Universite Antonine Semestre-2Annee 2013-2014

Feuille 6Integrales de surfaces

Exercice 1. Calculer laire des surfaces suivantes :

1. La partie de z = xy situee au-dessus du disque x2 + y2 6 1.2. La partie de la sphe`re x2 + y2 + z2 = 1 situee entre les plans z = 1

2et z = 1

2

Exercice 2. Integrer les fonctions suivantes sur les surfaces indiquees :

1. (x2 + y2)2z2 sur lhemisphe`re de rayon a centree a` lorigine.

2. x sur x2 + y2 = z2 avec 0 6 z 6 a.3. x2 sur x2 + y2 = a2 avec 0 < z < a.

4. z sur z = 1 x2 y2 avec 0 6 z 6 1.

Exercice 3. Calculer le flux des vecteurs suivants sur les surfaces indiquees :

1. F (x, y, z) = 1x2+y2

(y,y, 1) z = 1 x2 y2; 0 6 z 6 1.2. F (x, y, z) = (y,x, 1) sur S(r, ) = (rcos, rsin, ) avec 0 6 r 6 1 et 0 6 6 2pi.3. F (x, y, z) = (x, 0, 0) sur la partie de la sphe`re unitaire centree a` lorigine situee a` linterieur

du cone z2 = x2 + y2 ; z > 0.

Exercice 4. Soit S la frontie`re du cube unitaire : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, 0 6 z 6 1. Calculersur ce cube lintegrale du champ de vecteurs F (x, y, z) = (xy, y2, y2).

Exercice 5. Calculer lintegrale

SrotF.nd ou` F est le champ de vecteurs :

F (x, y, z) = (y, x2, z3) et S la surface x2 + y2 + z2 = 1; 126 z 6 1

Exercice 6. On conside`re la nappe de la surface conique dequation x2 + y2 = z2, z > 0.a) Montrer que le vecteur normal a` la surface conique orientee vers lexterieur est donne

par (x

z,y

z,1).

b) Calculer le flux du champ de vecteurs : V = (2x,2y, z2), a` travers la surface S limiteepar le cone x2 + y2 = z2 ; z > 0 et le disque x2 + y2 6 4 du plan z = 2, le vecteur normaletant oriente vers lexterieur.

c) En deduire la valeur de lintegrale : I =

Dzdxdydz ou` D est le domaine limite par

la surface S.

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