Chapitre 5

Séries de Fourier

5.1 Introduction

Joseph Fourier est né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le 16 mai 1830 à Paris. Ce scienti�que

(mathématicien et physicien), élève de Joseph-Louis Lagrange, Gaspard Monge et Pierre-Simon

Laplace puis professeur à l'école Polytechnique, est connu pour ses travaux sur la décomposition

de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes, appelées séries de Fourier. Il

a ainsi posé les fondations de l'analyse harmonique, qui consiste en l'étude des signaux comme

une superposition d'ondes de base, au travers de son étude de la propagation de la chaleur.

L'idée est de décomposer un signal périodique de période T et de forme quelconque comme

somme d'un signal sinusoïdal de période T (fondamentale) et de signaux sinusoïdaux dont les

périodes sont des diviseurs de T (signaux harmoniques).

L'étude d'une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets :

• l'analyse : on part de la fonction périodique et on détermine la suite de ses coe�cients de

Fourier (passage du continu au discret) ;

• la synthèse : on recompose la fonction à l'aide de la suite de ses coe�cients de Fourier

(passage du discret au continu).

Les séries de Fourier sont très utiles dans l'ingénierie et l'étude de signaux périodiques, no-

tamment des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore ou le traitement

d'images.

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5.2 Séries trigonométriques

5.2.1 Généralités sur les séries trigonométriques

Dé�nition 1. On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la forme∑un,

avec : ∀x ∈ R,

u0(x) =a02

∀n ∈ N∗, un(x) = an cos(nx) + bn sin(nx).

Notation 1. Par convention, on notera les sommes partielles d'une série trigonométrique sous

la forme :a02

+

n∑k=1

[ak cos(kx) + bk sin(kx)] avec b0 = 0.

Dé�nition 2. Une fonction f : R −→ C, 2π-périodique, est développable en série trigono-

métrique si elle est limite simple d'une série trigonométrique.

Exemple 1. Les fonctions sin et cos sont développables en séries trigonométriques.

Théorème 1. Si la série trigonométrique∑un converge simplement sur R vers la fonction f ,

alors : ∀x ∈ R, f(x) =∑n∈Z

cneinx avec : ∀n ∈ N,

cn =

an − ibn2

c−n =an + ibn

2

.

Démonstration. En s'intéressant aux sommes partielles, on a : ∀x ∈ R,

a02

+

N∑n=1

[an cos(nx) + bn sin(nx)] =a02

+

N∑n=1

[an ×

einx + e−inx

2+ bn ×

einx − e−inx

2i

]

=a02

+

N∑n=1

[an ×

einx + e−inx

2− ibn ×

einx − e−inx

2

]

=a02

+

N∑n=1

[einx × an − ibn

2+ e−inx × an + ibn

2

]

= c0 +

N∑n=1

[einx × cn + e−inx × c−n

]= c0 +

N∑n=1

einx × cn +

N∑n=1

e−inx × c−n

= c0 +

N∑n=1

einx × cn +

−1∑n=−N

einx × cn

=

N∑n=−N

cneinx

Par passage à la limite, on obtient bien :

+∞∑n=0

un(x) =∑n∈Z

cneinx.

2

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Remarque 1. Attention, comme∑n∈Z

cneinx = limN→+∞

N∑n=−N

cneinx, il faut savoir que le fait que

cette somme soit �nie ne signi�e pas nécessairement que

+∞∑n=0

cneinx soit �nie, ni que

0∑n=−∞

cneinx

soit �nie.

Exemple 2. On s'intéresse à la série trigonométrique∑qneinx avec q ∈]− 1 ; 1[.

En s'intéressant à sa somme partielle, on a : ∀x ∈ R,

N∑n=0

qneinx =

N∑n=0

(qeix

)n=

1−(qeix

)N+1

1− qeix.

Comme q ∈]− 1 ; 1[, on a :∣∣qeix∣∣ < 1 donc : lim

N→+∞

(qeix

)N+1= 0.

On en déduit :

+∞∑n=0

qneinx =1

1− qeix.

La série trigonométrique converge simplement vers f : x 7→ 1

1− qeix.

5.2.2 Convergence des séries trigonométriques

Propriété 1. Si les séries numériques∑an et

∑bn sont absolument convergentes, alors la série

trigonométriquea02

+∑

[an cos(nx) + bn sin(nx)] est normalement convergente sur R.

Démonstration. On a en e�et : ∀x ∈ R,∀n ∈ N,

|an cos(nx) + bn sin(nx)| 6 |an cos(nx)|+ |bn sin(nx)| 6 |an|+ |bn|.

Ainsi, si∑|an| et

∑|bn| convergent, alors par comparaison de séries numériques à termes positifs,

pour tout nombre réel x, la série numérique∑|an cos(nx) + bn sin(nx)| converge, donc la série

trigonométrique converge normalement sur R.

Exemple 3. Les séries trigonométriques∑ cos(nx)

n2et∑ sin(nx)

n2convergent normalement

sur R.Conséquence 1. Dans les mêmes hypothèses que la propriété précédente, en notant f la limite

simple de la série trigonométrique, on peut dire que f est 2π-périodique et continue sur R.

Propriété 2. Si les suites numériques (an) et (bn) sont décroissantes vers 0 (donc nécessairement

positives), alors la série trigonométriquea02

+∑

[an cos(nx) + bn sin(nx)] est :

• simplement convergente sur R\{2kπ | k ∈ Z} ;

• uniformément convergente sur tout intervalle [2kπ+α ; 2(k+1)π−α] où k ∈ Z et α ∈ ]0 ;π[.

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Démonstration. Admis (utilise le lemme d'Abel, non étudié dans notre chapitre de séries numé-

riques).

Conséquence 2. Dans les mêmes hypothèses que la propriété précédente, en notant f la li-

mite simple de la série trigonométrique, on peut dire que f est 2π-périodique et continue sur

R\{2kπ | k ∈ Z}.

Démonstration. Admis, se déduit de l'uniforme convergence de la série sous ces hypothèses.

5.3 Calcul des coe�cients de Fourier

Dé�nition 3. On dit qu'une fonction f : R −→ C est continue par morceaux si, sur tout

intervalle borné, elle ne possède qu'un nombre �ni de points de discontinuité.

Dé�nition 4. On dit qu'une fonction f : R −→ C est C1 par morceaux si, sur tout intervalle

borné, à l'exception d'un nombre �ni de points, elle est dérivable et sa dérivée est continue.

Notation 2. On pose les notations suivantes.

• On note E l'espace vectoriel des fonctions dé�nies sur R, 2π-périodiques, C1 par morceaux

et possédant en tout point de discontinuité a, des limites à gauche et à droite.

• On note f(a+) et f(a−) les limites à droite et à gauche de f en a.

5.3.1 Calcul des coe�cients réels

Dé�nition 5. On appelle coe�cients de Fourier d'une fonction f ∈ E les nombres dé�nis

par : ∀n ∈ N, an =1

π

∫ 2π

0

f(t) cos(nt) dt, bn =1

π

∫ 2π

0

f(t) sin(nt) dt.

Conséquence 3. On en déduit que, pour toute fonction f ∈ E :

• Si f est paire, alors tous les coe�cients bn sont nuls.

• Si f est impaire, alors tous les coe�cients an sont nuls, sauf éventuellement a0.

5.3.2 Calcul des coe�cients complexes

Théorème 2. Si la série trigonométrique∑

cneinx (avec n ∈ Z) converge uniformément vers

la fonction complexe 2π-périodique f alors :

∀n ∈ Z, cn =1

2π

∫ 2π

0

f(t)e−int dt.

Dé�nition 6. Le coe�cient cn, parfois noté cn(f) ou f̂(n), est appelé le n-ième coe�cient de

la série de Fourier.

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Remarque 2. Le coe�cient cn(f) est la valeur moyenne de t 7→ f(t)e−int.

En particulier, le coe�cient c0(f) est égal à la valeur moyenne de f .

Conséquence 4. On a donc la correspondance suivante entre les coe�cients de Fourier réels et

complexes : ∀n ∈ N,

• an = cn + c−n ;

• bn = i(cn − c−n).

Démonstration. On a en e�et : ∀n ∈ N,

• cn + c−n =1

2π

∫ 2π

0

f(t)(eint + e−int

)dt =

1

π

∫ 2π

0

f(t) cos(nt) dt = an ;

• i(cn − c−n) =i

2π

∫ 2π

0

f(t)(eint − e−int

)dt =

1

π

∫ 2π

0

f(t) sin(nt) dt = bn.

5.3.3 Cas des fonctions T -périodiques

Dé�nition 7. La pulsation d'une fonction T -périodique, notée ω, est le nombre ω =2π

T.

Propriété 3. On peut généraliser l'étude conduite précédemment aux fonctions T -périodiques,

avec les fonctions de base t 7→ cos(nωt) et t 7→ sin(nωt), qui sont également T -périodiques.

Les coe�cients de Fourier sont, dans ce cas :

• ∀n ∈ N, an =2

T

∫ T

0

f(t) cos(ωnt) dt ;

• ∀n ∈ N, bn =2

T

∫ T

0

f(t) sin(ωnt) dt ;

• ∀n ∈ Z, cn =1

T

∫ T

0

f(t)e−inωt dt ;

Remarque 3. Toutes les propriétés vues précédemment s'appliquent de même dans le cas où f

est T -périodique.

Propriété 4. La suite de fonctions harmoniques, terme général d'une série trigonomé-

trique, dé�nie par : ∀x ∈ R,

u0(x) =a02

∀n ∈ N∗, un(x) = an cos(nωx) + bn sin(nωx), peut s'écrire :

∀x ∈ R,

u0(x) =a02

∀n ∈ N∗, un(x) = An cos(nωx+ ϕn)où

An = |zn|

ϕn = arg(zn)avec zn = an − ibn.

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Démonstration. Rien ne change pour n = 0 et : ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R,

An cos(nωx+ ϕn) = Aneinωx+ϕn + e−inωx+ϕn

2

= Aneinωxeϕn + e−inωxeϕn

2

=einωx ×Aneϕn + e−inωx ×Aneϕn

2

=einωx × (an − ibn) + e−inωx × (an + ibn)

2

= aneinωx + e−inωx

2+ ibn

−einωx + e−inωx

2

= aneinωx + e−inωx

2+ bn

einωx − e−inωx

2i

= an cos(nωx) + bn sin(nωx)

= un(x)

L'égalité est bien démontrée.

Remarque 4. Ainsi, l'harmonique de rang n est un signal (co)sinusoïdal d'amplitude An, de

périodeT

net donc de fréquence nf , et de phase à l'origine ϕn.

5.3.4 Spectres d'amplitude et de phase

Dé�nition 8. Le spectre d'amplitude d'une série trigonométrique est la représentation gra-

phique de l'amplitude An d'une composante de base en fonction de sa pulsation nω : c'est un

spectre de raies.

Remarque 5. La première raie, correspondant à n = 0, correspond au double de la valeur

moyenne du signal (composante constante de ce signal).

Dé�nition 9. Le spectre de phase d'une série trigonométrique est la représentation graphique

de la phase ϕn d'une composante de base en fonction de sa pulsation nω : c'est également un

spectre de raies.

5.4 Série de Fourier d'une fonction

5.4.1 Généralités

Dé�nition 10. On appelle série de Fourier de f la série trigonométrique dé�nie par les

sommes partielles SN (f) : x 7→ a02

+

N∑n=1

[an cos(nx) + bn sin(nx)].

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Théorème 3. Théorème de Dirichlet-Jordan.

Si f ∈ E , alors la série de Fourier de f converge simplement versg : R −→ C

x 7−→ f(x+) + f(x−)

2

.

Corollaire 1. Si la fonction f ∈ E est continue en a, alors sa série de Fourier converge ponc-

tuellement en a vers f(a).

Remarque 6. L'égalité en un point entre la fonction et sa série de Fourier permet notamment

de calculer certaines séries numériques.

5.4.2 Phénomène de Gibbs

Lorsque l'on s'intéresse à une fonction f de classe C1 par morceaux (ayant donc un nombre �ni

de points de discontinuité sur une période), nous avons vu que la série de Fourier de f converge

uniformément vers f sur tout intervalle fermé ne contenant pas de point de discontinuité de f .

Au voisinage d'un point de discontinuité x0, il y a un e�et de bord : la série de Fourier ne peut

pas converger uniformément, cela mettrait en défaut le théorème vu lors de l'étude des séries de

fonctions.

En fait, au voisinage de x0, la somme partielle SN (qui est continue) subit une forte oscillation,

de l'ordre de 9% de l'amplitude de la discontinuité (notée ∆y).

5.5 Égalité de Parseval

5.5.1 Généralités sur l'égalité de Parseval

Théorème 4. Pour toute fonction f continue par morceaux et T -périodique, on a :

1

T

∫ T

0

|f(t)|2 dt =∑n∈Z|cn|2 .

Conséquence 5. Si f est de plus à valeurs dans R, on a alors :

1

T

∫ T

0

|f(t)|2 dt =1

4a0

2 +1

2

+∞∑n=1

(an

2 + bn2).

Remarque 7. L'égalité de Parseval met en avant l'égalité du calcul de la puissance moyenne

d'un signal périodique de période T à partir de sa représentation dans le domaine temporel ou

fréquentiel.

Remarque 8. Lorsque l'intégrale est plus facile à calculer que la série, l'égalité de Parseval est

un moyen de calculer un certain nombre de séries numériques.

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5.5.2 Conséquences de l'égalité de Parseval

Propriété 5. Deux fonctions f et g continues T -périodiques ayant les mêmes coe�cients de

Fourier sont égales.

Démonstration. On suppose que : ∀n ∈ Z, cn(f) = cn(g).

En notant h = f − g, on a donc : ∀n ∈ Z, cn(h) = 0.

Comme h est continue (en tant que di�érence de fonctions continues), d'après l'égalité de

Parseval, on a donc :1

T

∫ T

0

|h(t)|2 dt = 0, d'où l'on tire : ∀t ∈ [0 ;T ], h(t) = 0, et donc :

∀t ∈ [0 ;T ], f(t) = g(t) et, par T -périodicité : ∀t ∈ R, f(t) = g(t).

Propriété 6. Si f est une fonction continue T -périodique, alors la suite (cn(f)) des coe�cients

de Fourier de f tend vers 0 lorsque n tend vers ±∞.

Démonstration. La fonction f satisfait les hypothèses de l'égalité de Parseval, qui donne :1

T

∫ T

0

|f(t)|2 dt =∑n∈Z|cn|2. Ainsi, la somme

∑n∈Z|cn|2 existe, ce qui signi�e que le terme gé-

néral |cn|2 tend vers 0 lorsque n tend vers ±∞, et donc nécessairement que limn→±∞

cn = 0.

Conséquence 6. Si f est une fonction continue T -périodique de classe Ck, alors :

cn(f) = o|n|→+∞

(1

nk

).

Démonstration. On démontre par récurrence : ∀p ∈ J0 ; kK, ∀n ∈ Z∗, cn(f) =1

ipnpcn(f (p)

).

• Initialisation : Pour p = 0, la propriété est trivialement vraie.

• Hérédité : Soit p ∈ J0 ; k − 1K. On suppose que ∀n ∈ Z∗, cn(f) =1

ipnpcn(f (p)

)et on

souhaite montrer que : ∀n ∈ Z∗, cn(f) =1

ip+1np+1cn(f (p+1)

).

On calcule le n-ième coe�cient de Fourier de f (p+1), qui est bien continue et T -périodique :

cn(f (p+1)) =1

T

∫ T

0

f (p+1)(t)e−inωt dt

=1

T

[f (p)(t)e−inωt

]T0

+ in× 1

T

∫ T

0

f (p)(t)e−inωt dt

=1

T

(f (p)(T )e−inωT − f (p)(0)

)+ in× cn(f (p))

=1

T

(f (p)(T )− f (p)(0)

)+ in× cn(f (p))

= in× cn(f (p))

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Par hypothèse de récurrence :

cn(f) =1

ipnpcn

(f (p)

)=

1

ipnp× 1

incn(f (p+1))

=1

ip+1np+1cn

(f (p+1)

)L'hérédité est démontrée.

• Conclusion : La propriété est vraie au rang p = 0 et est héréditaire donc, en vertu du

principe de récurrence : ∀p ∈ J0 ; kK, ∀n ∈ Z∗, cn(f) =1

ipnpcn(f (p)

).

En particulier, on en tire que : ∀n ∈ Z∗, cn(f) =1

iknkcn(f (k)

). Or la fonction f (k) est continue

et T -périodique, donc lim|n|→+∞

cn(f (k)

)= 0, autrement dit : lim

|n|→+∞

cn(f)1

iknk

= 0, ce qui donne, par

dé�nition : cn(f) = o|n|→+∞

(1

nk

).

Remarque 9. En résumé : plus une fonction est régulière, plus ses coe�cients de Fourier

convergent vite vers 0 !

5.6 Un exemple : le signal créneau

5.6.1 Présentation du signal

On s'intéresse au � signal créneau � représenté ci-dessous.

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On lit graphiquement une expression de la fonction sur l'intervalle

[−T

2;T

2

], car la fonction

est T -périodique :

u : t 7→

−A si t ∈]−T

2; 0

[0 si t ∈

{−T

2; 0 ;

T

2

}A si t ∈

]0 ;T

2

[ .

La fonction u est donc C1 par morceaux, on peut calculer ses coe�cients de Fourier.

5.6.2 Calcul des coe�cients de Fourier

Comme u est trivialement impaire, les coe�cients an sont tous nuls pour n ∈ N∗ et comme

de plus la valeur moyenne de u est 0 (trivial), on a a0 = 0.

On a ensuite : ∀n ∈ N,

bn =2

T

∫ T2

−T2

u(t) sin(ωnt) dt

=2

T

∫ 0

−T2

u(t) sin(ωnt) dt+2

T

∫ T2

0

u(t) sin(ωnt) dt

=2

T

∫ 0

−T2

−A sin(ωnt) dt+2

T

∫ T2

0

A sin(ωnt) dt

=2

T

[A

ωncos(ωnt)

]0−T

2

+2

T

[− A

ωncos(ωnt)

]T2

0

=2

T× A

ωn− 2

T× A

ωncos

(−ωnT

2

)− 2

T× A

ωncos

(ωn

T

2

)+

2

T× A

ωn

=4A

Tωn− 4A

Tωncos

(nω

T

2

)=

2A

nπ− 2A

nπcos (nπ)

=2A

nπ(1− (−1)n)

Ainsi, on procède par disjonction des cas selon la parité de n :

• si n est pair alors bn = 0 ;

• si n est impair alors bn =4A

nπ.

On en tire la série de Fourier associée à u :

+∞∑p=0

4A

(2p+ 1)πsin((2p+ 1)ωt) =

4A

π

[sin(ωt) +

1

3sin(3ωt) +

1

5sin(5ωt) + · · ·

].

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5.6.3 Observation graphique

Graphiquement, cela donne les courbes suivantes en choisissant diverses valeurs de n (et donc

de p), ce qui permet d'observer la convergence de la série de Fourier vers le signal créneau.

Ordre n = 7 (p allant de 0 à 3)

Ordre n = 21 (p allant de 0 à 10)

Ordre n = 201 (p allant de 0 à 100)

On observe sur ces graphiques l'uniforme convergence de la série de Fourier vers la fonction

f sur les zones de continuité et le phénomène de Gibbs au voisinage des points de discontinuité.

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5.6.4 Spectre d'amplitude

Par simple observation des coe�cients de la série de Fourier, on détermine que :

∀n ∈ N, An =

0 si n est pair ;4A

nπsi n est impair.

.

On en tire le spectre d'amplitude de ce signal :

On y observe bien que la valeur moyenne de la fonction (correspondant à la moitié de A0)

est nulle, et que les harmoniques impaires ont des amplitudes décroissantes.

5.6.5 Des identités intéressantes

En considérant le cas particulier où A = 1 et T = 2π, on s'intéresse à la fonction

u : t 7→

−1 si t ∈]− π ; 0[

0 si t ∈ {−π ; 0 ;π}

1 si t ∈ ]0 ;π[

sur l'intervalle [−π ;π].

La série de Fourier associée à u est alors :

+∞∑p=0

4

(2p+ 1)πsin((2p+ 1)t).

On a en particulier l'égalité donnée par le théorème de Dirichlet appliqué en a =π

2, où la

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fonction u est continue :

u(π

2

)= 1⇐⇒

+∞∑p=0

4

(2p+ 1)πsin(

(2p+ 1)π

2

)= 1

⇐⇒+∞∑p=0

4× (−1)p

(2p+ 1)π= 1

⇐⇒+∞∑p=0

(−1)p

2p+ 1=π

4

Remarque 10. Cette identité, appelée identité de Leibniz, correspond en fait au développe-

ment en série de Taylor de la fonction arctan en a = 1.

Elle a été découverte en Occident au XVIIe siècle mais était déjà utilisée par le mathématicien

indien Madhava (fondateur de la grande école mathématique de la province du Kerala), vers 1400,

pour calculer une approximation de π. Il est plausible que les travaux mathématiques indiens

ont été connus à la �n du XIXe siècle, pendant la colonisation de l'Inde par la Grande-Bretagne.

On peut également appliquer l'identité de Parseval à la série de Fourier de u, qui est bien

continue par morceaux et 2π-périodique, cela donne :

1

4a0

2 +1

2

+∞∑n=1

(an

2 + bn2)

=1

2π

∫ 2π

0

|u(t)|2 dt⇐⇒ 1

2

+∞∑p=0

(4

(2p+ 1)π

)2

=1

2π

∫ 2π

0

1 dt

⇐⇒ 1

2

+∞∑p=0

16

(2p+ 1)2π2=

1

2π× 2π

⇐⇒ 8

π2

+∞∑p=0

1

(2p+ 1)2= 1

⇐⇒+∞∑p=0

1

(2p+ 1)2=π2

8

De cette égalité, on tire même la somme de la série numérique de Riemann avec α = 2 :

S =

+∞∑n=1

1

n2⇐⇒ S =

+∞∑p=0

1

(2p+ 1)2+

+∞∑p=1

1

(2p)2

⇐⇒ S =

+∞∑p=0

1

(2p+ 1)2+

1

4

+∞∑p=1

1

p2

⇐⇒ S =π2

8+

1

4S

⇐⇒ 3

4S =

π2

8

⇐⇒ S =π2

6

13