Licence L1 – Domaine Sciences, Technologie, SantéAnnée 2018/2019 – 1er semestre

TECHNIQUES EXPÉRIMENTALES

Document d’accompagnement de la séance de travaux pratiques no 2

Mesurer un temps

Préparation de la séance

Objectif

L’objectif de cette séance est d’expliciter comment mesurer au mieux à l’aide d’un chrono-mètre un temps bien défini. Pour cela vous devrez savoir :

1. entrer des données dans Matlab® ;2. obtenir un histogramme élémentaire à l’aide de Matlab®, pour présenter les résultats de

mesurages multiples ;3. calculer une moyenne, un écart-type expérimental à l’aide de Matlab®, pour caractériser

une distribution de valeurs ;4. évaluer une incertitude-type par une méthode de type A ;

Documents à lire

Trois documents sont à lire pour bien réussir cette séance de travaux pratiques. La lecture dudocument de référence sur le temps de réaction vous permettra de vous approprier ce concept.Par ailleurs, il vous sera profitable de lire (ou relire !) le document de référence sur Matlab®, enparticulier pour réviser les instructions qui permettent de :

– calculer une moyenne arithmétique ;– calculer un écart-type expérimental ;– tracer un histogramme.

Enfin, la lecture du document de référence sur la mesure et les incertitudes vous permettrad’apprendre à évaluer l’incertitude associées aux moyennes lors d’un mesurage.

Mesure d’un temps

Système expérimental

Une diode électroluminescente clignote : elle s’allume, s’éteint, s’allume encore, etc. Plusprécisément, elle reste allumée pendant un temps tdiode bien précis, valant approximativement 1

3 secondes. La durée pendant laquelle la diode reste éteinte est aléatoire, et compris entre 4 et12 secondes.

Votre travail consiste à déterminer aussi précisément que possible le temps tdiode pendantlaquelle elle reste allumée. Il faudra bien sûr évaluer l’incertitude-type associée à votre détermi-nation.

Matériel

Vous disposez sur votre table de tout le matériel nécessaire. Vérifiez la liste du matériel enentrant et en sortant de la salle. Il doit y avoir présents sur votre table :

– 1 module Arduino, relié par un câble USB à votre ordinateur, qui commande une diodeélectroluminescente ;

– 1 chronomètre au millième de seconde ; sa précision est telle qu’on ne commettra pas unebien grande erreur en considérant son affichage comme exact 2.

Modélisation

À cause de votre temps de réaction, une mesure unique ne risque pas de vous donner unevaleur précise de tdiode. Une modélisation possible de cette expérience consiste à considérer quela mesure effectuée au chronomètre est représentée par une variable aléatoire 3 T ; en effet on sedoute bien que la répétition de la mesure au chronomètre donnera à chaque fois un résultatpotentiellement différent.

On nomme D la différence entre le temps d’allumage de la diode tdiode et le temps T mesuré.Ce décalage entre la temps d’allumage de la diode et une mesure effectuée est également unevariable aléatoire et on a bien :

T = tdiode +D

1. Attention : il s’agit bien ici d’une approximation. Cela ne signifie pas que la diode reste allumée exactement 3secondes !

2. En toute rigueur, on devrait plutôt écrire que l’incertitude liée à la précision de l’affichage du chronomètre estconsidérée comme complètement négligeable devant l’incertitude liée à la personne qui l’utilise.

3. Dans ce TP, comme dans le reste de cet enseignement, les variables aléatoires sont notées à l’aide d’unemajuscule.

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On suppose enfin que :

– E(D) = 0 : l’espérance mathématique de cette variable aléatoire D ; cette hypothèse estforte puisque cela revient à dire qu’en faisant des moyennes sur un grand nombre demesures, on peut approcher tdiode ; à moins d’avoir des informations complémentaires, ilest difficile de faire autrement que de faire cette hypothèse ;

– σD , l’écart-type de D est du même ordre de grandeur que celui d’un temps de réactiontypique ; attention, un ordre de grandeur n’est pas une évaluation précise.

Effectuer les mesures

Dans le cadre de cette modélisation, pour mesurer aussi précisément que possible tdiode,il faut répéter autant de fois que possible la mesure d’un temps d’allumage. Ainsi pourra-t-oncaractériser la distribution des valeurs obtenues : on estimera 4 espérance E(T ) et écart-type σT

à l’aide de la moyenne arithmétique m et de l’écart-type expérimental sexp, calculées à partir detoutes les valeurs obtenues.

Répétez ces mesures tout en utilisant le formulaire dont l’adresse web est : http://bit.ly/TP2-18C.

Récupérer les mesures et les intégrer à Matlab®

Une fois que toutes les mesures seront prises, vous pourrez accéder à votre résultat sur ledocument suivant : http://bit.ly/TP2-18D.

Comme de nombreuses mesures, effectuées par d’autres étudiant.e.s, peuvent vous gênerpour repérer les vôtres, il est judicieux d’utiliser un filtre de sorte à n’afficher que vos données(cf. figure 1). Quelle que soit la méthode employée, copiez vos mesures dans le presse-papier 5.

Importez les données dans Matlab®, en procédant comme au TP précédent. Pourmémoire, il y a deux méthodes possibles :

1. Créer une variable t en commençant par taper la commande « t=[ », puis en collant vosdonnées 6, enfin en terminant par «]; ». Valider avec la touche entrée. Vous avez ainsi crééune ligne de données numériques, appelée autrement vecteur-ligne, contenant toutes lesmesures effectuées 7. Vous pouvez le vérifier en tapant t puis en validant.

2. Créer une variable t vide à l’aide du bouton 8 « New Variable ». Un tableau vide s’affichealors. Collez les données 9.

Souvent, dans Matlab®, on préfère travailler avec des « vecteurs-colonne », qui permettentde mieux visualiser les données. Pour passer d’un vecteur-ligne à un vecteur-colonne, il fauteffectuer une opération qu’on appelle « transposition ». Pour ce faire, entrez la commandesuivante 10 : t=t’.

Vous pouvez désormais effectuer les opérations d’analyse des données sur le vecteur-colonnet, qui contient tous vos temps mesurés.

4. Consulter le document de référence pour retrouver comment estimer une espérance et un écart-type à l’aidede réalisations multiples d’une variable aléatoire.

5. Vous pouvez sélectionner toute une ligne à l’aide de la souris ou plus astucieusement à l’aide du raccourci+ Ctrl + . Copier les données avec le raccourci clavier Ctrl + C ou sinon en utilisant le menu « Édition ».6. Pour coller des données, il est souvent plus simple d’utiliser le raccourci clavier Ctrl + V .7. Attention : cette méthode ne fonctionne que si les nombres collés utilisent le point comme séparateur décimal.8. De manière équivalente, vous pourriez créer une variable vide ou en tapant t=[];, puis en ouvrant le tableur

inclus dans Matlab® en double cliquant sur le nom de cette variable dans le « Workspace ».9. Sous Linux, cela fonctionne bien avec le navigateur Chromium, mais pas avec Firefox.

10. L’opérateur ’ a ici effectué la transposition du vecteur-ligne t, et le résultat (le vecteur-colonne correspondant)est renommé t. En procédant ainsi on fait disparaître par écrasement le vecteur-ligne initial, et on le remplace par unvecteur-colonne, comme souhaité.

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FIGURE 1 – Comment créer un filtre : (1) cliquer dans la zone indiquée pour sélectionnertoute la feuille ; alternativement sélectionner tout en utilisant le raccourci clavier ctrl +

A ; (2) activer le filtre en cliquant sur le petit entonnoir : l’affichage s’assombrit (figuredu bas) ; (3) cliquer sur l’outil de filtrage de colonne pour faire apparaître le menu puis(4) entrez votre numéro étudiant pour ne faire apparaître que le vôtre dans la liste.

Examiner les données

Avant de pouvoir traiter les données, il convient de les examiner. En effet, lors de la prise ousurtout du report des données, un.e opérateur.trice est toujours susceptibles de se tromper, etde noter une donnée qu’on qualifie d’aberrante dans ce cas.

La définition d’une donnée ou valeur aberrante est délicate, car elle est en partie subjective.Disons qu’il s’agit d’éliminer les données qui sont vraiment très éloignées de la masse des autresdonnées. Elles doivent résulter d’une faute 11 de l’expérimentatrice ou de l’expérimentateur. Parexemple, ces valeurs aberrantes surgissent si on a oublié de reporter un chiffre (2 au lieu de 2,9),ou permuté deux chiffres (1,2 au lieu de 2,1), ou si on fait une faute de frappe (3,4 au lieu de 2,4)etc.

1. Triez vos données. Pour cela, utilisez la fonction sort de Matlab®. En les examinantainsi ordonnés, il vous est possible d’identifier aisément les valeurs aberrantes, si vous enavez.

11. Il ne faut pas ici donner une acception morale à ce terme. Il s’agit en fait d’une erreur au sens commun, mais leterme erreur portant une autre signification dans le contexte métrologique, on s’abstient de l’utiliser.

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2. Le cas échéant, éliminez vos valeurs aberrantes. Pour cela, il y a deux manières :

– Utiliser la ligne de commande. Si vous voulez, par exemple, éliminer la 23e donnéede votre vecteur T, tapez T(23) = [];Le vecteur T sera alors raccourci et la donnée éliminée.

– Utiliser l’interface graphique. Affichez le vecteur contenant vos données en double-cliquant sur son nom dans le « Workspace » de Matlab®, puis sélectionnez la lignequi contient la donnée à effacer, cliquez sur le bouton droit de la souris, et choisissez« Delete Row ». Alternativement vous trouverez un bouton « Delete » dans l’onglet« Variable », qui permet de faire la même chose.

3. Si vous avez éliminé des valeurs aberrantes, il est essentiel de noter lesquelles etune justification de votre choix. Faute de quoi, vous vous rendriez coupable de fraudescientifique.

Analyser les données

1. Représentez l’histogramme de densité de fréquence vos données, en laissant fairel’algorithme de Matlab® pour trouver un nombre optimal de classes 12.

2. Pourquoi demande-t-on la densité de fréquence plutôt qu’un simple histogrammed’effectif, par exemple ?

3. Imprimez la figure résultante, et dessus, indiquez une estimation faite à la louchede la valeur de la moyenne et de l’écart-type qu’on peut raisonnablement associerà cette distribution.

4. Calculez la moyenne arithmétique 13m et l’écart-type expérimental sexp de vosdonnées.

Comment choisir le nombre de mesures à effectuer ?

On comprend bien que plus on effectue de mesures, plus la moyenne expérimentale obtenuesera une évaluation précise de l’espérance. La question qui se pose alors est de savoir combiende mesures il convient d’effectuer. Il y a un compromis à trouver entre :

– le temps nécessaire pour prendre un grand nombre de mesures ;– la précision souhaitée du résultat obtenu.

Pour bien comprendre ce compromis, nous allons d’abord estimer ce qu’on gagne à prendreun certain nombre de mesures au lieu d’une.

Une unique mesure

Imaginons qu’un étudiant arrive en retard, au milieu de la séance de TP 14. Il a juste le tempsde réaliser une mesure unique.

En vous fondant sur l’histogramme de vos données et sur les grandeurs statistiques le carac-térisant, indiquez quelle pourrait être votre estimation de l’incertitude-type associée àsa mesure unique.

Imaginons désormais que les réglages de la platine ARDUINO changent, et que le tempsd’allumage de la diode soit réglé différemment, sans beaucoup varier. Pouvez-vous indiquerquelle sera l’incertitude-type associée à la prise d’une unique mesure ?

12. Il existe plusieurs choix possibles en fonction du nombre N de données. Un critère simple consiste à choisir unnombre de classes est proche de 2N 1/3.

13. Elle est appelée aussi parfois moyenne expérimentale.14. Rassurez-vous, il s’agit de science-fiction : jamais l’encadrant.e n’admettrait être dérangé de la sorte !

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Seize mesures

Dans cette partie, nous allons essayer de calculer l’incertitude non plus sur une mesureunique, mais sur la moyenne de 16 valeurs. Pour cela, nous allons choisir au hasard 16 valeursparmi celles que vous avez réalisées. Recommencer. Et recommencer. Et recommencer, jusqu’àobtenir une collection de moyennes de 16 valeurs.

Pour vous aider à mettre en œuvre cette procédure, voici quelques instructions Matlab®explicitées :

– N=length(t) crée la variable N donnant le nombre de données dans le vecteur t ; siaucune valeur n’a été écartée, cela vaut 81 ;

– x=floor(1+rand(1,16)*N) crée un vecteur-ligne x de 16 entiers aléatoires, comprisentre 1 et N ;

– t16 = t(x) retourne 16 temps choisis aléatoirement parmi ceux que vous avez mesurés ;– m16(1)= mean(t16) crée un vecteur-ligne m16dont le premier élément contient la moyenne

de t16, c’est-à-dire des 16 temps choisis aléatoirement ;– les trois instructions qui précèdent peuvent être condensées en une seule ainsi :m16(1)=mean(t(floor(1+rand(1,16)*N))) ;

– si on veut recommencer, et calculer à nouveau la moyenne de 16 temps aléatoirementchoisis, on peut taper :m16(2)=mean(t(floor(1+rand(1,16)*N))), puism16(3)=mean(t(floor(1+rand(1,16)*N))), etc.

– plutôt que de retaper cela 1000 fois, on peut employer une unique instruction : fori=1:1000 m16(i)=mean(t(floor(1+rand(1,16)*N))); endcette instruction fournit donc un vecteur-ligne m16 qui contient 1000 moyennes de 16valeurs choisies aléatoirement ; transformez-le en vecteur-colonne pour finir.

1. Tracez l’histogramme de densité de fréquence des moyennes de 16 valeurs. Vouschoisirez un nombre de classes optimal, selon l’algorithme par défaut de Matlab®.

2. Superposez l’histogramme ici obtenu à celui d’une mesure unique, obtenu pré-cémment.

3. Calculez l’écart-type expérimental des moyennes de 16 valeurs. En déduire uneévaluation de l’incertitude-type de la moyenne sur 16 valeurs.

4. Comparez cette incertitude à l’incertitude-type sur une valeur unique, divisée parquatre.

n mesures

1. Proposer ou rappeler 15 la formule générale donnant l’incertitude-type associée àla moyenne sur n valeurs.

2. Quel nombre de mesures serait nécessaire pour obtenir une mesure avec uneincertitude-type de 1 ms ?

3. Avec toutes les données dont vous disposez, proposez votre meilleure estimationde tdiode, et l’incertitude-type qui y est associée. Ce résultat s’appelle une mesure,avec évaluation de type A de l’incertitude associée. Notez bien le résultat de votremesure, vous en aurez besoin dans la suite du semestre.

15. Cela a été vu en cours et c’est également ce qui est expliqué dans le document de référence sur la mesure et lesincertitudes.

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Bilan de séance

Vous devez vérifier que vous avez bien acquis plusieurs savoir-faire :

1. savoir calculer une moyenne expérimentale et son incertitude-type associée ; connaître lelien entre l’écart-type expérimental des mesures prises et l’incertitude-type de la mesure.

2. évaluer l’incertitude-type associée à l’utilisation d’un chronomètre lors de la mesure d’untemps unique. Combien vaut-il environ ?

3. utiliser Matlab pour faire des statistiques descriptives élémentaires (histogramme, moyenneet écart-type expérimental) ;

4. savoir effectuer une mesure à l’aide d’une moyenne et estimer son incertitude-type parune évaluation de type A.

La maîtrise de ces différentes notions sera évaluée ultérieurement.

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