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TD1

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EXO1

Calculer la réponse forcée de l'oscillateur harmonique, sans amortissement, à la fonction créneau.

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De l'observation de la fonction créneau, on déduit rapidement que (la fonction créneau est impaire alors que la fonction cosinus est paire).

seules les composantes impaires sont non nulles :

La solution à l'ordre p vérifie donc l‘équation :

On considère une solution particulière, à l'ordre p, sous la forme :

Solution de l’EXO 1

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On écrit alors la solution générale en utilisant le théorème de superposition :

Solution de l’EXO 1

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EXO2

Déterminer la réponse d'un oscillateur faiblement amorti à une fonction échelon en

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De l’intégrale de DUHAMEL , on en déduit que :

Après intégration, on obtient :

En l'absence d'amortissement, le système oscille indéfiniment :

Quand , on tend vers la réponse stationnaire du système :

Solution de l’EXO 2

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Solution de l’EXO 2

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EXO3

I

D

L

θ

Soit le système en torsion suivant: un disque de moment d’inertie I supporté par une tige cylindrique de longueur l et de diamètre D. Le disque est soumis à une torsion. Écrire les équations de mouvement en (θ(t)) et résoudre en fonction de T, G et J.Avec T : moment de torsion G : module de rigidité J : 2nd moment polaire de l’aire de la barre

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EXO4

Trouver l’équation différentielle et déterminer la pulsation naturelle des systèmes suivants

D1

D2

K r

l1, G1

l2 , G2

D1

D2

r

a) b)

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EXO4 (suite)

D1

D2

r

c)

T=T0sinω ft D2

l2

d)

D1

Donner la solution pour des données initiales nulles

l1

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EXO5: Amortissement de Coulomb

On considère des effets de type Coulomb ou des amortissement de type glissement-frottement. Les forces de frottement agissent dans les directions opposées au déplacement :

NFf µ≡

Les cas où l’on rencontre des frottements solides sont très nombreux : oscillations d’une plume enregistreuse sur du papier, d’un système pendulaire frottant sur son axe d’oscillation, etc. Dans tous ces cas, on peut admettre que la force de frottement F est constante et dirigée en sens inverse de la vitesse. les équations du mouvement sont

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EXO5 (suite)

K mx

hghj

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I

D

L

P5

P1

P2

P3

P4

P6

P9

P8

P7

P5

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P1

P2

P3

P4

P6

P9

P8

P7

P5

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P1

P2

C3

P3

C1

C2