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Ecole Nationale Suprieure dArts et Mtiers Centre de Metz

THSE

Prsente pour obtenir le grade de :

DOCTEUR

DE

LCOLE NATIONALE SUPRIEURE DARTS ET MTIERS

Spcialit : Mcanique et Matriaux

PAR

Stphane BERBENNI

Elastoviscoplasticit des aciers polycristallins : Modlisation micromcanique et physique Applications au comportement dynamique

et leffet Bake-Hardening

Thse soutenue le 14 janvier 2002 devant le jury compos de :

Georges CAILLETAUD, Professeur lEcole des Mines de Paris Rapporteur Georges MARTIN, Directeur de recherches au CEA de Saclay Rapporteur Andr ZAOUI, Professeur lEcole Polytechnique de Palaiseau Examinateur Horst VEHOFF, Professeur lUniversitt des Saarlandes Examinateur Hafid SABAR, Matre de Confrence lENI de Metz Examinateur Xavier LEMOINE, Ingnieur, Usinor Recherche et Dveloppement Examinateur Marcel BERVEILLER, Professeur lENSAM de Metz Directeur de thse Vronique FAVIER, Matre de Confrence lENSAM de Metz Co-directrice de thse

LENSAM est un Grand Etablissement dpendant du Ministre de lEducation Nationale compos de huit centres :

AIX EN PROVENCE - ANGERS BORDEAUX CHALONS EN CHAMPAGNE CLUNY- LILLE METZ PARIS

REMERCIEMENTS

Ce travail a t ralis au Laboratoire de Physique et Mcanique des Matriaux lEcole Nationale Suprieure dArts et Mtiers de Metz, en partenariat avec le Laboratoire dEtudes et de Dveloppement des Produits Plats dUsinor Recherche et Dveloppement. Je tiens tout dabord remercier le Professeur Marcel Berveiller pour mavoir accueilli dans son quipe de recherches et pour toute la confiance quil ma tmoigne durant ce travail de thse. Jaimerais exprimer toute ma reconnaissance Vronique Favier qui a co-encadr cette thse avec une prsence et un soutien permanents. Je remercie Hafid Sabar pour avoir particip ce travail et pour mavoir fait bnficier de sa comptence scientifique. Jaimerais galement remercier les chercheurs dUsinor qui ont contribu au bon droulement de cette thse notamment Xavier Lemoine pour le suivi de ce travail, Franck Cayssials, Jean-Luc Geoffroy et Leila Dehbi pour les essais dynamiques, Michel Soler pour la caractrisation de leffet Bake-Hardening. Je remercie vivement Messieurs Georges Cailletaud et Georges Martin de lhonneur quils mont fait en acceptant dtre rapporteurs de ce travail, ainsi que Messieurs Horst Vehoff et Andr Zaoui pour leur participation au jury. Je tiens enfin remercier mes collgues thsards avec qui jai pass trois annes dans une ambiance sympathique et tout particulirement Christophe Niclaeys, Rgis Kubler, Carole Rouff, Jean-Paul Lorrain, Bertrand Peultier et Laurent Langlois. Je remercie sincrement mes parents, mon grand-pre et mon frre pour mavoir toujours soutenu et fait confiance tout au long de mes tudes.

RSUM

La connaissance du comportement mcanique des matriaux htrognes et de leur sensibilit la vitesse de dformation et la temprature est essentielle afin de matriser les procds de mise en forme et la tenue en service des aciers sous sollicitation dynamique. Les aciers pour emboutissage sont des matriaux polycristallins qui peuvent comporter plusieurs phases de caractristiques mcaniques diffrentes, ce qui signifie que des mcanismes la fois intergranulaires et intragranulaires sont lorigine du comportement lchelle macroscopique. Lapproche micromcanique, pour laquelle la rponse globale du matriau est obtenue en appliquant les techniques dhomognisation aux rponses des constituants lmentaires, permet de prendre en compte les rles de la microstructure et des interactions mcaniques entre constituants. Les mcanismes locaux de dformation grande vitesse de dformation sont apprhends de manire physique et sont capts dans le comportement du monocristal. Celui-ci est bas sur la thorie de lactivation thermique dans le cas des mtaux cubiques centrs comme les aciers doux. Les lois dcrouissage sont crites en termes de densits de dislocations et prennent en compte les effets de restauration dynamique. Deux outils de transition dchelle, dits variables internes, et, traduisant rigoureusement les interactions mcaniques de nature lastoviscoplastique entre les grains, sont utiliss pour un chargement vitesse de dformation macroscopique impose. Il sagit du modle de Paquin et al. et dun nouveau modle qui sappuie sur une nouvelle approche de rsolution du schma autocohrent par lutilisation doprateurs de projection et de champs translats inspirs de lide de Krner. Ces deux modles sont appliqus diffrentes classes de matriaux et sont compars aux modles de Krner-Weng et aux modles de type hrditaire. Les rsultats numriques provenant du modle de Paquin et al. (le nouveau modle conviendrait galement) sont compars aux rsultats exprimentaux pour diffrentes nuances daciers essentiellement pour des trajets de dformation monotones en traction (machine hydraulique de Traction Grande Vitesse) et en cisaillement (Barre hydropneumatique, Barre de Hopkinson) dans une large gamme de vitesses de dformation. Le choix de paramtres caractre physique est explicit et le couplage thermo-mcanique important forte vitesse de dformation (chauffement et adoucissement thermique) est pris en compte au travers de la modlisation. Un autre aspect de ce travail concerne la modlisation du comportement des aciers Bake-Hardening (BH). Celle-ci est base sur la prise en compte des micro mcanismes responsables du durcissement aprs le traitement de peinture (vieillissement). Le niveau de BH est d la fois un durcissement par effet Cottrell et un durcissement par formation de clusters et/ou de prcipits qui constituent des nouveaux obstacles au mouvement des dislocations. Les rsultats du modle micro-macro sont compars quantitativement aux rsultats exprimentaux en traction uniaxiale de Soler, raliss pour diffrents temps et tempratures de vieillissement. Linfluence du trajet de pr-dformation est tudi en simulant une dformation en expansion quibiaxe, suivie dun vieillissement et dune recharge en traction uniaxiale.

MOTS CLS : lastoviscoplasticit, matriaux htrognes, aciers polycristallins, schma

autocohrent, oprateurs de projection, dynamique, Bake-Hardening

SUMMARY

The knowledge of the mechanical behavior of heterogeneous materials and their strain rate and temperature dependence is essential to control metal forming processes and the strength of steels under dynamic conditions. Drawing steels are polycrystalline materials which may contain several phases with different mechanical features, that means that both intergranular and intragranular mechanisms determine the behavior at the macroscopic scale. The micromechanical approach, for which the global response is obtained by applying the homogenization techniques to the single components responses, allows to take into account both microstructure and mechanical interactions between components. The local deformation mechanisms at high strain rates are physically based and are captured through single crystal behavior. This one is based on thermal activation theory in the case of cubic centered metals like mild steels. The strain hardening laws are written in terms of dislocation densities and take into account dynamic recovery effects. Two scale transition tools, called internal variables models and expressing rigorously the elastic-viscoplastic nature of mechanical interactions between grains, are used for a load with a fixed macroscopic strain rate. These are the Paquin et al.s model and a new model which is based on a new approach to solve the self-consistent scheme, using projection operator properties and translated fields inspired by the Krners idea. Both models are applied to different classes of materials and are compared to Krner-Weng and hereditary type models. Numerical results resulting from the Paquin et al.s model (the new model would be also suitable) are compared to experimental results obtained for different kinds of steels especially for monotonous deformation paths in tension (high strain rate hydraulic tensile device) and in shear (hydro-pneumatic bar and Hopkinson bar) for a large range of strain rates. The choice of physical nature parameters is made explicit and the strong thermo-mechanical coupling at high strain rates, leading to thermal softening processes, is taken into account trough the modeling. Another aspect concerns the modeling of the behavior of Bake-Hardenable steels (BH). This one is based on the account of micro mechanisms responsible for hardening after baking (aging). The BH level is due to both a hardening Cottrell effect and a hardening by formation of clusters and/or precipitates which form new obstacles to the motion of dislocations. Results from the micro-macro model are compared quantitatively to the experimental results in uniaxial tension from Soler, realized for different aging times and temperatures. The influence of the pre-deformation path is studied by simulating an equibiaxial deformation, followed by aging and a reload in uniaxial tension.

KEY WORDS : elastoviscoplasticity, heterogeneous materials, polycrystalline steels, self-consistent scheme, projection operators, dynamic, Bake-Hardening

SOMMAIRE

Notations xi

Chapitre I. Introduction 1 Rfrences bibliographiques 9

Chapitre II. Comportement du monocristal en lastoviscoplasticit 13

bas sur la thorie de lactivation thermique II.1. Introduction 13 II.2. Revue bibliographique 13 II.2.1. Rsultats exprimentaux pour les aciers pour emboutissage sous 13 sollicitation dynamique

II.2.1.1. Gnralits 13 II.2.1.2. Sensibilit la vitesse de dformation 16 II.2.1.3. Echauffement lors dun essai grande vitesse de dformation et 19 adoucissement thermique II.2.1.4. Sensibilit la temprature 22 II.2.1.5. Evolution de la structure interne grande vitesse de dformation 23

II.2.2. Plasticit des mtaux cubiques centrs 23

II.2.2.1. Introduction 23 II.2.2.2. Notion de temprature de transition et influence de la vitesse 23 de dformation et de la temprature sur le comportement des monocristaux de fer- II.2.2.3. Thorie de lactivation thermique dans les mtaux 26 cubiques centrs II.2.2.4. Transition rgime thermiquement activ rgime de 31 phonon drag II.2.2.5. Glissement plastique et crouissage dans les monocristaux 34 de fer-

II.3. Modlisation du comportement du monocristal 39 II.3.1. Introduction 39 II.3.2. Description du monocristal en transformations finies 39

II.3.3. Hypothse des petites dformations 42 II.3.4. Loi dcoulement thermoviscoplastique 43 II.3.5. Lois dcrouissage intragranulaire 46 II.3.6. Modlisation de ladoucissement thermique 48 II.3.7. Autre formulation thermoviscoplastique 49 II.3.8. Prise en compte des effets anlastiques dans la modlisation 49 II.4. Conclusion 53 Rfrences bibliographiques 55 Chapitre III. Estimations autocohrentes du comportement 61 lastoviscoplastique des matriaux htrognes III.1. Introduction 61 III.2. Mthodes de type hrditaire 62 III.2.1. Gnralits 62 III.2.2. Problme htrogne viscolastique linaire 66

III.2.2.1. Equation intgrale du problme htrogne viscolastique linaire 66 III.2.2.2. Approximation autocohrente symbolique en viscolasticit 67 linaire

III.2.3. Formulation affine en lastoviscoplasticit des matriaux 70 htrognes III.2.4. Conclusion sur les mthodes de type hrditaire 71 III.3. Mthodes variables internes 72 III.3.1. Gnralits 72 III.3.2. Modle de Krner-Weng 74

III.3.2.1. Prsentation 74 III.3.2.2. Analyse critique 76

III.3.3. Echec de lapproximation autocohrente traditionnelle 78 III.4. Une nouvelle classe de modles micromcaniques 82 variables internes pour les matriaux htrognes lastoviscoplastiques III.4.1. Introduction 82 III.4.2. Formulation gnrale dans le cadre des matriaux 83 htrognes lastoviscoplastiques

III.4.2.1. Equations de champ pour un milieu htrogne en 83 lastoviscoplasticit III.4.2.2. Equation intgrale et oprateurs de projection 84 III.4.2.3. Nouvelle approximation autocohrente base sur les champs 86 translats III.4.2.4. Mise en vidence des tats asymptotiques 90

III.4.3. Discussion 91

III.4.3.1. Comparaison du nouveau modle avec le modle de 91 Krner-Weng III.4.3.2. Comparaison du nouveau modle avec le modle de 92 Paquin et al.

III.4.4. Application 96

III.4.4.1. Inclusions sphriques et matriau isotrope 96 III.4.4.2. Hypothse dincompressibilit 97

III.4.5. Procdure numrique 99 III.5. Conclusion 101 Rfrences bibliographiques 103

Chapitre IV. Situation du nouveau modle et Applications aux 108 aciers pour emboutissage IV.1. Introduction 108 IV.2. Matriau biphas viscolastique linaire isotrope et 109 incompressible IV.2.1. Prsentation du matriau 109 IV.2.2. Modle de rfrence 110

IV.2.3. Nouveau modle 111 IV.2.4. Modle de Krner-Weng 113 IV.2.5. Rsultats numriques 115

IV.2.5.1. Introduction 115 IV.2.5.2. Comparaison des grandeurs locales et effectives 115 dans lespace de Laplace-Carson IV.2.5.3. Comparaison des rsultats macroscopiques pour 119 des essais de traction

IV.2.6. Bilan 122 IV.3. Matriaux mtalliques polycristallins 122 IV.3.1. Polycristal Cubique Faces Centres sans crouissage 122

IV.3.1.1. Comportement du monocristal 122 IV.3.1.2. Rsultats numriques macroscopiques 124 IV.3.1.3. Discussion 126

IV.3.2. Polycristal Cubique Centr avec crouissage 127

IV.3.2.1. Comportement du monocristal 128 IV.3.2.2. Rsultats numriques macroscopiques 129 IV.3.2.3. Discussion 130

IV.4. Prvision du comportement lastoviscoplastique 131 des aciers sous sollicitation dynamique IV.4.1. Introduction 131 IV.4.2. Couplage thermomcanique 131 IV.4.3. Influence de la microstructure en traction dynamique 135

IV.4.3.1. Aciers doux 135 IV.4.3.2. Aciers Dual-Phase 143 IV.4.3.3. Acier prcipits HSLA 155

IV.4.4. Trajet de cisaillement dynamique 162

IV.4.4.1. Moyens exprimentaux 161 IV.4.4.2. Comparaison simulation / rsultats exprimentaux 167 pour un acier doux et un acier Dual-Phase

IV.4.4.3. Discussion et perspectives 171 IV.5. Conclusion 173 Rfrences bibliographiques 175 Chapitre V. Modlisation du comportement des aciers 182 Bake-Hardening V.1. Introduction 182 V.2. Revue bibliographique 183 V.2.1. Lessai BH 183 V.2.2. Mcanismes lorigine de leffet BH 184

V.2.2.1. Modle de Cottrell-Bilby et extensions 185 V.2.2.2. Interprtation de leffet BH sur les essais de traction uniaxiale 189 (type essai BH)

V.2.3. Effet dun changement de trajet sur leffet BH 199

V.2.3.1. Introduction 199 V.2.3.2. Effet dun changement de trajet de dformation seul 200 V.2.3.3. Influence du vieillissement entre deux trajets de dformation 204

V.3. Modlisation du comportement des aciers BH 207 V.3.1. Synthse des micro mcanismes pour la modlisation 207 V.3.2. Equations du modle 208

V.3.2.1. Prvision du BH 208 V.3.2.2. Modlisation de leffet BH d au dblocage des dislocations 210 des atmosphres de Cottrell V.3.2.3. Modlisation de leffet BH d la phase de formation de 212 prcipits (et/ou de clusters) V.3.2.4. Modlisation de lcrouissage avant et aprs vieillissement 220

V.3.3. Rsultats numriques 220

V.3.3.1. Procdure numrique 220 V.3.3.2. Simulation de lessai BH 222 V.3.3.3. Simulation pour une pr-dformation en expansion quibiaxe 227 V.3.3.4. Discussion 228

V.4. Conclusion 231

Rfrences bibliographiques 233 Chapitre VI. Conclusion gnrale 238 Annexe 1. Lois dcrouissage intragranulaire 242 Rfrences bibliographiques 246 Annexe 2. Calcul analytique du comportement effectif 247 autocohrent dans le cas dun matriau viscolastique linaire isotrope incompressible Modle de Hashin-Rougier Rfrences bibliographiques 251 Annexe 3. Formulation affine en lastoviscoplasticit des 252 matriaux htrognes Rfrences bibliographiques 258 Annexe 4. Dmonstration des proprits des oprateurs 259 de projection Rfrences bibliographiques 263 Annexe 5. Solution autocohrente viscoplastique pure 264 Annexe 6. Influence des paramtres dentre du modle sur les 266 courbes de traction

NOTATIONS GNRALES

En gnral, les lettres capitales dsignent les grandeurs macroscopiques et les lettres minuscules dsignent des grandeurs locales. Pour toute variable X , la notation X& dsigne la drive de X par rapport au temps physique t. On note p la variable conjugue de t dans lespace de Laplace-Carson. ( )321 x,x,xr reprsente la position dun point M dans le volume considr V. ( )321 k,k,kk est le conjugu de r dans lespace de Fourier.

Tenseurs (et oprateurs) dordre 4 : Les tenseurs dordre 4 ( ijklA en notation indicielle) utiliss dans ce mmoire prsentent les proprits de symtrie usuelles :

ijlkjiklijkl AAA == ,

mais pas ncessairement la proprit de symtrie diagonale ( klijijkl AA = ). Le tenseur identit dordre 4 not I est dfini par : ( )jkiljlikijkl 21I += o ij reprsente loprateur de Kronecker. Le tenseur At est le tenseur transpos de A dfini par : klijijkl

t AA = . Le tenseur 1A est le tenseur inverse de A (non singulier) dfini par : IA:AA:A 11 == . Principaux tenseurs (et oprateurs) dordre 4 : S, M (s,m) sont respectivement les tenseurs de complaisances lastiques et viscoplastiques globales (locales). C, B (c, b) sont respectivement les tenseurs de modules lastiques et viscoplastiques globaux (locaux).

ES est le tenseur dEshelby. CA , BA sont respectivement les tenseurs de localisation pour le problme lastique pur et le

problme viscoplastique pur. ( )Bou C est le tenseur (ou oprateur) de Green modifi associ C (ou B).

B)(ou C est loprateur de projection associ C (ou B). Tenseurs (et oprateurs) dordre 2 : Les tenseurs dordre 2 sont nots ijB et possdent les proprits de symtrie usuelles. Principaux tenseurs (et oprateurs) dordre 2 :

est le tenseur des contraintes locales (au sens de Cauchy), est le tenseur des dformations locales (en petites dformations). e et vp sont respectivement les parties lastique et viscoplastique du tenseur . est le tenseur des contraintes macroscopiques (au sens de Cauchy), E est le tenseur des dformations macroscopiques (en petites dformations). eE et vpE sont respectivement les parties lastique et viscoplastique du tenseur E.

( )B ouCG est le tenseur (ou oprateur) de Green associ C (ou B). est loprateur de Kronecker ( =ij 1 si i=j, =ij 0 si i ji ). Vecteurs : Les vecteurs sont nots v ( iv en notation indicielle). Notations mathmatiques : Le symbole dsigne le produit simplement contract entre deux tenseurs ou le produit scalaire entre deux vecteurs et le symbole : dsigne le produit doublement contract entre deux tenseurs. Pour ces deux notations, on utilise la convention dEinstein sur les indices muets. Le symbole * dsigne le produit de convolution spatial qui est combin : pour ne pas alourdir les notations :

( ) ( ) 'dV'r:'rrA*A'V = .

Le symbole dsigne le produit de convolution de Stieljes qui est combin : :

( ) ( ) d:tAdA t

= .

La transforme de Laplace-Carson dune fonction ( )tf est note ( )pf et est dfinie par :

( ) ( ) dtetfppf0

pt = .

La transforme de Fourier de G est note G~ et est dfinie par :

( ) ( ) dVerGkG~ rikV

= .

La notation dsigne loprateur gradient. De plus, s dfinit le gradient symtris du tenseur auquel il sapplique. Par exemple, us= signifie en coordonnes cartsiennes :

( )i,jj,iij uu21 += . La notation X signifie la moyenne de X sur le volume V considr. Notations cristallines (associes aux systmes de glissement) :

( )g est la cission rsolue sur le systme de glissement g. ( )g dsigne lamplitude de glissement sur le systme g.

)g( est la densit de dislocations par systme de glissement g. ( )gr est le cission de rfrence pour le systme de glissement g. Celle-ci dcrit ltat

dcrouissage pour un systme de glissement donn. ( )gR est le tenseur dorientation (ou tenseur de Schmid) du systme de glissement g. ( )gha est la matrice danisotropie de glissement (ou matrice dinteraction entre les systmes de

glissement g et h). ( )ghH est la matrice dcrouissage.

CHAPITRE I

INTRODUCTION

Chapitre I. Introduction

1

CHAPITRE I

Introduction

Les aciers plats au carbone (flat carbon steels en anglais) sont actuellement utiliss dans

de nombreuses branches de lindustrie allant de la bote boisson la carrosserie des

automobiles en passant par des applications en lectromnager et en construction mcanique

et civile (btiment). Aujourdhui, lun des principaux enjeux des sidrurgistes est de produire

des nouveaux aciers forte valeur ajoute destins des fonctions pr-dfinies au service du

client. Dans lindustrie automobile par exemple, lun des soucis majeurs concernant les

organes de structures est la rduction de leurs poids (afin de diminuer les missions de

particules polluantes) tout en maintenant de bonnes proprits mcaniques. Ainsi, tout en

garantissant une bonne rigidit, une bonne rsistance aux chocs, la fatigue et la corrosion,

les nouveaux aciers doivent rpondre aux attentes du secteur automobile en donnant lieu des

voitures de plus en plus lgres. Face la concurrence de plus en plus accrue des polymres et

des alliages daluminium et de magnsium, la priorit des sidrurgistes est de fabriquer des

aciers aux proprits exceptionnelles pour obtenir des tles de moins en moins paisses.

Lobjectif terme est donc de matriser le comportement laide de la relation

microstructures/mcanismes/proprits pour une grande gamme daciers. Cest le cas

notamment des aciers doux emboutissage suprieur (deep drawing quality steels en anglais),

des aciers Bake-Hardening (BH ou Bake-Hardenable steels en anglais), des aciers micro

allis (HSLA steels en anglais), des aciers multiphass comme les aciers ferrite-martensite

(Dual-Phase steels en anglais) et des nouveaux aciers TRIP et TWIP (Transformation Induced

Plasticity steels et Twinning Induced Plasticity steels en anglais).

Les travaux de recherche qui consistent modliser laide doutils de transition

dchelle le comportement mcanique des matriaux polycristallins comme les aciers sont

utiles afin de prvoir leur comportement sous diverses sollicitations. Les ples dintrts

actuels sont la simulation en mise en forme, le dveloppement de textures de laminage, la

prdiction du comportement lors de trajets de dformation complexes et squentiels (rtreint,

expansion quibiaxe, cisaillement, essai Bauschinger, laminage-traction ) rencontrs lors


2

doprations de mise en forme (emboutissage ). Le premier but, terme, est de dvelopper

des lois de comportement ralistes capables de capter lensemble des mcanismes de

dformation connus lchelle microscopique pour une utilisation dans des codes de calcul

par lments finis (dformation plastique des structures, endommagement, comportement au

choc ). Lautre but est dutiliser les modles dits micro-macro ou polycristallins afin de

dvelopper de nouveaux matriaux ou doptimiser leurs caractristiques plus rapidement en

sappuyant sur un nombre limit dessais de caractrisation mcanique et en sachant corrler

les caractristiques microstructurales et le comportement macroscopique.

La connaissance du comportement mcanique des matriaux et leur sensibilit la

vitesse de dformation ou la temprature par exemple est essentielle afin de matriser les

procds de mise en forme et la tenue en service des matriaux. Les aciers pour emboutissage

sont des matriaux polycristallins qui peuvent comporter plusieurs phases de caractristiques

mcaniques diffrentes, ce qui signifie que des mcanismes la fois intergranulaires et

intragranulaires sont lorigine du comportement lchelle macroscopique. Lors de

llaboration du matriau jusqu ltape de mise en forme, le matriau a subi une histoire qui

lui confre une texture cristallographique, une texture morphologique, une taille de grains, des

fractions volumiques de phases, des prcipits ou encore un taux dlments en solution

solide. Ces lments physiques et microstructuraux sont dune importance capitale en ce qui

concerne la reprsentation du matriau ltat initial. Au cours des diffrentes sollicitations,

le matriau dveloppe une structure interne complexe plus ou moins htrogne diffrentes

chelles. A partir de lobservation, le compromis pour le thoricien est de prendre en compte

les bons phnomnes physiques qui ncessitent un formalisme souvent complexe et den

donner une reprsentation approximative simple mais optimise de sorte que le modle donne

des rsultats performants avec un nombre de paramtres matriau limit. Lidentification des

phnomnes physiques et la dtermination du domaine de validit dun modle constituent

une premire tape quil est ncessaire de bien apprhender. Un choix de variables internes

pertinentes est donc dterminant dans le cadre de la modlisation de ces phnomnes en

gnral fortement non linaires.

Le choix de la mthode de modlisation est galement dterminant et est intimement li

lchelle dobservation laquelle le thoricien veut capter les processus physiques. Comme

le montre la figure I.1., quatre niveaux dchelle spatio-temporelle sont actuellement

accessibles par les diverses mthodes de modlisation.


3

Figure I.1. De lchelle nanoscopique lchelle de la structure [Raa98].

Il sagit tout dabord de lchelle nanoscopique. Celle-ci se rfre lchelle atomique pour

des processus proches de la pulsation de Debye. Les approches numriques actuelles se

concentrent autour de la dynamique molculaire qui sintresse la structure et la

dynamique des dfauts cristallins en dcrivant les mouvements discrets datomes autour de

ceux-ci. Lchelle microscopique ensuite part de lobservation des matriaux lchelle du

micron pour des processus proches de la microseconde. Celle-ci intgre la fois des concepts

associs aux htrognits intragranulaires dans les matriaux polycristallins comme les

prcipits, les boucles et les cellules de dislocations [Lem95] [Aub98] [Lan00], mais aussi

ceux de la dynamique des dislocations [DK97] [TKC98]. Durant la dformation plastique, les

aciers subissent un crouissage intragranulaire qui est d une comptition entre mcanismes


4

de cration de dislocations par sources de Franck et Read et mcanismes dannihilation de

segments de dislocation ou restauration dynamique. Deux principaux modles de

reprsentation sont actuellement utiliss pour dcrire les phnomnes dcrouissage : celui

type fort de dislocations ou celui type cellules de dislocations. Les contraintes internes du

troisime ordre sont lorigine la fois de lcrouissage isotrope et de lcrouissage

cinmatique intragranulaire induits par des prcipits ou des sous-structures de dislocations.

Celles-ci sont captes par les outils de la mcanique des milieux continus et de la

micromcanique des matriaux htrognes [BZ79] [BZ80]. Lchelle msoscopique traite du

lien entre lchelle microscopique et lchelle macroscopique. Elle permet de mettre en

vidence les htrognits intergranulaires qui dcoulent des fluctuations de champ de

dformation plastique grain grain. Celles-ci ont pour origine lorientation cristallographique

reprsente par les angles dEuler diffrente dun grain lautre. Les interactions

intergranulaires lorigine du comportement du matriau ont t traites laide de modles

autocohrents en lasticit [Her54] [Kr58] puis en lastoplasticit [Kr61] [Hil65] [BZ79]

[IN84] [LB89], en viscoplasticit [Hut76] [MCA87] [LT93], en viscolasticit linaire

[Has69] [LM78] [Law80] [RSZ93] [LW94] et en lastoviscoplasticit [Wen81] [NO86]

[Har91] [KMC93] [Rou94] [RSZ94] [LW97] [Mas98] [Paq98] [PSB99] [MZ99] [Bre01].

Enfin, lchelle macroscopique comprend des paramtres moyens reprsentatifs de la

structure (dformations mesures par jauges ou par extensomtrie, temprature, vitesse de

dformation impose). Cette chelle est celle utilise par les modles phnomnologiques

pour dfinir les lois de comportement des matriaux [LC85]. A lchelle macroscopique, le

matriau est souvent considr comme une bote noire dans laquelle il est difficile de corrler

les paramtres de modle avec la microstructure. Lchelle de la structure peut sidentifier

cette chelle.

Au travers de la description des diffrentes chelles, il est important de noter que ces

dfinitions peuvent voluer dune cole lautre, mais comme le remarque Zaoui [Zao01] :

lenjeu est alors que le macro du physicien ne soit plus trop loign du micro du

mcanicien .

Lobjet de ce mmoire est de contribuer lamlioration de la comprhension des

interactions spatio-temporelles grain grain dans le cas des matriaux htrognes dont le

comportement est de nature lastoviscoplastique par une approche dite variables internes

dans la continuit du travail de thse de Paquin [Paq98]. On choisit une mthode de type

micromcanique avec reprsentation statistique de la microstructure, cest--dire une mthode

base sur les techniques dhomognisation. En sassurant des conditions de


5

macrohomognit et de microhtrognit, il est possible de dfinir un volume

lmentaire reprsentatif (V.E.R) de telle manire ce que le comportement du milieu

htrogne rel puisse tre dcrit par celui dun milieu homogne quivalent (M.H.E.). Le

comportement effectif ou homognis vrifiera la condition que les champs de contrainte ou

de dformation sont macroscopiquement les mmes dans les matriaux rels et fictifs

(M.H.E.). Ensuite, et ceci dans le cadre des milieux parfaitement dsordonns [FPZ95]

(condition trs bien vrifie pour les polycristaux mtalliques), on utilisera le schma

autocohrent dit 1 site dans lestimation de ce comportement effectif. Dautres techniques

utilisent directement la mthode des lments finis applique aux microstructures en

sappuyant sur une reprsentation discrte de la microstructure relle comme par exemple

celle des multi-cristaux [Ebe99]. Utilisant le calcul parallle, cette mthode reste encore

limite pour le cas des polycristaux en raison du cot en temps de calcul. Une autre mthode

applique des composites non linaires priodiques se base sur la Transforme de Fourier

Rapide et utilise le stockage de limage de la microstructure numrise [MS94].

Dans ce travail de thse portant sur le comportement dans le temps des aciers pour

emboutissage, deux aspects indpendants lun de lautre sont dvelopps. Il sagit de :

{ La modlisation micro-macro du comportement dpendant de la vitesse de dformation (comportement lastoviscoplastique) d'aciers polycristallins.

| La modlisation micromcanique du comportement des aciers Bake-Hardening, donc vieillissants, afin de prvoir leur comportement en service aprs une opration de mise en

forme suivie dun traitement de peinture.

Concernant {, ltude de linfluence de la nature du matriau sur le comportement au crash dune structure repose sur la comprhension du comportement de ce matriau lorsquil est

soumis une vitesse de dformation suprieure 10-3s-1 , cest--dire l o sarrte le rgime

statique. Du point de vue de la modlisation, les demandes des grands groupes du secteur

automobile se font de plus en plus pressantes concernant les lois de comportement mises

leur disposition afin de pouvoir les utiliser dans des codes de simulation de crash. Lintrt est

donc de dterminer le domaine de validit de lois de comportement reproduisant de faon la

plus physique possible celui de lacier en question. Lapproche phnomnologique (ou

phnomnologique rationnelle) fonde sur lexprience lchelle macroscopique reste


6

pratique mais limite puisquelle ne traite daucun lien avec la microstructure des aciers

[BP75] [JC83] [ZA87] [Tan92] [Zha97] [Rus00]. Lapproche micromcanique pour laquelle

la rponse globale du matriau est obtenue en appliquant les techniques dhomognisation

aux rponses des constituants lmentaires permet de prendre en compte le rle de la

microstructure. Les mcanismes locaux de dformation grande vitesse de dformation qui

commencent tre apprhends de manire physique et non plus empirique sont capts dans

le comportement du monocristal (ou du grain). Moyennant un outil de transition dchelle

traduisant rigoureusement linteraction mcanique de nature lastoviscoplastique entre les

grains, la rponse macroscopique du polycristal (elle-mme de nature lastoviscoplastique) est

dtermine pour un chargement vitesse de dformation macroscopique impose. Le

chargement peut tre monotone comme la traction uniaxiale, le cisaillement simple, la

compression uniaxiale, ou encore lexpansion quibiaxe mais il peut aussi tre squentiel

(pr-dformation pour une premire vitesse de dformation, dcharge lastique, recharge pour

une seconde vitesse de dformation). Dans ce travail, les rsultats numriques concernent

essentiellement des chargements en traction uniaxiale, cisaillement simple dans une grande

plage de vitesse de dformation pour des aciers doux, des aciers Dual-Phase et des aciers

durcissement structural HSLA.

Concernant |, lobjectif est de dvelopper un modle micromcanique bas sur les mcanismes responsables de leffet Bake-Hardening (ou BH). Celui-ci doit tre capable de

simuler un trajet de pr-dformation correspondant la mise en forme dailes et panneaux de

portes dautomobiles (expansion quibiaxe, traction uniaxiale, traction plane, rtreint) suivi

dun traitement thermique de peinture et dune recharge suivant un trajet de chargement

comme celui de la traction uniaxiale. Aujourdhui, laptitude au BH est caractrise

principalement par lessai standard de mesure du BH (pr-dformation en traction uniaxiale

suivie dun vieillissement statique et dune recharge en traction uniaxiale dans le mme sens)

et par lessai dindentation. Mais quen est-il lorsque le chemin de pr-dformation est celui

dune tle emboutie ? Dans ce travail, nous simulerons des trajets type essai BH ainsi que

dautres trajets de dformation comme une pr-dformation quibiaxe en distinguant les

effets dus au changement de trajet seul et les effets dus au vieillissement.

Ce mmoire se divise en quatre volets dont les trois premiers sont consacrs leffet de

la vitesse de dformation sur le comportement des aciers pour emboutissage au travers dune

modlisation autocohrente en lastoviscoplasticit et le dernier concerne la modlisation du


7

comportement mcanique des aciers BH aprs une pr-dformation suivi dun vieillissement

thermique.

Le chapitre II correspond la description du comportement du monocristal en

lastoviscoplasticit en se basant sur la thorie de lactivation thermique pour les mtaux

cubiques centrs. Il sintresse aux mcanismes locaux de dformation pour les aciers pr-

cits dans le cas de chargement vitesse de dformation impose et au comportement

lastoviscoplastique des aciers. Ce chapitre propose tout dabord une loi dcoulement

thermoviscoplastique base physique et une description des effets anlastiques prsents dans

les aciers. On sintresse ensuite une description physique et micromcanique des

crouissages isotrope et cinmatique. On insiste galement sur le choix des variables internes

caractre physique dont lvolution est dcrite par des lois formules en vitesse. La

modlisation du comportement du monocristal est explicite dans lhypothse des petites

dformations mais on donne succinctement les tapes ncessaires pour une formulation en

grandes transformations.

Le chapitre III est consacr la transition dchelle utilise dans le cadre plus gnral du

comportement lastoviscoplastique des matriaux htrognes. Le choix sest port sur une

estimation de type autocohrente du comportement effectif du matriau. Aprs une brve

revue des mthodes hrditaires en lastoviscoplasticit dont la formulation affine de

Masson-Zaoui est actuellement la plus avance [Mas98] [MZ99], on se concentre sur les

mthodes dites variables internes [Paq98] [PSB99]. On dcrit une nouvelle approche de

rsolution du schma autocohrent par lutilisation doprateurs de projection et de champs

translats inspirs par lide de Krner. Cette dmarche conduit ici une nouvelle loi

dinteraction beaucoup plus simple que celle trouve par Paquin et al. [Paq98] [PSB99]. Le

nouveau modle est compar au modle de Krner-Weng [Kr61] [Wen81] qui, pour la

circonstance, est formul en termes doprateurs de projection et de champs translats.

Le chapitre IV propose dappliquer les deux estimations autocohrentes constitues par le

nouveau modle et le modle de Paquin diffrentes classes de matriaux et on les compare

aux modles de Krner-Weng [Kr61] [Wen81], Hashin-Rougier [Has69] [RSZ93] et

Masson-Zaoui [Mas98] [MSZ99]. Les deux derniers constituent respectivement des modles

hrditaires et seront utiliss comme modles de rfrence. Une bonne estimation du

comportement macroscopique vitesse de dformation impose est obtenue en ce qui


8

concerne des matriaux biphass isotropes et incompressibles. Dans le cas de matriaux

polycristallins mtalliques type C.F.C. non texturs et pour une loi viscoplastique de type loi

puissance en fluage, une comparaison est faite avec le modle affine de Masson-Zaoui. Enfin,

les rsultats numriques provenant du modle de Paquin (le nouveau modle conviendrait

galement) sont compars aux rsultats exprimentaux pour diffrentes nuances daciers

(aciers doux, aciers Dual-Phase de diffrentes fractions volumiques de martensite)

essentiellement pour des trajets monotones de traction (machine hydraulique de Traction

Grande Vitesse) et de cisaillement (Barre hydro-pneumatique, Barre de Hopkinson) dans une

large gamme de vitesses de dformation.

Le chapitre V concerne la modlisation du comportement des aciers BH. Celle-ci est base

sur la prise en compte des micro mcanismes responsables du durcissement aprs

vieillissement qui, dans ltat actuel des connaissances, se composent dun durcissement par

effet Cottrell et dun durcissement par formation de clusters et/ou de prcipits qui constituent

des obstacles nouveaux au mouvement des dislocations. Ensuite, le modle est exploit

laide de loutil de transition dchelle variables internes dcrit au chapitre III (modle de

Paquin) mais pour une vitesse de dformation trs faible (rgime statique). Les rsultats du

modle micro-macro donnes dentre de nature physique sont compars quantitativement

aux rsultats exprimentaux raliss en traction uniaxiale diffrents temps et temprature de

vieillissement issus des travaux de thse de Soler [Sol98]. Une comparaison des rsultats

exprimentaux issus de la bibliographie est effectue dans le cas dautres trajets de

dformation comme une pr-dformation en expansion quibiaxe suivie dun vieillissement

et dune recharge en traction uniaxiale.


9

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[Aub98] AUBERT, I. (1998) Effets de lhtrognisation plastique intragranulaire

sur le comportement macroscopique des aciers doux lors de trajets

complexes. Thse de Doctorat de lUniversit de Metz, France.

[BP75] BODNER, S.R., PARTOM, Y. (1975) Constitutive equations for elastic-

viscoplastic strain-hardening materials. ASME J. Appl. Mech. 42, 385-389.

[Bre01] BRENNER, R. (2001) Influence de la microstructure sur le comportement

en fluage thermique dalliages de zirconium : analyse exprimentale et mise

en oeuvre de mthodes dhomognisation. Thse de Doctorat de

lUniversit Paris XIII, France.

[BZ79] BERVEILLER, M., ZAOUI, A. (1979) An extension of the self-consistent

scheme to plastically-flowing polycrystals. J. Mech. Phys. Solids 26, 325-

344.

[BZ80] BERVEILLER, M., ZAOUI, A. (1980) Gnralisation du problme de

linclusion et application quelques problmes dlastoplasticit des

matriaux htrognes. J. Mcanique 19, No. 2, 343-361.

[DK97] DEVINCRE, B., KUBIN, L.P. (1997) Mesoscopic simulations of

dislocations and plasticity. Mat. Sci. Engng. A 234-236, 8-14.

[Ebe99] EBERL, F. (1999) Second order heterogeneities in a multicrystal :

experimental developments using X-ray diffraction and comparison with a

finite element model. Thse de Doctorat de lENSAM Paris, France.

[FPZ95] FRANCOIS, D., PINEAU, A., ZAOUI, A. (1995) Comportement

mcanique des matriaux. Tome I et II. Herms, Paris, France.

[Har91] HARREN, S.V. (1991) Rate dependent finite elastoplastic deformation of

polycrystals I : a self-consistent framework, II : a comparison of the self-

consistent and the Taylor models. J. Mech. Phys. Solids 39, 345-383.

[Has69] HASHIN, Z. (1969) The inelastic inclusion problem. Int. J. Engng Sci. 7,

11-36.

[Her54] HERSHEY, A.V. (1954) The elasticity of an isotropic aggregate of

anisotropic cubic crystals. ASME J. Appl. Mech. 21, 236-240.

[Hil65] HILL, R. (1965) Continuum micro-mechanics of elastoplastic polycrystals.

J. Mech. Phys. Solids 13, 89-101.


10

[Hut76] HUTCHINSON, J.W. (1976) Bounds and self-consistent estimates for creep

of polycrystalline materials. Proc. Roy. Soc. London A 348, 101-127.

[IN84] IWAKUMA, T., NEMAT-NASSER, S. (1984) Finite elastic-plastic

deformation of polycrystalline metals. Proc. Roy. Soc. London A 394, 87-

119.

[JC83] JOHNSON, G.R., COOK, W.H. (1983) A consitutive model and data for

metals subjected to large strains, high strain rates and high temperatures. In :

Proc. of the Seventh Int. Symp. on Balistic, The Hague, The Netherlands,

541-547.

[KMC93] KOUDDANE, R., MOLINARI, A., CANOVA, G.R. (1993) Self-consistent

modeling of heterogeneous viscoelastic and elastoplastic materials, in :

Large plastic deformations, Fundamentals and application to metal

forming, MECAMAT91, Teodosiu, C., Raphanel, J-.L., Sidoroff, F. (eds.),

Balkema, Rotterdam, 129-141.

[Kr58] KRNER, E. (1958) Berechnung der elastischen Konstanten des

Vielkristalls aus den Konstanten des Einskristalls. Z. Phys. 151, 504-518.

[Kr61] KRNER, E. (1961) Zur plastischen Verformung des Vielkristalls, Acta

Metall. Mater. 9, 155-161.

[Lan00] LANGLOIS, L. (2000) Evolutions propres de la microstructure de

dislocations et consquences sur le comportement lastoplastique des

mtaux. Thse de lUniversit de Metz, France.

[Law80] LAWS, N. (1980) Viscoelastic inclusion problem. J. Engng Mech. Division

106, No. EM5, 915-928.

[LB89] LIPINSKI, P., BERVEILLER, M. (1989) Elastoplasticity of

microinhomogeneous metals at large strains. Int. J. Plasticity 5, 149-172.

[LC85] LEMAITRE, J., CHABOCHE, J.-L. (1985) Mcanique des matriaux

solides, Dunod, Paris, France.

[Lem95] LEMOINE, X. (1995) Analyse micromcanique de la formation des cellules

de dislocations et consquence sur le comportement des aciers. Thse de

Doctorat de lUniversit de Metz, France.

[LM78] LAWS, N., McLAUGHLIN, R. (1978) Self-consistent estimates for the

viscoelastic creep compliances of composite materials. Proc. Roy. Soc.

London A 359, 251-273.


11

[LT93] LEBENSOHN, R. A., TOME, C.N. (1993) A self-consistent anisotropic

approach for the simulation of plastic deformation and texture development

of polycrystals : application to zirconium alloys. Acta Metall. Mater. 41,

No. 9, 2611-2624.

[LW94] LI, J., WENG, G.J. (1994) Strain-rate sensitivity, relaxation behavior and

complex moduli of a class of isotropic viscoelastic composites. ASME J.

Engng. Mat. Tech. 116, 495-504.

[LW97] LI, J., WENG, G.J. (1997) A secant-viscosity approach to the time-

dependent creep of an elastic-viscoplastic composite. J. Mech. Phys. Solids

45, No. 7, 1069-1083.

[Mas98] MASSON, R. (1998) Estimations non linaires du comportement global de

matriaux htrognes en formulation affine Application aux alliages de

zirconium. Thse de Doctorat de lEcole Polytechnique, France.

[MCA87] MOLINARI, A., CANOVA, G.R., AHZI, S. (1987) A self-consistent

approach of the large deformation polycrystal viscoplasticity. Acta Metall.

Mater. 35, 2983-2994.

[MS94] MOULINEC, H., SUQUET, P. (1994) A fast numerical method for

computing the linear and nonlinear properties of composites. C. R. Acad.

Sci. Paris II 318, 1417-1423.

[MZ99] MASSON, R., ZAOUI, A. (1999) Self-consistent estimates for the rate-

dependent elastoplastic behavior of polycrystalline materials. J. Mech. Phys.

Solids 47, 1543-1568.

[NO86] NEMAT-NASSER, S., OBATA, M. (1986) Rate dependent, finite elasto-

plastic deformation of polycrystals. Proc. Roy. Soc. London A 407, 343-

375.

[Paq98] PAQUIN, A. (1998) Modlisation micromcanique du comportement

lastoviscoplastique des matriaux htrognes. Thse de Doctorat de

lUniversit de Metz, France.

[PSB99] PAQUIN, A., SABAR, H., BERVEILLER, M. (1999) Integral formulation

and self-consistent modelling of elastoviscoplastic behavior of

heterogeneous materials. Arch. Appl. Mechanics 69, 14-35.

[Raa98] RAABE, D. (1998) Computational Materials Science The Simulation of

Materials Microstructures and Properties, Wiley-VCH, Weinheim,

Germany.


12

[Rou94] ROUGIER, Y. (1994) Etude du comportement sous irradiation :

Modlisation micromcanique de llastoviscoplasticit. Thse de Doctorat

de lEcole Polytechnique, France.

[RSZ93] ROUGIER, Y., STOLZ, C., ZAOUI, A. (1993) Reprsentation spectrale en

viscolasticit linaire des matriaux htrognes. C. R. Acad. Sci. Paris

316 II, 1517-1522.

[RSZ94] ROUGIER, Y., STOLZ, C., ZAOUI, A. (1994) Self-consistent modelling of

elastic-viscoplastic polycrystals. C. R. Acad. Sci. Paris 318 II, 145-151.

[Rus00] RUSINEK, A. (2000) Modlisation thermoviscoplastique dune nuance de

tle dacier aux grandes vitesses de dformation Etude exprimentale et

numrique du cisaillement, de la traction et de la perforation. Thse de

Doctorat de lUniversit de Metz, France.

[Sol98] SOLER, M. (1998) Etude du vieillissement dun acier Bake-Hardening :

volution des proprits mcaniques de traction corrlation avec la

microstructure. Thse de lINSA de Lyon, France.

[Tan92] TANIMURA, S. (1992) In : Proc. of the First Int. Symp. on Impact Engng.,

Sendai, Japan, 18-26.

[TKC98] TANG, M., KUBIN, L.P., CANOVA, G.R. (1998) Dislocation mobility and

the mechanical response of B.C.C. single crystals : a mesoscopic approach.

Acta Mater. 46, No. 9, 3221-3235.

[Wen81] WENG, G.J. (1981) Self-consistent determination of time-dependent

behavior of metals. ASME J. Appl. Mech. 48, 41-46.

[ZA87] ZERILLI, F.J., ARMSTRONG, R.W. (1987) Dislocation-mechanics-based

constitutive relations for material dynamics calculations. J. Appl. Phys. 61,

No. 5, 1816-1825.

[Zao01] ZAOUI, A. (2001) Plasticit : Approches en champs moyens (chapitre I).

Dans : Homognisation en mcanique des matriaux (vol. 2) :

comportements non linaires et problmes ouverts. Bornert, M., Bretheau,

T., Gilormini, P. (eds.), Herms, Paris, France, 17-44.

[Zha97] ZHAO, H. (1997) A constitutive model for metals over a large range of

strain rates Identification for mild-steel and aluminium sheets. Mat. Sci.

Engng. A 230, No. 1-2, 95-99.

CHAPITRE II

COMPORTEMENT DU

MONOCRISTAL EN

LASTOVISCOPLASTICIT

BAS SUR LA THORIE DE

LACTIVATION THERMIQUE

Chapitre II. Comportement du monocristal en lastoviscoplasticit

13

CHAPITRE II

Comportement du monocristal en lastoviscoplasticit bas sur la thorie de

lactivation thermique

II.1 Introduction

Dans ce chapitre, on sintresse tout dabord aux principaux rsultats exprimentaux

(sous sollicitations dynamiques) des aciers plats au carbone concernant leur sensibilit la

temprature, leur sensibilit la vitesse de dformation et les phnomnes de localisation. Les

aciers plats au carbone utiliss comme tles demboutissage ont comme structure cristalline

principale celle de la ferrite (ou fer-) qui est lorigine du comportement macroscopique trs sensible la vitesse de dformation. Cest pourquoi, dans un second volet, on se focalise sur

les mcanismes thermiquement activs pour les mtaux cubiques centrs qui sont lorigine

du comportement du monocristal. Concernant la modlisation de ce comportement, on part du

formalisme gnral des transformations finies mais on se placera dans lhypothse des petites

dformations. La loi dvolution des dformations viscoplastiques capte lessentiel des

mcanismes thermiquement activs et les lois dcrouissage sont dveloppes. Les

phnomnes viscolastiques linaires (tels que leffet Snoek) sont galement modliss.

II.2. Revue bibiliographique

II.2.1. Rsultats exprimentaux pour les aciers pour emboutissage

sous sollicitation dynamique

II.2.1.1. Gnralits

Les aspects sollicitations dynamiques apparaissent dans diverses applications :

linfluence de la vitesse de poinon en emboutissage, le comportement en crash, les

applications de scurit civile (ou militaire), lusinage grande vitesse couvrent des domaines

de vitesse de dformation o lapproche quasi-statique nest plus suffisante. Une transition


14

isotherme-adiabatique a tout dabord lieu en chargement dynamique autour de 1s-1 (tableau

II.1.). Un couplage thermomcanique fort apparat donc pour des vitesses de dformation

suprieures 1s-1.

Vitesse de

dformation

10-7-1s-1

1-50s-1

50-5000s-1

>5000 s-1

Domaines

dapplication

Phnomne

quasi-statique

Scurit dans les

transports

Protections anti-

sismiques

Scurit dans les

transports

Protection contre

les explosions

Protection des

satellites et

applications

militaires

Thermique Isotherme Adiabatique Adiabatique Adiabatique

Pression induite

(effets inertiels)

Non significative Non significative Selon les

matriaux

Trs

leve

Effet transitoire Ngligeable Existant Important Trs important

Tableau II.1. Liste des phnomnes selon la vitesse de dformation [GZ00].

Des effets dinertie apparaissent forte vitesse de dformation et deviennent en gnral

significatifs autour de 50s-1 [GZ00]. Dautres auteurs donnent plutt 10s-1 comme vitesse de

transition quasi statique/dynamique [Rus00].

Les aciers pour emboutissage comme les aciers doux qui sont proches de la composition

chimique du fer pur (quelques ppm.poids de carbone) sont assez proches de lisotropie plane :

dans le plan de la tle, ils prsentent pratiquement les mmes rponses quelle que soit la

direction de sollicitation en traction pour une vitesse de dformation donne (figure II.1.). En

gnral, les courbes exprimentales de traction grande vitesse prsentes dans ce mmoire

seront celles dprouvettes sollicites selon la direction transverse (DT) la direction de

laminage.


15

Figure II.1. Influence de la direction de sollicitation sur les courbes dcrouissage pour

un acier doux [Rus00].

Les aciers doux, qui sont des mtaux cubiques centrs, prsentent par rapport au cuivre

et laluminium (structure cubique face centr) une trs grande sensibilit la vitesse de

dformation [Chi87]. Linfluence de la temprature sur le comportement mcanique des

aciers plats au carbone est galement trs importante et celle-ci joue un rle inverse celui de

la vitesse de dformation [CF70]. Les aciers subissent galement une perte de ductilit

associe des phnomnes de localisation souvent sous forme de striction diffuse suivie de

striction localise visibles lchelle macroscopique. Daprs la figure II.2. qui reprsente

lallure classique dune courbe contrainte-dformation pour un essai de cisaillement

dynamique environ 1000s-1, le premier pic rencontr serait d un effet dinertie coupl

un blocage des dislocations mobiles dans le matriau par des soluts (atmosphres de type

Cottrell). Plus la vitesse est grande, plus le niveau de contraintes atteint par ce pic est lev.

Ensuite, on observe une chute brutale provenant dune relaxation des contraintes due

lavalanche de dislocations mobiles cres ou dbloques de leurs atmosphres. Lcrouissage

devient alors homogne jusqu un maximum correspondant au critre de Considre

[Con1885]. Le coefficient dcrouissage diminue par suite deffets dadoucissement

thermique et de phnomnes de localisation dus un chauffement de lprouvette. Enfin, la

localisation apparat jusqu rupture ductile pour les aciers ferritiques.


16

Figure II.2. Courbe contrainte-dformation classique pour un acier doux en cisaillement

dynamique [Rus00].

La formation de bandes de cisaillement adiabatiques constituent le plus souvent les

mcanismes lorigine de linstabilit mcanique qui se produit grandes vitesses de

dformation et qui conduit une perte de ductilit trs rapide lorsque la vitesse de

dformation augmente [AKS87] [MD88]. Dans le rgime adiabatique, un chauffement non

uniforme a lieu et il sera plus important dans les rgions forte vitesse de dformation. Ainsi,

il apparat un adoucissement thermique qui soppose lcrouissage propre du matriau et au

durcissement par augmentation de vitesse de dformation [FM85].

II.2.1.2. Sensibilit la vitesse de dformation

Les aciers plats au carbone ont une sensibilit marque la vitesse de dformation

[RH66] [CF70] [Har77]. La limite dcoulement est dpendante de la vitesse de dformation

et de la temprature. Daprs la figure II.3., le comportement des aciers plats au carbone

dpend de quatre mcanismes de dformation distincts : une rgion appele athermique (I) o

le matriau est trs peu sensible la vitesse de dformation pour lensemble des tempratures


17

considres, une rgion appele thermiquement active (II) trs sensible la vitesse de

dformation et la temprature et une rgion o ont lieu des phnomnes de drainage

visqueux appele phonon drag ou viscous drag (IV) o la sensibilit est encore plus forte. La

rgion (III), qui nest pas reprsente sur la figure II.3., est due une dformation par

maclage. Celle-ci napparat que dans le cas du fer pur trs grande vitesse de dformation ou

faible temprature [Gra91] ou dans les aciers bas carbone trs faible temprature

galement [RH66] (figure II.4). Cette sensibilit complexe la vitesse de dformation pour ce

type daciers stend aux mtaux cubiques centrs en gnral [NI97] [NGL99]. Dans la rgion

IV, la loi de comportement reliant la vitesse de glissement la contrainte est linaire (figure

II.5.).

Figure II.3. Influence de la vitesse de dformation sur la limite dcoulement en cisaillement

dans le cas dun acier plat au carbone (C=0,12poids%) [CF70].


18

Figure II.4. Domaines temprature/vitesse refltant les diffrents mcanismes de dformation

pour un acier bas carbone [RH66].

Figure II.5. Caractrisation exprimentale du dranage visqueux en cisaillement sur un acier

plat au carbone (C=0,12poids%) [CF70].

La courbe de variation de la limite dcoulement en fonction de la vitesse de dformation

(dans toute la gamme de vitesses de dformation) suit la mme allure avec une sollicitation en

traction [YJHF92]. De plus, moins lacier est charg, plus la sensibilit la vitesse de


19

dformation & est grande [YJHF92]. En considrant une contrainte dcoulement , la forme gnralise de la loi de comportement (contenant n variables internes Xi reprsentatives

de la microstructure) est :

( )iX,T,,f &= , [ ]n,1i . (II-1)

Afin de quantifier la sensibilit la vitesse de dformation, deux paramtres peuvent tre

utiliss :

-le paramtre de sensibilit la vitesse de dformation :

T,log

&= . (II-2)

-le paramtre de sensibilit logarithmique la vitesse de dformation :

T,loglogm

&

= . (II-3)

Pour lacier doux, Rusinek [Rus00] trouve 0,03


20

Dans (II-4), C est la chaleur spcifique du matriau volume constant, d est la densit du

matriau, T& est la variation de temprature, est une constante traduisant la fraction du travail mcanique convertie en chaleur ( 0.9 [TQ34]). Enfin, est la contrainte dcoulement (macroscopique) et & la vitesse de dformation de lessai. Cette approche classique suppose quen tout point du matriau, la dformation est homogne. En supposant

que et T sont des variables indpendantes, la variation de la contrainte dcoulement scrit selon la forme dune diffrentielle totale, soit :

dTT

ddT

+= , (II-5)

ddT

Tdd

T +

= . (II-6)

De (II-4), on tire :

dCd

dT = , (II-7)

do :

dCTdd

T =

. (II-8)

Finalement, en intgrant (II-8), on obtient :

dTdCeadiabatiquisotherme = (II-9)

Dans lexpression (II-9) apparat une contrainte dcoulement isotherme qui est

mesurable exprimentalement sans la ncessit de connatre lavance la sensibilit la

temprature du matriau

T [KN00]. Cette mthode exprimentale consiste tout dabord


21

charger dynamiquement le matriau ( >& 1s-1) jusqu une dformation donne (lchauffement produit un adoucissement thermique) puis de dcharger (le matriau revient

la temprature initiale) et de recharger. Lensemble des points de recharge obtenus chaque

dformation donne la courbe contrainte/dformation isotherme pour un essai monotone de

type traction ou cisaillement grandes vitesses de dformation. La figure II.6. illustre ce type

dessai en compression dans le cas dun matriau cubique centr (tantale) en partant dune

temprature initiale de 296K. Cette mthode constitue un moyen direct de quantifier

ladoucissement thermique du matriau au cours de la dformation.

Figure II.6. Courbe isotherme obtenue aprs plusieurs charges et dcharges successives pour

le tantale en compression ( =& 3000s-1) [KN00].

Lchauffement (suppos homogne) produit au cours dun essai dynamique sera

calcul laide de lquation de la chaleur en prenant en compte la dissipation intrinsque du

matriau et les termes de fuites (cf. paragraphe IV.4.2., chapitre IV.). La modlisation des

effets thermiques permet de reproduire le passage dun rgime isotherme un rgime

adiabatique. Ladoucissement thermique est trs prononc sur les aciers doux [CC00a]. Celui-

ci est moins prsent pour un acier Dual-Phase [CC00b]. Quand la dformation reste

homogne, ladoucissement, suite une augmentation de temprature, est d une diminution

de la contrainte dcoulement avec la temprature.


22

Lchauffement produit sur les aciers est estim partir de la formule suivante en

rgime adiabatique :

=V

dtdC

T

& , (II-10)

avec les notations prcdentes.

Dans la ralit, lchauffement est htrogne et localement beaucoup plus important dans des

bandes adiabatiques lorigine de la localisation grande vitesse de dformation [HDH87].

II.2.1.4. Sensibilit la temprature

Pour un acier doux ferritique type IF (sans interstitiel), lvolution de la limite lastique

avec la temprature pour un essai de traction quasi statique est du mme type que celle de la

contrainte dcoulement due aux barrires de Peierls dans les mtaux cubiques

centrs (figures II.7. et II.8.). Il est remarquer que lorsque la vitesse de dformation

augmente, cette courbe est en thorie dcale vers la droite (figure II.8.). Lorsque la vitesse de

dformation augmente, la rgion appele rgion des basses tempratures, cest--dire la

rgion o la limite lastique volue le plus dans les mtaux cubiques centrs est alors tendue

des tempratures plus leves.

0

50

100

150

200

250

300

-100 -50 0 50 100 150 200 250

T (C)

Rp

0.2%

Figure II.7. Evolution de la limite lastique pour un acier doux

50 ppm.poids de carbone [Dan99].


23

II.2.1.5. Evolution de la structure interne grande vitesse de dformation

De nombreux auteurs ont mis en vidence une structure cellulaire qui apparat pour le

fer- et les aciers doux lors de chargements quasi-statiques. Dans le cas de chargements grande vitesse de dformation, la dformation plastique est beaucoup plus uniforme et la

formation de la structure cellulaire est retarde [Chi87] [Gra91] [Thu92]. De manire

gnrale, en ce qui concerne les sous-structures de dislocations, leffet produit par une

augmentation de la vitesse de dformation est le mme que leffet produit par une diminution

de temprature [KW63] [LKD92].

Par ailleurs, trs grande vitesse de dformation (4000s-1) 298K, tout comme trs

faible temprature (77K) sous chargement statique, Gray a observ la formation de macles sur

des chantillons de fer- [Gra91].

II.2.2. Plasticit des mtaux cubiques centrs

II.2.2.1. Introduction

Les rsultats macroscopiques prsents dans la section prcdente ont montr une

augmentation des limites lastiques lorsque la temprature diminue et lorsque la vitesse de

dformation augmente. Dans cette section, on dcrit les principales caractristiques de la

dformation plastique des mtaux cubiques centrs (C.C.) qui sont diffrentes des mtaux

cubiques faces centres (C.F.C.), ainsi que le mouvement thermiquement activ des

dislocations lorigine de ce comportement.

II.2.2.2. Notion de temprature de transition et influence de la vitesse de

dformation et de la temprature sur le comportement des monocristaux

de fer-

Le fer-, la base des aciers ferritiques comme les aciers doux et Dual-Phase, prsente deux types de comportement suivant la temprature. Ceux-ci sont communs aux mtaux de

structure C.C. tels que le molybdne ou le niobium. Au dessous dune temprature dite de

transition TT , situe entre 200 et 240K pour le fer [LKV79] et proche de lambiante pour les


24

aciers doux [LKD92], la limite lastique dpend fortement de la temprature et varie

denviron 10-2 0K 10-4 la transition ( est le module de cisaillement en lasticit isotrope). Au del de TT , la limite lastique ne varie quasiment plus en fonction de la

temprature et ceci jusqu une temprature proche de 3TF o FT est la temprature de

fusion [Chr83] : le comportement se rapproche de celui des mtaux de structure C.F.C.. Le

rgime au dessus de 3TF , o se produit une chute de la limite lastique due des processus

dauto diffusion et de restauration, ne sera pas pris en compte dans la suite. Daprs Conrad

[Con64], lorsque la vitesse de dformation crot, la temprature de transition TT augmente

galement de 1TT 2TT (figure II.8.). La contrainte dcoulement se compose de deux termes :

( )T,eff &+= , (II-11)

o est la contrainte athermique correspondant au plateau prsent au del de la temprature de transition TT et ( )T,eff & est la contrainte effective due aux processus thermiquement activs responsables de la sensibilit la temprature et la vitesse de dformation au dessous

de TT (figure II.8.).

eff

T

TT1 TT2

&

Figure II.8. Evolution de la contrainte dcoulement en fonction de la vitesse de dformation

et de la temprature dans le domaine des basses tempratures.

Lexplication physique de ces deux types de comportement de part et dautre de TT

vient de la mobilit des dislocations vis qui est diffrente dans ces deux rgimes. Ces rsultats


25

ont t observs lors dessais de traction in situ (par microscope lectronique en transmission)

sur le fer-, le niobium et le molybdne [LKV79]. En effet, la mobilit des dislocations vis dans la structure cubique centre est beaucoup plus faible que celle des dislocations coins

(figure II.9.). Alors que la mobilit des segments coins reste quasi-constante en fonction de la

temprature, la mobilit des dislocations vis augmente rapidement aux basses tempratures

pour atteindre celle des dislocations coins au del de la temprature de transition (figure II.9.).

mobilit

T

Dislocationvis

Dislocation coin

TT

Figure II.9. Mobilits des dislocations de type vis et non vis en

fonction de la temprature.

La rponse mcanique des monocristaux de fer- basse temprature est gouverne par le comportement des dislocations vis. Les dislocations mixtes ou coins glissent sous faibles

contraintes basse temprature et laissent derrire elles de longs diples vis de vecteur de

Burgers a/2. Celles-ci ont une structure de cur tendue en trois dimensions qui est

lorigine de la forte friction de rseau des mtaux cubiques centrs. Ce processus peut tre

dcrit en introduisant un potentiel priodique sinusodal dont les creux correspondent aux

valles et les maxima aux pics de Peierls. Sous leffet dune contrainte applique, le

franchissement de ces pics a lieu par la formation de doubles dcrochements (figure II.10). Ce

mcanisme est thermiquement activ.


26

Figure II.10. Formation de doubles dcrochements dans

la structure C.C.

II.2.2.3. Thorie de lactivation thermique dans les mtaux cubiques centrs

Jusqu une temprature critique TT , la mobilit des dislocations vis, observe par des

expriences in situ en microscopie lectronique en transmission, est faible devant celles de

type coin (figure II.9.). Leur vitesse suit alors une loi de type Arrhenius fortement non linaire

en contrainte [LKV79] [TKC98] :

=

Tk)(Gexp

lLbv

bD2

c

2 , (II-12)

o :

bk est la constante de Boltzmann.

b est le module du vecteur de Burgers.

D est la frquence de Debye. L est la longueur du segment de dislocation vis.

cl est la longueur critique pour la formation dun double dcrochement.

)(G est lnergie libre dactivation (au sens de Gibbs) suppose gale lenthalpie dactivation (terme entropique ngligeable) et qui est fonction de la cission rsolue .

A basse comme haute temprature, les segments coins ont une forte mobilit. Les

dislocations de type coin se dplacent par le mcanisme de drainage de phonons ( phonon

drag en anglais) selon une loi linaire entre leur vitesse et la contrainte effective [KK69]

[TKC98]. Les mcanismes de type phonon drag qui seront voqus dans le paragraphe

Valles de Peierls

Segment vis

Double dcrochement


27

suivant ont lieu aussi bien pour les mtaux C.C. que C.F.C. puisquils sont fonction de la

mobilit des dislocations de type coin. La contrainte dcoulement se dcompose en fait en

une somme de trois termes :

deff ++= , (II-13)

o :

est la contrainte athermique (ou contrainte interne) provenant dobstacles grandes distances (prcipits, sous-structures de dislocations, joints de grains).

eff est la contrainte effective (ou thermiquement active) provenant dobstacles courtes distances comme les barrires de Peierls.

d est la contrainte de dranage visqueux. Celle-ci est significative seulement pour les fortes tempratures et les fortes vitesses ( 13 s10 >& ) [KK69] [FRK84] [JT92] [KN00]. Dans ce paragraphe, on ne tient pas compte de la contrainte de dranage visqueux. La figure II.11.

montre une reprsentation schmatique du profil des champs de contraintes internes longue

et courte distance que rencontre une dislocation mobile dans le rseau cristallin.

Figure II.11. Profil des champs de contrainte rencontr par une dislocation [Con64].

Ainsi, la relation (II-13) se rduit :

=eff . (II-14)

Lexpression du taux de glissement se dduit de la loi dOrowan dfinie par :


28

vbm =& , (II-15) o :

m est la densit de dislocations mobiles. b est le module du vecteur de Burgers.

v est la vitesse moyenne des dislocations vis qui sexprime daprs (II-12) par :

=

Tk)(Gexp

lLbv

bD2

c

2 , (II-16)

o L est la longueur moyenne des dislocations vis.

La relation (II-16) a t vrifie exprimentalement par Louchet et al. [LKV79] en traction in

situ sur du Fe- et par Tang et al. [TKC98] sur le tantale mais les pionniers dans la mesure de vitesses de dislocations sont Johnston et Gilman [JG59] sur des cristaux de LiF. Ainsi, (II-15)

scrit :

=

Tk)(Gexp

br

&& , (II-17)

o :

D2c

3mr l

Lb =& . (II-18)

Propose par Kocks et al. [KAA75], pour un grand nombre de matriaux basse temprature,

le profil de lnergie dactivation de franchissement dobstacles localiss prend la forme

phnomnologique suivante:

( )qp

0

eff0 1GG

= (II-19)

avec :

0G est lnergie dactivation sans contrainte effective. p et q sont des constantes bornes [KAA75] :


29

2q11p0

:

( ))g(effqp

)g(

)g(r

)g(eff

b

2)g(eff

0)g( sgn

1

TkGexp

= && , (II-64)

- sinon : 0)g( =& .

Dans (II-64), les constantes matriau 0& , , G , p et q sont les mmes que celles utilises dans lexpression (II-49). Cette loi ncessite lintroduction dun nouveau paramtre : )g( qui dfinit pour chaque systme de glissement g la contrainte laquelle la dislocation franchit la

barrire de Peierls sans assistance de lactivation thermique, cest--dire T=0K. Par ailleurs,

une loi viscoplastique seuil telle que (II-64) dcrira mieux le comportement aux trs faibles

dformations quune loi viscoplastique sans seuil, notamment pour des essais cycliques

[Cai88] [Cai92]. Pour les essais dynamiques monotones en traction ou cisaillement mens

jusqu des dformations de lordre de 15% (l o lhypothse des petites dformations

devient grossire), la loi (II-49), plus simple sur le plan numrique, sera utilise.

II.3.8. Prise en compte des effets anlastiques dans la modlisation

Aux temps courts, on tient galement compte des contributions anlastiques relatives au

processus physique li leffet Snoek [NB72]. Leffet Snoek correspond au rarrangement

sous leffet dune contrainte applique datomes interstitiels tels que les atomes de carbone.

Dans ce paragraphe, on calcule les complaisances visqueuses linaires supposes isotropes

associes ce phnomne.


50

Dans lhypothse de partition du taux de dformation local en tout point et chaque

instant, on a:

( ) ( ) ( ) ( )t,rt,rt,rt,r vpvle &&&& ++= , (II-65)

o e& est la contribution lastique, vl& est la contribution visqueuse linaire (effet Snoek) et vp& est la contribution viscoplastique.

La loi de comportement lastoviscoplastique scrit donc:

( )( ) :mm:s vpvl ++= && . (II-66)

o s, mvl et mvp sont les tenseurs de complaisances lastiques, visco-linaires et

viscoplastiques. Pour simplifier, on considre la contribution viscolastique sous la forme

linaire telle que :

:m:s vl+= && . (II-67)

Les tenseurs des modules lastiques et visqueux linaires sont alors dfinis par :

1sc = , (II-68)

et

( ) 1vlvl mb = . (II-69)

Le comportement visqueux linaire isotrope compressible est tel que :

klijmvlijkl

mvl

vlijkl I2m += , (II-70)

et

klijvlijklvlvlijkl I2b += . (II-71)

Il faut maintenant considrer un lment de type Maxwell soumis un chargement en

traction. La loi de comportement est du type :


51

+=

E&& , (II-72)

o E et sont respectivement les modules dYoung et la viscosit du matriau. joue le mme rle que E de telle sorte que :

( ) ( )( ) 211

E , 12E

+=+= , (II-73)

et :

( ) ( )( )vlvl vlvlvlvl 211 ,12

+=+= , (II-74)

o et sont respectivement le module de cisaillement lastique et le coefficient de Poisson lastique et vl et vl respectivement le module de cisaillement visqueux linaire et le coefficient de Poisson visqueux linaire associ .

Dans le cas dun chargement en contrainte cyclique, la contrainte peut scrire dans lespace

complexe sous la forme :

ti

0e* = . (II-75)

On a alors :

( ) = ti0e* . (II-76)

Le module complexe est dfini par :

"iE'Esinicose***E

0

0

0

0i

0

0 +=+===

. (II-77)

Ainsi,


52

'E"Etan = . (II-78)

En remplaant les quations (II-75) et (II-76) dans lquation (II-72), on trouve :

*

E*i*i += , et : (II-79)

2222

2

1i

1i1i

iEEi*E

+++=+=+= , (II-80)

avec :

E = . (II-81)

Par consquent :

E1tan == . (II-82)

Des chargements cycliques excuts temprature ambiante sur des aciers bas-carbone

diffrentes frquences f montrent que tan dcrit un pic de relaxation correspondant leffet Snoek [Sno41] une frquence gale 1Hz soit une pulsation = 2 rad.s-1. La valeur maximale du pic a t mesure gale 10-3 daprs Nowick et Berry [NB72]. En prenant

=80000 MPa et E= 208103 MPa, on trouve = 3.3107MPa.s. Comme la valeur de vl est inconnue, nous supposons 3.0vl == . En utilisant (II-74), on trouve finalement :

vl =1.3107 MPa.s et vl =7.5106 MPa.s.

A lissue de ce paragraphe, le tenseur des complaisances visqueuses m qui est une

somme de deux contributions viscolinaires et viscoplastiques : m = mvl + mvp. Daprs (II-

70), mvl est un tenseur compressible isotrope et daprs (II-55), mvp est un tenseur

incompressible anisotrope qui est non inversible. Ainsi, le premier terme non ngligeable aux

temps courts permet dinverser le tenseur m dans les premiers pas de calcul numrique puis il

devient ngligeable devant le second terme qui augmente sous forme dexponentielle avec la

contrainte (figure II.22).


53

Figure II.22. Evolutions schmatiques avec la contrainte des tenseurs de complaisances

viscolastiques linaires mvl et viscoplastiques mvp.

II.4. Conclusion

Les lois dcrivant le comportement lastoviscoplastique des monocristaux de ferrite ont

t prsentes et seront utilises pour modliser la rponse daciers polycristallins lors

dessais vitesse de dformation impose. Ces aciers ont un comportement trs sensible la

temprature et la vitesse de dformation pour des tempratures infrieures la temprature

de transition du matriau proche de lambiante. La modlisation du comportement inlastique,

tablie dans ce chapitre, permet de prendre en compte lensemble de ces effets. La forte

contrainte de Peierls, prsente dans la structure cubique centre, est lorigine du

comportement observ pour les aciers. Ladoucissement thermique prononc pour ce type de

matriaux est galement pris en compte dans la modlisation. Par une approche multi-

systmes, la vitesse de dformation viscoplastique est calcule laide du tenseur de Schmid,

et, le tenseur des complaisances viscoplastiques reprsentant les mcanismes de type

inlastique est dtermin. La modlisation de lcrouissage intracristallin repose sur la loi

dvolution de la variable densit de dislocations qui contient la fois un terme de cration et

dannihilation de dislocations. Linteraction des diffrents systmes de glissement est pris en

compte au travers dune matrice danisotropie de glissement contenant deux termes et

traduisant lauto-crouissage et lcrouissage latent dans les monocristaux cubiques centrs.

La modlisation micromcanique des phnomnes de relaxation anlastique (type effet

Snoek) permet de traduire le comportement viscolastique linaire dans les aciers bas

carbone. Dans lhypothse des petites dformations, le gradient de la vitesse pour le

m

0

mvlmvp


54

monocristal se dcompose sous forme de somme dune partie lastique et dune partie

visqueuse selon le modle de Maxwell. Dans le chapitre suivant, ces lois intracristallines sont

couples des lois dinteractions intergranulaires partir destimations autocohrentes. On

obtient ainsi un comportement macroscopique variables internes permettant, partir dun

comportement local lastoviscoplastique (de type maxwellien), de retrouver le comportement

global dans le cas de matriaux htrognes comme les mtaux polycristallins.


55

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[AKS87] ANAND, L., KIM, K.H., SHAWKI, T.G. (1987) Onset of shear localization

in viscoplastic solids. J. Mech. Phys. Solids 35, No. 4, 407-429.

[Asa83] ASARO, R.J. (1983) Crystal Plasticity. ASME J. Appl. Mech. 50, 921-934.

[Bec95] BECKER, R. (1995) Pencil glide formulation for polycrystal modelling.

Scripta Metall. 32, 2051-2054.

[BL98] BARLAT, F., LIU, J. (1998) Preciptate-induced anisotropy in binary Al-Cu

alloys. Mat. Sci. Engng. A 257, 47-61.

[Cai88] CAILLETAUD, G. (1988) Une approche micromcanique du

comportement des polycristaux. Rev. Phys. Applique 23, 353-365.

[Cai92] CAILLETAUD, G. (1992) A micromechanical approach to inelastic

behaviour of metals. Int. J. Plasticity 8, 55-73.

[CC00a] CAYSSIALS, F., COLATOSTI, A. (2000) Caractrisation dynamique de

lacier ES. Note interne SOLLAC, LEDEPP (Usinor).

[CC00b] CAYSSIALS, F., COLATOSTI, A. (2000) Caractrisation dynamique de

lacier Dual-Phase 600. Note interne SOLLAC, LEDEPP (Usinor).

[CF62] CONRAD, H., FREDERICK, S. (1962) The effect of temperature and

strain-rate on the flow stress of iron. Acta Metall. 10, 1013-1020.

[CF70] CAMPBELL, J.D., FERGUSON, W.G. (1970) The temperature and strain-

rate dependence of the shear strength of mild steel. Phil. Mag. 81, 63-82.

[Chi87] CHIEM, C.Y. (1987) Dynamic effects of microstructures in correlation with

macroscopic plasticity of materials at high rates of strain. In : Impact

Loading and Dynamic Behaviour of Materials, Chiem, C.Y., Kunze, H.-D.

and Meyer, L.W. (eds.) (Vol. 1), DGM-Verlag, Germany, 57-76.

[Chr83] CHRISTIAN, J.W. (1983) Some surprising features of the plastic

deformation of body-centered cubic metals and alloys. Metall. Trans. 14A,

1238-1256.

[Con64] CONRAD, H. (1964) Thermally activated deformation of metals. J. Metals,

July, 582-588.

[Con1885] CONSIDERE, A. (1885) Mmoire sur lemploi du fer et de lacier dans les

constructions. Ann. Ponts et Chausses 9, 574.


56

[Dan99] DANIELOU, A. (1999) Etude des mcanismes de plasticit et de

lamorage des fissures en fatigue dans le domaine de lendurance dans un

acier IFTi et dans du fer ultra pur. Note Interne IRSID (Usinor), France.

[DR64] DORN, J.E., RAJNAK, S. (1964) Trans. AIME, 1052. [EM79] ESSMANN, U., MUGHRABI, H. (1979) Annihilation of dislocations

during tensile and cyclic deformation and limits of dislocation densities.

Phil. Mag. A 40, No. 6, 731-756.

[FM85] FRESSENGEAS, C., MOLINARI, A. (1985) Inertia and thermal effects on

the localization of plastic flow. Acta Metall. 33, No. 3, 387-396.

[Fra83] FRANCIOSI, P. (1983) Glide mechanisms in b.c.c. crystals : an

investigation of the case -iron through multislip and latent hardening tests. Acta Metall. 31, No. 9, 1331-1342.

[Fra84] FRANCIOSI, P. (1984) Etude thorique et exprimentale du comportement

lastoplastique des monocristaux mtalliques se dformant par glissement :

modlisation pour un chargement complexe quasi-statique. Thse

dHabitation de lUniversit de Paris-Nord, France.

[Fra85] FRANCIOSI, P. (1985) The concepts of latent hardening and strain

hardening in metallic single crystals. Acta Metall. 33, No. 9, 1601-1612.

[FRK84] FOLLANSBEE, P.S., REGAZZONI, G., KOCKS, U.F. (1984) The

transition to drag-controlled deformation in copper at high strain rates. Inst.

Phys. Conf. Ser. No. 70, Harding J. (ed.), 71-80.

[Gra91] GRAY III, G.T. (1991) Deformation substructures induced by high rate

deformation. In : Modeling the Deformation of Crystalline Solids, Lowe,

T.C., Rollett, A.D., Follansbee, P.S. and Daehn, G.S. (eds.), The Minerals,

Metals and Materials Society, 145-158.

[GZ00] GARY, G., ZHAO, H. (2000) Etude exprimentale du comportement

dynamique des matriaux. Mc. Ind. 1, 15-26.

[Har77] HARDING, J. (1977) Effect of temperature and strain-rate on strength and

ductility of four alloy steels. Met. Technology, January, 6-16.

[HDH87] HARTLEY, K.A., DUFFY, J., HAWLEY, R.H. (1987) Measurement of the

temperature profile during shear band formation in steels deforming at high

strain rates. J. Mech. Phys. Solids 35, No. 3, 283-301.

[HM77] HOGE, K.G., MUKHERJEE, A.K. (1977) The temperature and strain rate

dependence of the flow stress of tantalum. J. Mater. Sci. 12, 1666-1672.


57

[Hoc99] HOC, T. (1999) Etude exprimentale et numrique de la localisation lors de

changements de trajets dans un acier doux. Thse de Doctorat de lEcole

Centrale de Paris, France.

[HR72] HILL, R., RICE, J.R. (1972) Constitutive analysis of elastic-plastic crystals

at arbitrary strain. J. Mech. Phys. Solids 20, 401-413.

[Hut76] HUTCHINSON, J.W. (1976) Bounds and self-consistent estimates for creep

of polycrystalline materials. Proc. Roy. Soc. London A 348, 101-127.

[JG59] JOHNSTON, W.G., GILMAN, J.J. (1959) Dislocation velocities,

dislocation densities, and plastic flow in lithium fluoride crytals. J. Appl.

Phys. 30, No. 2, 129-144.

[JT92] JOHNSON, J.N., TONKS, D.L. (1992) Dynamic plasticity in transition

from thermal activation to viscous drag. In : Shock Compression of

Condensed Matter 1991, Schmidt, S.C., Dick, R.D., Forbes, J.W. and

Tasker, D.G. (eds.), Elsevier Publishers B.V., 371-378.

[KAA75] KOCKS, U.F., ARGON, A.S., ASHBY, M.F. (1975) Thermodynamics and

kinetics of slip. Prog. Mat. Science 19. Pergamon Press, Oxford, UK.

[Keh65] KEH, A.S. (1965) Work-hardening and deformation sub-structure in iron

single crystals deformed in tension at 298C. Phil. Mag. 12, 9-30.

[KK69] KUMAR, A., KUMBLE, R.G. (1969) Viscous drag on dislocations at high

strain rates in copper. J. Appl. Phys. 40, No. 9, 3475-3480.

[KN67] KEH, A.S., NAKADA, Y. (1967) Plasticity of iron single crystals. Can. J.

Phys. 45, 1101-1120.

[KN68] KEH, A.S., NAKADA, Y. (1968) Yielding, plastic flow and dislocation

substructure in iron single crystals. Trans. JIM 9, 876-884.

[KN00] KAPOOR, R., NEMAT-NASSER, S. (2000) Comparison between high and

low strain-rate deformation of tantalum. Metall. Mat. Trans. 31A, 815-823.

[Ks48] KSTER, W. (1948) Z. Metallkde 39, 145.

[KW63] KEH, A.S., WEISSMANN, S. (1963) Deformation in body-centered-cubic

metals. In : Electron Microscopy and Strength of Crystal, Thomas, G.,

Washburn, J. (eds.), 231-300.

[LB89] LIPINSKI, P., BERVEILLER, M. (1989) Elastoplasticity of

microinhomogeneous metals at larg

theseberbenni.pdf

Documents