tenseurs.pdf

Institut Superieur de Mecanique de ParisCours de mathematiquesseptembre 2011

Introduction a` la notion de tenseur

par Stephane [email protected]

type tenseur 1e`re base coeff. 1 2e`me base coeff. 2 rel. bases rel. coeff.

T0,0 = K 1 1 1 = 1 =

T1,0(X) = X x (e) (e)U = uiei (f) (f)V = vifi (f) = (e)P V = P

1U

T0,1(X) = X () M() = ii () N() = i

i () = P () N = MP

T1,1(X) = L(X) r ei j aij fi

j bij ei j = qki (fi

j)pj

lB = P1AP

T0,2(X) = B(X,K) s i j cij i j dij

i j = pik(k l)p

j

lD = tPCP

Figure 1 Recapitulatif des tenseurs usuels dordre 2

Presentation

0.1 Pourquoi parle-t-on de tenseurs ?

Comment exprimer mathematiquement les contraintes qui sexercent enchaque point dun milieu continu (solide, fluide, etc.) ? Les scalaires per-mettent certes dexprimer des pressions, et les vecteurs des forces, mais cesentites mathematiques save`rent insuffisantes : une contrainte en un pointdun milieu continu nest pas une simple pression ni meme representable parun unique vecteur force. Alors quun scalaire est la donnee dun nombre, etquil en faut trois pour representer un vecteur (une base ayant ete choisie),six nombres au moins sont necessaires a` lexpression dune telle contrainte.On sest rendu compte que ces six scalaires caracterisaient, dans une basedonnee, une matrice 3 3 symetrique. Mais, de meme quun vecteur est unetre mathematique independant du choix dune base et quil ne se resumedonc pas a` ses trois coordonnees, de meme les six coefficients en question serapportent en fait a` une entite mathematique qui existe par elle-meme enamont de ces coefficients : un tenseur.

Le mot tenseur vient donc bien de lidee dexprimer, entre autre, dessortes de tensions, des contraintes, etc. Mais la notion de tenseur se reve`le

1

dune grande generalite, avec des applications dans bien dautres domainesque la seule mecanique des milieux continus (electromagnetisme, relativite,geometrie differentielle).

Remarque 1. Un scalaire, un vecteur, une forme lineaire, une forme bilineaire,une application lineaire sont, nous le verrons, des tenseurs particuliers.

Dans ce cours, on a choisi de prendre pour scalaires le corps des reels R,aussi les espaces vectoriels consideres seront tous reels. Cela dit, les choses neseraient pas fondamentalement differentes pour un autre corps, en particulierC.

0.2 Le principe de construction des tenseurs

La notion de tenseurs repose sur deux extensions differentes de la notiondespace vectoriel : les varietes et les produits tensoriels.

0.2.1 Varietes et champs de tenseurs

La premie`re extension est plutot une extension de la notion despace af-fine, elle consiste a` faire appel a` des espaces courbes plutot quaux espacesaffines qui sont en quelque sorte trop rectilignes pour de nombreuses appli-cations. Ces espaces courbes, appelees des varietes, ressemblent neanmoinsaux espaces affines, mais uniquement de facon locale, au voisinage de chaquepoint. Grace a` cette ressemblance, on peut construire en chaque point dunevariete des vecteurs tangents, et une famille de vecteurs tangents, un pourchaque point de la variete, sappelle un champ de vecteurs. Plus generalement,on peut definir des tenseurs variant de point en point, constituant ainsi deschamps de tenseurs. Tre`s souvent, lorsquon parle de tenseur, on veut direchamp de tenseurs.

Toutefois, a` notre niveau, nous ne presenterons pas la theorie des varietes :nos espaces ne seront pas courbes, ce seront des (parties d)espaces affines .De plus, le but de cette introduction concerne la definition des tenseurs eneux-memes, plutot que des champs de tenseurs.

0.2.2 Produit tensoriel

La deuxie`me extension va decouler dune operation mathematique essen-tielle, a` la fois tre`s simple et tre`s abstraite : le produit tensoriel. Ce produittensoriel constitue le principe fondamental de construction des tenseurs, caril permet de fabriquer de nouveaux types de tenseurs a` partir des deux types

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de tenseurs fondamentaux que sont les vecteurs de lespace de base et lesformes lineaires sur cet espace, cest-a`-dire les vecteurs de lespace dual.

Remarque 2 (Primal, dual, bidual). Quelle est la difference entre un vec-teur et une forme lineaire ? On pourrait dire, en sappuyant sur lexistence(en dimension finie) dun isomorphisme canonique entre lespace primal etle bidual : la difference entre un vecteur et une forme lineaire, cest quuneforme lineaire associe un scalaire a` tout vecteur, alors quun vecteur associeun scalaire a` toute forme lineaire. Par contre, meme si un espace vectorielde dimension finie X et son dual X sont toujours isomorphes (ils ont memedimension), on ne peut generalement pas les identifier, car il ny a pas diso-morphisme canonique entre eux. La dualite entre eux peut sexprimer par lefait que les vecteurs de X sidentifient a` des applications lineaires R X(pourquoi ?), tandis que les formes lineaires sont des applications lineairesX R. Dans le cas particulier, mais tre`s frequent dans les applications,ou` lespace X est muni dune structure euclidienne, il y a alors un isomor-phisme entre X et X naturellement associee a` cette structure. Cest parexemple un tel isomorphisme qui permet de definir le vecteur gradient dunefonction numerique (i.e. a` valeur dans R) definie sur un espace euclidien X .De meme, cest cet isomorphisme qui permet de rapatrier dans X la baseduale dune base de X : la base duale dune base de X est une base de X,mais lorsque X est euclidien, celle-ci peut etre representee par une deuxie`mebase de X , quon appelle aussi, par un leger abus, base duale (voir a` cesujet la section 2.10).

On peut aborder le produit tensoriel a` partir de la question toute betesuivante :

Quest-ce que le produit de deux vecteurs ?

1 Produit tensoriel de deux espaces vecto-

riels

La notion de produit tensoriel repond a` la question : quel est le produitle plus general qui puisse etre fait dun vecteur x X par un vecteur y Y ?

Remarque 3. Loperation designee en francais comme produit vectoriel nerepond pas a` cette question, car il sagit dune operation tre`s specifique, quine fonctionne que dans le seul cas ou` X = Y est lespace euclidien oriente a`trois dimensions, operation notee en francais, comme le produit exterieurdonc (dont il est une espe`ce de repliement), alors quon lappelle crossproduct en anglais, et quon le note dans la litterature anglophone. A

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noter que ce produit vectoriel la` nest pas associatif : il merite a` peine lenom de produit.

1.1 Quest-ce quun produit ?

En premier lieu, un produit entre les elements de X et ceux de Y estune operation definie sur lespace X Y des couples : a` tout couple, unetelle operation produit associe... quelque chose... mais quoi ? autrement dit,quel sera lespace darrive dune telle operation ? En general, on na pas deraison de supposer que ce produit doive necessairement appartenir ni a` Xni a` Y (de fait, en ce qui concerne par exemple le produit particulier quenous allons definir dans cette section, produit que nous noterons xy et quenous appellerons produit tensoriel, lespace darrivee de cette operation, noteX Y , sera le plus souvent distinct de X et de Y ).

Remarque 4. La notion de produit cartesien de deux espaces vectoriels esttout-a`-fait essentielle (on vient dailleurs de lutiliser pour parler de lespacedes couples), mais si elle constitue un produit des espaces, elle ne consisteaucunement en une multiplication des vecteurs eux-meme. Par exemple, lecouple (0, y) est non nul (si y est non nul), tandis que pour un produit devecteurs digne de ce nom, on peut sattendre a` ce que 0 fois y donne 0...

Examinons donc pour commencer les proprietes quune operation doitavoir pour quon puisse la designer comme un produit de vecteurs. Commenous ne considerons pour linstant que le produit de deux vecteurs pris dansdes espaces differents, la question de lassociativite ne se pose pas encore,et celle de la commutativite encore moins. Par contre, X et Y etant desespaces vectoriels, se pose la question des relations entre un tel produit etles operations propres a` ces espaces vectoriels. Les proprietes suivantes sonttre`s naturelles :

x1, x2 X, y Y, (x1 + x2) y = x1 y + x2 y, x X, y Y, R, (x) y = (x y),

et de meme de lautre cote : x X, y1, y2 Y, x (y1 + y2) = x y1 + x y2, x X, y Y, R, x (y) = (x y).Ces proprietes expriment ni plus ni moins que la bilinearite du produit :

une operation produit de vecteurs nest rien dautre quune applicationbilineaire agissant sur des couples de vecteurs.

Exercice : prouver que si verifie les proprietes precedentes, on a necessairement0 y = 0 pour tout y.

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1.2 Universalite

Il existe une infinite de produits possibles, cest-a`-dire dapplications bi-lineaires X Y Z, mais nous voulons maintenant considerer le produit le plus general possible, et cest celui-la` que nous appellerons le produittensoriel. Par exemple, lapplication triviale X Y {0} est bien un pro-duit, mais il na rien de general ou duniversel, cest un produit extremementparticulier et, en loccurence, sans aucun interet. De meme, si nous trouvonsune operation bilineaire X Y Z qui semble repondre a` la question, nousobtiendrons un autre produit en injectant Z dans un espace Z plus gros,contenant Z, mais les nouveaux elements ajoutes a` Z pour obtenir Z nau-ront aucun interet vis-a`-vis de loperation qui nous interesse. Finalement,pour le dire de facon un peu vague, le produit tensoriel sera lapplicationXY Z ayant pour seule propriete detre bilineaire, avec pour Z lespacevectoriel le plus petit possible compatible avec cette exigence, et cet espaceZ sera note X Y .

En pratique, loperation : X Y X Y sera regie par les pro-prietes de bilinearite ecrites precedemment, et aucune autre (ainsi, dans lecas ou` X = Y , loperation consideree ne sera pas commutative). Le fait quilny ait pas dautre propriete confe`re a` ce produit une position particulie`reparmi toutes les operations produit possibles, quexprime la proprieteuniverselle suivante :

Proposition 1 (Propriete universelle du produit tensoriel). Toute applica-tion bilineaire p : X Y Z se factorise de facon unique selon X Y X Y Z, ou` la premie`re application est le produit tensoriel et la secondeest une application lineaire p associee a` p.

Remarque 5. Noter que bilineaire signifie en quelque sorte deux fois moinslineaires plutot que deux fois plus, dans la mesure ou` une application bi-lineaire nest que partiellement lineaire, puisquelle nest lineaire que parrapport a` chacune des deux variables, de facon separee.

Ainsi, toute operation produit peut etre definie en faisant suivre le produittensoriel dune application lineaire. Le produit tensoriel est donc bien leproduit le plus general que lon puisse considerer (a` loppose, le produittrivial nul est le moins general de tous, car il ne conduit a` aucun autre quelui-meme).

Construction du produit tensoriel de deux espaces vectoriels (rappelonsque tous les espaces vectoriels consideres sont definis sur le meme corps, parexemple R) : cest technique mais au fond assez simple : on conside`re lespacevectoriel librement engendre par tous les couples, et on fait un quotient de

5

cet enorme machin par les relations de bilinearite souhaitees. Je ne detaillepas cela ici (voir nimporte quel ouvrage de reference sur le sujet).

Une autre construction, non canonique, est beaucoup plus simple a` com-prendre et a` utiliser en pratique (mais elle presente linconvenient de donnerle sentiment, faux, que le produit tensoriel dependrait en lui-meme du choixde bases) :

Proposition 2. Si (ei)iI est une base de lespace X et (fj)jJ est une basede lespace Y , alors la famille (ei fj)(i,j)IJ constitue une base de les-pace vectoriel X Y . En particulier, si X est de dimension finie n et Y dedimension finie p, alors X Y est de dimension finie np.

Remarque 6. On remarque que le corps de base lui-meme, considere commeespace de dimension 1 sur lui-meme, est (a` isomorphisme pre`s) lelementneutre du produit tensoriel des espaces vectoriels.

Remarque 7. Tout element de lespace X Y ne secrit pas necessairementsous la forme dun produit tensoriel de vecteurs x y, mais plutot sous laforme dune somme finie ijei fj de tels produits (nous avons place enhaut les indices i et j des coefficients ij pour des raisons qui apparatrontplus tard ; cette position inhabituelle ne doit pas les faire confondre avec despuissances).

2 Les tenseurs de divers types

2.1 Definition des tenseurs de divers types

Le terme tenseur ne designe pas nimporte quel element dun produit ten-soriel despaces vectoriels quelconques, mais les elements despaces specifiquesconstruits a` partir dun espace de travail, disons X :

Definition 1 (Espaces de tenseurs). On pose T p,q(X) = T p(X) T q(X),ou` X est un espace vectoriel donne, de dimension finie et ou` T p(X) designela puissance tensorielle pie`me de X

T p(X) = X X ...X p

Les elements de T p,q(X) sont appeles les tenseurs de type (p, q) (sur X), ouencore tenseurs p fois contravariants et q fois covariants.

Remarque 8. On a deja` signale quen pratique, lespace X dependra souventdun point M decrivant une varieteM ; plus precisement, un tel espace X =

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XM concidera generalement avec lespace tangent a` la varieteM en ce pointM . Le fait de choisir (de facon assez regulie`re) pour chaque point M untenseur de type (p, q) sur lespace tangent XM revient alors a` definir unchamps de tenseurs de type (p, q) sur la variete consideree. Les notions defonctions numeriques, de champs de vecteurs, de formes differentielles sontdes cas particuliers de champs de tenseurs.

2.2 Notations

Dans tout ce qui suit, X designe donc un espace vectoriel fixe, de dimen-sion finie n. On conside`re deux bases de X : (e) = (e1, ..., en), appelee lapremie`re (ou lancienne) base, et (f) = (f1, ..., fn), appelee la seconde (ou lanouvelle) base.

Pour chaque type (p, q) de tenseur considere, les deux bases (e) et (f) deX definissent naturellement deux bases de T p,q(X). Lobjet des formules quisuivent est essentiellement de preciser la manie`res dont sont transformees lescoordonnees des tenseurs considerees lorsquon effectue dans X le change-ment de bases (e) (f), ce changement entranant a` son tour un chan-gement de bases dans T p,q(X). Dans ce but, nous devons commencer parpreciser les formules relatives au changement de base dans X , exprime parune matrice de passage que nous noterons P .

2.3 Changement de bases de vecteurs, matrice de pas-

sage

2.3.1 Formule explicite

Le changement de base (e) (f) est defini par des relations de la forme

j {1, ..., n}, fj =

i=ni=1

pijei, (1)

ou` les indices i places en haut sont bien des indices (et non des puissances). Laformule ci-dessus exprime que la j e`me colonne de la matrice P = (pij), appelee

matrice du passage de (e) a` (f),

p1j...pnj

, est constituee des coordonnees du

vecteur fj dans la base (e).

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2.3.2 Convention dEinstein

La convention dEinstein consiste a` faire leconomie du symbole

enconvenant que chaque fois quun indice apparat deux fois dans une formule,une fois en haut (indice contravariant) et une fois en bas (indice covariant),la somme sur cet indice est implicite. Dans le cas de la formule (1) ci-dessus,elle conduit a` ecrire que, pour tout indice j {1, ..., n}, on a

fj = pijei. (2)

Remarque 9. Certains auteurs emploient la convention dEinstein, mais sansplacer en position haute les indices contravariants. Dans ce cas, la conventiondEinstein revient simplement a` considerer comme implicites les sommes surles indices repetes deux fois.

2.3.3 Formule matricielle

La formule de changement de base ci-dessus peut prendre une forme ma-tricielle tre`s commode, au prix de deux modifications quant aux notationshabituelles : dune part les vecteurs seront multiplies par des scalaires a`droite (et non, comme on le fait habituellement, a` gauche) ; dautre part, onse permet de considerer des matrices dont les coefficients seront non plus desscalaires, mais egalement des vecteurs (voire dautres tenseurs...)

En multipliant les vecteurs par les scalaires a` droite, la formule (2) secriraplutot

fj = eipij, (3)

relation que lon peut alors exprimer sous forme matricielle par

(f) = (e)P, (4)

ou` (f) sidentifie a` la matrice ligne dont les coefficients sont les vecteurs fi,(e) sidentifie de meme a` la matrice ligne definie par les ei, et P est la matricede passage (e) (f).

Remarque 10. La matrice de passage P est necessairement inversible. NotonsQ = (qij) sa matrice inverse. On a alors PQ = QP = In, soit, en termes decoefficients et en suivant la convention dEinstein

pikqkj = q

ikp

kj =

ij , (5)

ou` ij designe le symbole de Kronecker, cest-a`-dire les coefficients de la ma-trice identite. On en deduit par exemple lexpression des vecteurs de lapremie`re base en fonction de ceux de la seconde en ecrivant simplementfjq

ji = ekp

kj q

ji = ek

ki = ei, dou` la formule

ei = fjqji . (6)

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2.4 Tenseurs dordre 0

T (0,0)(X) = R : les tenseurs dordre 0 sont les scalaires. La familleconstituee du seul nombre 1 forme la base canonique de cet espace. Le chan-gement de base (e) (f) sur lespace de travail X nentrane aucune va-riation dans lexpression des scalaires, cest pourquoi ceux-ci sont dit 0 foiscontravariant et 0 fois covariants.

Remarque 11. Rappelons que le corps des reels constitue un element neutrepour le produit tensoriel des espaces vectoriels reels.

2.5 Tenseurs de type (1, 0) : lespace primal X

T 1,0(X) = X est lespace de travail X lui-meme, parfois appele espaceprimal par opposition a` son dual. Les tenseurs de type (1, 0) sont donc lesvecteurs (sous-entendus : de X). Soit x X un tel vecteur. Nous allonsexprimer les relations entre ses composantes dans les deux bases (e) et (f).

2.5.1 Notations explicites

Remarque 12. Pour la clarte de lexpose, je rappelle dans cette section com-ment etablir explicitement les formules de changement de base pour les vec-teurs, mais le lecteur est invite a` remarquer que les sections suivantes 2.5.2et 2.5.3 contiennent les memes formules, ecrites de facon nettement pluscondensee.

Lexpression du vecteur x dans la base (e) sappuie sur lexistence dununique n-uplet (ui)i=1,...,n de scalaires tel que

x =

i=ni=1

uiei. (7)

Rappelons que, dans cette notation, lindice i du coefficient ui ne designepas une puissance, il est place en haut en reference au comportement contra-variant de ces coefficients lors dun changement de base, ce que nousdetaillons maintenant. Lexpression du meme vecteur x dans la base (f)secrit

x =i=ni=1

vifi, (8)

ou encore, de facon equivalente, en changeant le nom de la variable muette ien j,

x =

j=nj=1

vjfj, (9)

9

pour un certain n-uplet (vi)i=1,...,n.En remplacant chaque fj selon la formule (1), on obtient

x =

j=nj=1

vji=ni=1

pijei =i=ni=1

(

j=nj=1

pijvj)ei, (10)

dou`, en rapprochant cette dernie`re expression de la formule (7)

i, ui =

j=nj=1

pijvj. (11)

Les coefficients de passage pij de lancienne base (e) vers la nouvelle base(f) permettent donc lexpression directe des anciennes coordonnees ui de xen fonction des nouvelles coordonnees vj : cette inversion explique le terme contravariant utilise pour qualifier le comportement des composantesdes vecteurs x X de lespace primal... puis, par une extension que lonpourrait juger regrettable (mais comme je dis souvent : ainsi va la vie ), leterme contravariant a ete garde pour designer les vecteurs eux-memes.Dou`, plus generalement, le fait que les tenseurs de type (p, q) soient dit pfois contravariants et q fois covariants (alors quen eux-memes, les tenseurssont invariants, au sens ou` ce sont leurs coordonnees qui varient dans leschangements de bases, pas eux...).

2.5.2 Notations tensorielles

Avec la convention dEinstein, lexpression du vecteur x dans la base (e)secrit

x = eiui, (12)

et lexpression du meme vecteur x dans la base (f) secrit

x = fivi = fjv

j. (13)

En remplacant chaque fj selon la formule (3), on obtient

x = eipijv

j, (14)

dou` lon deduiti, ui = pijv

j , (15)

formule equivalente a` la formule (11).

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2.5.3 Notations matricielles

En notations matricielles, lexpression du vecteur x dans la base (e) peutsecrire

x = (e)U, (16)

ou` U designe la matrice-colonne constituee des n scalaires ui. Comme nouslavons deja` remarque, une telle ecriture suppose dune part de sautoriser a`multiplier des vecteurs par des scalaires places a` leur droite, et dautre partde considerer des matrices a` coefficients non seulement scalaires, mais aussivectoriels.

Lexpression du vecteur x dans la base (f) secrit de meme

x = (f)V. (17)

En remplacant (f) selon la formule (4), on obtient

x = (e)PV, (18)

dou` lon deduitU = PV, (19)

formule equivalente aux formules (11) et (15).Lorsque lon veut ecrire les nouvelles coordonnees du vecteur x en fonction

des anciennes, cette formule secrit

V = P1U. (20)

Conformement a` ce que nous avons dit plus haut, le terme contravariantemploye pour designer les vecteurs de X = T (1,0)(X) correspond a` linversionde la matricie P dans cette equation (20).

2.6 Tenseurs de type (0, 1) : lespace dual X

2.6.1 Bases duales en notation matricielle

Parce quelle simplifie considerablement lecriture, et bien quelle impliqueune certaine vigilance dans lextension du calcul matriciel quelle necessite,nous ecrivons directement en notation matricielle la relation entre les basesduales de (e) et (f), quitte a` ce que le lecteur prenne le temps de retraduireces calculs en termes plus classiques.

Notons () =

1

...n

la base de X definie comme base duale de la base

(e) de X . Pour la compatibilite avec le calcul matriciel, () est donc identifie

11

ici a` une matrice-colonne, dont les coefficients sont non pas des scalaires,mais des formes lineaires sur X , la forme lineaire i etant definie comme laie`me coordonnee dans la base (e), cest-a`-dire lunique forme lineaire telle quei(ej) =

ij. Notons de meme () la base duale de (f).

Remarque 13. Puisquil nexiste pas disomorphisme canonique entre un es-pace vectoriel de dimension finie et son dual, chaque forme lineaire i nesaurait dependre du seul vecteur ei, mais depend au contraire de toute labase (e).

La relation de dualite entre les bases (e) et () se traduit alors matriciel-lement par deux relations distinctes. On a dune part

()(e) = In, (21)

ou` In designe la matrice identite dordre n.Lequation (21) dit que le produit de la matrice-colonne () par la matrice-

ligne (e) donne la matrice carree n n dont les coefficients sont les scalairesi(ej), le produit dune forme lineaire par un vecteur a` droite etant compriscomme laction de cette forme lineaire sur ce vecteur.

Dautre part, la relation entre les deux bases duales se traduit egalementsous la forme plus subtile suivante

(e)() = (IdX). (22)

Dans cette formule (22), le produit dune matrice ligne a` gauche par unematrice colonne a` droite donne une matrice 1 1 dont lunique coefficientnest ni un scalaire, ni un vecteur, ni une forme lineaire... mais un endomor-phisme, a` savoir lendomorphisme identite de X . En effet, pour un vecteurw et une forme lineaire , nous designons par lecriture (dans cet ordre) wlendomorphisme de X defini pour tout vecteur u par u 7 w(u), ou` le vec-teur w est multiplie (a` droite, conformement a` nos conventions matricielles)par le scalaire (u). En notations explicites habituelles (avec un produit desvecteurs par les scalaires a` gauche) la formule (22) signifie alors simplementque pour tout vecteur u, on a u =

i=1,...,n

i(u)ei.De meme, la relation entre les bases (f) et () sexprime matriciellement

par les relations

()(f) = In (23)

et(f)() = (IdX). (24)

La formule (4) implique

()(f)() = ()(e)P (), (25)

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dou` lon tire, dapre`s les formules (24) et (21),

() = P (). (26)

2.6.2 Composantes des formes lineaires, en notation matricielle

Soit maintenant X une forme lineaire sur X . Ses coordonnees(1, ..., n) dans la base () constituent un vecteur ligne M a` coefficientsscalaires, tel que

= M(). (27)

De meme, les coordonnees N = (1, ..., n) de dans la base () verifient

= N(). (28)

La relation matricielle (26) implique alors

N = MP. (29)

Cette relation dans le sens direct (i.e. sans avoir a` inverser P ), aucontraire de la formule (20), explique le qulificatif covariant employe pourdesigner les formes lineaires vues en tant que tenseurs de type (0, 1).

2.6.3 Bases duales en notations tensorielles

La relation (24) peut secrire avec la convention dEinstein

fii = IdX . (30)

Remarque 14. Pour etre plus precis, lexpression fii pourrait etre ecrite

fi i =

i fi

i, le produit tensoriel u dun vecteur par une formelineaire etant precisement lendomorphisme x 7 (x)u (voir plus loin lasection 2.7.3).

La relation (21) peut quant a` elle secrire

kej = kj . (31)

La formule (3) conduit alors a`

kfii = kejp

ji

i,

dou` k = pkii, autrement dit

i = pijj. (32)

Si lon veut exprimer les formes lineaires constituant la base () en fonc-tion de la base (), il suffit de faire appel a` linverse de pki dou`, avec lesnotations de la formule (5)

j = qjkk

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2.6.4 Composantes des formes lineaires, en notations tensorielles

Avec les notations de la section 2.6.2, on a = ii = i

i, dou` kk =

jj puis, dapre`s (32), ip

ij

j = jj, dou` la formule suivante, equivalente

a` la formule (29) :j = ip

ij . (33)

2.7 Tenseurs de type (1, 1) : endomorphismes


Independamment de linterpretation des tenseurs de type (1, 1) commeetant les endomorphismes de lespace (voir plus loin la section 2.7.3), il estfacile detablir les formules de changement de base qui les concernent. Labase (e) de lespace primal X conduit a` la definition dune base de T (1,1)(X),a` savoir la famille des n2 tenseurs de la forme ei

j . De meme, la secondebase,(f), de lespace primal, conduit a` la base (fi

j) de T (1,1)(X).Un tenseur r de ce type, de coordonnees (aij) dans la premie`re de ces

bases et de coordonnee (bij) dans la seconde secrit

r = aijei j = bkl fk

l,

dou`r = aij(fkq

ki ) (p

j

ll) = qki a

ijp

j

l (fk l) = bkl (fk

l),

dou` finalementbkl = q

ki a

ijp

j

l . (34)


En rassemblant les coefficients aij (resp. bij) dans une matrice A (resp. B),

la formule (34) secritB = P1AP. (35)

2.7.3 Interpretation

La formule (35) sugge`re que les tenseurs de type (1, 1) sidentifient auxendomorphismes de lespace X : la matrice A (resp. B) sinterpre`te alorscomme la matrice de r dans la base (e) (resp. (f)).

Cette interpretation decoule en fait de lexistence dun isomorphismecanonique entre T (1,1)(X) et lespace des endomorphismes L(X). En effet,lapplication qui a` tout couple (u, ) X X associe lendomorphismev 7 (v)u est une application bilineaire qui, dapre`s la propriete universelle

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du produit tensoriel se factorise de facon unique par une application lineaire : T (1,1)(X) L(X). Mais puisque les n2 endomorphismes v 7 j(v)ei, quiconstituent une base de L(X), font partie de limage de , on en deduit que est surjective, donc est un isomorphisme puisque les espaces concernes ontmeme dimension.

2.8 Tenseurs de type (0, 2) : formes bilineaires


La base (e) de lespace primal X conduit a` la definition dune base deT (0,2)(X), a` savoir la famille des n2 tenseurs de la forme i j . De meme, laseconde base,(f), de lespace primal, conduit a` la base (i j).

Un tenseur s de ce type, de coordonnees (cij) dans la premie`re de cesbases et de coordonnee (dij) dans la seconde secrit

s = ciji j = dkl

k l,

dou`, en utilisant deux fois la formule (32) et en reorganisant lordre desfacteurs,

dkl = pikcijp

j

l . (36)


En rassemblant les coefficients cij (resp. dij) dans une matrice C (resp.D), la formule (36) secrit

D = P CP. (37)

2.8.3 Interpretation

La formule (37) sugge`re que les tenseurs de type (0, 2) sidentifient auxformes bilineaires de lespace X : la matrice C (resp. D) sinterpre`te alorscomme la matrice de s dans la base (e) (resp. (f)).

Cette interpretation decoule en fait de lexistence dun isomorphisme ca-nonique entre T (0,2)(X) et lespace des formes bilineaires L2(X,R). En effet,lapplication qui a` tout couple (, ) X X associe la forme bilineaire(u, v) 7 (u)(v) R est une application bilineaire qui, dapre`s la proprieteuniverselle du produit tensoriel se factorise de facon unique par une applica-tion lineaire : T (0,2)(X) L2(X,R). Mais puisque les n

2 formes bilineaires(u, v) 7 i(v)j(v), qui constituent une base de L(X), font partie de limagede , on en deduit que est surjective, donc est un isomorphisme puisqueles espaces concernes ont meme dimension.

15

2.9 Tenseurs de type (2, 0)

Je ne parlerai pas ici de ces tenseurs.

2.10 Equivalence euclidienne entre formes bilineaires

et endomorphismes

Si lespace X est muni dune structure euclidienne, cest-a`-dire dun pro-duit scalaire, il existe alors un isomorphisme entre X et son dual canonique-ment associe a` cette structure. Dans ces conditions, la difference entre cova-riance et contravariance tend a` sestomper. Cela se manifeste par exemple parle fait que, tant que lon se limite a` des changements de bases orthonormees,la matrice de passage etant alors orthogonale, cest-a`-dire telle que P = P1,les formules (35) et (37) concident. De fait, via le produit scalaire dun telespace X , toute forme bilinaire q sur X se represente de facon unique parun endomorphisme p tel que q(u, v) = u.p(v), et dans une base orthonormeequelconque p et q auront les memes matrices.

Par ailleurs, notons que la donnee dune telle structure euclidienne surX permet egalement de rapatrier dans X la base duale () dune basequelconque (non necessairement orthonormee) (e) de X . La base de X ainsiobtenue, disons (e), admet pour ie`me vecteur ei qui represente, via le pro-duit scalaire, la forme lineaire ie`me coordonnee i definie par i(ej) =

ij .

Autrement dit, ei.ej = ij. Cest parfois cette base (e) que certains auteurs

appellent, par un leger abus de langage bien comprehensible, la base duale.Son interet est de pouvoir exprimer la ie`me coordonnee i dun vecteur u dansla base (e) par une formule analogue a` celle employee dans le cas particulierdune base orthonormee, a` la simple condition dy ajouter un , a` savoir

i = u.ei.

Dans le cas ou` la base (e) est orthonormee, on a bien sur (e) = (e).

2.11 Tenseurs dordres superieurs : limites de la nota-

tion matricielle

En general, les tenseurs dordre strictement superieurs ne peuvent plusetre exprimes dans le cadre du calcul matriciel, tandis que les notationsindicielles fonctionnent parfaitement.

Neanmoins, certains morceaux du calcul tensoriel dordre 4 peuvent en-core etre sauves dans le calcul matriciel. Ainsi, un tenseur dordre 4 surX = R3 presentant certaines symetries peut etre represente par un tenseur

16

dordre 2 dans R6. Le lecteur interesse pourra consulter larticle de MaherMoakher intitule The algebra of fourt-order tensors with application to dif-fusion MRI publie dans louvrage Visualization and Processing of TensorFields, Advances and Perspectives (Springer, 2009).

Table des matie`res

0.1 Pourquoi parle-t-on de tenseurs ? . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Le principe de construction des tenseurs . . . . . . . . . . . . 2

0.2.1 Varietes et champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels 3

1.1 Quest-ce quun produit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Universalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Les tenseurs de divers types 6

2.1 Definition des tenseurs de divers types . . . . . . . . . . . . . 62.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Changement de bases de vecteurs, matrice de passage . . . . . 7

2.3.1 Formule explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Convention dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.3 Formule matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Tenseurs dordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Tenseurs de type (1, 0) : lespace primal X . . . . . . . . . . . 9

2.5.1 Notations explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5.2 Notations tensorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5.3 Notations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Tenseurs de type (0, 1) : lespace dual X . . . . . . . . . . . . 112.6.1 Bases duales en notation matricielle . . . . . . . . . . . 112.6.2 Composantes des formes lineaires, en notation matricielle 132.6.3 Bases duales en notations tensorielles . . . . . . . . . . 132.6.4 Composantes des formes lineaires, en notations tenso-

rielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Tenseurs de type (1, 1) : endomorphismes . . . . . . . . . . . . 14

2.7.1 Notations tensorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7.2 Notations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7.3 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8 Tenseurs de type (0, 2) : formes bilineaires . . . . . . . . . . . 152.8.1 Notations tensorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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2.8.2 Notations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8.3 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Tenseurs de type (2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.10 Equivalence euclidienne entre formes bilineaires et endomor-

phismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.11 Tenseurs dordres superieurs : limites de la notation matricielle 162.12 Recapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

18

2.12 Recapitulatif

type tenseur 1e`re base coeff. 1 2e`me base coeff. 2 rel. bases rel. coeff.

T0,0 = K 1 1 1 = 1 =

T1,0(X) = X x (e) (e)U = uiei (f) (f)V = vifi (f) = (e)P V = P

1U

T0,1(X) = X () M() = ii () N() = i

i () = P () N = MP

T1,1(X) = L(X) r ei j aij fi

j bij ei j = qki (fi

j )pj

lB = P1AP

T0,2(X) = B(X,K) s i j cij i j dij

i j = pik(k l)p

j

lD = tPCP

19

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