EPSTAnnabaEPSTAnnaba Module: Analyse IIT.D..N�4/2012-2013

Intégrales Multiples

Exercice 1 Calculer les intégrale suivantes:1) I =

R R[�1;1]2

jx+ yj dxdy:

2) I =ZZD

x2y2 3p1� x3 � y3 oùD est dé�ni par: x > 0; y � 0 et x3+y3 � 1:

Exercice 2 Calculer les intégralesZZD

f (x; y) dxdy suivantes et tracer

la région D sur laquelle on intègre f:a) D = [1; 2]� [0; 2] et f (x; y) = yexyb) f (x; y) =

px2 + y2 etD =

�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � 2y � 0; y � 0; x � 0 et x2 + y2 � 1 � 0

c) f (x; y) = (x� y)2 et D =

�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � 1 et 0 � y � x

Exercice 3 Déterminer le centre de masse d�une demi ellipse pour y � 0.Exercice 4 Déterminer la valeur de l�intégrale donnée par: I =

ZZx�x2+y2�1

1(1+x2+y2)2

dxdy:

Exercice 5 Calculer le volume de l�intérieur de l�ellipsoïde d�équation:x2 + 1

2y2 + 3

4z2 + xz = 1:

Exercice 6 Donner les bornes d�intégration deRRRV

f (x; y; z) dxdydz; où

a) V est la région de l�espace limité par le (bi)-cône circulaire z2 = x2 + y2

et le paraboloïde z = x2 + y2:b) V est l�intersection de la boule centrée à l�origine et de rayon 2, et le

cylindre x2 + z2 = 1:

c) V est l�intérieur de l�ellépsoïde d�équationx2

9+y2

4+ z = 1 et au dessus

du plan 2z = 1:Exercices facultatifs:Exercice 1 Soit le domaineD =

�(x; y) 2 R2 : 1 < x <

p2; 0 < xy < 1; x2 + y2 > 2?????????

Calculer

ZZD

xy2dxdy:

Exercice 2 Pour n 2 N, on dé�nit les domaines Dn et Cn comme suit:Dn =

�(x; y) 2 R2=x2 + y2 � n2; x � 0 et y � 0

;

Cn =�(x; y) 2 R2=0 � x � n et 0 � y � n

1-Calculer Jn =

ZZDn

e�(x2+y2)dxdy et J2n =

ZZD2n

e�(x2+y2)dxdy:

2- Considérons les intégrales Kn =

ZZCn

e�(x2+y2)dxdy et In =

nZ0

e�x2

dx::

1

Montrer que Kn = (In)2:

3- Dessiner les domaines Dn, D2n et Cn , et expliquer pourquoi

Jn � Kn � J2n

4- Quelle est la limite de Kn quand n tend vers 1?

5- Evaluer l�intégrale I =

1Z0

e�xdx et en déduire celle de

1Z�1

e�xdx:

Exercice 3 Calculer I =ZZ

x2

a2+ y2

b2�1

�x2 � y2

�dxdy:

Exercice 4 Soient (p1; p2; q1; q2) 2 ]0;+1[4 tel que p1 < p2 et q1 < q2:Calculer l�aire du domaineD =

�(x; y) 2 R2=2p1x � y2 � 2p2x et 2q1y � x2 � 2q2y

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