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PCSIMPSIPTSI

| Classe | prpa

| lectrocintique |

Bernard GendreauProfesseur de chaire suprieure

en classes prparatoires lcole nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) Paris

Christophe GriponProfesseur en classes prparatoires

lcole nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) Paris

Tout le cours

N

atha

n,cla

sse

prp

a

S om

ma i

re 1 Circuit lectrique en rgime stationnaire1 - Dfinitions ................................................................................................. 42 - Courant lectrique Intensit Loi des nuds ....................................... 53 - Tension aux 4 - Conventions5 - Conducteur 6 - Sources dn7 - Point de fon8 - Voltmtre etsavoir rsoudre l

2 Puissance en rg1 - Puissance le2 - Caractristiqsavoir rsoudre l

3 Mthodes dtu1 - Association e2 - Association e3 - quivalence et de Norton d4 - Potentiel et 5 - Mthodes dsavoir rsoudre l

4 Circuits RC, RL,1 - Circuit RC s2 - Circuit RL s3 - Circuit RLC 4 - tablissemendans un circuit s5 - Approximatisavoir rsoudre l

5 Circuits linaires1 - Introduction2 - Utilisation d3 - Impdances 4 - Thormes g5 - Lois dassocia6 - tude dun csavoir rsoudre l

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Nabornes dun diple Loi des mailles ..................................... 6 dorientation pour un diple Diple actif, diple passif ... 6ohmique Loi dOhm .......................................................... 7ergie lectrique Modlisation dun diple actif ................. 8ctionnement dun circuit ....................................................... 9 ampremtre ...................................................................... 10es exercices ............................................................................ 11

ime stationnairectrocintique reue par un diple ...................................... 18ues dun conducteur ohmique ............................................ 19es exercices ........................................................................... 20

de dun circuit lectrique en rgime permanentn srie ................................................................................. 24n parallle ........................................................................... 27des reprsentations de Thvenin un gnrateur ...................................................................... 29loi des nuds en termes de potentiels ................................ 30tude dun circuit ................................................................ 31es exercices ............................................................................ 33

RLC srie soumis un chelon de tensionrie ....................................................................................... 39rie ........................................................................................ 44srie ...................................................................................... 47t dun rgime priodique forc oumis une tension priodique .......................................... 52on des rgimes quasi permanents (ARQP) ........................... 53es exercices ........................................................................... 54

en rgime sinusodal forc ............................................................................................ 63es nombres complexes ......................................................... 66complexes ............................................................................ 66nraux ............................................................................... 69tion ..................................................................................... 72ircuit RLC, rsonances ......................................................... 75es exercices ........................................................................... 81

than, Classe prpa

N

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n,cla

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prp

a

6 Puissance en rgime sinusodal forc1 - Puissance instantane et puissance moyenne .......................................... 892 - Aspects nergtiques de ltude du circuit RLC srie .............................. 92savoir rsoudre l

7 Transfert dun sy1 - Fonction de 2 - Diagramme d3 - Filtre passe-b4 - Filtre passe-h5 - Prvision des basse et haut6 - quation dif7 - Caractre insavoir rsoudre l

8 Filtres du deuxi1 - Filtre passe-b2 - Filtre passe-b3 - Filtre passe-h4 - Prvision des basse et haut5 - quation difsavoir rsoudre l

Index ......................es exercices ............................................................................ 95

stme linaire Filtres du premier ordretransfert dun quadriple linaire Filtre ............................... 99e Bode dun filtre ............................................................. 101as du premier ordre .......................................................... 102aut du premier ordre ........................................................ 105 comportements asymptotiques e frquences dun filtre ..................................................... 108frentielle dun systme du premier ordre Stabilit ........ 109tgrateur ou drivateur dun filtre ..................................... 110es exercices .......................................................................... 112

me ordreas du deuxime ordre ....................................................... 126ande du deuxime ordre ................................................. 129aut du deuxime ordre .................................................... 132 comportements asymptotiques e frquences dun filtre ..................................................... 134frentielle dun systme du deuxime ordre Stabilit ..... 134es exercices .......................................................................... 137

.......................................................................... 149

N

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n,cla

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prp

a

retenir lessentiel

4

Circen rg

Un systme est eindpendantes d

1 Dfi Un circuit lejonction et dans Un diple est Un nud est u Une maille es Une branche est une

Par exemple dans la fi B et E sont des nud La maille ABEFA esABCDEFA et BCDEB s BCDE, EFAB et EB s

Fig. 1

Le circuit est constitu

RemarqueLorientation arbi-traire de la brancheBCDE est donnepar la flche. Linten-sit I est positive si lesporteurs de chargepositive se dplacentdans le sens choisiarbitrairement.

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Natha suite de diples entre deux nuds conscutifs.

gure 1 :s du circuit.

A B C

DEF

D1 D6 D4

D2 D3

D5

des diples D1, D2, D3, D4, D5 et D6 relis par des ls de jonction.Iuit lectrique ime stationnaire

n rgime stationnaire quand les grandeurs physiques qui le dcrivent sontu temps.

nitionsctrique est un ensemble de conducteurs relis entre eux par des fils de lequel circule un courant lectrique. un composant lectrique limit par deux bornes. n point commun plus de deux diples.

t une partie dun circuit lectrique formant un contour ferm.

N

atha

n,cla

sse

prp

at constitue des diples D2, D6, D5, et D1. Les contours fermsont les deux autres mailles du circuit.

ont les branches du circuit.

n, Classe prpa

2 Co2.1. Cou

Le courant lectconducteur. Le sens conventtive. Cest donc

2.2. Oriet in

Avant dtudie(voir figure 1) ende la lettre I pouLintensit I du cdeur algbrique. Soit la chaconducteur pend

Aprs calcul, ce signifie qdplacent dansrement ; signifie qdplacent dans le

2.3. Loi

En rgime statiotion de la charge

Consquence : lintout point duncontient pas de n

Loi des nLa sommeen partent

dq

I 0

I 0

k +1=

k 1,=

AttentionLintensit en amontdun diple est gale sa valeur en aval ;le courant ne susepas dans un diple.1 Circuit lectrique en rgime stationnaire5

urant lectrique Intensit Loi des nuds

rant lectrique

rique est un dplacement de porteurs de charge (lectrons, ions) dans un

ionnel du courant est celui du dplacement des porteurs de charge posi-aussi le sens oppos au dplacement des porteurs de charge ngative.

entation dune branche Relation entre charge tensit

r un rseau lectrique, chaque branche doit tre oriente arbitrairement plaant une flche sur le trait reprsentant le fil de jonction surmonter lintensit. ourant qui traverse un conducteur est un dbit de charge. Cest une gran- Elle est mesure laide dun ampremtre. rge qui traverse dans le sens positif choisi arbitrairement une section deant une dure lmentaire Lintensit scrit :

st le signe de la valeur de lintensit I qui donne le sens rel du courant : ue les porteurs positifs se

le sens choisi arbitrai-

ue les porteurs positifs se sens inverse du sens choisi.

des nuds

nnaire, il ny a ni accumulation ni disparition de charge ; il y a conserva-. La loi des nuds traduit la loi de conservation de la charge.

tensit est la mme ene branche car elle neud.

uds des courants arrivant un nud est gale la somme des courants qui :

si lintensit est oriente vers le nud ;

si lintensit est oriente partir du nud.

dt.

I dqdt------=

I en ampre (A)q en coulomb (C)t en seconde (s)

Ici, le sens rel du courant est de B vers A.

Fig. 2 A BI = 3 A

I1 I2 I3 I4+ 0=

I1 I 3

I4I 2N

k Ik 0.=,

Fig. 3 I

=

I 0 I = I 0

N

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n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

6

3 Ten3.1. Ten

La tension entregrandeur lectripoints par un vpar une flche. Cet elle sexprime

3.2. Loi

On choisit arbitr

Sur la figure ci-d maille parcour maille parcour

4 CoDip

4.1. Con

Le circuit tant tension U : le mme sens q ou le sens oppo

La sommdiples du

le sens du le sens opp

l

k +1=

k 1 ,=AttentionLes rsultats obtenusen appliquant la loides mailles sont ind-pendants du sens deparcours choisi.

Fig. 5

ConseilIl faut systmatique-ment reprsenter surles schmas lectri-ques les sens dorien-tation des branches(sens de lintensit)et les sens choisispour les flches ten-sion.

C

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI

sion aux bornes dun diple Loi des mailles

sion aux bornes dun diple

deux points dun diple est laque mesure entre ces deuxoltmtre. Elle est reprsente

est une grandeur algbrique en volt (symbole V).

des mailles

airement un sens de parcours (sens horaire ou anti-horaire).

essus :ue dans le sens horaire : ;ue dans le sens anti-horaire :

nventions dorientation pour un diple le actif, diple passif

vention rcepteur et convention gnrateur

orient (sens du courant

I

dfini), on peut choisir arbitrairement pour la

ue celui de I (flches dans le mme sens) ; cest la convention gnrateur ;s (flches de sens oppos) ; cest la convention rcepteur.

e des tensions aux bornes desne maille est nulle :

si la flche tension est dansparcours ; si la flche tension est dansos celui du parcours.

Fig. 4

U

A BDiple

D1

D2 D3

D4

D5

U2

U1

U3

U4

U5

kUk 0.=e longdune maille

, Uk

Uk

U1 U2 U3 U4 U5++ + 0=U1 U2 U3 U4 U5+ 0.=

Convention gnrateur Convention rcepteur

onventions dorientation dun diple

I I

U U

- Nathan, Classe prpa

N

atha

n,cla

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prp

a

4.2. Diple actif, diple passif

La caractristiquen fonction de lUn diple passUn diple actif

5 Co5.1. Con

Un conducteureffet thermique

5.2. Loi

Un conducteur oLoi dOhm pour

La caractristiqune droite. CestLa conductancelle sexprime en

Fig. 6

U

O

a) Car

U RI=U teR rI in

ConseilOrienter de prf-rence un conducteurohmique en conven-tion rcepteur et ap-pliquer la loi U = RI.Si le conducteur oh-mique est orient enconvention gnra-teur, la relation de-vient U = RI.1 Circuit lectrique en rgime stationnaire7

e dun diple est la courbe donnant la tension U ses bornesintensit I du courant qui le traverse, ou la courbe if est un diple dont la caractristique passe par lorigine. est un diple dont la caractristique ne passe pas par lorigine.

nducteur ohmique Loi dOhm

ducteur ohmique

ohmique est un diple dans lequel le passage dun courant provoque unappel effet Joule. On lui donne souvent le nom de rsistor.

dOhm

hmique est caractris par sa rsistance et satisfait la loi dOhm. un conducteur ohmique en convention rcepteur :

ue dun conducteur ohmique est un diple passif. e G est linverse de la rsistance ; siemens (symbole S).

U f I( )=I g U( ).=

I

U

O I

actristique dun diple actif. b) Caractristique dun diple passif.

nsion aux bornes dun conducteur ohmique (V)sistance dun conducteur ohmique en ohm ()tensit du courant qui traverse le conducteur (A)

R

U

=

RI

I

Fig. 7

I

U

O

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

8

6 SouMo

6.1. Sou

6.1.1. SourCest un diple (not f..m.), ent

6.1.2. SourCest un diple atromoteur (not

6.2. Moddun

Dans de nombrteur rel par las dun gnrateuest appele rsis ou dun gnraconductance estNorton.

AttentionNe pas oublier que latension E est ind-pendante de lintensi-t I du courant dbit.

AttentionNe pas oublier que lecourant dbit I0 estindpendant de latension U aux bornes.

Fig. 8

b) Gnr

a) Gnra


rces dnergie lectrique dlisation dun diple actif

rces idales dnergie

ce ou gnrateur idal de tension

actif qui impose une tension constante

E

, appele

force lectromotricere ses bornes.

ce ou gnrateur idal de courant ctif qui impose un courant constant dintensit , appel courant lec- c..m.), dans la branche dans laquelle il est plac.

lisation linaire de Thvenin et de Norton diple actif

euses applications lexprience montre quon peut modliser un gnra-sociation : r idal de tension et dun conducteur ohmique en srie dont la rsistancetance interne du gnrateur ; cest le modle linaire de Thvenin. teur idal de courant et dun conducteur ohmique en parallle dont la

appele conductance interne du gnrateur ; cest le modle linaire de

I0

E

I I

U

E

O

U = E quel que soit I

ateur idal de courant en convention gnrateur

teur idal de tension en convention gnrateur

I = I0 quel que soit UI0

U

U

II0O


N

atha

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prp

a

7 PoiLe point de fonction des caractr

C

Modlisadun diple

Fig. 9 I

ConseilPour la modlisationde Thvenin, la fl-che tension corres-pondant la f..m.doit tre oriente duple du gnrateurvers le ple +. Pour la modlisationde Norton, la flchecourant correspon-dant au c..m. doittre oriente duple du gnrateurvers le ple +.

Repr

E

U

O

E

RemarqueLes deux reprsenta-tions sont quivalen-tes, ce qui impose :

et (voirchapitre 3.)r r= E rI0.=

Fig. 10

Diple 1en conventignrateur

Point de fo1 Circuit lectrique en rgime stationnaire9

nt de fonctionnement dun circuittionnement dun circuit comportant deux diples est le point dintersec-istiques de ces deux diples.

aractristique

tion linaire de Thvenin actif (gnrateur de tension)

Caractristique

Modlisation linaire de Nortondun diple actif (gnrateur de courant)

U

+

Reprsentation de Nortonsentation de Thvenin

gUIr

r I

I0

g 1r -----=

r

U

I

U E rI= I I0 gU , soit I I 0 Ur

----- = =

II0

U

I0O I

onDiple 2en conventionrcepteur

U

Up

I p

I(1)

P

O

(2)

Up

En noir, caractristique du diple (1)En couleur, caractristique du diple (2)

nctionnement dun circuit

I p

N

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n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

10

8 Vol8.1. Mes

La tension U auun voltmtre enUn voltmtre estension aux bornUn voltmtre idtance est infinie.

8.2. Mes

Lintensit I qui un ampremtreUn ampremtrpas lintensit duLa tension aux b

AttentionLes voltmtres etampremtres sonttoujours considrscomme idaux dansles exercices, sauf in-dication contraire.On ne doit pas tenircompte de leur pr-sence dans les cal-culs.


tmtre et ampremtre

ure des tensions

x bornes dun diple

D

se mesure en plaant parallle. t idal si son branchement ne modifie pas laes du diple dont il mesure la tension.

al nest travers par aucun courant ; sa rsis-

ure des intensits

traverse un diple D se mesure en plaant en srie avec le diple. e est idal si son introduction ne modifie courant qui traverse le diple. ornes dun ampremtre idal est nulle ; sa rsistance est nulle.

D

U

V

D AI


N

atha

n,cla

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prp

a

savoir rsoudre les exercices

1 On lit sur la courbe caracpoint limite de linarit :

Le gnrateur peut donc trrieure 4,0 V.a. En respectant les ples du

pour ; on obti

1 Caractristi

On considre le gnrateugnrateur dans des rsiscaractristique ci-dessous.

On considre que la caracinfrieure 0,10 A.

1 En prcisant son dommodles linaires du ga. modle linaire de tance interne r ;b. modle linaire de Ntance interne

2 Ce gnrateur alimente du domaine lina

3 Dterminer graphiquemmente un rsistor de r

109876543210

U (V)

C

r.

Rlim

rsolutio

U E= I 0=

11

tristique du gnrateur (page suivante) les coordonnes du

e considr comme linaire tant que la tension U est sup-

gnrateur, la modlisation linaire de Thvenin donne :

(1)

ent par lecture graphique sur la figure suivante :

que dun gnrateur non linaire

r ci-contre. En faisant dbiter untances rglables, on a obtenu la

tristique est linaire tant que lintensit du courant est

aine de validit en intensit, dduire des mesures lesnrateur :

Thvenin ; calculer la force lectromotrice E et la rsis-

orton ; calculer le courant lectromoteur et la rsis-

un rsistor de rsistance R . Dterminer la valeur limiteire.

ent le point de fonctionnement quand le gnrateur ali-sistance

I

U

0,05 0,1 0,15 0,2 I (A)

aractristique du gnrateur

I0

R 10 .=

n mthodique

0,10 A ; 4,0 V( )

U E Ur E rI= =

E 9,0 V.=

N

atha

n,cla

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prp

a1 Circuit lectrique en rgime stationnaire


12

r est loppos de la pente de l

et (0,10 A ; 4,0 V). Il vient

b. En respectant les ples du

Lapplication de la loi des n

donc

tant loppos de la penteCherchons retrouver ce rs pour on pour On linaire de la caractristique

et

U (V)10

9876543210

r

I +

U

I

U

+

Faire attention aux sens dorietre diriges du ple ngatif du

U rI= IUr---- I+=

r

U rI0= I 0,=

I I0= U 0.=

rI0 9,0 V= I0 0,18=

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Na

a droite ; pour la calculer on considre les points (0 ; 0,9 V)

soit :

gnrateur, la modlisation de Norton donne :

uds conduit

(2)

de la droite, sa valeur est celle de

r

calcule plus haut.ultat dune autre manire :

en dduit graphiquement que

obtient en prolongeant la droite correspondant la partiela valeur

0,05 0,1 0,15 0,2 I

(A) Caractristique du gnrateur

9 40,1

------------ ,=

r 50 =

E Ur

U

I + r

+

U

I0

I

r I r

ntation des f..m. et c..m. : les flches correspondantes doivent gnrateur vers le ple positif.

I Ir I0+=

0 U rI0 rI=

rI0 9,0 V.=

I0 0,18 A.=

A r 50 .=

than, Classe prpa

N

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n,cla

sse

prp

a

Remarque : En comparant les relations (1) et (2) on constate que et cesrelations sont gnrales et ser

2 Ajoutons sur le graphe lation rcepteur sur le schm(figure ci-dessous).

La caractristique du gn

la limi

3 La rsistance tant infriedonc utiliser la mthode grapAjoutons sur le graphe la cavante). Elle passe par le poindu gnrateur. Le point de relie ces deux points avec lanes sur les axes :

La dtermination graphique

r r= rI0 E,=

Les modlisations linaires deapproximations. Selon la prciment, ces approximations sont

Le trac dune caractristique nies sur un schma.

109876543210

U

(V)

U Ulim 4,0 V.=1 Circuit lectrique en rgime stationnaire13

ont utilises au chapitre 3.

caractristique du rsistor (conven-a ci-contre) celle du gnrateur

rateur nest plus linaire pour et

te, Il faut donc que :

ure on est en dehors du domaine linaire ; il fauthique de rsolution.ractristique du rsistor celle du gnrateur (figure sui-t (0,20 A ; 2,0 V) et entre deux points de la caractristiquefonctionnement est le point dintersection du segment qui caractristique du rsistor. On lit directement ses coordon-

est toujours entache derreurs, ici de lordre de 10 %.

0,13 A et 1,4 V

Thvenin et de Norton des gnrateurs rels ne sont que dession recherche dans la dtermination des valeurs de fonctionne- valables dans un domaine plus ou moins tendu.

U

I

R

na de sens que si les grandeurs correspondantes, U et I, sont dfi-

R 40

R 40 =

0,05 0,1 0,15 0,2 I

(A)

I Ilim 0,10 A=

RlimUlimIlim---------- 40 .= =

R Rlim 40 =

Rlim,

N

atha

n,cla

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prp

a


14

2 M

Soit la tension aux bola traverse selon les conve si (o

si Le domaine dutilisation d

et

1 Montrer que, selon lesinterrupteur ouvert ou

2 Tracer la caractristiqu

La rsolution graphique simpcircuit est non linaire.

109876543210

U

(V)

La flche tension correspcorrespondant au c..m., dgnrateur. Les modlisations linaireque des approximations. Svaleurs de fonctionnement,moins tendu. La rsolution graphique sles dun circuit est non lina

UD

I 0= UD 0,60 V

UD 10I 0,60+= I

UD UDmin 3,0 V=


odlisation dune diode

rnes dune diode jonction et

I

lintensit du courant quintions de la figure ci-contre. En units lgales :n dit que la diode est bloquante) ;

(on dit que la diode est passante).e la diode est

valeurs de la tension la diode est quivalente un un rsistor en srie avec un gnrateur idal de tension.

e

ose quand le comportement dun ou de plusieurs diples dun

Caractristique du gnrateur

0,05 0,1 0,15 0,2 I

(A)

point de fonctionnement

0,13

ondant la f..m. dun gnrateur, ou la flche courantoit tre oriente du ple ngatif vers le ple positif du

s de Thvenin et de Norton des gnrateurs rels ne sontelon la prcision recherche dans la dtermination des ces approximations sont valables dans un domaine plus ou

impose quand le comportement dun ou de plusieurs dip-ire.

en conclusion

UD

I

0

I Imax 0,10 A.=

UD,

I f UD( ).=

than, Classe prpa

N

atha

n,cla

sse

prp

a

1 Pour lintelente un interrupteur ouPour on peut crire

Par identific

La diode est quivalente lteur idal de tension et dun

2 Pour la caractrcompris entre les points ( 3, Pour la caractristiqu

tion de pe

entre les points (0,60 V ; 0) et limite au point :

La caractristique est une coci-contre).

3 Un courant traverse le cipar lassociation srie du gnle circuit quivalent.

3 La diode est insre daprend un gnrateur

et de f..mrsistance Quand on ajuste la f.constate quun couranlintensit I, la tension du gnrateur.

4 Calculer la valeur

5 Exprimer la relation simquante.

6 Tracer la courbe

r 5,0 =R 15 .=

Emin

UD =

rsolutio

UD 0,60 V,

I 0,UD rI E .+=

E 0,60 V=

Il faut faire attention lorienforce lectromotrice et la tE

I 0,=

I 0,

IUD10------- 0,060,=

(UDmax 0,60 10 0,1+=

1

Circuit lectrique en rgime stationnaire

15

nsit qui traverse la diode est nulle.

La diode est quiva-vert

.la tension sous la formeation, on a :

association srie dun gnra-rsistor (figure ci-contre).

istique est le segment0 V ; 0) et (0,60 V ; 0).e est le segment dqua-

nte compris

(1,6 V ; 0,10 A). Elle est

; 0,10 A). urbe continue (figure

rcuit, la diode est donc passante ; la diode est modlisablerateur idal de tension et du rsistor Reprsentons

ns le circuit ci-contre, qui com- rel, de rsistance interne.

E

ajustable, et un rsistor de

.m. la valeur ont traverse le circuit. Calculer

et la tension aux bornes

en de de laquelle la diode est bloquante.

ple entre les tensions et quand la diode est blo-

et

U

D

I

U

G RE 10,0 V,=

UD UG

UD UG

f UG( ).

n mthodique

r 10 =E 0,60 V=

I

UD

UD

r 10 =

tation du circuit et aux sens respectifs des flches reprsentant laension UD.

0

0,08

0,06

0,04

0,02

0,60 UD max = 1,6 V 1 2 3

UG (V)

0,1

I

(A)

U

D

0,10 1

1,6 V=

E r.

N

atha

n,cla

sse

prp

a


16

Orientons le circuit (flche indiquant le sens arbitraire choisi pour I) et choisissons laconvention rcepteur pour ch

En choisissant le sens de parcmailles, il vient :

Do

4 Le modle utilis est validest celle pour laquelle lintenvient immdiatement :

En de de cette valeur la dioUne application de la relativaleur ngative de lintensit

Il faut systmatiquement reprches (sens de lintensit) et lesmailles et la loi des nuds.

E

Gnrateur

r I

E RI rI E rI

UD E rI+ 0,60= =

UD

Les calculs intermdiaires doivetension doit-il tre conduit ave

Emi

La valeur de lintensit (ou deappartenir au domaine des inte


acun des rsistors.

ours indiqu sur la figure ci-dessus pour appliquer la loi des

e tant que la diode est passante ; la valeur de la f..m.sit sannule. Daprs la relation il

de est bloquante. on avec conduirait une, en dehors du domaine de validit du modle de la diode.

et

et

senter sur les schmas lectriques les sens dorientation des bran- sens choisis pour les flches tension avant dappliquer la loi des

Diode

E r I

RI

I

RUD

UG

r

r

0 E E R r r + +( )I= = I 9,430------- 0,3133.= =

I 0,31 A=

109,430-------+ 3,7333.=

3,7 V= UG E rI 8,4 V= =

nt tre conduits sans tre arrondis. Ainsi le calcul prcdent de lac la valeur fractionnaire de I.

EminE E R r r+ +( )I,=

n E = UGmin Emin 0,60 V= =

E E R r r+ +( )I= E E

la tension) obtenue par lutilisation dun modle de diple doitnsits (ou des tensions) dans lequel ce modle est valide.

than, Classe prpa

N

atha

n,cla

sse

prp

a

5 La diode est quivalente un interrupteur ouvert quand elle est bloquante, ce qui estle cas quand tensions aux bornes des rsis

6 Calculons les valeurs extrtions aux limites de fonctionn V ; Quand la diode est bloquantsegment de pente unitaire coQuand la diode est passante,

do :

A.N. :

Pour ce rgime, la courbe le segment de pente 0,40 copoints (0,60V ; 0,60 V) et (3,1La courbe complte est tCest une courbe continue qrupture de pente quand la rgime bloquant au rgime p

UG UGmin =

UD UG=

UGmin UDmin 3,0= =UGmax E R r+( )Imax+=

UG

UD 1rR----+ E rR----UG+ =

UD9 10UG+

25-----------------------

.=

U

Il faut systmatiquement tion des branches (sens de dappliquer la loi des maille La valeur de lintensit (odiple doit appartenir au modle est valide. 1 Circuit lectrique en rgime stationnaire17

V. Reprsentons le circuit quivalent (ci-dessous). Lestors sont nulles ; il vient immdiatement :

mes et de la tension E impose par les condi-ement de la diode :

soit e Pour ce rgime, la courbe est lempris entre les points (3,0 V ; 3,0 V) et (0,60 V ; 0,60 V) on peut crire :

et

estmpris entre les V ; 1,6 V).

race ci-contre.ui prsente unediode passe duassant.

0,60

Diode

RI

=

0

I = 0

R

E

U

D

U

G

Gnrateur

r

r I

=

0

Emin Emax

, UGmax 3,1 V.=UD UG.= UD f UG( )=

RI UD 0= UD E rI,+=

UD (V)1,6 V

1

0,60

V

1

2

3 0,60

V 3,1

V U G (V)

1

2

3

UDRE rUG+

R r+-----------------------------=

D f UG( )=

reprsenter sur les schmas lectriques les sens dorienta-lintensit) et les sens choisis pour les flches tension avants et la loi des nuds. u de la tension) obtenue par lutilisation dun modle dedomaine des intensits (ou des tensions) dans lequel ce

en conclusion

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

18

Puisss

1 PuiLa puissance le

ConsquenceLa puissance re

La puissance fournie p

1.1. Signe d

La puissance reue patre gnrateur ou rc

Il est quivalent dcr(i) un diple a un ca(ii) un diple a un ca

Un diple a un cforme lnergie qlumineuse)Un diple a un transforme en n

AttentionLa relation nest applicable quenconvention rcepteur.

UI=

ConseilChoisir de prfrencela convention gnra-teur pour un diplede caractre gnra-teur et la conventionrcepteur pour undiple de caractrercepteur.

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Nathar un diple est gale loppose de la puissance reue.

e la puissance reue et caractre dun diple

r un diple est une grandeur algbrique. Son signe indique le carac-epteur du diple.

aractre rcepteur si la puissance quil reoit est positive. Il trans-uil reoit en une autre forme dnergie (thermique, mcanique,

caractre gnrateur si la puissance quil reoit est ngative. Ilergie lectrique une autre forme dnergie.ance en rgime tationnaire

ssance lectrocintique reue par un diple ctrocintique reue par un diple en convention rcepteur est :

sue par un diple en convention gnrateur est :

UI =

puissance du diple en watt (W) U tension aux bornes du diple (V) I intensit du courant qui traverse le diple (A)

UI.=

N

atha

n,cla

sse

prp

aire :ractre gnrateur si la puissance quil fournit est positive ;ractre gnrateur si la puissance quil reoit est ngative.

an, Classe prpa

1.2. Bilan de puissance dans un circuit

La puissance reComme lnergi

On peut aussi c

2 Car2.1. Rs

et d

La rsistance du

La rsistivit rature.

2.2. Effe

Le passage du cdans ce dernier La puissance drcepteur) :

La somme la somme

R =

Fig. 1

2 Puissance en rgime stationnaire19

ue est lnergie reue par unit de temps.e, la puissance se conserve.

rire : la somme des puissances reues par les diples dun circuit est nulle.

actristiques dun conducteur ohmique

istance dun conducteur ohmique homogne e section constante

n conducteur ohmique homogne et de section constante (fig. 1) est :

est une caractristique du matriau conducteur. Elle dpend de la temp-

t Joule dans un conducteur ohmique

ourant dans un rsistor provoque une dissipation dnergie thermique; cest leffet Joule.issipe par effet Joule dans un conducteur ohmique est (convention

des puissances fournies par les diples gnrateurs dun circuit est gale des puissances reues par les diples rcepteurs de ce circuit.

LS---

R : rsistance dun conducteur ohmique en ohm () : rsistivit du matriau conducteur ( m)L : longueur du conducteur (m)S : section du conducteur (m2)

Section daire S

longueur L

UI RI 2 U2

R------- = = =

R : rsistance en ohm ()I : intensit en ampre (A) U : tension aux bornes en volt (V)

N

atha

n,cla

sse

prp

a


20

1 Orientons le circuit et la rateur est en convention gn

La tension U scrit de deux Do Ce qui c

On peut aussi appliquer la parcours donn (voir figure)

On arrive au mme rsultat.

2 Il y a effet Joule dans les dLe rsistor tant en conventio

Le rsistor r tant en conven

1

On considre un gnrateursistance interne rsistance .

1 Dterminer la tension et lintensit I du coura

2 Calculer les puissances

3 Calculer la puissance rede tension.

4 Faire un bilan de puiss

r 5,0=R 5,0=

rsolutio

Ce choix des orientations est de lintensit I et de la tension mmes.

10 5I 5I.=

E rI U 0=

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Natension U comme lindique le schma de lnonc. Le gn-rateur et le rsistor est en convention rcepteur.

manires : et onduit :

loi des mailles pour un sens de:

avec

eux rsistors R et r.

n rcepteur, il reoit la puissance Do :

tion rcepteur, il reoit la puissance :

Transfert de puissance

r de f..m. V et de alimentant un rsistor de

U aux bornes du rsistor Rnt qui le traverse.

dissipes par effet Joule.

ue par le gnrateur idal

ance pour lensemble du circuit.

r

E

R U

iE 10=

n mthodique

naturel car nous devinons quil conduira des valeurs positivesU. Nous pourrions aussi en choisir dautres, les rsultats seraient les

U RI= U E rI.=

I 1,0 A et U 5,0 V==

r

E

R U

RI

i

, U RI.=

R UI RI 2.= =

R 5,0 W=

r Ur I rI 2 5,0 W= = =

than, Classe prpa

N

atha

n,cla

sse

prp

a

3 Le gnrateur idal de te

Il fournit donc la puissance +

4 La puissance fournie par Joule pour moiti dans le rs

2 A

On considre un gnrateuet de rsistance interne r lectrique modlisable partance R. Leffet du passagecest leffet Joule.

1 Exprimer la puissanceen fonction de E , de r e

2 Quelle est la valeur deQuelle est la valeur de tance est trs grande ?

3 Dterminer la valeur teur est maximale ? Repfonction de R.

Vrifier que les diples sont en convention rcepteur avant dappliquer la relation = UI ;U et I sont orients en sens opp

Pour les calculs de puissance, ilOn calcule ici la puissance repuissance reue par le gnrate

La relation reu = UI ne (convention rcepteur).

R02 Puissance en rgime stationnaire21

nsion est en convention gnrateur ; il reoit la puissance :W.

10 W, rsultat attendu puisque cest la source dnergie.

le gnrateur idal (10 W) est entirement dissipe par effetistor r (5,0 W) et pour moiti dans le rsistor R (5,0 W).

daptation dimpdance

r de force lectromotrice Equi alimente un radiateur un diple rsistif de rsis- du courant est thermique ;

reue par le radiateurt de R.

la puissance quand R = 0 ?la puissance quand la rsis-Que peut-on en dduire ?

de R pour laquelle la puissance dissipe dans le radia-rsenter lallure de la courbe donnant la puissance en

reuoss.

E EI 10= =

faut faire attention au diple considr.ue par le gnrateur idal de tension, ne pas confondre avec laur qui scrit :

W.gn UI E R I( )I 5,0= = =

sapplique que si U et I sont orients en sens opposs

en conclusion

r

E

R U

R

RR

N

atha

n,cla

sse

prp

a


22

1 On choisit les sens dorci-contre. La loi dOhm perm

Avec le sens de parcours cho

Le rsistor tant en conventioreoit est :

2

La rsistance r est ngligeabl

est toujours positive, nullmum de la puissance.

3

4 Dans le cas o le radia dissipe dans le r

gnrateur en fonction d

5 Pour quelle valeur de r lteur quil faut utiliser po

R0

rsolutio

Ur rI=

U E Ur+ 0=

R 0=( ) 0=

R

Prendre lhabitude de confrontrop rapide, faite partir de lequand R est infini ! Ce serait ou

Point Maths. Une fonction

drive par rapport x est

f (dfdx------

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Naientation dfinis sur le schmaet dcrire : et isi, la loi des mailles scrit :

do

n rcepteur, la puissance quil

e devant R quand R est trs grand, do :

e pour et R infini ; il existe donc (au moins) un maxi-

teur a la rsistance exprimer la puissance thermiqueadiateur et la puissance thermique dissipe dans lee E et de ? Faire un bilan de puissance.

e rendement est-il maximal ? En dduire le type de gnra-ur alimenter un radiateur lectrique.

R0,r 0

R0

n mthodique

r

E

R U

Ur

i

U RI.=

, I Er R+------------

.=

R UI R RI 2= =

RRE 2

r R+( )2-------------------=

R r( )RE 2

R2-----------

E 2R

------= 0

R 0=

ter ses rsultats une analyse physique lmentaire. Une analysexpression conduirait proposer que R est maximaleblier que I dpend galement de R.

R RI2=

de la variable est extrmale (minimale ou maximale) quand la

nulle.

x)

than, Classe prpa

N

atha

n,cla

sse

prp

a

tant une fonction de R, sa valeur est extrmale (minimaleou maximale) quand sa driv

si

Cette condition est appele Il nexiste quun extremum ;

Vrifions quil en est bien ain

4 et

La puissance reue par le gn

Bilan : ode tension est dissipe par efmoiti dans le radiateur.

5 De faon gnrale le rennous intresse ) et ce que rer de lnergie lectrique du

maximal quand ! Le r

On voit, et le rsultat tait atter un radiateur avec un gn

RR

dRdR

----------- E 2 r R+( ) 2R r R+(r R+( )2--------------------------------------------=

dRdR

----------- 0= r R 2R+ 0=

Point Maths. Une fonction

ngative au point o elle est e

f (

R0 R0I2 E 2

4R0---------= =

R r E+ + 0=

RE-------

RI 2EI

---------

RIE------

R----= = = =

r 0=

En gnral, quand on chercsique est extrmale, il faut ca Prendre lhabitude de con2 Puissance en rgime stationnaire23

e par rapport R est nulle.

adaptation dimpdance .cest un maximum.

si pour la puissance :

; donc :

rateur de tension scrit

u La puissance fournie par le gnrateurfet Joule, pour moiti dans le gnrateur rel et pour lautre

dement est le rapport entre ce que lon rcupre (ce quilon fournit (ce que lon dpense ). Ici, il sagit de transf- gnrateur au radiateur. Le rendement scrit donc :

Le rendement est une fonction dcroissante de r ; il est

endement est alors gal 100 %.

tendu, que pour obtenir un bon rendement, on doit alimen-rateur de faible rsistance interne.

R

)----

R0 r=

est maximale quand la drive seconde par rapport x est

xtrmale.

x) d2f

dx2--------

d2RdR2

------------- R0E 2

8R3--------- 0.

retenir lessentiel

24

Mtdun cen rg

En complmentrgime permane

1 AssDes diples voisverss par le m

1.1. Ass

1.1.1. Loi dasso

Dmonstration : Lintensit du courant permute les positions d

N rsistors de rseul rsistor de r

ConseilPour savoir si des di-ples sont en srie,toujours se poser laquestion : sont-ils tousparcourus par lemme courant ?

R q R1 R2+ +=

Fig. 1

IR1

U1

U

Association srie de troi

U =

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Nathaciation

sistance associs en srie sont quivalents unsistance gale la somme des rsistances de chacun deux :

(1)

R1, R2, , RN( )R q

RN+

R2 R3

U2 U3

U1 U2 U3+ +=

Rq R1 R2 R3+ +=I

U

s rsistorshodes dtude ircuit lectrique ime permanent

de la loi des nuds et de la loi mailles, ltude dun circuit lectrique ennt se fait laide doutils dont le choix facilite la rsolution de problmes.

ociation en srieins sont en srie quand ils ont une seule borne en commun. Ils sont tra-me courant.

ociation de rsistors en srie

N

atha

n,cla

sse

prp

atant la mme en tout point de la branche, rien nest modifi si lones rsistors.

U1 U2 U3+ + R1I R2I R3I+ + R1 R2 R3+ +( )I RqI.= = =

n, Classe prpa

1.1.2. DiviLa figure 3 reprtension U. On ch

Dmonstration :

1.2. Ass

On considre Ninternes gnrateur de f.

Remarque : les r

Dmonstration :Pour les associer

les ples dusens que ce d

Fig. 2 I1 I

E

Attention Si les flches cor-respondant U1 ouU2 ne sont pas dansle mme sens quecelle correspondant U, il faut mettre unsigne dans leursexpressions. Il ne faut pas appli-quer ces relationslorsque les deux r-sistors ne sont pas ensrie.Par exemple sur leschma de la figure 2,R1 et R2 (ou R1 et R3)ne forment pas un di-viseur de tension.Seuls R2 et R4 for-ment un diviseur detension.

Fig. 3

U1 =

Diviseur de tens

U1 R1I U1=

E1 ; r1(

Eq 1E=

rq r1 +=

k + 1=

k 1=

Fig. 4 Association s

E1 ; r 1

E

1

+3 Mthodes dtude dun circuit lectrique en rgime permanent25

seur de tensionsente un diviseur de tension : deux rsistors en srie sont soumis uneerche les tensions et aux bornes de chacun deux.

et

ociation de gnrateurs en srie

gnrateurs associs en srie, caractriss par leurs f..m. et rsistances , Ces N gnrateurs sont quivalents un seul

.m. et de rsistance interne

sistances sassocient comme nonc au 1.1.1.

, on les modlise en utilisant la reprsentation de Thvenin (fig. 5) :

si les ples du gnrateur sont placs dans le mme sens que gnrateur (la flche correspondant Ep est dans le mmelle de Eq) ;ans le cas contraire.

R1 et R2 ne sont pas en srie R1 et R3 ne sont pas en srie Seuls R2 et R4 sont en srie (le courantI2 qui traverse R2 est le mme que celuiqui traverse R4). On peut appliquer

I1 I2( ).I1 I3( ).

Rq R2 R4.+=

R1 R2

R3

2

R4

I3

U1 U2

et R1U

R1 R2+------------------ U2

R2UR1 R2+------------------=

R1 R2

U1 U2

I

U

ion

U R1 R2+( )I I UR1 R2+------------------= =

R1UR1+R2-----------------= U2 R2I U2

R2UR1 R2+------------------

.= =

), E2 ; r2( ), EN ; rN( ).Eq rq.

1 2E2 k Ek N EN+ + + + +

r2 rN+ +

Ek ; rk( )Eq ; rq( )

rie de trois gnrateurs

Eq E1 E2 E3+=

rq r1 r2 r3+ +=

EqE2 E3

IE2 ; r 2 E 3 ; r 3 E q ; r q

I

++ +

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

26

1.3. Loi

Cette loi perme

Pour la figure 6,

Dmonstration :dassociation srfigure 7 :

pondant l d

ConseilPour associer desgnrateurs en srie,commencer par mo-dliser tous les gn-rateurs en reprsen-tation de Thvenin.

Fig. 5 Modlisation de gnrateurs en srie

E1

ConseilPour un circuit unemaille, utiliser direc-tement la loi dePouillet pour calcu-ler lintensit du cou-rant qui y circule.Trouver le rsultaten appliquant la loides mailles fait per-dre du temps.

R1, R2, RN( )E1 ; r1( ), E2 ; (

I1E1 +r1 r2+-----------------=

k + 1=

k 1=

Fig. 6 Maille constitu

AttentionNe pas appliquer cesrelations pour un cir-cuit constitu de plu-sieurs mailles. Il esterron dcrire pourla figure 2 que :

I3E

R1 R3+------------------

.=

Fig. 7 Reprsentation dEq ; r q

Rq

+


de Pouillet

t dobtenir lintensit circulant dans une maille constitue de

N

rsistors et

N

gnrateurs caractriss par leurs f..m. et rsistances internes ,

on obtient

On utilise la reprsentation de Thvenin pour les gnrateurs. Les loisie pour les gnrateurs et rsistors conduisent au circuit quivalent de la

si la flche correspondant

E

k

est dans le mme sens que celle corres-orientation de

I

;ans le cas contraire.

r1

EqE2 E3

I

r2 r3 rq

I

UU

U E1 r1I E2 r2I r3I E3+ + + +=

U Eq rqI+=

Eq E1 E2 E3+=

rq r1 r2 r3+ +=

r2), EN ; rN( ).

2E2 k Ek N EN+ + + + rN R1 R2 RN+ + + + + +

----------------------------------------------------------------------------

e de trois gnrateurs et de trois rsistorsE1 ; r 1

E

1

E

2

E

3

E 2 ; r 2 E 3 ; r 3

IR

1

R

2

R

3

+ + +

IE1 E2 E3

r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + +----------------------------------------------------------------

.=

Eq E1 E2 E3+ +=

Rq R1 R2 R3+ +=

rq r1 r2 r3+ +=

un circuit quivalent

EqI Irq

R

q

U

R

q

U

r

q


N

atha

n,cla

sse

prp

a

Par exemple, en appliquant la loi des mailles dans le sens anti-horaire, on obtient :

2 AssDes diples sontnes en commun

2.1. Ass

2.1.1. Loi d

Dmonstration :

La tension U tamute les position

N rsistorslents un chacun de

URq U+

Urq rq=

ConseilPour savoir si des di-ples sont en parall-le, toujours se poser laquestion : sont-ils toussoumis la mmetension ?

Fig. 8 Association para

I

Fig. 9 U1

R1

E

3

Mthodes dtude dun circuit lectrique en rgime permanent

27

ociation en parallle

en parallle (ou en drivation) quand tous les diples ont leurs deux bor-. Ils sont soumis la mme tension.

ociation de rsistors en parallle

association

nt la mme aux bornes de chaque rsistor, rien nest modifi si lon per-s des rsistors

de conductance associs en parallles sont quiva-seul rsistor de conductance gale la somme des conductances deux :

(2)

rqEq+ 0=

I et URq RqI= I Eqrq Rq+---------------------

E1 E2 E3r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + +----------------------------------------------------------------

.= =

G1, G2, , GN( )Gq

Gq G1 G2 GN+ + +=

Gq1

Rq--------

1R1------

1R2------

1RN-------+ + += =

Gq G1 G2 G3+ +=

Gq1

Rq---------

1R1-------

1R2-------

1R3-------+ += =

llle de trois rsistorsI1

I2

I3

I

R1

R2

R3

UU

I I1 I2 I3+ +UR1------

UR2------

UR3------+ + G1 G2 G3+ +( )U GqU.= = = =

R1 nest pas en parallle avec R3 R3 nest pas en parallle avec R4 Seuls R3 et lensemble sont enparallle

U1 U3( )U3 U4( )

R2 R4+( )U3 U2 U4+=( )

1Rq--------

1R3------

1R2 R4+( )

-----------------------+=

U2

U3

R2

R3 R4 U4

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

28

2.1.2. Diviseur de courantLa figure 10 repun courant dindentre eux.

Dmonstration :

2.2. Ass

On considre Nmoteurs c..m. erateurs sont qui

Remarque : les co

les ples dsens que c

Fig. 10 Diviseur de cour

I1G1I

G1 G+----------------=

I2G2I

G1 G+----------------=

Attention Si I1 ou I2 ne sontpas dans le sens de I ,il faut faire interve-nir un signe dansleurs expressions. Il ne faut pas appli-quer ces relationslorsque les deux r-sistors ne sont pas enparallle.Par exemple sur lafigure 9, o R2 et R3ne forment pas un di-viseur de courant,seuls R3 et lensemble

forment undiviseur de courant.

R2 R4+( )

U R1I1 R2= =

R1I1 R2 I I1(=

Iq 1=

gq g1=

k +1=

k 1=

Fig. 11 Association paraI01 ; r 01

I

02 ; r 02

I

03 ; r 03

+

+

+

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSIrsente un diviseur de courant : deux rsistors en parallle sont soumis tensit totale I. On cherche les intensits et parcourant chacun

et

et

ociation de gnrateurs en parallle

gnrateurs associs en parallle, caractriss par leurs courants lectro-t conductances internes , Ces N gn-valents un seul gnrateur de c..m. et de conductance interne

nductances sassocient comme nonc au 2.1.1.

si les ples du gnrateur sont placs dans le mme sens queu gnrateur (la flche correspondant est dans le mmeelle de ; dans le cas contraire.

I1 I2

ant I1

I2

I

R1

R2

U

2----

R2IR1 R2+------------------=

2----

R1IR1 R2+------------------=

I2 I I1 I2+=

) I1R2I

R1 R2+------------------= R1 I I2( ) R2I2 I2

R1IR1 R2+------------------= =

I01 ; g1( ), I02 ; g2( ), I0N ; gN( ).Iq gq.

I01 2I02 k I0k NI0N+ + + + +

g2 gN1

rq------

1r1----

1r2----

1rN-----+ + += + + +

Ek ; rk( )Eq ; rq( ) I0k

I0q)

I0q I01 I02 I03+=

gq g1 g2 g31

rq------

1r1----

1r2----

1r3----+ += + +=

llle de trois gnrateurs

II0q ; r q

+


N

atha

n,cla

sse

prp

a

Dmonstration :Pour les associer

Dmonstration :

Cas a)

Par identification

3 quet d

Un gnra

courant de

a) gnra

ConseilPour associer des g-nrateurs en parall-le, commencer parmodliser tous les g-nrateurs en repr-sentation de Norton.

Fig. 12 Cas a)

U r=

I I1=

Iq I0q+ I1 +=

Fig. 13

E

3


29

, on les modlise en utilisant la reprsentation de Norton (fig. 12) :

Cas b)

entre les deux membres de lgalit, on obtient :

ivalence des reprsentations de Thvenin e Norton dun gnrateur

teur de tension de Thvenin

(

E

;

r

)

est quivalent un gnrateur de

Norton o et

teur de tension de Thvenin

b)

gnrateur de courant de Norton

I

U

Iq

I1

I2

I3

rq

r1

r2

r3

I01

I02

I03

I0q

U

I

Cas b)

1I1 r2I2 r3I3= =

I01 I2 I02 I3 I03+ + + +

U rqIq=

I Iq I0q+=

I01 I2 I02 I3 I03+ + +Urq------ I0q+

Ur1---- I01

Ur2---- I02

Ur3---- I03+ + + +=

I0q +I01 I02 I03+=

1rq------

1r1----

1r2----

1r3---- gq g1 g2 g3+ +=( )+ +=

I0 ; g( ) I0 Er---= g1r---

.=

I

r I0=

U E rI=

I I0 gU=

gU

g 1r---=

I0Er----=r

1g---=

U

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

30

Dmonstration :

Figure 13 a) :

Or figure 13 b) :Par identification

4 Potde

4.1. Ten

Entre deux poincuit la tension frence des p

vers le point A (fi Si est pos Les potentiels Vtiel, que lon me

4.2. Mas

En lectronique,potentiel nul. Il Le symbole est :

Remarque : on apvocation tre retionellement au p

4.3. LoiTh

Considrons L

mun N. Soit circulant dans corients vers le pSoit le poten

les borne du dipleLa loi des nuds

U

U

UAB VA VB.=

UAB

R1, R2, RL( )I1, (

VNV2, VL

I1 I2+ +

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI entre les deux expressions de I, on obtient :

et

entiel et loi des nuds en termes potentiels

sion et potentiel

ts A et B quelconques dun cir- scrit sous la forme de la dif-

otentiels en A et en B : La flche est dirige du point Bg. 14).

itif, et la flche tension est dans le sens des potentiels croissants. sont dfinis une constante prs, seule la tension ou diffrence de poten-

sure avec un voltmtre, a un sens physique.

se dun circuit

la masse est un point dun circuit laquelle on attribue arbitrairement unsert de rfrence des potentiels.

pelle aussi masse la carcasse mtallique dun appareil lectrique qui alie la terre par lintermdiaire de la prise de terre. La Terre tant conven-otentiel nul, cette carcasse lectrique peut servir de rfrence de potentiel.

des nuds en termes de potentiels orme de Millman

rsistors de rsistance ayant un nud com-

les intensitshacun des rsistors etoint N (fig. 15).tiel du nud N et potentiels de lautre

considr. sexprime alors par :

E rI I Er---

Ur----

.==

I I0 gU.=

I0Er---= g 1

r---

.=

A B

UAB

Fig. 14

AB

VA VB

I1

I2

I3NR1

R2

R3

UL

U1

U2

U3

V1

V2

V3

IL

RL

VN

Fig. 15

I2, IL )

V1,

IL+ 0,=


N

atha

n,cla

sse

prp

a

et peut scrire so

ou Remarque : la relaintensits.La relation (3) c

Remarque :Si certaines brancompte de leurs

5 MOn considre unrants et tensions

5.1. Loi

Lorsquun circui(par exemple unterme de potentiede N. On peut al

5.2. Rd

La mthode, dcherche uniquemcircuit (ou la tenSi lon doit calcfaut nouveau a

1re tape. Isoleque lon veut crant tout le rest

V1 VN V2 VN VL VN

G1 V1 VN( )

ConseilIl est souvent trs utilepour simplifier les cal-culs, quand aucunemasse napparat surun circuit, den choi-sir une, place de fa-on pertinente, en unpoint donn du cir-cuit. Cela ne poseaucun problme carle potentiel est dfini une constante prs.

VN

ConseilInclure la brancheAB dans les associa-tions de diples estune erreur frquente.Il faut absolumentdistinguer formelle-ment cette branchedu reste du circuit.

Fig. 163 Mthodes dtude dun circuit lectrique en rgime permanent31

us la forme :

(3)tion (3) est indpendante des sens dorientation choisis pour les diffrentes

onduit lexpression du thorme de Millman :

ches arrivant en N contiennent des sources de courant, il suffit de tenir c..m. dans lexpression de la loi des nuds.

thodes dtude dun circuit circuit comportant plusieurs mailles. Que valent les intensits des cou-

dans une ou plusieurs branches ?

des nuds en termes de potentiels

t est constitu de plusieurs branches partant de points de potentiel impose ligne de masse) et aboutissant un mme nud N, la loi des nud enl (ou le thorme de Millman) permet dobtenir trs rapidement le potentiel

ors facilement en dduire lintensit circulant dans chacune des branches.

uction du circuit

crite ci-dessous tape par tape, est particulirement performante si onent lintensit du courant qui circule dans une branche particulire du

sion ses bornes).uler des intensits ou des tensions correspondant dautres branches, ilppliquer la mthode, branche par branche .

ou

r sur le schma lectrique la branche travers laquelle circule lintensitalculer, par exemple en la reprant entre des points A et B et en entou-e du circuit. Si le sens de I nest pas impos, le choisir de faon arbitraire.

R1-------------------

R2-------------------

R2-------------------+ + + 0,=

G2 V2 VN( ) GL VL VN( )+ + + 0=

V1R1------

V2R2------

VLRL------+ + +

1R1------

1R2------

1RL------+ + +

---------------------------------------------= VNG1V1 G2V2 GLVL+ + +

G1 G2 GL+ + +------------------------------------------------------------------=

UAB

I A

B

Reste du circuitDiple (ou association srie de diples) quelconque

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

32

5.3. Util

On englobe souCette mthode cprcdentes ne s

2e tape. Associer lensemble des gnrateurs et/ou rsistors situs dans le reste ducircuit (lois dse ramener utation de Norto

3e tape. Si le un gnrateudiviseur de cou un rsistor ouquivalent unsit I. Ayant I on peu

1re tape. Repun circuit N m2e tape. chainsi N inconn3e tape. Appldans chaque br4e tape. App5e tape. Rso

Remarques Si cette m-thode aboutissant une inconnue et unequation donne la loide Pouillet. Cette mthode con-duit des calculs as-sez lourds ds que

En pratique,elle est surtout utilelorsque lon cherchelensemble des inten-sits et tensions dechaque branche.

N 1=

N 2.

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSIisation directe des lois de Kirchhoff

s le nom de lois de Kirchhoff la loi des nuds et la loi des mailles.onduit des calculs lourds et ne doit tre applique que si les mthodesont pas applicables.

associations srie et/ou parallle des gnrateurs et/ou rsistors) afin den circuit simple (par exemple un rsistor ou un gnrateur en reprsen-n ou de Thvenin). On dit quon a rduit le circuit .

circuit simple obtenu est :r en reprsentation de Norton, alors il suffit dappliquer la relation durant pour obtenir lintensit I ; bien un gnrateur en reprsentation de Thvenin, alors on a un circuite seule maille et il suffit dappliquer la loi de Pouillet pour obtenir linten-

t alors facilement en dduire la tension

rsenter tous les gnrateurs en reprsentation de Thvenin : on a alorsailles indpendantes.

aque maille, associer un courant orient de faon arbitraire. On aues.iquer la loi des nuds chaque nud. On obtient lintensit qui circuleanche en fonction des N diffrents

liquer la loi des mailles pour chaque maille. On obtient N quations.udre le systme de N quations N inconnues.

UAB .

Ik

Ik .


N

atha

n,cla

sse

prp

a


On choisit un sens arbitraireches, mais les choix retenus ique des valeurs pos

Mthode 1 : loi des nu

On peut prendre comme rfreprsent par la ligne infrie

et Le thorme de Millman don

On en dduit :

1 tude dun

On considre le circuit susit du courant qui circule en utilisant dabord la lopotentiel, la mthode de rla mthode dutilisation diConclure.

rsolutio

E 0,

Aucune masse napparat sur lede simplifier les calculs. Il va de

VM 0= E =

VN

VMR2-------

VMr

-------

VAR1------+ +

1R2------

1r---

1R1------+ +

----------------------------------= =

I2 =

Ir =

I1 =

Prendre lhabitude de vrifier,dnominateur ne contient pas de rsistances, on pourrait abo33

pour les diffrentes intensits circulant dans les trois bran-ci sont assez naturels , cest--dire que lon sattend, lors-itives pour et

ds en termes de potentiels

rence le potentiel du filure du schma (masse) :

ne directement :

circuit simple par trois mthodes

ivant. Dterminer linten-dans les diverses branchesi des nuds en terme deduction du circuit et enfinrecte des lois de Kirchoff.

R1

R2 r E

n mthodique

I1, I2 Ir .

schma de lnonc, il faut en placer une en un point donn afin soi que le rsultat obtenu est indpendant du point choisi.

R1

R2 r E

I1

Ir

N

M

A

I2VA VM VA .=

VN

E rR2( )R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------

.

VNR2------

ErR2r+R1r+R2R1---------------------------------------=

VNR1------

ER2R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------=

VN ER1

---------------- E r R2+( )

rR1 R2r R2R1+ +------------------------------------------- =

quand on a une expression sous la forme dune fraction, que lede diffrences. En effet, dans ce cas, pour des valeurs particuliresutir une valeur infinie, ce qui na pas de sens physique.

N

atha

n,cla

sse

prp

a3 Mthodes dtude dun circuit lectrique en rgime permanent


34

Mthode 2 : rduction du circuit Calcul de On isole la branche NM dansOn cherche transformer la On reconnat lassociation pa

En introduisant

Il suffit alors dappliquer la lo

En rduisant le circuit, on a diffremment pour avoir

Calcul de On isole donc la branche CM

On reconnat (fig. 1) dans la pforce lectromotrice E et de ren pointills) en parallle avreprsentation de Norton dudernier apparat sur la fig. 2 d

I1

Re1rR2

r R2+--------------=

R2 r

N

M

I1 R-=

I2.

Quand on rduit un circuit, il quelle est linformation perdue

I2

R1

R2 r

I2

M

C

Figure

Quand un gnrateur est en pNorton.

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Na laquelle circule (voir schma ci-dessous).partie du circuit encadre en une seule branche.rallle de deux rsistors.

on a lquivalence ci-dessous entre les deux circuits.

i de Pouillet et on obtient :

perdu linformation concernant il faut donc le rduire

dans laquelle circule :

artie du circuit qui alimente le diple CM un gnrateur desistance interne (reprsentation de Thvenin encadre

ec le rsistor r . Puisquils sont en parallle, il faut utiliser la gnrateur pour les associer. Cest sous cette forme que ceans le cadre en pointills.

I1

,

R1

E

I1

Re1

R1

E

I1

N

M

E

1 Rq1+---------------------- I1

E r R2+( )R1 r R2+( ) rR2+-----------------------------------------=

I2 ,

faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel diple, ? En ai-je besoin ?

I2

E rR2 R1

M

C

I2

ER1----

1 Figure 2

R1

arallle avec un autre diple, il faut utiliser la reprsentation de

than, Classe prpa

N

atha

n,cla

sse

prp

a

On associe les deux rsistors en parallle (fig. 3),

soit

Il y a alors deux possibilits. Premire possibilit : on apseur de courant, ce qui condu

Deuxime possibilit : on pcircuit une seule maille en trtation de Norton du gnratesur la figure 3 en reprsentatioIl suffit alors dappliquer la lo

avec

Calcul de Il ne faut pas reprendre la mdeux mailles indpendantes.

Mthode 3 : utilisation dLe circuit est compos de deux

Re2rR1r R1+---------------

.=

I2ER1------

G2Ge2 G2+--------------------

ER1------ Re-----= =

I2E

rR1 R+--------------------=

I2ERe2R1

------------ 1Re2 R2+--------------------- ,=

I2E

rR1 R2+----------------------=

Ir

I

On pourrait penser tort qumaille mais cetteEn revanche, au lieu de choisibien choisir et rien au rsultat.

Mthode :1re tape. La reprsentation de2e tape. Les sens arbitraires po3e tape. Appliquer la loi des branche contenant r . 4e tape. Choisir un sens poudeux mailles et appliquer la loi

R2 ; R1 ; E( )

R2 ; r( ) R2 ; R(

3


35

plique la formule du divi-it :

avec

oursuit la rduction duansformant la reprsen-ur encadr en pointillsn de Thvenin (fig. 4).i de Pouillet :

thode gnrale utilise pour et pour pour ce circuit La simple application de la loi des nuds en

N

donne :

irecte des lois de Kirchoff

mailles indpendantes, par exemple et

R2

M

CI2

ER1----Re 2

Figure 3

Re2

2 R2+---------------- Re2

rR1r R1+---------------=

r

2R1 R2r+-----------------------

.

R2

M

C

I2

E Re2R1

----------

Re2

Figure 4

Re2rR1r R1+---------------

.=

rR1 R2r+---------------------

I1 I2 ,

r I 1 I 2ER2

R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------= =

R2 ; r( ) r ; R1 ; E( ).

e le circuit est constitu de trois mailles en considrant aussi la dernire nest pas indpendante des deux autres.r les deux mailles et on pourrait tout aussi

ou encore et cela ne changerait

Thvenin est dj utilise pour le gnrateur ur les intensits ont t choisis prcdemment.

nuds au point N, ce qui donne lintensit du courant dans la

r les flches de tensions, un sens de parcours pour chacune des des mailles.

R2 ; r( ) r ; R1 ; E( ),1 ; E) r ; R1 ; E( ) R2 ; R1 ; E( ),

E ; R1( )

Ir

N

atha

n,cla

sse

prp

a


36

; ;

Maille (1) :

Maille (2) :

En injectant cette expression

Et on en dduit :

Remarque : Les trois mthode

UR2 R2I2= UR1 R1I1= Ur r I1 I2( )=

RU R2

UR1 E Ur+ 0=R1I1 r I1 I2( )+UR2 Ur 0=R2I2 r I1 I2( )

5e tape. Rsoudre le systme

(1) I1rI2 E+

R1 r+------------------

.=

Vrifier, quand on a une exne contient pas de diffrenc Quand on rduit un circuitel diple, quelle est linfor La loi des nuds en termelensemble des intensits re La rduction du circuit estsi lon ne cherchait que lunde calculs que lutilisation d

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Na(1)

(2)

de dans lexpression (2), on arrive :

s conduisent aux mmes rsultats.

2

I1

R1

Urr

I2

N

E

I1 I2

(1)(2)

U R1

E 0=

0=

de deux quations deux inconnues.

I1

I2Er

rR1+R2R1+R2r----------------------------------------=

I1E(r+R2)

R2R1+rR1+R2r----------------------------------------=

Ir I1 I2ER2

R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------= =

pression sous la forme dune fraction, que le dnominateures.t, il faut toujours se poser la question : en associant tel oumation perdue ? En ai-je besoin ? de potentiel est bien adapte ici pour trouver rapidementcherches. une mthode lourde ici car on cherche I1 et I2. Toutefoise ou lautre de ces valeurs, cette mthode ncessite moinsirecte des lois de Kirchoff.

en conclusion

than, Classe prpa

N

atha

n,cla

sse

prp

a

On isole tout dabord la branculer. Pour cela, on retrace len parallle et en srie. On re le gnrateur de f..m. e

le gnrateur de f..m. e

les gnrateurs de Thvenin

2 tud

Considrons un rseau conidaux de f..m. et rsistance r. Le circuit estdiaire dun potentiomtre seur B ralisant un conposition est caractrise p

La rsistance et D est R, le curseur spatance de la partie BDCalculer lintensit I du co

E1 E2

x 0 ; 1[ ] .

xR),

rsolution

On ne cherche que la valeur dbien adapte. On pourrait austraitons pas dans cette correcti

E1

E2

Prendre lhabitude de refaire le faire apparatre clairement le distinguer clairement la bran3 Mthodes dtude dun circuit lectrique en rgime permanent37

che AB travers laquelle circule lintensit que lon veut cal-e circuit en mettant clairement en vidence les associationsconnat en effet les associations suivantes :t le rsistor sont en srie ;

t le rsistor sont en srie ;

et sont en parallle.

e dun circuit comportant un potentiomtre

stitu de 2 gnrateursalimentant une mme ferm par linterm-CD et muni dun cur-tact mobile dont laar un paramtre reltotale de la branche Cre la partie CB (rsis- (rsistance urant circulant dans la branche centrale du circuit.

E2E1

A

B

C DR

xR 1 x( )R

I

r

1 x( )R).

mthodique

une seule intensit, la mthode de rduction du circuit est doncsi utiliser la loi des nuds en terme de potentiel mais nous ne laon.

xR

1 x( )RE1 ; xR( ) E2 ; 1 x( )R( )

s schmas pour :s associations srie et parallle ;che AB du rseau qui lalimente.

E2E1 r

A

B

C D

xR 1 x( )R

E

F

G

H

I

N

atha

n,cla

sse

prp

a


38

Pour mieux sparer la branche AB du reste du circuit, on permute les positions des bran-ches AB et GH, cela facilite lalimentant AB.

Puisque les gnrateurs de T sont en para

ment les associer en utilisancours ; ces deux gnrateursseul gnrateur de c..m :

et de rsistance interne :

On reconnat un diviseur de

On peut positionner les trois bcela ne modifie pas les proprimme potentiel, de mme que

E2 ; 1 x( )R( )

I0qE1xR------

1(----=

R

I =

Reprsenter diffremmendiples.(1) Quand un gnrateur etation de Thvenin du gn(2) Quand un gnrateur reprsentation de Norton d

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI - Nae travail de rduction un gnrateur quivalent du rseau

hvenin etllle, on peut directe-t les formules vues en sont quivalents un

courant, do :

A

B

C D

E

F

G

H

r

1 x( )RxR

E2E1

I

ranches en parallle EF, AB et GH dans nimporte quel ordre carts du circuit. En effet, les points E , A et G sont tous les trois au F, B et H. Il est souvent utile de le faire.

A

B

I

RqI0q

r

r

E1 ; xR( )

E2x )R----------------- ,

qxR( ) 1 x( )R

xR 1 x( )R+---------------------------------- x 1 x( )R.= =

I0qRqRq r+----------------- I

E1 1 x( ) xE2Rx 1 x( ) r+--------------------------------------=

t un schma lectrique pour faciliter les associations de

st en srie avec un autre diple, il faut utiliser la reprsen-rateur pour les associer.est en parallle avec un autre diple, il faut utiliser lau gnrateur pour les associer.

en conclusion

than, Classe prpa

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

Circuits soum

Quand on connecte les diffrents lments dun circuit, les grandeurs lectriques telles quelintensit et la tension voluent au cours du temps. On dit que le rgime est transitoire.Il dpend des conditions initiales.Aprs une dure suffisamment longue, thoriquement infinie, lvolution est indpendantedes conditions initiales ; le rgime est permanent.Un rgime permanent continu est un rgime indpendant du temps.Les grandeurs constantes seront notes en lettres majuscules ; les grandeurs variablesseront notes en lettres minuscules.

1 Ci

1.1. CaUn condensateun matriau isoLes condensateparticulire, untraverse le matLa capacit C d

N

athrcuit RC srie

ractristiques dun condensateurur est un diple constitu de deux conducteurs (les armatures) spars parlant.

urs sont faiblement conducteurs. Dans les exercices, en labsence dindication

crRC, RL, RLC srie is un chelon de tension

an, c

lass

e pr

pa4 Circuits RC, RL, RLC srie soumis un chelon de tension39

ondensateur est considr comme idal, cest--dire quaucun courant neiau isolant.un condensateur lie la tension aux bornes et la charge des armatures.

retenir lessentiel

40

Un condensateur

Dmonstration d

(Lnergie est nuUne variation inest physiquemen

1.2. Circ

1.2.1. MonLinterrupteur K du condensateur

1.2.2. cheQuand on bascuinstantanment chelon de tensiDans la suite no la date

q charge de larmature A en coulomb (C).

CEn convent

Lnergie, lcontinues d

RemarqueOn peut retenir larelation sous la forme

quiva-lente qA CuAB ,=

qB CuBA .=

q Cu=u

idqdt------= =

wC12---Cu=

p

E

a) Cir(interr

Fig. 1

t 0=

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI stocke de lnergie lectrique entre ses armatures. Le stockage est rversible.

e lexpression de lnergie partir de la puissance p reue :

lle quand la tension est nulle.)stantane de lnergie stocke impliquerait une puissance infinie, ce quit impossible.

uit RC srie soumis un chelon de tension

tage dtudeest dans la position (a) (fig. 1). Lintensit du courant et la tension aux bornes sont nulles.

lon de tensionle linterrupteur K de la position (a) la position (b), la tension e passe

de la valeur nulle la valeur E . On dit que le circuit RC est soumis unon (figure b)).us supposerons que linterrupteur bascule la date

il est dans la position (a). la date il est dans la position (b).

tension aux bornes en volt (V). capacit du condensateur en farad (F).ion rcepteur :

q charge dune armature en coulomb (C).i intensit du courant arrivant sur larmature portant la charge q enampre (A).

u tension aux bornes du condensateur en volt (V).nergie stocke dans le condensateur en joule ( J).

C capacit du condensateur en farad (F).

a tension aux bornes et la charge dun condensateur sont des fonctionsu temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuit.

u

iA B

qqvA vB=

Cdudt------

2 12---

q 2

C-----= wC

uidwCdt

----------- dwC u Cdudt------ C

ddt-----

u 2

2----- wC 12---Cu2.= = = = =

(b)

(a) K

e

e

E

t

R

C

i

u

b) chelon de tension.cuit RC soumis un chelon de tensionupteur dans la position (b)).

O

t 0.=, t 0+,=


N

atha

n,cla

sse

prp

a

1.2.3. quation diffrentielle de la tension aux bornes du condensateur.Cons

Quand le circuit

1.2.4. RsoLquation diffrordre coefficie

APPLICATION DE

1. Rsolution de

2. Solution parti3. Solution gn

4. Dterminatiosavoir la continuIl vient : La solution de l

1.2.5. Cour

Introduisons les

une rduction ca

Lquation d

srie soumi

es

Point mthodeconstants et sec1. Rsoudre lq2. Rechercher l3. crire la solu4. Dterminer l continuit de continuit de

Point maths. crire lquati

Exprimer la s

Exprimer la s

RemarqueLa constante estaussi appele tempsde relaxation, oudure (ou temps)caractristique.

RC=

AttentionIl faut dabord crirela solution compltede lquation diff-rentielle avant de d-terminer la constante.

A E+4 Circuits RC, RL, RLC srie soumis un chelon de tension41

tante de temps est ferm, la loi des mailles scrit :

lution de lquation diffrentielle. volution de la tensionentielle de la tension est une quation diffrentielle linaire du premiernts constants et second membre non nul.

LA MTHODE

lquation diffrentielle sans second membre

culire de lquation diffrentielle complte : rale de lquation diffrentielle complte :

n de la constante en crivant la condition initiale impose au circuit, it de la tension aux bornes du condensateur :

quation diffrentielle complte scrit :

be normalise de lvolution de la tension

variables rduites (sans dimension) et ; on dit quon effectue

nonique, ou que les grandeurs sont normalises.

iffrentielle de la tension u aux bornes du condensateur dun circuit RC

s un chelon de tension E est :

t la constante de temps du circuit RC .

1. Rsolution de lquation diffrentielle linaire du premier ordre coefficientsond membre non nul.uation diffrentielle sans second membre en introduisant une constante.a solution particulire de lquation diffrentielle complte.tion gnrale de lquation diffrentielle complte avec la constante.a constante en crivant la condition initiale impose au circuit, savoir : la tension aux bornes dun condensateur ; lintensit du courant qui traverse une bobine.

on caractristique de lquation diffrentielle :

olution r de lquation caractristique :

olution en introduisant une constante :

avec

Ri u+ E.=

dudt------ u+ E.=

dudt------ u+ 0.=

r 1+ 0.=

r1---

.=

ussm

ussm Aert Aet--

,= = A constante.=

up up E .=u ussm up+=

u Aet---

E .+=

ut 0+= ut 0= .=0 A E .= =

u E 1 et---

.=

xt--= y

uE----=

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

42

Lquation diffrentielle normalise est La solution normalise est

La courbe norm

Pente lorigine

1.2.6. Cour

1.2.7. RgiLe rgime perm

tiquement attein

de temps caractEn rgime perm

Du point deinterrupteu

dy------ y+ 1.= y 1 e x .=

i Cdudt------

ER---- e= =

Fig. 2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Courbes normalisoumis un che

a) Remarqub) Remarqu

a)

Fig. 3

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSIalise donnant y en fonction de x est donne (figure 2a).

de la courbe normalise :

be normalise de lvolution de lintensit

La courbe normalise est celle de en fonction de (figure 3b).

me permanent continuanent continu est atteint au bout dune dure infinie. En ralit il est pra-

t, 1 % prs, au bout dune dure puisque La constante

rise lvolution du rgime transitoire.anent continu : ; ;

vue des courants et des tensions, un condensateur est quivalent unr ouvert en rgime permanent continu (figure 3).

dx

dydx------

01.=

t--

. RiE------

t--

RiE------

uE----

2 4 6 8

t--

t--

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 6 8

ses des volutions de la tension (a) et de lintensit (b) pour un circuit RClon de tension.

er la continuit de la tension er la discontinuit de lintensit

t 0.=t 0.=

1 1

b)

5u 5( )E

---------- 0,99.=

Up E= Ip 0= Q p CE.=

Ip 0=

Un condensateur en rgime permanent continu est quivalent un interrupteur ouvert.

Ip 0=

Up constante=Up constante=


N

atha

n,cla

sse

prp

a

1.2.8. Bilan nergtiquenergie stocke

nergie fournie

nergie dissipe

En rgime permest nulle.

1.3. RgLe rgime perma la valeur nulle tion (a). On dit qSoit la dLquation diffr

dont la solution

En rgime permToute lnergie seffet Joule dans

t 0=

Fig. 4

a)

2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

a) Remarqb) Remarq

Courbes normali

uE----4 Circuits RC, RL, RLC srie soumis un chelon de tension43

par le condensateur pendant le rgime transitoire :

par la source pendant le rgime transitoire :

par effet Joule dans le rsistor pendant le rgime transitoire :

anent continu, le courant est nul donc la puissance reue par le circuit RC

ime libre du circuit RCnent continu tant atteint, la tension e passe instantanment de la valeur Equand on bascule brutalement linterrupteur K de la position (b) la posi-ue le circuit RC est en rgime libre (fig. 4). ate du basculement.entielle de la tension u se rduit :

est Lintensit est

anent continu : ; ; tocke par le condensateur pendant le rgime transitoire a t dissipe parle rsistor.

WC12---CUp

2 12---Cut 0=

2

12---CE2.= =

WE = Eidt EQ p CE2.= =0

WR WE WC

12---CE2.= =

dudt------- u+ 0,=

u Eet ----

.= i ER----e

t ----

.=

U p 0= I p 0= Q p 0.=

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2 4 6 8

2 4 6 8

uer la continuit de la tension uer la discontinuit de lintensit

t 0 .=t 0 .=

ses des volutions de la tension (a) et de lintensit (b) dun circuit RC en rgime libre.

t -----

t -----

1

1

RiE------

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

44

2 Cir2.1. Car

Une bobine est umagntique.Elle a toujours ungliger la rsistUne bobine relltre considre coidale dinductanEn labsence dinde sa rsistance,

Le passage du cstockage est rve

Dmonstration d

(Lnergie est nuUne variation inest physiquemen

2.2. Circ

2.2.1. quaSupposons qu dla valeur nulle (figure 5) est alorsQuand le circuiscrit :

En convent

Lnergie econtinues d

u ri L+=

wL12---Li 2=

p

Ri u+ =

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSIcuit RL srie

actristiques dune bobinen diple constitu dun enroulement de fil conducteur autour dun matriau

ne rsistance, celle du fil. Une bobine idale est une bobine dont on peutance ; elle est caractrise par son inductance propre.e dinductance et de rsistance peutmme lassociation en srie dune bobinece et dun rsistor de rsistance dication dans un exercice sur la valeur

une bobine est considre comme idale.

ourant provoque le stockage dnergie magntique dans la bobine. Lersible.

e lexpression de lnergie partir de la puissance p reue :

lle quand le courant est nul.)stantane de lnergie stocke impliquerait une puissance infinie, ce quit impossible.

uit RL srie soumis un chelon de tension

tion diffrentielle de lintensit. Constante de tempsate la tension e passe de la valeur E. Le circuit RL soumis un chelon de tension.t est ferm, la loi des mailles

do

ion rcepteur :i intensit du courant traversant la bobine en ampre (A).u tension aux bornes en volt (V).L inductance propre de la bobine en henry (H). r rsistance de la bobine en ohm ().

i intensit du courant traversant la bobine en ampre (A). nergie stocke dans la bobine en joule ( J).

L inductance propre de la bobine en henry (H).

t lintensit du courant qui traverse une bobine sont des fonctionsu temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuit.

rLi

u

L r

L r.

didt-----

wL

uidwLdt

---------- dwL Lididt----- L

ddt-----

i 2

2----- wL 12---Li 2.= = = = =

Fig. 5

ue

i

L

R

t 0,=

E, L didt----- Ri+ E.=


N

atha

n,cla

sse

prp

a

2.2.2.volAppliquons la m(point mthode 11. Solution de l

2. Solution parti

3. Solution gn

4. Dterminatiosavoir la continu

La solution de l

2.2.3.volLvolution de la

2.2.4.Cour

La courbe norm

La courbe norm

Lquation diffrentielle de lintensit du courant qui traverse la bobine dun circuitRL srie sou

est l LR---=4 Circuits RC, RL, RLC srie soumis un chelon de tension45

ution de lintensit qui traverse la bobine idalethode de rsolution de lquation diffrentielle donne au paragraphe 1.2.4.).quation diffrentielle sans second membre :

avec culire de lquation diffrentielle complte :

rale de lquation diffrentielle complte :

n de la constante en crivant la condition initiale impose au circuit, it de lintensit du courant qui traverse la bobine :

quation diffrentielle complte scrit :

ution de la tension aux bornes de la bobine idale tension aux bornes est :

bes normalises

alise de lintensit est celle donnant en fonction de :

alise de la tension est celle donnant en fonction de :

mis un chelon de tension E est :

a constante de temps du circuit LC .

didt----- i+

ER----

.=

issm Bert Bet--

,= = B cte.=

ipER----

.=

i Bet-- E

R----

.+=

it 0 += it 0= BER----+ 0 B E

R----

.= = =

iER---- 1 e

t--

.=

u Ldidt----- E e

t--

.= =

RiE------

t--

RiE------ 1 e

t--

.=

uE----

t--

uE---- e

t--

.=

N

atha

n,cla

sse

prp

a

retenir lessentiel

46

2.2.5.RgiLe rgime perm

En ralit, il est

En rgime perm

2.2.6.Bilannergie stocke

En rgime perm la puissance re la puissance

2.3. RgLe rgime permvaleur E la va

la date d

Le temps d

rgime tran

Du point dtensions, unlente un inpermanent

Fig. 6

a)

a) Remarquer la b) Remarquer la

RiE------

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 1

volutions de lintensit (a) et de la tension (b) pour un circuit LC soumis un chelon de tension.

PE

t 0=

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSIme permanent continuanent continu est atteint au bout dune dure infinie.

pratiquement atteint au bout dune dure puisque

anent continu : et

nergtiquepar la bobine pendant le rgime transitoire scrit :

anent continu :ue par la bobine est nulle : ;

fournie par le gnrateur est dissipe par effet Joule dans le rsistor :

ime libre du circuit RLanent continu tant atteint, la tension e passe instantanment de la

leur nulle quand on teint la source ; le circuit est en rgime libre. Soite lextinction.

e relaxation donne un ordre de grandeur de la dure relle du

sitoire du circuit RL soumis un chelon de tension.

e vue des courants et dese bobine idale est quiva-terrupteur ferm en rgimecontinu.

b)

continuit de lintensit la date discontinuit de la tension la date

t 0.=t 0.=

uE----

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 62 4 6 1t--

t--

5Ri 5( )E

-------------- 0,99.=

LR---=

Up 0= IpER----

.=

Ip constante=

Up 0=

Ip constante=

Up 0=

WL12---LIp

2 12---Lit 0 +=

2

12---LIp

2.= =

PLp UpIp 0= =

p EIp=

PRp RIp2

RIpER---- EIp.= = =


N

atha

n,cla

sse

prp

a

Lquation diffrentielle de lintensit se rduit :

dont la solution

En rgime permToute lnergie sJoule dans le rs

3 Cir3.1. qu

du cSupposons qupasse de la valeucuit RLC (Fig. 8)lon de tension. Qloi des mailles s

Do

Fig. 7

a)

2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

a) Remarquer lab) Remarquer la

Courbes normali

RiE------

Ri Ldidt----- u+ +

d2udt2---------

RL---

dudt------+4 Circuits RC, RL, RLC srie soumis un chelon de tension47

est La tension est

anent continu : et tocke par la bobine pendant le rgime transitoire a t dissipe par effetistor.

cuit RLC srieation diffrentielle de la tension aux bornes ondensateur

date la tension er nulle la valeur E . Le cir- est alors soumis un che-uand le circuit est ferm, la

crit :

avec

didt -------- i+ 0,=

iER---- e

t ----

.= u L didt----- Ee

t ----

.= =

U p 0= I p 0.=

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2 4 6 8

2 4 6 8

continuit de lintensit discontinuit de la tension

t 0 .=t 0 .=

ses des volutions de lintensit (a) et de la tension (b) dun circuit RL en rgime libre.

uE----

t -----

t -----

1

1

e

R

C

i

u

L

Fig. 8t 0,=

E,= i C dudt------

.=

uLC-------+

ELC-------

.=

N

atha

n,cla

sse

prp

a

reteni

tout-le-cours-electrocinetique-pcsi-mpsi-ptsi.pdf

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