td - espaces préhilbertiens

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 05 Espaces prhilbertiens relsE un espace prhilbertien rel.Exercice 1 : E un espace prhilbertien rel. Montrer que {(x, y) E2; (x, y) libre} est un ouvert de E2.Exercice 2 : Caractrisation des normes euclidiennes par lidentit du paralllogramme :Soit E un R-espace vectoriel norm dont la norme vrifie lidentit du paralllogramme.On considre, sur E E, lapplication dfinie par (x, y) = 14

(x+ y2 x y2).1 : Montrer que x, y, z E,(x+y, z)+(xy, z) = 2(x, z) = (2x, z). En dduire que (x, z)+(y, z) = (x+y, z).2 : Montrer que r Q,x, y E,(rx, y) = r(x, y).3 : En dduire que est bilinaire.4 : Montrer que est un produit scalaire.

Exercice 3 : Polynmes de Tchebychev : Soit R[X] muni du produit scalaire < P,Q >= 11

P (x)Q(x)1 x2 dx.

1 : Montrer que n N,!Tn R[X], R, Tn(cos ) = cos(n).2 : Montrer que n N, Tn+2 = 2XTn+1 Tn.3 : Calculer deg Tn, le coefficient dominant de Tn et Tn.4 : Montrer que n N,

(T0T0 , . . . ,

TnTn

)est lorthonormalis de la base canonique de Rn[X] par le procd de Gram-

Schmidt.Exercice 4 : Orthonormaliser, dans R3 muni du produit scalaire usuel, la famille ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)).Exercice 5 :

1 : Trouver une BON de R2[X] muni du produit scalaire < P,Q >= 11P (x)Q(x)dx.

2 : Dterminer d(1, H) o H = {P E,P (0) = 0}.3 : Dterminer : inf

a,bR

11

(x2 ax b)2dx.

Exercice 6 : Dterminer : infa,bR

+0

ex(x2 ax b)2dx et infa,b,cR

11

(ax2 + bx+ c |x|)2dx.Exercice 7 : Montrer quun projecteur p dun espace prhilbertien rel est orthogonal ssi x E, p(x) x.Exercice 8 : Soit E un espace prhilbertien rel de dimension infinie.1 : Montrer que E admet une famille orthonormale dnombrable (en)nN.2 : On suppose que (en)nN admet une suite extraite (e(n))nN convergente. Posons lim e(n) = e.Calculer e, < e(n), e(n+1) > pour tout n N et en dduire que la boule unit ferme nest pas compacte.Exercice 9 : Soit E un espace prhilbertien rel et (en)nN une famille orthonormale de E.1 : Montrer que x E,< en, x > 0.2 : Montrer que si x E, x2 =

+n=0

< en, x >2 alors (en)nN est une base hilbertienne de E.

3 : On suppose que (en)nN est une base hilbertienne de E. Montrer que x, y E,< x, y >=+n=0

< en, x >< en, y >.

Exercice 10 : Soit E un espace prhilbertien rel et A E.1 : Montrer que si A est dense dans E alors A = {0}.2 : Montrer que A est ferm et A = A.Exercice 11 : Soit E est un espace prhilbertien rel, F un sous-espace vectoriel de E et x E.1 : On suppose que y F, d(x, F ) = x y.1 - a : Soit z F et on pose t R, zt = y+tz. En dveloppant xzt2, montrer que t R, z2t22 < xy, z > t 0.1 - b : En dduire que x y F et y est unique.2 : On suppose que F est complet et soit (yn) FN tel que d(x, yn) d(x, F ).2 - a : Montrer que n,m N, yn ym2 = 2

(x yn2 + x ym2) 4x yn+ym2 2.2 - b : En dduire que !y F, d(x, F ) = x y, F F = E et F = F .3 : On suppose que E est complet.3 - a : Montrer que F = F .3 - b : En dduire que F est dense dans E si, et seulement si, F = {0}.Exercice 12 : Soit E un espace euclidien de dimension n N. Un endomorphisme u de E est dit anti-symtrique si u = u.1 : Soit u L (E) anti-symtrique. Montrer que E = Imu keru et que le rang de u est pair.2 : Soit u L (E). Montrer que u est anti-symtrique si et seulement si, x E,< u(x), x >= 0.3 : Soit u L (E). Montrer que si R tel que u = u alors a est soit symtrique, soit anti-symtrique.

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Exercice 13 : Soient n N et Rn[X] muni du produit scalaire < P,Q >= +

ex2

2 P (x)Q(x)dx.

Dterminer ladjoint de lendomorphisme f(P ) = P .Exercice 14 : Sous-espaces stables : Soient E un espace euclidien et u L (E).1 : Soit F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F est stable par u si, et seulment si, F est stable par u.

2 : Dterminer les sous-espaces stables par lendomorphisme u L (R3) canoniquement associ la matrice1 1 11 0 0

0 1 0

.Exercice 15 : Adjoints dun projecteur et dune symtrie : Soient E un espace euclidien et u L (E).1 : Montrer que keru = (Imu) et Imu = (keru).2 : Dterminer les adjoints dun projecteur et dune symtrie non forcment orthogonaux.Exercice 16 : Soient E un espace euclidien et u L (E).1 : Montrer que u = 0 uu = 0.2 : Montrer que keruu = keru, Imuu = (keru) et rg(uu) = rg(uu) = rgu.3 : On suppose que u2 = 0. Montrer que ker(u + u) = keru keru.Exercice 17 : Endomorphismes normaux : Soit E un espace euclidien non nul. Un endomorphisme u de E est dit normal siuu = uu.1 : Montrer que u L (E),x E, u(x) = 0 (uu)(x) = 0. En dduire quun endomorphisme nilpotent est normalsil est nul.2 : Soit p un projecteur normal de E et g = (IdE p)p. Montrer que g = 0 et en dduire que p est un projecteur orthogonal.3 : Soit u L (E) normal tel que Sp(u) R.3 - a : Montrer que Sp(u), E(u) = E(u).3 - b : Montrer que , Sp(u) distincts, E(u) E(u).3 - c : Montrer que u est diagonalisable dans une base orthonormale de E.Exercice 18 : Projecteurs orthogonaux : Soient p, q deux projecteurs orthogonaux.1 : Montrer que :p+ q est un projecteur orthogonal x E,< p(x), q(x) >= 0 pq = 0 x, y E,< p(x), q(y) >= 0 .2 : On suppose que p+ q est un projecteur orthogonal. Montrer que Im(p+ q) = Imp Imq et dterminer ker(p+ q).Exercice 19 : Soit n N, A O(n) et on considreMn(R) muni du produit scalaire < A,B >= tr(tAB).

Calculer A et montrer quen

i,j=1

aij

n etn

i,j=1

|aij | nn (Remarquer que

ni,j=1

aij =tCAC oC =

1...1

Mn1(R)).Exercice 20 : Soient n N et A Mn(R). Montrer que si A est antisymtrique alors exp(A) On(R).Exercice 21 : Soit n N. Montrer que O(n) et O+(n) sont compacts.Exercice 22 : Dterminer les endomorphismes la fois orthogonaux et diagonalisables.Quelles sont les matrices la fois orthogonales et triangulaires suprieures ?Exercice 23 : Soit f : E E tel que x, y E,< f(x), f(y) >=< x, y >.Montrer que f transforme une BON en une BON. En dduire que f est linaire. Conclure.Exercice 24 : Soit f L (E) qui conserve lorthogonalit. (i.e x, y E,< x, y >= 0< f(x), f(y) >= 0).1 : Montrer que f transforme une BON en une une famille orthogonale de vecteurs de mme norme.2 : En dduire que f est la compose dune homothtie et dun endomorphisme orthogonal.Exercice 25 : Soit f : E E tel que f(0) = 0 et x, y E, f(x) f(y) = x y. Montrer que f O(E).Exercice 26 : Soit E un espace euclidien et u O(E). Montrer que Im(u IdE)

ker(u IdE) = E.Exercice 27 : Soit E un espace euclidien. Donner une condition ncessaire et suffisante sur a E \ {0} et , R \ {0} pourque f soit orthogonal dans les cas suivants (Pour les cas 2,3 et 4, E est orient de dimension 3) :

1)f(x) = x+ (a.x)a 2)f(x) = (a.x)a+ a x3)f(x) = x+ a x 4)f(x) = x+ (a.x)a+ (a x)

Exercice 28 : Soit E un espace euclidien non nul.Montrer que x, y E tels que x = y il existe une rflexion u de E telle que u(x) = y.Exercice 29 : Factorisation QR : Soit n N. Montrer que toute matrice A GLn(R) se dcompose de faon unique sous laforme A = QR avec Q O(n) et R triangulaire suprieure coefficients diagonaux strictement positifs.Exercice 30 : Soient E un plan euclidien, u O+(E) et v O(E). Montrer que uvu = v et vuv = u1.Exercice 31 : Dterminer, dans chaque cas, la nature et les caractristiques de lendomorphisme orthogonal dfinie par samatrice dans une base orhonorme directe :

1) 15

(3 44 3

)2) 15

(3 44 3

)3) 1

2

(1 11 1

)4)

(0 11 0

)5)

(0 11 0

)Exercice 32 :



1 : Montrer que O+(2) et O(2) sont compacts et connexes par arcs.2 : En dduire que O(2) est compact et admet deux composantes connexes par arcs.Exercice 33 : Sous-groupes finis de O(E) : Soient E un plan euclidien orient et G un sous-groupe fini de O(E).1 : On suppose que G O+(E). Montrer que G est cyclique engendr par la rotation dangle 2pin o n est lordre de G. Enparticulier G est unique.2 : On suppose que G 6 O+(E) et soit G \ O+(E).2 - a : Montrer que n N tel que G O+(E) = {Id, , . . . , n1} o est la rotation dangle 2pin .2 - b : Montrer que G = {IdE , , . . . , n1, , , . . . , n1}.Exercice 34 : Sous-groupes finis de GL(E) : SoientE un plan vectoriel etG = {g0, . . . , gn1} un sous-groupe fini de GL(E)dordre n 2.1 : Montrer que lapplication : (x, y) =

n1k=0

< gk(x), gk(y) > dfinit un produit scalaire sur E.

2 : Montrer que g0, . . . , gn1 sont orthogonaux pour le produit scalaire .3 : En dduire que G est cyclique dordre n ou didral dordre 2n (i.e G = {IdE , u, . . . , un1, v, uv, . . . , un1v} avec udordre n, v dordre 2 et (uv)2 = IdE).Exercice 35 : Dterminer les rels a, b et c pour que : a2 ab c ac+ bab+ c b2 bc a

ac b bc+ a c2

SO(3)Exercice 36 : Soit E est un espace euclidien orient de dimension 3 et soit f L (E).Montrer que f est une rotation ssi x, y E, f(x y) = f(x) f(y).Exercice 37 : Montrer que O+(3)(R) est connexe par arcs.Exercice 38 : Formule de Rodrigus : Soient E un espace euclidien orient de dimension 3, e E unitaire, R et r = re,.1 : Montrer que x E, r(x) =< e, x > e+ cos()(x < e, x > e) + sin()e x (Formule de Rodrigus).2 : Soit e : x E 7 e x. Montrer que r = IdE + sin()e + (1 cos())2e.3 : Application : Dterminer la matrice de r dans le cas e(

2

2 ,

22 , 0) et 2pi3 [2pi].

4 : Montrer que r r = 2 sin()e et en dduire la matrice de r r lorsque e(a, b, c).

5 : Application : Dterminer les caractristiques de r dans le cas o sa matrice est R = 13

2 2 11 2 22 1 2

.6 : Soient u, v E tels que B = (e, u, v) soit une base orthonrme directe de E. Dterminer mat(e,B) et en dduire quer = exp(e).Exercice 39 : Diagonaliser orthogonalement les matrices :

A =

(3 11 3

), B = 14

(5 33 7

), C = 13

5 0 20 7 22 2 6

, D =1 1 11 1 1

1 1 1

Exercice 40 : Soit n N. On considre Rn[X] muni du produit scalaire < P,Q >=

11P (t)Q(t)

1 t2dt.

Montrer que lendomorphisme u(P ) = (1X2)P 3XP de Rn[X] est symtrique.Exercice 41 : Soit n N et on considre Rn[X] muni du produit scalaire < P,Q >=

11P (t)Q(t)dt.

Montrer que lendomorphisme u(P ) = 2XP + (X2 1)P de Rn[X] est diagonalisable.Exercice 42 : Soit u S(E) telle que p N, up = idE . Montrer que u2 = idE .Exercice 43 : Soient n N et A S(n). Montrer que

ni,j

a2ij =

Sp(A)2 (les valeurs propres sont comptes avec leurs

ordres de multiplicits).

Exercice 44 : Soit E un espace euclidien et u S(E). Montrer que keru Imu = E.Exercice 45 : Soit E un espace euclidien et u L (E). Montrer quil existe une base orthonorme de E dont limage par u estune famille orthogonale.Exercice 46 : Produit de deux projecteurs orthogonaux : Soient E un espace euclidien et p, q deux projecteurs orthogonaux.1 : Montrer que pqp est symtrique.

2 : Montrer que E = Imp (ker p ker q) (ker p Imq).

3 : En dduire que pq est diagonalisable.Exercice 47 : Soit E un espace euclidien non nul et on rappelle que u = sup

xE/x=1u(x) est une norme surL (E).

Montrer que u L (E), u = u = max{/ Sp(uu)}.



Exercice 48 : Matrice de Gram, ingalit de Hadamard : Soit E un espace euclidie non nul et B = (1, . . . , n) une baseorthonormale de E. Si x1, . . . , xp E, on appelle :

Matrice de Gram des vecteurs x1, . . . , xp E la matrice (< xi, xj >)1i,jn. On la note G(x1, . . . , xp). Dterminant de Gram des vecteurs x1, . . . , xp E le nombre det G(x1, . . . , xp). On le note (x1, . . . , xp).

1 : Soient x1, . . . , xp E etA = matB(x1, . . . , xp). Montrer que G(x1, . . . , xp) = tAA et en dduire que rg(G(x1, . . . , xp)) =rg(x1, . . . , xp) et (x1, . . . , xp) est libre si, et seulement si G(x1, . . . , xp) est inversible.2 : Soit u L (E) et (e1, . . . , en) une base de E. Montrer que (u(e1), . . . , u(en)) = (detu)2(e1, . . . , en).3 : Soit F est un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p N, (e1, . . . , en) une base de F et x E. Montrer qued2(a, F ) = (e1,...,en,a)(e1,...,en) . Application : Calculer d(x, F ) o F = Vect{(1, 1, 0), (0, 1, 1)} et x = (1, 1, 1).4 : Soit x1, . . . , xk E. Montrer que (x1, . . . , xk) x12 xk2 avec galit si (x1, . . . , xk) est orthogonal (UtiliserGram-schmidt).5 : Montrer lingalit de Hadamard, A Mn(R), |detA| C1 Cn o C1, . . . , Cn sont les colonnes de A et tudierle cas dgalit.Exercice 49 : Endomorphismes symtriques positifs, dfinis positifs : Soit E un espace euclidien de dimension n N,u S(E) et A S(n). On dit que :

u est positif (resp. dfini positif) si x E,< u(x), x > 0 (resp. < u(x), x >> 0). A est positive (resp. dfinie positive) si X Mn1(R), tXAX 0 (resp. tXAX > 0).

On note : S+(E) (resp. S++(E)) lensemble des endomorphismes symtriques positifs (resp. dfinis positifs). S+(n) (resp. S++(n)) lensemble des matrices symtriques positives (resp. dfinies positives).

1 : SoitB une BON de E et M = mat(u,B). Montrer que u S+(E)(resp.S++(E)) M S+(n)(resp.S++(n)).2 : Montrer que u est positif (resp. dfini positif) si, et seulement si Sp(u), 0 (resp. > 0).3 : Montrer que uu, uu S+(E) et que si u est inversible alors uu, uu S++(E)4 : On suppose que A S+(n). Montrer que i, j {1, . . . , n}, aii 0, 2|aij | aii + ajj .5 : On suppose que A S++(n). Montrer que < X,Y >= tXAY est un produit scalaire sur Mn1(R) et en dduire que1 i, j n, |aij | aiiajj .6 : Montrer que S++(n) est dense dans S+(n).Exercice 50 :1 : Soit A S+(n). Montrer que !S S+(E), S2 = A et que S est un polynme en A.2 : Soient A,B S(n) avec A positive. Montrer que AB est diagonalisable.3 : Soient A,B S+(n). Montrer que tr(AB) 0.4 : Soient A,B S+(n). Montrer que ndetA 1n tr(A). En dduire que n

det(AB) 1n tr(AB).

5 : Montrer que A GLn(R),!O O(n),!S S++(n), A = OS (Dcomposition polaire).6 : Soit A S++(n). Montrer que A se dcompose de faon unique sous la forme A = tTT avec T triangulaire suprieure coefficients diagonaux strictement positifs (Factorisation de Cholesky).7 : En dduire que A S+(n), 0 detA a11 ann.Exercice 51 : Dcomposition polaire : Soit E un espace euclidien non nul.1 : Montrer que u S++(E),!v S++(E), v2 = u. Montrer que v est un polynme en u.2 : Montrer que u GL(E),!o O(E),!s S++(E), u = os (Dcomposition polaire).Exercice 52 : Rduction simultane Soient A S+(n) et B S++(n).1 : Montrer que P GLn(R,D R diagonal tels que B = tPP et A = tPDP .2 : Montrer que det(A+B) detA et A+ iB GLn(C).3 : Montrer que t [0, 1],det(tA+ (1 t)B) (detA)t (detB)1t.4 : Montrer que n N, ndet(A+B) ndetA+ ndetB.


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