689 MPa à Nr1 = 14000 cycles σ2 = 586 MPa à Nr2 = 81250 cycles n1/Nr1 (%)

7,6

14,4

29,2

44,2

58,8

88,4

n2/Nr2 (%)

78

57,6

57,6

41,3

28,8

14,4


6,7

13,8

13,8

30,1

35,5

36,5

59,6

87,8

n2/Nr2(%)

74

76,9

75

24

71,7

34,6

25

11,5

Acier dur SAE 4130 σ1 = 1379 MPa à Nr1 = 1700 cycles σ2 = 689 MPa à Nr2 = 108100 cycles n1/Nr1 (%)

14,4

29

58,6

87,8 n2/Nr2 (%)

52,1

26,7

12,5

7,1

159

ANNEXE 4

Courbes d'évolution de la limite d'endurance

Evolution de la lim ite d'endurance en fonction du niveau de la contrainte et de la fraction de vie au prem ier niveau; Modèle de

Henry pour l'acier 300CVM en flexion rotative.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r1

γD

2000 MPa (γ = 2,902)1834 MPa (γ = 2,661)1793 MPa (γ = 2,602)1655 MPa (γ = 2,402)1448 MPa (γ = 2,101)1379 MPa (γ = 2,001)1103 MPa (γ = 1,600)965 MPa (γ = 1,400) 827 MPa (γ = 1,050)

Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau decontrainte et du nombre de cycles appliqués. Modèle de Gatts appliqué à l'acier 35CD4 trempé revenu

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

γ D 650 MPa (γ = 1,238)

630 MPa (γ = 1,200)

550 MPa (γ = 1,047)

560 MPa (γ = 1,067)

Evolution de la limite d'enduranceen fonction du niveau de contrainte et du nombre de cycles appliqués. Modèle de Gpour l'acier SAE 4130 doux sous une flexion

i

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 r1

γD

965 MPa(γ = 2,00)

586 MPa(γ = 1,214)

827 MPa(γ = 1,714)

689 MPa(γ = 1,428)

517 MPa(γ = 1,071)

160

ANNEXE 5 Détermination de la valeur des paramètres β et β−

0aM de la loi de Lemaitre et Chaboche par régression linéaire

L'équation de la courbe S-N dans le domaine des contraintes supérieures à la limite

d'endurance pour une sollicitation de traction alternée symétrique (une flexion rotative ou une flexion plane symétrique) est donnée par :

( ) ( )( ) ( )( )β−− ⋅+β−σβ−σ−σ−σ 0iiu1iri aM1lnlnRNln

En posant : ( ) ( )( )iu1irii RNlny σ−σ−σ= − ,

β−=A , ii lnx σ= et ( )( )β−⋅+β−= 0aM1lnB , elle s'écrit : BAxy ii +=

La somme des carrés des écarts entre les points expérimentaux et les points de la droite

d’abscisse xi, pour l’ensemble des points est donnée par :

( )[ ] ∑∑∑∑∑∑ −−+++=−+=n

1ii

n

1i

n

1

2i

2n

1i

n

1

2i

22n

1ii yB2yxA2ynBxAB2xAybAxS

Les valeurs de A et B qui minimisent S sont obtenues en résolvant le système d’équations :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=∂∂

=−+=∂∂

∑ ∑∑

∑ ∑∑n

1

n

1i

n

1ii

n

1

n

1ii

n

1i

2i

0y2xnB2xA2BS

0yx2xB2xA2AS

soit

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=β−=

∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑∑∑

2n

1i

n

1

2i

n

1ii

n

1i

n

1i

n

1

2i

2n

1i

n

1

2i

n

1i

n

1i

n

1ii

xxn

yxxyxB

xxn

yxyxnA

On peut alors calculer β−0aM par :

( ) B0 e11aM

+β=β−

Les résultats des calculs pour les différents matériaux sont les suivants :

Acier Maraging 300CVM

Krouse (σ-1 = 689 MPa à 106 cycles) Moore (σ-1 = 842 MPa à 106 cycles) σai (MPa)

Nri (cycles) β B β−

0aM β B β−0aM

724 940000 827 244000 965 94000

1103 44000 1241 22500 1379 12000 1448 9000 1655 3800 1793 2350 1834 2050 2000 1280

2,137

24,172

1,012.10-11

2,448

26,352

1,042 10-12

161

Acier SAE 4130 doux

σai (MPa) Nri (cycles) β B β−0aM

517 203000 586 81250 689 14000 758 5400 827 1700 965 485

5,209

41,731

1,211 10-19

Acier 35CD4 trempé revenu


550 330000 560 320000 630 95000 650 70000 660 56000

0,267

10,653

1,865 10-5

Fonte GS61


320 284540 352 124240 303 573400

1,774

20,259

5,735 10-10

162

ANNEXE 6 Erreurs relatives de prévision de durée de vie totale ERP de la loi originale (N0) et la loi modifiée (Nβ) de Lemaitre et Chaboche

σ1 Nr1 σ2 Nr2 (MPa) (cycles) (MPa) (cycles) b0 = 1,805 b0 = 1,774 b0 = 1,805 b0 = 1,774

1 FP 320 284540 352 124240 -10,70 -10,76 -10,09 -10,152 FP 352 124240 320 284540 12,88 13,02 9,33 9,543 FP 352 124240 303 573400 29,30 29,51 23,78 24,114 FP 303 573400 352 124240 -2,18 -2,19 -2,08 -2,105 To 249 144890 233 274180 12,76 12,85 10,66 10,796 To 233 274180 249 144890 -19,70 -19,75 -18,94 -18,997 T+FP 233 274180 352 124240 9,26 9,04 12,52 12,328 T+FP 249 144890 303 573400 43,66 43,46 45,65 45,469 FP+T 352 124240 233 274180 28,67 29,11 18,29 18,90

10 FP+T 303 573400 249 144890 -15,91 -15,91 -15,93 -15,9343,66 43,46 45,65 45,462,18 2,19 2,08 2,1018,50 18,56 16,73 16,8312,19 12,21 11,84 11,80

Moyenne


Ecart-type

Valeur absoluemaxiValeur absolue mini

Référ SollicNβN0

ERP (%) de durée de vie totale

σ1 Nr1 σ2 Nr2 (MPa) (cycles) (MPa) (cycles) β0=1,805 β0=1,774 β0=1,805 β0=1,774

1 FP 320 284540 352 124240 -10,70 -10,76 -10,09 -10,152 FP 352 124240 320 284540 12,88 13,02 9,33 9,543 FP 352 124240 303 573400 29,30 29,51 23,78 24,114 FP 303 573400 352 124240 -2,18 -2,19 -2,08 -2,10

29,30 29,51 23,78 24,112,18 2,19 2,08 2,10

13,77 13,87 11,32 11,4711,34 11,42 9,06 9,18

MoyenneEcart-type


Données expérimentales de la fonte GS61 [36]

Référ Sollic


σ1 Nr1 σ2 Nr2


7 T+FP 233 274180 352 124240 9,26 9,04 12,52 12,328 T+FP 249 144890 303 573400 43,66 43,46 45,65 45,469 FP+T 352 124240 233 274180 28,67 29,11 18,29 18,90

10 FP+T 303 573400 249 144890 -15,91 -15,91 -15,93 -15,9343,66 43,46 45,65 45,469,26 9,04 12,52 12,32

24,38 24,38 23,10 23,1515,17 15,20 15,22 15,11

ERP (%) de durée de vie totaleN0 Nb

MoyenneEcart-type


Données expérimentales pour la fonte GS61[36]

Réf Sollic

163

σ1 Nr1 σ2 Nr2


1 To 249 144890 233 274180 12,76 12,85 10,66 10,792 To 233 274180 249 144890 -19,70 -19,75 -18,94 -18,99

19,70 19,75 18,94 18,9912,76 12,85 10,66 10,7916,23 16,30 14,80 14,894,91 4,88 5,85 5,80Ecart-type

Valeur absolue maxiValeur absolue miniMoyenne

Données expérimentales pour la fonte GS61 [36]

Référ Sollic


FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : NGARGUEUDEDJIM DATE de SOUTENANCE : 7 juillet 2003 (avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) Prénoms : Kimtangar TITRE : Contribution à l’étude des lois d’endommagement en fatigue NATURE : Doctorat Numéro d'ordre : 03 ISAL 0025 Formation doctorale : Mécanique Cote B.I.U. - Lyon : T 50/210/19 / et bis CLASSE : RESUME : Le travail présenté dans cette thèse traite de l'endommagement par fatigue des matériaux. Il s'intéresse plus particulièrement aux lois d'endommagement. Classées suivant leurs bases physiques, des lois tirées de la littérature sont étudiées vis à vis de leurs hypothèses et leur applicabilité en fonction du type de chargement considéré. Leurs particularités et leur validation sont mises en évidence à l'aide d'une confrontation des prévisions de durée de vie avec des résultats expérimentaux. La sensibilité des lois à certains paramètres matériau complète leur étude générale. Une modification de la loi d'endommagement de Lemaitre et Chaboche est proposée. Elle consiste à rendre la limite d'endurance du matériau fonction du niveau d'endommagement atteint. Les prévisions de durée de vie calculées avec ce modèle sont plus proches des durées de vie expérimentales que celles établies avec la loi d’origine, montrant ainsi une amélioration de la modélisation du comportement en fatigue. MOTS-CLES : Fatigue, loi d’endommagement, cumul de dommage, courbe S-N, effet de séquence, durée de vie Laboratoire (s) de recherches : Laboratoire de Mécanique des Solides de l’INSA de Lyon Directeur de thèse: J.-L. ROBERT Président de jury : Composition du jury : M. ALHABO, M. BRUNET, J. CHICOIS, G. MESMACQUE, C. PETIT, J.-L. ROBERT