tp 01 suites numériques : exercices au...
TRANSCRIPT
TP 01 – Suites numériques : exercices au choix
1. Une suite récurrente avec une construction
Soit la suite wn définie pour tout entier naturel n par wn+1 2wn 1
wn 3 et w0 0,4 et la courbe d’équation y
2x 1
x 3.
a. Construire les points A0w0 ; 0A1 w1 ; 0, A2 w2 ; 0, A3w3 ; 0 et A4w4 ; 0 Remarque : comme il faut construire, il faudra laisser les traits de construction apparents.
On retient courbe y=x courbe y=x courbe y=x …
b. Conjecturer les affirmations vraies (éventuellement à compléter) en rayant les affirmations fausses.
La suite est monotone La suite est croissante La suite est décroissante
La suite est majorée par 0,7 La suite est minorée par -0,4 La suite est divergente
La suite est convergente La suite admet une limite qui vaut 0,6 environ
c. Si la suite converge, quelle est la valeur exacte de la limite ?
On observe que la limite est l’abscisse du point d’intersection de avec la droite d’équation y x.
(x) x 2x 1
x 3 x
2x 1 x(x 3)
2x 1 x2 3x
0 x2 x 1
Le discriminant est b2 4ac 12 41(1) 1 4 5.
Comme 0, l’équation a deux solutions
x1 b
2a 1 5
2 cela ne peut pas être la limite puisque x1 0 et un 0 à partir du rang 1
x2 b
2a 1 5
2 0,618 c’est en accord avec l’observation graphique.
La valeur exacte de la limite est -1 + 5
2 (à condition de prouver que la suite converge)
2. u est définie par u0 3,5
un+1 un 0,3 calculer u2017.
Cours : une suite u est si, et seulement si, il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, arithmétique
un1 un r ; r est appelé la raison de la suite arithmétique.
La suite u est arithmétique de raison r 0,3.
limite
Cours : soit u une suite arithmétique alors pour tout entier n, un u0 . nr
u2017 3,5 20170,3 608,6
u2017 = 608,6
3.La suite est arithmétique de raison 6 telle que u100 700.
a. Quelle est la valeur de u0 ? de u50 ?
Cours : soit u une suite arithmétique alors pour tout entier n, un u0 . nr
u100 u0 100r 700 u0 1006 100 u0.
u50 u0 50r u50 100 506 u50 400
u0 = 100 et u50 = 400
b. Donner l’expression de un en fonction de n.
Cours : soit u une suite arithmétique alors pour tout entier n, un u0 . nr
un 100 6n
c. Quel est le sens de variation de u ?
méthode 2 : si un+1 un 0 alors la suite un est croissante
un+1 un 6 0 donc la suite u est croissante
4.Calculer S 1 3 5 7 2017.
On reconnaît la somme des premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u0 1 et de raison r 2.
Cours : soit u une suite arithmétique alors pour tout entier n, un u0 . nr
On a donc un u0 nr 1 2n.
S u0 u1 u2 u3 un
S 1 20 1 21 22 1 23 1 2n
Avant de continuer, il faut trouver le rang n qui donne un 2017.
un 2017 u0 nr 2017 1 2n 2017 2n 2016 n 1008
S 1 20 1 21 22 1 23 1 21008
S (1 1 1 1 1) 2(1 2 3 1008)
Cours : pour tout entier naturel n non nul, 1 2 3 n n(n
1)
2
S 1009 210081009
2 1 018 081.
1 3 5 7 2017 1 018 081.
Si la machine est autorisée, on peut aussi utiliser un algorithme.
5.un est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. On sait que u28 54 et u220 150.
Combien vaut u2017 ?
Cours : soit u une suite arithmétique alors pour tout entier n, un u0 . nr
Ici, on a deux inconnues : u0 et r.
u28 54
u220 150
u0 28r 54
u0 220r 150 on soustrait membre à membre et 220r 28r 150 54 192r 96 r 0,5
On remplace dans la première équation et il vient u0 280,5 54 u0 54 14 40.
Donc u2017 40 20170,5 1 048,5.
u2017 1 048,5
Une autre idée :
pour tous les entiers naturels n et p, un up (n p) r
u220 u28 (220 28)r 150 54 192r 96 192r 96
192 r
1
2 r on procède ensuite comme avant.
Ceux qui sont fâchés avec les systèmes peuvent utiliser la touche résol de la machine.
6.Un cactus mesurait 1,2 mètre en 2005.
Sa taille augmente de 15 cm chaque année.
Exprimer sa taille Tn en fonction de n, où Tn désigne la taille l’année 2005 n. On a donc T0 1,2.
Quelle sera la taille du cactus en 2017 ? (On arrondit la taille au centimètre près).
En 2005 0, T0 1,2 ;
en 2005 1, T1 1,2 0,15 1,35 il faut chercher les premiers pour comprendre et vérifier
en 2005 2, T2 1,35 0,15 1,5
Tn+1 Tn 0,15 sa taille augmente de 0,15m chaque année.
Tn est une suite arithmétique de raison r 0,15 et de premier terme T0 1,2.
Cours : soit u une suite arithmétique alors pour tout entier n, un u0 . nr
2017 2005 12 T12 T0 12r donc T12 1,2 120,15 3.
En 2017, le cactus mesure 3 m.
7. On place un capital de 7 000 € à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,12%.
Quel sera le capital au bout de 4 ans ?
On dit qu’un intérêt est composé lorsqu’il est calculé en comptant le capital plus les intérêts précédents.
Cours : pour augmenter une quantité de %, on multiplie par 1 %. Ici 1 0,12
100 1,0012
Départ : C0 7000
Après 1 mois : C1 70001,0012 7008,4 pour comprendre
Après 2 mois : C2 7008,41,0012 7016,81
On a Cn+1 1,0012Cn Cn est une suite géométrique de raison q 1,0012 et de premier terme C0 7000.
4 ans 48 mois
Cours : soit u est une suite géométrique alors pour tout entier n, un u0qn .
C48 70001,001248 7 414,78
Le capital au bout de 4 ans sera 7 414,78
8.La matière vivante retient dans ses tissus du carbone 14. Après la mort, le carbone 14 radioactif se désintègre à raison de 12 pour
1000 tous les 100 ans. C’est en mesurant cette désintégration que les archéologues procèdent à des datations.
Dans une grotte de Dordogne, on a découvert un foyer contenant du charbon de bois.
A quantité égale, un morceau de charbon de bois actuel contient 1,5 fois plus de carbone 14 que le charbon prélevé dans la
grotte. Avec la calculatrice estimer une datation de l’occupation de la grotte
L’année on a une quantité q de carbone 14.
L’année 100 on a une quantité q
1
12
1000 0,988q pour diminuer une quantité de 12‰ on multiplie par 1 12‰
L’année 200 on aura une quantité 0,9882q
L’année 100n on aura une quantité 0,988nq de carbone 14.
On a donc 1,50,988nq q la quantité actuelle est 1,5 fois celle de la quantité prélevée
On cherche donc n tel que 1,50,988n 1 0,988n 1
1,5 0,988n
2
3.
En première, on cherche n à l’aide d’un algorithme. (On verra une autre méthode en terminale)
La datation de l’occupation de la grotte est environ 3400 ans
9. un est une suite arithmétique de raison r 1
3 et de premier terme u0
1
4.
Déterminer la valeur exacte de S2017 2017
k0
uk u0 u1 u2 u2017.
Cours : soit u une suite arithmétique alors pour tout entier n, un u0 . on a donc un 1
4
1
3n. nr
S2017 1
4
1
30
1
4
1
31
1
4
1
32
1
4
1
33
1
4
1
32017 pour bien voir ce que l’on ajoute
S2017 1
4
1
4
1
4
1
4
1
3(1 2 3 2017) on regroupe et on factorise
Cours : pour tout entier naturel n non nul, 1 2 3 n n(n
1)
2
S2017 1
42018
1
320172018
2
4 073 333
6 678 888,84
S2017 4 073 333
6 678 888,84
Ou pourquoi pas un algorithme !
10.
11. Étudier les variations de la suite vn définie par vn n
n 4.
Cours : méthode 1 : si un (n) alors on étudie sur [0 ; [ ;
si est croissante sur [0 ; [ alors un est croissante ;
si est décroissante sur [0 ; [ alors un est décroissante.
Comme vn (n) avec (x) x
x 4 on étudie sur [0 ; [.
On reconnaît u
v
uv uvv2
avec u(x) x
u(x) 1 v(x) x 4
v(x) 1
Si x 0, (x) 1(x 4) x1
(x 4)2
4
(x 4)2
Un carré est positif donc (x) 0 donc la fonction est croissante sur [0 ; [
Donc la suite un est croissante.
12. Étudier les variations de la suite un définie par un 42
3
n
.
Cours : méthode 2 : on étudie le sine de un+1 un si un+1 un 0 alors un est croissante
si un+1 un 0 alors un est décroissante
un+1 un 42
3
n+1
42
3
n
Une autre idée (en reconnaissant une suite géométrique)
un+1 un 42
32
3
n
42
3
n
un+1 un 2
3un un
un+1 un
42
3 4
2
3
n
un+1 un 1
3 un
un+1 un
42
3 4
2
3
n
or un 0 donc un+1 un 0
un+1 un 4
32
3
n
donc la suite est décroissante
donc un+1 un 0
donc la suite un est décroissante
13. Étudier le sens de variation la suite (wn) définie par w0 1
wn+1 wn + n pour tout entier n.
pour tout n, wn+1 wn n donc wn+1 wn 0 donc la suite wn est croissante.
14. Que vaut 9
k0
0,1k 1 0,1 0,12 0,19 ? Rappeler la formule.
Cours : pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel q 1, 1 q q2 qn 1 qn+1
1 q
1 0,1 0,12 0,19 1 0,110
1 0,1 1,111 111 111
Aussi 1 0,1 0,12 0,19 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000000001 (facile ici)
15. u est une suite arithmétique telle que u2 u3 u4 u5 41
u6 u8 31 .
Déterminer la raison et le premier terme.
Cours : soit u une suite arithmétique alors pour tout entier n, un u0 . nr
On applique 6 fois de suite la formule du cours, c’est un problème à deux inconnues u0 et r.
u2 u3 u4 u5 41
u6 u8 31
u0 2r u0 3r u0 4r u0 5r
u0 6r u0 8r 31
4u0 14r 41
2u0 14r 31
On soustrait membre à membre
Il vient 2u0 10 donc u0 5.
On remplace dans la deuxième et il vient 10 14r 31 donc 14r 21 donc r 3
2.
un est une suite arithmétique de raison r 3
2 et de premier terme u0 5.
16. u est une suite arithmétique de raison r 0,5.
On sait que u100 52 et un 102. Déterminer le rang n.
Cours : pour tous les entiers naturels n et p, un up (n p) r
un u100 (n 100)r
102 52 (n 100)0,5
50 (n 100)0,5
100 n 100 en multipliant chaque membre par 2
200 n
Conclusion : n 200
17. La suite un est définie par
u0 0
un+1 2un 3
n 1 .
a. Calculer les quatre premiers termes.
b. Écrire un algorithme sur la machine pour calculer u10 à 105
près.
a. u0+1
2u0 3
0 1 (dans la case on met 0) u1 20 3 3
u1+1
2u1 3
1 1 donc u2 23
3
2
15
2
u2+1
2u2 3
2 1 donc u3 215
2 1 16
u3+1
2u3 3
3 1 donc u4 216
3
4
131
4
u0 0 ; u1 3 ; u2 7,5 ; u3 16
b. u10 2 129, 095 24
18. La suite un est définie par u0 3 et un+1 1
2 un 2 pour tout entier naturel n.
1. On donne ci-dessus une copie d’écran du calcul des premiers termes de la suite à l’aide d’un tableur.
a. Donner la formule des cellules B3 et C2 à recopier vers le bas.
b. Que peut-on conjecturer pour la suite u ?
2. On appelle v la suite définie, pour tout n, par vn un 4.
a. Démontrer que v est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b. Exprimer vn en fonction de n pour tout n.
c. En déduire un en fonction de n pour tout n.
d. Étudier le sens de variation de la suite un.
e. Écrire un algorithme donnant les 5 premiers termes de la suite un.
3. Soit Sn u0 u1 u2 un pour n. Démontrer que Sn 4n 2 1
2
n
.
1. a. B3 = B2/2 + 2 et C2 = B2 - 4
b. On peut conjecturer que la suite un est croissante et converge vers 4
2. a. pour tout n, vn un 4 un vn 4
vn+1 un+1 4
vn+1 1
2un 2 4
vn+1 1
2un 2
vn+1 1
2(vn 4) 2 on remplace un
vn+1 1
2vn 2 2 cours : vn est géométrique si, et seulement si vn+1 qvn pour tout n
vn+1 1
2vn donc la suite v est géométrique de raison q
1
2 0,5
son premier terme est v0 u0 4 3 4 1. v0 1
b. Cours : soit u est une suite géométrique alors pour tout entier n, un u0qn .
D’après le cours, vn v0qn (1)0,5n
pour tout n, vn 0,5n
c. Comme un vn 4 alors pour tout n, un 4 0,5n
d. pour tout n,
un+1 un 4 0,5n+1 4 0,5n un+1 un 4 0,50,5n 4 0,5n
un+1 un 0,50,5n 0,5n
un+1 un (0,5 1)0,5n
un+1 un 0,50,5n
donc un+1 un 0
donc la suite un est croissante (en accord avec la conjecture)
e. N est un entier
U est un réel
U prend la valeur 0
Pour N allant de 0 à 4
Afficher U
U prend la valeur U
2 2
Fin du pour
3. Sn u0 u1 u2 un
Sn 0,50 + 4 0,51 4 0,52 + 4 0,53 + 4 0,5n
Sn 4) 0,50 + 0,51 0,52 + 0,53 0,5n
Sn 4(n 1) 1 0,5n+1
1 0,5
Sn 4n 4 1 0,5n+1
0,5
Sn 4n 4 21 0,50,5n Sn 4n 4 2 0,5n
Sn 4n 2 1
2
n
19. La suite u est définie par u0 1 et pour tout entier naturel n, un+1 1
3 un n 1.
v est la suite définie par vn 4un 6n 15.
1. Démontrer que v est une suite géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
2. En déduire un en fonction de n.
1. pour tout n,
vn+1 4un+1 6(n 1) 15 (on écrit n+1 dans la case)
vn+1 4
1
3 un n 1 6(n 1) 15 (on remplace avec la formule de l’énoncé)
vn+1 4
3 un 4n 4 6n 6 15 cela peut parfois être plus difficile
vn+1 4
3 un 2n + 5
voilà mais il faut trouver vn+1 qvn pour reconnaître une suite géométrique
il faut donc trouver un en fonction de vn pour pouvoir remplacer un puis trouver
On sait que vn 4un 6n 15 et il s’agit d’isoler un
vn 4un 6n 15 vn n 15 4un 1
4vn
6
4n
15
4 un et on peut continuer
vn+1 4
3
1
4vn
3
2n
15
4 2n + 5
vn+1 1
3vn
4
33
2n
4
315
4 2n 5
vn+1 1
3vn 2n 5 2n 5
vn+1 1
3vn donc la suite vn est géométrique de raison q
1
3.
Son premier terme est v0 4u0 60 15 41 0 15 19 v0 19
2. pour tout n, vn 191
3
n
un 1
4vn
3
2n
15
4 donc un
1
419
1
3
n
3
2n
15
4
On vérifie quand même
u01 1
3u0 0 1 donc u1
2
3
On doit trouver cela avec la réponse
u1 1
4191
3
3
21
15
4
2
3
Il semble que la réponse soit correcte