these étalonnage

8/3/2019 These talonnage

1/198

Acadmie de Nantes

ECOLE DOCTORALE DE l'UNIVERSITE DU MAINE

LE MANS, FRANCE

THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DU MAINE

Spcialit : ACOUSTIQUE

prsente par

Dominique RODRIGUES

pour obtenir le titre de Docteur d'Universit

METHODE DE RECIPROCITE : CARACTERISATIONDE PETITS COMPOSANTS ACOUSTIQUES,

ETALONNAGE DES MICROPHONES EN PRESSION ETEN CHAMP LIBRE

Soutenue le 24 octobre 2008

devant le jury compos de

P. HERZOG Directeur de Recherche CNRS, LMA (Marseille), RapporteurK. RASMUSSEN Professeur, DTU (Danemark), Rapporteur

Z. KVOR Professeur, VUT (Prague), Rapporteur

J. KERGOMARD Directeur de Recherche CNRS, LMA (Marseille), Examinateur

S. MONTRESOR Matre de Confrences, LAUM (Le Mans), Examinateur

N. JOLY Matre de Confrences (HDR), LAUM (Le Mans), Examinateur

J.-N. DUROCHER Ingnieur, LNE (Trappes), Promoteur de thse

M. BRUNEAU Professeur mrite, LAUM (Le Mans), Directeur de thse

P. LOTTON Charg de Recherche CNRS (HDR), LAUM (Le Mans), Invit

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008
http://hal.archives-ouvertes.fr/http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00349206/fr/


2/198

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


3/198

Remerciements

Cette thse s'est droule au Laboratoire National de mtrologie et d'Essais (LNE) encollaboration avec le Laboratoire d'Acoustique de l'Universit du Maine (LAUM), et a bnficid'un financement de l'ANRT (convention CIFRE). Ce travail de recherche n'aurait pu aboutir sansune relle collaboration et un change d'ides entre tous ceux qui y ont particip ; je tiens ici lesremercier.

Je tiens adresser en tout premier lieu mes sincres remerciements M. Bruneau et A.-M.Bruneau, Professeurs mrites l'Universit du Maine, pour m'avoir donn l'opportunit de raliser

cette thse dans d'excellentes conditions, pour leur soutien constant et la confiance qu'ils m'ontaccords. Tout au long de ces trois annes, ils se sont toujours montrs disponibles et ont su orientermes travaux tout en me laissant beaucoup d'autonomie. J'ai particulirement apprci l'ambiancechaleureuse dans laquelle ils m'ont encadr, ce qui a rendu cette exprience d'autant plusenrichissante. Pour tout cela, je les remercie vivement.

Mes remerciements les plus sincres s'adressent galement J.-N. Durocher, Ingnieur au LNE,qui a initi les travaux de recherche dans lesquels s'insrent mon travail de thse. Il m'a accordtoute sa confiance en me confiant la responsabilit d'tudes importantes. Tout au long de ces troisannes, il a su me transmettre un vif intrt pour l'exprimentation, son contact fut la source dunenrichissement constant.

Je tiens galement tmoigner ma reconnaissance C. Guianvarc'h qui a co-encadr une partiede ce travail de recherche, pour son soutien et ses prcieux conseils.

Mes remerciements les plus sincres s'adressent K. Rasmussen, P. Herzog, et Z. kvor qui mefont l'honneur de prendre connaissance de ce travail et d'en tre les rapporteurs.

Mes remerciements s'adressent galement aux membres du jury pour avoir accept de juger cetravail.

Jadresse un grand merci C. De Waubert, M. Hebert et C. Bartoli pour l'aide et les conseils

quils mont apports, ainsi quaux personnes que j'ai ctoyes au LNE pour leur sympathie et leurbonne humeur.

Mes remerciements vont galement aux personnes que j'ai ctoyes au LAUM, en particulier C.Potel, S. Durand et T. Le Van Suu pour leur accueil chaleureux chaque fois que j'ai eu l'occasionde les rencontrer au Mans lors de mes sances de travail avec mes directeurs de thse.

Enfin, je remercie Sandrine, ma compagne, ainsi que mes parents et frres pour leur soutienquotidien durant ces trois annes.

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


4/198

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


5/198

Table des matires i

Table des matires

Introduction gnrale............................................................................................................................1

Chapitre 1

Mthode de mesure d'impdance de petits lments acoustiques........................................................7

1.1 Introduction................................................................................................................................71.2 Mthode de mesure....................................................................................................................81.3 Expression analytique de l'admittance acoustique de transfert de la cavit de couplage..........91.4 Elments utiliss comme rfrences : modles thoriques......................................................13

1.4.1 Admittance d'entre d'une fente ouverte son extrmit.................................................141.4.2 Admittance d'entre d'un rseau de quatre tubes cylindriques.........................................15

1.5 Rsultats thoriques et exprimentaux, discussion..................................................................18

1.6 Conclusion...............................................................................................................................22

Chapitre 2

Modlisation analytique d'un microphone lectrostatique : application l'talonnage desmicrophones en pression par la mthode de la rciprocit.................................................................25

2.1 Introduction..............................................................................................................................252.2 Modle analytique d'un microphone lectrostatique...............................................................26

2.2.1 Equations fondamentales du mouvement acoustique......................................................272.2.2 Equation de propagation..................................................................................................28

2.2.3 Champ de pression acoustique dans la lame de fluide.....................................................342.2.4 Champ de dplacement de la membrane..........................................................................342.3 Efficacit en pression...............................................................................................................362.4 Modlisation globale du systme d'talonnage........................................................................40

2.4.1 Champs de dplacement des membranes et champs acoustiques....................................402.4.2 Rsultats thoriques.........................................................................................................43

2.5 Conclusion...............................................................................................................................45

Chapitre 3

Etalonnage en champ libre des microphones par la mthode de la rciprocit..................................49

3.1 Introduction..............................................................................................................................493.2 Principe de rciprocit en champ libre....................................................................................50

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


6/198

Table des matires ii

3.2.1 Fonctionnement du transducteur en metteur..................................................................513.2.2 Fonctionnement du transducteur en rcepteur.................................................................523.2.3 Produit des efficacits en champ libre de deux microphones..........................................54

3.3 Dispositif exprimental utilis au LNE et difficults de mesure.............................................563.3.1 Dispositif exprimental....................................................................................................563.3.2 Sources de perturbations..................................................................................................59

3.4 Filtrage des fonctions de transfert mesures............................................................................613.4.1 Principes gnraux...........................................................................................................623.4.2 Pr-traitement de la fonction de transfert.........................................................................643.4.3 Synthse de la fentre de filtrage.....................................................................................67

3.5 Rsultats et incertitudes...........................................................................................................713.5.1 Mesures et rsultats..........................................................................................................713.5.2 Incertitudes.......................................................................................................................74

3.6 Conclusion...............................................................................................................................77

Chapitre 4

Centre acoustique d'un microphone lectrostatique...........................................................................79

4.1 Introduction..............................................................................................................................794.2 Dtermination analytique de la position du centre acoustique d'un transducteurlectrostatique................................................................................................................................80

4.2.1 Les quations fondamentales du problme......................................................................814.2.2 Solutions des quations fondamentales............................................................................844.2.3 Conditions aux interfaces.................................................................................................88

4.2.4 Pression acoustique en champ lointain............................................................................924.2.5 Evaluation thorique de la position du centre acoustique d'un microphone....................93

4.3 Dtermination exprimentale de la position du centre acoustique d'un microphonelectrostatique................................................................................................................................96

4.3.1 Principe gnral................................................................................................................964.3.2 Dispositif exprimental, mesures.....................................................................................994.3.3 Perturbations des mesures..............................................................................................1004.3.4 Filtrage des fonctions de transfert, centres acoustiques.................................................103

4.4 Conclusion.............................................................................................................................106

Conclusion gnrale.........................................................................................................................109

Annexe A

Equation de propagation en fluide thermo-visqueux, approximation onde quasi plane : applicationaux tubes et fentes............................................................................................................................115

A.1 Formulation gnrale............................................................................................................115A.2 Application aux tubes cylindriques (coupleurs et tubes troits) et aux fentes annulaires....118

Annexe B

Solution modale du champ de pression dans une cavit cylindrique...............................................121

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


7/198

Table des matires iii

Annexe C

Plans des coupleurs de haute prcision utiliss pour la mesure d'impdance d'entre d'une fente

annulaire et d'un rseau de quatre tubes...........................................................................................125C.1 Coupleur pourvu d'une fente annulaire de haute prcision...................................................125C.2 Coupleur pourvu d'un rseau de quatre tubes de haute prcision.........................................135

Annexe D

Calculs intermdiaires dans la rsolution des problmes poss dans le chapitre 2..........................139

D.1 Calculs intermdiaires...........................................................................................................139D.2 Rsolution du problme coupl............................................................................................142

Annexe EProprits utiles des fonctions de Bessel..........................................................................................149

Annexe F

Fiches synoptiques............................................................................................................................151

F.1 Fiche synoptique de l'appareil de rciprocit [68].................................................................151F.2 Fiche synoptique de l'amplificateur Nexus [69]....................................................................152

Annexe G

Fentre de filtrage : techniques de synthse, performances et paramtres d'influences...................153

G.1 Synthse d'une fentre de filtrage par la mthode de la fentre............................................153G.2 Mthode itrative : performance des fentres de filtrages et paramtres d'influences.........155

Annexe H

Etalonnage des microphones en champ libre par la mthode de rciprocit : bilan des incertitudes..........................................................................................................................................................161

H.1 Mesurande : efficacit en champ libre d'un microphone......................................................161H.2 Paramtres d'entre, incertitudes...........................................................................................163H.3 Incertitude compose largie................................................................................................169

Annexe I

Valeurs des paramtres d'un microphone lectrostatique dans un modle constantes localises..171

Annexe J

Centre acoustique des microphones lectrostatiques : calculs intermdiaires et rsolution matricielle

du problme......................................................................................................................................173J.1 Calculs intermdiaires............................................................................................................173J.2 Rsolution du problme coupl..............................................................................................177

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


8/198

Table des matires iv

J.3 Fonctions Kp..........................................................................................................................181

Bibliographie....................................................................................................................................183

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


9/198

Introduction gnrale 1

Introduction gnrale

Le Systme International d'units (SI), est officiellement n en 1960 partir d'une rsolution dela 11me Confrence gnrale des poids et mesures. Ce systme permet de rapporter toutes les unitsde mesure un petit nombre d'talons fondamentaux, et de consacrer tous les soins ncessaires amliorer leurs dfinitions. C'est l une des missions des diffrents laboratoires nationaux demtrologie dont le Laboratoire National de mtrologie et d'Essais (LNE). Au sein du LNE, lamtrologie fondamentale vise dvelopper et maintenir des talons nationaux de rfrence,reconnus l'chelle internationale, permettant l'industrie de raccorder leurs instruments demesure au systme international d'units. Les dispositifs de mesures tels que ceux utiliss pourmesurer les pressions acoustiques sont ainsi caractriss par rapport ces rfrences. C'est ainsique, depuis plusieurs annes, le LNE cherche renforcer sa position dans le domaine de lamtrologie acoustique en amliorant les mthodes et techniques existantes pour l'talonnage desmicrophones talons ; par de-l, il cherche galement intgrer de nouvelles activits, dontl'audiomtrie.

L'talonnage absolu des microphones de mesure en acoustique repose sur l'obtention d'talons primaires, eux-mmes talonns suivant un protocole adapt (mthode de rciprocit) etconformment aux normes en vigueur. Ces normes ont fait l'objet d'amliorations au cours desdernires dcennies mais des zones d'ombre subsistent, dont certaines sont mentionnes dans lesrares articles publis depuis vingt ans. Paralllement, la caractrisation approprie des oreillesartificielles, ncessaire au rglage des audiomtres (en particulier) et par suite leur talonnage, faitaujourd'hui dfaut, avec des consquences soulignes l'heure actuelle dans les milieux mdicauxet laboratoires spcialiss. Cette caractrisation ncessite l'utilisation de microphones talonnsavec prcision, mais ncessite aussi la modlisation prcise (contrle par des mesures fines) descomposants acoustiques qui constituent ces oreilles artificielles.

Ce propos met en cause la prcision de l'talonnage des talons de mesure de pression acoustiqueet l'insuffisance des rglages d'appareils mdicaux largement utiliss. Par del, il met en causel'insuffisance (et mme l'absence) de procds de mesure pour caractriser les systmes en usagedans les rglages acoustiques de ces appareils mdicaux et le manque de prcision des modlesanalytiques ncessaires ces caractrisations et ces talonnages. Les enjeux pratiques, techniques etscientifiques ont donc leur importance et les tudes mener comportent des exigences quincessitent des recherches approfondies.

C'est ainsi que les thmes abords dans le prsent mmoire font appel la mthode de larciprocit en cavit et en champ libre. Les microphones talons de laboratoire sont talonns l'heure actuelle par la mthode de la rciprocit, que ce soit pour un usage du microphone en

pression (norme CEI 61084-2) ou en champ libre (norme CEI 61094-3). Ces mthodes ncessitentl'usage de trois microphones coupls deux deux par un milieu de couplage, soit une cavitacoustique de forme cylindrique pour l'talonnage en pression, soit un milieu infini pourl'talonnage en champ libre. Quant la caractrisation des composants acoustiques qui constituent

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


10/198


les oreilles artificielles (notamment), non seulement elle n'tait pas jusqu' prsent accessible par lamesure en laboratoire, mais encore, la validit des modles thoriques dont ils faisaient l'objetn'tait justifie le plus souvent que dans une bande frquence de quelques centaines de hertz.

Dans la premire partie de cette thse, l'objectif vis est de mettre en uvre et de valider unemthode de mesure d'impdance d'entre de petits lments acoustiques, tels que des tubes fins, desfentes fines, des petites cavits et leurs associations. Ces lments tant trs utiliss dans denombreux systmes acoustiques, dont les oreilles artificielles, plusieurs rfrences proposent desmodlisations analytiques de chacun d'entre eux et de leurs associations en fluide compressibledissipatif tout en prenant en compte des conditions aux frontires ralistes (conditions de nonglissement et isotherme prs des parois). Nanmoins, l'estimation des caractristiques acoustiquesde ces lments partir de modles thoriques se traduit gnralement par des incertitudesimportantes non seulement en raison des approximations gnralement retenues mais surtout enraison des incertitudes sur les dimensions gomtriques de ces lments. Ainsi, il est important de

pouvoir caractriser exprimentalement leur comportement acoustique ( l'unit), en mesurant enl'occurrence leur impdance d'entre avec une faible incertitude relative (de l'ordre de un pourcent).

Cette mthode de mesure de petits lments acoustiques contribue mettre en vidence lesinsuffisances actuelles de l'talonnage des microphones en cavit par la mthode de la rciprocit.Ces insuffisances rsident dans diverses approximations, dont l'influence des modes suprieurs dansla cavit de couplage (modes radiaux) sur les rsultats des talonnages. La norme CEI 61094-2

propose un modle dcrivant le comportement acoustique de la cavit de couplage en considrant lapropagation d'ondes planes suivant l'axe de la cavit. Nanmoins, compte tenu de la non-uniformitdu champ de dplacement de la membrane du microphone metteur et des diffrences de diamtres(faibles) entre la cavit de couplage et la partie mobile de la membrane de chacun des deux

microphones, l'influence des modes radiaux sur les rsultats d'talonnages est non ngligeable, plusparticulirement en hautes frquences. Des tudes prcdentes concernant la modlisation hautesfrquences du champ acoustique non uniforme de la cavit de couplage sont ici prolonges parune modlisation du microphone lui-mme en prenant en compte une dforme dynamique de lamembrane aussi raliste que possible (cette dforme rsultant du couplage membrane/champsacoustiques paritaux) et en proposant une ouverture sur des travaux futurs de nature amliorer lamodlisation des facteurs d'amortissement.

La deuxime partie de ce travail trouve son origine dans la comparaison cl CCAUV.A-K4 entre plusieurs laboratoires nationaux laquelle j'ai particip directement (LNE, France ; CENAM,Mexique ; DPLA, Danemark ; INMETRO, Brsil ; KRISS, Core du Sud ; NIST, Etats-Unis

d'Amrique ; NMIJ, Japon ; NPL, Royaume-Uni ; PTB, Allemagne) portant sur les techniquesd'talonnage des microphones en champ libre. La difficult rencontre dans ces mthodesd'talonnage exprimentales provient du traitement des perturbations la fois acoustiques etlectriques, qui restent importantes (malgr les prcautions prises) en raison des faibles niveauxacoustiques mis en jeu. De ce fait, cette technique d'talonnage fait appel un dispositif de mesurede qualit, qui de nos jours, conduit une incertitude de l'ordre de 0,12 dB sur les efficacits desmicrophones talonns. Dans le cadre de la comparaison cl, le LNE a cherch amliorer ledispositif de mesure et la chane de traitement lis cette technique d'talonnage en champ libre.C'est l'objet du troisime chapitre de cette thse que de prsenter les bases thoriques sur lesquellesrepose cette mthode d'talonnage, de prsenter le dispositif exprimental mis en uvre au LNE, derpertorier les difficults rencontres, de prsenter les solutions utilises pour contourner ces

difficults et de prciser les amliorations apportes en regard de l'existant au niveau international.

Par ailleurs, l'talonnage en champ libre des microphones lectrostatiques par la mthode de la

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


11/198


rciprocit fait appel la notion de centre acoustique des microphones. La dtermination aussiprcise que possible de la position de ce centre (en fonction de la frquence) est primordiale du faitque la contribution de l'erreur sur cette position l'erreur globale sur l'efficacit mesure par

rciprocit en champ libre est trs grande. Au cours de la dernire dcennie, le concept de centreacoustique des microphones lectrostatiques a essentiellement fait l'objet d'tudes exprimentales.La mthode de mesure classique permet d'obtenir la position du centre acoustique d'un microphone partir de mesures de la fonction de transfert entre un microphone metteur et un microphonercepteur (telle qu'elle est prconise par la norme CEI 61094-3 dans la mthode d'talonnage parrciprocit), pour diffrentes distances entre les deux transducteurs. Les dveloppementsanalytiques sont trs peu nombreux, relativement anciens et ne portent pas sur les dispositifs demesure auxquels nous sommes amens nous intresser aujourd'hui. C'est ainsi que le dernierchapitre de cette thse porte sur l'tude du concept de centre acoustique d'un microphone aussi biensur le plan analytique que sur le plan exprimental, dans le but d'apporter un clairage nouveau, enreprenant et en compltant les modles analytiques et les rsultats exprimentaux existants.

Pour les raisons qui apparaissent dans les propos qui prcdent, les travaux mis en uvre afin derpondre aux objectifs portent aussi bien sur des tudes exprimentales que thoriques. Par ailleurs,ils posent les bases des travaux futurs qui permettront de rduire encore certaines causesd'incertitudes mais galement bien au-del, de prvoir la mise en uvre de mthodes adaptes lamtrologie des capteurs du futur qui seront fabriqus par des procds relevant desmicrotechnologies. Ils montrent enfin la ncessit aujourd'hui de complter les acquis actuels en

prvoyant notamment des tudes par simulations numriques qui peuvent dsormais tre menesgrce aux avances rcentes dans les mthodes numriques de calculs de champs acoustiques enfluides dissipatifs, compte tenu des couches limites thermo-visqueuses associes, en toutessituations, y compris celles o certaines dimensions des domaines tudis sont du mme ordre de

grandeur que l'paisseur de ces couches limites.

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


12/198

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


13/198

Premire partie

Mthode de rciprocit en pression

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


14/198

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


15/198

1. Mthode de mesure d'impdance de petits lments acoustiques 7

Chapitre 1

Mthode de mesure d'impdance de petits lmentsacoustiques

1.1 Introduction

De nombreux systmes acoustiques (oreille artificielle, haut-parleur, microphones, miniaturissou non, ou bien dfinissant des systmes de mesures prcis pour la dtermination de la constante deBoltzmann [1]) sont conus l'aide d'lments dont les dimensions peuvent parfois tre du mmeordre, plus petit, voir trs petit devant la longueur d'onde considre. Dans ces systmes(gnralement dcrits dans les basses frquences l'aide de modles constantes localises), lesfacteurs d'amortissement, d'lasticit et d'inertie peuvent respectivement tre obtenus au moyen detubes troits o de fentes, de petites cavits et de tubes courts. Ces lments tant trs utiliss, de

nombreuses rfrences tels que les ouvrages [2,3] proposent des modlisations analytiques dechacun d'entre eux et de leurs associations en fluide compressible dissipatif tout en prenant encompte des conditions aux frontires ralistes (conditions de non glissement et isotherme prs des

parois). Nanmoins, l'estimation des caractristiques acoustiques de ces lments partir demodles thoriques se traduit gnralement par des incertitudes relatives suprieures cinquante

pour-cent en raison des incertitudes sur les dimensions gomtriques de ces lments.

Ainsi, il est important de pouvoir caractriser exprimentalement le comportement acoustique deces lments (ou de leurs associations), soit pouvoir mesurer leurs impdances d'entre avec une

bonne prcision (avec une incertitude relative de l'ordre de un pour-cent). Ceci tait trs difficile,voir impossible jusqu' prsent du fait que ces impdances d'entre sont en gnral trs grande

devant celles mises en jeu dans les dispositifs de mesure. De tels dispositifs de mesured'impdances acoustiques ncessitent gnralement deux transducteurs, un li aux variations de

pression acoustique et un autre li au dbit (ce dernier tant gnralement la source d'nergie). Engnral, l'talonnage de ces dispositifs de mesure est effectu l'aide du mme systme de couplageque celui utilis pour les mesures d'impdances, ce qui peut tre discut, ceci dans le but d'obtenirdes rsultats utilisables dans la pratique avec les techniques actuellement disponibles (un tat del'art de ces techniques est effectu dans les rfrences [4,5]). Ceci est plus particulirement vrailorsque les lments sont petits et doivent tre caractriss dans une large gamme de frquence(typiquement de 20 Hz plus de 20 kHz).

Afin de rpondre au problme pos, la mthode de mesure d'impdances propose dans ce

chapitre repose sur les avances effectues dans le cadre de la mtrologie fine et plus particulirement l'talonnage des microphones en pression par la mthode de la rciprocit[6,7,8,9,10]. La mthode de la rciprocit fait usage d'un matriel d'une grande sensibilit et d'une

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


16/198

1.1. Introduction 8

grande reproductibilit et est donc particulirement bien adapte pour effectuer des mesuresprcises d'impdances d'entre de petits lments acoustiques. C'est l'objet de ce chapitre que deprsenter cette mthode de mesure, de l'exprimenter sur des lments simples et de discuter des

prcisions accessibles. L'oreille artificielle dcrite dans la Norme CEI 60318-1 [11] est un exemplereprsentatif des systmes acoustiques contenant ce type de petits lments, soit une fente annulairemince et quatre tubes troits connects des cavits de volumes diffrents. Ces lments sontutiliss dans le cadre de cette tude comme rfrences pour la validation de cette mthode demesure d'impdances d'entre.

1.2 Mthode de mesure

Le cur du dispositif de mesure est constitu d'une cavit cylindrique (figure 1.1) d'une longueurl (5,111 mm ou 4.639 mm) et d'un rayon a du mme ordre de grandeur (4,650 mm), tous deux

trs grands devant l'paisseur des couches limites viscothermiques de sorte que l'expressionanalytique du nombre d'onde peut tre donne par l'approximation rappele en Annexe (Eq. A.21)(cf. 1.3). La cavit de couplage est ferme ses extrmits par les membranes de deuxmicrophones lectrostatiques rciproques, un tant utilis en metteur (efficacit en pression Mpe ,rayon ae ) en z=0 et l'autre tant utilis en rcepteur (efficacit en pression Mpr , rayon ar ) enz=l. Les rayons ae et ar sont lgrement infrieurs au rayon a de la cavit de couplage. Lesmembranes de l'metteur et du rcepteur sont animes respectivement des vitesses v e (impose) etvR (due au champ de pression sur la membrane).

Figure 1.1. Dispositif de mesure (a), notations (b) : cavit cylindrique (coupleur) de longueur l et de rayon a, deux

membranes de microphones de rayons a e (metteur) et a r (rcepteur) localises respectivement en z=0 et z=l.

L'admittance d'entre Yc mesurer (dfinie comme le rapport entre le dbit et la pressionacoustique l'entre de l'lment caractriser), est localise en paroi de la cavit de couplage enz=lc et w=a sur une surface c trs petite devant la surface latrale de la cavit. Suivant lestechniques de mesure par rciprocit dcrites par exemple dans les normes [8], les quantits dterminer sont : l'admittance lectrique de transfert YE et l'admittance acoustique de transfert YT .L'admittance lectrique de transfert YE est dfinie comme le quotient du courant ie qui alimente lemicrophone metteur par la tension circuit ouvert ur0 aux bornes du microphone

YE=

ie

ur0 (1.1)et l'admittance acoustique de transfert YT est dfinie comme le quotient du dbit qe de la

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


17/198

1.2. Mthode de mesure 9

membrane de l'metteur en court circuit acoustique par la pression p l sur la membrane durcepteur

YT=

qe

p l , (1.2)

o le dbit en court circuit acoustique est donn par l'expression

qe=Se veYep 0 , (1.3)

o Ye est l'admittance acoustique du microphone metteur et Se=ae2 .

Lorsque le coupleur est totalement clos (cavit sans lment caractriser, soit Yc=0 ),l'expression analytique de l'admittance acoustique de transfert [9,10] (cf. 1.3), note YT

0 et lamesure de l'impdance lectrique de transfert, note YE

0 conduisent au produit des efficacits enpression des deux microphones [8] :

Mpe Mpr=YT

0

YE0 . (1.4)

Ainsi, la mesure de l'admittance lectrique de transfert YE lorsque l'lment caractriser estplac en paroi de la cavit de couplage, donne l'admittance acoustique de transfert

YT=Mpe MprYE, (1.5)

ou, en reportant l'quation (1.4),

YT=YT

0

YE0 YE . (1.6)

Ainsi, en exprimant l'admittance acoustique de transfert YT comme une fonction de l'admittanceinconnue Yc , l'admittance Yc de l'lment caractriser peut tre obtenue, les quantits mesurestant les admittances lectriques de transfert (Eq. 1.1) YE et YE

0 respectivement avec et sanslment en paroi de la cavit de couplage (cf. 1.3). La procdure utilise pour leurs mesures estdonne dans la rfrence [8] (cf. 3.3.1) et se rsume ainsi : la tension circuit ouvert ur0 estobtenue en utilisant la technique de la tension insre [8] et le courant ie alimentant le microphonemetteur est dduit d'une mesure de tension ue=ie /j Cref aux bornes d'une capacit de rfrenceet talonne Cref (figure 1.1.a).

En pratique, les dimensions de la cavit pourvue de l'lment caractriser sont lgrementdiffrentes de celles de la cavit totalement close (sans lment en paroi). Nanmoins, cesdimensions sont suffisamment proches les unes des autres de sorte que le mme modle peut treutilis pour la modlisation des deux admittances acoustiques de transfert YT

0 et YT .

Ainsi, la mthode de mesure propose bnficie des procdures optimises dans le cadre del'talonnage en pression par la mthode de la rciprocit des microphones talons de laboratoireainsi que du matriel de mesure de prcision correspondant [6,8,9,10].

1.3 Expression analytique de l'admittance acoustique de transfert de

la cavit de couplageComme il a t dit prcdemment, l'obtention de l'expression analytique de l'admittance

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


18/198

1.3. Expression analytique de l'admittance acoustique de transfert de la cavit de couplage 10

acoustique de transfert YT dfinie par les quations (1.2) et (1.3) ncessite d'exprimer le champ de pression dans la cavit de couplage en tenant compte des effets des couches limitesthermovisqueuses et de la prsence de l'admittance Yc de l'lment plac en paroi de la cavit de

couplage. Cette modlisation du champ de pression dans la cavit de couplage s'effectue l'aide dela formulation classique en fluide thermo-visqueux (rfrences [9,10,12], reportes en Annexe A.1).Elle conduit des rsultats suffisamment prcis pour tirer profit du dispositif de mesure de haute

prcision utilis pour l'talonnage primaire des microphones par le principe de rciprocit(0,01 dB), du moins tant que l'hypothse onde quasi plane retenue reste valable (cf. fin de laremarque du paragraphe 1.3).

En supposant d'une part que les rayons ae et ar des membranes sont sensiblement gaux aurayon a de la cavit de couplage et d'autre part que l'admittance d'entre Yc de l'lment caractriser conduit un champ de pression dans la cavit indpendant des coordonnes w , , cequi permet de dcrire le champ de pression comme une superposition d'ondes planes se propageant

dans les deux sens suivant l'axe z de la cavit cylindrique, indpendantes des coordonnes r et et satisfaisant aux conditions aux limites thermo-visqueuses, le systme d'quations dcrivant lechamp de pression acoustique dans la cavit prend alors la forme suivante.

i. Equation de propagation [9], Eq. (A.18)

2

z2

kz2 pz=0 , pour 0zl, (1.7)

o le nombre d'onde complexe kz tient compte de l'amortissement d aux effets visqueux etthermiques (cf. Annexe A, Eq. (A.19)). Dans la gamme de frquences utile (20 Hz, 20 kHz), lacavit est considre comme large puisque kv ,h a11 ; ce nombre d'onde est alors donn, enconsidrant un dveloppement asymptotique, l'ordre 1/2 des longueurs caractristiques l 'v etlh , par la relation :

kz2k0

2[1 1j2 2a k0 l 'v1l h] , (1.8)o k0= /c0 , et o

l 'v=

0 c0et lh=

0 c0 CP

,

dsignent les longueurs caractristiques thermique et visqueuse, et tant respectivement les

coefficients de viscosit de cisaillement et de conduction thermique.A noter que dans les conditions standards d'environnement l 'v4,5.10

8m et lh6.10

8 m .

ii. Condition aux frontires enz=0 [9]

S vz=S veYpp , en z=0 , (1.9)

o Yp est une admittance reprsentant les effets des couches limites thermiques au voisinage de laparoi (approximation d'ordre un en k0 lh ),

YpS

0

c0

1j

2

k0 1lh , (1.10)

et o, en reportant l'quation (A.20) dans (A.11.b)

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


19/198


S vzz=1Zv

z

p z , (1.11)

o S= a2 ,

Zv=1

S

j k0 0 c01Kv

, Kv=2

kv a

J1 kv a J0 kv a

, et kv=1 j

2k0 / l 'v . (1.12)

A noter que l'quation (1.11) est l'quation d'Euler qui tient compte des effets visqueux dans lescouches limites. En effet, dans la gamme de frquences utile, le module de kv a est toujours trsgrand devant un ( kv a13 ), et ainsi la fonction Kv peut tre crite sous forme approche

Kv1j2

2a l 'vk0 , (1.13)

ce qui conduit la relation (Eq. (1.11))

zpj k0 0 c0 vzz[1 1j2 2a l 'vk0 ] , (1.14)

o le module du facteur [2 /a ]l 'v /k0 prend des valeurs comprises entre 0,15 ( 20 Hz) et 5.10-3( 20 kHz), et par suite n'est pas ngligeable dans les basses frquences.

iii. Condition aux frontires enz=l [9]Svz=YpYrp , en z=l, (1.15)

o Yr=SvR/p l

dsigne l'admittance acoustique du microphone rcepteur.iv. Conditions aux frontires en w=a, z=lc, (conservation des dbits et continuit despressions)

{Svz lc- =Svz lc

+Ycp lc,

p lc- =p l c

+=p l c,

(1.16.a)(1.16.b)

o Svz lc+ et Svzl c

- dsignent respectivement, les dbits dans les parties suprieure et infrieure z=lc de la cavit de couplage.

v. Champ acoustique dans la cavit de couplage

La solution pour la pression acoustique en considrant un rgime d'ondes planes (Eq. (1.7)) dansles deux domaines de la cavit ( zlc et zlc ), satisfaisant les conditions aux frontires (1.9) et(1.15) ainsi que la condition l'interface z=lc (1.16.a), pour une source harmonique ( ej t) dedbit Sve du microphone metteur ( z=0 ), s'crit sous la forme suivante

{pz=AejkzzBe

j kzz, pour 0z lc,pz=CejkzzDej kzz, pour lcz l .

(1.17.a)(1.17.b)

Les constantes d'intgration A , B , C et D tant dtermines partir des conditions auxfrontires (1.9) et (1.15) et des conditions d'interfaces (1.16.a et b), soit

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


20/198


A=Sve

Yi 1BYp1B,

B=e2j kzl c YcDe

2j kz lc

Yc2Y iYc2Y iDe

2j kz lc Yc,

C=Ae

j kzlcBejkzlc

ej kzlcDej kzlc

,

D=e2j kzl

YiYrYp

YiYrYp,

(1.18.a)

(1.18.b)

(1.18.c)

(1.18.d)

o l'admittance itrative Yi s'crit

Yi =a2

0 c 0[11Kh] 1Kh,

Yi a

2

0 c0 [11j2

2a k0

l 'v1lh].(1.19.a)

(1.19.b)

vi. Admittance acoustique de transfert

En utilisant les solutions (1.17.a et b) du champ de pression dans la cavit de couplage,l'admittance acoustique de transfert YT dfinie par les relations (1.2) et (1.3), soit

YT=Se veYep 0

p l, (1.20)

s'crit de la manire suivante :

YT=YT0 Yc , (1.21)

o

=1

2 [ jYeYr2YpYi sin kzl1YeYp YrYrYi2 cos kzlj

YrYeYi

sin kz l2 lc1YeYp YrYp Yi2 cos kz l2 lc],(1.22)

et o

YT0=[Yi YeYp YrYpYi ]jsin kzlYeYr2Ypcos kzl, (1.23)dsigne l'admittance acoustique de transfert de la cavit de couplage pourvue de l'lmentacoustique caractriser lorsque l'admittance d'entre Yc est nulle.

En reportant l'quation (1.21) dans (1.6), l'admittance Yc de l'lment caractriser s'crit de lamanire suivante :

Yc=YT

0

YE

YE0

YT0

YT0

, (1.24)

o YT0 est donne par l'quation (1.23), l dsignant la longueur de la cavit pourvue de l'lment caractriser, o YT

0 est donne par la mme quation, l dsignant dans ce cas prcis la longueur de

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


21/198


la cavit totalement close (cf. discussion la fin de paragraphe 1.2), et o les admittanceslectriques de transfert YE

0 et YE sont mesures respectivement avec les coupleurs totalement closet pourvu de l'lment caractriser.

Aux basses frquences, approximativement jusqu' 2 kHz, soit lorsque les dimensions de lacavit sont trs petites devant la longueur d'onde ( kzl1 ), un dveloppement asymptotique au

premier ordre en kzl peut tre retenu dans l'expression (1.21) de YT et en utilisant les expressionsapproches (1.10), (1.8) et (1.19.b) pour Yp , kz et Yi respectivement, il vient [2,3,9,13] :

YTj V

P0[11 AV 1j2 ]YeYrYc , (1.25)

o le rapport entre la surface totale de la cavit et son volume s'crit A /V=2/ a2 / l (ce dernierrsultat tant dmontr en Annexe de la rfrence [9] lorsque Yc=0 ). L'admittance acoustiquej V/ P

0 (premier terme de l'quation (1.25)) reprsente l'admittance purement ractive de la

cavit lorsque ses dimensions sont trs petites devant la longueur d'onde et ses parois supposestotalement rigides.

A noter que la dtection d'une variation de l'ordre de 0,01 dB [8] entre les mesures avec et sanslment signifie qu'il est possible de dtecter une variation relative de YT de l'ordre de

20 logYT YTYT 0,01 dB , soitYTYT

103 . (1.26)

Afin d'obtenir la valeur inconnue de l'admittance avec approximativement deux chiffressignificatifs, le rapport Yc/ V/ P0 doit tre plus grand que 102 , soit Yc3.10

14 , c'est

dire par exemple, 100 Hz, Yc2.1011

m3

s1

Pa1

. Par ailleurs, les effets de conductionthermique (second terme dans l'quation (1.25) et les effets des transducteurs reprsents par leursadmittances Ye et Yr ne sont pas ngligeables, car respectivement donns par :

1A

Vl hk0 0,06 , 100 Hz, (1.27)et, pour les microphones utiliss (B&K Type 4180) par,

YeYrV/P0

0,07 , (1.28)

pour les basses frquences.

Remarque : il est noter que lorsque l'admittance d'entre Yc de l'lment caractriser conduit un champ de pression dans la cavit de couplage dpendant de la coordonne azimutale , lemodle onde plane utilis n'est plus adapt. De ce fait, une modlisation plus labore doit treconsidre. Un modle (prsent en Annexe B), construit sur la base d'un modle donn dans lalittrature [10,14] dans le cas d'une cavit totalement close, a t tendu au cas o un lment est

plac en paroi de la cavit.

1.4 Elments utiliss comme rfrences : modles thoriques

Afin de valider la mthode de mesure prsente ci-dessus et estimer les incertitudes associes,deux types d'lments acoustiques, issus de l'oreille artificielle [11] ont t choisis. Leurs

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


22/198

1.4. Elments utiliss comme rfrences : modles thoriques 14

gomtries simples autorisent leur caractrisation exprimentale et leur modlisation suffisammentprcise l'aide des quations classiques de l'acoustique en fluide dissipatif (cf. Annexe A). Lepremier est une fente annulaire mince et courte, ouverte son extrmit dans un espace infini

(figure 1.2) (son admittance d'entre ne dpend pas de la coordonne azimutale ). Le second estun ensemble de quatre tubes identiques, troits et courts, rgulirement rpartis en=0, /2, , 3/2 de manire garantir une symtrie de sorte que le champ de pression peuttre considr comme dpendant peu de la coordonne azimutale (figure 1.3). Ces quatre tubessont soit ouverts leur extrmit sur un espace infini, soit connects une cavit annulairetotalement close.

1.4.1 Admittance d'entre d'une fente ouverte son extrmit

Le schma de la fente considre est reprsent sur la figure 1.2 en condition de mesure, soit

situe en paroi de la cavit de couplage enw=a

etz=lc

(cf. figure 1.1). La fente une paisseure (trs petite devant la longueur l de la cavit) et une longueur Ra ; sa charge acoustique enw=R est dcrite par une condition de Dirichlet (condition de champ libre).

Figure 1.2. Fente annulaire : schma et notations utilises.

Le champ acoustique dans la fente est rgi par l'quation de propagation (Eqs. (A.23) et (A.24)) :

[ 2

w2

1w

w

2]p w =0 , (1.29)

o

2=k0

2 11Khs

1Kvs , Re0 et Im0 , (1.30)

et (Eq. (A.25))

Kv , hs

=tan kv ,h e /2

kv ,h e / 2. (1.31)

La solution de l'quation (1.29) satisfaisant la condition de Dirichlet p w=R=0 s'crit de lamanire suivante :

p w=As [J0 w Bs N0 w ] , (1.32)

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


23/198


avec

Bs=J0 R N0 R

. (1.33)

En utilisant la composante w de l'expression (A.11.b) pour exprimer la vitesse vwa l'entrede la fente annulaire, l'admittance acoustique d'entre Yc

s en w=a s'crit

Ycs

=2 a e vw a zs

p a=

aYis

R

J1 a Bs N1 a

J0 a Bs N0 a , (1.34)

o vw a zs est la valeur moyenne sur l'paisseur de la fente de la vitesse particulaire v wa et ol'admittance itrative Yi

s est donne par l'expression

Yis

=2 e Rj

0c

0

[11Khs

][1Kvs

] . (1.35)

A noter qu'une expression approche de l'admittance d'entre de la fente peut tre substitue l'expression (1.34) en basses frquences (dveloppement autour de l'origine lorsque kv ,h e1 desquations (1.30), (1.31), (A.6) et (A.8)) et en hautes frquences (comportement asymptotiquelorsque kv , he1 des quations (1.30), (1.31), (A.6) et (A.8)). Nanmoins, dans la gamme defrquences usuelle, soit entre 100 Hz et 10 kHz, l'expression (1.34) de l'admittance d'entre Yc

s doittre utilise sans approximation du fait que dans cette gamme de frquences, les expressions (A.6)et (A.8) respectivement de kv et kh intervenant dans les quations (1.30) et (1.31) du nombred'onde conduisent (pour e=71,2 m ) au rsultat

1kv ,h e10 . (1.36)

En basses frquences (jusqu' environ 100 Hz), l'expression approche de l'admittance d'entreYc

s (quation (1.34)) est donne par l'expression

Ycs

2 e3

12ln R/ a , (1.37)

montrant un comportement purement rsistif. A 100 Hz, cette expression conduit au rsultat (poure=71,2 m , a=4,65 mm et R=8,5 mm ) :

Yc

s1,73.108 m 3s1 Pa1 . (1.38)

1.4.2 Admittance d'entre d'un rseau de quatre tubes cylindriques

Les ouvertures des quatre tubes considrs sont places en paroi de la cavit de couplage enw=a , z=lc et =0, /2, , 3/2 (figures 1.1 et 1.3). Leurs rayons aT sont trs petits devantla longueur l de la cavit et leurs axes sont nots xt , l'origine xt=0 tant choisie l'entre dutube. Leurs longueurs sont notes lT=R1a .

Le champ acoustique dans chaque tube est rgi par l'quation de propagation (A.18), s'crivant dela manire suivante :

[

2

xt2 kt2]

pxt=0 , (1.39)

o le nombre d'onde kt s'crit (Eq. (A.21)) :

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


24/198


kt2k

0

2[1 1 j2 2aTk0 l 'v1l h] . (1.40)

Figure 1.3. Quatre tubes et cavits annulaires : schma et notations utilises.

La solution de l'quation de propagation (1.39) est cherche sous la forme

p xt=A

tej ktx tBtej ktx t , (1.41)

o la constante d'intgration Bt est dtermine en crivant la condition aux limites satisfaire enxt=lT , soit une condition de Dirichlet (champ libre), soit une condition d'impdance ZL (cavitannulaire).

En utilisant la composantex

t de l'expression (A.11.b) pour exprimer la vitesse moyenne (sur unesection du tube) en xt=0 l'entre d'un des quatre tubes, l'admittance d'entre Yct d'un tube

s'crit :

Yct=

aT2

v xt=0

pxt=0=Yi

t1ZLYittanh j ktlT

tanh j ktlTZLYit , (1.42)

l'impdance itrative Yit tant donne par l'expression (1.19.b) en remplaant a par aT .

Si les tubes sont ouverts sur l'espace infini leur extrmit en xt=lT , l'impdance de charge ZL est nulle et l'admittance Yc

t d'un tube est rduite l'expression suivante :

Yct= Yi

t

tanh j ktlT, (1.43)

o la longueur lT est corrige de la correction de longueur classique lT=8 aT/3 [3].

A noter qu'une expression approche de l'admittance d'entre d'un des tubes peut tre substitue l'expression (1.42) ou (1.43) en basses frquences (dveloppement autour de l'origine lorsquekv , haT1 des quations (A.19), (A.20), (A.6) et (A.8)) et en hautes frquences (comportementasymptotique lorsque kv , h aT1 des quations (A.19), (A.20), (A.6) et (A.8)). Nanmoins, dans lagamme de frquences usuelle, soit entre 100 Hz et 10 kHz, l'expression (1.43) de l'admittanced'entre Yc

t doit tre utilise sans approximation du fait que dans cette gamme de frquences, les

expressions (A.6) et (A.8) respectivement de kv et kh intervenant dans les quations (A.19) et(A.20) du nombre d'onde kt conduisent (pour aT=225 m ) au rsultat

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


25/198


1kv ,h aT10 . (1.44)

En basses frquences (jusqu' environ 100 Hz), l'expression approche de l'admittance d'entre

Yct

(quation (1.43)) est donne par l'expression

Yct

aT4

8 lT, (1.45)

montrant un comportement purement rsistif. A 100 Hz, cette expression conduit au rsultat (pouraT=225 m et lT=3,8 mm ) :

Yc

s1,29.108 m3 s1 Pa1 . (1.46)

Les quatre tubes peuvent galement tre chargs par une cavit annulaire d'impdance d'entreZL (figure 1.3) (cette configuration tant utilise dans l'oreille artificielle [11]). Cette cavit

annulaire est constitue de deux fentes annulaires (indices n=1,2 dans la suite) ayant le mmecomportement acoustique que la fente modlise au paragraphe 1.4.1. Ainsi, le champ de pressiondans chacune des deux fentes n=1ou2 est donn par la solution (1.32)

pn w=An [J0 nw BnN0 nw ] , (1.47)

o n=1 pour la premire fente (paisseur e1 , rayon interne R1 et externe R2 ) et n=2 pour ladeuxime fente (paisseur e2 , rayon interne R2 et externe R3 ), avec R1=a lT , et o (Eq. (A.24))

n2=k0

2 11Khn

1Kvn , Re n0 et Im n 0 , (1.48)

et

Kv , hn

=tan kv ,h e n/ 2

kv ,h en / 2. (1.49)

Les constantes d'intgration Bn sont dtermines en utilisant la continuit des dbits et despressions en w=R2 et la condition aux limites en w=R3 (impdance de paroi prenant en compteles effets thermiques, Eq. (1.10)).

Ainsi, en utilisant la composante w de l'expression (A.11.b) pour exprimer la vitesse moyenne(sur une section de la fente) en w=R1 l'entre de la premire fente, l'impdance de charge ZL l'extrmit de chaque tube s'crit :

ZL=4 p1 R1

2 R1 e1 vw1 R1e1=

4R3

R1 Yi,1s

J0 1R1B1N0 1R1J1 1R1B1N1 1R1

, (1.50)

o

B1=Yi,1

sJ1 1R2 [J0 2R2B2N0 2R2]Yi ,2

sJ0 1R2 [J1 2R2 B2N1 2R2 ]

Yi,1s

N1 1R2 [J0 2R2B2N0 2R2]Yi ,2s

N0 1R2 [J12R2B2N1 2R2 ], (1.51)

et

B2=

J02R3 Yi ,2s / Yp

' J1 2R3N02R3 Yi ,2s / Yp' N1 2R3 , (1.52)

avec

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


26/198


Yi , ns

=2 e

nR

n1

j 0 c0[ 11Kh

s][ 1Kv

s] , (1.53)

avec n=1 ou 2 , et oYp

'

2R3e

2

0 c0

1j

2k0 1lh . (1.54)

1.5 Rsultats thoriques et exprimentaux, discussion

Les valeurs exprimentales des admittances Yc sont obtenues en mesurant les admittanceslectriques de transfert YE

0 et YE , respectivement avec un coupleur totalement clos et un autrepourvu de l'lment acoustique caractriser. L'admittance Yc est alors dduite de l'expression(1.24) o les admittances acoustiques YT0 , YT

0 et le paramtre sont dduits des expressions(1.23) et (1.22) en fonctions des paramtres gomtriques des deux cavits de couplage. Les valeursthoriques des admittances Yc sont obtenues partir des quations (1.34), (1.43) e t (1.42)respectivement pour une fente annulaire ouverte sur l'espace infini son extrmit (figure 1.4),quatre tubes ouverts sur l'espace infini leur extrmit (figure 1.5) ou chargs par une cavitannulaire (figure 1.6).

Les dimensions de la fente annulaire, des tubes et de la cavit annulaire sont donnesrespectivement dans les tableaux 1.1, 1.2 et 1.3. Deux valeurs sont donnes dans le tableau 1.2 pourles rayons des tubes, l'une correspondant aux donnes du fabricant et l'autre aux donnes issues denos propres mesures (obtenues aux extrmits des tubes en utilisant un microscope).

Figure 1.4. Admittance d'entre d'une fente annulaire ouverte sur l'espace infini son extrmit (tableau 1.1), (a)module et (b) phase : rsultat thorique (trait discontinu) et son incertitude (zone grise), rsultat exprimental (trait

continu) et son incertitude (zone hachure).

L'expression (1.21) de l'admittance acoustique de transfert, dont le domaine frquentiel devalidit est compris approximativement entre 20 Hz et 5 kHz, montre des divergences significativesaux frquences suprieures (au del de 5 kHz) avec le modle plus labor prsent en Annexe B,ou prsent et discut plus en dtails dans la rfrence [10] pour une cavit totalement close. Ainsi,les divergences entre les valeurs thoriques et exprimentales des admittances d'entre observes

sur les figures 1.4, 1.5 et 1.6 pour les hautes frquences sont probablement dues l'insuffisance dumodle utilis ici pour le calcul de l'admittance acoustique de transfert (Eqs. (1.21), (1.22) et(1.23)).

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


27/198

1.5. Rsultats thoriques et exprimentaux, discussion 19

Dans la figure 1.4, montrant l'admittance d'entre de la fente annulaire, l'incertitude sur le rsultatthorique (zone grise) est calcule en utilisant les incertitudes sur l'paisseur et la longueur de lafente donnes dans le tableau 1.1. L'incertitude sur le rsultat exprimental (zone hachure) provient

principalement du manque de rptabilit des mesures en hautes frquences (au del de 2 kHz).

Figure 1.5. Admittance d'entre d'un rseau de quatre tubes ouverts sur l'espace infini leur extrmit (tableau 1.2),

(a) module et (b) phase : rsultat thorique (donnes gomtriques du fabricant) (trait discontinu) ; rsultat thorique(donnes gomtriques mesures), (trait pointill) ; rsultat exprimental (trait continu).

Figure 1.6. Admittance d'entre d'un rseau de quatre tubes chargs par une cavit annulaire leur extrmit(tableaux 1.2 et 1.3 ), (a) module et (b) phase : rsultat thorique (donnes gomtriques du fabricant) (trait

discontinu) ; rsultat thorique (donnes gomtriques mesures), (trait pointill) ; rsultat exprimental (trait

continu).

Dans les figures 1.5 et 1.6, montrant les admittances d'entre du rseau de quatre tubes,respectivement, ouverts sur l'espace infini et chargs par une cavit annulaire leur extrmit, uneattention particulire doit tre accorde au fait que deux rsultats thoriques peuvent tre considrsselon les valeurs retenues des rayons des quatre tubes (donnes du fabricant ou nos propresmesures, tableau 1.2). Ces deux rsultats thoriques mettent en vidence le manque de prcision sur

les dimensions gomtriques des quatre tubes utiliss, les rsultats exprimentaux obtenus tantsitus entre ces deux rsultats thoriques possibles.

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


28/198


Dimension (m) Incertitude (m)

Epaisseur 71,2 6

Longueur 3,883.103

6Tableau 1.1. Fente annulaire mince : dimensions gomtriques et incertitudes associes.


Rayons (donnes du fabricant) 225 10

Rayons (mesures indpendantes) 190 ; 185 ; 180 ; 150 8 ; 23 ; 20 ; 30

Longueurs (donnes du fabricant) 3,800.103 50

Tableau 1.2. Quatre tubes troits : dimensions gomtriques et incertitudes associes.


Rayon R1 8,446.103 3

Rayon R2 20,526.103 3

Rayon R3 24,068.103 3

Epaisseur e1 4,082.103 6

Epaisseur e2 7,150.103 6

Volume 8053 mm3 50 mm3

Tableau 1.3. Cavits annulaires : dimensions gomtriques et incertitudes associes.

Afin de mieux connaitre la prcision accessible la mesure il est ncessaire dutiliser descoupleurs (fentes et tubes) raliss par des techniques adaptes pour la circonstance dont la

prcision des cotes est meilleure que celle des coupleurs utiliss prcdemment. Les modlesanalytiques montrent en effet que les valeurs thoriques des admittances dune fente ouverte et d'unrseau de quatre tubes ouverts sont particulirement sensibles respectivement lpaisseur de lafente et au diamtre des tubes. Les tableaux 1.4 et 1.5 prsentent les dimensions et les incertitudesdes lments devant permettre daccder une incertitude relative infrieure 5% pour le module et 2 pour la phase sur les valeurs thoriques des admittances dentre des lments en question.


Epaisseur 100 1

Longueur 1,320.103 10

Tableau 1.4. Fente annulaire mince de haute prcision : dimensions gomtriques et incertitudes associes.


Rayon 225 1

Longueur 3,800.103 10Tableau 1.5. Quatre tubes troits de haute prcision : dimensions et incertitudes associes.

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


29/198


La figure 1.7.a montre une esquisse en 3 dimensions (vue en coupe) du coupleur tudi pourobtenir une fente annulaire mince selon les cotes et incertitudes donnes dans le tableau 1.4. Laconception de ce coupleur cherche respecter deux objectifs : lincertitude sur lpaisseur de la

fente (1 m) et lincertitude sur sa longueur (10 m). Afin dy parvenir, le coupleur est constitu dedeux pices principales identiques pourvues de trois bras de support en priphrie. La particularitde chacune de ces pices est que la surface dlimitant la fente annulaire et les trois surfacesdappuis des supports sont confondues dans le mme plan. Cette opration est obtenue en rectifiantces surfaces en mme temps par rodage avec une finition miroir. La fente est alors cre en plaantentre chaque support des cales talons mesures par interfromtrie avec une incertitude de lordredu centime de m. Cette solution prsente galement l'avantage de pouvoir faire varier l'paisseurde la fente en utilisant des jeux de cales d'paisseurs diffrentes. Enfin, la procdure de fabrication

prvoit de percer les trous de fixations et de centrage dans un bloc cylindrique unique qui seraensuite sci en deux mi-hauteur. Aprs reprage de chaque trou, les deux blocs ainsi obtenus sontusins afin dobtenir les pices principales du coupleur. Le centrage des deux pices principales est

alors garanti 10 m en appariant les deux pices convenablement et en utilisant des goupilles deprcision adaptes. L'Annexe C.1 prsente en dtail les plans et la procdure de fabrication envoysau fabricant.

La figure 1.7.b montre une esquisse en 3 dimensions (vue en coupe) du coupleur tudi pour lamesure de ladmittance d'entre d'un rseau de 4 tubes ouverts. Ce coupleur est d'une conception

plus simple que le prcdent, la seule difficult, qui reste nanmoins importante, est la ralisationdes tubes avec la prcision requise. Les techniques de perage usuelles (foret, laser oulectrorosion) ne permettent pas de percer des trous avec un rapport rayon/longueur aussi petitavec une telle prcision. La solution retenue consiste mouler des petits cylindres en alumineautour dun fil de diamtre connu au m prs. Aprs dmoulage, les petits cylindres obtenus sont

ensuite adapts et encastrs dans le coupleur. La forme concave lintrieur du coupleur estreproduite sur une extrmit des cylindres afin dexclure toute discontinuit importante. Des pigesde prcision permettent par ailleurs le contrle des diamtres des tubes au m prs. L'Annexe C.2

prsente en dtail les plans envoys au fabricant.

Figure 1.7. Esquisses en 3 dimensions (vue en coupe) des coupleurs de haute prcision pour la mesure des admittances

d'entre d'une fente annulaire ouverte (a) et d'un rseau de 4 tubes ouverts (b) (les chelles sont diffrentes).

Enfin, la mthode de mesure impose que les deux microphones soient isols lectriquement. Lematriau choisi pour lusinage de ces deux coupleurs est lalumine, connue pour ses propritsdisolant lectrique et qui de plus, offre des proprits mcaniques intressantes notamment en

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


30/198


terme de rsistance la flexion, proprit importante pour le coupleur fente ouverte puisquelabsence de matire au centre du coupleur pourrait entrainer une compression de la fente

provoque par le systme de fixation des microphones (un simple ressort). Lpaisseur des bras des

supports est dimensionne de manire limiter cet effet (valu moins de 2/100 de m pour uneforce de 5N).

Les rsultats obtenus avec le nouveau coupleur de haute prcision pourvu d'un rseau de quatretubes ouverts sur un espace infini sont prsents sur la figures 1.8. Les rsultats thorique etexprimental sont en parfait accord jusqu'aux frquences voisines de 5 kHz (les incertitudes sont del'ordre de 1% pour le module et 1 degr sur la phase), validant ainsi la mthode propose pour lacaractrisation acoustique de petits lments avec une bonne prcision. Malheureusement, aumoment de la rdaction de ce mmoire, le coupleur fente ouverte n'a toujours pas t livr par lefabricant, les rsultats ne sont donc pas prsents ici.

Figure 1.8. Admittance d'entre d'un rseau de quatre tubes de haute prcision ouverts sur l'espace infini aux

extrmits (tableau 1.5), (a) module et (b) phase : rsultat thorique (trait discontinu) ; rsultat exprimental (trait

continu).

1.6 Conclusion

L'tude prsente dans ce chapitre traite d'une mthode de mesure d'impdance d'entre de petitslments acoustiques tels que des tubes, fentes, cavits et leurs associations. Les lments utiliss

jusqu' prsent peuvent tre dcrits avec prcision selon les exigences des systmes qui les

contiennent (oreille artificielle, haut parleur, microphones et autres dispositifs acoustiques).Nanmoins, la sensibilit des rsultats thoriques aux incertitudes sur l'paisseur (fente) ou sur lediamtre (tubes) de ces lments est grande (l'incertitude sur l'admittance peut atteindre 90% de lavaleur attendue). Par consquent, des rsultats exprimentaux d'admittances d'entre Yc pour cetype d'lments sont ncessaires afin d'optimiser le comportement acoustique de certains dispositifstelle que l'oreille artificielle. De plus, les dispositifs qui dans le futur seront miniaturiss en utilisantdes techniques de type MEMS (Micro Electro Mechanical Systems), exigeront des mesuresappropries d'admittances d'entre de fentes et de tubes miniaturiss du fait que la limite de validitde la thorie classique reporte dans ce document pourrait tre atteinte si les dimensions deslments en question taient rduites.

La mthode de mesure d'admittance propose dans ce chapitre repose sur la mthode derciprocit utilise pour l'talonnage des microphones talons de laboratoire. Parce qu'elle fait usaged'un matriel d'une grande sensibilit et d'une grande reproductibilit, elle est particulirement bien

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


31/198

1.6. Conclusion 23

adapte pour effectuer des mesures prcises d'impdances d'entre de petits lments acoustiquestels que des tubes ou des fentes annulaires.

La validation de la mthode de mesure propose dans ce chapitre par comparaison directe avecles admittances dentre thoriques (calcules sur la base des donnes gomtriques) passe par laralisation de petits composants (fente mince et tubes) laide de procdures spcifiques permettantune grande prcision sur les dimensions de ces lments (de l'ordre du m sur les dimensionssensibles). Deux nouveaux coupleurs dcrits en Annexe C ont t conus de manire satisfaire ces exigences. Les rsultats obtenus pour l'un d'entre eux (l'autre n'ayant pas t livr par lefabricant) ont permis daffiner les comparaisons et par consquent ont conduit une meilleureconnaissance de la prcision de la technique de mesure propose et de son domaine de validit enfrquence.

Ainsi, les rsultats exprimentaux prsents dans ce chapitre montrent que la mthode de mesure

propose est adapte pour caractriser le comportement acoustique de divers petits lments avecune bonne prcision, remplaant ainsi les rsultats thoriques qui sont entachs d'incertitudes nonngligeables en raison de l'imprcision des donnes gomtriques. Ceci est important dans la

pratique lorsque des mthodes acoustiques sont utilises pour des mesures de prcision telle que laconstante de Boltzmann avec une incertitude relative de 10-6 [1]. Aussi, cette mthode de mesure

peut tre utilise pour optimiser le comportement acoustique de chaque lment constitutif del'oreille artificielle et ainsi proposer des modles thoriques plus prcis que ceux utilissactuellement [11].

Enfin, pour les hautes frquences (au del de 5 kHz), les rsultats prsents ont mis en videncela ncessit dutiliser un modle acoustique dcrivant le comportement acoustique de la cavit de

couplage plus prcis que celui utilis dans ce chapitre (modle onde plane), prenant en compte lesmodes suprieurs, tel celui dcrit dans la rfrence [10] ou en Annexe B. Cependant, ce modlencessite en pratique la connaissance des dformes non uniformes des membranes desmicrophones ainsi que l'incidence de cette non-uniformit sur la transduction, ce qui revient devoir reconsidrer la dfinition mme de l'efficacit en pression d'un microphone.

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


32/198

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


33/198

2. Modlisation analytique d'un microphone lectrostatique : application l'talonnage

des microphones en pression par la mthode de la rciprocit

25

Chapitre 2

Modlisation analytique d'un microphonelectrostatique : application l'talonnage des

microphones en pression par la mthode de larciprocit

2.1 Introduction

Les rsultats des mesures d'impdances de petits lments acoustiques prsents dans le chapitre prcdent ont montr certaines insuffisances dans les hautes frquences (au del de 5 kHz),

insuffisances attribues au modle utilis pour dcrire le comportement acoustique l'intrieur de lacavit de couplage. En effet, le modle utilis ne prend en compte que la propagation d'ondes planessuivant l'axe de la cavit de couplage et nglige les effets des modes suprieurs (essentiellementradiaux).

Ceci pose de manire plus gnrale le problme de l'influence des modes suprieurs dans lacavit de couplage (modes radiaux) sur les rsultats des talonnages en pression par la mthode dela rciprocit. La norme CEI 61094-2 [8] propose un modle dcrivant le comportement acoustiquede la cavit de couplage en considrant la propagation d'ondes planes suivant l'axe de la cavit (Eq.(1.23)). Nanmoins, compte tenu de la non-uniformit du champ de dplacement de la membranedu microphone metteur et des diffrences de diamtres (faibles) entre la cavit de couplage et la

partie mobile de la membrane des deux microphones, l'influence des modes radiaux sur les rsultatsd'talonnages est non ngligeable, plus particulirement en hautes frquences [9,15].

Dans la rfrence [9], les auteurs proposent un modle plus labor dcrivant le comportementacoustique de la cavit de couplage, tenant compte des modes suprieurs ainsi que des effets descouches limites viscothermiques. Pour autant, le modle tabli repose sur l'hypothse que lesmembranes des microphones ont un mouvement non uniforme et suppose connue la forme de leur

profil de vitesse. Ce profil de vitesse y est donn sous diverses formes lmentaires dont laprcision est certainement insuffisante dans le cadre de l'talonnage primaire des microphones enpression. Par ailleurs, l'influence de la non-uniformit du champ de pression incident sur l'efficacitd'un microphone, est l'heure actuelle inconnue. Dans la rfrence [15], K. Rasmussen propose de

corriger les effets de cette non-uniformit l'aide d'un facteur de pondration appliqu au champ depression incident sur la membrane du microphone rcepteur. Nanmoins, cette pondration reposesur des bases empiriques non vrifies l'heure actuelle.

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


34/198

2.1. Introduction 26

C'est l'objet de ce chapitre que de proposer, plus exactement de tenter d'ouvrir la voie unenouvelle modlisation analytique de microphones lectrostatiques (Type B&K 4180) tenant comptede l'ensemble des paramtres du microphone, tout en restant raisonnablement simple de manire

pouvoir l'insrer facilement dans le modle global qui inclut deux microphones, un rcepteur et unmetteur coupls par une cavit cylindrique. Autant cette modlisation ne pourra rpondre l'attente que dans la mesure o elle pourra tre revue et complte pour prendre plus finement encompte certains paramtres gomtriques, autant elle nous permet aujourd'hui de vrifierl'hypothse retenue par K Rasmussen [15] pour corriger les effets de la non-uniformit du champ de

pression dans la cavit de couplage sur l'impdance acoustique de transfert et donc sur l'efficacitmme du microphone.

N.B. : Cette recherche de nouvelle modlisation n'est ici qu'une bauche, le temps trs court qui apu tre consacr cette aspect du travail de thse n'ayant pas permis d'analyser ni les insuffisancesdu modle propos ni la pertinence et l'exactitude des donnes numriques retenues.

2.2 Modle analytique d'un microphone lectrostatique

Le systme de coordonnes cylindriques z ,w utilis est dfini sur la figure 2.1. Une couche defluide compressible dissipatif d'paisseur w est anime d'un mouvement associ au dplacementharmonique w d'une membrane (tension Tm et masse surfacique s ) de rayon am fixe sa

priphrie, cette couche de fluide tant limite en w=a m par une paroi cylindrique rigide et enz=0 par une lectrode rigide perfore ( Nk orifices, de rayons a k et de longueurs l k) de rayonaelam laissant apparatre une fente priphrique cylindrique d'paisseur ef et de longueur lf ,cette fente et les trous de l'lectrode dbouchant dans un volume ferm Vc . Le systme est suppos

possder une symtrie de rvolution autour de l'axe z. Le tableau 2.1 prcise les dimensions et lescaractristiques (extraites de la rfrence [16]) des lments constitutifs d'un microphonelectrostatique '' B&K Type 4134, (ancienne gnration de microphone en pression, nanmoins

proche dans sa conception du microphone '' talon de laboratoire actuel, B&K Type 4180). Lesrsultats prsents sont obtenus pour des conditions standard de temprature et de pression dansl'air.

Figure 2.1. Schma d'un microphone lectrostatique.

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


35/198

2.2. Modle analytique d'un microphone lectrostatique 27

Membrane : Rayon am 4,45.10-3 m

Tension Tm 3162,3 N.m-1

Masse surfacique s 4.45.10-2

Kg.m-2

Lame de fluide : Epaisseur am 2,077.10-5 m

Electrode : Rayon ael 3,607.10-3 m

Nombre d'orifices Nk 6

Rayon des orifices a k 5,08.10-4 m

Longueur des orifices l k 8,43.10-4 m

Largeur de la fente annulaire ef=a mael 8,43.10-4 m

Longueur de la fente annulaire lf 3,048.10-4 m

Cavit arrire : Volume Vc 1,264.10-7 m3

Tableau 2.1. Dimensions et caractristiques des lments constitutifs d'un microphone lectrostatique '' Type B&K

4134 [16].

2.2.1 Equations fondamentales du mouvement acoustique

Pour le problme pos, l'amplitude des mouvements acoustiques est suffisamment faible pourpouvoir en linariser les quations. Les variables dcrivant l'tat dynamique et thermodynamique dufluide sont (les dfinitions et quations fondamentales reportes ci-dessous sont celles du dbut del'Annexe A) :

l'cart instantan de pression p , la vitesse particulaire v , l'cart instantan de masse volumique ', l'cart instantan de temprature .

Les paramtres caractristiques des proprits du fluide sont les suivants :

la masse volumique 0 , les coefficients de viscosit de cisaillement et de volume , le coefficient de conduction thermique , le coefficient de compressibilit isotherme T ,

les chaleurs massiques par unit de masse pression constante et volume constant CP etCV , et leur rapport =CP/CV , le taux d'accroissement de pression par unit d'accroissement de temprature volume constant

=P/TV .

Les quations linaires homognes du mouvement du fluide sont au nombre de trois [3, 2.5.1].

L'quation de Navier-Stokes1c0

v t

1

0 c0grad p=lv grad div v l 'v rot rot v , (2.1)

o lv et l 'v sont les longueurs caractristiques dfinies par

lv=1

0 c043

et l 'v= 0 c0 ,

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


36/198


et o c0= /0 T est la clrit adiabatique du son. L'quation de Fourier pour la conduction de la chaleur

[1

c0

tl h

]=

1

1

c0

p

t , (2.2)

o lh= / 0 c0 CP dsigne une longueur caractristique de diffusion thermique.

L'quation de conservation de la masse exprime dans un volume D0

D0

[ c02t

p 0 divv ]dD0=D0

0 qdD0 , (2.3)

o q dsigne le dbit volumique d'une source acoustique dans le domaine considr D0 .

2.2.2 Equation de propagation

Compte tenu de la faible valeur de l'paisseur w de la lame de fluide par rapport au diamtre2 am de la membrane et la longueur d'onde acoustique, un certain nombre d'hypothsessimplificatrices [3, 3.6] peuvent tre retenues pour simplifier le systme d'quations (2.1, 2.2 et2.3). En premier lieu l'cart instantan de pression p l dans la lame de fluide tant (quasi) uniformesur l'paisseur w , il est considr comme indpendant de la coordonne z et peut tre not

plw , z=p

lw . (2.4)

Par suite, la composante axiale du gradient de pression est ngligeable par rapport sacomposante radiale,

gradw p lp lz , (2.5)et la composante axiale de la vitesse particulaire est trs petite devant sa composante radiale,

vwvz . (2.6)

Par ailleurs, en raison de l'importance des effets lis la viscosit de cisaillement, la variation dela vitesse particulaire suivant la variable z est trs suprieure sa variation suivant la direction w ,

w v w , z

zv w , z . (2.7)

i. Equation de Navier-Stokes

Ainsi, la composante radiale de l'quation de Navier-Stokes (2.1) prend la forme approchesuivante (quation de Poiseuille) :

1c0

tl 'v

2

z2vw w , z= 1

0 c0

w

plw . (2.8)

A cette quation est associe une condition de non glissement sur la membrane en z=w , soit

v ww , w=0 . (2.9)

En z=0 , la prsence des orifices dans l'lectrode et de l'ouverture priphrique fait que lacondition de non glissement n'est pas vrifie. Au niveau de chaque orifice, la vitesse radiale peut

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


37/198


tre approche par (quation d'Euler)

vww k,01

j 0

w

plwk . (2.10)

Pour prendre en compte ce glissement sur les orifices, un effet de moyenne sur toute la surfaceest retenu par l'approximation [17]

vww ,0y w

j 0

w

plw , (2.11)

o

yw

k

Sk

Sel

, (2.12)

Sk dsignant la surface du kime orifice et Sel=ael2 la surface de l'lectrode arrire (il est clair que

ce modle trs simplifi comporte un certain arbitraire en particulier en ce qu'il omet le lien entreles vitesses tangentielle et normale au niveau des orifices).

La solution du problme (2.8), (2.9) et (2.11), en rgime harmonique (le facteur ej t est omis),est crite sous la forme de la somme de la solution particulire de l'quation ( 2.8) et de la solutiongnrale de l'quation sans second membre :

v ww , z=1

j 0

wp lw[12yw coskvzw /22cos kv w /2

yw sin kvzw /2

2sin kv w/ 2 ] , (2.13)o le nombre d'onde de diffusion visqueuse kv est dfini par

kv=1 j2 k0l 'v . (2.14)

La valeur moyenne de la vitesse radiale v w sur l'paisseur de la couche de fluide prend alors laforme suivante :

v ww=1

j 0 Fvw

w

plw , (2.15)

avec

Fvw=1fv w , (2.16.a)

et

fvw=2yw

2

tan kv w /2

kv w /2. (2.16.b)

ii. Equation de Fourier

L'cart instantan de temprature s'annule sur les deux lectrodes en z=w et z=0 : ils'agit ici d'une approximation du fait de la prsence des orifices. A l'instar de la vitesse particulaire,sa variation suivant la variable w reste trs infrieure sa variation suivant z :

w w , z

z w , z . (2.17)

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


38/198


Par suite, l'quation de conduction de la chaleur (2.2) prend la forme approche

[

1c

0

t

lh2

z

2

]=

1

1c

0

t

plw . (2.18)

La solution de cette quation qui satisfait aux conditions aux frontires

{ w ,0=0 w , w , w=0 w , (2.19.a)(2.19.b)s'crit

w , z=1

p lw[1 coskh zw /2 coskh w /2 ] , (2.20)

o le nombre d'onde de diffusion thermiquekh

est dfini par

kh=1j2 k0lh . (2.21)

L'expression de la valeur moyenne de la variation de temprature sur l'paisseur de la couchedu fluide s'crit alors

w =1

Fh wplw , (2.22)

avec

Fhw=1 fh w , (2.23)et

fh w =tan kh w/ 2

kh w / 2. (2.24)

iii. Equation de conservation de la masse

Enfin, en considrant un domaine lmentaire D0 d'paisseur comprise entre w et wdw dlimit par la membrane et l'lectrode arrire, le premier membre de l'quation de conservation dela masse (2.3) prend la forme simplifie suivante [18]

D0

[c02t

pl0 div v ]dD0

[ j c02 plw0

w w

wv www w ]2 w wdw,

(2.25)

et compte tenu de ce que vzw , w=j w le second membre s'crit

D0

0 qdD0=2 0 w dw [ j wvzw ,0 ] . (2.26)

Ainsi, la loi de conservation de la masse s'crit elle :

j

0 c02 p l

1

w w

w vw w w=

1 w

[ j wvzw ,0 ] . (2.27)

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


39/198


iv. Equation de comportement des orifices

Il reste prsent exprimer la composante vz de la vitesse particulaire en z=0 lie laprsence des orifices dans l'lectrode arrire et la fente priphrique. Dans un orifice cylindriqueindice k, la vitesse suivant l'axe z dans l'orifice v k z s'crit (Eq. (A.11.b))

v k zwt, z=1

j 0

pkz [1J0 kv w tJ0kv ak ] , (2.28)

o pk est la pression dans le kime orifice qui en premire approximation est suppose indpendantede la cordonne radiale w t ( noter que cette solution est quivalente la solution (2.13) avecy=0 et en permutant les rles des coordonnes w et z). En intgrant cette quation sur lasurface Sk du kime orifice, le dbit suivant z dans l'orifice s'crit

Uk=Sk

v k zdSk=Sk

j 0

1fvkpk

z, (2.29)

avec

fvk=2J

1kv a k

kv ak J0kv a k. (2.30)

En considrant l'approximation ( l k0 )

pk

z

pwk,0p

c

lk, (2.31)

o pc dsigne la pression suppose ici uniforme dans la cavit arrire. Ainsi, le dbit sortant (auniveau z=0 ) d'un orifice s'crit

Ukwk=Yk[p l wk,0pc ] , (2.32)

o l'admittance acoustique Yk s'crit

Yk=Sk1fvk

j 0 l k, (2.33)

et o l k est la longueur du kime orifice (corrige ventuellement de la correction de longueurclassique, lk=8a k/3 , [3]).

Le modle de la fente priphrique du microphone est approch en considrant une fenteannulaire plate. Ce modle est a priori considr comme suffisant dans la situation concrte laquelle nous sommes intresss ici. La formulation simplifie de la vitesse suivant l'axe z de lafente vf z s'crit (quation A.9 ou 2.13 avec y=0 )

vfzwf, zv fww f, z=1

j 0

wfpfw f[1 coskv zef / 2coskv ef / 2 ] , (2.34)

o ef=a mae dsigne l'paisseur de la fente et pf le champ de pression l'intrieur de la fente.

Le dbit suivant z de la fente priphrique de surface Sf= am2 ae2 s'crit dans ces conditions

Uf wf =Yf [ plwf ,0pc ] , (2.35)

l'admittance acoustique Yf s'crivant

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


40/198


Yf=Sf 1fv , f

j 0 lf, (2.36)

ol

f dsigne la longueur de la fente et o

fv , fw=tan kv ef/ 2

kv ef / 2. (2.37)

A l'instar de la vitesse radiale v w , un effet de moyenne sur toute la surface de l'lectrode arrireest retenu pour exprimer la vitesse vz en z=0 . Le dbit de l'ensemble des ouvertures surl'lectrode suivant z en z=0 s'crit

S0 vzw=k=1

Nk

UkwkU fw f=k=1

Nk

Yk[p l wk,0pc ]Yf [ p lwf ,0pc ] , (2.38)

o S0 dsigne la surface des ouvertures sur l'lectrode.En considrant l'approximation

plw ,0p

lwk,0p lw f ,0 , (2.39)

il vient d'aprs l'quation (2.38)

So vzwY[ p lw ,0pc ] , (2.40)

o

Y=k=1

N

YkYf. (2.41)

En considrant un modle petite cavit [3, 3.5] pour dcrire le comportement acoustique dela cavit arrire, la pression acoustique pc prend la forme

pc=P0j Vc

So vzw , (2.42)

o Vc dsigne le volume de la cavit arrire. Le report de cette quation dans la relation (2.40)permet d'crire finalement une expression approche pour la vitesse vz en z=0 :

vz

w ,0yp lw , (2.43)

avec

y=Y/ S0

1P0

j VcY

S0

Sm,

(2.44)

La dissipation des couches limites thermiques de la petite cavit arrire peut tre prise en compteen remplaant dans l'quation (2.44) le terme Vc par [3]

Vc[1 1i2 1 ScVc c0 lh ] ,

o Sc dsigne la surface de la cavit arrire.

v. Equation de comportement de la lame de fluide

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


41/198


Le report des quations (2.15), (2.22) et (2.43) dans l'quation de conservation de la masse (2.27)conduit l'quation de propagation suivante :

[2

w2

1w

1w

w w1

Fvw

wFv w

w 2

Fv w c02 11fh w]

p l w

=j 0

Fv wwj wypl w ,

(2.45)

soit

[ 2

w2 1w 1w w w 1Fv w

w

Fvw w 2]pl w= 2 0

Fvw ww , (2.46)

o

2=2

c02 11fh w 1fvw

j 0y w 1fv w . (2.47)

Figure 2.2. Valeurs absolues des fonctions w /Fv w wFv w aux frquences 100 Hz (courbe jaune), 1 kHz (courbe

rouge), 10 kHz (courbe noire), 20 kHz (courbe bleue), 30 kHz (courbe mauve) et de la fonction w / w w w

(courbe verte) en fonction de la coordonne radiale w pour une forme w parabolique o am=20,77 m et0 =am0,64 m .

Le premier membre de l'quation de propagation (2.46) fait apparatre les fonctions[1/ w ]ww et [1/Fvw] w Fvw qui traduisent la variation de l'paisseur de la lame de fluideen fonction de la distance ( w ) au centre du dispositif. Ces deux fonctions sont comparer lafonction 1/w qui provient du systme de coordonnes cylindriques. La figure 2.2 reprsente lesmodules des fonctions w/Fv w wFv w ( comparer l'unit) 100 Hz (courbe jaune), 1 kHz(courbe rouge), 10 kHz (courbe noire), 20 kHz (courbe bleue), 30 kHz (courbe mauve), et le modulede la fonction w / ww w ( comparer l'unit) (courbe verte) en fonction de la coordonneradiale w pour une forme w parabolique o am=20,77 m et 0=am 0 0 . Ladforme statique 0 w s'crit (en supposant aela m ) :

0wps0

4Tma m

2w

2 , (2.48)

la force lectrostatique par unit de surface s'crivant pour un condensateur plan

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


42/198


ps0=U0

2 0

22am , (2.49)

o U0=200 V dsigne la tension statique et 08,85.1012

F.m1

la permittivit du vide. Comptetenu des donnes du problme, 000,64 m d'o 0am20 m .

Compte tenu des rsultats obtenus (figure 2.2), la dflexion statique de la membrane peut trenglige en premire approximation. Dans la rfrence [18], les auteurs proposent une mthode quitient compte de ces facteurs, cette mthode pourra au besoin tre reprise ultrieurement.

L'quation de propagation prend alors la forme simplifie suivante :

[ 2

w2

1

w

w

2] plw=2

0

Fv w , (2.50)

laquelle est associe la condition en frontire w=am

w p lww=am=0 , (2.51)

2.2.3 Champ de pression acoustique dans la lame de fluide

La solution de l'quation de propagation (2.50) satisfaisant la condition (2.51) est recherchesous la forme d'un dveloppement sur la base des fonctions propres orthonormes n w ducylindre

plw=

=0

pl l w , (2.52)

o les fonctions propres orthonormes lw s'crivent

l w=

1

amJ0J

0 wa m , (2.53)les coefficients dsignant les zros de la drive premire de la fonction de Bessel J0 (soitJ '0=0 , le premier tant not 0 ), et o les coefficients p l sont donns par l'expression

pl=

2 0

Fv

w0 lw0m

2

/ am2 , (2.54)

o le produit scalaire est dfini par

w0 lw0 m=20

am

w0 lw0 w0 dw0 . (2.55)

2.2.4 Champ de dplacement de la membrane

Dans le cas gnral (configuration metteur et rcepteur), le champ de dplacement normal w de la membrane, compt positif dans le sens des z croissants rpond au problme suivant :

Tm

w

kw

2 w =pav

wplwp

sw , (2.56)

o Tm dsigne la tension de la membrane, pav w dsigne la pression l'avant de la membrane,

tel00349206,v

ersion1

24Dec2008


43/198


pl w dsigne la pression dans la lame de fluide l'arrire de la membrane, ps w dsigne la

force lectrostatique par unit de surface applique sur la membrane en rgime harmonique ( ej t)et

kw2 =2 s

Tm, (2.57)

o s dsigne la masse surfacique de la membrane.

En considrant le microphone comme un condensateur quasi plan, la force lectrostatique estinversement proportionnelle au carr de l'paisseur w (Eq. (2.49)). La variation relative de laforce lectrostatique par unit de surface entre w=0 et w=a m vaut, pour am=20,77 m et 0=am 0,64 m

Psam ps0p

s0

=2 0

2

am

10,06 . (2.58)

Ainsi,

these étalonnage

Documents