thèses de l'insa de lyon | les thèses de l'insa de lyon - analyse adaptive et...

N° d’ordre 2001 ISAL 0003 Année 2001

THESE

Présentée

DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DE SCIENCESAPPLIQUEES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

FORMATION DOCTORALE : IMAGES ET SYSTEMESECOLE DOCTORALE : ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE

PAR

Yun Sang KIM

Analyse adaptative et synthèse multirésolution de surfacesmaillées par décomposition sur une base d’ondelettes.

Soutenue le 29 janvier 2001 devant la Commission d’Examen

Jury :Houman BOROUCHAKI RapporteurIsabelle MAGNINChristophe ODETRémy PROST Directeur de thèseFrançis SCHMITT PrésidentFrédéric TRUCHETET Rapporteur

Cette thèse a été préparée au Centre de Recherche Et d’Applications en Traitement del’Image et du Signal (CREATIS UMR CNRS 5515) de l’INSA LYON et l’UCBL.

7

5(0(5&,(0(176

Ce travail de thèse a été réalisé au sein du Centre de Recherche Et d’Application en

Traitement de l’Image et du Signal (CREATIS), Unité mixte (UMR CNRS 5515), Institut

National des Sciences Appliquées de Lyon (INSA Lyon), Université Claude Bernard Lyon

I (UCBL), affiliée à INSERM. Je remercie Messieurs les Professeurs Gérard GIMENEZ et

Didier REVEL, codirecteurs de CREATIS, pour l’accueil qu’ils m’ont réservé dans le

laboratoire.

Qu’il me soit tout d’abord permis de remercier Monsieur le Professeur Rémy

PROST qui a assuré la direction de ce travail Ses grandes compétences théoriques, sa

disponibilité, ses encouragements, et sa contribution dans la direction du mémoire m’ont

été d’une aide précieuse. Je suis très sensible à la confiance qu’il m’a toujours accordée et

je tiens à lui témoigner ici le plaisir que j’ai eu à travailler avec lui pendant ces trois

années.

Je suis particulièrement reconnaissant à Monsieur le Professeur Françis SCHMITT,

responsable du groupe TII au département TSI de l’Ecole Nationale Supérieur des

Télécommunications de Paris, de m’avoir fait l’honneur de présider le jury de thèse et

d’avoir manifesté son intérêt pour mon travail.

Que Monsieur le Professeur Houman BOROUCHAKI, du laboratoire LASMIS de

l’Université de Technologie de Troyes, trouve ici mes plus vifs remerciements pour les

précieuses remarques dont il m’a fait part en rapportant sur le mémoire de thèse.

Mes plus vifs remerciements vont aussi à Monsieur le Professeur Frédéric

TRUCHETET, directeur du laboratoire Le2i de l’Université de Bourgogne, d’avoir accepté

d’être rapporteur de cette thèse. Les thèses qu’il a dirigé dans son laboratoire furent des

documents précieux pour mon travail. Je le remercie également pour les remarques qui ont

enrichi mon mémoire.

Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Madame Isabelle MAGNIN, directeur de

recherche de l’INSERM, pour ses encouragements durant la thèse, et pour m’avoir fait

l’honneur de participer à mon jury de thèse.

Mes remerciements s’adressent également à Monsieur le professeur Christophe

ODET, de l’INSA de Lyon, pour son analyse critique de la préparation de ma thèse et pour

avoir accepté de participer au jury.

8

Je remercie chaleureusement l’ensemble du personnel du laboratoire et les

doctorants pour leur gentillesse et pour l’ambiance amicale du laboratoire. Merci

notamment à Monsieur Daniel CULIOLI, pour ses aides concernant l’informatique et à

Nicolas ROGNIN et Sébastien VALETTE pour leurs conseils concernant mes études.

Enfin, je souhaite exprimer toute ma gratitude à mes parents, ma belle-mère, ma

femme Hyang-Sil qui m’ont soutenu pendant mes études. Je leur dédie, ainsi qu’à mes

enfants, mon mémoire de thèse.

9

A mes parents, belle-mère,

à mon épouse Hyang-Sil,

à mes enfants Yong-Jin et Yong-Jae.

Table des matières

11

Table des matières

Liste des notations -------------------------------------------- 15

INTRODUCTION GENERALE 17

1. Motivations -------------------------------------------- 17

2. Travaux précédents -------------------------------------------- 19

3. Nos Contributions -------------------------------------------- 22

4. Organisation du document -------------------------------------------- 23

CHAPITRE I : ETAT DE L’ART - ANALYSE MULTIRESOLUTION ETSUBDIVISION DE SURFACES 3D 25

1. Introduction ------------------------------------------- 25 2. Notations mathématiques ------------------------------------------- 26

2.1 Représentation de maillages ------------------------------------------- 27

2.2 Voisinages sur maillages ------------------------------------------- 28

3. Analyse multirésolution en ondelettes de la surface des objets 3D ---------------- 30

3.1 Principe de la théorie de l’analyse multirésolution par transformation

en ondelettes orthogonales ------------------------------------------- 30

3.2 Raffinement des fonctions ------------------------------------------- 31

3.3 Bancs de filtres ------------------------------------------- 32

4. Subdivision de surfaces et ondelettes ------------------------------------------- 35

4.1 Subdivision de surfaces ------------------------------------------- 35

4.2 Espaces imbriqués et raffinement des fonctions d’échelles dans

la subdivision de surfaces ------------------------------------------- 37

4.3 Produits scalaires sur des surfaces de l’espace 3D ----------------------------------- 39

4.4 Ondelettes bi-orthogonales associées à la subdivision de surfaces 3D ----------- 42

Table des matières

12

5. Remaillage ------------------------------------------- 48

6. Simplification de maillages triangulaires ------------------------------------------- 50

6.1 Simplification par raffinement ------------------------------------------- 50

6.2 Simplification par décimation ------------------------------------------- 51

7. Conclusion ------------------------------------------- 54

CHAPITRE II : DECOMPOSITION LOCALE SUR UNE BASE ENONDELETTES DU MAILLAGE TRIANGULAIRE DE LA SURFACED’OBJETS 3D 55

1. Introduction ------------------------------------------- 55

2. Principe de la décomposition locale en ondelettes ------------------------------------- 56

3. Décomposition locale en ondelettes de maillages de la surface d’objets 3D ----- 58

Abstract ------------------------------------------- 59

I. Introduction ------------------------------------------- 59

II. Wavelet based surface subdivision ------------------------------------------- 60

III. Local subdivision of surfaces ------------------------------------------- 61

IV. Results ------------------------------------------- 63

V. Conclusions ------------------------------------------- 63

References ------------------------------------------- 64

4. Compléments ------------------------------------------- 68

5. Conclusions ------------------------------------------- 72

CHAPITRE III : PROPOSITION D’UNE DECOMPOSITION ENONDELETTES DE MAIILAGES IRREGULIEREMENT SUBDIVISES

73

1. Introduction ------------------------------------------- 73

2. Décomposition en ondelettes de maillages triangulaires 3D irrégulièrement subdivisés. Application à la compression ------------------------------------------- 74

Abstract ------------------------------------------- 75

I. Introduction ------------------------------------------- 75

Table des matières

13

II. Lounsbery’s wavelets based multiresolution scheme -------------------------------- 76

III. A proposal for irregular subdivision ------------------------------------------- 78

IV. Compression ------------------------------------------- 81

V. Results ------------------------------------------- 82

VI. Conclusions ------------------------------------------- 82

References ------------------------------------------- 85

3. Compléments ------------------------------------------- 86

4. Conclusions ------------------------------------------- 89

CHAPITRE IV : PROPOSITION D’UN REMAILLAGE GLOBAL ETLOCAL POUR LA DECOMPOSITION EN ONDELETTES. REMAILLAGEADAPTATIF PAR TRANSFORMATION CONFORME 91

1. Introduction ------------------------------------------- 91

2. Transformation conforme de maillages surfaciques ---------------------------------- 92

3. Remaillage local et décomposition en ondelettes -------------------------------------- 94

Abstract ------------------------------------------- 95

I. Introduction ------------------------------------------- 95

II. Related works ------------------------------------------- 97

II-1. Wavelet based surface subdivision ------------------------------------------- 97

II-2. Remeshing ------------------------------------------- 98

III. A new remeshing algorithm ------------------------------------------- 99

III-1. Base mesh reconstruction ------------------------------------------- 99

III-2. Multiresolution global and local remeshing ----------------------------------- 100

IV. A proposal for local subdivision of surfaces ---------------------------------------- 103

IV-1. Local wavelets basis construction ---------------------------------------------- 103

IV-2. Evaluation of the local inner products of the scaling functions ------------ 104

IV-3. An algorithm for fast computation of the inner products ------------------- 105

V. Experimental Results ------------------------------------------ 105

VI. Conclusions ------------------------------------------ 106

Appendix A : Curvature estimation ------------------------------------------ 106

References ------------------------------------------ 107

4. Détails complémentaires sur la paramétrisation ------------------------------------- 113

5. Conclusions ------------------------------------------ 118

Table des matières

14

CHAPITRE V : REMAILLAGE A SUBDIVISION VARIABLE PARTRANSFORMATION HARMONIQUE 119

1. Introduction ------------------------------------------ 119 2. Principe de la transformation harmonique ------------------------------------------ 120

2.1 Transformation de bord ------------------------------------------ 121

2.2 Transformation d’intérieur ------------------------------------------ 123

3. Notre proposition par un remaillage par transformation harmonique ---------- 125

4. Conclusions ------------------------------------------ 133

CHAPITRE VI : VERS UNE FUSION DE MAILLAGES LOCAUX 135

1. Introduction ------------------------------------------ 135 2. Transformation de maillages locaux sur un même espace 2D --------------------- 135

3. Fusion de maillages locaux ------------------------------------------ 137

4. Conclusions ------------------------------------------ 146

CHAPITRE VII : FILTRAGE NON-LINEAIRE DES MAILLAGESSURFACIQUES 147

1. Introduction ------------------------------------------ 147 2. Filtrage non- linéaire des maillages 3D ------------------------------------------ 148

3. Conclusions ------------------------------------------ 154

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES 155

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ------------------------------------------ 159

15

Liste des notations

Notations Signification

M Maillage triangulaire

K Complexe simplicial représentant la connectivité d’un maillage

V Ensemble de position de sommets définissant la géométrie d’un maillage

mR Espace réel de dimension m

j Niveau de résolution

ϕ Fonction d’échelle

ψ Ondelette

j- Matrice des fonctions d’échelle

j� Matrices des ondelettes

jV Espace des fonctions d’échelles

jW Espaces des ondelettes

jP et jQ Matrices des filtres de synthèse

jA et jB Matrices des filtres d’analyse

jC Matrice des coefficients

jD Matrice des détails perdus dans le processus d’analyse

)(xS Surface limite

jI Matrice des produits scalaires

j. Matrice des coefficients de pondération des fonctions d’échelle

γβα ,, Coordonnées barycentriques

n&

Vecteur normal

16

Π Bijection

h Transformation harmonique

b Transformation de bord

)(hE Energie fonctionnelle de la transformation harmonique

ijk Raideur de ressort dans la transformation harmonique

2σ Ecart quadrique lié au bruit

jS Seuil

jµ Constante arbitraire pour trouver le seuil optimal

Introduction générale

1

INTRODUCTION GENERALE

1. Motivations

La décomposition en ondelettes, introduite historiquement pour les signaux par

Meyer [MEYE93] et Mallat [MALL89], a été étendue récemment par Lounsbery

[LOUN94] aux surfaces. Dans ce contexte, le maillage initial est représenté par un maillage

d’approximation très simple (par exemple, un octaèdre) et un ensemble de coefficients

d’ondelettes qui représentent les détails perdus dans l’approximation. On peut alors

reconstruire progressivement le maillage en ajoutant des détails (Figure 1). La

reconstruction finale est exacte.

P P P P

Q Q

Détails Détails

2. Figure 1. Reconstruction

La décomposition du maillage trian

suivant l’approche de Lounsbery, nécessi

subdivisions régulières de toutes les fa

nécessite un maillage spécialement adap

adaptation locale de la subdivision donc

ou, plus généralement, de la complexi

….

7

Q Q

Détails Détails

progressive du maillage du cœur.

gulaire d’un objet 3D sur une base d’ondelettes,

te un maillage dont la connectivité est obtenue par

ces des triangles d’un maillage de base ce qui

té. D’autre part, cette méthode ne permet pas une

du nombre de facettes en fonction de la courbure

té de l’objet. Cette approche ne permet pas la


18

décomposition des maillages irréguliers, comme, par exemple, ceux obtenus par

l’algorithme du Marching Cube qui est utilisé de façon standard en imagerie médicale

[LORE87].

La décomposition sur une base d’ondelettes des surfaces triangulaires associées aux

objets 3D est une approche séduisante pour de nombreuses applications :

• Transmission progressive via un réseau (internet, etc…),

• Compression et codage,

• Affichage progressif,

• Edition multirésolution des maillages,

• Traitement numérique des maillages (filtrages, …).

Cette thèse se propose de contribuer à apporter des solutions aux limitations de

l’approche de Lounsbery par deux voies :

• Un remaillage des maillages quelconques de façon à obtenir un maillage

décomposable en ondelettes,

• Une décomposition irrégulière en ondelettes.

Dans la première voie nous proposons d’introduire une résolution variable sur la

surface. Cette résolution s’adapte automatiquement à la courbure locale. Cette nouvelle

approche fait apparaître plusieurs bases d’ondelettes pour décomposer la surface.


19

2. Travaux précédents

Dans cette section, nous passons en revue brièvement un certain nombre de

méthodes étroitement liées à nos approches.

Les premières formalisations de l’analyse multirésolution des fonctions sont dues à

Meyer [MEYE93] et Mallat [MALL89]. Cette théorie n’est pas bien adaptée à la

représentation des ensembles de données de dimensions finies telles que les courbes

ouvertes, et les surfaces triangulées qui s’utilisent en infographie et en imagerie médicale.

L’analyse multirésolution par décomposition sur une base d’ondelettes a été étendue

récemment par Lounsbery [LOUN94] afin de résoudre cette problématique. Nous

présentons ici les travaux importants de ce domaine.

La subdivision de surfaces est une méthode de modélisation des surfaces de

topologie arbitraire. Elle est définie en raffinant itérativement un maillage de contrôle 0M

de sorte que l'ordre du maillage soit de plus en plus fragmenté en facettes ⋅⋅⋅,, 21 MM et

converge sur une certaine surface limite ∞=MS . Les deux premières méthodes ont été

proposées par Catmull et Clark [CATM78], Doo et Sabin [DOO78]. Ils ont généralisé

respectivement les B-splines bi-cubiques et bi-quadriques. En 1987, Loop [LOOP87] a

présenté un schéma de raffinement d’un maillage triangulaire par l’insertion de sommet.

Cette approche conduit à des maillages lisses. La méthode nommée ‘Butterfly’ a été

développée ensuite par Dyn et al. [DYN90]. Cette méthode ne modifie pas la position des

sommets existants à chaque étape de subdivision, elle utilise la moyenne locale pour

calculer la position des points médians des arêtes introduites par division. Reif [REIF95] a

donné une réponse satisfaisante au comportement des surfaces de subdivision près des

points extraordinaires. Les points extraordinaires sont des sommets invariants par

subdivision. Les méthodes basées sur l’introduction de sommets aux points médians des

arêtes, ont respectivement 6 et 4 sommets voisins pour les nouveaux sommets à l’intérieur

et au bord du maillage. Les sommets extraordinaires qui ont un nombre de sommets voisins

différents de 6 ou 4, restent constants pour toute subdivision. Un schéma d’interpolation

qui utilise la subdivision quaternaire, est introduit par Kobbelt [KOBB96], et Zorin et al.

[ZORI96] ont présenté un schéma basé sur la méthode Butterfly, avec des règles spéciales,

appliquées aux sommets voisins des sommets extraordinaires, qui conduisent à des

surfaces plus lisses que la méthode Butterfly. DeRose et al. [DERO98] ont utilisé la

subdivision de surfaces pour la fabrication du film d’animation ‘Geri’s game’. Guskov et

al. [GUSK99] ont construit un algorithme pour le lissage géométrique des maillages

triangulaires irréguliers. La subdivision récursive des surfaces, génère des fonctions


20

d’échelles qui peuvent être raffinées, et par conséquent, conduit à une séquence d’espaces

linéaires imbriqués selon les exigences de l'analyse multirésolution. Donc, des surfaces

produites par subdivision, peuvent être décomposées hiérarchiquement en utilisant les

ondelettes [STOL95b].

Un élément important, de la conception des algorithmes pour l’approximation de

maillage, est la construction d’une paramétrisation efficace lorsque aucune information

d’initialisation n’est disponible. Les différentes méthodes, comme celle de Lounsebery et

al. [LOUN94] qui utilisent les ondelettes, requièrent souvent la connaissance de la

connectivité de subdivision du maillage. Cependant, dans la pratique, les maillages

rencontrés ne répondent pas à cette exigence. Des méthodes appelées ‘remaillages’ (en

anglais remesh) ont été développées pour répondre à cette exigence. Le remaillage repose

sur la construction d’un nouveau maillage, par modifications successives du maillage

initial. Le remaillage permet d’obtenir un maillage régulièrement subdivisé ayant une

connectivité de subdivision à partir d’un maillage irrégulièrement subdivisé.

Eck et al. [ECK95] ont proposé une méthode de remaillage pour une topologie via

la transformation harmonique. Ils construisent d’abord un maillage de base polyédrique

triangulaire conservant la même topologie que la surface à remailler par pavage de

Voronoi. En utilisant une séquence d’applications harmoniques locales, une

paramétrisation, qui est lisse au-dessus de chaque triangle du maillage de base, est

construite. Ils utilisent alors la subdivision quaternaire répétée à partir du maillage de base

pour construire un nouveau maillage qui se rapproche de la surface à remailler. Un modèle

multirésolution du nouveau maillage est alors établi en utilisant des techniques

d’ondelettes. Mais, les temps d'exécution pour cet algorithme peuvent très être longs, en

raison des nombreux calculs de transformations harmoniques. De plus, dans le cas

particulier de maillages relativement simples, le pavage de Voronoi de Eck échoue. Ces

problèmes ont été résolus par Duchamp et al. [DUCH97] qui ont réduit le temps de calcul

par l’introduction préalable d’une opération de hiérarchisation, et par Klein [KLEI97] qui

propose l’algorithme du pavage basé sur les sommets. Lee et al. [LEE98] ont développé un

algorithme de remaillage adaptatif avec la connectivité de subdivision pour les surfaces à

topologie arbitraire. Ils utilisent d’abord la simplification par décimation de sommets du

maillage original pour obtenir le maillage de basse résolution. Pendant cette simplification,

chaque sommet supprimé est paramétré avec les sommets voisins par transformations

conformes itérées, et la retriangulation est faite pour les sommets voisins. Par cette

procédure, le maillage de basse résolution est trouvé puis les sommets supprimés du

maillage original sont projetés sur les triangles du maillage de base résolution. Après, le

maillage de basse résolution est subdivisé régulièrement en 4 : 1 et, en utilisant la

transformation inverse, un remaillage décomposable est reconstruit.


21

D’autre part, les représentations nommées maillages normaux et surfaces

subdivisées de substitution (en anglais, respectivement, normal meshes, displaced

subdivision surface) sont proposées récemment par Guskov et al. [GUSK00], Lee et al.

[LEE00]. Guskov et al. représentent une surface en appliquant successivement une

substitution hiérarchique des maillages pendant la subdivision. Un maillage normal est un

maillage multirésolution dans lequel des sommets peuvent être trouvés dans la direction

normale, à partir d’un certain niveau initial. Leur construction permet à la plupart des

sommets d'être encodés en utilisant des déplacements scalaires, mais une petite fraction des

sommets exige des déplacements vectoriels pour empêcher le pliage de la surface. La

méthode de Lee et al. a montré qu'une surface arbitraire peut être approchée par une

surface de subdivision substituée, dans laquelle la géométrie est encodée comme une

fonction à valeurs scalaires sur un domaine de surface. En conséquence, sa représentation

définit le domaine de la surface et la fonction de substitution est obtenue en utilisant la

subdivision de Loop. Elle permet la compression efficace et est également convenable pour

l'animation, l'édition, et le contrôle du niveau de détail des maillages. Cependant, les

surfaces de subdivision par substitution nécessitent la contrainte supplémentaire des

déplacements strictement scalaires. Donc, une fois subdivisées et déplacées, les arêtes du

maillage de contrôle ne suivent généralement pas exactement des plis de la surface initiale.

Une application particulièrement intéressante, de la représentation multirésolution,

concerne la simplification géométrique réversible de maillages triangulaires associés à des

objets 3D. La simplification de maillages consiste à trouver un maillage d’une complexité

géométrique moindre tout en conservant une distorsion visuelle acceptable des maillages

originaux. Les deux méthodologies les plus communes pour la simplification de maillages

sont les approches par raffinement et par décimation [HECK97] [ALLI00]. La méthode par

raffinement est un algorithme itératif qui commence par une première approximation et

ajoute des éléments à chaque étape [FAUG84] [DELI94] [KOBB98] [DAUB99]. Les

méthodes de décimation éliminent itérativement des sommets [SCHR92] [SOUC96]

[HECK99], ou des arêtes [HOPP96] [COHE97] [TAUB98b], ou bien encore des triangles

[HAMA94] [VARS94] [GIEN97]. D’une autre part, il existe des méthodes fonctionnant

par la décimation de ‘patchs’ (groupes de triangles) [VARS94] [KALV96], et par sous-

échantillonnage [TURK92] [ELSA99] [YEME00].


22

3. Nos Contributions

Nous introduisons ici, nos contributions qui ont un intérêt fondamental pour la

représentation efficace d’une région d’intérêt, la compression, la transmission progressive,

l’affichage accéléré, et la paramétrisation de maillages de surfaces d’objets 3D.

• Décomposition locale, sur des bases d’ondelettes, de maillages à subdivision

régulière 4 :1. Le niveau de résolution est variable sur la surface.

• Décomposition directe sur une base d’ondelettes de maillages triangulaires à

subdivision irrégulière.

• Remaillage adaptatif avec détermination automatique du niveau de subdivision

selon la courbure locale, la densité de sommets ou le choix d’une région d’intérêt.

• Deux techniques de remaillage sont proposées :

- par transformation conforme,

- par transformation harmonique.

• Fusion de maillages locaux décomposables en ondelettes.

• Filtrage non-linéaire des maillages bruités dans le domaine des coefficients

d’ondelettes.


23

4. Organisation du document

Le Chapitre I est consacré à l’étude bibliographique des méthodes de l’analyse

multirésolution en ondelettes et de la subdivision de maillages de surfaces d’objets 3D.

Nous commençons par examiner le contexte des applications de l’analyse multirésolution

en ondelettes et de la subdivision de surfaces 3D associée aux ondelettes. En particulier,

nous explicitons les techniques de remaillage (en anglais remesh) suivant lesquelles des

maillages arbitraires peuvent être convertis en maillages décomposables en ondelettes.

Nous présentons ensuite la simplification des maillages triangulaires quelconques, qui

permet l’obtention d’un maillage d’une complexité géométrique moindre, tout en

conservant une distorsion visuelle acceptable du maillage original.

Le Chapitre II présente notre contribution à la décomposition locale en ondelettes

de maillages surfaciques. Ce chapitre définit une méthode de construction d’ondelettes bi-

orthogonales basées sur la subdivision locale (subdivision irrégulière). En particulier, les

équations des produits scalaires locaux sont calculées exactement par la connaissance des

valences des sommets générés à la résolution supérieure.

Dans le Chapitre III, nous proposons une méthode de décomposition en ondelettes

de maillages surfaciques irrégulièrement subdivisés et son application à la compression.

Elle permet, à partir d’un maillage quelconque, d’obtenir un maillage plus simple

permettant une analyse multirésolution. Nous examinons une technique de compression

sans perte qui prouve l’efficacité de notre algorithme pour une compression des maillages.

Le Chapitre IV introduit un nouveau remaillage global et local pour la

décomposition en ondelettes. Tout d’abord, nous présentons le principe de la

transformation conforme et étendons ce principe au remaillage 3D. Ensuite, nous

représentons en détail notre nouvelle approche. La paramétrisation est explicitée. Dans cet

algorithme, tous les sommets originaux sont projetés sur le plan complexe avec les

sommets de maillage de basse résolution par la transformation conforme. Chaque sommet

original est paramétré par les trois autres sommets des triangles en utilisant les coordonnées

barycentriques. Les sommets 2D sont reprojetés sur l’espace 3D. La reprojection sur

l’espace 3D permet d’obtenir un remaillage décomposable sur une base d’ondelettes sous

réserve que la condition de connectivité de subdivision soit présente. Finalement nous

introduisons une décomposition et reconstruction basée sur la subdivision locale. Dans cet

algorithme, le niveau de subdivision est calculé automatiquement en fonction de la

courbure locale.


24

Dans les chapitres V et VI, nous proposons de nouvelles méthodes de remaillage et

de décomposition en ondelettes basées sur la transformation harmonique. Ces méthodes

améliorent remarquablement la paramétrisation du maillage proposé dans le Chapitre IV.

C’est à dire qu’un maillage approché par cette paramétrisation est plus proche,

géométriquement parlant, du maillage original qu’avec la méthode précédente. Une fusion

de différents maillages locaux permet de reconstruire complètement un maillage

décomposable en ondelettes. Cette dernière contribution accroît les conditions

d’application de la méthode précédente.

Enfin, nous montrons que le filtrage non linéaire des coefficients d’ondelettes de

Donoho est applicable aux maillages. Il permet de filtrer les bruits de maillages, et de

reconstruire un maillage lisse tout en préservant la connectivité et la géométrie.

Pour finir, nous concluons en soulignant les résultats les plus importants de notre

travail et en discutant des perspectives de développement d’un point de vue technique et

scientifique.

Chapitre I : Etat de l’art : Analyse multirésolution et subdivision de surfaces 3D

25

CHAPITRE I

ETAT DE L’ART : ANALYSE MULTIRESOLUTION ETSUBDIVISION DE SURFACES 3D

1. Introduction

Les ondelettes sont un outil mathématique simple pour décomposer les fonctions

dans un schéma hiérarchique. Succinctement, les ondelettes permettent de décomposer une

fonction en une fonction d'approximation et une autre de détails qui influencent la fonction

originale à diverses échelles. Cette approche présente un intérêt dans une large variété

d’applications, l’analyse du signal, le traitement d’image, et l’analyse numérique.

La méthode d’analyse multirésolution est une structure mathématique formalisée

par Meyer [MEYE93] et Mallat [MALL89] sur l’axe réel infini. En ce sens, les ondelettes

offrent un outil utile et efficace. L’idée principale de l’analyse multirésolution suivant

Meyer et Mallat est de représenter hiérarchiquement une fonction compliquée par une

partie de basse résolution plus simple, avec une collection de perturbations appelées

coefficients d’ondelettes qui sont nécessaires pour retrouver la fonction originale.

Cependant, cette théorie classique n’est pas adaptée à la représentation des ensembles de

données finies telles que les images, les courbes ouvertes, et les surfaces bornées qui

s’utilisent en infographie et en imagerie médicale.

Ces dernières années, l’extension de ces méthodes à l’infographie a offert de

nouvelles solutions aux problèmes de compression polyédrique [ZORI97a] [ZHAN98],

d’édition multirésolution de surfaces [ZORI97b] [GUSK99], et d’optimisation de surfaces

[HOPP93] [FAYE97]. L’analyse multirésolution proposée par Lounsbery et al. [LOUN94]

généralise la théorie de Meyer - Mallat à une classe de fonctions définies sur un intervalle

borné, et en particulier pour les maillages triangulaires. Cette généralisation de l’analyse

multirésolution est intimement reliée au processus de subdivision récursive.


26

Dans ce chapitre, nous introduisons les notations mathématiques qui interviennent

dans la représentation de la surface des objets 3D, nous examinons ensuite le contexte

théorique et l’application de l’analyse multirésolution et de la subdivision de surfaces. En

particulier, nous portons notre attention sur l’analyse multirésolution en utilisant les

ondelettes de la méthode de Lounsbery. Il a prouvé que la subdivision de surfaces 3D peut

être associée aux ondelettes en satisfaisant aux besoins de l’analyse multirésolution dans3R .

Dans une deuxième partie, nous analysons une technique appelée remaillage (en

anglais, remesh) des maillages triangulaires arbitraires afin de les rendre décomposable

dans le schéma multirésolution qui utilise la simplification et la subdivision. Nous

présentons les méthodes de simplification de maillages triangulaires, qui permettent la

représentation multirésolution de la surface des objets 3D. Enfin, nous terminons par une

discussion des travaux antérieurs à notre contribution.

2. Notations mathématiques

Avant d’aborder les différentes théories et travaux sur les maillages, il convient de

préciser la terminologie, les définitions de base et quelques notions d’intérêt général pour

la description des scènes tridimensionnelles.

Les surfaces des objets 3D jouent un rôle central dans beaucoup d’applications

graphiques actuelles [BOLL91]. La surface d’un objet 3D est représentée naturellement par

un maillage polyédrique. Le maillage est une surface linéaire par morceaux, se composant

généralement de faces triangulaires. Pour une représentation des données de volume, le

triangle correspond à la géométrie la plus efficace en terme de qualité visuelle et de

simplicité. La représentation des surfaces par un maillage triangulaire permet de

compresser, d’éditer, de visualiser, et de transférer efficacement, les objets 3D.

Nous présentons d'abord les notations mathématiques nécessaires au développement

du maillage triangulaire. Ces représentations mathématiques sont basées sur la théorie de la

topologie et de la géométrie.


27

2.1 Représentation de maillages

Quand on décrit un maillage triangulaire, il est utile de séparer deux modèles

mathématiques : la connectivité du maillage (graphe) et sa géométrie. Formellement, on

dénote un maillage triangulaire M comme une paire ( )VK , où K est un complexe

simplicial représentant la connectivité des sommets, des arêtes, et des faces, déterminant le

type topologique du maillage, et { }m21 vvvV ,,, �= , 3i Rv ∈ avec mi1 ≤≤ est un

ensemble de positions de sommets définissant la géométrie du maillage dans 3R

[HOPP94b] [BOIX95].

Plus précisément, un complexe simplicial K est constitué de l’ensemble des

sommets, { } { } { }m21 ,,, � , et des sous-ensembles formés par des unions de ces sommets,

appelés simplexes de K , tel que chaque sous-ensemble non-vide d’un simplexe dans K est

encore un simplexe dans K . Par exemple, { }21, est une arête et { }321 ,, une face. Si un

simplexe Ks∈ contient 1n + sommets, on l’appelle n-simplexe. Par exemple, { }21, est

un 1-simplexe et { }321 ,, est un 2-simplexe [FREY99].

Une réalisation géométrique d’un maillage associé à une surface dans 3R peut être

obtenue comme suit. Pour un complexe simplicial K donné, sa réalisation topologique K

dans mR (espace réel de dimension m) est formée par l’identification des sommets

{ } { } { }{ }m21 ,,, � avec les vecteurs de base { }m21 eee ,,, � de mR . Pour chaque simplexe

Ks∈ , supposons que s dénote l’enveloppe convexe dans mR , � sK Ks∈= , et

3m RR →:ϕ est l’application linéaire qui envoie le i

ème vecteur de base mi Re ∈ sur

3i Rv ∈ (voir la Figure I-1).

La réalisation géométrique de K est l’image ( )Kϕ . S’il existe une bijection

continue entre eux, l’application ϕ est appelée plongement, autrement dit, les deux

ensembles sont dits ‘homéomorphe’, ou de même type topologique. Seulement un

ensemble restreint de positions de sommets V a pour résultat de ( ) 3RK ⊂ϕ un

plongement, et empêche les auto-intersections [XU98].

Si ϕ est un plongement, tout point ( )Kp ϕ∈ peut être paramètrisé en trouvant

son vecteur unique Kb ∈ . Le vecteur b avec )(bp ϕ= s’appelle le vecteur de


28

coordonnées barycentriques de p (Figure I-1). Notons que les vecteurs de coordonnées

barycentriques sont les combinaisons convexes des vecteurs de base mi Re ∈ correspondant

aux sommets d’une face de K .

Réalisation topologique K Réalisation géométrique ( )Kϕ

Simplexes d’un complexe simplicial K

• Sommets: { } { } { } { } { } { }654321 ,,,,, .

• Arêtes : { } { } { } { } { } { } { } { } { }656454535242324121 ,,,,,,,,,,,,,,,,, .

• Faces : { },,, 421 { },,, 532 { },,, 542 { }654 ,, .

Figure I-1. Représentation d’un maillage constitué de quatre faces.

2.2 Voisinages sur maillages

Le voisinage est une information additionnelle construite à partir de la connectivité

du maillage. Pour la manipulation effective des maillages, il est utile de définir les

voisinages des simplexes sur un complexe simplicial K . Intuitivement, on peut dire qu’un

simplexe J de type sommet, arête, ou face est adjacent à l’ensemble des simplexes S si

celui-ci partage un ou plusieurs simplexes avec S [POPO97].

e6

e5e4

e1

e2

e3

b

v6

v4

v1

y

x

z

v3

v5

v2

p

R m R

3


29

Soit un simplexe de sommet { } Ki ∈ . Le voisinage de { }i est un ensemble de

simplexes qui satisfait la condition ci-dessous :

Voisinage { } { } { } { } { } { }{ }Kkjikjikijikji ∈= ,,,,,,,,,)( , . (I-1-1)

Les voisinages se composent de sommets, arêtes, et faces. Dans ce cas, le nombre de

simplexes composés des sommets est appelé valence du sommet { }i . Pour une arête

{ } Kji ∈, , les voisinages sont les suivants :

Voisinage { } { } { } { } { }{ } �Kkjikjikjkikji ∈= ,,,,,,,,,),(

{ } { } { } { } { } { } { }{ } �Kmlimlimimiliml ∈,,,,,,,,,,, ,

{ } { } { } { } { } { } { }{ }Konjonjonojnjon ∈,,,,,,,,,,, , . (I-1-2)

Pour une face { } Kkji ∈,, , le voisinage ),,( kji est un ensemble de simplexes adjacents à

la face { }kji ,, . Ces relations de voisinage du maillage peuvent être vues par une

représentation appelée graphe d’adjacence (Figure I-2).

i i i

j j k

(a) Graphe de voisinage)(i . (b) Graphe de voisinage ),( ji . (c) Graphe de voisinage ),,( kji .

Figure I-2. Graphe d’adjacence qui représente le voisinage sur un maillage.

La définition de voisinage d’un maillage permet de classer le type du maillage

comme ‘variété’ (avec bord ou sans bord) ou ‘non-variété’ [LACH98a]. Un maillage de

surface est dit à variété uniforme sans bord si ses arêtes internes sont communes à

exactement deux faces, et à variété uniforme avec bord si pour quelques arêtes on ne trouve

qu’une seule face. La variété avec bord forme une surface ouverte et la variété sans bord

forme une surface fermée. Dans les autres cas, le maillage de surface est dit à ‘non-variété’.

C’est le cas de maillages de surface comportant des raidisseurs ou ayant plusieurs


30

composantes connexes [XU99]. Plus précisément, pour chaque sommet { } Ki ∈ , si une

réalisation topologique )(voisinage i de )(voisinage i est homéomorphe à mR ou au

demi-espace de mR tel que { }0≥∈ mm xRx / , on dit que K est une variété m-

dimensionnelle avec bord ou sans bord. Par exemple, si )(voisinage i est homéomorphe à

un disque (sommet intérieur) ou un demi-disque (sommet de bord) dans 2R , K est une

variété 2-dimensionnelle. Nos algorithmes se focalisent sur les maillages ayant la variété

bidimensionnelle.

3. Analyse multirésolution en ondelettes de la surface des objets 3D

La forme classique de l’analyse multirésolution proposée par Meyer et Mallat

[MEYE93] [MALL89] est dans un espace non borné sur l’axe réel (−∞ ,+∞ ) [PROS97a].

Malheureusement, cette approche, bien que remarquable d'un point de vue théorique, est

problématique pour la plupart des applications d'infographie ou de traitement de l’image.

Puisque beaucoup de fonctions d'intérêt, telles que des images ou des maillages, sont

seulement définies sur une région bornée de l’axe réel [QUAK94].

Nous présentons ici une version de l’analyse multirésolution plus adaptée à notre

problématique. Elle est basée sur un espace borné de l’axe réel, donc, s’adapte plus

naturellement aux ensembles de données finies rencontrées dans les applications pratiques

de l'infographie et de l’imagerie [STOL95a]. Cette méthode est applicable aux fonctions

définies sur les domaines topologiques plus généraux, comme les domaines sphériques, et

permet de développer nos travaux dans le domaine tridimensionnel.

3.1 Principe de la théorie de l’analyse multirésolution par transformation enondelettes orthogonales

On considère un ensemble emboîté d’espaces vectoriels d’approximation :

V V V V j0 1 2⊂ ⊂ ⊂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⊂ ⊂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (I-2)

Lorsque j augmente, la résolution des fonctions de l’espace vectoriel V j augmente. Une

fonction de base pour V j est appelée fonction d’échelle. L’étape suivante de l’analyse


31

multirésolution consiste à définir l’espace d’ondelettes noté W j . Pour chaque j , W j est

défini comme le complément de V j dans 1jV + . Le sous-espace vectoriel W j comporte

toutes les fonctions de 1jV + qui sont orthogonales à toutes les fonctions de V j selon le

produit scalaire choisi. Les fonctions de base de W j sont appelées ondelettes [STOL96].

Nous focaliserons notre présentation sur les fonctions d’échelles et ondelettes

définies sur un domaine borné pour les surfaces compactes de 3R de topologie arbitraire.

Dans ce cas, chaque espace V j et W j a une dimension finie permettant l’utilisation d’une

notation matricielle.

3.2 Raffinement des fonctions

Pour un niveau donné j , nous pouvons construire deux vecteurs lignes composés

des fonctions génératrices et des ondelettes,

[ ])(....)()( xxx j

1m

j0

jj −

= ϕϕ- , (I-3.1)

[ ])(....)()( xxx j

1n

j0

jj −= ψψ� , (I-3.2)

où jm et jn sont, respectivement, la dimension de jV et de jW .

Les sous-espaces 1jV − doivent être imbriqués, en conséquence les fonctions

d’échelle de l’espace 1jV − sont des combinaisons linéaires de celles de l’espace jV . C’est

à dire que pour tout ⋅⋅⋅⋅= 2,1,j , il doit exister une matrice jP tel que

jj1j xx P-- )()( =− . (I-4)

Notons que si jV et 1jV − ont, respectivement, des dimensions jm et 1jm − , alors jP est

une matrice de dimension 1jj mm −× .

Par définition, l’espace d’ondelette 1jW − est aussi un sous-espace de jV . Par

conséquent, chaque ondelette au niveau 1j − est aussi exprimable comme une

combinaison linéaire de fonctions d’échelle plus fines au niveau j . On peut écrire les


32

ondelettes )(x1j −� comme un produit des fonctions d’échelle )(xj

- par une matricejQ

jj1j xx Q-� )()( =− . (I-5)

Si jV et 1jV − sont respectivement de dimension jm et 1jm − , alors 1jW − est de

dimension 1jj mm −− , et jQ doit être une matrice de dimension )( 1jjj mmm −−× .

Les équations (I-4) et (I-5) peuvent être exprimées sous la forme d’une équation

unique en utilisant la notation matricielle par blocs [LOUN97],

[ ] [ ]jjj1j1j QP-�- =−− . (I-6)

1jW − doit être le complément orthogonal de 1jV − dans jV , alors, il est nécessaire

que )(x1j −� soit orthogonale à )(x1j −

- [MEYR94]. En d’autres termes,

0xx jl

jk =⟩⟨ )()( ψϕ pour tout k , l . Ceci peut être encore représenté par la notation

matricielle symbolique :

[ ] 0�- =>< jj (I-7)

3.3 Bancs de filtres

Considérons une fonction )(xf dans l’espace vectoriel jV . Cette fonction peut se

développer sous la forme :

∑=i

ji

ji xcxf )()( ϕ , (I-8)

où ><= )(,)( xxfc ji

ji ϕ . Les coefficients j

ic peuvent être représentés par une matrice

colonne [ ] Tj

1m

j0

jjcc −

⋅⋅⋅⋅=C et, par exemple, pourraient être présentés comme les

coordonnées )( zyx ,, d’un maillage dans 3R .


33

A partir de jC , nous pouvons créer une version basse résolution 1j −C avec un

plus petit nombre de coefficients : 1jm − . L’approche standard pour créer 1j −C , consiste à

utiliser un filtrage et un sous-échantillonnage des coefficients de jC avec jm . Ce

processus est réalisé par un produit matriciel entre 1j −C et jA comme suit

jj1j CAC =− , (I-9)

où jA est une matrice de transformation de dimension 1jj mm −× .

Du fait que 1j −C contient moins d’éléments que jC , une certaine quantité de

détails est perdue dans ce processus de filtrage. Les détails perdus peuvent être calculés par

jj1j CBD =− , (I-10)

où jB est une matrice )( 1jjj mmm −−× liée à jA . La paire de matrices jA et jB

s’appelle ‘filtres de l’analyse’. Le processus de décomposition de jC en coefficients

d’approximation 1j −C et de détail 1j −D s’appelle analyse ou décomposition (Figure I-3)

[FINK96].

jA 1j −A 1AjC 1j −C 2j −C ⋅⋅⋅⋅ 1C 0C

jB 1j −B 1B1j −D 2j −D 0D

Figure I-3. Processus d’analyse .

Si jA et jB sont choisis correctement, alors les coefficients originaux dejC

peuvent être reconstruits exactement en utilisant des matrices jP et jQ , telle que

1jj1jjj −− += DQCPC . (I-11)

Ce processus s’appelle synthèse ou reconstruction, et dans ce contexte, jP et jQ

s’appellent ‘filtres de synthèse’ (Figure I-4).


34

1P 2P jP0C 1C 2C ⋅⋅⋅⋅ 1j −C jC

1Q 2Q jQ

0D 1D 2D 1j −D

Figure I-4. Processus de synthèse.

Notons que la procédure de décomposition de jC en une partie de basse résolution1j −C et une partie de détails 1j −D peut être appliquée récursivement aux nouveaux

coefficients 1j −C . Ainsi, les coefficients originaux peuvent être exprimés comme une

hiérarchie de résolutions plus basses 1j0 −⋅⋅⋅⋅ C,,C et de détails 1j0 −⋅⋅⋅⋅ D,,D . Puisque les

coefficients originaux jC peuvent être reconstruits exactement à partir de1j100 −⋅⋅⋅⋅ DD,DC ,, , cette série de coefficients peut être considérée comme une

transformation des coefficients originaux, connue sous l’appellation de transformation en

ondelettes [VETT84] [RIOU91].

Du fait que j1j VV ⊂− et 1j1j WV −− ⊥ , les filtres de l’analyse jA et jB sont

des matrices satisfaisant la relation suivante,

[ ])()( xx 1j1j −−�-

j

j

BA

= )(xj- . (I-12)

Notons que [ ]jj QP et

j

j

BA

sont deux matrices carrées. Alors, les équations (I-6) et

(I-12) donnent une relation entre les filtres d’analyse et les filtres de synthèse

[ ] 1−jj QP =

j

j

BA

. (I-13)

[ ]jj QP doit être inversible. Dans le cas particulier des ondelettes orthogonale on a

[ ] 1−jj QP = [ ] T−jj QP ( =T transposé).


35

L’itération de l’analyse de la résolution originale j J= à j = 0 résolution

minimale, est un schéma multirésolution.

4. Subdivision de surfaces et ondelettes

La subdivision est une méthode alternative pour modéliser les surfaces 3D de

topologique arbitraire [SCHW96]. La subdivision récursive qui s'applique aux surfaces,

mène à une collection de fonctions d’échelles rafinables (cf. Figure I-4), et par conséquent

à une séquence d’espaces linéaires imbriqués selon les exigences de l'analyse

multirésolution. Donc, des surfaces produites par la subdivision peuvent être décomposées

hiérarchiquement en utilisant les ondelettes [STOL96].

Dans la section suivante, nous expliquons les méthodes de subdivision, et montrons

que la subdivision peut être associée aux ondelettes en satisfaisant les contraintes de

l’analyse multirésolution dans le domaine tridimensionnel.

4.1 Subdivision de surfaces

La subdivision de surfaces permet la construction de surfaces lisses avec une

topologie arbitraire. La subdivision de surfaces est définie en raffinant itérativement un

maillage de contrôle 0M de sorte que l'ordre du maillage soit de plus en plus fragmenté en

facettes ⋅⋅⋅,, 21 MM et converge vers une surface limite ∞=MS [HANR97] [JOY97b].

Chaque étape de raffinement se compose de sous-étapes de division et de moyenne.

Dans une sous-étape de division, chaque face de 1jM − est divisée en quatre sous-faces par

introduction de sommets aux points médians des arêtes, en créant un maillage auxiliairejM̂ . L’étape de moyenne utilise la moyenne pondérée locale pour calculer les positions

des sommets de jM par les positions de sommets de jM̂ (Figure I-5).


(a) Octaèdre

Figure I-5. Une étap

le maillage 0M afin

Catmull et C

splines bi-cubiques

topologique arbitra

rectangulaire. En 1

triangulaire par l’ins

ensuite par Dyn et

déplacement à cha

position des points

Pendant la p

subdivision de surf

comportement des

complètement réso

subdivision. Dans l

des arêtes, les nou

et 4 sommets vois

différents de 6 ou 4

réponse satisfaisan

subdivision, le rés

techniques ont sus

nombreux avantage

utilise la règle d’arê

présenté le schéma

M0M

1M̂ 1M

0

36

(b) Division de l’octaèd

e de subdivision de surfac

de paramétrer la surface lim

lark [CATM78], Doo et Sab

et bi-quadriques, respectiv

ire en présentant des irr

987, Loop [LOOP87] a pr

ertion de sommet. La mét

al. [DYN90]. Cette méth

que étape de subdivision,

médians des arêtes introdu

ériode de 1978 à 1995,

aces aient été élaborées,

surfaces de subdivision p

lue. Les points extraord

es méthodes basées sur l’i

veaux sommets à l’intérieur

ins. Les sommets extraord

et restent constants pour t

te à cette question en 199

ultat définitif de l'analyse,

cité un grand d'intérêt dan

s propres à la subdivision.

te était introduit par Kobbe

basé sur la méthode Butterfly, a

Division

xx =)(S
ˆ 1
re à 1j = (c) Moyenne de l’octaèd

e sur l’octaèdre et poursuite d

ite )(xS .

in [DOO78] en 1978 ont géné

ement, pour réaliser des su

égularités dans un maillage

oposé un schéma qui raffine

hode nommée ‘Butterfly’ a été dév

ode laisse les sommets ex

et utilise la moyenne locale p

ites par division.

bien que quelques nouvelles

une question fondamentale,

rès des points extraordinaire

inaires sont des sommets

ntroduction de sommets aux

et au bord du maillage ont re

inaires ont un nombre de so

oute subdivision. Reif [REIF95

5, et, pour toutes les surface

a été obtenu ces dernières

s la littérature d'infographie

Successivement, un schéma i

lt [KOBB96] et Zorin et al. [ZORI9

vec des règles spéciales, app

Moyenne

xx =)(S
1
0

re à 1j =

’un point sur

ralisé les B-

rfaces de type

de contrôle

un maillage

eloppée

istants sans

our calculer la

méthodes de

portant sur le

s, n'a pas été

invariants par

points médians

spectivement 6

mmets voisins

] a donné une

s inventées par

années. Ces

en raison des

nterpolation qui

6] ont

liquées aux

)(xS


37

sommets voisins des sommets extraordinaires, qui conduisent à des surfaces plus lisses que

la méthode Butterfly. DeRose et al. [DERO98] ont utilisé la subdivision de surfaces pour la

fabrication du film d’animation ‘Geri’s game’, et Guskov et al. [GUSK99] ont construit un

algorithme pour le lissage géométrique des maillages triangulaires irréguliers.

Dans toutes les subdivisions la position des sommets de jM est une combinaison

linéaire de la position des sommets de 1jM − . Ainsi, si 1j −C est une matrice dont la i

ème

ligne comprend les coordonnées x , y , et z du sommet i de 1jM − , il existe une matrice

non-carré des constantes telle que

1jjj −= CPC . (I-14)

La matrice jP caractérise donc la méthode de subdivision. Cette matrice se retrouve dans

reconstruction en analyse multirésolution décrite par l’équation (I-11).

4.2 Espaces imbriqués et raffinement des fonctions d’échelles dans lasubdivision de surfaces

Dans cette section, nous prouvons que la subdivision itérative, appliquée aux

surfaces, mène à une collection de fonctions d’échelles rafinables et, par conséquent, à une

séquence d’espaces linéaires imbriqués selon les exigences de l'analyse multirésolution.

Les fonctions d’échelles associées à la technique de subdivision, peuvent être

construites sur l’axe infini, ou l’axe réel borné, dans 2R ou 3R . Une surface doit être

paramétrée dans un domaine du type topologique égal ou supérieur à cette surface. Si le

type topologique de la surface est un disque, on peut utiliser le domaine 2R . Cependant, les

techniques de définition des fonctions d’échelles qui étaient utilisées dans 2R , ne peuvent

pas être utilisées pour les surfaces de topologie plus générales [SCHR95]. Afin d’éviter cet

écueil, nous choisissons le maillage initial 0M , ce qui définie le type topologique. La

surface limite a le même type topologique que 0M . Nous montrons ci-dessous qu’il est

relativement facile de paramétrer la surface limite de type topologique identique à 0M .

Nous prouvons dire alors que la paramétrisation induit des fonctions d’échelles rafinables,

et par conséquent des espaces vectoriels imbriqués.


38

D'une façon générale, la paramétrisation d’une surface est une correspondance

biunivoque entre les points dans un domaine bidimensionnel et les points sur la surface de

l’espace 3D. L'idée à l’origine de l’établissement d’une paramétrisation pour une

subdivision de surface est de retrouver un point x sur 0M par le processus de subdivision.

Le point x qui est trouvé, converge en un point sur la surface limite, établissant de ce fait

une correspondance S entre le point sur 0M et le point sur la surface limite. C'est

équivalent à établir )(xS en employant chaque maillage sM pour définir une fonction

linéaire par morceau )(xsS , où x s’étend sur 0M . Nous prenons alors )(xS comme la

fonction pour laquelle la séquence ⋅⋅⋅⋅),(),( xx 10 SS converge (Figure I-5) [STOL96].

Un traitement formel de la construction de la paramétrisation de subdivision de

surfaces est donné par Lounsbery et al. [LOUN94]. Pour cela, il suffit d’observer que

chaque étape du processus de subdivision est linéaire pour les sommets de la matrice jC .

Cette linéarité se retrouve dans la limite, signifiant que chaque point )(xS sur la surface

limite peut être écrit comme une combinaison linéaire des points de contrôle initiaux 0C .

∑ ∈=i

00i

0i McS pour )()( xxx ϕ (I-15)

Puisque )(xS sur la surface limite définie par les valeurs 0ic est identique à )(xS définie

par les valeurs jic pour n'importe quel j , nous pouvons définir plus généralement

0

i i i

ji

ji

1ji

1ji

0i

0i McccS ∈⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⋅== ∑ ∑ ∑−− xxxxx pour)()()()( ϕϕϕ , (I-16)

ou sous forme matricielle

0jj1j1j0 MS ∈⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⋅== −− xCx-Cx-Cx-x pour)()()()( 0 . (I-17)

Selon (I-15), nous pouvons réécrire les points au niveau de subdivision 1j − comme les

points au niveau de subdivision j . Avec la combinaison de l’équation (I-14) et (I-15) on en

déduit la forme matricielle suivante

0jj1j

1jjjjj1j1j

M∈=⇒==

−

−−−

xPx-x-

CPx-Cx-Cx-

pour)()(

)()()( (I-18)


39

Cette équation est connue sous le nom de relation de raffinement pour la fonction d’échelle

pour 1j = ou de raffinement des fonctions d’échelles pour 1j > . La matrice jP est une

matrice dite de subdivision.

Une chaîne d’espaces vectoriels imbriqués )( 0j MV associée à un maillage peut

être définie comme

{ }⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,)(,,)(,)( :)( xMV ji

j2

j1

0j ϕϕϕ xx . (I-19)

)( 0j MV est l'espace de toutes les fonctions exprimables comme une combinaison linéaire

de toutes les fonctions d’échelles de )(x-j . La relation de raffinement donnée dans

l'équation (I-18) implique que ces espaces vectoriels sont imbriqués selon les exigences de

l'analyse multirésolution.

4.3 Produits scalaires sur des surfaces de l’espace 3D

Etant donné une chaîne d’espaces vectoriels imbriqués, l'autre opération nécessaire

pour la création d'une analyse multirésolution est la définition d’un produit scalaire sur ces

espaces. Le produit scalaire sera utilisé pour caractériser l’orthogonalité, entre les fonctions

de base dans la construction des ondelettes bi-orthogonales [SWEL96a]. Le produit

scalaire doit être défini pour les fonctions dont le domaine est 0M .

Lounsebery et al. [LOUN97] ont défini un produit scalaire et ont donné une

méthode pour calculer exactement ce produit scalaire des fonctions définies par n'importe

quelle procédure de subdivision continue à convergence uniforme.

Si deux fonctions )(, 0j MVgf ∈ sont des combinaisons linéaires de fonctions

d’échelles définies par subdivision, le produit scalaire de f et g est défini comme

∫∑ ∈∆∈

=><τ

τ τ xxxx dgfgf

0M

)()()Aire(

1,

)(

(I-20)

où ∆ ( )M 0 dénote l’ensemble des triangles élémentaires constituant le maillage 0M , τdénote un triangle dans cet ensemble, Aire)(τ est l’aire du triangle τ , et xd correspond à


40

l’aire différentielle courante dans R3 . Du fait de la normalisation par l’aire, cette définition

du produit scalaire ne prend pas en compte l’aire de chaque triangle constituant le maillage0M . C’est à dire que l’on suppose que tous les triangles ont la même aire. Il s’ensuit que le

produit scalaire est indépendant des positions géométriques des sommets de 0M et il ne

considère que la connectivité des sommets.

Il y a un inconvénient majeur dans le produit scalaire défini dans l’équation (I-20).

Pour avoir un sens physique, dans le processus de construction de l’approximation d’une

fonction, il faut que chaque triangle ait sensiblement la même aire. Néanmoins, ce choix a

un avantage pratique d’importance. Puisque les produits scalaires ne dépendent pas de la

géométrie du maillage, on peut effectuer un précalcul de ce produit scalaire sur les

ondelettes permettant une implémentation rapide de l’algorithme de décomposition en

ondelettes.

En ce qui concerne la subdivision linéaire par morceaux pour la définition des

surfaces polyédriques, la fonction génératrice )(x0iϕ est simplement une fonction chapeau

sur 0M (la fonction d’échelle au sommet s d’un maillage, est une fonction linéaire bornée

dont la valeur est 1 à s). Elle est connectée aux voisins de s, et son voisin est 0 pour tous

les autres sommets voisins. La Figure I-6 représente un exemple d’une fonction génératrice

définissant le sommet pour 1s dans un espace à 6 sommets (valence 5).

1s

Figure I-6. Une fonction génératrice chapeau (fonction d’échelle en 1i = et 0j = ) pour un

sommet 1s de valence 5.


41

Les fonctions f et g jV∈ sont définies comme des combinaisons des fonctionsj

iϕ comme suit

∑=i

ji

jiff )()( xx ϕ , ∑=

i

ji

jigg )()( xx ϕ , (I-21)

le produit scalaire peut s’exprimer sous la forme matricielle suivante

jjjgf fIg T)(, =>< , (I-22)

où jjf f-x =)( , jjg g-x =)( , jf et jg sont des vecteurs colonnes constitués de

coefficients jif et j

kg , jI est la matrice carrée ( ><= ji'

jii'i

j ϕϕ ,)(I ). En conséquence, il

est possible de déterminer exactement les éléments de jI . Compte tenu que la surface du

triangle de 0M se réduit par un facteur de 4 à chaque subdivision, le Jacobien du produit

scalaire khj )(I correspondant à ''I kh

1j )( + est ¼ ; c’est à dire, ''II kh1j

khj )()(4

1 += .

L’équation (I-22) permet d’observer une relation de récurrence entre jI et 1j+I par

l’insertion des matrices des fonctions d’échelles dans l’équation (I-20) :

∫ ∈=

0M

jjj dx

xx-x-I )())(( T , (I-23-1)

en utilisant l’équation (I-18) il vient :

∫ ∈

++++=0M

1j1j1j1jj dx

xPx-x-PI )())(()( TT ,

1j1j1jj +++= PIPI T)( . (I-23-2)

La description ci-dessus établit un cadre théorique pour calculer les produits

scalaires des fonctions d’échelles rafinables. Dans la pratique, à la fois d’un point de vue de

la précision et de la réduction du temps de calcul, il est plus efficace de réduire la taille du

système linéaire en détectant les cas ‘identiques’ à chaque niveau de résolution. Par

exemple, dans un voisinage suffisamment subdivisé, toutes les fonctions d’échelles

centrées aux sommets adjacents à un sommet extraordinaire de valence n, sont dites

‘identiques’, car elles sont symétriques et ont la même forme.


42

4.4 Ondelettes bi-orthogonales associées à la subdivision de surfaces 3D

Nous venons de construire les espaces vectoriels imbriqués et les produits scalaires

pour la représentation de l’analyse multisésolution par subdivision de surfaces dans 3R .

Suite à cette définition, nous pouvons construire une base d’ondelettes bi-orthogonales

avec les propriétés suivantes :

• Les ondelettes peuvent être construites à partir des surfaces réelles en utilisant un

maillage à faces triangulaires.

• Lorsque les filtres d’analyse et de synthèse associés à ces ondelettes sont obtenus

par des schémas d’interpolation comme la subdivision polyédrique ou le schéma

butterfly [DYN90], alors le temps de calcul peut-être optimisé pour qu’il soit une

fonction linéaire de la dimension.

• Les ondelettes sont presques orthogonales aux fonctions d’échelles, dans le sens où

le produit scalaire entre une ondelette et une fonction d’échelle est proche de zéro.

Autrement dit, le maillage à la résolution j est quasi la meilleure approximation au

sens des moindres carrés du maillage au niveau 1j + .

Pour développer les ondelettes bi-orthogonales, la source de réflexion commence

avec le concept d’ondelettes lazy [SWEL96a]. Puis l’opération de transformation

généralisée appelée lifting permet d’améliorer l’orthogonalité : ondelettes⊥ fonctions

d’échelles. Le Lifting est une opération qui transforme un schéma multirésolution avec

ondelettes bi-orthogonales en un autre schéma bi-orthogonal où l’orthogonalité ondelettes-

fonctions d’échelles est accrue. Le lifting, proposé par Sweldens, généralise les ondelettes

construites par Lounsbery qui sont reconnues comme, une construction particulière de type

lifting [SWEL96b].

Comme on peut le constater sur la Figure I-7, dans le processus qui divise chaque

face de 1jM − en quatre sous-faces en présentant des points au milieu des arêtes pour créer

un nouveau maillage jM , on peut séparer les fonctions d’échelle associées avec des

anciens sommets de celles associées à de nouveaux sommets dans )(x-j . Elles peuvent

être exprimées dans la matrice blocs par :


43

[ ])()()( x-x-x-jn

ja

j = , (I-24)

où )(x-ja sont les fonctions d’échelles associées aux anciens sommets et )(x-

jn sont les

fonctions d’échelles associées aux nouveaux sommets dans jV . Dans ce cas, les ondelettes

lazy )(x�1j

lazy− sont définies par les fonctions d’échelles associées avec les nouveaux

sommets dans jV , c’est à dire, )()( x-x�jn

1jlazy =− . Ceci permet d’introduire une relation

de raffinement pour les ondelettes lazy par les matrices jlazyP et j

lazyQ :

[ ] [ ] [ ]jlazy

jlazy

jn

ja

1jlazy

1j QPx-x-x�x- )()()()( =−− , (I-25)

où les matrices de synthèse d’ondelettes lazy peuvent s’écrire sous la forme :

=

IP

0PQP

jn

jaj

lazyj

lazy . (I-26)

Donc, les matrices d’analyse peuvent être obtenues par l’équation (I-13) :

−=

=

−

−−

IPP

0P

IP

0P

B

A1

11

)(

)(j

aj

n

ja

jn

ja

jlazy

jlazy

. (I-27)

Dans les schémas d’interpolation, les anciens sommets sont jamais déplacés,

signifiant que IP =ja . Alors, les matrices de synthèse et d’analyse sont données par

=

IP

0IQP j

n

jlazy

jlazy et

−

=

IP

0I

B

Aj

njlazy

jlazy

(I-28)

Nous représentons sur la Figure I-7 un exemple de la subdivision polyédrique d’un

tétraèdre pour les matrices de synthèse et d’analyse d’ondelettes lazy.


44

0M 1M 2M

: Anciens sommets. : Nouveaux sommets.

=

1100101010010110010100112000020000200002

2

11lazyP

=

100000

010000

001000

000100

000010

000001

000000

000000

000000

000000

1lazyQ

=

0000001000

0000000100

0000000010

0000000001

1lazyA

−−−−−−

−−−−

−−

=

200000110002000010100020001001000200011000002001010000020011

2

11lazyB

Figure I-7. Subdivision polyédrique d’un tétraèdre et les matrices de synthèse et d’analyse

des ondelettes lazy.

V3 V3


45

Bien que les ondelettes lazy autorisent un processus rapide d’analyse et de synthèse,

les fonctions et les ondelettes obtenues, ne sont pas orthogonales avec les fonctions

d’échelles. Donc, on obtient des approximations grossières de surface en utilisant les

ondelettes lazy car cela revient à un simple sous-échantillonnage de la surface de haute

résolution. Autrement dit, cette méthode ne produit pas la meilleure approximation au sens

des moindres carrés. Pour tendre vers la meilleure approximation au sens des moindres

carrés, de nouvelles ondelettes sont construites de façon plus orthogonale aux fonctions

d’échelles comparativement aux ondelettes lazy. Afin de satisfaire au mieux à la condition

d’orthogonalité, il est nécessaire de modifier les ondelettes lazy en soustrayant une

combinaison linéaire des fonctions d’échelles de la même résolution comme suit

)()()( , xxx 1jk

k

jik

jin

1ji

−− ∑−= ϕαϕψ , (I-29)

où k est limité à quelques valeurs correspondantes aux sommets de 1jM − dans le

voisinage de )(, xjinϕ et j

ikα sont les coefficients de pondération des fonctions d’échelles.

Cette opération correspond au Lifting introduit par Swelden [SWEL96a]. Le plus petit

choix symétrique pour le vecteur colonne j. se compose donc de seulement deux

éléments non nuls correspondants aux deux sommets parents. Une façon symétrique

d'augmenter les supports est d'ajouter des éléments à j. correspondants aux voisins

(disque d’ordre k) des sommets parents. Le disque d’ordre k d'un sommet est l'ensemble de

tous les sommets accessibles par k suivant les arêtes du maillage triangulaire dans le

voisinage le plus proche [STOL96]. A titre indicatif, nous avons représenté sur la Figure I-

8 les trois premiers disques d’ordre k de deux sommets d’une même arête. Au cours du

processus d’extension du nombre d'éléments non nuls de j. , les supports des ondelettes

)(x�1j − minimales se croissent, et, par conséquent, les ondelettes tendent vers

l’orthogonalité.

(a) Disque d’ordre 0. (b) Disque d’ordre 1. (c) Disque d’ordre 2.

Figure I-8. Sommets dans les disques d’ordre k de deux sommets d’une même arête dans

une triangulation régulière.


46

Figure I-9 montre ces ondelettes générées par un tétraèdre subdivisé à la résolution 4j = .

Figure I-9. Ondelettes générées par subdivision polyédrique d’un tétraèdre.

L’équation (I-29) peut s’exprimer sous la forme matricielle, dans laquelle les

éléments de la matrice j. peuvent être déterminés en imposant que )(x�

1j − soit

orthogonal à )(x-1j − : [ ] 0x�x- =>< −− )()( 1j1j .

j1j1jlazy

1j.x-x�x� )()()( −−− −= . (I-30)

Dans l’équation (I-30), si on établit les produits scalaires avec )(x-1j − , on obtient

[ ] [ ] [ ] 0x-x-x�-x�x- =><−><=>< −−−−−− j1j1j1jlazy

1j1j1j.)()()()()( ,

par ailleurs on a jlazy

j1j Px-x- )()( =− et jlazy

j1jlazy Qx-x� )()( =− d’où,

(a) Une ondelette lazy.

(c) Une ondelette du disque d’ordre 1. (d) Une ondelette du disque d’ordre 2.

(b) Une ondelette du disque d’ordre 0.


47

[ ] [ ] 0Px-Px-Qx-Px- . =><−>< jjlazy

jjlazy

jjlazy

jjlazy

j )()()()(

( ) ( ) jjlazy

jjlazy

jlazy

jjlazy .PIPQIP

TT= ,

en utilisant l’équation (I-23-2) il vient

( ) ( ) jlazy

jjlazy

1jj QIPI.T1−−= (I-31)

En incorporant jj1j Qx-x� )()( =− , jlazy

j1jlazy Qx-x� )()( =− , et j

lazyj1j Px-x- )()( =−

dans l’équation (I-30), il vient

−=

jj

lazyjlazy

jlazy

jj.PQPQP et

+=

=

−

jlazy

jlazy

jjlazyjj

j

j

B

BAQP

BA .1

(I-32)

Par exemple, pour le cas de la Figure I-7, si on utilise l’ondelette du disque d’ordre illimité,

on obtient

−−−−−−−−−

−−−

=

333111

131331

113313

311133

8

11.

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

=

511111

151111

115111

111511

111151

111115

333111

131331

113313

311133

8

11Q

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

=

6662227111

2626621711

2266261171

6222661117

16

11A


48

Dans notre travail de thèse nous n’avons pas limité la dimension du disque. Ce qui

revient à dire que sa dimension est celle du maillage lui même. En d’autre terme, j.

utilise toutes les fonctions d’échelles. Bien que les oscillations des ondelettes s’atténuent

très rapidement, ce qui est une propriété essentielle des ondelettes, le fait de ne pas limiter

les supports nous place dans les meilleures conditions d’approximation du maillage à

chaque niveau de résolution. De plus, ce choix évite une étude en fonction de la dimension

du disque, ce qui allège ce travail. Dans une mise en œuvre pratique, la limitation du

disque réduit le volume des calculs. Le seul cas où nous avons limité le disque à l’ordre 3

correspond au chapitre III car ce dernier travail a débouché sur une mise en œuvre

pratique programmée en langage C, alors que les autres travaux sont des prototypes

programmés dans le langage Matlab.

5. Remaillage

Du fait de la possibilité de représenter les surfaces à des résolutions variables en

préservant la réversibilité de la simplification, cette approche est très attrayante.

L'inconvénient majeur de ces méthodes est qu’elles peuvent seulement être appliquées aux

maillages possédant la connectivité de subdivision. C’est à dire, les maillages obtenus à

partir d'un maillage de base : niveau de résolution j=0 suivi de subdivision 1 :4 des faces.

Or, les maillages rencontrés en pratique, ne répondent pas à cette exigence.

Pour surmonter la contrainte de la connectivité de subdivision, une méthode

alternative appelée ‘remaillage’ (en anglais remesh) a été développée par plusieurs

chercheurs de la communauté scientifique internationale. La méthode de remaillage repose

sur la construction d’un nouveau maillage par modifications successives du maillage

initial. Le remaillage permet d’obtenir un maillage régulièrement subdivisé ayant une

connectivité de subdivision à partir d’un maillage irrégulièrement subdivisé. L’opération de

remaillage est basée sur des modifications locales de nature topologique et des opérations

de nature géométrique [KLEI97].

Eck et al. [ECK95] ont proposé une méthode de remaillage pour une topologie

arbitraire. Leur approche approxime un maillage arbitraire M par un maillage subdiviséJM avec une erreur inférieure à une tolérance prescrite 1ε . Eck et al. construisent

d’abord un maillage de base polyédrique triangulaire conservant la même topologie que la

surface à remailler par pavage de Voronoi [CHAS91] [LÖTJ98]. En utilisant une séquence

de transformations harmoniques locales, une paramétrisation, qui est lisse au-dessus de


49

chaque triangle du maillage de base, est construite. Ils utilisent alors la subdivision

quaternaire répétée à partir du maillage de base pour construire un nouveau maillage qui se

rapproche de la surface à remailler. Un modèle multirésolution du nouveau maillage est

alors établi en utilisant des techniques d’ondelettes. Mais, les temps d'exécution pour

l'algorithme peuvent très être longs en raison des nombreux calculs de transformations

harmoniques. Ce problème a été partiellement résolu par Duchamp et al. [DUCH97] qui

ont réduit le temps de calcul par l’introduction préalable d’une opération de hiérarchisation.

Malheureusement, un grand nombre de niveaux de subdivision globale, peuvent être

nécessaires pour résoudre une petite région à forte courbure. Dans ce cas, chaque niveau

supplémentaire de subdivision par quatre augmente dramatiquement la quantité de calculs

et l’espace mémoire nécessaire. D’une autre part, Klein [KLEI97] a constaté que, dans le

cas particulier de maillages relativement simples, le pavage de Voronoi par Eck échoue. Ce

dernier propose un algorithme de pavage basé sur les sommets.

Lee et al. [LEE98] ont développé un algorithme pour le calcul rapide de la

paramétrisation des surfaces à topologie arbitraire. Ils construisent d’abord la

paramétrisation par transformations conformes itérées pendant la simplification par

suppression de sommets. En utilisant cette paramétrisation, ils ont réalisé un algorithme

hiérarchique pour le remaillage. Cependant, dans cet algorithme, la paramétrisation locale

n'est pas considérée.

Les méthodes décrites ne sont pas adaptées à un maillage avec des régions

complexes ou à forte courbure, puisque tous les triangles du maillage sont subdivisés. Le

remaillage local serait plus pertinent.

D’une autre part, les représentations nommées maillages normaux et surfaces

subdivisées de substitution (en anglais, respectivement, normal meshes, displaced

subdivision surface) sont proposées récemment par Guskov et al. [GUSK00], Lee et al.

[LEE00]. Guskov et al. représentent une surface en appliquant successivement substitution

hiérarchique des maillages pendant sa subdivision [GARL96]. Un maillage normal est un

maillage multirésolution dans lequel des sommets peuvent être trouvés dans la direction

normale, à partir d’un certain niveau initial. Leur construction permet à la plupart des

sommets d'être encodés en utilisant des déplacements scalaires, mais une petite fraction des

sommets exigent des déplacements vectoriels pour empêcher le pliage de la surface. Lee et

al. ont montré qu'une surface arbitraire peut être approximée par une surface de subdivision

substituée, dans laquelle la géométrie est encodée comme une fonction avec la valeur

scalaire sur un domaine de surface [COOK84]. En conséquence, sa représentation définit le

domaine de la surface et la fonction de substitution en utilisant la subdivision de Loop

[LOOP87]. Elle permet la compression efficace et est également convenable pour


50

l'animation, l'édition, et le contrôle de niveau de détail des maillages 3D. Cependant, les

surfaces de subdivision par substitution nécessitent la contrainte supplémentaire des

déplacements strictement scalaires. Donc, une fois subdivisées et déplacées, les arêtes du

maillage de contrôle ne suivent généralement pas exactement des plis de la surface initiale.

6. Simplification de maillages triangulaires

Une application particulièrement intéressante de la représentation multirésolution

concerne la simplification géométrique réversible de maillages triangulaires associés à des

objets 3D. Dans le cas où les maillages ont un trop grand nombre de triangles, leur

visualisation, traitement, et transmission sont difficiles, il est nécessaire de réduire ce

nombre, tout en préservant l’approximation géométrique des maillages. C’est l’objectif des

algorithmes de simplification de maillages.

La simplification de maillages consiste à trouver un maillage d’une complexité

géométrique moindre tout en conservant une distorsion visuelle acceptable des maillages

originaux. La simplification des maillages permet une compression efficace des maillages

triangulaires pour leur transmission [ALLI98]. En outre, cette simplification offre la

possibilité de réduire et de simplifier un certain nombre de calculs de rendu des objets 3D.

Les deux méthodologies les plus communes pour la simplification de maillages sont

les approches par raffinement et par décimation [HECK97] [KRUS98] [ALLI00]. La

méthode par raffinement est un algorithme itératif qui commence par une première

approximation et ajoute des éléments (sommets, arêtes, triangles) à chaque étape.

Diamétralement opposée à la méthode par raffinement, la méthode par décimation

commence par la surface initiale et élimine itérativement des éléments (sommets, arêtes,

triangles) à chaque étape. Dans les parties suivantes, nous examinons brièvement ces

méthodes de simplification de maillages.

6.1 Simplification par raffinement

La simplification par raffinement commence par construire un modèle de base, puis

les régions de plus grande distorsion géométrique sont itérativement raffinées jusqu’à

l’obtention de la complexité géométrique souhaitée ou d’une erreur de distorsion maximale

autorisée. Cela signifie que la simplification par raffinement est en relation avec la


51

subdivision régulière ou irrégulière de surfaces [KOBB98] [DAUB99]. Faugeras et al.

[FAUG84] ont développé une technique de raffinement qui divise chaque triangle formé

des trois sommets du maillage original en 3 à 6 sous-triangles. Nous pouvons également

citer Delingette [DELI94] qui a proposé une méthode basée sur le maillage subdivisé en

icosaèdre. Cette méthode, par la minimisation d’une fonction d’énergie, permet d’ajuster

des surfaces en fonction de la répartition de l’ensemble des points dans l’espace

tridimensionnel.

Les méthodes de Lounsbery [LOUN94] [LOUN97] et Eck [ECK95] explicitées

dans la section précédente (page 31-48) sont les approches basées sur le raffinement pour

modéliser la décomposition en ondelettes des maillages triangulaires. Ces approches sont

basées, en premier lieu, sur la construction d’un maillage de basse résolution qui est un

maillage avec la même topologie que la surface d'entrée. Et en second lieu, elles utilisent la

subdivision quaternaire itérative du maillage basse résolution pour construire un nouveau

maillage qui se rapproche de la surface originale.

Dernièrement, des techniques intéressantes étaient proposées par Kobbelt

[KOBB98] et Daubechies [DAUB99] pour le raffinement rapide d’un maillage sous la

forme d’une séquence de raffinements obtenus par subdivision régulière.

6.2 Simplification par décimation

La simplification par décimation commence avec un maillage original et le

simplifie successivement jusqu’au niveau d'approximation désiré. Plus précisément, la

décimation consiste à supprimer itérativement un ou plusieurs éléments (sommets, arêtes,

triangles) du maillage afin d’atteindre une complexité géométrique minimale pour une

erreur donnée.

On peut définir principalement trois opérations élémentaires de décimation sur les

maillages triangulaires :

• Méthodes de décimation de sommet [SCHR92] [SOUC96] [KLER96] [BAJA99]

[HECK99] : elles suppriment un sommet et retriangulent son voisinage (Figure I-

10). A chaque opération élémentaire, un ensemble den triangles est ainsi remplacé

par 2n − triangles, dont l’arrangement conditionne en partie la qualité de

l’approximation.


52

• Méthodes de décimation d’arête [HOPP96] [COHE97] [TAUB98b] [ERIK99]

[TOUB00] : elles suppriment une arête et deux triangles, et fusionnent deux

sommets (Figure I-11). Le degré de liberté résultant concerne la position du sommet

après contraction. En général, on peut fusionner deux sommets proches reliés par

une arête, et on peut l’étendre à une succession de fusions. Une optimisation locale

ou une heuristique détermine la position optimale du sommet résultant de la fusion.

Une variante consiste à conserver l’un ou l’autre des sommets initiaux dans la

contraction.

• Méthodes de décimation de triangle [HAMA94] [VARS94] [GIEN97] : elles

suppriment un triangle, trois arêtes, et fusionnent trois sommets en agglomérant

deux de ses sommets en un seul, appelé alors accumulateur, et retriangulent le

voisinage (Figure I-12). La position du sommet accumulateur peut être choisie en

conservant sa position initiale ou en générant un nouveau sommet. Dans le cas

général, ces méthodes réduisent un ensemble de n triangles en un ensemble de

4n − triangles (moins sur les bords du maillage).

D’ autre part, il existe des méthodes fonctionnant par la décimation de patchs qui

suppriment plusieurs triangles adjacents et retriangulent ses bords [HINK93] [VARS94]

[GOUR95] [KALV96]. Les méthodes par l’échantillonnage enlèvent un ensemble

d’échantillons sur le maillage et une optimisation est appliquée afin d’approximer au

mieux le maillage original [TURK92] [ROSS93] [ELSA99] [YEME00].

Parmi ces trois opérations de décimation, il n’existe pas de méthode idéale, puisque

chacune présente des atouts et des inconvénients. Les méthodes de décimation de sommets

nécessitent une retriangulation coûteuse. Elles fournissent le moyen de définir la résolution

d’un maillage au sommet près et ne déplacent pas les sommets initiaux. Les méthodes de

décimations d’arêtes représentent un cas particulier de la décimation de sommets et ne

nécessitent pas de retriangulation. Les méthodes de décimations de triangles autorisent une

simplification rapide puisqu’elles suppriment au plus quatre triangles à chaque itération, et

ne nécessitent pas de structure de données basées sur les arêtes [ALLI00].

Un point important concerne la ‘qualité’ des triangles. La ‘qualité’ d’un triangle est

une valeur mesurant son aspect géométrique. Cette contrainte de ‘qualité’ peut être

introduite lorsque l’on utilise le maillage pour des calculs par éléments finis. [GEOR97].

La méthode proposée par Borouchaki [BORO99] contrôle la qualité des triangles tout en

bornant la déviation géométrique par le biais de la distance de Hausdorff.


53

(a) Maillage initial. (b) Après de décimation de sommet.

Figure I-10. Un exemple de la méthode de décimation de sommets.

(a) Maillage initial. (b) Après de décimation d’arête.

Figure I-11. Un exemple de la méthode de décimation d’arêtes.

(a) Maillage initial. (b) Après de décimation de triangle.

Figure I-12. Un exemple de la méthode de décimation de triangles.


54

7. Conclusions

Nous avons présenté, dans ce chapitre, le principe des méthodes de l’analyse

multirésolution et la subdivision de surfaces. En particulier, la technique de décomposition

en ondelettes a été examinée en détail.

La méthode historique de l’analyse multirésolution en ondelettes des signaux a été

étendue aux surfaces maillées par Lounsbery. Ainsi il a associé le concept de la subdivision

de surfaces aux ondelettes. Dans le domaine de l’infographie, la combinaison de ces deux

méthodes a donné un résultat très probant.

Les approches de simplification réversible de la surface des objets 3D sont des

applications particulières pour la représentation multirésolution. Elles permettent une

compression efficace des données tridimensionnelles et leur transmission accélérée. Les

travaux précédents ne permettent pas de traiter efficacement une région d’intérêt ou une

région complexe de rayon de courbure élevé dans le maillage original. Ils emploient les

algorithmes basés sur la subdivision régulière, et ne considèrent pas la complexité

géométrique de maillage. Ils ne sont donc pas adaptés à une représentation locale du

maillage définie par l’utilisateur. Dans les chapitres suivants, nous proposons des méthodes

qui surmontent ces inconvénients et qui sont très efficaces pour la constitution d’un

maillage local de bonne qualité.

Chapitre II : Décomposition locale sur une base en ondelettes du maillage triangulaire de la surface d’objets 3D

55

CHAPITRE II

DECOMPOSITION LOCALE SUR UNE BASE ENONDELETTES DU MAILLAGE TRIANGULAIRE DE LASURFACE D’OBJETS 3D

1. Introduction

Comme nous l’avons constaté dans le Chapitre I, la méthode d’analyse

multirésolution de maillages de surfaces est basée sur la méthode des ondelettes. La

définition des produits scalaires entre deux fonctions dans un espace tridimensionnel

permet de construire des ondelettes bi-orthogonales quasi-orthogonales par lifting

[SWEL96b]. Ceci donne approximativement la meilleure approximation au sens des

moindres carrés du maillage jM pour la construction du maillage à la résolution inférieure

1j − .

Les travaux précédents ne permettent pas de représenter efficacement une région

d’intérêt ou une région complexe car ils emploient un processus de subdivision identique

(subdivision régulière) pour toutes les faces du maillage triangulaire [HECK97].

La motivation de cette thèse est née de la problématique liée à la difficulté

d’adapter la subdivision à la courbure locale. Dans ce sens, nous proposons un algorithme

qui construit des ondelettes bi-orthogonales basées sur la subdivision locale (subdivision

irrégulière) de maillages de surfaces 3D. L'approche adoptée représente efficacement une

région d'intérêt, qui est une partie des maillages complexes avec plus de détails avec le

raffinant de la subdivision pour résoudre la problématique induite par des régions avec un

rayon de courbure élevé.


56

Dans la première partie de ce chapitre, nous étudions le principe de la

décomposition locale et la construction des ondelettes bi-orthogonales associées. Ensuite,

nous développons la décomposition locale en ondelettes de maillages de surfaces. En

complément, nous expliquons la méthode de calcul des produits scalaires locaux et

présentons des exemples de décompositions locales.

2. Principe de la décomposition locale en ondelettes

Dans ce chapitre, l’algorithme proposé est basé sur la subdivision locale de

maillages de surfaces. Ceci signifie qu’à partir d’un maillage de base, chaque triangle du

maillage peut être subdivisé différemment. C’est à dire que la résolution est variable sur la

surface.

Pour illustrer notre analyse, examinons un exemple simple en considérant un

octaèdre pour définir le maillage de base (Figure II-1). On peut imaginer plusieurs cas de la

subdivision locale à la résolution 1j = . Pour cette hypothèse de départ, nous sommes

confrontés à deux difficultés pour établir la construction du maillage par une analyse

multirésolution en ondelettes :

• Les critères utilisés pour déterminer le niveau de subdivision des triangles du

maillage.

• La construction des ondelettes bi-orthogonales locales.

(a) (b) (c)

Figure II-1. Exemples de subdivision locale d’un octaèdre à la résolution j=1.


57

Dans notre approche, la subdivision est plus fine dans les régions d’intérêt

préalablement définies et dans les régions à forte courbure. C’est à dire, dans ce dernier

cas, le niveau de la subdivision locale est déterminé automatiquement selon la complexité

géométrique du maillage.

Cette technique nécessite la construction d’ondelettes bi-orthogonales locales à

chaque résolution. Comme nous l’avons montré dans le Chapitre I-4.4, la condition

d’ortho-normalité des fonctions d’échelles nécessite le calcul des produits scalaires entre

deux fonctions définies sur le maillage. Dans l’état de l’art que nous avons présenté, il

n’existe pas de méthodes pour calculer les produits scalaires, lorsque la subdivision

s’applique différemment aux triangles du maillage (division variable sur le maillage). Les

produits scalaires entre deux fonctions définies aux sommets doivent être distingués selon

que les triangles sont subdivisés ou non. Notre algorithme propose une méthode efficace de

calcul exact les produits scalaires locaux dans le domaine tridimensionnel. Par exemple,

dans un octaèdre où l’on a effectué la subdivision locale de la Figure II-1 (a)), les matrices

associées aux produits scalaires locaux sont les suivantes :

==

10

10

10

01

01

01

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

00L II ,

=

83

81

81

161

161

81

83

81

161

161

81

81

83

161

161

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

161

161

41

41

85

161

161

41

41

85

161

161

41

41

85

0000

0000

0000

00010

00010

00010

0000

0000

0000

1LI

Figure II-2. Les produits scalaires d’un maillage de base octaédrique avec subdivision

locale à j=1 (Figure II-1 (a)). La partie encadrée correspond aux faces non-subdivisées.

Dans la Figure II-1 (a), les sommets 4, 5, et 6 ne sont pas associés aux triangles subdivisés.

Donc, comme nous le constatons sur les matrices définies ci-dessus (Figure II-2), les

produits scalaires des fonctions d’échelles centrées sur les sommets restent invariables à la

résolution j=1. Les produits scalaires entre les fonctions d’échelles centrées sur les

sommets ont des valeurs différentes conformément à l’aire des triangles associés.


58

Autrement dit, ces valeurs ne satisfont pas à la condition ''II kh1j

khj )()(4

1 += de

Lounsbery [LOUN97]. Dans la suivante, nous proposons précisément une méthode de

calcul exact des produits scalaires locaux. Cette méthode s’applique à chaque niveau de

résolution du maillage.

3. Décomposition locale en ondelettes de maillages de la surface d’objets3D

Nous reproduisons, ci-dessous, notre proposition d’une nouvelle méthode basée sur

la subdivision locale de maillages. Elle a été présentée dans le congrès IEEE International

Conference on Image Processing 1999 (ICIP-99), Kobe, Japan.


59

Local Wavelets Decomposition for 3D Surfaces

Yun-Sang Kim1, Sébastien Valette1, Ho-Youl Jung2, and Rémy Prost1

1CREATIS, CNRS Research Unit (UMR 5515) and affiliated to INSERM, INSA, France2School of Computer & Communications Eng., Yeungnam Univ., Korea

Copyright The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. (the "IEEE")

ABSTRACT

We propose a wavelet based local subdivision of 3D surfaces, which can be effectively

applied to a mesh with complex and high curvature faces. The proposed approach is an

extension of Lounsbery et al. works [1], which has been developed only for regular

triangular mesh subdivision. For such a purpose, a bi-orthogonal wavelet basis is

constructed by defining a local inner product and using the lifting scheme [2]. As only one

filter bank is used for the global and local analysis of the surface and also one filter bank

for synthesis, this method is very effective. Through the computer simulation tested on

some example mesh, we show that the proposed local subdivision is very effective.

I. Introduction

In computer graphics and geometric modeling, triangular mesh has been known as a

very efficient technique for representing surface of 3D objects. As a mesh is generally

represented by hundreds of thousands of vertices, a large amount of storage is required, and

it takes also a long time to render and transmit the mesh. Obviously, an attractive approach

is multiresolution representation [3], which allows a progressive approximation of the

surface.

Recently, Lounsbery et al. [1] proposed a class of wavelets for surfaces subdivision,

which is applicable to arbitrary topology surfaces. In this method, a multiresolution

representation of a mesh consists of a base mesh, together with detail terms, called wavelet

coefficients. Unfortunately, this method has been restricted to the application of meshes of

which subdivision connectivity is a priori known. In order to apply this method on meshes

without subdivision connectivity [5], Eck et al. [4] developed a 'remeshing' technique,

which transforms a mesh into another one having a prior known subdivision connectivity.

However, these methods are not adapted to a mesh with complex or high curvature regions,

since only regular triangular mesh subdivision is considered, that is, all triangular faces are

equally subdivided into four ones.


60

In this paper, we propose local bi-orthogonal wavelets subdivision method, which

can represent effectively a region of interest or a region having complex and high curvature

geometry. For such purpose, the previously reported wavelet based surface subdivision

method [1] is described and its drawback in representing a mesh having a complex or high

curvature regions is discussed, in the next section. The proposed local bi-orthogonal

wavelets based subdivision method is presented in section III, where a local inner product

is newly defined to obtain local bi-orthogonal wavelets. Some simulation results and a

conclusion follow.

II. Wavelet based surface subdivision

Generally, wavelet transform decomposes a signal into a low resolution part called

approximation or scaling coefficients and detail parts called wavelet coefficients [6]. A

multiresolution scheme is constructed by iterating this transform on the low resolution part.

In the case of a 3D surface, a class of wavelet was originally developed by Lounsebery et

al. [1] for regular triangular mesh subdivision.

This method starts from a base mesh, denoted as M 0 , which is a triangulated

polyhedron having the same topology as the data to be approximated. Each triangle of M 0

is refined into four sub-triangles by introducing new vertices at edge midpoints, followed

by adding the wavelet coefficients in order to fit with the data. This process is done

recursively by two filters: the refining filter jP and the perturbing filter jQ . Where the

superscript j , j=0, 1,...,J, is determined so that M J and the data differ by no more than a

user-specified tolerance [4]. In fact, jP and jQ are synthesis filter banks. The filter

coefficients in general must vary over the mesh, so the filters are represented by matrices.

An analysis filter bank, a low pass filter jA and a high pass filter jB , are derived from

[ ] 1−=

jj

j

j

QPB

A. (1)

The analysis filter bank is used to construct multiresolution approximation of an input

mesh M having subdivision connectivity.

In this approach, scaling functions )(xjiϕ are defined as hat functions, which have

value 1 at vertex i and value 0 at all other vertices of M j . Wavelets )(x%j

i are

constructed as orthogonal functions to )(xjiϕ . In the construction of wavelets, the


61

evaluation of an inner product for the scaling functions is the important step. Lounsbery et

al. proposed a method for exactly computing the inner product of functions defined

through regular recursive triangle subdivision of surface [1]. The matrix of inner products

is defined as jI with

><= jk

ji

j ki ϕϕ ,),(I . (2)

The inner product is applied to construct the bi-orthogonal wavelets. It is defined by

pretending that each of the faces of M j is equilateral. This construction can be considered

as a special case of lifting [2].

As this method considers only regular subdivision whereby all triangular faces of

the mesh are equally subdivided into four ones, it is not suitable for a mesh having

complex or high curvature regions.

III. Local subdivision of surfaces

In sharp contrast with the previous methods, region of interest with a complex and

high curvature surface could be effectively represented by a local subdivision. To locally

subdivide the surface, the faces of M j should be considered as non-equilateral. Thus the

inner product of scaling functions used in [1] should be modified. Applying the Lounsbery

recurrence relation to irregular subdivision, the following equation is obtained.

∫ ∈=

0Mx

jL

jL

jL dxxx )())(( T

--I

∫ ∈

++++=0Mx

1jL

1jL

1jL

1jL dxxx P--P )())(()( TT

1jL

1jL

1jL

+++= PIP T)( . (3-a)

Here, 1jL

+I should be evaluated from jLI . In contrast with the regular decomposition, where

each of the entries )( kij ,I in jI has one or more corresponding entries )','( ki1j +I in jI ,

up to a factor of ¼ ; that is ¼ )','()),(( kiki 1jj += II , due to the equilateral subdivision, the

irregular decomposition result to non-equilateral subdivision and the equation (3-a) is

undetermined. To overcome this difficulty we add the following conditions at each level of

resolution:


62

• Each diagonal element of jI should be the sum of the other elements of the

corresponding row,

∑ ∑−

− +−

+=1m

1i

n

1mi

jL

jL

jL imimmm ),(),()( II,I . (3-b)

• An absolute scale is chosen so that the sum of the elements of 0I becomes unity.

The above additional conditions provide the solution necessary to turn the homogeneous

system into non-homogeneous one. As a result, the local inner product can be computed

exactly. As a region of interest of a mesh is subdivided recursively into four equilateral

subtriangles at the incremental resolution, except on the border of the region, the inner

product permits to define a local bi-orthogonal wavelet basis. Expressed in matrix form, it

follows

jL

jL

jL

jorthL xxx .-�� _ )()()( −= , (4)

where the coefficients jL. can be determined by requiring that be )(xj

orthL _� as

orthogonal as possible to )(xjL- .

The evaluation of the inner product using (3-a) and (3-b) is costly in term of

computations. Fortunately, the matrix 1j +I can be evaluated without solving the equation

(3-a) and (3-b), since the subdivided triangle generates new vertices that have always the

valences (the number of edges associated to each vertex) 4, or 6. It allows to categorize all

possible local inner products in several cases, according to different valences and

resolution of the vertices. For example, in the case that a base mesh is an octahedron, if all

triangular faces of the base mesh are subdivided from the resolution 0 to j and a face or

several faces of the obtained mesh M j are only subdivided from j to j k+ , the inner

product between the new vertices '1np , 2np ' having valences six is

44

2)( 21 ×

= ++

kjnnkj

L ppI , . Such equations dramatically reduce the computation cost of

the local inner product. In the case that the vertices of a base mesh have the same valences

‘V’ and a face of the base mesh is subdivided from the resolution 0 to j , the results are

summarized in Table 1.


63

IV. Results

To evaluate the performance of the proposed local subdivision, several meshes are

selected and tested. Two of them, one synthetic and another real medical data.

In the Figure 1, Figure 1(a) to (f) show the approximated meshes by applying

analysis filters to Figure 1(a). Figure 1(a) is the deformed mesh in order to fit with the

original data for the mesh, which is obtained by subdividing the regions (1) and (2) of

Figure 1(d) from 2j = to the resolution 5j = . Figure 1(d) is obtained by modifying the

geometry for the regions (1) and (2) of the sphere at the resolution 2j = . Figure 1(f) is the

base mesh, an octahedron.

In the Figure 2 experiment, the initial high resolution mesh of the heart has irregular

connectivity with the mesh obtained from a base mesh by recursive 4 to 1 splitting (figure

2(a)). In order to obtain a mesh having the subdivision connectivity for regions-of-interest

ROI (1) and ROI (2) of the initial mesh, we apply a local remeshing based on Lee et al.

approach [7] (Figure 2(b)). Then we consider the local multiresolution analysis of both

ROIs (Figure 2(c)-(e)).

V. Conclusions

A bi-orthogonal wavelets based local subdivision has been presented. Due to the

exact computation of the local inner product, a multiresolution representation can be

accomplished for 3D surfaces. This approach allows the best approximation for a part of

the complex mesh, or for regions with high curvature.


64

References

[1] M. Lounsbery, Multiresolution Analysis for Surfaces of Arbitrary Topological Type,

PhD thesis, Department of Computer Science and Engineering, University of

Washington, September 1994.

[2] P. Schröder and W. Sweldens, “Spherical Wavelets: Efficiently Representing Functions

on the Sphere”, SIGGRAPH ’95, Los Angeles, California, USA, August 1995, pp.161-

172.

[3] J. Stollnitz, T.D. DeRose, and D.H. Salesin, Wavelets for Computer Graphics: Theory

and Application, Morgan Kaufmann, San Francisco, 1996.

[4] M. Eck, T.D. DeRose, T. Duchamp, H. Hoppe, .M. Lounsbery, and W. Stuetzle,

“Multiresolution Analysis of Arbitrary Meshes”, SIGGRAPF ’95, Los Angeles,

California, USA, August 1995, pp.173-182.

[5] P.S. Heckbert and M. Garland, Survey of polygonal surface simplification algorithms,

Technical report, School of computer science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh,

1997.

[6] S. Mallat, “A theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet

Representation”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,

Vol. 11, No. 7, July 1989, pp. 674-693.

[7] A.W.F. Lee, W. Sweldens, P. Schröder, L. Cowsar, and D. Dobkin, “MAPS:

Multiresolution Adaptive parameterization of Surfaces”, SIGGRAPH ’98, Orlando,

Florida, USA, July 1998, pp. 95-104.


Table 1. The inner product at the resolution j , in the case that the vertices of a base mesh

have the same valence ‘V’ and a face of the base mesh is subdivided from the resolution 0

to j .

Outside vertices ‘ ba vv , ’ of the local

subdivision region

Inner product at the resolution j

2)2

(1

),(I −+= V4V

vvjcc

jL

V4vv

jddjL ×

= 12)( ,I

Same values with the inner productat the resolution 0=j

Cases

A vertex ‘ cv ’ of the base mesh

composing the local subdivisionfaces

A vertex ‘ dv ’ having the valence 6

and generated at the resolution j

A vertex ‘ ev ’ having the valence 4


A vertex ‘ fv ’ having the valence 6

and any vertex ‘gv ’

Vertices ‘ ih vv , ’ having the valences

4 and generated at the resolution j

4

e

Vvv

jeejL ×

=4

3)( ,I

Vvv

jgfjL ×

=4

2)( ,I

Vvv

jkjjL ×

=4

1)( ,I

Vvv

jgfjL ×

=4

2)( ,I

A vertex ‘ jv ’ having the valence

and generated at the resolution j ,

and a vertex ‘kv ’ generated at th

resolution 1−j

65

>< 44, gg vv


66

Figure 1. The local wavelets decomposition of the synthetic data.

(a) Sphere at the resolution j=2 and high curvatureregions (1), (2) at j=4,5, respectively.

(d) Both the sphere and the high curvature regions (1), (2) are subdivided at j=2.

(e) Sphere at j=1.(b) Sphere at the resolution j=2 and high curvature regions (1), (2) at j=4,4, respectively.

(f) Base mesh at j=0 : octahedron.(c) Sphere at the resolution j=2 and high curvature regions (1), (2) at j=3,3, respectively.

(1)

(2)


67

Figure 2. The local wavelets decomposition of real medical data with the local resolution j,

ROI(k) j, k=1,2.

ROI (1)

ROI (2)

(a) Original mesh of the heart :506 vertices, 1008 faces.

(b) Remeshed ROIs : ROI (1)4 andROI (2)6,294 vertices, 513 faces.

(c) Approximation of (b) : ROI (1)4 andROI (2)5,138 vertices, 225 faces.

(d) Approximation of (c) : ROI (1)4 andROI (2)4,96 vertices, 153 faces.

(e) Approximation of (c) : ROI (1)3 andROI (2)3,19 vertices, 22 faces.

ROI (1)4

ROI (2)6


68

4. Compléments

Le nombre de pages limité, imposé par le congrès, nous a interdit une explication

détaillée pour les équations des produits scalaires locaux et la présentation de quelques

figures en couleurs liées à la décomposition locale. Nous les présentons dans cette partie de

la thèse.

Les équations répertoriées pour les produits scalaires locaux sont calculées

exactement par la connaissance de la valence de chaque sommet généré à la résolution

supérieure. Sur la partie 2.1 de la 'Table 1', nous avons répertorié les produits scalaires

locaux générés par le processus de subdivision locale. Les produits scalaires locaux sont

établis à une résolution j , et s’appliquent à toutes les résolutions du maillage. Seul le

niveau de résolution j modifie la valeur des éléments de la matrice jLI . Sur les Figures II-3

et II-4, nous allons démontrer que le niveau de résolution n’a pas d’incidence sur les

produits scalaires globaux pour différentes configurations du maillage local.

(a) 0j = (b) 1j = (c) 2j = (d) 3j =

Figure II-3. Subdivision totale de 0j = à 1j = et subdivision locale de 2j = à 3j = .

A la résolution 3j = de l’octaèdre subdivisé localement dans la Figure II-3 (d), les

produits scalaires locaux possibles entre les sommets peuvent être répertoriés en plusieurs

cas. Nous le voyons distinctement sur les sous-figures marquées respectivement en bleu

pour les arêtes et en rouge pour les sommets (Figure II-4). Les figures (a)-(d) représentent

chacune le cas de produits scalaires entre deux sommets connectés par une ligne bleue. Les

figures (e)-(i) indiquent chacune le cas de produits scalaires pour un seul et même sommet.

Quelque soit le niveau de résolution, les produits scalaires locaux sont déterminés par la

valeur des éléments de jLI , puisque nous avons pu répertorier l’ensemble des cas possibles.

Pour toutes les autres subdivisions locales non représentées sur la Figure II-3, le même

principe s’applique.


69

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figure II-4. Illustration des différentes situations possibles pour le calcul des produits

scalaires générés de la Figure II-3 (d).

Sur la Figure II-5 nous présentons les figures en couleurs et les figures maillées

liées à la décomposition locale. Elles sont la représentation de l’analyse multirésolution en

ondelettes d’une sphère subdivisée localement. En particulier, nous représentons les

maillages en couleur à chaque résolution.


70

(a) Maillage initial : sphère déformée,régions (1) à j=6, (2) à j=5, et(3), (4) à j=4, autrement j=2.

région (3)

région (2)

(c) Maillage décomposé en ondelettes localesrégions (1) et (2) à j=5, et (3), (4) à j=4,autrement j=2.

(e) Maillage décomposé en ondelettes locales,régions (1), (2), (3), et (4) à j=4,autrement j=2.

(b) Maillage initial en couleur de (a).

(d) Maillage décomposé en couleur de (c).

(f) Maillage décomposé en couleur de (e).

région (1)

région (4)


71

Figure II-5. Décomposition locale en ondelettes d’une sphère déformée.

Nota :

Les sommets situés à la frontière entre deux niveaux de résolution sont déplacés sur l’arête

d’un triangle de résolution inférieure (Figure II-5 (g) flèches). Il s’ensuit qu’il ne leur est

pas affecté de coefficient d’ondelette. On notera que les maillages locaux sont conformes

mais que le maillage global ne l’est plus. Un artifice permet de rendre le maillage global

conforme. Il consiste à conserver la position des sommets des frontières, déplacés à la

résolution plus élevée, dans un vecteur de ‘frais généraux’, puis à repositionner ces

sommets et à tracer les arêtes nécessaires pour rendre le maillage conforme avant sa

visualisation.

(g) Maillage décomposé en ondelettes locales,régions (1), (2), (3), et (4) à j=3,autrement j=2.

(i) Maillage décomposé en ondelettes locales,partout j=2.

(h) Maillage décomposé en couleur de (g).

(j) Maillage décomposé en couleur de (i).


72

5. Conclusions

Dans ce chapitre, nous avons proposé une nouvelle méthode pour la décomposition

locale en ondelettes des maillages. Cette méthode emploie la subdivision locale.

Cette contribution conduit à une généralisation de la théorie des ondelettes et à des

améliorations dans la représentation du maillage local. Les techniques présentées ne

généralisent pas seulement le produit scalaire, mais permettent aussi de générer et d’utiliser

des filtres locaux de synthèse et d’analyse. Ces derniers sont adaptés à l’analyse

multirésolution locale. Ceci signifie qu’une région d’intérêt, ou une région à géométrie

complexe, ou une région avec une courbure élevée de la surface peut être représentée

efficacement en utilisant les ondelettes bi-orthogonales locales.

Cependant, du point de vue des techniques détaillées dans ce chapitre, nous

pouvons effectuer les observations suivantes :

• A partir d’un maillage triangulaire initial quelconque irrégulièrement subdivisé,

comment peut-on le convertir effectivement en un maillage avec la connectivité de

subdivision ? (par exemple, un maillage issu de l’algorithme du ‘marching cube’

[LORE87])

• Comment peut-on évaluer facilement la courbure locale du maillage pour

déterminer le niveau de subdivision ?

• Comment peut-on sélectionner automatiquement une région d’intérêt ou une région

complexe du maillage ?

Dans le Chapitre IV, nous examinons précisément ces problèmes afin de proposer

des solutions qui surmontent ces difficultés.

Chapitre III : Proposition d’une décomposition en ondelettes de maillages 3D irrégulièrement subdivisés

73

CHAPITRE III

PROPOSITION D’UNE DECOMPOSITION ENONDELETTES DE MAILLAGES IRREGULIEREMENTSUBDIVISES

1. Introduction

L’analyse multirésolution possède des propriétés intéressantes : partant d’un objet

haute résolution, plusieurs approximations peuvent être générées. Les détails perdus lors

des différentes phases de simplification peuvent être restitués à l’utilisateur s’il demande

une précision plus grande. Cette technique accélère l’affichage des surfaces et permet une

compression efficace. Mais, dans un espace tridimensionnel, la méthode d’analyse

multirésolution en ondelettes nécessite la création d’outils de maillage spécifique, afin de

partir d’un maillage de basse résolution et de le subdiviser itérativement pour obtenir les

maillages haute résolution [VALE98]. Ainsi, un maillage ne pourra pas être simplifié s’il

n’est pas le résultat de la subdivision d’un autre maillage. Or, en pratique, aucun maillage

généré sans soucis du respect de ce critère ne pourrait être décomposé en ondelettes, ce qui

limite beaucoup le champ d’application de la méthode précédente.

Pour remédier à ce problème nous avons modifié le processus de subdivision. Il est

tout à fait possible de ne pas créer tous les nouveaux sommets, ce qui reviendrait, à la

subdivision de chaque face en deux, trois, ou quatre faces. Ainsi, nous pouvons rechercher

dans un maillage existant des subdivisions de une, deux, trois, ou quatre faces, afin de

simplifier le maillage existant pour en faire un maillage de basse résolution.

Enfin, à partir d’un maillage quelconque, nous pouvons obtenir un maillage plus

simple permettant une analyse multirésolution. De plus, au moment de la reconstruction du

maillage haute résolution à partir du maillage de basse résolution, il suffit de fournir à

l’algorithme de subdivision l’information lui permettant de savoir si une face se


74

subdivisera en une, deux, trois, ou quatre. Notons que cette information apporte un surcoût

(frais généraux) dans un algorithme de compression et codage.

Dans ce chapitre, nous proposons une méthode de décomposition irrégulière. Puis,

nous examinons une technique de compression sans perte qui prouve l’efficacité de notre

algorithme pour une compression des maillages.

La contribution principale de ce chapitre est apportée par Sébastien Valette qui est

le premier auteur des deux communications que nous avons présentées dans les congrès

[VALE99a-b].

2. Décomposition en ondelettes de maillages triangulaires 3Dirrégulièrement subdivisés. Application à la compression

Nous reproduisons, ci-dessous, notre proposition sur la décomposition en ondelettes

de maillages triangulaires 3D irrégulièrement subdivisés et son application à la

compression, présentée dans le congrès IEEE International Conference on Image

Processing 1999 (ICIP-99).


75

A Multiresolution Wavelet Scheme for Irregularly Subdivided3D Triangular Mesh

Sébastien Valette1, Yun-Sang Kim1, Ho-Youl Jung2, Isabelle Magnin1 and Rémy Prost1

1CREATIS, CNRS Research Unit (UMR 5515) and affiliated to INSERM, INSA, France2School of Computer & Communications Eng., Yeungnam University, Kyungpook, Korea


ABSTRACT

We propose a new subdivision scheme derived from the Lounsbery’s regular 1:4 face split,

allowing multiresolution analysis of irregularly subdivided triangular meshes by the

wavelet transforms. Some experimental results on real medical meshes prove the

efficiency of this approach in multiresolution schemes. In addition we show the

effectiveness of the proposed algorithm for lossless compression.

I. Introduction

Multiresolution analysis of 3D objects is receiving a lot of attention nowadays, due

to the practical interest of 3D modelling in a wider and wider range of applications.

Multiresolution analysis of these objects gives some useful features : several levels of

details can be built for these objects, accelerating the rendering when there is no need for

sharp details, and allowing progressive transmission. Another feature is that

multiresolution analysis can be an efficient way for data compression. A survey of the

existing methods used to simplify meshes which is the first step for processing

multiresolution analysis, like vertex decimation [2], edge contraction [3], and wavelet

surfaces [4], was reported in [1]. We put our attention on the third method, because

wavelets are well-suited for multiresolution analysis. In section 2, we will shortly explain

multiresolution analysis of meshes [3], and show its drawbacks in practical

implementation, which we improved, as described in section 3. In section 4, we show why

our proposal is suitable for compression. The next part (section 5) gives the results

obtained with this new scheme.


76

II. Lounsbery's wavelets based multiresolution scheme

In wavelets decomposition, a mesh (for example a tetrahedron, see Figure 1 (a)) is

quaternary subdivided (Figure 1 (b)) and deformed (Figure 1 (c)), to make it fit the surface

to approximate. Subdividing the mesh consists in splitting each triangular face into four

faces. These steps can be processed depending on the required resolution levels.

(a) (b) (c)

Figure 1. The subdivision scheme.

Multiresolution analysis is computed with two analysis filters jA and jB for each

resolution level j . Reconstruction is done with two synthesis filters jP and jQ . These

filters are represented with matrix notation and, to ensure exact reconstruction, must satisfy

the following constraint :

1−

=

jj

j

j

QPB

A(1)

Let us call jC the 3j ×)(N matrix giving the coordinates of each vertex of the mesh at

the resolution level j . Then we have the relations:

1j1jj ++= CAC (2)1j1jj ++= CBD (3)

jjjj1j DQCPC +=+ (4)


77

jD represents the wavelet coefficients of the mesh, necessary to reconstruct 1j +C fromjC . From a theoretical point of view, each column of the jP matrix (respectively the jQ

matrix) represents a scaling function (respectively a wavelet function). These functions are

defined on a 3D space fixed by the mesh topology.

We apply the lifting scheme [6] which consists here in constructing wavelet

functions (starting from the hat function, Figure 2 (a)) orthogonal to the scaling functions

(which are hat functions too, but with a twice wider support). Without the lifting scheme,

Lounsbery's multiresolution analysis would simply consist in subsampling the mesh, but

with the lifting, the mesh at resolution level j is ensured to be the best approximation in

the mean square sense for the mesh at level 1j + . The main material for the lifting is the

inner product between two functions defined by Lounsbery as:

∑ ∫∆∈ ∈

=><

)(

)()()(M s

j dssgsfarea

Kgf

τ ττ

, (5)

)(M∆ is the set of triangles τ of the mesh and jK is a constant for a given resolution

level j ( jjK −= 4 ). Note that in this inner product it is assumed that the triangular faces of

the mesh have the same area. The consequence of this assumption is that a mesh at

resolution level j will effectively be the best approximation of the mesh at level 1j + only

if this constraint is fulfilled. We can see in Figure 2 (b) the effects of the lifting scheme on

the hat function showed in Figure 2 (a).

(a) (b)

Figure 2. Wavelets in 3D.


78

Wavelet surfaces give a powerful tool for multiresolution analysis. However, in the

simplification process, the major drawback is that faces are always merged four to one to

have a simpler mesh. If the mesh does not respect this connectivity constraint, one has to

process a resampling of the mesh, which results in a mesh having more faces than the

original, as explained in details in [5]. The aim of this work is to solve this problem by

improving the subdivision process, as described in the next section.

III. A proposal for irregular subdivision

In the proposed scheme, the subdivision process is changed : each face of the mesh

to subdivide is no more systematically split into four faces, but can also be split into three

or two faces or remain unchanged. As an example, four different cases of subdivision are

shown in Figure 3. This approach allows to simplify meshes even if some faces cannot be

merged four to one.

Figure 3. Some possible cases of subdivision.


79

The simplification is done with an algorithm that merges the faces of a mesh,

considering rules established by the subdivision process. Figure 4 shows an example,

where 15 faces are reduced to 6, resulting from merging 4 :1 faces for G2, 3 :1 faces for G3

and G6, 2 :1 faces for G1 and G4 and keeping one face unchanged for G5.

G1

G2 G3

G6 G5

G4

Figure 4. An example of surface simplification.

One important consequence of the simplification rules is that a vertex can be

removed during the simplification process only if its valence is equal to 4, 5 or 6. Clearly

the efficiency of our algorithm depends on the number of removable vertices in the mesh.

Fortunately, meshes usually have such vertices, and during the simplification, the valence

of the vertices tends to decrease. As an example, the vertex V1 shown in Figure 4 has a

valence of 7, which makes it impossible to remove, but after one simplification step, its

valence is reduced to 5, and the algorithm will be able to remove it in a further step.

Briefly, the simplification algorithm starts by merging 4 faces to 1, building a set of

merged faces, and tries to expand this set by merging faces around it. Figure 5 shows the

beginning of the expansion of the merged faces set (in gray), merging sequentially 4:1

faces, 3:1 faces and 2:1 faces.

V1 V1


80

Figure 5. Expansion of the simplified mesh set.

The algorithm stops when no more faces have to be simplified. In order to prevent the

algorithm from being unable to simplify some faces with respect to the subdivision rules, a

modification of the mesh is allowed. It consists in an edge permutation between two

neighbour faces, as shown in Figure 6. Of course this modification has to be stored, to

recover the original mesh after subdivision and guarantee the reversibility of the

simplification process.

Figure 6. an edge permutation between two faces.

(b)(a)

(c)(d)


81

We notice that this modification will introduce a quality loss during multiresolution

analysis, but the difference between the original mesh and the altered mesh is small and

experimental results show that this local error is negligible compared to the approximation

error. Finally, the algorithm is very efficient for simplifying a large set of meshes.

The last thing to do is to compute the approximation of the high resolution mesh

with the simplified one that is to calculate the analysis filters jA and jB . This can be

done with Lounsbery’s scheme. A difference has to be noticed, due to the change of the

subdivision process. The inner product (5) has to be reformulated and becomes :

∑ ∫∆∈ ∈

=><

)(

)()()(

)(

M s

j dssgsfarea

Kgf

τ ττ

τ, (6)

)(2K j is no longer a constant and changes with each face of the mesh. For example, a face

in a low resolution mesh that will split in 3 faces will have 32K j =)( and the three

resulting faces will have 12K 1j =+ )( , taking into account the differences between the

triangle areas : the first face cited above will approximately be three times larger than the

three last.

IV. Compression

The proposed method has powerful features for compressing meshes, for two

reasons :

• The wavelet decomposition, used to compute the vertices coordinates, transforms

coordinates into wavelet coefficients which histogram is concentrated around the

zero value, making them well suited for entropy coding.

• Starting from the lowest resolution level, there is no need to store or transmit the

faces descriptions to reconstruct higher levels, only the subdivisions have to be,

which lets the amount of information needed to reconstruct the connectivity of the

mesh close to 3 bits per face.

In the experimental results section, the lowest resolution mesh is coded using the algorithm

described in [8].


82

V. Results

Table 1 shows the results on a heart mesh simplification using the proposed

method. The high resolution mesh is a regular tesselation similar to that proposed in [7]. Its

vertices coordinates are coded with a 7 bits/vertex precision. The number of bytes noted in

table 1 is the amount of information needed to reconstruct the mesh to the concerned

resolution level starting from the nearest lower resolution level.

Table 2 gives some more results on different 3D meshes: brain, body and lung. We

notice that at the middle resolution levels, used in practical implementation, the

approximation quality remains rather good in terms of local shape and size.

VI. Conclusion

We proposed a new scheme allowing to process multiresolution analysis on

arbitrary meshes. In sharp contrast with [4] where a resampling of the original mesh is

necessary, our scheme processes directly on the original mesh. The proposed method has

many potential applications such as mesh compression, progressive transmission and fast

rendering of 3D images.

Acknowledgments :

The authors are grateful to Prof. E. Rittman and R. Robb for providing the 3D x-ray

angiographic data, and J. Lötjönen for building the meshes.

This work is in the scope of the scientific topics of the GdR-PRC ISIS research group of

the French National Center for Scientific research.


83

Table 1.Mmultiresolution representation of a 3D left ventricle of a heart mesh.

Level 6

1008 faces413 bytes

Level 5

446 faces226 bytes

Level 4

208 faces123 bytes

Level 3

94 faces65 bytes

Level 2

46 faces36 bytes

Level 1

22 faces22 bytes

Level 0

8 faces40 bytes

Summary:

Original file: 4730 bytesCompressed files: 925 bytes

Ratio : 5.1 : 1


84

Table 2. Complementary results.

Original mesh

3584 faces8 levels

Level 4

524 faces

Original file:19493 bytes

Compressed file:3246 bytes

Ratio:6.1 : 1

Original mesh

4454 faces10 levels

Level 5

306 faces

Original file :25894 bytes

Compressed file:4062 bytes

Ratio :6.4 : 1

Original mesh

1916 faces10 levels

Level 5

168 faces

Original file:9705 bytes

Compressed file :1801 bytes

Ratio :5.4 : 1


85

References

[1] Paul S. Heckbert and Michael Garland, Survey of polygonal surface simplification

algorithms, School of computer science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh.

URL:http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/user/garland/www/multires/.

[2] M. Soucy and D. Laurendau, Multiresolution surface modeling based on hierarchical

triangulation, in Computer vision and image understanding, volume 63, No 1, January

1996, pages 1-14.

[3] H. Hoppe, Progressive meshes. Computer Graphics (SIGGRAPH '96 Proceedings),

pages 99-108. URL : http://www.research.microsoft.com/~hoppe/.

[4] Michael Lounsbery. Multiresolution Analysis for Surfaces of Arbitrary Topological

Type. PhD thesis, Dept. of Computer Science and Engineering, U. of Washington,

1994. URL : ftp://ftp.cs.washington.edu/pub/graphics/LounsPhd.ps.Z.

[5] Matthias Eck, Tony DeRose, Tom Duchamp, Hugues Hoppe, Michael Lounsbery, and Werner

Stuetzle. Multiresolution Analysis of Arbitrary Meshes. Technical Report #95-01-02, January

1995. URL : http://www.cs.washington.edu/research/projects/grail2/ www/pub/abstracts.html.

[6] Wim Sweldens, The Lifting Scheme : A Custom-Design Construction of Biorthogonal

Wavelets, Applied and Computational Harmonic Analysis, April 1996, Vol. 3, No. 2,

pp.186-200.

[7] J. Lötjönen,, P.J. Reissman, I.E. Magnin, J. Nenonen, and T. Katila, A triangulation

method of an arbitrary point set for biomagnetic problem, IEEE transactions on

magnetics, Vol 34, No 4, July 1998

[8] G. Taubin, J. Rossignac, Geometric compression Through Topological Surgery, IBM

Research Report. URL : http://www.research.ibm.com/vrml/binary/.


86

3. Compléments

Pour les compléments de cet article, dans cette partie, nous reproduisons plus

précisément la méthode de compression sans perte qui a été partiellement présentée dans le

congrès 17ème colloque sur le Traitement du Signal et des Images, GRETSI-99 [VALE99a].

Elle montre que notre proposition permet une compression efficace du maillage de surfaces

3D.

Une surface 3D est représentée par les coordonnées des sommets des faces, ainsi

que par leur connectivité. Le nombre de bits nécessaires à la définition des sommets

dépend de la dynamique des coordonnées. Par exemple, si un objet 3D est borné par un

cube d’arête de longueur L=1024, 10 bits par coordonnées sont nécessaires, soit 30 bits par

sommet.

Dans le cas général, le nombre de bits nécessaires au codage de chaque sommet est :

)(log3 2 LBs = . (III-1)

Le nombre de bits nécessaires au codage de la connectivité d’une face à la résolution j

dépend directement du nombre de sommets jNs et vaut :

)(log3 2jj

f NsB = . (III-2)

Dans notre approche multirésolution, il est nécessaire de coder l’objet à la

résolution la plus basse et les informations nécessaires pour reconstruire la surface à un

niveau supérieur, pour tous les niveaux de résolution. Ces dernières informations sont des

coefficients d’ondelettes et les caractéristiques des subdivisions de chaque face.

Le codage de la surface à la plus basse résolution est basé sur un algorithme de

découpage de la surface détaillé en [TAUB98a]. Ce découpage permet un codage efficace

des faces (méthode arborescente) et des coordonnées des sommets (méthode prédictive).

L’expérience a montré que le codage optimal était atteint en employant une prédiction

linéaire à deux ancêtres.


87

Le codage des coefficients d’ondelettes est réalisé par codage entropique (codeur

arithmétique). Ce choix résulte de l’observation de la concentration de l’histogramme des

coefficients d’ondelettes autour de la valeur zéro.

Le codage des caractéristiques des subdivisions est réalisé en donnant la liste des

nouveaux sommets qu’elles engendrent : si jNs est le nombre de sommets d’un maillage,jNf le nombre de faces et jNa le nombre d’arêtes, on peut établir l’approximation :

jjj NsNaNf == . (III-3)

Il faudra, pour chaque segment, déterminer si un sommet doit y être créé, ce qui

représente un total de jj NfNa = bits. Il faudra aussi, pour les faces subdivisées en 2 ou 3

(Figure 5), des informations supplémentaires pour déterminer précisément leur type de

subdivision. Ces informations nécessitent un maximum de deux bits par face, ce qui se

traduit par un coût supplémentaire maximum de 2. jNf bits.

• Face qui se subdivise en 3 :

1 bit supplémentaire.

• Face qui se subdivise en 2 :

1 ou 2 bits supplémentaires.

Figure III-1. Subdivisions nécessitant un surplus d’information.

La quantité totale d’information à transmettre est donc au maximum égale à 3.Nf

bits. Lors du passage d’un niveau de résolution au niveau supérieur, le nombre de faces et

0

1

0

1

1

0


88

de sommets double en moyenne. Les subdivisions auront donc créé Nf nouvelles faces, à

partir d’une quantité de 3*Nf bits. Ces nouvelles faces auront donc été codées en

moyennes sur 3 bits/face. Nous avons donc d’après les équations (III-1), (III-2), et (III-3) :

∑=

∆+=j

k

k0j NNN1

, (III-4)

1jj1jjcoeff

j NfNsHN −− +=∆ α33 , (III-5)

1≅α , (III-6)

j

jjjj

N

NsNfLNsT

)(log3)(log3 22 += , (III-7)

où jN est la quantité d’information (en bits) nécessaire au codage de la surface à la

résolution j , jN∆ est la quantité d’information (en bits) nécessaire pour passer de la

résolution 1j − à la résolution j , jcoeffH est l’entropie des coefficients d’ondelettes à la

résolution j , et jT est le taux de compression pour une représentation au niveau de

résolution j .

Nous notons que la compression réalisée est sans pertes, grâce à l'utilisation d'une

arithmétique sur des nombres entiers, en accord avec [JUNG98b]. Une compression avec

pertes contrôlées est possible en ne stockant ou en ne transmettant que les coefficients

d'ondelettes les plus grands.


89

4. Conclusions

Dans ce chapitre, nous avons proposé une nouvelle méthode de subdivision qui

permet la simplification des maillages triangulaires quelconques à l’aide de la transformée

en ondelettes.

En effet, pour les travaux antérieurs, la création d’outils de maillage spécifiques

(afin de partir d’un maillage de basse résolution et de le subdiviser itérativement pour

obtenir des maillages haute résolution) doit être effectuée. En conséquence, le maillage ne

peut pas être simplifié puisqu’il est nécessaire d’avoir un maillage original ou initial qui

soit le résultat de la subdivision d’un autre maillage.

Contrairement aux travaux précédents, notre contribution s’applique directement

sur le maillage. C’est à dire qu’à partir d’un maillage quelconque, nous pouvons obtenir un

maillage plus simple permettant une analyse multirésolution. De plus, au moment de la

reconstruction du maillage haute résolution à partir du maillage de basse résolution, il suffit

de fournir à l’algorithme de subdivision l’information lui permettant de savoir si une face

se subdivisera en une, deux, trois, ou quatre. Le stockage et la transmission des

informations de subdivision réduisent le taux de compression apporté par la décomposition

en ondelettes. La méthode de la compression sans perte montre que notre proposition

permet une compression efficace des maillages.

Néanmoins, pour la méthode décrite dans ce chapitre, nous stipulons ci-dessous les

deux points qui devraient être optimisés :

• Cet algorithme ne s’applique que sur des maillages de surfaces fermées. De plus,

sur certains maillages, il n’arrive pas à simplifier la forme. Ceci est dû au fait que

les différentes branches du maillage sont trop petites pour être simplifiées.

• Le procédé de décomposition en ondelettes utilisé considère que toutes les faces

d’un maillage sont d’une taille similaire.

Cependant, la méthode présentée a donné des résultats probants pour de

nombreuses applications, comme la compression des données de maillages 3D, leur

transmission progressive et l’accélération de leur affichage.

Chapitre IV : Proposition d’un remaillage global et local pour la décomposition en ondelettes. Remaillage adaptatif par transformation conforme.

91

CHAPITRE IV

PROPOSITION D’UN REMAILLAGE GLOBAL ET LOCALPOUR LA DECOMPOSITION EN ONDELETTES.REMAILLAGE ADAPTATIF PAR TRANSFORMATIONCONFORME

1. Introduction

Les représentations en ondelettes précédentes ne peuvent pas représenter

efficacement des régions d'intérêt complexes ou des régions avec une courbure élevée.

Dans ce chapitre, nous développons les méthodes appropriées pour traiter ces maillages

complexes et les régions avec une courbure élevée. Les approches présentées ici exploitent

l’algorithme proposé dans le Chapitre II et apportent une réponse aux questions soulevées

dans le Chapitre II-5.

Dans la première partie de ce chapitre, nous examinons le principe de la

transformation conforme et étendons ce principe aux maillages 3D. Ensuite nous

présentons notre nouvelle approche. La transformation conforme a été utilisée par

Duchamp et al. [DUCH97] pour le remaillage. Ici nous utilisons le même outil

mathématique dans une approche différente. Nous proposons une méthode de

paramétrisation locale de maillages quelconques ayant une connectivité irrégulière en

utilisant la transformation conforme. Le résultat de la paramétrisation locale est nommé

remaillage. Il permet une approximation du maillage initial sous réserve que la condition

de connectivité de subdivision soit présente. Ensuite, nous introduisons une décomposition

et reconstruction basée sur la subdivision locale. Dans cet algorithme, la décision de niveau

de subdivision est calculée automatiquement en fonction de la courbure locale. Enfin, nous

expliquons le processus de paramétrisation et présentons des exemples.


92

2. Transformation conforme de maillages surfaciques

Avant de développer une nouvelle méthode de remaillage global et local, étudions

le concept de ‘transformation conforme’. Elle a un rôle important dans notre algorithme de

remaillage. La première étape pour la paramétrisation du maillage original est concrétisée

par la transformation conforme f qui permet de transformer les sommets du maillage de

l’espace 3D en des coordonnées du plan complexe. Plus précisément, la transformation

conforme f projette les k sommets js adjacents à un sommet is du maillage 3D appelé

‘anneau de voisinage d’ordre 1’, { }kjsV ji ≤≤= 1)(s , sur un plan complexe, en

préservant l’angle entre deux vecteurs tangents au sommet is (Figure IV-1) [DUCH97].

Nous allons expliciter, ci-dessous, cette transformation conforme f .

Dans le domaine complexe C , étant donné un point complexe iyxz += , il peut être

représenté par les coordonnées polaires. De plus, nous pouvons écrire plus simplement z

avec la fonction exponentielle par ‘la formule d’Euler’.

θθθ ierrirz =+= sincos , (IV-1)

où 22 yxzr +== et x

yz 1tanarg −==θ .

2s

1s

is

3s

ks

Figure IV-1. Un sommet et son anneau de voisinage d’ordre 1 dans un maillage 3D.


93

Dans notre algorithme, nous utilisons la transformation conforme aj zsf =)( avec

k

aθπ2= utilisée antérieurement par Duchamp et al. puis Lee et al. [DUCH97] [LEE98].

Dans l’anneau de voisinage d’ordre 1 d’un sommet du maillage 3D, la somme des angles

peut être inférieure ou supérieure à π2 . Or, la transformation conforme zsf j =)(

conserve les angles à π2 près. Cette propriété crée une ambiguïté angulaire, dans le plan

complexe pour notre application 3D. Le facteur d’échelle angulaire k

aθπ2= avec

),,(∑=

−∠=k

1mmi1mk sssθ , supprime l’ambiguïté. az est représenté par l’équation (IV-1) et la

formule de Moivre comme suit :

θθθ aiaaaa errirZ =+= asinacos .

(IV-2)

En utilisant l’équation (IV-2), nous pouvons définir une fonction if qui est

déterminée par ses valeurs sur le sommet central et des sommets de son anneau voisinage

d’ordre 1. Si nous prenons un sommet central is , nous pouvons énumérer cycliquement les

sommets js dans anneau voisinage d’ordre 1 (noté { }kjsV ji ≤≤= 1)(s , k est la valence

du sommet) où les triangles sont { }ji1j sss ,,− avec k0 ss = . Nous pouvons définir la

fonction if par

0)( =ii sf , aiajji

jersfθ=)( , (IV-3)

où jij ssr −= , ),,(∑=

−∠=j

1mmi1mj sssθ , et

k

aθπ2= .

Nous illustrons cette transformation pour un polyèdre de sommet central 1s de

valence 5. Dans la Figure IV-2 (a), les angles formés par les triplets de sommets peuvent

être calculés par la trigonométrie élémentaire. Par exemple, l’angle ),,( 312 sss∠ formé des

sommets 321 sss ,, est le suivant [DERO92] :

) )2()ss ( (cot )s,s, (222

1312321312312 sssssssss ××−+=∠ / . (IV-4)


s3

f1 (s3) f1(s2)

f1(s6)

f1(s1)

s5

Fig

Cette transf

• Elle existe t

• Son calcul e

• Elle minimis

• Elle est bije

3. Remaillage lo

Nous repro

la décomposition

Transaction on Im

TransformationConforme

s6

s2

s1

s

94

f1(s4) f1(s5)

(a) (b)

ure IV-2. Un polyèdre et sa transformation conforme.

ormation conforme présente de nombreux avantages :

oujours.

st simple.

e la distorsion géométrique par la préservation des angles.

ctive : elle n’induit aucun recouvrement entre les triangles.

cal et décomposition en ondelettes

duisons ci-dessous notre proposition pour le remaillage global et local et

locale en ondelettes de surfaces 3D. Elle a été soumise à la revue IEEE

age Processing.

4


95

Local Remeshing and Wavelets Decomposition for 3D Surfaces1

Yun-Sang Kim*, Sébastien Valette*, Ho-Youl Jung**, and Rémy Prost*

*CREATIS, CNRS Research Unit and affiliated to INSERM, INSA, 69621, France** School of Computer & Communications Eng., Yeungnam Univ., Korea


ABSTRACT

The extension of wavelet based multiresolution analysis for geometric modeling allows to

compress, render, edit, and transmit efficiently the large data set of the 3D objects.

However, the previous works could not represent efficiently the regions-of-interest or the

regions of high curvature. For such a purpose, a local parameterization is proposed for 3D

irregular triangular surface meshes. This approach allows to construct the approximation of

regions-of-interest, and can be effectively applied to a mesh with high curvature faces. The

subdivision level is controlled by the local curvature and a regularity constraint is applied.

It results a mesh with a subdivision connectivity. Furthermore, a wavelet based local

subdivision of 3D surface meshes is presented. This method extends the regular triangular

mesh subdivision proposed by Lounsbery et al.. A bi-orthogonal wavelet basis is

constructed by defining a local inner product and using the Lifting scheme. Only one filter

bank is used for local and global analysis of the surface meshes and also one filter bank for

synthesis. We show the efficiency of these approaches through computer simulations on

some examples.

I. Introduction

In computer graphics and geometric modeling, triangular mesh has been known as a

very efficient technique for representing surface of 3D objects. As a mesh is generally

represented by hundreds of thousands of vertices, a large amount of storage is required, and

it takes also a long time to render and transmit. Obviously, an attractive approach is

multiresolution representation [1, 3] which allows a progressive approximation of the

surface.

1 This work was presented in part at the IEEE ICIP-99, Kobe, JAPAN, October 24-28, 1999.


96

Lounsbery et al. [1] proposed a class of wavelets for surfaces subdivision, which is

applicable to arbitrary topology surfaces. In this method, a multiresolution representation of

a mesh consists of an approximation of the mesh (the base mesh at resolution zero),

together with detail terms, called wavelet coefficients. Unfortunately, this method has been

restricted to meshes of which subdivision connectivity is a priori known and the

subdivision splits each face into four faces systematically. In order to apply this method on

meshes without subdivision connectivity [4], Eck et al. [5] developed a 'remeshing'

technique, which transforms a mesh into another one having a prior known subdivision

connectivity. However, these methods are not adapted to a mesh with complex or high

curvature regions, since only regular triangular mesh subdivision is considered, that is, all

triangular faces are equally subdivided into four ones. Lee et al. [6] constructed the smooth

parameterizations of surfaces and the adaptive remeshing algorithm with guaranteed error

bounds. This algorithm uses globally hierarchical simplification for every face of the

original surface. The base mesh is obtained through the many levels of the mesh

simplification, and, in each level, a retriangulation and a parameterization are required.

This means that it is not suitable for the local approximation of the original surface.

Recently, a new wavelet scheme has been proposed [7]. In this scheme, each face of the

mesh to subdivide is no more systematically split into four faces, but can also be split into

three or two faces or remain unchanged. This approach allows to simplify meshes even if

some faces cannot be merged four to one.

In sharp contrast with the previous works, we propose the local parameterizations

for the arbitrary 3D surfaces and local bi-orthogonal wavelets subdivision method which

can represent effectively a region-of-interest (ROI) or a region of high curvature (ROHC).

For such purpose, the previously reported wavelet based surface subdivision method [1]

and remeshing algorithm are briefly described in section II and their drawbacks in

representing a mesh having a complex or high curvature regions are discussed. A new local

remeshing algorithm is proposed in section III. This section introduces the base mesh

construction and the multiresolution global and local remeshing. The subdivision level is

controlled by curvature. In addition, a regularization constraint is applied in order to

prevent small subdivided region or isolated unsubdivided triangle. In section IV, a local bi-

orthogonal wavelets based subdivision method is presented, where a local inner product is

newly defined and used to obtain local bi-orthogonal wavelets. Some simulation results and

a conclusion follows.


97

II. Related works

II-1. Wavelet based surface subdivision

Wavelet transform decomposes a signal into a low resolution part called

approximation or scaling coefficients and detail parts called wavelet coefficients [8]. A

multiresolution scheme is constructed by iterating this transform on the low resolution part.

In the case of a 3D surface, a class of wavelet was originally developed by Lounsebery et

al. [1] for regular triangular mesh subdivision.

This method starts from a base mesh, denoted as 0M , which is a triangulated

polyhedron having the same topology as the data to be approximated. Each triangle of 0M

is refined into four sub-triangles by introducing new vertices at edge midpoints, followed

by adding the wavelet coefficients in order to fit with the data. This process is done

recursively by two filters: the refining filter jP and the perturbing filter jQ . Where the

superscript j ( j=0, 1,..., J ) represents the resolution level. J is determined so that JM and

the data differ by no more than a user-specified tolerance [5]. In fact, jP and jQ are

synthesis filter banks. The filter coefficients in general must vary over the mesh, so the

filters are represented by matrices. An analysis filter bank, a low pass filter jA and a high

pass filter jB , are derived from

[ ] 1−=

jj

j

j

QPB

A. (1)

The analysis filter bank is used to approximate an input mesh M having subdivision

connectivity.

In this approach, scaling functions )(xjiϕ , which is the basis functions for the

vector spaces jV , are defined as hat functions. These scaling functions have value 1 at

vertex i and value 0 at all other vertices of M j . For the basis functions of the wavelet

spaces jW , wavelets )(xjiψ are chosen to be the hat functions centered on the odd integer

in 1jV + , that is )()( xx 1j12i

ji

++= ϕψ . The obtained scaling functions and wavelets are not

orthogonal. As a result, this method does not produce the best least-squares approximation.


98

To ensure the best least-squares approximation, new wavelets are constructed as

orthogonal functions to )(xjiϕ . These new wavelets are referred to as semi-orthogonal

wavelets, or sometimes pre-wavelets [3]. Also, this construction was recognized by

Sweldens as a special case of a transformation called lifting, which is an operation of the

bi-orthogonal scheme [2]. In the construction of wavelets, the evaluation of an inner

product for the scaling functions is the important step. Lounsbery et al. proposed a method

for exactly computing the inner product of functions defined through regular recursive

triangle subdivision of surface [1]. The matrix of inner products of scaling functions is

defined as jI with

dxxx j

Mx

jj0

)())(( T--I ∫ ∈

= , (2)

where [ ]T)()()()( xxxx j

1D

j1

j0

jj −

= ϕϕϕ �- and jD is the dimension of jV . For

example, 0D is 4 for 0M having a tetrahedron base mesh. The inner product is applied to

construct the bi-orthogonal wavelets. It is defined by assuming that each of the faces of

M j is equilateral.

As this method considers only regular subdivision whereby all triangular faces of

the mesh are equally subdivided into four ones, it is not suitable for a mesh having

complex or high curvature regions, because for such regions a finer subdivision is

necessary.

II-2. Remeshing

The drawback of the Lounsbery et al. multiresolution analysis is that this method

can only be applied to meshes displaying subdivision connectivity, i.e. meshes obtained

from a simpler base mesh by recursive 4 to 1 splitting. To overcome this problem, Eck et

al. [5] proposed a ‘remeshing’ method, meaning that arbitrary meshes can be converted to

multiresolution decomposition. The surface is partitioned into a number of triangular

regions using a Delaunay triangulation. To obtain this Delaunay triangulation, a Voronoi

tiling is first constructed. Using a sequence of local harmonic maps, a parameterization,

which is smooth over each triangle in the base mesh, was constructed. Runtimes for the

algorithm can be long because of the many harmonic map computation, and many extra

globally subdivided levels may be needed to resolve one small local feature.


99

Lee et al. [6] presented an algorithm for the fast computation of smooth

parameterization of 3D surfaces with arbitrary topology. First, he constructs the

parameterization through repeated conformal remapping during graph simplification

followed by a parameter space smoothing procedure based on the Loop scheme [9]. Using

this parameterization, he presented an algorithm for adaptive, hierarchical remeshing of

arbitrary meshes into subdivision connectivity meshes. However, in this algorithm, the

local parameterization is not considered.

Thus, these methods are not adapted to a mesh with complex or high curvature

regions, since all the faces are considered. A local remeshing will be more effective.

III. A new remeshing algorithm

In sharp contrast with the previous methods [5, 6], we consider local

parameterization of the irregular triangular meshes. Our algorithm allows to overcome the

difficulties of representing efficiently the ROIs or the ROHCs of the original mesh and the

complex procedure of driving the parameterization in each repeated mesh simplification.

The base mesh is easily determined according to the important vertices of the original

mesh. Local parameterization of the original mesh over the base mesh consisting of a small

number of triangles is induced directly by using the conformal mapping.

III-1. Base mesh construction

To find a local parameterization, first, we begin by constructing the base mesh 0M .

The base mesh can be constructed simply using the following steps.

i) Evaluate the centroid coordinate of the original mesh M .

ii) Maps M into a new coordinates system (x, y, z), with the centroid coordinate as the

origin.

iii) Find the vertices with the greatest distance from the origin in each quadrant, and the

maximum and minimum values of the mesh in each direction x, y, z.


100

iv) Construct 0M by connecting the previous extreme vertices in each quadrant.

According to the topology of M or to the complexity of the selected local region,0M is a tetrahedron, an octahedron, or a more complex polyhedron. Note that the

base mesh defines the number of both scaling functions and wavelets at the lowest

resolution.

III-2. Multiresolution global and local remeshing

In order to obtain a mesh having the subdivision connectivity, we apply a global and

local remeshing of M by using the following steps.

i) Maps each vertex of M on a face of 0M .

i-1) Maps both each vertex of M and 0M on the real, imaginary plane by

conformal mapping :

)(exp)()(and)( a�idvf0vf ka

kkbio == , (3)

where iov is a vertex of M and kbv is a vertex of 0M , the indices ''o and ''b

denote the original and base mesh, respectively,

kbiok vvd −= , ∑=

−∠=k

1llbio1)b(lk v,v,v� )( , 3/θπ2a = ),( 3b0b vv3k1 =≤≤ .

i-2) Evaluate the barycentric coordinates of the mapped vertices :

),()()()( 321 bbbio vfvfvfvf γβα ++= (4)

where . , � and � are barycentric coordinates, 1��. =++ and bv1 , bv2 , and

bv3 are the vertices composing a face of 0M .

i-3) Apply the following mapping [5,6] :

bbbio vvvvf 321))(( γβα ++=Π . (5)


101

This results in a bijection of the original vertices on a face of 0M .

ii) Fix the global subdivision level of 0M .

The global subdivision level is determined in order that the number of vertices of the

subdivided mesh does not exceed the number of vertices of the local original mesh.

In the case that a face of 0M is subdivided from the resolution 0 to j , the number of

vertices of the mesh jM is determined by

30Ni12jNj2

0i

j −+−+= ∑=

)()()( . (6)

iii) For each face mF of the mesh jM , determinate the additional local subdivision level

jFm

∆ according to the two parameters defined as follows :

iii-1) Evaluate the number jFm

N of mapped original vertices located in each face mF

of jM and its normalized expression :

jFMF

jFm

normalizedj

F

mj

m

m N

NN

∈

=max

)( . (7)

iii-2) Estimate the local curvature iC for each vertex iov of the original mesh M

(see formula in appendix A).

Normalize the local curvature according to the following formula :

iMi

inormalizedi C

CC

∈

=max

)( . (8)

iii-3) Define a weight jFm

W for each face mF :

normalizedj

Fnormalizedj

Fj

F mmmCNW )()1()( αα −+= , , (9)

1.0 ≤≤ , we found that 21

.= works well in our experiments.

iii-4) Determinate jFm

∆ for each face :


102

)( bj

FjF nWround

mm×=∆ , (10)

where the positive integer bn denotes the bound for the additional subdivision

level.

As an example, if we set the additional highest local subdivision level to three

( 3nb = ), we can obtain the integer value jFm∆ from 0 to 3. To prevent the

deformation of the mesh, the subdivision level on the border of the mapped

local original mesh are limited to 2nb = .

iv) Subdivide the base mesh according to the previous global and local subdivision

levels.

During this subdivision process, we calculate the subdivision filters jLP and j

LQ , and

evaluate the inner products of scaling functions )(xjL- . Thus, by using the lifting

scheme, the new filters jnewL _Q are obtained (details are reported in section IV). Note

that only one filter bank is used for local and global analysis of the surface meshes

and also one filter bank for synthesis.

v) Search the faces containing the mapped vertices in the 4 to 1 subdivided faces of the

base mesh.

From the elementary geometric considerations, if the sum of the area of three faces,

),)),((( mlio vvvfarea Π + ),)),((( nmio vvvfarea Π + ),)),((( lnoi vvvfarea Π is equal

with ),,( nml vvvarea , a subdivided face )( nml vvv contains a mapped vertex

))(( iovfΠ .

vi) Evaluate the new mesh according to the barycentric coordinates on the searched

triangle by applying the method i-2).

vii) Regularize the subdivision of the mesh.

In order to prevent small subdivided region (resolution j ), especially a single

subdivided triangle into a lower resolution region (resolution 1j − ) that results to

vertices without wavelet coefficients, we associate these triangles to the resolution

1j − . Similarly, in order to prevent unsubdivided isolated region (resolution 1j − )

or a single unsubdivided triangle into a region at upper resolution (resolution j ), we

associate these triangles to the resolution j .


103

Clearly, the resulting remeshing algorithm can represent effectively a ROI of the

meshes consisting of complex and high curvature faces and in addition it is fast. Also,

according to the ROHCs, it allows to adjust the subdivision level of the base mesh and to

construct the mesh having a subdivision connectivity for wavelet representation. The new

mesh satisfies the requirements of multiresolution analysis for the local

decomposition/reconstruction.

IV. A proposal for local subdivision of surfaces

IV-1. Local wavelets basis construction

Following Lounsbery’s method, we choose the hat functions centered on the locally

selected odd integer indexes in 1jV + as the wavelets for jW , )()( xx 1j12iL

jiL

++= __ ϕψ . Then,

we derive the wavelets locally orthogonal to the scaling functions by the Lounsbery’s

scheme,

jL

jL

jL

jnewL_ xxx .-�� )()()( −= , (11)

where the elements of the matrix jL. can be determined by requiring that )(xjnewL_� be

orthogonal to )(xjL- . Note that a semi-orthogonal basis is a special case of bi-orthogonal

basis and (11) can be considered as a special case of lifting.

Finally, we can derive a recursion relation for jL. :

( ) ( ) jL

jL

jL

jL

jL QIPI.

1T1 +−= . (12)

According to jL. , the new filters can be obtained as follows,

[ ] [ ]jL

jL

jL

jL

jL_new

jL_new .PQPQP −= ,

+=

jL

jL

jL

jL

jnewL

jnewL

B

B.A

B

A

_

_ (13)


104

IV-2. Evaluation of the local inner products of the scaling functions

A ROI with a complex and high curvature surface could be effectively represented

by a local subdivision. To locally subdivide the surface, the faces of M j should be

considered as non-equilateral. Thus the inner product of scaling functions used in [1]

should be modified. Applying the Lounsbery’s refining equation jL

1jL

jL P--

+= in (2), the

following equation is obtained.

jL

1jL

jL

jL PIPI += T)( . (14-a)

In order to calculate jL. by (12), the inner products matrix at resolution 1j + , 1j

L+I should

be evaluated from jLI . In contrast with the regular decomposition, where each of the entries

( ) ki,jI in jI has one or more corresponding entries ( ) k',i'

1j +I in jI , up to a factor of ¼ ; that

is ¼( ) ( ) k',i'1j

ki,j += II , due to the equilateral subdivision, the irregular decomposition

results to non-equilateral subdivision and the equation (14-a) is undetermined. To

overcome this difficulty we add the following conditions at each level of resolution: [10]

� Each diagonal element of jLI should be the sum of the other elements of the

corresponding row,

( ) ( ) ( )∑ ∑−

= +=

+=1m

1i

n

1miim,

jLim,

jLmm,

jL III . (14-b)

� An absolute scale is chosen so that the sum of the elements of jLI becomes unity.

The above additional conditions provide the solution necessary to turn the homogeneous

system into non-homogeneous one. As a result, the local inner product can be computed

exactly. As a ROI of a mesh is subdivided recursively into four equilateral subtriangles at

the incremental resolution, the inner product permits to define a local semi-orthogonal

wavelet basis.


105

IV-3. An algorithm for fast computation of the inner products

The evaluation of the inner product using (14-a) and (14-b) is costly in terms of

computations. Fortunately, the matrix 1jL

+I can be evaluated without solving the equation

(14-a) and (14-b), since the subdivided triangle generates new vertices that have always the

valences (the number of edges associated to each vertex) 4, or 6. It allows categorizing all

possible local inner products in several cases, according to different valences and

resolution of the vertices. For example, in the case that the base mesh is an octahedron, if

all triangular faces of the base mesh are subdivided from the resolution 0 to j and a face

or several faces of the obtained mesh M j are only subdivided from j to j k+ , the inner

product between the new vertices '1nv , 2nv ' having valences six is ( )44

2kjvn2vn1,

kjL ×

= ++I .

Such equations dramatically reduce the computation cost of the local inner product. In the

case that the vertices of a base mesh have the same valences ‘V’ and a face of the base

mesh is subdivided from the resolution 0 to j , the results are summarized in Table 1.

V. Experimental results

To evaluate the performance of both the new multiresolution remeshing and the

proposed local subdivision, several meshes are selected and tested. They are real medical

data.

In the Figure 1, the original mesh of the body ( Fig. 1(a) ) has an irregular

connectivity. In order to obtain a mesh having the subdivision connectivity, we apply the

new remeshing algorithm ( Fig. 1(b)-(c) ). Fig. 1(b) and (c) depict two ROHCs of the

resolution 6 to 5 without regularization and with regularization of the subdivision of the

mesh. Otherwise the resolution is 4. Then we consider the local multiresolution analysis of

the remeshed Body with the ROHCs ( Fig. 1(c)-(e) ).

In the figure 2 experiment, Fig 2(a) shows the original mesh of the brain with an

irregular connectivity. Fig 2.(b), (e) and (c), (f) represent the remeshed ROIs meshes

without regularization and with regularization of the subdivision. These figures depict the

ROI (1) and ROI (2), at the resolution 6 and 5, at the resolution 7, 6, and 5, respectively,

according to the ROHCs. Fig 2.(d) is the approximated mesh of ROI (1) at the resolution 5

and 5, and Fig 2.(g)-(h) are the approximated meshes of ROI (2) having ROHCs of the


106

resolution 6-6-5, 5-5-5, respectively. Note that in these experiments the subdivision levels

of the triangle on the contour of mapped local original mesh are constrained to 2j +according to the procedure v) in the proposed algorithm. These results clearly prove the

effectiveness of the proposed approach.

VI. Conclusions

Both a remeshing for the meshes having the irregular connectivity and bi-

orthogonal wavelets based local subdivision have been proposed. The local remeshing

algorithm allow to adjust the resolution levels of the approximated mesh according to the

ROIs or the ROHCs, and to construct meshes having a subdivision connectivity for wavelet

representation. Also, due to the exact computation of the local inner product, a

multiresolution representation can be accomplished for 3D surfaces. These approaches

allow to construct an effective approximation for complex mesh with adapted resolution to

ROHC and also to ROI.

Appendix A : Curvature estimation

Let’s consider a vertex P of the mesh M . We can take P as a vector of

coordinates zyx ,, . Suppose that among of its 1-ring neighbors vertices the three vertices

1−nQ , nQ , and 1+nQ are located in counterclockwise order round P . These vertices form

the adjacent two faces with P . This allows to estimate the curvature by computing the

angle made up the adjacent two faces as follows :

1. Calcul each edge vector 11 ,, +− nnn QPQPQP which are the difference between two

vertices :

PQQP nn −= −− 11 , PQQP nn −= , PQQP nn −= ++ 11 .

2. Derive the normal vectors orthogonal to each face by cross product of edge vectors :

nn

nn

QPQP

QPQPn

×

×=−

−

1

1

1 , 1

1

2+

+

×

×=nn

nn

QPQP

QPQPn .


107

3. Compute the cross product of the derived normal vectors :

γsin21 =× nn .

21 nn × represents the absolute value of the sine of the angle between two normal

vectors, that is between the adjacent faces. Thus we can estimate the curvature by taking

the absolute value of cross product.

Note that there are several methods for estimate the curvature around a vertex of 3D

surface mesh [6, 11]. But, our method is very simple and allows to diminish considerably

the computation time.

ACKNOWLEDGMENT

The authors wish to thank J. Lotjonen of the Laboratory of Biomedical Engineering,

Helsinki University, who has kindly given permission for the use of the original meshes.

References

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Washington, September, 1994.

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"SIAM J. Math. Anal., Vol. 29, No. 2, pp. 511-546, 1997.

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Theory and Application, "Morgan Kaufmann, San Francisco, 1996.

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108

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California, USA, pp. 173-182, August 1995.

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Multiresolution Adaptive parameterization of Surfaces, "SIGGRAPH ’98, Orlando,

Florida, USA, pp. 95-104, July 1998.

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scheme for irregularly subdivided 3D triangluar mesh, "IEEE ICIP-99, Kobe,

JAPAN, Vol. 1, pp. 171-174, October 1999.

[8] S. Mallat, "A theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet

Representation. "IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,

Vol. 11, No. 7, pp. 674-693, July 1989.

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Department of Mathematics, University of Utah, 1987.

[10] Y. S. Kim, S. Valette, H. Y. Jung, and R. Prost, "Local Wavelet Decomposition for 3-

D Surfaces, "IEEE ICIP-99, Kobe, JAPAN, Vol. 3, pp. 357-360, October 1999.

[11] M. Desbrun, M. Meyer, P. Schröder, and A. Barr, "Implicit Fairing of Irregular

Meshes using Diffusion and Curvature Flow, "SIGGRAPH ’99, L.A., CA, USA, pp.

317-324, August 1999.


109

Table 1. The inner product, in the case that the vertices of a base mesh have the same

valence ‘V’ and a face of the base mesh is subdivided from the resolution 0 to j .

Outside vertices ‘ ba vv , ’ of the local

subdivision region

( )V4

12jvdvd,

jL ×

=I

Same values with the inner product atthe resolution 0j =

Cases

A vertex ‘ cv ’ of the base mesh

composing the local subdivision faces

A vertex ‘ dv ’ having the valence 6 and

generated at the resolution j

A vertex ‘ ev ’ having the valence 4 and

generated at the resolution j

A vertex ‘ fv ’ having the valence 6 and

any vertex ‘ gv ’

Vertices ‘ ih vv , ’ having the valences 4


A vertex ‘ jv ’ having the valence 4 and

generated at the resolution j , and a

vertex ‘ kv ’ generated at the resolution1j −

( )V4

3jveve,

jL ×

=I

( )V4

2jvgvf,

jL ×

=I

( )V4

2jvivh,

jL ×

=I

( ) 2)V4

2(

V

1jvcvc,

jL −+=I

( )V4

1jvkvj,

jL ×

=I

Inner product at the resolution j


s.(b) Local remeshed ‘Body’ without regularization of the subdivision :

(c) Loca regu ROH 197

ROHC (2)6

ROHC (1)5

(a) Original mesh ‘Body’ : 1017 vertices, 2030 face

110

ROHC (1)5, ROHC (2)6, otherwise, j = 4, 2223 vertices, 3412 faces.

l remeshed ‘Body’ withlarization of the subdivision :C (1)5, ROHC (2)6, otherwise, j = 4,

1 vertices, 3223 faces.

(d) Approximation of the Fig.1(c) : ROHC (1)5 , ROHC(2)5, otherwise j = 4, 1216 vertices, 2030 faces.


Fig

with

(

(f) Approximation of the Fig.1(e) : ROHC (1)3, ROHC(2)3, otherwise j = 3, 110 vertices, 190 faces.

e) Approximation of the Fig.1(d) : ROHC (1)4, ROHC(2)4, otherwise j = 4,

461vertices, 859 faces.

111

ure 1. The remeshing and local wavelets decomposition of real medical data ‘Body’

the local resolution j, ROHC (k) j, k = 1,2. ( ROHC : Region of High Curvature ).

s.

ROI(1)

ROI(2)

(b) Remeshed ROI (1) without regularization of the subdivision : ROHC (1)5 , ROHC (2)6, otherwise, j = 4, 838 vertices, 1384 faces.

(a) Original mesh ‘Brain’ : 1084 vertices, 2164 face


F

d

f

s.

(c) Remeshed ROI (1) with regularization o the subdivision : ROHC (1)5 , ROHC (2)6, otherwise, j = 4, 836 vertices, 1402 face

112

igure 2. The remeshing and local wavelets

ata ‘Brain’ with the local resolution j, ROHC

) (

(d) Approximation of the Fig.2(c) : ROHC (1)5 , ROHC(2)5, otherwise j = 4,

344vertices, 613 faces.

d

(kj

on
(f) Remeshed ROI (1) with regularizati of the subdivision : ROHC (1)5 , ROHC (2)6, otherwise, j = 4, 585 vertices, 954 faces.
(e) Remeshed ROI (2) without regularization of the subdivision : ROHC (1)5, ROHC (2)6, ROHC (3)7, otherwise, j = 4, 838 vertices, 1384 faces.

)
(g) Approximation of the Fig.2(f) : ROHC (15, ROHC(2)6, ROHC (3)6, otherwise j = 4, 451 vertices, 714 faces.
h) Approximation of the Fig.2(g) : ROHC (15, ROHC(2)5, ROHC (3)5, otherwise j = 4, 307 vertices, 498 faces.

ecomposition of two ROIs of real medical

) , k = 1,2,3. ( ROI : Region of Interest ).


113

4. Détails complémentaires sur la paramétrisation

Dans cette partie, nous expliquons plus précisément la méthode des

paramétrisations locales de maillages quelconques ayant une connectivité irrégulière et

montrons quelques illustrations concernant les paramétrisations de maillages.

Comme nous avons expliqué dans la section 3 III-2, les sommets originaux de

l’espace 3D sont projetés sur le plan complexe, et il en est de même des sommets du

maillage de basse résolution. Il est évident que chacun de sommet original, obtenu par

transformation conforme, se trouve à l’intérieur des triangles dans le plan complexe

[KIRK83]. Ceci signifie que les sommets 2D originaux peuvent être représentés par les

trois autres sommets des triangles en utilisant les coordonnées barycentriques ,,βα γ .

Pour montrer cette relation, nous utilisons la Figure IV-3 et l’équation (IV-5) [BROW97].

)()()()( 61413111 sfsfsfsf γβα ++= , ( 1=++ γβα ). (IV-5)

Les coordonnées barycentriques sont calculées par les rapports des aires des triangles

formés des sommets )( 31 sf , )( 41 sf , )( 61 sf , et )( 11 sf :

))(,)(,)((

))(,)(,)((

614131

411131

sfsfsfaire

sfsfsfaire=α ,

))(,)(,)((

))(,)(,)((

614131

611141

sfsfsfaire

sfsfsfaire=β , (IV-6)

))(,)(,)((

))(,)(,)((

614131

311161

sfsfsfaire

sfsfsfaire=γ .

Les aires peuvent être obtenues à partir du déterminant des matrices composées des

coordonnées homogènes des sommets [FARI97], par exemple,

))()()(( 614131 sfsfsfaire ,, avec les coordonnées ),()( 3331 yxsf = , ),()( 4441 yxsf = ,

et ),()( 6661 yxsf = , est

111

50 643

643

yyy

xxx

×. . (IV-7)


114

s3

s5

s6

s2

f1 (s3) f1(s2)

f1(s1) f1(s6)

f1(s4) f1(s5)

Figure IV-3. Sommet )( 11 sf trouvé à intérieur d’un triangle du polyèdre transformé dans

le plan complexe.

Cette paramétrisation permet de construire une bijection Π sur le maillage 3D.

C’est à dire que les sommets 2D originaux, via la transformation conforme, peuvent être

reprojetés sur les triangles du maillage 3D en utilisant les mêmes valeurs de coordonnées

barycentriques [LEE98] :

64311 ssssf γβα ++=Π ))(( . (IV-8)

Cette bijection permet de placer les sommets sur la face des triangles dans l’espace 3D et

de reconstruire le maillage 3D plan qui a la même connectivité que celle du maillage

original. Nous pouvons observer le résultat de cette paramétrisation de sommet 1s avec les

autres sommets du polyèdre comme suit :

Π (f1(s1))

s4

Figure IV-4. Bijection du sommet )( 11 sf de la Figure IV-1 (b) sur la face des trianglesdans l’espace 3D.


115

Nous présentons quelques figures qui illustrent les étapes du remaillage local du

thorax et d’une région d’intérêt (ROI) du cerveau : la transformation conforme des

sommets 3D sur le plan complexe, la reprojection des sommets 2D sur l’espace 3D, et le

maillage de basse résolution subdivisé.

Dans les figures IV-4 et IV-5, les figures (b) présentent, respectivement, le maillage

de basse résolution de l’octaèdre pour le maillage local du thorax, et du tétraèdre pour une

région d’intérêt (ROI(1)) du maillage du cerveau (présentés dans la section 3, la Figure 1 et

2). Les figures (c) montrent la transformation conforme. Tous les sommets 3D originaux

sont projetés sur le plan complexe avec les sommets du maillage de basse résolution.

Ensuite, la reprojection des sommets 2D sur l’espace 3D est exprimée dans les figures (d).

Elle représente une bijection entre le plan complexe et l’espace 3D. En particulier, les

sommets 2D du thorax sont reprojetés sur quatre triangles de l’octaèdre, et les sommets 2D

du cerveau sont reprojetés sur un triangle du tétraèdre. De plus, nous présentons le maillage

de basse résolution subdivisé dans les figures (e) et (f). Les figures (e) sont régulièrement

subdivisées à la résolution 4j = , et dans ces figures nous déterminons le niveau de

subdivision de chaque triangle. Chaque triangle peut être encore subdivisé, ou non, par

l’algorithme qui permet de calculer des paramètres, comme la courbure des sommets et le

nombre de sommets à l’intérieur des triangles. Ces résultats sont présentés en couleur : les

triangles subdivisés jusqu’à 5j = pour cyan et jusqu’à 6j = pour jaune. Enfin, nous

obtenons le maillage irrégulièrement subdivisé dans les figures (f).


116

Figure IV-5. Procédure pour le remaillage du maillage local du thorax.

(a) Maillage local du thorax.

(b) Maillage de basse résolution : octaèdre.

(e) Octaèdre subvisé à j=4 et les sommets reprojeté.

(c) Transformation conforme.

(d) Reprojection sur l’octaèdre : bijection.

(f) Octaèdre subvisé à j=4,5,6.


117

Figure IV-6. Procédure pour le remaillage de ROI (1) du cerveau.

(a) ROI du maillage du cerveau.(b) Maillage de basse résolution : tétraèdre.

(c) Transformation conforme.

(e) Tétraèdre subvisé à j=4 et les sommets bijectés.

(f) Tétraèdre subvisé à j=4,5,6.

(d) Reprojection sur le tétraèdre : bijection.


118

5. Conclusions

Nous avons proposé de nouvelles méthodes pour le remaillage de maillages

quelconques en maillages subdivisés décomposables en ondelettes locales et la

décomposition des maillages de surfaces 3D. Dans ce chapitre, nos deux méthodes ont été

présentées. La première consiste à obtenir le maillage de l’approximation qui a une

connectivité de subdivision. En conséquence, ce maillage permet la représentation en

multirésolution. Et la seconde méthode est une optimisation du maillage de

l’approximation par une subdivision locale. Cette dernière permet la reconstruction et la

décomposition en ondelettes avec une résolution adaptée à la complexité et à la courbure

locale.

Les points forts de nos propositions sont les suivants :

• Réalisation d’une paramétrisation du maillage 3D qui résout le problème du

remaillage d’un maillage quelconque en un nouveau maillage qui possède la

propriété de connectivité de subdivision.

• Représentation efficace en terme de niveau de subdivision d’une région d’intérêt ou

d’une région à géométrie complexe.

• Détermination automatique du niveau de subdivision selon des paramètres calculés

comme la courbure et la densité de région.

Les perspectives d’amélioration et développement sont les suivantes :

• Construction d’un maillage basse résolution qui est bien adapté à la géométrie du

maillage initial.

• Amélioration des paramétrisations aux bords du maillage local 3D et près des arêtes

du maillage de basse résolution.

Dans le chapitre suivant, nous répondons totalement à ces perspectives en utilisant la

transformation harmonique.

Chapitre V : Remaillage à subdivision variable par transformation harmonique

119

CHAPITRE V

REMAILLAGE A SUBDIVISION VARIABLE PARTRANSFORMATION HARMONIQUE

1. Introduction

L'idée d'utiliser la transformation harmonique pour effectuer le remaillage est en

partie inspirée par les travaux antérieurs de Eck, Duchamp, et Lee [ECK95] [DUCH97]

[LEES99] dans le domaine de l’infographie et dans le domaine de la robotique par Zhang

[ZHAN99]. En particulier, les méthodes de Eck et Zhang forment la base de notre

algorithme.

Dans la méthode de Eck [ECK95], le maillage initial est divisé en patches

(ensemble de triangles du maillage) qui indiquent chacune des régions connectées sur une

surface sans trous. Chaque patch est projeté sur un triangle équilatéral en utilisant la

transformation harmonique. Les transformations sur ces triangles équilatéraux sont alors

utilisées pour échantillonner le maillage triangulaire avec des connectivités spécifiées.

Nous pouvons constater que l'utilisation de la transformation harmonique dans ce travail

permet de construire une certaine forme d’échantillonnage sur le maillage triangulaire 3D.

D’une autre part, la transformation harmonique est utilisée par Zhang [ZHAN99] comme

un opérateur surfacique. Afin de comparer deux surfaces, Zhang utilise une représentation

intermédiaire de l’image sous sa forme harmonique.

Notre proposition est également basée sur la transformation harmonique afin de

projeter le maillage local 3D sur une image 2D circulaire. Cette image est formée d’un

maillage triangulaire 2D qui a la même connectivité que le maillage original 3D. Elle

permet une paramétrisation simple pour l’obtention d’un maillage 3D décomposable en

ondelettes.


120

Dans ce chapitre, nous examinons, dans un premier temps, le concept de la

transformation harmonique dans le cadre du maillage de surfaces. Et, dans un deuxième

temps, nous développons notre approche de l’approximation du maillage par la

transformation harmonique. Elle est constituée de deux étapes : la transformation de bord

et la transformation d’intérieur. Enfin, nous présentons des remaillages effectués à l’aide de

cette méthode.

2. Principe de la transformation harmonique

La transformation harmonique est un outil mathématique basé sur la minimisation

de l’énergie fonctionnelle du maillage original 3D pour l’obtention du maillage plan 2D. Le

concept est étroitement lié à la notion de géodésiques. Une géodésique est la connexion la

plus courte entre deux points dans un continuum métrique, comme une variété

riemannienne [EELL64]. En particulier, la généralisation de l'intégrale d'énergie, pour les

applications entre les variétés riemanniennes, mène au concept de transformation

harmonique. La transformation harmonique est calculée avec les points critiques de

l'intégrale correspondante, où la densité d'énergie est définie en termes intrinsèques à la

géométrie des variétés de source et de cible, et à l’application entre elles [LEES99].

Formellement, la transformation harmonique est définie comme suit :

NMh →: , (V-1)

où M et N sont les deux variétés qui ont respectivement les dimensions m et n .

Dans notre algorithme, nous portons notre attention sur le cas particulier pour

lequel M est une surface D avec une topologie de disque dans l’espace tridimensionnel,

et N est une région convexe P dans 2R . Dans ce cas, le problème a une solution unique

pour la transformation harmonique. Etant donné un homéomorphisme b entre les bords de

D et P , il existe une transformation harmonique unique PDh →: correspondante à b

qui minimise la dispersion métrique (énergie fonctionnelle) de D [EELL88]. La dispersion

métrique est une mesure de la zone sur laquelle la transformation étire des régions de petit

diamètre dans D . Donc, nous pouvons l’assimiler à une mesure de déformation métrique.

En plus de la propriété qui minimise la déformation métrique, la transformation

harmonique a un certain nombre de propriétés à considérer [ECK95] [ZHAN99] :


121

• elle est infiniment différentiable sur chaque face de D .

• elle est un plongement qui permet une bijection entre deux variétés D , P .

• elle est intrinsèque à deux variétés D , P .

Cependant, la transformation harmonique présente une certaine quantité de

compression de zone. C'est inévitable, parce que la région a une grande zone relativement à

sa circonférence, par conséquent, le plongement doit présenter une certaine déformation

des longueurs d’arêtes. La transformation harmonique tend à minimiser une telle

déformation tout en mettant à jour la propriété de plongement et en essayant de préserver le

ratio de l’aspect des triangles [DUCH97].

La transformation harmonique peut être résolue par les équations différentielles

partielles. Mais, en raison du coût de calcul élevé lié à la résolution de ces équations et de

la nature discrète des surfaces traitées en pratique, il est normal de rechercher une

approximation de la transformation harmonique. Eck [ECK95] a proposé une

approximation de la transformation harmonique qui se décompose en deux étapes : la

transformation de bord et la transformation d’intérieur. Dans les parties suivantes, nous

expliquons en détail cette procédure.

2.1 Transformation de bord

Pour la première étape de la transformation harmonique PDh →: , nous

construisons la transformation de bord. C’est à dire, en considérant une région convexe P

dans 2R pour le domaine cible, elle transforme le bord de la surface ),( RsD c avec le

sommet central cs et le rayon R sur le bord de P .

bb PDb →: , (V-2)

où b est la transformation de bord, et bD , bP sont les bords de D , P .

Dans les travaux antérieurs, la méthode de Eck sélectionne, suivant une stratégie

donnée, quelques sommets appelés coins (corners) parmi les sommets de bD . Ces derniers


sont transformés sur les sommets de bP , qui se situent sur un cercle et dont les angles sont

proportionnels aux longueurs d'arc des segments de bD joignant les coins correspondants

[ECK95]. La méthode de Zhang [ZHAN99] prend tous les sommets de bD pour la

transformation de bord et les rayons R sont mesurés par la distance le long de la surface de

D entre le sommet central et chacun des sommets de bD .

Notre approche est différente des méthodes précédentes dans le sens où le sommet

central cs est un sommet de D qui se situe près du centre. Le calcul du rayon R, consiste à

moyenner l’ensemble des distances géodésiques entre le sommet central et tous les

sommets de bord [MATA97]. Autrement dit, nous considérons que tous les rayons ont la

même valeur. Enfin, le sommet central et les sommets de bD sont projetés sur le bord d’un

cercle par la transformation conforme examinée dans le Chapitre IV-2. Par exemple, la

transformation de bord du maillage local du cœur est illustrée par la Figure V-1.

(a) Maillage local du cœu

les sommets de bo

Figure V-1. T

Notre transforma

irrégulièrement ou réguliè

maillage 3D surfacique

(paramétrisation et déco

l’image transformée et

ondelettes.

Transformation de bord

rdl

: Sommets de bo : Sommet centra

122

r avec (b) Sommet central et sommets de bord

rd. transformés sur une région convexe 2D.

ransformation de bord du maillage local du cœur.

tion de bord permet, avec un maillage triangulaire 2D

rement subdivisé, de paramétriser facilement et de décomposer le

obtenu par les ondelettes. Ces deux opérations sont possibles

mposition), car le maillage synthétisé 2D a le même rayon que

génère les filtres pour une représentation multirésolution en


2.2 Transformation d’intérieur

La transformation d’intérieur projète les sommets intérieurs de D dans l’intérieur

de P . Dans la transformation harmonique, nous utilisons l’équation (V-3) qui présente la

fonction de l’énergie d’une configuration de ressorts, chaque ressort étant placé le long des

arêtes deD [ECK96].

{ }

2

)(Arêtes,

)(s)(s2

1)( ∑

∈

−=Dji

jiij hhkhE , (V-3)

où )( ish et )( jsh sont les sommets 2D obtenus par la transformation harmonique des

sommets is et js de D , et ijk sont les raideurs des ressorts avec la définition de Eck :

)s,s,(

)LLL(

)s,s,(

)LLL()(s)(

222222

mji

ijjmim

lji

ijjlilmlij sAiresAire

ctgsctgk−+

+−+

=+= θθ . (V-4)

ijL est la longueur euclidienne entre deux sommets is et js et chaque arête intérieure est

incidente à deux faces { } Dss lji ∈,s, et { } Dss mji ∈,s, (Figure V-2). Pour le cas

particulier d’une raideur de ressort associée à une arête de bord, l’équation (V-4) se réduit

qu’à un seul terme.

Les raideurs ijk peuvent être aussi définies comme suit [KENT92] [ZHAN99] :

ij

ijkL

1= . (V-5)

is ms

)( msθ

)( lsθ

ls js

Figure V-2. Définition de la raideur ijk qu’un

123

ressort (V-4) entre les sommets is et js [Eck96].


124

La transformation harmonique, par cette définition de ijk (V-5), est censée induire une

distorsion métrique importante. Cependant, dans nos maillages expérimentaux, il y a peu

de différences entre les maillages transformés par les deux définitions de ijk (équations

(V-4) et (V-5)). Quand le ratio de la longueur d’arête change de manière significative en

travers de la surface, la différence entre deux maillages est plus visible. En pratique, nous

avons obtenu des maillages décomposables similaires. En conséquence, dans toutes nos

expérimentations, nous utilisons la définition (V-5) qui, par sa formulation plus simple,

induit une diminution du temps de calcul non négligeable.

Enfin, nous pouvons obtenir la transformation harmonique optimale h par la

minimisation de l’énergie fonctionnelle )(hE . Etant donné n sommets intérieurs de D ,

nisi ,,2,1, �= , la transformation optimale est calculée par la différentiation de )(hE par

rapport à )( ish pour ni ,,2,1 �= :

∈=−=∂∂ ∑

=j

n

ijiij

i

shhkh

hE0,))(s)(s(

)(s

)(

1

1-anneau de voisinage de is . (V-6)

L’équation (V-6) peut être réécrite sous forme matricielle :

ibp SCS = , (V-7)

où [ ]T)()( n1i shsh �=S avec [ ]yixii shshsh )()()( = . La matrice iS de dimension

2n× est composée des coordonnées inconnues des sommets intérieurs de P . La matrice

C est une matrice carrée de dimension nn× . Les éléments de cette matrice sont les

raideurs ijk calculées par l’information de connectivité dans D . La matrice bpS est

déterminée par la condition de bord. Les éléments sont pondérés par les raideurs des

ressorts.

L’équation (V-7) peut être résolue au sens des moindres carrés :

[ ] bpi SCCCS T1T −= (V-8)

Donc l’approximation de la transformation harmonique peut être résolue complètement.

Dans la partie suivante, nous développons une représentation multirésolution en ondelettes

basée sur cette approximation.


125

3. Notre proposition pour un remaillage par transformation harmonique

L’approximation de la transformation harmonique offre la base pour la

paramétrisation du maillage initial 3D. Plus précisément, l’image 2D obtenue par cette

approximation constitue un cercle maillé qui a la même connectivité que le maillage initial

3D, alors, un autre cercle maillé dans un espace bidimensionnel peut être paramétrisée avec

cette image.

Le maillage 2D comparé pour la paramétrisation avec l’image transformée est

synthétisé simplement en subdivisant le maillage de basse résolution et en normalisant les

valeurs des sommets pour former un cercle qui a le même rayon que l’image transformée.

Pour le maillage de basse résolution, nous avons choisi un hexaèdre (Figure V-3).

(a) (b)

Figure V-3. Maillage de basse résolution d’un hexaèdre (a) et la normalisation de sa

subdivision à la résolution j=4 (b).

Comme nous l’avons examiné dans le Chapitre I-4 (page 35), la subdivision

récursive du maillage de basse résolution, est associée à une collection de filtres d’analyse

et de synthèse à chaque résolution pour une représentation sur une base d’ondelettes. En

particulier, dans les Chapitres II et IV (page 56, 100), nous avons proposé une méthode de

décomposition en ondelettes pour la subdivision irrégulière. Ce principe est transposable

dans l’espace bidimensionnel. Autrement dit, les filtres obtenus dans l’espace

bidimensionnel sont utilisables pour le maillage 3D approximé. Nous prouvons, dans les

paragraphes suivants, que notre approche est cohérente dans le cadre de son application à


126

quatre exemples de volumes 3D réels (morphologie du poumon gauche, du cœur, de la tête,

et du poumon droit) issus d’acquisitions par des techniques d’imagerie médicale [LÖTJ98].

Les Figures V-4 et V-5 expliquent les approximations des maillages originaux par

la paramétrisation, le remaillage, et l’analyse multirésolution en ondelettes basé sur la

subdivision régulière. Plus précisément, les figures V-4 (a) et V-5 (a) sont les maillages

originaux 3D, du poumon gauche et du cœur. Les sous-figures V-4 (b), (c) et V-5 (b), (c),

représentent, respectivement, les images 2D maillées et les sommets 2D dans un cercle par

la transformation harmonique. Dans ces images maillées les sommets ont la même

connectivité et donc les mêmes index que ceux des maillages originaux. Ils sont

paramétrisés avec le maillage 2D de la Figure V-3 (b). En conséquence, nous pouvons

retrouver les maillages 3D de l’approximation qui ont la connectivité de subdivision

comme le montrent les figures V-4 (d) et V-5 (d). Les figures V-4 (e), (g) et V-5 (e), (g)

illustrent la décomposition multirésolution des volumes remaillés.

La Figure V-6 représente l’application à la subdivision irrégulière. La figure V-6 (e)

présente l’approximation obtenue à la résolution j=4 et 5 en considérant les régions

complexes du maillage original de la tête. Pour cette approximation, le maillage 2D est

d’abord synthétisé avec l’algorithme de détermination du niveau de subdivision qui est

défini par les paramètres de courbure et du nombre de sommets proposé dans le Chapitre

IV-3, page 94. Ce maillage montre la subdivision irrégulière (figure V-6 (d)). L’image

transformée (figure V-6 (e)) est paramétrisée avec le maillage subdivisé irrégulièrement

dans un espace bidimensionnel. Enfin, les filtres locaux calculés par la subdivision

irrégulière sont appliqués au maillage approximé (figures V-6 (g) et (i)). En particulier,

nous présentons les maillages approximés en couleurs (figures V-6 (b), (f), (h), et (j)). La

même procédure est appliquée au poumon droit comme le montre la Figure V-7.


127

(a) Maillage original : (d) Remaillage à la

poumon gauche. résolution j=4.

(b) Transformation harmonique de (a). (e) Approximation de (d) à j=3.

(c) Sommets 2D transformés. (f) Approximation de (e) à j=2.

Figure V-4. Transformation harmonique et décomposition en ondelettes basée sur la

subdivision régulière du maillage du poumon gauche.


128

(a)Maillage original : cœur. (d) Remaillage à la résolution j=4.

(b) Transformation harmonique de (a). (e) Approximation de (d) à j=3.

(c) Sommets 2D transformés. (f) Approximation de (e) à j=2.


subdivision régulière du maillage du cœur.


129

(a) Maillage original : tête. (b) Maillage original en couleur.

(c) Transformation harmonique de (a). (d) Image 2D subdivisé irrégulièrement.

(e) Remaillage à la résolution j=4 et 5. (f) Remaillage en couleur.


130

(g) Approximation de (e) à j=4. (h) Approximation en couleur de (f) à j=4.

(i) Approximation de (e) à j=3. (j) Approximation en couleur de (f) à j=3.


subdivision irrégulière du maillage de la tête.


131

(a) Maillage original : poumon droit. (b) Maillage original en couleur.

(c) Transformation harmonique de (a). (d) Image 2D subdivisé irrégulièrement.

(e) Remaillage à la résolution j=4 et 5. (f) Remaillage en couleur.


132

(g) Approximation de (e) à j=4. (h) Approximation en couleur de (f) à j=4.

(i) Approximation de (e) à j=3. (j) Approximation en couleur de (f) à j=3.


subdivision irrégulière du maillage du poumon droit.


133

4. Conclusions

Dans ce chapitre, nous avons étendu la méthode proposée dans le Chapitre IV-4

pour la paramétrisation d’un maillage original de connectivité quelconque.

Cette approche améliore remarquablement la paramétrisation du maillage original.

C’est à dire qu’un maillage approximé par cette paramétrisation est géométriquement plus

proche du maillage original que celui obtenu avec la méthode par transformation conforme.

Le maillage résultant a la connectivité de subdivision qui permet une représentation

multirésolution en ondelettes. Notons que cette dernière approche réduit notablement le

temps de calcul nécessaire pendant la procédure de paramétrisation du maillage, puisque

tous les calculs sont réalisés dans l’espace bidimensionnel.

Néanmoins, la paramétrisation qui minimise la déformation métrique, est encore

une perspective à atteindre. Aussi, la fusion de deux différents maillages obtenus n’est pas

encore résolue dans ce chapitre. Dans le chapitre suivant, nous développons une méthode

pour une fusion de maillages locaux.

Chapitre VI : Vers une fusion de maillages locaux

135

CHAPITRE VI

VERS UNE FUSION DE MAILLAGES LOCAUX

1. Introduction

Nos travaux précédents de ce mémoire de thèse, étaient toujours consacrés aux

maillages locaux. La fusion de différents maillages locaux est un problème essentiel à

résoudre.

Dans ce chapitre, nous proposons un algorithme de fusion qui permet l’association

de maillages locaux et la décomposition en ondelettes. Pour cela, nous transformons les

maillages locaux originaux en images maillées 2D à l’aide de la transformation

harmonique (Chapitre V-2, page 120). Ensuite, avec chaque image locale transformée, les

sommets du maillage de basse résolution subdivisé sont paramétrisés. En particulier, pour

le maillage de basse résolution, un polyèdre simple 3D est choisi comme, par exemple, un

octaèdre. Enfin, la fusion est appliquée aux bords des maillages locaux construits par la

paramétrisation. Il permet de reconstruire parfaitement un maillage décomposable sur une

base d’ondelettes. Nous montrons l’efficacité de cette méthode par les résultats

expérimentaux.

2. Transformation de maillages locaux sur un même espace 2D

La première étape pour une fusion de maillages locaux, est la transformation de

chaque maillage local sur un plan 2D. Ces images peuvent être obtenues par la

transformation harmonique proposée dans le Chapitre V-2 (page 120). Nous expliquons

cette procédure comme suit :


136

• Calcul du centre de gravité du maillage original M .

• Transformation dans un nouveau système de coordonnées centré sur le centre de

gravité (Figure VI-1).

Figure VI-1. Transformation du maillage du thorax dans un nouveau système de

coordonnées.

• Partage du maillage original M en deux morceaux, L1M et L2M .

Nous restreignons ici le partage à deux parties. Rien ne s’oppose à la généralisation

à n parties (n ≥ 2). Cette restriction justifie le titre de ce chapitre. La division est

faite afin que les maillages locaux (L1M , L2M ) soient convexes. En conséquence,

les maillages divisés possèdent en commun les sommets à la frontière des deux

parties. Par exemple, la Figure VI-2 représente les maillages locaux du thorax

divisés par l’axe Y.

(a) L1M de maillage du thorax : face (b) L2M de maillage du thorax : dos

2240 sommets et 1176 faces. 2214 sommets et 1163 faces.

Figure VI-2. Maillage du thorax divisé par l’axe Y.


137

• Transformation harmonique de chaque maillage local.

Dans un premier temps, le maillage local L1M est transformé en une image 2D en

utilisant la transformation de bord et la transformation d’intérieur expliquées dans

le Chapitre V-2 (page 120). Une autre image 2D pour le maillage local L2M , peut

être obtenue uniquement par sa transformation d’intérieur. Puisque L2M a les

mêmes sommets de bords (frontière) que L1M . Nous considérons que les

coordonnées des sommets à la frontière de L2M sont identiques à celles de L1M .

Voici les images obtenues par la transformation harmonique pour deux maillages

locaux du thorax :

(a) Transformation harmonique (b) Transformation harmonique

du maillage L1M du thorax. du maillage L2M du thorax.

Figure VI-3. Transformation harmonique des deux maillages locaux du thorax.

3. Fusion de maillages locaux

La paramétrisation est une procédure importante pour obtenir une approximation du

maillage original qui est décomposable en ondelettes. La méthode pour la paramétrisation

de maillages locaux proposée dans le Chapitre V-3 (page 125), est basée sur un maillage

synthétisé 2D comme, par exemple, un hexaèdre. Cependant, ce maillage 2D ne suffit pas,

pour construire une approximation du maillage original par un maillage qui a la

subdivision de connectivité. C’est à dire que le maillage synthétisé 2D a une discontinuité

sur les sommets de frontière ou de bords pour la décomposition en ondelettes. Les filtres

d’analyse, calculés dans un espace bidimensionnel, ne fonctionnent pas aux sommets de

frontière. Donc, il est nécessaire d’utiliser un maillage de basse résolution 3D pour la

paramétrisation.


138

Nous présentons en détail les procédures pour obtenir une approximation

décomposable du maillage original :

• Construction et subdivision d’un maillage de basse résolution, puis déformation et

projection sur l’espace 2D.

Nous avons choisi un octaèdre pour le maillage de basse résolution (Figure VI-4

(a)). Ce maillage est construit afin que la distance entre l’origine et chaque sommet

soit de même longueur que celle du rayon du maillage transformé en 2D. Ensuite il

est subdivisé régulièrement ou irrégulièrement jusqu’à la résolution voulue en

fonction de nombre de sommets originaux et des paramètres calculés comme la

courbure et la densité de région (Chapitre IV-3, III-2, page 100). En conséquence, le

maillage subdivisé est déformé pour les coordonnées x, y, et la projection sur

l’espace 2D transforme les coordonnées z en 0. La Figure VI-4 est un exemple qui

illustre la faisabilité de ces procédures.

(a) Maillage de basse (b) Octaèdre subdivisé

résolution : Octaèdre. à j=4.

(c) Maillage déformé de la Figure VI-3 (b). (d) Maillage 2D obtenu par projection.

Figure VI-4. Construction du maillage de basse résolution, subdivision régulière à la

résolution j=4, déformation, et projection de l’octaèdre subdivisé.


139

• Paramétrisation du maillage 2D obtenu par la projection du maillage de basse

résolution subdivisé, avec les maillages locaux originaux transformés.

Dans un premier temps, comme le maillage original est divisé en deux morceaux, le

maillage projeté est aussi divisé en deux morceaux. Ensuite, les sommets à

l’intérieur du maillage projeté local sont paramétrisés avec chaque maillage local

original. Pour cela, nous utilisons la méthode de paramétrisation présentée dans le

Chapitre IV-4 (page 113). En conséquence, avec les sommets originaux de bord, les

sommets de bord du maillage projeté sont aussi paramétrisés. Chaque sommet de

bord du maillage projeté est situé entre deux sommets originaux de bord. Donc,

nous pouvons calculer les coordonnées barycentriques avec deux sommets

originaux les plus proches. Enfin, la fusion de différents maillages locaux est

réalisée au bord. Chaque maillage local est adjacent aux mêmes sommets de bord,

alors, la fusion de deux maillages locaux paramétrisés peut être accomplie au bord

des maillages. Elle permet de construire complètement le remaillage du maillage

original.

La Figure VI-5 montre la technique de paramétrisation par un exemple du maillage

du thorax. Les figures VI-5 (a) et (c) représentent les images 2D maillées obtenues

par la transformation harmonique de maillages locaux, et les sommets d’intérieur de

l’octaèdre subdivisé à la résolution j=5 projetés sur l’espace 2D. Les figures VI-5

(b) et (d) sont, respectivement, les sommets 2D au bord du thorax et de l’octaèdre

subdivisé.

• Décomposition en ondelettes après remaillage.

En subdivisant régulièrement ou irrégulièrement le maillage de basse résolution,

nous pouvons calculer les filtres d’analyse par la technique présentée dans les

Chapitres II et IV (page 56, 100). Ces filtres d’analyse sont appliqués au nouveau

maillage obtenu.

La figure VI-6 présente respectivement le remaillage du thorax à la résolution j=5,

et les maillages d’approximation à la résolution j=0, 1, 2, 3,4. De plus, nous

représentons les résultats expérimentaux pour le remaillage du cœur sur la Figure

VI-7 et du poumon gauche sur la Figure VI-8.

L’algorithme présenté dans ce chapitre, est remarquable pour fusionner deux

remaillages partiels du maillage original.


140

Figure VI-5. Transformation harmonique de maillages locaux du thorax et les sommets

locaux obtenus par la projection de l’octaèdre subdivisé à la résolution j=5.

(a) Transformation harmonique de L1M du thorax.Les sommets (bleu) d’intérieur sont ceux del’octaèdre local projetés sur l’intérieur del’espace 2D.

(c) Sommets de bord du maillagedu thorax transformé.

(d) Sommets du bord du maillagede l’octaèdre projeté.(b) Transformation harmonique de L2M du thorax.

Les sommets (bleu) d’intérieur sont ceux d’unautre octaèdre local projetés sur l’intérieur del’espace 2D.


141

(a) Maillage original : thorax. (b) Remaillage du thorax à j=5.

(c) Approximation à j=4. (d) Approximation à j=3. (e) Approximation à j=2.

(f) Approximation à j=1. (g) Approximation à j=0.


142

(h) Maillage du thorax en couleur. (i) Remaillage du thorax en couleur j=5.

(j) Approximation en couleur à j=4. (k) Approximation à j=3. (l) Approximation à j=2.

(m) Approximation à j=1. (n) Approximation à j=0.

Figure VI-6. Remaillage du maillage original du thorax à la résolution j=5, et les

approximations du remaillage par la décomposition en ondelettes à j=0, 1, 2, 3, 4.


143

(a) Maillage du cœur en couleur. (b) Remaillage du cœur en couleur j=4.

(c) Approximation à j=3. (d) Approximation à j=2. (e) Approximation à j=0.

Figure VI-7. Remaillage du maillage original du cœur à la résolution j=4, et les

approximations du remaillage par la décomposition en ondelettes à j=1, 2, 3.


(a) Maillage du poumon gauche.(d) Maillage de base irrégulièrement subdivisé à la résolution j=4 et 5.

Octaèdre 1

Octaèdre 2

e (d).
(b) Transformation harmonique (e) Projection de l’octaèdre 1 d
de L1M du poumon gauche.

(c) Transformation harmonique (f) Projection de l’octaèdre 2 de (d).

de L2M du poumon gauche.

144


à

Fap

(g) Remaillage du poumon (h) Approximation j=4.

gauche à j=4,5.

145

(i) Approximation à j=3. (j) Approximation à j=2.

(k) Approximation à j=1. (l) Approximation à j=0.

igure VI-8. Remaillage du maillage original du poumon gauche à la résolution j=4, 5 et lesproximations du remaillage par décomposition en ondelettes à j=1, 2, 3, 4.


146

4. Conclusions

Dans ce chapitre, nous avons développé un algorithme qui fusionne les différents

maillages locaux. La fusion de maillages locaux permet de reconstruire complètement un

remaillage du maillage original. Ce remaillage ressemble géométriquement au maillage

original, et peut être décomposé sur une base d’ondelettes bi-orthogonales.

Cette contribution est le travail qui complète nos algorithmes précédents. Elle

constitue un travail essentiel de notre thèse.

Chapitre VII : Filtrage non-linéaire des maillages surfaciques

147

CHAPITRE VII

FILTRAGE NON-LINEAIRE DES MAILLAGESSURFACIQUES

1. Introduction

En imagerie médicale 3D les maillages surfaciques sont obtenus par segmentation

d’un volume de voxels à l’aide de l’algorithme du marching cube [LORE87]. Si le volume

n’a pas fait l’objet d’une présegmentation et d’un lissage, le marching cube réalise une

segmentation qui peut être assimilée, en première approximation, à un simple seuillage.

Cette technique conduit à des surfaces rugueuses que nous considérons, dans notre

modélisation du problème du lissage de surface, comme la somme d’une surface lisse et

d’un bruit additif sur les coordonnées des sommets des triangles.

Dans ce chapitre, nous proposons d’étendre la technique du filtrage non-linéaire,

par seuillage des coefficients d’ondelettes, introduite par Donoho, à des surfaces maillées

décomposables sur une base d’ondelettes [DONO94]. Ce filtrage utilise une idée simple :

les petits coefficients d’ondelettes représentent essentiellement la contribution du bruit au

maillage. Si ces coefficients sont forcés à zéro, le maillage reconstruit sera plus lisse. Ce

filtrage pourra annuler des petits coefficients du maillage non bruité. Dans ce cas, la

dégradation introduite sera faible et conduira à une approximation optimale au sens des

moindres carrés du maillage idéal pour un nombre de coefficients d’ondelettes donnés.

Le schéma d’obtention d’un maillage pour le diagnostic médical serait alors le

suivant :

• Reconstruction d’un volume (voxels) : Tomographie X, tomographie par émission

de positons, imagerie par résonance magnétique nucléaire …


148

• Maillage par Marching Cube.

• Suppression des objets non connexes (optionnel).

• Remaillage, afin d’obtenir un maillage décomposable sur une base d’ondelettes (cf.

Chapitres VI).

• Décomposition en ondelettes.

• Seuillage des coefficients d’ondelettes (nouvelle proposition)

• Reconstruction (synthèse) du maillage.

2. Filtrage non-linéaire des maillages 3D

Notre objectif est de démontrer la faisabilité de l’extension de la méthode de

Donoho à des maillages surfaciques bruités. Pour cela, nous réalisons une simulation qui se

déroule suivant les étapes suivantes :

• Choix d’un maillage original issu de l’imagerie médicale.

Ce maillage est noté joM .

• Remaillage par transformation harmonique suivant la méthode proposée dans les

chapitres V et VI.

Ce maillage est noté jM .

• Ajout d’un bruit aléatoire de moyenne nulle et de variance ( )2jσ sur les

coordonnées des sommets.

Les réalisations de bruits sont indépendantes sur les trois coordonnées x , y , z . Le

maillage bruité est noté jbM . On a

( ) N22

/∑ −=i

jib

ji

j ssσ , (VII-1)

où jis représente un sommet ( )T

,, ji

ji

ji

ji zyxs = et N est le nombre de sommets.


149

• Décomposition du maillage original jM et du maillage bruité jbM à la résolution

1j − .

On obtient ainsi les maillages d’approximation original et bruité à la résolution

1j − notés, respectivement, 1jM − et 1jbM − ainsi que les coefficients de détails

notés, respectivement, 1jD − et 1jbD − . Rappelons que la matrice des coefficients de

détails 1jD − est définie par

( ) ( ) ( )[ ]TTTT 1jN

1j1

1j0

1j dddD −−−− = � , (VII-2)

avec [ ]T1ji

1ji

1ji

1ji zyxd −−−− = ,

où ix , iy , iz sont les coordonnées de détail du sommet d’indice i .

• Calcul de l’écart quadratique lié au bruit.

( ) ∑=

−−− −=N

1i

1jib

1ji

1j dd N22

/σ . (VII-3)

• Calcul du seuil :

1j1j1jS −−− = σµ , (VII-4)

où 1j −µ est une constante arbitraire que nous allons faire varier pour étudier

l’amélioration de la variance du bruit résiduel après seuillage.

• Filtrage par seuillage des coefficients d’ondelettes. Les méthodes suivantes sont

évaluées :

a) ‘Hard-thresholding’ (Figure VII-1 (a)).

Si 1j1jib Sv −− < où 1j

ibv − représente les coordonnées 1jibx − , 1j

iby − , 1jiz − ,

alors 0=−1jibv .

Sinon 1jibd − reste inchangée.


150

b) ‘Soft-thresholding’ [DONO95] (Figure VII-1 (b)).

Si 1j1jib Sv −− < , 0=−1j

ibv ,

sinon

1j1jib

1jib Svv --−− = si 0>−1j

ibv ,

1j1jib

1jib Svv -+= −− si 0<−1j

ibv .

1jibv − après seuillage 1j

ibv − après seuillage

1jibv − 1j

ibv −

(a) Hard-thresholding. (b) Soft-thresholding (seuillage de Donoho).

Figure VII-1. Deux méthodes de seuillage.

• Reconstruction du maillage filtré à la résolution j .

Ce maillage est noté jfM .

• Calcul de l’écart quadratique sur l’ensemble des sommets entre jM et jfM

(formule similaire à l’équation (VII-3)).

Dans cette procédure, le seuillage Soft-Thresholding permet de reconstruire un

maillage plus lisse que par la méthode Hard-Thresholding. En conséquence, par essais

successifs de la constante arbitraire 1j −µ , nous pouvons trouver 1j −µ tel que l’écart

quadratique obtenu entre jM et jfM soit minimal. Ceci signifie qu’on peut reconstruire le

maillage à débruitage optimal avec 1j −µ trouvée. Nous prouvons l’efficacité de notre

algorithme par les résultats simulés avec les maillages médicaux du cœur et du poumon.

S j-1

-S j-1

S j-1

-S j-1


151

(a) Maillage original du cœur à j = 4 : 4M . (b) Maillage bruité du cœur à j = 4 : 4bM .

µ 3

(c) Graphe de l’écart quadratique entre 4M et 4fM par hard-thresholding en fonction de 3µ .

µ 3

(d) Graphe de l’écart quadratique entre 4M et 4fM par soft-thresholding en fonction de 3µ .

Ecart quadratique

Ecart quadratique


152

(e) 4fM par hard-thresholding optimal. (f) 4

fM par soft-thresholding optimal.

Figure VII-2. Filtrage non-linéaire du maillage bruité du cœur.

(a) Maillage original du poumon à j = 4 : 4M (b) Maillage bruité du poumon à j = 4 : 4bM

µ 3

(c) Graphe de l’écart quadratique entre 4M et 4fM par hard-thresholding en fonction de 3µ .

Ecart quadratique


153

µ 3

(d) Graphe de l’écart quadratique entre 4M et 4fM par soft-thresholding en fonction de 3µ .

(e) 4fM par hard-thresholding optimal. (f) 4

fM par soft-thresholding optimal.

Figure VII-3. Filtrage non-linéaire du maillage bruité du poumon.

Ecart quadratique


154

3. Conclusions

Dans ce chapitre, nous avons étendu la méthode du filtrage non-linéaire, par

seuillage des coefficients d’ondelettes, introduite par Donoho à des surfaces maillées

décomposables sur une base d’ondelettes.

Cette technique peut être appliquée facilement aux images volumiques médicales

bruitées. Elle permet de reconstruire le maillage lisse et débruité par seuillage des petits

coefficients d’ondelettes. Cependant, la définition du seuil optimal n’est pas résolue. La

validation croisée est une voie pour résoudre le problème [WEYR98].

Conclusion générale et perspectives

155

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES

Cette thèse a été consacrée à l’analyse et la synthèse de surfaces maillées par

transformation sur une base d’ondelettes pour la représentation progressive hiérarchique

multirésolution. Les travaux antérieurs à notre recherche ne permettent pas de traiter

efficacement une région d’intérêt ou une région complexe qui est représentée par un rayon

de courbure élevé du maillage original. Ils emploient les algorithmes basés sur la

subdivision régulière, de ce fait, ils ne considèrent pas la complexité géométrique du

maillage. Ils ne sont donc pas adaptés à une représentation locale du maillage et ne

répondent pas aux besoins médicaux. Ceci nous a conduit à une étude fondamentale sur la

constitution d’un maillage local acceptable. A partir de cette étude, nous avons proposé des

méthodes qui surmontent les inconvénients des méthodes précédentes, et qui sont très

efficaces pour la constitution d’un maillage local.

Notre contribution à la décomposition en ondelettes porte sur la construction

d’ondelettes locales ainsi que des filtres d’analyse et de synthèse associés. Nous proposons

un remaillage global et local pour l’analyse multirésolution adaptée à la courbure locale.

Nous montrons également l’application du filtrage non linéaire des coefficients

d’ondelettes au lissage et au débruitage des maillages. Nous avons montré que ces

méthodes sont efficaces pour traiter la surface des objets 3D. Ainsi, l’association des

ondelettes avec la subdivision de surfaces nous a donné un résultat très probant pour des

images médicales.

Nos propositions et leurs résultats principaux sont rappelés en détail ci-dessous.

Notre méthode de décomposition locale en ondelettes de maillages triangulaires

conduit à une généralisation de la théorie des ondelettes et à des améliorations dans la

représentation du maillage local. Les techniques présentées ne généralisent pas seulement

le produit scalaire, mais permettent aussi de générer et d’utiliser des filtres locaux


156

d’analyse et de synthèse. Ceci signifie qu’une région d’intérêt, ou une région à géométrie

complexe, ou une région avec une courbure élevée de la surface, peut être représentée

efficacement en utilisant les ondelettes bi-orthogonales locales.

Nous avons proposé également une nouvelle méthode de subdivision qui permet la

simplification des maillages triangulaires quelconques à l’aide de la transformée en

ondelettes. Contrairement aux travaux précédents, cette dernière méthode s’applique sans

remaillage. C’est à dire qu’à partir d’un maillage quelconque, nous pouvons obtenir un

maillage plus simple permettant une analyse multirésolution. De plus, au moment de la

reconstruction du maillage haute résolution à partir du maillage de basse résolution, il suffit

de fournir à l’algorithme de subdivision l’information lui permettant de savoir si une face

se subdivisera en une, deux, trois, ou quatre faces. Une technique de compression sans

perte prouve l’efficacité de notre algorithme pour une compression des maillages.

Nous avons proposé deux méthodes de remaillage local et global. Une première

méthode de paramétrisation locale de maillages quelconques ayant une connectivité

irrégulière utilise la transformation conforme. Le résultat de la paramétrisation locale est

nommé remaillage. Il permet une décomposition du maillage sur une base d’ondelettes.

Ainsi, nous avons introduit la décomposition et reconstruction basée sur la subdivision

locale. Dans cet algorithme, la décision de niveau de subdivision est calculée

automatiquement en fonction de la courbure locale et de la densité de région.

Un deuxième algorithme utilise la transformation harmonique et une fusion de

différents maillages locaux. Cette approche améliore remarquablement la paramétrisation

du maillage par transformation conforme. De plus, elle réduit notablement le temps de

calcul nécessaire pendant la procédure de la paramétrisation du maillage, puisque tous les

calculs se réalisent dans l’espace bidimensionnel. Pour une fusion de différents maillages

locaux, les approximations de maillages locaux originaux sont d’abord obtenues par la

transformation harmonique. Ensuite, la fusion est appliquée sur les bords de maillages

locaux. Elle permet de reconstruire complètement un maillage par analyse multirésolution.

Cette contribution est essentielle et complète les algorithmes précédents de notre thèse.

En dernier lieu, notre intérêt s’est porté sur une application spécifique intéressante

en l’imagerie médicale : le filtrage non-linéaire des maillages. Cette méthode, à partir d’un

maillage bruité, permet d’obtenir un maillage lisse et optimal au sens des moindres carrés.

Néanmoins, pour les méthodes décrites dans ce mémoire de thèse, nous

développons ci-dessous les trois points qui devraient être optimisés :


157

• L’algorithme de décomposition directe sur une base d’ondelettes ne s’applique que

sur des maillages de surfaces fermées. De plus, sur certains maillages, il n’arrive

pas à simplifier la forme. Ceci est dû à la présence de branches du maillage trop

petites pour être simplifiées. Le procédé de décomposition en ondelettes utilisé ici

considère que toutes les faces d’un maillage sont d’une taille similaire.

• Pour la reconstruction du maillage décomposable en ondelettes par remaillage, la

minimisation de la déformation métrique du maillage original est encore un objectif

à atteindre.

• Pour la méthode de filtrage non linéaire des maillages, le choix automatique du

seuil est un problème non résolu. La validation croisée est une voie pour résoudre

ce problème.

Références bibliographiques

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Liste des publications personnelles

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[KIM00] KIM Y. S., VALETTE S., JUNG H. Y., PROST R., "Local Remeshing and

Wavelet Decomposition for 3D Surfaces", Juillet 2000, p.16, soumis à la

revue IEEE Transaction on Image Processing.

[KIM01] KIM Y. S., VALETTE S., PROST R., "Adaptive Wavelets Based

Multiresolution Modeling of Irregular Meshes via Harmonic Maps", Janvier

2001, soumis au congrès IEEE International Conference on Image

Processing( ICIP-01), Thessaloniki, Greece.

[VALE99a] VALETTE S., THIBON F., KIM Y. S., JUNG H. Y., MAGNIN I., PROST

R., "Décomposition en Ondelettes de Maillages Triangulaires 3D

Irrégulièrement Subdivisés. Application à la Compression", "17ème colloque

sur le Traitement du Signal et des Images, GRETSI-99, Vannes, FRANCE,

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[VALE99b] VALETTE S., KIM Y. S., JUNG H. Y., MAGNIN I., PROST R., "A

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Mesh", IEEE International Conference on Image Processing, ICIP-99,

Kobe, JAPAN, October 1999, Vol.1, pp.171-174.

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENANCE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Nom : KIM Date de soutenance : 29 Janvier 2001Prénom : Yun-Sang

Titre : Analyse adaptative et synthèse multirésolution de surfaces maillées par décomposition sur une base d’ondelettes.

Nature : Doctorat Numéro d’ordre : 2001 ISAL 0003Formation doctorale : Images et systèmes

Code B.I.U._Lyon : T 50/210/19 / et bis Classe :

RESUME :

La décomposition du maillage triangulaire d’un objet 3D sur une base d’ondelettes, suivant l’approche de Lounsbery,nécessite un maillage dont la connectivité est obtenue par subdivisions régulières de toutes les faces des triangles d’unmaillage de base. Cette méthode ne permet pas une adaptation locale de la subdivision en fonction de la courbure ou,plus généralement, de la complexité de l’objet. D’autre part, elle ne permet pas la décomposition des maillagesirréguliers, comme, par exemple, ceux obtenus par l’algorithme du Marching Cube qui est utilisé de façon standard enimagerie médicale. Cette thèse propose des solutions à ces problèmes.Dans un premier temps, une méthode de décomposition locale des maillages réguliers par construction de basesd’ondelettes bi-orthogonales locales est proposée. Puis, deux approches pour la décomposition adaptative desmaillages irréguliers sont développées :- la décomposition irrégulière directe sur une base d’ondelettes bi-orthogonales,- un remaillage.Deux techniques de remaillage sont proposées : l’une est basée sur une paramétrisation par transformation conforme ets’adapte à la courbure locale de l’objet, l’autre utilise une paramétrisation par transformation harmonique. Ladeuxième méthode permet la fusion de maillages locaux.Ce travail se termine par la démonstration de la faisabilité d’une application de la décomposition en ondelettes :lissage de surfaces maillées par filtrage non-linéaire des coefficients d’ondelettes.Les applications potentielles de ces travaux sont très nombreuses : transmission progressive, compression et codage,affichage progressif, édition multirésolution du maillage d’objets 3D.

MOTS CLES : Surface, Maillage, Ondelette, Multirésolution, Subdivision, Simplification, Paramétrsation, Filtrage non-linéaire

Laboratoire de recherche :Centre de Recherche Et d’Applications en Traitement des Images et du Signal (CREATIS UMR CNRS 5515)

Directeur de thèse : Rémy PROST

Président de jury : Françis SCHMITT

Composition du jury : Houman BOROUCHAKI, Isabelle MAGNIN, Christophe ODET, Rémy PROST,

Françis SCHMITT, Frédéric TRUCHETET

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