thèse quantification sur cône de lumière

ACADÉMIE DE PARIS

UNIVERSITÉ PARIS 7 JUSSIEU

– Denis Diderot –

THÈSE

présentée à l’Université Paris 7 Jussieuen cotutelle avec l’Université de Regensburg

pour obtenir le diplôme de DOCTORAT

SPECIALITÉ: Physique Théorique.

Formation Doctorale: Champs, Particules, Matière

Aspects de la quantification

des théories de champs scalaires

sur le cône de lumière

par

Stéphane SALMONS

Soutenue le 8 DECEMBRE 2000 à Montpellier devant le jury composé de :

M. Pierre Grangé D.R. CNRS Directeur de thèseM. Ernst Werner Professeur Emérite Co-directeur de thèseM. Thomas Heinzl Professeur Assistant RapporteurM. Jean-François Mathiot D.R. CNRS RapporteurM. Vladimir Braun Professeur ExaminateurM. Bertrand Delamotte C.R. CNRS Examinateur

"Ce qui est simple est toujours faux.Ce qui ne l’est pas est inutilisable."

Paul Valéry

Table des matières

I Fondements de la physique sur le cône de lumière 11

1 Les formes de la dynamique relativiste 13

1.1 Dynamique relativiste du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Les formes de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 La Front Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 La théorie quantique des champs sur le cône de lumière 25

2.1 L’algèbre de Poincaré pour les champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Une théorie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Quantification du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Le problème du vide 31

3.1 La nature du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Secteur du vide, secteur des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Résolution des équations aux modes zéros : exemple de la théorie !41+1 . . . . . . 35

II L’approche continue de la quantification sur le cône de lumière 37

4 Les bases de la formulation continue 39

4.1 Quantification et régularisation du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Développement du champ en interaction en série de Haag . . . . . . . . . . . . . 42

5 Le commutateur de Pauli-Jordan 45

5.1 Evaluation à x+ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Evaluation pour x+ quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Calculs à l’ordre 1 57

6.1 Contraintes et régularisation des divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Caractéristiques de la transition de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7 Calculs à l’ordre 2 63

7.1 Contraintes et équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.1.1 L’équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.1.2 La contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2 Résolution approchée des équations du mouvement et des contraintes . . . . . . . 66

7.3 Calcul de la constante de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.4 Fonction "1(g) et comparaison avec les théories critiques . . . . . . . . . . . . . . 69

7.5 Comparaison avec les résultats des théories critiques . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

III La théorie des champs !4 O(N) sur le cône de lumière. 73

8 Développement de la théorie !4O(N) quantifiée par intégrales de chemin 75

8.1 Mise en forme de la fonctionnelle génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.2 Algorithme pour la détermination des diagrammes contribuant aux fonctions decorrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.3 Développement diagrammatique de la fonction à un point . . . . . . . . . . . . . 81

8.4 Développement diagrammatique de la fonction à deux points . . . . . . . . . . . 82

9 Vers la quantification de la théorie !4 O(N) sur le cône de lumière 87

9.1 Contrainte et équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2 Résolution de l’équation du mouvement libre et quantification . . . . . . . . . . . 89

9.3 Calculs des champs d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.1 Champs à l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.2 Champs à l’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.4 Fonctions de corrélation à l’ordre 1N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1 Fonctions à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.2 Fonction à deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.5 Indications sur la phase brisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

A L’ algorithme de Dirac-Bergmann 99

A.1 Théories régulières et singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.2 La procédure de Dirac-Bergmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A.3 La classification des contraintes selon Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

A.4 Formulation pour une théorie de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

B Evaluation des éléments de matrice 109

B.1 Calcul de l’élément de matrice < q+1 |#2

1#2|q+2 > . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B.2 Approche formelle systématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

C Calculs numériques 119

C.1 Optimisation du couplage e!ectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

C.2 Calcul du couplage réduit de Parisi pour l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

D Application pour le calcul des fonctions de corrélation 125

E Publications 153

Remerciements

Je tiens en tout premier lieu à adresser mes plus vifs remerciements à Pierre Grangé, Directeurde Recherche CNRS, pour m’avoir proposé de collaborer avec lui sur ce sujet de recherchepassionnant et original. Je lui suis particulièrement reconnaissant pour son soutien et ses conseilsavisés, et aussi pour m’avoir montré le long chemin de la persévérance.

Je voudrais exprimer également ma très grande gratitude à Ernst Werner, Professeur àl’Université de Ratisbonne, pour m’avoir encadré en faisant preuve d’une disponibilité de chaqueinstant. Pendant mes fructueux séjours à Ratisbonne, j’ai pu apprécier sa compétence ainsi queson sens de l’hospitalité.

Je voudrais remercier André Neveu, Directeur de Recherche CNRS et directeur du Labo-ratoire de Physique Mathématique et Théorique, ainsi que l’ensemble des chercheurs et dupersonnel de cette unité, pour m’avoir accueilli et avoir fait le nécessaire pour que je puisse ytravailler dans des conditions idéales.

Ma gratitude va également à Thomas Heinzl, Professeur Assistant à l’université d’Iéna, pourl’intérêt qu’il a porté à mes recherches et pour m’avoir fait profiter de son expertise.

Je tiens à remercier aussi les étudiants en thèse du laboratoire pour les longues et enrichis-santes discussions de physique que nous avons partagées dans la complicité : Pascal Basheilac,Malik Bezouh, Tarek Nassar, Yan Mambrini, Marius Iacomi et Damien Reynaud.

Merci également à Dominique Caron, Ingénieur, qui a réussi l’exploit de me réconcilier avecles arcanes de l’informatique en faisant toujours preuve d’une bonne humeur revigorante.

Je voudrais aussi dire l’extrême importance des personnes qui m’ont formé tout au long demon apprentissage. Merci à René Boulangeon et à Noël Chornet pour m’avoir donné le goûtde la science et de la rigueur. Merci aussi à mes maîtres d’université : Frédéric Géniet, LouisCecchi, respectivement Maître de Conférences et Professeur à l’Université de Montpellier II,Alain Laverne, Maître de Conférences à l’Université de Paris 7, Bernard Diu, Françoise Balibaret Luc Valentin, Professeurs à l’Université Paris 7, ainsi que Bertrand Delamotte, Chargé deRecherches au CNRS et Pierre Binétruy, Professeur à l’Université Paris XI. Tous à un niveauou à un autre ont contribué au plaisir intense de la découverte et de la pratique de la physique.

J’adresse une pensée pleine de tendresse et d’émotion à Anne pour m’avoir accompagné etsupporté pendant ces années. Son soutien dans les moments di"ciles a été capital.

Enfin et surtout, je voudrais exprimer ma gratitude infinie aux personnes sans lesquelles pasun mot de cette thèse n’aurait vu le jour. Aux personnes qui m’ont ébloui par la perfection deleur présence tout au long de ma vie. Pour leur sensibilité, leur délicatesse et leur intelligence,pour leur présence irremplaçable, que ce travail leur soit dédié.

à mes parents.

Notations et conventions

! égal par définition

gµ! métrique minkowskienne

$µ! métrique du cône de lumière

%p !!

(po)2 " (pi)2 énergie sur couche de masse dans le cas minkowskien

&! ! (p!)2+m2

p+ énergie sur couche de masse sur le cône de lumière

poff ! (p!,p+,p") [ou (po,pi)], impulsion hors couche de masse (“o!-shell”)pon ! (&!,p+,p") [ou (%p,pi)], impulsion sur couche de masse (“on-shell”)

#x,y$M ! xoyo " xiyi produit scalaire minkowskien

#x,y$CL ! 12x+y! + 1

2x!y+ " x"y" produit scalaire du cône de lumière (dans la conventionde Brodsky-Lepage)

sgn(x) fonction signe de x, =

"#

$

1 si x > 0"1 si x < 00 si x = 0

'(x) fonction échelon de x, =

"#

$

1 si x > 00 si x < 012 si x = 0

CLP(AP) Conditions aux Limites Périodiques (Anti-Périodiques)

La lettre x représentera indi!éremment la variable x unidimensionnelle, le quadruplet de co-ordonnées (xo,x1,x2,x3), ou (x+,x!,x"), selon le contexte. On utilisera le mot classique poursignifier non quantique et conventionnelle pour qualifier la quantification dans l’Instant Form.Enfin toutes les sommations seront e!ectuées dans la convention d’Einstein.

Introduction

"Pour l’essentiel, ce point de vue subsiste encoreaujourd’hui et forme le dogme central de la théorie quantique des

champs : la réalité essentielle est un ensemble de champs soumisaux lois de la relativité restreinte et de la mécanique quantique ;

tout le reste n’est qu’une conséquence de la dynamique

quantique de ces champs."

Steven Weinberg

Une des tâches essentielles de la physique théorique du vingtième siècle a été d’élaborer unethéorie rassemblant le principe de relativité d’Einstein avec ceux de la mécanique quantique.Le résultat, la Théorie Quantique des Champs, est le fondement actuel du Modèle Standard dela physique des particules. De façon plus inattendue, elle permit aussi de grands progrès dansla compréhension de la physique statistique, notamment pour les phénomènes critiques. Sonélément central, le champ quantique, est en e!et un objet qui permet de décrire des interactionsà nombre infini de degrés de liberté, ce qui est nécessaire dans la théorie relativiste, où l’équiva-lence masse-énergie implique un nombre de particules indéterminé, mais aussi dans les modèlesdécrivant les phénomènes critiques.

Le processus de quantification, dans sa version canonique par principe de correspondance,s’e!ectue à partir de la formulation hamiltonienne, en faisant correspondre aux crochets de Pois-son, les commutateurs des variables canoniques, considérées comme des q-nombres. Dans cetteoptique, l’élaboration d’une théorie quantique ET relativiste demande donc comme préalableune formulation hamiltonienne de la dynamique relativiste. En 1945 Dirac [12] montre que,contrairement au cas classique, une telle formulation n’est pas unique. A côté de la formulationconventionnelle, qu’il nomme Instant Form, coexistent deux autres formulations (on montreraplus tard [38] qu’il en existe en fait cinq) : la Front Form et la Point Form. Dans l’Instant Form,la surface des conditions initiales est l’hyperplan t=cte, dans la Point Form c’est un hyperbo-loïde de révolution, et dans la Front Form il s’agit d’un hyperplan tangent au cône de lumière.Ces formulations sont équivalentes mais elles présentent des particularités très di!érentes.

Bien que l’essentiel de la Théorie Quantique des Champs se soit développé dans le cadre del’Instant Form, des recherches sont poursuivies depuis Dirac pour bâtir une TQC quantifiée surle cône de lumière (LCQ) (c’est-à-dire dans la Front Form). La question de savoir si l’équivalencede ces formulations survit au processus de quantification est une question encore ouverte. L’enjeuest de taille car l’une des propriétés essentielles de la LCQ est la trivialité de l’état fondamentalde l’hamiltonien en interaction, c’est-à-dire l’état du vide, ce qui simplifie considérablementles calculs. Mais cette médaille semble avoir un bien sombre revers puisque alors, dira-t-on, laLCQ ne pouvant pas décrire un autre vide que le vide trivial, restera cantonnée au domaineperturbatif. En fait la LCQ semble bien capable de décrire un vide non trivial, du moins dansles théories de champs scalaires, où le phénomène de brisure spontanée de symétrie à été décritavec succès [26] [1] [48]. La structure du vide ne pouvant se trouver dans le ket fondamental, elleapparaît en fait dans les opérateurs de mode zéro du champ, qui dépendent des autres modespar une ou des relations aussi complexes que l’hamiltonien en interaction. Cette situation estcaractéristique de la LCQ : elle semble bien décrire la même physique que la TQC conventionnellemais par des concepts, des méthodes et des calculs très di!érents. L’objectif ultime a"ché deces recherches est une formulation consistante de QCD sur le cône de lumière, avec l’espoir queles simplifications apportées sur l’état fondamental de l’hamiltonien permettent de décrire des

domaines non pertubatifs, impossibles à atteindre en quantification conventionnelle. Beaucoupde progrès ont été réalisés [60] [33] [19] [47] [7] mais le but n’est pas encore atteint.

Notre travail se situe dans le cadre plus restreint de la théorie scalaire !4, qui est bien connuedans l’Instant Form et qui permet donc des comparaisons entre les deux formulations. La déter-mination des modes zéros des champs est une étape essentielle. Des tentatives ont été e!ectuées,en utilisant une approximation de champ moyen. Cette thèse s’inscrit dans la continuité de re-cherches qui visent à obtenir une expression des modes zéros par d’autres moyens dans le butd’obtenir des résultats non perturbatifs. La première méthode étudiée utilise un développementen série de Haag associé à un traitement des champs au sens des distributions. Cette méthodepermet en outre un traitement satisfaisant des divergences infrarouges et ultraviolettes et nousa permis d’éclaircir la nature de la limite entre la description discrète et la description continuesur l’exemple de la fonction de Pauli-Jordan. Nous avons également obtenu des résultats dansl’étude de la transition de phase qui se comparent avantageusement avec ceux des méthodesconventionnelles. Le deuxième procédé étudié consiste à rajouter à la théorie !4 une symétrieinterne O(N) pour permettre un développement des modes zéros en série de 1/N. Nos travauxcomplètent et précisent ceux déjà e!ectués dans ce domaine, notamment en ce qui concerne leschamps et les propagateurs. Néanmoins l’étude de la transition de phase dans ce formalismereste à mener.

Première partie

Fondements de la physique sur le

cône de lumière

Chapitre 1

Les formes de la dynamique

relativiste

"Working with a front is a process that is unfamiliar to physicists.

But still I feel that the mathematical simplification that it introducesis all-important. I consider the method to be promising and have recently

been making an extensive study of it. It o!ers new opportunities,

while the familiar instant form seems to be played out."

P.A.M. Dirac (1977)

1.1 Dynamique relativiste du point

En guise d’introduction à la Front Form nous allons examiner le cas de la dynamique relati-viste d’une particule ponctuelle libre.

Son action a une origine géométrique, c’est la longueur de son histoire, prise entre deuxévénements fixes A et B :

S = "m

%

A#Bds

où ds est l’abscisse curviligne : ds =%

gµ!xµx! =!

(xo)2 " (xi)2

Pour faire apparaître un lagrangien, il faut introduire un paramètre d’évolution ( , généra-lement interprété comme étant le temps :

S = "m

% "B

"A

d(

&

(dxo

d()2 " (

dxi

d()2

Il paramétrise l’histoire de la particule xo = xo(() et xi = xi((). Le lagrangien associé à cechoix de paramètre s’écrit donc :

L" (xo,xi) = "m

!(xo)2 " (xi)2

où le point désigne la dérivation par rapport à ( .

La propriété essentielle pour la suite est que cette action est invariante sous changement de( (on dit qu’elle est invariante sous reparamétrisation) :

( $ = f(() & S$ = S

avec ( $A

= (A et ( $B

= (B

13

CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE

Un choix habituel consiste à dire que ( est le temps propre de la particule, soit :

d( = ds

ce qui permet de définir une 4-vitesse (puisque ds est un scalaire de Lorentz alors uµ ! dxµ

d" estbien un 4-vecteur). Ce choix n’est cependant pas adapté à une formulation lagrangienne de ladynamique puisqu’il définit comme “lagrangien” L" = "m .

Un autre choix possible est le temps de l’observateur ( = xo pour lequel le lagrangien s’écrit :

Lxo = "m

&

1 "dxi

dxo

Dans le cas général les équations du mouvement s’écrivent :

d

d(

xµ

!(xo)2 " (xi)2

= 0

soit

xµ(x! .xv) " xµ(xv.xv) = 0

Sur ces quatre équations seules trois sont indépendantes.

On constate en outre que la hessienne

Wµv !)2L

)xµ)xv= "

m2

(x# .x#)[gµv(x

# .x#) " xµxv]*

est de rang 3. Il y a une valeur propre nulle xµWµv = 0

Le lagrangien est donc singulier. Le passage à la formulation hamiltonienne nécessite l’utili-sation de l’Algorithme de Dirac-Bergmann (DBA).1

Les moments conjugués de xµ sont :

" pµ !)L

)(xµ)= m

xµ

%x2

(1.1)

(où le signe moins est conventionnel et x2 !x! .xv )

Ces quatre moments sont liés par une contrainte (comme l’indique le rang trois de la hes-sienne) qui n’est autre que la relation de couche de masse :

pµ.pµ = 0

L’inversion des relations (1.1) donne

xi(() =pi

poxo(()

qui ne dit rien sur xo.

Comme dans la formulation lagrangienne il y a une indétermination.

1. Cf. appendice A. On peut aussi utiliser tout autre méthode adaptée comme, par exemple, celle de Fadeev-Jackiw [16] qui présente l’avantage de traiter directement les contraintes secondaires.

14

1.1. DYNAMIQUE RELATIVISTE DU POINT

L’hamiltonien canonique est même nul :

Hc ! "pµxµ " L = 0

Tout ceci est caractéristique des actions invariantes sous reparamétrisation. Utilisons DBA :

La relation de couche de masse définit une contrainte primaire :

'(() ! p2 " m2 (1.2)

et l’hamiltonien primaire s’écrit :

H1 = u(().'(()

où u(() est un multiplicateur de Lagrange. On constate immédiatement que '(() est unecontrainte de première classe :

{'((),'(()} = 0

et donc la condition de consistance '(() = 0 ne permet pas la détermination de u((). Leséquations d’Hamilton, encore indéterminées à ce stade, s’écrivent :

'xµ = {xµ,H1} = "2u(()pµ

pµ = {pµ,H1} = 0

Pour déterminer u(() et fixer la dynamique il faut imposer une condition subsidiaire (ou dejauge) sur les variables dynamiques et sur ( :

!(xµ,() = 0

Sa relation de consistance s’écrit :

!(() !)!

)(+ {!,H1} = 0

et on en tire :

u(() =)!

)(

1

2 $!$x! p#

On voit qu’il est crucial que ! dépende à la fois de ( et au moins de l’un des x#.

Cette condition subsidiaire exprime donc le paramètre d’évolution en fonction des coordon-nées et correspond à un choix de paramétrisation. On peut l’écrire sous la forme :

!(xµ,() = ( " F (xµ) (1.3)

Dans le cas conventionnel elle s’écrit simplement :

!(xµ,() = ( " xo

qui donne u(() = " 12po

15


L’hamiltonien primaire est alors 2 H1 = " p2!m2

2po

et les équations d’Hamilton :

(xi = {xi,H1} = pi

po

pi = {pi,H1} = 0

1.2 Les formes de Dirac

La dynamique relativiste d’une particule est donc engendrée pour partie par la contrainteprimaire (1.2) et pour partie par la condition subsidiaire (1.3). La première contient l’informationdynamique et la seconde fixe le paramètre d’évolution. Dirac s’est demandé combien de choixpossibles il y avait pour cette condition !. Choisir un paramètre de temps revient à fixer lasurface sur laquelle on exprime les conditions initiales. De fait, à chaque ! correspond unefoliation de l’espace de Minkowski paramétrée par ( = F (xµ) = cte. A une surface donnéecorrespond un temps unique fixé (dans le cas habituel ( = xo , il s’agit bien sûr des hyperplansde genre espace orthogonaux à l’axe xo) , une métrique et un système de coordonnées naturel.

Appelons &i(xµ) les trois coordonnées qui paramétrisent notre surface et &o(xµ)! ( le temps.Alors

ds =!

gµ!dxµdx! =

)

gµ!)xµ

)&%)x!

)&&d&%d&&

où

$%& ! gµ!)xµ

)&%)x!

)&&(1.4)

est la métrique naturelle pour ces coordonnées ($ij est la métrique de la surface ( = F (xµ) = cte).

Pour être acceptables les surfaces initiales doivent respecter la condition de causalité suivante:couper toutes les lignes d’univers, une seule et unique fois. En outre toute formulation de ladynamique relativiste doit engendrer une représentation du groupe de Poincaré en termes de sesvariables dynamiques. Ces conditions sont très restrictives et Dirac a montré [12] qu’il n’existeque trois sortes de surfaces qui la respectent 3: l’Instant Form, la Point Form et la Front Form. Laquestion se pose de savoir quelle est la meilleure surface initiale, donc la meilleure formulation dela dynamique relativiste. Il n’y a pas de réponse absolue à cette question et chaque formulationsemble jouir d’avantages et d’inconvénients selon les situations auxquelles on l’applique.

Cependant on s’attend à ce que la dynamique d’un système relativiste soit la plus simplepossible si le nombre de générateurs du groupe de Poincaré qui font évoluer le système hors de lasurface intiale est minimum. On appelle ces générateurs les générateurs dynamiques, puisqu’ilscontiennent les informations sur l’interaction. Les autres, qui forment un groupe, dit de stabilité,laissent invariante la surface initiale et sont appelés générateurs cinématiques.

Une transformation de Poincaré s’écrit :

U(%µ! ,aµ) = e!12Mµ"'µ"+P µaµ

où Mµ! et Pµ sont les générateurs :

2. Cet hamiltonien est équivalent à l’hamiltonien habituel Hp =p

(pi)2 + m2 (on vérifie qu’il engendre lesmêmes équations d’Hamilton). Pour l’obtenir, il su!t de considérer la contrainte sous la forme (équivalente)

! = po !p

(pi)2 + m2 " 0. Alors u(") = !1 et H1 # u! = !po +p

(pi)2 + m2. Comme xo = " n’estplus une variable dynamique, sa variable conjuguée po se comporte comme une constante et n’est plus unevariable dynamique (la dérivation par rapport à po disparaît des crochets de Poisson). L’écriture la plus simplede l’hamiltonien est bien H1 =

p(pi)2 + m2.

3. En fait Leutwyler et Stern [38] ont montré plus tard qu’il en existait 2 de plus. Il y a donc 5 formespour la dynamique relativiste mais, à notre connaissance, ces deux dernières formes n’ont pas (encore?) trouvéd’utilisation pratique.

16

1.2. LES FORMES DE DIRAC

Moi = Ki génèrent les boosts,M ij = +ijkJk génèrent les rotations, etPµ génèrent les translations d’espace-temps

et %µ! et aµ sont les paramètres. Les tenseurs Mµ! et %µ! étant antisymétriques et de mêmestructure.

Ces générateurs obéissent à l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré :

[Pµ,P ! ] = 0[Mµ! ,P (] = g!(Pµ " gµ(P !

[Mµ! ,M(#[ = gµ#M!( + g!(Mµ# " gµ(M!# " g!#Mµ((1.5)

Une réalisation simple de cette algèbre à l’aide des variables dynamiques est :

Pµ ! pµ, et Mµ! ! xµp! " x!pµ (1.6)

avec{xµ,p!} = "gµ! (1.7)

Cette réalisation est triviale dans le sens où elle ne décrit aucune interaction et ne représenteaucun choix de paramétrisation.

Une transformation infinitésimale s’écrit :

,U(%µ! ,aµ) = "1

2Mµ!,%µ! + Pµ,aµ

et l’action de ,U sur une fonction scalaire F (xµ) est :

,F = {F,,U} = )!F $()U)$p" = "xµ)!F.,%µ! + )!F.a!

= " 12 (xµ)! " x!)µ)F.,%µ! + )µF.aµ (1.8)

Examinons à présent les 3 formes de Dirac.

! L’INSTANT FORM

C’est la formulation conventionnelle de la dynamique relativiste.

Paramètre d’évolution : ( ! xo

Surface intiale : " : xo = 0

Coordonnées naturelles : xµ (coordonnées lorentziennes)

La métrique naturelle est bien sûr la métrique minkowskienne :

gµ! =

*

++,

1"1

"1"1

-

../ (1.9)

Représentation du groupe de Poincaré

Pour bâtir la représentation du groupe de Poincaré engendrée par l’Instant Form nous devonsajouter dans (1.6) l’information sur la dynamique (1.2) et sur le choix de l’Instant Form (1.3).Cela revient à éliminer la variable po dans (1.6) et à prendre xo = 0. On obtient :

17


P i = pi M ij = xipj " xjpi

P o = %p M io = xi%p

avec %p !!

(pi)2 + m2

Groupe de stabilité :

L’action d’une tranformation de Poincaré (1.8) sur la surface initiale F (xµ) ! xo donne :

,F = {F,,U} = "xi,%io + ,ao

On lit sur cette relation les générateurs dynamiques :

– l’hamiltonien : P o

– les 3 boosts : K1, K2, K3

et les générateurs cinématiques:

– les 3 translations d’espace : P 1, P 2, P 3

– les 3 rotations : J1, J2, J3

Le groupe de stabilité est donc de dimension 6.

! LA POINT FORM

Paramètre d’évolution : ( =%

x#x#

Surface initiale : " : (xo)2 " (x1)2 " (x2)2 " (x3)2 = cte. Il s’agit des hyperboloïdes derévolution centrés autour du point 0 4. Ils sont entièrement contenus à l’intérieur du cône delumière et respectent la condition de causalité, excepté pour le cas ( = 0, où l’hyperboloïde seréduit au cône de lumière qui n’est pas une surface acceptable. Pour éviter cela on choisit ( > 0.

Coordonnées naturelles :

Les coordonnées naturelles sont les coordonnées hyperboliques :

x0 = (ch%x1 = (sh%sin'cos#x2 = (sh%sin'sin#x3 = (sh%cos#

De (1.4) et (1.9) on tire la métrique locale de l’hyperboloïde :

*

++,

1 0 0 00 "(2 0 00 0 "(2sh2% 00 0 0 "(2sin2'sh2%

-

../

Représentation du groupe de Poincaré : On pourrait, de la même façon que précédem-ment, éliminer dans (1.6) la variable dynamique associée à ( , mais les coordonnées hyperboliques

4. On pourrait, en définissant " =$

x2 ! a2, centrer ces hyperboloïdes autour de tout autre point.

18

1.3. LA FRONT FORM

compliquent un peu l’opération. Il est plus simple de suivre la méthode Dirac qui consiste à in-troduire dans (1.6) la contrainte (1.2) avec des multiplicateurs de Lagrange -µ et -µ! qui serontdéterminés en demandant que les crochets de Poisson de Pµ et Mµ! avec x#x# soient nuls:

Pµ = pµ + -µ(p#p# " m2)

Mµ! = xµp! " x!pµ + -µ!(p#p# " m2)

Il vient :

-µ = "xµ

2(p#x#)et -µ! = 0

et doncPµ = pµ " xµ

2(p!x!)(p#p# " m2)

Mµ! = xµp! " x!pµ

Générateurs et groupe de stabilité : On lit directement sur la représentation précédenteque les rotations et les boosts sont cinématiques dans la Point Form, ce qui n’est pas surprenantpuisque les surfaces initiales " : ( =

%x#x# = cte sont des scalaires sous le groupe de Lorentz.

C’est d’ailleurs là le principal avantage de la Point Form. Les 4 moments Pµ sont dynamiques,le groupe de stabilité est donc de dimension 6, comme dans l’Instant Form. L’autre avantagede la Point Form est que la séparation entre générateurs cinématiques et dynamiques respectele caractère tensoriel de ces quantités rendant les équations transparentes à ce point de vue.Cependant les coordonnées hyperboliques rendent la quantification particulièrement di"cile etpeu de travaux ont été e!ectués [17] [56] dans cette forme de la dynamique relativiste.

1.3 La Front Form

C’est la formulation dans laquelle on va se placer dans toute la suite de ce travail.

Paramètre d’évolution : On choisit comme axe temps l’axe ( ! xo + x3 . C’est l’une desgénératrices du cône de lumière.

Surface intiale : La surface correspondante a pour équation : " : xo "x3 = 0. C’est l’hyper-plan tangent au cône de lumière et orthogonal (au sens minkowskien) à l’axe xo + x3 = 0. Onl’appelle parfois le “front de lumière” 5. La condition de causalité n’est pas pleinement satisfaitepour les particules de masse nulle, puisque leurs histoires sont contenues dans le front de lumière.On peut donc s’attendre (et c’est ce qui arrive) à avoir des problèmes pour formuler sur le cônede lumière les théories à masses nulles. Dans la suite on s’intéressera seulement aux théoriesmassives.

5. Le choix de " # xo+x3 comme paramètre d’évolution est purement conventionnel. On pourrait pareillementchoisir " # xo ! x3 et ! : xo + x3 = 0. Notre choix est cependant le plus répandu dans la littérature.

19


Cône et front de lumière

Coordonnées naturelles :

Les coordonnées naturelles de la Front Form sont celles du cône de lumière :

xµCL = Cµ

!x! avec Cµ

! !

*

++,

1 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 "1

-

../

On notera

Cµ! ! [C!1]!µ=

*

++,

12 0 0 1

20 1 0 00 0 1 012 0 0 " 1

2

-

../

En pratique 6:xo

CL = xo + x3 ! x+

x1CL = x1

x2CL = x2

x2CL = xo " x3 ! x!

Les composantes inchangées x1, x2, notées collectivement xi ou x", sont dites transverses,tandis que la composante x!est dite longitudinale 7.

La métrique induite s’obtient à partir de (1.4) et de (1.9):

$µ! =

*

++,

0 0 0 12

0 "1 0 00 0 "1 012 0 0 0

-

../ (1.10)

et conduit au produit scalaire

x.y =1

2x+y! +

1

2x!y+ " x"y"

6. L’indice CL sera sous-entendu partout où on utilisera les indices +,% , et!. Ainsi par exemple xoCL = x+.

Par ailleurs on notera que ce système de coordonnées n’est plus lorentzien puisque le déterminant de C est -2.

7. Ces appellations proviennent du «référentiel de moment infini» («infinite momentum frame»). Voir plusloin.

20

1.3. LA FRONT FORM

Le caractère antidiagonal de (1.10) dans les indices + et " a pour e!et, lors du passagedes coordonnées contravariantes aux coordonnées covariantes, de changer aussi la nature de lacomposante :

x+ = 12x!

x! = 12x+

Ceci est particulièrement important pour les opérateurs di!érentiels, puisque :

)! = $$x"

= 12

$$x+ = 1

2)+

)! = $$x" = 2 $

$x+= 2)+

ne dérivent pas par rapport à la même variable. C’est pour cela que les équations dynamiquessur le cône de lumière ont une structure di!érente de celles de l’Instant Form. D’autre part ledéveloppement du produit scalaire :

p.x =1

2p+x! +

1

2p!x+ " p"x"

montre que si x+ est la coordonnée de temps alors c’est p! , c’est-à-dire la quatrième com-posante du 4-vecteur p, qui est l’énergie du système.

Représentation du groupe de Poincaré

Dans les coordonnées du cône de lumière la contrainte (1.2) s’écrit :

p! =(p")2 + m2

p+(1.11)

Cette relation se di!érencie de son analogue dans l’Instant Form sur plusieurs points :

– absence de racine carrée– p+ et p! sont de même signe– discontinuité en p+ = 0

qui suggèrent que la physique sur le cône de lumière doit s’exprimer de façon radicalementdi!érente. Nous reviendrons sur ces points dans la suite. On peut aussi remarquer que la limitedes grandes énergies p! peut s’obtenir avec de grands p" , mais aussi avec de petits p+, ce quia des conséquences majeures sur la renormalisation et constitue la base des travaux de Wilsonsur l’application du groupe de renormalisation aux théories sur le cône de lumière [63]

De (1.11) et de (1.6), et en prenant x+ = 0, on tire la représentation du groupe de Poincaré :

P+ = p+ M!+ = x!p+

P" = p" M"+ = x"p+

P! = &!p M"! = x"&!p " x!p"

et M12 = x1p2 " x2p1

avec &!p ! (p!)2+m2

p+

(1.12)

Générateurs et groupe de stabilité :

Ecrivons les générateurs dans les coordonnées du cône de lumière :

PµCL = Cµ

!P!, Mµ!

CL = Cµ%M

%&C!&

donne :

21


P+ = P o + P 3

P! = P o " P 3

P" = P 1, P 2

M+1 = J2 + K1 ! E1

M+2 = "J1 + K2 ! E2

M+! = "2K3

M!1 = "J2 + K1 ! F 1

M!2 = J1 + K2 ! F 2

M12 = J3

L’action de ces générateurs sur la surface intiale " : x+ = 0 est, d’après (1.8) :

,F = {F,,U} = "2x",%"! + 2,a!

où on lit les générateurs dynamiques :

– l’hamiltonien P!

– les M"!, c’est-à-dire F 1 et F 2 qui génèrent les rotations autour des directions transverses

et les générateurs cinématiques 8 :

– Les 3 translations d’espace P+, P 1, P 2

– les M"+, c’est-à-dire E1 et E2 qui génèrent les boosts dans les directions transverses– M12, c’est-à-dire J3 le générateur des rotations autour de l’axe longitudinal– M+!, c’est-à-dire "2K3 le générateur des boosts dans la direction longitudinale.

C’est donc dans la Front Form que le groupe de stabilité, de dimension 7, est maximal.

Quelques propriétés du groupe de Poincaré sur le cône de lumière :

Un boost longitudinal est un simple changement d’échelle. La représentation matricielle deK3 dans une base lorentzienne étant

[K3Lz]

µ! =

*

++,

0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

-

../

on en déduit sa représentation sur le cône de lumière :

[K3CL]µ ! = C%

! [K3Lz] C

&! =

*

++,

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 "1

-

../

Si on considère deux systèmes de coordonnées reliés par un boost longitudinal de rapidité %, soit x

#µ = e!12'(!2[K3

CL]µ")x! , on obtient :

x#+ = e'x+

x#! = e!'x!

Ainsi le comportement du système dans un tel boost est particulièrement simple. On peut ànouveau remarquer que seule la surface x+ = 0 est invariante.

A l’aide de (1.12) et de (1.7) on peut calculer sans di"culté les relations de commutation(cf. tableau ci-après). On voit apparaître plusieurs structures :

– J3, F 1 et F 2 forment un sous-groupe :

8. Le générateur K3 n’est cinématique que si l’on choisit explicitement x+ = 0 , à l’exclusion de tout autreconstante, contrairement aux autres générateurs cinématiques qui le restent pour toute surface du type x+ = cte.

22

1.3. LA FRONT FORM

{F 1,F 2} = 0{J3,F i} = +ijF j

– K3, E1, et E2 forment un sous-groupe du groupe de stabilité :

{E1,E2} = 0{K3,Ei} = Ei

– P i, P!, P+ Ei,et J3 constituent un sous-groupe isomorphe au groupe de Galilée à 1+1dimensions :

{J3,Ei} = +ijEi

{J3,P i} = +ijP i

{Ei,P!} = "2P i

{Ei,P j} = ",ijP+

avec tous les autres crochets de Poisson qui sont nuls. On peut vérifier l’isomorphisme enidentifiant P! à l’hamiltonien, P i aux deux générateurs des translations d’espace, J3 à la rota-tion, Ei aux deux boosts galiléens et P+ à la masse qui est l’opérateur de Casimir. L’existencede ce sous-groupe galiléen laisse supposer qu’on va retrouver dans la dynamique sur le cône delumière certains aspects de la dynamique galiléenne. Et c’est e!ectivement ce qui se passe. Onpeut montrer [58] [32] que dans un système de particules en interaction sur le cône de lumière, lemouvement relatif découple du mouvement global du centre de masse, exactement comme dansle cas non relativiste.

P! P+ P 1 P 2 E1 E2 J3 K3 F 1 F 2

P! 0 0 0 0 2P 1 2P 2 0 P! 0 0P+ 0 0 0 0 0 0 0 "P+ 2P 1 2P 2

P 1 0 0 0 0 P+ 0 "P 2 0 P! 0P 2 0 0 0 0 0 P+ P 1 0 0 P!

E1 "2P 1 0 "P+ 0 0 0 "E2 "E1 2K3 "2J3

E2 "2P 2 0 0 "P+ 0 0 E1 "E2 2J3 2K3

J3 0 0 P 2 "P 1 E2 "E1 0 0 F 2 "F 1

K3 "P! P+ 0 0 E1 E2 0 0 "F 1 "F 2

F 1 0 "2P 1 "P! 0 2K3 "2J3 "F 2 F 1 0 0F 2 0 "2P 2 0 "P! 2J3 "2K3 "F 1 F 2 0 0

Groupe de Poincaré sur le cône de lumière : le rectangle gris foncé est le groupe

de stabilité, le rectangle en gris clair (chevauchant le précédent) est le sous-groupe galiléen.

23


24

Chapitre 2

La théorie quantique des champs

sur le cône de lumière

"Qu’exige la lumière? Que tu t’y perdes."

Vilhelm Ekelund

2.1 L’algèbre de Poincaré pour les champs

Dans la suite on va considérer une théorie d’un champ scalaire !(x) dotée d’une interactionV (!) sans terme dérivatif:

L !1

2)µ!)µ!"

1

2m2!2 " V (!) (2.1)

Suite à l’invariance de Poincaré de ce lagrangien on sait, par application du théorème deNoether, qu’il existe 2 “courants conservés” :

square le tenseur énergie-impulsion T µ! ! $L$($µ*))

!! " $µ!L = )µ!)!! " $µ!L

square et le tenseur boost-angulaire J(µ! ! T (!xµ " T (µx!

dont les intégrales à travers une surface initiale " : ( = F (x) sont les “charges conservées”:

Pµ !0"T µ!d.!

Mµ! !0"J(µ!d.(

qui obéissent à l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré.

Plaçons-nous sur le cône de lumière :

L !1

2)+!)" ! "

1

2()"!)2 "

1

2m2!2 " V (!) (2.2)

donne l’équation du mouvement:

()+)! + m2)! = ",V (!)

,!(2.3)

L’élément de surface de la surface " : ( = x+ = 0 s’écrit :

25

CHAPITRE 2. LA THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS SUR LE CÔNE DE LUMIÈRE

d.µ =1

2dx!d2x"nµ

avec nµ !

*

++,

1000

-

../vecteur normal à " . On obtient pour les générateurs :

Pµ = 12

0T µ+dx!d2x"

Mµ! = 12

0(T +!xµ " T +µx!)dx!d2x"

Dans le cas du champ libre (V = 0 ) on obtient explicitement :

P+ = 12

0dx!d2x"()+!)2

P" = 12

0dx!d2x"[)+!)"!]

P! = 12

0dx!d2x"[()"!)2 + m2!2]

J3 = 12

0dx!d2x")+[x1)2!" x2)1!]

K3 = 14

0dx!d2x"x!()+!)2

Ei = 12

0dx!d2x"xi()+!)2

F i = 12

0dx!d2x" 1

xi[()"!)2 + m2!2] " x!)+!)i!2

2.2 Une théorie singulière

A partir de maintenant, on va se placer à 1+1 dimensions. Le terme cinétique du lagrangien(2.2) est linéaire dans les vitesses $*

$x+ = 12)

!! et cela signifie que le lagrangien est singulier 1.Le référentiel du cône de lumière ne peut donc pas être approché par une suite de référentiels deLorentz dont on ferait tendre l’impulsion p3 vers l’infini 2. Une telle limite est discontinue puisquedans tout référentiel lorentzien le lagrangien (2.1) demeure régulier : les structures simplectiquessont di!érentes. Historiquement c’est cependant par ce biais que de nombreuses recherches ontcommencé, notamment avec Weinberg [62] et Susskind [58] .

Il faut donc utiliser l’algorithme de Dirac-Bergmann pour construire la dynamique. Le mo-ment conjugué du champ est :

# !)L

)( $*$x+ )

= )+!

qui est indépendant de )!! et engendre la contrainte primaire :

'(x) = #(x) " )+!(x) ' 0 (2.4)

1. La hessienne est identiquement nulle : W (x,y) = !2L![""#(x)]![""#(y)]

= 0

2. On considère un référentiel lorentzien, qu’on appelle référentiel de moment infini, se déplaçant selon l’axe

x3 à vitesse v par rapport à celui du laboratoire. On a p3IMF = p3+vpo

$1!v2

. Dans la limite v & 1 l’impulsion

longitudinale p3IMF devient infinie et la description du mouvement s’e"ectue en unité de # # p3 + vp0 qui reste

fini. Dans cette limite du ”moment infini”, # s’identifie à l’énergie p! sur le cône de lumière.

26

2.2. UNE THÉORIE SINGULIÈRE

L’hamiltonien primaire s’écrit :

H1(x+) = HC(x+) +

%dy µ(y)'(y)

où Hc est l’hamiltonien canonique

HC =

%dx!

31

2m2!(x)2 + V (!(x))

4

Sachant que

)+(x))*(z) = " )($+*(x))

)*(z) = "$+()*(x)))*(z) = ")+

x ,(x " z)

)+(x))#(z) = ,(x " z)

(2.5)

on obtient pour la matrice des contraintes primaires :

C(x,y) = )!y ,(y " x) " )!

x ,(x " y)

C’est un opérateur di!érentiel dont l’action sur une fonction f quelconque est :

%dy C(x,y)f(y) = "4

)f(x)

)x!

La condition de consistance s’écrit :

'(X) = {'(x),H1} = {'(x),HC(x+)} +

%dyC(x,y)µ(y)

soit)

)x!µ(x) =1

4B(x) (2.6)

avec B(x) ! "{'(x),HC(x+)}. La forme de C(x,y) montre que l’unique contrainte '(x) estde deuxième classe. L’équation (2.6) est e!ectivement soluble 3 et C(x,y) admet pour inverse :

C!1(x,y) = "1

4sgn(x! " y!)

d’où

µ(x) = "1

4

%dy!sgn(x! " y!)B(x+,y!)

La dynamique est alors entièrement déterminée par les crochets de Dirac :

{A(x),B(y)}%x+=y+

= {A(x),B(y)}x+=y+

+ 14

0dzdw{A(x),'(z)}

x+=z+sgn(z! " w!){'(w),B(y)}w+=y+

(2.7)

3. La solution la plus générale est en fait : C!1(x,y) = ! 14 sgn(x! ! y!) + g(x+), où g(x+) est une fonction

arbitraire que nous prenons ici nulle. Elle peut être déterminée par un choix de conditions aux limites.

27


En utilisant (2.5) et (2.7) on trouve les crochets fondamentaux :

{!(x),!(y)}%x+=y+ = " 14sgn(x! " y!)

{#(x),#(y)}%x+=y+ = 14

$$x" ,(x! " y!)

{!(x),#(y)}%x+=y+ = 12,(x

! " y!)

(2.8)

Les deux premiers crochets, non nuls, indiquent qu’il existe une relation causale entre deuxchamps pris à temps égaux. Cette situation contraste avec la dynamique conventionnelle dansles référentiels de Lorentz, mais n’est pas étonnante puisque la surface des temps égaux est icijustement de genre lumière. Ces résultats ont été obtenus par d’autres auteurs, avec d’autresméthodes, dans des contextes di!érents. Notamment, en étudiant l’invariance par translation lelong du plan xo+x3 = 0, Neville et Rohrlich [43] trouvent aussi un facteur 1

2 dans le commutateur[!(x),#(y)] = 1

2,(x! " y!).

Signalons un autre aspect du caractère singulier de la théorie : le problème de Cauchy estmal posé. A priori la connaissance des conditions initiales sur les surfaces caractéristiques del’équation hyperbolique (2.3), par exemple x+ = 0 et x! = 0, est nécessaire pour en déterminercomplètement les solutions. Or dans la Front Form la quantification est réalisée sur l’hyperplanx+ = 0, en faisant correspondre les crochets (2.8) à des commutateurs. Pour satisfaire auxcritères du problème de Cauchy il faudrait aussi quantifier le champ sur la surface x! = 0,comme l’ont noté plusieurs auteurs [43] [55] [31], ce qui a pour inconvénient d’introduire undeuxième temps et d’obscurcir ainsi l’élaboration d’une formulation hamiltonienne.

Néanmoins, Heinzl et Werner [31] ont montré que la valeur du champ sur la surface x! = 0pouvait s’exprimer entièrement en fonction de celle sur x+ = 0, pourvu que l’on introduise desconditions aux limites périodiques, levant ainsi l’apparente ambiguïté dans la formulation duproblème de Cauchy.

2.3 Quantification du champ libre

La contrainte (2.4) étant de seconde classe, la quantification est réalisée en remplaçant lescrochets de Dirac dans (2.8) par les commutateurs et en élevant les champs fondamentaux !et # au rang d’opérateurs 4. Dans le cas du champ libre V ! 0, l’équation du mouvement estl’équation de Klein-Gordon sur le cône de lumière :

()+)! + m2)!(x) = 0

soit dans l’espace de Fourier 5:

("4k+k! + m2)5!(k) = 0

avec

!(x) =

% +&

!&

dk+dk!

(2/)25!(k)e!i(k+x"+k"x+)

Il existe donc une distribution !(k) telle que

5!(k) = ,(4k+k! " m2)!(k)

4. L’autre approche possible, la quantification par intégrale de chemin des systèmes singuliers, a été étudiéepar Senjanovic [54].

5. Le facteur 4 vient des facteurs 12 dans la métrique.

28

2.3. QUANTIFICATION DU CHAMP LIBRE

d’où :

!(x) =0 +&0

dk+

2,

0 +&!&

dk"

2,+(k")|k+| ,(k! " &!k )!(k+,k!)e!

i2 (k+x"+k"x+)

+0 0!&

dk+

2,

0 +&!&

dk"

2,+(!k")|k+| ,(k! " &!k )!(k+,k!)e!

i2 (k+x"+k"x+)

La di!érence avec la résolution en coordonnées de Minkowski est, qu’ici, l’énergie on-shell &!k !m2

k+ dépend du signe de k+, d’où la séparation en deux intégrales ci-dessus.

On obtient :

!(x) =0 +&0

dk+

2,1

k+ !(k+,&!k )e!i2 (-"k x++k+x")

+0 +&0

dk+

2,1

k+ !("k+, " &!k )ei2 (-"k x++k+x")

après avoir changé k+ en "k+ dans la deuxième intégrale.

En posant comme prescription de quantification, pour k+ > 0 :

!(k+,&!k )!

2(2/)k+

*(k+,-"k )'2,k+

( ak

*(!k+,!-"k )'2,k+

( a†k

avec1ak,a†

q

2= ,(k+ " q+)

on vérifie les commutateurs fondamentaux (2.8) et on obtient :

!(x) =1%2/

% +&

0dk+ 1%

k+

6a†

kei2kon.x + ake!

i2kon.x

7(2.9)

On voit apparaître, outre la divergence ultraviolette déjà présente en quantification conven-tionnelle, une divergence infrarouge en k+ ( 0. Schleider et Seiler [51], ainsi que Maskawa etYamawaki [40] [42], ont montré qu’il était impossible de définir de façon consistante les opé-rateurs ak et a†

k en y incluant le point k+ = 0 6. Longtemps on a considéré cette divergencecomme une singularité supplémentaire qui venait s’ajouter à la divergence ultraviolette. Nousmontrerons dans la deuxième partie qu’il n’en est rien.

Il est instructif de construire un propagateur de Feynman à partir de l’expression (2.9). Pourcela on utilise le produit chronologique T + qui ordonne les opérateurs selon les x+croissants .

i$F (x"y) !< 0|T +!(x)!(y)|0 >= '(x+"y+) < 0|!(x)!(y)|0 > +'(y+"x+) < 0|!(y)!(x)|0 >(2.10)

A l’aide de la représentation intégrale de la fonction ':

'(x+ " y+) = lim.#0i

2/

% +&

!&dw

e!iw(x+!y+)

w + i+(2.11)

et après avoir fait le changement de variable : w = k! " &!k on obtient :

$F (x " y) =0 +&!&

dk"

2,

0 +&0

dk+

2,e"i[k"(x+"y+)+k+(x""y")]

k+[k"!-"k +i.]

+0+&!&

dk"

2,

0 +&0

dk+

2,e"i[k"(y+"x+)+k+(y""x")]

k+[k"!-"k +i.]

(2.12)

6. L’exclusion de la valeur k+ = 0 dans la définition des opérateurs ne modifie cependant pas l’intégralepuisque c’est un point de mesure nulle.

29


En faisant le changement k! ( "k! et k+ ( "k+ dans la seconde intégrale on obtientfinalement :

$F (x " y) =0 +&!&

dk"

2, e!ikoff (x!y)60 +&

0dk+

2,1

k+[k"!-"k +i.]+0 0!&

dk+

2,1

!k+[!k"+-"k +i.]

7

=0 +&!&

d2k(2,)2

e"koff (x"y)

k2!m2+i.

qui est bien l’expression manifestement covariante du propagateur de Feynman. Cependantle calcul pour en arriver là est di!érent du calcul habituel du propagateur de Feynman. Cettesituation est typique de la physique sur le cône de lumière : il semble toujours possible deconstruire les mêmes quantités physiques qu’en quantification conventionnelle mais au prix demanipulations mathématiques di!érentes. Ici on peut noter que dans (2.12) il n’y a qu’un seulpôle en k! = &!k , identique dans les deux intégrales. Cela est à rapprocher des résultats obtenuspar Weinberg [62] dans le contexte du référentiel de moment infini : dans l’Ancienne Théorie desPerturbations 7, les graphes associés à la création et à l’annihilation de particules à partir duvide (les graphes en “Z” voir figure ci-après) ont une contribution nulle 8.

Tout ceci suggère que la théorie covariante des perturbations sur le cône de lumière ne semblepas di!érente de son analogue conventionnelle et, e!ectivement, cette équivalence a été établiedepuis longtemps [8] et plus récemment [52]. La situation est légèrement di!érente dans le casdes fermions où il apparaît des termes instantanés supplémentaires [52]. La question se posemaintenant : comment apparaît la physique non-perturbative sur le cône de lumière?

7. Littéralement : Old-Fashioned Perturbation Theory. Développement non covariant où les propagateurs ontun dénominateur d’énergie : 1

E1!E2+i$et les graphes sont orientés dans le temps.

8. Posons y+ = 0 pour simplifier. Alors (2.10) contient une fonction !(x+)!(k+) = !(x+k+), très di"érentede son analogue conventionnelle !(xoko). Chaque ligne porte donc x+ > 0 ,k+ > 0 ou bien x+ < 0, k+ < 0(antiparticule) et avec la conservation de k+ aux vertex, les graphes en Z sont impossibles.

30

Chapitre 3

Le problème du vide

"Aucune a"rmation ne me semble plus capitale quecelle-ci: le vide n’est pas vide.Le vide est le siègede manifestations physiques des plus violentes."

John A.Wheeler

3.1 La nature du problème

La formulation axiomatique de la théorie quantique des champs [2] suppose les propriétéssuivantes sur le spectre des générateurs de Poincaré :

P 2 ) 0 et P o ) 0 (3.1)

La première inégalité exclut les solutions à masse imaginaire de type tachyon et la secondeindique que le spectre de l’opérateur d’énergie, générant l’évolution dans le futur, doit se trouverdans le demi-cône de lumière positif. Ces propriétés, naturelles en quantification conventionnelle,ont ici des conséquences majeures. De (3.1) on tire :

(P o)2 " (P 3)2 ) (P")2 ) 0 soit P o ) |P 3|

Pour l’impulsion longitudinale sur le cône de lumière

P+ ! P o + P 3 ) |P 3| + P 3

soitP+ ) 0

La composante P+ est bornée inférieurement. Aucune supposition n’est faite sur la dyna-mique pour arriver à ce résultat. Ainsi, sur le cône de lumière, un état physique quelconque |% >a donc un moment longitudinal positif ou nul :

< %|P+|% >) 0

Considérons le champ scalaire & en interaction, pris au temps x+ = 0 pour simplifier. Ilpeut se développer en termes d’opérateurs de créations et d’annihilations généralisés dits de“quasi-particule” A†(k+,k") et A(k+,k") tels que :

A(k+,k") !1

(2/)2

%dx!dx"&(x!,x")ei( 1

2k+x"!k!x!)

31

CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DU VIDE

P+ génèrent les translations longitudinales :1P+,&(x+,x")

2= ")+& soit

1P+,A(k+,k")

2= "k+A(k+,k")

Pour un état quelconque |q+,q" > on en déduit :

P+A(k+,k")|q+,q" >= (q+ " k+)A(k+,k")|q+,q" >

D’où A(k+,k")|q+,q" > est état propre de P+ avec la valeur propre q+"k+, on peut l’écrire|(q+ " k+),(q" " k") >. Appliquons ceci au vide |% > de la théorie en interaction qui, poursatisfaire à l’invariance de Poincaré, doit s’écrire |q+ = 0,q" = 0 >:

A(k+,k")|% >= |" k+, " k" >= 0

puisque que le spectre de P+ est borné inférieurement par 0. Ainsi sur le cône de lumièrel’état fondamental de l’hamiltonien en interaction n’a pas de structure et s’identifie avec l’étatfondamental de l’hamiltonien libre1’ 2:

|% >= |0 >

Cet état de fait a longtemps fait croire que la quantification sur le cône de lumière n’étaitpas capable de décrire les phénomènes physiques liés à un vide complexe tels que la brisurespontanée de symétrie, les solutions solitoniques, le confinement des quarks dans QCD, et plusgénéralement l’ensemble des e!ets non perturbatifs reliés au vide. Cela semblait notammentremettre en cause le théorème de Coleman qui a"rme que les symétries du vide sont les symétriesde l’hamiltonien en interaction (puisque sur le cône de lumière le ket fondamental est le mêmepour tous les hamiltoniens !). Cette question a été résolue par Heinzl et al. [25] à la fin desannées 80. Pour cela il faut revenir à l’algorithme de Dirac-Bergmann et au traitement de ladivergence infrarouge.

3.2 Secteur du vide, secteur des particules

Dans le milieu des années 80 Brodski et Pauli [44] ont proposé une version discrétisée de laquantification sur le cône de lumière appelée DLCQ 3, généralisant ainsi les idées de Maskawaet Yamawaki [40], qui a été appliquée à l’étude des états liés en QED et QCD avec un certainsuccès [46]. L’idée de départ consistait à se placer dans une boîte ["L, + L], avec les conditionsaux limites périodiques (CLP), pour obtenir une discrétisation des impulsions

k+n =

2n/

Ln * Z

&!n !m2

k+n

=m2L

2n/

et à traiter la divergence infrarouge de (2.9) par soustraction du “mode zéro” n = 0 .

#(x) =1%4/

+&8

n=1

1%n

6a†

nei( n#x"L + m2Lx+

4n# ) + ane!i( n#x"L + m2Lx+

4n# )7

1. Voir [37] pour une discussion complète.

2. On peut aussi s’en convaincre par l’argument heuristique suivant : pour un système de particules (de massenon nulle) en interaction, les impulsions s’ajoutent ; or, on sait que pour chacune d’elles k+ ' 0 et k! =m2+(k!)2

k+ . Il est donc impossible de construire pour ce système un état qui ait à la fois une énergie non nulle et

un k+total nul, c’est-à-dire un vide non trivial (à l’exception du cas non physique d’une énergie infinie).

3. Discretized Light Cone quantization

32

3.2. SECTEUR DU VIDE, SECTEUR DES PARTICULES

Les résultats physiques finals étant obtenus par passage à la limite L ( + à la fin descalculs. 4

Mais l’utilisation des conditions aux limites périodiques modifie les conditions d’inversion dela relation (2.6). En e!et le spectre de d

dx devient discret et le noyau de l’application C n’est pasvide : il contient les fonctions constantes. On peut choisir comme base de l’espace fonctionnel les

fonctions propres de ddx" , soit { 1'

2Le

i#nx"L , n * Z} , et dans ce cas :

Ker ddx" = V ect{ 1'

2L}

Im ddx" = V ect{ 1'

2Le

i#nx"L , n * Z%}

où V ectE désigne l’espace vectoriel engendré par E 5. Il est utile de représenter les projecteursP et Q définis à l’appendice A à l’aide de la base précédente6:

PL = 12L projette sur Ker d

dx

QL(x,y) = 12L

9n(=0 e

i#n(x"y)L projette sur Im d

dx

qui vérifient bien les propriétés (A.8), notamment :

PL + QL(x,y) =+&8

n=!&e

in#(x"y)L = ,(x " y) (3.2)

L’équation de consistance ' ' 0 (2.6) mène donc à la contrainte 7

'3 ! PL , B(x) ' 0 (3.3)

et à l’équation dynamique

d

dxµQ(x) = "

1

4QL(x,y) , B(y) (3.4)

en notant , la multiplication pour les opérateurs (pour une fonction f quelconque, fP (x) !P , f(x) = 1

2L

0 L!L dx!f(x) et fQ(x) ! (1 " P ) , f(x)). On résout cette dernière équation en

calculant sa fonction de Green. En projetant

d

dxG(x " y) = ,(x " y) (3.5)

sur Im ddx" on obtient

4. Nous montrerons dans la suite que cette limite est hautement non triviale.

5. En e"et dµ(x)dx" = 0 donne µ(x) = µo constante, telle que µ(!L) = µ(L).

6. La discrétisation des impulsions n’est pas obligatoire pour représenter les opérateurs P et Q. Toute suite defonctions $$ dont la limite % & 0 tend vers la distribution de Dirac $ peut être utilisée pour définir le projecteurP. Par exemple :

P (k+) = lim 1L"0PL(k+) =

!1 pour k+ = 00 pour k+ (= 0

PL(k+) # sin(k+L)k+L

Voir [27] pour plus de détails.

7. La projection de la contrainte primaire ! donnant lieu à :

!2 = P ) ! = P ) " " 0!1 = Q ) ! = Q ) (" ! &+') " 0

qui n’ont pas d’intérêt dans la suite.

33


d

dxGQ(x " y) = QL(x,y) , [PL + QL(x,y)] = QL(x,y)

De (3.5) et (3.2) on tire

G(x " y) =1

2

+&8

n=!&

ei#n(x"y)

L

in/= sgn(x " y)

d’où

GQ(x " y) = (1 " PL)G(x " y) =1

2

8

n(=0

ei#n(x"y)

L

in/

soit

GQ(x " y) = sgn(x " y) "1

2L(x " y)

et donc

µQ(x) = "1

4

%dy

'sgn(x " y) "

1

2L(x " y)

:B(y)

où on lit l’inverse de la matrice des contraintes

C!1(x,y) = "1

4

3sgn(x " y) "

1

2L(x " y)

4

et on trouve

[!(x),!(y)]x+=y+ = "1

4

3sgn(x " y) "

1

2L(x " y)

4

Il est intéressant de noter que ce qui di!érencie ce commutateur de (2.8) est simplement lasoustraction du point k+ = 0 dans le discret, mais qu’à la limite du continu L ( + elle devientlocalement nulle. Dans cette limite la fonction G(x " y) est localement égale à GQ(x " y) maisglobalement elle en di!ère radicalement. Il faut donc être prudent en e!ectuant L ( + : si desobjets apparaissent dans la théorie qui s’annulent localement, mais pas globalement, le passageà cette limite doit être réalisé comme toute dernière opération.

Il est judicieux de traduire au niveau du champ l’action des opérateurs P et Q . On définit :

Q , !(x) ! #(x) (les modes normaux)P , !(x) ! ! (le mode zero)

L’application du projecteur P sur le champ total ! isole la (ou les) contribution(s) asso-ciée(s) à un moment longitudinal k+ nul, caractéristique du vide. A l’inverse le projecteur Qsélectionne toutes les contributions telles que k+ -= 0 et # représente l’ensemble des excitations àl’exception de celles associées au vide. On est donc amené à définir deux secteurs orthogonaux etcomplémentaires dans toute théorie exprimée sur le cône de lumière : le secteur du vide (obtenupar projection P) et le secteur des particules (obtenu par projection Q). La contrainte (3.3),dans le secteur du vide, est d’une importance capitale : elle exprime le lien entre des quantitésP (! ou µP ) et des quantités Q (# ou µQ), par l’intermédiaire de B(x) qui est associé au termed’interaction du lagrangien. Le mode zéro ! dépend, à travers la contrainte '3, de tous les autresmodes du champ # et ce, avec la complexité de l’hamiltonien en interaction8. Grâce à ce schéma,

8. Pour s’en convaincre on peut calculer le crochet de Dirac {(,)(x)}#, à partir des crochets des contraintes!1, !2 et !3, et constater non seulement qu’il n’est pas nul , mais qu’il est très complexe. Dans le cas d’uneinteraction %

4!'4:

{(,)(x)}# = ! 12

12L%2

nm2 + %

2 #2 + 12L%2

R +L!L dy)(y)2

o!1

R +L!L dyGQ(x ! y)[2#)(y) + )2(y)]

34

3.3. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX MODES ZÉROS : EXEMPLE DE LA THÉORIE $41+1

la valeur moyenne du champ total dans le vide est susceptible d’avoir des valeurs tout à fait nontriviales malgré la simplicité de l’état fondamental de l’hamiltonien en interaction |% >= |0 > 9:

< %|!|% >=< 0|!|0 >=< 0|!+ #|0 >=< 0|!|0 > -= 0

Ainsi l’expression célèbre “sur le cône de lumière le vide est trivial” est vraie seulement sion comprend “le vide” comme étant l’état fondamental de l’hamiltonien. Elle est fausse si on seréfère aux propriétés physiques du vide, représentées par les valeurs moyennes des champs dansl’état fondamental, qui possèdent, comme on vient de le voir, toute la complexité de la théorie eninteraction. Il est maintenant admis que les propriétés non perturbatives des théories quantifiéessur le cône de lumière s’expriment par la prise en compte des modes zéros des champs et leurinteraction avec tous les autres modes. Divers auteurs [26], [1], [48] ont décrit avec succès labrisure spontanée de symétrie d’un champ scalaire sur le cône de lumière. D’autres[28] [41] [36]ont montré que les vides ' du modèle de Schwinger (QED1+1) admettent aussi une formulationconsistante. Cependant, malgré de nombreux travaux [60][33][19][47][7], la question essentielle dutraitement du vide de QCD sur le cône de lumière n’a pas encore trouvé de réponse satisfaisante,notamment à cause des nombreuses contraintes de jauge qui s’ajoutent à celles spécifiques aucône de lumière.

3.3 Résolution des équations aux modes zéros : exemple dela théorie "4

1+1

Pour rendre ceci plus explicite considérons l’interaction V (!) = /4!!

4. En poussant DBA àson terme, on obtient, à partir de (3.4), les équations d’Hamilton qui fixent la dynamique dansle secteur Q. Il est cependant plus simple, et tout à fait équivalent, de projeter directementl’équation du mouvement sur le secteur des particules 10:

()+)! " m2)# = m2!+-

3!Q , (!+ #)3

et de la même façon on obtient la contrainte '3 par projection sur le secteur du vide 11 :

m2!+-

3!P , (!+ #)3 = m2!+

-

3!!3 +

-

3!

1

2L

% +L

!Ldx![3!#2 + #3] ' 0

La dynamique de la théorie est entièrement déterminée par la donnée de ces deux relations.Cependant si les crochets de Dirac permettent de déterminer les commutateurs fondamentaux, iln’en reste pas moins une ambiguïté sur l’ordre des champs # et ! au moment de la quantificationdes deux équations ci-dessus 12. Cette situation est bien connue en quantification conventionnelle.Nous choisissons ici la prescription de Weyl qui ordonne les produits de façon symétrique :

()+)! " m2)# = m2!+ /3!Q , [!3 + !2# + #!2 + !#!

+!#2 + #2!+ #!# + #3]

m2!+ /3!!

3 + /3!

12L

0 +L!L dx![!2# + #!2 + !#!

+!#2 + #2!+ #!# + #3] ' 0

(3.6)

9. En fait, le choix de porter une information au niveau des opérateurs au lieu des états n’est pas exceptionnelle :l’équivalence des points de vue de Heisenberg et de Schrödinger en mécanique quantique en est un exemple. Icicependant la trivialité de l’état fondamental impose de rechercher les propriétés du vide au niveau des opérateursde champ.

10. On constate, comme on pouvait s’y attendre, que l’équation du mouvement n’est inversible que dans lesecteur Q.

11. Là aussi on aurait pu obtenir cette équation en développant P ) B(x) " 0.

12. Ce problème n’apparaît que maintenant puisque nous n’avons considéré jusqu’ici que des commutateursqui se révélaient n’être que des c-nombres. A l’exception notable du crochet entre ) et ( qui est équivalent à lacontrainte !3en question.

35


Ces équations fournissent une relation fonctionnelle opératorielle non linéaire entre le modezéro ! et les autres modes #. Leur résolution est le point-clef pour accéder aux propriétés nonperturbatives de la théorie. Plusieurs méthodes ont été employées à ce jour 13 :

! DEVELOPPEMENT PERTURBATIF : On suppose pour ! un développement perturba-tif :

! =+&8

n=0

-n%n

que l’on insère dans les équations (3.6) et, en prenant pour # la solution libre, on détermineles coe"cients %n. Comme on pouvait s’y attendre, cette méthode, la première, ne donnepas de résultats di!érents des résultats perturbatifs.

! ANSATZ DE CHAMP MOYEN: On choisit pour ! un ansazt de champ moyen qui netransfère aucune impulsion :

! = !o +8

n>0

%na†nan

où !o est un c-nombre constant, et on prend pour # la solution libre. C’est avec cetteméthode que Heinzl et al. [29] ont étudié la transition de phase de #4

1+1. Nous généraliseronscette méthode en proposant une version continue et en développant le champ # en sériede Haag.

! TRONCATION A LA TAMM-DANCOFF : Introduite après la guerre par I. Tamm etS.M. Danco! en quantification conventionnelle [59] [11], cette méthode fut rapidementabondonnée à cause de la complexité de l’état du vide. Wilson et al. [46] l’utilisèrenten 1990 dans le contexte du cône de lumière (Light-Front Tamm-Danco!). Radicalementdi!érente des autres méthodes, elle consiste à limiter la dimension de l’espace de Fock enfixant un nombre limite de particules définissant un état. Plus précisément à l’aide desprojecteurs à zéro, une, ... N particules :

Po ! |0 >< 0|P1 !

9n>0 |n >< n|

PN ! 1N !

9n1,n2,...nN >0 |n1,n2,...nN >< n1,n2,..nN |

on définit le projecteur de Tamm-Danco! qui projette sur la somme directe de tous lessecteurs qui contiennent N particules ou moins :

0N !N8

%=1

P%

La troncation de Tamm-Danco! consiste alors à opérer le changement :

an ( 0Nan0N

a† ( 0Na†n0N

Dans les deuxième et troisième parties de cette thèse nous proposons deux autres méthodesde résolution approchée des équations du mouvement et des contraintes (3.6).

13. On pourra consulter [30] pour plus de précisions.

36

Deuxième partie

L’approche continue de la

quantification sur le cône de lumière

37

Chapitre 4

Les bases de la formulation continue

4.1 Quantification et régularisation du champ libre

Considérons l’équation de Klein - Gordon :

(! + m2)# = 0

soit en variables de Fourier :

("p2 + m2)5#(p) = 0

qui admet comme solution la distribution :

5#(p) = ,(p2 " m2)#(p) avec #(p) fonction quelconque (4.1)

et on a 1

#(x) =1

2/

%d2p,(p2 " m2)#(p)e!i<p,x>

Considérons à présent la distribution & telle que

&[u] ! #&,u$ =

%d2y#(y)u(y)

où u(y) est une fonction de deux variables 2, indéfiniment dérivable à support borné et centréeautour de 0. La translatée Tx& de cette distribution selon un paramètre x est telle que :

Tx&[u] = #Tx&,u$ = #&,Txu$ =

%d2y#(y)u(x " y)

En développant u dans l’espace de Fourier :

u(x " y) =

%d2q

(2/)2e!i<q,x!y>f(q)

1. Où l’on note < p,x >le produit scalaire minkowskien ou sur le cône de lumière des variables o"-shell :poxo ! p1x1 ou p+x! ! p!x+.

2. On aura y = (yo,y1) où y = (y+,y!)selon que l’on se place en coordonnées minkowskiennes ou du cône delumière.

39

CHAPITRE 4. LES BASES DE LA FORMULATION CONTINUE

et en utilisant (4.1) on obtient :

Tx&[u] =

%d2p

(2/)2e!i<p,x>,(p2 " m2)#(p)f(p)

Il faut noter que la fonction u(x) , à support compact, est une fonction à décroissancerapide au sens de Schwartz [53] et que c’est donc aussi le cas pour f(p). Ainsi la distributionprécédente est parfaitement définie dans l’espace des x comme dans celui des p. Dans toute lasuite nous postulerons que cette distribution représente le champ libre de Klein-Gordon et onnotera simplement #1(x) en lieu et place de Tx&[u]. Dans le cas minkowskien l’intégration surpo fournit après quantification canonique :

#1(x) =

%dp

(2/)

1

2%

%p

6a†

p.ei)p,x*M + ap.e

!i)p,x*M

7f(p,%p) (4.2)

où < p,x >M! %px0 " px1 est le produit scalaire minkowskien, %p !!

m2 + p2, et où l’on aexplicitement indiqué les deux variables de f .

En imposant à la fonction f les conditions :%

dp1

2%

%p

;;<s;;a†

p

;; s$=;; |f(p,%p)| < +

%d3p

1

2%

%p|#r |ap| r$$| |f(p,%p)| < +

où |s$, |s$$ et |r$ , |r$$ sont des couples d’états arbitraires entre lesquels ap et a†p ont des

éléments de matrice non nuls, alors l’intégrale (4.2) est exempte de toute divergence. La fonctiontest f va jouer le rôle d’un régulateur.

De façon analogue, on obtient sur le cône de lumière :

#1(x) =1%4/

%dp!p+

65a†

p.ei)p,x*CL +eap .e!i)p,x*CL

75f(p+,&!p ) ! #+

1 (x) + #!1 (x) (4.3)

avec < p,x >CL! 12p+x! + 1

2&!p x+ et &!p ! m2

p+

Les deux intégrales (4.2) et (4.3) sont égales : on peut les voir comme une intégrale de surfacesur la variété définie par p2 = m2 , calculée dans deux systèmes de coordonnées di!érents.La fonction test sur le cône de lumière 5f(p+,&!p ) s’exprime à partir de celle en coordonnéesminkowskiennes :

5f(p+,&!p ) = f(p0,p) = f [1%2(p+ +

m2

p+),

1%2(p+ "

m2

p+)]

où l’on voit qu’il n’y a pas de singularité infrarouge dans (4.3) s’il n’y en a pas dans (4.2), étantdonné que la divergence en 1%

p+est complètement couverte par le comportement de la fonction

test pour p+ ( 0 (on pourra consulter la référence [21] pour une démonstration rigoureuse dansle cadre de la théorie des distributions). C’est la condition de couche de masse du cône de lumièrequi est responsable de l’arrivée de cette divergence IR apparente (terme 3 en 1%

p+dans (4.3) qui

3. La racine dans les facteurs 1$&p

et 1$p+

a la même origine : une simple normalisation permettant au com-

mutateur [ap,a†q] = $(p ! q) d’avoir une forme simple. Il ne faut pas la confondre avec la racine entrant dans la

définition de (p qui a une origine fondamentale : le développement minkowskien de p2 ! m2 .

40

4.1. QUANTIFICATION ET RÉGULARISATION DU CHAMP LIBRE

vient de ,(m2 " p2) ), ainsi que de son e!ective disparition (comportement de la fonction testen 0).

Prenons par exemple la fonction test [53] indéfiniment dérivable partout et à support com-pact :

f(p+,p!) = e1! e

[! 1!2"(p+2+p"2)

]pour p+2 + p!2 . '2

= 0 pour p+2 + p!2 > '2(4.4)

Au besoin on peut, à partir de cette fonction, en construire une autre qui est égale à 1 dansla sphère de rayon ' " + , va vers 0 dans la couronne [' " +,'] et s’annule partout ailleurs.Cette fonction reste indéfiniment dérivable (et peut donc jouer son rôle de fonction test) pourtout + arbitrairement petit. Le support de (4.4) étant le cercle de rayon ', elle régularise dansl’UV les deux coordonnées du cône de lumière p+ et p!. De la même façon f(po,p1) régularisedans l’UV les deux coordonnées minkowskiennes p0 et p1. En imposant à cette fonction de deuxvariables la condition de couche de masse, on obtient la fonction d’une variable f(&!p ,p+). Maisdans le cas du cône de lumière, et seulement dans ce cas, la condition de couche de masse induitautomatiquement une régularisation dans l’IR : la coupure pour les p+ grands se transmet auxp+ petits : cf. figures suivantes. Dans la suite on notera simplement f(p) ! f(p+,&!p ).

f(p+,p-)

p-

p+

p2=m2

p

p0

La fonction f(p+,p!), qui est égale à 1 dans le disque de rayon !!!, et nulle en dehors. L’intersectionavec l’hyperbole représentant la condition de couche de masse p+ = m2

p+ détermine le support, compact,

de la fonction f(p+) indiqué par la ligne épaisse.

41


1/Λ Λ

1

f(p+)

6p+

Fonction f(p+)

Le traitement du champ libre en tant que distribution agissant explicitement sur une fonctiontest fournit une méthode de régularisation consistante, à la fois en coordonnées minkowskienneset sur le cône de lumière. La régularisation de la divergence ultraviolette minkowskienne entraîneautomatiquement celle des divergences ultraviolettes et infrarouges sur le cône de lumière sansqu’il soit nécessaire d’introduire un deuxième cut-o!. Contrairement à une opinion répanduedans la littérature, il n’y a donc pas de divergence supplémentaire qui apparaisse lorsqu’on seplace sur le cône de lumière. En outre la régularisation par fonctions tests évite de discrétiserles intégrales (comme dans DLCQ), ce qui est vital pour l’étude des phénomènes critiques dansle cadre de théories e!ectives, où la dépendance de la masse critique en fonction du cut-o! doitêtre connue complètement (ce qui n’est possible qu’avec une formulation continue de la théorie).

Par ailleurs, l’utilisation des fonctions tests trouve une justification supplémentaire dans lecadre du problème de Cauchy (cf. chapitre 2). Heinzl et Werner [31] ont montré que la valeurdu champ sur la surface caractéristique x! = 0 pouvait s’exprimer entièrement en fonction decelles sur l’autre caractéristique x+ = 0, si l’on impose à l’amplitude #(p) la condition :

limp+#01

p+#(p+,

m2

p+) = 0

En considérant le champ comme une distribution agissant sur des fonctions tests, cettecondition s’applique à celles-ci :

limp+#01

p+f(p+,

m2

p+) = 0

et se trouve automatiquement satisfaite par les fonctions tests que nous avons définies (parexemple (4.4)). Le problème de Cauchy est alors bien posé et la donnée du champ et de sa vitesseen tout point de la surface x+ = 0 su"t pour déterminer une solution unique à l’équation deKlein-Gordon sur le cône de lumière. On poura consulter [31] pour une étude approfondie.

Dans la suite la méthode de traitement des champs en tant que distributions et d’utilisa-tion des fonctions tests comme régulateurs sera appelée Continuum Light Cone Quantisation(CLCQ), par opposition à la méthode de discrétisation DLCQ.

4.2 Développement du champ en interaction en série deHaag

Pour construire la solution en interaction nous allons utiliser un développement en série deHaag [23] [22], dont les termes !n(x) sont les puissances successives du champ libre prises dans

42

4.2. DÉVELOPPEMENT DU CHAMP EN INTERACTION EN SÉRIE DE HAAG

l’ordre normal. Cette méthode est connue, dans la théorie conventionnelle, pour être équivalenteà un développement perturbatif. Dans notre problème cependant, le développement conjoint duchamp et du mode zéro permet d’atteindre les domaines non perturbatifs.

Le champ total en interaction s’écrit :

!(x) = !o ++&8

n=1

!n(x)

avec (on se limitera à l’ordre 2) :

!o = terme c " nombre, constant

!1(x) = #1(x), champ libre

!2(x) =0

dy!1 dy!

2 :>g++2 (x! " y!

1 ,x! " y!2 )#+

1 (y1)#+1 (y2)

+g+!2 (x! " y!

1 ,x! " y!2 )#+

1 (y1)#!1 (y2)

+g!+2 (x! " y!

1 ,x! " y!2 )#!

1 (y1)#+1 (y2)

+g!!2 (x! " y!

1 ,x! " y!2 )#!

1 (y1)#!1 (y2)

?:

(4.5)

où tous les champs #1 sont pris à temps égaux 4 et les fonctions g2 sont des amplitudesinconnues à déterminer. En insérant (4.3) dans (4.5) et en développant les fonctions g2 dansl’espace de Fourier, on obtient :

!2(x) =0 +&0

dk+1 dk+

2%k+1 k+

2

f(k+1 )f(k+

2 )6

g++2 (k+

1,k+2 )

@a†

k1a†

k2e

i2 (k+

1 +k+2 )x"

+ ak1ak2ei2 (k+

1 +k+2 )x"

A

1g+!2 (k+

1 , " k+2 ) + g!+

2 ("k+2 ,k+

1 )2a†

k1ak2e

i2 (k+

1 !k+2 )x"

7

(4.6)

en utilisant les identités :

'g++2 (k+

1,k+2 ) = g!!

2 (k+1,k

+2 )

g!+2 ("k+

1,k+2 ) = g+!

2 (k+1, " k+

2 )

qui assurent l’hermiticité de !2.

La constante !o est bien sûr dans le secteur P, tandis que le champ libre #1 est entièrementdans le secteur Q. Le terme d’ordre 2 a des composantes dans les deux secteurs :

B! ! P , !2(x)#2(x) ! Q , !2(x) = !2(x) " P , !2(x)

avec

B! =

% +&

0dpf2(p)C(p)a†

pap

C(p) !4/

p[g+!

2 (p, " p) + g!+2 ("p,p)]

et

4. Bien que, pour des raisons de simplicité, ce ne soit pas notre choix ici, il est possible d’écrire les intégrales deHaag de manière explicitement covariante, en rajoutant des intégrations sur les y+ et en comprenant les momentso"-shell.

43


#2(x) =0 +&0

dk+1 dk+

2%k+1 k+

2

f(k+1 )f(k+

2 )6

g++2 (k+

1 ,k+2 )[a†

k1a†

k2e

i2 (k+

1 +k+2 )x"

+ ak1ak2e! i

2 (k+1 +k+

2 )x"]

+ G2(k+1 , " k+

2 )a†k1

ak2ei2 (k+

1 !k+2 )x"

7

où 5

G2(k+1 , " k+

2 ) !'

g+!2 (k+

1 , " k+2 ) + g!+

2 ("k+2 ,k+

1 ) si k+1 -= k+

2

0 si k+1 = k2

Dans la suite nous allons utiliser la formulation continue à l’aide des distributions pourétudier le commutateur de Pauli-Jordan, et expliquer notamment que ce commutateur a uncomportement causal qualitativement di!érent en quantification discrète et continue. Le trai-tement des champs en tant que distributions permet d’élucider le couplage entre la limite surle cut-o! et celle sur la taille de la boîte ayant servi à la discrétisation, et d’exhiber le termeresponsable de la brisure de causalité.

Puis nous étudierons les propriétés de la transition de phase de la théorie !41+1, caractérisée

par l’apparition d’une valeur moyenne du champ total dans le vide non nulle :

< 0|!|0 >=< 0|!|0 >= !o -= 0

C’est !0 qui sera le paramètre d’ordre de cette transition.

La méthode générale consiste à injecter les développements de Haag de # et ! (à l’ordre1 puis à l’ordre 2) dans l’équation du mouvement et dans les contraintes, puis, par projectionsur les états de Fock, de déterminer les amplitudes inconnues g2, G2 et C. La projection de lacontrainte sur les états du vide fournissant une équation déterminant le couplage critique enfonction de toutes les autres quantités.

5. Le cas G2(p, ! p) = 0 exclut ainsi le mode zéro dans )2(x).

44

Chapitre 5

Le commutateur de Pauli-Jordan

Nous allons appliquer le traitement des champs en tant que distributions au commutateurde Pauli-Jordan (ou fonction de Schwinger). La comparaison avec l’approche DLCQ est parti-culièrement enrichissante. Avec DLCQ les passages aux limites L ( + (taille de la boîte) etN ( + (borne supérieure des sommes discrètes, c’est-à-dire le cut-o! ultraviolet) ne peuventêtre e!ectués de façon directe. Or, si on se limite à des N finies, les expressions de DLCQ pré-sentent des contributions non causales. La quantification e!ectuée directement dans le continu,CLCQ, va nous permettre d’éclaircir ces points.

Le commutateur de Pauli-Jordan est la fonction :

$DLCQ(x+,x!) ! [!(x+,x!),!(0,0)]

Cette quantité relie des champs définis à des instants di!érents et contient donc des infor-mations sur la dynamique de la théorie. Nous allons l’évaluer pour commencer en x+ = 0 puispour un x+ quelconque, et comparer avec le résultat fourni par la fomulation discrétisée.

5.1 Evaluation à x+ = 0

Avec DLCQ, on place le système dans une boîte ["L, + L]

On sait que 1:

$DLCQ(x+ = 0,x!) = "i

4

3sgn(x!) "

x!

L

4

1. On a :

$DLCQ(0,x!) =+%X

n = 1m = 1

1

4*$

nm

!han,a†

m

ie!i n#x"

L !ham,a†

n

iei n#x"

L

"

=+%X

n = !*n (= 0

1

4*ne!i n#x"

L =+%X

n=!%

1

4*ne!i n#x"

L !(!i)x!

4L

Le développement de Fourier de $ dans [!L,L] avec CLP s’écrit [53] :

$(x!) =1

L

+%X

n=!%e!i n#x"

L

Sachant que dsgn(x")dx" = $(x!) on tire $DLCQ(0,x!) = !i

4

hsgn(x!) ! x"

L

i

45

CHAPITRE 5. LE COMMUTATEUR DE PAULI-JORDAN

où le terme en x"

L correspond à la soustraction directe du mode zéro dans la somme.

-L L

–1

1

gA

Fonction gA(x!,L) " 4i"DLCQ(0,x!,L)

D’autre part, avec CLCQ on obtient, par un calcul analogue :

$CLCQ(x+ = 0,x!) =1

2i/

% &

0

dp+

p+f2(2p+) sin(p+x!) (5.1)

En prenant, par exemple, pour f la forme :

f(p) =

"CCC#

CCC$

1 " e[ 1!2p2"1

+1]0 . p < 1

$1 1

$ . p . '" 1$

1 " e[ 1!2(p"!)2"1

+1]'" 1

$ < p . '0 ' < p

où ' est le cut-o!, on peut évaluer numériquement le comportement de l’intégrale :

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

0.5

1

gB

100 200 300 400 500x

0.5

1

gB

400 800 1200x

0.5

1

gB

Fonction gB(x!,!) " 4i"CLCQ(0,x!,!)

46

5.2. EVALUATION POUR X+ QUELCONQUE

Le comportement global de $CLCQ est proche de celui de $DLCQ : une décroissance oscil-lant autour d’une pente moyenne 1

$ dans la région d’ordre de grandeur ' qui correspond à ladécroissance linéaire de $DLCQ. Pour les grands x!() 10'), de lentes oscillations autour de 0correspondent à la région dans laquelle $DLCQ est nulle. Ces comportements reflètent dans lesdeux cas l’élimination du mode zéro, n = 0 pour $DLCQ, le halo de points autour de p+ = 0pour $CLCQ. Néanmoins $CLCQ croît jusqu’à 1 dans la région des petits x! sur une distanced’autant plus courte que ' est grand alors que $DLCQ décroît immédiatement à partir de 1.Cela est dû à la régularisation ultraviolette venant de la fonction test, et qui est absente dans$DLCQ . Il est bien entendu possible d’opérer cette régularisation dans $DLCQ en sommantjusqu’à un entier N. Mais le passage au continu devient alors hasardeux : on ne connaît pas deprocédure permettant d’e!ectuer à la fois L ( + et N ( + et qui reste compatible avec lacausalité. Pour examiner cette question on considère maintenant un intervalle d’espace-tempsquelconque.

5.2 Evaluation pour x+ quelconque

Avec DCLQ on a :

$DLCQ(x+,x!) = "limN$%

i

2/

N8

n=1

1

nsin(

n/x!

L+

m2Lx+

4/n) (5.2)

Habituellement on utilise la somme coupée dans les calculs en DLCQ avec l’idée que la limiteL ( + peut être réalisée au besoin en fin de calcul. Mais ceci pose un problème de causalité. Ene!et, il ne peut exister de corrélation entre des champs qui sont séparés par des intervalles degenre espace, c’est-à-dire tels que x+x! < 0. Or la somme ci-dessus, pour L et N finis, montrede telles contributions non causales :

11.21.41.61.8

22.22.4

gC

2 4 6 8 10N

11.21.41.61.8

22.22.4

gC

20 40 60 80 120 160 200N

x+ = 1, x! = 1, L = 10, N = 10 x+ = 1, x! = 1, L = 10, N = 200

–0.7–0.68–0.66–0.64–0.62

–0.6–0.58–0.56–0.54–0.52

gC

2 4 6 8 10N –0.4–0.2

0

0.20.40.60.8

gC

20 40 60 80 100N

x+ = 1, x! = 10, L = 10, N = 10 x+ = 1, x! = 10, L = 100, N = 100

47


–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4gC

N

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4gC

N

x+ = 1, x! = !1, L = 10, N = 10 x+ = 1, x! = !1, L = 10, N = 200

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

gC

N

x+ = 1, x! = !1, L = 10000, N = 100

Fonction gC(x+,x!,L,N) !9N

n=11nsin(n,x"

Lm2Lx+

4,n )

Heinzl, Kröger et Scheu [24] [50] ont étudié de façon détaillée la perte de causalité dans$DLCQ et ont montré que celle-ci pouvait être rétablie si, au lieu d’utiliser un échantillonnageéquidistant des moments (k+ = 2,n

L ), on augmente leur densité autour de 0 avec une fréquence1n . Le point k+ = 0 devient un point d’accumulation pour le spectre de Fourier, et la den-sité croissante de points vers 0 permet de mieux rendre compte des oscillations du sinus. Enchoisissant par exemple 2 la discrétisation anharmonique :

k±n =

1

L

!n2/2 + m2L2 ± n/

ils ont obtenu une version causale du commutateur de Pauli-Jordan discrétisé sur le cône delumière :

$cDLCQ(x+,x!) = "

1

L

8

n

k+n

(k+n )2 + m2

sin(1

2k!

n x+ +1

2k+

n x!)

Cependant, comme l’ont noté les auteurs, ce moyen de rendre causales les expressions deDLCQ semble limité puisque chaque expression nécessite sa propre discrétisation, ce qui n’estévidemment pas acceptable.

L’expression du commutateur de Pauli-Jordan en CLCQ est :

$CLCQ(x+,x!) = "i

2/

% +&

0

dp+

p+f2(2p+) sin

3p+x! +

m2x+

4p+

4

Cette intégrale étant convergente ne nécessite pas de régularisation. A la limite ' ( + onpeut remplacer f par 1, et le changement de variable p+ ( ± p+

x+ montre qu’elle ne dépend quedu produit x+x!. Elle admet une expression analytique [20] :

2. Pour k+n + 0 , c’est-à-dire n & !*, on obtient bien $k+

n + 1n

.

48


= "i

4

1sgn(x+) + sgn(x!)

2Jo(m

%x+x!)

qui respecte bien, elle, la causalité.

Le passage au continu à partir de la formulation discrétisée n’est pas réalisable directement.La limite L ( + dans la somme ne peut pas être prise avant d’avoir e!ectué la sommationsur N , car le sinus oscille fortement et le résultat est indéfini. On peut se demander à partir dequel moment la causalité est perdue et essayer de comprendre comment se réalise le passage dudiscret au continu.

A cette fin on considère le peigne de Dirac :

Tp(x) =9+P

p=!P c(x),(x " p)

c(p) = ei(ax+b/x)

x (1 " sin(,x),x )

Cette distribution agit sur la fonction test

'!M (x) =

9+Mm=!M U(x " m) pour |x| . M + 1

!M (x) = 0 pour |x| ) M + 1

définie à partir de fonctions U(x) 3 indéfiniment dérivables, décomposant l’unité sur l’inter-valle ] " 1,1[, et nulles ailleurs :

/x *] " 1,1[ U(x) + U(x " 1) = 1 (5.3)

De cette façon !M (x) décompose l’unité 4 sur l’intervalle ["M,M ].

3. Un exemple de fonction U est :(

U(x) = 1U(0)

R 1|x| e

! 1t(1"t) dt

U(x) = 0 pour |x| ' 1pour |x| < 1

4. De (5.3) il vient la propriété suivante sur la transformée de Fourier V (k) de U(x)

V (k) =

!1 si k = 00 si k = 2n* avec n entier non nul

qui est nécessaire pour l’inversion des coe!cients de la série de Fourier d’une distribution agissant sur U(x):

pour f(x) =P+%

n=!% cne2 in#xL on obtient

cn =1

L

Z +%

!%f(x)U(

x

L)e

2in*x

Ldx

Si f est une fonction L-périodique intégrable, les cn sont les coe!cients de Fourier standards puisque U( xL

) +U( x

L! 1) = 1.

49


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

U

–1 –0.6 0.20.40.60.8 1

Fonction U(x)

Fonction #M (x) décomposant l’unité sur [-M,M]

L’action de Tp(x) sur !M (x) est :

< Tp(x),!M (x) >=+P8

p=!P

+M8

m=!M

% +&

!&c(x)U(x " m),(x " p)dx (5.4)

soit

+P8

p=!P

c(p)+M8

m=!M

U(p " m)

A la limite M ( + la deuxième somme devient 1 en tout point et on trouve

+P8

p=!P

c(p) =+P8

p=1

sin(ap + b/p)

p

En posant a ! ,x"

L et b ! m2Lx+

4, on retrouve, à la limite P ( + , le commutateur dePauli-Jordan en DLCQ:

Tab(x)[!] ! limP#&limM#& < Tp(x),!M (x) >= 2i/$DLCQ(x)

Par ailleurs, sachant le développement en série de Fourier [53] :

+&8

p=!&,(x " p) =

+&8

p=!&e2ip,x

50


(5.4) s’écrit à la limite P ( + :

+&8

p=!&

%c(x)e2ip,x

+M8

m=!M

U(x " m)

La deuxième somme devient 1 là aussi avec M ( + et on obtient :

Tab(x)[!] =+&8

p=!&I(p)

avec

I(p) !1

2i

% +&

!&dx !(x)

ei[(a+2p,)x+b/x]

x(1 "

sin(/x)

/x)

=

% +&

0dx sin[(a + 2p/)x + b/x](1"

sin(/x)

/x)

La première intégrale

I1(p) !% +&

0dx sin[(a + 2p/)x + b/x]

est connue [20]

I1(p) =/

2[sgn(a + 2p/) + sgn(b)] Jo(2

!(a + 2p/)b)

La deuxième

I2(p) !% +&

0dx sin[(a + 2p/)x + b/x]

sin(/x)

/x

s’exprime facilement à partir de la première :

=1

2/

d

db

% +&

0dx sin[(a + (2p + 1)/)x + b/x] "

1

2/

d

db

% +&

0dx sin[(a + (2p " 1)/)x + b/x]

= 12,b

6[sgn(a + (2p + 1)/) + sgn(b)] J1(2

!(a + (2p + 1)/)b)

7

" 12,b

6,2 [sgn(a + (2p " 1)/) + sgn(b)] J1(2

!(a + (2p " 1)/)b)

7

où J0 (resp. J1 ) est la fonction de Bessel d’ordre 0 (resp. 1).

On obtient 5 :

5. On peut se convaincre de la validité de cette expression en l’évaluant pour x+ = 0. Sachant que ,N > 0

+NX

p=!N

sgn(x! + 2pL) = sgn(x!)

1

2L

+NX

p=!N

˘sgn[x! + (2p + 1)L][x! + (2p + 1)L] ! sgn[x! + (2p ! 1)L][x! + (2p ! 1)L]

¯=

x!

L

et que

J0(0) = 1 et lima"01$

aJ1(m

$a) =

m

2

on voit que l’on retrouve bien l’expression de $DLCQ(0,x!)

51


Tab(x)[!] =/

2

+&8

p=!&(sgn(x! + 2pL) + sgn(x+)) Jo(m

!x+x! + 2pLx+)

"/

2

1

mLx+

+&8

p=!&

6(sgn(x! + (2p + 1)L) + sgn(x+))

!x2 + (2p + 1)Lx+J1(m

!x2 + (2p + 1)Lx+)

" (sgn(x! + (2p " 1)L) + sgn(x+))!

x2 + (2p " 1)Lx+J1(m!

x2 + (2p " 1)Lx+)7

il est important de noter que ce dernier terme est l’analogue du terme en x"

L apparaissantdans l’expression en x+ = 0 de $DLCQ(0,x!) qui correspond à la soustraction du mode zéro.En décomposant selon le signe de p la première somme devient :

limN#&

6[sgn(x!) + sgn(x+)]Jo(m

%x+x!)+

N8

p=1

@[1 + sgn(x+)]Jo(m

!x+x! + pLx+) + ["1 + sgn(x+)]Jo(m

!x+x! " 2pLx+)

AD

car/p > 0 sgn(x! ± 2pL) = ±1

On peut le réécrire :

limN#&

(

[sgn(x!) + sgn(x+)]Jo(m%

x+x!) + 2sgn(x+)N8

p=1

Jo(m!

x+x! + 2pLx+sgn(x+))

D

Par un calcul similaire, on obtient pour la seconde somme :

2!

x+x! + (2N + 1)Lx+sgn(x+)J1(m!

x+x! + (2N + 1)Lx+sgn(x+))

Rassemblant tout cela, on obtient :

Tab(x)[!] = 2i/$DLCQ

= 2i/$CLCQ

+limN#& /N8

p=1

sgn(x+)) Jo(m!

x+x! + 2pLsgn(x+)x+)

"limN#&/

mLx+

!x2 + (2N + 1)Lsgn(x+)x+J1(m

!x2 + (2N + 1)Lsgn(x+)x+)

On a ainsi fait apparaître les termes qui di!érencient $DLCQ de $CLCQ. Il reste à étudierleur comportement dans la limite L ( +. Auparavant, il faut e!ectuer la limite N ( + quin’apparaît pas encore clairement. Pour cela on va utiliser une des nombreuses représentationsintégrales des fonctions de Bessel :

Jo(x) =1

2i/

%

C

dz

ze(z!x2

4z )

52


où C est le contour entourant le demi-axe réel négatif :

0

Il devient alors possible d’e!ectuer la sommation sur p :

N8

p=1

Jo(m!

x+x! + 2pLsgn(x+)x+) =1

2i/

%

C

dz

ze(z!%+&

z ) 1 " e!N&z

1 " e!&z

avec 1 ! m2x+x"

4 et " ! m2Lx+sign(x+)2 .

Il vient :

=1

2i/

%

C

dz

ze

»z!

%+(N+1)&2

z

–sh(&N

2z )

sh( &2z )

=1

2i/

%

C

dz

ze%%+ &

2 (N+1)[z! 1z ]

sh

EN&z

2%%+ &

2 (N+1)

F

sh

E&z

2%%+ &

2 (N+1)

F

où l’on a e!ectué le changement de variable : z ( "%%+ &

2 (N+1)z . Pour N ( + on a l’ équi-

valent :

1

sh

E&z

2%%+(N+1) &

2

F 02G

1 + (N + 1)&2"z

(5.5)

d’où :

9Np=1 Jo(m

!x+x! + 2pLsgn(x+)x+) ' 1

2i,

%%+(N+1) &

2&

0C

dzz2 e

%%+(N+1) &

2 (z! 1z )

H

e

N&z

2

%%+(N+1)&

2 " e! N&z

2

%%+(N+1)&

2

I(5.6)

En opérant les changements de variables :

z ( z

!1 + "/2(N + 1)

1 + "(N + 12 )

z ( z

!1 + "/2(N + 1)

1 + &2

53


dans la première et la seconde exponentielle, on obtient :

' 12i,& (1 + "(N + 1

2 ))0

Cdzz2 e(z!

%+&(N+12 )

z )

" 12i,& (1 + "/2)

0C

dzz2 e(z!%+&/2

z )

où l’on reconnaît l’intégrale de contour de la fonction J1 :

' 1&

G1 + "(N + 1

2 )J1(2G

1 + "(N + 12 )) " 1

&

G1 + &

2 J1(G

1 + &2 )

Pour se convaincre que nous avons isolé la partie divergente, il faut maintenant montrer quele reste de notre développement (5.5) disparaît à la limite N ( + . A l’ordre suivant on a :

1

sh

E&z

2%%+(N+1) &

2

F 02

&z%%+(N+1) &

2

+ 124

E&z%

%+(N+1) &2

F3

02

"z"

2"z

24(G

1 + (N + 1)&2 )3 + ("z)20

2

"z

ce qui donne pour (5.6) :

1

2i/"

%

C

dz

z2e%%+ &

2 (N+1)[z! 1z ]sh

*

, N"z

2G

1 + (N + 1)&2

-

/

qui se comporte comme une fonction de Bessel d’ordre 1 : elle disparaît en N! 14 à l’infini.

On obtient donc :

/sgn(x+)+&8

p=1

Jo(m!

x+x! + 2pLsgn(x+)x+) =

limN#+&,

mLx+

6!x+x! + (2N + 1)Lx+sgn(x+)J1(m

!x+x! + (2N + 1)Lx+sgn(x+))

"!

x+x! + Lx+sgn(x+)J1(m!

x+x! + Lx+sgn(x+)7

On voit apparaître un terme qui compense exactement le dernier terme de Tab(x)[!]. Onpeut e!ectuer maintenant le passage à la limite N ( ++ et finalement :

$DLCQ(x+,x!,L) = $CLCQ(x+,x!)" 1

2mLx+

!x+x! + 2Lx+sgn(x+)J1(m

!x+x! + 2Lx+sgn(x+)) + O(L! 5

4 )

Ainsi on a bienlimL#+& $DCLQ(x+,x!,L) = $CLCQ(x+,x!) (5.7)

Le terme en J1 qui se comporte en L! 34 est le premier terme à l’origine de la violation de

la causalité. Il est issu de l’élimination du mode zéro dans la somme (5.2). Ainsi le fait de seplacer dans une boîte de longueur L finie et d’utiliser la soustraction du mode zéro comme unerégulation infrarouge se fait au prix de l’apparition de termes brisant la causalité. L’existencede la limite (5.7) n’indique donc pas une équivalence entre les méthodes DCLQ et CLCQ.

54


L’élimination du terme non causal, disparaissant dans cette limite, montre que les problèmesinfrarouges subsisteront dans le passage au continu de DLCQ car ce terme est justement celuiqui tient compte des e!ets des modes zéros.

La situation de la CLCQ nous semble donc beaucoup plus satisfaisante : elle permet à la foisune régularisation consistante de la divergence infrarouge grâce aux fonctions tests et la priseen compte des e!ets du vide, tout en satisfaisant à l’exigence de causalité. Dans les chapitressuivants nous allons montrer que CLCQ fournit aussi des résultats plus satisfaisants que DLCQdans l’étude de la transition de phase définie au chapitre précédent.

55


56

Chapitre 6

Calculs à l’ordre 1

On consultera la référence [21] pour un traitement détaillé.

6.1 Contraintes et régularisation des divergences

On considère le développement à l’ordre 1 du champ et à l’ordre 2 du mode zéro :

# = #1

! = !o + B!

(où l’on note B! pour B!11)

#1(x) = 1'4,

0 +&0

dp+%p+

Bf(p)>a†

pe!iponx + apeiponx

?

! = !o +0 +&0

Bf2(p)C(p)a†pap ! !o + B!

Les méthodes présentées ici sont générales et seront utilisées, mutatis mutandis, pour l’ordresuivant. La contrainte s’écrit :

'3 = m2(!o + B!) +-

3!(!o + B!)3 +

-

3!

1

V

%dx!

63!o#

21 + B!#2

1 + #21B!+ #1

B!#1 + #37

= 0

On obtient une équation opératorielle que l’on va projeter sur les secteurs à zéro et à uneparticule de l’espace de Fock. Avec les éléments de matrice1 non nuls :

< 0|#21|0 > = 1

4,

0 +&0

dp+

p+ f2(p+)

< 0|#1!#1|0 > = 14,

0 +&0

dp+

p+ f4(p+)C(p+)

< k+|!n|k+ > = f2n(k+)Cn(k+) n = 1,2,3

< k+|#21|k+ > = 1

2,f2(k+)

k+ + 14,

0 +$&0

dp+

p+ f2(p+)

< k+|#21!|k+ > = 1

2,f4(k+)

k+ C(k+) + 14, f2(k+)C(k+)

0 +&0

dp+

p+ f2(p+)

= < k+|!#21|k+ >

< k+|#1!#1|k+ > = 12,

f4(k+)k+ C(k+) + 1

4, f2(k+)C(k+)0 +&0

dp+

p+ f2(p+) + 14,

0 +&0

dp+

p+ f4(p+)C(p+)

1. Cf. appendice B pour des exemples de calculs d’éléments de matrice.

57

CHAPITRE 6. CALCULS À L’ORDRE 1

Il vient les deux équations :

< 0|'3|0 > = µ2!o + /3!!

3o + /

24,

0 +&0

dpp f2(p)C(p) = 0

< k+|'3|k+ > = /3! f

6(k+)C3(k+) + /2!of4(k+)C2(k+)+

f2(k+)C(k+){µ2 + /2 !2

o + /4,k+ f2(k+)} + /

4,k+ !of2(k+) = 0

(6.1)

où on a utilisé la première pour simplifier la seconde, et on pose :

µ2 ! m2 +-

8/

% +&

0

dp

pf2(p)

Les intégrales sont régularisées par les fonctions f qui dépendent du cut-o! '. Pour les évaluer,on va compter les moments en unités de µ (les moments sont à présent à comprendre commedes quantités sans dimension) et utiliser Bf(p,$µ ) = '(p " µ

$ ) " '(µ$ " p), ce qui revient à choisir

µ comme échelle de régularisation. Alors :

0 +&0

dpp f2(p) =

0 !µ

µ!

dpp = 2ln$

µ

et

µ2 = m2 +-

4/ln('

µ)

qui définit la renormalisation de la masse à l’ordre le plus bas. On constate la présence d’unedivergence logarithmique, qui n’est autre que la divergence perturbative correspondant au tad-pole, bien connue en quantification conventionnelle. Il reste à examiner maintenant l’intégralede (6.1a) contenant C(p) :

I$ !-

24/

% +&

0

dp

pf4(p)C(p)

Dans le domaine des petits p+ (tout en restant dans celui où f(p+) = 1 ) on tire de (6.1b) :

C(p+) 0 "-!o

4/p+

f2(p+)

f4(p+) /4,p+

= "!o (6.2)

Le paramètre d’ordre !o détermine le comportement du mode zéro dans le domaine infra-rouge.

Pour les grands p+ :

C(p+) 01

p+(6.3)

L’intégrale contenant C(p+) converge donc en ++ et diverge logarithmiquement en 0. Lese!ets non perturbatifs induits par la prise en compte des modes zéros n’introduisent donc pas dedivergences d’une structure di!érente de celle déjà rencontrée, et ces divergences peuvent êtreabsorbées dans un contre-terme de masse identique au contre-terme perturbatif. La procédurede renormalisation est donc cohérente. Avec (6.2) et (6.3) on obtient facilement :

I$ !g

6

% !µ

µ!

dp

pC(p) =

g

6!o ln

'

µ+

g

6

µ

'+ o(

µ2

'2) + fini

avec

g !-

4/µ2

58

6.2. CARACTÉRISTIQUES DE LA TRANSITION DE PHASE

6.2 Caractéristiques de la transition de phase

Le paramètre !o représente les propriétés du système dans le vide. C’est la contrainte (6.1a)qui, connaissant C(k), permet d’accéder au couplage critique. Dans la phase où il est non nul, leparamètre d’ordre !o devient très petit lorsqu’on approche le point critique (et de même pourC(k) qui est une correction de !o ). On peut donc poser !o,C(p+) 1 1 et linéariser les équations(6.1). On obtient de (6.1b):

C(p+) = "gc!o1

(gc + p+)

que l’on reporte dans (6.1a) :

g2c

6

% !µ

µ!

dp1

p+(gc + p+)= 1

qui donne, après calcul direct :

m2 +-c

4/ln'

µ"

-c

24/[2ln

'

µ" ln(

'

µ+ gc)] "

-c

24/lngc = 0 (6.4)

où tous les termes divergents sont de nature logarithmique et peuvent donc être absorbéspar des contre-termes de masse appropriés. On obtient :

gc

6ln(gc) = 1

d’où on tire la valeur :

gc =6

W (6)2 4.19...

où W est la fonction W de Lambert (solution de f(z)ef(z) = z). Cette valeur de gc est 30%plus grande que la valeur correspondante obtenue avec DLCQ [29] qui est gcDLCQ = 3.18

Pour calculer la fonction "o(g) et comparer avec les résultats obtenus par la méthode dugroupe de renormalisation, on va se placer dans le point de vue des phénomènes critiques : onconserve explicitement ' (qui est maintenant l’échelle de validité de la théorie) dans la contrainteet dans la masse critique M(',g) qui est définie par le premier membre de la contrainte (6.1a):

M2(-,µ,g) !< 0|'3|0 >= µ2 +-

24/

% !µ

µ!

dp+ C(p+)

p+

Elle s’annule à la transition de phase. De là, on peut tirer la fonction "o(g) en mettant M2

sous la forme :

M2(-,g) =-

24/(6

g" lng)

"o(g) ! 2M2

3)M2

)g

;;;'

4!1

= "2g6" glng

6 + g(6.5)

59


et l’exposant critique % ! d&o

dg

;;;gc

= 2.

–2

–1

0

1

2

3

4

β

1 2 3 4 5 6

Fonction "o(g)

Il est connu, par l’étude standard du groupe de renormalisation, que la fonction "(g) doit secomporter pour les faibles couplages comme :

"(g)!g#0 " (4 " D)g + o(g2) (6.6)

où D est la dimension de l’espace, et c’est bien le cas de la fonction (6.5).

Comparons ces résultats avec ceux obtenus par Parisi [45]. Pour cela il faut utiliser le couplageréduit :

r !3µ2

2'2g (6.7)

qui est normalisé de façon que la constante de couplage perturbative au premier ordre soitégale à 1 (r1 = 1.0). Alors, pour les grands ', l’équation (6.4) se ramène à :

yey =9

r, avec y ! ln

'2

µ2

qui admet pour solution :

y(r) = W (9

r)

De (6.7) on tire donc :

g =2

3reW ( 9

r )

que l’on peut résoudre graphiquement :

60

6.2. CARACTÉRISTIQUES DE LA TRANSITION DE PHASE

–2

–1

0

1

2

h

1 2 3 4r

La fonction h(r) " 23reW ( 9

r )! 4.19 s’annule pour r=1.50

Le tableau suivant compare nos résultats à ceux du 4e ordre du groupe de renormalisation(r4) et à ceux des théories sur réseaux (rlat).

ra,b1 ra,b

4 rclat rLC

1 1.85 1.80±.05 1.5

a) Ref. [45] b)Ref. [64] c) Ref. [10]

Bien que nous ayons considéré l’ordre 1 du développement du champ (ce qui correspond ence sens au r1 de Parisi), le couplage du champ au mode zéro à travers les contraintes est tout àfait non perturbatif et explique l’amélioration considérable que nous obtenons par rapport à r1.

61


62

Chapitre 7

Calculs à l’ordre 2

7.1 Contraintes et équation du mouvement

7.1.1 L’équation du mouvement

A l’ordre suivant, la présence du terme d’interaction #2 nécessite la résolution de l’équationdu mouvement.

(4)+)! + m2)#2 = "-

3!Q , (!o + !+ #1 + #2)

3

Le terme de droite (rhs) est plutôt complexe, mais s’agissant d’étudier la théorie au voisinagede la transition de phase, on ne conservera que les termes linéaires en !o, C(p+) et g2 :

(4)+)! + m2)#2 = "-

3!Q ,

@3!o#

21 + #1!#1 + #2

1!+ !#21 + #2

1#2 + #2#21 + #1#2#1

A

La projection de cette équation sur les états de Fock à deux et zéro particules (resp. à uneet une particule) va isoler dans le membre de gauche la fonction g++

2 (resp. G2) :

< q+1 q+

2 |(4)+)! + m2)#2|0 > = 21m2 " K(1 + 2)

2 f(q+1 )f(q+

2 )G

q+1 q+

2

g++2 (q+

1 ,q+2 )e

i2 (q+

1 +q+2 )x"

+,(q+1 ,q+

2 )

% +&

0

dp

pf2(p)G2(p,p)

< q+1 |(4)+)! + m2)#2|q+

2 >=1m2 " K(1 " 2)

2 f(q+1 )f(q+

2 )G

q+1 q+

2

G2(q+1 , " q+

2 )ei2 (q+

1 !q+2 )x"

avec les notations :

K(1 ± 2) ! (q+1 ± q+

2 )(m2

q+1

±m2

q+2

)

,(q+1 ,q+

2 ) = 0 si q+1 -= q+

2

= 1 si q+1 = q+

2

63


Pareillement on projette les termes du membre de droite1 .Sur le secteur deux particules-vide :

< q+1 q+

2 |#21#2|0 > = 1

2,f(q+

1 )f(q+2 )%

q+1 q+

2

ei2 (q+

1 +q+2 )x"

6g++2 (q+

1 ,q+2 )

0 +&0

dpp f2(p)

+ 20+&0

dpp

1g++2 (p,q+

1 ) + g++2 (p,q+

2 )27

< q+1 q+

2 |#2#21|0 > = 1

2,f(q+

1 )f(q+2 )%

q+1 q+

2

ei2 (q+

1 +q+2 )x"

6g++2 (q+

1 ,q+2 )

0 +&0

dpp f2(p)

+0 +&0

dpp

1G2(q

+1 , " p) + G2(q

+2 , " p)

27

< q+1 q+

2 |#1#2#1|0 > = 14,

f(q+1 )f(q+

2 )%q+1 q+

2

ei2 (q+

1 +q+2 )x"

62g++

2 (q+1 ,q+

2 )0 +&0

dpp f2(p)

+0 +&0

dpp

12g++

2 (p,q+1 ) + 2g++

2 (p,q+2 ) + G2(q

+1 , " p) + G2(q

+2 , " p)

27

< q+1 q+

2 |!#21|0 > = 1

2,f(q+

1 )f(q+2 )%

q+1 q+

2

[C(q+1 )f(q+

1 ) + C(q+2 )f(q2)]

< q+1 q+

2 |#1!#1|0 > = 14,

f(q+1 )f(q+

2 )%q+1 q+

2

[C(q+1 )f(q+

1 ) + C(q+2 )f(q+

2 )]

et sur le secteur une particule-une particule :

< q+1 |#2

1|q+2 > = 1

4,f(q+

1 )f(q+2 )%

q+1 q+

2

ei2 (q+

1 !q+2 )x"

+ ,(q+1 ,q+

2 ) 14,

0 +&0

dpp f2(p)

< q+1 |#2

1#2|q+2 > = < q+

2 |#2#21|q

+1 >

= 14,

f(q+1 )f(q+

2 )%q+1 q+

2

ei2 (q+

1 !q+2 )x"

6G2(q

+1 ,q+

2 )0 +&0

dpp f2(p)

+0 +&0

dpp f2(p) [4g++

2 (p,q+1 ) + 2G2(p,q+

2 )]?

+,(q+1 ,q+

2 ) 12,

0 +&0

dp1dp2

p1p2f2(p1)f2(p2)g

++2 (p1,p2)

< q+1 |#1#2#1|q+

2 > = 14,

f(q+1 )f(q+

2 )%q+1 q+

2

ei2 (q+

1 !q+2 )x"

6G2(q

+1 ,q+

2 )0 +&0

dpp f2(p)

+0 +&0

dpp f2(p)

12g++

2 (p,q+1 ) + 2g++

2 (p,q+2 ) + G2(q

+1 ,p) + G2(p,q+

2 )27

+,(q+1 ,q+

2 ) 14,

0 +&0

dp1dp2

p1p2f2(p1)f2(p2)G2(p1,p2)

< q+1 |#2

1!|q+2 > = < q+

2 |!#21|q

+1 >

= 12,

f(q+1 )f(q+

2 )%q+1 q+

2

ei2 (q+

1 !q+2 )x"

C(q+2 )f2(q+

2 ) + ,(q+1 ,q+

2 ) 14,C(q+

1 )f2(q+1 )

0 +&0

dpp f2(p)

< q+1 |#1!#1|q+

2 > = 14,

f(q+1 )f(q+

2 )%q+1 q+

2

ei2 (q+

1 !q+2 )x"

@C(q+

2 )f2(q+2 ) + C(q+

1 )f2(q+1 )A

+,(q+1 ,q+

2 ) 14,C(q+

1 )f2(q+1 )

0 +&0

dpp f2(p) + 1

4, ,(q+1 ,q+

2 )0 +&0

dpp f4(p)C(p)

L’application de l’opérateur Q au second membre de l’équation du mouvement correspondà la soustraction du mode zéro q1 = q2 : tous les termes en ,(q1,q2) doivent être éliminés. Enoutre la fonction '(q2 " q1) assure que l’on se trouve bien dans le secteur des particules où letransfert de moment est positif.

En rassemblant tout ceci on obtient le système d’équations :

1. Cf. appendice B pour des exemples de calculs détaillés.

64

7.1. CONTRAINTES ET ÉQUATION DU MOUVEMENT

@m2 + /

8,

0 +&0

dpp f2(p) " K(1 + 2)

Ag++2 (q+

1 ,q+2 ) = " /

8,!o " /16, [C(q+

1 )f(q+1 ) + C(q+

2 )f(q+2 )]

" /16

0 +&0

dpp f2(p) { 2 g++

2 (p,q+1 ) + 2g++

2 (p,q+2 ) + G2(q

+1 , " p) + G2(q

+2 , " p)

?

@m2 + /

8,

0 +&0

dpp f2(p) " K(1 " 2)

AG2(q

+1 , " q+

2 ) = " /4,!o " /

8, [C(q+1 )f(q+

1 ) + C(q+2 )f(q+

2 )]""/

8

0 +&0

dpp f2(p) { 2 g++

2 (p,q+1 ) + 2g++

2 (p,q+2 ) + G2(q

+1 , " p) + G2(p, " q+

2 )?

où l’on a posé :

K(1 ± 2) ! (q+1 ± q+

2 )(m2

q+1

±m2

q+2

)

On écrira dorénavant q1 pour q+1 pour alléger les écritures. On obtient le système d’équations

couplées déterminant #2 :

"CCCCC#

CCCCC$

g++2 (q1,q2) = g20(g,!o,q1,q2) + g

4q1q2

q21+q2

2+q1q2

0 +&0

dpp f2(p)

12g++

2 (p,q1) + 2g++2 (p,q2)

+G2(q1, " p) + G2(q2, " p)]

G2(q1, " q2) = 2g20(g,!o,q1, " q2) " g2

q1q2

q21+q2

2+q1q2

0 +&0

dpp f2(p)

12g++

2 (p,q1) + 2g++2 (p,q2)

+G2(q1, " p) + G2(p, " q2)](7.1)

avec :

g !-

4/µ2

g20(g,!o,q1, " q2) ! "g

4

q1q2

q21 + q2

2 " q1q2[C(q1)f

2(q1) + C(q2)f2(q2) + 2!o]

et la même définition de µ2 qu’à l’ordre précédent.

7.1.2 La contrainte

Après linéarisation et élimination des termes ne conservant pas le nombre de particules, elles’écrit :

'3 = m2!o + m2!+-

3!

1

V

%dx!

6#2

1#2 + #2#21 + #1#2#1 + 3!o#

21 + #2

1!+ !#21 + #1!#1

7

avec< q+

1 |!|q+2 >= ,(q1 " q2)f

2(q+1 )C(q+

1 )

et les éléments de matrices déjà calculés, il vient 2 :

32g++

2 (p,q+1 ) +

1

2[G2(p, " q+

1 ) + G2(q+1 , " p)]

4

2. En notant que le terme g

2q+1

G2(q+1 ! q+

1 )R +%0

dpp

f2(p) s’annule car G2(q+1 , ! q+

1 ) = 0, le mode zéro étant

explicitement pris en compte par #.

65


< q+1 |'3|q+

1 >=g!o

q+1

C(q+1 )[1 + g

f2(q+1 )

q+1

] +g

q+1

% +&

0

dp

pf2(p) (7.2)

32g++

2 (p,q+1 ) +

1

2[G2(p, " q+

1 ) + G2(q+1 , " p)]

4(7.3)

qui relie C à g++2 et G2 et

< 0|'3|0 >= !o+2

3g

% +&

0

dp1dp2

p1p2f2(p1)f

2(p2)

3g++2 (p1,p2) +

1

4G2(p1,p2)

4+

g

6

% +&

0

dp

pf4(p)C(p)

(7.4)

La donnée des équations du mouvement (7.1) et des contraintes (??,7.4) détermine toute ladynamique. Il s’agit d’un système d’équations intégrales couplant g++

2 et G2 (le champ) et C(le mode zéro). Les équations du mouvement permettent de déterminer G2 et g2 en fonction deC, qui est lui même fixé par la contrainte (??). Enfin la contrainte (7.4) fixe le couplage critiquegc en fonction de toutes les autres quantités.

7.2 Résolution approchée des équations du mouvement etdes contraintes

Nous allons étudier la solution de (7.1) par itérations, en prenant comme termes initiaux lestermes sources non intégraux 3:

g++(o)2 (g,!o,q1,q2) ! g2o(g,!o,q1,q2)

G(o)2 (g,!o,q1, " q2) ! 2'(q1 " q2)g2(g,!o,q1, " q2)

et le terme obtenu à l’ordre précédent de la série de Haag pour C :

C(o)(q1) ! "g!o

(q1 + g)(7.5)

En notant que

g2o(q1,q2) + g2o(q1, " q2) = "2q1q2

q21 + q2

2 + q1q2g2o(q1,q2)

la première itération conduit aux équations :

g++(1)2 (q1,q2) = g2o(q1,q2) " g q1q2

q21+q2

2+q1q2

6q1

0 q1

0 dpf2(p) g2(p,q1)p2+q2

1!pq1+ q2

0 q2

0 dpf2(p) g2o(p,q2)p2+q2

2!pq2

" 12

0 +&q1

dpp f2(p)g2o(p,q1) " 1

2

0 +&q2

dpp f2(p)g2o(p,q2)

7

G(1)2 (q1, " q2) = 2g2o(q1, " q2) + g q1q2

q21+q2

2!q1q2

6q1

0 q1

0 dpf2(p) g2o(p,q1)p2+q2

1!pq1+ q2

0 +&q2

dpf2(p) g2o(p,q2)p2+q2

2!pq2

" 12

0 +&q1

dpp f2(p)g2o(p,q1) " 1

2

0 q2

0dpp f2(p)g2o(p,q2)

7

Les intégrales des membres de droite peuvent être évaluées avec Maple et fournissent unrésultat assez lourd. A la limite des grands q1 on a:

3. Pour alléger les notations on omettra dans la suite les variables g et 'o pour les rétablir lorsque ce seranécessaire.

66

7.2. RÉSOLUTION APPROCHÉE DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT ET DES CONTRAINTES

g++(1)2 (q1,q1) 0

1

6g!o "

g2!o

6

1

q1[1 " g

/%

3

9] + o(

1

q21

) (7.6)

et on constate que l’on retrouve cette même limite pour g++(o)2 (q1,q1) si l’on substitue dans

C(g,!o,q1) un couplage e!ectif geff ! g(1" g,'

39 ) à la place de g. De manière analogue on bâtit

la solution au 2e ordre des itérations g++(2)2 et G(2)

2 où les intégrales peuvent aussi être évaluées.On peut alors faire la constatation suivante : g++(2)

2 (g,!o,q1,q2) et G(2)2 (g,!o,q1,"q2) restent très

proches de g++(o)2 (geff ,!o,q1,q2)et G(o)(geff ,!o,q1,q2) où

geff !g

1 + g ,'

39

(7.7)

On s’attend à ce que les itérations suivantes ne modifient pas drastiquement la forme deg++(i)2 et G(i)

2 . Par ailleurs les corrections apportées par les itérations suivantes fournissent destermes plus que linéaires en !o qui sont négligeables près de la transition. En outre elles fontapparaître une alternance de signes + et " dans la limite (7.6) pour g++(i)

2 qui permet d’envisagerune série infinie convergeant vers un couplage e!ectif de la forme (7.7).

g22 :

g21 :

g20 :

0.0005

0.001

0.0015

0.002

2 4 6 8q1~

g=1.5

g22 :g21 :g20 :

0.001

0.003

0.005

0.007

2 4 6 8q1~

g=4.2

g22 : g21 :

2*g20 :

–0.002

–0.004

–0.006

–0.008

2 4 6 8q1~

g=1.5

g22 : g21 :

2*g20 :

–0.004

–0.008

–0.012

–0.016

2 4 6 8q1~

g=4.2

Il reste à montrer qu’il est justifié d’utiliser l’expression à l’ordre 1 pour C (7.5). Examinonsla solution d’ordre 1 :

C(1)(q1)[q1 + gf2(q1)] + g!o+

2g0 +&0

dpp f2(p)

>g2o(p,q1) + 1

2'(p " q1)g2o(p, " q1) + 12'(q1 " p)g2o(q1, " p)

?= 0

67


qui donne

C(1)(q1) = " g*o

q1+g " g2

2(q1+g)

0 +&0 dpf2(p)C(o)(p)

61

p2+q21+pq1

" 12

1p2+q2

1!pq1

7

"[C(q1)f2(q1) + 2!o]g2q1

2(q1+g)

0 +&0 dp

61

p2+q21+pq1

" 12

1p2+q2

1!pq1

7

Sachant que% +&

0dp

1

p2 + q21 ± pq1

=

"C#

C$

2,'

39q1

(+)

4,'

39q1

(")

on en déduit que la 2e intégrale est nulle. Quant à la première, elle est dominée par sa valeur aupôle et, à une bonne approximation, on peut écrire :

% +&

0dp

C(o)(p)

p2 + q21 ± pq1

2 C(o)(q1)

% +&

0dp

1

p2 + q21 ± pq1

ce qui annule aussi le premier terme intégral. Ainsi C(1) est très peu di!érent de C(o).

C :

C0:

–0.003

–0.005

–0.007

–0.009

2 4 6 8k~

Nous avons montré que la solution à l’ordre 1 garde la même forme générale que celle àl’ordre 0. Pour a"ner notre approximation, on introduit dans le couplage e!ectif une fonctioninconnue x(g) (que l’on attend proche de 1) :

geff !g

1 + gx(g),'

39

et on va déterminer sa valeur optimale par une méthode de moindres carrés (cf. appendiceC).

Pour des g . 7 on trouve comme attendu que x(g) est proche de 1 :

x(g) = 1 +g

12

Finalement une solution satisfaisante pour C est donc

C(g,!o,q1) = C(o)(geff ,!o,q1) = "9g!o

9g + q1[9 + g/%

3(1 + g/12)](7.8)

68

7.3. CALCUL DE LA CONSTANTE DE COUPLAGE

7.3 Calcul de la constante de couplage

Injectons dans (7.4) la solution (7.8) :

!o +2g

3

% +&

0

dp1dp2

p1p2f2(p1)f

2(p2)

3g2o(geff ,!o,p1,p2) +

1

2'(p1 " p2)g2o(geff ,!o,p1, " p2)

4

+g

6

% +&

0

dp

pf4(p)C(p) = 0

que l’on peut écrire :

!o + I1 + I2 + I3 = 0

avec

I1 = 2g2*o,'

327

0 +&0

dpp f2(p) + 2g2,

'3

27

0 +&0

dpp f2(p)C(geff ,!o,p)

I2 = " g2*o,'

327

0 +&0

dpp f2(p) " g2,

'3

27

0 +&0

dpp f2(p)C(geff ,!o,p)

I3 = g6

0 +&0

dpp f4(p)C(p)

qui se simplifie en :

!o+g

6

% +&

0

dp

pf4(p)C(g,!op)+

g2/%

3

27

% +&

0

dp

pf2(p)C(geff ,!o,p)+

g2!o/%

3

27

% +&

0

dp

pf2(p) = 0

(7.9)

En utilisant f(p) = '(p" µ$ )+ '($

µ " p) on peut constater que les seules divergences dans lesintégrales ci-dessus sont logarithmiques et peuvent être absorbées dans la masse renormalisée µpar des contre-termes du même type que ceux de l’ordre précédent:

1 "g

6

(% !µ

µ!

dp

p"% !

µ

µ!

dp

p + g

D

"g2/

%3

27

(

2

% !µ

µ!

dp

p"% !

µ

µ!

dp

p + geff

D

= 0

On obtient, pour les grands ':

1 "g

6(1 + 2g

/%

3

9)lng + g2 /

%3

27ln[1 + g(1 +

g

12)/%

3

9] = 0

d’où l’on tire la solution numérique :

gc = 4,78

Le terme d’ordre 2 apporte une contribution positive au résultat d’ordre 1.

7.4 Fonction #1(g) et comparaison avec les théories critiques

La masse critique M(g,') du système est définie à partir de la contrainte (7.4) :

M2(g,') ! µ2

(

1 "g

6(1 +

2g/%

3

9)lng +

g2/%

3

27ln[1 + g(1 +

g

12)/%

3

9]

D

69


De là on tire la fonction "1(g) du système

"1(g) ! M2

H)M2

)g

;;;;',!

I!1

= "2gN(g)

D(g)

avec

N(g) = [1 " g6 (1 + g 2,

'3

9 )lng + g2 ,'

327 ln(1 + ,

'3

9 (1 + g12 ))][1 + g ,

'3

9 (1 + g12 )]

D(g) = (1 + g6 )[1 + g ,

'3

9 (1 + g12 )] + g,

'3

108 (1 " 2g2,'

39 )

+ g2,'

327 (1 + g,

'3

9 (1 + g12 )]ln[ g

(1+g #&

39 (1+ g

12 ))]

Comme à l’ordre précédent, on vérifie qu’elle remplit bien la condition (6.6) et que l’exposantcritique % reste égal à 2.

β :

β0:

–2

–1

0

1

2

3

1 2 3 4 5g

7.5 Comparaison avec les résultats des théories critiques

A partir de (7.9) il faut conserver les divergences en ' :

1 = g(1

6+ g

/%

3

27)ln'2

µ2"

g

6ln

J$µ + gµ$ + g

K

" g2 /%

3

27ln

J$µ + geff

µ$ + geff

K

et passer au couplage réduit r tel que g ! 23

$2

µ2 r :

1 = " 19reyln

E1+ 2

3 rey2

1+ 23 re

3y2

F" 4,

81'

3r2e2y

'y2 + ln

E1+geff (y,r,x)e" y

2

1+geff (y,r,x)ey2

F:

en notant y ! ln$2

µ2 . La résolution numérique de cette équation est traitée à l’appendice C.On obtient rLC2 = 1.71

70

7.6. CONCLUSION

ra,b1 ra,b

4 rclat rLC1 rLC2

1 1.85 1.80±.05 1.5 1.71

a) Ref. [45] b)Ref. [64] c) Ref. [10]

7.6 Conclusion

La version continue de la quantification sur le cône de lumière se présente comme une méthodepuissante et relativement économe en calculs pour l’étude des propriétés critiques des théories dechamps scalaires. Le couplage des modes zéros avec les modes normaux, associé à la régularisationdes divergences par des fonctions tests, permet d’accéder aux domaines non perturbatifs de lathéorie de façon tout à fait satisfaisante, du moins pour ce qui concerne le couplage critique,la fonction "(g) et l’exposant critique %. Des améliorations sont envisageables. Il est possiblede prendre en compte dans les contraintes et les équations du mouvement les termes plus quelinéaires en !o mais cela alourdirait considérablement les calculs. En outre, la transition dephase étant définie pour les !o petits, nous pensons que cela n’apporterait pas de correctionssignificatives à nos résultats. On pourrait aussi pousser le développement de Haag du champ #jusqu’à l’ordre 3. Pareillement on peut considérer le terme suivant du développement de Haag dumode zéro, mais là aussi, le nombre d’éléments de matrices à calculer devient très important. Unautre axe de recherche consiste à calculer d’autres exposants critiques, notamment le coe"cient$ associé aux fonctions de corrélation. A cette fin nous avons considéré une généralisation dumode zéro, en lui permettant de varier dans l’espace. Le champ total & s’écrivant alors :

&(x+,x!) = !c(x+,x!) + !o + !11 + ... + #1(x

+,x!) + #2(x+,x!) + ...

où !c(x!) est un c-nombre (c’est en fait la partie classique du champ &), qui est lui aussicouplé avec les modes normaux #1et #2. La dépendance spatiale de !c lui permet de transférer del’impulsion (en ce sens ce n’est plus stricto sensu un mode zéro), ce qui nous a permis d’obtenirla relation de dispersion et l’exposant critique $. Ces travaux sont toujours en cours.

71


72

Troisième partie

La théorie des champs !4 O(N ) sur

le cône de lumière.

73

Chapitre 8

Développement de la théorie "4O(N )quantifiée par intégrales de chemin

"More variables usually means greater complexity, but not always ..."

Sidney Coleman

8.1 Mise en forme de la fonctionnelle génératrice

Dans cette troisième partie nous allons préciser et compléter les travaux présentés dansla thèse [3]. On considère N champs scalaires !a soumis à la symétrie O(N), en interaction !4.Cette symétrie est connue [9] pour permettre des développements non perturbatifs en série de 1

N .L’existence d’un paramètre permettant un développement non perturbatif suggère une possibiliténouvelle de résolution des contraintes et des équations du mouvement de la théorie sur le cônede lumière, ordre par ordre en 1

N . Comme préalable à cette étude, dans un but de comparaison,nous allons examiner en détail les fonctions de corrélation de la théorie euclidienne dans l’InstantForm en utilisant les intégrales de chemin. Des travaux sur ces fonctions de corrélation ont étémenés [35], mais une approche systématisée nous a semblé nécessaire pour réduire au minimumle risque d’erreur qui, comme on le confirmera en fin de chapitre, est important.

Le lagrangien de la théorie !4 O(N) s’écrit :

L =1

2)µ!a)µ!a +

1

2m2!a!a +

-

4!(!a!a)2

Les fonctions de corrélation s’obtiennent à partir de la fonctionnelle génératrice

Z[J ] =

%D[!a]e!S[*a]+

Rd4xJa(x)*a(x) (8.1)

où S est l’action

S =

%d4xL(!a(x))

et Ja(x) le terme de courant, source des champs !a(x). En multipliant la fonctionnelle (8.1)par la constante

K =

%D[.]e!

N2g

Rd4x(#+ i

2gN *a*a)2

où l’on a posé - ! 3gN , on fait apparaître des termes gaussiens

75

CHAPITRE 8. DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE $4O(N) QUANTIFIÉE PAR INTÉGRALES DE CHEMIN

Z[J ] =

%D[!a]D[.]e

!R

d4xn

12$µ*

a$µ*a+ 1

2 (m2+ i2#)*a*a+ N

2!2

g !Ja*ao

qui rendent possible le calcul de l’intégrale fonctionnelle sur !a :

Z[J ] = cte

%D[.]e!

N2 tr.ln[!$µ$µ+m2+i#]! N

2g

Rd4x#2! 1

2

Rd4xd4y{Ja(x)[!$µ$µ+m2+i#]"1Ja(y)} (8.2)

où l’on a intégré par partie le terme cinétique et où tr signifie “trace”. La multiplication parla constante K, qui ne modifie en rien la dynamique 1, permet l’introduction du champ auxiliaire.(x) ce qui autorise l’intégration sur les champs !a qui disparaissent dès lors de la fonctionnellegénératrice. De fait, l’ensemble de la théorie se trouve maintenant exprimé à l’aide de ce champauxiliaire . pour lequel il faut introduire un terme de courant source. Pareillement le termesource pour les champs !a , devenu inutile, est supprimé 2:

Z[j] = cte

%D[.]e!

N2 Seff [#]+

Rd4xj(x)#(x)

où

Seff [.] = tr.ln[")µ)µ + m2 + i.] +1

g

%d4x.2(x)

est une action e!ective non locale que l’on peut développer autour de la solution .o qui laminimise (méthode du point de selle). Posons :

.(x) = 5.(x) + .o

En utilisant l’ensemble complet d’états :

%d4x |x >< x| = 1

on développe le terme en tr.ln 3 :

1. Puisque la fonctionnelle génératrice est simplement multipliée par une constante. On peut le vérifier égale-ment en écrivant l’équation d’Euler-Lagrange pour + :

+ = !1

2

g

N'a'a

qui n’est pas dynamique.

2. La suppression du terme source pour 'a est en fait une a"aire de goût. Il est tout à fait possible dele conserver, au prix d’expressions plus lourdes, comme l’ont fait Kristjansen et Flyvbjerg [35]. Les fonctionsde corrélation que l’on obtient sont alors modifiées simplement par leurs pattes externes, qui deviennent despropagateurs de champs 'a. Alors que tous les autres, et notamment les boucles internes, demeurent identiques.

3. On a :

tr.ln[!&µ&µ + m2 + i+] =

Z< x|ln[(!&µ&µ + m2 + i+o)(1 + e+(!&µ&µ + m2 + i+o)]|x >

En développant le ln(1 + a) = a ! 12a2 + 1

3a3 + ... et en utilisant la stationnarité de l’action en +o :

$Seff [+]

$+ |'='o

= 0

qui donne l’équation du “gap” :

1

g+o + $(x,x) = 0

on aboutit à l’expression (8.3).

76

8.1. MISE EN FORME DE LA FONCTIONNELLE GÉNÉRATRICE

Seff [.] = N2

60d4x 1

g .2 + 12

0d4xd4y.(x)$(x " y).(y)$(x " y)

" i3

0d4xd4yd4z.(x)$(x " y).(y)$(y " z).(z)$(z " x) + ...

? (8.3)

avec< x|5.|y > = 5.(x),(x " y)

< x|[")µ)µ + m2 + i.o]!1|y > ! $(x " y)

En e!ectuant l’intégration gaussienne sur les termes quadratiques de Seff et en e!ectuantle changement

5.(x) "1

N

%d4y[

1

g,(x " y) +

1

2$(x,y)$(y,x)]!1j(y) ( 5.(x)

la fonctionnelle génératrice s’écrit :

Z[j] = eN2

P+%k=3

("i)k

k

Rd4x1...d4xk )1...)k (8.4)

e

12N

Rd4xd4yj(x)

2

6641g )(x!y)+ 1

2

3

775

"1

j(y)

(8.5)

où l’on note ))j(xi)

= ,i, et en utilisant les représentations suivantes :

D(x " y) = [ 1g ,(x " y) + 12 ]!1

=

$(x,y) =

Ces quantités s’interprètent aisément:

! D(x"y), issue de l’inversion de la partie quadratique de l’action e!ective, est le propagateurlibre pour le champ 5..

! $(x,y) est un propagateur “e!ectif”, relié aux champs éliminés !a. Ces propagateurs in-terviennent toujours en produits représentés par des cercles qui jouent le rôle de vertexe!ectifs non locaux pour les propagateurs D(x " y). De fait tout se passe comme si lechamp 5. se propageait dans un milieu polarisable.

L’expression (8.5) permet d’obtenir les fonctions de corrélation en 5.(x). Ces fonctions sereprésentent sous forme de diagrammes composés de propagateurs D(x"y) et $(x"y). Chaquediagramme porte un facteur NL!P où L est le nombre de cercles fermés et P le nombre depropagateurs D. Puisqu’un cercle fermé est accompagné d’au moins trois dérivées fonctionnelles,i et que deux sources sont attachées à un propagateur D, la relation 3L . 2P doit être satisfaite(si P est nul, L l’est aussi). Donc Z[j] peut se développer en puissance de 1

N et seul un nombre finide diagrammes contribue à chaque ordre. En e!et, à un ordre donné k, on doit avoir P "L . k,mais L . 2P

3 implique que P . 3k et L . 2k. Bien sûr, avec un nombre fini de cercles et depropagateurs, on ne peut construire qu’un nombre fini de diagrammes.

77


8.2 Algorithme pour la détermination des diagrammes contri-buant aux fonctions de corrélation

Dans la relation donnant Z[j] on e!ectue le changement%

N5.(x) ( 5.(x) de façon à obtenirun développement en puissance de 1'

N, plus facilement utilisable par la suite. En e!et le facteur

en 1'N

est alors simplement déterminé par le nombre k de vertex présents sur le cercle et vaut1

Nk2 "1

.

On utilise les notations suivantes :

A(n) ! ,j1 ...,jn

2

3

1n

A2(n) = ,j1 ...,jn ,j11...,jn1

2

3

1n 21

31

11n1

etc

avec ZD ! e12

Rd4xd4yj(x)D(x!y)j(y)

A(3)ZD = {3 + }.ZD

A(4)ZD = {4 + 2 + }.ZD

A(5)ZD = {5 + 5 + 5 + 5 + 5

+ }.ZD

A(6)ZD = {6 + 12 + 6 + 6 + 3

+3 + 6 + 3 + 6

78

8.2. ALGORITHME POUR LA DÉTERMINATION DES DIAGRAMMES CONTRIBUANT AUX FONCTIONS DE CORRÉLATION

+3 + 6 + }.ZD

La fonctionnelle génératrice s’écrit alors :

Z[j] = {1 + 16'

NA(3) + 1

8N A(4) " 172N A2(3) " i

10N'

NA(5) " i

1296N'

NA3(3)

+ i48N

'N

A(3)A(4) + 131104N2 A4(3) " 1

576N2 A2(3)A(4) + 1128N2 A2(4)

+ 160N2 A(3)A(5) " 1

12N2 A(6) + O( 1N2

'N

)}.ZD

Dans la suite on noteraCZD(2) = 1

ZD(A(3)ZD)

CZD(3) = 1ZD

(A(4)ZD)CZD(5) = 1

ZD(A(5)ZD)

CZD(6) = 1ZD

(A(6)ZD)

Les fonctions de corrélation connectées s’obtiennent à partir du développement de W [j] ! lnZ[j]qui peut s’écrire :

W [j] =58

n=1

CW (n).W (n) + O(1

N2%

N)

avec

CW (1..5) = {1,i

6%

N,

1

72N,

i

6480N%

N

1

155520N2}

et

W (1) =0

d4xd4yj(x)D(x,y)j(y)

W (2) = CZD(2)

W (3) = CZ2D(2) + 9CZD(3) " CZD(4)

W (4) = "10CZ3D(2) " 135CZD(2)CZD(3) + 15CZD(2)CZD(4)

"648CZD(5) " 5CZD(6) + 135CZD(7)

W (5) = "30CZ4D(2) " 540CZ2

D(2)CZD(3) " 1215CZ2D(2) + 60CZ2

D(2)CZD(4)+270CZD(3)CZD(4) " 15CZ2

D(4) " 2592CZD(2)CZD(5) " 20CZD(2)CZD(6)+540CZD(2)CZD(7) + 5CZD(8) " 270CZD(9) + 1215CZD(10) + 2592CZD(11)+12960CZD(12)

etc

En notant F2n les parties connectées des di!érentes contributions on a :

79


CZD(4) = 1ZD

(A2(3)ZD) = CZ2D(2) + F24

CZD(6) = 1ZD

A(3)[CZ2D(2).ZD + F24.ZD]

= CZ3D(2) + 3CZD(2).F24 + F26

CZD(7) = 1ZD

A(3)[CZD(3).ZD]= CZD(2)CZD(3) + F27

CZD(8) = 1ZD

A(3)[CZ3D(2).ZD + 3CZD(2).F24.ZD + F26.ZD]

= CZ4D(2) + 6CZ2

D(2)F24 + 4CZD(2)F26 + 3F 324 + F28

CZD(9) = 1ZD

A(3)[CZD(7).ZD]= CZ2

D(2)CZD(3) + CZD(3)F24 + 2CZD(2)F27 + F29

CZD(10) = 1ZD

A(4)[CZD(3).ZD]= CZ2

D(3) + F210

CZD(11) = 1ZD

A(3)[CZD(5).ZD]= CZD(2)CZD(5) + F211

En reportant dans les expressions de W (n), les parties déconnectées disparaissent comme ilse doit. Il reste :

W (3) = "F24 + 9CZD(3)

W (4) = "5F26 + 135F27 " 648CZD(5)

W (5) = 1215F210 + 2592F211 + 5F28 " 270F29 " 12960CZD(12)

Les quantités connectées F2n se calculant simplement en e!ectuant les dérivées fonctionnellesindiquées dans les définitions de CZD(n), n = (4,6,7,8,9,10,11) et en soustrayant les di!érentstermes déconnectés, puissances de CZD(2), produits CZD(i)CZD(j) et CZD(i)F2n. On peutconstater alors que F210 et F211 regroupent toutes les contributions à 2 boucles, F29 les contri-butions à trois boucles, F28 celles à quatre boucles et CZD(12) celles à une boucle. On auradonc :

< 5.(x) >=58

n=1

CW (n),W (n)

,j(x)|j(x)=0 + O(

1

N2%

N)

et

< 5.(x)5.(y) >=58

n=1

CW (n),2W (n)

,j(x),j(y)|j(x)=j(y)=0 + O(

1

N2%

N)

Seuls les termes n = 2 et 4 contribuent à < 5.(x) >, et n = 1,3 et 5 à < 5.(x)5.(y) >. Le calculformel est entièrement e!ectué par l’application que nous avons développée sous Mathematicadétaillée dans l’appendice D. Le calcul normal “à la main” devient vite fastidieux et inextricable,avec de multiples possibilités d’erreurs et d’omissions de contributions comme on le verra plusloin.

80

8.3. DÉVELOPPEMENT DIAGRAMMATIQUE DE LA FONCTION À UN POINT

8.3 Développement diagrammatique de la fonction à unpoint

Dans un but de comparaison avec les résultats de la littérature et avec ceux du chapitresuivant, on rétablit la dépendance habituelle en 1

N (5.(x) ( 1'N5.(x))

< .(x) > =i

2N+

i

N2{"

1

2"

1

2"

1

2

+1

2+

1

4+

1

2+

1

4+

1

2

"1

4"

1

8"

1

4}

+o(1

N3)

81


8.4 Développement diagrammatique de la fonction à deuxpoints

Pour la fonction de corrélation à deux points on obtient:

< .(x).(y) > =1

N+

1

N2{ +

1

2

"1

2"

1

2} +

1

N3{"

" " " "

" "1

2"

1

2"

1

2

+1

2+ +

+ + +

+1

2+

1

2+

1

2

+1

2+

1

2+

1

2

+1

4+ +

+1

2+

1

2"

82

8.4. DÉVELOPPEMENT DIAGRAMMATIQUE DE LA FONCTION À DEUX POINTS

" "1

2

"1

2"

1

2

"1

2"

1

4

"1

4"

1

2

"1

2"

1

4

"1

4"

1

2

"1

2"

1

4+

1

2

83


+1

2+

1

2+

1

2

+1

2+

1

4+

1

2

+ +1

2+

1

2

+ +1

2

"1

2"

1

4

" "1

2

"1

2"

1

2

"1

4"

1

4

84

8.4. DÉVELOPPEMENT DIAGRAMMATIQUE DE LA FONCTION À DEUX POINTS

"1

2"

1

2"

1

4

"1

4"

1

4

"1

2"

1

4"

1

8

+1

4+

1

2

+1

2+

1

4

+1

2+

1

4

+1

4+

1

4

85


+1

8+

1

4}

+o(1

N4)

C. Kristjansen et H. Flyvbjerg [35] font état d’un calcul identique où les diagrammes suivantssont absents :

; ;

Pour tous les autres cas, les diagrammes et les poids trouvés ici sont en accord avec ceuxrapportés par ces auteurs.

86

Chapitre 9

Vers la quantification de la théorie

"4 O(N ) sur le cône de lumière

Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors."

Rabindranâth Tagore

9.1 Contrainte et équations du mouvement

L’écriture de la fonctionnelle génératrice suggère d’utiliser comme lagrangien :

L = "1

2

N

g.2(x) "

N

2< x|ln[)µ)µ + m2 + i.]|x >

où l’on est passé de l’écriture euclidienne à l’écriture minkowskienne 1. Il faut remarquerque ce lagrangien est invariant de forme si l’on passe en coordonnées du cône de lumière: lavariable x peut donc représenter indi!éremment les coordonnées minkowskiennes ou celles ducône de lumière. Cependant l’unique présence du champ auxiliaire non dynamique .(x) rend celagrangien maximalement singulier. Le moment conjugué de .(x) est nul 2:

/# !,L

,.= 0

Il en découle la contrainte primaire (qui n’a aucun rapport avec la singularité des systèmessur cône de lumière):

'1(x) = /#(x) ' 0

qui engendre elle-même une contrainte secondaire3:

'2(x) =1

g.(x) + i

N

2< x|[)µ)µ + m2 + i.]!1|x >' 0 (9.1)

1. C’est-à-dire que l’on a e"ectué :

!(&µ&µ)eucl = &µ&µ

ZD[+]e!

Rd4xeuclLeucl(xeucl) =

ZD[+]ei

Rd4xL(x)

avecd4xeucl = id4x

2. Que +(x) représente "'"xo ou bien "'

"x+ .

3. L’hamiltonien primaire s’écrit :

87

CHAPITRE 9. VERS LA QUANTIFICATION DE LA THÉORIE $4 O(N) SUR LE CÔNE DE LUMIÈRE

Il est facile de se convaincre (cf. la thèse [3]) que cette contrainte est de seconde classe, toutcomme '1, et que la matrice des contraintes C(x,y) = {'i(x),'j(y)} est inversible. La contrainte'2(x) ' 0 est donc l’équation dynamique de la théorie. Notre objectif étant de la résoudre ordrepar ordre, on développe pour ce faire le champ 5.(x) = .(x) " .o en puissances de 1'

N:

5.(x) =+&8

n=1

.n(x)

[%

N ]n

qui induit un développement analogue de '(x) ! +2(x)N pouvant s’écrire 4:

'(x) = 1g .o + i

2$(x,x)

+ 1'N

61g .1(x) + 1

2

0d4y$(x,y).1(y)$(y,x)

7

+ 1N

61g.2(x) + 1

2

0d4y$(x,y).2$(y,x) " i

2

0d4yd4z$(x,y).2(y)$(y,z).2(z)$(z,x)

7

+ 1N

'N

61g .3(x) + 1

2

0d4y$(x,y).3(y)$(y,x) " i

2

0d4yd4z$(x,y).1(y)$(y,z).2(z)$(z,x)

" i2

0d4yd4z$(x,y).1(y)$(y,z).2(z)$(z,x) " i

2

0d4yd4z$(x,y).2(y)$(y,z).1(z)$(z,x)

" 12

0d4yd4zd4t$(x,y).1(y)$(y,z).1(z)$(z,t).1(t)$(t,x)

?

+ ...(9.2)

Chaque terme de ce développement doit s’annuler pour que (9.1) soit vérifiée. La premièreéquation obtenue est simplement l’équation du gap :

1

g.o +

i

2$(x,x) = 0

Comme on pouvait s’y attendre, on constate que :

'2(x) =,Seff [.]

,.(x)

ce qui montre que la deuxième équation, obtenue à l’ordre 1'N

, est reliée au propagateurD(x,y) ; c’est en fait l’équation du mouvement libre pour .1(x) :

1

g.1(x) +

1

2

%d4y$(x,y).1(y)$(y,x) ' 0 (9.3)

Les équations d’ordre supérieur apparaissent alors comme des équations du mouvement, dontle terme d’interaction est bâti à partir des champs déterminés aux ordres précédents.

H1(xo) =

Zd3x

!N

2g+2(x) +

N

2< x|ln[&µ&

µ + m2 + i+]|x > +µ1(x)!1(x)

"

et la condition de consistance!1(x) = {!1(x),H1(y)}xo=yo

ne permet pas la détermination de la fonction µ1(x) et conduit à la contrainte !2(x).

4. Cette expression s’obtient en développant l’opérateur [&µ&µ + m2 + i+]!1de la même façon que l’on adéveloppé ln[!&µ&µ + m2 + i+] au chapitre précédent.

88

9.2. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DU MOUVEMENT LIBRE ET QUANTIFICATION

9.2 Résolution de l’équation du mouvement libre et quan-tification

Dans l’espace de Fourier l’équation (9.3) s’écrit :

D!1(p2).B.1(p) ' 0

avec

.1(x) =

% +&

!&

d4p

(2/)4eipxB.1(p)

et 5

D!1(p2) !1

g+

1

2

%d4q

(2/)41

(q2 + m2)[(q + p)2 + m2](9.4)

où l’on a fait le changement de notation: m2 + i.o ( m2. Après régularisation à l’échelle µce propagateur s’écrit (cf. [3]) :

D!1r (p2) =

1

gr"

1

(4/)2ln(

p2

µ2)

On obtient donc l’équation du mouvement :

[1

gr"

1

(4/)2ln(

p2

µ2)].B.1(p) ' 0

qui admet pour solution la distribution :

B.1(p) = ,[1

gr"

1

(4/)2ln(

p2

µ2)]..1(p)

soit 6 :

B.1(p) =(4/)2M2

2%p[,(po " %p) + ,(po + %p)]..1(p)

et donc

.1(x) =(4/)2M2

2

% +&

!&

d3p

(2/)31

%p

6.1("%p, " pi)e!i('pxo!pixi) + .1(%p,p

i)ei('pxo!pixi)7

5. Dans la suite on notera pour simplifier D(p), mais il faut se souvenir que D ne dépend que de p2 .

6. D’après la théorie des distributions on sait que $[f(x)] =P

{xo}1

|f #(x)|$(x ! xo) où les xo sont les zéros de

f(x). On a ici :

f(po) #1

gr!

1

(4*)2ln(

(po)2 ! (pi)2

µ2)

dont les deux zéros sont :

po± = ±

r

µ2e(4#)2

gr + (pi)2

et

f &(±(p) = !2

(4*)2±(p

µ2e(4#)2

gr

Ceci suggère que la masse du champ +1 est M2 # µ2e(4#)2

gr .

89


La question qui se pose alors est de choisir une quantification consistante avec la définitiondu propagateur libre (9.4) de .1(x) lequel correspond à l’inversion de la partie quadratique del’action e!ective (cf. chapitre précédent). On doit avoir :

< 0|T.1(x).1(y)|0 >= iD(x " y) (9.5)

où T est le produit chronologique.

La prescription classique

.1(%p,pi) 1%2'p

( a†p

.1("%p, " pi) 1%2'p

( ap(9.6)

ne convient pas puisque (9.6) donne simplement un propagateur de Klein-Gordon de masseM. On utilise la prescription :

.1(%p,pi) (4,)2M2

%2'p

( a†pg(%p,pi)

.1("%p, " pi) (4,)2M2

%2'p

( apg("%p, " pi)(9.7)

où g est une fonction telle que 7 :

g(p2on)g("p2

on)

p2off " M2 + i+

= D(p2off ) (9.8)

ce qui assure l’égalité (9.5). En fait la fonction g, nécessaire pour réaliser une quantificationconsistante, indique que le champ .1a un caractère non local :

.1(x) =0 d3p

(2,)31%2'p

>a†

pg(pon)eiponx + apg("p)e!iponx?

=0

d3x#

(2,)3

0 d3p(2,)3

2%2'p

>a†

pg(x + x$)eiponx + apg("x " x$)e!iponx? (9.9)

avec

g(p) =

%d3x$

(2/)3e!ipx

#

g(x$)

Avec la prescription (9.7)(9.8) un calcul direct8 montre que l’égalité (9.5) est satisfaite. Dansla suite nous utiliserons pour .1(x) le développement (9.9), ce qui contraste avec la démarche9

suivie dans [3].

9.3 Calculs des champs d’ordre supérieur

9.3.1 Champs à l’ordre 2

Le champ .2(x) est solution de l’équation :

7. La fonction g ne peut pas être spécifiée au-delà du produit g(p)g(!p), mais ceci n’est pas gênant puisquec’est toujours ce produit qui intervient dans la suite.

8. Il su!t d’écrire

< 0|T+1(x)+1(y)|0 >= !(xo ! yo) < 0|+1(x)+1(y)|0 > +!(yo ! xo) < 0|+1(y)+1(x)|0 >

et d’utiliser la représentation intégrale de la fonction !(cf. page 29)

9. Le choix de cet auteur était de considérer pour +1 un champ de Klein-Gordon. Les pôles des propagateurssont identiques aux nôtres, mais le comportement de la fonction d’onde est tout à fait di"érent. Cet aspect estcapital pour la structure des divergences dans les intégrales.

90

9.3. CALCULS DES CHAMPS D’ORDRE SUPÉRIEUR

1

g.2(x) +

1

2

%d4y$(x,y).2(y)$(y,x) =

i

2I(x) (9.10)

en notant

I(x) !%

d4yd4z$(x,y).1(y)$(y,z).1(z)$(z,x)

On a

.1(y).1(z) =0 d3p

(2,)3d3q

(2,)31%

4'p'q

>a†

pa†qg(p)g(q)ei(py+qz) + apaqg("p)g("q)e!i(py+qz)

+a†paqg(p)g("q)[ei(py!qz) + ei(pz!qy)]

?

+0 d3p

(2,)21

2'pg(p)g("p)eip(z!y)

en utilisant [ap,a†q] = ,(p " q) et en écrivant le développement de Fourier de $(x,y) :

$(x,y) =

%d4p

(2/)4eip(x!y)

p2 + m2

On trouve, après un calcul direct :

I(x) =0 d3p

(2,)3d3q

(2,)31%

4'p'q

>[a†

pa†qg(p)g(q)ei(p+q)x + apaqg("p)g("q)e!i(p+q)x]A(p,q)

+2a†paqA(p, " q)g(p)g("q)ei(p!q)x

?

+0 d3p

(2,)31

2'pA(p, " p)g(p)g("p)

avec

A(p,q) !%

d4k

(2/)41

(k2 + m2)[(k " p)2 + m2][(k + q)2 + m2]

Pour résoudre (9.10) on suppose pour .2(x) un développement de structure identique ausecond membre I(x) :

.2(x) =0 d3p

(2,)3d3q

(2,)3

>1(p,q)[a†

pa†qg(p)g(q)ei(p+q)x + apaqg("p)g("q)e!i(p+q)x]

+"(p,q)a†paqg(p)g("q)ei(p!q)x

?+0 d3p

(2,)3 2(p)g(p)g("p)

où 1," et 2 sont des coe"cients inconnus que l’on détermine 10 par projection sur les étatsde Fock de l’équation (9.10). La projection sur les états < p,q| et |0 >, < p| et |q >, et < 0| et|0 > donne 11:

D!1(p + q)1(p,q) =i

2

1!

4%p%qA(p,q)

D!1(p " q)"(p,q) = i1!

4%p%qA(p, " q)

10. Cette méthode permet de déterminer seulement la partie inhomogène +I2 de la solution de l’équation (9.10).

Elle s’ajoute clairement à une solution homogène +H2 . Celle-ci est identique à +1puisque les noyaux des termes

intégraux sont les mêmes. Ceci est vérifié à tous les ordres du développement (9.2): on peut donc redéfinir +1

comme la somme des solutions homogènes à tous les ordres et de cette façon +1 représente alors la totalité dela partie libre du champ e+(cf. [3] pour plus de précisions). Dans la suite on se placera dans cette optique, en neconsidérant que les solutions inhomogénes des équations.

11. On peut noter que ,(p,q) = 2#(p, ! q).

91


D!1(0)2(p) =i

2

1

2%pA(p, " p)

et finalement :

.2(x) = i2

0 d3p(2,)3

d3q(2,)3

1%4'p'q

>A(p,q)D(p + q)[a†

pa†qg(p)g(q)ei(p+q)x + apaqg("p)g("q)e!i(p+q)x]

+2A(p, " q)D(p " q)a†paqg(p)g("q)ei(p!q)x

?+ i

2D(0)0 d4p

(2,)4 A(p, " p)D(p)

Dans le dernier terme nous avons utilisé la relation :

%dp

2/

g(p)g("p)

2%p=

%d2p

(2/)2g(p)g("p)

p2off " M2 + i+

=

%d2p

(2/)2D(p)

qui nous permet de reconstruire les propagateurs D à l’aide de la prescription (9.8).

9.3.2 Champs à l’ordre 3

Les calculs sont plus lourds pour la détermination du champ .3(x) mais la méthode utiliséeest identique à la précédente. Le champ .3(x) est solution de l’équation :

1

g.3(x) +

1

2

%d4y$(x,y).3(y)$(y,x) =

1

2J(x) +

i

2K(x) +

i

2L(x) (9.11)

avecJ(x) !

0d4yd4zd4t$(x,y).1(y)$(y,z).1(z)$(z,t).1(t)$(t,x)

K(x) !0

d4yd4z$(x,y).1(y)$(y,z).2(z)$(z,x)L(x) !

0d4yd4z$(x,y).2(y)$(y,z).1(z)$(z,x)

En utilisant la relation de commutation canonique et les symétries sur les variables de Fourier,on peut mettre ces intégrales sous les formes suivantes :

J(x) =0 d3p

(2,)3d3q

(2,)3d3r

(2,)31%

8'p'q'r{

a†pa

†qa

†rB(p,q,r)g(p)g(q)g(r)ei(p+q+r)x+

apaqarB(p,q,r)g("p)g("q)g("r)e!i(p+q+r)x+a†

pa†qar[E(p,q, " r) + E(p, " r,q) + E("r,p,q)]g(p)g(q)g("r)ei(p+q+r)x+

a†paqar[E(p, " q, " r) + E("q,p, " r) + E("q, " r,p)]g(p)g("q)g("r)ei(p!q!r)x }

+0 d3p

(2,)3d3q

(2,)31%

8'2p'q

{

a†q[F (p,q) + 2G(p,q)]g(q)g(p)g("p)eiqx+

aq[F (p,q) + 2G(p,q)]g("q)g(p)g("p)e!iqx }

avec

E(p,q,r) !0

d4k(2,)4

1(k2+m2)[(k+r)2+m2][(k!q)2+m2][(k!q!p)2+m2]

F (p,q) ! E(p,q,p)G(p,q) ! E(p,q,0)

D’autre part :

92

9.4. FONCTIONS DE CORRÉLATION À L’ORDRE 1N2

L(x) = K(x) =0 d3p

(2,)3d3q

(2,)3d3r

(2,)31%2'p

{

a†pa

†qa

†rH(p,q,r)g(p)g(q)g(r)ei(p+q+r)x+

apaqarH(p,q,r)g("p)g("q)g("r)e!i(p+q+r)x+a†

pa†qar[2H(p,q, " r) + H("r,q,p)]g(p)g(q)g("r)ei(p+q+r)x+

a†paqar[H(p, " q, " r) + 2H("q,p, " r)]g(p)g("q)g("r)ei(p!q!r)x }

+0 d3p

(2,)3d3q

(2,)31%2'p

{

a†p[M(p,q) + 2N(p,q)]g(p)g(q)g("q)eipx+

ap[M("p,q) + 2N("p,q)]g("p)g(q)g("q)e!ipx }

avec

B(p,q,r) !0

d4k(2,)4

1(k2+m2)[(k!p)2+m2][(k+q+r)2+m2]

H(p,q,r) ! 1(q,r)B(p,q,r) = i2

1%4'q'r

D(q + r)A(q,r)B(p,q,r)

M(p,q) ! M("p,q) = 2(q)A(p, " p) = i2

12'q

D(0)A(q, " q)A(p, " p)

N(p,q) ! 1(p,q)A(p,q) = i2D(p + q) 1%

4'p'qA(p,q)2

Les coe"cients A et B représentent les cercles à 3 points ; E,F,G, les cercles à 4 points et H,M et N l’association de deux cercles à trois points.

En choisissant pour le champ .3(x) un développement de structure identique à celle deJ,K, etL, et en projetant l’équation du mouvement (9.11) sur les états de Fock comme pour .2,mutatis mutandis, on obtient finalement:

.3(x) =0 d3p

(2,)3d3q

(2,)3d3r

(2,)31%

8'p'q'r{

a†pa

†qa

†rg(p)g(q)g(r)ei(p+q+r)xD(p + q + r)[12B(p,q,r) " 1

2D(q + r)A(q,r)B(p,q,r)]+apaqarg("p)g("q)g("r)e!i(p+q+r)xD(p + q + r)[12B(p,q,r) " 1

2D(q + r)A(q,r)B(p,q,r)]+a†

pa†qarg(p)g(q)g("r)ei(p+q!r)xD(p + q " r)[12 (E(p,q, " r) + E(p, " r,q) + E("r,p,q))

"D(q " r)A(q, " r)B(p,q, " r) " 12D(p + q)A(p,q)B("r,q,p)]+

a†paqarg(p)g("q)g("r)ei(p!q!r)xD(p " q " r)[12 (E(p, " q, " r) + E("q,p, " r) + E("q, " r,p))" 1

2D(q + r)A(q,r)B(p, " q, " r) " D(p " r)A(p, " r)B("q,p, " r)] }

+0 d3p

(2,)3d4q

(2,)41%2'p

{

a†pg(p)eipxD(p)D(q)[12F (p,q) + G(q,p)" 1

2D(0)A(q, " q)A(p, " p) " D(p + q)A(p,q)2]+apg("p)eipxD(p)D(q)[12F (p,q) + G(q,p)" 1

2D(0)A(q, " q)A(p, " p) " D(p " q)A(p, " q)2] }

où nous avons fait apparaître les propagateurs D dans les termes avec un seul opérateur ap

ou a†p comme nous l’avons fait pour .2.

9.4 Fonctions de corrélation à l’ordre 1N2

9.4.1 Fonctions à un point

Les calculs que nous avons e!ectués permettent de connaître la valeur moyenne du champdans le vide à l’ordre 1

N seulement 12. Les projections sur les états du vide de .1 et .3 étantnulles, on obtient :

12. Il faudrait calculer +4(x) pour obtenir le terme en 1N2 .

93


< 0|5.(x)|0 > =1

N< 0|.2(x)|0 > +O(

1

N)

=i

2ND(0)

%d4p

(2/)4D(p)A(p, " p)

=i

N2

9.4.2 Fonction à deux points

Le développement de la fonction à deux points s’écrit :

< 0|T 5.(x)5.(y)|0 > = 1N < 0|T.1(x).1(y)|0 >+ 1

N2 < 0|T.2(x).2(y)|0 >+ 1

N212 [< 0|T.1(x).3(y)|0 > + < 0|T.3(x).1(y)|0 >]

+O( 1N3 )

où T représente le produit chronologique habituel. Nous avons introduit un facteur 12 dans

la dernière expression afin d’éliminer les doublons dus aux termes croisés symétrisés.

Le premier terme est le propagateur du champ libre .1(x) :

< 0|T.1(x).1(y)|0 > =

Dans l’élément de matrice < 0|.2(x).2(y)|0 >, seul le terme en ap#aq#a†pa

†q subsiste à la

contraction et donne ,(p$ " p),(q$ " q) + ,(p$ " q),(q$ " p), d’où l’on tire :

< 0|.2(x).2(y)|0 >= "1

2

%d3p

(2/)3d3q

(2/)31

4%p%qD(p + q)2A(p,q)2ei(p+q)(x!y)

L’application du produit chronologique conduit13 à

13. Il faut noter que :

!(xo ! yo) = !(xo ! yo)2

!(xo ! yo)!(yo ! xo) = 0

et écrire

94

9.4. FONCTIONS DE CORRÉLATION À L’ORDRE 1N2

< 0|T.2(x).2(y)|0 > = "1

2

%d4p

(2/)4d4q

(2/)4D(p)D(q)D(p + q)2A(p,q)2ei(p+q)(x!y)

=1

2

De la même façon dans < 0|.1(x).3(y)|0 > seul le terme en ap#a†p contribue et on aboutit à :

< 0|T.1(x).3(y)|0 > = < 0|T.3(x).1(y)|0 >

=0 d4p

(2,)4d4q

(2,)4 D(p)2D(q)[12F (p,q) + G(p,q)

" 12D(0)A(p, " p)A(q, " q) " D(p + q)A(p,q)2]

=1

2+

"1

2"

Le dernier graphe est identique à celui qui apparaît dans < 0|T.2(x).2(y)|0 > et doit doncêtre éliminé de notre comptage. Ceci provient de la structure de nos équations du mouvementdont les termes d’interaction sont bâtis, à un ordre donné, en fonction des champs déterminésaux ordres précédents. Il apparaît de ce fait des contributions spurieuses dans les fonctions decorrélation. Elles s’identifient aisément : si deux graphes sont identiques mais proviennent deproduits de champs d’ordre di!érent, seul celui venant du champ à l’ordre le plus bas doitêtre considéré. Ce phénomène est identique à celui que l’on retrouve dans le développement del’équation de Dyson.

< 0|T+2(x)+2(y)|0 > = ! 12

R d3p(2()3

!(xo ! yo)X(p)eip(x!y)R d3q

(2()3!(xo ! yo)X(q)eiq(x!y)Y (p,q)

! 12

R d3p(2()3

!(yo ! xo)X(p)eip(y!x)R d3q

(2()3!(yo ! xol)X(q)eiq(y!x)Y (p,q)

! 12

R d3p(2()3

!(xo ! yo)X(p)eip(x!y)R d3q

(2()3!(yo ! xo)X(q)eip(y!x)Y (p,q)

! 12

R d3p(2()3

!(yo ! xo)X(p)eip(y!x)R d3q

(2()3!(xo ! yo)X(q)eip(x!y)Y (p,q)

où l’on a posé :

X(p) #1

2(pg(p)g(!p)

Y (p,q) # A(p,q)2D(p + q)2

La reconstruction des propagateurs explicitement covariants se fait alors directement.

95


Finalement on obtient des résultats identiques à ceux du chapitre précédent, ce qui validenotre méthode :

< .(x).(y) > =1

N

+1

N2{1

2+

"1

2"

1

2} + o(

1

N3)

9.5 Indications sur la phase brisée

L’ensemble des considérations précédentes peut sembler n’avoir qu’un intérêt limité pour laphysique sur le cône de lumière puisque le lagrangien considéré est invariant de forme. Cepen-dant elles constituent une étape qu’il était indispensable d’éclaircir avant d’aborder le cas de lathéorie à phase brisée. Il nous semble en e!et très intéressant d’étudier la transition de phasede la théorie !4 O(N) constituée par l’apparition d’une valeur moyenne dans le vide non nullepour l’une des composantes du champ. Ce phénomène brise clairement la symétrie O(N) en lasymétrie plus faible O(N " 1). L’intégration gaussienne dans la fonctionnelle génératrice, per-mise par l’introduction du champ e!ectif ., ne concerne plus dès lors que les N "1 composantessymétriques du champ !i, 1 . i . N " 1. Le lagrangien de la composante !N (que l’on noterasimplement !) restant identique à ce qu’il était, le lagrangien total dans la phase brisée s’écrit :

L =N " 1

2["

1

g.2(x)" < x|ln[)µ)µ + m2 + i.]|x > +)µ!)µ! " m2!2 " i.!2

Ce lagrangien voit sa structure modifiée , à travers le terme cinétique de !, lorsqu’on se placesur le cône de lumière :

L =N " 1

2["

1

g.2(x)" < x|ln[)µ)µ + m2 + i.]|x > +)+!)!! " ()"!)2 " m2!2 " i.!2]

Des contraintes spécifiques au cône de lumière s’ajoutent à celles que nous avons déjà obser-vées. Il est alors indispensable d’e!ectuer une projection des équations du mouvement sur lessecteurs P et Q afin de prendre en compte les e!ets du mode zéro de !. L’objectif est d’étudierles divergences et leur renormalisation dans les contraintes, de façon à accéder aux propriétés dela transition de phase de la même façon que dans les travaux de la deuxième partie, à l’exceptionnotable du développement des champs et modes zéros qui ne sera plus du type série de Haagmais du type série en 1

N . Cette étude est toujours en cours.

96

9.5. INDICATIONS SUR LA PHASE BRISÉE

Conclusion

Démons et merveillesVents et marées

Au loin déjà la mer s’est retirée

Jacques Prévert

Inspirée des observations de Dirac sur la dynamique relativiste, la quantification sur le cônede lumière fait partie des méthodes permettant d’accéder aux domaines non perturbatifs desthéories quantiques de champs. L’étape essentielle pour l’obtention de résultats non perturbatifsest la prise en compte du mode zéro du champ, étroitement associé aux propriétés du vide, ainsique la résolution des équations couplant ce mode zéro au reste du champ. Nous avons utilisédeux approches distinctes, l’une mettant en oeuvre un développement en série de Haag dans lathéorie !4, et l’autre un développement en 1'

Ndans la théorie !4 O(N).

Un autre aspect important de cette méthode est le traitement de la divergence infrarouge.L’utilisation de fonctions tests, qui est naturelle lorsqu’on considère les champs quantiquescomme des distributions à valeur d’opérateur, nous a permis de montrer que celle-ci n’étaitqu’une conséquence directe de la divergence ultraviolette minkowskienne. En évitant ainsi unerégularisation brutale par soustraction du mode zéro après discrétisation, nous pensons êtreparvenu à une bien meilleure description du domaine infrarouge de la théorie. E!ectivementnos résultats concernant la constante de couplage de la transition de phase de la théorie !4

se comparent avantageusement à ceux de la quantification conventionnelle, ainsi qu’à ceux desversions discrétisées de la quantification sur le cône de lumière. L’utilisation des distributionsnous a permis d’autre part d’éclairer le “problème de causalité” apparaissant dans la forme dis-crète du commutateur de Pauli-Jordan. L’étude détaillée de la limite du continu a montré queles termes qui rétablissent la causalité sont précisément ceux qui, au moins à l’ordre dominant,disparaissent lors de la soustraction du mode zéro dans les sommes discrètes.

L’étude de la phase symétrique de la théorie !4 O(N), bien que non directement reliée aucône de lumière, est une étape indispensable avant celle de la phase à symétrie brisée. Nousavons validé nos méthodes de résolution en contruisant des fonctions de corrélation identiquesà celles obtenues en quantification par intégrales de chemin.

Les étapes suivantes naturelles de ce travail sont d’a"ner l’étude de la transition de phase dela théorie !4 afin d’obtenir d’autres exposants critiques, ce qui semble nécessiter l’introductiond’un mode zéro dynamique, et d’étudier la phase brisée de la théorie !4 O(N) sur le cône delumière en utilisant les fonctions tests comme nous l’avons fait pour la théorie !4. Une bonneconnaissance du traitement des e!ets non perturbatifs des modes zéros et de la renormalisationdans ces théories simples est un préalable à l’extension de ces méthodes aux théories de jauges,qui présentent de nombreux facteurs de complexité supplémentaires. Enfin, la formulation conti-nue de la quantification sur le cône de lumière permet d’envisager sous un angle nouveau la priseen compte des solutions topologiques du type solitons qui étaient exclues dans la formulationdiscrétisée par la nécessité d’utilisation des conditions aux limites périodiques.

97


98

Appendice A

L’ algorithme de Dirac-Bergmann

"Le simple écolier sait maintenant des véritéspour lesquelles Archimède eût sacrifié sa vie."

Ernest Renan

On donne ici quelques indications sur l’algorithme de traitement des contraintes de Dirac-Bergmann. Pour une présentation plus poussée on se réfèrera à [13] [14] [57] [18]. On se placedans un contexte classique.

A.1 Théories régulières et singulières

Considérons un système défini par le lagrangien L = L(qi,qi) 1possédant les 2N degrés deliberté : et qi et qi, 1 . i . N . Les équations du mouvement découlent des équations d’Euler-Lagrange :

)L

)qi"

d

dt

)L

)qi= 0 (A.1)

soit, explicitement :

Wik qk =)L

)qi"

)2L

)qi)qkqk 1 . i . N (A.2)

où Wik ! $2L$qi$qk

est appelée la matrice hessienne.

Si le déterminant W de la matrice hessienne (le “hessien”) est nul, le système d’équations (A.2)n’est pas inversible, et il est impossible d’exprimer toutes les accélérations qi en fonction desqi et des qi : on ne peut pas exprimer la dynamique du système de façon complète. De même,si on essaie de bâtir une description hamiltonienne, on se heurte à la même condition sur lehessien. Le passage de la description lagrangienne L = L(qi,qi,t) à la description hamiltonienneH = H(qi,pi,t) repose sur le changement de variable qi ( pi. Ces moments canoniques conjuguéssont définis par

pi !)L

)qi(A.3)

ce qui doit fournir une relation entre les pi et les qi qui conserve le nombre de degrés de liberté.Il doit y avoir une bijection entre l’ensemble des (qi,qi) et celui des (qi,pi). Cette condition s’écriten demandant que le jacobien du changement de variable soit non nul :

1. Pour simplifier on ne considère que les lagrangiens ne dépendant pas explicitement du temps. En outre, onexclut tout lagrangien trop exotique qui amène à des équations inconsistantes, que ce soit au niveau des équationsdu mouvement ou des contraintes.

99

APPENDICE A. L’ ALGORITHME DE DIRAC-BERGMANN

J ! det()pi

)qk) = det(

)2L

)qk)qi) = W -= 0

Dans la description hamiltonienne comme dans la description lagrangienne, il faut donc unhessien non nul pour obtenir des équations du mouvement solubles par les méthodes classiques.Dans le cas contraire, si on appelle R le rang de la hessienne, les N équations (A.2) se décom-posent en : un sous-système de R relations (correspondant à la sous-matrice inversible de Wik)permettant de résoudre R accélérations qi en fonction des qi et des qi et d’obtenir ainsi R équa-tions du mouvement, et un sous-système non inversible de M ! N " R relations entre les qi etles qi que l’on appelle des contraintes.

On distingue donc 2:

" Les lagrangiens réguliers dont le hessien est non nul. La dynamique est bien déterminée etles équations du mouvement sont toutes solubles.

" Les lagrangiens singuliers (ou “contraints”) dont le hessien est nul. La dynamique est in-complète et seules R équations du mouvement sont solubles.

Examinons le cas des théories singulières. Les R équations du mouvement vont s’écrire 3 :

qa = qa(qi,qi) avec 1 . a . R

et les M contraintes:

&b(qi,qi) = 0 avec R < b . M

Remarque : Stricto sensu, ces M relations ne sont pas toutes forcément des contraintesindépendantes. Certaines peuvent donner des inconsistances, d’autres peuvent engendrer descontraintes identiques. Dans ces cas il y aura seulement M $ < M véritables contraintes. Poursimplifier, dans la suite on considérera M $ = M .

Dans le formalisme hamiltonien on va avoir R moments conjugués constituant R degrés deliberté :

pa = pa(qi,qi) avec 1 . a . R (A.4)

et M moments conjugués :

pb = P b(qi,pa) avec R < b . N et 1 . a . R

constituant M contraintes :'b ! pb " P b(qi,p

a) (A.5)

que l’on qualifie de “primaires” car découlant directement du lagrangien. L’inversion desrelations (A.4) permet de déterminer R vitesses :

qa = qa(qi,pa,qb)

et il en reste M indéterminées. Si l’on tente d’écrire l’hamiltonien canonique on obtient :

HC(qi,pa,qb) = piqi " L(qi,qi) = paqa + P b(qi,pa)qb " L(qi,qi)

2. Remarque : Le caractère régulier ou singulier est un attribut du lagrangien et non pas du système physiquequ’il décrit.

3. Sans perte de généralité on a renuméroté les indices, ici et dans la suite, pour simplifier les écritures.

100

A.1. THÉORIES RÉGULIÈRES ET SINGULIÈRES

d’où l’on tire les équations d’Hamilton suivantes :

"C#

C$

$HC$pa = qa + $P b

$pa qb

$HC$qi

= $P b

$qiqb " $L

$qi$HC$qb

= P b(qi,pa) " $L$qb

= 0

Avec (A.5), (A.1) et (A.3), ceci s’écrit :

(qa = $HC

$pa + $+b

$pa qb

"pi = $HC$qi

+ $+b

$qiqb

On a là seulement N+R équations du mouvement (comme dans le cas lagrangien) et il subsisteen outre M vitesses qb indéterminées. L’espace des phases que nous avons obtenu s’est réduit àN+R dimensions. Cette formulation n’est pas satisfaisante.

L’algorithme de Dirac-Bergmann est une procédure qui permet de construire une formula-tion hamiltonienne consistante à partir d’un lagrangien singulier. Notons ( l’espace des phasesinitial et ($ le sous-espace que nous avons obtenu. L’idée de Dirac est de construire un nouvelhamiltonien, dit “primaire”, défini sur ((ou du moins dans un voisinage de ($) et permettant deretrouver toute la dynamique.

Le système d’équations définissant ($ en tant que sous-espace de ( est simplement l’ensembledes contraintes 'b = 0, R < b . N . Ces contraintes qui s’annulent donc sur ($ influencentnéanmoins la dynamique du système car leurs dérivées dans un voisinage de ($ sont a priorinon nulles. En pratique ceci signifie que l’on doit annuler les contraintes seulement après avoircalculé toutes les dérivées dans les crochets de Poisson. Dirac a proposé la notation suivante :

Soit une fonction F (qi,pi)définie sur ( :

" on appelle égalité faible sur ($ ( et on note avec ') une équation qui annule la restrictionde F (qi,pi) sur ($ sans rien supposer sur ses dérivées :

F (qi,pi)|%# = 0

" on appelle égalité forte sur ($ (et on note avec = ) une équation qui annule la restrictionsur ($ de F (qi,pi) ainsi que son gradient :

F (qi,pi)|%# = 0L$F$qi

; $F$pi

M|%# = 0

Les contraintes sont donc toutes des égalités faibles 4, tandis que les équations du mouvementsont des égalités fortes. On va montrer que toute fonction s’annulant faiblement sur ($peuts’écrire comme une combinaison linéaire des contraintes qui définissent ($. La restriction à ($

de F s’obtient en remplaçant les pb (R < b . N) par leurs valeurs P b(qi,pa) :

F (qi,pi)|%# ' F [qi,p

a,P b(qi,pa)]

Alors une variation totale de F sur ($ s’écrit :

,F |%# =)F

)qi,qi +

)F

)pa,pa +

)F

)pb,pb avec ,pb =

)P b

)qi,qi +

)P b

)pa,pa

soit :

4. Le sous-espace %’ est donc défini lui-même par des égalités faibles.

101


,F |%# = ()F

)qi+

)F

)pb

)P b

)qi),qi + (

)F

)pa+

)F

)pb

)P b

)pa),pa

Alors F ' 0 implique

$F$qi

" $F$pb

$+b

$qi' 0

$F$pi " $F

$pb$+b

$pi ' 0

où l’on a remplacé P b par "'b, et étendu la sommation pour 1 . i . N dans la dernièreéquation. Ceci étant possible puisque pour R < b,c . N on a :

)'b

)pc= ,b

c

et la dernière équation est alors automatiquement satisfaite. En négligeant les termes di!érentielsd’ordre supérieur on obtient :

$$qi

(F " $F$pb 'b) ' 0

$$pi (F " $F

$pb 'b) ' 0

On tire donc

F = µb'b avec µb !

)F

)pb

Ainsi toute fonction F s’annulant faiblement sur ($ peut donc s’écrire comme une combinaisonlinéaire de ces contraintes 5.

On va définir sur ( l’hamiltonien primaire H1 en demandant qu’il se réduise à l’hamiltoniencanonique sur ($ :

H1 " HC ' 0

Ainsi on a :

H1 = HC + µb'b

Cet hamiltonien primaire engendre les équations du mouvement sur ( :

qi = $H1$pi

= {qi,H1}pi = $H1

$qi= {pi,H1}

où {,} sont les crochets de Poisson habituels :

{A,B} !)A

)qi

)B

)pi"

)A

)pi

)B

)qiavec 1 . i . N

où toutes les coordonnées qi et pi sont considérées comme indépendantes (puisque H1 estdéfini sur ().

5. En d’autres termes les contraintes sont les seules quantités indépendantes qui génèrent l’espace %&

102

A.2. LA PROCÉDURE DE DIRAC-BERGMANN

A.2 La procédure de Dirac-Bergmann

Jusque là, nous n’avons fait que donner une forme adaptée à notre problème. Il y subsistetoujours M quantités indéterminées, les multiplicateurs de Lagrange µb (qui correspondent auxM vitesses non résolues). Pour les déterminer, Dirac impose une hypothèse très raisonnable surles contraintes : celles-ci doivent rester immuables dans l’évolution temporelle du système. Celarevient à poser l’invariance de l’espace ($ dans le temps. Ces conditions, appelées conditions deconsistance, s’écrivent :

'b ' 0 pour R < b . N

soit'b = {'b,H1} = {'b,HC} + µc{'b,'c} ' 0

On notera Bb ! {'b,HC} (que l’on supposera non nul) et Cbc ! {'b,'c} la “matrice descontraintes primaires” 6. Les conditions de consistance s’écrivent donc

Cbcµc ' Bb pour R < b . N (A.6)

La détermination des µc passe donc par l’inversion de la matrice des contraintes. Notons r sonrang. Deux cas peuvent se présenter :

! Premier cas : r = MLa matrice est maximalement inversible, le système (A.6) est soluble pour tous les µc:

µc = "[C!1]cbBb

L’hamiltonien primaire est alors complètement déterminé :

H1 = HC " 'c[C!1]cb{'b,HC}

ce qui fixe la dynamique. L’évolution d’une grandeur physique quelconque A s’écrit :

A = {A,H1} = {A,HC}" {A,'c}[C!1]cb{'b,HC}

Introduisons les crochets de Dirac {,}% :

{A,B}% ! {A,B}" {A,'c}[C!1]cb{'b,B}

En remplaçant les crochets de Poisson par ceux de Dirac, toutes les équations dynamiquesretrouvent alors leur forme canonique. (ref de Hansen et al.) (werner p40). Ainsi les équa-tions de Hamilton s’écriront7:

qi = {qi,HC}%pi = {pi,HC}%

Remarque : l’étape essentielle est l’inversion de la matrice des contraintes C, ce qui enpratique peut se révéler assez ardu.

6. Cbc est antisymétrique et de dimension M - M

7. Ces crochets possèdent toutes les propriétés des crochets de Poisson (antisymétrie, Jacobi, etc.) sauf lesrelations canoniques :

{qi,qj} (= 0{pi,pj} (= 0

{qi,pj} (= $j

i

Les crochets de Dirac sont très utiles si l’on envisage de quantifier le système par quantification canonique.Le principe de correspondance associe habituellement les commutateurs d’opérateurs quantiques aux crochets dePoisson. Dans le cas d’un système contraint, la quantification se fera par association avec les crochets de Dirac :

{A,B}# & [A,B]

103


! Deuxième cas : r < MC n’est pas inversible mais il existe une sous-matrice de C inversible de dimension r2 .Le système (A.6) est donc partiellement soluble : on peut déterminer r coe"cients µc enfonction des m ! M " r autres, et il reste m relations entre les qi et les pi ne faisant pasintervenir les µc .

" Si ces relations ne reproduisent aucune des contraintes primaires et ne sont pas tauto-logiques (0=0), elles sont alors elles-mêmes de nouvelles contraintes, que l’on qualifiede secondaires. Elles définissent, avec les contraintes primaires, un nouvel hamilto-nien, secondaire, (on notera maintenant '1et '2 pour distinguer contraintes primaireset secondaires) :

H2 ! HC + µ1c'c1 + µ2d'

d2 pour R < c . N et r < d . M

qui fait apparaître m coe"cients secondaires µ2 supplémentaires. On se retrouve doncdans la situation initiale avec M + m contraintes définissant un espace des phasesréduit ($$ (auquel l’égalité faible fait maintenant référence). Il faut alors imposer lesconditions de consistance sur les deux types de contraintes :

'c1 = {'c

1,H2} pour R < c . N

'd2 = {'d

2 ,H2} pour r < d . M

et la procédure recommence jusqu’à ce que tous les multiplicateurs de Lagrange soientdéterminés, ou que l’on se retrouve dans le cas suivant.

" Si parmi ces relations certaines sont tautologiques ou reproduisent des contraintesprimaires (notons l < m le nombre de ces relations), les conditions de consistancen’apporteront aucune information supplémentaire sur la dynamique du système et ilrestera l coe"cients µ définitivement indéterminés. On peut montrer qu’il s’agit làd’une caractéristique propre du lagrangien qui signale la présence d’une invariancede jauge. Pour fixer la dynamique, il faudra imposer sur les variables dynamiques lconditions supplémentaires appelées conditions subsidiaires :

!a(qi,pi) = 0 pour 1 . a . l

qui seront en fait autant de choix de jauge.

A.3 La classification des contraintes selon Dirac

Pour préciser et simplifier les considérations précédentes, Dirac a introduit un classementjudicieux des contraintes.

Définition : Une variable dynamique A sera dite de première classe si elle “poissonne” avectoutes les contraintes :

{A,'a} ' 0 pour toutes contraintes 'a

Dans le cas contraire A est dite de deuxième classe.

Les contraintes elles-mêmes se divisent en contraintes de première ou de deuxième classe (CPCou CDC). Dans la suite on classera l’ensemble des contraintes '(primaires, secondaires, etc.) en :

– contraintes de première classe #a, avec des coe"cients µ0a, 1 . a . N0

– contraintes de deuxième classe %%, avec des coe"cients µ&% ,1 . 1 . N&

104

A.3. LA CLASSIFICATION DES CONTRAINTES SELON DIRAC

La matrice des contraintes (quelle que soit l’étape de la procédure) peut donc se réécrire sous laforme :

ϕ

ϕ

Ψ

Ψ

où $%& ! {%%,%&} est la matrice des contraintes de deuxième classe.

Propriété : $ est toujours inversible.

Si tel n’était pas le cas il existerait en e!et un vecteur propre v de $ tel que:

$%&v& = {%%,%&v&} = 0

D’autre part on a aussi pour chaque CPC #a(par définition):

{#a,%&v&} = 0

Ainsi le crochet de Poisson de %&v&avec toutes les contraintes s’annule, c’est donc unequantité de première classe, contrairement à ce qu’on a supposé. Donc $ est inversible. Laséparation entre CPC et CDC est donc fructueuse puisqu’elle permet de voir directement quelssont les coe"cients solubles (µ&) et ceux qui ne le sont pas (µ0 ).

Définitions et propriétés :

" A toute variable dynamique A définie sur ($ on associe la variable A% définie sur ( telleque :

A% ! A " {A,%%}($!1)%&%&

C’est une variable de première classe (elle “poissonne” par construction avec tous les %% )et on a :

A% ' A

(parce que %& s’annule faiblement sur ($ et qu’elle se trouve en dehors d’un crochet dePoisson)

" Les crochets de Dirac se définissent à partir de $ et des CDC :

{A,B}% ! {A,B}" {A,%%}[$!1]%&{%&,B}

et on a les égalités suivantes:

{A%,B} ' {A,B%} ' {A%,B%} = {A,B}%

" La dernière égalité n’est pas au sens faible car les crochets de Dirac ont été justementconstruits pour ne plus faire de distinction entre égalité faible et forte. On sait que %% ' 0et {A,%%} -' 0 mais {A,%a}% = 0.

105


! Premier cas : la théorie ne contient que des CDC.Si une théorie ne contient que des CDC, alors $ = C et la dynamique est entièrementdéterminée par la procédure. On a :

HF = HC + µ&%%% avec 1 . 1 . N&

avecµ&% = "[$!1]%&{%&,HC}

et l’évolution de grandeur physique est donnée par :

A ' {A,HF } ' {A,HC}" {A,%%}[$!1]%&{%&,HC}' {A,H%

C} = {A,HC}%

! Deuxième cas : la théorie contient des CPC et des CDC.Si la théorie contient des CPC et de CPC, l’hamiltonien final s’écrit :

HF = HC + µ0a#a + µ&%%

% avec 1 . a . N0, 1 . 1 . N&

et les conditions de consistance du type :

%% ' 0

permettent de déterminer tous les µ& :

µ&% = "[$!1]%&{%&,HC} (A.7)

alors que les conditions de consistance du type :

#a ' 0

donnent

{#a,HC} ' 0

Les coe"cients µ0a sont déterminés par un choix de jauge

!a(qi,pi) = 0

L’hamiltonien final peut s’écrire comme :

HF = H%C + µ0a#

a avec 1 . a . N0

et l’évolution d’une grandeur physique A se fait donc par :

A ' {A,HF } ' {A,H%C + µ0a#a}

= {A,HC + µ0a#a}%

A.4 Formulation pour une théorie de champ

On va généraliser les considérations précédentes au cas d’une théorie classique de champscalaire !(x). Les correspondances suivantes sont immédiates (les indices k et l indiquent si lacontrainte est primaire, secondaire, etc.) :

qi ( !(x)

qi ( $*(x)$xo

pi ( #(x) ! )L)( ($

(xo )

'k ( 'k(x)Ckl(x,y) = {'k(x),'l(y)}

H1 = Hc +0

dx µk(x)'k(x)

{A(x),B(y)} =0

dzo@)A(x))*(z)

)B(y))#(z) "

)A(x))#(z)

)B(y))*(z)

A

106

A.4. FORMULATION POUR UNE THÉORIE DE CHAMP

L’équation de consistance pour les contraintes primaires%

dyC11(x,y)µ1(y) = B1(x)

définit une applicationC11 : µ1 ( B1 = C11µ1

.

Pour étudier l’inversibilité de cette application on n’a plus accés à la notion de rang réservéeaux dimensions finies. A la place on définit deux projecteurs P et Q projetant respectivementsur le noyau KerC11 et sur l’image ImC11 de l’application C11. Ils définissent une décompositionorthogonale de l’espace total 8. On a immédiatement les propriétés :

P 2 = P Q2 = Q PQ = QP = 0CP = PC CQ = QCP + Q = 1

(A.8)

La projection sur le noyau de l’équation de consistance :

PCµ = CPµ = 0 = PB

définit alors les contraintes secondaires :

PB = 0

tandis que la projection sur l’image donne :

QC11µ = C11Qµ = C11Q2µ = QC11Qµ = (QC11Q)(Qµ) = QB

où QB = B puisque B est dans ImC11 et où (QC11Q) est la restriction de C11 à ImC11 etest de ce fait inversible 9. En notant µ1Q ! Qµ1 on obtient :

µ1Q = (QC11Q)!1B

qui permet la détermination de µ1Q .

L’équation de consistance des contraintes secondaires

{PB,HC} ' 0

va définir une application C22 pour laquelle on définira des projecteurs P2 et Q2 et ainsi desuite en suivant le même algorithme qu’en dimension finie.

8. Si on note E l’espace fonctionnel dans lequel l’application C11 est définie, on sait que KerC11.ImC11 = E

9. En général l’inversion de la matrice C11 n’est pas unique, contrairement au cas en dimension finie. L’équationB1 = C11µ1 est en fait une équation aux dérivées partielles et il existe un arbitraire dans la résolution des µ1

qui est levé par la fixation de conditions aux limites. Voir [57] à ce sujet.

107


108

Appendice B

Evaluation des éléments de matrice

B.1 Calcul de l’élément de matrice < q+1 |!2

1!2|q+2 >

On rappelle que

#1(x) = 1'2,

0 +&0

dp+1%p+1

Bf(p+1 )

@ap1e

! i2p+

1 x"+ a†

p1ei2 p+

1 x"A

#2(x) = 12,

0 +&0

dk+1 dk+

2%k+1 k+

2

Bf(k+1 ) Bf(k+

2 )6@

a†k1

a†k2

ei2 (k+

1 +k+2 )x"

+ ak1ak2e! i

2 (k+1 +k+

2 )x"Ag++2 (k+

1 ,k+2 )

+ G2(k+1 , " k+

2 )a†k1

ak2ei2 (k+

1 !k+2 )x"

7

Alors :

< q+1 |#2

1(x)#2(x)|q+2 > = 1

(2,)2

0 +&0

dp1dp2dk1dk2'p1...k2

Bf(p1)... Bf(k2) {< q+

1 |a†p1

ap2a†k1

ak2 |q+2 > G2(k

+1 , " k+

2 )ei2 (p+

1 !p+2 +k+

1 !k+2 )x"

+ < q+1 |ap1a

†p2

a†k1

ak2 |q+2 > G2(k

+1 , " k+

2 )e!i2 (p+

1 !p+2 !k+

1 +k+2 )x"

+ < q+1 |ap1ap2a

†k1

a†k2|q+

2 > g++2 (k+

1 ,k+2 )e!

i2 (p+

1 +p+2 !k+

1 !k+2 )x" }

Avec

[ap, aq] = ,(p+ " q+) (B.1)

on a le développement suivant des produits d’opérateurs a et a† :

< q+1 |a†

p1ap2a

†k1

ak2 |q+2 > = '(q2 " q1),(k2 " q2),(q1 " p1),(p2 " k1)

< q+1 |ap1a

†p2

a†k1

ak2 |q+2 > = '(q2 " q1),(k2 " q2) [,(q1 " p2),(p1 " k1) + ,(q1 " k1),(p1 " p2)]

< q+1 |ap1ap2a

†k1

a†k2|q+

2 > = '(q2 " q1),(q1 " k1) [,(p1 " q2),(p2 " k2) + ,(p1 " k2),(p2 " q2)]+ '(q2 " q1),(q1 " k2) [,(p1 " q2),(p2 " k1) + ,(p1 " k1),(p2 " q2)]+ ,(q1 " q2)[,(p1 " k1),(p2 " k2) + ,(p1 " k2),(p2 " k1)]

(B.2)

où ce dernier terme représente l’interaction de mode zéro : q1 = q2. Après avoir e!ectuétoutes les intégrations on obtient le résultat final :

< q+1 |#2

1#2|q+2 > = +(q+

2 !q+1 )

(2,)2bf(q+

1 ) bf(q+2 )%

q+1 q+

2

ei2 (q+

1 !q+2 )x" 0 +&

0dppBf2(p)[2G2(p1 " q2) + 4g++

2 (p,q1)]

+ 12, ,(q+

1 ,q+2 )

0 +&0

dp1

p1

dp2

p2

Bf2(p1) Bf(p2)2g++2 (p1,p2)

109

APPENDICE B. EVALUATION DES ÉLÉMENTS DE MATRICE

B.2 Approche formelle systématique

Le calcul des éléments de matrice peut se révéler vite fastidieux, surtout si on s’intéresse auxproduits d’ordre plus élevé. Le point important est la détermination et l’évaluation des produitsd’opérateurs a et a† qui subsistent lors de la projection sur les états de Fock. Il est possiblede systématiser ces calculs . Nous avons élaboré une application sous Maple V qui reproduitl’algèbre (B.1) et fournit l’ensemble des contractions du type (B.2) (il ne reste plus qu’à e!ectuerles intégrations pour obtenir le résultat final). La donnée initiale est un élément de matrice de laforme < bra|#1...#n|ket > où les # sont des sommes de produits (non commutatifs) d’opérateursap et a†

p, où les moments p sont traités comme des indices. Ceux-ci doivent impérativements’écrire comme un couple lettre-chi!re : p3, k3, l1 etc. Chaque champ # doit porter une lettrede moment di!érent. Enfin le programme suppose qu’il y a une symétrie d’échange entre desmoments qui portent la même lettre (ainsi k1, k2 et k3 ont un rôle symétrique) sauf si cettelettre est une lettre capitale (ainsi Q1 et Q2 ne sont pas interchangeables).

Le progamme se compose de plusieurs modules :

– Com : reproduit l’algèbre (B.1)– Ha! : construit l’ensemble des contractions de Wick en évaluant le ha!nien [34]– Mef : met en forme utilisable le produit de départ– Elim : élimine les contractions nulles– Sym : recherche les symétries– Simp : e!ectue toutes les simplifications– Vev : procédure principale

PROGRAMME : aacroix

Vev := proc(A)

local i, j, k, Ll, contract, term, Lterm, Res, Com, Ha!, Mef,

Elim, Sym, Simp;

global elem, factnum, elemlist, factnumlist, occur, momsym;

Com := proc(A, B)

local C;

global dt;

dt := proc(A, B)

local temp;

if A = B then temp := 0

else temp := delta(A*B)

fi;

RETURN(temp)

end;

if A[1] = B[1] then C := 0

elif A[1] = ds then C := dt(A[2], B[2])

else C := -dt(A[2], B[2])

fi;

RETURN(C)

end;

Ha! := proc(A)

local perm, permlist, p, i, n, np, Q, H, Hf;

110

B.2. APPROCHE FORMELLE SYSTÉMATIQUE

with(combinat);

printf("Ha! running...\n");

n := nops(A);

perm := permute(n);

np := nops(perm);

permlist := permute(A);

H := 0;

for p to np do

Q := 1;

for i by 2 to n do

if perm[p][i + 1] <perm[p][i] and

permlist[p][i][1] = ds or

permlist[p][i + 1][1] = ds then Q := 0

else Q := Q*Com(permlist[p][i],

permlist[p][i + 1])

fi

od;

H := H + Q

od;

Hf := H/(1/2*n)!;

RETURN(Hf)

end;

Mef := proc(A)

local A1, A2, i, j, NL, opera, moment, L, expr;

global factnum, elem, Nel;

printf("Mef running ...\n");

A1 := expand(A);

A2 := convert(A1, list);

Nel := nops(A2);

if whattype(A1) <>‘+‘ then A2 := [A1]; Nel := 1

fi;

elem := array(1 .. Nel);

factnum := array(1 .. Nel);

for i to Nel do

L := convert(A2[i], list);

if op(0, op(1, L)) <>cr and

op(0, op(1, L)) <>ds then

factnum[i] := op(1, L); L := op(2, L)

else factnum[i] := 1

fi;

NL := nops(L);

111


expr := [];

for j to NL do

opera := op(0, op(j, L));

moment := op(1, op(j, L));

expr := [op(expr), [opera, moment]]

od;

elem[i] := expr;

print(factnum[i], elem[i])

od

end;

Elim := proc()

local i, j, Nelem, Nbop, nul;

global factnum, elem, factnumlist, elemlist;

printf("Elim running ...\n");

for i to Nel do

nul := non;

Nelem := nops(elem[i]);

Nbop := 0;

for j from Nelem by -1 to 1 do

if elem[i][j][1] = cr then

Nbop := Nbop + 1

else Nbop := Nbop - 1

fi;

if Nbop <0 then nul := oui; break fi

od;

if Nbop <>0 then nul := oui fi;

if nul = oui then

elem[i] := 0; factnum[i] := 0

fi

od;

elemlist :=

remove(x ->x = 0, convert(elem, list));

factnumlist :=

remove(x ->x = 0, convert(factnum, list));

printf("Il y a %d terme(s) qui contribue(nt):\n",

nops(elemlist));

for i to nops(elemlist) do

print(factnumlist[i], elemlist[i])

od

end;

Sym := proc(A)

112


local i, j, nA, lettre, operat, sym, indice,

lettrecourante, operatcourant, ABC, letmomsym, res;

printf("Sym running ...\n");

ABC := [A, B, C, D, E, F, G, I, J, K, L, M, N, O,

P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z];

nA := nops(A);

for i to nA do

operat[i] := op(1, op(i, A));

lettre[i] := substring(op(2, op(i, A)), 1);

indice[i] := substring(op(2, op(i, A)), 2)

od;

sym := {};

for i to nA do

lettrecourante := lettre[i];

operatcourant := operat[i];

if member(lettrecourante, ABC) then next fi;

for j from i + 1 to nA do

if lettre[j] = lettrecourante and

operat[j] = operatcourant then sym := sym

union {cat(lettre[i], indice[i]),

cat(lettre[j], indice[j])}

fi

od

od;

letmomsym := map(x ->substring(x, 1), sym);

res := NULL;

for i in letmomsym do res := res, sort(convert(

select(x ->substring(x, 1) = i, sym), list))

od;

res := {res};

printf("Les moments symétriques sont:");

print(res);

RETURN(res)

end;

Simp := proc(A, B)

local

i, nA, nB, a, A2, A3, res, sym, temp, X, Y, Xlist;

if B = {} then RETURN(A) fi;

nA := nops(A);

nB := nops(B);

A2 := NULL;

113


for i to nA do

a := {op(1, op(1, op(i, A))),

op(2, op(1, op(i, A)))};

A2 := A2, a

od;

A2 := {A2};

for k to nB do

X := table();

for i in op(k, B) do

temp :=

op(1, select(x ->member(i, x), A2));

X[i] := op(1, temp minus {i})

od;

Xlist := convert(X, list);

Y := sort(Xlist);

A3 := remove(x ->

x intersect convert(op(k, B), set) <>{},

A2);

for i to nops(op(k, B)) do

A3 := A3 union {{Y[i], op(i, op(k, B))}}

od;

A2 := A3

od;

res := 1;

for i to nA do res :=

res*dt(op(1, op(i, A3)), op(2, op(i, A3)))

od;

RETURN(res)

end;

Mef(A);

Elim(elem);

Ll := nops(elemlist);

for i to Ll do

printf("\n———————— TERME N'%d —-\

——————-\n", i);

momsym := Sym(op(i, elemlist));

term := Ha!(op(i, elemlist));

Lterm := nops(term);

if whattype(term) = ‘+‘ then

Res := 0;

printf("Simp running ...\n");

114


for j to Lterm do

Res := Res + Simp(op(j, term), momsym)

od

else Res := term

fi;

printf("RESULTAT: terme n' %d \n", i);

print(factnumlist[i]*Res)

od

end

INITIALISATION DES DONNEES

>bra2:=&*(ds[Q1],ds[Q2]);

>ket2:=&*(cr[Q3],cr[Q4]);

>phi11:=cr[k1]+ds[k1];

>phi12:=cr[q1]+ds[q1];

>phi2:=cr[l1]&*cr[l2]+2*(cr[l1]&*ds[l2])+ds[l1]&*ds[l2];

>phi31:=&*(cr[p1],cr[p2],cr[p3])+3*&*(cr[p1],cr[p2],ds[p3])+3*&*(cr[p1] ,ds[p2],ds[p3])+&*(ds[p1],ds[p2],ds[p3]);

>phi32:=&*(cr[q1],cr[q2],cr[q3])+3*&*(cr[q1],cr[q2],ds[q3])+3*&*(cr[q1] ,ds[q2],ds[q3])+&*(ds[q1],ds[q2],ds[q3]);

>Omega11:=&*(cr[m1],ds[m1]);

>Mb2k2:=&*(bra2,ket2);

>Mb211:=&*(bra2,phi11,phi12);

>M303:=&*(phi31,Omega11,phi32);

>Mb2123:=&*(bra2,phi11,phi2,phi31);

EXEMPLES D’UTILISATION

>Vev(Mb2k2);

Mef running ...

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, Q3], [cr, Q4]]

Elim running ...

Il y a 1 terme(s) qui contribue(nt):

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, Q3], [cr, Q4]]

———————— TERME N+1 ———————–

Sym running ...

Les moments symétriques sont:

{}

Ha! running...

Simp running ...

RESULTAT : terme n+ 1

delta(Q1 Q3) delta(Q2 Q4) + delta(Q1 Q4) delta(Q2 Q3)

>

>Vev(Mb211);

115


Mef running ...

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, q1]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [ds, q1]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, q1]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [ds, q1]]

Elim running ...


1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, q1]]

———————— TERME N+1 ———————–

Sym running ...


{}

Ha! running...

Simp running ...


delta(Q1 k1) delta(Q2 q1) + delta(Q1 q1) delta(Q2 k1)

>Vev(M101);

Mef running ...

1, [[cr, k1], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1]]

1, [[cr, k1], [cr, m1], [ds, m1], [ds, q1]]

1, [[ds, k1], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1]]

1, [[ds, k1], [cr, m1], [ds, m1], [ds, q1]]

Elim running ...


1, [[ds, k1], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1]]

———————— TERME N+1 ———————–

Sym running ...


{}

Ha! running...


delta(k1 m1) delta(m1 q1)

>Vev(M303);

Mef running ...

1, [[cr, p1], [cr, p2], [cr, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [cr, q3]]

3, [[cr, p1], [cr, p2], [cr, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [ds, q3]]

3, [[cr, p1], [cr, p2], [cr, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [ds, q2], [ds, q3]]

1, [[cr, p1], [cr, p2], [cr, p3], [cr, m1], [ds, m1], [ds, q1], [ds, q2], [ds, q3]]

3, [[cr, p1], [cr, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [cr, q3]]

116


9, [[cr, p1], [cr, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [ds, q3]]

9, [[cr, p1], [cr, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [ds, q2], [ds, q3]]

3, [[cr, p1], [cr, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [ds, q1], [ds, q2], [ds, q3]]

3, [[cr, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [cr, q3]]

9, [[cr, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [ds, q3]]

9, [[cr, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [ds, q2], [ds, q3]]

3, [[cr, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [ds, q1], [ds, q2], [ds, q3]]

1, [[ds, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [cr, q3]]

3, [[ds, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [ds, q3]]

3, [[ds, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [ds, q2], [ds, q3]]

1, [[ds, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [ds, q1], [ds, q2], [ds, q3]]

Elim running ...


1, [[ds, p1], [ds, p2], [ds, p3], [cr, m1], [ds, m1], [cr, q1], [cr, q2], [cr, q3]]

———————— TERME N+1 ———————–

Sym running ...


{[q1, q2, q3], [p1, p2, p3]}

Ha! running...

Simp running ...


18 delta(p1 m1) delta(p2 q2) delta(p3 q3) delta(m1 q1)

>Vev(Mb2123);

Mef running ...

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, l1], [cr, l2], [cr, p1], [cr, p2], [cr, p3]]

3, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, l1], [cr, l2], [cr, p1], [cr, p2], [ds, p3]]

3, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, l1], [cr, l2], [cr, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, l1], [cr, l2], [ds, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

2, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [cr, p3]]

6, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [ds, p3]]

6, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, l1], [ds, l2], [cr, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

2, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [cr, l1], [ds, l2], [ds, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [ds, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [cr, p3]]

3, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [ds, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [ds, p3]]

3, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [ds, l1], [ds, l2], [cr, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [ds, l1], [ds, l2], [ds, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [cr, l2], [cr, p1], [cr, p2], [cr, p3]]

3, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [cr, l2], [cr, p1], [cr, p2], [ds, p3]]

3, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [cr, l2], [cr, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

117


1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [cr, l2], [ds, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

2, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [cr, p3]]

6, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [ds, p3]]

6, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [ds, l2], [cr, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

2, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [ds, l2], [ds, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [ds, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [cr, p3]]

3, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [ds, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [ds, p3]]

3, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [ds, l1], [ds, l2], [cr, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [ds, l1], [ds, l2], [ds, p1], [ds, p2], [ds, p3]]

Elim running ...


1, [[ds, Q1], [ds, Q2], [cr, k1], [ds, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [cr, p3]]

2, [[ds, Q1], [ds, Q2], [ds, k1], [cr, l1], [ds, l2], [cr, p1], [cr, p2], [cr, p3]]

———————— TERME N+1 ———————–

Sym running ...


{[p1, p2, p3], [l1, l2]}

Ha! running...

Simp running ...


6 delta(Q1 k1) delta(Q2 p1) delta(l1 p2) delta(l2 p3) + 6 delta(Q1 p1) delta(Q2 k1) delta(l1p2) delta(l2 p3)

———————— TERME N+2 ———————–

Sym running ...


{[p1, p2, p3]}

Ha! running...

Simp running ...


12 delta(Q1 l1) delta(Q2 p1) delta(k1 p2) delta(l2 p3) + 12 delta(Q1 p1) delta(Q2 l1)delta(k1 p2) delta(l2 p3)

+ 12 delta(Q1 p1) delta(Q2 p2) delta(k1 l1) delta(l2 p3)

>

118

Appendice C

Calculs numériques

C.1 Optimisation du couplage e!ectif

On va minimiser, au sens des moindres carrés, la di!érence entre les membres de droite (rhs)et de gauche (lhs) des équations du mouvement, évalués avec notre solution approchée :

g++(ap)2 (g,geff ,!o,q1,q2) ! " g

4q1q2

q21+q2

2!q1q2[C(ap)(geff ,!o,q1) + C(ap)(geff ,!oq2) + 2!o]

G(ap)2 (g,geff ,q1, " q2) ! g

2q1q2

q21+q2

2+q1q2[C(ap)(geff ,!o,q1) + C(ap)(geff ,!o,q2) + 2!o]

C(ap)(geff!o,q1) ! " geff*o

geff +q1

geff (x,g) ! g

1+gx #&

39

Avec les notations :

Ig(g,geff ,!o,q2) !0 +&0

dpp g++(ap)

2 (g,geff!o,p,q2)

IG(g,geff ,!o,q2) !0 q2

0dpp G(ap)

2 (g,geff ,!oq2, " p)

JG(g,geff ,!o,q2) !0 +&

q2

dpp G(ap)

2 (g,geff!o,p, " q2)

les membres de gauche s’écrivent :

lhsg = [1 " ( 1q1

+ 1q2

)(q1 + q2)]g++(ap)2 (g,geff!o,q1,q2)

lhsG = [1 " ( 1q1

" 1q2

)(q1 " q2)]G(ap)2 (g,geff ,!oq1, " q2)

et les membres de droite

rhsg = " g*o

2 " g4 [C(g,!o,q1) + C(g,!o,q2)] " g

2 [Ig(g,geff ,!o,q1) + Ig(g,geff ,!oq2)+ 1

2IG(g,geff ,,!o,q1) + 12IG(g,geff ,!o,q2)]

rhsG = "g!o " g2 [C(g,!o,q1) + C(g,!o,q2)] " g[Ig(g,geff ,!o,q1) + Ig(g,geff ,!o,q2)

+ 12IG(g,geff ,!o,q1) + 1

2JG(g,geff ,!o,q2)]

Toutes ces intégrales sont convergentes (d’où l’inutilité des fonctions f(p)) et peuvent êtreévaluées avec Maple. Pour évaluer le moindre carré nous allons utiliser une grille de 16 pointscorrespondant aux racines k[i] du 16e polynôme de Legendre ramenées à l’intervalle [0,++] quinous intéresse par la transformation :

q[i] = 3.5tan[/

4(1 + k[i])]

119

APPENDICE C. CALCULS NUMÉRIQUES

Les coe"cients de pondération sont alors :

wq[i] = 3.5/

4wk[i][1 + tan[

/

4(1 + k[i])]2]

où les wk[i] sont les poids associés aux racines du polynôme de Legendre :

wk[i] =

HdP16(x)

dx

;;;;x=k[i]

I!1

vp

% +1

!1dx

P16(x)

x " k[i]

La fonction de moindres carrés pondérés (lsqg et lsqG) s’écrit :

lsqg(g,x,!o) =168

m=1

wq[m]168

n=m

wq [n]

31 "

rhsg(g,geff (g,x)!o,q[m],q[n])

lhsg(g,geff (g,x),!o,q[m],q[n])

42

et il faut trouver le x qui la rend minimale. Il est clair que x doit dépendre de g, mais d’aprèsl’argument analytique du chapitre 4, on s’attend à ce que cette dépendance soit minime.

120

C.1. OPTIMISATION DU COUPLAGE EFFECTIF

La fonction de moindres carrés lsq(g,x,#) pour g=1,2,...,7

Pour les valeurs de g qui nous intéressent on trouve :

g 0.2 1 2 3 4 5 6 7x(g) 0.82 0.92 1.0 1.09 1.17 1.256 1.33 1.41

On constate que x(g) est bien toujours proche de 1 et que la dépendance en g est pratiquementlinéaire.

121


Un fit linéaire par moindres carrés donne une correction de 0,084g 2 g12 :

x(g) 2 1 +g

12

valable pour g < 7. Il faut noter que pour les g petits la valeur de x commence à dépendrenotablement de la répartition des points dans les moindres carrés. Dans ces cas l’argumentanalytique du chapitre 4 joue toujours et indique x 2 1.

C.2 Calcul du couplage réduit de Parisi pour l’ordre 2

Pour évaluer le couplage réduit critique à partir de l’équation (ref), il faut tout d’abordconstater que pour les grands ', c’est-à-dire les grands g, le paramètre x tend vers une valeurfixe de 1.4, que nous allons utiliser 1.

Notons X(y,r,x) la quantité :

X(y,r,x) ! 1 + 19reyln

E1+ 2

3 rey2

1+ 23 re

3y2

F+ 4,

81'

3r2e2y

'y2 + ln

E1+geff (y,r,x)e" y

2

1+geff (y,r,x)ey2

F:

X(y,r,x = 1.4) garde le même comportement et est simplement décalée pour les di!érentesvaleurs de r :

1. Cette valeur de x fournit le même couplage critique gc = 4.78.

122

C.2. CALCUL DU COUPLAGE RÉDUIT DE PARISI POUR L’ORDRE 2

La fonction X(y,r,x = 1.4) pour r=1,2,3 et 4 (de droite à gauche)

Notons Y 2(r,x) l’inversion, réalisée numériquement, de X(y,r,x) = 0, Y 1(r,x) celle limitéeaux deux premiers termes de X(y,r,x) et Y 0(r) = W (9

r ) la valeur de y(r) obtenue à l’ordreprécédent.On peut constater que les courbes se chevauchent presque parfaitement :

Les fonctions Y 0(r), Y 1(r,x = 1.4) et Y 2(r,x = 1.4)

Cette façon de choisir x n’est pas unique : on pourrait choisir une autre paramétrisation pourx, tout aussi satisfaisante au regard de gc, qui rendrait l’accord entre Y 1 et Y 2 encore meilleur.Il est donc tout à fait su"sant d’opérer une simple règle de trois par rapport à la déterminationà l’ordre 1 de rc :

rc = 1.5 34.78

4.19= 1.711

123


124

Appendice D

Application pour le calcul des

fonctions de corrélation

Les pages suivantes présentent le programme, réalisé sous Mathematica, que nous avons misau point pour calculer de façon systématique le développement des fonctions de corrélation. Lapremière partie définit les expressions fondamentales et les représentations graphiques de base 1.Le module VEVsig calcule toutes les contributions apparaissant dans les fonctions de corrélation,définies à partir des dérivées fonctionnelles formelles sur la fonctionnelle génératrice. Enfin lemodule Rediag procède à la réduction finale de toutes les contributions identiques en tenantcompte des symétries.

1. Nous n’avons pas reproduit les contributions sous forme graphique pour des raisons de place.

125

APPENDICE D. APPLICATION POUR LE CALCUL DES FONCTIONS DE CORRÉLATION

126

Appendice E

Publications

Nous avons regroupé dans les pages suivantes les parties de notre travail qui ont fait, ou vontfaire, l’objet de publication:

1 - Fields Dynamics on the light cone : Compact versus Continuum Quantization

Stéphane Salmons, Pierre Grangé, Ernst Werner

publié dans Physical Review D60 (1999) 067701

2 - Critical Properties of !41+1 theory in Light Cone Quantization

Stéphane Salmons, Pierre Grangé, Ernst Werner

En préparation.

3 - Order parameter fluctuations and dynamical zero modes

Ernst Werner, Pierre Grangé, Stéphane Salmons

Soumis à Nuclear Physics.

153

APPENDICE E. PUBLICATIONS

154

BIBLIOGRAPHIE

Bibliographie

"The secret to creativity is knowinghow to hide your sources."

Albert Einstein

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Pour une bibliographie exhaustive des articles consacrés à la physique sur le cône de lumière depuis

1949 on pourra consulter http://tnp.saha.ernet.in/ hari/light/light.html

0. Réalisé avec LyX/LATEX sous Linux.

184

Résumé : La quantification sur le cône de lumière est une méthode de quantification opérantdans la Front Form de Dirac et nécessitant une procédure de traitement des contraintesdynamiques. Elle est abordée dans le cas de deux théories scalaires.

La théorie #41+1 est examinée à l’aide d’une formulation continue du développement de

Haag des champs et des modes zéros (CLCQ). Ceci permet une résolution originale deséquations du mouvement et des contraintes ainsi qu’une renormalisation consistante desdivergences infrarouges et ultraviolettes. L’analyse de la transition de phase fait apparaîtreau deuxième ordre un couplage critique non perturbatif de valeur analogue aux résultatsdu quatrième ordre des méthodes conventionnelles.

L’étude comparée du commutateur de Pauli-Jordan dans les formulations discrètes etcontinues montre que la violation de causalité n’est qu’un pur e!et de taille finie associé àla soustraction du mode zéro dans les sommes discrètes.

L’étude de la théorie #43+1 O(N) est amorcée par le calcul des champs et des modes zéros à

l’ordre 3 du développement en 1'N

qui permet de retrouver jusqu’à l’ordre 1N3 les fonctions

de corrélation conventionnelles obtenues par intégrales de chemin.

Mots clés : Quantification - Cône de lumière - Théorie #4 - Formulation continue - Pauli-Jordan- Renormalisation - Théorie critique - Développement 1

N

Abstract : Light-cone quantization proceeds through Dirac’s Front Form and needs a proce-dure for the handling of dynamical constraints. It is treated within the scope of two scalartheories.

The #41+1 theory is examined with the help of a continuum formulation of the fields and

zero modes Haag expansion (CLCQ). This allows an original solution of the equationsof motion and constraints as well as a consistant infrared and ultraviolet divergences re-normalization. Phase transition analysis shows a second order non perturbative criticalcoupling constant similar to conventionnal methods fourth order results

Comparative study of discrete and continuum Pauli-Jordan commutator formulations de-monstrates that violation of causality is nothing but a finite volume e!ect linked with zeromodes substraction in discrete sums.

The study of the #43+1 O(N) theory is initiated with order 3 fields and zero modes 1'

N

expansion which enables to get, up to the 1N3 order, the same conventionnal correlation

functions as those obtained by path integration.

Keywords : Quantization - Light-cone - #4 theory - Continuum formulation - Pauli-Jordan -Renormalization - Critical theory - 1

N expansion

thèse quantification sur cône de lumière

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