chapitre 4 : séries de fourier et transformées de fourier©matiques appliquées, chapitre...

Mathématiques appliquées 2019-2020 Cl. Gabriel

Chapitre 4 : séries de Fourier et transformées de Fourier

1 Introduction

Les séries de Fourier constituent un outil fondamental dans l'étude desfonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développée labranche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique.

Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier en 1822,mais il fallut un siècle pour que les analystes dégagent les outils d'étudeadaptés : une théorie de l'intégrale pleinement satisfaisante et les premiersconcepts de l'analyse fonctionnelle. Elles font encore actuellement l'objetde recherches actives pour elles-mêmes, et ont suscité plusieurs branchesnouvelles : analyse harmonique, théorie du signal, ondelettes, etc.

Figure 1 Les quatre premières sommes partielles dela série de Fourier pour un signal carré

Les séries de Fourier se rencontrent dans la décom-position de signaux périodiques, dans l'étude descourants électriques, des ondes cérébrales, dans lasynthèse sonore, le traitement d'images, etc.

Un signal périodique de fréquence f et de forme quel-conque peut être obtenu en ajoutant à une sinusoïdede fréquence f (fondamentale), des sinusoïdes dontles fréquences sont des multiples entiers de f . Cessignaux ont des amplitudes et des positions de phaseappropriées.

De même, on peut décomposer toute onde récurrenteen une somme de sinusoïdes (fondamentale et harmo-niques).

L'étude d'une fonction périodique par les séries deFourier comprend deux volets :

• l'analyse, qui consiste en la détermination dela suite de ses coecients de Fourier (souventreprésentés dans un diagramme spectral ouspectre) ;

• la synthèse, qui permet de retrouver, en un cer-tain sens, la fonction à l'aide de la suite de sescoecients.

1


Deux questions se posent alors : premièrement, est-il possible de représenter une fonction non périodique parquelque chose d'analogue à une série de Fourier ? Ensuite, peut-on étendre ou modier le concept de série deFourier de manière à inclure le cas d'un spectre continu ?

De même qu'à la limite continue, une somme est remplacée par une intégrale, la série de Fourier sera remplacéepar une intégrale de Fourier. Celle-ci peut être utilisée pour représenter des fonctions non périodiques, parexemple un son qui n'est pas répété, une impulsion unique de tension, ou un ash de lumière.

Le théorème intégral de Fourier fait intervenir un spectre continu de fréquences, par exemple un en-semble de sons musicaux simples ou de couleurs de lumières simples.

La transformation de Fourier est donc une extension, pour les fonctions non périodiques, du développementen série de Fourier des fonctions périodiques. La transformation de Fourier associe à une fonction intégrable,dénie sur l'ensemble des nombres réels ou celui des nombres complexes, une fonction appelée transformée deFourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.

La transformée de Fourier s'exprime comme somme innie des fonctions trigonométriques de toutes fré-quences. Une telle sommation se présente sous forme d'intégrale. Séries et transformation de Fourier constituentles deux outils de base de l'analyse harmonique.

Lorsqu'une fonction représente un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou du champacoustique en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.

2 Séries de Fourier

2.1 Introduction

On s'attache ici pour l'essentiel à l'étude du problème suivant :

Une fonction périodique F (x) de période T peut elle s'exprimer comme somme d'une série trigonométrique :∑(an cosnωx+ bn sinnωx) avec ω = 2π/T .

Etudié par Fourier au début du dix-neuvième siècle dans sa recherche de solutions de l'équation de la chaleur(équation de diusion), ce problème conduit à une branche des mathématiques toujours vivantes.

2.2 Fonctions périodiques

Une fonction f(x) est dite périodique de période T si :

∀x, f(x+ T ) = f(x) (1)

(où T est une constante réelle positive). La plus petite des valeurs de T > 0 est appelée moindre période ou période de f(x). On dit encore que la fonction f(x) est T -périodique.

Exemples :

• sinx a pour période 2π, 4π, 6π, · · · et pour moindre période 2π ;

• sinnx a pour moindre période 2πn ;

• tanx a pour moindre période π.

Remarque : si f est une fonction 2π-périodique sur R, alors la fonction g dénie par :

g(x) = f

(2π

Tx

)(2)

est T -périodique. On peut par cette remarque ramener l'étude des fonctions T -périodiques à celles des fonctions2π-périodiques.

2


Figure 2 Graphe d'une fonction périodique

2.3 Polynômes trigonométriques

On appelle polynôme trigonométrique complexe, de pulsation ω ∈ R, de période T = 2πω toute application U : R→ C telle qu'il existe une

suite nie (cn)−N6n6N pour laquelle

∀x ∈ R , U(x) =N∑

n=−Ncne

inωx (3)

Remarque : nous avons :

U(x) =N∑

k=−Ncke

ikωx

=

−1∑k=−N

ck (cos(ωkx) + i sin(ωkx)) + c0 +N∑k=1

ck (cos(ωkx) + i sin(ωkx))

= c0 +

N∑k=1

(ck + c−k) cos(ωkx) + i (ck − c−k) sin(ωkx)

Nous pouvons alors écrire U(x) comme une combinaison linéaire de fonctions trigonométriques cos(ωkx), sin(ωkx) de périodes multiplesde T :

U(x) =a0

2+

N∑k=1

(ak cos(ωkx) + bk sin(ωkx)) (4)

avec les formules de passage (n > 0) :

an = cn + c−n et bn = i(cn − c−n) (5)

et :

cn =1

2(an − ibn) et c−n =

1

2(an + ibn) (6)

2.4 Dénition des séries de Fourier

Soit f(x) une fonction dénie sur un intervalle ]−L,L[ et déterminée à l'extérieur de l'intervalle par f(x+2L) =f(x), c'est-à-dire supposons f(x) de période T = 2L.

Denition (Série de Fourier) :La série de Fourier correspondant à f(x) est dénie par :

a0

2+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)(7)

où les coecients an et bn ∀n ∈ N sont appelés coecients de Fourier et valent :

an =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπx

Ldx (8)

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

nπx

Ldx (9)

Remarquons que les fonctions trigonométriques cos nπxL et sin nπxL sont de période 2L

n c'est-à-dire de fréquences

3


égales à n2L c'est-à-dire des multiples entiers de fois la fréquence de la fonction f(x) qui vaut 1

2L .Notons que :

a0

2=

1

2L

∫ L

−Lf(x)dx (10)

est la moyenne de f(x) sur une période.

Remarque : autres notations utilisées en théorie du signal :

Dans la suite, nous utiliserons surtout des fonctions de la variable x de période 2L.En théorie du signal, on utilise la variable temporelle t, on note T la période (au lieu de 2L) et on introduit soninverse f = 1

T qui est appelée la fréquence fondamentale du signal ; la quantité nπxL devient alors 2nπt

T = 2πnftce qui peut s'interprêter comme un multiple entier n de fois la fréquence fondamentale du signal f = 1

T multi-pliée par 2π.

• Dans ce contexte, le coecient a0/2 est la valeur moyenne du signal f(t) puisque :

a0

2=

1

T

∫ T/2

−T/2f(t)dt (11)

Ce terme est appelé la composante continue ou encore valeur DC du signal.

• Le terme a1 cos 2πtT +b1 sin 2πt

T est appelé la fondamentale du signal ou encore la première harmoniquedu signal.

• Le terme an cos 2nπtT + bn sin 2πnt

T est appelé la nième harmonique du signal.

Théorème 2.1 (Translation de l'intervalle d'intégration) :Comme f(x) a une période de 2L, les coecients de Fourier peuvent aussi être déterminés par les formules :

an =1

L

∫ c+2L

c

f(x) cosnπx

Ldx (12)

bn =1

L

∫ c+2L

c

f(x) sinnπx

Ldx (13)

∀c ∈ R.

PreuveTout d'abord, g(x) = f(x) cos nπxL est 2L−périodique puisque :

g(x+ 2L) = f(x+ 2L) cosnπ(x+ 2L)

L= f(x) cos

(nπx

L+ 2nπ

)= f(x) cos

nπx

L= g(x)

Ensuite, si g(x) est 2L−périodique, on a : ∫ L

−Lg(x)dx =

∫ c+2L

c

g(x)dx ∀c ∈ R

En eet ∀α, β ∈ R :

∫ β

α

g(x)dx =

∫ β+2L

α+2L

g(y − 2L)dy où l'on a posé : x = y − 2L

=

∫ β+2L

α+2L

g(y)dy comme g(y) est 2L périodique.

En particulier, si α = −L et β = c, on a : ∫ c

−Lg(x)dx =

∫ c+2L

L

g(y)dy ∀c ∈ R

4


Par conséquent :

∫ c+2L

c

g(x)dx =

∫ −Lc

g(x)dx+

∫ L

−Lg(x)dx+

∫ c+2L

L

g(x)dx

= −∫ c

−Lg(x)dx+

∫ L

−Lg(x)dx+

∫ c

−Lg(x)dx

=

∫ L

−Lg(x)dx

ce qui termine la preuve.

Théorème 2.2 (Cas particulier) :

Si L = π, la série devient :

a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) (14)

et les coecients de Fourier an et bn ∀n ∈ N deviennent :

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnxdx (15)

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sinnxdx (16)

Attention

A ce stade, la série correspond à f(x). On ne sait pas si elle converge, et même si elle converge, si elle convergevers f(x).

Plus précisément, si l'on dénit :

Denition (Somme partielle d'indice N)

SfN (x) =a0

2+

N∑n=1

(an cos(nπx/L) + bn sin(nπx/L))

Le problème de la convergence peut donc s'énoncer comme suit :

Sous quelles conditions la série limN→∞

SfN (x) converge-t-elle vers f(x) ?

Plusieurs types de convergence peuvent être considérées. Considérons tout d'abord la convergence ponctuelleou simple. Pour rappel :

Denition (Convergence ponctuelle)Une série

∑∞n=0 fn(x) converge ponctuellement sur un ensemble S si et seulement si :

∀x ∈ S on a limN→∞

(f(x)−∑∞n=0 fn(x)) = 0.

5


2.5 Conditions de Dirichlet pour la convergence ponctuelle de la série de Fourier

Théorème 2.3 (Conditions susantes de Dirichlet pour la convergence ponctuelle de la série)Supposons que :

1. f(x) est dénie sur [−L,L] sauf peut-être en un nombre ni de points ;

2. f(x) est périodique de période 2L ;

3. f(x) et f ′(x) sont continues par morceaux dans [−L,L] ;

alors la série de Fourier converge vers :

• f(x) si x est un point de continuité de f ;

• f(x+0)+f(x−0)2 si x est un point de discontinuité de f .

On peut alors écrire :

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)(17)

en tout point de continuité.Si x est un point de discontinuité, le membre de gauche de l'équation précédente doit être remplacé par la valeurmoyenne de f au point de discontinuité, c'est-à-dire :

f(x+0) + f(x−0)

2=a0

2+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)(18)

Remarques :

• Rappelons qu'une fonction f : (a, b]→ C est dite continue par morceaux sur [a, b] si :

1. f est continue sur [a, b] sauf en un nombre ni de points x1, · · · , xk ;2. en chacun des points x1, · · · , xk les limites à gauche et à droite de f existent, c'est-à-dire :

∀j = 1, · · · , k f(xj−) = limh→0,h>0

f(xj − h) et f(xj+) = limh→0,h>0

f(xj + h)

En particulier, f(a+) et f(b−) existent.

• On dit qu'une fonction est lisse par morceaux sur [a, b] si f(.) et f ′(.) sont continues par morceau sur[a, b]. En particulier f ′(a+) et f ′(b−) existent.

• On dit que f : R → C est continue (resp. lisse) par morceaux sur R si elle est continue (resp. lisse) parmorceaux sur tout intervalle borné [a, b] ⊂ R. Un exemple et un contre-exemple de fonction lisse parmorceaux sont donnés à la gure 3.

Figure 3 Une fonction qui est lisse par morceaux et une fonction qui ne l'est pas

• Les conditions 1 et 3 de Dirichlet peuvent alors être remplacées par la formule : Si f est lisse parmorceaux sur R

6


• Les hypothèses du Théorème de Dirichlet ne peuvent pas être relaxées facilement. Plus précisément, lecontre exemple de Du Bois-Reymond fournit un exemple de fonction continue sur R pour laquelle la sériede Fourier diverge.

• Il existe une version un peu plus forte du théorème de Dirichlet, qui s'énonce comme suit :

Théorème 2.4 (Autres conditions susantes de Dirichlet pour la convergence de la série)Supposons que :

1. f(x) est périodique de période 2L ;

2. f(x) est bornée ;

3. f(x) possède sur chaque intervale d'une période un nombre ni de discontinuités et d'extrema lo-caux ;

alors la série de Fourier converge vers :

f(x) si x est un point de continuité de f ;

f(x+0)+f(x−0)2 si x est un point de discontinuité de f .

Cette formulation est un peu plus générale que celle du théorème 2.3 mais les hypothèses sont plus diciles àvérier.

Preuve du théorème 2.3

Lemme 2.5Montrons que :

1

2+ cos x+ cos 2x+ · · ·+ cosMx =

sin(M + 12 )x

2 sin 12x

(19)

On a :

cosnx sin1

2x =

1

2

sin

((n+

1

2)x

)− sin

((n−

1

2)x

)puisqu'en développant le membre de droite en utilisant les formules d'addition, on a :

1

2

(sinnx cos

1

2x+ cosnx sin

1

2x− sinnx cos

1

2x+ cosnx sin

1

2x

)= cosnx. sin

1

2x

Sommons de n = 1 à M :

sin1

2x cos x+ cos 2x+ · · ·+ cosMx =

1

2

sin

3

2x− sin

1

2x+ sin

5

2x− sin

3

2x+ · · ·

+ sin

(M +

1

2

)x− sin

(M −

1

2

)x

=

1

2

(sin

(M +

1

2

)x− sin

1

2x

)donc :

cos x+ cos 2x+ · · ·+ cosMx =1

2

(sin(M + 1

2

)x− sin 1

2x)

sin 12x

et :

1

2+ cos x+ cos 2x+ · · ·+ cosMx =

1

2

(sin(M + 1

2

)x− sin 1

2x+ sin 12x)

sin 12x

=1

2

sin(M + 1

2

)x

sin 12x

ce qui prouve le lemme.

Remrque : on appelle le n-ième noyau de Dirichlet nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet le polynômetrigonométrique déni par :

Dn(x) =n∑

k=−neikx

= 1 + 2n∑k=1

cos(kx)Dn(x) =n∑

k=−neikx

= 1 + 2n∑k=1

cos(kx). (20)

C'est donc une fonction 2π-périodique de classe C∞ . Elle vérie de plus :

• si x n'est pas un multiple entier de 2π, alors Dn(x) =sin((n+ 1

2

)x)

sin(x2

) ;

• si x est un multiple entier de 2π, alors Dn(x) = 2n+ 1.

7


Figure 4 Tracé des premiers noyaux de Dirichlet.

Le n-ième terme de la série de Fourier d'une fonction 2π-périodique et intégrable f s'écrit :

Sn(f)(x) =1

2π

∫ π

−πf(t)Dn(x− t) dt =

1

2π

∫ π

−πDn(t)f(x− t) dt = (Dn ∗ f)(x). (21)

L'identité précédente est un produit de convolution, ou l'application d'un opérateur à noyau.


1

π

∫ π

0

sin(M + 1

2

)x

2 sin 12x

dx =1

2

et :1

π

∫ 0

−π

sin(M + 1

2

)x

2 sin 12x

dx =1

2

En intégrant le lemme 2.5 c'est évident puisque les intégrales de tous les cos sont nulles.


limn→∞

∫ π

−πf(x) sinnxdx = lim

n→∞

∫ π

−πf(x) cosnxdx = 0

si f(x) est continue par morceaux.

Pour prouver ce lemme, on a besoin de l'inégalité de Bessel :

Théorème 2.8 Inégalité de Bessel∀ entier positif M, on a :

a20

2+

M∑n=1

(a

2n + b

2n

)6

1

L

∫ L

−Lf(x)2 dx (22)

où an et bn sont les coecients de Fourier de f(x), supposée continue par morceaux.

Prouvons l'inégalité de Bessel :Posons :

SM (x) =a0

2+

M∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)(23)

C'est la suite des sommes partielles de la série de Fourier correspondant à f(x).On a : ∫ L

−L(f(x)− SM (x))

2dx > 0

8


comme l'intégrand est positif.En développant l'intégrand, on obtient :

2

∫ L

−Lf(x)SM (x)dx−

∫ L

−LS

2M (x)dx >

∫ L

−L(f(x))

2dx (24)

Multiplions les deux membres de (23) par 2f(x) et intégrons :

2

∫ L

−Lf(x)SM (x)dx =

a0

2

∫ L

−Lf(x)dx+

M∑n=1

(an

∫ L

−Lf(x) cos

nπx

Ldx+ bn

∫ L

−Lf(x) sin

nπx

Ldx

)

= 2L

a2

0

4+

M∑n=1

(a

2n + b

2n

)

Elevons (23) au carré et intégrons : ∫ L

−LS

2M (x)dx = L

a2

0

2+

M∑n=1

(a

2n + b

2n

)

où on a utilisé le résultat : ∫ L

−Lcos

mπx

Lcos

nπx

Ldx =

∫ L

−Lsin

mπx

Lsin

nπx

Ldx

=

0 si m 6= nL si m = n

et : ∫ L

−Lcos

mπx

Lsin

nπx

Ldx = 0

qui s'obtiennent directement à l'aide des formules de Simpson inverses :

cosA cosB =1

2cos(A− B) + cos(A+ B)

sinA sinB =1

2cos(A− B)− cos(A+ B)

sinA cosB =1

2sin(A− B) + sin(A+ B)

(25)

En remplaçant dans (24) et en divisant par L, on a :

a20

2+

M∑n=1

(a

2n + b

2n

)6

1

L

∫ L

−Lf(x)2 dx

En prenant la limite pour M →∞, on obtient l'inégalité de Bessel.

Prouvons maintenant le lemme 2.7.La série :

a20

2+

M∑n=1

(a

2n + b

2n

)est convergente (puisque majorée par une intégrale nie, si f(x) est continue par morceaux, donc :

limn→∞

an = limn→∞

bn = 0. (26)

Ce résultat est parfois appelé lemme de Riemann-Lebesgue (cf. théorème 2.13).

Lemme 2.9 Montrons que :

limM→∞

∫ π

−πf(x) sin(M +

1

2)xdx = 0 (27)

si f(x) est continue par morceaux.

On a : ∫ π

−πf(x) sin(M +

1

2)xdx =

∫ π

−πf(x) sin

1

2x cosMxdx+

∫ π

−πf(x) cos

1

2x sinMxdx

En appliquant le lemme 2.7 avec f(x) remplacée par f(x) sin 12x ou f(x) cos 1

2x (qui sont bien continues par morceaux), on a le résultatrequis.

Remarquons que ce résultat peut aussi être prouvé si les limites d'intégration sont a et b putôt que −π et π.

Venons au théorème proprement dit.

9


Lemme 2.10 Supposons L = π, c'est-à-dire que la série de Fourier correspondant à f(x) a une période 2L = 2π et montrons que :

SM (x) =a0

2+

M∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) =1

π

∫ π

−π

f(t+ x) sin(M + 12 )t

2 sin 12 t

dt (28)

On a, en utilisant les formules des coecients de Fourier lorsque L = π :

an cosnx+ bn sinnx =1

π

∫ π

−πf(u) cosnu cosnxdu+

1

π

∫ π

−πf(u) sinnu sinnxdu

=1

π

∫ π

−πf(u) cosnu cosnx+ sinnu sinnx du

=1

π

∫ π

−πf(u) cosn(u− x)du

et aussi :

a0

2=

1

2π

∫ π

−πf(u)du

Donc :

SM (x) =a0

2+

M∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx)

=1

2π

∫ π

−πf(u)du+

1

π

M∑n=1

∫ π

−πf(u) cosn(u− x)du

=1

π

∫ π

−πf(u)

1

2+

M∑n=1

cosn(u− x)

du

=1

π

∫ π

−πf(u)

sin(M + 12 )(u− x)

2 sin 12 (u− x)

du

où on a utilisé le lemme 2.5 en y remplaçant t par u− x. Passons à la variable d'intégration t = u− x, on a :

SM (x) =1

π

∫ π−x

−π−xf(t+ x)

sin(M + 12 )t

2 sin 12 t

dt

Comme l'intégrand a une période 2π, on peut remplacer l'intervalle de −π−x à π−x par tout intervalle de longueur 2π, en particulier[−π, π]. On a donc :

SM (x) =1

π

∫ π

−πf(t+ x)

sin(M + 12 )t

2 sin 12 t

dt

ce qui est le résultat attendu.


SM (x)−f(x+ 0) + f(x− 0

2=

1

π

∫ 0

−π

f(t+ x)− f(x− 0)

2 sin 12 t

sin(M +1

2)tdt

+1

π

∫ π

0

f(t+ x)− f(x+ 0)

2 sin 12 t

sin(M +1

2)tdt (29)

On a par le lemme 2.10 :

SM (x) =1

π

∫ π

−πf(t+ x)

sin(M + 12 )t

2 sin 12 t

dt

=1

π

∫ 0

−πf(t+ x)

sin(M + 12 )t

2 sin 12 t

dt+1

π

∫ π

0

f(t+ x)sin(M + 1

2 )t

2 sin 12 t

dt (30)

Multiplions les intégrales du lemme 2.6 par f(x− 0) et f(x+ 0) respectivement et sommons :

f(x+ 0) + f(x− 0)

2=

1

π

∫ 0

−π

f(x− 0) sin(M + 12 )t

2 sin 12 t

dt+1

π

∫ π

0

f(x+ 0) sin(M + 12 )t

2 sin 12 t

dt (31)

En soustrayant (31) de (30), on a le résultat attendu.

Lemme 2.12 Si f(x) et f ′(x) sont continues par morceaux, montrons que :

limM→∞

SM (x) =f(x+ 0) + f(x− 0)

2(32)

La fonction :f(t+ x)− f(x+ 0)

2 sin 12 t

10


est continue par morceaux sur 0 6 t 6 π car f(x) l'est aussi. Donc :

limt→0+

f(t+ x)− f(x+ 0)

2 sin 12 t

= limt→0+

f(x+ t)− f(x+ 0)

t

12 t

sin 12 t

= limt→0+

f(x+ t)− f(x+ 0)

t

existe puisque par hypothèse f(x) est continue par morceaux, de telle sorte que la dérivée à droite de f(x) en chaque x existe.

Alors, f(t+x)−f(x+0)

2 sin 12t

est continue par morceaux sur 0 6 t 6 π.

De la même manière, la fonction :f(t+ x)− f(x− 0)

2 sin 12 t

est continue par morceaux sur −π 6 t 6 0.Par les lemmes 2.9 et 2.11, on a :

limM→∞

SM (x)−

f(x+ 0) + f(x− 0)

2

= 0

ou encore :

limM→∞

SM (x) =f(x+ 0) + f(x− 0)

2

ce qui achève de prouver le théorème et établit les conditions de Dirichlet.

2.6 Premiers exemples

1. Soit la fonction f(t) = t sur [−π, π] et périodique de période 2π.

Cette fonction vérie les conditions de Dirichlet d'existence de la série de Fourier.

Calculons ses coecients de Fourier :

a0 =1

π

∫ π

−πtdt =

1

π

[t2

2

]π−π

=1

π

(π2

2− π2

2

)= 0

an =1

π

∫ π

−πt cosntdt ∀n 6= 0

Une intégration par parties donne directement :u(t) = t

v′(t) = cosnt

u′(t) = 1

v(t) = sinntt

soit :

an =1

π

[t sinnt

n

]π−π− 1

π

∫ π

−π

sinnt

ndt

= 0 +1

n2π[cosnt]

π−π = 0

De la même façon, on obtient :

bn =1

π

∫ π

−πt sinntdt ∀n 6= 0

11


Une intégration par parties donne directement :u(t) = t

v′(t) = sinnt

u′(t) = 1

v(t) = − cosntt

soit :

bn = − 1

πn[t cos t]

π−π +

1

nπ

∫ π

−πcosntdt

= − 1

πn(π cosnπ + π cos(−nπ)) +

1

nπ

[sinnt

n

]π−π

= − 2

ncosnπ +

1

n2π(sinnπ + sinnπ)

= − 2

ncosnπ

=

− 2n si n est pair

2n si n est impair

Nous pouvons donc écrire :

t =

∞∑k=1

(−1)k+1 2

ksin kt sur [−π, π] (33)

2. Trouver les coecients de Fourier correspondant à la fonction :

f(x) =

0 pour − 5 < x < 0

3 pour 0 < x < 5

et de période 10, et écrire la série de Fourier correspondante. Comment faudrait-il dénir f en x =−5, 0, et 5 pour que la série de Fourier converge sur −5 6 x 6 5 vers f(x) ?

Comme la période est de 2L = 10, on a L = 5. Choisissons l'intervalle d'intégration de telle sorte quec+ 2L = 5, c'est-à-dire c = −5. Alors, on a :

an =1

L

∫ c+2L

c

f(x) cosnπx

Ldx =

1

5

∫ 5

−5

f(x) cosnπx

5dx

=1

5

∫ 0

−5

f(x) cosnπx

5dx+

1

5

∫ 5

0

f(x) cosnπx

5dx

=3

5

∫ 5

0

cosnπx

5dx =

3

5

5

nπ

[sin

nπx

5

]50

=3

nπ(sinnπ − sin 0) = 0 si n 6= 0

Si n = 0,

a0 =3

5

∫ 5

0

cos0πx

5dx =

3

5

∫ 5

0

dx =3

5.5 = 3

12


De la même manière, on a :

bn =1

L

∫ c+2L

c

f(x) sinnπx

Ldx =

1

5

∫ 5

−5

f(x) sinnπx

5dx

=1

5

∫ 0

−5

f(x) sinnπx

5dx+

1

5

∫ 5

0

f(x) sinnπx

5dx

=3

5

∫ 5

0

f(x) sinnπx

5dx =

3

5

−5

nπ

[cos

nπx

5

]50

=−3

nπ(cosnπ − cos 0) =

3

nπ(1− cosnπ)

La série de Fourier correspondante à f(x) est donc :

a0

2+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)=

3

2+

∞∑n=1

3

nπ(1− cosnπ) sin

nπx

5

=3

2+

6

π

(sin

πx

5+

1

3sin

3πx

5+

1

5sin

5πx

5+ · · ·

)Comme f(x) vérie les conditions de Dirichlet, la série converge vers f(x)∀x qui correspond à un point

de continuité et vers f(x+0)+f(x−0)2 aux points de discontinuité.

En x = −5, x = 0 et x = 5, la série converge vers 3+02 = 3

2 . Il faut donc dénir comme suit la fonction :

f(x) =

32 si x = −5

0 si − 5 < x < 032 si x = 0

3 si 0 < x < 532 si x = 5

3. Développer f(x) = x2 0 < x < 2π en série de Fourier si la période est de 2π.

Comme la période vaut 2L = 2π, on a L = π ; xons c = 0, on a :

an =1

L

∫ c+2L

c

f(x) cosnπx

Ldx =

1

π

∫ 2π

0

x2 cosnxdx

En intégrant par parties,u(x) = x2

v′(x) = cosnx

u′(x) = 2x

v(x) = 1n sinnx

on trouve :

an =1

π

[x2

nsinnx

]2π

0

− 1

π

2

n

∫ 2π

0

x sinnxdx

Une deuxième intégration par parties :u(x) = x

v′(x) = sinnx

u′(x) = 1

v(x) = − 1ncosnx

13


donne :

an =1

π

[x2

nsinnx

]2π

0

+1

π

2

n2[x cosnx]

2π0 −

1

π

2

n2

∫ 2π

0

cosnxdx

=1

π

[x2

nsinnx

]2π

0

+1

π

2

n2[x cosnx]

2π0 −

1

π

2

n3[sinnx]

2π0

=1

π

2

n2(2π cos 2nπ − 0) =

4π

n2π=

4

n2pour n 6= 0

Si n = 0, on a :

a0 =1

π

∫ 2π

0

x2dx =1

π

[x3

3

]2π

0

=1

π

8π3

3=

8π2

3

De la même façon, on obtient :

bn =1

L

∫ c+2L

c

f(x) sinnπx

Ldx =

1

π

∫ 2π

0

x2 sinnxdx

En intégrant par parties,u(x) = x2

v′(x) = sinnx

u′(x) = 2x

v(x) = − 1ncosnx

on trouve :

bn =1

π

[− 1

nx2 cosnx

]2π

0

+1

π

2

n

∫ 2π

0

x cosnxdx

Une deuxième intégration par parties :u(x) = x

v′(x) = cosnx

u′(x) = 1

v(x) = 1n sinnx

donne :

bn =1

π

−1

n

[x2 cosnx

]2π0

+1

π

2

n2[x sinnx]

2π0 −

1

π

2

n2

∫ 2π

0

sinnxdx

=1

π

−1

n

[x2 cosnx

]2π0

+1

π

2

n2[x sinnx]

2π0 +

1

π

2

n3[cosnx]

2π0

=1

π

−1

n.4π2 +

1

π

2

n3.0 = −4π

n

Donc nalement :

f(x) =4π2

3+

∞∑n=1

(4

n2cosnx− 4π

nsinnx

)pour 0 < x < 2π

2.7 Séries de Fourier à termes complexes

En utilisant les formules d'Euler :

ejθ = cos θ + j sin θ

e−jθ = cos θ − j sin θ

on déduit :

cos θ =ejθ + e−jθ

2

sin θ =ejθ − e−jθ

2j

14


Remplaçons dans la série de Fourier correspondant à f(x) :

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)=

a0

2+

∞∑n=1

(anej

nπxL + e−j

nπxL

2+ bn

ejnπxL − e−j nπxL

2j

)

=a0

2+

∞∑n=1

(an − jbn

2ej

nπxL +

an + jbn2

e−jnπxL

)Puisque :

an =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπx

Ldx

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

nπx

Ldx

On a :

an − jbn2

=1

2L

∫ L

−Lf(x)

(cos

nπx

L− j sin

nπx

L

)dx

an + jbn2

=1

2L

∫ L

−Lf(x)

(cos

nπx

L+ j sin

nπx

L

)dx

et donc :

an − jbn2

=1

2L

∫ L

−Lf(x)e−j

nπxL dx ≡ cn

an + jbn2

=1

2L

∫ L

−Lf(x)ej

nπxL dx ≡ c−n ∀n ∈ N∗ (34)

et :a0

2=

1

2L

∫ L

−Lf(x)dx ≡ c0

La série de Fourier correspondant à f(x) peut se réécrire en utilisant ces nouveaux coecients :

f(x) =

∞∑n=−∞

cnej nπxL (35)

avec :

cn =1

2L

∫ L

−Lf(x)e−j

nπxL dx (36)

Remarque : en égalant la série de Fourier à f(x), on a supposé que les conditions de Dirichlet sont vériéeset que f(x) est continue en x. Si f(x) est discontinue en x, le membre de gauche de l'équation (35) doit être

remplacé par f(x+0)+f(x−0)2 .

Notons que l'inégalité de Bessel (22) devient alors, en termes des coecients complexes cn :

∞∑n=−∞

|cn|2 61

2L

∫ L

−L|f(x)|2 dx (37)

ExempleSoit la fonction porte périodisée suivante :

fp(t) =

0 si −2 6 t < −11 si −1 6 t < 10 si 1 6 t < 2

15


Figure 5 Fonction porte périodisée

Les coecients de Fourier valent :

cn = F (n) =1

T

∫ T/2

−T/2fp(t)e

−jnωtdt

= =1

4

[e−jnωt

−jnω

]1

−1

=1

4

1

−jnπ/2

(e−jnπ/2 − ejnπ/2

)=

1

nπ

1

2j

(ejnπ/2 − e−jnπ/2

)=

sinnπ/2

nπ(38)

En particulier, on a :

F (0) =1

2, F (2k) = 0 , F (2k + 1) =

(−1)k

(2k + 1)π, ω =

π

2

En posant :

Φ(t) =

∞∑n=−∞

F (n)ejnωt

On a donc :

Φ(t) = F (0) +

∞∑k=−∞

F (2k + 1)ej(2k+1)π2 t =1

2+

∞∑k=−∞

(−1)k

(2k + 1)πej(2k+1)π2 t

Examinons cette équation pour t = 1, un point de discontinuité :

Φ(t = 1) =1

2+

∞∑k=−∞

(−1)k

(2k + 1)πej(2k+1π2

=1

2+

∞∑k=−∞

(−1)k

(2k + 1)π

[cos((2k + 1)

π

2) + j sin((2k + 1)

π

2)]

=1

2+

∞∑k=−∞

(−1)k

(2k + 1)π

[j sin((2k + 1)

π

2)]

car l'argument du cosinus est un multiple de π/2 et ce terme est donc nul.Finalement :

Φ(t = 1) =1

2+

∞∑k=−∞

(−1)kj

(2k + 1)πsin((2k + 1)

π

2)

=1

2+

∞∑k=−∞

(−1)kj

(2k + 1)π(−1)k

=1

2+

∞∑k=−∞

j

(2k + 1)π

16


La somme innie est en fait nulle car en fait elle se ramène à :

Φ(t = 1) =1

2+j

π

[1

1+

1

3+

1

5+ · · ·+ 1

−1+

1

−3+

1

−5+ · · ·

]=

1

2+ 0 =

1

2

On voit qu'en ce point de discontinuité, on a bien :

Φ(t = 1) =fp(t = 1 + 0) + fp(t = 1− 0)

2

2.8 Spectre de Fourier

Le développement en série de Fourier d'un signal périodique de période T associe à celui-ci des sinusoïdes d'am-plitudes nies et de fréquences multiples de la fréquence du fondamental 1/T . On parle d'un spectre qui estun spectre de raies. Dans le cas général, le résultat de l'analyse peut s'exprimer soit en amplitudes et phases,soit en composantes cosinus et sinus.

Si les coecients de Fourier sont réels, on peut utiliser un seul graphique pour les représenter ; par exemple, pourla fonction porte périodisée précédente (cf. gure 5), on a trouvé en (38) les coecients de Fourier suivants :

F (n) =sin nπ

2

nπ

dont la représentation est donnée à la gure 6.

Figure 6 Spectre de la porte périodisée

On introduit souvent en théorie du signal la fonction sinus cardinal, notée Sinc, dénie comme suit :

Sinc(x) =sinπx

πx(39)

et dont le graphe est représenté à la gure 7.

Les coecients de Fourier de la porte périodisée valent alors :

F (n) =sin nπ

2

nπ=

1

2Sinc(n/2)

et représentent donc en fait un échantillonnage de la fonction Sinc(x) (ou de manière équivalente, la fonctionSinc(x) est l'enveloppe des coecients F (n), comme le montre la gure 8.

17


Figure 7 La fonction sinus cardinal

Figure 8 Spectre de Fourier de la fonction porte périodisée et graphe de la fonction sinus cardinal

Mais dans le cas général, on utilise deux graphiques, représentant le spectre d'amplitude et le spectre de phase,comme dans la gure 9.

Ainsi, on peut alors représenter par exemple les spectres d'amplitude et de phase de la fonction porte périodisée.

Figure 9 Spectres d'amplitude et de phase d'un signal périodique

18


Figure 10 Spectre d'amplitude de la fonction porte périodisée

Figure 11 Spectre de phase de la fonction porte périodisée

2.9 Exercices

Exercice 1Calculer le terme général du développement de Fourier des fonctions suivantes et écrire les 4 premiers termesnon nuls de celui-ci :

•

f(t) =

−1 sur [−π, 0[

1 sur [0, π[et périodique.

•

f(t) =

2t sur [−π, 0[t sur [0, π[

et périodique.

•

f(t) =

−π+t

2 sur [−π, 0[12 (π − t) sur [0, π[

et périodique.

•

f(t) = t2 sur [−2, 2] et périodique

•

f(t) =

sinωt sur [0, πω [

0 sur [−πω , 0]

et périodique.

2.10 Phénomène de GibbsLors de l'étude des séries de Fourier et des transformées de Fourier, il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom dephénomène de Gibbs. Ce phénomène est un eet de bord qui se produit à proximité d'une discontinuité, lors de l'analyse d'une fonctiondérivable par morceaux.

Le phénomène de Gibbs est, en quelque sorte, un défaut d'approximation pour une fonction continue de classe C1 par morceaux. Pourune telle fonction f , le théorème de Dirichlet assure que la série de Fourier de f converge simplement vers la fonction f sur l'intervalle où

19


f est C1 par morceaux. En tout point x de continuité, la somme de la série de Fourier est f(x).

Le polynôme trigonométrique SN (f)), N-ième somme partielle de la série de Fourier, est une fonction continue ; il est donc normal qu'il nepuisse approcher uniformément la fonction au voisinage des points de discontinuité. Inversement, sur un segment sur lequel f est dérivable,on observe une convergence uniforme, conformément au théorème de Weierstrass trigonométrique (c'est le cas des zones de plateau dansl'exemple de la fonction créneau).

Au point de discontinuité x, SN (f) subit une forte oscillation, une sorte de ressaut qui se mesure en comparant les valeurs en x−π

Net

x+π

N. En eet, toujours d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge aussi simplement aux points de discontinuités

mais vers la régularisée de Dirichlet, i.e. la demi-somme des valeurs de f de part et d'autre du point de discontinuité. Lorsque N devientgrand, l'amplitude de ces oscillations tend vers une limite strictement plus grande que l'amplitude de la discontinuité, alors que la largeurde la zone d'oscillation tend vers 0.

On peut montrer que si la fonction contient une discontinuité d'amplitude ∆y, alors la série de Fourier, tout en restant continue, connaîtra un sursaut s en ordonnée au voisinage de cette discontinuité dont la valeur tend vers une valeur constante lorsque n croît, avec s ≈ 1, 18.∆y(soit 18 pourcents de plus que la valeur de l'amplitude ∆y de la discontinuité au voisinage de celle-ci).

Figure 12 Cas d'une fonction en créneau (à gauche n=10, à droite n=50, les harmoniques sont représentésen vert) :

Figure 13 Cas d'une fonction en dents de scie (à gauche n=10, à droite n=50)

20


2.11 Propriétés des coecients de Fourier

Théorème 2.13 (Lemme de Riemann-Lebesgue) :

Soit une fonction f périodique et continue par morceaux. Les suites (an(f)) , (bn(f)) , (cn(f)) et (c−n(f)) (n ∈ N) des coe-cients de Fourier de f sont convergentes et ont pour limite 0.

PreuveCompte tenu des relations (34) , il est clair qu'il sut de prouver le résultat pour les suites (cn(f)) et (c−n(f)) (n ∈ N). De plus, puisque

cn(f) = c−n(f), on voit qu'il sut de prouver le résultat pour la suite (c−n). Pour les fonctions f =N∑j=0

Kj1[xj,xj+1] en escaliers, on a :

c−n(f) =1

2L

N∑j=0

∫ xj+1

xj

Kjei nπtL dt =

1

2inπ

N∑j=0

Kj

(einπxj+1

L − einπxjL

)

et donc la majoration :

|c−n| 61

nπ

N∑j=0

|Kj |

Pour une fonction continue par morceaux sur [−L,L] quelconque, la proposition découle alors du fait qu'il existe une suite (φk) de fonctionsen escaliers telle que

∫ L−L |f(x)− φk(x)|dx→ 0 quand n→∞. On utilisera ici que :

|cn(f − φk)| 61

2L

∫ L

−L|f(t)− φk(t)|dt

Si la fonction f est susamment régulière, on a aussi le résultat suivant :

Théorème 2.14 (Majoration des coecients de Fourier) :

Soient k un entier strictement positif, f une fonction 2L-périodique, (cn(f)) la suite des coecients de Fourier complexes def . Si f est k fois continument dérivable sur R alors il existe un réel M > 0 tel que ∀n ∈ Z \ 0 on ait :

|cn(f)| 6M

|n|k

PreuveSupposons que f est continument dérivable. En intégrant par parties et puisque f(2L) = f(0), on obtient :

cn(f) =1

2L

∫ 2L

0

f(t)e−i nπt

L dt =1

in

1

2π

∫ 2L

0

f′(t)e−i nπt

L dt

et donc :

|cn(f)| 61

|n|L

πsup

|f ′(t)|, t ∈ [0, 2L]

Dans le cas d'une fonction f de classe Ck avec k > 1, il sut de montrer par récurrence de la même manière que :

cn(f) =1

(in)kLk−1

2πk

∫ 2L

0

f(k)

(t)e−i nπt

L dt

de sorte que :

|cn(f)| 61

|n|kLk−1

2πk

∫ 2L

0

|f(k)(t)|dt

On peut donc prendre plus précisément M = Lk−1

2πk

∫ 2L0|f(k)(t)|dt ou M = Lk

πksup

|f(k)(t)|, t ∈ [0, 2L]

2.12 Convergence absolue, uniforme et normale des séries de FourierQuelques rappels :

• Denition (Convergence absolue)Une série

∑∞n=0 fn(x) converge absolument sur un ensemble S si et seulement si :

∀x ∈ S limN→∞

N∑n=0

|fn(x)| converge

c'est-à-dire si ∀x ∈ S, la série numérique∞∑n=0

fn(x) converge absolument.

omme pour les séries numériques, la convergence absolue implique la convergence simple, il est évident que la convergence absolued'une série de fonctions implique la convergence simple de cette série de fonctions.

21


• Denition (Convergence uniforme)Une série

∑∞n=0 fn(x) converge uniformément vers f(x) sur un ensemble S si et seulement si :

limN→∞

supx∈S

∣∣∣∣∣f(x)−N∑n=0

fn(x)

∣∣∣∣∣ = 0

La convergence uniforme d'une série de fonctions implique également sa convergence simple.

• Denition (Convergence normale)Si (fn) est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes dénies sur un même ensemble S, la série de terme général fn,

c'est-à-dire∞∑n=0

fn converge normalement sur S s'il existe une suite de réels un tels que :

pour tout n, |fn| est majorée par un sur S ;

la série de terme général un converge.

La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue en tout point.

A fortiori, la convergence normale d'une série implique sa convergence simple, autrement dit la convergence de la série en tout point.

Les implications réciproques sont fausses.

Rappelons également le Test en M de Weierstrass

Théorème 2.15 (Test en M de Weierstrass))Supposons que (fn(x) soient une suite de fonctions à valeur réelles ou complexes dénies sur un ensemble A , et supposons qu'ilexiste une suite de nombres positifs Mn tels que :

• ∀n > 1, ∀x ∈ S : |fn(x)| 6 Mn,

•∑∞n=1 Mn <∞

Alors la série∑∞n=1 fn(x) converge absolument et uniformément sur S.

Dans le cas de la série de Fourier, on a :

|cnejnπx/L| 6 |cn|

L'application du test en M de Weierstrass révèle donc que la série limN→∞

SfN (x) est absolument et uniformément convergente si la série

∞∑n=−∞

|cn| <∞ (40)

Venons en maintenant à quelques résultats donnant des conditions susantes pour diérentes formes de convergence des séries de Fourier.

Théorème 2.16 (Conditions susantes pour convergence absolue et uniforme des séries de Fourier) :

Si f est une fonction 2L-périodique lisse par morceaux et continue sur R alors la série de Fourier de f(.), c'est-à-dire limN→∞

SfN (.)

converge absolument et uniformément vers f(.).

La preuve du théorème 2.16 nécessite le résultat :

Théorème 2.17 Soit f : R → C une fonction 2L-périodique continue et lisse par morceaux dont les coecients de Fourier complexessont cn. Les coecients de Fourier c′n de la dérivée f ′(.) de f(.) sont donnés par :

c′n = jn πL cn.

En d'autres termes, pour une fonction continue et lisse par morceaux (c'est-à-dire C1 par morceaux), on peut dériver terme à terme la sériede Fourier.

Preuve du théorème 2.17Une intégration par parties (licite pour des fonctions de classe C1 par morceaux) donne :

c′n =

1

2L

∫ L

−Lf′(x)e

−jnπx/Ldx =

1

2L

[f(x)e

−jnπx/L]L−L−

1

2L

−jnπL

∫ L

−Lf(x)e

−jnπx/Ldx

=1

2L

jnπ

L

∫ L

−Lf(x)e

−jnπx/Ldx

= jnπ

Licn

Venons maintenant à la preuve du théorème :

22


Preuve du théorème 2.16

Comme mentionné précédemment (cf. équation (40)), il sut de montrer que∞∑

n=−∞|cn| est convergente. Les coecients de Fourier c′n de

la dérivée f ′(.) de f(.) sont donnés par c′n = jn πL cn. Donc, pour n 6= 0, on a cn = 1jn

Lπ c′n.

L'inégalité de Bessel (37) appliquée à la dérivée f ′(.) donne :

∞∑n=−∞

|c′n|2 6

1

2L

∫ L

−L|f ′(x)|2dx <∞

vu les hypothèses sur f(.).Par application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient alors :

∞∑n=−∞

|cn| = |c0|+∑n 6=0

L

π

∣∣∣∣ c′nn∣∣∣∣ 6 |c0|+ L

π

∑n 6=0

1

n2

12∑n6=0

|c′n|2

12

<∞

vu que∑n 6=0

1n2 = 2

∞∑n=1

1n2 <∞.

Théorème 2.18 (Conditions susantes pour convergence normale des séries de Fourier) :

Si f est une fonction 2L-périodique de classe Ck sur R avec k > 2 alors la série de Fourier de f est normalement conver-gente et sa somme est f .

Preuve du théorème 2.18Puisque l'on a |cn(f)| 6 M/n2, la série trigonométrique

∑cn(f)ei

nπtL est normalement convergente. Pour prouver que sa somme est f ,

on va d'abord prouver le lemme suivant :

Lemme 2.19 Soit∑n∈Z

cnei nπtL une série trigonométrique normalement convergente sur [−L,L] et S sa fonction somme. Alors la

fonction S est continue sur R et l'on a pour tout n ∈ Z :

cn =1

2L

∫ L

−LS(t)e

−i nπtL dt

En d'autres termes, la fonction somme S d'une série trigonométrique normalement convergente a les mêmes coecients de Fourierque f .

Le lemme se prouve comme suit.La fonction somme S est continue par la théorie générale et 2L-périodique. De plus, on a :∫ L

−LS(t)e

−i pπtL dt =

∑n∈Z

cn

∫ L

−Lei(n−p)πt

L dt

Par ailleurs, on a ∀k ∈ Z que

I(k) =

∫ L

−Lei kπtL dt =

0 si k 6= 0

2L si k = 0

Ceci termine la preuve du lemme et les coecients de Fourier de la fonction somme S sont bien égaux à ceux de la fonction f .

Revenons à celle du théorème 2.18.

Puisque f et S sont continues, on peut terminer la preuve du théorème (2.18) en invoquant le résultat suivant :

Théorème 2.20 Soit f une fonction continue par morceaux et 2π-périodique. S'il existe un point c ∈ [−π, π] tel que f(c) 6= 0 et f soitcontinue en c, alors les coecients de Fourier de f ne sont pas identiquement nuls.

qui reste valable pour les fonctions 2L-périodiques. En d'autres termes, deux fonctions distinctes continues ne peuvent pas avoir les mêmescoecients de Fourier.

Preuve du théorème 2.20On suppose que f(c) = a > 0. Puisque f est continue au point c, il existe un réel α > 0 assez petit tel que pour tout x ∈]c − α, c + α[ onait f(x) > a/2. Supposons que tous les coecients de Fourier de f soient nuls. Alors, pour tout polynôme triginométrique P (t) positif sur[c− α, c+ α], on a :

0 =

∫ c+π

c−πf(t)P (t)dt >

a

2

∫ c+α

c−αP (t)dt+

∫ c−α

c−πf(t)P (t)dt+

∫ c+π

c+α

f(t)P (t)dt

Considérons alors le polynôme trigonométrique :

P (t) = Pn(t) = (1 + cos(t− c)− cosα)n

Pour tout t ∈]c− α, c+ α[, on a cos(t− c) > cosα, donc Pn(t) > 1 et, pour tout n,

a

2

∫ c+α

c−αPn(t)dt > aα. (41)

23


Pour t ∈ [c− π, c+ π] \ [c− α, c+ α], on a par contre :

(1 + cos(t− c)− cosα) < 1

et donc Pn(t)→ 0 quand n→∞. Si la suite (Pn)n∈N convergeait uniformément vers 0 sur cet intervalle, on pourrait passer à la limite etécrire :

limn→+∞

(∫ c−α

c−πf(t)P (t)dt+

∫ c+π

c+α

f(t)P (t)dt

)=

∫ c−α

c−πf(t) lim

n→+∞P (t)dt+

∫ c+π

c+α

f(t) limn→+∞

P (t)dt = 0

On aboutirait à l'inégalité 0 > aα, ce qui est absurde. Malheureusement, la suite (Pn) ne converge pas uniformément sur [c − π, c + π] \[c−α, c+α]. Mais c'est le cas sur [c+α+ δ, c+ π] où δ > 0 est aussi petit que l'on veut, ce qui conduit à la preuve suivante. On remarqueque pour tout n, on a : ∣∣∣∣∫ c+π

c+α

f(t)Pn(t)dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ c+α+δ

c+α

f(t)Pn(t)dt+

∫ c+π

c+α+δ

f(t)Pn(t)dt

∣∣∣∣6

∣∣∣∣∫ c+α+δ

c+α

f(t)Pn(t)dt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ c+π

c+α+δ

f(t)Pn(t)dt

∣∣∣∣6 δ sup |f |+

∣∣∣∣∫ c+π

c+α+δ

f(t)Pn(t)dt

∣∣∣∣6 δ sup |f |+ π sup |f | sup

t∈[c+α+δ,c+π]

|Pn(t)|

6 δ sup |f |+ π. sup |f |max (− cosα, (1− cosα+ cos(α+ δ))n

Pour démontrer que la limite est zéro, on choisit successivement ε > 0, étant donné δ > 0 de sorte que δ sup |f | < ε2 , puis N ∈ N tel que

π. sup |f |max (− cosα, (1− cosα+ cos(α+ δ))n < ε2 , pour n > N , ce qui termine la preuve.

2.13 Interprétation vectorielle des séries de FourierOn peut se représenter une décomposition en série de Fourier comme la décomposition d'un vecteur sur une base dans un espace vectoriel.On fait pour commencer une analogie, les vecteurs de l'espace vectoriel étant des fonctions. Dans un espace vectoriel habituel, de dimensionN , un vecteur ~v peut s'écrire sur une base de N vecteurs ~ui :

~v =

N∑i=1

ci ~vi

où les ci sont les coordonnées de ~v dans la base ~ui.

Si l'on se place dans l'espace vectoriel abstrait des fonctions périodiques de période T = 2L , et que l'on appelle vecteur toute fonctionpériodique, l'expression (35) ressemble à la décomposition du vecteur f(x) sur une base dont les vecteurs de base seraient les fonctions

e−jnπxL et les cn sont les coordonnées de ce vecteur. Notons que le nombre de vecteurs de base est ici inni...

Sur cet espace vectoriel, on peut également dénir un produit scalaire comme suit :

〈f, g〉 =1

T

∫ T/2

−T/2f(t)g(t)dt (42)

Le choix des bornes d'intégration n'est pas important. On peut faire l'intégration sur n'importe quel intervalle de longueur T .

Deux fonctions sont orthogonales si et seulement si leur produit scalaire est nul.Par exemple, f(t) = cos t et g(t) = sin t sont orthogonales puisque :

〈f, g〉 =1

2π

∫ π

−πcos t sin tdt =

[1

4πsin

2(t)

]π−π

= 0

La norme d'une fonction T -périodique est :

||f || =[

1

T

∫ T/2

−T/2|f(t)|2dt

] 12

=√〈f, f〉 (43)

On dit que f(t) est une fonction de carré intégrable sur [a, b] si et seulement si :∫ b

a

|f(t)|2dt <∞ (44)

L'ensemble des fonctions T -périodiques et de carré intégrable sur l'intervalle [−T/2, T/2] est noté L2[0, T ].Cet ensemble est d'autant plus intéressant qu'il regroupe l'ensemble des signaux périodiques que l'on rencontre en théorie du signal. Nousverrons plus loin qu'il correspond aux signaux de puissance nie.

Dans un espace vectoriel habituel, pour calculer la coordonnée ci du vecteur ~v selon la direction du vecteur de base ~ui, on réalise le produitscalaire de ~v et de ~ui : ci = ~v. ~ui. Ceci ne marche que si les vecteurs de base sont orthogonaux.

On reconnaît dans l'expression (36) des coecients cn un produit scalaire tel que dénit ci-dessus. On peut vérier que les vecteurs de basefn(t) = ejnωt avec ω = 2π

T sont orthogonaux entre eux en utilisant le produit scalaire (42) :

〈e−jn2πTt, e−jm 2π

Tt〉 =

0 pour n 6= m1 si n = m

(45)

24


En eet, pour n 6= m :

〈fn, fm〉 =1

T

∫ T/2

−T/2exp jωt(n−m) dt

=

[exp jωt(n−m)jTω(n−m)

]T/2−T/2

=1

π(n−m)

1

2j

[ej(n−m)π − e−j(n−m)π

]=

1

π(n−m)sin(n−m)π

= 0

Si n = m, on a :

||fn||2 = 〈fn, fn〉 =1

T

∫ T/2

−T/2

∣∣∣ejnωt∣∣∣2 dt =1

T

∫ T/2

−T/2dt = 1

Les vecteurs de base fn sont donc normés.

La famille des exponentielles complexes :

S =· · · , e−2jωt

, e−jωt

, 1, ejωt

, e2jωt,···

(46)

est donc orthonormée. Elle constitue en fait une base orthonormée de l'espace de Hilbert, de dimension innie L2[0, T ].

2.14 Séries de Fourier des fonctions paires et impaires

2.14.1 Rappel : fonctions paires et impaires

• Une fonction f(x) est paire si et seulement si f(−x) = f(x)∀x ∈ Dom(f).Si une fonction est paire, alors : ∫ L

−Lf(x)dx = 2

∫ L

0

f(x)dx

car son graphe est symétrique par rapport à l'axe vertical.

• Une fonction f(x) est impaire si et seulement si f(−x) = −f(x)∀x ∈ Dom(f) Si une fonction est impaire,alors : ∫ L

−Lf(x)dx = 0

car son graphe est symétrique par rapport à l'origine des axes (0, 0).

Mais une fonction dont la courbe représentative possède un axe ou un centre de symétrie n'est pas forcémentpaire ou impaire : il est nécessaire que le centre soit O ou l'axe soit (Oy).

25


2.14.2 Séries de Fourier des fonctions paires et impaires

Par conséquent, si une fonction est paire, la série de Fourier correspondante ne comptera que des termescosinusoïdaux et un terme constant et s'écrira :

f(x) =a0

2+

∞∑k=1

ak coskπx

L(47)

En eet :

bk =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

kπx

Ldx = 0

car f(x) sin kπxL est une fonction impaire.

Les coecients ak peuvent se calculer comme suit :

a0 =2

L

∫ L

0

f(x)dx =

ak =2

L

∫ L

0

f(x) coskπx

Ldx =

Pour une fonction impaire, la série de Fourier ne comptera que des termes sinusoïdaux et s'écrira donc :

f(x) =

∞∑k=1

bk sinkπx

L(48)

En eet :

a0 =1

L

∫ L

−Lf(x)dx = 0

ak =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

kπx

Ldx = 0

car f(x) cos kπxL est une fonction impaire.Les coecients bk peuvent se calculer comme suit :

bk =2

L

∫ L

0

f(x) sinkπx

Ldx

2.14.3 Séries de Fourier en sinus ou en cosinus

Une fonction dénie sur l'intervalle [0, L] et prolongée sur l'intervalle [−L, 0] pour en faire une fonction paire(resp. impaire) admet un développement en séries de Fourier en cosinus (resp. en sinus). on a alors, dans le casd'une fonction paire :

bn = 0 et an =2

L

∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx

et dans le cas d'une fonction impaire :

an = 0 et bn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπx

Ldx

Exemple :Développons f(x) = sinx ∀0 < x < π en série de Fourier de cosinus ; on la prolonge d'abord en une fonctionpaire pour obtenir des cosinus.

26


On a bn = 0 et :

an =2

L

∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx =

2

π

∫ π

0

sinx cosnπx

πdx

=2

π

∫ π

0

sinx cosnxdx =1

π

∫ π

0

(sin(x+ nx) + sin(x− nx)) dx

=1

π

[−cos(x+ nx)

n+ 1+

cos(n− 1)x

n− 1

]π0

=1

π

1− cos(n+ 1)π

n+ 1+

cos(n− 1)π − 1

n− 1

=

1

π

1 + cosnπ

n+ 1+− cosnπ − 1

n− 1

=

1

π

1 + cosnπ

n+ 1− cosnπ + 1

n− 1

= −2

1 + cosnπ

π(n2 − 1)si n 6= 1

Pour n = 1, on obtient :

a1 =2

π

∫ π

0

sinx cosxdx =2

π

[sin2 x

2

]π0

= 0

Finalement, on a :

f(x) =2

π− 2

π

∞∑n=2

1 + cosnπ

n2 − 1cosnx

=2

π− 4

π

(cos 2x

22 − 1+

cos 4x

42 − 1+

cos 6x

62 − 1+ · · ·

)Exercice 2Développer f(x) = x ∀0 < x < 2 en séries de sinus et en séries de cosinus.

Exercice 3Même question pour la fonction f(x) = x2 ∀0 < x < 2 en séries de cosinus.

27


Exercice 4Même question pour la fonction f(x) = −x2 + 10x ∀0 < x < 10.

2.15 Identité de Parseval

Si an et bn sont les coecients de Fourir de la série correspondant à f(x), si f(x) satisfait aux conditions deDirichlet, et si la série de Fourier converge uniformément vers f(x), alors on a la formule suivante :

Théorème 2.21 (Identité de Parseval) :

1

L

∫ L

−Lf(x)2 dx =

a20

2+

∞∑n=1

(a2n + b2n

)(49)

Preuve Si f(x) satisfait aux conditions de Dirichlet, on a en tout point de continuité :

f(x) = a0

2 +∞∑n=1

(an cos nπxL + bn sin nπx

L

)Cette identité est en fait valable ∀x si la série de Fourier converge uniformément, parce qu'alors f(x) est continueen tout point.

Multiplions par f(x) et intégrons terme par terme entre −L et L (ce qui est justié comme la série convergeuniformément). On obtient :∫ L

−Lf(x)2 dx =

a0

2

∫ L

−Lf(x)dx+

∞∑n=1

an

∫ L

−Lf(x) cos

nπx

Ldx+ bn

∫ L

−Lf(x) sin

nπx

Ldx

=a2

0

2L+ L

∞∑n=1

(a2n + b2n

)En divisant par L, on obtient l'identité de Parseval.

L'identité de Parseval se réécrit comme suit en termes des coecients complexes :

1

2L

∫ L

−L|f(x)|2 dx =

+∞∑n=−∞

|cn|2 (50)

Exemple :Reprenons la série de Fourier en cosinus de la fonction f(x) = x ∀0 < x < 2 prolongée de façon paire :

f(x) = 1 +

∞∑n=1

4

n2π2(cosnπ − 1) cos

nπx

2

Ici, L = 2, a0 = 2, an = 4n2π2 (cosnπ − 1)∀n 6= 0, bn = 0. L'identité de Parseval s'écrit :

1

2

∫ 2

−2

x2dx =22

2+

∞∑n=1

16

n4π4(cosnπ − 1)2

28


et donc :8

3= 2 +

64

π4

(1

14+

1

34+

1

54+ · · ·

)Finalement, on a :

1

14+

1

34+

1

54+ · · · = π4

96

On peut en déduire la somme S de la série :

1

14+

1

24+

1

34+ · · ·

En eet :

S =

(1

14+

1

34+

1

54+ · · ·

)+

1

24

(1

14+

1

24+

1

34+ · · ·

)=

π4

96+S

16

donc S = π4

90 .

2.16 Intégration et dérivation des séries de FourierLes théorèmes sur l'intégration et la dérivation des séries terme par terme peuvent être appliqués si la convergence de ces séries est uniforme,mais ces théorèmes donnent des conditions susantes mais non nécessaires. Le théorème suivant est très utile :

Théorème 2.22 (Intégration des séries de Fourier) :La série de Fourier correspondant à f(x) peut être intégrée terme par terme de a à x et la série résultante convergera uniformémentvers

∫ xaf(u)du pourvu que f soit continue par morceaux sur −L 6 x 6 L et qu'à la fois a et x soient dans cet intervalle.

Exemple :Trouvons la série de Fourier correspondant à f(x) = x2 ∀0 < x < 2. En intégrant terme par terme la série correspondant à f(x) =x ∀0 < x < 2 étendue de façon impaire à −2 < x < 2 :

f(x) = x =4

π

(sin

πx

2−

1

2sin

2πx

2+

1

3sin

3πx

2+ · · ·

)Intégrons les deux membres de 0 à x en appliquant le théorème précédent et multiplions par 2 :

x2

= C −16

π2

(cos

πx

2−

1

22cos

2πx

2+

1

32cos

3πs

2+ · · ·

)où on a posé :

C =16

π2

(1−

1

22+

1

32−

1

42+ · · ·

)Comme cette série représente aussi la série de Fourier en cosinus de la fonction x2 ∀0 < x < 2 étendue de façon paire, on a aussi :

C =a0

2=

1

L

∫ L

0

f(x)dx =1

2

∫ 2

0

f(x)dx

=1

2

∫ 2

0

x2dx =

4

3

On déduit donc :∞∑n=1

(−1)n−1

n2= 1−

1

22+

1

32−

1

42+ · · · =

π2

16.4

3=π2

12

Remarque : la dérivation terme à terme de cette série n'est pas valide. En eet, on obtient :

2(cos πx2 − cos 2πx

2 + cos 3πx2 − · · ·

)Le nième terme de cette série ne tend pas vers 0, la série ne converge donc pour aucune valeur de x.

2.17 Exercices

Exercice 5

• Ecrire le terme général et les 4 premiers termes non nuls du développement en série de cosinus de :

f(x) = −x+ 2 sur [0, 2]

et représenter graphiquement la fonction prolongée.

29


• Idem pour :

f(x) = −x2 sur [0, 1]

en série de sinus.

Exercice 6Tracer chacune des fonctions suivantes et trouver la série de Fourier correspondante.

•

f(x) =

8 sur 0 < x < 2−8 sur 2 < x < 4

et de période 4.

•

f(x) =

−x sur − 4 6 x 6 0x sur 0 6 x 6 4

et de période 8.

•

f(x) =

4x sur 0 < x < 10 et de période 10.

•

f(x) =

2x sur 0 6 x 6 3

0 sur − 3 < x < 0et de période 6.

Exercice 7Identiez les fonctions suivantes et trouvez les séries de Fourier correspondantes :

•

•

•

30


•

•

2.18 Séries de Fourier en traitement du signal

Pour le traitement du signal, la forme :

f(t) =a0

2+

∞∑k=1

(ak cos

kπt

L+ bk sin

kπt

L

)n'a aucune utilité. Elle est remplacée par la série complexe ou la série en cosinus.

Appelons T la période (jusqu'ici notée 2L) et introduisons son inverse f = 1T qui est appelée la fréquence du

signal ; kπtL devient 2kπtT = 2πkft.

En prenant en compte la relation trigonométrique suivante :

A cosx+B sinx =√A2 +B2 cos

(x+ arctan

−BA

)qui s'obtient comme suit :

A cosx+B sinx =√A2 +B2

A√

A2 +B2cosx+

B√A2 +B2

sinx

Posons :

cosϕ =A√

A2 +B2et sinϕ =

B√A2 +B2

On a :

A cosx+B sinx =√A2 +B2 cosx cosϕ− sinx sinϕ

=√A2 +B2 cos(x+ ϕ)

où ϕ est donc tel que :

tanϕ = −BA c'est-à-dire ϕ = Arctan(−BA

)31


Le développement en série de Fourier de f(t) peut donc se mettre sous la forme :

f(t) = A0 +

∞∑k=1

Ak cos (2πkft+ αk) (51)

avec : A0 = a0

2

Ak =√a2k + b2k

αk = Arctan(−bkak

).Exemple : onde en dents de scie.

La représentation spectrale qui lui est associé porte le nom de spectre unilatéral.En notant X(jk) les coecients ck de la série de Fourier complexe de f(t), on a aussi :

f(t) =

∞∑k=−∞

X(jk)ej2πkft

avec :

X(jk) =1

T

∫ T/2

−T/2f(t)e−j2πkft

La représentation spectrale graphique porte le nom de spectre bilatéral.

Les relations existant entre les trois représentations de Fourier sont présentées et illustrées dans le tableau etl'image ci-dessous.

32


33


2.18.1 Interprétation de la formule de Parseval en théorie du signal

Par analogie avec les circuits électriques, on dénit l'énergie instantanée du signal x(t) comme :

e(x, t) = |x(t)|2

L'énergie instantanée est une grandeur dicile à mesurer. Ce qu'on peut mesurer plus aisément est l'énergiemoyenne sur un intervalle de temps ∆t :

E(x) =

∆t∫0

|x(t)|2dt

Pour un système oscillant, on prend souvent la moyenne sur une période, soit ∆t = T , soit :

E(x) =

T∫0

|x(t)|2dt

34


et on aura l'énergie totale transportée par le signal en intégrant entre −∞ et +∞. Puisque l'énergie moyennecroît avec le temps d'intégration, il est parfois utile de considérer la puissance moyenne dénie comme :

P (x) =1

∆t

∆t∫0

|x(t)|2dt

et qui est donc indépendante du temps d'intégration ∆t.Le théorème de Parseval s'écrit alors :

P (x) =1

∆t

∆t∫0

|x(t)|2dt =

+∞∑n=−∞

|cn|2

La puissance peut donc s'écrire aussi comme la somme des énergies transportées par chacune de ses composantes ;chacune de ces énergies est simplement donnée par l'amplitude |cn| de l'oscillation, au carré.L'ensemble des amplitudes carrées des composantes du spectre forme donc le spectre d'énergie du signal.

3 Intégrale de Fourier et transformation de Fourier

3.1 Introduction : nécessité de l'intégrale de Fourier

Nous avons considéré jusqu'ici la théorie d'un développement d'une fonction f(x) de période 2L en série deFourier. Une question naturelle à se poser est : qu'arrive-t-il si L→∞ ? Dans ce cas, la série de Fourier devientune intégrale de Fourier et le dévéloppement en série de Fourier devient une transformation de Fourier.

En traitement du signal, nous avons vu comment la série de Fourier nous permet d'analyser un signal périodiquenon sinusoïdal en termes de ses composantes harmoniques. On parle d'analyse du signal dans le sens que cettedécomposition en composantes simples permet de mieux le comprendre, de savoir comment il est construit : parexemple on pourra diérencier le son émis par un instrument ou d'un autre par les harmoniques qu'il contient.La série de Fourier nous permet aussi de déterminer la réponse d'un système linéaire, comme la somme desréponses aux composantes individuelles.

Mais en pratique ce résultat ne nous satisfait pas complètement : les signaux périodiques sont un ensembleencore trop limité. En particulier, que faire pour analyser une lumière non monochromatique ? Elle ne contientpas que les harmoniques d'une fréquence fondamentale, mais une série de fréquences qui ne sont liées par aucunerelation particulière.

Plus simplement encore, même quand on s'intéresse à des signaux périodiques, il y a une raison encore plusfondamentale pour se poser le problème des signaux non périodiques : c'est que toute mesure est faite sur untemps de durée limitée. Par conséquent, même si le signal est périodique, ce qu'on enregistre ne l'est plus :Quelle sera alors la réponse du système ?

D'où la question : est-il possible de généraliser la méthode de décomposition introduite par la série de Fourierà des fonctions non périodiques ? La réponse est donnée par la transformée de Fourier (TF).

3.2 Passage de la série de Fourier à la transformée de Fourier en théorie du signal

La généralisation de la décomposition de Fourier peut être introduite de manière assez simple dans le cas dessignaux de durée nie (cf. gure ci-dessous). Soit x(t) un signal de durée nie ∆t :

35


On peut alors construire à partir de x(t) un signal périodique y(t) en répétant x(t) avec une périodicité T > ∆t(cf. gure ci-dessous) :

Dans ce cas, le signal de durée limitée x(t) peut être vu comme la limite de y(t) pour T →∞ : plus la périodeaugmente, plus les contributions non nulles s'éloignent les unes des autres, et pour T qui tend vers l'inni, il nereste plus que la contribution centrale. On écrit donc :

x(t) = limT→∞

y(t)

Comme y(t) est périodique, sa série de Fourier existe, écrivons-la (en utilisant la série de Fourier complexe(35)) :

y(t) =

∞∑n=−∞

cneiωnt

avec ω = 2π/T et ωn = nω. On peut alors se poser la question suivante : que devient la série de Fourier de y(t)lorsque y(t)→ x(t), c'est-à-dire à la limite T →∞ ?

Essayons de deviner la réponse sans faire le calcul complet, grâce à quelques observations.

3.2.1 Pulsation continue

Si T → ∞, alors ωn+1 − ωn = (n + 1 − n)ω = ω → 0 : les pulsations des harmoniques se rapprochent de plusen plus les unes des autres. A la limite, on passe d'une série discrète de pulsations à une pulsation ω continuequi prend toutes les valeurs réelles.

C'est raisonnable : comme à la limite il n'y a plus de période T , l'échelle de temps caractéristique du signaldisparaît, toutes les échelles de temps sont en principe présentes et la notion de pulsation fondamentale n'a plusde sens.

3.2.2 Passage des coecients de Fourier cn à la transformée de Fourier

Que deviennent les coecients cn dans cette limite ? A partir de la dénition (36), on obtient :

limT→∞

cn = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2y(t)e−iωntdt = 0

La limite directe des coecients cn ne nous permet pas de dénir un équivalent continu des coecients dela série ; mais la diculté vient du facteur 1/T qui tend vers zéro. On peut donc s'en débarrasser si on considèrela limite :

limT→∞

Tcn = limT→∞

∫ T/2

−T/2y(t)e−iωntdt

36


Pour cette grandeur, la limite est dénie. De manière un peu intuitive, nous pouvons la déterminer en considérantque lorsque T → ∞, y(t) → x(t) et que nous savons que les pulsations ωn doivent être remplacées à la limitepar une pulsation ω continue : en eet, on peut montrer que :

limT→∞

Tcn =

∫ ∞−∞

x(t)e−iωtdt

On va donc prendre cette dernière quantité comme la généralisation à une fonction non périodique de duréelimitée des coecients de la série de Fourier. On se rappellera qu'on a du multiplier par T dans le passage à lalimite : il sera donc normal de trouver un facteur T qui intervient quand on voudra comparer série de Fourieret transformée de Fourier.

3.2.3 Dénition de la transformée de Fourier d'un signal

On dénira donc la transformée de Fourier (TF) du signal x(t) comme suit :

X(ω) = TF [x(t)] =

∞∫−∞

x(t)e−iωtdt

Remarquons que l'opération que l'on fait pour obtenir la TF est toujours la même : il s'agit de projeter lafonction x(t) sur une base de fonctions exponentielles. La diérence, et il faut bien comprendre ce point, est queici il n'y a pas un ensemble discret de fonctions fn = eiωnt sur lesquelles projeter, mais une innité de fonctionseiωt chacune associée à une pulsation ω ∈ R : on passe donc d'une série de coecients cn à une fonction continueX(ω) de la pulsation ω.

Comme pour la SF, la connaissance de sa transformée X(ω) doit nous permettre de retrouver x(t). Il est possibled'obtenir ce résultat à partir du même passage à la limite que nous avons utilisé plus haut, mais contentonsnous de donner le résultat nal : on montre que la fonction x(t) peut s'écrire en termes de sa TF comme :

x(t) = TF−1 [X(ω)] =

∞∫−∞

X(ω)eiωtdω

2π

= TF−1 [X(f)] =

∞∫−∞

X(f)ei2πftdf

Que signie tout ça ? Nous voyons ici que une fonction quelconque (de durée limitée pour le moment) x(t) peutêtre exprimée comme une intégrale (qui remplace la somme de la SF) de fonctions exponentielles complexes eiωt

(pour tout ω ∈ R), chacune multipliée par une amplitude donnée par la valeur X(ω) (calculée donc en ω).

En d'autres mots, la TF [x(t)] représente le spectre du signal x(t), et donne, pour chaque pulsation ω, l'amplitudeX(ω) correspondante à la contribution eiωt.

37


3.3 Intégrale de Fourier

Théorème 3.1 Supposons que :

• f(x) et f ′(x) sont continues par morceaux sur tout intervalle ni ;

•∫∞−∞ |f(x)|dx converge, c'est-à-dire f(x) est absolument intégrable sur (−∞,∞).

alors le théorème de Fourier intégral arme que :

f(x) =

∫ ∞0

A(α) cosαx+ B(α) sinαs dα (52)

où :

A(α) =1

π

∫ ∞−∞

f(x) cosαxdx (53)

B(α) =1

π

∫ ∞−∞

f(x) sinαxdx. (54)

Le résultat (52) s'applique si x est un point de continuité de f(x). Si x est un point de discontinuité, on doit remplacer f(x) parf(x+0)+f(x−0)

2 comme dans le cas des séries de Fourier. Notons que es conditions ci-dessus sont susantes mais non nécessaires.

La similitude de (52) et de (53, 54) avec les résultats correspondant pour les séries de Fourier est visible. Le membre de droite de (52) estparfois appelé développement de Fourier intégral de f(x).

3.4 Formes équivalentes du théorème de Fourier intégralLe théorème de Fourier intégral peut aussi être écrit sous la forme :

f(x) =1

π

∫ ∞α=0

∫ ∞u=−∞

f(u) cosα(x− u)dudα (55)

f(x) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(u)ejα(x−u)

dudα

f(x) =1

2π

∫ ∞−∞

ejαx

dα

∫ ∞−∞

f(u)e−jαu

du (56)

où il est sous-entendu que si f(x) n'est pas continue en x, le membre de gauche doit être remplacé par f(x+0)+f(x−0)2 .

Montrons que les formules (52) et (55) sont deux formes équivalentes du théorème de Fourier intégral.

Partons de la forme :

f(x) =1

π

∫ ∞α=0

∫ ∞u=−∞


Ce résultat peut être écrit sous la forme :

f(x) =1

π

∫ ∞α=0

∫ ∞u=−∞

f(u) cosαx cosαu+ sinαx sinαu dudα

ou encore :

f(x) =

∫ ∞α=0

A(α) cosαx+ B(α) sinαx dα (58)

où l'on a posé :

A(α) =1

π

∫ ∞−∞

f(u) cosαudu

B(α) =1

π

∫ ∞−∞

f(u) sinαudu. (59)

Inversement, en remplaçant (59) dans (58), on obtient bien (57). Les deux formes sont donc bien équivalentes.

Montrons à présent que (55) et (56) sont équivalentes.

On a par (55) et le fait que cosα(x− u) est une fonction paire de α :

f(x) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞


Alors, en utilisant le fait que sinα(x− u) est une fonction impaire de α, on a :

0 =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(u) sinα(x− u)dudα (61)

Multiplions (61) par j et ajoutons à (60), on a donc :

f(x) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(u) cosα(x− u) + j sinα(x− u) dudα

=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(u)ejα(x−u)

dudα

De la même manière, on peut déduire que (55) résulte de (56).

38


3.5 Intégrales de Fourier des fonctions paires et impairesLes formules précédentes peuvent être simpliées si f(x) est une fonction soit impaire, soit paire, on a alors :

f(x) =2

π

∫ ∞0

sinαxdα

∫ ∞0

f(u) sinαudu si f(x) est impaire (62)

f(x) =2

π

∫ ∞0

cosαxdα

∫ ∞0

f(u) cosαudu si f(x) est paire (63)

3.6 Preuve du théorème de Fourier intégralNous présentons ici une démonstration heuristique du théorème de Fourier intégral en réalisant un passage à la limite L → ∞ dans ladécomposition en série de Fourier.

Soit :

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)(64)

avec :

an =1

L

∫ L

−Lf(u) cos

nπu

Ldu et bn =

1

L

∫ L

−Lf(u) sin

nπu

Ldu

Alors, en remplaçant ces coecients dans (64), on trouve :

f(x) =1

2L

∫ L

−Lf(u)du+

1

L

∞∑n=1

∫ L

−Lf(u) cos

nπ

L(u− x)du (65)

Si on suppose que∫∞−∞ |f(u)|du converge, le premier terme du membre de droite de (65) tend vers zéro lorsque L→∞, alors que la partie

restante semble tendre vers :

limL→∞

1

L

∞∑n=1

∫ ∞−∞

f(u) cosnπ

L(u− x)du (66)

Cette dernière étape n'est pas rigoureuse et rend cette démonstration heuristique.

Appelons ∆α = π/L, les équations (65) et (66) peuvent être écrites :

f(x) = lim∆α→0

∞∑n=1

∆αF (n,∆α) (67)

où on a noté :

F (α) =1

π

∫ ∞−∞

f(u) cosα(u− x)du (68)

Mais la limite (67) est égale à :

f(x) =

∫ ∞0

F (α)dα =1

π

∫ ∞0

dα

∫ ∞−∞

f(u) cosα(u− x)du (69)

qui est bien la formule de Fourier intégrale.

Cette démonstration fournit plutôt un résultat possible. Pour la rendre rigoureuse, il faut partir de l'intégrale double (69) et examiner saconvergence. Nous allons maintenant nous y atteler.


lima→∞

∫ L

0

sinαv

vdv =

π

2(70)

lima→∞

∫ 0

−L

sinαv

vdv =

π

2(71)

Posons αv = y. Alors :

limα→∞

∫ L

0

sinαv

vdv = lim

α→∞

∫ αL

0

sin y

ydy =

∫ ∞0

sin y

ydy =

π

2(72)

Cette dernière égalité peut en eet être obtenue comme suit ; remarquons d'abord que l'on a :∫ ∞0

sin y

ydy =

∫ ∞y=0

∫ ∞x=0

e−xy

sin ydx

dy (73)

En eet :

∫ ∞x=0

e−xy

sin ydx = limM→∞

[e−xy sin y

−y

]M0

= limM→∞

e−My sin y

−y−

sin y

−y

=

sin y

y

39


Changeons à présent l'ordre des intégrations dans l'intégrale double (73) :∫ ∞y=0

∫ ∞x=0

e−xy

sin ydx

dy (74)

on obtient : ∫ ∞x=0

∫ ∞y=0

e−xy

sin ydy

dx =

∫ ∞x=0

limL→∞

∫ y=L

y=0

e−xy

sin ydy

dx

=

∫ ∞x=0

limL→∞

[−

cos y

1 + x2e−xy −

x

1 + x2sin ye

−xy]y=L

y=0

dx

=

∫ ∞x=0

limL→∞

[−

cosL

1 + x2e−xL −

x

1 + x2sinLe

−xL+

1

1 + x2

]dx

=

∫ ∞x=0

1

1 + x2dx = lim

M→∞[arctan x]

M0

= limM→∞

[arctanM ] =π

2

De la même façon, on obtient pour (71), en posant αv = −y :

limα→∞

∫ 0

−L

sinαv

vdv = lim

α→∞

∫ αL

0

sin y

ydy =

∫ ∞0

sin y

ydy =

π

2(75)

Nous utiliserons pour la suite le théorème suivant :

Théorème 3.3 (Théorème de Riemann-Lebesgue) :Si F (x) est continue par morceaux sur l'intervalle (a, b), alors :

limα→∞

∫ b

a

F (x)eiαx

dx = limα→∞

∫ b

a

F (x) sinαxdx = limα→∞

∫ b

a

F (x) cosαxdx = 0 (76)

Preuve

• Commençons par prouver le théorème dans le cas des fonctions en escalier.Si φ est une fonction en escalier attachée à la subdivision (tj) du segment [a; b], et prenant les valeurs (cj), on a :

∣∣∣∣∫ b

a

φ(x)eiαx

dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣n−1∑k=0

∫ xk+1

xk

ckeiαx

dx

∣∣∣∣∣6

n−1∑k=0

|ck|

∣∣∣∣∣ eiαxk+1 − eiαxkiα

∣∣∣∣∣ 6 1

|α|sup |ck|

n−1∑k=0

∣∣∣eiαxk+1 − eiαxk∣∣∣

61

|α|sup |ck|

n−1∑k=0

2 (77)

qui tend bien vers 0, terme par terme quand |α| → ∞.

• Considérons maintenant une fonction F continue par morceaux sur [a, b] et ε > 0. Il existe une fonction en escalier qui vérie||F − φ||∞ 6 ε/|b− a|. Nous avons par ailleurs :∣∣∣∣∫ b

a

F (x)eiαx

dx

∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∫ b

a

(F (x)− φ(x))eiαx

dx

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ b

a

φ(x)eiαx

dx

∣∣∣∣ Le premier terme du membre de droite est majoré par ε ;

Pour le second, on sait qu'il existe un rang Nε à partir duquel :∣∣∣∣∫ b

a

φ(x)eiαx

dx

∣∣∣∣ 6 ε

En conséquence, pour tout ε > 0 il existe Nε tel que :

∀n > Nε

∣∣∣∣∫ b

a

F (x)eiαx

dx

∣∣∣∣ 6 2ε

Ce qui termine la preuve du théorème de Riemann-Lebesgue.

Remarque : le théorème reste vrai pour toute fonction F (x) qui est Riemann-intégrable.

Lemme 3.4 Le théorème de Riemann-Lebesgue implique les relations suivantes :

limα→∞

∫ L

0

f(x+ v)sinαv

vdv =

π

2f(x+ 0) (78)

limα→∞

∫ 0

L−f(x+ v)

sinαv

vdv =

π

2f(x− 0) (79)

40


où f(x) et f ′(x) sont supposées continues par morceaux.

Pour prouver (78), en utilisant (70), il sut de montrer que :

limα→∞

∫ L

0

f(x+ v)− f(x+ 0)sinαv

vdv = 0

Ceci découle encore une fois du théorème de Riemann, parce que :

F (v) =f(x+ v)− f(x+ 0)

v

est continue par morceaux sur (0, L) comme limv→0+

F (v) existe et que f(x) est continue par morceaux.

La preuve de (79) est analogue à celle de (78) si on utilise (71).

Lemme 3.5 Si f(x) vérie en plus la condition supplémentaire que∫∞−∞ |f(x)|dx converge, montrons que :

limα→∞

∫ ∞0

f(x+ v)sinαv

vdv =

π

2f(x+ 0) (80)

limα→∞

∫ 0

−∞f(x+ v)

sinαv

vdv =

π

2f(x− 0) (81)

Prouvons (80).On a : ∫ ∞

0

f(x+ v)sinαv

vdv =

∫ L

0

f(x+ v)sinαv

vdv +

∫ ∞L

f(x+ v)sinαv

vdv (82)∫ ∞

0

f(x+ 0)sinαv

vdv =

∫ L

0

f(x+ 0)sinαv

vdv +

∫ ∞L

f(x+ 0)sinαv

vdv (83)

Soustrayons membre à membre :∫ ∞0


vdv =

∫ L

0


vdv +

∫ ∞L

f(x+ v)sinαv

vdv

−∫ ∞L

f(x+ 0)sinαv

vdv (84)

Notons les intégrales apparaissant dans (84) par I, I1, I2 et I3 respectivement, on a I = I1 + I2 + I3 de sorte que :

|I| 6 |I1|+ |I2|+ |I3| (85)

Maintenant,

|I2| 6∫ ∞L

∣∣∣∣f(x+ v)sinαv

v

∣∣∣∣ dv 61

L

∫ ∞L

|f(x+ v)|dv

et aussi :

|I3| 6 |f(x+ 0)|∣∣∣∣∫ ∞L

sinαv

vdv

∣∣∣∣Comme

∫∞0|f(x)|dx et

∫∞0

sinαvv dv convergent toutes les deux, on peut choisir L assez grand pour que |I2| 6 ε/3 et |I3| 6 ε/3. Aussi,

on peut choisir α assez grand pour que |I1| 6 ε/3. Alors, par (85), on a que |I| 6 ε pour α et L susamment grands, ce qui établit lerésultat (80).

Pour établir (81), on procède exactement de la même façon.

Venons en maintenant à la preuve de la formule de Fourier intégrale (52).

On doit prouver que :

limL→∞

1

π

∫ L

α=0

∫ ∞u=−∞

f(u) cosα(x− u)dudα =f(x+ 0) + f(x− 0)

2

Comme : ∣∣∣∣∫ ∞−∞

f(u) cosα(x− u)du

∣∣∣∣ 6 ∫ ∞−∞|f(u)|du

qui converge, il s'ensuit par le test M de Weierstrass pour les itégrales que∫∞−∞ f(u) cosα(x − udu converge absolument et uniformément

pour tout α. On peut aussi montrer de ceci que l'ordre des intégrales peut être inversé pour obtenir :

1

π

∫ L

α=0

dα

∫ ∞u=−∞

f(u) cosα(x− u)du =1

π

∫ ∞u=−∞

f(u)du

∫ L

α=0

cosα(x− u)dα

=1

π

∫ ∞u=−∞

f(u)sinL(u− x)

u− xdu

=1

π

∫ ∞v=−∞

f(x+ v)sinLv

vdv

=1

π

∫ 0

−∞f(x+ v)

sinLv

vdv +

1

π

∫ ∞0

f(x+ v)sinLv

vdv

où l'on a posé u = x+ v.

En faisant tendre L→∞, on voit par le lemme précédent que l'intégrale donnée converge vers f(x+0)+f(x−0)2 comme demandé.

41


3.7 Transformées de Fourier

3.7.1 Dénition

De (56) il s'ensuit que si l'on pose :

F (α) =

∫ ∞−∞

f(u)e−jαudu (86)

alors :

f(x) =1

2π

∫ ∞−∞

F (α)ejαxdα (87)

La fonction F (α) est appelée la transformée de Fourier de f(x) et est parfois écrite F (α) = F f(x). La nota-

tion F f peut aussi être remplacée par TF f ou encore simplement f .

La fonction f(x) est alors la transformée de Fourier inverse de F (α) et est écrite f(x) = F−1 F (α) =TF−1 F (α).

En physique, dans la plupart des exemples, la variable x concernée est, soit une longueur, soit un temps.Usuellement, la notation x représente une longueur. Dans ce cas, la variable α a les dimensions de l'inversed'une longueur. Elle est appelée nombre d'onde et est notée généralement k. Lorsque l'on considère une fonctionf(t) du temps, on utilise pour la transformée de Fourier de f(t) la notation :

F (ω) =

∫ ∞−∞

f(t)ejωtdt (88)

où la variable ω, qui a les dimensions de l'inverse d'un temps, est la pulsation 1.

En physique, la formule d'inversion (87) s'interprète comme une décomposition de f(x) en une somme d'oscil-lations harmoniques. Si x est une longueur, F (α = k) est l'amplitude correspondant au nombre d'onde k. Six = t est un temps, F (α = ω) est l'amplitude correspondant à la pulsation ω. Elle s'écrit alors :

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (ω)e−jωtdω =

∫ ∞−∞

F (f)e−j2πftdf (89)

où l'on a posé α = ω = 2πf .

Remarque : les constantes 1 et 1/2π précédent les intégrales dans les formules (86) et (87) peuvent être rempla-cées par n'importe quelles constantes dont le produit vaut 1/2π.

Par exemple, certains électroniciens ou physiciens utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformationde Fourier inverse) la transformation suivante :

F f : ω 7→ f(ω) =1√2π

∫ +∞

−∞f(t) e−jωt dt (90)

avec t en secondes et ω la pulsation (en rad.s−1). La transformation inverse s'écrit alors :

f(t) =1√2π

∫ +∞

−∞f(ω) e+jωt dω (91)

Cette dénition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur1√2π, on a F(f∗g) 6= F(f)·F(g), à moins d'introduire un tel facteur dans la dénition du produit de convolution.

1. La convention adoptée ici relativement au signe précédant j dans l'exponentielle imaginaire n'est pas la même dans lesdeux cas. Ce choix est lié au fait qu'en physique, l'on est fréquemment amené à considérer la transformée de Fourier spatiale ettemporelle d'une fonction f(x, t) dépendant à la fois de l'espace et du temps. Cette transformée de Fourier spatiale et temporelleest généralement dénie par l'intégrale double suivante :

F f(x, t) =

∫dx

∫dtf(x, t)ej(ωt−kx)

En ce qui concerne les fonctions d'une variable, nous utiliserons dans la suite la convention de l'équation (86)

42


3.7.2 Conditions susantes d'existence (conditions de Dirichlet)

La transformée de Fourier d'une fonction f(x) existe si f(x) est absolument intégrable, c'est-à-dire :∫ ∞−∞|f(x)|dx < +∞ (92)

On écrit cette dernière condition sous la forme f ∈ L1(R). En ee, si f(x) est absolument intégrable, alors :∫ ∞−∞

∣∣f(x)e−jωx∣∣dx =

∫ ∞−∞|f(x)|dx < +∞ (93)

puisque l'on a∣∣f(x)e−jωx

∣∣ = |f(x)|.

Notons que cette condition garantit l'existence de la transformée de Fourier, mais n'est pas nécessaire. Pour quela transformation inverse redonne la fonction f(x), les conditions supplémentaires :

• f est continue par morceaux sur tout intervalle ni

• f ′ est continue par morceaux sur tout intervalle ni

sont également susantes (cf. le théorème (3.1)).

3.7.3 Composantes de la Transformée de Fourier, spectre d'amplitude et spectre de phase

Si la fonction f(x) ne possède pas de symétrie particulière, sa transformée de Fourier est une fonction complexe :

F f(x) (α) = F (α) = Fr(α) + jFi(α)

Plutôt que les composantes, on peut utiliser le module et la phase de la transformée de Fourier, respectivementappelés spectre d'amplitude et spectre de phase :

|F (α)| =√Fr(α)2 + Fi(α)2

arg F (α) = atanFi(α)

Fr(α)

3.7.4 Importance de la phase

Il est fréquent en traitement du signal de ne parler que des spectres d'amplitudes et de de laisser quelque peules spectres de phases. Cette attitude est due au fait que lors du ltrage de signaux audio, on se contente demodier le spectre d'amplitudes car l'oreille est peu sensible aux distorsions de phase. Cependant, lorsque l'ondésire conserver la forme d'un signal, en particulier dans le cas du ltrage d'images, il est très important de nepas négliger le spectre de phases.

Un exemple en est donné à la gure 14, où une série de photos basées sur le portrait de Joseph Fourier illustrel'importance de la phase dans la reconstitution des signaux.

• L'image du haut de la gure est le portrait de Joseph Fourier.

• Au centre, on y voit les spectres d'amplitudes et de phases de l'image de Fourier ; les niveaux de griscorrespondent à la valeur de ces fonctions.

• Les deux images du bas sont des images reconstruites par transformation inverse. Pour construire cellede gauche, on a utilisé le spectre d'amplitudes et remplacé le spectre de phases par un spectre de phasesnulles. Pour celle de droite, on a fait l'inverse : le spectre de phases a été conservé alors que le spectred'amplitudes a été remplacé par des amplitudes constantes.

De ces illustrations, on déduit que la phase contient une part importante de l'information concernant la formed'un signal. Les deux dernières images illustrent particulièrement bien ce fait puisque le portrait initial ne peutpas êre reconstruit avec un seul des deux spectres.

43


Figure 14 Transformations de Fourier directes et inverses d'une image

44


3.7.5 Exemples

1. Exemple 1 : transformée de Fourier d'une fonction porte

• Trouvons la transformée de Fourier de :

f(x) =

1 si |x| < a0 si |x| > a

• Dessinons la transformée de Fourier pour a = 3

• La transformée de Fourier de f(x) est :

F (α) =

∫ ∞−∞

f(u)e−jαudu =

∫ a

−a(1)e−jαudu =

e−jαu

−jα

∣∣∣∣=

ejαa − e−jαa

jα= 2

sinαa

αpour α 6= 0

Pour α = 0, on obtient : F (α) = 2α.

• Les graphes de f(x) et F (α) pour a = 3 sont donnés ci-dessous :

2. Exemple 2 : transformée de Fourier d'exponentiellesSoient les fonctions x1(t) = exp(−at)U(t) et x2(t) = exp(at)U(−t) où a est un réel positif et U(t) lafonction échelon de Heaviside.

45


Calculons les transformées de Fourier de ces deux signaux ; on obtient :

X1(f) = TF x1(t) =

∫ +∞

0

e−(a+j2πf)tdt =1

a+ j2πf(94)

et de la même façon :

X2(f) = TF x2(t) =1

a− j2πf(95)

Calculons maintenant la transformée de Fourier d'une exponentielle symétrisée s(t) = x1(t) + x2(t) =exp(−a|t|) = exp(−at)U(t) + exp(at)U(−t).

En utilisant déjà la propriété de linéarité que nous prouverons plus tard (101), on a :

S(f) =1

a+ j2πf+

1

a− j2πf=

2a

a2 + 4π2f2

ce qui démontre que la transformée de Fourier d'une exponentielle symétrisée est une lorentzienne.

Pour rappel, une fonction lorentzienne, ou courbe lorentzienne, est une fonction de la forme suivante :

L(x) =1

1 + x2L(x) =

1

1 + x2

C'est l'expression la plus simple d'une lorentzienne, centrée en x = 0.

Plus généralement, une forme paramétrée par l'abscisse x0 du sommet et la largeur Γ à mi-hauteur(couramment appelée largeur de la lorentzienne) est la fonction L dénie par :

L(x) =Γ

2π

1(12Γ)2

+ (x− x0)2=

2πΓ

1 + (x−x0

Γ/2 )2

46


En son sommet, elle atteint :

L(x0) =2

πΓ

C'est une courbe en cloche.

Figure 15 Fonction lorentzienne pour x0 = 0, Γ = 1

3. Exemple 3 : transformée de Fourier de la fonction gaussienneSoit la fonction gaussienne :

f : R→ R, x 7→ e−αx2

, avec α > 0. (96)

Elle est intégrable sur R. Sa transformée de Fourier

F = F(f) : R→ C

dénie par

F (ξ) =

∫ +∞

−∞f(x)e−i ξ xdx =

∫ +∞

−∞e−αx

2

e−i ξ xdx

est telle que :

∀ξ ∈ R F (ξ) =

√π

αe−

ξ2

4α .

On propose ci-dessous une démonstration de ce résultat utilisant une équation diérentielle linéaire.

PreuveOn utilise une équation diérentielle vériée par la fonction f .

Par dénition :

F (0) =

∫ +∞

−∞e−αx

2

dx donc F (0) =

√π

α.

D'autre part, f est (au moins) de classe C1 et vérie l'équation diérentielle linéaire :

∀x ∈ R f ′(x) = −2αxf(x) = −2αg(x), en notant g : R→ R, x 7→ xf(x).

On justie (comme précédemment) que g (donc f ′) est intégrable (sur R). Dès lors (propriétés de latransformation de Fourier relatives à la dérivation) :

• Comme f , f ′ sont intégrables et f tend vers 0 à l'inni,

∀ξ ∈ R F(f ′)(ξ) = iξ F (ξ).

47


• Comme f et g sont intégrables, F est dérivable et :

∀ξ ∈ R F(g)(ξ) = iF ′(ξ).

Il résulte alors de l'équation diérentielle ci-dessus, par transformation de Fourier, que :

∀ξ ∈ R iξF (ξ) = −2αiF ′(ξ)

ou encore :

∀ξ ∈ R F ′(ξ) = − ξ

2αF (ξ) = −2β ξ F (ξ), avec β =

1

4α.

Ainsi, F vérie une équation diérentielle analogue à la précédente : il existe une constante K (réelle oucomplexe) telle que :

∀ξ ∈ R F (ξ) = K e−β ξ2

.

On conclut en remarquant que K = F (0) =

√π

α. .

3.8 Transformées de Fourier en sinus et en cosinusSi f(x) est une fonction impaire, le théorème de Fourier intégral se réduit à (62). Si l'on pose :

FS(α) =

∫ ∞0

f(u) sinαudu (97)

alors il résute de (62) que :

f(x) =2

π

∫ ∞0

FS(α) sinαxdα (98)

On appelle FS(α) la transformée de Fourier en sinus de f(x), et f(x) est la transformée de Fourier inverse en sinus de FS(α).

De la même façon, si f(x) est une fonction paire, le théorème de Fourier intégral se réduit à (63). Si l'on pose :

FC(α) =

∫ ∞0

f(u) cosαudu (99)

alors il résute de (63) que :

f(x) =2

π

∫ ∞0

FS(α) cosαxdα (100)

On appelle FC(α) la transformée de Fourier en cosinus de f(x), et f(x) est la transformée de Fourier inverse en cosinus de FC(α).

3.9 Propriétés de la transformation de Fourier

3.9.1 Propriété de linéarité

L'intégration étant une opération linéaire, la transformation de Fourier l'est aussi, c'est-à-dire que, λ etµ étantdes scalaires, on a :

F λf(x) + µg(x) = λF (α) + µG(α) (101)

En d'autres termes, la transformation de Fourier commute avec l'addition et la multiplication parun scalaire.

3.9.2 Translation

Cherchons la transformée de Fourier de f(x− a) (avec a réel). En posant u = x− a, on obtient :

F f(x− a) =

∫ ∞−∞

f(x− a)e−iαxdx = e−iαa∫ ∞−∞

f(u)e−iαudu

soit :

F f(x− a) = e−iαaF (α) (102)

A la translation de f(x) correspond un déphasage de F (α) proportionnel à α c'est-à-dire que latransformée de Fourier de f(x− a) s'obtient en multipliant F (α) par le facteur de phase e−iαa.

48


3.9.3 Modulation

Inversement, la transformée de Fourier de eiα0xf(x) (avec α0 réel) est donnée par :

Feiα0xf(x)

=

∫ ∞−∞

f(x)e−i(α−α0)xdx

soit :Feiα0xf(x)

= F (α− α0) (103)

A la modulation de f(x) correspond une translation de F (α).

Figure 16 Eet d'un changement d'origine (translation) sur la transforméede Fourier d'une gaussienne. (a) :fontion gaussienne translattée d'une quantité a = 1

2 dans l'espace direct. (b) et (c) : parties réelle et imaginairede la TF. (d) : module de la TF, indépendant du décalage a. (e) : phase de la TF, c'est une droite de pente 2πa.La pente est positive si la fontion est décalée vers la gauche, négative si la fontion est décalée vers la droite.

3.9.4 Changement d'échelle

Changer l'unité pour la variable x revient à multiplier celle-ci par une constante réelle a 6= 0. En posant u = ax,on obtient :

F f(ax) =

∫ ∞−∞

f(ax)e−iαxdx =1

|a|

∫ ∞−∞

f(u)e−iαu/adu

soit :F f(ax) = 1

|a|F(αa

)(104)

Une compression de l'échelle des x entraîne une dilatation de l'échelle des α.

En termes plus physiques, une compression de l'échelle des longueurs entraîne une dilatation de l'échelle desnombres d'onde . De même, une compression de l'échelle des temps entraîne une dilatation de l'échelle despulsations. C'est là une propriété extrèmement importante en pratique de la transformation de Fourier.

49


Figure 17 Illustration de la propriété de changement d'échelle. A gauche une fonction gaussienne f(t) (bleu)et la même fonction f(t/a) dilatée d'un facteur a = 2 (rouge). A droite les TF respectives : noter l'inversion desproportions (la dilatation dans l'espace direct est devenue une compression dans l'espace de Fourier). On note

aussi la valeur à l'origine dans l'espace de Fourier, plus élevée pour la courbe rouge (f(0) est l'intégrale de f ).

3.9.5 Conjugaison complexe

On a :

F f∗(x) =

∫ ∞−∞

f∗(x)e−iαxdx =

[∫ ∞−∞

f(x)eiαxdx

]∗soit :

F f∗(x) = F ∗(−α) (105)

3.9.6 Transformée de Fourier de f ′(x)

Supposons f(x) intégrable, dérivable et à dérivée intégrable. Sa dérivée f ′ possède alors une transformée deFourier, donnée par :

F f ′(x) =

∫ ∞−∞

f ′(x)e−iαxdx (106)

Intégrons par parties l'intégrale au second membre de l'équation (106) :

F f ′(x) =[f(x)e−iαx

]∞−∞ + iα

∫ ∞−∞

f(x)e−iαxdx (107)

Comme f ′ est intégrable, f(x) a bien une limite nie pour x→ ±∞. Cette limite ne peut être diérente de 0,sans quoi f ne serait pas intégrable. Le terme tout intégré de la formule (107) est donc nul. Il reste :

F f ′(x) = iαF f(x) = iαF (α) (108)

A la dérivation de f(x) par rapport à x correspond donc la multiplication de F (α) par iα.

Plus généralement, pour la dérivée d'ordre m, on a :

Ff (m)(x)

= (iα)mF (α) (109)

Le résultat (109) conduit à une majoration importante. De la formule :

(iα)mF (α) =

∫ ∞−∞

f (m)(x)e−iαxdx

on déduit l'inégalité :

|α|m|F (α)| 6∫ ∞−∞|f (m)(x)|dx (110)

Plus f(x) est dérivable, à dérivées intégrables, plus sa transformée de Fourier F (α) décroît rapidement à l'inni.

3.9.7 Transformée de Fourier de l'Intégrale de x(t)

En supposant que f(0) = 0, on montre de la même manière que :

F∫ x−∞ f(u)du

= 1

iαF (α) (111)

3.9.8 Propriété de dualité

La propriété de dualité permet d'obtenir facilement de nouvelles paires de transformées de Fourier à partir depaires déjà connues. Cette propriété s'énonce comme suit, pour une fonction f(x), si :

F f(x) = F (α)

alors :

F F (x) = 2πf(−α) (112)

50


Ceci se démontre en débutant avec l'expression de la transformée de Fourier inverse :

f(−x) =1

2π

∫ ∞−∞

F (α)e−iαxdα

et en échangeant maintenant les variables x et α ; on obtient :

f(−α) =1

2π

∫ ∞−∞

F (x)e−iαxdx

et le membre de droite n'est rien d'autre que 12πF F (x) ce qui prouve la propriété.

Cette propriété devient, pour un signal x(t), si :

F x(t) = X(f)

alors :

F X(t) = x(−f) (113)

En eet, on a alors :

x(−t) =

∫ ∞−∞

X(f)ej2πftdf

et en échangeant maintenant les variables t et f ; on obtient :

x(−f) =

∫ ∞−∞

X(t)ej2πftdt

et le membre de droite n'est rien d'autre que F X(t) ce qui prouve la propriété.

3.9.9 Dérivation de F (α) par rapport à α

On a :d

dαF (α) =

d

dα

∫ ∞−∞

f(x)e−iαxdx

soit, en dérivant sous le signe somme :

d

dαF (α) = −i

∫ ∞−∞

xf(x)e−iαxdx = F −ixf(x)

soit nalement :ddαF (α) = F −ixf(x) (114)

(La dérivation sous le signe somme est légitime si xf(x) est intégrable).

Plus généralement, on a :

F (−ix)mf(x) = F (m)(α) (115)

Ce résultat conduit encore à une majoration :

|F (m)(α)| 6∫ ∞−∞|x|m|f(x)|dx (116)

Plus f(x) décroît rapidement à l'inni, plus F (α) est dérivable (avec des dérivées bornées).

3.10 Le théorème de convolution pour les transformées de Fourier

3.10.1 Dénition

La convolution de deux fonctions f(x) et g(x) appartenant à L1 est dénie par :

f ∗ g(x) =

∫ ∞−∞

f(u)g(x− u)du (117)

51


Figure 18 Convolution de deux fonctions f et g. (a) : graphe de f(x′). (b) : graphe de g(x′). (c) : graphede g(x − x′)pour une valeur particulière x0 de x (la pésence du signe - devant x′ a pour eet de renverserle sens de la fonction). (d) : produit des deux fonctions f(x′).g(x − x0) : l'aire de recouvrement hachuréeh0 = h(x0) =

∫∞−∞ f(x′)g(x0 − x′)dx′ est la valeur du produit de convolution (f ∗ g)(x) pour x = x0. (e) :

lorsqu'on répète l'opération pour toutes les valeurs de x possibles, on obtient la fonction h.

3.10.2 Interprétation graphique de la convolution

Considérons la convolution entre deux fonctions f(x) et g(x) :

[f ∗ g] (x) =

∫ +∞

−∞f(u)g(x− u)du

Le calcul de la convolution consiste donc à calculer la surface située sous la courbe f(u)g(x−u) pour un x xé.Le signal g(x−u) est simplement le signal initial g(u) retourné par rapport à l'origine des x pour donner g(−u)puis translaté de x.

En calculant alors l'ensemble des surfaces obtenues en faisant glisser y, c'est-à-dire pour tous les décalages dex, on obtient le produit de convolution pour tout x, comme l'explique la gure (18).

3.10.3 Signication physique de la convolution

Il s'agit de l'intégrale de recouvrement de deux fonctions de u : f d'une part, et g(x − u) = g(−(u − x)) quireprésente la fonction g dont on a inversé le sens de l'abcisse et décalé l'origine au point x.

52


Figure 19 Eet d'une moyenne glissante (convolution par une porte de largeur a) sur une fonction f présentantdes oscillations rapides. (a) : la fonctionf , (b) : la porte (de largeur a = 0, 8 sur cet exemple), (c) : la fonction fet l'aire du produit f(x′).g(x0 − x′) avec x0 = 2 sur l'exemple. (d) : résultat de la convolution. La convolutiona pour eet d'atténuer ces oscillations en moyennant les valeurs de f sur l'intervalle de largeur a (les parties dela courbe au dessus et en dessous de la moyenne sur l'intervalle se compensent).

Cas particulier : convolution par une porteSoit g(x) = 1

aΠ(xa

)une porte de largeur a et d'intégrale 1. La convolution d'une fonction f quelconque par g

s'écrit :

h(x) =1

a

∫ +∞

−∞f(x′)Π

(x− x′

a

)dx′ =

1

a

∫ x+a/2

x−a/2f(x′)dx′

Il s'agit d'une moyenne glissante, c'est-à-dire d'une valeur moyenne de f sur un intervalle de largeur a autourdu point x. Cette opération a pour eet d'atténuer les uctuations rapides de f comme illustré sur la gure 19et est notamment utilisé en traitement du signal pour réduire le bruit.

3.10.4 Transformée de Fourier et produit de convolution

On peut montrer que f ∗ g = g ∗ f appartient aussi à L1 (nous l'admettrons). On peut alors calculer la trans-formée de Fourier de cette fonction.

Un important théorème, souvent appelé le théorème de convolution, établit que la transformée de Fourierde la convolution de f(x) et de g(x) est égale au produit des transformées de Fourier de f(x) etde g(x), c'est-à-dire en formule :

F f ∗ g = F fF g (118)

Formellement :

F f ∗ g =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−iαxf(u)g(x− u)dxdu (119)

Eectuons le changement de variable x− u = v, dx = dv dans l'intégrale (119). On obtient :

F f ∗ g =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−iα(u+v)f(u)g(v)dudu (120)

53


L'intégrale double (120) est le produit ordinaire de deux intégrales simples :

F f ∗ g =

∫ ∞−∞

e−iαuf(u)du

∫ ∞−∞

e−iαvg(v)dv (121)

On obtient ainsi la relation :F f ∗ g = F fF g (122)

La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est donc bien égale au produit ordinairedes transformées de Fourier de ces deux fonctions.

A cause de la symétrie des intégrales de Fourier et de Fourier inverse représentant respectivement f(x) et F (α),il existe un résultat analogue reliant le produit (ordinaire) f(x)g(x) et le produit de convolutionde F (α) et de G(α) :

F−1 F ∗G = 2πF−1 FF−1 G = 2πf(x)g(x) (123)

Cette dernière formule peut encore être écrite comme suit :

F f(x)g(x) = 12πF ∗G (124)

3.10.5 Propriétés du produit de convolution

L'opération de convolution a d'autres propriétés importantes. Par exemple, on a pour des fonctions f, g et h :

f ∗ g = g ∗ ff ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ hf ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h

c'est-à-dire que la convolution obéit aux lois de l'algèbre de commutativité, associativité et distributivité.

Preuve

• Le produit de convolution est distributif sur l'addition :

(f ∗ (g + h))(x)def.=

∫ +∞

−∞f(x− t)(g(t) + h(t)) dt

=

∫ +∞

−∞[f(x− t)g(t) + f(x− t)h(t)] dt

=

∫ +∞

−∞f(x− t)g(t) dt+

∫ +∞

−∞f(x− t)h(t) dt

def.= (f ∗ g)(x) + (f ∗ h)(x).

• Le produit de convolution est associatif lorsqu'on considère des fonctions intégrables (pour lesquelles s'applique le théorème deFubini) :

((f ∗ g) ∗ h)(y)def.=

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞f((y − x)− t)g(t) dt

)h(x) dx

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(y − T )g(T − x)h(x) dx dT

=

∫ +∞

−∞f(y − T )

(∫ +∞

−∞g(T − x)h(x) dx

)dT

def.= (f ∗ (g ∗ h))(y)

où T = x+ t , soit t = T − x , et dt = dT .

• Le produit de convolution est commutatif. On le voit aisément en opérant le changement de variable suivant :

(f ∗ g)(x)def.=

∫ +∞

−∞f(x− t)g(t) dt

=

∫ −∞+∞

f(T )g(x− T ) d(−T )

=

∫ +∞

−∞f(T )g(x− T ) dT

def.= (g ∗ f)(x)

.

où T = x− t, soit t = x− T , et dt = d(−T )

54


3.11 Résumé des propriétés de la transformation de Fourier

Fonction Transformée de Fourier

Linéarité a · g1(x) + b · g2(x) a · g1(ξ) + b · g2(ξ)

Contraction du domaine f(a · x) 1|a| · f(ξ/a)

Translation temporelle g(x+ x0) g(ξ) · eiξx0

Modulation dans le domaine temporel g(x) · eixξ0 g(ξ − ξ0)

Produit de convolution (f ∗ g)(x) f(ξ) · g(ξ)

Produit (f · g)(x) 12π (f ∗ g)(ξ)

Dérivation dans le domaine temporel f ′(x) (voir conditions ci-dessous) iξ · f(ξ)

Dérivation dans le domaine fréquentiel x · f(x) i2π f

′(ξ)Symétrie réelle et paire réelle et paire

Symétrie réelle paire (à symétrie hermitienne)

Symétrie réelle et impaire imaginaire pure et impaire

Symétrie imaginaire pure et paire imaginaire pure et paire

Symétrie imaginaire pure et impaire réelle et impaire

Forme gaussienne gaussienne

3.12 Identités de Parseval pour les intégrales de Fourier

Nous avons prouvé précédemment (cf. section 2.15) l'identité de Parseval pour les séries de Fourier. L'analogueexiste pour les intégrales de Fourier.

Si F (α) et G(α) sont les transformées de Fourier de f(x) et de g(x) respectivement, on peut montrer,à lacondition que les intégrales existent, que :∫ ∞

−∞f(x)g(x)dx =

1

2π

∫ ∞−∞

F (α)G(α)dα (125)

où la barre signie le complsexe conjugué.

En particulier, si f(x) = g(x) et donc F (α) = G(α), alors on a :∫ ∞−∞|f(x)|2dx =

1

2π

∫ ∞−∞|F (α)|2dα (126)

La formule (125) et son cas particulier (126) sont appelées identités de Parseval pour les intégrales de Fourier.

Démontrons la formule (125). On a :∫ ∞−∞

f(x)g(x)dx =

∫ ∞−∞

f(x)1

2π

∫ ∞−∞

G(α)e−iαxdαdx

=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x)G(α)e−iαxddx

=1

2π

∫ ∞−∞

G(α)dα

∫ ∞−∞

f(x)e−iαxdx

=1

2π

∫ ∞−∞

F (α)G(α)dα

et on a donc prouvé l'égalité (125), parfois appelée second théorème de Parseval. La formule (126), appeléepremier théorème de Parseval, s'en déduit comme un cas particuler (avec g(x) = f(x)).Des résultats analogues peuvent être écrits pour les transformées de Fourier en sinus et en cosinus. Si FS(α) etGS(α) sont les transformées de Fourier en sinus respectivement de f(x) et de g(x), alors :∫ ∞

0

f(x)g(x)dx =2

π

∫ ∞0

FS(α)GS(α)dα (127)

De la même manière, si FC(α) et GC(α) sont les transformées de Fourier en cosinus respectivement de f(x) etde g(x), alors : ∫ ∞

0

f(x)g(x)dx =2

π

∫ ∞0

FC(α)GC(α)dα (128)

55


Dans le cas particulier où f(x) = g(x), (127) et (128) deviennent respectivement :∫ ∞0

f(x2 dx =2

π

∫ ∞0

FS(α)2 dα (129)

et : ∫ ∞0

f(x2 dx =2

π

∫ ∞0

FC(α)2 dα (130)

3.13 Exercices

Exercice 8La fonction porte Π est dénie par :

Π(t) =

1 si − 1/2 6 t 6 1/20 sinon

(131)

1. Calculez la transformée de Fourier de la fonction porte.

2. En déduire la transformée de Fourier des fonctions impulsions ΠT dénies par

ΠT (t) =

1T si − T/2 6 t 6 T/20 sinon

(132)

Que se passe t'il lorsque l'on fait tendre T vers 0 ?

3. Utilisez les propriétés de la transformée de Fourier pour trouver les transformées des fonctions :

f(t) = Π

(t− 1

2

), g(t) = tΠ(t), h(t) = t2Π(t)

Exercice 9La fonction triangle Λ est dénie par :

Λ(t) =

1− |t| si − 1 6 t 6 10 sinon

(133)

1. Calculez la dérivée de Λ et exprimez Λ′(t) à l'aide de la fonction porte Π.

2. Appliquez à l'expression précédente l'opérateur F . En déduire la transformée de Fourier de Λ.

3. Vériez que Λ = Π ∗Π et retrouvez le résultat de la question précédente.

Exercice 10

1. Calculez la transformée de Fourier de f(x) = e−|x|.

2. En déduire les transformées de Fourier de

g(x) =1

1 + x2, h(x) =

x

(1 + x2)2et k(x) =

1

1 + (x− a)2

où a ∈ R (Indication : comparer h avec la dérivée de g).

Exercice 11On pose f(t) = e−πt

2

.

1. Vériez quef ′(t) = −2πtf(t) (134)

2. On posef(s) = F(f)(s)

Montrez que en appliquant F à la relation (134) que f est solution d'une équation diérentielle du premierordre.

56


3. En déduire que

f(s) = e−x2

4. Déduire de ce qui précède la transformée de Fourier de la fonction

fσ(t) =1

σ√

2πe−

t2

2σ2

5. Démontrez quefσ1 ∗ fσ2 = f√

σ21+σ2

2

Exercice 12Soient fa(x) = a

π(x2+a2) et ga(x) = sin(ax)πx . Montrez que l'on a

fa ∗ fb = fa+b, ga ∗ gb = gmin(a,b).

Exercice 13Soient f ∈ L1(R) et g(x) = e2πix . Calculez f ∗ g .

3.14 Distribution de Dirac et extension de la Transformée de Fourier aux distri-

butions

3.14.1 Introduction

La transformationn de Fourier ne s'applique strictement qu'aux signaux qui vérient les conditions de Dirichlet. Il serait agréable d'étendrele formalisme an de pouvoir dénir une transformée de Fourier pour les signaux de puissance moyenne nie 2, et de retrouver la série deFourier comme cas particulier de la transformée de Fourier.Cette extension est possible en utlisant la théorie des distributions, et en particulier la distribution de Dirac. La théorie des distributionssort du cadre de ce cours, nous nous contenterons ici d'une approche heuristique.

3.14.2 Transformée de Fourier de la fonction rectangle

Nous allons maintenant approfondir un peu notre connaissance de la TF par un exemple, qui nous permettra aussi de faire quelques re-marques intéressantes.

Considérons pour commencer un signal qui n'est pas à carré sommable (la TF du signal n'est donc pas dénie) mais dont on connaît lasérie de Fourier. Le plus simple est le signal constant :

x(t) = x0 = cte

dont la série de Fourier est donnée par les coecients c0 = x0 et cn = 0 ∀n 6= 0. Imaginons de mesurer ce signal pendant un intervalle detemps de durée nie et considérons la fonction x1(t) dénie comme suit :

x1(t) =

x0 pour − T 6 t 6 T

0 ailleurs

= x0.Rect(t/T )

c'est-à-dire une fonction constante sur un intervalle de durée 2T , ce qu'on appelle une fonction rectangle, notée Rect(t/T ). Elle n'est paspériodique, donc sa série de Fourier n'est pas dénie mais elle est d'énergie nie, et on peut donc en calculer la Transformée de Fourier :

X1(ω) =

+∞∫−∞

x1(t)e−iωt

dt

=

+T∫−T

x0e−iωt

dt

= −x01

iω

[e−iωt

]+T−T

= −x0e−iωt − e+iωt

iω

= x02TsinωT

ωT

= x02T sinc(ωT )

2. Les signaux d'énergie nies sont les signaux tels que :

Ex =

∫ ∞−∞

|x(t)|2dt < +∞

où Ex désigne l'énergie du signal. L'ensemble des signaux d'énergie nie est l'espace L2.Les signaux de puissance moyenne nie sont les signaux qui vérient :

Px = limT→+∞

1

T

∫ T/2

−T/2|x(t)|2dt < +∞

où Px désigne la puissance moyenne. On notera que ces signaux ne sont pas nécessairement absolumen intégrables. L'ensemble dessignaux de puissance moyenne nie est souvent noté L2(T )

57


où on a introduit la fonction sinus cardinal sinc(y) = sin(y)/y. Traçons X1(ω) (la fonction est réelle pour ce cas particulier, on peut doncla dessiner sans prendre le module) :

3.14.3 Dualité temps-fréquence, inuence de la durée du signal sur son spectre

En comparant maintenant avec la série de Fourier de x(t) = x0 = cte, on remarque que la raie spectrale ω = 0 qu'on avait trouvée pour lasérie de Fourier semble remplacée par un pic plus complexe et élargi autour de la même pulsation. Que devient ce pic si on change la duréeT du signal ? La TF du signal de durée limitée tend-il à se rapprocher de la SF de celui de durée innie ? On peut évaluer la forme du piccentral de X1(ω) en calculant :

• La hauteur du pic : x02T = x0∆t avec ∆t la durée du signal ;

• la largeur du pic ∆ω : on a ∆ω = 4π/2T = 4π/∆t entre deux zéros.

La largeur du pic ∆ω est inversement proportionnelle à la durée ∆t :

∆ω∆t = cte (135)

C'est une relation importante entre la largeur du spectre d'un signal et sa durée, qui est toujours vériée : plus le signal est court, plus saTF et donc son spectre sont élargis sur un grand intervalle de fréquences. On parle ainsi de dualité temps-fréquence.La gure ci-dessous montre la TF de deux fonctions rectangle de durée diérente. Donc, plus la durée ∆t du signal est grande, plus le picde sa TF est haut et étroit : en même temps que le signal x1(t) s'approche du signal de durée innie x(t) (sa durée devient de plus en plusgrande), le spectre X1(ω) s'approche de plus en plus d'une raie très étroite centrée sur la pulsation ω = 0.

3.14.4 Distribution de Dirac : dénition et première propriétés

Que se passe-t-il à la limite T →∞ ? Le signal x1(t) tend vers le signal constant x(t) = x0 : que devient sa TF ? Retrouvera-t-on la SF dusignal constant ?

Presque, mais pas exactement. Voyons. En principe, nous savons que nous ne sommes pas autorisés à calculer la TF de la fonction limitelimT→∞

x1(t) = x(t), car cette fonction n'est pas à carré sommable. Mais nous pouvons essayer de calculer la limite de la TF de la fonction

x1(t) :

limT→∞

X1(ω) = limT→∞

∫ +∞

−∞x1(t)e

−iωtdt

= limT→∞

x02T sinc(ωT )

=

+∞ pour t = 00 pour t 6= 0

Le résultat n'est donc pas une fonction ! Ce n'est pas étonnant qu'on ne puisse pas le calculer directement par TF. Cependant, c'est unrésultat intéressant et raisonnable : nous avons trouvé, comme prévu, un spectre qui consiste en une seule raie spectrale à la pulsationω = 0, nul ailleurs, comme nous nous attendions par comparaison avec la SF.

Seulement, l'amplitude en ω = 0 est innie. Nous voudrions pouvoir garder ce résultat : pour cela il faut admettre cette limite defonction dans notre univers mathématique. On dénit alors la distribution delta de Dirac δ(y). Une distribution (égalementappelée fonctiongénéralisée) est un objet qui généralise la notion de fonction. Dans notre cas, la distribution δ(y) dépendante de la variable y est la fonctionnulle partout sauf en zéro où elle est divergente. Ces conditions ne sont pas susantes pour la dénir de manièrere univoque car il manqueune condition de normalisation. Si on rajoute une telle condition, on parvient à dénirr le delta de Dirac par les propriétés suivantes :

δ(t) =

0 pour t 6= 0+∞ pour t = 0

(136)

58


et telle que : ∫ ∞−∞

δ(t)dt = 1 (137)

L'impulsion de Dirac est ainsi une impulsion inniment ne, d'amplitude innie, et d'aire unité.

L'impulsion de Dirac jour le rôle d'une fonction indicatrice lorsqu'elle intervient dans une intégration. En eet, elle est nulle sauf lorsqueson argument est nul, auquel cas sont amplitude est innie, mais son aire unité. Ainsi on peut écrire que x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0).Par conséquent : ∫ ∞

−∞x(t)δ(t− t0)dt = x(t0) (138)

3.14.5 Une approche heuristique de la distribution de Dirac

Considérons la fonction :

gε(x) =1

εΠ

(x

ε

)(139)

C'est une porte de largeur ε et de hauteur 1/ε. Son intégrale vaut 1 :∫ ∞−∞

gε(x)dx = 1 (140)

Lorsque ε → 0 cette fonction a une largeur qui tend vers 0 et une hauteur qui tend vers l'inni, mais son intégrale est toujours égale à 1.On appelle distribution de Dirac et on notera δ(x) cette limite :

δ(x) = limε→0

1

εΠ

(x

ε

)(141)

δ est donc de largeur nulle (on parle aussi de support nul ou de mesure nulle), de hauteur innie et d'intégrale 1. On parle de pic deDirac ou d'impulsion de Dirac. Le graphe de δ sera représenté par convention par une èche vers le haut, de hauteur 1, centrée en x = 0.

Il est facile de voir que Nδ(x) (avec N ∈ R \ 0) est d'intégrale N , mais un problème se pose si N = 0. On admettra que 0.δ(x) = 0.

Nous avons également les propriétés suivantes :

• Changement d'origine : δ(x− a) vaut 0 partout sauf en x = a (on parle de pic de Dirac localisé en x = a.

59


• La somme :

K1δ(x− x1) +K2δ(x− x2) (142)

représente une distribution à deux pics, d'intégrales K1 et K2, localisés en x1 et x2.

3.14.6 La distribution de Dirac vue comme dérivée de la fonction de Heaviside

Approche heuristiqueLa fonction de Heaviside H(x) a une pente nulle partout sanf en 0 où elle est innie. Peut-on en déduire que la dérivée de H(x) est unedistribution δ ?

Pour le voir, on peut approcher H(x) par la limite lorsque ε→ 0 de la fonction Gε(x) dénie par :

Gε(x) =

0 si x 6 − ε2xε + 1

2 si |x| 6 ε2

0 si |x| > ε2

(143)

Cette fonction a une pente 1ε qui tend vers l'inni dans un intervalle de largeur ε→ 0 autour de l'origine. Il est facile de voir que sa dérivée

est une fonction porte :

G′ε(x) =

1

εΠ

(x

ε

)qui tend vers δ(x) lorsque ε→ 0. Et puisque Gε(x)→ H(x) lorsque ε→ 0, on en déduit que H′(x) = δ(x).

Démonstration plus rigoureuseCalculons la primitive de δ : ∫ x

−∞δ(t)dt

Cette intégrale vaut 0 si x < 0 et 1 si x > 0 et n'est pas dénie en 0 : c'est exactement la dénition de H(x). D'où :

H(x) =

∫ x

−∞δ(t)dt (144)

et :

dH

dx= δ(x) (145)

60


3.14.7 Dérivées de la distribution δ

Approche heuristiqueNous avons introduit la distribution de Dirac comme limite d'une fonction porte inniment haute et étroite et dont l'intégrale vaut 1 :

δ(x) = limε→0

1

εΠ

(x

ε

)Dans le même ordre d'idées, on peut imaginer approcher la dérivée de δ par la dérivée de cette porte, représentée sur la gure ci-dessous.

La dérivée de Π(x/ε) vaut δ(x + ε/2) − δ(x − ε/2). lorsque ε → 0 on tend vers la superposition de deux distributions de Dirac centrés en0, de signes opposés, chacune d'intégrale innie. Bien sûr, c'est simplement une représentation, il n'est pas question de faire le calcul de lalimite de la porte.

La dénition propre de δ′ est, au sens des distributions∫ ∞−∞

f(x)δ′(x)dx = −f ′(0) (146)

où f est une fonction quelconque (dite test) ayant une dérivée en 0. De même, on dénit la dérivée d'ordre m par :∫ ∞−ßnfty

f(x)δ(m)

(x)dx = (−1)mf′(m)

(0) (147)

3.14.8 Transformée de Fourier de la distribution de Dirac

A l'aide des résultats précédents, il est facile d'exprimer la transformée de Fourier de l'impulsion de Dirac, qui vaut simplement :

TF δ(t) =

∫ ∞−∞

δ(t)e−i2πft

dt

= e−i2πf0

= 1 (148)

La transformée de Fourier de l'impulsion de Dirac est donc une fonction constante, quelque soit la pulsation/fréquence.

3.15 Applications et conséquencesMunis de ces quelques résultats, on peut rechercher les transformées de Fourier de quelques fonctions qui n'admettraient pas de TF au senshabituel. Ce faisant, on pourra donner un nouvel éclairage à la transformée de Fourier.

3.15.1 Transformée de Fourier d'une impulsion retardée

Par simple application de la propriété (102) du retard temporel, on peut écrire que :

TF δ(t− τ) = e−i2πfτ

TF−1e−i2πfτ

= δ(t− τ)

La transformée de Fourier d'une impulsion de Dirac placée en t = τ est une exponentielle complexe.

3.15.2 Transformée de Fourier d'un signal continu

On recherche la transformée de Fourier d'un signal constant, c'est-à-dire d'un signal continu (au sens électronique, pas au sens mathéma-tique). Nous avons vu que TF δ(t) = 1. En utilisant la propriété de dualité (113), on en déduit que :

TF 1 = δ(−f) = δ(f)

La transformée de Fourier d'un signal constant est donc une raie, ou une masse, à la fréquence nulle.

3.15.3 Transformée de Fourier d'une exponentielle complexe

La propriété de modulation (??) :

TFej2πf0tx(t)

= X(f − f0)

implique, en prenant x(t) = 1 que :

TFej2πf0t

= δ(f − f0)

c'est-à-dire une impulsion de Dirac dans le domaine fréquentiel à la fréquence f = f0.

61


3.15.4 Transformée de Fourier des fonctions trigonométriques

Pour déterminer la transformée des fonctions trigonométriques, il sut d'appliquer les formules d'Euler :

cos(2πf0t) =ej2πf0t + e−j2πf0t

2

sin(2πf0t) =ej2πf0t − e−j2πf0t

2j

Il vient alors :

TF cos(2πf0t =1

2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

TF sin(2πf0t =1

2[δ(f − f0)− δ(f + f0)]

3.15.5 Transformée de Fourier de la fonction signe

On montre facilement que :

TF sgn(t) =1

jπf

3.15.6 Transformée de Fourier de l'échelon unité

L'échelon unité peut-être exprimé comme la somme :

U(t) =1

2[sgn(t) + 1]

On a par conséquent :

TF U(t) =1

2TF sgn(t)+

1

2TF 1

=1

j2πf+

1

2δ(f)

3.16 Relation entre série et transformée de FourierSoit x(t) une fonction périodique de période T0. On a alors :

x(t) =

∞∑m=−∞

xT0(t−mT0)

où xT0(t) est le motif de base, de durée T0. Le signal x(t) étant périodique, il admet une décomposition en série de Fourier sous la forme :

x(t) =

∞∑m=−∞

cnej2πnf0t

où f0 = 1/T0 et :

cn =1

T0

∫[T0]

xT0(t)e−j2πnf0tdt

On déduit immédiatement de cette relation que :

cn =1

T0

XT0(nf0)

où XT0(f) est la transformée de Fourier de xT0

(t). On a alors :

x(t) =∞∑

m=−∞xT0

(t−mT0) = 1T0

∞∑m=−∞

XT0(nf0)ej2πnf0t

On en déduit que la transformée de Fourier de x(t) s'écrit :

TF x(t) =1

T0

∞∑m=−∞

XT0(nf0)TF

ej2πnf0t

soit :

X(f) = TF x(t) = 1T0

∞∑m=−∞

XT0(nf0)δ(f − f0)

La transformée de Fourier d'un signal périodique de période T0 est donc constituée d'impulsions de Dirac, situées tous les mutiples de f0,et dont le poids est la transformée de Fourier du motif de base à la fréquence considérée.

La périodicité dans le domaine temporel conduit à une transformée de Fourier constituée de raies.

62


En prenant enn xT0= δ(t), on obtient les formules de Poisson :

∞∑m=−∞

δ(t−mT0) = 1T0

∞∑n=−∞

ej2πnf0t (149)

puis en écrivant et en égalant les transformées de Fourier de chacun des deux membres :

∞∑m=−∞

ej2πmf0t = 1T0

∞∑n=−∞

δ(f − nf0) (150)

soit enn :

TF

∞∑

m=−∞δ(t−mT0)

= 1

T0

∞∑n=−∞

δ(f − nf0) (151)

Cette relation montre que la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac est également un peigne de Dirac, ces deux peignes étant de pasinversement proportionnels.

3.17 Relations d'incertitude pour les signaux d'énergie nieNous avons vu que la transformée de Fourier d'une porte est d'autant plus large que la porte est étroite.En fait, onvoit ainsi qu'à un signalde durée limitée correspond une transformée de Fourier à support inni, et réciproquement (exemple des fonctions sinusoïdales). On ne peutpas trouver de fonction qui soit à support limité simultanément dans les deux domaines. Mieux encore, plus une fonction est concentrée dans un domaine, plus elle est étalée dans le domaine dual. Ces constatations sont quanitiées par les relations d'incertitude, appeléesainsi en référence aux relations d'incertitude de Gabor-Heisenberg.

L'énergie d'un signal est dénie par :

Ex =

∫ +∞

−∞|x(t)|2dt

et l'on a la relation de Parseval :

Ex =

∫ +∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ +∞

−∞|X(f)|2df.

On peut alors considérer :

|x(t)|2

Exet

|X(f)|2

Ex

comme des densités de probabilité et dénir les moments de ces densités :t = 1

Ex

∫+∞−∞ t|x(t)|2dt temps moyen

f = 1Ex

∫+∞−∞ f |X(f)|2df fréquence moyenne

et on dénit alors les variances par :(∆t)2 = 1

Ex

∫+∞−∞ (t− t)2|x(t)|2dt variance temporelle

(∆f)2 = 1Ex

∫+∞−∞ (f − f)2|X(f)|2df variance fréquentielle

Sans perte de généralité, on choisit une origine des temps et des fréquences telles que t = 0 et f = 0.

On considère maintenant la fonction de λ positive suivante :

I(λ) =

∫ +∞

−∞

∣∣∣∣λdx(t)

dt+ tx(t)

∣∣∣∣2 dt > 0 (152)

63


soit, après développement :

I(λ) = λ2∫ +∞

−∞

∣∣∣∣dx(t)

dt

∣∣∣∣2 dt+ 2λ

∫ +∞

−∞tx(t)

dx(t)

dtdt+

∫ +∞

−∞|tx(t)|2 dt

ou :

I(λ) = λ2∫ +∞

−∞

∣∣∣∣dx(t)

dt

∣∣∣∣2 dt+ λ

∫ +∞

−∞td|x(t)|2

dtdt+

∫ +∞

−∞|tx(t)|2 dt

Les relations sur la transformée de Fourier d'une dérivée et la relation de Parseval fournissent :

1. ∫ +∞

−∞

∣∣∣∣dx(t)

dt

∣∣∣∣2 dt =

∫ +∞

−∞|j2πfX(f)|2 df = 4π

2(∆f)

2Ex

2. ∫ +∞

−∞td|x(t)|2

dtdt =

[t|x(t)|2

]+∞−∞

+

∫ +∞

−∞|x(t)|2dt = Ex

en supposant que t[x(t)|2 → 0 quand t→ +∞ ;

3. ∫ +∞

−∞t2 |x(t)|2 dt = (∆t)

2Ex

Il reste donc :

I(λ) =[λ

24π

2(∆f)

2+ λ+ (∆t)

2]Ex > 0

La fonction considérée étant toujours de même signe, le discriminant doit donc être négatif, ce qui conduit à :

∆t.∆f > 14π (153)

Le produit durée moyenne par bande moyenne est ainsi borné inférieurement, ce qui induit une relation d'inceritude, du type Gabor-Heisenberg entre les deux domaines. Il n'est pas possible de trouver de signal qui soit à support limité simultanément dans les deuxdomaines. Qui plus est, la relation précédente permet de quantier cette remarque et d'exhiber les signaux limites .

En eet, les signaux qui sont conjointement les plus compacts sont ceux qui permettent d'atteindre la borne, c'est-à-dire les signauxtels que ∆t.∆f = 1/4π. Ce sont les signaux tels que :

I(λ0) =[λ

204π

2(∆f)

2+ λ0 + (∆t)

2]Ex = 0

soit :

λ0dx(t)

dt+ tx(t) = 0

Ce sont les signaux gaussiens :

x(t) = Ae− t2

2λ0

dont la transformée de Fourier est également gaussienne :

X(f) = Ae−λ0f

2

4 Applications de l'analyse de Fourier à la physique et à l'électronique

4.1 Application de la convolution à la résolution d'équations diérentielles li-

néaires

4.1.1 Exemple de l'oscillateur harmonique

On considère une masse accrochée à un ressort. On exerce sur la masse une force F (t) et on s'intéresse àl'allongement x(t) du ressort avec les conditions initiales suivantes :

x(0) = x0

x′(0) = 0 (154)

64


L'équation diérentielle du mouvement de la masse est celle d'un oscillateur harmonique, elle s'écrit :

x′′(t) + ω2x(t) = F (t) (155)

avec ω la pulsation propre de l'oscillateur. C'est une équation linéaire. Nous allons montrer que la solution d'unetelle équation peut s'écrire comme une convolution entre deux fonctions : F (t) (second membre) et une fonctionR(t) appelée réponse impulsionnelle .

On s'intéresse d'abord au cas où la force est de type δ(t), c'est-à-dire une force très intense pendant un tempstrès bref (une impulsion). On appelle R(t) la solution (allongement) correspondante, elle obéit à l'équation del'oscillateur. Il vient :

R′′(t) + ω2R(t) = δ(t)

puis on convolue les deux membres de l'équation ci-dessus par la fonction F (t) :

F ∗R′′ + ω2F ∗R = F ∗ δ

et on utilise l'égalité F ∗ δ = F et la propriété de dérivation d'un produit de convolution x ∗ y′ = (x ∗ y)′.Onobtient :

(F ∗R)′′ + ω2(F ∗R) = F

Cette équation est identique à l'équation à laquelle satisfait x :

x′′ + ω2x = F

La solution devant être unique, on a nécessairement :

x = f ∗R

La réponse impulsionnelle R(t) décrit le mouvement de la masse lorsqu'on lui applique une force impulsionnellequi n'a de valeur qu'à l'instant t = 0 et qui est nulle ensuite : R(t) est donc, lorsque t > 0, la solution del'équation sans second membre. Le calcul exact de R(t) sera détaillé au paragraphe 4.1.3

4.1.2 Généralisation

Soit un système physique régi par une équation diérentielle linéaire :

a0y + a1y′ + a2y

′′ + · · ·+ any(n) = F

et R la réponse impulsionnelle solution de :

a0R+ a1R′ + a2R

′′ + · · ·+ anR(n) = δ

Le raisonnement du paragraphe précédent s'applique et on a là aussi la relation de convolution :

y = F ∗R

c'est une propriété tout à fait remarquable et qui permet de remplacer la résolution parfois laborieuse d'uneéquation diérentielle par un calcul d'intégrale. Cela ne marche que si l'équation est linéaire.

Vocabulaire : l'écriture de la solution de l'équation sous forme d'une convolution permet de séparer deuxcontributions :

• Une contribution externe au système physique F (t) (la force excitatrice dans l'exemple du ressort) ;

65


• Une contribution propre au système physique : c'est la réponse impulsionnelle R(t) (qui dépend de laraideur et de la masse dans l'exemple du ressort) appelée parfois fonction d'appareil.

La seule connaissance de la réponse impulsionnelle R(t) permet de calculer la solution pour n'importe quelsecond membre, de sorte que l'on a pas besoin de savoir de quoi est fait le système physique si l'on connaitsa réponse impulsionnelle : il pourrait être traité comme une boîte noire . On utilise parfois le vocabulairesuivant, inspiré du domaine du traitement du signal :

• le système physique (ressort+masse par exemple) est appelé système linéaire ou ltre ;

• le second membre de l'équation est appelé excitation ou signal d'entrée ;

• la solution y(t) de l'équation diérentielle est appelée réponse ou signal de sortie ;

• la relation y = F ∗R est appellée relation entrée-sortie.

et le comportement du système peut-être schématisé par le dessin ci-dessous :

On parle de système causal lorsque laréponse impulsionnelle R(t) = 0 pour t < 0. Dans ce cas la variablet désigne le temps. La signication physique est assez simple à comprendre : imaginons R(t < 0) 6= 0 dansl'exemple du ressort. Une force de type impulsion appliquée à l'instant t = 0 aurait alors pour eet de fairebouger la masse (R(t) est l'allongement du ressort) à t < 0 c'est à dire avant que la force soit appliquée. Un telsystème violerait le principe de causalité.

4.1.3 Calcul de la réponse impulsionnelle : exemple du ressort

Reprenons l'équation de l'oscillateur harmonique du paragraphe 4.1.1 :

x′′(t) + ω2x(t) = F (t)

La réponse impulsionnelle R(t) obéit à l'équation diérentielle :

R′′(t) + ω2R(t) = δ(t) (156)

Il existe plusieurs méthodes pour calculer R. On peut eectuer une transformée de Fourier de l'équation pré-cédente, qui a pour eet de transformer l'équation diérentielle en équation linéaire simpe, comme nous lemontrerons dans la section 4.2.

Nous proposons ici une méthode plus traditionnelle (solution générale de l'équation sans second membre +solution particulière). Comme le δ(t) du second membre nous embête, nous recourons à l'astuce suivante,consistant à introduire la primitive G de la réponse impulsionnelle :

G =

∫Rdt

avec la condition G(t 6 0) = 0 pour respecter la causalité. Puis on intègre l'équation (156) par rapport autemps :

R′(t) + ω2

∫R(t)dt =

∫δ(t)dt

qui s'écrit aussi :

G′′(t) + ω2G(t) = H(t)

66


avec H(t) la distribution de Heaviside. Pour t > 0 l'équation s'écrit donc :

G′′(t) + ω2G(t) = 1

ce qui est facile à résoudre. La solution de l'équation sans second membre est :

G0(t) = A cosωt+B sinωt

avec A,B, réels. Une solution particulière constante est G1 = 1ω2 . La condition G(0) = 0 donne A = − 1

ω2 , desorte que :

G(t) =1

ω2(1− cosωt) +B sinωt

La réponse impulsionnelle est la dérivée de G. La constante B s'annule à cause de la condition R(0) = 0 (ressortau repos à t 6 0). On a nalement pour t > 0 :

R(t) =1

ωsinωt

et R(t) = 0 pour t < 0. On peut écrire :

R(t) =H(t)

ωsinωt

4.2 Fonctions de transfert et ltrage

4.2.1 Filtre passe-bas du premier ordre avec un circuit RC série

On considère le circuit RC de la gure 20.

Figure 20 Circuit RC. x(t) est la tension d'entrée, y(t) est la tension mesurée aux bornes du condensateur.

Un générateur délivre une tension alternative x(t) dans un circuit composé d'une résistance R et d'un conden-sateur C montés en série. On mesure la tension y(t) aux bornes du condensateur. x(t) sera appelé le signald'entrée et y(t) le signal de sortie .

La loi des mailles permet d'écrire l'équation diérentielle à laquelle satisfait la charge q(t) du condensateur :

Rdq

dt+q

C= x(t)

Posons y = qC , il vient :

RCdy

dt+ y = x(t)

C'est une équation diérentielle linéaire dont la solution y(t) s'écrit comme la convolution :

y(t) = (x ∗R)(t) (157)

avec R(t) la réponse impulsionnelle, comme nous l'avons vu au paragraphe 4.1.1. Une autre manière de lemontrer est de calculer la TF de l'équation diérentielle :

RC2iπνy(ν) + y(ν) = x(ν)

67


La transformation de Fourier a permis de transformer l'équation diérentielle en une équation linéaire. Le calculde y(ν) est immédiat :

y(ν) = x(ν)1

1 + 2iπνRC

et en posant :

R(ν) =1

1 + 2iπνRC

on fait apparaître y comme le produit de deux quantités :

y(ν) = x(ν).R(ν) (158)

Cette relation entre les signaux d'entrée et de sortie dans l'espace de Fourier est dite relation de ltrage linéaire.Le signal de sortie y(t) est ainsi nommé également signal ltré. Par TF inverse, on retrouve l'équation (157).On peut aussi calculer R(t) en utilisant le résultat (94) :

R(t) =1

RCH(t) exp− t

RC

La quantité R(ν) est appelée fonction de transfert. C'est la TF de la réponse impulsionnelle. Et comme la réponseimpulsionnelle, elle ne dépend que des caractéristiques du circuit RC (résistance R et capacité C) et non pasde la tension d'entrée x(t). Son graphe (parties réelle et imaginaire, module et phase) est représenté à la gure 21.

Figure 21 Fonction de transfert du circuit RC pour RC = 1.

Une autre représentation, en échelle logarithmique (pour ν > 0) est montrée gure 22. Cette représentation,très utilisée dans le domaine de l'électronique, est connue sous le nom de diagramme de Bode. Le module deR(ν) y est converti en décibels (dB) par la formule :

G(ν) = 20 log10

(∣∣∣R(ν)∣∣∣)

de sorte qu'une division d'un facteur 10 entre deux valeurs de∣∣∣R(ν)

∣∣∣ pour deux fréquences ν1 et ν2 se traduit

par une perte de 20 dB entre les valeurs de G à ces mêmes fréquences. G(ν) est parfois nommé gain . Cettereprésentation est commode car elle fait apparaître deux régimes diérents pour le comportement de G :

• G(ν) est constant pour |ν| << 1RC et vaut 0 ;

• G(ν) est une. et vaut 0

68


Figure 22 Diagramme de Bode de la fonction de transfert R(ν) du circuit RC pour RC = 1. En haut le gainG(ν) en fonction de la fréquence ν. En bas, la phase de R(ν) en fonction de ν

Signication physique de la fonction de transfertLa signication physique de cette fonction de transfert est facile à appréhender lorsque la tension d'entrée x(t)est sinusoïdale de fréquence ν0 par exemple :

x(t) = x0 cos(2πν0t)

Dans ce cas, x(ν) est la somme de deux distributions δ :

x(ν) =x0

2[δ(ν − ν0) + δ(ν + ν0)]

Le ltrage correspondant à l'équation (158) permet d'écrire y(ν) comme une somme de deux distributions δégalement :

y(ν) =x0

2

[R(ν0)δ(ν − ν0) + R(−ν0)δ(ν + ν0)

]et on obtient le signal de sortie y(t) par TF inverse, en utilisant la propriété R(−ν0) = R(ν0) :

y(t) = x0

∣∣∣R(ν0)∣∣∣ cos(2πν0t+ φ0)

où φ0 est la phase de R(ν0). On retiendra que :Lorsque le signal d'entrée est une sinusoïde de fréquence ν0, le signal de sortie est aussi une sinusoïde :

• de même fréquence ν0 :

• dont l'amplitude a été multipliée par |R(ν0)| ;

• qui est déphasée d'une quantité φ0 = arg[R(ν0)

].

Le rôle du module de la fonction de transfert est comparable à celui d'un equalizer de chaîne stéréo : il agitcomme un coecient d'atténuation du signal à la fréquence ν0. La phase de la fonction de transfert agit poursa part par un déphasage de ce signal. Le diagramme de Bode de la gure 22 montre qu'un signal de bassefréquence ν << 1

RC sera quasiment inchangé (y(t) ≈ x(t)), le circuit n'a pas d'eet sur les signaux bassesfréquences. Par contre, à haute fréquence ν >> 1

RC , le signal de sortie aura une amplitude faible, qui tend vers0 à mesure que ν augmente. Un tel ltrage est donc dit passe-basfg car il laisse passer les basses fréquenceset bloque les fréquences élevées. La gure 23 illustre ce comportement.

69


Figure 23 Illustration de l'eet du ltrage d'un signal sinusoïdal x(t) par un circuit RC (avec RC = 1). (a)signal d'entrée x(t) = cos(2πν0t) avec ν0 = 0, 5. (b) représentations dans l'espace de Fourier de la fonction detransfert (module) et de x(ν) (somme de deux Dirac). (c) signal ltré y(t) qui est une sinusoîde de fréquence ν0

amortie et déphasée. (d), (e), (f ) : même chose avec ν0 = 3. On constate un amortissement plus important pourcette fréquence plus élevée, ainsi qu'un déphasage de presque π/2 (comme prévu par le diagramme de Bode).

4.2.2 Filtre passe-haut du premier ordre avec un circuit RL série

Considérons le circuit électrique contenant une résistance R et une bobine L montés en série, alimentés par ungénérateur de tension alternative U .

Le circuit est analysé avec la loi des mailles pour donner :

U = UR + UL

Dans le régime transitoire :

UR = RI, UL = LdI

dt

L'équation diérentielle qui régit le circuit est alors la suivante :

U = LdI

dt+RI (159)

Avec :

• U la tension aux bornes du montage, en V ;

• I l'intensité du courant électrique en A ;

• L l'inductance de la bobine en H ;

• R = Rt la résistance totale du circuit en Ω.

70


C'est une équation diérentielle linéaire dont la solution pour I(t), si U est constante et égale à E et pour lacondition initiale Ibobine(t = 0) = 0, est :

I(t) =E

R(1− e− t

τ ) (160)

avec τ =L

Rqui est la constante de temps du circuit, en s.

En eet, on sait que l'on peut écrire la solution sous la forme :

RI(t) = U ∗ RI(t) (161)

avec RI la réponse à une impulsion de courant, comme nous l'avons vu au paragraphe 4.1.1, qui est solution del'équation diérentielle :

Rδ = LdRIdt

+RRI (162)

et donc :

UL(t) = LdI

dt=L

R

d

dtU ∗ RI(t) =

L

RU ∗ dRI

dt= U ∗ RU

où RU est la réponse à une impulsion de tension, qui est solution de l'équation diérentielle :

δ = RU +R

L

∫RUdt (163)

On a bien sûr entre les deux réponses impulsionnelles, en comparant les formules (162) et (163) la relation :

RU =L

R

dRIdt

(164)

c'est-à-dire, au niveau des transformées de Fourier :

RU = iωL

RRI (165)

Une autre manière d'arriver au même résultat est de réécrire l'équation diérentielle (159) comme suit :

U = UL +R

L

∫ULdt (166)

et de calculer la TF de l'équation diérentielle (166) :

U(ω) = UL(ω) +R

L

1

iωUL(ω) (167)

Ici encore, la transformation de Fourier a permis de transformer l'équation diérentielle en une équation linéaire.Le calcul de UL(ω) est immédiat :

UL(ω) =U(ω)

1 + RiLω

et en posant :

R(ω) =1

1 + RiLω

=iLωR

1 + iLωR

=iωωc

1 + iωωc

(168)

(où l'on a posé ωc = R/L),on fait apparaître UL comme le produit de deux quantités :

UL(ω) = U(ω).R(ω) (169)

La quantité R(ω) est appelée fonction de transfert. C'est la TF de la réponse impulsionnelle, c'est-à-dire deRU , on a donc RU (ω) = R(ω). Et comme la réponse impulsionnelle, elle ne dépend que des caractéristiques du

71


circuit RL (résistance R et inductance L) et non pas de la tension d'entrée U(t). Par TF inverse, on retrouvel'équation (161). On peut aussi calculer R(t) en réécrivant le résultat (168) comme suit :

R(ω) =iωωc

+ 1− 1

1 + iωωc

= 1− 1

1 + iωωc

et en utilisant (94), on obtient nalement :

R(t) = RU (t) = δ(t)− R

Le−t

RL U(t) = δ(t)− 1

τe−

tτ U(t) , (170)

De la même façon, on a aussi :

RI =R

L

1

iω

iωωc

1 + iωωc

=R

L

1ωc

1 + iωωc

=R

L

L

R

1

1 + iωωc

=R

L

1RL + 2iπf

(171)

Par conséquent, on obtient pour RI(t) en utilisant (94)

RI(t) =R

Le−

RL tU(t) (172)

Cette réponse est bien compatible avec la réponse impulsionnelle en tension puisqu'elles sont liées par la relation(164) ; en eet, en dérivant (172), on obtient bien (170).On peut retrouver l'expression du courant (160) dans le cas d'une tension U = E constante en calculantexplicitement la convolution (161) :

RI(t) = U ∗ RI(t)

=

∫ ∞−∞U(u)ERI(t− u)du

= ER

L

∫ ∞0

U(t− u)e−RL (t−u)du

= ER

L

∫ t

0

e−RL te

RLudu

= ER

Le−

RL tL

R

[eRLu]t

0

= Ee−RL t(eRL t − 1

)= E

(1− e−RL t

)comme attendu.

Le module et la phase de la fonction de transfert sont égaux à :

|R(ω)| =∣∣∣∣vovi∣∣∣∣ =

ωωc√

1 +(ωωc

)2(173)

et

φ(ω) = arg R(ω) =π

2− arg

(1 + j

ω

ωc

)=π

2− arctan

(ω

ωc

)(174)

Dans les diagrammes de Bode, on utilise :

• Le gain en décibels :

GdB(ω) = 20 · log |R(ω)| = 20 · log

(ω

ωc

)− 10 · log

(1 +

(ω

ωc

)2)

(175)

• La phase en radians :

φ(ω) = arg R(ω) =π

2− arg

(1 + j

ω

ωc

)=

π

2− arctan

(ω

ωc

)(176)

72


On distingue alors deux situations idéales :

• Lorsque ω ωc :

GdB ∼ 20 · log

(ω

ωc

)et φ ' 90 (Le signal est ltré) (177)

• Lorsque ω ωc :

GdB ' 0 et φ ' 0 (Le ltre est passant) (178)

On remarque que pour ω = ωc, on a GdB = −3dB.

Figure 24 Diagramme de Bode d'un ltre passe haut (système du 1er ordre)

4.2.3 Filtre passe bande du second ordre avec un circuit RLC série

On peut obtenir un ltre passe-bande passif avec le circuit RLC décrit sur le schéma ci-dessus. On trouve alorsla fonction de transfert suivante :

R(ω) =1

1 + j(LRω −

1RCω

) (179)

73


qui est de la forme :

1

1 + jQ(x− 1

x

) (180)

avec :

• x =ω

ω0

• ω0 =1√LC

• Q =1

R

√L

C

En eet, l'équation diérentielle du circuit est :

RI(t) + LdI

dt+

1

C

∫I(t)dt = Ve (181)

En dérivant cette équation par rapport au temps, on obtient :

RdI

dt+ L

d2I

dt2+

1

CI(t) =

dVedt

(182)

ou encore, on passant à la variable Vs(t) = RI(t) :

dVsdt

+L

R

d2Vsdt2

+1

RCVs(t) =

dVedt

(183)

Prenons la TF des deux membres de l'équation précédente :

jωVs +L

R(jω)2Vs +

1

RCVs = jωVe (184)

Cette équation permet de calculer le rapport Vs/Ve ; on obtient :

Vs

Ve=

jω

jω − LRω

2 + 1RC

=1

1 + j(LRω −

1RCω

) (185)

c'est-à-dire exactement (179).On a ainsi :

R(ω) =1

1 + jQ(ωω0− ω0

ω

) (186)

On en déduit que :

|R(ω)| = 1√1 +Q2

(ωω0− ω0

ω

)2(187)

et :

arg(R(ω)) = − arctan

(Q

(x− 1

x

))(188)

74


5 Echantillonnage

5.1 GénéralitésOn se représente en général la variation d'une grandeur comme continue, c'est-à-dire que d'une part la grandeur possède une valeur à n'im-porte quel instant pris arbitrairement, et d'autre part il existe à tout instant un intervalle dans lequel la variation est d'autant plus faibleque les instants sont proches. Il est souvent avantageux de représenter la grandeur comme une suite de valeurs discrètes, en abandonnantla description de ce qui se passe entre ces valeurs appelées échantillons.

Figure 25 Signal continu Figure 26 Signal échantillonné résultant

L'échantillonnage consiste à prélever les valeurs d'un signal à intervalles dénis, généralement réguliers. Il produit une suite de valeursdiscrètesnommées échantillons.Le traitement numérique du signal par ordinateur exige que le signal soit converti en une suite de nombres (numérisation). Cette conversionse décompose, sur le plan théorique, en trois opérations :

• l'échantillonnage prélève, le plus souvent à intervalles réguliers, la valeur du signal ;

• la quantication transforme une valeur quelconque en une valeur prise dans une liste nie de valeurs valides pour le système ;

• le codage fait correspondre à chaque valeur valide pour le système un code numérique.

5.2 Fréquence d'échantillonnageSi le signal est un signal temporel, la fréquence d'échantillonnage est le nombre d'échantillons par unité de temps.Si l'unité de temps est laseconde, la fréquence d'échantillonnage s'exprime en hertz et représente le nombre d'échantillons utilisés par seconde.Le choix de la fréquence d'échantillonnage dépend de l'idée préalable qu'on peut se faire de la plus grande fréquence présente dans le signal.

Exemples :

• Hauteur des marées :On se propose de relever la hauteur de l'eau dans un port de mer. On sait qu'il y a deux marées par jour. On veut vérier si leniveau de l'eau varie régulièrement. On décide de relever la hauteur d'eau toutes les demi-heures. La fréquence d'échantillonnage estde 48 échantillons par jour.

Si on préfère l'unité SI pour le temps, qui est la seconde, on dira que la fréquence d'échantillonnage est de 130×60 ≈ 0, 00055Hz.

• La fréquence d'échantillonnage pour le son :Un microphone transforme d'abord la pression acoustique, qui est la grandeur physique correspondant au son, en signal électriquedit analogique, parce que ses variations reètent celles de la grandeur qu'il transmet.

Pour représenter utilement ce signal, plusieurs milliers d'échantillons par seconde seront nécessaires.

Le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon indique qu'un échantillonnage à la fréquence Fe ne peut transmettre sans perted'information que les fréquences inférieures à Fe

2 (fréquence de Nyquist).

• Fréquence d'échantillonnage pour la parole et pour la musique :

Une fréquence d'échantillonnage de 7 kHz sut pour la transmission de la parole, mais elle ne donne pas satisfaction pour la musique.En eet, avec cette fréquence, on ne peut reproduire les sons que jusqu'à la fréquence de 3 500 Hz, alors que la haute-délité proposede restituer les fréquences jusqu'à 20 kHz, un peu au-delà de la limite de l'audible pour l'oreille humaine.

75


Figure 27 Exemple d'échantillonnage de période Te

5.3 Spectre d'un signal échantillonné

Étudions le spectre du signal échantillonné xe(t), en supposant que la transformée de Fourier du signal x(t), notée X(f) existe. Le signaléchantillonné xe(t) est le produit de x(t) et d'un peigne de Dirac dans le domaine du temps :

xe(t) = x(t)ΠTe (t) =∑n∈Z

x(t)δ(t− nTe) =∑n∈Z

x(nTe)δ(t− nTe)

donc sa transformée de Fourier consistera en la convolution des spectres de ces signaux dans le domaine des fréquences, c'est-à-dire :

Xe(f) = X(f) ∗ F [ΠTe ] (f)

= X(f) ∗1

Te

∑n∈Z

δ

(f −

n

Te

)

=1

Te

∑n∈Z

X

(X(f −

n

Te

)

=1

Te

∑n∈Z

X(f − nfe) (189)

La gure suivante illustre graphiquement ce qu'exprime l'équation (189). Supposons que le signal x(t) soit à bande limitée [−B,B]. Lespectre du peigne de Dirac est en soi un peigne de Dirac de fréquence 1/Te = fe. On sait d'ailleurs que la convolution d'un signal avec unpeigne de Dirac résulte en la translation du signal sur l'axe de la variable indépendante. Par conséquent, la convolution de X(f) avec unpeigne de Dirac constitue la reproduction de X(f) (dilaté d'un facteur 1/Te) recentré en 0, ±fe, ±2fe, ±3fe·.

76


Figure 28 Schéma du spectre d'un signal échantillonné.

En d'autres mots :

Ceci a deux eets importants :

• Il n'est nécessaire de connaître le spetre que dans l'intervalle [−fe/2, fe/2] puisque le spectre du signal échantillonné est périodiqueet de période fe ;

• Si le supportde x(f) (les valeurs de f pour lesquelles x n'est pas nulle) n'est pas inclus dans [−fe/2, fe/2] alors les spectres périodisésadjacents se superposent. Ce péhnomène est appelé repliement de spectre.

5.4 Aliasing ou repliement de spectre

Les fréquences supérieures à fe2 seront rendues comme des produits d'intermodulation entre la fréquence d'échantillonnage et ces fréquences.

C'est ce qu'on appelle repliement de spectre ou aliasing (métaphore américaine, du latin alias, faux nom d'une personne : la fréquence qu'onn'a pu coder réapparaît sous l'apparence d'une autre).

Le repliement de spectre (Aliasing en anglais) est un phénomène qui introduit, dans un signal qui module une fréquence porteuse ou dansun signal échantillonné, des fréquences qui ne devraient pas s'y trouver, lorsque la fréquence porteuse ou la fréquence d'échantillonnagesont inférieures à deux fois la fréquence maximale contenue dans le signal.

Figure 29 Repliement du spectre d'un signal sinusoïdal de fréquence f = 0.9, confondu avec un signal defréquence f = 0.1 lors d'un échantillonnage de période T = 1.0.

Imaginons une onde sinusoïdale de fréquence f = 10 Hz échantillonnée à la fréquence fe = 11 Hz :

77


Le signal apparent est alors le suivant :

Ainsi, par échantillonnage, il y a repliement des fréquences élevées parmi les fréquences basses.C'est le même phénomène, qui dans les Western, fait tourner les roues des diligences à l'envers,... au cinéma les lms sont tournés à 24images par seconde.On dit que l'échantillonnage de la caméra se fait à 24 Hz. Chaque image est donc censée couvrir 1/24ième de secondedans la vidéo nale, soit 41ms. Ceci est nécessaire pour donner au cerveau l'illusion qu'une série de 24 photographies prises les une à lasuite des autres constituent un mouvement uide pendant 1 seconde.

41 millisecondes est une durée assez courte pour faire croire à notre cerveau qu'un mouvement est uide, mais ça reste susamment longpour que les objets continuent de se déplacer. Ainsi, pour un hélicoptère dont les pales tournent à 500 tours par minutes, cet intervalle detemps permet à chaque pâle de faire le tiers d'un tour complet, ce qui est loin d'être négligeable.Il sut alors que la vitesse de rotation de l'hélice soit une fraction exacte de la cadence de capture d'image de la caméra pour donnerl'impression que les pales tournent étrangement.

Le signal échantillonné représente correctement le signal continu si on peut le reconstituer sans ambiguïté. Il faut pour cela que deuxsignaux diérents ne fournissent pas les mêmes échantillons. Nous allons d'abord déterminer les conditions nécessaires, liant la fréquenced'échantillonnage et les fréquences qui composent le signal, pour atteindre cet objectif.

Montrons que deux sinusoïdes dont la fréquence a le même écart à un multiple quelconque de la fréquence d'échantillonnagepeuvent produire les mêmes échantillons.

Preuve Soit une sinusoïde d'amplitude unitaire, de fréquence f0 et de phase à l'origine ϕ0 :

y(x) = cos(2πf0x+ ϕ0).

En l'échantillonnant à une fréquence fe, on prend une valeur avec un pas P = 1fe, donc pour chaque x = nP = n

feoù n est un nombre

entier quelconque, on obtient la suite d'échantillons e :

en = cos

(2πnf0

fe+ ϕ0

).

Considérons maintenant les sinusoïdes d'amplitude unitaire, de fréquence kfe ± f0, où k est un nombre entier, et de phase à l'origine ±ϕ0

telles que :

y′(x) = cos(2π (kfe + f0) x+ ϕ0) et y

′′(x) = cos(2π (kfe − f0) x− ϕ0)

L'échantillonnage à la même fréquence donne la suite de nombres e′ 'et e′′ :

e′n = cos

(2πn(kfe + f0)

fe+ ϕ0

)= cos

(2πnkfe

fe+ 2π

nf0

fe+ ϕ0

)= cos

(2nkπ + 2π

nf0

fe+ ϕ0

)= cos

(2πnf0

fe+ ϕ0

),

e′′n = cos

(2πn(kfe − f0)

fe− ϕ0

)= cos

(2πnkfe

fe− 2π

nf0

fe− ϕ0

)= cos

(2nkπ − 2π

nf0

fe− ϕ0

)= cos

(2πnf0

fe+ ϕ0

).

78


Les échantillons tirés de ces deux sinusoïdes de fréquence f0 et kfe ± f0 sont identiques. On a donc prouvé le :

Lemme 5.1 Des sinusoïdes dont les fréquences ont le même écart à un multiple quelconque de la fréquence d'échantillonnage peuventproduire les mêmes échantillons.

Nous déduisons de cette observation qu'il faut que le signal d'origine ne puisse contenir qu'une seule des sinusoïdes de fréquence kfe ± f0.Cette condition n'est remplie que si l'on sait par avance que le signal d'origine ne présente des fréquences que dans un intervalle situé entredeux multiples entiers de fe/2. Dans tous les autres cas, une même suite d'échantillons peut renvoyer à plusieurs signaux diérents. Dans laplupart des applications, la fréquence du signal d'origine est comprise entre 0 et une fréquence maximale. Si cette fréquence maximale estsupérieure à fe/2, il existe alors au moins une sinusoïde de fréquence plus basse qui présente les mêmes échantillons : on parle de repliementdu spectre.

Cependant, montrer qu'un échantillonnage à une fréquence de moins de deux fois ou moins la fréquence maximale d'un signal ne peut pasle représenter ne prouve pas qu'un échantillonnage à une fréquence supérieure puisse le faire. Pour arriver à cette conclusion, il faut mettreen ÷uvre les concepts et les théorèmes de l'analyse spectrale.

5.5 Théorème de Shannon-Nyquist• Dans le cas général, le théorème d'échantillonnage énonce que l'échantillonnage d'un signal exige un nombre d'échantillons par unité

de temps supérieur au double de l'écart entre les fréquences minimale et maximale qu'il contient.

• Dans le cas le plus courant, la fréquence minimale du signal est négligeable par rapport à la fréquence maximale et le théorèmearme simplement :

Théorème 5.2 La représentation discrète d'un signal exige des échantillons régulièrement espacés à une fréquence d'échan-tillonnage supérieure au double de la fréquence maximale présente dans ce signal.

Réciproquement, l'échantillonnage avec des échantillons régulièrement espacés peut décrire un signal à condition qu'il necontienne aucune fréquence supérieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, dite fréquence de Nyquist.

Preuve

1. Démonstration de Shannon

La démonstration qui suit reprend celle de Shannon formulée en 1949.

Les théorèmes d'analyse spectrale montrent que tout signal peut se décomposer en une somme de sinusoïdes de fréquences, d'ampli-tudes et de phases diverses. On considère un signal inscrit entre une fréquence minimale et une fréquence maximale. L'expériencedétermine quelle est la plage de fréquence qui intéresse. Même si les coecients de fréquences hors de cet intervalle ne sont pas nuls,on les néglige dès lors qu'ils ne contribuent pas de façon signicative à la valeur moyenne quadratique totale.

La transformée de Fourier s(ω) d'une fonction s(x) :

s(ω) =

∫ ∞−∞

s(x)e−iωx

dx

la décrit par les fréquences f qu'elle contient, exprimées dans ces équations par l'intermédiaire de la pulsation ω = 2πf . Latransformée de Fourier inverse donne la valeur de s(x) en fonction de la valeur de s(ω) :

s(x) =1

2π

∫ ∞−∞

s(ω)eiωx

dω.

Le signal dont s'occupe le théorème est limité en fréquence. Au-delà de fmax, correspondant à une pulsation ωmax = 2πfmax, lescoecients fréquentiels sont négligeables.

Figure 30 Spectre d'un signal limité en fréquence de 0 à B

79


Par conséquent,

s(x) =1

2π

∫ ωmax

−ωmax

s(ω)eiωx

dω.

Recherchons la valeur des échantillons en régulièrement espacés prenant les valeurs de s(x) pour x multiple de la demi-périodecorrespondant à fmax (ce qui revient bien à utiliser une fréquence d'échantillonnage fe = 2.fmax) ; x = n

2fmaxoù n est un nombre

entier :

en = s

(n

2fmax

)=

1

2π

∫ ωmax

−ωmax

s(ω)eiω n

2fmax dω.

On reconnaît dans cette l'intégrale le coecient du nième terme du développement en série de Fourier de la fonction périodiquese(ω), en prenant l'intervalle [−fmax; fmax] comme période :

c−n =1

2ωmax

∫ ωmax

−ωmax

se(ω)eiω n

2fmax dω =en

2fmax

La reconstitution de la fonction se est donnée par :

se(ω) =∞∑

n=−∞cne

iω n2fmax

Les valeurs des échantillons en prélevés à x = n2fmax

déterminent donc les coecients du développement en série de Fourier de se(ω)

dans l'intervalle de fréquences [−fmax; fmax]. Les valeurs des échantillons déterminent aussi entièrement s(ω) puisque :

s(f) =

se(f) si f ∈ [−fe/2, fe/2]

0 ailleurs

Puisque la transformée de Fourier d'une fonction la dénit entièrement, déterminer s(f), c'est déterminer s(x). Ainsi, nous avonsmontré qu'à tout signal de bande de fréquences limitées correspond une et une seule représentation discrète constituée à partird'échantillons de ce signal pris à intervalles réguliers espacés de la demi période de la fréquence maximale du signal. On peut éviterle passage par la série de Fourier donnant s(ω) en exprimant directement la fonction s(x) en fonction de son échantillonnage.

Reconstitution du signal : formule de Shannon

Soit une liste d'échantillons en = s(

n2fmax

)= 2fmaxc−n = ωmax

π c−n.

Si l'on reprend l'expression de s(x) à partir de s(ω),

s(x) =1

2π

∫ ωmax

−ωmax

s(ω)eiωx

dω

en y remplaçant cette fonction par son développement en série de Fourier,

s(x) =1

2π

∫ ωmax

−ωmax

∞∑n=−∞

c−ne−iω nπ

ωmax

eiωx

dω

=1

2π

∫ ωmax

−ωmax

∞∑n=−∞

c−neiω(x− nπ

ωmax

) dω

et c−n par la valeur du coecient déjà calculée, on obtient :

s(x) =1

2π

∫ ωmax

−ωmax

∞∑n=−∞

(π

ωmax

en

)eiω(x− nπ

ωmax)

dω

=1

2ωmax

∞∑n=−∞

en

∫ ωmax

−ωmax

eiω(x− nπ

ωmax)

dω

On peut calculer l'intégrale : ∫ ωmax

−ωmax

eiω(x− nπ

ωmax

)dω,

ce qui conduit à :

s(x) =

∞∑n=−∞

ensin(ωmaxx− nπ)

ωmaxx− nπ.

La fonction sinus cardinalsin θ

θvaut 1 pour θ = 0 et 0 pour tous les autres θ multiples de π . Dans le cas présent, elle vaut 1

pour l'échantillon n, c'est-à-dire pour x = n2fmax

, et 0 pour tous les autres échantillons, tandis que ses autres valeurs participent àl'interpolation entre les échantillons.

2. Démonstration avec le peigne de Dirac

80


Le développement du traitement du signal dans les années suivant la publication de Shannon va donner lieu à de nombreux ranements de lathéorie mathématique de l'échantillonnage. Le plus radical est l'utilisation de la théorie des distributions pour décrire l'échantillonnage. Enfournissant une extension à la notion de fonction, ainsi qu'à la transformation de Fourier par voie de conséquence, elle donne une structuremathématique idéale à l'échantillonnage. C'est la description qui prévaut dans la plupart des manuels aujourd'hui. La démonstration deShannon, en eet, si elle répond aux critères de rigueur d'une philosophie pragmatiste, laisse le mathématicien idéaliste insatisfait. Pour lessignaux porteurs d'information, limités a priori en durée et en résolution (par le bruit de fond), la transformation de Fourier fournit unedescription en fréquences adéquate, et de cette transformée, on peut revenir, par la transformation inverse, à la description temporelle. Maisdans le cas d'une fonction périodique, donc sans limite de durée, la transformation de Fourier aboutit à un spectre de raies, correspondantaux coecients de la série de Fourier. Ce spectre d'un signal périodique idéal ne répond pas aux conditions de Dirichlet et on ne peut paslui appliquer la transformation de Fourier inverse, pour retrouver la fonction périodique. La théorie des distributions permet de surmontercette limitation théorique.

Un raisonnement simple reposant sur les propriétés de la transformée de Fourier et de la distribution de Dirac montre que la transforméed'un signal échantillonné est périodique, et identique à la transformée de Fourier du signal lui-même dans la bande de fréquences d'origine.

Considérons la distribution obtenue en multipliant le signal s(t) par un peigne de Dirac , somme d'impulsions de Dirac δ(t) d'énergie Te etespacés de Te, la période d'échantillonnage.

s∗(t) = s(t) · Te · IIITe (t) = s(t) · Te ·

∞∑n=−∞

δ(t− nTe).

La transformée de Fourier s*(f) de s∗(t) est la convolution de la transformée de Fourier de s(t) par celle du peigne de Dirac :

s*(f) = F [s∗(t)] = F [s(t)] ∗ F [Te · IIITe (t)] = s(f) ∗ IIIfe (f),

s*(f) = s(f) ∗∞∑

n=−∞δ (f − nfe).

L'impulsion de Dirac étant l'élément neutre de la convolution, on obtient :

s*(f) =

+∞∑n=−∞

s(f − nfe).

Cette expression donne la somme de la transformée du signal non échantillonné et de toutes les translatées de celle-ci avec un pas égal à lafréquence d'échantillonnage fe = 1/Te. Si cette fréquence est supérieure au double de la fréquence maximale du signal, les translatés ne sechevauchent pas et on peut reconstituer de façon exacte la transformée de Fourier du signal et donc le signal lui-même.

Par contre, la transformée de Fourier d'un signal de durée limitée s'étend nécessairement sur toute l'étendue des fréquences. Une partie desspectres translatés se recouvre donc inévitablement. Ce phénomène est appelé repliement de spectre . Si on veut éviter le franglais onutilise en général le terme repliement de préférence à aliasing . Toute l'information utile est contenue dans l'intervalle [−fe/2, fe/2] àcondition que les parties de spectre qui se recouvrent aient une énergie négligeable par rapport au bruit de fond où à la résolution du système.

Figure 31 Transformée de Fourier d'un signal

Figure 32 Transformée de Fourier d'un signal échantillonné. L'échantillonnage est correct si le recouvremententre deux lobes est inférieur à la limite de résolution ou de bruit de fond (trait rouge).

Reconstitution avec la fonction sincPuisque la transformée s*(f) du signal correctement échantillonné contient, dans l'intervalle [−fe/2, fe/2], la transformée s(f) du signal

d'origine s(t), on obtient cette dernière transformée en multipliants*(f) par une fonction porte Πfe/2(f) valant 1/fe sur l'intervalle[−fe/2, fe/2]et 0 ailleurs :

s(f) = s*(f) ·1

fe· Πfe/2(f).

Il sut ensuite de prendre la transformée de Fourier inverse pour reconstituer s(t). La transformée de Fourier inverse transforme le produitde fonctions en produit de convolution, et la transformée de Fourier inverse d'une fonction porte est un sinus cardinal. La fonction s(t)s'obtient alors comme le produit de convolution de l'échantillonnage par un sinus cardinal. Le calcul conduit alors à la formule :

s(t) =

+∞∑n=−∞

s(nTe) · sinc

(π

Te(t− nTe)

)..

On a ainsi obtenu le signal initial s(t) en ltrant l'échantillonnage de ce signal par un ltre parfait, passe tout de 0 à la moitié de lafréquence d'échantillonnage, et coupe tout ailleurs.

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6 Annexe : quelques transformées de Fourier remarquables

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Table des matières

1 Introduction 1

2 Séries de Fourier 22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Dénition des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Conditions de Dirichlet pour la convergence ponctuelle de la série de Fourier . . . . . . . . . . . . 62.6 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7 Séries de Fourier à termes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Spectre de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.10 Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.11 Propriétés des coecients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.12 Convergence absolue, uniforme et normale des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.13 Interprétation vectorielle des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.14 Séries de Fourier des fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.14.1 Rappel : fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.14.2 Séries de Fourier des fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.14.3 Séries de Fourier en sinus ou en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.15 Identité de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.16 Intégration et dérivation des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.17 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.18 Séries de Fourier en traitement du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.18.1 Interprétation de la formule de Parseval en théorie du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Intégrale de Fourier et transformation de Fourier 353.1 Introduction : nécessité de l'intégrale de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Passage de la série de Fourier à la transformée de Fourier en théorie du signal . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Pulsation continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.2 Passage des coecients de Fourier cn à la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3 Dénition de la transformée de Fourier d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Intégrale de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Formes équivalentes du théorème de Fourier intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Intégrales de Fourier des fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Preuve du théorème de Fourier intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7 Transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7.2 Conditions susantes d'existence (conditions de Dirichlet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7.3 Composantes de la Transformée de Fourier, spectre d'amplitude et spectre de phase . . . 433.7.4 Importance de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.8 Transformées de Fourier en sinus et en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9 Propriétés de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.9.1 Propriété de linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9.2 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9.3 Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.9.4 Changement d'échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.9.5 Conjugaison complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9.6 Transformée de Fourier de f ′(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9.7 Transformée de Fourier de l'Intégrale de x(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9.8 Propriété de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9.9 Dérivation de F (α) par rapport à α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.10 Le théorème de convolution pour les transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.10.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.10.2 Interprétation graphique de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.10.3 Signication physique de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.10.4 Transformée de Fourier et produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.10.5 Propriétés du produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.11 Résumé des propriétés de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.12 Identités de Parseval pour les intégrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.14 Distribution de Dirac et extension de la Transformée de Fourier aux distributions . . . . . . . . . 57

3.14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.14.2 Transformée de Fourier de la fonction rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.14.3 Dualité temps-fréquence, inuence de la durée du signal sur son spectre . . . . . . . . . . 583.14.4 Distribution de Dirac : dénition et première propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.14.5 Une approche heuristique de la distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.14.6 La distribution de Dirac vue comme dérivée de la fonction de Heaviside . . . . . . . . . . 603.14.7 Dérivées de la distribution δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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3.14.8 Transformée de Fourier de la distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.15 Applications et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.15.1 Transformée de Fourier d'une impulsion retardée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.15.2 Transformée de Fourier d'un signal continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.15.3 Transformée de Fourier d'une exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.15.4 Transformée de Fourier des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.15.5 Transformée de Fourier de la fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.15.6 Transformée de Fourier de l'échelon unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.16 Relation entre série et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.17 Relations d'incertitude pour les signaux d'énergie nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Applications de l'analyse de Fourier à la physique et à l'électronique 644.1 Application de la convolution à la résolution d'équations diérentielles linéaires . . . . . . . . . . 64

4.1.1 Exemple de l'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.3 Calcul de la réponse impulsionnelle : exemple du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Fonctions de transfert et ltrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.1 Filtre passe-bas du premier ordre avec un circuit RC série . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2 Filtre passe-haut du premier ordre avec un circuit RL série . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.3 Filtre passe bande du second ordre avec un circuit RLC série . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Echantillonnage 755.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Fréquence d'échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 Spectre d'un signal échantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4 Aliasing ou repliement de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5 Théorème de Shannon-Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Annexe : quelques transformées de Fourier remarquables 82

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chapitre 4 : séries de fourier et transformées de fourier©matiques appliquées, chapitre...

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