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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites Suites num´ eriques Partie 3 : Limites des suites Laurent Debize BTS SIO 1/28

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites numeriquesPartie 3 : Limites des suites

Laurent Debize

BTS SIO

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Suites divergentes

Comparaison de suites

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Approche

Soit la suite definie sur N? par un =1√n

• Afficher les 10 premiers termes de la suite a l’aide d’un programmeen C++.

• Copier ces valeurs dans un tableur et les representer sur ungraphique.

• Que peut-on conjecturer ?

• On veut savoir a partir de quel rang un est inferieur a 10−25

• Ecrire et implementer l’algorithme qui permet de trouver ce rang.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Quand les valeurs d’une suite (un) sont de plus en plus proches de 0, ondit que cette suite a pour limite 0. Plus precisement :

DefinitionSoient u une suite numerique et 10−p (p ∈ N?) une puissance negativede 10. On dira que u admet pour limite 0 quand n tend vers +∞ sil’on peut trouver des indices n pour lesquels 0 < un < 10−p .On note :

limn→+∞

un = 0

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

ExempleSoit u la suite definie par :

un =1√n

ou n ∈ N?

Pour obtenir 0 < un < 10−25, il suffit que 0 <1√n< 10−25

c’est-a-dire√n > 1025.

Il suffit donc de choisir les indices n tels que n > 1050

De maniere generale, pour que 0 < un < 10−p, il suffit que :

0 <1√n< 10−p

c’est-a-dire√n > 10p

soit n > 102p

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Exercice 1

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Calculatrice :Sur votre calculatrice, affichez les premiers termes des suites suivantes :

• un =1

n

• vn =1

n2

• wn =1

n3

• tn =1√n

Quelle semble-etre leur limite ?

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Theoreme - limites des suites de reference

limn→+∞

1

n= lim

n→+∞

1

n2= lim

n→+∞

1

n3= lim

n→+∞

1√n

= 0

Theoreme

limn→+∞

|un| = 0⇔ limn→+∞

un = 0

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Exemple

Soit u la suite definie par un =(−1)n

n.

On a |un| =

∣∣∣∣ (−1)n

n

∣∣∣∣ =1

n

limn→+∞

|un| = 0 donc limn→+∞

un = 0

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Quand les valeurs d’une suite (un) sont de plus en plus proches d’un reelL donne, on dit que cette suite a pour limite L. Plus precisement :

DefinitionSoit L ∈ R. On dit que la suite u admet pour limite L quand n tendvers +∞ si :

limn→+∞

(un − L) = 0

Theoreme d’uniciteSi lim

n→+∞(un − L) = 0 alors le reel L est unique.

On note alors : limn→+∞

un = L

On dit que la suite u converge vers L.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

ExempleSoit u la suite definie par :

un = 5 +1

n3

On a limn→+∞

(un − 5) = limn→+∞

1

n3= 0

Donc limn→+∞

un = 5

La suite u converge vers 5.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Exercices

ExerciceLe prix de vente, exprime en euro, d’un modele d’ordinateur au bout de ntrimestres ecoules depuis sa mise sur le marche, note vn est donne par :

vn = 615e−0,3n + 250

• Quel est le prix de vente de ce modele a sa mise sur le marche ?

• Determiner le nombre minimal de trimestres ecoules depuis sa misesur le marche a partir duquel le prix de vente de ce modeled’ordinateur deviendra inferieur ou egal a 300 ¤.

Exercice 2 de la fiche

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Suites divergentes

Comparaison de suites

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites divergentes : approcheNous allons ici nous interesser a deux facons de trier un tableau de valeurs.

Le tri par insertionC’est le tri du joueur de cartes : son eventail a la main, il considere lacarte de gauche comme deja triee, place la seconde par rapport a lapremiere, insere la troisieme par rapport aux deux premieres, etc.Voici l’algorithme de ce tri :

T : tableau d’entiers

n : entier

pour i de 1 a n-1

x <- T[i]

j <- i

tant que j > 0 et T[j - 1] > x

T[j] <- T[j - 1]

j <- j - 1

fin tant que

T[j] <- x

fin pour

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites divergentes : approche

Le tri par selectionC’est un autre tri du joueur de cartes : on a l’eventail en main, on reperela plus petite, on la met a gauche, puis on repere la plus petite desrestantes, on la met a droite de la precedente, etc.Voici l’algorithme de ce tri :

T : tableau d’entiers

n : entier

pour i de 0 a n - 2

min <- i

pour j de i + 1 a n - 1

si T[j] < T[min], alors min <- j

fin pour

si min != i, alors echanger T[i] et T[min]

fin pour

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites divergentes : approcheTravail a faireEcrire un programme en C++ qui :

• Demande la taille du tableau (utiliser les pointeurs et la fonctionmalloc)

• Remplit deux tableaux (un pour chaque algorithme de tri) contenant lesmemes valeurs. Les valeurs seront creees aleatoirement.srand((unsigned) time(NULL)) permet de choisir une listepseudo-aleatoirerand() % taille donne un nombre aleatoire entre 0 et taille

• Donne le temps de calcul de chaque algorithme. Pour cela, inclure labibliotheque <chrono> et utiliser :auto debut = chrono::steady_clock::now() au debut du triauto fin = chrono::steady_clock::now() a la fin du triauto tInsertion = tInsertionFin - tInsertionDebut pour avoirle temps de calculcout << tInsertion.count() pour afficher le temps de calcul enmicrosecondes

Comparer les temps de calcul des deux algorithmes pour des tableaux detaille de plus en plus grande.

RemarquePour utiliser la bibliotheque <chrono> sur code::blocks, il faut aller dans� settings/compiler � et cocher la case � have g++ follow the C++11... �.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites divergentes : approche

ConclusionOn remarque que le temps de calcul des deux tris augmente rapidementen fonction de la taille du tableau. En fait, pour un tableau de taille n,

• le tri par insertion fait de l’ordre de n2 comparaisons et affectations

• le tri par selection fait de l’ordre de n2 comparaisons mais de l’ordrede n affectations

Le tri par selection est donc plus interessant si les comparaisons sontrapides et les affectations lentes.

Dans tous les cas,

• si n = 1000, on fait de l’ordre de 106 comparaisons

• si n = 10000, on fait de l’ordre de 108 comparaisons

• On peut tres facilement imaginer la taille necessaire d’un tableaupour que le temps de tri depasse, disons, l’age de l’univers !

Quand une suite a un tel comportement, on dit qu’elle a pour limite +∞.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites divergentes

DefinitionUne suite qui ne converge pas est dite divergente.

RemarqueIl existe plusieurs cas :

• Soit la suite u tend vers +∞• Soit la suite u tend vers −∞• Soit la suite u n’admet aucune limite finie ou infinie

Interessons-nous a ces trois cas...

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

1er cas : la suite tend vers +∞

DefinitionSoient u une suite numerique et 10p (p ∈ N?) une puissance entierequelconque de 10.

On dira que u tend vers +∞ quand n tend vers +∞ si l’on peut trouverdes indices n pour lesquels un > 10p (c’est-a-dire qui rendent le termegeneral un plus grand que 10p). On note :

limn→+∞

un = +∞

Autrement dit : On dit que la suite (un) a pour limite +∞ si un peut

etre rendu aussi grand que l’on veut, pourvu que n soit suffisammentgrand.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

1er cas : la suite tend vers +∞

ProprietesLes suites suivantes ont pour limite +∞ :

(nk) pour k ∈ N?

(logan)(an) pour a > 1

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

1er cas : la suite tend vers +∞

ExempleSoit u la suite definie par un =

√n

Pour obtenir un > 1050 il suffit que√n > 1050 soit n > 10100.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

2e cas : la suite tend vers −∞

Definition, par analogie :Soient u une suite numerique et 10p (p ∈ N?) une puissance entierequelconque de 10.

On dira que u tend vers −∞ quand n tend vers +∞ si l’on peut trouverdes indices n pour lesquels un < −10p (c’est-a-dire qui rendent le termegeneral un plus petit que −10p). On note :

limn→+∞

un = −∞

ExemplesLa suite definie par un = −

√n tend vers −∞ ! En effet :

Pour obtenir un < −1050 il suffit que√n < −1050 soit n > 10100.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

3e cas : la suite n’admet aucune limite finie ou infinie

Comment est-ce possible ?

Exemples

• La suite definie par un = (−1)n ne converge pas et ne tend ni vers+∞, ni vers −∞

• La suite definie par vn = (−1)n · n ne converge pas et ne tend ni vers+∞, ni vers −∞

RemarqueCes suites peuvent etre bornees ou non :La suite u ci-dessus est bornee mais v ne l’est pas.

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Exercices :

ExerciceLa capacite cn en Mo des clefs USB d’un fabricant en fonction dunombre d’annees depuis la creation de l’entreprise n est donnee par :

cn = 32× 2n

• Quelle est la capacite d’une clef USB l’annee de la creation del’entreprise ?

• Au bout de combien d’annees la capacite des clefs USB serasuperieure a 1000 Mo ?

Exercice 3 de la fiche

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Suites convergentes

Suites divergentes

Comparaison de suites

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Comparaison de suites

La plupart du temps, en algorithmique, l’immense majorite des complexites,spatiales ou temporelles, a pour limite +∞. C’est pour cela que la com-paraison de la suite (un) a d’autres suites nous interesse plus que la limitede la suite (un).

Definitions

• On dit que deux suites (un) et (vn) sont equivalentes si la suite (wn)

definie par wn =unvn

a pour limite 1.

• On dit que (un) est preponderante devant (vn) (ou que (vn) est

negligeable devant (un)) si la suite (wn) definie par wn =unvn

a pour

limite +∞.

Ainsi, si deux suites (un) et (vn) ont pour limite +∞, dire que (un) estpreponderante devant (vn) signifie que (un) tend beaucoup plus vite vers+∞ que (vn).

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Comparaison de suites

ProprieteSi p et q sont deux entiers tels que p < q, et si a et b sont deux reels telsque 1 < a < b, alors :

(loga n)� (np)� (nq)� (an)� (bn)

(un)� (vn) signifiant que la suite (un) est negligeable devant la suite(vn)

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Suites convergentes Suites divergentes Comparaison de suites

Comparaison de suites

ExempleAinsi, par exemple, les algorithmes de tri par insertion ou par selection,dont la complexite temporelle sont de l’ordre de n2, sontasymptotiquement moins performants que l’algorithme de “tri fusion”,dont la complexite temporelle est de l’ordre de n log2 n, car :

n2

n log2 n=

n

log2 n

et limn→+∞

n

log2 n= +∞

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