Universit de Bourgogne Feuille de TD n 4Licence 1 de Psychologie Statistiques 2013/2014

ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATION DUNE PROPORTION

Cours et TD en ligne , visitez : http://jebrane.perso.math.cnrs.fr/ps1/Tutorat de Statistique : lundi 12-17h: salle 217 bt. Droit/Lettres - mardi et mercredi :12h - 14h prfabriqu Z5Exercice 1

1) Vous jouez "pile" ou "face" avec une pice de monnaie quilibre. Avec quelle probabilit la frquence de "pile" est compriseentre 0.48 et 0.52 si vous lancez la pice:

i) 100 fois. ii) 1000 fois. iii) 2000 fois. iv) 10000 fois.

2) Vous avez lanc une deuxime pice 1200 fois et vous avez obtenu 650 fois pile. Vous vous tes douts que la pice soitquilibre. Avec une confiance de 95% donner une estimation de la probabilit p dobtenir pile chaque lancer. Que doit-onconclure?

Exercice 2Un fabriquant de mdicaments affirme quen 10 jours , 40% des malades qui ont sont traits par lun de ses produits voient leur

douleur attnue.Supposons que laffirmation du fabriquant soit exacte. On choisit au hasard n = 500 malades ayant absorb le mdicament, et on

dsigne par Pn la proportion alatoire des personnes parmi les 500 dont la douleur est attnue.1) La loi de Pn est proche dune loi normale. Laquelle?2) Calculer la probabilit dobserver une proportion Pn comprise entre 0.38 et 0.42.3) Calculer la probabilit dobserver une proportion Pn infrieure 0.354) Nous avons observ un chantillons de 500 malades ayant suivi le traitement et constat 346 gurisons.

a) Que peut-on conclure par rapport laffirmation du fabriquant?b) Donner une estimation de la vraie proportion p de gurisons avec une confiance de 95%.c) Si on veut rduire la marge de lestimation 1% avec une confiance de 98% Quelle doit tre la taille minimale de

lchantillon considrer?

Exercice 3Afin de rpondre au mieux au dsir de sa clientle une entreprise ralise un sondage pour connatre lavis sur un produit fabrique

par elle. Sur 1040 personnes interroges, 612 se sont dclares satisfaites. Lentreprise essaye alors damliorer la qualit et un anaprs, ralise un deuxime sondage: Sur 970 personnes, on a 620 de satisfaites.

1) On dsigne par p1 et p2 les proportions de satisfaits pour lensemble des clients avant et aprs lamlioration apporte. Donnerune estimation de p1 et p2 par intervalle de confiance en prenant comme confiances = 0.95 et = 0.98. Peut-on dire quela proportion de satisfaits pour lensemble de la clientle a augment ?

2) Lors du deuxime sondage, quelle aurait du tre la taille de lchantillon pour avoir une estimation de p2 1% prs avec uneconfiance de 0.99 ?

Echantillonnage et Estimation dune moyenne

Exercice 1Sur une population de jeunes diplms on considre la variable statistique reprsentant le temps de chmage avant de trouver un

premier emploi permanent. Pour la population globale on sait que ce temps X varie suivant une loi normale de moyenne X = 9mois.

On se demande si les jeunes diplms qui ont dvelopp une stratgie de mobilisation pour la recherche dun premier emploiattendent moins longtemps. Pour un chantillon de 70 jeunes mobiliss, le temps Y dattente est distribu selon le tableau suivant.

classes 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 effectifs 4 6 15 24 16 5

1) Calculer la moyenne exprimentale me(Y ) et lcart-type exprimental se(Y ) de lchantillon .2) Donner une estimation par intervalle de confiance de la moyenne (Y ) de lensemble des diplms dveloppant une stratgie

mobilisatrice avec une confiance = 0.98.3) Peut-on dire avec un risque derreur de 2% quen moyenne, les jeunes diplms adoptant une stratgie mobilisatrice trouvent

plus facilement leur premier emploi. Justifiez votre rponse.4) Quelle devrait tre la taille minimale de lchantillon prlever (avec remise) pour estimer la moyenne m(Y ) 0.5 point prs

avec une confiance de 0.99?

Estimation dune moyenne: Cas des petits chantillons, Estmation dune varianceExercice 1 (Suite Exercice 1 TD Prcdent) Pour un chantillon de 28 diplms dveloppant une stratgie utopique, le temps

dattente moyen et lcart type exprimentaux obtenus sont me = 11.7 et s2 = 4.51) Donner une estimation du temps moyen dattente des diplms dveloppant une stratgie utopique en se basant sur cet

chantillon avec une confiance de 0.95.

2) Comparer la situation de la population globale des diplms (voir exercice 3 prcdent) celle des diplms dveloppant unestratgie utopique.

3) Donner une estimation de lcart-type de cette dernire population avec un risque derreur de 5%.

Exercice 2 Un exprimentateur qui tudie la prise de dcisions a demand 30 enfants de rsoudre le plus grand nombre possiblede problmes en 30 minutes. Il a expliqu un groupe de 16 enfants quil voulait tester leur aptitude inne rsoudre des problmes,et un autre groupe (14 enfants) quil ne sagissait que dune tche destine les occuper. Les rsultats obtenus sont les suivants:

Aptitude inne 33 18 27 21 27 22 26 25 33 19 29 30 14 20 32 27Occupation 12 15 24 9 21 12 17 14 24 9 20 15 18 16

On suppose que les rsultats varient normalement.1)2) Calculer les moyennes et carts types des deux chantillons.3) Donner une estimation par intervalle de confiance des moyennes et des carts types associs aux deux conditions dexprience.4) Que peut-on conclure au vu de ces rsultats?

vskip2mm Exercice 3 On suppose que les taux de cholestrol chez les hommes et les femmes de plus de 50 ans se rpartissent selondes lois normales. Dans un chantillon de 18 hommes de plus de 50 ans on a mesur un taux moyen de 192,4 cg avec un cart type de45,2 cg. Dans un chantillon de 22 femmes de plus de 50 ans on a mesur un taux moyen de 185,7 cg avec un cart type de 36,4 cg.

1) Donner des estimations des carts types des deux populations.2) En utilisant les estimations par intervalle de confiance 95 % peut-on conclure que les femmes de plus de 50 ans ont moins

de cholestrol que les hommes de plus de 50 ans ?

Exercice 4 Le tableau suivant reprsente les rsultats obtenus par un chantillon de 15 enfants de CE2 dans deux preuves de dicteprpare: une liste de 20 mots (preuve E1) et un texte (preuve E2).

lve A B C D E F G H I J K L M N O

preuve 1: x 19 17.5 18 15 15.5 17.5 16.5 16 17 12 14.5 18.5 15 13 14

preuve 2: y 14 13 13.5 11.5 12 13 12.5 12 13 9 11 14 11.5 10 11

Question 1 Avec un risque derreur de 5%, dire si les rsultats de lpreuve E1 sont significativement diffrents de E2.Question 2 Donner des estimations des carts types.