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IUT de Troyes TD de Dimensionnement des Structures GMP 2me anne Daniel SCIDA

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TD DDS

- REVISIONS -

Exercice 1

On considre une poutre OB soumise un effort F appliqu en A et monte de deux faons diffrentes comme indiqu ci-dessous. Dterminer le degr dhyperstaticit des deux montages

OB

F

L

yG

xGA

a

OB

F

L

yG

xGA

a

Cas (1) Cas (2)

Exercice 2

Une grue soulve une charge de manire lgrement oblique ; il sexerce, de ce fait, une force F = 250 kN

lextrmit A de la flche. Dans le systme daxes (x, y, z) indiqu,

1) Trouver les composantes de F en A

2) Trouver celles du moment que cette force exerce au pied B du mt.


2

Exercice 3

Soit une poutre OB. Dans un 1er montage, elle est encastre en O et soumise une charge rpartie p. Dans un 2me montage, elle est en liaison pivot en O, appuye en B et soumise une force concentre en A.

OB

p

L

yG

xG O B

yG

xG

A

F

L

a

Cas (1) Cas (2)

1) Dterminer les inconnues de liaison.

2) Calculer le torseur des efforts intrieurs puis tracer les diagrammes des efforts intrieurs.

3) Dterminer lquation de la dforme et Calculer la contrainte normale maximum.

Exercice 4

Soit une poutre OB en liaison pivot en O et appuye en B et soumise une charge rpartie triangulaire.

O B

yG

xG

L

pmax

1) Dterminer les inconnues de liaison.

2) Calculer le torseur des efforts intrieurs puis

tracer les diagrammes des efforts intrieurs.

3) Calculer la contrainte normale maximum

Exercice 5

Une console est soumise une charge concentre Q verticale son extrmit libre. Elle est forme dun bois en sapin (section rectangulaire 10 cm x 20 cm) ou dun profil lamin en acier doux (IPE200). Dans les deux cas et par un calcul la flexion, dterminer la charge Q que cette poutre peut supporter (poids propre nglig) lorsque la section droite est dispose : a) en hauteur et b) plat.

Bois : RPtract = 10 Mpa Acier IPE200 : IGZ = 195.105 mm4 ; IGY = 142.104 mm4 ; RPtract = 200 Mpa

O B

Q

L=150 cm

yG

xG 20

cm

20 c

m

10 cm 10 cm

10 c

m

20 cm 20 cm

10 c

m


1

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- CONTRAINTES -

Exercice 1

Un point dun composant de machine est sollicit par le systme de contraintes planes, dans le repre

orthonorm direct ( )zyxO GGG ,,,= : MPax 144= MPay 44= MPaxy 80=

On note : - ( )zyxO GGG ,,,= - ( zzyxO )GGGG == 1111 ,,, : repre orthonorm direct avec ( ) 6, 1 == xx GG

1) Calculer les contraintes et directions principales en utilisant les formules puis le cercle de Mohr

2) On se place maintenant dans le repre ( )zzyxO GGGG == 1111 ,,, - Dterminer les contraintes normales et de cisaillement dans 1 , notes 1x , 1y et 11yx . - Calculer les contraintes et directions principales comme prcdemment

3) Conclure.

Exercice 2

Les contraintes exerces au point critique dun composant en alliage daluminium sont :

MPax 60= MPay 120= MPaxy 40= Dterminer les contraintes principales sur llment et la direction p puis Retrouver ces contraintes principales et la contrainte de cisaillement maximale en utilisant le cercle de Mohr.

Exercice 3

Dans un repre initial ),,( yxM GG= , on connat la matrice des contraintes planes en M : [ ]

=

yxy

xyx

Dterminer, en calculant les valeurs propres de la matrice, [ ] les contraintes principales (Rsoudre lquation det ([]-I)=0).


2

)

Exercice 4

Dans un repre initial ( zyxO GGG ,,,= , on connat la matrice des contraintes en O : [ ]

=

10001000100100

100100200

Dterminer, en calculant les valeurs propres de la matrice [ ] , les contraintes principales (Rsoudre lquation det ([]-I)=0 ). Dterminer les directions principales associes ZYX GGG ,, .

Exercice 5

1) On considre deux matrices des contraintes reprsentant le mme tat de cisaillement simple dans

deux repres diffrents et : 1 2

[ ]1

1

0000000

=

et [ ] .

2

2

00000

00

=

Donnent-ils le mme rsultat vis--vis du critre de Von Mises ? Justifier votre rponse

2) On considre trois tats de contraintes a, b et c dfinis par [ ]a , [ ]b et [ ]c :

[ ]

=

140000011000001400

a [ ]

=

0000220000220

b [ ]

=

00000000400

c

Quel est le classement de l'tat de contrainte du moins critique au plus critique vis--vis du critre de

Von Mises, puis vis--vis du critre de Tresca ? Justifier vos rponses

1) : b


1

Exercice 1

Soit le champ de dplacement dun point M(x,y) dans le plan

)25(10),( 3 yxyxu += et )34(10),( 3 yxyxv = 1) Calculer les termes de la matrice des dformations [ ] . 2) Calculer les termes de la matrice des contraintes [ ] par la loi de Hooke.

Exercice 2

Soit une plaque dacier (E=220 Gpa ; =0,285) rectangulaire mince sur laquelle on a grav au repos et en son centre un cercle de rayon R=20 cm. La plaque de plan moyen ( )yxO GG,, est soumise un tat de contraintes planes tel que : MPa 180=x MPa 20=y MPa 60=xy Dans cet tat de contraintes, le cercle grav se dforme en ellipse.

1) Quel est ltat de dformations suivant les directions yx GG, et zG ? Le cercle se dforme en ellipse dont les axes sorientent suivant les directions principales des

dformations X et Y .

2) Quelle est linclinaison des axes de lellipse par rapport laxe xG . 3) Calculer les dformations principales X et Y . 4) En dduire la longueur XR et YR des demi-axes de lellipse.

Exercice 3

Soit une plaque mince dacier (fig.1), rectangulaire centre sur son plan moyen ),,( yxO GG , de longueur L suivant x et H suivant y. On soumet les faces dquations 2Lx = une pression uniforme p. De la mme faon, on impose aux faces dquations 2Hy = un dplacement normal de mesure algbrique sur ),( yO G respectivement et tel que 0> reste petit devant H. On suppose que la plaque est soumise aux lois de llasticit plane.

Dterminer ltat de contraintes et de dformations en un point M de la plaque

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- LOI DE COMPORTEMENT -


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Figure 1 Figure 2

Exercice 4

Soit une plaque mince (fig.2), dacier rectangulaire (Caractristiques : E=210000 Mpa et v=0,3) centre

sur son plan moyen ),,( yxO GG . Les cots de la plaque sont soumis diffrentes forces surfaciques uniformment rparties et dcrites sur la figure ci-dessous. On suppose que la plaque est soumise aux lois

de llasticit plane. Dterminer la matrice en M des dformations.

Exercice 5

On introduit un cylindre de rvolution daxe ),( zO G , de rayon R et de longueur L dans une cavit de forme complmentaire considre indformable. Un piston galement indformable vient comprimer le

cylindre avec une pression uniforme p. On nglige les frottements entre cylindre et cavit. Le cylindre est

constitu dun matriau lastique de caractristique E et . 1) Montrer que le problme est de type axisymtrique, traduire les hypothses et donner la formes des

matrices de contraintes et de dformations dans un repre cylindrique ),,,( zrO GGG . 2) Donner lexpression de la pression p quexerce le cylindre lastique contre la paroi de la cavit

ainsi que lallongement unitaire suivant zG . 3) Quelles sont les valeurs de tel que p = p puis p = 0 ? 4) Donner lexpression du raccourcissement du cylindre L .

p

R

L

zG


1

Exercice 1

Un arbre de transmission ABCD, de diamtre d, est guid en rotation en A et C par deux paliers roulements et porte en B et D deux roues dentes supportant les charges indiques ( 1F et 2F en H et E)

de direction verticale yG . On note AR et CR les ractions verticales aux deux paliers. Le matriau utilis a une limite dlasticit en traction et cisaillement de :

MPa 5,112; MPa 250 == ee et le coefficient de scurit appliquer est : k = 2,5. Units : le newton et le millimtre.

1) En tudiant lquilibre de larbre, montrer que : y 857 G=AR et y 9857 G=CR puis montrer que larbre est soumis un couple de torsion de 600 N.m.

2) Dterminer le long de larbre les variations des sollicitations (efforts, moments de torsion et de

flexion) ; Construire les diagrammes correspondants et indiquer les valeurs maximales de ces

sollicitations ainsi que les sections dans lesquelles elles interviennent.

3) Dans la section droite la plus sollicite et partir de la condition de rsistance relative aux

contraintes normales et tangentielles, dterminer le diamtre minimal de larbre.

Ce critre s'crit :tractionp

Rmax

et ntcisaillemep

Rmax

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- SOLLICITATIONS COMPOSEES -


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Exercice 2

Une poutre simple en bton arm, de section rectangulaire 36 cm x 80 cm, est prcontrainte par une force excentre P = 864 kN (e = 20 cm), comme indiqu ci-dessous. Laction du poids propre de la poutre en bton sera modlise par une charge uniformment rpartie, dont la charge linique sera note q (masse volumique du bton : = 2300 kg/m3). Le but de lexercice est de montrer, dans la section mdiane et sous laction du poids propre et de la prcontrainte, que toute la section est comprime.

P

h =

80 c

m

h=80

cm

b=36 cm

zG

yG

e P

e =

20 c

m

P

L=16 m

1) Dterminer la charge linique q, en fonction de , b, h et g. 2) Modliser le problme par une poutre sur deux appuis soumise une charge rpartie, deux moments et deux forces ponctuelles. 3) Dterminer les ractions aux appuis, les efforts intrieurs et tracer les diagrammes correspondants. 4) Dans la section droite mdiane, dterminer les contraintes maximale et minimale. Exercice 3

Un arbre cylindrique plein de rayon R est soumis dans la section droite la plus sollicite une force de compression P et un moment de torsion tM . Soit G, le centre de la section circulaire et M, un point quelconque de cette section dfini par une distance GM= . 1) Au point M,

a) Dterminer la matrice des contraintes [ ]comp due uniquement leffort normal P. b) Dterminer la matrice des contraintes [ ]tors due uniquement au moment de torsion tM . c) En dduire la matrice des contraintes [ ] torscomp+ due la combinaison de ces deux sollicitations.

2) Dterminer les contraintes principales en M (conseil : calculer les valeurs propres de la matrice des contraintes [ ] torscomp+ ).

3) On montre que les contraintes sont maximales sur la surface extrieure de larbre, cest--dire une distance R= . En appliquant un critre en contraintes maximum en traction puis en compression, dterminer le rayon R de larbre.

Applications Numriques :

MPa 74=tractionp

R ; MPa 152=ncompressiop

R ; kg 10.25 3=P ; kg.cm 10.3 4=tM ; Indications : linquation ( ) 01010.14462510.25465 44243 ++ RRR a pour solution 01.25R linquation ( ) 01010.14462510.25955 44243 + RRR a pour solution 96.27R .


1

Exercice 1

On considre une poutre, de longueur 3L et de section constante S, en liaison pivot en A et appuye en B et soumise en C une charge F. On note ( ) = A x y z, , ,G G G le repre tel que )x,A( G est port par la ligne moyenne de la poutre (figure 1). Le but de lexercice est de dterminer le dplacement du point C, C par la mthode nergtique.

A B

2L

yG

xG

L

C

1) Dterminer les actions mcaniques en A et B.

2) Dterminer les quations de l'effort tranchant yT et du moment de flexion zfM sur AC et CB.

3) Calculer lnergie de dformation emmagasine par la poutre entre A et B (On nglige linfluence de

leffort tranchant)

4) Dterminer le dplacement C par le thorme de Castigliano. Exercice 2

On considre une poutre coude angle droit AHB, en forme de L, encastre en A et supportant une charge concentre F son extrmit C.

x

y

HA

F AH=LHB=h

B

Dterminer le dplacement horizontal

xB (du point B suivant x) par la mthode nergtique.

(dterminer les efforts intrieurs sur AH et HB et calculer les nergies de dformation correspondantes)

TD DDS

- METHODES ENERGETIQUES -


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Exercice 3

On considre une poutre, de longueur L et de section constante S, encastre en A et soumise en C une charge F. On note ( ) = A x y z, , ,G G G .

AB

F

L

yG

xGC

AC=aBC=b

Dterminer la flche B par la mthode nergtique. (rajouter en B une force fictive Q annuler par la suite pour utiliser la mthode nergtique)

Exercice 4

On reconsidre la structure de lexercice 1.

x

y

HA

F AH=LHB=h

B

Dterminer le dplacement vertical

yB (du point B suivant y) et la rotation B de la section B par la

mthode nergtique. (dfinir 2 charges fictives Q et M, dterminer les efforts intrieurs sur AH et HB et calculer les nergies de dformation correspondantes) Exercice 5

Soit une poutre, de longueur 2L et de section constante S, en liaison pivot en A et appuye en B et C. On note ( ) = A x y z, , ,G G G . Le plan (A, Gx , Gy ) est un plan de symtrie pour la poutre 1 et pour les charges. La poutre 1 est soumise une charge q uniformment rpartie entre A et C.

AC

q

L

yG

xG

L

B

Dterminer la raction en B par la mthode nergtique. (on nglige linfluence de leffort tranchant)


1

Exercice 1

Soit un systme articul schmatis par la figure droite. Il est constitu de trois barres de mme section S, construites dans le mme matriau de module de Young E Hypothses :

Les liaisons en 1, 2, 3 sont des liaisons pivot sans adhrence d'axe Gz . Le poids des barres est nglig. La barre 1-2 est de longueur 2L, les barres 1-3 et 2-3 de longueur L2 .

0xL L

0y

F

2F

1

3

24 4

1) Dterminer les matrices de rigidit des lments (1-2), (1-3) et (2-3) dans le repre global. 2) En dduire la matrice de rigidit globale [ ]K de la structure. 3) Dfinir les conditions aux limites. 4) Rsoudre le systme donnant les dplacements [ ]u des diffrents nuds. 5) En dduire les actions de liaisons [ ]F puis les efforts dans les barres N1, N2, N3. Exercice 2

Le treillis plan nuds articuls est compos de 3 poutres, construites avec le mme matriau de module dYoung E. - Les barres (1-2) et (1-3) ont pour longueur La = Lc = L et

section Sa = Sc = S - la barre (2-3) a pour longueur Lb et section Sb = 2S. Les liaisons aux nuds 1 et 2 sont des liaisons pivots daxe 0z

G . La liaison au nud 3 est une liaison linaire annulaire (translation verticale et rotation daxe 0z

G libres). Le chargement 00 2 yPxPP

GGG = est appliqu au nud 2. Le repre global ( )0000 ,, zyx GGG= est orthonorm direct.

0x G

0y G

1

3

2 (a)

(b)

(c) 2P

P

1) Dterminer les matrices de rigidit des lments (1-2,) (1-3) et (2-3) dans 0 . 2) En dduire la matrice de rigidit globale [ ]K de la structure (par assemblage). 3) Dfinir les conditions aux limites. 4) Dterminer les dplacements [ ]u des diffrents nuds et en dduire les actions de liaisons [ ]F .

Les solutions de lquation [ ][ ] [ ]BXA =. dinconnue [ ]X avec :

[ ]

++

=1211

1111112

A [ ]

=

3

2

1

xxx

X [ ]

=

022

2ESPL

ESPLB sont : [ ]

=

2522

3

ESPLX

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- ELEMENTS FINIS -


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Exercice 3

Soit une structure unidirectionnelle constitue de 2 lments, encastre aux extrmits et supportant 2 charges concentres au nud milieu

G GF F y= 0 et 0zMMGG = (cas de flexion plane simple).

1 3 0xG0

yG

L2

L

FG

MG

1) Donner lexpression gnrale des matrices de rigidit des lments (1-3) et (3-2) dans le repre

global. En dduire la matrice de rigidit globale de la structure. 2) Dfinir les conditions aux limites. 3) Ecrire le systme rsoudre donnant les dplacements. Exercice 4

Soit une structure constitue de deux lments de poutres identiques et perpendiculaires. Les nuds 1 et 3 sont encastrs dans le bti. Le nud 2 supporte un moment concentr 0zMM

GG = . On considre que la structure est sollicite en flexion plane. 1 2

3

0xG

0yG

L

L

1) Donner lexpression gnrale des matrices de rigidit des lments (1-2) et (2-3) dans le repre local puis global. Prciser les ventuelles matrices de passage.

2) En dduire la matrice de rigidit globale de la structure. 3) Dfinir les conditions aux limites 4) Ecrire le systme rsoudre donnant les dplacements et les actions de liaisons. Exercice 5

On reprend la structure de lexercice prcdent en remplaant le moment concentr au nud 2 par une force

G GF F y= 0 au milieu de llment (1-2). 1) Lexpression de la matrice de rigidit globale a-t-elle chang

par rapport au rsultat prcdent ? 2) Donner lexpression du vecteur chargement de substitution [ ]012F pour llment (1-2). 3) Ecrire le nouveau systme rsoudre donnant les

dplacements puis les actions de liaisons. 1 2

3

0xG

0yG

FG L

2L 2L

tddds2a td

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