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Analisi matematica I Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni

© 2006 Politecnico di Torino 1

Sviluppi di Taylor e applicazioni

2

Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni

Somma di sviluppi

Prodotto di sviluppi

Quoziente di sviluppi

Sviluppo di una funzione composta

Calcolo di ordini di infinitesimo e di parti principali

Comportamento locale

Studio della natura di un punto critico

Ricerca dei punti di flesso




4

Somma algebrica di sviluppi

Per semplicità, supporremo

Siano

e

gli sviluppi di Maclaurin di due funzioni e in f g

x0 = 0

0

g(x) = b0 + b1x+ ...+ bnxn + o(xn)

f(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn + o(xn)

x→ 0= pn(x) + o(xn),

x→ 0= qn(x) + o(xn),



5


Allora

f(x) ± g(x) =¡pn(x) + o(xn)

¢± ¡qn(x) + o(xn)¢

=¡pn(x) ± qn(x)

¢+¡o(xn)± o(xn)

¢x→ 0= pn(x) ± qn(x) + o(xn),

x→ 0g(x) = qn(x) + o(xn),f(x) = pn(x) + o(xn),

6


Allora

Dunque lo sviluppo di una somma algebrica di

funzioni è la somma algebrica degli sviluppi

x→ 0f(x) ± g(x) = pn(x) ± qn(x) + o(xn),

x→ 0g(x) = qn(x) + o(xn),f(x) = pn(x) + o(xn),



7

Esempio 1

Calcoliamo gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni

seno e coseno iperbolico

Abbiamo

e, cambiando in x

e−x = 1− x+x2

2− ...+

x2n+2

(2n+ 2)!+ o(x2n+2)

ex = 1 + x+x2

2+ ...+

x2n+2

(2n+ 2)!+ o(x2n+2)

−x,

8

Esempio 1

Dunque

sinh x =1

2(ex − e−x)

= x+x3

3!+

x5

5!+ ...+

x2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)



9

Esempio 1

Dunque

= 1 +x2

2+

x4

4!+ ...+

x2n

(2n)!+ o(x2n+1)

cosh x =1

2(ex + e−x)

10

Esempio 2

Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte

principale per della funzionex→ 0

f(x) = e3x − 3√1 + 9x



11

Esempio 2

= 1 + 3x +13 (13 − 1)2

· 81x2 + o(x2)

3√1 + 9x = 1 +

1

3· 9x+ o(x)

x→ 0

= 1 + 3x − 9x2 + o(x2) , x→ 0

= 1 + 3x+9

2x2 + o(x2) ,

e3x = 1 + 3x+ o(x)

12

Esempio 2

quindi

x→ 0=27

2x2 + o(x2) ,

= 1+ 3x+9

2x2 + o(x2)− 1− 3x+ 9x2 + o(x2)

f(x) = 1 + 3x+ o(x)− 1− 3x+ o(x) = o(x)



13

Esempio 2

e dunque

α = 2 p(x) =27

2x2e




15


Siano, per

ef(x) = pn(x) + o(xn)

x→ 0

g(x) = qn(x) + o(xn)

16


f(x)g(x) =¡pn(x) + o(xn)

¢¡qn(x) + o(xn)

¢

= pn(x)qn(x) + o(xn) + o(xn) + o(x2n)

= pn(x)qn(x) + o(xn)

= rn(x) + o(xn) , x→ 0

= pn(x)qn(x) + pn(x)o(xn)

+ qn(x)o(xn) + o(xn)o(xn)



17


= rn(x) + o(xn) , x→ 0f(x)g(x)

dove contiene tutte e sole le potenze

di di esponente

rn(x)x ≤ n

18

Esempio

Determinare lo sviluppo di Maclaurin al secondo

ordine della funzione

e3x = 1 + 3x+9

2x2 + o(x2) , x→ 0

3√1 + 9x = 1 + 3x− 9x2 + o(x2) , x→ 0

f(x) = e3x 3√1 + 9x



19

Esempio

x→ 0= 1 + 6x+9

2x2 + o(x2) ,

+9

2x2 +

27

2x3 − 81

2x4 + o(x2)

= 1 + 3x− 9x2 + 3x+ 9x2 − 27x3

¡1 + 3x− 9x2 + o(x2)

¢=¡1 + 3x+

9

2x2 + o(x2)

¢f(x) = e3x 3√1 + 9x

Quindi




21


Siano, per

Posto

cerchiamo lo sviluppo di

f(x) = pn(x) + o (xn) g(x) = qn(x) + o(xn),

g(0) 6= 0

h(x) = rn(x) + o(xn),

con

e

con

x→ 0

h(x) =f(x)

g(x)

rn(x) =nXk=0

ckxk

22


Siano, per

Dovrà essere

e dunqueh(x)g(x) = f(x)

f(x) = pn(x) + o (xn) g(x) = qn(x) + o(xn),

g(0) 6= 0

x→ 0

e

con

rn(x)qn(x) + o(xn) = pn(x) + o(xn)



23

Esempio

Calcoliamo lo sviluppo di Maclaurin al quarto

ordine di

Nota: la funzione è dispari, quindi il polinomio di

grado coincide con quello di grado 4

h(x) = tanx

3

24

Esempio

o(x3)

x3

3+ o(x3)

x3

3+ o(x3)

x− x3

2+ o(x3)

x− x3

6+ o(x3)

+x3

3+ o(x3)x

1− x2

2+ o(x3)dividendo



25

Esempio

Dunque

tanx = x+x3

3+ o(x3) = x+

x3

3+ o(x4)




27


Siano

Osserviamo che

e

y → 0

f(x) = a1x+ ...+ anxn + o(xn) , x→ 0

o(yn) = yno(1) limy→0

o(1) = 0con

g(y) = b0 + b1y + ...+ bnyn + o(yn) ,

28


Dunque, per

Ma e dunque

x→ 0,

...+ bn¡f(x)

¢n+¡f(x)

¢no(1)

h(x) = g(f(x)) = b0 + b1f(x) + b2¡f(x)

¢2+ ...

¡f(x)

¢n= an1x

n + o(xn) ,¡f(x)

¢no(1) = o(xn), x→ 0



29


Sviluppando le potenze

rispetto ad fino all’ordine si perviene allo

sviluppo di

¡f(x)

¢k(1 ≤ k ≤ n)

x n,g(f(x))

30

Esempio 1

Calcoliamo lo sviluppo di Maclaurin al terzo ordine di

= −12x2 + o(x3) , x→ 0

y → 0

h(x) = ecos x−1

f(x) = cosx− 1

g(y) = ey = 1 + y +1

2y2 +

1

6y3 + o(y3) ,



31

Esempio 1


= 1− 12x2 +

1

8x4 − 1

48x6 + o(x3)

+1

6

¡− 12x2 + o(x3)

¢3+ o(x3)

h(x) = 1 +¡− 1

2x2 + o(x3)

¢+1

2

¡− 12x2 + o(x3)

¢2

h(x) = ecos x−1

32

Esempio 1


= 1 − 12x2 + o(x3) ,

h(x) = ecos x−1

h(x) = 1 − 12x2 +

1

8x4 − 1

48x6 + o(x3)

x→ 0



33

Esempio 2

Calcoliamo lo sviluppo di Maclaurin al secondo

ordine di

Osserviamo che

non è infinitesima per

= 1 +1

2x− 1

8x2 + o(x2)

h(x) = e√1+x

√1 + x = 1 +

1

2x+

12 (12 − 1)2

x2 + o(x2)

x→ 0

34

Esempio 2


ordine di

con

infinitesima per

f(x) =1

2x− 1

8x2 + o(x2)

h(x) = e√1+x

x→ 0

h(x) = e1+12x− 1

8x2+o(x2)= e · e 12x− 1

8x2+o(x2)



35

Esempio 2


ordine di

Quindi

+1

2

¡12x− 1

8x2 + o(x2)

¢2+ o(x2)

h(x) = e√1+x

= e

∙1 +

¡12x− 1

8x2 + o(x2)

¢h(x) = e · e 12x− 1

8x2+o(x2)

36

Esempio 2


ordine di

Quindi

= e¡1 +

1

2x− 1

8x2 +

1

8x2 + o(x2)

¢

h(x) = e√1+x

= e +e

2x+ o(x2) , x→ 0

h(x) = e · e 12x− 18x

2+o(x2)




38

Ordini di infinitesimo e parti principali

Sia

lo sviluppo di Taylor di ordine di in un

punto

Se per un intero tale che si ha1 ≤ m ≤ nm

a0 = a1 = ... = am−1 = 0, am 6= 0ma

n fx0

f(x) = a0 + a1(x− x0) + ...+ an(x− x0)n + o((x− x0)

n)

allora

f(x) = am(x− x0)m + o((x− x0)

m) , x→ x0



39

Ordini di infinitesimo e parti principali

Dunque in un intorno di si

comporterà come

che è la sua parte principale rispetto

all’infinitesimo campione

e è un infinitesimo di ordine rispetto

a tale infinitesimo campione

f(x), x0,

ϕ(x) = x− x0f(x) m

p(x) = am(x− x0)m

40

Esempio

Calcoliamo l’ordine di infinitesimo e la parte

principale per della funzione x→ 0

f(x) = sinx− x cosx− 13x3



41


Esempio

Si ha

f(x) = x− 16x3 +

1

5!x5 + o(x5)

−x¡1− 12x2 +

1

4!x4 + o(x5)

¢ −13x3

= x− 16x3 +

1

120x5 − x+

1

2x3

− 124

x5 − 13x3 + o(x5)

42


Esempio

f(x) =

Si ha

x− 16x3 +

1

120x5 − x+

1

2x3

=¡ 1120− 1

24

¢x5 + o(x5) = − 1

30x5 + o(x5)

− 124

x5 − 13x3 + o(x5)



43

Esempio

Dunque

α = 5 e p(x) = − 130

x5




45


Sia

+o((x− x0)2) ,

f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2

x→ x0

46


Sia, per

allora

x→ x0 ,

f(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2+o((x− x0)

2)

f(x0) = a0

f 0(x0) = a1

f 00(x0) = 2a2



47


Se sono continue in un intorno di e sono allora, per il Teorema

di permanenza del segno, i segni di e

coincidono con i segni di

in tutto un intorno di

Ciò permette di conoscere la monotonia e la

convessità di in tale intorno

f, f 0, f 00 x0a0, a1, a2 6= 0

a0, a1 a2f(x), f 0(x), f 00(x)

f

x0

48

Esempio

Supponiamo di sapere che una funzione soddisfa, per

Allora

e quindi

f(x) = 2− 3(x− 2) + (x− 2)2 + o((x− 2)2)

f(x)

f(2) = 2, f 0(2) = −3, f 00(2) = 2

f(2) = 2, f 0(2) = −3, f 00(2)2

= 1

x→ 2,



49

Esempio

Supponiamo di sapere che una funzione soddisfa, per

Abbiamo e

Dunque, in un intorno di sarà

strettamente positiva, strettamente decrescente

e strettamente convessa

f(x) = 2− 3(x− 2) + (x− 2)2 + o((x− 2)2)

f(x)

f(2) > 0, f 0(2) < 0

fx0 = 2,

f 00(2) > 0

x→ 2,




51

Teorema

Sia derivabile volte in con

per un certo tale che

f n (n ≥ 2) x0

m 2 ≤ m ≤ n

f 0(x0) = · · · = f (m−1)(x0) = 0, f (m)(x0) 6= 0

52

Teorema

m

f (m)(x0) < 0

f (m)(x0) > 0

x0Se è pari e

è un punto di massimo locale

è un punto di minimo localex0

⇒

⇒



53

Teorema

mSe è dispari

è un punto di flesso a tangente orizzontalex0

⇒

54

Dimostrazione

Confrontiamo e in un intorno di f(x) f(x0) x0



55

Dimostrazione

= (x− x0)m

∙f (m)(x0)

m!+ o(1)

¸,

=f (m)(x0)

m!(x− x0)

m + o((x− x0)m)

· · ·+ f (m)(x0)

m!(x− x0)

m + o((x− x0)m)

f(x)− f(x0) = f 0(x0)(x− x0) + · · ·

x→ x0

56

Dimostrazione

In un intorno di il termine racchiuso tra

parentesi quadre avrà lo stesso segno di

Dunque il segno di sarà

determinato dai segni di

Esaminando i vari casi possibili, si giunge alla tesi

x0

f(x)− f(x0)

f (m)(x0) e (x− x0)m

f (m)(x0)



57

Esempio 1

Supponiamo che in un intorno di si abbia

Deduciamo che

mentre

Pertanto, è un punto massimo relativo di

x0 = 2

f 0(2) = f 00(2) = f 000(2) = 0 ,

x0

f (4)(2) = −25 · 4! < 0

f(x) = 2− 25(x− 2)4 + 20(x− 2)5 + o¡(x− 2)5¢

f

58

Esempio 2

Supponiamo che in un intorno di si

abbia

Deduciamo che

mentre

Pertanto, è un punto di flesso a tangente

orizzontale per

x0 = −1

f 0(−1) = f 00(−1) = f 000(−1) = f (4)(−1) = 0 ,

x0

f (x) = 3 + 20(x + 1)5 − 35(x + 1)7 + o¡(x + 1)7

¢

f (5)(−1) = 20 · 5! > 0

f




60

Teorema

Sia derivabile volte in con

per un certo tale che

(n ≥ 3)nf x0

m 3 ≤ m ≤ n

f (m)(x0) 6= 0f 00(x0) = · · · = f (m−1)(x0) = 0,



61

Se è pari non è un punto di flesso per

Se è dispari è un punto di flesso

Teorema

x0m

m x0 f

⇒

⇒

62

Dimostrazione

Come nel teorema precedente, posto

si ha

Il risultato segue allora dalla discussione dei segni

dei termini a secondo membro

t(x) = f(x0) + f 0(x0)(x− x0),

f(x)− t(x) = (x− x0)m

∙f (m)(x0)

m!+ o(1)

¸



63

Esempio

Supponiamo che in un intorno di si abbia

Deduciamo che

mentre

Concludiamo che è un punto di flesso

per

x0 = 4

f 00(4) = f 000(4) = f (4)(4) = 0,

x0 = 4

f

f (5)(4) = −70 · 5! < 0

f(x) = −1 + 4(x− 4)− 70(x− 4)5 + o¡(x− 4)5¢

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