Les séries trigonométriques Les séries trigonométriques de Joseph Fourier de Joseph Fourier

(1768-1830)(1768-1830)

Conception et Réalisation : Olivier Guédon, lycée Rempart, Marseille. Mars 2004

Comment, à partir de l’étude Comment, à partir de l’étude de la chaleur et de sa de la chaleur et de sa

répartition dans un solide répartition dans un solide homogène, Fourier introduit homogène, Fourier introduit les séries trigonométriques ?les séries trigonométriques ?

Théorie analytique de la chaleur : Théorie analytique de la chaleur :

plan général (1822)plan général (1822)Chapitre 1 : Introduction

Chapitre 2 : Équation du mouvement de la chaleur

Chapitre 3 : Propagation de la chaleur dans un solide rectangulaire infini.

Chapitre 4 : Équation du mouvement linéaire et varié de la chaleur dans une armille

Chapitre 5 : Propagation de la chaleur dans une sphère solide

Chapitre 6 : Mouvement de la chaleur dans un cylindre

Chapitre 7 : Propagation de la chaleur dans un prisme rectangulaire

Chapitre 8 : Mouvement de la chaleur dans un cube solide

Chapitre 9 : Diffusion de la chaleur

Théorie analytique de la chaleur : Théorie analytique de la chaleur : le chapitre 3(1822)le chapitre 3(1822)

• Exposition de la question

• Premier exemple de l’usage des séries trigonométriques

• Remarques sur ces séries

• Solution générale

• Expression finie du résultat de la solution

• Développement d’une fonction arbitraire en séries trigonométriques

• Application à la question actuelle.

L’énoncé du problèmeL’énoncé du problème

Les limites en y : -π /2 et + π/2

T=0° T=0°

T=1°

En régime permanent, quelle est la température en chacun

des points de cette masse

solide homogène ?

x

y

Figure originale

Figure dans le plan de coupePlan de coupe

DevinetteDevinette• Quel type de solution conjecturez vous ?

y

x

T

Equation et conditions aux Equation et conditions aux limiteslimites

02

2

2

2

dy

d

dx

d

Condition limite 1 : lim x (x,y) = 0 (y)

Condition limite 2 : ( x , -π/2 ) = 0 et ( x , π/2 ) = 0 (x)

Condition limite 3 : ( 0 , y ) = 1 (y)

Comment trouver la fonction (x,y) ?

Figure

Équation à laquelle obéit la fonction solution .

(x,y) représente la température au point de coordonnées x et y.

Une idée : la séparation Une idée : la séparation des variablesdes variables

Si (x,y) peut se mettre sous la forme (x,y) = F(x). f(y) l’équation :

devient

02

2

2

2

dy

d

dx

d

0)('')()()('' yfxFyfxF

ou encore

0)('')('' yffx

FF

Élimination de solutions Élimination de solutions

0''''

f

f

F

F Si F’’/F = m alors on aura f’’/f = - m pour que l’équation soit respectée.

On est conduit à : F(x) = e –n x et f(y) = cos (ny) avec m = n2

On a éliminé la solution en F(x) = e + n x car la condition aux limites 1 ne serait pas respectée.

Remarque : si on avait pris F’’/F = - m et f’’/f = m on aurait été conduit à une fonction exponentielle en y et sinusoïdale en x qui ne peuvent satisfaire aux conditions aux limites.

Ebauche de solutionEbauche de solutionOn obtient : (x,y) = e –n x cos(ny)

(x,y) doit respecter la condition aux limites 2 :

( x , -π/2 ) = 0 et ( x , π/2 ) = 0

Le coefficient n (positif) n’est pas unique

Les valeurs possibles pour le coefficient n sont (annulation d’un cosinus pour /2) :

n = 1 ; n = 3 ; n = 5 etc… (valeurs entières impaires)

(x,y)(x,y) écrite sous forme écrite sous forme d’une d’une séried’une d’une série

Pour obtenir une expression la plus générale pour , on l’écrira comme une combinaison linéaire des solutions trouvées avec les valeurs précédentes de n

...)5cos()3cos()cos(),( 53 yceybeyaeyx xxx

Cette fonction répond aux conditions aux limites 1 et 2.

Elle doit encore satisfaire la condition 3 !

Apparition d’une sérieApparition d’une sérieCondition aux limites 3 : ( 0 , y ) = 1 conduit à

...)5cos()3cos()cos(1),0( ycybyay

Les coefficients a, b, c etc.. doivent être tels que cette équation doit être vérifiée

quelque soit y ! !

Fourier prévient l’étonnement du lecteur : « on pourrait douter qu’il existât une

pareille fonction, mais cette question sera pleinement éclaircie par la suite » (§ 169)

Calcul des coefficientsCalcul des coefficients...)5cos()3cos()cos(1 ycybya

Pour calculer a,b,c, on écrit l’équation précédente en y = 0 : 1 = a + b + c

On dérive 2 fois et on écrit l’équation pour y = 0 : 0 = a + 32b + 52c

On dérive 2 fois encore et on écrit l’équation pour y = 0 : 0 = a + 34b + 54c

On résout le système et l’on voit se dessiner une forme généralisable, si l’on prend un nombre de coefficients infinis.

Ainsi on obtient :

«  Cette dernière expression est connue d’après le théorème de Wallis » (§173)

Le théorème de Wallis (1685) donne comme un produit infini de fractions de

nombres entiers a = 4 /

De même : b = - 4 / 3 ; c = 4 / 5 etc …

etcetca 12.1011.11

10.89.9

8.67.7

6.45.5

4.23.3

11111

199

177

155

133

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

9.78.8

7.56.6

5.34.4

3.12.22

Fourier exploite le filonFourier exploite le filon

...)5cos(51)3cos(

31)cos(

4 yyy

• On donne à y des valeurs particulières et on retrouve des séries déjà publiées par Euler

• On intègre les deux membres de l’équation, on obtient encore d’autres séries « qui n’avaient pas été remarquées » (§ 184)

• Exemple : / 4 = sin(x) + sin(3x)/3 + sin (5x) /5+…

...)5cos(54)3cos(

34)cos(41 yyy

Une expression infinie de la Une expression infinie de la solutionsolution

...)5cos(54)3cos(

34)cos(4),( 53 yeyeyeyx xxx

Mode 1 Mode 3 Mode 5

Les ModesLes Modes

Mode 1

(x,y)= e – x cos(y)

Mode 3

(x,y)= e – 3 x cos(3y)

Pour un mode donné, le profil de température en y  reste la même lorsqu’on progresse en x.

Les modes d’ordre élevé s’atténuent plus rapidement.

Mode 5

(x,y)= e – 5 x cos(5y)

xy

Phrases clésPhrases clés

« Le mouvement de la chaleur se décompose toujours en une multitude de mouvements élémentaires, dont chacun s’accomplit comme s’il était seul » (§ 170)

« Tous ces systèmes partiels existent à la fois dans celui que représente l’équation ; ils se superposent et le mouvement de la chaleur a lieu pour chacun d’eux de la même manière que s’il était seul. » (§ 191)

Expression finie de la solution Expression finie de la solution et courbe et courbe (x,y)(x,y)

Plus on s’éloigne en x, plus la répartition de la chaleur s’identifie au premier mode (filtrage des modes avec la distance)

y

T=(x,y)

xx eeyArcTanyx )cos(2),(

x

La périodicitéLa périodicité

« L’équation appartient à une ligne qui, ayant pour abscisse x et y pour ordonnée est composée de droites séparées dont chacune est parallèle à l’axe x et égale à la demi circonférence » (§ 178)

...)5cos(51)3cos(

31)cos( xxxy

y

x

Unicité de la solutionUnicité de la solution• On part d’un état initial où la température est nulle en tout point et on arrive à l’état final

de température (x,y) : EI ( 0 ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( )• Si on part d’un état initial où la température est f(x,y) en tout point, on arrive à l’état final

où la température est (x,y) en tout point : EI ( f ) + (A=1, B=0, C=0) EF ()• Si on part d’un état initial où la température est déjà (x,y) en tout point, on arrive à

l’état final de température (x,y) : La température n’évolue pas au cours du temps. Cette situation caractérise une solution du problème.

• Si on part d’un état initial où la température est f(x,y) en tout point, et qu’on maintient les 3 faces A, B, C à 0, on arrive à l’état final où la température est nulle en tout point : EI ( f ) + (A=0, B=0, C=0) EF ( 0 )

• La situation EI ( f ) + (A=1, B=0, C=0) EF () peut se décomposer en 2 situations :EI () + (A=1, B=0, C=0) EF () ET EI ( f- ) + (A=0, B=0, C=0) EF (0)

• Supposons maintenant que ’ soit aussi une solution mathématique du problème.On aurait aussi EI ( ’ ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( ’ )

• En soustrayant avec EI ( ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( ) on obtiendraitEI ( - ’) + (A=0, B=0, C=0) EF (- ’) ce qui est impossible car « on aurait un état partiel qui devrait subsister de lui même, quoique les arêtes A, B et C fussent entretenues à la température 0. (§ 204)

RemarquesRemarques• Coquilles : p164, 168, 215

• Notations de 1822– Carré s’écrit « quarré »– On écrit Fx en lieu de F(x)– Pas de notation spéciale des dérivées

partielles– L’imaginaire pur s’écrit encore :

• Introduction de la notation

(§ 231)b

adxxF )(

1

RemarqueRemarque

Le premier signal que Fourier décompose est un signal constant (1) sur une demi circonférence, et –1 sur l’autre demi circonférence.

C’est aussi, en règle générale le premier signal (signal carré) que tout professeur de traitement du signal qui enseigne les séries de Fourier décompose.

RemarquesRemarques• Fourier ne travaillait pas sur la variable temps mais la variable

distance• Fourier ne travaillait pas au départ sur des signaux périodiques• Fourier propose une démarche du particulier au général• Fourier écrit : « la question abordée nous a paru plus propre

qu’aucune autre à faire connaître les éléments de la méthode que nous avons suivie » (§ 163). Il y a donc une démarche pédagogique délibérée de sa part.

• Fourier aurait pu faire un ouvrage spécial consacré aux séries trigonométriques. Heureusement la présentation de ces séries comme chapitre d’un ouvrage sur la chaleur nous donne accès à une démarche dans laquelle raisonnement physique et raisonnement mathématique restent étroitement mêlés.

Physique et MathématiquesPhysique et Mathématiques

Physique et Mathématiques : Physique et Mathématiques : la démarchela démarche

Problème physique

Équation mathématique

Une solution mathématique

Raisonnement physique

Raisonnement mathématique

La solution mathématique

Raisonnement physique

Applications pédagogiquesApplications pédagogiques(Terminale, 1er cycle universitaire)(Terminale, 1er cycle universitaire)

• Difficulté d’introduire la démonstration de Fourier en cours de traitement du signal : fonction de 2 variables, étude sur la chaleur.

• Possibilité d’un cours expliquant la démarche conceptuelle de Fourier

• Possibilité d’un T.P.E. physique, mathématique.

• Possibilité de faire un exercice ou un problème.

RemerciementsRemerciements• Stagiaires 2003-2004 du stage PAF : utilisation de l’histoire des sciences en physique

• Classe de première année BTS électronique au lycée Rempart (année 2003-2004)

RéférenceRéférence• Théorie analytique de la chaleur, Joseph Fourier, 1822.