Chapitre 06: Réflexion et transmission d'ondes à une interface TD

TD-06 · Réflexion et transmission d'ondes à une interface

Révisions de cours :

Cas des ondes sonores : Expliciter les conditions aux limites à une interface Définir et établir les expressions des coefficiens de transmission et de réflexion en amplitude de surpression, en amplitude de vitesse dan sle cas d'une incidence normale sur une interface plane Définir et établir les expressions des coefficients de transmission et de réflexion des puissances sonores Vérifier la conservation de l'énergie à partir des coefficients de réflexion et transmission Expliquer ce qu'est l'adaptation d'impédance et la relier au transfert maximum de puissance Décrire la mise en œuvre des ondes ultra-sonores pour l'échographie médicale Cas des ondes électromagnétiques : Définir et interpréter le vecteur densité de courant surfacique Savoir utiliser les relations de passage fournies En exploitant la continuité de la composante tangentielle du champ électrique, justifier l'existence d'une onde réfléchie dans le cas d'une onde en incidence normale Déterminer l'expression complète de l'onde réfléchie dazns le cas où il s'agit d'une OPPH Déterminer l'expression du champ magnétique réfléchi Déterminer l'expression du courant surfacique dans le conducteur Calculer le coefficient de réflexion en puissance

Extraits de sujets de concours proposés dans l'énoncé de TD :

- Polytechnique-PC-2008, Echographie :réflexion et transmission d'une qnde sonore (page 2) - e3a-PSl-2011, Tuyau sonore : influences des fluides et d'un raccordement (page 4) - Mines-Pont-PC-2009, Pression de radiation (réflexion en incidence oblique sur un métal) (page 8) - CCP-MP-2010, Résonnateur électromagnétique (page 11) - Centrale-Supélec-TSl-2011, L'atmosphère : une cavité électrfomagnétique naturelle-Ondes de Schumman

(page 13)

/ Partie 1

Propagation des ondes acoustiques

it uri fluide de masse volumique po et de pression Po à l'équilibre. On s'intéresse à situatio hors équilibre unidimensionnelles, la masse volumique étant p = po+ µ(x, t), la P =Po+ , t) et la distribution de vitesses v = v(x, t)ë'x.

1.1 Écrire la relat1 de conservation de la masse. La linéariser par rappo v en supposant Iµ

1.2 On suppose négligeable es effets de viscosité et de pcsanteu crire l'équation d'Euler à « une dimension ». La liné ·ser par rapport à la vitesse et à la « pression acoustique » 7r en supposant 17r(x, t)I «Po.

1.3

1.4 Obtenir l'équation aux dérivées p ielles satisfaite ar 7r(x, t) et préciser la célérité c (ou vitesse de propagation) des o s de pression en foncti des données.

1.5 Quelle est l'équation de pagation pour la vitesse v(x, t)

1.6 Donner sans démon préter.

1. 7 On considèr 'air comme un gaz parfait. Déterminer l'expression de Xs n fonction des données alculer alors la vitesse des ondes acoustiques dans l'air à la te érature de

sachant que 'Y= 1,40.

l'aide des données numériques, calculer la vitesse des ondes acoustiques dans l'eau à 20°c.

X-1( ... t,oo~ Partie II

Réflexion et transmission d'une onde sonore

11.1 Soit une onde progressive de la forme v(x, t) = f(x - et) se propageant dans un milieu de masse volumique p0 . Déterminer la pression acoustique 7r(x, t) correspondante. Exprimer le

rapport Z = :'.:. que l'on appelle « impédance acoustique » du milieu. V

11.2 On étudie maintenant la propagation d'une onde sonore dans un tuyau. Ce tuyau est rempli dans la région des x négatifs par un fluide (1) et dans la région des x positifs par un autre fluide (2); ces fluides sont séparés en x = 0 par une membrane de grande souplesse et de masse négligeable; ils possèdent la même pression d'équilibre Po. Les impédances acoustiques et les célérités des deux fluides prennent respectivement les valeurs Z1, ci et Z2, c2 (figure 1).

Dans le domaine x < 0, une onde progressive se propage dans le sens des x croissants, soit vi(x, t) = vi(x - c1t). On constate qu'en général il existe une onde réfléchie vr(x, t) et une onde transmise Vt(x, t) à l'interface, comme représentées sur la figure 1.

2

\

.Justifier la continuité des vitesses des particules du fluide de part et d'autre de l'interface.

Pourquoi y a-t-il également continuité de la surpression?

Vt

0

Figure 1

11.3 On définit les coefficients de réflexion et de transmission de l'énergie acoustique de l'onde

incidente à l'interface comme R = lvr~O, tj 12

et T = 1 - R. Exprimer R et T en fonction de Z1 Vi Ü, t

et Z2.

11.4 On reprend l'étude précédente, mais avec une interface constituée d'une paroi rigide, mobile sans frottement, de section S égale à celle du tube et de masse M, dont on négligera l'épaisseur pour simplifier l'écriture (figure 2). Quelle relation de continuité obtenue en 11.2 est conservée? Comment est modifiée l'autre relation?

M 0 s

Vi Vt )li .. 4IE Vr

0

Figure 2

11.5 On considère une onde incidente de la forme vi(x, t) =Aï exp[i(wt - kix)], Ai étant son amplitude complexe. Préciser l'expression de l'onde réfléchie Vr (x, t) et celle de l'onde transmise Vt(x, t); on désignera leurs amplitudes complexes respectivement par Ar et At.

A Déterminer le coefficient de réflexion en amplitude r = A: et en intensité R = lrl2 . Montrer

que l'expression de Rest formellement identique à celle obtenue en 11.3 en remplaçant Z2 par une impédance Z~ que l'on déterminera. Comment évoluent R et T avec w? Quelle est l'influence de la masse sur le coefficient de réflexion? Commenter le résultat.

3

5

Exprimer la puissance moyenne (9' transportée à travers une conduite de sectio

stante $ 0, en fonction de Pm et de l'impédance acoustique de la conduite Z8 •

L'onde s re de fréquence 1 kHz se propage dans l'air d'impédanc aractéristique Zair . Le tablea uivant donne, au seuil de perception et au seuil ouleur, les ordres

Quelle est, écibels, l'intensité sonore résultant de la superposition sonore ises par deux sources indépendantes d'intensité 60 dB ?

e : log 2 ~ 0, 3 . e.1°' - Zol l .. 'P.Si

DEUXIEME PARTIE REFLEXION ET TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE

DI TUYAU SONORE : INFLUENCES DES FLUIDES ET D'UN RACCORDEMENT

Une conduite est constituée de deux tubes cylindriques de sections respectives S1 et S2,

de même axe x'x et séparés par le plan x =o. Deux fluides non miscibles se répartissent de part et d'autre de ce plan (figure 2).

)ï;i- x < 0 : le fluide 1 est de masse volumique /.-'1 ; le son s'y propage à la célérité C1 ;

)ï;i- x > 0 : le fluide 2 est de masse volumique µ2 ; le son s'y propage à la célérité C2.

Za2

Figure 2

Les impédances acoustiques Z81 et Z82 des tubes de sections respectives S1 et S2 sont liées aux impédances caractéristiques Z1 et Z2 des milieux par les relations:

Il Z81 = µ1 C1 = 21 pour x < 0 Il Z 82 = µ2 C2 = 22 pour x > 0 avec a = 281

. S 1 S 1 S 2 S2 Za2

Une onde de pression plane progressive harmonique incidente p1 (x, t) se propage dans le milieu 1 selon le sens des x croissants. La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement donne naissance en x = O à :

)ï;i- une onde de pression transmise dans le milieu 2, p1 (0, t) dont la puissance est.~, )ï;i- une onde de pression réfléchie dans le milieu 1, p, (0, t) dont la puissance est gz:.

© Tnurn,.'7 IA ngae S.V.P.

6

Les pressions acoustiques incidente, transmise et réfléchie s'expriment par:

Pt (x, t) = Pim cos[ w( t - ~2 ) ] Pr (x, t) = P,m cos[ w( t + ~1 ) ]

La puissance moyenne (?f) est associée à l'onde incidente. Les coefficients de

réflexion R et de transmission T en puissance sont définis par les valeurs absolues des rapports des puissances moyennes transportées: O( ~) .. :;r( E-) S

(.~) (.:Jl/) ~ "• - "· • , R= ( . .Jf) et T = ( . .J<f). M.: ck'pfo..~~'"\. dco toue.\~

d.i ~ f"•de. . D1. Montrer que le déplacement incident, correspondant à p1 (x, t), s'écrit sous la forme :

u, (X. l)=U1m cos[ ro(t- ~J-% l Exprimer U1m en fonction de f1m, ro, C1 et µ1 .

D2. Donner les puissances moyennes transportées (.;li/), ( . ..;t;) et ( . ..JI/) en fonction de Pim,

Prm , P1m et des impédances acoustiques des tubes, notées Za1 et Za2 •

D3. Enoncer, en les justifiant, les conditions de passage de l'onde à l'interface des deux fluides. En déduire deux équations reliant P1m , Prm , P1m et a.

D4. Déterminer, en fonction de a, les coefficients de réflexion et de transmission en

amplitude de pression : rp = Pr {O, t) et tp = Pt (O, t) . P1 (0, t) P1 (0, t)

D5. Exprimer les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance à travers l'interface en fonction du seul coefficient a. Quelle relation existe-t-il entre R et T ? Que traduit-elle ?

Influence des deux milieux pour une conduite de section constante : S1 = S2 = So

La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est liée à la différence de nature entre les deux fluides.

D6. Le milieu 2 est l'air, d'impédance caractéristique Za1r2 et le milieu 1 l'intérieur du corps humain dont les constituants sont caractérisés par une impédance caractéristique Zcorps1 » Za1r2 . Evaluer rp et tp , puis T et R. Commenter.

Calculer l'atténuation en décibel Tda = 10 log(T), correspondant au coefficient de

transmission T = 1, 7 .10-3 . Pourquoi le médecin utilise-t-il un stéthoscope pour écouter

les battements cardiaques ou les murmures respiratoires ? Donnée : log 17 Rj 1, 2.

Influence du raccordement des deux conduites pour un fluide unique: a= S2/S1

Un fluide de masse volumique au repos µ0 dans lequel le son se propage à la célérité C occupe la conduite constituée des deux tubes de sections différentes S1 et S2. La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est représentée par le changement de section.

D7. Tracer l'allure de la fonction R(a). Pour quelle valeur de a, y a-t-il adaptation de l'impédance ? Commenter les cas limites : S

2 « S1 et S2 » S1 •

E / PAVILLON EXPONENTIEL ET ADAPTATION DE L'IMPÉDANCE

Un pavillon acoustique rigide de longueur L, d'axe de révolution Ox et de section circulaire S(x) (figure 3) contient un fluide au repos de pression Po, de masse volumique µo et de coefficient de compressibilité isentropique Xs constant. Les effets de pesanteur sont négligés.

S(O)

Figure 3

7

L ·-----------------------------------·

S(x)l lS(x+d.;.xl..) ,_.......-___ + :o·----1 t XI

' ' ·-· u(x,t)

air S(L)

X

L'équilibre est perturbé par une onde sonore de faible amplitude qui se propage dans le pavillon suivant Ox. Elle est caractérisée par le déplacement longitudinal u(x, t) du fluide situé au repos à l'abscisse x, par la pression acoustique p(x, t) et par la vitesse acoustique

v(x, t) = au~~,t) ëx dont la composante radiale est négligée. L'équation d'Euler les relie par

l'équation différentielle : àp(x, t) = - µ0

àv(x, t) . ax at

Le champ de pression dans le fluide dépend du temps et de l'espace par la relation :

P(x,t) = P0 + p(x,t) 1p(x,t)1 << Po

E1. Exprimer l'accroissement relatif ô du volume S(x)dx de la tranche de fluide entre l'état de repos et l'état de mouvement. En déduire la surpression correspondante p(x, t) en

. au dlnS(x) fonction de x.s , u, ôx et dx .

E2. Démontrer l'expression de l'équation d'onde à laquelle obéit p(x, t) dans le pavillon :

1 82p(x, t) 82p(x, t) dlnS(x) àp(x, t) C2 at2 - ôx2 = dx ôx

La section circulaire du pavillon varie selon la loi : S(x) = S(O) exia, avec a > 0.

E3. Sachant que l'onde sonore se propage à la célérité C, écrire l'équation de propagation précédente en fonction de C, a et de dérivées spatiales et temporelles de p(x, t).

E4.

E5.

E6.

E7.

•!•

ES.

E9.

L'onde sonore est considérée plane progressive harmonique, de la forme :

f2(X,t)= Pmexp[j(wt-kx)].

Le nombre d'onde 15. est, a priori, complexe : fi. = k' - j k", k' et k" étant réels.

Mettre en évidence dans l'expression de E (x, t) les termes d'amortissement et de

propagation.

Etablir la relation de dispersion reliant _!s, ro, a et C.

Montrer que le pavillon se comporte comme un filtre passe-haut ; préciser sa pulsation de coupure roc en fonction de a et C.

Exprimer la fréquence de coupure fc en fonction de C, L, S(O) et S(L).

La fréquence de coupure du pavillon acoustique est fc = 150 Hz .

L'onde sonore progressive se propage suivant x > O. Déterminer le réel k' en fonction de C, roc et ro, ainsi que le réel k" en fonction uniquement de a.

Déterminer la puissance moyenne transférée par l'onde sonore à travers la surface S(x) perpendiculaire à sa direction de propagation, en fonction de Pm, µo, C, S(O), ro et roc. Commenter. (!)

Tournez la page S.V.P.

8

Le pavillon acoustique est intercalé dans le raccordement de deux conduites de sections S(O) et S(L) comme l'indique la figure 4 ci-dessous :

L

---.... X

Figure 4

E1 O. Déterminer, pour ro > 10 roc , le coefficient de transmission Tpav = rranstérée i relatif aux ·9fncldente

puissances acoustiques incidente à l'entrée et transférée à la sortie du pavillon de longueur L. Que peut-on dire du rapport des intensités sonores transférée et incidente

1 transférée ? Commenter. 1 Incidente

E11. Comparer Îpav au coefficient de transmission en puissance T de la conduite en

l'absence de pavillon (situation considérée aux questions 05. et 07.) en exprimant le

rapport î~v en fonction de a. Préciser la valeur numérique de ce rapport pour a= 9.

Commenter en précisant le gain en décibel obtenu par le pavillon intercalé. Donnée: log36 ~ 1,56.

TROISIEME PARTIE ODELE SIMPLIFIE D'UN SILENCIEUX D'ECHAPPEMEN

Le tu u d'échappement d'une automobile est assimilé à une co uite cylindrique supposée infinie e section S1 occupée par un gaz d'échappement de m se volumique µo au repos. L'expulsion ce gaz de combustion engendre des ondes sa res désagréables pour l'oreille humaine, il fa n diminuer l'intensité.

Un filtre acoustique

de longueur L, d'échappement.

expulsion du gaz : naissance de l'onde

sonore

Il

x'

lindrique, ou silencieux d'échap_ ment, de section S2 (S2 > S1) et

dans la conduite (fi e 5 . Il est traversé par le gaz

échappement

X ~-r~~~~~•~~~~-

Figure 5 0

Le n se propage à la célérité C = 460 m.s-1 dans /' semble du dispositif à une re de 250°C.

L ruit à assourdir est modélisé par une onde sonore incidente plane p ressive harmonique

de fréquence f caractérisée par la pression acoustique: e ;(x, t) = Rm exp[j t-kx)].

Physique /, année 2009 - filière PC

ne s'intéresse qu'aux cas où la sonde est dan ce plan. La vitesse de la sonde dans f.l' est suppo e toujours assez faible pour que la force d'inertie e Coriolis soit négligée. On note m la masse de sonde, r la distance Terre-Soleil, rr = TM la tance sonde-Terre, rs = SM la distance sonde-S eil, et êr le vecteur un,Îtaire qui pointe du Soleil rs la sonde ·

y -+ w ®

!Jl' (sonde) M ê,

····::::·;_---

····· z ~S)""'-'-'-'~~---,r,---~~~~T'--~~~~'-----x

(Soleil) (Terre)

'on du mouvement de la sonde dans f.l' s'écri

où Ep est une énergie potentielle dont on n fonction de m, m, Ms, Mr, rs et rr.

Les positions d'équilibre de la sonde dans orrespon nt aux extrema de Ep, on montre qu'il en existe cinq, toutes contenues dans le plan (S, êx, . C positions sont appelées points de Lagrange.

U 19 - Montrer qu'il existe trois points de Lag e sur l'axe (S,êx)· Puis, à l'aide d'arguments énergétiques, préciser si ces points d'équilibre ont s bles ou instables vis-à-vis de perturbations dans la direction ê.x.

On s'intéresse au point de Lagrange Lz itué sur l'axe (S,êx dans le cône d'ombre à l'opposé du Soleil par rapport à la Terre (voir figu 4). On note fla distance tre le centre de la Terre et Lz.

U 20 - Donner, sans la résoudr , l'équation algébrique vérifiée p f. En faisant l'hypothèse que f « r, trouver une expression li rale approximative de f, et en déduire valeur numérique. Vérifier a posteriori l'hypothèse sur

Il est possible de montre que Lz est stable vis-à-vis de perturbations dans les 'rections êy et êz. On considèrera donc, po simplifier, que tout se passe comme si la sonde était as 'nte à se déplacer uniquement sur l'a (S,êx). sans frottement.

U 21 - La so e étant placée en Lz, on envisage une petite perturbation de sa positio e la forme ~ (t) = e(t)"''x· Écrire l'équation différentielle vérifiée par e(t). Linéariser cette équation en pposant qu'à cha e instant ton puisse écrire r » f, » e(t). On fera apparaître dans l'équation liné · ée un temps actéristique t' dont on donnera l'expression littérale en fonction der, C.1 et Ms. En dé ire un o re de grandeur numérique de l'intervalle de temps séparant deux repositionnements consécutl d a sonde Planck.

FIN DE LA PARTIE III

IV. - Pression de radiation t1in~ -'Po"~ /ioo ~ /PC Le but de cette partie est de justifier l'expression de l'équation d'état du rayonnement utilisée dans la partie II.B. Le rayonnement cosmologique peut être considéré comme une superposition d'ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques de fréquences et de directions de propa­gation différentes. On note u l'énergie du rayonnement par unité de volume, moyennée en temps et en espace et p la pression de radiation, c'est-à-dire la force par unité de surface, moyennée en temps, qu'exercerait le rayonnement sur les parois parfaitement réfléchissantes d'une enceinte qui le contiendrait. Avec ces notations, on veut établir l'équation d'état du rayonnement: p = u/3. Pour cela, on commence par étudier la réflexion d'une onde électromagnétique monochromatique en incidence oblique sur un miroir métallique parfaitement conducteur. @

L'espace est rapporté au repère orthonormé direct ( 0, !!fi) avec !!fi= (êx,êy,êz). Le demi-espace x < 0 est le vide et le demi­espace x ~ 0 est rempli par un métal de conductivité électrique infinie. L'onde incidente est une onde plane progressive mono­chromatique de pulsation w, de longueur d'onde Â, polarisée rec­tilignement dans la direction êz et se propageant dans la direction -donnée par le vecteur d'onde k i = kcos( 0) êx + ksin( 0) êy où k = 27r/Â.

LE RAYONNEMENT FOSSILE

Figure 6

En un point M de coordonnées (x,y,z) dans /!fi, à l'instant t et en représentation complexe, le champ électrique de cette onde incidente s'écrit :

-0 22 - Déterminer la représentation complexe des composantes du champ magnétique l1 i de l'onde

incidente dans /!fi.

Cette onde provient des x < O. Elle rencontre en x = 0 le miroir métallique parfaitement conducteur et donne naissance ~une onde plane réfléchie, caractérisé~ar sa pulsation w,, ses champs électrique

l_ r et magnétique l1,, ainsi que par son vecteur d'onde k ,. La représentation complexe du champ électrique associé à cette onde s'écrit:

0 23 - Justifier que le champ électrique est toujours nul dans le métal. En traduisant les conditions aux limites sur le champ électrique en x = 0, montrer que la pulsation de l'onde réfléchie est la même -que celle de l'onde incidente, puis déterminer les composantes de k r dans !!fi en fonction de k et o. Que constatez-vous? -0 24-Montrerque E or= -Eoiêz. Donner alors l'expression dans !!fi de la représentation complexe - -du champ Er de l'onde réfléchie. En déduire, toujours dans !!fi celle de l1, dans.

0 25 - En utilisant les résultats obtenus précedemment, déterminer les expressions réelles du champ - -électrique E et du champ magnétique B résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie dans le demi-espace x <O. On exprimera les résultats dans /!fi. 0 26-Déterminer l'expression de u, définie comme la moyenne temporelle et spatiale de la densité volumique d'énergie de l'onde résultante. Cette expression fait-elle intervenir 0 ? -0 27-0n note j s l'expression réelle de la densité de courant surfacique qui prend naissance sur la surface x = 0 du miroir. A l'aide des conditions aux limites relatives au champ magnétique en x = 0, -déterminer les composantes de j s dans /!fi.

0 28 - Un élément d'aire dS de la surface x = 0 du miroir est soumis à la force élémentaire - 1- - 1 d F = 2 j s /\ B dS. Préciser ce que représente cette force et justifier la présence du facteur 2 dans

l'expression. Calculer la valeur moyenne temporelle Pe de la quantité -dF .-'Ire= dS .ex

Cette quantité Pe = (ne)1 est appelée pression de radiation d'une onde sous l'incidence O.

Physique/, année 2009 - filière PC

0 29 - L'onde incidente peut arriver de la région x < 0 sur <le miroir dans toutes les directions possibles (en trois dimensions). En supposant que toutes les directions sont équiprobables, donner l'expression de la pression de radiation p, qui est définie comme la moyenne sur toutes les directions de PB· En déduire l'équation d'état du rayonnement.

0 30 - L'équation d'état du rayonnement a été établie pour un rayonnement monochromatique. Justifier qu'elle reste valable pour un rayonnement polychromatique. Remarque : l'étude de cette partie a traité uniquement le cas où l'onde incidente était polarisée per­pendiculairement au plan d'incidence. Cependant, le même résultat final serait obtenu pour une onde dont la direction de polarisation est contenue dans le plan d'incidence.

FIN DE LA PARTIE IV

FIN DE L'ÉPREUVE Notations et valeurs numériques - masse du Soleil: Ms~ 1, 99 x 1030 kg; - masse de la Terre: Mr ~ 5, 97 x 1024 kg; - distance Terre-Soleil : r c::::: 1, 49 x 1011 m ; - constante de gravitation universelle : C§ ~ 6, 67 x 10- 11 kg- 1 .m3 .s-2 ; - célérité de la lumière dans le vide: c ~ 3,00 x 108 m,s- 1 ;

- constante de Planck : h ~ 6, 62 x 10-34 J.s ; - constante de Boltzmann: k8 ~ 1,38 x 10-23 J.K- 1; - permittivité électrique du vide ; EQ ~ 8, 85 X 10-12 F.m- l ;

- perméabilité magnétique du vide : µa = 41t' x 1o-7 H.m- 1.

CCP - tlf-1"'" • Rè1·••1'h1ir é'ft,{101'11~ .. ~rve · 2. Onde entre deux plans parfaitement conducteurs.

Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct Oxyz, on définit la base (ex, ey, ez).

On dispose de deux plans métalliques parallèles au plan JOzet d'équations x= 0 et x= a. Dans l'espace vide entre ces plans conducteurs, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation w et polarisée rectilignement suivant Oy. Suivant le sens de propagation de l'onde, les deux plans métalliques joueront le rôle de «résonateur électromagnétique» (figure 2) ou de «guide d'ondes »(figure 3).

X

.. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~ë~~~~i~~r:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : · · . ' ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '·.....:- -vide

. : : : : : : : :~~:::::::::::::::: ~~~~~~~~~:::::::::::::::::::::::::.. z .................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •_.: --figure 2

X

. ,.. .. -.. -... -.. -... -.. -... -.. -... -.. -.. -... -.. -... -.. -... -.. -... -.. -... -.. -... -.. -.. -... -.. -.... :-:-· --.. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~~qu~~eµr::::::::::::::::::::::: · · ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' .............. .

vide

: : : : : : : ~~::::::::::::::::: ~~~~ç~~::::::::::::::::::::::::::.. z

figure 3

2.1. Montrer que dans un conducteur parfait, en l'absence de champ statique, nous avons: E = 0 , B = 0 , j = 0 , p = 0 (champ électrique, champ magnétique, densité volumique de courant et densité volumique de charges).

2.2. Compléter les quatre relations de passage ci-après concernant les champs E et Bau niveau de la surface d'équation x = 0 entre le conducteur parfait (milieu 1) et le vide (milieu 2). Les composantes de E et B seront indicées T (tangentielles) et N (normales) et nous poserons 0'

5 et J5 respectivement la densité surfacique de charges et le vecteur surfacique de courant.

Relations: (1) Er. -Er.= ; (2) EN -E., = ; (3) B~ -Br.= ; (4) BN -B., = 2 1 2 /Yt 12 l l IYJ

2.3. Montage en « résonateur électromagnétique » (figure 2) L'onde électromagnétique incidente @, J1i), polarisée rectilignement et parallèlement à Oy, se propage vets le métal dans le sens du vecteur d'onde k = -k.e x. En notation complexe, le

champ électriqu-e incident est donné par: E, = Eo ei<œt+kxleY.

2.3.1. Déterminer, à l'aide de l'équation de structure d'une onde plane, le champ magnétique incident B1.

'>"Or\ rr- °'\O:.h~ .. \. ; el;> <Jo.\io•> 1.. f""î VO•I )UOft~ J ....... .... .v\.li1ct t.,, ~o, .. v(111 Lu oAUfJ r•"' ,(,,. <o"'r t...1.r • ®

2.3.2. En utilisant les relations de passage des composantes du champ électrique, détenniner le champ E,(O, t) de l'onde réfléchie sur le plan conducteur d'équation x= 0, et en déduire les champs électrique E, et magnétique B, de l'onde réfléchie en tout point de l'espace.

2.3.3. Exprimer le champ électrique total J1(x, t) et le champ magnétique total ~x, t) à l'instant t en un point M(x, y, z) de la cavité. En déduire le rapport des modules des

champs complexes ! en fonction de c, k et x.

2.3.4. Montrer que la fréquence de l'onde dans cette cavité ne peut prendre que des valeurs discrètes fr. exprimées à l'aide de l'entier N Application numérique : Calculer la fréquence propre minimale de ce résonateur pour une distance a = 3 cm entre les plans métalliques.

Les résultats des quatre questions suivantes seront exprimés en fonction de e0 , c, E0 , a et pour N = 1 .

2.3.5. Détenniner le vecteur de Poynting R(x, t) de l'onde résultante et en déduire sa moyenne temporelle <R(x, t)>1. Commenter le résultat.

2.3.6. Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique u(x, t) puis sa moyenne temporelle <u(x, t)>1 en fonction de e0 et E-O.

2.3. 7. Détenniner le vecteur densité surfacique de courant j/.... t) qui parcourt à l'instant t la plaque métallique, à l'interface métal-vide, en x= O.

2.3.8. En déduire, en fonction de e0 et E-0, la pression électromagnétique moyenne

temporelle < p > 1 = ( df) exercée par l'onde sur cette plaque, sachant que dS 1

df = j5(t)dSx B(O, t) est la force de Laplace exercée sur l'élément de surface dS

2 du plan métallique d'équation x= O. Application numérique: On donne la valeur E-0 = 100 V.m-1

; calculer <u(x, t)>1 et <p>t.

2.4. tage en« guide d'ondes» (figure 3, page 9) idère une onde électromagnétique (E1, B1), progressive, monochromati

propagean ns le vide entre deux plans conducteurs distants de a, suivant lad' ion de Oz et telle que le c p électrique reste parallèle aux deux plans. On impo e la fonne de E1 est : E

1 (x, z, t) =Bi ( iClllt-.\zl e

1•

2.4.1. y et en déduire que lJi est de la fonne :

sachant que l'on exclut de B1 toute

onctions F(x) et G(x). Justifier l'attribution du

xprimer l'équation de Maxwell-Ampère et e éduire l'équation différentielle vérifiée par l'amplitude E1(x) du champ électrique. Le hamps /11 et l1i vérifient-ils les deux autres équations de Maxwell ? Justifier votre répo e. @

u(t) st On définiL le décrément logarithmique comme étant la quantité dm = ln ( T) où T = 27r /w et m

u t+m un ntier strictement positif. Exprimer dm en fonction de met de Q. d} n réalise un montage expérimental où le circuit RLC est excité par un générateur BF. Comm t faut choisir signal délivré par le générateur pour observer les oscillations libres du circuit? La tensio

-il es 2.

ux born du conden ateur est enregistrée grâce à un logiciel d'acquisition. Le signal obtenu est représentés la figure

u (V)

4

~

3

2

1

0 '

,, t (µs)

60 20 80 240 300 ' -1

-2

" ' -3

-4

Figure 2 Oscillations libres du circ "t RLC

Estimer le facteur e qualité Q du circuit. I.A.4) On ppose Q » 1 : la dissipation d'énergie par effet Joule est tr "tée comme une perturbation p ar rapport au c du circuit non dissipatif (R = 0).

a) Da le cas où R = 0, établir l'expression de la valeur moyenne temporelle de l'énergie électromagn é-tique ckée dans le circuit.

b} Dans le cas où R =!= 0, montrer qu'au premier ordre en 1/Q, l'énergie WJ dissipe par effet Joule dans le · cuit RLC, pendanL une période, vérifie la relation :

(.tl\.\,Cl lt -TSi - 2o" ''L' ~ WJ = ~ (&) .. ft\O~el,'rt: VII~'"":~: &-(U~OM~t":h""' tl~~11rctli h

I.B - Ondes de Schumann (J l La surface terrestre et l'ionosphère, couche supérieure conductrice de l'atmosphère, forment les deux parois, supposées parfaitement conductrices dans un premier temps, d'une cavité sphérique. Afin de simplifier la géo­métrie du problème, on « déplie » la cavité étudiée de façon à assimiler localement la surface terrestre à son plan tangent (Oxy). On utilisera la base (O; ë,,, ~' ëz) des coordonnées cartésiennes, conformément au schéma de la figure 3. L'intérieur de la cavité (0 :::;;; z :::;;; h) est supposé vide de charges et de courants, ses propriétés électromagnétiques sont identiques à celles du vide. I.B.1) Justifier qua.litativement l'approximation d'une ca.vité « dépliée».

I.B.2) Expérimentalement, on observe que le bruit de fond électromagnétique atmosphérique, dû aux orages, présente des résonances pour les valeurs suivantes (à 0,5 Hz près) de la fréquence, appelées fréquences propres par la suite : 8, 14, 20, 26 Hz ...

On envisage la propagation, dans l'atmosphère, d'une onde électromagnétique plane, progressive et monochro­matique. La longueur d'onde Àn, la pulsation Wn, la fréquence fn et le module du vecteur d'onde kn de cette onde sont indexés par l'entier n strictement positif. Le champ magnétique de cette onde se met sous la forme :

~(+) ~ Bn (x, t) = Bon cos(wnt - k,,x )ey.

Définir chacun des termes : « onde électromagnétique », « plane », « progressive » et « monochromatique ». @ IW.::.~a. a:sxl.&

z

h

Intérieur de la cavité

X Oy

Figure 3 Schéma de la cavité atmosphérique

I.B.3) On note Ë~+)(x, t) le champ électrique de l'onde étudiée. Écrire les équations de Maxwell vérifiées

par jj~+) (x, t) et Ë~+) (x, t) à l'intérieur de la cavité et établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par

jj~+) (x, t). En déduire la relation liant Wn, kn et c = 1/ ,Jeoµ,0 .

I.B.4) L'approximation d'une cavité « dépliée » exige aussi que la circonférence terrestre soit égale à un multiple entier de la longeur d'onde Àn : 27!" Rr = nÀn· Interpréter cette relation. Calculer numériquement les fréquences propres pour les trois premières valeurs de n et les comparer aux fréquences propres mesurées expérimentalement.

I.B.5) Déterminer l'expression du champ électrique Ë~+)(x, t) de l'onde étudiée pour 0:::;; z:::;; h.

I.B.6) En réalité, l'onde peut se propager dans la cavité dans le sens des x croissants comme dans le sens opposé.

a) Donner l'expression du champ magnétique jJ~-)(x,t) en tout point identique à jj~+)(x,t) mais se propa-geant dans le sens opposé. b} On considère désormais que l'onde dans la cavité résulte de la superposition des deux ondes précédentes qui se propagent dans des sens opposés. En déduire les expressions suivantes du champ magnétique résultant Bn(x, t) et du champ électrique résultant Ën(x, t) :

Bn(X, t) Ën(x, t)

2Bon cos(wnt) cos(knx)ë'y -2cBon sin(wnt) sin(knx)ëz

Caractériser aussi précisément que possible l'onde résultante. I.B. 7) Ra eler les relations de assa e pour le champ électromagnétique aux deux interfaces en z = 0 et en z = h. En déduir l'existence de courants et de charges électriques à la surface terrestre et à la surface de l'ionosphère. Établir les expressions des densités surfaciques de courant correspondantes f.m(x, z = 0, t) et

.fsn(x, z = h, t). ~ l\C. P°"' ''".; .. r·' (Of.UC' : ~t--1\dtc. f..- ~. "'u t4't d..; C.0\Jl'"l

I. C - Facteur de qualité de la cavité atmosphérique J-Comme la Terre et l'ionosphère ne sont pas des conducteurs parfaits, l'énergie des ondes électromagnétiques pré­sentes dans l'atmosphère est dissipée par effet Joule dans les parois de la cavité atmosphérique. L'amortissement correspondant peut être caractérisé par un facteur de qualité, que l'on propose d'évaluer de la même manière que pour le circuit RLC dans la partie I.A.

On définit une tranche de la cavité atmosphérique comme étant le volume compris entre x = 0 et x = Àn, entre z = 0 et z = h et entre y = 0 et y = b.

I.C.1) En utilisant les résultats de la questions I.B.6, établir l'expression de la valeur moyenne temporelle

(&n) de l'énergie électromagnétique de l'onde ( Bn(x, t), Ën(x, t)), stockée dans la tranche considérée.

I.C.2) Les conductivités électriques respectives de la Terre et de l'ionosphère sont notées 'Yt et 'Yi· Pour calculer l'énergie dissipée par effet Joule, on modélise les courants circulant dans la Terre par une densité volumique de courant l;.(x, z, t) énergétiquement équivalente et circulant seulement sur une épaisseur Ôtn, appelée «épaisseur de peau », à la surface de la Terre :

fn(x, z, t) X,(x, z, t)

= .fsn(x,z=O,t)/ôtn 0

pour

pour -Ôtn:::;; Z:::;; 0

Z :::;; -Ôtn

avec Ôtn = J2/(J.Lo'YtWn) et où .fsn(x, z = 0, t) est la densité surfacique de courant déterminée à la question 1.B. 7. a) Contrôler que Ôtn est bien homogène à une longueur.

b} Rappeler l'expression de la puissance volumique dissipée par effet Joule en fonction de 11111 et de 'Y dans

un conducteur ohmique de conductivité 'Y parcouru par des courants électriques de densité volu:ique J ([fJ

c) En déduire l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans la Terre, pendant une période 27!" /wn, entre x = 0 et x = Àn, y= 0 et y= b. Exprimer le résultat en fonction de Bon, J.Lo, b, 8tn et Àn·

d} Sans calculs supplément.aires, donner l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans l'ionosphère, pendant une période 27r /wn, entre x = 0 et x = Àn, y = 0 et y = b. On fera intervenir la profondeur de peau dans l'ionosphère 8in = J2/(J.Lo'YiWn). e) Exprimer l'énergie totale WJn dissipée par effet Joule, pendant une période, dans les parois de la. tranche considérée. I.C.3) Définir le facteur de qualité Qn de la cavité atmosphérique pour l'onde étudiée par une relation similaire à celle établie à la question I.A.4. Exprimer Qn en fonction de h, 8tn et 8in· Donner la valeur numé­rique de Qn pour les deux premières valeurs de n. Que pensez-vous de la précision de la méthode perturbative utilisée?

I.C.4) Déduire de la valeur de Qn une estimation numérique de la durée caractéristique Tn d'amortissement de l'onde pour n = 1. La comparer à la durée moyenne entre deux impacts de foudre sur la Terre, qui est de l'ordre de 10-2 s.

Quelques aspects thermodynamiques de l'atmosphère nsité de l'air atmosphérique décroît fortement avec l'altitude, ce qui fait que l'essentiel de la masse de

l'atmo hère est concentrée dans la troposphère. Dans les questions suivantes, nous étudierons uni ement cette ré ·on qui s'étend jusqu'à une dizaine de kilomètres d'altitude. Le champ de pesanteur terr tre y est supposé u "forme : g = -gêz où le vecteur unitaire êz est orienté selon la verticale ascendante. L' itude z = 0 correspond à; a surface des mers et océans. L'étude est menée dans le référentiel terrestre, sup sé galiléen. Données:

Rayon terrest : Rr = 6,40 x 103 km Accélération de a pesanteur : g = 9,81 m · s-2

Constante des ga arfaits : R = 8,31 J. K- 1 · mo1- 1

Masse molaire du d zote : MN2 = 28,0 g · mo1- 1

Masse molaire du dio gène: Mo2 = 32,0 g · mo1- 1

Masse molaire de l'air : a = 28,8 g · mo1-1

Rapport des capacités the iques massiques de l'air : 'Y= cp = 1,40 cv

Enthalpie massique de vapori tion de l'eau (supposée indépendant e la température) : fvap = 2,25 X 106 J · kg-l

L'air et la vapeur d'eau sont assimilé la capacité thermique massique de l'air à pression constante.

II.A - Équilibre isotherme de l'atm On s'intéresse à l'équilibre hydrostatique de température et la pression seront prises en z = 11.A.1)

a) t de l'air, justifier la valeur de Ma. Montrer que l'équation d'état des gaz parfaits ' crit = µRaT, où Pet T sont la pression et la température absolue du gaz et Ra est une constante qui d' end du ga . Calculer cette constante en unités SI.

b) Écrire l'équilibre d'un volume infinit' 1mal d'atmosph e situé entre les altitudes z et z + dz. En déduire que le gradient vertical de pression vaut P/dz = -µg.

11.A.2) Le modèle le plus simple d' mosphère (atmosphère is herme) consiste à supposer que la température est constante et égale à T0 . En déd re P(z). Définir une longueur aractéristique des variations de la pression et la calculer à 300 K. Donner a si l'expression de 1;,(z).

On propose maintenant d'' udier la stabilité de l'atmosphère isotherme vi à-vis des mouvements verticaux de l'air. On considère une arcelle d'air en équilibre mécanique et thermique œ l'altitude zo. Cette parcelle d'air constitue un système ermé. Sa masse, son volume, sa pression, sa températ e et sa masse volumique sont notées respectiveme t m 1 , V1 , P1 , T1 et 1;,1 . On envisage un mouvement vertical cette parcelle d'air qui la fait passer de l'altitu zo à l'altitude zo + ê(t), avec \ê(t)\ « z0 • On fait l'hypothèse e la pression de la parcelle d'air reste égal à la pression environnante à toute altitude et que, vu la faible cond tivité thermique de l'air, l'évolution c sidérée est adiabatique et réversible. Tous les calculs seront limités au p mier ordre en ê(t).

appeler, pour un gaz parfait, les capacités thermiques molaires à volume cons nt Cvm et à pression consta Cpm, en fonction de leur rapport 'Y et de R. En déduire l'expression de la capacité de l' · Cp à pression constante en fonction de 'Y et Ra· Faire l'application numérique. II .2) Traduire l'hypothèse d'équilibre thermique et mécanique de la parcelle d'air à 1 titude zo, en

nsidérant ses paramètres intensifs. ® I&