C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 575–580, 2000Physique mathématique/Mathematical Physics

Sur les propriétés des mesures spectralesdes opérateurs de DiracMathieu MARTIN

UFR de mathématiques, Université Paris-7–Denis-Diderot, case 7012, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05,FranceCourriel : martinm@math.jussieu.fr

(Reçu le 20 mars 2000, accepté après révision le 28 juillet 2000)

Résumé. Dans cette Note nous étudions les propriétés des mesures spectrales d’opérateurs de Diracunidimensionnels et multidimensionnelsH à partir du comportement asymptotique dessolutionsuλ de l’équation aux fonctions propres généralisées(H − λ)uλ = 0. 2000Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

On the properties of spectral measures of Dirac operators

Abstract. In this Note we study the properties of spectral measures of one- and multi-dimensionalDirac operatorsH from the asymptotic behaviour of solutionsuλ of the generalized eigen-function equation(H −λ)uλ = 0. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

Abridged English version

Our purpose is to study the spectrum of Dirac operators. The theory of subordinate solutions of Gilbertand Pearson [5] gives results of great interest concerning the spectral structure of one-dimensional Schrö-dinger operators (see[8] for example). Those results of Gilbert and Pearson have been extended by Behncke[1] to Dirac systems.

Let H denotes a Schrödinger operator defined on an unbounded domainΩ of Rd and with Dirichletboundary conditions on∂Ω. Kiselev and Last [6] found a relation between the rate of growth of solutionsof the generalized eigenfunction equation(H − λ)uλ = 0 and properties of spectral measures ofH (seealso [3]).

In this Note we show an analog of these results for Dirac operators in both one- and multi-dimensionalcases. In particular (the one-dimensional case) we consider Dirac operators of the form

(Hu)(x) =

(0 1−1 0

)u′(x) +

(q(x) p(x)p(x) r(x)

)u(x)

Note présentée par Alain CONNES.

S0764-4442(00)01665-7/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 575

M. Martin

acting inL2(R;C2), wherep, q, andr are real-valued and locally integrable functions. We prove relationsbetween the rate of growth of theL2-norms

‖uλ‖L2([−R,R];C2)

of solutions of the generalized eigenfunction equation(H −λ)uλ = 0 and continuity properties of spectralmeasures ofH .

1. Introduction

Notre but est d’étudier le spectre d’opérateurs de Dirac. La théorie des solutions subordonnées de Gilbertet Pearson [5] a permis de donner des réponses à ce problème dans le cas des opérateurs de Schrödingerunidimensionnels (voir [8] par exemple). Ces résultats de Gilbert et Pearson ont été prolongés par Behncke[1] au cas des systèmes de Dirac de dimension un. Rappelons-les brièvement. Considérons un opérateur deDirac de la forme :

(Hu)(x) =

(0 1−1 0

)u′(x) +

(q(x) p(x)p(x) r(x)

)u(x), (1.1)

agissant dansH = L2(R;C2), où p, q et r sont des fonctions à valeurs réelles et localement intégrables.Une solutionu de l’équation(

0 1−1 0

)u′(x) +

(q(x) p(x)p(x) r(x)

)u(x) = λu(x) (1.2)

est dite subordonnée en+∞ si pour toute solution linéairement indépendantev de la même équation on a

limR→+∞

‖u‖R‖v‖R

= 0,

où ‖f‖R =∫ R

0|f(x)|2 dx. On définit de façon analogue les solutions subordonnées en−∞. Rappelons

également qu’un ensemble borélienS deR est un support minimal d’une mesure positiveµ siµ(Rr S) = 0,|T |= 0 pour tout borélienT ⊂ S satisfaisantµ(T ) = 0,

où | · | désigne la mesure de Lebesgue. Behncke a prouvé que les supports minimauxMac etMs des partiesabsolument continue et singulière de la mesure spectraleρ deH sont donnés par

Mac = λ∈R | l’équationHu= λu n’admet pas de solution subordonnée en−∞ ou en+∞,Ms = λ∈R | l’équationHu= λu admet une solution subordonnée en−∞ et en+∞.

Dans le cas des opérateurs de Schrödinger en dimension quelconque, Kiselev et Last [6] (voir également[3]) ont trouvé d’autres relations entre le comportement asymptotique des solutions des équations deSchrödinger et les propriétés des mesures spectrales des opérateurs correspondants. Plus précisément, siH = −∆ + V (x) désigne un opérateur de Schrödinger défini sur un domaine non bornéΩ deRd avecconditions de Dirichlet sur∂Ω, alors Kiselev et Last ont exprimé des relations entre les taux d’accroissementdes normes‖uλ‖L2(BR∩Ω) lorsqueR→+∞ de solutions de l’équation aux fonctions propres généralisées(H − λ)uλ = 0 et des propriétés de continuité de certaines mesures spectrales deH .

Dans cette Note nous montrons un analogue de ces résultats pour les opérateurs de Dirac unidimen-sionnels (définis dansL2(R;C2)) et multidimensionnels (définis dansL2(R3;C4)). Ces résultats sont

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Sur les propriétés des mesures spectrales des opérateurs de Dirac

rassemblés dans le paragraphe 2. Dans le paragraphe 3 nous en donnons les démonstrations dans le casunidimensionnel.

2. Résultats

Dans la suite, on désignera parµϕ la mesure spectrale associée à un élémentϕ deH relativement àl’opérateurH . Si µ est une mesure borélienne finie surR etα ∈ [0,1], on appelle dérivéeα-supérieure deµ enx ∈R l’élément de[0,+∞] défini par

Dαµ(x) = lim supε→0+

µ(]x− ε, x+ ε[

)εα

.

Notre résultat principal est le théorème suivant. C’est l’analogue du théorème 1.1. de [6] pour les opérateursde Dirac unidimensionnels.

THÉORÈME 1. – SoitH un opérateur de la forme(1.1)et soitλ ∈R. Supposons qu’il existe une fonctionnon nulleuλ ∈H1

loc(R;C2) telle que:(i) uλ est une solution de l’équation(1.2) ;(ii) il existeα ∈ [0,1] vérifiant

lim infR→+∞

R−α∫ R

−R

∥∥uλ(x)∥∥2

C2 dx <∞ (resp.= 0).

Soitφ ∈ L20(R;C2) tel que

∫R〈φ(x), uλ(x)〉C2 dx 6= 0. AlorsDαµφ(λ)> 0 (resp.=∞).

Si α ∈ [0,1], on définit, pour toute partieA deR, la mesureα-dimensionnelle de Hausdorff deA par

hα(A) = lim infδ→0

+∞∑n=0

|In|α∣∣∣∣ In est un intervalle deR,

+∞⋃n=0

In ⊃A et |In|< δ

.

Rappelons quehα est une mesureσ-finie et queh1 = | · |. Le théorème 1 nous permettra de démontrer lerésultat suivant :

THÉORÈME 2. – SoitH un opérateur de la forme(1.1). Fixonsα ∈ [0,1]. Considérons un borélienSdeR qui vérifie les hypothèses suivantes:(i) hα(S)> 0 ;(ii) pour toutλ ∈ S il existe une fonction non nulleuλ ∈H1

loc(R;C2) telle queuλ est solution de l’équation(1.2),

lim infR→+∞

R−α∫ R

−R

∥∥uλ(x)∥∥2

C2 dx<+∞.

Alors, il existeϕ ∈ L20(R;C2) tel queµϕ(U) > 0 pour tout borélienU ⊂ S vérifiant hα(U) > 0. En

particulier, pour α = 1, S est le support essentiel de la partie absolument continue de la mesureµϕrestreinte àS, i.e.

∀B ∈ B(R), µϕ,ac(S ∩B) = 0⇐⇒ |S ∩B|= 0.

L’analogue des théorèmes 1 et 2 existe dans le cas des opérateurs de Dirac multidimensionnels. Laméthode à utiliser pour les prouver est analogue à celle du cas unidimensionnel. Nous nous contentons

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donc de définir ces opérateurs. Considérons les matrices hermitiennes suivantes, dites matrices de Dirac :

M1 =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

, M2 =

0 0 0 −i0 0 i 00 −i 0 0i 0 0 0

, M3 =

0 0 1 00 0 0 −11 0 0 00 −1 0 0

.

Elles vérifient

MjMk +MkMj = 2δj k1, j, k = 1,2,3,

où1 désigne la matrice unité4× 4. PosonsM = (M1,M2,M3). Les opérateurs que nous considérons sontdéfinis dansH= L2(R3;C4) parH =H0 + V (x) oùV est un potentiel et où

H0 =−iM · ∇=−i3∑

k=1

Mk∂

∂xk

est l’opérateur de Dirac libre dansH.

3. Démonstrations dans le cas unidimensionnel

Dans cette partie nous commençons par prouver le théorème 2 en supposant le théorème 1 vérifié, puis,après le rappel d’un lemme, nous démontrons effectivement le théorème 1.

Démonstration du théorème2. – Soit U ⊂ S un borélien deR tel que hα(U) > 0. Un simpleraisonnement par l’absurde montre qu’il existeR0 > 0 et un borélienUR0 ⊂ U avechα(UR0) > 0 telsque,

pour toutλ ∈ UR0 ,

∫ R0

−R0

∥∥uλ(x)∥∥2

C2 dx > 0. (3.1)

L’ensembleL2([−R0;R0];C2

)est un espace de Hilbert séparable. Il admet donc une base hilbertienne

dénombrableφnn>0. D’après (3.1), le théorème 1 permet alors d’affirmer que

pour toutλ ∈UR0 , il existen> 0 tel queDαµφn(λ)> 0. (3.2)

Un autre raisonnement par l’absurde utilisant (3.2) montre qu’il existef ∈ L2([−R0;R0];C2

)etW ⊂ UR0

tels quehα(W )> 0 et queDαµf (λ)> 0 pour toutλ ∈W . D’après le théorème 63 de [7] on aµf (W )> 0et par suiteµf (U) > 0 car W ⊂ U . En résumé, on a montré que pour tout borélienU ⊂ S vérifianthα(U)> 0 il existef ∈ L2

0(R;C2) tel queµf (U)> 0.– D’après le théorème 7.3.5 de [2] il existe une fonction de type maximal, i.e. il existe une fonctionϕ ∈Htelle que, pour toutf ∈H, µf soit absolument continue par rapport àµϕ. Ainsi,

pour toutA ∈ B(R) et tout f ∈H, µf (A)> 0 =⇒ µϕ(A)> 0.

On a doncµϕ(U)> 0 pour toutU ⊂ S vérifianthα(U)> 0. 2Pour prouver le théorème 1, nous aurons besoin du lemme suivant. Il correspond aux lemmes 3.2, 3.3

et 5.4 de [4].

LEMME 1. – Soitµ une mesure borélienne finie surR. Siβ ∈ [0,1], on pose

Qβµ(x) = lim supε→0+

εβ Im

(∫R

dµ(t)

t− x− i ε

).

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Sur les propriétés des mesures spectrales des opérateurs de Dirac

Alors, pour toutα ∈ [0,1] et toutx∈R, on a:1) siQ1−α

µ (x)> 0, alorsDαµ(x)> 0,2) siQ1−α

µ (x) = 0, alorsDαµ(x) = 0.

Démonstration du théorème1. – Posonsc=∫R〈φ(x), uλ(x)〉C2 dx 6= 0 et θε = (H − λ− i ε)−1φ pour

toutε > 0. FixonsR0 > 0 tel quesuppφ⊂ [−R0,R0].– Prenonsr >R0. En utilisant (i) et en effectuant une intégration par parties on montre aisément que

λ

∫ r

−r

⟨θε(x), uλ(x)

⟩C2 dx=

∫ r

−r

⟨(Hθε)(x), uλ(x)

⟩C2 dx

+[θε1(x)uλ2(x)

]r−r −

[θε2(x)uλ1(x)

]r−r.

Donc, d’après la définition deθε, on obtient

Jε(r) = c− i ε∫ r

−r

⟨θε(x), uλ(x)

⟩C2 dx,

où l’on a poséJε(r) =[θε2(x)uλ1(x)

]r−r −

[θε1(x)uλ2(x)

]r−r . Soit R > R0. En intégrant la dernière

expression on montre que∫ R

R0

∣∣Jε(r)∣∣dr > |c|(R−R0)− ε∫ R

R0

∫ r

−r

∣∣⟨θε(x), uλ(x)⟩C2

∣∣dxdr. (3.3)

– On a, d’après la définition deJε(r),∫ R

R0

∣∣Jε(r)∣∣dr 6 ∫ R

−R

(∣∣θε2(r)uλ1(r)∣∣+ ∣∣θε1(r)uλ2(r)

∣∣)dr.

L’inégalité de Cauchy–Schwarz permet alors d’affirmer que∫ R

R0

∣∣Jε(r)∣∣dr 6 ‖θε‖L2([−R,R];C2) ‖uλ‖L2([−R,R];C2). (3.4)

En outre, ∫ R

R0

∫ r

−r

∣∣⟨θε(x), uλ(x)⟩C2

∣∣dxdr 6∫ R

0

‖θε‖L2([−r,r];C2) ‖uλ‖L2([−r,r];C2) dr

et donc ∫ R

R0

∫ r

−r

∣∣⟨θε(x), uλ(x)⟩C2

∣∣dxdr 6R‖θε‖L2([−R,R];C2) ‖uλ‖L2([−R,R];C2). (3.5)

D’après (3.4) et (3.5), l’inégalité (3.3) donne

(1 + εR)‖θε‖L2([−R,R];C2) ‖uλ‖L2([−R,R];C2) > |c|(R−R0). (3.6)

– D’après (ii), on alim infR→+∞R−α‖uλ‖2L2([−R,R];C2) < +∞. Il existe doncM > 0 et une suite

divergenternn>1 de réels positifs tels qu’on ait pour toutn> 1 :rn >R0 + 1,‖uλ‖2L2([−rn,rn];C2) 6M rαn .

(3.7)

Pour toutn> 1 on poseεn = 1/rn > 0. En remplaçantε parεn etR par1/εn− 1 dans (3.6), on obtient

2εn ‖θεn‖L2([−1/εn,1/εn];C2) ‖uλ‖L2([−1/εn,1/εn];C2) > |c|(1− εn(1 +R0)

).

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Commelimn→+∞ εn = 0 on déduit de la relation (3.7) qu’il existeN > 1 tel qu’on ait pour toutn>N :

ε2−αn ‖θεn‖2L2([−1/εn,1/εn];C2) >Const> 0. (3.8)

– En utilisant l’équation de la résolvante on montre aisément que pour tout opérateur auto-adjointA dansun espace de HilbertG on a :

∀ϕ ∈ G, ∀ z ∈CrR, Im⟨(A− z)−1ϕ,ϕ

⟩G = (Im z)

∥∥(A− z)−1ϕ∥∥2

G .

On a donc, d’après (3.8) :

∀n>N, ε1−αn Im

⟨(HV − λ− i εn)−1φ,φ

⟩H >C > 0.

Par suite,Q1−αµφ

(λ)> 0 et doncDαµφ(λ)> 0 d’après le lemme 1.– La deuxième partie du théorème 1 se démontre de la même façon, mais en utilisant l’assertion 2) dulemme 1. 2

Remarque. – Dans le cas multidimensionnel, l’analogue du théorème 2 se démontre de la même façonque précédemment. En ce qui concerne la preuve de l’analogue du théorème 1 la seule difficulté est d’établirune estimation de la forme (3.6). On l’obtient en introduisant la quantité

Jε(r) = i

4∑k=1

3∑j=1

4∑`=1

(Mj)k`

∫∂(B′(r))

θεk(t)uλ`(t)~n · ~ej dσ(t),

où B′(r) désigne la boule fermée deR3 de rayonr et centrée à l’origine et où l’on a poséMj =((Mj)k`)16`, k64 pourj = 1,2,3. Le reste de la démonstration se fait sans difficulté en adaptant la preuvedu théorème 1 à partir du troisième point.

Remerciements.Je tiens à remercier A. Boutet de Monvel et D.J. Gilbert pour les discussions fructueuses lors dela préparation de ce texte.

Références bibliographiques

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