Transformation de Laplace Table.doc 1

TABLE DE TRANSFORMEES DE LAPLACE

F(p) f(t) t > 0

1 Impulsion unitaire δ(t) de durée t0 et d’amplitude 1/t0

I Impulsion δ(t) de durée t0 → 0, d’amplitude A et d’intensité I = A.t0

e-τp Impulsion unitaire retardée δ(t-τ)

1p

Echelon unitaire u(t)

Ep

Echelon d’amplitude E.u(t)

1p

e p−τ. Echelon unitaire retardé u(t-τ)

( )11

pe p− −τ.

Impulsion rectangulaire u(t) - u(t-τ)

1p a+

e- at.u(t)

11+ τp

e

u tt− /

( )τ

τ

12p

Rampe unité : t.u(t)

1pn n entier positif

tn−

−

1

1(n )!u(t)

1p a.(p )+

1− −e

a

at

u(t)

11p p.( )+ τ

( )1− −e u tt/ . ( )τ

( )1

2p a+

t.e-at.u(t)

( )1

12

+ τp t

e u tt

ττ

2− / . ( )

( )1

p an

+

11

1

(n )!.

−∈ℵ− −t en at .u(t) n *

( )1

1+ τpn

( )

1

11

ττ

nn t

nt e

−∈ℵ− −

!. / .u(t) n *

Transformation de Laplace Table.doc 2

F(p) f(t) t > 0

112p p.( )+ τ

(t-τ+τ.e-t/τ).u(t)

( )1

12

p p. + τ 1 1− +

−( ) . ( )/t

e u tt

ττ

( )1

12 2p p. + τ

( )t t u tt− + + −2 2τ τ τ( )e . ( )/

ωωp2 2+

sin(ωt).u(t)

pp2 2+ ω

cos(ωt).u(t)

( )ω

ωp a+ +2 2

e-at.sin(ωt).u(t)

( )p a

p a

+

+ +2 2ω

e-at.cos(ωt).u(t)

p ap

++2 2ω

at u t

2 2

2

++

ωω

ω ϕ ϕω

sin( ). ( ) = arctana

12 2p p.( )+ ω

1

2

− cos( )

ωω

tu t

1(p ).(p )+ +a b

( )1b a

e eat bt

−−− − .u(t)

11 11 2( ).( )+ +τ τp p

( )1

1 2

1 2

τ ττ τ

−−− −e et t/ / .u(t)

11 11 2p p p.( ).( )+ +τ τ

( )11

1 21 2

1 2−−

−− −

τ ττ ττ τ. ./ /e et t .u(t)

11 12

1 2p p p( ).( )+ +τ τ ( )t e et t− + +

−−− −( ) . ./ /τ τ

τ ττ ττ τ

1 21 2

12

221

1 2 .u(t)

122

0 02p m p+ +ω ω

m < 1 1

10 2

ωω ω ωωe t u t mm t− −sin( ). ( ) = 0

122

0 02p m p+ +ω ω

m > 1 e e

r r

r t r t2 1

2 1

. .−−

u(t) r1,2 : racines de l'équation caractéristique

1

220 0

2p p m p.( )+ +ω ω m < 1

11

02

0 0

ωωω

ω ϕω− +

−e tm t sin( ) u(t) ϕ = arccos(m)

1

220 0

2p p m p.( )+ +ω ω m > 1

11

02

02

2 1 2 1

2 1

ωω

−−

−

r rer

er

r t r t

u(t)

1

22 20 0

2p p m p( )+ +ω ω m < 1

11

2 1

02

0

0

ω ω ωω ϕω− + +

−m

e tm t sin( ) u(t)

Transformation de Laplace Table.doc 3

F(p) f(t) t > 0

pa b(p ).(p )+ +

( )1a b

a e b eat bt

−−− −. . .u(t)

( ) ( )p c

p a p b

++ +.

( ) ( )( )1b a

c a e c b e u tat bt

−− − −− −. . . ( )