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Temps fort mathématiques Loire Ateliers techniques opératoires

FEURS LE 28 novembre 2012

Travail réalisé à l'aide des documents en ligne sur les sites de TFM et l'IEN de Landivisiau

Q1 Addition - soustraction

De votre point de vue,comment les élèves peuvent-ils répondre? Dans quelle catégorie classeriez-vous ce problème?

Catégorisation des problèmes

Addition - soustraction Catégorisation des problèmes

13 + 15 = 28 28 – 13 = 15 7 + 8 13 20 28 ...

Introduire en même temps les problèmes additifs et les problèmes soustractifs

Une classification des problèmes qui aboutirait à mettre d’un côté les problèmes additifs et de l’autre les problèmes soustractifs serait réductrice. De nombreuses études soulignent que la difficulté d’un problème n’est pas d’abord liée à l’opération sollicitée mais plutôt à la structure du problème. Par exemple le problème suivant est résolu par beaucoup d’élèves de CP : « J’ai 5 images, j’en donne 2 à mon ami. Combien m’en reste-t-il ? » alors que le suivant n’est pas bien résolu par des élèves de CE2 : « J’ai 5 images, j’en ai 2 de moins que mon ami. Combien mon ami en a-t-il ? ». Or le premier se résout par une soustraction et le deuxième par une addition. Les problèmes additifs et les problèmes soustractifs appartiennent au même champ conceptuel (G. Vergnaud) et prennent racine dans les mêmes situations. Pour un problème d’un type donné (transformation, comparaison, …) l’opération sollicitée dépend de la place de l’inconnue. Par exemple : - Une classe est composée de 14 filles et 11 garçons. Combien y a-t-il d’élèves ? - Une classe de 25 élèves comporte 11 garçons. Combien y a-t-il de filles ? Ces deux situations peuvent être interprétées comme des compositions de mesures (ici des quantités), le sens des problèmes est le même mais le premier se résout par une addition car on cherche le tout, le second par une soustraction (ou une addition à trou) car on cherche une partie du tout. La pratique régulière de résolution de problèmes additifs et soustractifs au cours du cycle 2 permet d’une part d’introduire les deux opérations avec le vocabulaire et l’écriture des symboles et d’autre part de donner du sens à la soustraction et à l’addition, la technique opératoire de ces deux opérations n’arrivant que bien après.

Renvois :

R1


R1-2

Addition - soustraction

On s'accorde en général sur trois manières de concevoir le sens de la soustraction : Le sens « enlever » Le sens « pour aller à » Le sens « écart » De votre point de vue, auquel se rapporte cette situation ? Les élèves feront-ils le même calcul ? Pourquoi ?

Catégorisation des problèmes

Q2


Différents sens Plusieurs catégories de problèmes doivent être proposées aux élèves mais la différence entre différents « sens » n'est pas toujours très nette, comme dans cet exemple. On pourra s'appuyer sur la catégorisation des problèmes de Vergnaud et donner des problèmes relevant des deux opérations, celles-ci appartenant au même champ conceptuel : -composition d'états -comparaison d'états -transformation d'état -composition de transformation D'autres paramètres doivent être pris en compte : -la place de l'inconnue. -ordre d'apparition des données -présence de certains indices verbaux... Il faut enfin ne pas confondre catégorie de problème et procédure. Une personne experte est ainsi capable : - de reconnaître la validité de plusieurs résolutions différentes, et donc leur équivalence du point de vue de leur adéquation au problème posé ; - de juger de l’économie de chaque solution pour faire un choix adapté (avec le même énoncé et la même justification mathématique, elle calculera par exemple 52-4 par retrait et 52- 48 par complément). L’enseignant doit aider les élèves à s’approprier une procédure de résolution experte. Cela ne résulte pas d’un apprentissage spontané : des activités, organisées en progression en jouant sur les variables didactiques telles que la taille des nombres par exemple, doivent être proposées aux élèves par l’enseignant.

Différents calculs Les procédures de résolution élaborées par les élèves dépendent à la fois de la représentation quils se font du problème posé, des outils qu’ils maîtrisent et du sens qu’ils donnent à ces outils. Le passage des procédures personnelles aux procédures expertes est souvent lent. Il est donc nécessaire d’accepter que tous les élèves n’utilisent pas à un moment donné une même procédure, et donc pas la même justification mathématique, de façon à encourager la prise d’initiative. Ceci fera que les élèves ne seront pas bloqués s’ils pensent ne pas connaître la procédure qu’ils croient attendue par l’enseignant et enrichira les confrontations de procédures, ce qui peut être un facteur de progrès. De plus il n’est pas rare d’avoir l’impression qu’un élève donné régresse; en effet, l’apprentissage ne se fait pas de façon linéaire et une procédure reconnue adaptée dans une situation donnée ne l’est pas toujours aisément dans une autre, même très voisine du point de vue d’un expert. Une exigence trop précoce d’une formalisation de la solution peut devenir un obstacle pour certains élèves qui chercheraient à produire une écriture mathématique à l’aide des indices de surface de l’énoncé du problème sans faire l’effort de compréhension de la situation.

R2

Addition - soustraction Préalables à l'introduction des techniques

Apprendre, connaître sa table d’addition

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A partir de cette table faisant apparaître les premiers résultats généralement connus, quelle(s) progression(s) proposeriez-vous? En utilisant quelles propriétés? Quand peut-on considérer que la table est connue?

Q3


Apprendre, connaître sa table d’addition

Pour beaucoup d'élèves, il ne sera pas possible de mémoriser l'ensemble des résultats au cycle 2. Il est donc nécessaire de développer des procédures de reconstruction du résultat en s'appuyant sur les résultats connus: - les calculs sans passage à la dizaine supérieure - L’utilisation des « presque doubles ». « 6 + 7, c’est (6 + 6) + 1, c’est 12 + 1 » -Les compléments à 10 - Le passage à la dizaine. « 7 + 4, c’est (7 + 3) + 1, c’est 10 + 1 »

Interroger sur les tables (addition) : Alterner oral (sans écrit), écrit (sans oral) 6 + 7 •7 + ? = 13 et ? + 6 = 13 •13 - 6 et 13 – 7 •13 - ? = 7 et 13 - ? = 6 •Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13 •Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13… •QCM 6 + 7 = 12 ? 13 ? 14 ? •QCM 6 + 7 = 42 ? 1 ? 13 ?

Construire sa table, la faire évoluer

+ 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 5 6 7 8 9 10 11

3 5 6 7 8 9 10 11 12

4 6 7 8 9 10 11 12 13

5 7 8 9 10 11 12 13 14

6 8 9 10 11 12 13 14 15

7 9 10 11 12 13 14 15 16

8 10 11 12 13 14 15 16 17

9 11 12 13 14 15 16 17 18

+ 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 5 6 7 8 9 10 11

3 5 6 7 8 9 10 11 12

4 6 7 8 9 10 11 12 13

5 7 8 9 10 11 12 13 14

6 8 9 10 11 12 13 14 15

7 9 10 11 12 13 14 15 16

8 10 11 12 13 14 15 16 17

9 11 12 13 14 15 16 17 18

Exemple d’un outil d’élève : table en cours d’apprentissage au CP ou CE1 (seuls les résultats « résistants » apparaissent) Sur ce type de support, chaque élève ne laisse apparent que les résultats qu’il ignore (au fur et à mesure des interrogations, l’élève gomme les résultats qu’il connaît, réécrit ceux qu’il a oubliés).

R3


-une efficacité dans le calcul des sommes et différences de deux nombres inférieurs à 10 , ce qui implique d'avoir une bonne représentation des nombres -La compréhension du principe de groupements par dix qui sous-tend la numération décimale de position

Quel est l'intérêt de chacune de ces activités ? Quelles en sont les limites ? Permettent-elles l'acquisition des notions préalables à l'introduction des techniques opératoires ? Quelles autres activités sont envisageables ?

Q4


-une efficacité dans le calcul des sommes et différences de deux nombres inférieurs à 10 , ce qui implique d'avoir une bonne représentation des nombres. Diverses représentations doivent pouvoir être mobilisées, notamment pour le passage de la dizaine. Pour calculer 8 + 7 par exemple, il sera peut-être plus facile de mobiliser une représentation de 7 comme 5 + 2, alors que pour 16 - 7 une représentation de 7 comme 6 + 1 sera plus facilitante. Un travail sur le sens est indispensable dès la GS : la manipulation sur des petites quantités (j’ai 6 objets, j’en retire 4)

comparaison des représentations du nombre 7 dans divers manuels

Exemple d’affichage dans une école : CP

« maisons de nombres » construites au CP

+ tous les jeux en ateliers...

R4


-une efficacité dans le calcul des sommes et différences de deux nombres inférieurs à 10 , ce qui implique d'avoir une bonne représentation des nombres -La compréhension du principe de groupements par dix qui sous-tend la numération décimale de position

Quel est l'intérêt de chacune de ces activités ? Quelles en sont les limites ? Permettent-elles l'acquisition des notions préalables à l'introduction des techniques opératoires ? Quelles autres activités sont envisageables ?

Q5


-La compréhension du principe de groupements par dix qui sous-tend la numération décimale de position.

-La compréhension du principe de groupements par dix qui sous-tend la numération décimale de position: La technique utilisée par l’élève doit avoir un sens pour lui. C’est pourquoi elle doit être l’aboutissement formalisé de manipulations, dès la grande section, de divers outils et matériels qui permettent de lui donner une véritable signification: Groupements (cubes, boîtes, enveloppes...), échanges (abaques, monnaie, cartes), tableaux de numération... représentation des nombres (en utilisant le codage de la numération décimale et pas seulement le dénombrement de collections)

R5

Une technique opératoire devrait être le dernier moyen, le plus économique pour l’élève, d’effectuer des calculs simples. Il serait regrettable qu’il se réfugie derrière la technique quoiqu’il arrive, sans avoir d’autres possibilités de calcul. Par exemple, il ne devrait pas poser d'opération pour calculer 39 + 10 ou 52 - 20. C’est la raison pour laquelle il faut présenter, en parallèle, d'autres formes de calcul.

Addition - soustraction Technique opératoire de l'addition

Q6

Ces activités sont-elles adaptées à une découverte de la technique opératoire, et pourquoi?

Technique de l’addition posée

Les programmes 2008 demandent de « connaître et utiliser les techniques opératoires » de l’addition.

Le document d’accompagnement des programmes 2002 « le calcul posé à l’école élémentaire » apporte quelques précisions :

- ne pas dissocier dans le temps l’étude des cas « sans et avec retenue », afin de ne pas générer l’idée que le calcul se limite à l’addition séparée des chiffres de même valeur. - Le calcul posé en colonnes n’a d’intérêt que pour les nombres d’au moins deux chiffres, et même dans ce cas, le calcul à partir de l’écriture en ligne en repérant le rang de chaque chiffre est aussi efficace et rapide que le calcul posé « en étages ».

- Il est important de proposer également des additions de plus de deux nombres que les élèves doivent calculer en une seule fois.

- Le recours à un ou plusieurs « matériels de numération » permet utilement d’illustrer la technique, et donc de mieux la comprendre, notamment par la correspondance établie entre retenues et groupements par dizaines, centaines…

La technique opératoire repose essentiellement sur la compréhension du principe de groupements par dix qui sous-tend la numération décimale de position, et notamment l’égalité entre 10 unités et 1 dizaine…

Addition - soustraction Technique opératoire de l'addition

R6

En fonction des préalables requis, le travail sur la technique posée ne peut pas intervenir prématurément. Il se situe plutôt en dernière année de cycle 2, même si une première approche peut en être faite en fin de cours préparatoire.

Addition - soustraction Techniques opératoires de la soustraction Choix d'une technique Q7

Quels sont les avantages et inconvénients de chacune de ces techniques ? Que pensez-vous de ces affirmations : Une école, une seule et même technique ! Un cycle, une seule et même technique !

Première technique : une autre écriture du premier terme Méthode par cassage : on casse une barre de dizaine, une plaque de centaine

Seconde technique : équivalence entre soustraction et recherche du complément Méthode par addition : addition à trous dont on renverse l’écriture et le calcul

Troisième technique : invariance d’une différence par ajout simultané d’un même nombre aux deux termes de la soustraction. Méthode de base française qui repose sur la propriété : a – b = (a + c) – (b + c)

Première technique : une autre écriture du premier terme Cette technique est la plus simple à comprendre, car elle est fondée sur la seule connaissance des principes de la numération décimale, élaborée dès le CP. Elle présente l’inconvénient de nombreuses surcharges pour des calculs du type 4 003 – 1 897 et devient problématique lors de l'enseignement de la division au cycle 3.

Seconde technique : équivalence entre soustraction et recherche du complément Cette technique présenterait l’avantage de n’être qu’une adaptation d’une technique connue (celle de l’addition), La difficulté réside dans le fait que le lien entre addition à trous et soustraction est loin d’être évident pour l’élève. Un préalable est d’avoir compris que des problèmes qui parlent d’ajouter, de gagner, de mettre ensemble deux collections, … peuvent être résolus à l’aide d’une soustraction, sinon le passage de l’une à l’autre risque d’être un jeu d’écriture sans justification. D'autre part, la justification de la retenue est ambigüe.

Troisième technique : invariance d’une différence par ajout simultané d’un même nombre aux deux termes de la soustraction. C’est la plus utilisée en France et pourtant c’est la plus difficile, car elle repose sur une propriété que les élèves maîtrisent tardivement (conservation de l’écart entre deux nombres). Elle pose le problème récurrent de la confusion entre la « retenue » affectée aux unités et celle affectée aux dizaines, avec des positions différentes. Un fois maîtrisée, elle semble la plus rapide.

Addition - soustraction Techniques opératoires de la soustraction Choix d'une technique R7a

L’apprentissage d’une technique usuelle de la soustraction est plus difficile que celui de l’addition, pour plusieurs

raisons : - il existe plusieurs techniques possibles dont les fondements ne reposent pas sur les mêmes principes ni, par conséquent, sur les mêmes

connaissances ; - les connaissances qui permettent de justifier ces techniques sont plus nombreuses et plus complexes que dans le cas de l’addition ;

- les différences ou les compléments élémentaires (relevant des tables) sont souvent moins disponibles que les sommes ; Etant entendu que comme pour

l’addition, il est important de ne pas dissocier dans le temps l’étude des cas " sans retenue " et des cas " avec retenue ", afin de ne pas générer l’idée

qu’un traitement séparé des chiffres de même valeur suffit toujours. Ces différentes raisons justifient que les programmes de 2002 n’envisageaient l’apprentissage

systématique d’une technique dans le cas des nombres entiers qu’au cycle 3. Dans la mesure ou il faut enseigner une technique dès le cycle 2, une réflexion doit être conduite par

l'ensemble de l'équipe pédagogique

Que choisir ? Il est préférable que les élèves maîtrisent la troisième technique pour aborder la technique de la division au cycle 3 ; à partir de là, deux solutions s'offrent aux équipes : -Enseigner directement la 3ème technique en multipiant les situations permettant de la justifier et en rendant plus visible l'égalité de l'ajout, le risque étant que le sens en échappe à certains élèves... - Enseigner l'une des 2 autres techniques au cycle 2 et réserver la 3ème au cycle 3, l'inconvénient étant de multiplier les techniques et certains élèves risquant de ne pas abandonner une procédure efficace dans des cas simples...

Addition - soustraction Techniques opératoires de la soustraction Choix d'une technique R7b

La propriété de l'invariance d’une différence par ajout simultané d’un même nombre peut également être utilisée en calcul réfléchi : 21 – 8, c'est comme 23 - 10

Addition - soustraction remédiation

Q8

Erreurs les plus souvent constatées : -Gestion de la retenue -Opération mal posée -Algorithme mal maîtrisé -Méconnaissance des tables

Quelles aides peuvent être proposées ?

Addition - soustraction remédiation

R8

Donner aux élèves des habitudes et des outils de vérification (qui pourront différer en fonction de la technique utilisée) : -L’addition -Le saut de puces en avançant ou en reculant, -L’habitude de vérifier la vraisemblance du résultat (ordre de grandeur...) -L’utilisation du calcul réfléchi comme outil de contrôle des résultats obtenus par le calcul posé

Mettre à disposition des élèves un aide-mémoire (affichage, cahier, sous-main...)avec le rappel de la technique opératoire : Un ou des exemples d’opérations posées avec des indications sur la présentation à respecter : Traits à la règle Place du signe Un chiffre par ligne ou par colonne L’alignement des chiffres de même valeur L'ordre de calcul La gestion des retenues...

En fonction des erreurs, analyse des acquis préalables non maîtrisés pour : -Revenir à des manipulations d’objets et de collections (paquets de 10, passage à la dizaine…) -Procéder à des échanges sous forme de jeu et d’écriture (ex: échange de monnaie, matériel scolaire, abaques …) pour comprendre la numération décimale et le sens de la retenue -Apprendre à utiliser la table d’addition sous différentes formes pour la mémoriser -User quotidiennement en classe d’exercices variés en calcul mental (calcul rapide et réfléchi) -Pratiquer régulièrement des décompositions de nombres (ex: calculs en arbre) -Utiliser régulièrement le tableau de numération pour placer les nombres dans un premier temps, pour calculer dans un deuxième temps -Habituer les élèves à chercher (essais de calcul, décompositions, dessins) -Faire s’exprimer les élèves sur leur stratégie de calcul (expliquer comment) -Etre rigoureux sur la pose des opérations (ex : un chiffre par colonne ou par ligne)

temps fort mathématiques loire - ac-lyon.fr · au cp ou ce1 (seuls les résultats « résistants...

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