transferts thermiques avec changement d’état liquide-solide
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Transferts thermiques avec changement d’état liquide-solide
Aspects fondamentauxAspects fondamentaux
ThermodynamiqueEquilibre de phasesq p
Variance et règle des phases
2rCw
C nombre de constituants, r nombre de réactions chimiques, nombre de phases
Corps pur Solutionp p
w = 1 w = 2
Température d’équilibre liquide-solide TF fixe
Température d’équilibre liquide-solide TF variant avec la concentration
2
la concentration
ThermodynamiqueEquilibre de phasesq p
Solution
Eutectique
1w = 1
Température d’équilibre liquide-solide TF fixe
Exemple : il suffit de 23 % en masse (8 5 % en moles) de NaCl dans l’eau pour obtenir un
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Exemple : il suffit de 23 % en masse (8,5 % en moles) de NaCl dans l eau pour obtenir un MCP fondant à TE = –21 °C
ThermodynamiqueEquilibre de phasesq p
Solution
Si x différent de xE
Fusion progressive
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ThermodynamiqueEquilibre de phasesq p
Solution
Thermogramme typique d’une solutionSi x différent de xE
Fusion progressive
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ThermodynamiqueEquilibre de phasesq p
Evaluation de l’énergie mise en cause à l’eutectique EdilEdissEEeau,FEEE THTxTx1T
FEeau,seau,lFeau,FEeau,F TTccTT
Exemple : à –21 °C, pour l’eutectique eau-NaCl, la chaleur latente de la glace’ l d 291 890 J/k i 81 1 kWh/ 3 li d 334 800 J/k in’est plus que de 291 890 J/kg soit 81,1 kWh/m3 au lieu de 334 800 J/kg soit
92,8 kWh/m3 à 0°C. Sachant que pour ce sel ldiss(TE)= 238 kJ/kg et xE =0.23,on obtient lE(TE)= 279500 J/kg.on obtient lE(TE) 279500 J/kg.
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ThermodynamiqueCristallisation et surfusion
TLiquide
TF
q
TCSolide
C
tempsLiquide métastable
• Degré de surfusion : T = TF – TC
• Phénomène stochastique
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ThermodynamiqueSurfusion
Le degré de surfusion dépend de plusieurs paramètres :
• d l d l’é h till• du volume de l’échantillon :
V ΔTExemples :
0,3 l mm 3 m 3
Eau 8 K 20 K 36 KParaffines * < 0,5 K 12-14 K
• de l’histoire thermique (cycles antérieurs cristallisation-fusion ),• de la pression :
• de la concentration : (solutions).P ΔT
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( )
• Utilisation d’un agent nucléant
Théorie de la nucléation
2)TT(T
Bexp)T(A)T(J
Thermodynamique
Théorie de la nucléation
0,9
1
Nucléation
2)TT(T F
0,7
0,8Nucléation
Petits agrégats Cristallisation
0,5
0,6
) /h
eure
N lé ti N lé ti
0,3
0,4J(T)Nucléation
homogèneNucléation hétérogène
*A *A
0,1
0,2homA hetA
** AA
Barrière d’énergie Barrière d’énergie
0-5 -4 -3 -2 -1 0
T (°C)
homhet AA
P b bili é d i lli i d’ é h ill ( 3)9
Probabilité de cristallisation d’un échantillon (cm3) par unité de temps Caractère aléatoire
Cas des solutions
Thermodynamique
Cas des solutions
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Cas des solutions
Thermodynamique
Cas des solutions
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Thermique
Cinétique du changement de phase
Représentation schématique des processus de fusion et de solidification
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Transfert purement conductifThermique
Mise en équations
TTkTTc i
ii
ip
•Equation de la chaleur dans les phases liquide et solide
x
Tkxt
Tc ii,p
dxh
Tk
Tk Fls
•Bilan à l’interface liquide et solide
dth
xk
xk lss
txxls
F
avec xF abscisse du front de fusion, k conductivité thermique, masse volumique h h l i i d f i h l l i d f i lhls enthalpie massique de fusion ou chaleur latente massique de fusion, les indices l et s étant respectivement relatifs aux phases liquide et solide.
13•Conditions aux limites
Transfert purement conductifThermique
Transfert purement conductif
•Cas de la fusion en géométrie plane par exemple :
On impose une température de paroi TP, la phase initiale étant solide à la température TF.
Bilan à l’interface liq ide et solideBilan à l’interface liquide et solide
dxh
TTk F
lssFp
l
dth
xk lss
Fl
Solution Solution tSte2tx lF
pll
ll c
k
ls
rpl
hTc
Ste
Nombre de Stefan
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Transfert purement conductif
Thermique
Transfert purement conductif
rpl Tc
ls
rpl
hTc
Ste
Nombre de Stefan
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Transfert purement conductifThermique
Méthodes analytiques
•Problème de Stefan
Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température uniforme
ps
Fl
Tt,0T,0x,0tTT0,xT,0x,0t
Solution de NeumannPosition de l ’interface
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tCtx sF
Solution de Neumann
avec S diffusivité thermique du solide, C facteur de proportionnalité fonction du nombre de Stefan.
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Transfert purement conductifThermique
Solutions approchées
Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température de fusion
Fl TT0,xT,0x,0t
ps Tt,0T,0x,0t
•Champ de température dans la phase en formation de type polynomiale
•Position de l’interface (paroi à température imposée)(p p p )
t2Ste
Ste4tx sF
degré 1 Karman et Polhausen
t1Ste212tx sF degré 2 Goodman
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Transfert purement conductifThermique
Comparaison des solutions•Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température de fusion
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Transfert purement conductifThermique
Méthodes approchées pratiques•Enthalpie sensible négligeable par rapport à la chaleur latente (Ste faible)
Mili i iti l t li id à t é t if + é h tif l iMilieu initialement liquide à température uniforme + échange convectif sur la paroi avec fluide caloporteur
- dans le cas plan : *x
**
xBi1x
dans le cas plan : 0
xBi1Bi2
- dans le cas cylindrique :*x
1
**
21xlnBi1
Bi2x
1
avec 0
*Xxx longueur réduite. symbole de Kronecker ( = – 1 si extraction externe, + 1 si
extraction interne), X0 longueur de référence (l’épaisseur de la plaque dans le cas plan et lerayon de la paroi d’extraction dans le cas cylindrique ou sphérique),Bi nombre de Biot :
kXhBi 0c
Après intégration entre x* = 1 et x* = 0, on obtient pour les trois géométries (plane, cylindriquep g , p g (p , y qet sphérique) :
Bi21
1m21
L’ i t é li bl i Bi < 0 1 St < 2/3
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L’erreur commise sur est négligeable si Bi < 0,1 ou pour Ste < 2/3.En dehors de ce domaine, la vitesse de solidification estimée par l’étude simplifiée est tropimportante.
Transfert purement conductifThermique
Méthodes numériques
•Méthodes à suivi de l ’interfaceMéthodes traitant le problème à 2 phases : les équations de transfert sont résoluesséparément dans le liquide et dans le solide, et la position de l’interface est obtenue parla résolution de l’équation de bilan à l’interfacela résolution de l équation de bilan à l interface.Cette approche est adaptée en particulier aux cas où l’on considère la fusion ou lasolidification d’un matériau pur, pour lequel le changement d’état se produit à unetempérature bien déterminée TF.Le problème central est alors le calcul de la position de l’interface, qui donne lieu àdeux approches différentes:•Maillage fixe•Maillage mobile•Maillage mobile
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Transfert purement conductifThermique
Méthodes numériques
•Méthodes enthalpiques
Domaine d’étude une seule phase dont les propriétés thermophysiques dépendentfortement de la température.On se ramène alors à la résolution d’une seule équation de la chaleur, non linéaire,dont le traitement peut être abordé par des schémas classiques de différences finiesdont le traitement peut être abordé par des schémas classiques de différences finiesou d’éléments finis. Cette méthode, qui revient le plus souvent à exprimer l’équationde la conservation de l’énergie sous forme enthalpique, est particulièrement bienadaptée aux problèmes qui concernent l’emploi de matériau à changement de phasenon purs pour lesquels le changement d’état se produit sur une plage de température(paraffines industrielles, par exemple).On exprime l’enthalpie du matériau à changement de phase entre une températurede référence et la température du point considéré par :de é é e ce e e pé u e du po co s dé é p :
lsFplpspspl fhTccfTcf1fch
avec f fraction volumique de liquide.La variation d’enthalpie causée par la conduction de la chaleur entraîne uneLa variation d enthalpie causée par la conduction de la chaleur entraîne unevariation de température suivant une loi bien définie h= f (T) pour le matériau.L’équation de conservation s’écrit alors sous la forme :
TxTk1h m
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x
xTkxxt m
et s’applique à l’ensemble des deux phases.
Transfert purement conductifMéthodes numériques
Thermique
Méthodes numériques•Méthodes enthalpiques
Trois approches principales :Trois approches principales :- Définition d’un terme source : l’enthalpie est remplacée par son expression en fonction dela température :
dtdfhdiffusiondeterme
dtdTc lsp
dtdt lsp
le terme source intervenant dans les volumes de contrôle où se produit le changement dephase. - Définition d’un intervalle de température 2T arbitrairement petit sur lequel se produit lechangement d’état et linéarisation de la fonction enthalpie sur cet intervalle :
xTxTk
xx1
tTTc m
mp xxxt
avec < cp > = cpS pour T < TF – T, < cp > = cpL pour T > TF + T,
TcTchc plpsls
p
pour TF – T < T < TF + T2T2
cp
pour TF T T TF T
- Définition d’une capacité thermique massique apparente : on représente la variation del’enthalpie avec la température comme une variation finie de la capacité thermique massique:
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dtdTc
dtdh
app
Transfert sous écoulement forcéThermique
Dans le cas ou le fluide circule à TF, et si l’on suppose que le régime d’écoulement restel i i é bli l l fl id i d l d l i i àen laminaire établi lorsque le fluide arrive au contact de la zone de la paroi maintenue à
une température constante inférieure à TF, on aboutit alors à une résolution analytiquepermettant d’obtenir l’évolution radiale et axiale de l’interface liquide-solide, et de laperte de pression.p pPénétration du liquide à la température de fusion dans un tube de diamètre D initialementvide maintenu en dessous de TF.La profondeur maximale axiale de pénétration Xp est alors donnée par :
PrReX B16
PrReD
X slp pour A<<1
117
BPrRe155.0
DX sl118p
pour A>>1
avec 1hTTc21B 21
lspFs,p et B
PrRe0198.0A sl43
, D/p2Re
21
où le nombre de Reynolds de l’écoulement est basé sur la perte de pression et le diamètre4 5D du conduit, les essais couvrant l’intervalle de nombre de Reynolds 104 à 105
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Transfert avec couplage conduction-convectionThermique
p gMise en évidence de la convection naturelle
Evolution de la fusion de la stéarine dans une géométrie cylindrique
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Transfert avec couplage conduction-convection
Thermique
Transfert avec couplage conduction convectionMise en évidence de la convection naturelle
Résultats de simulation : fraction fondue F en fonction du temps t. Influence de la convection naturelle dans le liquide et de la conduction dans le solide (Ste = 0 2)
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naturelle dans le liquide et de la conduction dans le solide (Ste = 0,2)
Transfert avec couplage conduction-convectionThermique
Mise en équationsConvection naturelle en régime laminaire. Processus bidimensionnel (cavité rectangulaire). - convection naturelle dans la phase liquide :
• équation de conservation de la masse :div V = 0 avec V vitesse, • équation de conservation de l’énergie :
llll gradTkdivVgradTTc
= 0 llllp gradTkdivVgradTt
c
0
• équation de conservation de la quantité de mouvement :
zTTgp1VVVtV
Fl2
t - conduction dans le solide :
sss
sp gradTkdivt
Tc
- équations d’interface : équations d interface :
dtdxh
nTk
nTk F
lssint
ll
ss
avec Tl(xF) =Ts(xF) =TF, n direction normale à la surface. L’ di i t d é ti l h i d d d éfé ié f it ît t lL’adimensionnement de ces équations par le choix de grandeurs de référence appropriées fait apparaître, outre lenombre de Stefan, les nombres sans dimension classiques de la convection naturelle : - nombre de Prandtl de la phase liquide (Pr = /l) ; - nombre de Rayleigh (RaH=g T H3/L) ;
t d f d l ité li id (A H/L)
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- rapport de forme de la cavité liquide (A=H/L),avec g accélération de la pesanteur, coefficient de dilatation volumique, T écart entre la température de laparoi chaude et la température de fusion ; H et L respectivement la hauteur et la largeur de la cavité.
Transfert avec couplage conduction-convectionThermique
Corrélations pour le transfert de chaleurNu = CRan
où le coefficient C dépend de la géométrie, du nombre de Prandtl de la phase fluide et,selon certains auteurs, du nombre de Stefan. Une des dimensions fixes de l’enceinte estutilisée pour définir Nu et Ra.
Il faut noter que ces corrélations ont été établies pour un régime de convection laminaire etpour des matériaux à changement de phase dont la phase liquide est caractérisée par unnombre de Prandtl élevé (Pr » 50). Leur domaine de validité est limité par ailleurs aux
27nombres de Stefan faibles (Ste < 0,20). Les études portant sur une gamme de paramètrescouvrant celle des métaux et alliages (faibles nombres de Prandtl, de l’ordre de 10–2) nefournissent pas d’expressions similaires.
Solidification des mélanges multicomposantsThermique
Modélisation basée sur une formulation enthalpique à domaine unique sur un maillage fixe, la zone de changementde phase étant représentée par un milieu poreux, où la porosité (fraction liquide) varie continûment de 1 à 0.Dans la zone diphasique, les équations sont alors écrites en terme de la valeur moyenne des vitesses ou desgrandeurs scalaires On écrit par ailleurs une équation de conservation supplémentaire pour le solutégrandeurs scalaires. On écrit par ailleurs une équation de conservation supplémentaire pour le soluté.Cette formulation permet de prendre en compte les couplages dans la zone de croissance dendritique. Ceci setraduit par l’ajout d’un terme source respectivement dans les équations de conservation de l’énergie et de laquantité de mouvement :
TT
AuS
huVtTS
u
T
L’enthalpie de changement d’état h varie de 0 à l’enthalpie de changement d’état hls :
lls
lsls
s
TTpourhTTTpourfh
TTpour0h
l i i d l i l i d li id à 0 d l h lidet la vitesse u varie de la vitesse relative du liquide ul à 0 dans la phase solide :
0fuu
u l
l
0en fonction de la fraction liquide f, qui désigne le volume de liquide interdendritique à une température donnée,En dépit de la structure anisotrope et non homogène de la zone de croissance, l’écoulement dans le milieudiphasique est modélisé par une loi de type Darcy utilisant une relation porosité-perméabilité de type Kozeny-Carman :
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Carman :
3
2
ff1CA