CécileANÉ

SébastienBL ACHÈRE

Djalil CHAFAÏ

Pierre FOUGÈRES

Ivan GENTI L

Florent M AL RI EU

Cyril ROBERTO

Grégory SCHEFFER

SUR LES INÉGALITÉS DESOBOL EV LOGARITHMIQ UES

Avecunepréfacede Dominique BAK RY et Michel L EDOUX

PRÉFACE

Cet ouvrageprésenteun panorama,sousforme d’introductionaccessibleau plus grandnombre,autourdesinégalitésde SOBOLEV logarithmiques.Il a étérédigépar les membresd’un groupede travail consacréà ce thèmeà l’Uni versitéPaul-SABATIER de Toulouselorsdu printemps1999.

Les inégalitésde SOBOLEV logarithmiquessontdevenuesun outil majeurde l’analyseen dimensioninfinie, tout en jouantaussiun rôle endimensionfinie. Néesaudébut desan-néessoixante-dixavec les travauxsur l’hypercontractivité de NELSON enthéoriequantiquedeschamps,elles prennentle nom qu’elles portentaujourd’hui depuisl’article fondateurde GROSS en 1975.Celui-ci établit notammentdansce travail l’équivalencefondamentaleentrehypercontractivité et inégalitédeSOBOLEV logarithmique,et metenévidencelespre-miersexemplesdemesures(deBERNOULLI etdeGAUSS) pourlesquelleson disposed’unetelle inégalité.La notion d’entropie,partie prenantede la définition d’inégalitéde SOBO-LEV logarithmique,trouve néanmoinssesoriginesvingt cinq annéesplus tôt en théoriedel’information grâceaux travaux de SHANNON. Une lecturemoderne(menéeen particulierdanscesnotes)fait apparaîtrequel’inégalité de SOBOLEV logarithmiquepour les mesuresgaussiennesesten fait déjàprésentedèsles annéessoixante,dansles travaux de STAM etBLACHMAN enthéoriedel’information !

LesinégalitésdeSOBOLEV logarithmiquesontd’abordétéétabliesdansle cadregaussien.Elles ont été ensuiteétenduesà dessituationsde plus en plus généralesen mêmetempsque leur utilité dépassaitlargementle cadrede la théoriequantiquedeschamps.Pour lesintroduire,rappelonsbrièvementla notiond’inégalitédeSOBOLEV. Dansl’espaceeuclidiendedimensionn

���3� , il estbienconnuqu’unefonctiondontlegradientestdecarréintégrable

esten fait dansl’espaceL p, avec p � 2n� � n � 2� . Plusprécisément,l’espacede SOBOLEVH1 seplongedansL p à l’aide d’une inégalité(de SOBOLEV) qui affirme l’existenced’uneconstanteCn (explicite etoptimale)telle que,pourtoutefonctiondérivable,on ait��

Rn f 2n��� n 2� dx� � n 2��� n � Cn � Rn ∇ f 2dx �Cetteinégalitépossèdedesvariantes,renforcéesur l’espacehyperbolique,et plus faible surlessphères.De même,surunevariétéM riemanniennecompactededimensionn, et pour la

vi PRÉFACE

mesuredeRIEMANN associéeµ�dx� , nouspouvonstrouverdesconstantesA et B dépendant

dela variététellesque,pourtoutefonctiondontle gradientsoitdecarréintégrable,on ait��M f 2n��� n 2� µ � dx�� � n 2��� n � A � M f 2µ � dx��� B � M ∇ f 2µ � dx���

Desinégalitésanaloguesont lieu surlesouvertsde � n, etsurceuxdesvariétésriemanniennesdont la géométrieestsuffisammentcontrôlée.

Cesinégalitéssonttrèsutiliséesdansle contrôledessolutionsdenombreuxtypesd’équa-tionsauxdérivéespartielles,ainsiquedansdesproblèmesd’existencedesolutions,carellesdonnentenfait descompacitésde plongementsdesespacesde SOBOLEV dansdesespacesL p.

Malheureusement,cesinégalitéscessentd’être validessi l’on remplacepar exemplelamesurede LEBESGUE de � n par la mesuregaussienne,ou par d’autresmesuresqui n’ontpasunedensitébornéesupérieurementet inférieurement.D’autre part, ellesdépendentdela dimensionet sontpar conséquentinutilisablesdanstousles problèmesfaisantintervenirun nombreinfini devariables,commeparexemplelesproblèmesissusde la mécaniquesta-tistique,dessystèmesdeparticulesen interaction,de l’analyseendimensioninfinie, sur lesespacesdecheminsou delacets.

L’exemplegaussienestemblématiquedu conceptmêmed’inégalitéde SOBOLEV loga-rithmique.Cet exempleconcentreà lui seultoutesles difficultésinhérentesà la dimensioninfinie. Pourla mesuregaussiennestandardγn

�dx� sur � n, l’inégalité deSOBOLEV logarith-

miqueindiquequepourtoutefonction f suffisammentrégulière,���n

f 2 log f 2 γn�dx� � ���

nf 2 γn�dx� log ���

nf 2 γn�dx��� 2 ���

n ∇ f 2γn � dx���Danscecadre,si unefonctionestdecarréintégrableainsiquesongradient,elleestseulementdansl’espaceL2 logL2. Le plongementde SOBOLEV dégénèredoncenun facteurlogarith-mique.En revanche,cetteinégalitéestindépendantede la dimension,et seprolongeraainsiaisémentà dessituationsdedimensioninfinie.

Nous avons là un exempletypique de situationoù apparaîtune inégalitéde SOBOLEVlogarithmique.Elle s’étendraàdenombreusesautressituationsenfaisantvarierlesmesures,ou le gradienten changeantde structureriemannienne.On remplaceraalorsla constante2pard’autresconstantesdépendantdu modèleconsidéré.

L’un desavantagesprincipauxdesinégalitésde SOBOLEV logarithmiquesest leur pro-priétédetensorisation: leur existencesurdeuxespacesdistinctsassureleur validitésurl’es-paceproduit avec pour constantele maximumdesconstantesinitiales. Cettepropriété,quin’est pasvalablepour les inégalitéde SOBOLEV classiques,constituela clé du passageendimensioninfinie.

En dépit de soncaractèreinfini-dimensionnel,les premierstravauxautourdesinégalitésdeSOBOLEV logarithmiquesrestentplutôtorientésautourd’uneanalysededimensionfinie.Citons,parexemple,enanalysede FOURIER, les travauxde BECKNER sur la constanteop-timalede la normeL p dela transforméede FOURIER, ou lespremierscritèresdeconvexité(critèreΓ2) deBAKRY etEMERY dansl’analysegéométriquedesdiffusions.Plusrécemment,les résultatsde DIACONIS et SALOFF-COSTE font un usageimportantde l’outil desinéga-lités deSOBOLEV logarithmiquesdansl’étudedela convergenceversl’équilibre dechaînes

PRÉFACE vii

de MARKOV sur desespacesfinis. Enfin, une inégalitéde SOBOLEV classiqueestéquiva-lenteà la donnéed’unefamille d’inégalitésdeSOBOLEV logarithmiques(sousuneformeunpeuplus faiblequecelledonnéeplushaut).Lesinégalitésde SOBOLEV logarithmiquesper-mettentdoncaussil’analysedepropriétésdépendanteffectivementdela dimension,commepar exemplele comportementdu noyaude la chaleuren tempspetit. Cettedirectiona étéparticulièrementdéveloppéeparDAVIES.

Contrairementaux inégalitésde SOBOLEV, les inégalitésde SOBOLEV logarithmiquesne donnentpasimmédiatementdesrésultatsde compacité,ou desrésultatsde compacitétrop faiblespour pouvoir être exploités directement.La clé de leur utilisation résidedansla propriétéd’hypercontractivité. Plus précisément,la donnéed’un gradientet d’une me-sureestenfait la donnéed’un semi-groupede MARKOV associé(ou encored’un espacedeDIRICHLET). L’inégalité de SOBOLEV logarithmiqueestalorséquivalenteà unepropriétéde régularisationde ce semi-groupe: en tant quesemi-grouped’opérateurs,il envoie pourpourlestempsassezgrandsl’espaceL2 dansl’espaceL p, avecdesconstantesetdesnormesqui reflètentexactementla constantedel’inégalitédeSOBOLEV logarithmique.Parexemple,pourlesemi-groupe

�Pt � t � 0 d’ORNSTEIN-UHLENBECK demesureinvariantelamesuregaus-

siennecanoniqueγn, �Pt

�p� q � 1 �

dèsque1 � p � q � � ∞ et et �"! � q � 1�#� � p � 1� . Cettepropriétérégularisanted’hyper-contractivité joueun rôle crucialdansbeaucoupdequestionsrelativesà la vitessedeconver-genceà l’équilibre.Eneffet, alorsquelespropriétésspectralesnefournissentquedesconver-gencesexponentiellesennormequadratique,l’hypercontractivitépeutrenforcercesdernièresennormeuniformeou envariationtotalepourfournir desestimationsquantitativesefficacesdanslesproblèmesd’évolutions.

D’autresoutils sontvenusdepuissejoindre aux inégalitésde SOBOLEV logarithmiquespour l’analysedesespacesde DIRICHLET. L’argumentde HERBST jette un pont entrelesinégalitésde SOBOLEV logarithmiqueset les inégalitésde concentrationpour les mesuresproduitsde TALAGRAND. Cetteétudesepoursuitaujourd’huisousl’angle desinégalitésdetransport(demesures).Cesdernièresréactiventà cetteoccasionles liensévoquésplushaut,et trèsanciensdonc,avecla théoriedel’information.

Aveclamécaniquestatistiqueetl’analysesurlesespacesdecheminsetdelacets,lesinéga-litésdeSOBOLEV logarithmiquesdémontrentleur importanceet leurefficacitéendimensioninfinie. LesrésultatsdeSTROOCK et ZEGARLINSKI surlesinégalitésdeSOBOLEV logarith-miquespour les systèmesde spinsmettenten évidenceles liensavec lesconditionsdemé-langede DOBRUSHIN-SHLOSMAN et développentlesapplicationsà l’existenceet l’unicitédemesuresdeGIBBS envolumeinfini. Lesdiversescontributionsdansle cadredel’analysesurlesespacesdecheminset lacetsfont apparaîtredesenjeuxgéométriqueset topologiques.Récemment,GROSS a menéà bienun examencompletdel’hypercontractivitécomplexe parle biaisdesinégalitésdeSOBOLEV logarithmiques.

Il est importantde noterqu’il estdifficile de décrireun cadresimplequi englobel’en-sembledessituationsoù les objetsévoquésprécédemmentsont utilisés, sansentrerdansdesconsidérationstechniquesabstraitesoù le lecteurauraittoutesleschancesde seperdre.C’est pourquoiles auteursde cet ouvrageont fait le choix de supposerl’existenced’une

viii PRÉFACE

algèbrede fonctionsstablepar le semi-groupeet le générateurinfinitésimalassocié.Cettehypothèsetechniquedite d’«algèbrestandard»,qui s’avèredélicateà établir dansle cadregénéral,estnéanmoinsfacilementvérifiéedansles casles plus simples.Par exemple,pourun semi-groupedeMARKOV surunensemblefini, onpourrachoisirpouralgèbrel’ensembledetoutesles fonctions,alorsquepour le semi-groupedela chaleurd’unevariétécompacte,on pourraprendrel’ensemblede toutesles fonctionsde classe$ ∞. Pourle semi-groupedela chaleurde � n, on pourrachoisir l’ensembledesfonctionsà décroissancerapide,et pourcelui d’ORNSTEIN-UHLENBECK l’ensembledesfonctionsà croissancelente.En revanche,surunevariéténon-compacte,lesfonctionsà supportcompactnesontpaspréservéespar lesemi-groupedela chaleur, et il faut (sansdoute)tropdecontrôlesurla géométriepourquelesemi-groupedela chaleurpréserve lesfonctionsàdécroissancerapide.

Néanmoins,cecadreréducteurpermetdedonnerdesschémasdedémonstrationsimplesdansuncadreunifié.La plupartdesrésultatsprésentésici nedemandentpasenfait quetouteslesconditionsdel’algèbrestandardsoientréalisées.Onpeutaussisouvents’y ramenerdansdessituationsparticulières.En mécaniquestatistique,par exemple,on peutétablir d’aborddesrésultatssurdesboîtesfiniesindépendammentdeleur taille et passerensuiteà la limite.Sur lesespacesdechemins,on pourratravailler d’abordsur les fonctionsnedépendantqued’un nombrefini de coordonnées.Sontprésentésdansle texte desexemplesoù l’on s’af-franchit explicitementde cesstabilitéspar le générateuret le semi-groupepostuléesdansl’algèbrestandard.

Cetouvrageneconstituepasunesommeexhaustivesurle thèmedesinégalitésdeSOBO-LEV logarithmiques.En particulier, l’étudedecesinégalitésdanslescadresdela mécaniquestatistiqueet de l’analysesur lesespacesde chemins,d’un développementrécent,n’estpasabordée.Conçucommeuneintroductionmultiforme,il apourbut derassemblerlesbaseses-sentiellesenunesuited’exposés,simpleset directs,surdesthèmesvariés.Le lecteurpourratrouveruneintroductionauxinégalitésdeSOBOLEV logarithmiquesenmécaniquestatistiquedansle coursd’initiation deROYER [Roy99], lesnotesdesynthèsedeGUIONNET etZEGAR-LINSKI [GZ00] et le coursdeHELFFER enanalysesemi-classique[Hel98] ; et dansl’articlede HSU [Hsu99] les résultatsrécentsautourdesinégalitésde SOBOLEV logarithmiquessurlesespacesdecheminset delacets.

Chaquechapitreestpour l’essentielautonome.Le premierprésenteprincipalementet defaçonélémentairel’inégalité de SOBOLEV logarithmiquepour la loi de BERNOULLI, puis,partensorisationetapplicationdu théorèmedela limite centrale,cellepourla loi deGAUSS.Le secondchapitreestconsacréauthéorèmedeGROSS qui établit l’équivalenceentreinéga-lité de SOBOLEV logarithmiqued’un générateurinfinitésimalet hypercontractivité du semi-groupeassocié.Il estl’occasiond’uneintroductionauxnotionsdesemi-groupeet de géné-rateurinfinitésimalet définit en particulier l’hypothèsed’algèbrestandarden vigueurdansl’ensembledel’ouvrage.Le chapitresuivanttraitedespropriétésdestabilitéparproduitdesinégalitésdeSOBOLEV logarithmiques,àla sourcedesdéveloppementsendimensioninfinie.Il abordeégalementles questionsde perturbation.Cestrois chapitresévoquenten parallèlelespropriétéscorrespondantesdesinégalitésdetrouspectraloudePOINCARÉ. Le quatrièmechapitreprésentedesfamilles d’inégalitésfonctionnellesqui interpolententreinégalitésdeSOBOLEV logarithmiqueset inégalitésde SOBOLEV traditionnelles,ainsi quela traduction

PRÉFACE ix

decesdernièressurladécroissancedesnoyauxdetransitiondusemi-groupesousformed’ul-tracontractivité. Le chapitrecinq estentièrementconsacréaucritèredecourbure-dimension,qui constitueun outil efficacepour l’obtention d’inégalitésde SOBOLEV (classiqueset lo-garithmiques).Le chapitresuivant exposedescaractérisationsdesinégalitésde SOBOLEVlogarithmiqueset de POINCARÉ pourdesmesuressur la droite réelleà l’aide desinégalitésdeHARDY enanalyseclassique.Desexemplesd’applicationsillustrentl’efficacitédecescri-tères.Le chapitreseptétablitle lien entreinégalitédeSOBOLEV logarithmiqueetphénomènedeconcentrationdela mesureà l’aide del’argumentdeHERBST, qui produitdesmajorationsgaussiennesde la distribution desfonctionslipschitziennes.Les relationsrécentesentrein-égalitésde SOBOLEV logarithmiqueset de transportde la mesurefont l’objet du chapitrehuit, et fournissentégalementuneautreapprocheà la concentrationde la mesure.Le cha-pitre suivant étudiela vitessede convergencevers l’équilibre de chaînesde MARKOV surdesespacesfinis au moyendesconstantesde trou spectralet de SOBOLEV logarithmique.En particulier, cettedernièrepermet,parl’intermédiairedela propriétéd’hypercontractivité,d’atteindredesvitessesde convergenceoptimalesinaccessiblesen généralpar desproprié-tésspectrales.Enfin, le dernierchapitreestune lecturemodernede la notion d’entropieenthéoriede l’information et desesliensmultiplesavec la formeeuclidiennede l’inégalité deSOBOLEV logarithmiquegaussienne,faisantremontersagenèseaux travaux de SHANNONet STAM.

Le styledirectdel’ouvragemetvolontairementl’accentsurlesméthodeset lescaractéris-tiquesdesdiversespropriétésexaminées,plutôtquesurlescadresd’étudeslesplusgénéraux.La bibliographie,sansêtreencyclopédique,fait un point assezcompletsurle sujet,avecno-tammentlesdernièresréférencesenla matièresurchacundeschapitres.

Noussommestrèsheureuxde préfacer, avec cesquelqueslignes,cet ouvragevivant etplein defraîcheursurcethèmedesinégalitésde SOBOLEV logarithmiques.Il constitueuneintroduction,faciled’accèsetd’utilisation,utile à tout lecteursouhaitantdécouvrirou appro-fondir cesujet.

DominiqueBAKRY, Michel LEDOUX,

Toulouse,septembre2000.

TABLE DES MATIÈRES

Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1. L’exempledeslois de BERNOUL L I et de GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.Constantesoptimalespourla loi deBERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.Tensorisationdela varianceet del’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.Constantesoptimalespourla loi deGAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.Loi dePOISSON et énergiesmodifiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. SOBOL EV logarithmique et hypercontractivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.L’exempledel’espaceà deuxpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.L’exempledu semi-grouped’ORNSTEIN-UHLENBECK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.Définitionsgénérales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.InégalitédePOINCARÉ ou detrouspectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6.InégalitédeSOBOLEV logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7.Hypercontractivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.8.Le théorèmedeGROSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.9.Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.10.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Tensorisationet perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.Étudedela tensorisationdesinégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.Perturbationdesinégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

xiv TABLE DES MATIÈRES

3.6.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Familles d’inégalités fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.Cadred’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.InégalitésdeSOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.InégalitésdeSOBOLEV affaiblies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.Inégalitésentropie-énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6.Liensavecl’inégalité deSOBOLEV logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Le critère decourbure-dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.L’exempledu semi-grouped’ORNSTEIN-UHLENBECK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4.Courbureendimensioninfinie et inégalitéslocales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.5.Inégalitéspourla mesureréversibleetcritèresintégrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.6.Le casdela dimensionfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.7.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6. Inégalitéssur la droite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2.Présentationd’ingrédientsindispensables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3.InégalitédeSOBOLEV logarithmiquesur la droiteréelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.4.Applicationspratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7. Concentration de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2.La concentrationdela mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3.Concentrationvia le critèredecourbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.4.Concentrationet inégalitédeSOBOLEV logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5.L’argumentdeHERBST inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.6.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8. Inégalitésde SOBOL EV logarithmique et de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2.Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.3.Transportet concentrationgaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.4.Transportet inégalitédeSOBOLEV logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.5.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9. SOBOL EV logarithmique et chaînesde M ARK OV finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.2.Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.3.Estimationdela vitessedeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.4.Utilisation del’hypercontractivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

TABLE DES MATIÈRES xv

9.5.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10. Inégalitésentropiquesen théorie de l’inf ormation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.2.L’entropieenthéoriedel’information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.3.Versioneuclidiennedel’inégalité deSOBOLEV logarithmique . . . . . . . . . . . . . . 16710.4.AutourdesinégalitésdeSHANNON etdeBLACHMAN-STAM . . . . . . . . . . . . . . 16910.5.L’inégalitédeYOUNG etsesconséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17410.6.Principesd’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.7.Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

BIBLIOGRAPHIE

[ABdMBG87] W. AMREIN, A. BOUTET DE MONVEL-BERTHIER & V. GEORGESCU –« Hardy type inequalitiesfor abstractdifferential operators», Mem.Amer.Math.Soc.70 (1987),no.375,p. iv+119.

[AC79] R. A. ADAMS & F. H. CLARKE – « Gross’s logarithmicSobolev inequality:a simpleproof», Amer. J. Math.101(1979),no.6, p. 1265–1269.

[Aid98] S. A IDA – «Uniformpositivity improving property, Sobolev inequalities,andspectralgaps», J. Funct.Anal.158(1998),no.1, p. 152–185.

[AL00] C. ANÉ & M. LEDOUX – « On logarithmicSobolev inequalitiesfor conti-nous time random walks on graphs.», Probab. Theor. Relat. Fields 116(2000),no.4, p. 573–602.

[AMS94] S. A IDA , T. MASUDA & I. SHIGEKAWA – « LogarithmicSobolev inequali-tiesandexponentialintegrability », J. Funct.Anal.126 (1994),no. 1, p. 83–101.

[App96] D. APPLEBAUM – Probability and information, an integrated approach,CambridgeUniversityPress,Cambridge,1996.

[AS94] S. A IDA & D. STROOCK – « Momentestimatesderivedfrom PoincaréandlogarithmicSobolev inequalities», Math.Res.Lett.1 (1994),no.1,p. 75–86.

[Aub82] T. AUBIN – Nonlinear analysison manifolds.Monge-Ampère equations,Springer-Verlag,New York, 1982.

[Bak85] D. BAKRY – «TransformationsdeRieszpourlessemi-groupessymétriques.II. Étudesousla conditionΓ2

�0»,Séminairedeprobabilités,XIX, 1983/84,

LectureNotesin Math.,vol. 1123,Springer, Berlin, 1985,p. 145–174.

[Bak87] D. BAKRY – « ÉtudedestransformationsdeRieszdanslesvariétésrieman-niennesà courburedeRicci minorée», SéminairedeProbabilités,XXI, Lec-tureNotesin Math.,vol. 1247,Springer, Berlin, 1987,p. 137–172.

[Bak88] , «Lapropriétédesous-harmonicitédesdiffusionsdanslesvariétés»,SéminairedeProbabilités,XXII, LectureNotesin Math.,vol. 1321,Springer,Berlin, 1988,p. 1–50.

186 BIBLIOGRAPHIE

[Bak91a] , « Inégalitésde Sobolev faibles:un critèreΓ2 », Séminairede Pro-babilités,XXV, LectureNotesin Math., vol. 1485,Springer, Berlin, 1991,p. 234–261.

[Bak91b] , « WeakSobolev inequalities», Stochasticanalysisandapplications(Lisbon,1989),BirkhäuserBoston,Boston,MA, 1991,p. 63–81.

[Bak94] , « L’hypercontractivité et son utilisation en théorie des semi-groupes», Lectureson probability theory. Écoled’étédeprobabilitésdeSt-Flour 1992,LectureNotesin Math.,vol. 1581,Springer, Berlin, 1994,p. 1–114.

[Bak97] D. BAKRY – « OnSobolev andlogarithmicSobolev inequalitiesfor Markovsemigroups»,New trendsin stochasticanalysis(Charingworth,1994)(RiverEdge,NJ),Taniguchisymposium,World Sci.Publishing,1997,p. 43–75.

[Bar94] G. BARLES – Solutionsde viscositédes équationsde Hamilton-Jacobi,Springer-Verlag,Paris,1994.

[BCL97] D. BAKRY, D. CONCORDET & M. LEDOUX – « OptimalheatkernelboundsunderlogarithmicSobolev inequalities», ESAIMProbab. Statist.1 (1997),p. 391–407(electronic).

[BCLSC95] D. BAKRY, T. COULHON, M. LEDOUX & L. SALOFF-COSTE – « Sobolevinequalitiesin disguise», Indiana Univ. Math. J. 44 (1995),no. 4, p. 1033–1074.

[BE84] D. BAKRY & M. EMERY – « Hypercontractivité de semi-groupesde diffu-sion», C. R.Acad.Sci.Paris Sér. I Math.299(1984),no.15,p. 775–778.

[BE85] D. BAKRY & M. EMERY – « Dif fusionshypercontractives», Séminairedeprobabilités,XIX, 1983/84,Springer, Berlin, 1985,p. 177–206.

[Bec75] W. BECKNER – « Inequalitiesin Fourieranalysis», Ann.of Math. (2) 102(1975),no.1, p. 159–182.

[Bec89] , « A generalizedPoincaréinequalityfor Gaussianmeasures», Proc.Amer. Math.Soc.105(1989),no.2, p. 397–400.

[Bec92] , « Sobolev inequalities,the Poissonsemigroup,andanalysison thesphereSn », Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A.89 (1992),no.11,p. 4816–4819.

[Bec95] , «Pitt’sinequalityandtheuncertaintyprinciple»,Proc.Amer. Math.Soc.123(1995),no.6, p. 1897–1905.

[Bec99] , « GeometricasymptoticsandthelogarithmicSobolev inequality»,ForumMath.11 (1999),no.1, p. 105–137.

[Ber74] E. R. BERLEKAMP (éd.)– Key papersin thedevelopmentof codingtheory,IEEE Press[Institute of Electrical and ElectronicsEngineers,Inc.], NewYork, 1974,IEEEPressSelectedReprintSeries.

[Ber77] M. BERGER – Géométrie. Vol. 5, CEDIC, Paris,1977,La sphèrepourelle-même,géométriehyperbolique,l’espacedessphères.

BIBLIOGRAPHIE 187

[BG99] S. G. BOBKOV & F. GÖTZE – «Exponentialintegrability andtransportationcostrelatedto logarithmicSobolev inequalities», J. Funct.Anal.163(1999),no.1, p. 1–28.

[BGL00] S. BOBKOV, I . GENTIL & M. LEDOUX – « Hypercontractivity of Hamilton-Jacobiequations», àparaîtrein J.Math.Pu.Appli., 2000.

[BH99] T. BODINEAU & B. HELFFER – «Thelog-Sobolev inequalityfor unboundedspinsystems», J. Funct.Anal.166(1999),no.1, p. 168–178.

[BJS90] M. S. BAZARAA , J. J. JARVIS & H. D. SHERALI – Linear programmingandnetworkflows, secondéd.,JohnWiley & SonsInc.,New York, 1990.

[BL76a] H. J. BRASCAMP & E. H. L IEB – « Bestconstantsin Young’sinequality, itsconverse,andits generalizationto morethanthreefunctions»,Adv. Math.20(1976),no.2, p. 151–173.

[BL76b] , « On extensionsof the Brunn-Minkowski and Prékopa-Leindlertheorems,includinginequalitiesfor log concave functions,andwith anappli-cationto thediffusionequation»,J. Funct.Anal.22(1976),no.4,p.366–389.

[BL96] D. BAKRY & M. LEDOUX – « Lévy-Gromov’s isoperimetricinequalityforaninfinite-dimensionaldiffusiongenerator», Invent.Math.123(1996),no.2,p. 259–281.

[BL97] S. BOBKOV & M. LEDOUX – « Poincare’s inequalitiesand Talagrand’sconcentrationphenomenonfor theexponentialdistribution.»,Probab. Theor.Relat.Fields107(1997),no.3, p. 383–400(English).

[BL98] S. BOBKOV & M. LEDOUX – « On modifiedlogarithmicSobolev inequali-tiesfor Bernoulli andPoissonmeasures.», J. Funct.Anal.156(1998),no.2,p. 347–365(English).

[BL99] S. G. BOBKOV & M. LEDOUX – « From Brunn-Minkowski to Brascamp-Lieb and to logarithmicSobolev inequalities», à paraîtrein Geom.Funct.Anal., 1999.

[Bla65] N. M. BLACHMAN – « The convolution inequality for entropypowers»,IEEE Trans.InformationTheoryIT-11 (1965),p. 267–271.

[BM97] L. BIRGÉ & P. MASSART – «Frommodelselectionto adaptiveestimation»,Festschriftfor LucienLe Cam,Springer, New York, 1997,p. 55–87.

[BM98] , « Minimum contrastestimatorson sieves:exponentialboundsandratesof convergence», Bernoulli4 (1998),no.3, p. 329–375.

[Bob97] S. G. BOBKOV – « An isoperimetricinequality on the discretecube,andan elementaryproof of the isoperimetricinequality in Gaussspace», Ann.Probab. 25 (1997),no.1, p. 206–214.

[Bon71] A. BONAMI – « ÉtudedescoefficientsdeFourierdesfonctionsdeLp�G� »,

Ann.Inst.Fourier (Grenoble)20 (1971),no.2, p. 335–402.

[Bor79] C. BORELL – « On the integrability of BanachspacevaluedWalsh poly-nomials», Séminairede Probabilités,XIII (Univ. Strasbourg, Strasbourg,1977/78),LectureNotesin Math.,Springer, Berlin, 1979,p. 1–3.

188 BIBLIOGRAPHIE

[Bré83] H. BRÉZIS – Analysefonctionnelle, Masson,Paris,1983,Théorieetapplica-tions.

[Bre91] Y. BRENIER – « Polarfactorizationandmonotonerearrangementof vector-valuedfunctions», Comm.Pure Appl.Math.44 (1991),no.4, p. 375–417.

[Bri64] L. BRILLOUIN – Scientificuncertainty, and information, AcademicPress,New York, 1964.

[Caf96a] L. A. CAFFARELLI – « Boundaryregularity of mapswith convex potentials.II », Ann.of Math.(2) 144(1996),no.3, p. 453–496.

[Caf96b] , « A priori estimatesandthegeometryof theMongeAmpèreequa-tion », Nonlinearpartialdifferentialequationsin differentialgeometry(ParkCity, UT, 1992),Amer. Math.Soc.,Providence,RI, 1996,p. 5–63.

[Car79] R. CARMONA – « Regularity propertiesof SchrödingerandDirichlet semi-groups», J. Funct.Anal.33 (1979),no.3, p. 259–296.

[Car91] E. A. CARLEN – « Super-additivity of Fisher’s informationandlogarithmicSobolev inequalities», J. Funct.Anal.101(1991),no.1, p. 194–211.

[Ces00] F. CESI – « Quasi-factorizationof the entropyand logarithmicsobolev in-equalitiesfor gibbs randomfields», à parraîtrein Probab. Theor. Relat.Fields,2000.

[CGG89] T. M. COVER, P. GÁCS & R. M. GRAY – « Kolmogorov’scontributionstoinformation theory andalgorithmiccomplexity », Ann. Probab. 17 (1989),no.3, p. 840–865.

[Cha93] I . CHAVEL – Riemanniangeometry, a modernintroduction, CambridgeUni-versityPress,Cambridge,1993.

[CHK82] H. M. CHUNG, R. A. HUNT & D. S. KURTZ – « The Hardy Littlewoodmaximal functionon L

�p � q� spaceswith weights», Indiana Univ. Math. J.

31 (1982),no.1, p. 109–120.

[CKS87] E. A. CARLEN, S. KUSUOKA & D. W. STROOCK – « Upper boundsforsymmetricMarkov transitionfunctions»,Ann.Inst.H. PoincaréProbab. Sta-tist. 23 (1987),no.2, suppl.,p. 245–287.

[CL90] E. A. CARLEN & M. LOSS – « Extremalsof functionalswith competingsymmetries», J. Funct.Anal.88 (1990),no.2, p. 437–456.

[CM00] N. CANCRINI & F. MARTINELLI – « On the spectralgapof Kawasakidy-namicsundera mixing conditionrevisited», J. Math.Phys.41 (2000),no.3,p. 1391–1423,Probabilistictechniquesin equilibrium and nonequilibriumstatisticalphysics.

[CMR00] N. CANCRINI , F. MARTINELLI & C. ROBERTO – « On thelogarithmicSo-bolev inequalityfor Kawasakidynamicsunderamixing conditionrevisited»,prépublication,2000.

[CT91] T. M. COVER & J. A. THOMAS – Elementsof information theory, JohnWiley & SonsInc.,New York, 1991,A Wiley-IntersciencePublication.

BIBLIOGRAPHIE 189

[Dav83] E. B. DAVIES – « Hypercontractive and related boundsfor double wellSchrödingerHamiltonians», Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 34 (1983),no.136,p. 407–421.

[Dav90] , Heat kernelsand spectral theory, CambridgeUniversity Press,Cambridge,1990.

[Dav99] , « A review of Hardyinequalities», TheMaz% ya anniversarycollec-tion, Vol. 2 (Rostock,1998),Birkhäuser, Basel,1999,p. 55–67.

[DCD82] D. DACUNHA-CASTELLE & M. DUFLO – Probabilitésetstatistiques.Tome1, Masson,Paris,1982,Problèmesà tempsfixe.

[DCT91] A. DEMBO, T. M. COVER & J. A. THOMAS – « Information-theoreticin-equalities», IEEE Trans.Inform.Theory37 (1991),no.6, p. 1501–1518.

[Dem90] A. DEMBO – « Informationinequalitiesanduncertaintyprinciples», Tech.Rep.,Dept.of Statist.,StanfordUniv., 1990.

[Dia88] P. DIACONIS – Grouprepresentationsin probability andstatistics, Instituteof MathematicalStatistics,Hayward,CA, 1988.

[DL84] R. DAUTRAY & J.-L. L IONS – Analysemathématiqueet calcul numériquepour les scienceset les techniques, vol. 1, Masson,Paris, 1984, with thecollaborationof M. ARTOLA, M. AUTHIER, Ph.BÉNILAN, M. CESSENAT,J.-M. COMBES, A. GERVAT, H. LANCHON, B. MERCIER, C. WILD, andC. ZUILY.

[DM75] C. DELLACHERIE & P.-A. MEYER – Probabilitéset potentiel, Hermann,Paris,1975,ChapitresI à IV, Édition entièrementrefondue,Publicationsdel’Institut deMathématiquedel’Uni versitédeStrasbourg, No. XV, ActualitésScientifiqueset Industrielles,No. 1372.

[DS84] E. B. DAVIES & B. SIMON – « Ultracontractivity and the heatkernel forSchrödingeroperatorsandDirichlet Laplacians», J. Funct.Anal.59 (1984),no.2, p. 335–395.

[DS86] P. DIACONIS & M. SHAHSHAHANI – «Productsof randommatricesastheyarisein the studyof randomwalkson groups», Randommatricesandtheirapplications(Brunswick,Maine,1984),Amer. Math. Soc.,Providence,R.I.,1986,p. 183–195.

[DS89] J.-D. DEUSCHEL & D. W. STROOCK – Large deviations, AcademicPressInc.,Boston,MA, 1989.

[DSC95] P. DIACONIS & L. SALOFF-COSTE – « Randomwalks on finite groups:asurvey of analytictechniques», Probabilitymeasureson groupsandrelatedstructures,XI (Oberwolfach,1994),World Sci. Publishing,River Edge,NJ,1995,p. 44–75.

[DSC96a] , « LogarithmicSobolev inequalitiesfor finite Markov chains», Ann.Appl.Probab. 6 (1996),no.3, p. 695–750.

[DSC96b] , « Nashinequalitiesfor finite Markov chains», J. Theor. Probab. 9(1996),no.2, p. 459–510.

190 BIBLIOGRAPHIE

[DSC96c] , «Walksongeneratingsetsof abeliangroups»,Probab. Theor. Relat.Fields105(1996),no.3, p. 393–421.

[DSC98a] , « Walks on generatingsetsof groups», Invent.Math. 134 (1998),p. 251–299.

[DSC98b] , « Whatdo we know abouttheMetropolisalgorithm?», J. Comput.SystemSci.57 (1998),no.1,p. 20–36,27thAnnualACM SymposiumontheTheoryof Computing(STOC’95) (LasVegas,NV).

[Dud89] R. M. DUDLEY – Realanalysisandprobability,Wadsworth& Brooks/ ColeAdvancedBooks& Software,Pacific Grove,CA, 1989.

[DV00a] L. DESVILLETTES & C. V ILLANI – « On the spatiallyhomogeneousLan-dauequationfor hardpotentials.I. Existence,uniquenessandsmoothness»,Comm.Partial DifferentialEquations25 (2000),no.1-2,p. 179–259.

[DV00b] , « On the spatiallyhomogeneousLandauequationfor hard poten-tials. II. H-theoremandapplications», Comm.Partial DifferentialEquations25 (2000),no.1-2,p. 261–298.

[Dvo61] A. DVORETZKY – « Someresultson convex bodiesandBANACH spaces»,Proc.Symp.onLinear Spaces(Jerusalem),1961,p. 123–160.

[DZ98] A. DEMBO & O. ZEITOUNI – Largedeviationstechniquesandapplications,2èmeéd.,Springer-Verlag,New York, 1998.

[Eck74] J.-P. ECKMANN – « Hypercontractivity for anharmonicoscillators», J.Funct.Anal.16 (1974),p. 388–404,With anappendixby D. Pearson.

[EE90] P. EHRENFEST & T. EHRENFEST – Theconceptualfoundationsof thestatis-tical approach in mechanics, englishéd.,DoverPublicationsInc.,New York,1990,Traduit de l’allemandpar Michael J. Moravcsik, avec unepréfacedeM. KacandG. E. Uhlenbeck.

[EHP95] W. D. EVANS, D. J. HARRIS & L. PICK – « WeightedHardyandPoincaréinequalitiesontrees», J. LondonMath.Soc.(2) 52(1995),no.1,p.121–136.

[Epp89] J. B. EPPERSON – « Thehypercontractive approachto exactly boundinganoperatorwith complex Gaussiankernel», J. Funct.Anal. 87 (1989),no. 1,p. 1–30.

[Eva98] L. C. EVANS – Partial differential equations, AmericanMathematicalSo-ciety, Providence,RI, 1998.

[Fan61] R. M. FANO – Transmissionof information: A statisticaltheoryof commu-nications., TheM.I.T. Press,Cambridge,Mass.,1961.

[Far75] W. G. FARIS – « ProductspacesandNelson’s inequality», Helv. Phys.Acta48 (1975),no.5/6,p. 721–730(1976).

[Fed69] P. FEDERBUSH – « A partially alternatederivationof a resultof Nelson», J.Math.Phys.10 (1969),p. 50–52.

[Fei58] A. FEINSTEIN – Foundationsof informationtheory, McGraw-Hill ElectricalandElectronicEngineeringSeries.McGraw-Hill Book Co.,Inc.,New York-Toronto-London,1958.

BIBLIOGRAPHIE 191

[Fil91] J. FILL – « Eigenvalueboundson convergenceto stationarityfor nonrever-sible Markov chains,with an applicationto the exclusion process», Ann.Appl.Probab. 1 (1991),no.1, p. 62–87.

[Fis22] A. FISHER, R. – «Onthemathematicalfoundationsof theoreticalstatistics»,Philos.Trans.Roy. Soc.Ann.Probab., London,Sec.A (1922),no.222,p.309–368.

[Fis25] , « Theoryof statisticalestimation», Proc. CambridgePhil. Society(1925),no.22,p. 700–725.

[FS98] H. G. FEICHTINGER & T. STROHMER (éds.)– Gabor analysisand algo-rithms, BirkhäuserBostonInc.,Boston,MA, 1998,Theoryandapplications.

[Geo88] H.-O. GEORGII – Gibbsmeasuresandphasetransitions, WalterdeGruyter& Co.,Berlin, 1988.

[GHL90] S. GALLOT, D. HULIN & J. LAFONTAINE – Riemanniangeometry, 2èmeéd.,Springer-Verlag,Berlin, 1990.

[Gli68] J. GLIMM – « Bosonfieldswith the: Φ4 : interactionin threedimensions»,Comm.Math.Phys.10 (1968),p. 1–47.

[GM83] M. GROMOV & V. D. M ILMAN – « A topologicalapplicationof theisoperi-metric inequality», Amer. J. Math.105(1983),no.4, p. 843–854.

[GM96] W. GANGBO & R. J. MCCANN – «Thegeometryof optimaltransportation»,ActaMath.177(1996),no.2, p. 113–161.

[GR98] L. GROSS & O. ROTHAUS – « Herbstinequalitiesfor supercontractivesemi-groups», J. Math.KyotoUniv. 38 (1998),no.2, p. 295–318.

[GR00] I . GENTIL & C. ROBERTO – « Spectralgapsfor spin systems:somenon-convex phaseexamples», àparaîtrein J.Func.Anal., 2000.

[Gra90] R. M. GRAY – Entropyandinformationtheory, Springer-Verlag,New York,1990.

[Gro75] L. GROSS – « LogarithmicSobolev inequalities», Amer. J. Math.97 (1975),no.4, p. 1061–1083.

[Gro93] , « LogarithmicSobolev inequalitiesandcontractivity propertiesofsemigroups»,Dirichlet forms(Varenna,1992),Springer, Berlin,1993,p.54–88.

[GT83] D. GILBARG & N. S. TRUDINGER – Elliptic partial differential equationsof secondorder, secondéd.,Springer-Verlag,Berlin, 1983.

[GZ00] A. GUIONNET & B. ZEGARLIŃSKI – « Lectureson logarithmicSobolev in-equalities», prépublication,2000.

[Har28] V. HARTLEY, R. – « Transmissionof information», Bell Sys.Tech. J. (1928),no.7, p. 535.

[Heb97] E. HEBEY – Introductionà l’analysenon-linéaire sur lesvariétés, Diderot,1997.

192 BIBLIOGRAPHIE

[Heb99] , Nonlinearanalysison manifolds:Sobolev spacesand inequalities,New York UniversityCourantInstituteof MathematicalSciences,New York,1999.

[Hel98] B. HELFFER – « Semi-classicalanalysisandstatisticalmechanics», CoursPost-DEA,UniversitéPaul SabatierdeToulouse,1998.

[Hir57] I . I . HIRSCHMAN, JR. – « A noteon entropy», Amer. J. Math. 79 (1957),p. 152–156.

[HL48] G. H. HARDY & J. E. L ITTLEWOOD – Inequalities, Gosudarstv. Izdat. In-ostr. Lit., Moscow, 1948.

[HS87] R. HOLLEY & D. STROOCK – « LogarithmicSobolev inequalitiesandsto-chasticIsingmodels», J. Statist.Phys.46 (1987),no.5-6,p. 1159–1194.

[HS89] , « Uniform andL2 convergencein one-dimensionalstochasticIsingmodels», Comm.Math.Phys.123(1989),no.1, p. 85–93.

[Hsu99] E. P. HSU – « Analysis on pathand loop spaces», Probability theoryandapplications(Princeton,NJ,1996),Amer. Math.Soc.,Providence,RI, 1999,p. 277–347.

[Hu00] Y. HU – « A unifiedapproachto several inequalitiesfor Gaussiananddiffu-sionmeasures», SeminairedeProbabilités,XXXIV , LectureNotesin Math.,Springer, Berlin, 2000,p. 329–335.

[HY95] Y. HIGUCHI & N. YOSHIDA – «Analytic conditionsandphasetransitionforIsing models», notesenjaponais,nonpubliées,1995.

[Ili83] S. ILIAS – « Constantesexplicitespour les inégalitésdeSobolev sur lesva-riétésriemanniennescompactes», Ann. Inst. Fourier (Grenoble)33 (1983),no.2, p. 151–165.

[Jan97] S. JANSON – GaussianHilbert spaces, CambridgeUniversity Press,Cam-bridge,1997.

[Jay83] E. T. JAYNES – Paperson probability, statisticsand statisticalphysics, D.ReidelPublishingCo.,Dordrecht,1983,Editedandwith an introductionbyR. D. Rosenkrantz.

[Jay89] , E. T.Jaynes:papersonprobability, statisticsandstatisticalphysics,Kluwer AcademicPublishersGroup,Dordrecht,1989,Retiragede l’éditionoriginalede1983,avecuneintroductiondeR. D. Rosenkrantz.

[Juš74] A. A. JUŠKEVIČ – Onthehistoryof theconceptsof entropyandinformation(an anticipationof theideasof C. Shannon), Izdat.“Nauka”, Moscow, 1974.

[KA82] L. V. KANTOROVICH & G. P. AKILOV – Functional analysis, 2èmeéd.,PergamonPress,Oxford,1982,Traduitdu russeparHowardL. Silcock.

[Kat76] T. KATO – Perturbation theoryfor linear operators, secondéd.,Springer-Verlag, Berlin, 1976, Grundlehrender MathematischenWissenschaften,Band132.

BIBLIOGRAPHIE 193

[Kem83] J. H. B. KEMPERMAN – «On therole of duality in thetheoryof moments»,Semi-infiniteprogrammingandapplications(Austin, Tex., 1981),Springer,Berlin, 1983,p. 63–92.

[Khi57] A. I . KHINCHIN – Mathematicalfoundationsof informationtheory, DoverPublicationsInc., New York, N. Y., 1957,Traductionde R. A. SilvermanetM. D. Friedman.

[KKK87] S. KULLBACK , J. C. KEEGEL & J. H. KULLBACK – Topics in statisticalinformationtheory, Springer-Verlag,Berlin, 1987.

[KKR93] O. KAVIAN, G. KERKYACHARIAN & B. ROYNETTE – « Quelquesre-marquessur l’ultracontractivité», J. Funct.Anal. 111 (1993),no. 1, p. 155–196.

[KR58] L. V. KANTOROVIČ & G. Š. RUBINŠTEĬN – « On a spaceof completelyadditive functions», VestnikLeningrad.Univ. 13 (1958),no.7, p. 52–59.

[KS60] J. KEMENY & J. SNELL – Finite Markovchains, D. VanNostrandCo.,Inc.,Princeton,N.J.-Toronto-London-New York, 1960,The University SeriesinUndergraduateMathematics.

[KS84] M. KNOTT & C. S. SMITH – « On theoptimalmappingof distributions», J.Optim.TheoryAppl.43 (1984),no.1, p. 39–49.

[Kul97] S. KULLBACK – Informationtheoryandstatistics, Dover PublicationsInc.,Mineola,NY, 1997,Retiragedela secondeéditionde1968.

[Kun69] H. KUNITA – « Absolutecontinuity of Markov processesandgenerators»,NagoyaMath.J. 36 (1969),p. 1–26.

[Led92] M. LEDOUX – « On an integral criterion for hypercontractivity of diffu-sionsemigroupsandextremalfunctions», J. Funct.Anal.105(1992),no.2,p. 444–465.

[Led96] M. LEDOUX – « IsoperimetryandGaussiananalysis», Lectureson probabi-lity theoryandstatistics.Écoled’étédeprobabilitésdeSt-Flour1994,LectureNotesin Math.,vol. 1648,Springer, Berlin, 1996,p. 165–294.

[Led97] , « On Talagrand’s deviation inequalitiesfor product measures»,ESAIMProbab. Statist.1 (1995-1997),p. 63–87(electronic).

[Led99] , « Concentrationof measureandlogarithmicSobolev inequalities»,SéminairedeProbabilités,XXXIII, LectureNotesin Math.,Springer, Berlin,1999,p. 120–216.

[Led00a] M. LEDOUX – « Thegeometryof Markov diffusiongenerators.Zürich,Nov.1998», à paraîtrein Ann. Fac.Sci.ToulouseMath.,2000.

[Led00b] , « LogarithmicSobolev inequalitiesfor unboundedspinsystemsre-visited», à paraîtrein Séminairede probabilités,LectureNotes in Math.,Springer, 2000.

[Lie78] E. H. L IEB – « Proof of an entropyconjectureof Wehrl », Comm.Math.Phys.62 (1978),no.1, p. 35–41.

194 BIBLIOGRAPHIE

[Lie90] , « Gaussiankernelshave only Gaussianmaximizers», Invent.Math.102(1990),no.1, p. 179–208.

[LO99] R. LATAŁA & K. OLESZKIEWICZ – « InterpolationbetweenlogarithmicSo-bolev andPoincaréinequalities», prépublication,1999.

[LT91] M. LEDOUX & M. TALAGRAND – Probability in Banach spaces,isoperime-try andprocesses, Springer-Verlag,Berlin, 1991.

[Mal78] P. MALLIAVIN – « Stochasticcalculusof variationandhypoelliptic opera-tors», Proceedingsof the InternationalSymposiumon StochasticDifferen-tial Equations(Res.Inst.Math.Sci.,KyotoUniv., Kyoto,1976)(New York),Wiley, 1978,p. 195–263.

[Mar86] K. MARTON – « A simpleproof of the blowing-up lemma», IEEE Trans.Inform.Theory32 (1986),no.3, p. 445–446.

[Mar96] , « Boundingd-distanceby informationaldivergence:a methodtoprove measureconcentration», Ann.Probab. 24 (1996),no.2, p. 857–866.

[Mar99] F. MARTINELLI – «LecturesonGlauberdynamicsfor discretespinmodels»,Lectureson probability theoryandstatistics.Écoled’été de probabilitésdeSt-Flour 1997,LectureNotes in Math., vol. 1717,Springer, Berlin, 1999,p. 93–191.

[Maz85] V. G. MAZ’ JA – Sobolev spaces, Springer-Verlag,Berlin, 1985,TraduitdurusseparT. O. Shaposhnikova.

[McC95] R. J. MCCANN – « Existence and uniquenessof monotonemeasure-preservingmaps», DukeMath.J. 80 (1995),no.2, p. 309–323.

[McK73] H. P. MCKEAN – « Geometryof differentialspace», Ann.Probab. 1 (1973),p. 197–206.

[ME81] N. F. MARTIN & J. W. ENGLAND – « Mathematicaltheoryof entropy. Fo-rewordby JamesK. Brooks»,Encyclopediaof Mathematicsandits Applica-tions,vol. 12,Addison-Wesley PublishingCompany, 1981.

[Mey82] P.-A. MEYER – « Notesurlesprocessusd’OrnsteinUhlenbeck», SéminairedeProbabilités,XVI, LectureNotesin Math.,Springer, Berlin, 1982,p. 95–133.

[Mic97] L. M ICLO – « Remarquessur l’hypercontractivité et l’évolution de l’entro-pie pour deschaînesde Markov finies», Séminairede ProbabilitésXXXI,LectureNotesin Math.,vol. 1655,Springer, Berlin, 1997,p. 136–167.

[Mic99a] , « An exampleof applicationof discreteHardy’sinequalities»,Mar-kovProcess.RelatedFields5 (1999),p. 319–330.

[Mic99b] , « Relationsentreisopérimetrieet trou spectralpour les chaînesdeMarkov finies», Probab. Theor. Relat.Fields114(1999),p. 431–485.

[Mic99c] L. M ICLO – « Une majorationsous-exponentiellepour la convergencedel’entropie deschaînesde Markov à trou spectral», Ann. Inst. H. PoincaréProbab. Statist.35 (1999),no.3, p. 261–311.

BIBLIOGRAPHIE 195

[Mil71] V. D. M ILMAN – «A new proofof A. Dvoretzky’stheoremoncross-sectionsof convex bodies», Funkcional.Anal. i Priložen.5 (1971),no.4, p. 28–37.

[Mil92] , « Dvoretzky’s theorem—thirtyyearslater», Geom.Funct.Anal. 2(1992),no.4, p. 455–479.

[Mok89] G. MOKOBODZKI – « L’opérateurcarrédu champ:un contre-exemple», Sé-minairedeProbabilités,XXIII, Springer, Berlin, 1989,p. 324–325.

[Mon81] G. MONGE – Mémoiresur la théoriedesdéblaisetdesremblais, Histoiredel’académiedessciencesdeParis,1781.

[MS86] V. D. M ILMAN & G. SCHECHTMAN – Asymptotic theory of finite-dimensionalnormedspaces, Springer-Verlag,Berlin,1986,With anappendixby M. Gromov.

[Muc72] B. MUCKENHOUPT – « Hardy’s inequalitywith weights», StudiaMath. 44(1972),p. 31–38,collectionof articleshonoringthe completionby AntoniZygmundof 50 yearsof scientificactivity, I .

[MW82] C. E. MUELLER & F. B. WEISSLER – « Hypercontractivity for theheatse-migroupfor ultrasphericalpolynomialsandonthen-sphere»,J. Funct.Anal.48 (1982),no.2, p. 252–283.

[Nas58] J. NASH – « Continuity of solutionsof parabolicand elliptic equations»,Amer. J. Math.80 (1958),p. 931–954.

[Nel66] E. NELSON – « A quartic interactionin two dimensions», MathematicalTheoryof ElementaryParticles(Proc.Conf.,Dedham,Mass.,1965),M.I.T.Press,Cambridge,Mass.,1966,p. 69–73.

[Nel73a] , « ThefreeMarkoff field », J. Funct.Anal.12 (1973),p. 211–227.

[Nel73b] , «Probabilitytheoryandeuclidianfield theory»,Constructivequan-tum field theory. The 1973“Ettore Majorana” InternationalSchoolof Ma-thematicalPhysics,Erice(Sicily), 26 July–5August1973,LectureNotesinPhysics.,vol. 25,Springer-Verlag,Berlin, 1973.

[Nel91] M. NELSON – Thedatacompressionbook, M&T Publisher. Inc., 1991.

[Nev76] J. NEVEU – « Sur l’espéranceconditionnellepar rapportà un mouvementbrownien», Ann. Inst. H. PoincaréSect.B (N.S.)12 (1976),no. 2, p. 105–109.

[Nyq24] H. NYQUIST – « Certainfactorsaffecting telegraphspeed», Bell Sys.Tech.J. (1924),no.3, p. 324.

[OV00] F. OTTO & C. V ILLANI –«Generalizationof aninequalitybyTalagrand,andlinks with the logarithmicSobolev inequality», J. Funct.Anal. 173 (2000),no.2, p. 361–400.

[Pin64] M. S. PINSKER – Informationandinformationstabilityof randomvariablesand processes, Holden-DayInc., San Francisco,Calif., 1964, Traduit parAmiel Feinstein.

[Por96a] U. POROD – « Thecut-off phenomenonfor randomreflections», Ann.Pro-bab. 24 (1996),no.1, p. 74–96.

196 BIBLIOGRAPHIE

[Por96b] , « Thecut-off phenomenonfor randomreflections.II. Complex andquaternioniccases», Probab. Theor. Relat.Fields104 (1996),no.2, p. 181–209.

[Rac84] S. T. RACHEV – « TheMonge-Kantorovich problemonmasstransferanditsapplicationsin stochastics», Teor. Veroyatnost.i Primenen.29 (1984),no.4,p. 625–653.

[Rac91] S. T. RACHEV – Probability metricsand the stability of stochasticmodels,JohnWiley & SonsLtd., Chichester, 1991.

[Rom92] S. ROMAN – Codingand information theory, Springer-Verlag,New York,1992.

[Rom97] , Introduction to coding and information theory, Springer-Verlag,New York, 1997.

[Ros76] J. ROSEN – «Sobolev inequalitiesfor weightspacesandsupercontractivity »,Trans.Amer. Math.Soc.222(1976),p. 367–376.

[Ros94] J. ROSENTHAL – « Randomrotations:charactersand random walks onSO�N � », Ann.Probab. 22 (1994),no.1, p. 398–423.

[Ros96] , « Markov chain convergence:from finite to infinite », StochasticProcess.Appl.62 (1996),no.1, p. 55–72.

[Rot76] J.-P. ROTH – « Opérateursdissipatifset semi-groupesdansles espacesdefonctionscontinues», Ann. Inst. Fourier (Grenoble)26 (1976),no. 4, p. ix,1–97.

[Rot78] O. S. ROTHAUS– «Lowerboundsfor eigenvaluesof regularSturm-LiouvilleoperatorsandthelogarithmicSobolev inequality», DukeMath.J. 45 (1978),no.2, p. 351–362.

[Rot81] , « Dif fusionon compactRiemannianmanifoldsandlogarithmicSo-bolev inequalities», J. Funct.Anal.42 (1981),no.1, p. 102–109.

[Rot85] , « Analytic inequalities,isoperimetricinequalitiesand logarithmicSobolev inequalities», J. Funct.Anal.64 (1985),no.2, p. 296–313.

[Rot86] , «Hypercontractivity andtheBakry-Emerycriterionfor compactLiegroups», J. Funct.Anal.65 (1986),no.3, p. 358–367.

[Roy99] G. ROYER – Uneinitiation auxinégalitésdeSobolev logarithmiques,SociétéMathématiquedeFrance,Paris,1999.

[RR91] M. M. RAO & Z. D. REN – Theoryof Orlicz spaces, Marcel DekkerInc.,New York, 1991.

[RR98a] S. T. RACHEV & L. RÜSCHENDORF – Masstransportationproblems.Vol.I, Springer-Verlag,New York, 1998,Theory.

[RR98b] , Masstransportationproblems.Vol. II , Springer-Verlag,New York,1998,Applications.

[Saw84] E. SAWYER – « WeightedLebesgueandLorentznorm inequalitiesfor theHardyoperator», Trans.Amer. Math.Soc.281(1984),no.1, p. 329–337.

BIBLIOGRAPHIE 197

[SC94a] L. SALOFF-COSTE – « Convergenceto equilibriumandlogarithmicSobolevconstanton manifoldswith Ricci curvatureboundedbelow », Colloq. Math.67 (1994),no.1, p. 109–121.

[SC94b] , « Preciseestimateson the rateat which certaindiffusionstend toequilibrium», Math.Z. 217(1994),no.4, p. 641–677.

[SC97] , «Lecturesonfinite Markov chains», Lecturesonprobabilitytheoryandstatistics.Écoled’étédeprobabilitésdeSt-Flour1996,LectureNotesinMath.,vol. 1665,Springer, Berlin, 1997,p. 301–413.

[Sch98] M. SCHMUCKENSCHLÄGER – «Martingales,Poincarétypeinequalities,anddeviation inequalities», J. Funct.Anal.155(1998),no.2, p. 303–323.

[Seg70] I . SEGAL – « Constructionof non-linearlocal quantumprocesses.I », Ann.of Math.(2) 92 (1970),p. 462–481.

[Sha48] C. E. SHANNON – «A mathematicaltheoryof communication»,Bell SystemTech. J. 27 (1948),p. 379–423,623–656.

[SHK72] B. SIMON & R. HØEGH-KROHN – « Hypercontractive semigroupsandtwodimensionalself-coupledBosefields», J. Funct.Anal.9 (1972),p. 121–180.

[Sle74] D. SLEPIAN (éd.) – Key papersin the developmentof informationtheory,IEEE Press[Institute of Electrical and ElectronicsEngineers,Inc.], NewYork, 1974,IEEEPressSelectedReprintSeries.

[Sob63] S. L. SOBOLEV – Applicationsof functionalanalysisin mathematicalphy-sics, American MathematicalSociety, Providence,R.I., 1963, Traduit durusseparF. E. Browder. Translationsof MathematicalMonographs,Vol. 7.

[Sta59] A. J. STAM – « Someinequalitiessatisfiedby the quantitiesof informationof FisherandShannon», InformationandControl 2 (1959),p. 101–112.

[Sto88] J. STORER – Data compression.Methodsand theory, ComputerSciencePress,1988.

[Str81a] D. W. STROOCK – « The Malliavin calculusandits applicationto secondorderparabolicdifferentialequations.I », Math. SystemsTheory14 (1981),no.1, p. 25–65.

[Str81b] , «TheMalliavin calculusandits applicationto secondorderparabo-lic differentialequations.II »,Math.SystemsTheory14(1981),no.2,p.141–171.

[Str93a] , « Logarithmic Sobolev inequalitiesfor Gibbs states», Dirichletforms(Varenna,1992),Springer, Berlin, 1993,p. 194–228.

[Str93b] , Probability theory, an analytic view, CambridgeUniversity Press,Cambridge,1993.

[Sud79] V. N. SUDAKOV – « Geometric problems in the theory of infinite-dimensionalprobability distributions», Proc. SteklovInst. Math. (1979),no. 2, p. i–v, 1–178,Cover to cover translationof Trudy Mat. Inst. Steklov141(1976).

198 BIBLIOGRAPHIE

[SW49] C. E. SHANNON & W. WEAVER – TheMathematicalTheoryof Communi-cation, TheUniversityof Illinois Press,Urbana,Ill., 1949.

[SZ92a] D. STROOCK & B. ZEGARLIŃSKI – « The logarithmicSobolev inequalityfor continuousspinsystemson a lattice», J. Funct.Anal.104 (1992),no. 2,p. 299–326.

[SZ92b] , « ThelogarithmicSobolev inequalityfor discretespinsystemson alattice», Comm.Math.Phys.149(1992),no.1, p. 175–193.

[SZ95] , « On theergodicpropertiesof Glauberdynamics», J. Statist.Phys.81 (1995),no.5-6,p. 1007–1019.

[Szn91] A.-S. SZNITMAN – «Topicsin propagationof chaos»,Écoled’ÉtédeProba-bilités deSaint-FlourXIX—1989, LectureNotesin Math.,vol. 1464,Sprin-ger, Berlin, 1991,p. 165–251.

[Tal69] G. TALENTI – « Osservazioni sopraunaclassedi disuguaglianze», Rend.Sem.Mat. Fis. Milano 39 (1969),p. 171–185.

[Tal76] G. TALENTI – « Bestconstantin Sobolev inequality», Ann.Mat. Pura Appl.(4) 110(1976),p. 353–372.

[Tal88] M. TALAGRAND – « An isoperimetric theorem on the cube and theKintchine-Kahaneinequalities», Proc. Amer. Math. Soc.104 (1988),no. 3,p. 905–909.

[Tal95] , «Concentrationof measureandisoperimetricinequalitiesin productspaces», Inst.HautesÉtudesSci.Publ.Math. (1995),no.81,p. 73–205.

[Tal96a] M. TALAGRAND – «Transportationcostfor Gaussianandotherproductmea-sures», Geom.Funct.Anal.6 (1996),no.3, p. 587–600.

[Tal96b] M. TALAGRAND – « New concentrationinequalitiesin productspaces»,Invent.Math.126(1996),no.3, p. 505–563.

[Tal96c] , « A new look at independence», Ann. Probab. 24 (1996),no. 1,p. 1–34.

[Tom69] G. TOMASELLI – « A classof inequalities», Boll. Un. Mat. Ital. 21 (1969),p. 622–631.

[Tos91] G. TOSCANI – « On Shannon’s entropypower inequality», Ann.Univ. Fer-rara Sez.VII (N.S.)37 (1991),p. 167–184(1992).

[Var84] N. T. VAROPOULOS – « Une généralisationdu théorèmede Hardy-Littlewood-Sobolev pour les espacesde Dirichlet », C. R. Acad.Sci. ParisSér. I Math.299(1984),no.14,p. 651–654.

[Var85] N. T. VAROPOULOS – «Hardy-Littlewoodtheoryfor semigroups»,J. Funct.Anal.63 (1985),no.2, p. 240–260.

[Ver98] S. VERDÚ (éd.)– Informationtheory:1948–1998, Instituteof ElectricalandElectronicsEngineersInc. (IEEE),ZielonaGóra,1998,IEEETrans.Inform.Theory44 (1998),no.6.

BIBLIOGRAPHIE 199

[Voi98] D. VOICULESCU – « The analoguesof entropyandof Fisher’s informationmeasurein freeprobabilitytheory. V. NoncommutativeHilbert transforms»,Invent.Math.132(1998),no.1, p. 189–227.

[VP94] J. VAUTHIER & J.-J. PRAT – Coursd’analysemathématiquede l’agréga-tion, 2èmeéd.,Masson,Paris,1994.

[Wan97] F.-Y. WANG – « LogarithmicSobolev inequalitieson noncompactRieman-nianmanifolds», Probab. Theor. Relat.Fields109(1997),no.3,p. 417–424.

[Wie48] N. WIENER – Cybernetics,or Control andCommunicationin theAnimalandtheMachine, HermannetCie.,Paris,1948,ActualitésSci. Ind., no.1053.

[Wu00] L. WU – « A new modifiedlogarithmicSobolev inequalityfor Poissonpointprocessesandseveralapplications»,Probab. Theor. Relat.Fields118(2000),no.3, p. 427–438.

[Yos80] K. YOSIDA – Functionalanalysis, 6èmeéd.,Springer-Verlag,Berlin, 1980.

[Yos99] N. YOSHIDA – « The log-Sobolev inequality for weakly coupled latticefields», Probab. Theor. Relat.Fields115(1999),no.1, p. 1–40.

[Yos00] , « Applicationof log-Sobolov inequalityto thestochasticdynamicsof unboundedspinsystemson thelattice», J. Funct.Anal.173(2000),no.1,p. 74–102.

[Zam98] R. ZAMIR – « A proofof theFisherinformationinequalityvia adataproces-singargument», IEEETrans.Inform.Theory44(1998),no.3,p. 1246–1250.

[Zeg90] B. ZEGARLIŃSKI – « On log-Sobolev inequalitiesfor infinite lattice sys-tems», Lett.Math.Phys.20 (1990),no.3, p. 173–182.

[Zeg92] , « DobrushinuniquenesstheoremandlogarithmicSobolev inequali-ties», J. Funct.Anal.105(1992),no.1, p. 77–111.

[Zeg96] B. ZEGARLIŃSKI – « Thestrongdecayto equilibriumfor thestochasticdy-namicsof unboundedspin systemson a lattice», Comm.Math. Phys.175(1996),no.2, p. 401–432.

[ZF93] R. ZAMIR & M. FEDER – «A generalizationof theentropypowerinequalitywith applications.», IEEE Trans.Inform. Theory39 (1993),no. 5, p. 1723–1728(English).

[Zin96] M. ZINSMEISTER – Formalismethermodynamiqueet systèmesdynamiquesholomorphes, Panoramaset Synthèses,vol. 4, SociétéMathématiquedeFrance.Paris,1996.

[Zyg59] A. ZYGMUND – Trigonometricseries, 2èmeéd.,vol. I & II, CambridgeUni-versityPress,New York, 1959.

INDEX

Algèbrestandard,25ArgumentdeHERBST, 116BOBKOV-GÖTZE, théorèmede,135BRENIER-M CCANN, théorèmede,140Canaldecommunication,166,167Capacitéd’un canal,166,167Carrédu champ,26,46ChaînedeM ARKOV

apériodique,146irréductible,146réversible,146

ChaosdeWALSH, 37deWIENER, 38

Codage,160,163théorèmedecodagebruité,167théorèmedecodagenonbruité,161

CodeASCII, 161,162deHUFFM AN, 162instantané,161M ORSE, 160,162

Concentrationformulationensembliste,109formulationfonctionnelle,110pourlesmoyennesempiriques,117

Concentrationgaussienne,110,134ConditiondeWANG, 121Constanteoptimale

del’inégalitédePOINCARÉ, 4del’inégalitédeSOBOLEV, 56,57del’inégalitédeSOBOLEV logarithmique,5, 148

Contrôledela normedeL IPSCHITZ dusemi-groupe,122

Convergencedusemi-groupe

ausensL2 & µ' , 27ausensdel’entropie,31

Convergencevers la mesureinvariante,150, 151,154

Critèredecourbure,76,120etconcentrationgaussienne,113et transforméedeLAPLACE du semi-groupe,114

Critèreintégral,82Critèresuperintégral,84CSISZÁR-KULLBACK, théorèmede,133Décroissancedel’entropie,théorème,31Décroissanceexponentielledescorrélations,50Diffusion,28Distancedetransport,130Énergie,4, 63,147Entropie,3, 59,63,147

deRENYI, 174deSHANNON, 159,160

conditionnelle,165exponentielle,168maximumgaussien,164maximumsouscontrainte,164sous-additivité, 165variablealéatoireàdensité,163variablealéatoirediscrète,159

formulevariationnelle,3, 46relative,3, 148,164

formulevariationnelle,3ÉquationdeHAM ILTON-JACOBI,139ÉquationdeM ONGE-AM PÈRE, 141Ergodicité,81Espaced’ORLICZ, 95EspacesdeSOBOLEV, 54Estimateur, 175

sansbiais,176,177

202 INDEX

Estimation sous-gaussiennede la transforméedeLAPLACE, 113,117

Fonctiond’YOUNG, 95Fonctiondeconcentrationd’unemesuredeprobabi-

lité, 109Fonctionlipschitzienne,110Fonctionsextrémales

del’inégalitédePOINCARÉ gaussienne,9del’inégalitédeSOBOLEV, 57de l’inégalité de SOBOLEV logarithmiquegaus-

sienne,11,168de l’inégalité de SOBOLEV logarithmiquemodi-

fiéepoissonnienne,13Formulevariationnelle

del’entropie,3, 46dela variance,2, 45

Générateurinfinitésimal,24GROSS, théorèmede,33,43,154

versionnontendue,36HOEGH-KROHN-SIMON, théorèmede,36Hypercontractivité,32,43,63,65,153IdentitédeDEBRUIJN, 170Immédiatementhypercontractif,32Inégalité

d’interpolationdesnormes,59deBLACHM AN-STAM ,169deBRUNN-M INKOWSKI,174decourbure-dimension,76deCRAM ÉR-RAO,177,178dedéviation,111deHARDY, 103deHAUSDORFF-YOUNG,180deHÖLDER, 55deKHINTCHINE, 38deNASH, 59,61deSHANNON, 169deSHANNON-STAM , 171,174detransport,132deYOUNG, 174entropie-énergie,63

etcomportementdu semi-groupe,63entropie-énergielogarithmique,59,61,63,64,87,

168entropique,3isopérimétrique,56,57isopérimétriquegaussienne,109

InégalitédePOINCARÉ, 4, 27,58,62,140gaussienne,9, 11,12pourla loi deBERNOULLI, 6pourunsemi-groupedeM ARKOV, 76

InégalitédeSOBOLEV, 44,55–57,59,61,67affaiblie, 59,61,64etcomportementdu semi-groupe,64

InégalitédeSOBOLEV logarithmique,4, 29,64gaussienne,11,12,65–67modifiée,13modifiéepoissonnienne,13modifiéepourla loi deBERNOULLI, 13nontendue,29pourla loi deBERNOULLI, 6pourun semi-groupedediffusion,79versioneuclidienne,59,66,167,168versioneuclidienneforte,180

InformationdeFISHER, 14,168deKULLBACK-LEIBLER, 3, 164mutuelle,166

InjectionsdeSOBOLEV, 55Intégrabilitéexponentielle,112KANTOROVICH-RUBINSTEIN, théorèmede, 131,

136,137KONDRAKOV-SOBOLEV, théorèmede,54Limite dePOINCARÉ, 67Mécaniquestatistique,48M ARTON, théorèmede,134Matriced’informationdeFISHER, 177,178Maximumgaussiendel’entropieH , 164Mesure

deGIBBS, 48invariante,26,146réversible,26stationnaire,26,146symétrique,26

NELSON, théorèmede,22NormedeSOBOLEV, 54Noyaudetransition,145Noyauitéré,145Opérateurdediffusion,28OpérateurΓ, 26,73OpérateurΓ2, 73OTTO-V I LLANI, théorèmede,137,140Perturbation

del’inégalitédePOINCARÉ, 44del’inégalitédeSOBOLEV logarithmique,46,121

Principed’incertitudedeBECKNER-HIRSCHMAN,180deCRAM ÉR-RAO, 178deWEYL-HEISENBERG,175,179

Semi-grouped’ORNSTEIN-UHLENBECK, 20,65,72,114deM ARKOV, 24,147et inégalitédeSOBOLEV, 64et inégalitésentropie-énergie,63

Tauxdecompression,162Tempsdechauffage,155Tensiond’uneinégalité,56,58,62

INDEX 203

Tensorisationdel’entropie,8, 43,136del’inégalitédePOINCARÉ, 42del’inégalitédeSOBOLEV logarithmique,42,43dela variance,8, 42desinégalitésdeSOBOLEV, 44,56desinégalitésdetransport,136,138

TransforméedeLEGENDRE, 95Trou spectral,27,148Ultracontractivité, 32

Variablesaléatoiresassociées,179Variance,2, 147

formulevariationnelle,2, 45VAROPOULOS, théorèmede,64

Vraisemblance,176WANG,

inégalitéde type HARNAK pour le semi-groupe,122

théorèmede,120