terminale générale - suites numériques - exercices - devoirs

Suites numériques – Exercices - Devoirs Exercice 1 corrigé disponible 1. Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 2 et pour tout entier n, u n+1 = 5u n + 4. Montrer que, pour tout entier n, u n >0. 2. Démontrer que pour tout n entier, 4 n +5 est un multiple de 3. 3. Soit (u n ) la suite définie par u 0 = -3 et pour tout entier n, u n+1 = 5 – 4u n . Montrer que pour tout entier n, u n =(−4 ) n + 1 +1 . 4. On pose S n =1 2 +2 2 + 3 2 +... + n 2 avec n 1 a. Calculer S 1 , S 2 , S 3 et S 4 . Exprimer S n+1 en fonction de S n . b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n 1 : S n = n ( n +1 )( 2 n +1 ) 6 5. La suite (u n ) est définie par u 0 ∈] 0 ; 1 [ et u n + 1 =u n ( 2−u n ) . a. Etudier les variations de la fonction f ( x )= x (2 − x ) . b. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, 0 <u n <1 . Exercice 2 corrigé disponible 1. Montrer l’inégalité de Bernouilli ; soit un réel a >0 n ∈ℕ ( 1+ a ) n ≥1 + na 2. Soit la suite (u n ) définie par : u 0 = 1 et u n + 1 = √ 2 +u n Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 <u n <2 et que (u n ) est croissante. 3. Montrer par un raisonnement par récurrence que l’on a pour tout n entier 3 n > n . 4. Démontrer par récurrence que pour tout entier n ℕ*, la somme des entiers de 1 à n est égale à n ( n +1 ) 2 c'est-à-dire : 1 + 2 + .... + n = n ( n +1 ) 2 . 5. Démontrer par récurrence la relation suivante pour tout entier n non mul : ∑ k =1 n 1 k ( k + 1) = n n +1 6. On considère la suite définie pour tout n ℕ* par u n = ∑ k =1 n ( 2 k −1 ) Démontrer par un raisonnement par récurrence que l’on u n =n 2 pour tout n ℕ* Exercice 3 corrigé disponible Exercice 4 corrigé disponible Exercice 5 corrigé disponible Exercice 6 corrigé disponible 1/5 Suites numériques – Exercices - Devoirs Mathématiques Terminale Générale - Spécialité - Année scolaire 2021/2022 hps://physique-et-maths.fr

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Page 1: Terminale générale - Suites numériques - Exercices - Devoirs

Suites numériques – Exercices - DevoirsExercice 1 corrigé disponible

1. Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier n, un+1 = 5un + 4.Montrer que, pour tout entier n, un >0.

2. Démontrer que pour tout n entier, 4n+5 est un multiple de 3.3. Soit (un) la suite définie par u0 = -3 et pour tout entier n, un+1 = 5 – 4un.

Montrer que pour tout entier n, un=(−4)n+1+1 .

4. On pose Sn=12+22+32+. ..+n2 avec n 1

a. Calculer S1, S2, S3 et S4. Exprimer Sn+1 en fonction de Sn.b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n 1 :

Sn=n(n+1) (2n+1)

65. La suite (un) est définie par u0∈]0 ;1[ et un+1=un (2−un) .

a. Etudier les variations de la fonction f ( x)=x (2−x) .

b. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, 0<un<1 .

Exercice 2 corrigé disponible1. Montrer l’inégalité de Bernouilli ; soit un réel a >0 n∈ℕ (1+a)n≥1+na2. Soit la suite (un) définie par : u0 = 1 et un+1=√2+un

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0<un<2 et que (un) estcroissante.

3. Montrer par un raisonnement par récurrence que l’on a pour tout n entier 3n>n .4. Démontrer par récurrence que pour tout entier n ℕ*, la somme des entiers de 1 à n

est égale à n(n+1)2

c'est-à-dire : 1 + 2 + .... + n = n(n+1)2

5. Démontrer par récurrence la relation suivante pour tout entier n non mul :

∑k=1

k (k+1)= nn+1

6. On considère la suite définie pour tout n ℕ* par un=∑k=1

(2k−1)

Démontrer par un raisonnement par récurrence que l’on un=n2

pour tout n ℕ*

Exercice 3 corrigé disponible

Exercice 4 corrigé disponible

Exercice 5 corrigé disponible