sur la stabilitÉ, les solutions pÉriodiques et la
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PREMIER MINISTRE C E A - R 2 1 0 0
COMMISSARIAT A
L'ENERGIE ATOMIQUE
SUR LA STABILITÉ, LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES
ET LA RÉSOLUTION DE CERTAINES CATÉGORIES
D'ÉQUATIONS ET SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
COUPLÉES NON LINÉAIRES APPARAISSANT
DANS LES OSCILLATIONS BÉTATRONIQUES
par
Jean VALAT
Rapport CE A - R 2100
C E N T R E D' É T U D E SNUCLÉAIRES DE SACLAY
CEA-R 2100 — VALAT Jean
SUR LA STABILITE, LES SOLUTIONS PERIODIQUES ET LA RESOLUTION DE CERTAINESCATEGORIES D'EQUATIONS ET SYSTEMES D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES COUPLEES NONLINEAIRES APPARAISSANT DANS LES OSCILLATIONS BETATRONIQUES.
Sommaire :
Pour les équations du genre de Hill-Meissner à coefficients crénelés, on a calculé desdiagrammes universels de stabilité et ceux-ci ont été vérifiés expérimentalement. L'étudede ces équations dans le plan de phase a permis ensuite d'étendre le calcul des solutionspériodiques au cas des équations différentielles non linéaires à coefficients périodiquescrénelés. Cette théorie a été vérifiée expérimentalement.
Pour Jes systèmes couplés non linéaires à coefficients constants, on a d'abord cherchéles solutions menant à des mouvements algébriques. Les fonctions elliptiques et fuchsiennesuniformisent de tels mouvements. L'étude de mouvements non algébriques est plus délicate,à part l'étude des mouvements de Lissajous non linéaires. Une analyse fonctionnelle montrequ'il est toutefois possible dans certains cas de découpler le système et de trouver des solu-tions générales.
Pour les systèmes couplés non linéaires à coefficients périodiques crénelé?, il est alorspossible de calculer les conditions menant à des solutions périodiques, si les ceux systèmesnon linéaires adjoints à coefficients constants, entrent dans une des catégories du para-graphe précédent.
1964 136 pages
Commissariat à l'Energie Atomique — France.
CEA-R 2100 — VALAT Jean
ON THE STABILITY, THE PERIODIC SOLUTIONS AND THE RESOLUTION OF CERTAIN TYPESOF NON LINEAR EQUATIONS, AND OF NON LINEARLY COUPLED SYSTEMS OF THESEEQUATIONS, APPEARING IN BETATRONIC OSCILLATIONS.
Summary :
Universal stability diagrams have been calculated and experimentally checked forHill-Meissner type equations with square-wave coefficients. The study of these equations inthe phase-plane has then made it possible to .extend the periodic solution calculations tothe case of non-linear differential equations with periodic square-wave coefficients. This-theory has been checked experimentally.
For non-linear coupled systems with constant coefficients, a search was first made forsolutions giving an algebraic motion. The elliptical and Fuchsian functions solve such mo-tions. The study of non-algebraic motions is more delicate, apart from the study of non-linear Lissajous's motions. A functional analysis shows that it is possible however in certaincases to decouple the system and to find general solutions.
For non-linear coupled systems with periodic square-wave coefficients i t is then possibleto calculate the conditions leading to periodic solutions, if the two non-linear associatedsystems with constant coefficients fall into one of the categories of the above paragraph.
1964 136 pages
Commissariat à l'Energie Atomique — France.
SERIE A, N° 3621
No D'ORDRE :
4493
THÈSESPRESENTEES
A LA FACULTE DES SCIENCES
DE L'UNIVERSITÉ DE PARIS
POUR OBTENIR
LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES PHYSIQUES
PAR
Jean VALAT
PREMIÈRE THÈSE
Sur la stabilité, les solutions périodiques et la résolution de certaines
catégories d'équations et systèmes d'équations différentielles couplées
non linéaires apparaissant dans les oscillations bétatroniques
DEUXIÈME THÈSE
Propositions données par la Faculté
Soutenues le 15 Décembre 1960 devant la Commission d'examen :
PERRIN Président
GRIVETExaminateurs
FORTET
A mes parents
REMERCIEMENTS
Commencé au Laboratoire de Radioélectricité de la Sorbonne, le présent travail a été termi-né au sein du Commissariat à l'Energie Atomique.
Qu'il me soit permis d'exprimer à Monsieur le Haut-Commissaire, Francis Perrin, Membrede l'Institut, ma respectueuse gratitude et ma profonde reconnaissance pour la bienveillance et lasollicitude qu'il n'a cessé de me témoigner.
Ce travail a été effectué sous la haute direction de Monsieur le Professeur Grivet, qui parses conseils clairvoyants m'a permis d'orienter cette étude et de mener à bien le travail qu'il m'a-vait proposé. Qu'il trouve ici l'expression de ma vive reconnaissance.
Monsieur le Professeur Fortet a bien voulu accepter de me guider dans l'étude des systèmescouplés et m'encourager dans cette voie. C'est pour moi un bien agréable devoir de lui présentermes vifs remerciements.
Monsieur Surdin, Chef du Département d'Electronique, et Monsieur Weill, Chef de la Sectiond'Electronique des Réacteurs, m'ont permis de mener à bien ce travail dans le cadre de leur ser-vice et y ont toujours porté un intérêt soutenu. C'est pour moi un agréable devoir de les remer-cier bien vivement.
Messieurs les Professeurs Bertein et Blaquière m'ont souvent soutenu par leurs encourage-ments et leurs conseils, ainsi que Monsieur le Professeur Bernard qui m'a particulièrement suiviet avec qui j'ai eu de nombreuses et fertiles discussions. A tous trois, j'ai le grand plaisir de pré-senter ici mes vifs remerciements.
Messieurs Braffort puis Caillet, Chefs du Laboratoire de Calcul Analogique, et mes camara-des du Laboratoire, ont su m'entourer d'une atmosphère de comprehensive amitié, propice à lacréation. Qu'ils en soient tous sincèrement remerciés.
Madame Brasseur a dessiné avec beaucoup de talent bon nombre de calques et MadameCharravin et Mademoiselle Pellisson se sont acquittées en souriant des tâches ingrates de la dac-tylographie. Leur aide m'a été précieuse et je suis heureux de les en remercier.
INTRODUCTION
Le calcul des orbites dans un synchrotron à forte convergence conduit à l'étude des solutionsd'un système d'équations différentielles à coefficients périodiques de période commune T, coupléesnon linéairement du genre :
*.x =~ . x2 + ê^.y2
" +TT. y =T . xy
où x et y représentent le déplacement d'une trajectoire comptée normalement àl'orbite d'équilibre.Les termes en "â* et "b"* dépendent du gradient du champ. Les termes non linéaires ont diverses ori-gines. Le lecteur consultera un ouvrage fondamental (1). Lesjcoefficients périodiques sont pratique-ment "crénelés", c'est-à-dire de la forme : IC = K1+K2. S(T) ; K: et Kj sont des constantes etsT(T) la fonction créneau + 1, - 1, + 1. . . etc de période T.
L'étude théorique, même approximative, d'un tel système (déjà simplifié) entraîne des diffi-cultés considérables. Nous avons donc cherché à obtenir des renseignements, en particulier sur lastabilité paramétrique, au moyen d'une machine analogique. Il était intéressant de construire un si-mulateur électromécanique simple^ dont l'idée^est due à Monsieur A. Blaquière, en profitant de laforme crénelée des coefficients K = Ka + K2. S(T). Mais avant d'envisager la construction d'un si-mulateur complet, i-1 importait d'étudier le comportement d'un simulateur linéaire, limité à l'équa-tion de Hill-Meissner :
y" + [ K +H ."s"], y = 0
En effet, nous connaissons dans ce cas la forme de la solution générale (théorème de Floquet) etnous savons écrire les conditions rigoureuses de stabilité en fonction de \ , K , T (condition deMeissner-Strutt-Van der Pol).
La description et la mise au point de ce simulateur font donc l'objet d'une partie du présenttravail. L'explication complète de son comportement nous a amenés à faire intervenir l'amortisse-ment et la dissymétrie interne du montage, puis la dissymétrie de la fonction créneau, et nous aobligés à calculer de nombreux diagrammes universels nécessitant des calculs numériques consi-dérables. Finalement, il nous est apparu qu'un tel simulateur ne pouvait s'utiliser que dans le casd'une équation linéaire, tout au moins dans l'état actuel de la technique.
Au cours de ces recherches, nous avons été amenés à étudier le comportement du simula-teur en tant que système asservi. Cette analyse nous a permis de donner une présentation origina-le du théorème de Floquet.
Une autre tentative, par le plan de phase de Poincaré, nous a permis de mettre en évidencela facilité d'étude des solutions périodiques de l'équation de Hill considérée. Nous avons pu géné-raliser cette méthode aux équations différentielles non linéaires, dont les coefficients varient sui-vant une loi crénelée.
Nous nous sommes finalement tournés vers l'étude des systèmes couplés non linéaires à coef-ficients constants. Après de nombreuses tentatives, nous avons été assez heureux pour trouver uncertain nombre de méthodes menant à des solutions effectives exactes, tant pour les solutions "al-gébriques", que "non algébriques". Il est alors possible, dans une certaine mesure, de trouver lessolutions périodiques d'un système couplé non linéairement par des coefficients périodiques créne-lés, en généralisant la méthode indiquée pour une seule équation. Les méthodes utilisées sont d'ail-
leurs susceptibles de développements ultérieurs, mais nous avons arrêté à ce stade le présenttravail.
BIBLIOGRAPHIE DE L'INTRODUCTION
(\) Michel-Yves BERNARD - La mécanique relativiste des particules chargées dans les champsélectromagnétiques.T o m e s 1 - 1 . 1 - 2 . 1 - 3 du c o u r s 3 è m e c y c l e " T h é o r i e e t T e c h n i q u e s d e s A c c é l é r a t e u r s deParticules" (INSTN - SACLAY).
CHAPITRE I
LE SIMULATEUR
I.l - PRINCIPE ET DESCRIPTION DU SIMULATEUR.
1.1. 1 - Principe.
Pour construire un simulateur électromécanique de l'équation de Hill :
y" + K / S ] . y = 0
où >. et H sont des constantes et S(t) la fonction créneau (voir figure 1) + 1, - 1 , + 1 . - 1 de périodeT, nous avons utilisé les oscillations de la boucle fermée d'un système asservi, constitué essen-tiellement par un galvanomètre, une cellule photoélectrique différentielle et des inverseurs (voirfigure 2).
.1 -J
Fig. 1
L'équation du mouvement d'un galvanomètre peut se mettre en effet sous la forme :
$ 2
= •£- F
qui se déduit du système :
Cl*" + £.•&• + C . d =N.S .H. i
( R i = E - N.S.H.-&'
C étant la constante de torsion du galvanomètre, I le moment d'inertie du cadre, f le coefficientde résistance de l 'air , $ le flux traversant le cadre, R la résistance totale dans laquelle passe lecourant du galvanomètre.
Si l'on s 'arrange pour que E soit, proportionnel à •&, le coefficient de proportionnalité pou-vant sauter périodiquement avec la période T de la valeur + A à la valeur - A, e t c . . c 'es t -à-d i repour que :
E = ±A (t). •& = A. S.
Cellule photoélectrique différentielle.
ero.9
axe passant pur le centre Qéornétriquede là cellule.
Galvanomètre
L = A Q . . S . 9
axe arbitraire -fixeSource lumière
bnverseurl
Amplificateur
£r A.e=
Fig. 2
nous obtenons
! . « " + ( f + - | - ) . -& '+ (C + | - . A . S * ( t ) ) . d = 0
qui est une équation de Hill, de la forme
S " +0C . •&' = 0
Dans la mesure où nous pouvons négliger l'amortissement nous avons bien la forme cherchée .
La réponse E = A(t). % s'obtient de la manière suivante :
Le galvanomètre envoie un spot d'intensité lumineuse constante sur la cathode d'une cellulephotoélectrique différentielle, la réponse de cette cellule (fig. 3) est proportionnelle à la distancequi sépare le spot du centre de la cathode tant qu'on ne dépasse pas une ceitaine elongation. Latension de sortie de la cellule, prélevée comme il est indiqué sur le schéma de la figure 4 estdonc proportionnelle à l'angle de rotation du galvanomètre. Cette tension est injectée dans ce gal-vanomètre après amplification par l'intermédiaire d'une lampe double électromètre. Deux relaispolarisés à faible constante de temps de l'ordre de la milliseconde et commandés par un générateurde signaux rectangulaires à très basse fréquence, inversent périodiquement le branchement du gal-vanomètre.
1.1.2 - Description du montage.
Le montage est indiqué sur la figure 5. Nous utilisons un galvanomètre SEFRAM à deux mi-roirs : le miroir supérieur envoie le spot sur la cellule et le miroir inférieur forme un spot surune échelle de lecture.
La source lumineuse est constituée par une lampe MAZDA à ruban de tungstène 10v, 15*, donton forme l'image sur la cathode de la cellule, après une réflexion préalable sur le miroir supé-rieur du galvanomètre. Cette lampe est alimentée sous tension constante par une batterie d'accumu-lateurs.
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Fig. 3
IMA.
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Fig. 4
cellule photodiffeVeirlielleQ-alv-anomêtre
Source RobânW
GénérateursT.B-F
PériocJemëtre
Adaptateursd'impédance
e.-aQ
Lampe Electromêtre
E.-Ae
Inverseurs
Fig. 5
La cellule photoélectrique différentielle utilisée est une cellule "photodianode" due à Deloffre ,Pierre et Roig (1 et 2). Cette cellule doit être placée le plus près possible du galvanomètre pourobtenir la plus grande plage de variation possible pour l'angle Q . On est cependant limité dans cettevoie par le flux de fuite du galvanomètre qui peut rendre très dissymétrique la courbe de réponseE (•&) de la photodianode. Il est nécessaire de blinder et d'augmenter la tension aux bornes de lacellule. Nous avons tracé diverses courbes de réponse E(§) en faisant varier la distance au gal-vanomètre, le blindage, te grandissement optique de l'image, et la tension aux bornes. Nous avonsfinalement choisi une distance de l'ordre de 10 cm par rapport au fil de torsion, un grandissementde 0, 9 environ et une tension de 90 volts avec une résistance de 150 MQ en.série. La figure 3 in-dique l'allure d'une des courbes obtenues. La cellule possède donc une bonne linéarité dans sa zo-ne centrale, qui pour le galvanomètre, (et cette courbe de réponse) correspond à un angle de ±20milliradian.
La sortie de la cellule est fermée sur une chaîne de résistances (résistance totale 1, 75. 107 Q )montées sur un disque circulaire en plexiglass et formant potentiomètre. Celui-ci permet de pren-dre (voir fig. 4) une fraction déterminée de la tension de sortie de la cellule, que l'on peut d'ail-
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leurs envoyer directement sur l'inverseur (en ce cas le galvanomètre est en série avec les résis-tances qu'il ne court-circuite pas). Mais l'expérience montre alors que les valeurs maxima H ducréneau peuvent être du même ordre de grandeur que le terme constant X = 13,66. Pour obtenir desvaleurs supérieures de H , il faut passer par l'intermédiaire d'un amplificateur. Celui-ci est cons-titué par une lampe électromètre double MAZDA 6.196 montée en amplificateur différentiel, les ten-sions de polarisation et de plaque étant fournies par des accumulateurs. La sortie est reliée augalvanomètre par l'intermédiaire de l'inverseur. Le galvanomètre voit donc une résistance extérieu-re constante à ses bornes. Cette résistance est de l'ordre de 10 Q.
L'inverseur est formé de deux relais SIEMENS polarisés, alimentés par un générateur trèsbasses fréquences C.R.C. (générateur T.B. F. 64), livrant des signaux rectangulaires de fréquen-ce variable de façon continue depuis 500 cps jusqu'à 0,005 cps. Il est nécessaire de régler soigneu-sement l'appareil et de l'étalonner en fréquence. Mais cet étalonnage s'est avéré d'une précision in-suffisante et il nous a fallu construire un périodemètre. La charge minima du générateur T.B. F .étant 5 000 Q , il a été également nécessaire de construire un adaptateur d'impédance pour alimenterles relais, la résistance de ces derniers étant égale à 500 Q dans la combinaison choisie. Cet adap-tateur est constitué par deux lampes montées symétriquement en cathode follower. Le courant d'a-limentation des relais est alors de 8 mA. Dans ces conditions on peut admettre que les relais don-nent un bon crénelage jusqu'à 50 cps environ (rebondissements et constante de temps).
1.2 - ETUDE ET MISE AU POINT DU SIMULATEUR.
t. 2.1 - Etude du galvanomètre.
Le galvanomètre utilisé est un galvanomètre de marque SEFRAM. Cet appareil a la particu-larité principale de posséder deux miroirs (plus un troisième miroir auxiliaire fixe) : un miroirsupérieur sert à renvoyer, par réflexion simple, l'image d'un ruban lumineux sur la cathode de lacellule tandis que le miroir inférieur et son miroir auxiliaire fixe renvoient, après double réflexion ,un spot sur une règle graduée translucide, permettant ainsi de mesurer d'une façon précise la po-sition de l'image du filament sur la cathode de la cellule. Les deux miroirs sont montés à 90 de-grés l'un de l'autre (voir fig. 6 et 7).
Le cadre mobile, situé entre les miroirs, fait corps avec eux (voir fig. 8) et tourne autourd'un cylindre de fer doux, permettant ainsi de larges déviations. Les aimants sont des aimantsau "Ticonal".
Nous avons effectué un certain nombre de mesures sur le galvanomètre de façon à vérifierou à déterminer ses caractéristiques principales ainsi que les valeurs numériques de l'équation :
Nous avons trouvé :
Période propreRésistance InterneRésistance Critique ExtérieureRésistance Critique TotaleSensibilité (avec double réflexion)Amortissement NaturelConstante de torsionFlux magnétiqueMoment d'Inertie
rR'cR .
aC
DR
= 1,70 sec= 65 ohm= 450 ohm= 515 ohm= 4,05. 1O'« A/mm/m= 0,1345= 0,7i dyne cm/radian= 440 000 maxwells= 0, 052 gr/cm2
De la sorte l'équation s'écrit finalement :
*" + (0,1345 + ^ J H ) . ai + (l3.66 +8,45.10-3. •£ . "S ). •& = 0V Ra / \ Rft /
Dans cette équation A est exprimé en unité de tension uem par radian. Si l'on veut exprimerla sensibilité de la cellule en millivolt par milliradian, nous avons ( 1 volt ~ l08uem) : 108. a = A.
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miroir inférieur jmobile
miroir auxiliaire•fixe. rnfroir supe'rîeur mobile
Lampe à ruban
sourceauxiliaire
Echelle de lecture translucide
Fig. 6
Lentille
cellule photoélectrique différerrt.i'eUe
Fig. 7
miroir supérieur
miroir 'inférieur I / I I v I miroir auxiliaire
Fig. 8
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Fig. 9
L - Lampe à ruban de tungstène. R = Ruban rectangulaire (en \V). C = Cylindre protecteur en cuivre. F£ =Fenêtre de passage du spot. H = Hj + H2 +H3 = Tube horizontal de passage du spot, en bakélite. Ha et H3 =Tubes fixes. H2 = Tube coulissant. L» = Lentille insérée dans H2 et permettant la focalisation. Lf = Lentil-le fixe insérée dans H3. G = Corps du galvanomètre. K = Cuvette du galvanomètre. V = Cylindre verticalen bakélite, emmanché sur G. M, = Miroir supérieur du galvanomètre, h = h + h2 = Tube horizontal de pas-sage du spot, en bakélite, scié verticalement en deux parties hx et h2 dans le sens de la longueur pour per-mettre la focalisation. D = Cellule photoélectrique différentielle. B = Berceau de suspension, en bakélite ,pour D. M = Cylindre de blindage magnétique en M - métal épais. T = Tablette-support horizontal, en ba-kélite. Al = Languette en aluminium et en forme de U renversé soutenant T.
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En réalité il est plus prudent d'obtenir le coefficient H = 8,45. 105. — = 8,45. 10"3. — par
expérience directe, lors de chaque mesure. C'est ce que nous ferons par la suite.
I. 2. 2 - Montage optique.
La source lumineuse a tout d'abord été constituée par une lampe COTTON-MAZDA à filamenttendu 6V, 3A. Nous avons finalement adopté une lampe MAZDA à ruban rectangulaire en tungstène10V, 15A. La raison de ce changement sera indiqué dans l'étude de la cellule photodifférentielle.L'image du ruban lumineux est projetée sur la cathode de la cellule après une réflexion préalablesur le miroir supérieur du galvanomètre. La figure 9 et sa légende schématisent le montage.
Le spot d'observation est créé par un projecteur à distance focale variable qui envoie pourcela l'image d'une fente lumineuse sur le miroir inférieur du galvanomètre. Celui-ci après une dou-ble réflexion (sur le miroir inférieur mobile et sur le miroir inférieur fixe) le renvoie sur l'échel-le translucide de mesure et d'observation située à environ 60 cm de l'axe du galvanomètre.
La lampe MAZDA est alimentée par une batterie de 4 accumulateurs 12 volts. Le flux émispar la lampe étant très sensible aux variations de la tension nous avons adjoint un chargeur aux ac-cumulateurs, la batterie étant montée en tampon. La fréquence 50 cps redressée passe donc dansle montage par l'intermédiaire de la cellule photoélectrique. Le fait n'est pas gênant sauf pour unefréquence de crénelage voisine, ce qui n'est jamais le cas, les zones d'instabilité n'apparaissantque pour des fréquences de l'ordre de 1 cps pour les valeurs des coefficients pouvant être obtenuespar le simulateur. Le projecteur du spot d'observation est muni d'une ampoule 12 volts alimentéepar un simple transformateur.
I. 2. 3 - Montage antivibratoire.
Du fait de la proximité de machines tournantes et de tables vibrantes dans le bâtiment nousavons été obligés de prendre un certain nombre de précautions pour éliminer les vibrations parasi-tes rendant la lecture malaisée et surtout perturbant le phénomène.
Pour cela nous avons séparé le montage en plusieurs parties : la source lumineuse à ruban,le galvanomètre, la cellule photodifférentielle, le projecteur auxiliaire et l'échelle translucide d'ob-servation, ainsi que la lampe électromètre et ses accessoires comme le potentiomètre plexiglasset l'amplificateur ont été montés sur un châssis antivibratoire posé lui-même sur une lourde tablede chêne ; nous avons placé le reste de l'appareillage sur un bâti mobile.
Nous avons construit le montage antivibratoire de la manière suivante : un bâti de 95 cm sur50 cm environ repose par 4 pieds caoutchoutés sur 4 disques, eux-mêmes suspendus sur ressorts .Disques et ressorts se trouvent dans 4 godets, qui empêchent la torsion des ressorts, maintiennentles disques et limitent les déplacements des pieds en caoutchouc.
Ce bâti supporte lui-même une plaque rigide en duraluminium. Cette plaque repose sur le bâ-ti par l'intermédiaire de quatre ressorts montés d'une façon à peu près identique à celle déjà in-diquée. Le montage optique source-ruban, galvanomètre, cellule photoélectrique a été effectué surcette plaque en prenant encore les précautions suivantes. La lampe ruban et le cylindre protecteurC (voir fig. 9 le schéma du montage optique) sont supportés par un support tripodaire. Ce supportn'est pas monté directement sur la grande plaque en duralumin mais sur un petit plateau rectangu-laire en même métal, monté élastiquement sur la grande plaque, cette liaison élastique étant tou-tefois assez serrée. Le support du galvanomètre a été posé sur un lit formé de plusieurs couchesde mousse plastique genre frigolite. De même nous avons inséré une mince couche plastique entrel'extrémité de la tablette horizontale T en bakélite et son support en forme de U renversé (voirmontage optique).
Le projecteur auxiliaire et la règle d'observation ont été montés directement sur la grandeplaque en duraluminium ainsi que le support de la lampe électromètre. Pour des raisons de commo-dité nous avons toutefois fixé directement sur le châssis le potentiomètre en plexiglass de 17,5 Mûservant à prélever une partie de la tension aux bornes de la cellule ainsi que les auxiliaires de lalampe électromètre (voir l'étude de la cellule photodifférentielle et l'étude de l'amplificateur).
1.2.4 - Etude de la cellule photoélectrique différentielle.
Cette photodianode comprend une cathode plane photo-émissive et deux anodes rectilignes pa-rallèles à la cathode, situées à égale distance de la cathode comme l'indique la figure 10. Les deuxanodes sont branchées au pôle positif d'un même générateur de tension par l'intermédiaire de deuxrésistances égales élevées (de quelques centaines de KQ à quelques MQ) - voir la figure 4 - . La
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du filament
anode
.anode
: cathode cathode
Fig. 10
.anode
Fig. 11
15
cathode est branchée au pôle négatif. L'image du ruban lumineux en tungstène est projeté sur lacathode par le système optique après réflexion sur le miroir supérieur du galvanomètre. Cette ima-ge se déplace alors parallèlement au grand axe de la cathode (fig. 10). Il en résulte aux bornesdes deux anodes une différence de potentiel e, fonction de la position de l'image lumineuse sur lacathode e = e (0). Deloffre, Pierre et Roig donnent diverses courbes de réponse. Mais ces cour-bes sont limitées au voisinage immédiat de l'axe (quelques mm) et ne sont généralement pas liné-aires. Cette non-linéarité n'est pas gênante dans les applications normales. Malheureusement dansle cas du simulateur nous obligeons la cellule à travailler dans des conditions très strictes, quiexigent la linéarité de la réponse et ce pour des amplitudes les plus grandes possibles (soit ± 9 mm ,puisque la largeur de la cathode est de 18 mm environ). C'est sur ces points que nous avons porténotre effort.
Nous avons dû relever pour cela plus de cent courbes de réponse e = e (9), soit 4.000 pointésenviron, chaque courbe comprenant chacune une quarantaine de pointés. Une courbe de réponsee = e (•&) s'obtient en envoyant un courant faible et constant dans le galvanomètre du simulateur :nous pouvons ainsi régler à volonté l'angle -9 et balayer toute la largeur de la cathode de la cellu-le par l'image du filament lumineux après réflexion sur le miroir supérieur du galvanomètre. L'an-gle •& est repéré avec précision sur la règle translucide après réflexion sur le miroir inférieur dugalvanomètre comme l'indique la figure 6a. Cette règle est située à 60 cm environ de l'axe de sus-pension du galvanomètre. La largeur de la cathode correspond alors à peu près à ±10 cm sur larègle, ce qui permet une lecture précise des déplacements. Les premières mesures ont été effec-tuées avec des photodianodes à vide et avec la lampe à filament tendu. Nous avons constaté descourbes de réponse dissymétriques et fort sinueuses. Après quelques essais nous avons attribuéces courbes au flux de fuite du galvanomètre. En effet dans ces mesures nous obtenions le balaya-ge de la cathode par l'image du filament en court-circuitant les bornes du galvanomètre et en fai-sant tourner l'ensemble du corps du galvanomètre sur son berceau, grâce à une vis micrométriquead hoc. De ce fait nous ne reproduisions pas les conditions exactes de fonctionnement, puisque lechamp de fuite du galvanomètre changeait pour chaque mesure, alors qu'il restait bien entendu fi-xe en fonctionnement normal. Nous avons donc adopté le balayage par un courant constant déjà dé-crit plus haut. Mais il était difficile de rendre absolument symétrique l'effet du champ de fuite .Nous l'avons disposé au mieux comme l'indique la figure 11, mais surtout nous avons essayé d'endiminuer l'effet par un blindage magnétique. Nous avons commencé par un blindage de la cellule etd'une partie du corps du galvanomètre par une tôle de u - métal. Les résultats encourageants ob-tenus, bien qu'insuffisants (voir la courbe de la figure 12), nous ont conduit à renforcer le blinda-ge de la manière suivante. Nous avons disposé la photodianode à l'intérieur d'un cylindre en u-métalépais (4 mm), découpé dans un tube de blindage de microscope électronique, la fenêtre de passagedu spot ayant été ouverte par fraisage lent (voir le schéma du montage optique). De plus nous avonsceinturé le galvanomètre par une couronne plate toujours en n - métal de même origine que le cy-lindre, canalisant autant que possible le flux de fuite, le cylindre en |i- métal entourant la photo-dianode achevant la protection de la cellule. Nous avons ainsi obtenu de meilleurs résultats, quantà la linéarité de la zone centrale (fig. 13). On peut s'étonner de l'influence du flux de fuite du gal-vanomètre. Mais il ne faut pas oublier que le centre de la cellule se trouve à 10 cm environ du filde torsion du galvanomètre. D'ailleurs un calcul simple nous indique que nous devons nous attendreà une perturbation du fonctionnement de la photodianode. En effet les électrons arrivent sur les ca-thodes avec une vitesse donnée par :
v2 == 2. C—VE.V m /
soit en prenant une tension d'accélération de 50 volts :
V2~2. (1,76). 107. 50. 1O8= (17.6V1O16
soit v ~ 4. 108 cm/sec ~ 4 000 Km/sec. Nous pouvons admettre que le fonctionnement de la photodia-node n'est pas perturbé tant que le rayon de courbure dû à un champ magnétique reste grand par
mvrapport à la distance parcourue. Or ce rayon de courbure est donné par : R = ~"77- En admettant
une vitesse moyenne v~ r (4 000) Km/sec ~2. 108 cm/sec et en prenant R~d ~1 cm nous obtenons :
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Nous nous trouvons donc très vraisemblablement dans ce cas fâcheux, surtout au voisinage de lacathode. Malgré le blindage soigné, nous constations toujours l'existence de deux décrochages (voirles figures précédentes), limitant une zone centrale à peu près linéaire. Nous avons alors penséque, sinon les décrochages, du moins les sinuosités résiduelles provenaient de la non homogénéitéde la cathode. Nous avons donc mesuré le courant total émis par la cathode, en fonction de l'angle$ de balagage. Nous avons effectivement trouvé que les cathodes d?s quelques échantillons que nouspossédions étaient assez fortement {nhomogènes (±10%) comme l'indique la figure 14. Il était in-téressant d'essayer de stabiliser ce courant total, ce qui devait vraisemblablement amener sinonune bonne linéarité du moins une bonne symétrie. Malheureusement le courant total émis par la ca-thode était bien faible, de l'ordre de 10"8 à 10"7 ampère même pour des tensions de l'ordre de 50à 100 volts, ce qui impliquait des "résistances internes" de 1 000 MQ et plus. Une régulation parlampe était impossible, même montée en jauge à ionisation. Nous avons alors essayé de compenserl'inhoxnogénéité de la cathode en formant sur celle-ci, une image plus large que celle du filamenttendu, dans l'espoir de niveler ces irrégularités par intégration. Nous avons donc abandonné la lam-pe à filament tendu pour la lampe à ruban rectangulaire. Malheureusement les résultats n'ont pasété sensiblement améliorés. Nous avons alors essayé d'abaisser la résistance interne de la cellule.Pour cela nous avons échangé la photodianode à vide contre une photodianode à gaz, géométrique-ment identique, et nous avons gardé la lampe à ruban pour augmenter encore le courant total .Nous avons ainsi obtenu un courant total plus de dix fois plus intense soit 1 à l,5u A pour les cel-lules à gaz en notre possession et ce pour des tensions de l'ordre de 50 volts soit une "résistan-ce interne" de quelques dizaines de MQ . Nous pouvions alors raisonnablement essayer de réguler .Pour cela nous avons mis une forte résistance en série avec la photodianode, de 50 MQ à 700 MQ ,la tension pouvant être portée éventuellement jusqu'à 3 00 volts environ. L'expérience nous a mon-tré qu'effectivement il est possible d'obtenir une certaine régulation du courant total et un effet bé-néfique pour la linéarité de la zone centrale. Mais le taux de régulation obtenu est faible. Par ex-emple la figure 15 nous indique un courant total moyen de 0,36 \x A pour 90 volts et 150 MQ. Larésistance totale est donc : 150 + p = 90/0, 36 ~ 250 MQ, doncp~100MQ, le taux de régulation estde 2, 5. Un taux de régulation si bas ne peut donc servir qu'à parfaire l'homogénéité d'une cathodedéjà assez bien régulière par elle-même (que nous avons eu la chance de trouver). De plus celaindique que la résistance interne est éminemment variable avec la tension. Si celle-ci descend, lacathode débite de moins en moins et au-dessous d'une certaine tension (quelques volts) l'extractionn'est plus régulière dans le temps et s'arrête si l'on descend. D'autre part si nous augmentons latension, l'accroissement du courant total est de plus en plus limité, nous tendons vers une satura-tion. Par conséquent dans un cas comme dans l'autre la résistance interne croit considérablement.Il faut donc s'arranger pour tomber dans une zone mixte entre 20 et 80 volts par exemple. Il fautaugmenter la résistance en série pour obtenir un taux de régulation acceptable mais il faut aussiaugmenter d'une façon importante la tension totale pour obtenir effectivement cette régulation entombant dans une zone de résistance interne suffisamment faible. En d'autres termes il faut releversystématiquement la courbe I t o t t ) = f(u), d'où la courbe p = p (u ), d'où le point de fonctionnementsur la droite de régulation u = E - SI, S étant la résistance de régulation. Si l'on a pris soin derelever également les résistances partielles internes p1 et p2 , il est alors possible de déterminerà priori les conditions de fonctionnement optimum de la cellule. En supposant la symétrie parfaiteet en adoptant les notations de la figure 16 nous avons donc :
e = uA1 - uAj= (u - Ri^ - (u - Ri2) = R (i2 - ix) = ri
et
u = Ria+ px. (ix - i) = Ri2+ p2 (i2 + i)
d'où
soit finalement les relations :
s { r + R ( Pi + ft ) + 2 fe ft ) (Pi " f t ) (E - SI)i { - R - + ( P l + R ) ( P 2 + R ) j ( P i + R ) ( p 2 + R ) ' l * ° l )
e = r i =.
21
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Fig. 16
Fig. 17
22
Dans le cas d'une lampe électromètre directement aux bornes A1 et Aj sans potentiomètre (r =°°),nous obtenons :
e - " ( E b I )
Dans le cas d'un galvanomètre directement aux bornes de Aj et A2 (r « R « p ), nous obtenons :
Dans le cas d'un courant i bien linéaire nous pouvons poser
P2• = a + b$ = a -
avec a = ——d'où l'on tire évidemment : i ~(E - SI), b. $
Dans le cas général nous , urons : i ~(E - SI)xf ($), f (Q) étant une fonction symétrique, dont il sem-ble difficile de prévoir théoriquement la forme.
En outre il faut se rendre compte que dans le cas général la photodianode se comporte com-me un système à contre-réaction. En effet pour une position •& du spot l'une des deux anodes, soitA2 par exemple (voir fig. 16), voit passer un courant plus important. Sa tension diminue donc parrapport à celle de l'anode Alf mais ce faisant la distribution des potentiels a été modifiée dans unsens défavorable à l'augmentation du courant passant dans l'anode A2. C'est ce que schématise lafigure 17. De plus à cet effet s'ajoute l'influence de la résistance interanodes.
Nous avons effectué un certain nombre d'essais, toutefois nous n'avons pas relevé la courbep = p (u). Même sans régulation, nous avons eu en effet certains ennuis avec la pile d'alimentationde la photodianode. Nous les avons supprimés en montant cette pile sur une plaque de plexiglassépais et ce pour éviter, entre autres, la capture par le galvanomètre de courants vagabonds para-sites et supprimer des effets capacitifs fort gênants pour les manipulations. De même nous avonsdû monter l'interrupteur et le potentiomètre auxiliaire de la pile sur une plaque de plexiglass mon-tée sur le châssis anti-vibratoire, le bouton de l'interrupteur et l'axe du potentiomètre étant eux-mêmes isolés. Une augmentation de tension n'était donc pas gênante. Par contre l'expérience nousa montré qu'il fallait être prudent dans la voie de l'augmentation des résistances de régulation. Enparticulier nous avons constaté pour de fortes résistances de l'ordre de plusieurs centaines de MQ,la possibilité d'oscillations autoentretenues dues aux capacités parasites.
Malgré l'intérêt d'une étude de la cellule pour elle-même, notre but principal était avant toutde construire un simulateur. Il était déjà difficile de trouver une cellule de bonne géométrie (paral-lélisme anode-anode, anode-cathode, planéité de la cathode), possédant une cathode homogène, stable(et non empoisonnée par des traces d'impuretés). Or nous obligions la cellule à travailler au voi-sinage d'un aimant permanent, c'est-à-dire d'une façon anormale étant donné sa sensibilité aux champsmagnétiques parasites et de plus nous exigions d'elle une réponse bien linéaire et d'amplitude laplus grande possible pour pouvoir bien séparer les zones stables des zones instables. C'est pour-quoi nous nous sommes contentés de la réponse d'une cellule à gaz, relevée (fig. 18a) et amplifiéepar la lampe électromètre (fig. 18b). Comme on peut le voir, la zone centrale semble bien liné-aire, ce qui est absolument nécessaire, les moindres irrégularités étant amplifiées par la lampeélectromètre : en l'examinant soigneusement, la courbe de réponse, après amplification, présenteune légère modulation (voir fig. 18b). Il n'a pas été possible de supprimer les deux décrochages,dont l'importance semble d'ailleurs croître en fonction de la tension et dont l'existence semble unecaractéristique du fonctionnement de la cellule.
Par la suite nous avons essayé d'étudier l'influence de la géométrie de la cellule sur la for-me de la courbe de réponse et particulièrement sur l'importance des décrochages.
Nous avons tenté 3 modifications tant sur des cellules à vide que sur des cellules à gaz ,soit :
a) rapprocher les anodes de la cathode (l'écartement restant invariant).
b) éloigner les anodes de la cathode (l'écartement restant invariant).
c) écarter les anodes (l'éloignement restant invariant).
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Fig. 19
soit les 3 cas schématisés par la figure 19. Les résultats ont été décevants et peu concluants pourdifférentes raisons. Il semble toutefois que l'on ait avantage à éloigner les anodes de la cathode(cas b).
Fig. 20
I. 2. 5 - Couplage de la photodianode.
Avant de passer à la description de la lampe électromètre et à l'établissement de son équa-tion, il convient de faire un certain nombre de remarques concernant le mode d'amplification par-ticulier du montage dû au couplage photodianode-lampe électromètre.
Dans le relevé des courbes de réponse à l'aide d'un galvanomètre auxiliaire ( r « R « p ) - voirfigure 20 - on constate expérimentalement que les valeurs maxima du courant différentiel se situententre l/2 et l/3 du courant total I¥ pour les cellules à vide. Pour les cellules à gaz, le courant
26
total IG est multiplié par 4 environ, tandis que le courant différentiel n'est multiplié que par deuxenviron soit l/4 à 1/6 du courant IG, ce fait semblant pouvoir s'interpréter par l'action dispersi-ve du choc des électrons sur les molécules du gaz.
Nous allons essayer de nous rendre compte de l'influence d'une modification de la résistanceinteranodes, sur le fonctionnement de la photodianode. Pour cela nous utilisons les notations de lafigure 20, c'est-à-dire nous posons :
ii i2 iX'T' *=—• a -T
Lorsque le spot est au centre de la cellule nous avons oc = 0 soit y = x = 0,5 et pour (y - x) quiest proportionnelle à la différence de potentiel interanodique, nous avons y - x=0.Quand le spot s'é-loigne du centre, par exemple vers la gauche, a varie, mais nous avons nécessairement les iné-galités y > x .a . Supposons que le courant entre le spot S sur la cathode et l'anode X (voir fig. 20)soit négligeable, lorsque a passe par sa valeur maximum, ce que nous pouvons exprimer d'uneautre manière en écrivant x~ ocM. Nous avons là un cas limite exceptionnel pour lequel 1 = x + y -%-y +aM.Or nous devons avoir y £.x. Donc 1 - ctM ^ <xM d'où aH4 l /2. Par conséquent il est impossible d'avoirun courant différentiel supérieur à la moitié du courant total et c'est bien ce que l'on observe ex-périmentalement.
Dans le cas d'une faible résistance aux bornes des E odes (r ^ R ; cas du galvanomètre) ladifférence de potentiel interanode est très faible (quelques dizaines de U-V). Dans le cas d'une forterésistance interanode ( r » R ) , la d. d.p. interanode n'est plus nécessairement négligeable. On peutainsi obtenir un gain en tension considérable de quelques dizaines de |iV à quelques centaines demV.
Ce gain est un gain en tension. Il s'agit de pouvoir l'utiliser. Or l'insertion pure et simpled'un galvanomètre sur les anodes de la photodianode fait s'effondrer la tension interanodique et nousprocure un courant interanode au plus égal au 1/4 du courant total (0,3 à 0,4 n.V pour une celluleà gaz sans régulation) soit 0, 09 p. A au plus dans le cas de la cellule à gaz utilisée. De plus uneaugmentation des résistances de charge R ne peut augmenter suffisamment la d.d.p. interanodique.Si donc nous voulons transmettre la tension différentielle e = a. $ il nous faut nécessairement em-ployer une lampe, qui ne peut être qu'une lampe électromètre car les courants de grille d'une lam-pe ordinaire sont de l'ordre de 10~5A et au mieux 10"6.
Nous avons utilisé une lampe double électromètre MAZDA 6.196. Nous donnerons plus loinquelques détails sur son fonctionnement. Puis nous établirons son équation et montrerons que lalampe double se comporte comme un générateur de tension Eo ~(Rp / p + Rp). fie et de résistance in-terne Ro ~ 2 p. R / p + R , p étant la résistance interne par élément, u. le coefficient d'amplificationd'un élément et e la tension appliquée à la grille de commande. Dans le cas qui nous concernenous avons Rp M25.000 Q ; p ~ 40.000 Q ; u. ~ 1 d'où :
E O ~ T | F - e ~0, 76 e et Ro - 2.40. i | f . 103 ~ 60.000Qlbo 1bo
En conséquence nous pouvons conclure que si nous avons un gain en tension il provient du couplagephotodianode- lampe électromètre puisque la lampe électromètre introduit un affaiblissement. Orce qui nous intéresse finalement c'est le gain en courant. Ce gain en courant provient du fait quela lampe électromètre peut conserver pratiquement la tension interanode importante obtenue par sup-pression de la faible résistance interanode (galvanomètre) en la reportant sur une résistance interne ,suffisamment faible pour éviter un effondrement du courant lors de la fermeture du circuit par "miseen série" du galvanomètre (c'est-à-dire aux bornes des résistances de charge des anodes de lalampe double). Autrement dit pour résumer brièvement son rôle, la lampe électromètre sert de vé-ritable transformateur d'impédance pour le galvanomètre.
Nous pouvons maintenant préciser les considérations très approximatives qui précèdent. Nousavons utilisé une résistance de charge Rx = R2 = R = 1 MQ. Avec une résistance de 150 MQ en sérieet 90 volts aux bornes, nous avons trouvé un maximum de l'ordre de 0,07 à 0,08 n A soit ania>~
0,07/0, 36 ~ - . Après amplification par la lampe électromètre, nous avons trouvé une intensité ma-
xima de l'ordre de 2,25 1-iA (2,4 et 2, 1 n A). Or dans l'étude du galvanomètre, nous avons montré
que l'équation du système pouvait s'écrire :
27
S" + ( 0,1345 + -3-740 ) . •&' + ( l 3 , 6 6 + 8,45. 105. —-S ).$ = 0* R / V R /
où R ~ 50.000 Q et où a représente la pente en millivolt par milliradian de la courbe de réponse dela photodianode. La règle graduée translucide est située à environ 60 cm de l'axe de suspension dugalvanomètre et les maxima ont lieu pour ± 9 cm environ (9,3 et 8,5 cm soit pour ±(9/60) (1 000/4)~± 37. 5 milliradian, le coefficient 1/4 provenant de la double réflexion. D'où la valeur de la pentecentrale obtenue en mesurant la valeur (fictive du fait du décrochage) correspondant à ±37,5 mil-liradian, soit : (2,4/37,5) ^lA/mrad d'où :
(60 000). (2,4). 10"6. 103
3 8 7 1soit :
(60). (2,4) . . . 'a ~ i 37 5 . mV/mrad
On en tire la valeur de H , coefficient de la fonction créneau "sT
n - (8,45)60 000 *
D'où le rapport maximum H /X ~ 54/13,66~ 4 en bon accord avec les résultats expérimentaux.
Nous pouvons également calculer les courants i2 et i2 correspondants aux maxima. En effetnous avons :
R(y - x).I.R. +PR . u ~ Ro.j
j étant le courant traversant le galvanomètre. D'où :
(y - x) (0, 36). 10-6. 106. (0, 76)~60 000 (2,25). 10~6
soit : (y - x) (3,6) (7,6) -(6) (2,25). On en conclut :
y ~ 0,747 ( i x ~ 0.27^ A
x~ 0,253 ^i 2 ~0, 09 (i A
La tension de commande e de la grille de la lampe électromètre vaut donc :
e -R (i2 -i^-vlO6 . (0,27 - 0,09). 10-6. ^0,18 voltau lieu de quelques u V. Il est donc possible d'amplifier une dizaine de fois encore dans la mesuretoutefois où la lampe et la photodianode restent linéaires.
1.2.6 - Equation de la lampe électromètre.
Nous avons utilisé un tube double électromètre MAZDA 6.190. Le montage employé est unmontage en pont classique (voir le schéma général de la figure 25). Le potentiomètre R2permet leréglage du point milieu électrique servant de point neutre au montage. En effet le point milieu théo-rique ne correspondant pas toujours au point milieu électrique, on évite par ce réglage de provoquerun déséquilibre de l'émission.
L'équilibre du pont étant réalisé par action sur les potentiomètres R8 et R12, le réglage dela lampe électromètre s'effectue de la manière suivante : R2 étant fixé à une valeur arbitraire, onrègle R8 pour annuler la déviation du galvanomètre, on achève le réglage par R12. On fait varier lecourant filament en agissant sur R,, et on note le déséquilibre provoqué par cette opération. On ra-mène RH à sa valeur initiale et on répète la même opération pour une deuxième position de R2 etainsi de suite. Le point milieu optimum est obtenu lorsque de légères variations de If, provoquentun deséquilibre minimum du circuit.
Nous supposons la lampe électromètre parfaitement symétrique (fig. 21). De même le circuitde chauffage du filament commun est supposé bien symétrique, tandis que les tensions e0 de pola-risation grille-masse sont prises rigoureusement égales.
28
trt.T.
P s résistance interne
its coefficient d'amplification
Fig. 21
Dans ces conditions la différence de potentiel UA = E entre les deux anodes est nulle et unerésistance R insérée entre les deux points A et B sera parcourue par un courant nul. Nous nousproposons maintenant d'étudier l'effet de l'injection d'une différence de potentiel e sur une des gril-les et plus particulièrement son effet sur le courant j parcourant la résistance supplémentaire in-sérée entre les deux plaques.
Pour cela simplifions tout d'abord le circuit de chauffage du filament. Dans ce circuit noustenons compte de la résistance propre du filament (120Q ) en la répartissant d'une manière symé-trique comme l'indique la figure 22. Une transformation triangle étoile transforme alors le schémade la figure 22 en celui de la figure 23, rf étant la résistance propre à chacune des cathodes etr étant la résistance commune aux deux cathodes.
p
Nous pouvons maintenant écrire l'équation de la lampe en ne nous intéressant qu'aux varia-tions autour de la position de symétrie. Nous trouvons sans difficultés :
E = ( u + l ) r f
Cette équation peut être simplifiée si l'on néglige le produit ( n + 1 ). r f . Cela est justifié car lecoefficient fi est très voisin de 1 et la résistance rf est faible. En effet la transformation étoile-triangle nous donne : rf <11OQ. Comme p~ 40 KQ et RO~125KQ, la simplification envisagée estparfaitement justifiée, étant donné la précision des mesures.
Le montage se comporte donc comme un générateur de f. é. m. Eo et de résistance interne Ro,dont les valeurs sont données par :
p ^ p
Remarquons que Ro est alors la résistance vue aux bornes de A et B, comme l'indique la figure 24 .
29
Fig. 22
: •
T- • r
Fig. 23
*? I f f
8
Fig. 24
30
différentielle photodianod«
Source ruban W
Relais SiemenP
Générateur T.B.F.
adaptateur d1 impédance
Potentiomètre4
Lampe electron*
Figure 25. - Schéma général de l'appareil.
31
1.2.7 - Schéma général.
Nous avons étudié en détails les différents éléments du simulateur - sauf les appareils an-nexes. Nous pouvons cependant en donner le schéma général. Nous retrouvons ainsi sur la figure25, le schéma de la figure 2.
Nous allons maintenant donner quelques détails sur les appareils annexes, soit le générateurT.B. F. , le périodemètre, l'adaptateur d'impédance et les relais SIEMENS.
1.2.8 - Générateur très basses fréquences.
Ncus avons commencé par alimenter les relais SIEMENS par un générateur de créneaux trèsbasses fréquences, formé par un multivibrateur libre, construit suivant un schéma classiq'e. Cetoscillateur s'étant. avéré de performances insuffisantes et d'emploi incommode, il nous a fallu em-ployer un appareillage plus évolué.
Le générateur finalement utilisé est un générateur très basses fréquences "G.B. 64" de mar-que "C.R.C." pouvant fournir des signaux rectangulaires (ou triangulaires ou sinusoïdaux ou impul-sionnels) de fréquences très basses, allant de 500 Hz à 0,005 Hz soit de une période en 2 milli-secondes à une période en 200 secondes, la fréquence se lisant sur un cadran gradué.
L'impédance minima de la sortie étant de l'ordre de 5 KQ et la résistance totale des relaisSIEMENS étant de 500Q , il nous a fallu construire un adaptateur d'impédance dont on trouvera ledétail un peu plus loin.
De plus nous avons construit un chronomètre électronique pour la mesure précise de la pé-riode T du créneau et de sa dissymétrie algébrique :
d = (Tx - T2 ) /T
et nous éviter ainsi une cause d'erreur importante due au générateur T.B. F. (même avec unebe d'étalonnage).
cour-
I. 2. 9 - Chronomètre électronique.
Nous allons donner quelques détails sur le chronomètre électronique ou périodemètre que nousavons construit afin d'obtenir une mesure commode et précise de la période des créneaux et de leurdissymétrie.
La mesure d'une fréquence revient à effectuer un comptage d'impulsions provenant du phéno-mène à étudier et cela pendant un temps constant, déterminé, lui, par l'appareillage de mesure(quartz). Par contre la mesure d'une période revient à effectuer un comptage d'impulsions, dues,à l'appareillage de mesure (quartz), et ce, pendant un intervalle de temps déterminé maintenant parle phénomène à étudier (c'est-à-dire déterminé ici par le début et la fin d'une période). Le sché-ma de principe sera donc le suivant (voir fig. 26) :
HllllllUIlItll
T.B.P.z
deuxet deux seulement
Commanda
Fig. 26
32
Un quartz Q (de lOKc) envoie d'une façon continue des impulsions dans une porte P dont lerôle est de bloquer éventuellement le passage de ces impulsions dans des tubes compteurs décimauxCi. C2, C3, C», C5, dont la capacité de comptage maxima est donc 99 999^100 000 impulsions. Laporte P est elle-même pilotée par un organe D que nous appellerons "discriminateur", dont le rô-le est fondamental.
En période d'attente le discriminateur bloque normalement la porte ; les impulsions du quartzne passent donc pas dans les tubes compteurs (supposés remis à zéro). Le discriminateur est alorsmis en état d'alerte par l'opérateur par le jeu d'un bouton poussoir. Le phénomène à étudier étantsupposé traduit en impulsions conformes à certaines normes, la première de ces impulsions seprésentant à l'entrée du discriminateur après sa mise en état d'alerte par l'opérateur, débloque lediscriminateur qui débloque la porte : les impulsions passent et les tubes se mettent à compter .La seconde impulsion conforme aux normes imposées se présentant à l'entrée du discriminateur blo-que alors celui-ci, qui bloque la porte : les impulsions ne passent plus, les tubes compteurs s'ar-rêtent, affichant ainsi directement (en unités égales à lO'Vsec. ) la valeur de la période. Mais, etc'est là le fait fondamental, toute autre impulsion (normée ou non), suivant la seconde impulsion(soit la 3ème, 4ème etc. . . ) laisse maintenant le discriminateur indifférent, permettant ainsi l'af-fichage permanent de la période, sans quoi les compteurs marcheraient d'une manière discontinue .Une nouvelle mesure nécessite alors de la part de l'opérateur :
l / une remise à zéro des compteurs.
2/ une nouvelle mise en état d'alerte du discriminateur.
Nous avons employé des tubes compteurs ElT à base 10, construits, ainsi que le quartz (10 Kc )et la porte, par PHILIPS. Le fonctionnement du discriminateur d'impulsions que nous avons cons-truit (schéma fig. 27) nécessite des explications un peu plus détaillées.
Une mesure vient d'être faite et les compteurs décimaux viennent d'être remis à zéro par uneimpulsion ad hoc, déclanchée par un bouton poussoir n°l. Le discriminateur est alors débloqué ma-nuellement par un bouton poussoir n°2, qui coupe la H. T. aux bornes des deux tubes à gaz Z 70 U.Le bouton poussoir revenant à sa position de repos, les tubes à gaz sont à nouveau sous tension ,mais la grille d'attaque du tube de gauche (entrée n°l) est polarisée à 135 volts environ, tensioninsuffisante pour amorcer le tube à gaz ; quant à la grille d'attaque du tube de droite (entrée n°2) ,elle est à la masse. Une impulsion suffisamment positive se présentant à l'entrée n°l débloque letube de gauche. Ce faisant la tension du point F saute brutalement de 0 à + 45 volts environ, ten-sion suffisante pour débloquer la porte (primitivement bloquée par la mise à la masse du point P)qui laisse alors passer les impulsions du quartz. De même le saut brutal de tension du point Qpolarise soudainement le tube de droite, sans toutefois pouvoir l'amorcer. Une impulsion suffisam-ment positive se présentant à l'entrée n°2 débloque le tube de droite. Mais ce faisait la tension deplaque du tube de gauche s'effondre suffisamment pour le désamorcer. La tension du point P re-tombe à la masse, la porte se referme brutalement, interdisant le passage des impulsions du quartzvers les tubes compteurs. Le discriminateur est alors verrouillé. En effet toute autre impulsionvenant sur l'entrée n°l, ne peut débloquer le tube de gauche, celui-ci étant désamorcé par le tubede droite et toute autre impulsion venant sur l'entrée n°2 ne change rien à l'état conducteur du tu-be. Nous avons bien obtenu ainsi la discrimination des deux premières impulsions (positives), puisle verrouillage irréversible du discriminateur. De plus remarquons pour terminer qu'il est parfai-tement possible de mettre les deux entrées en parallèle.
Toutefois si un tel montage permet de mesurer la période totale avec une bonne précision, ilne permet pas de mesurer séparément les demi-périodes :
T1 =Y- d +d) et T2 = Y' ^ ' d>
d'où la dissymétrie :
d = (Tx - T2) / T
Pour cela il nous faut attaquer séparément les deux entrées suivant le schéma de la figure 28. Lescréneaux étant différenciés, nous obtenons une suite d'impulsions alternativement positives et né-gatives. Une première diode permet alors de sélectionner les impulsions positives sur une premiè-re voie et une deuxième diode des impulsions négatives sur une deuxième voie. Les impulsions po-sitives de la première voie peuvent être envoyées directement sur l'entrée n°l, du discriminateur.Les impulsions négatives de la deuxième voie doivent auparavant attaquer une lampe déphaseuse.
33
Commande
blocjge duquartz
M.». : L«s deux entreet«ont en paKidêlt sur le
t
Figure 27 - Discriminateur d'impulsions du périodemètré. .
I I I II \ F
I I I ?I I J J *•
Fig. 28
Le changement de signe obtenu permet alors d'envoyer les impulsions sur l'entrée n°2 du discri-minateur, il est ainsi possible de mesurer la demi-période Tx séparant les impulsions positivesdes impulsions négatives. Pour mesurer la demi-période T2 séparant les impulsions négatives desimpulsions positives, il suffit de croiser les connexion? V - E.
1.2.10 - Adaptateur d'impédance.
L'adaptateur d'impédance est constitué par deux doubles lampes montées symétriquement encathode follower comme l'indique la figure 25 ; l'alimentation n'a pas besoin d'être stabilisée, unesimple régulation par tubes néon suffit.
L'adaptateur est attaqué directement en ses grilles par la tension crénelée prise à lu sortiedu générateur T.B.F. La tension aux bornes des relais est donc elle-même crénelée ; le courantmaximum passant à travers les bobinages est alors de 8 mA. Dans ces conditions l'expérience mon-tre que les relais bien réglés donnent un bon crénelage comme nous allons le voir.
1.2.11 - Etude des relais.
Les relais sont des relais SIEMENS polarisés (Tris 63a, Tbv 3 302/1). Leur principe est lesuivant : le flux d'un aimant permanent se superpose dans un entrefer, à un deuxième flux dit fluxde commande ou flux d'excitation ; le flux permanent traverse une armature et bifurque de telle fa-çon que le flux de commande et le flux permanent s'additionnent dans une partie de l'entrefer et sesoustraient dans l'autre ; l'armature s'inverse toujours du côté où le flux est le plus puissant, saposition dépend donc du sens du flux de commande donc du sens de la tension d'excitation ; les ar-matures de ce relais pivotent sur un ressort dont le réglage de la force par rapport à la force dueau flux permanent permet d'obtenir différents comportements, pour une même allure du flux de com-mande. Dans notre cas, les relais sont à deux positions de repos de l'armature.
Fig. 29
Toute tension périodique d'amplitude supérieure à un certain seuil peut donc les actionner.Toutefois pour obtenir un fonctionnement correct du simulateur, le basculement doit être le plusbref possible. Du fait de la périodicité, les constantes de temps électriques ou mécaniques ne jouentpas un rôle prépondérant, bien qu'ayant intérêt à être les plus brèves possibles. Ce qui importec'est le temps d'attraction et de passage d'un contact à l'autre. L'existence possible de rebondisse-ments est une autre cause de perturbations importantes. En conséquence nous avons intérêt à ali-menter les relais avec un signal en forme de créneaux et d'intensité très supérieure à un certainseuil. Ce seuil peut être déterminé approximativement par des tables données par le constructeur .L'adaptateur d'impédance à cathode follower que nous avons construit, nous permet de débiter 8 mAdans les relais, ce qui est très suffisant comme l'indique la figure 29. Celle-ci montre à l'oscillo-graphe le crénelage d'une tension continue par les relais pilotés par un signal en créneaux d'unefréquence de 25 cps environ par l'intermédiaire de l'adaptateur en cathode follower. Les demi-créneaux représentent donc 20 millisecondes.
Nous pouvons constater ainsi des temps morts de l'ordre de 1 et 2 millisecondes. Le régla-ge des relais étant très délicat, il est difficile de faire mieux. Mais pour des créneaux de trèsbasses fréquences (1 cps et même moins), ces temps sont négligeables.
Pour terminer signalons un autre montage possible (voir la figure 30) ne nécessitant qu'unseul relais. Il présente toutefois le désavantage suivant : si les résistances sont faibles, l'amor-tissement du galvanomètre n'est plus négligeable, ce qui peut être ennuyeux ; si l'on augmente les
35
r
Fig. 30
résistances, la résistance aux bornes des anodes de la lampe électromètre n'est plus négligeablepar rapport à la résistance interne, par conséquent le courant maximum diminue.
BIBUOGRAPHIE DU CHAPITRE I
(1) DELOFFRE Pierre et Roig - CRAS, 1953, 1507-1509.
(2) DELOFFRE Pierre et Roig - CRAS, 1954, 1213-1215.
36
CHAPITRE II
DIAGRAMME DE STABILITÉ DE L'E'QUATION SANS AMORTISSEMENT
ET A CRÉNEAUX SYMETRIQUES : y" + (\ * * . 1) y = 0
II. 1 - CALCUL A GRANDE ECHELLE DU DIAGRAMME DL1 STABILITE.
II. 1.1 - Diagramme de stabilité.
L'équation sans amortissement, à créneaux symétriques : y" + [X + H . S(T).] y = 0 dont nousnous occupons est une équation du genre de Hill. La forme générale de cette équation est déter-minée par le théorème de Floquet, dont nous donnerons plus loin une présentation originale (voirle chapitre VII). Ce théorème nous permet d'écrire la solution générale sous la forme :
y (t) = A.e"*. $ (t) + B. e""*. Y (t)
$ (t) et ¥ (t) étant des fonctions périodiques de période T.
Si l'exposant caractéristique \i a une partie réelle non nulle, l'un ou l'autre des deux termesde y rend la solution instable. Les solutions stables sont obtenues pour :
Partie réelle de \x = 0.
Les solutions de Floquet généralisent donc les solutions y = a.e r t des équations différentiellesà coefficients constants. Pour plus de détails on consultera Bertein (1), Vogel (2), Strutt (4).
La recherche des exposants caractéristiques permet d'étudier la stabilité des équations de Hillet de tracer un diagramme de stabilité dans un plan dont les coordonnées sont fonction des diversparamètres X, x , T. Dans le cas qui nous intéresse, ce diagramme se trouve dans Strutt (3 et 4)ou Brillouin et Parodi (5). Il est reproduit sur la figure 31. Comme on peut le voir ce diagrammecomporte de nombreuses zones de stabilité, principalement dans le premier (et huitième) octant.Remarquons l'existence de points doubles, contrairement au diagramme de stabilité de l'équation deMathieu.
II. 1.2 - Etablissement des conditions de stabilité.
L'établissement des conditions de stabilité de l'équation y" + ( \ + H .^(T).) y = 0 par la méthodematricielle est maintenant classique. Il s'agit d'ailleurs d'un cas particulier de cas plus générauxque nous étudierons plus loin dans les chapitres III et IV, auxquels nous renvoyons pour les dé-monstrations.
La condition de stabilité s'écrit : (Cette condition a été donnée la I e fois par Meissner) (7)
- 1 « « - ( f ). cos (£L) - (£ •* ) . si, ( £ ) . Sin ( f
avec :a = V \ + H b =
T étant la période du créneau supposé symétrique.
Comme la zone de variation des paramètres du simulateur nous limitait pratiquement aux deuxpremières zones, nous avons recalculé avec soin cette partie du diagramme général, de façon àobtenir une zone utile à grande échelle.
37
• \ . T'
Fig. 31(d'après la référence 3 ou 4)
II. 1.3 - Calcul du diagramme à grande échelle.
X.T2
Nous construisons le graphique en portant en abscisse la quantité x = * et en ordonnée la
' K | . T2
quantité y =4 n 2 car la condition de stabilité reste invariante par changement de signe de H.
Les zones complètes s'obtiennent donc par une symétrie par rapport aux abscisses. En réalité nousnous sommes limités au premier quadrant ( \> 0) et aux trois premières zones.
Le calcul effectif des limites des zones est mal commode, la condition étant de forme assezcompliquée. Pour les obtenir nous avons recherché les points d'intersection des zones avec lesdroites passant par l'origine. Pour cela nous avons choisi des rapports K / \ , de façon à avoir desracines carrées de carrés parfaits. On obtient ainsi des multiples d'un certain arc ou d'un certainargument, ce qui permet de simplifier un peu la résolution. Nous posons donc :
X + H = m2
\ - H = n2
D'où :
2 \ = m2 + n2
2 H = m2 - n2
H m2 _
nzParmi tous les rapports -r- = — — — - , il faut choisir les valeurs permettant d'explorer tout le plan
et qui ne mènent pas à des équations d'un ordre trop élevé. Nous avons adopté les valeurs suivan-
tes pour -T— :
38
00
845/123
13/5
5/3
3/4
1
4 / 5
3/5
5/13
0
- 1 < ch x. cos x < 1.
/ 22 \ . / 19 \ 123 . /22 \ . / 19 \ ,- K c o s ( w x ) . ch ( — x ) - — sin ( — x ). sh ( — x) < 1
- 1 < cos 3 x ch 2 x - — - sin 3 x sh 2 x < 1
- 1< cos 2 x ch x - - sin 2 x sh x < 14
3- 1< cos 3 x ch x - - sin 3 x sh x < 1
4
- 1 < cos x - - sin x < 1
- i < I « ' - I » - J < .- 1 < | (9x* - 7 ) < 1
25- 1 < ——. cos 5 x - cos x < 1
- 1 < cos x < 1
*S T
nr Tx =VT T
x = cos/j T
x = c o s ^ T
x =v~r T
Le graphique correspondant a été reporté avec les graphiques universels du chapitre III cor-respondants aux différentes valeurs du produit oc.T = este. La précision est de quelques %o.
Une partie du diagramme a été vérifiée expérimentalement avec le simulateur.
II. 2 - VERIFICATION EXPERIMENTALE PAR LE SIMULATEUR.
II. 2. 1 - Equation du montage général.
Nous avons déjà donné l'équation générale du mouvement. Nous avons même indiqué les va-leurs numériques des coefficients. Nous allons maintenant reprendre l'équation, en faisant interve-nir la lampe électromètre, pour bien comprendre le fonctionnement du simulateur, ce qui nous per-mettra en passant de préciser l'influence de certains paramètres.
La lampe électromètre vue des points A et B se comporte comme un générateur de f. e.m.Eo
et de résistance interne Ro lorsqu'elle débite un courant j dans une résistance R aux bornes A, B.Mais dans le cas du montage, le galvanomètre ne se comporte pas exactement comme une simplerésistance.
Soient donc A et B, comme l'indique la figure 32, les bornes de sortie d'un générateur def. e. m. Eo et de résistance interne Ro, débitant un courant j . Soient a et b les bornes de sortie dugalvanomètre dont les bornes sont repérées une fois pour toutes. Supposons a et b reliées tout d'a-bord à A et B respectivement comme l'indique la figure 32. Le galvanomètre se conduit commeune résistance r parcourue par le courant j , mais en outre il oppose à la différence de potentielEj, une force contre électromotrice | - NSH | . •&' = + $ . •&'. Nous avons donc l'équation :
Eo - $ . = (Ro + r). (D)
la notation j * indiquant que le courant j pénètre dans le galvanomètre par la borne a et en sort parla borne b, l'indice (D) indiquant la correspondance directe (a. A), (b, B) pour les bornes.
Inversons maintenant brutalement le sens des connexions, la borne a passant de la borne A àla borne B et la borne b passant de la borne B à la borne A. Nous avons maintenant le cas de la
39
Fig. 33
figure 33. La force contre électromotrice du galvanomètre étant de la forme - — = - NSH. •&' =
-$ . -rr-est une fonction continue, si nous admettons que les discontinuités n'existent qu'à partir
des dérivés d'ordre > 2. Par conséquent le sens de cette forme contre électromotrice reste invariantpar rapport aux bornes a, b. Donc cette force contre électromotrice s'ajoute maintenant à la ten-sion Ej, tandis que le galvanomètre est maintenant parcouru par un courant j * (C) selon l'équation :
Eo + $ . $' = (Ro + r ) . JÏ (C)
la notation j b indiquant que le courant j pénètre dans le galvanomètre par la borne b et en sort parla borne a, contrairement au premier cas, et l'indice (C) indiquant la correspondance croisée (a, B),(b. A) pour les bornes.
Comme nous avons la relation : j * (C) = - j * (C), nous pouvons écrire pour chacun des deuxcas :
40
E; - « e« = (Ro + r ) - Jb (D)- E; - 4 e« = (Ro +r ) . J; (C)
Soit en employant la notation S (t) :
(R,, +r). jj = Î ; . S*(t) -4 «'
qui précise la relation :
E - $ •&' = r i
du système primitif
= 14-J E - $ $' = riV.E = A $
Nous obtenons ainsi l'équation finale
qui est de la forme :
S" + (an ). G1 + ( \ + H . 'S), e = 0
Avant de terminer, il faut toutefois remarquer que nous avons négligé la self propre du cadredu galvanomètre, ramenant ainsi l'équation finale à une équation du deuxième ordre (en toute rigueurl'équation d'un galvanomètre est du troisième ordre).
II. 2. 2 - Principe des mesures avec le simulateur.
Il faut remarquer avant toutes choses, que nous introduisons une erreur systématique en né-gligeant l'amortissement minimum :
a••»«» i I ( R 0 + r )
QNous montrerons dans le prochain chapitre qu'il faut considérer non pas la quantité X =-j-mais la
. a2
quantité l - A. - —- .
Cela étant nous dirons qu'un régime est instable quand des elongations maxima successives ,observées sur l'échelle de lecture, croîtront au cours du temps jusqu'à ce que la limite de linéaritéde la cellule soit dépassée. Les amplitudes sont alors quelquefois bornées par la non linéarité. Maisbien souvent le spot sort des limites de la cathode. (Voir le chapitre IV).
On veut tracer les courbes expérimentales limitant les zones de stabilité pour un rapport
\ 4n2 \T2
QII suffit de faire varier lentement la fréquence et d'observer le spot de lecture. Le terme \ = -=—étant déterminé une fois pour toutes par les constantes du galvanomètre, il faut obtenir K , c'est-à-dire l'amplitude de la fonction créneau. Cette amplitude w se déduit de la période d'oscillation dugalvanomètre primitivement lancé, la boucle du système asservi étant fermée sur le galvanomètre ,mais les relais n'étant pas alimentés. Dans ces conditions deux cas sont à considérer :
a) H< X. Les deux positions des relais donnent des oscillations de période Tx etT2.Ona alors :
A. + H =X - H =
41
Les valeurs obtenues doivent être égales. L'expérience montre que cela est d'autant moins bien vé-
rifié que le rapport -r- se rapproche de l'unité (même en tenant compte de l'amortissement). CeciA.
se comprend en remarquant que la partie centrale de la courbe réponse E (•&) de la photodianoden'est linéaire qu'en moyenne. Il en résulte que la différence : \ - K donne une valeur de plus enplus fluctuante, le mouvement est de moins en moins sinusoïdal et la période T ne peut donner deH que des valeurs de plus en plus incertaines. On devra donc préférer la mesure donnant n1 :
X+ ^ = 4u
b) H >\ . Une position du relais donne une solution exponentielle. L'autre position don-ne une solution sinusoïdale, dont on mesurera la (pseudo)-période d'où x .
II. 2 . 3 - Résultats des mesures.
Les résultats obtenus avec le simulateur sont indiqués figure 34. Comme on peut le voir, lacourbe expérimentale épouse la courbe théorique, ce qui est satisfaisant. Les courbes ne coïncidenttoutefois pas, la courbe expérimentale mordant sur la zone instable théorique. Autrement dit leszones de stabilité théorique sont plus petites, ce qui semble normal puisque nous sommes obligésd'introduire un certain amortissement, inhérent au montage, faible mais présent malgré tout. Lacoïncidence courbe théorique-courbe expérimentale s'effectue à 4 % environ pour la partie de gauche(première zone stable) et à 2 % environ pour la partie de droite (deuxième zone stable). Pour laprécision des mesures elles-mêmes, il semble que l'on puisse admettre 2 % à 1 % environ.
Il faut observer que la transition entre un mouvement stable et un mouvement instable est dif-ficile à déterminer (particulièrement pour la partie gauche). En effet dans le cas d'un amortissementnul, le mouvement stable est un mouvement borné (et non pas amorti). Il est donc délicat de dé-terminer la transition, qui s'observe en notant le passage du mouvement simplement borné à unmouvement périodique fugitif puis à un mouvement oscillatoire exponentiel. Cette observation estd'autant plus délicate que pour les limites des zones, le mouvement périodique n'existe pas en réa-lité. Car si l'une des solutions est bien périodique, l'autre par contre est linéairement (et non pasexponentiellement) instable. Consulter par exemple Bertein (1). Dans le cas d'un amortissement lemouvement stable théorique est amorti et tend vers zéro. Le cas semble plus favorable. En réali-té il n'en est pratiquement rien. En effe* il subsiste toujours un bruit de fond, souvent perceptibleà l'oeil. Ce bruit de fend est dû aux cùssymétries du montage impossible à compenser avec lesmeilleurs réglages. En ce cas l'équation simulée s'écrit :
y" + a . y ' + [\ + K. S*(T)] y = ^ + £, .
On peut alors montrer (voir le chapitre IV) que le mouvement ne peut rester amorti, son amplitu-de maxima croissant d'une manière hyperbolique aux approches de la transition théorique.
Une mesure expérimentale nécessite donc d'abord une variation quasistatique de la fréquencepour éviter les transitoires perturbateurs, ce qui est relativement facile ; ensuite, avant chaquemesure, un réglage soigné au maximum de la dissymétrie du montage (en particulier par observa-tion du bruit de fond).
Les résultats expérimentaux trouvés doivent donc être considérés comme satisfaisants, malgréla non-coïncidence des courbes théoriques et expérimentales.
m2
Toutefois il ne nous a pas été possible de retrouver le point double théorique y = 0 ; x= -^-.
Autrement dit nous n'avons plus séparation des zones stables (6).Pour interpréter ces différences et particulièrement la non-existence du point double, nous
avons étudié théoriquement et expérimentalement l'équation de Hill avec amortissement et c'est cetravail qui fait l'objet du chapitre suivant.
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE II
(1) BERTEIN F. - Méthodes Théoriques Fondamentales. Tome III du cours 3ème cycle: "Théorie etTechnique des Accélérateurs de Particules" (INSTN-SACLAY).
42
43
(2) VOGEL Th. - Les fonctions orthogonales dans les problèmes aux limites de la Physique Mathé-matique (CNRS, Par is 1953).
(3) VAN DER POL and STRUTT - Philos. Mag. V, 1928, p. 23.
(4) STRUTT - Lamesche, Mathieusche und verwandte Funktionen (Ergebnisse der augewandten Ma-
themstik - Springer Verlag, 1932), p. 40.
(5) BRILLOUIN et PARODI - Propagation des ondes dans les milieux périodiques.
(6) VALAT J. - CRAS, 244, Mai 1957. 2 462 - 2 465.
(7) MEISSNER - Schweitzerische Bauzeitung, 72, 1918.
44
CHAPITRE III
DIAGRAMME DE STABILITE' DE L'ÉQUATION AVEC AMORTISSEMENTET A CRÉNEAUX SYMÉTRIQUES : y" + a y' + [X * *. 5 (t)]. y = 0
III. 1 - ETABLISSEMENT DES CONDITIONS DE STABILITE.
III. 1.1 - Mode d'influence de l'amortissement.
Nous sommes donc conduits à étudier le diagramme de stabilité de l'équation à créneaux sy-métriques :
y" + ocy' + [X +K . ïT(T) ] y = 0
Posons suivant une transformation classique :
y = u(t). exp ( - y t )
Nous nous ramenons ainsi à l'équation de Hill :
u" + (\ . -—+ H. sf(T)) u = 0
pour laquelle le théorème de Floquet donne une solution particulière :
u = A. exp (|at). $ (t)
<& (t) étant une fonction périodique de période T. D'où :
y = A. exp ( (n - - |_ ) t ) . « (t)
L'amortissement modifie donc de deux façons les zones de stabilité obtenues pour a = 0. D'une part
il modifie le coefficient \ qui devient (\ - —\ et d'autre part il change l'exposant caractéristique
H qui devient (p --jr).
III. 1.2 - Etablissement des conditions de stabilité.Considérons l'équation à coefficients constants :
y" + a y1 + P
Sa solution gér.Jrale s'écrit en posant : w2 = P - —
= 0
y (t)
y1 (t)
(cos œ t) (sin a) t)
C1
- a) sin w t Çui cos w t
- — cos u) t (. " | - s i n u *
45
A
B
d'où en inversant la matrice :
/ at \= exp ( — ) .
(cos ut - •-— . sin a) t) (- — • sin w t
( s i n cot + — • c o s a) t\ f— • c o s u t )V 2 w / Vw /
y (t)
y1 (t)
La relation de transfert entre les quantités au temps t et les quantités au temps t +T s'écrit donc,tous calculs faits :
y (t +
y' (t + T )
= exP
/ 0(1 \
( - -y ) .
cos WT + sin UT2u>
2-fto + - — ) . sin
V 4u)/
— sin a) T
fcos tox — -r— sinwT2u) y1 (t)
M (OJT)y (t)
y' (t)
soit pour abréger :
"y (t +
y' (t
Considérons maintenant l'équation de Hill :
y" + a y' + ( \ + x . S*(T). y = 0
où nous supposons le créneau symétrique, c'est-à-dire Tx = T2 = T/2. Prenons une origine destemps telle que le début du demi-créneau positif soit en t0, puis posons :
TNous obtenons alors la relation de transfert entre les quantités séparées par une durée -r—+ x :
y (to + T / 2 + T )
y1 ( t + T / 2 + T )
M {bx) M
y (t0)
y1 ( t )
où la matrice :
M , b T ,
a pour composantes les valeurs :
( - f (f+T ))• { c o s b T [ i Bia7r sin bT [ i c o s
46
6
b . aT a aT 1T s i n l - ' l b COS~J
Cette forme nous permettra dans un prochain chapitre (V) d'étendre la condition de stabilitéaux créneaux dissymétriques (Tx f T2 ). De plus elle nous permet de nous rendre compte que :
ce qui va nous faciliter plus loin le calcul du déterminant (Wronskien) de la matrice de transfertM (T/2 +T/2)entre les instants to et to + T.
Pour trouver maintenant les conditions de stabilité, remarquons qu'une solution particulièrede l'équation de Hill du simulateur, étant de la forme y = A exp (mt). $ (t), devient au bout d'unepériode :
y (t +T) = A. exp (m (t +T)). $ (t +T) = exp (mT). y (t) = r. y (t)
Nous aurons donc la relation matricielle suivante :
y (to + T)
y' (to +T
D'où le système homogène :
My (toî
y1 (t0)
r 0|
0 r
y( t o )
y (t0)
Mr 0
0 r ) I y (t.)= 0
Par suite les valeurs propres r t sont données par le déterminant
M,, - r) M.12
(M,, - r)= 0
La solution sera stable si les valeurs propres de la matrice ||M || sont, en module, inférieures ouégales à l'unité. L'équation aux valeurs propres est de la forme :
r2 - tr + 6 = 0
où t est la trace t = Mu + M?2 de la matrice générale || M || , qui s'écrit après simplification :
Les quantités a et b peuvent devenir imaginaires pures. Toutefois la trace t reste toujours réelle.La quantité 6 est le déterminant de la matrice générale ||M||. On peut le calculer directement ,mais les calculs sont pénibles. Il est plus simple de remarquer que 6 . Wronskien de l'équation li-néaire (M21 = r - M u etMn = -r— Mi2 j peut s'écrire :
/
Tadt) = exp (-aT)
0
L'équation s'explicite alors sous la forme :
••exp ( -¥•)• f2 cos f - c o s ¥- - ( l+ - )r * - r. i n f ^ exp , - « T ) . 0
Les zones de stabilité seront définies par :
| r | < 1
Les résultats de la discussion dépendent du signe de a .
Pour a > 0, nous avons trois cas :
1/ 11 |> 1 + e-aT : II y a instabilité, l'amplitude des oscillations croîtra et atteindra la zone denon linéarité de la cellule.
2/ | t | = 1 + e-aT : II existe une solution périodique vers laquelle tend la solution générale, carl'autre solution s'évanouit.
3/ | t | < 1 + e-aT : II y a toujours stabilité, que les valeurs propres soient réelles ou complexes .Les solutions sont amorties exponentiellement.
En résumé les zones de stabilité sont déterminées par la condition :
. aT bT / a , b x . aT . DT| _ , ,aTv2. cos —- cos -z (,- + - ) . sin — sin — < 2 ch (—r-\aT bT / a , b \ . aT
_ cos — - ( 6 + - ) . sin — s u y
Cette condition généralise la condition de Meissner, Strutt et de Van der Pol obtenue précédemment,que l'on retrouve en faisant a = 0 (1).
Pour a < 0, il y a toujours instabilité.
En effet si les valeurs propres sont réelles, il y en a au moins une de module supérieur àl'unité, puisque pour r = \/"o~ point d'intersection avec l'axe des r de la parabole y = ô - r2, lieu desminima des paraboles y = r 2 - t r + ô, nous avons :
fà= exp (-•2YL)= exp (+ | oc j-y-) > 1
Si les valeurs propres sont complexes nous avons :
t ±j. V4 6 - t2
2
d'où
| r | = t + 44° - * = 6 = exp (+|cc|.T)> 1
II y a encore instabilité.
La figure 35 résume cette discussion. Remarquons l'existence d'une racine double pour
r = exp (—ô"~V a r s u i t e» pour a> 0, l'une des solutions sera amortie en exp (~^êr\- Pa r con-
tre, l'autre solution, stable en principe puisque de la forme (at + b). Y(t). exp /--^A le sera d'au-\ 2/
tant moins que a sera faible et le bruit de fond de l'appareil important. Physiquement il pourra yavoir des lignes de résonnance.
oc2v T2
Pour terminer, signalons la disparition des points doubles de l'axe des abscisses ( \ —-—\ ——- .\ 4 / 4 7tz
III. 2 - CALCUL D'UN DIAGRAMME UNIVERSEL aT = Cste.
Nous avons quatre paramètres \ , w , a , T. Si nous voulons obtenir un graphique qui soitd'une valeur universelle, il est nécessaire de nous donner une relation supplémentaire de façon àobtenir une représentation cotée. Nous avons choisi de prendre aT = este, qui semble simplifier aumieux les calculs.
48
Fig. 35
H TNous construisons le graphique en portant en ordonnée la quantité y = * g mais cette fois ci
? T2 / e t 2 \
la quantité x = ^—5- en abscisse, {l = X ——, et non pas X \ Nous nous sommes encore limités au
premier quadrant (4 X > a2) et aux premières zones.
Le calcul effectif s'obtient de la même manière que pour a = 0 en recherchant les points d'in-
tersection des courbes de transition ocT = este avec les droites y =— x, passant par l'origine .Nous avons choisi pour — les mêmes valeurs que précédemment soit :
-f-= °° : - | | | ; 13/5 ; 5/3 ; 5/4 ; 1 ; 4/5 ; 3/5 ; 5/13 ; 0
de manière à obtenir comme déjà dit des racines carrées de carrés parfaits donc des arcs (ou desarguments) multiples. D'autre part pour ocT = este, nous nous sommes limités aux valeurs suivan-tes :
O C T = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7
Pour préciser l'allure de certaines branches, nous avons recherché l'intersection avec les
deux droites y = + mx + n, où m = - 1, tandis nue n = (—) et (2)2. Nous avons également recherché\ 6 /
49
50
les points d'intersection avec la verticale x = 1,1. Nous avons calculé en tout les coordonnées de135 points différents. La figure 36 reproduit les zones de stabilité du graphique universel à ocT =este = 0 ; l ; 2 : 3 : 4 ; 5 ; 6 ; 7 . La précision des valeurs calculées est de quelques %o (1).
Nous constatons donc bien d'une part l'élargissement des zones de stabilité et d'autre part lasuppression des points doubles, ce qui peut d'ailleurs se voir sur les conditions de stabilité.
Toutefois la vérification expérimentale des diagrammes universels à ocT = este est malaiséeà obtenir avec un appareil comme le simulateur (nous l'avons cependant effectuée plus tard avec uncalculateur universel - voir le chapitre V).
Par contre elle se fait tout naturellement à a = este : il suffit de mettre en parallèle avecle galvanomètre une résistance judicieusement choisie, comme il apparaît sur l'équation généraledu montage avec la lampe électromètre.
En effet nous avons un générateur de f. e.m. # ^ PR . \i A S et de résistance interne équiva-
r T?
lente #• 2. ' •" = Ro. D'où, comme nous le verrons plus loin, l'équation générale du montage :
+ ]^..JL . RP >*"• ; . S J . •» = 0
p étant la résistance interne, R la résistance des plaques, \± le coefficient d'amplification et R larésistance aux bornes.
III. 3 - CALCUL D'UN DIAGRAMME PARTICULIER a = este.
Il est impossible de donner un graphique universel à a = este. Nous avons en effet deux pa-ramètres "naturels" X et a et deux paramètres "extérieurs" H et T, soit quatre paramètres en tout .Il est donc nécessaire de s'imposer une relation pour obtenir une représentation plane cotée (soitpar exemple ocT = este). Ou bien alors il faut se fixer un paramètre. Il semble particulièrementcommode de garder X constante, puisque cette quantité représente la constante de torsion du galva-nomètre et de faire varier, dans l'ordre a , H , T, les autres paramètres. Les nouvelles zones nesont donc valables que pour une valeur donnée de X.
Ces graphiques a = este diffèrent des graphiques ocT = este principalement par leurs pointsK T2
d'intersection avec l'axe vertical-r~- .Toutes les courbes oc= este passent par les points d'inter-
section de cet axe avec les branches de la courbe a = 0.Nous avons fait le calcul pour X = 13,65 correspondant au galvanomètre du simulateur et pour
les valeurs <x= 1, a = 1,5, a = 2. Nous avons calculé les coordonnées de 30 nouveaux points. La fi-gure 37 reproduit les zones de stabilité du diagramme. C'est ce diagramme que nous nous som-mes proposés de vérifier expérimentalement par le simulateur, avec une résistance en parallèlepour introduire un amortissement constant.
III.4 - ETUDE GENERALE DU MONTAGE AVEC AMORTISSEMENT QUELCONQUE.
Nous avons déjà établi l'équation générale du montage avec son amortissement propre c'est-à-dire avec le plus faible amortissement possible. Il nous faut maintenant étudier l'influence de lamise en parallèle d'une résistance pure R avec le galvanomètre. De cette manière il nous sera pos-sible en choisissant convenablement R d'imposer le coefficient d'amortissement a de l'équation :
y" +ay ' + [ \ + K. sft • y = 0
et de vérifier expérimentalement son influence sur les zones de stabilité.
Reprenons à nouveau le schéma d'un générateur de f.e.m.Eo et de résistance interne Ro dé-bitant un courant j à partir des bornes A et B sur une charge constituée par une résistance R enparallèle avec un galvanomètre. Soient à nouveau a et b des bornes repérées une fois pour toutessur le galvanomètre et de même soient a et P les bornes repérées sur la résistance R en paral-lèle.
51
mN)
0-/4
Pour la suite nous pouvons considérer que le crénelage s'effectue de deux manières différentes :ou bien le crénelage inverse le couplage (aA), (PB) et le transforme en (aB), (f3A) et vice versa ,de même qu'il inverse le couplage (aA), (bB) en (bA), (rB] et vice versa ; ou bien le crénelagen'effectue pas l'inversion du couplage (aA), (PB) et OA), (aB), et croise simplement le couplagedu galvanomètre (aA), (bB) en (aB), (bA). Les deux montages peuvent être physiquement réalisés.Dans le premier cas, la résistance R est en amont des relais, dans le deuxième cas elle est enaval, directement aux bornes du galvanomètre. Si le crénelage est correct le résultat est le même .Dans la suite du raisonnement nous supposons, pour raison de simplicité, les bornes a et p cou-plées invariablement aux bornes A et B, soit : (aA), (pB).
Le générateur débite un courant j , la résistance R étant parcourue par un courant I et le gal-vanomètre par un courant i. Nous avons donc dans le cas (aA), (bB) de la figure 38 :
A a
r i
•••
0 S b
Fig. 38
» a
Fig. 39
53
Eo - R,,. j = R.I = *.•&• + r . il (D)
la notation ij signifiant que le courant pénètre par la borne a dans le galvanomètre et en sort parla borne b, l'indice (D) indiquant la correspondance directe (aA), (bB) pour les bornes. Nous avonsdonc :
et
soit enfin
Eo = $ . $• + r .
Inversons maintenant brutalement le sens des connexions, la borne a passant de la borne A àla borne B et la borne b passant de la borne B à la borne A. Nous avons maintenant le cas de la
figure 39. La force contre électromotrice du galvanomètre étant de la forme - - r - = - $ . $' est une
fonction continue, les discontinuités n'existant qu'à part ir des dérivés d 'ordre 2 à 2. Par conséquentle sens de cette force contre électromotrice res te invariant par rapport aux bornes a, b. Donc cetteforce contre électromotrice s'ajoute maintenant à la tension E*. au lieu de s'y opposer, tandis quele galvanomètre est parcouru par un courant ib (C). Nous avons d 'après la figure les relations sui-vantes :
Eo - Ro. j - R. I = - $ . •&' + r . ib (C)
la notation i§ (C) signifiant que le courant pénètre par la borne a dans le galvanomètre et en sortpar la borne b, l'indice (C) indiquant la correspondance croisée (aB), (bA) pour les bornes. Nousavons donc :
i = I + ib (C) = —- +— ib (C) + i1
• R R * '
et
Eo = - * . « • + r . ib. (C)
soit enfin :
Comme nous avons :
i.b
nous pouvons finalement écr i re pour chacun des deux cas :
soit en employant la notation S (T), la relation :
=EO
54
qui précise la relation :
E - £>•&' = ri
du système primitif :
En nous rappelant que :
nous obtenons ainsi l'équation finale suivante :
ou bien :
qui est de la forme :
e" + a S ' + (X + K . S). •& = 0
Pour R = °° nous retrouvons l 'amortissement "îinimum. Nous avons a lors :
a =-£• ' 1 * ' f
mini " I
et
x RTDonc pour une résistance R en parallèle :
r +R_H»
relation dont nous nous servirons plus loin.
III. 5 - VERIFICATION EXPERIMENTALE DU DIAGRAMME a = este.
Les valeurs a s'obtiennent par mise en parallèle d'une résistance R avec le galvanomètre- 2
(r) et la lampe électromètre (R ). Cette résistance est donnée par la formule : a . I =f +
Or les quantités f et $ s'obtiennent par des mesures d'amortissement et de résistance critique .Ces quantités nécessitent un grand nombre de mesures pour être obtenues avec quelque precision.
Nous avons effectué la vérification expérimentale pour a = 1. Plus tard nous avons repris lesmesures pour a = 1 et a = 2 (voir le chapitre VI). Les résultats obtenus pour a = 1 sont indiquésfigure 40. La courbe expérimentale possède à peu près la même allure mais ne coïncide pas avecla courbe théorique. En particulier la courbe expérimentale ne semble pas du tout vouloir passer
( l T2 H T2
x = -7—7= 0 ; y = ' 2' § 0,356 \ de la courbe aT = 0 = a avec l'axedes y. Ce point est en effet un point multiple commun à toutes les courbes a = este. La courbe
55
56
expérimentale semble vouloir passer plus haut vers le point (x = 0 ; y~ 0,38) approximativement.Une incertitude sur la résistance en parallèle ne saurait influer de cette manière sur la courbeexpérimentale. En somme la vérification expérimentale n'est pas très bonne. Cependant le faitessentiel de la non existence du point double sur l'axe des x est bien vérifié.
Nous avons pensé que nous pouvions peut-être attribuer cette non-coïncidence des courbes auxdissymétries du montage. Nous avons donc étudié quelle pouvait être l'influence de ces dernièressur la stabilité du mouvement. C'est ce que nous allons maintenant préciser.
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE III
(1) VALAT J. - CRAS, 244, Juin 1957, 3 017-3 020.
57
CHAPITRE IV
STABILITÉ DU SIMULATEUR SOUMIS A UNE PERTURBATION CRÉNELÉE
DUE AUX DISSYMÉTRIES
IV. 1 - ORIGINE DES DISSYMETRIES.
Malgré toutes les précautions prises dans le réglage, il subsiste toujours des dissymétries,difficiles à annuler, qui contribuent au "bruit de fond" que l'on peut constater même avec un amor-tissement non négligeable.
Ces dissymétries prennent leurs origines :
a) dans la dissymétrie de la réponse de la photodianode qui même en supposant la ré-ponse bien linéaire donne :
e = A. •& + e0
b) dans la dissymétrie de la lampe électromètre et sa dérive inévitable d'où :
E = En + Ke Soit : E = E + Ke + KA. •&
c} enfin dans les différences de potentiel de contact, malgré toutes les précautions pri-ses dans le câblage. Pour une position du relais nous avons une ddp de contact dans un certain sens .Pour l'autre position du relais nous avons une ddp de contact soit de même sens soit de sens op-posé et de module, soit supérieur soit inférieur. C'est-à-dire qu'à la tension : (KAô + Ke + E ). Ss'ajoute une tension crénelée de la forme : E' + E". S.
Par suite l'équation du simulateur s'écrit en réalité :
y" + a . y' + [ X + H. S], y = ex + e2. S*
Les termes z1 et e2 sont faibles ; cependant malgré cela, leur influence peut perturber considéra-blement le fonctionnement du simulateur.
C'est ce que nous allons montrer maintenant et pour ce, nous allons étudier la stabilité del'équation, avec second membre non nul et crénelé périodiquement.
IV. 2 - STABILITE DE L'EQUATION AVEC AMORTISSEMENT A CRENEAUX SYMETRIQUES ET ASECOND MEMBRE NON NUL, PERIODIQUE ET CRENELE.
Pour a = 0, ce cas correspond à l'étude des perturbations du type "défauts d'alignement" dansun synchrotron à convergence forte. Il a été étudié par divers auteurs. On consultera par exempleSeiden (1).
L'équation étant linéaire, la solution est la somme de la solution générale sans second mem-bre et d'une solution particulière avec second membre.
Nous aurons donc pour l'équation : y" + a .y ' + P .y = y la matrice de transfert suivante, en
a2
posant : u2 = p --j—et en suivant le calcul du chapitre III:
58
y (t
y1 (t + T ) - o
cos ^—2(0
1
cos to T --=— sina)T2w y1 (t)
Considérons maintenant l'équation de Hill : s
y" +o.y» + ( A + K . sT(T)). y = e, + e2 . s'(T)
Prenons une origine des temps telle que le début du demi-créneau positif soit en to. Il vient
T
M (aT/2)
y (to) - X +K
y1 (t0) - o
Ce qui en posant
m (aT/2)
s'écrit également
y (t0 +T/2)
y1 (to+T/2)
soit pour le créneau entier :
y(to+T)
/ aT , a . ai x / ai" (cos — + 2T • s in — ) • exp (" T
aT . . . . / aT,
M (aT/2)
. sin -r- . exp
y (t0)
y1 (t0)
4 ;
A . + Hm (aT/2)
= M (— \2 )
y
y
(t0)
1 (t.)y' (to +
Par suite au bout du n i è m e créneau nous avons :
y (to +nT)
y' (t +nT)
M m/aT(T) (fcft-
M bo
n I y (to)X
y1 (U+ W j MbI I i . m
avec
e t
M ba
/ b T
Développons || m j | . || 1 || suivant les vecteurs propres y et y de la matrice M. Il vient :
y (to + nT)
o r"
yx
y2
(t0
(t0
) 1) II
+ian-i ||
Vt a o H 0
o
r2*m
2y2 (t.)
Quand n tend vers l'infini, et dans le cas où le module de chaque valeur propre est inférieurà l'unité, la somme £ tend vers :
59
o 1 - r2
Par conséquent nous pouvons conclure :
a) Pour | r j >1, le mouvement est instable (comme pour zi = e2 = 0).
b) Pour | r | = 1, le mouvement n'est plus périodique comme dans le cas ex = e2 = 0 ;a > 0, puisque la série I diverge.
c) Pour | r | < 1, le mouvement est stable mais ne tend plus vers zéro. Il reste un mou-vement forcé, responsable de certaines résonnances.
d) Le mouvement étant stable mathématiquement prend une amplitude physiquement dan-gereuse quand on se rapproche des courbes de transitions. En effet, nous avons alors |r|—»-l ; le
mouvement forcé résiduel croît donc comme : —:—'. J. '. ' î. Il sera donc difficile d'obtenir1 - r
des transitions expérimentales nettes.
e) Les transitions seront encore beaucoup moins nettes aux alentours de la première bis-
sectrice du fait du terme en : -r .X - Y.
f) Ces circonstances défavorables seront d'autant mieux compensées que les termes e etE2 , ainsi que la somme : ( ex - e2 ) seront plus petits.
Nous limiterons là notre étude de l'influence des dissymétries.
IV. 3 - VERIFICATIONS EXPERIMENTALES.
Nous avons procédé à un certain nombre de vérifications d'ordre plus qualitatif que quantitatif.
a) Les paramètres étant choisis de manière à obtenir un mouvement stable (par exemplef = 5 cps) et tendant vers zéro - (amortissement non nul mais dissymétrie nulle), nous imposonsau système une dissymétrie mesurée par le décalage du spot au repos. Puis mettant les relais enaction, nous mesurons l'amplitude maxima du mouvement forcé. La courbe obtenue est reportée fi-gure 41. Elle est toutefois relativement peu intéressante, car elle indique la proportionnalité dumouvement forcé à la dissymétrie e donc exprime finalement une mesure de la linéarité de la ré-ponse de la cellule photodifférentielle.
b) Les paramètres étant choisis de manière à obtenir un mouvement stable comme pré-cédemment, nous maintenons la fréquence à une valeur fixe (f = 5), ainsi que la dissymétrie enco-re mesurée par le décalage du spot sur la règle graduée ( e = 50 mm), les relais étant au repos .Ces derniers étant mis en action, nous faisons alors varier H . L'expérience a été faite avec l'a-mortissement minimum c'est-à-dire l'amortissement intrinsèque au simulateur. La courbe 42 re-présente précisément les variations d'amplitude maxima en fonction du rapport : H / X . La courbeobtenue quand H se rapproche de X , n'est pas incompatible avec l'allure hyperbolique attendue.
c) Le mouvement étant choisi stable comme précédemment, nous maintenons fixes tousles paramètres, sauf la fréquence que nous faisons varier très lentement de manière à obtenir lazone instable puis à la dépasser et à retomber dans une zone stable. La figure 43 montre l'évolu-tion de l'amplitude maxima en fonction de la période, autrement dit sa variation lorsque le point de
I H Ifonctionnement se déplace sur une droite y = ' ' . x sur le diagramme a = este. (Les résultats
indiqués concernent cependant un deuxième galvanomètre et non celui indiqué au premier chapitre).
Nous pouvons nous rendre compte que la transition n'est pas brutale, contrairement à la théo-rie sans dissymétrie mais conformément à celle que nous venons de rappeler. La figure 44 pré-cise, par dilatation de l'échelle des périodes, l'allure des deux transitions. Une vérification quan-titative semble peu commode. L'imprécision due aux transitions est de l'ordre de 288-275 ~ 13 mil-lisec. et de 520-497 ~ 23 millisec. pour une zone de 497-288 ~ 209 millisec. Les bandes de transi-tion sont donc de l'ordre de 5 à 10% de la largeur de bande moyenne. En réalité la mesure doitêtre effectuée entre les flancs abrupts de la bande. La transition est quelquefois assez peu sensi-ble, cependant un relevé n'est pas nécessaire en général avec un peu d'habitude. La mesure a d'ail-leurs été faite avec une dissymétrie de 1 mm. Le réglage pouvant être fait à 1/5 ou 1/10 mm, les
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flancs seront donc plus abrupts et la précision meilleure. La non linéarité de la cellule intervienttoutefois en sens opposé.
Ainsi donc les dissymétries nous donnaient l'explication d'un certain nombre de difficultés dansles mesures. Soit : la difficulté d'obtenir une transition bien nette entre zone stable et zone insta-ble, l'existence de certaines résonances et la difficulté d'obtenir une transition bien nette aux alen-tours de la première bissectrice.
Toutefois cela n'expliquait pas d'une manière satisfaisante la non-concordance des courbesthéoriques et expérimentales ainsi que la non régularité de ces dernières ; et ce d'autant plus queles premières courbes expérimentales à amortissement minimum épousaient la courbe théorique( otT = 0 = a ) d'une manière plus satisfaisante.
Nous avons pensé que ces difficultés venaient peut-être d'un déréglage de la symétrie des cré-neaux au cours du temps et d'autres manipulations. En effet, avec le périodemètre nous ne pou-vions alors mesurer que la durée totale du créneau. Nous ne disposions pas non plus d'oscillogra-phe descendant suffisamment bas en fréquence. Un réglage, possible sur les gammes les plus ra-pides (500> f > 50) et (50>f> 5) ne donne d'ailleurs qu'une précision insuffisante quelque soit la ma-nière dont on l'envisage. Et surtout les fréquences correspondant aux zones de transition se situentaux alentours de 0,5 et par suite se trouvent à cheval sur les gammes (5> f > 0,5) et (0,5 > f> 0, 05).Ce fait n'est pas du tout favorable à la stabilité de la fréquence et du rapport des "demi-périodes" ,par les commutations de gamine qui en résultent.
C'est pourquoi, d'une part, nous avons entrepris de perfectionner le périodemètre électroni-que de manière à pouvoir lui faire mesurer les "demi périodes" désirées. (Ce perfectionnement aété tout de suite indiqué dans l'étude du chronomètre électronique chapitre I).
D'autre part, pour évaluer la compatibilité de l'ordre de grandeur des erreurs, nous avonsentrepris l'étude de l'influence de la dissymétrie algébrique des créneaux sur les diagrammes destabilité, influence que nous allons maintenant préciser.
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE IV
(1) SEIDEN J. - La stabilité des Orbites dans le Synchrotron à Forte Convergence (Thèse, Paris1955).
65
CHAPITRE V
DIAGRAMME DE STABILITE' DE L'ÉQUATION AVEC AMORTISSEMENTy" + a V + [X • x, î ( t ) ] . y = 0
POUR DES CRÉNEAUX ? DISSYMÉTRIQUES DE DISSYME'TRIE d = - i
V-l - ETABLISSEMENT DES CONDITIONS DE STABILITE.
Nous sommes donc amenés à étudier la stabilité de l'équation à créneaux dissymétriques(T i T ï •
y" + a.y f + [\ + H . § (Tj ; T2)]. y = 0
Pour cela nous introduisons la dissymétrie algébrique : d =
T à • S = - 1 , comme l'indique la figure 45. D'où :
T - T- x i x 2 , Tx correspondant à : S = 41 et
T x =•
T = —-1 2 2- d )
Pour d = 0 le créneau est symétrique. Pour d = ± 1 le créneau se transforme en une suite périodiqued'impulsions de hauteur ¥ 2 reliées par une base d'ordonnée ± 1.
Pour établir la condition de stabilité, il nous suffit de revenir à la relation de transfert éta-blie au début du chapitre III et qui s'écrit :
y (t
y1 (t +T
= exP
c o s o)T +
OJ
2 co
. sinorr
—O)
( COSOJT - •
Tt
y (t)
y1 (t)
Fig. 45
66
Par conséquent la matrice de transfert pour le créneau dissymétrique se duduit de la matriceT T
de transfert pour le créneau symétrique en remplaçant dans cette dernière la quantité — par-^-. (1 + d)
et T par — . (1 - d). Il en résulte que le Wronskien ô = 60. exp (-a T) de la matrice de transfert
reste invariant. Par contre la trace t = Mn + Mj, se modifie et la condition de stabilité devient (1):
cos{f (I • « } . cos{f (1 -d,} -{1*1). sin{f (1 +d,} . s l n { f (1 -dj|« 2ch f-{ f (I • « } . cos{f (1 -d,} -{1*1). sin{f
Pour la discussion complète nous renvoyons au chapitre III. Rappelons simplement qu'en plusde la condition de stabilité indiquée, l'amortissement a doit être positif le mouvement étant toujoursinstable pour a < 0.
V-2 - CALCUL DES DIAGRAMMES UNIVERSELS : aT = este POUR DES CRENEAUX DISSYMETRIQUES
Nous avons maintenant 5 paramètres X , H , a , T, d. Nous avons conservé les coordonnéesdéjà prises pour d = 0, c'est-à-dire
x SLZ* = / X — V - A et y = | H | - T Î
ainsi que le tracé à aT = este, la dissymétrie algébrique étant toutefois fixée à une valeur donnée .Nous nous sommes également limités au premier quadrant et aux premières zones.
Le calcul effectif s'obtient toujours de la même manière en recherchant les points d'intersec-Ix I
tion des courbes de transition aT = este, avec les droites y = -—-. x passant par l'origine. Nous
avons choisi pour |x.|/Z les mêmes valeurs que précédemment soit :
|K|/Z = oo ; 845/123 : 13/5 ; 5/3 ; 5/4 ; 1 ; 4/5 ; 3/5 5/13 ; 0
de manière à obtenir, comme déjà dit, des racines carrées de carrés parfaits donc des arcs oudes arguments multiples. Nous avons également recherché les points, d'intersection avec un certainnombre de droites y = - x + n. D'autre part pour a .T = este nous nous sommes limités à différentesvaleurs entières 0, 1, 2, . . . 6 et même plus suivant la valeur de la dissymétrie algébrique. Pourcelle-ci nous nous sommes limités aux valeurs d = - 0,4 ; - 0, 1 ; (0) ; + 0, 1 ; +0,4.
Nous avons ainsi tracé quatre autres diagrammes universels représentés sur les figures (46à 50) avec le diagramme d = 0. Pour ce faire nous avons calculé les coordonnées de 300 pointsthéoriques (non compris les 135 points du diagramme d = 0). Ce grand nombre de points est pour-tant juste suffisant pour déterminer l'allure générale des courbes, particulièrement pour les dia-grammes d = ±0,1. Nous avons toutefois profité de la vérification expérimentale de ces diagrammesthéoriques pour préciser leur allure (1). Nous allons en parler maintenant.
V-3 - VERIFICATIONS EXPERIMENTALES.
Nous avons déjà dit que la vérification expérimentale de diagrammes universels a . T = esteétait malaisée à obtenir avec un appareil comme le simulateur. Il nous fallait donc, vérifier lesdiagrammes sur une autre machine.
Nous avons eu la chance de pouvoir disposer des machines du Laboratoire de Calcul Analogi-que du CE .A . à Saclay. Le générateur très basse fréquence que nous avons utilisé est un géné-rateur C.R.C.(T.B.F.G.B. 64) identique à celui indiqué dans le premier chapitre. Toutefois le pé-riodemètre que nous avons employé est un périodemètre de conception CE .A . (2). Nous allonsmaintenant parler de la machine analogique universelle.
V-3-1 - Machine universelle utilisée.
Nous avons eu à notre disposition une machine Derveaux "Djinn", consistant en un certainnombre d'amplificateurs à gain élevé (sans choppers), chacun pouvant être associé à un boîtier fonc-tionnel additionneur, déphaseur, intégrateur.
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Du fait de l'absence de choppers, les amplificateurs introduisent des dérives, ce qui est par-ticulièrement gênant pour une suite d'intégrateurs. Un amplificateur intégrateur est dit bien réglélorsqu'on obtient une dérive de 30 mV par minute. On admet alors généralement que le calcul estvalable pendant une durée maximum de deux minutes. Toutefois pour certains amplis on peut arri-ver à obtenir par un réglage soigné de la symétrie, une dérive passant une fois (et une seule) parzéro, au bout de deux minutes environ. On peut alors disposer d'un temps de calcul de 4 minutes ,surtout si l'on a pris soin de faire correspondre le meilleur intégrateur à la dérivée d'ordre le plusélevé.
Pour obtenir le produit = S (t). y (t) nous avons utilisé tout d'abord -n multiplieur électro-mécanique classique à servomoteur associé au calculateur. Nous l'avons abandonné car nous avonsconstaté des divergences de plus de 10 % avec la première zone de stabilité ( a = 0 = d) calculéethéoriquement et déjà vérifiée expérimentalement, avec une meilleure précision, par le montagegalvanométrique (divergences dues à la bande passante très basse du multiplieur et au faible tempsde calcul permis).
Nous avons alors eu la chance de pouvoir utiliser un multiplieur "ELECTRONIC ASSOCIATES".UX UY
Pour trois entrées, X, Y et U, cet appareil donne les produits j^rr, —rrr en utilisant la modulation100
d'un créneau en amplitude et en dissymétrie. Il permet également d'autres combinaisons, en parti-culier certaines divisions.
V-3-2 - Mode opératoire.
Les méthodes de calcul analogique étant supposées connues, nous nous bornons à un bref rap-pel. Soit donc l'équation :
y" + a . y' + [ X + H .15]. y = 0
En nous souvenant que tout amplificateur introduit un changement de signe, nous obtenons com-me schéma possible, le schéma de la figure 51. En effet, partons d'un certain point Ex et décrétonsque nous avons là une quantité équivalente à la dérivée seconde de y soit y". Cette quantité une foisintégrée nous donne - y' qui intégrée encore une fois nous donne + y. Nous envoyons alors + ydans la première entrée du multiplieur, la deuxième entrée étant attaquée par la quantité - ( X + H . ^)(nous verrons comment plus loin). Nous obtenons alors à la sortie du multiplieur la quantité +(X + H. S), y. Nous ajoutons maintenant à cette dernière expression, la grandeur ay' par l'intermédiai-re d'un déphaseur et d'un potentiomètre. Cette addition se fait grâce à un sommateur à la sortieE2 duquel nous obtenons : -ex y' - ( \ + H . S ) . y. Connectons maintenant les points EjLetE2.Ce faisantnous obligeons les quantités à varier suivant la relation : y" = - a y1 - ( X +H . S), y, ce qui est bienla relation désirée.
MA
La quantité - (X +w. S), y s'obtient en envoyant dans un sommateur une tension constante designe adhoc qui en s'ajoutant aux créneaux crées par le générateur permet d'obtenir le rapport H /Xdésiré. La sortie de ce sommateur attaque alors la deuxième entrée du multiplieur.
Sur la machine les grandeurs correspondant aux différentes fonctions y, y', y", 1ÊT etc sont destensions Vo, V1, V2 , U volts. Au point Ex (ou E2) nous aurons donc une certaine relation soit :
0 = V2 . ^ »x . «.j , 0 . j.^2. ^ jpg
le coefficient-r-rjrvenant du fonctionnement du multiplieur (pour éviter les saturations). Il nous faut
maintenant préciser les correspondances entre les différents coefficients de l'équation machine etceux de l'équation originale :
Nous supposerons qu'à une seconde de temps réel ordinaire t de l'équation proposée, il cor-responde K secondes du "temps machine". Soit T = K. t. L'équation primitive devient donc :
K2. | £ - + K.a. | Z - + ( \ + Tis). y = 0
D'autre part nous dirons par exemple que y vaut 10 unités lorsque Vo = a volt et poserons S = 1
pour U = b volt. Ce faisant nous aurons Vo = y. ("fô~)et U = S. ( y ) . D'où l'équation machine :
73
-v
- <
Ai+vr.s
i : intégrateurd s dephaaeorS s sommateurm= multipUeuirg s 9enérateur T.B.F.
Fig. 51
y (-f) ~
( a \YQ-J s'élimine parce que l'équation étudiée est linéaire au sens de l'analyse. D'où les
relations finales :
B =4- A, = K/K2 H
K100
b
Les coefficients a, K, H , T étant donnés, ces quantités permettent alors l1 "affichage" des coeffi-cients numériques désirés et le réglage de la fréquence des créneaux en jouant sur a, b, H de ma-nière à obtenir des valeurs Al# A2, B compatibles avec le fonctionnement de la machine.
Les mesures s'effectuent de la manière suivante. Nous choisissons une valeur de T commodesoit par exemple T = 5 sec. Nous réglons période et dissymétrie soigneusement au chronomètreélectronique. Puis nous fixons la valeur de a par un potentiomètre soit 0 ; 0, 2 ; 0, 4 ; 0, 6 ; 0, 8 d'oùa.T = 0 1 ; 2 ; 3 ; 4 etc. L'amplitude H étant fixée 'à une valeur raisonnable nous faisons varierX (ou inversement) de manière à passer d'une zone stable à une zone instable. Nous avons intérêtà opérer ainsi pour éviter des oscillations lentes de la période du générateur TBFautour de la va-leur choisie.
V-3-3 - Résultats.
Nous avons effectué la vérification expérimentale pour d=-0 , l ; 0 ; + 0 , 1 , grâce à une cin-quantaine de points environ. Comme il est facile de le voir, la vérification est très bonne.
74
Malgré le nombre insuffisant de points (500 environ), nous pouvons cependant nous rendre comptenettement de la déformation des diagrammes universels :
Pour d > 0 et croissant, les zones de stabilité tournent dans le sens > 0, autour des points
doubles fixes ? m 2 = ^ * a » 1 * f • • e t c ^ e l ' a x e TZ} e* tendent à se coucher sur la gauche. Par
H T 2
suite les points d'intersection avec l'axe -7-7 se rapprochent de l'origine.
Pour d < 0 et décroissant, le phénomène est inverse, les zones de stabilité tournent dans le sens
<0 autour des points doubles de l'axe * 2 et tendent à se coucher sur la droite. Par suite les points
H T2
d'intersection avec l'axe 2 s'éloignent de l'origine. De plus des points doubles apparaissent.
Il eût été intéressant de ne pas se limiter aux seules valeurs d = - 0, 4 ; - 0 , 1 : 0 : 0,1 ; 0,4.Nous avons bien commencé d'autres calculs mais ceux-ci ne sont pas très agréables et les diagram-mes nécessitent un grand nombre de points. Nous avons donc limité là et nos calculs et notre vé-rification des diagrammes universels d'autant plus que nous avions en vue certaines généralisationsaux équations non linéaires à coefficients crénelés (voir chapitre VIII). Il nous semble toutefois quece travail mériterait d'être repris, particulièrement pour la transition du créneau en impulsions.
Nous allons maintenant parler de la vérification finale par le simulateur des diagrammes par-ticuliers a = este.
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE V
(1) VALAT J. - CRAS 251, 1960, p. 2 274.
(2) GUTMANN Ph. et DUCHEMIN J .P . - Tiroir d'Analyse de tensions carrées (T.A.T.C.). Rap-port S.C.E. - 1956. - Département d'Electronique (CE.A. Saclay).
75
CHAPITRE VI
VÉRIFICATION FINALE ET CONCLUSIONS
L'influence de la dissymétrie des créneaux nous donnait ainsi une explication - qualitative eten ordre de grandeur - de la non coïncidence de la courbe expérimentale obtenue au moyen dusimulateur pour ce = 1 avec la courbe théorique, tout particulièrement pour le point d'intersectionavec l'axe des y, d'après la remarque du chapitre précédent sur la rotation des zones de stabilitéautour des points doubles fixes de l'axe des x en fonction de la dissymétrie algébrique.
Il restait malgré tout à effectuer une vérification directe avec le simulateur. Le périodemè-tre ayant été perfectionné de manière à pouvoir mesurer les demi-périodes, nous avons donc recom-mencé la vérification expérimentale du diagramme oc = este. Cette vérification a été faite pour lavaleur a = 1 déjà indiquée et surtout pour la valeur a = 2. La figure 52 montre les résultats ob-tenus. La vérification nous semble remarquablement bonne en particulier en ce qui concerne le pointd'intersection avec l'axe des y - qui ne peut être atteint par le simulateur - : l'extrapolation despoints expérimentaux nous semble concorder très bien en moyenne avec la courbe théorique.
Ainsi donc un système asservi de conception simple et relativement peu coûteux nous avaitpermis de vérifier finalement avec une bonne précision les différents diagrammes théoriques cal-culés. De ce fait il semblait donc que l'on pouvait favorablement envisager le passage à une équa-tion puis à un système d'équations non linéaires. Pour ce faire il nous restait à améliorer le si-mulateur, soit par exemple : stabilisation du rayonnement de la lampe à ruban de tungstène (10 V15 A) par emploi de l'alimentation stabilisée à transistors, basse tension, gros débit, due récem-ment à Sauzade (1) au lieu de batteries-tampon encombrantes ; emploi d'une lampe électromètre àdérive stabilisée par impulsions, (due à Grégoire ?). Et surtout il nous restait à le compléter pardes multiplieurs de précision, sans doute électroniques.
En réalité il nous est apparu que dans l'état actuel de la technique des cellules photoélectri-ques doubles, il n'était guère possible d'utiliser un tel simulateur ailleurs que dans le domaine d'uneéquation de Hill, principalement à cause de la difficulté d'obtenir une large zone linéaire et de sup-primer le bruit de fond dû à l'influence considérable des dissymétries, même faibles, du montage .En effet sur notre échelle graduée translucide, la largeur de la cellule correspond à ±80 mm et lazone linéaire à ±55 mm. Pour signifier raisonnablement quelque chose, une elongation doit être pri-se au moins égale à 1 mm, d'où un facteur de commodité équivalent à 55/l ~ 50. Sur une machine"DJINN" avec 30 mV de dérive par minute, un temps de calcul de deux minutes et une limite delinéarité de 100 volts, ce facteur de commodité devient 100 000/60~ 1 600~l 500. Le simulateur estdonc incontestablement moins commode, comme le prouve l'expérience dans certains cas extrêmesoù le mouvement oscillatoire s'amplifie peu à peu en fonction de la période (voir le chapitre IV) jus-qu'à envahir toute la zone linéaire et se voir borner par la non linéarité inhérente à la réponse dela cellule. Seul le relevé de la courbe amplitude-période permet alors de déterminer la périodecritique.
D'autre part dans le cas d'une équation de Hill, une théorie bien établie permet d'interpréterles phénomènes assez simplement. Dans le cas d'une équation à coefficients crénelés et nettementnon linéaire, aucune théorie existante ne permet de prévoir et de classer les phénomènes. Une étu-de expérimentale semble donc devoir consister à relever un catalogue des amplitudes (maxima enparticulier) en fonction des différents paramètres, particulièrement pour la recherche des instabi-lités. Les techniques de calcul analogique de changement d'échelle de temps et d'échelle d'ampli-tude permettent jusqu'à un certain point d'y remédier, mais il nous semble bien évident que la ma-chine utilisée a intérêt à posséder le plus grand facteur de commodité possible, particulièrementpour pouvoir trancher entre une instabilité réelle et une grande amplitude bornée par sa nature mê-me et non pas une non-linéarité étrangère à la question.
76
En résumé il nous était difficile d'améliorer les performances linéaires de la cellule. Il eûtfallu pour cela augmenter considérablement la largeur de la cathode. Malgré sa bonne volonté, laSociété constructrice ne le pouvait pas pour des raisons techniques. D'autres Sociétés ne pouvaients'y intéresser pour des raisons différentes. De plus il nous fallait mettre au point un multiplieurde précision, dont beaucoup de solutions originales avaient déjà été proposées et effectivement réa-lisées. Celui-ci mis au point, la zone de réponse linéaire de la cellule aurait toujours limité lefacteur de commodité.
Or en étudiant théoriquement le simulateur en tant que système asservi et en étudiant d'autrepart son mouvement dans le plan de phase, nous avions été peu à peu amenés à penser qu'il étaitpossible de prévoir et calculer théoriquement les mouvements périodiques des équations non linéairesà coefficients crénelés, et ce quelle que soit l'amplitude des dits coefficients. C'est pourquoi, ayantla chance de pouvoir en disposer, nous nous sommes tournés vers les machines du Laboratoire deCalcul Analogique du Commissariat à l'Energie Atomique à Saclay, de façon à vérifier la théorieédifiée.
Nous allons donc maintenant étudier le simulateur en tant que système asservi, puis les ques-tions concernant le simulateur étant définitivement épuisées, nous exposerons ensuite l'étude du mou-vement de notre équation de Hill dans le plan de phase et enfin l'extension de cette méthode auxmouvements périodiques des équations non linéaires à coefficients crénelés d'amplitude quelconque.
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE VI
(1) SAUZADE - CRAS - 248, 1959, p. 205.
78
CHAPITRE VII
LES SYSTÈMES ASSERVIS A CŒFFÎCIENTS PÉRIODIQUESET LE THÉORÈME DE FLOCQUET
VII-l - LE SIMULATEUR CONSIDERE COMME SYSTEME ASSERVI.
Nous avons déjà indiqué en (1-1-1) que le simulateur utilisait les oscillations d'une boucle fer-mée (voir figure 53 ci-contre). En effet, prenons un axe arbitraire fixe passant par l'axe de rota-tion du galvanomètre. Soit -&# l'angle constitué par l'axe de symétrie de la cellule photo-électrique(et solidaire de la cellule) avec cet axe arbitraire fixe. Soit &t l'angle constitué par le rayon lu-mineux tombant du galvanomètre sur la cellule avec ce même axe fixe. (Voir la figure 2).
Supposons les inverseurs immobiles et sur une des deux positions possibles. Le simulateurest alors équivalent au simple système asservi du second ordre de la figure 53. Le signal d'entrée%t est constitué par le mouvement éventuel de la cellule, soit par exemple un mouvement oscilla-
e,T(p)
e.
R(p) a 4
Fig. 53
Fig.54
79
toire volontaire, scit tout simplement un bruit de fond dû à des vibrations parasites toujours exis-tantes. Le signal de sortie •&, est constitué par le mouvement du spot lumineux par rapport à l'axefixe. Le discriminateur est formé par la cellule photo différentielle elle-même. Le gain de la lampeélectromètre est symbolisé par H (les inverseurs sont immobiles). La fonction de transfert T (p)est égale à : T (p) = l/(p2 + a p + X) tandis que la fonction de contre réaction R (p) est égale àR (p) = 1. Toutefois puisque pour la stabilité seule importe la boucle fermée, il est plus simple deprendre le schéma de la figure 54, où : R [p) = x.
0 a
Fig. 55
Lorsque le simulateur marche, la fonction de contre-réaction R (p) = H , (cf. la figure 55), nereste plus constante, les relais imposant une transformation périodique au signal en amont. Lathéorie des systèmes asservis ne semble donc plus valable, celle-ci supposant les systèmes àcoefficients constants.
Nous avons été amenés à nous demander s'il n'était pas possible d'étudier la stabilité d'untel système physique en tant que système bouclé. C'est ce que nous allons faire ici en suivant eten généralisant la méthode de la thèse de W.K. Linvill (1) celle-ci se limitant aux systèmes asser-vis puisés avec calage ce qui amène des simplifications considérables. L'étude que nous allons fai-re s'applique par contre à un coefficient périodique quelconque. Pour la rapidité de l'exposé, noussupposons connue la théorie des systèmes asservis, particulièrement le critère de Nyquist-Cauchy.Pour le système bouclé à coefficients constants <ie la figure 54, la transformation de Laplace per-met d'écrire :
T (p). - H - H .
soit :
(pz + a . p + X + H) R (*,) = R (&E
relation équivalente pour §t = 0, (au bruit de fond près) à l'équation
y" + a y' + ( X + K ). y = 0
et le système asservi est instable si pour une entrée $E bornée (ou nulle) nous obtenons une sortie•9S non bornée.
Pour nous en assurer, envoyons une entrée &E formée d'un spectre de fréquences élémentai-res $zi = $Ei . exp (p{t). La sortie est donc en général bornée sauf pour les valeurs pi annulant lecoefficient de §s dans l'équation et dont la partie réelle est positive en plus. Il en résulte que lacondition nécessaire et suffisante pour que le système soit stable est que la fonction de transfert :
RT (p)
1 +H . T (p)
80
ait tous ses pôles situés dans le demi plan complexe de gauche. Pour vérifier s'il en est bien ainsi ,appliquons le théorème de Cauchy. Lorsque la variable complexe p décrit le contour d'exclusion dudemi plan complexe de droite dans le sens direct, le nombre algébrique N de tours que fait autourde l'origine la fonction (1 + x. T (p)) est égal à : N = Z - P, Z e t P étant le nombre de zéros etle nombre de pôles de la fonction (1 + H. T (p)) à l'intérieur du contour d'exclusion. Puisque pré-cisément nous voulons qu'il n'y ait pas de zéros dans le demi plan de droite, il faut donc que :
N = O - P = - P
La courbe de Nyquist K .T (p) doit donc décrire dans le sens inverse autant de tours autour du point(- 1) que la fonction (1 + M . T (p)) possède de pôles dans le contour d'exclusion du demi plan dedroite
Mais dans le système physique du simulateur, le coefficient x n'est plus constant. Nous avonsau contraire une transformation P périodique du signal •&. dans la boucle de contre réaction, d'oùle coefficient : H = H. P, (P = S = fonction créneau dans le cas du simulateur). Nous ne pouvonsdonc plus employer la transformation de Laplace pour exprimer la fonction de transfert, sinon ildoit intervenir des convolutions :
k / + j œ E ( T ) . Y ( p - T ) . dx
puisque nous avons des produits )T(t). y (t) dans l'équation. Cela nous mène en général à une équa-tion intégrale. Il serait plus agréable de rechercher une transformation telle que la transforméed'un produit de fonctions donne un ou plusieurs produits algébriques. C'est le cas des séries deFourier.
Au lieu donc de prendre des transformées de Laplace, recherchons directement ce que devientune entrée &E , formée d'un spectre d'une seule fréquence $E = $E . exp. (pt). Essayons en sommede suivre le cheminement de cette entrée élémentaire et sa modification en amplitude et en fréquence .
Ce signal $E = $E . exp. (pt) n'est pas modifié en fréquence mais en amplitude par la traver-sée de la chaine directe T (p). Par contre la boucle d'asservissement "K (t) modifie sa fréquence .
En effet, posons : H (t) = £ cn. exp (njQt). Tout signal A. exp (pt) à l'entrée C de la chaîne de- C D
contre réaction (voir fig. 55) devient donc à la sortie D de cette chaîne de réaction : >T. A. exp (pt) =•KO
H. X A. cn. exp ((p + njQ) t)). Les signaux existant dans la boucle seront donc tous de la forme :
exp ((p + njQ) t). Soit maintenant :
$I K
l'amplitude du signal exp ((p + KjQ) t) à la sortie S. Cherchons la relation liant en S les différentssignaux de même forme exp ((p + KjQ) t).
Un signal ,$n .exp ((p + njQ) t) entrant dans la chaîne de contre réaction en C (voir fig. 55)donne naissance à une multitude de signaux sortant en D :
£ x . s$n . c.. exp (p + (n + m)jQ) t
Parmi ceux-ci, il en existe un en exp ((p +Kjfi) t) : celui pour lequel m = K - n c'est-à-dire un si-gnal ayant la forme :
H - •** • cK-n- e xP «P + KJQ) t)
c'est donc finalement le signal
i f " *• .*„ • c«-n- e x P «P + KJQ) ^n*-n>
qui sera injecté de D dans le discriminateur à la sortie A duquel nous trouverons le signal :
K- E $ 0 - n f ° H . s $ n . c l . e x p ( ( P + K j Q ) t )
n«-oo '
où le symbole ÔOK est le symbole de Kronecker, puisque pour K = 0 il faut tenir compte égalementdu signal d'entrée original : E $ o . exp (pt).
81
L'ensemble du signal :
"amplifié" dans la chaîne directe par l'opérateur T (p) est alors précisément égal au signal de sor -tie : ,*K . exp ((p + KjQ ) . t) cherché. Nous avons donc finalement la relation suivante :
(6OK- E*O " £ " " H . ,*„ . c , . , ] . T (p +KJQ). exp ((p + KjQ) t) = ,#„ . exp ((p + KjQ) t)
soit finalement
<• E$O " f ^ H . ,$„ • c \ . T (p+KjQ) -tfl
Ceci est un système d'une infinité d'équations linéaires à une infinité d'inconnues t$n (voirRiesz (2)).
Soit A le déterminant général du système et AK le mineur correspondant à S$K , nous auronspour une entrée : #E (p = jco) = E$o . exp (pt) la sortie suivante :
""*" A A
* ' «•-» E ° ' ~à* t A ' E
Pour un signal d'entrée ayant un spectre : 9E (w) = % £Ei (u)t) nous aurons donc un signal de sor-tie, ayant un spectre :
8, («D. Q ) = Z{ l
Ainsi donc la stabilité du système asservi, donc de l'équation, sera déterminée par l'étude du déter-minant infini A et en particulier par l'étude de son minimum.
Dans le cas des systèmes impulsionnels de W.K. Linvill, la matrice infinie se simplifie con-sidérablement. En effet, les coefficients du développement de Fourier d'une suite périodique d'im-pulsions sont tous égaux à -—. Par suite à la sortie du modulateur d'impulsions toutes les compo-santes différents de Q ont même amplitude. Donc : ^ = $$. et le système infini dégénère et se ré-duit à une seule équation :
Dans le cas général nous retombons sur les difficultés d'application déjà connues du théorè-me de Floquet, qui mène lui aussi à des déterminants infinis (voir plus loin). Il y a vraisembla-blement un lieu entre ce théorème et l'analyse que nous venons d'effectuer. En particulier il sem-blerait normal de pouvoir retrouver la forme de la solution, c'est-à-dire le théorème déjà cité.C'est ce que nous allons montrer.
VII-2 - FORME DES SOLUTIONS.
Reprenons la relation trouvée en S pour les termes en exp ((p + jKQ ) t) et appliquons là, àun système du deuxième ordre, pour lequel T (p) = l/pz + a p + \ . Il vient donc en supposant nul-les toutes les composantes E <50 du spectre d'entrée.
i
0 = S$K \ (p +KjQ) 2 + o (p + jKQ) +ÀV . exp ((p + KjQ) t) + X H . cR_n. ,»n . exp ((p + KjQ) t)
Fa i sons la somme de toutes ces r e l a t i ons , i l vient :
J £ » s * " \ ( p + K j Q ) 2 + a ( P + K J Q ) + M • e x p ((p + KjQ) t ) + X S H . cK_n. , * „ . e x p ((p + KjQ) t ) = 0
82
ce qui s'écrit :
/ •*» V f * ™ V f * * ™ )-J S •* exp ((p + KjQ) t) V + oc-| I * . exp ((p + KjQ) t)\ + \ J £ S$K • e x P «P + KJQ> Mf
+00 +0D
Regardons d'un peu plus près la série double. Elle s'écrit en permutant l'ordre de sommation :
I { e x p { ( p + K j Q ) t ) S c K . n . « { = £ « U 2 c K . n . e x p ( ( p + K j Q ) t ) f =
= exp (pt). 2 1 ,*„ • exp (njQt). ^ cK.n. exp ((K - n) jQt) i =
,*„ • exp ((p + njQ) t) . 2 cm. exp (mjQt)m * - *
= 1 Z ,*„ • exp ((p + njQ) t) } .{ 2 c.. exp (mjQt)C
on reconnaît dans la deuxième parenthèse la fonction périodique du début : P (T).et la relation s'écrit finalement :
\K?-«A • exp ((p + KjQ) t]S + a ? R ? . » $ ^ * exp ((p + KjQ) t]j + K\l?^>$K* exp ((p + KjQ) t } J
^^ t«K . exp ((p +KJQ) t)V = 0
En identifiant avec l'équation différentielle
y" + a .y1 + (X + H . P) . y = 0
nous retrouvons la solution sous la forme de Floquet
y = Z ,*K • e x P « P + J K S 2 ) t) = e x P (pt)-Z Pt • e x P U 1 ^ 1 ) = ® • e x P (P1)
Inversement supposons que la solution de l'équation se mette sous la forme de Floquet :
m»*»
y = exp (|it). 2, Am. exp (jmQt)
Nous obtenons sans difficulté
([x2 + a\i + X ). Z Am. exp (jmQt) + (2(i + a ) . Z Ara. (jmQ). exp (jmQt) +
\ Am. (-m2Q2). exp (jmQt) +< ^ c . exp ( j n Q t ) i . ) T Am. exp (jmQt)f = 0
De cette relation nous pouvons t i re r celle qui relie les amplitudes possédant la fréquence : jKQ . Soit :
{H2+ cc|i + X + (2u + cc) (jKQ) - KQ2} . AK + k = 0
où k représente la contribution du produit (2). (Z) aux termes en exp (jKQt). Ces te rmes s'obtien-
nent lorsque les valeurs m et n des indices sont rel iées par la relation m + n = K d'où k = £ An. cK_n
83
et la relation :
{( H + jKQ)2 + a . (u + jKQ) + X). AR + S cK_. AB = 0
qui est celle que nous avons déjà trouvée.
VII-3 - CONCLUSION.
En résumé, nous avons pris une matrice colonne infinie
pexp (pt - KjQt)|j|| y (p) || = jjexp (pt + 0) ||
ije cp (pt + KjQt)jj
à laquelle nous avons fait subir une transformation linéaire correspondant par exemple à :
y" + a. y' + ( X + H . P (T)). y = 0c'est-à-dire, nous avons multiplié || Y (p) || par une matrice infinie de transfert, jj M (p) || et nousavons obtenu || M (p)||. || y (p) ||L'équation :
y" + a .y ' + ( X + K.P). y = 0
s'écrit en ce cas :
II M (p) || . || y (p) || = 0
La condition pour trouver une solution à ce sytème est alors :
Déterminant ( || M (p)|| ) = 0
Nous pouvons bien appliquer à cette fonction analytique, le critère de Nyquist-Cauchy.
Enfin analysant la matrice infinie || M (p) || nous en avons déduit la forme de la solution géné-rale en supposant le système bouclé sur lui-même avec une entrée nulle au bruit de fond près etpar cette analyse nous avons précisément retrouvé le théorème de Floquet.
Concluons, les diverses méthodes sont strictement équivalentes et constituent simplement deslangages différents plus ou moins simples, menant à des déterminants infinis d'étude généralementpeu commode, à moins de se limiter dans leurs développements. L'analyse des systèmes asservissemble cependant mieux faire comprendre la raison physique des difficultés mathématiques rencon-trées.
Toutefois dans le cas du simulateur, il nous faut bien reconnaître la supériorité de la métho-de matricielle due à la forme crénelée des coefficients.
Nous allons maintenant étudier le mouvement dans le cadre du plan de phase, particulièrementles solutions périodiques, puis étendre ces considérations aux équations non linéaires à coefficientscrénelés.
EIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE VII
(1) W.K. LINVTLL - Sampled-Data Control Systems Studied Through Comparison of Sampling withAmplitude Modulation. A . I . E . E . Transactions, 1951, Vol 70, 1 779-1 788.
(2) RIESZ - Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues. Gauthier-Villa r s .
84
CHAPITRE VIII
LE PLAN DE PHASE ET LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DES E'QUATIONSDIFFÉRENTIELLES N O N LINÉAIRES, DONT LES CŒFFICIENTS VARIENT
SUIVANT UNE FONCTION CRÉNEAU
Nous proposons une méthode permettant de déterminer les solutions périodiques, lorsque lescoefficients de l'équation non linéaire du deuxième ordre sont de la forme HP = ax + a2. S (T), a1 eta2 étant des constantes et 3* (T) une fonction périodique crénelée quelconque mais pour simplifiernous prendrons pour S (T) la fonction créneau ou fonction signe (+ 1, - 1, + 1, - l ) d e période T,les "demi-périodes" étant supposées égales. La méthode ne fait aucune hypothèse sur l'importancedes termes non linéaires.
La méthode tire son origine de l'étude du mouvement du simulateur dans le plan de phase .C'est pourquoi, après avoir exposé la méthode générale, nous commencerons par étudier commepremier exemple les solutions périodiques de notre équation (linéaire) de Hill et nous en donneronsquelques vérifications expérimentales. Puis pour deuxième exemple, nous prendrons l'équation nonlinéaire suivante :
y" + [ 8 l +a2 . S*(T)]. y + [ ex + e2 . t(T)] . y3 = 0
Nous déterminerons expérimentalement une solution périodique de cette équation et nous en donne-rons une justification par un calcul théorique effectif.
VIII-1 - METHODE DE RECHERCHE DES SOLUTIONS PERIODIQUES.
Nous représenterons donc les phénomènes dans le plan de phase (y ; y' = -n- = u) et nous sup-posons que l'on sache exprimer la fonction y (t) par une fonction tabulée, lorsque les coefficientscrénelés a^ sont remplacés par des constantes a t. C'est en particulier le cas de l'équation non li-néaire y" + a*, y +£*.y2 = 0. L'équation adjointe à coefficients constants y" +a.y + e . y2 = 0 a pour
2courbes de phase les cubiques u2 + ay2 + r e y3 = este et sa solution s'exprime au moyen des fonc-
tions p (u). C'est aussi le CES de l'équation non linéaire y" +afy + t . y i = 0 (que nous prendronsplus loin pour exemple). L'équation adjointe y" + ay + e y 3 = 0 a pour courbes de phase, la famille
des quartiques : u2 + ay2+—.y1* = este et sa solution s'exprime au moyen des fonctions sn (u). Pour
d'autres équations non linéaires, on sait expliciter analytique ment les courbes de phase de l'équa-tion adjointe sans pour cela connaître sa solution au moyen de fonctions tabulées. C'est le cas parexemple des équations
En ce cas il faut graduer les courbes en temps, ce qui exige une quadrature. Si les courbes dephase ne s'explicitent pas analytiquement, il est toujours possible de les tracer point par point etde les graduer. La méthode proposée reste valable mais s'applique moins facilement.
Cela étant, nous allons tracer deux réseaux de courbes de phase. Le premier réseau seratracé sur papier opaque et correspondra aux valeurs ai+ = a{1 + a i2 des paramètres de l'équationlorsque S (T) = + 1 . Choisissons une origine des temps sur l'axe des y par exemple et graduonschaque courbe en temps. Sur un papier transparent cette fois-ci, répétons cette opération pour lesvaleurs at_ = a{1 - ai2 correspondant à 1? (T) = - 1. Superposons le calque sur le papier opaque, fai-
85
Fig. 56
\ •T/4 , -T/4
Fig. 57
Fig. 58
Fig. 59
86
sons coïncider les axes et recherchons des solutions périodiques de période T par exemple. Celaveut dire que nous devons trouver une courbe fermée, composée de deux parties, l'une sur le cal-que et du genre af : l'autre sur le premier réseau et du genre ai+, chaque partie étant nécessaire-ment parcourue pendant le temps T/2. Pour un cas de figure topologiquement identique à celui dela figure 57, les conditions d'existence d'une solution périodique de période T, s'écrivent en pre-nant l'origine des temps sur Oy pour y et pour u :
y+ (-T/4) = y (+T/4)u+ (-T/4) = u_ (+T/4)
Les mêmes conditions donnent les solutions périodiques de période 2T, à condition de prendre cettefois-ci (voir fig. 58) l'origine des temps sur Oy pour y et sur Ou pour u = y1.
Nous allons maintenant appliquer la méthode à l'équation de Hill-Meissner (linéaire par défi-nition) ainsi qu'à l'équation plus générale y" +"ay + e y3 = 0.
VIH-2 - SOLUTIONS PERIODIQUES DE L'EQUATION, y" + [X + x . sT (T)]. y = 0.
On sait qu'une telle équation possède des zones stables et des zones instables, fonctions deX, K , T, la stabilité étant indépendante des conditions initiales et donnée par la condition :
- 2< 2cos( f ) . cos ( f ) - ( £ • ! ) . si, ( f ) . sin ( « ) < • ,
(avec a = V T + H et b = V \ - K ).
Les valeurs limites +2 et - 2 donnent les solutions périodiques de période T et 2T encadrant leszones stables.
Pour simplifier l'exposé nous partirons du cas le plus simple.
VIII-2-1 - Recherche des solutions périodiques.
Vin-2-1-1 - Cas y" + S*.y = 0.
Le cas le plus simple est celui de l'équation y" + S* (T). y = 0, pour lequel les courbes de pha-se des équations adjointes sont des cercles u2 + y2 = C2 et des hyperboles équilatères u2 - y2 = ± H2
(fig. 56), dont les équations paramétriques s'écrivent en prenant l'origine des temps sur Oy :
/ yc = C cos t yM = H ch t(. ue = - C sin t uH = H sh t
Une solution périodique de période T semble pouvoir correspondre au cas topologique de la figure57 (ou de son symétrique par rapport à Ou). Les conditions de périodicité s'écrivent alors :
yH (T/4) = H.ch (T/4) = C. cos (- T/4) = y ( - T / 4 )uM (T/4) = H.sh (T/4) = - C. sin (- T/4) = eue (- T/4)
soit en divisant membre à membre :
th (T/4) = tg (T/4)
Un calcul simple montre que cette condition se ramène à la condition de Floquet :
ch (T/2). cos (T/2) = + 1.
Une solution périodique de période 2T semble pouvoir correspondre au cas topologique de lafigure 58. Les conditions de périodicité s'écrivent alors, en prenant l'origine des temps sur Oypour les cercles et sur Ou pour les hyperboles équilatères :
j'y. ( - T / 4 ) = C. cos ( - T / 4 ) = H sh (T/4) = yH (T/4)
\ ue (- T/4) = - C. sin (- T/4) = H ch (T/4) = uH (T/4)
Soit en divisant membre à membre :
87
th (T/4) = cotg (T/4)
Un calcul simple montre que cette condition se ramène à la condition de Floquet :
ch (T/2). cos (T/2) = - 1.
VIII-2-1-2 - Cas y" + x . Sy = 0.
Nous pouvons maintenant aborder le cas de l'équation y" + H . Sy = 0. Les courbes de phase des équa-tions adjointes sont maintenant des ellipses u2 + u .y 2 = E2 et des hyperboles u2 - ny 2 = ± H2. Topo-logiquement rien n'est changé et nous nous ramenons au cas précédent par une affinité sur y ou
{v = YJ _ y,— . mais alors t doit être remplacé par yfvT. t et les conditions
de périodicité s'écrivent maintenant :
pour (T) : th (VTÛ T/4) = tg (VST. T/4) ou ch (VTHT T/2). cos (VTHT T/2) = + 1
pour (2T) : th (MIC. T/4) = cotg (Vn". T/4) ou ch ( V K T T / 2 ) . COS ( VTTT T/2) = - 1
VIII-2-1-3 : Cas y" + [ X + H . ff] . y = 0.Nous passons maintenant au cas plus général de l'équation : y" + [X + n.^?].y = 0. Nous sommesamenés à distinguer trois cas suivant les valeurs respectives et le signe de \ et de H .
Dans le cas où : H > X > 0 l'aspect topologique est le même que pour \ = 0 puisque ies cour-bes de phase des équations adjointes sont encore des ellipses u2 + ( X + H ). y2 = E2 et des hyperbolesu2 + ( X -H ).y2 = ± H2 dont les équations paramétriques s'écrivent, en prenant l'origine des tempssur Oy :
y, = cos 7. t /yH = ,
. t (uH - H.uE = - E. sin
Une solution périodique de période T correspondant topologiquement au cas de la figure 57 seradonc donnée par la condition :
V X+x. tg ( V ^ + H . T/4) = V H - \ . th (V K-X . T/4)
Un calcul simple montre que cette condition se ramène à la condition :
2 ch ( V H - X. T/2). cos ( VX + K. T/2) + ( j A . T/2) = + 2. T/2). sin
elle-même équivalente à celle déjà indiquée au début du chapitre. Le calcul consiste à écrire laquantité :
th ( V H -X . T / 4 )tg (ypt^n:. T/4)
tg (yT+T. T/4)th (V H'- \ . T/4)
à développer et à remplacer les tg et les th par les tg et les th des arguments et des arcs dou-bles.
Une solution périodique de période 2T correspondant topologiquement au cas de la figure 58sera donnée par les conditions :
yE (" T/4) = cos T/4) = sh ( . T/4) = yH (T/4)
uE (- T/4) = - E. sin (
soit en divisant membre à membre :
tg (
(-T/4)) = H. ch (Vl t^X.T /4 ) = uH (T/4)
H. T/4) = V H - X . coth. ( . T/4)
Condition équivalente à la condition
2 c h . cos • s h . T/2) = -2
Dans le cas où X > H > 0, l'aspect topologique est nécessairement très différent, puisque mairv-tenant les courbes de phase des équations adjointes sont des ellipses, quel que soit le signe de S.
Une solution périodique de période T semble pouvoir correspondre aux cas des figures 59ou 6 0. Les conditions de périodicité s'écrivent par exemple :
Yi (-T/4) =f\^n
cos -H. (-T/4)) = - . cos ". T/4) = y, (T/4)
ux (- T/4) = - El. sin ( V X - K . ( -T /4 ) ) = + E 2 . sin (}/\+K . T/4) = u2 (T/4)
en divisant membre à membre, nous obtenons la condition, d'ailleurs valable pour les deux cas defigure :
VTTT. tg (VT+~Ï. T/4) = - vTÂ7~K~. tg (yTÂT^. T/4)
Condition bien entendu équivalente à celle déjà indiquée au début du chapitre pour les solutions pé-riodiques de période T.
i
rLo
1° k
•^T/4 -V*
Fig.60 Fig. 61 Fig. 62
Une solution périodique de période 2T semble pouvoir correspondre aux cas de figure 61 et62. L'un des cas mène à la condition :
VTTH". tg ( V A.+ H . T/4) = V *•" K - cot (V \ - H . T/4)
L'autre cas mène à la condition :
-M . T/4) = \f \+ H. cotg T. T/4)
Ces deux conditions se ramènent elles aussi à la condition générale du début.
Dans le cas où \ < 0, seul le cas | H | > | X \ >0 semble possible. En effet si|\|>H |, les cour-bes de phase sont toujours des hyperboles, il semble donc difficile de trouver une configuration pé-riodique et même une configuration stable (ce qui est effectivement le cas). Dans le cas |H | > | X | > 0nous retrouvons des configurations ellipses-hyperboles ; des solutions périodiques sont donc possi-bles. Pour une solution de période T, nous trouvons :
89
tg ( T/4) = T/4)
et pour une solution périodique de période 2T :
V \ + K . tg (V K + K . T/4) = V H-X . coth (V H-X . T/4)
conditions équivalentes elles aussi aux conditions de périodicité T et 2T du début du chapitre.
Nous ne chercherons pas à trouver d'autres configurations périodiques (l'expérience nous amontré qu'il y en avait d'autres). Nous ne chercherons pas non plus à déterminer comment se faitle choix entre des configurations comme les figures 59 et 60 ou bien 61 et 62 qui nous semble de -voir dépendre de la zone de stabilité (voir la vérification expérimentale).
Nous n'étudierons pas non plus le cas de l'équation avec amortissement (ou celui des créneauxdissymétriques), où les ellipses se transforment en spirales et les hyperboles en courbes à bran-ches paraboles puissance.
Nous nous sommes contentés de faire quelques vérifications expérimentales avec et sans amor-tissement avant de passer au cas des équations non linéaires. Une étude systématique plus appro-fondie nous semblerait souhaitable.
VIII-2-2 - Vérification expérimentale.
Pour visualiser le plan de phase nous avons employé un enregistreur MEC1 à deux entrées X ,Y, indépendantes. Horizontalement nous avons donc envoyé une tension proportionnelle à la tension
dycorrespondant à la quantité et verticalement une tension proportionnelle à la dérivée -~- = y' = u ,
en s'arrangeant toutefois pour obtenir le bon sens de rotation. Nous avons de plus construit pourchaque voie le dispositif auxiliaire de la figure 63 pour polariser l'enregistreur suivant les deuxaxes. De la sorte on obtient par les résistances R3 le réglage de la position de l'origine des axes.Pour y = y1 = 0 la plume enregistreuse doit se trouver au centre du domaine d'enregistrement. Leslimites de ce dernier doivent être atteintes pour la valeur de saturation 100 volts, tant en y qu'eny'. Ce réglage de la sensibilité s'obtient par les résistances R2. Les valeurs des potentiomètressont de l'ordre de grandeur suivant : Rx~ 5 à 10 MQ ; R2 •vO, 1 à 2KQ ; R.-^lOOQ 150 K
AmpliMECÎ
I«si
t*»" \JOO\l'
calculateur
Fig. 63
VIII-2-2-1 - Equation sans amortissement.
Dans le cas de l'équation y" + ( X + H . S ) . y = 0, nous avons obtenu un certain nombre de so-lutions périodiques, dont certaines ressemblent à celles prévues dans le paragraphe précédent. Parcontre l'expérience nous a montré l'existence d'un certain nombre d'autres formes. La synthèse desdifférentes courbes enregistrées, périodiques ou non, nous a permis de suivre l'évolution de la for-me des solutions périodiques le long des courbes limitant les premières zones de stabilité. Cetteévolution est schématisée sur la figure 64.
Toutefois les solutions périodiques étant des cas limites, il nous a été assez difficile de lesobtenir au début de notre étude, du fait de la dérive des amplificateurs et des lentes oscillations
90
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92
Fig. 66
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Fig. 69
Fig. 70
94
transitoires de la période autour de sa valeur moyenne. Par la suite un réglage particulier de ladérive (voir le chapitre V) et un fonctionnement à a.T = Cste nous a permis d'obtenir des résul-tats plus nets pour l'équation avec amortissement. De plus l'enregistreur présente un certain nom-bre de défauts dus à l'inertie et aux seuils : pour des solutions parcourues à trop grande vitesseles ellipses tendent à se déformer et à s'aplatir suivant les bissectrices ; pour des courbes pasassez "pointues", il y a également tendance à l'écrêtage des extrêmes, les arrondis deviennent desméplats. De la sorte les points anguleux, qui jouent un grand rôle, s'adoucissent, tout particuliè-rement dans la configuration ellipse-ellipse. Tel qu'il est cet enregistreur nous a cependant rendud'estimables services, mais pour ces différentes raisons les courbes que nous allons présenter doi-vent être considérées avec une certaine indulgence. Il eût été nécessaire de recommencer une étu-de systématique, qui nous eût certainement donné des résultats plus nets. Toutefois, tels qu'ilssont, ces enregistrements nous ont permis d'établir l'évolution des courbes de phase déjà indiquéefigure 64, évolution que nous allons maintenant commenter.
La courbe de la limite gauche ( X < 0) de la première zone de stabilité correspond aux solu-tions périodiques de période T. La figure 65 le confirme et précise que leur forme topologique (casn°l de la figure 64) est celle de la figure 57.
Les courbes de la limite droite de la première zone correspondent par contre aux solutionspériodiques de période 2 T, qui possèdent deux formes principales (cas n° 2 et cas n° 4 de lafigure 64) séparées par le cas particulier n° 3. La figure 66 confirme la forme topologique ducas n° 2 qui correspond aussi à celui de la figure 58. Le cas intermédiaire n° 3 est situé sur lapremière bissectrice : les hyperboles se sont transformées en droite ( X = H donc y" = 0 donc u =este). La figure 67 représente une solution placée sur la première bissectrice au voisinage maisen dehors de la première zone stable, donc solution divergente. Le cas n°4 est déduit par continui-té entre le cas n°3 et le cas n°5 qui correspond à une ellipse ordinaire pure et simple.
Les courbes de la limite gauche de la deuxième zone de stabilité correspondent elles aussi àdes solutions périodiques de période 2T (cas n°6, 7, 8). Les cas n°4 (zone n°l) et n°6 sont diffici-les à distinguer, ils mènent d'ailleurs à la même condition de périodicité. Par continuité l'évolu-tion nous semble devoir être (3, 4, 5, 6, 7) plutôt que (3, 6, 5, 4, 7). Le cas intermédiaire n°7sur la première bissectrice nous semble devoir être une ellipse avec deux points d'arrêt sur Oy.Les points d'arrêt se transforment ensuite en hyperboles pour donner le cas n°8, que nous n'avionspas prévu théoriquement. La figure 68 correspond à une solution de ce genre, située légèrement àl'intérieur de la deuxième zone stable.
Les courbes de la limite droite de la deuxième zone de stabilité correspondent aux solutionspériodiques de période T. Les deux formes principales correspondent aux cas n°9 et n°ll. La fi-gure 69 montre une solution voisine du cas n°9. La figure 70 nous montre une solution placée surla première bissectrice au voisinage mais en dehors de la zone stable, c'est-à-dire voisine du casn°10. Le cas n°ll nous semble la suite logique des cas n°9 et 10. Le cas n°12 correspond à uneellipse normale pure et simple.
Pour les courbes de la limite gauche de la troisième zone, nous avons bien relevé quelquespoints lors de la vérification du diagramme universel de la figure 48, mais ces points n'ont pasété étudiés au point de vue du plan de phase.
Pour terminer signalons la courbe de la figure 71, obtenue par hasard, et qui soulève la ques-tion de l'existence de solutions multipériodiques. Ce cas correspond à notre avis à un exposant uimaginaire pur rationnel. Malheureusement la courbe expérimentale n'a pas été tarée.
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Montrons maintenant que les trois nouveaux cas généraux de figure trouvés expérimentalement(cas n°8, 9 et 11) redonnent la condition du début du chapitre. Pour le cas n°8, les équations para-métriques s'écrivent :
ur = E. cos ( V X + H . t) uH = H. sh (V H - X . t)
D'où la condition de périodicité :
V H - X . tg ( VK + X. T/4) = - V X + x . coth (V x - X. T/4)
qui redonne elle aussi la condition déjà connue.
Pour le cas n°9 les équations paramétriques s'écrivent :
sin (VX + H. t)*t V X + H
uE = E. cos ( V X+ H . t )
D'où la condition de périodicité :
qui redonne elle aussi la condition déjà indiquée.
Pour le cas n0!! , les équations paramétriques s'écrivent :
uH = - H. ch ( V H - X . t)
th ( V T K T X T / 4 )
Jtt
u£2 = E 2 . cos ( V X + H . t )iE1 - - Ev cos ( y X - H . t)
D'où la condition de périodicité :
V X - H . tg (VX -H . T/4) = - V X + H. tg (V X-H . T/4)
qui redonne elle aussi la condition connue.
VIII-2-2-2 - Equation avec amortissement.
Dans le cas de l'équation y" + a . y ' + ( X + H . S?) y = 0 les courbes de phase des équations ad-jointes se déforment du fait de l 'amortissement. Celui-ci introduit d'ailleurs un facteur favorablepour la stabilité orbitale des solutions périodiques (voir fig. 48 le resserrement des courbes aT =este quand aT = este tend vers aT = 0). Nous avons pris a T = este = 3 et relevé quelques solu-tions périodiques. La figure 72 correspond au cas n°2.
La figure 73 a et b correspondant au même cas est intéressante : X , H et T étant choisispour obtenir une solution périodique, le calcul démarre pour tf > 0 dans le cas a et pour *S* < 0 dansle cas b. Les courbes obtenues ont même forme et semblent homothétiques aux défauts 'près del 'enregistreur.
Nous avons limité là nos vérifications expérimentales. Une étude plus systématique nous sem-blerait t rès souhaitable. Mais tournés vers tes solutions périodiques des équations non linéaires ,nous ne l'avons pas entreprise.
VIII-3 - SOLUTIONS PERIODIQUES DE L'EQUATION : y" + £ .y + £ \ y 3 = 0.
\nil-3-1 - Courbes de phase des équations adjointes.
Il est nécessaire d'étudier au préalable les courbes de phase de l'équation adjointe y" + ay + e y3 =0
Celle-ci s'intègre à vue et donne les quartiques : u2 + ay2 + -z~'y* - este = 2 K.
96
97
Fig. 75
98
Fig. 76
99
Fig. 77
100
L'étude de ces courbes est longue mais ne présente pas de difficulté. Il y a 4 cas possiblesd'après le signe de a et de e . Le tableau suivant résume la situation.
-
+
-
Toutes les courbes possèdent desbranches infinies : il y a
toujours instabilité
Toutes les courbes sont fermées :il y a toujours stabilité
+
Les courbes autour de l'origine sont fermées :les autres présentent des branches infinies :
il y a stabilité conditionnelle
C.N.S.: u* + a.y^ + - | yJ = 2 K < ^
Toutes les courbes sont fermées : il y atoujours stabilité
Les figures 74 - 75 - 76 - 77 reproduisent l'allure des quatre cas possibles. Pour le cas (a>0 ;e > 0) (fig. 74) il n'y a aucun point d'inflexion. Pour le cas (a < 0 ; e > 0) (fig. 75) il n'y a pas de pointd'inflexion pour les ovales (2K < 0) intérieur à l'ovale particulier 2K = 0 ; pour les autres courbes(2K > 0) il existe un point d'inflexion par quadrant. Pour le cas (a > 0 ; e < 0) (fig. 76) il n'y a pasde point d'inflexion pour les ovales autour de l'origine ; pour chaque autre type de courbe (3 autres)il existe un point d'inflexion dans chaque quadrant. Pour le cas (a < 0 ; £ < 0) (fig. 77) il n'existepas de point d'inflexion pour les courbes (2K > 0) ; pour les courbes (2K < 0) extérieures à la cour-be (2K = 0) il existe un point d'inflexion pour chaque quadrant.
VIII-3-2 - Vérification expérimentale des courbes de phase de l'équation adjointe.
Nous avons vérifié par la machine analogique l'allure générale des quatre cas et effectué desvérifications quantitatives dans les deux cas (a > 0 ; e < 0) et (a < 0 ; e > 0) où apparaissent des pointsremarquables aisément repérables (en principe) et facilement calculables.
Dans le cas (a > 0 ; e < 0), nous avons pris l'équation suivante : y" + 0,63 y - 0, 0462 y3 = 0et nous avons calculé les points d'intersection des paraboles avec les axes (voir la fig. 75). Avecles échelles choisies l'expérience et le calcul donnent :
Point A •{y théorique
y expérimental
" a -# 3,69~4,25 cm
4 cm < y < 5, 2 cm
L'imprécision provient de la difficulté d'obtenir expérimentalement les courbes remarquables(paraboles) qui sont des courbes limites, mais le résultat théorique semble effectivement s'accor-der avec la valeur expérimentale la plus probable par extrapolation.
Point C1 tthéorique = , M 2, 07-v 2, 38 cm
expérimental ~ 2, 25 cm
Dans le cas (a < 0 ; e > 0), nous avons pris l'équation suivante : y" - 0,3405 y + 0,0125 y 3 = 0et nous avons calculé les points remarquables de l'ovale 2K = 0 (voir la fig. 76). Le calcul et l'ex-périence donnent :
Point A
Point B
Point C
{y théorique =\J -—. VT# 7, 4 ~ 8, 48 cm
y expérimental 8,4 cm< y <8,6 cm
/ 5-
y théorique
y expérimental
u théorique = w^p- # 2,2 ~2,53 cm
u expérimental ~2, 35 cm
101
- — # 5, 23-v 6 cm
~ 6, 15 cm
-a
Les résultats expérimentaux sont donc en accord avec les résultats théoriques et même enbon accord, sauf pour les quantités en u. Ce fait, général, est dû à l'enregistreur, qui a tendanceà écrêter lorsque la dérivée du mouvement devient faible.
VIII-3-3 - Recherche expérimentale d'une solution périodique de l'équation crénelée non linéairey" + ay + gy3 = 0. ~ ~
Guidés par les idées et les résultats qui précèdent, nous avons donc cherché expérimentalementune soiution périodique de l'équation non linéaire crénelée : y" + ay +e .y3 = 0. Pour cela nous avonscherché par inspection graphique, les combinaisons semblant pouvoir mener à des solutions pério-diques de période T ou 2T. Ces combinaisons semblent encore plus nombreuses que dans le cas li-néaire, ce qui paraît normal. Nous ne nous attarderons pas dans ce domaine assez incertain oùune recherche systématique nous apparaît encore plus nécessaire que dans le cas linéaire.
Nous nous sommes contentés de rechercher une solution périodique de période T en essayantd'obtenir une courbe d'allure la plus éloignée possible de l'allure des courbes de phase linéaires .Une courbe du genre de celle de la figure 78 nous a semblé répondre à la question.
L'expérience a été effectuée sur la machine analogique DJINN déjà décrite, le produit Sy etle triple produit Sy3 étant effectués par des multiplieurs électroniques de précision "ELECTRONICASSOCIATES". Le générateur très basse fréquence "C.R.C." et le périodemètre servent à créerun créneau bien symétrique. Le schéma analogique adopté est celui de la figure 79. En ce qui con-cerne les équations machine nous supposons qu'à une seconde de temps réel ordinaire t de l'équa-tion proposée, il correspond K secondes du "temps machine" x . Soit T = K. t. L'équation devientdonc :
K". - ^ + [8l + a2. S ] . y + [ ex+ % . S), y3 = 0
Maintenant établissons le tableau de correspondance suivant :
variable y «—*• tension Vo volt11 y1"—v " V± volt11 y'\—» " V2 volt" S < * " U volt
Précisons encore les correspondances. Par exemple disons que pour y = 10, Vo = a volt et posonsS égal à l'unité pour U = p volt. En se rappelant qu'à tout produit de fonction xy il correspond en
XYréalité, en volt, aux bornes de sortie du multiplieur le produit : -r^r et non >"Y (et ce pour évitertoute saturation), nous obtenons alors aux bornes de l 'entrée du premier intégrateur (voir la fig .79) la relation suivante :
UV V V v V V V TT0 = V + A V + A . " + E • ° ° • v° + E ° ° v° U
2 1# ° 2 100 1 100 100 2 100 100 100
Mais d'après la correspondance définie plus haut, nous avons Vo = y. (TTT) . d'où l'équation machi-
" e (V* = d ^
,2
0 =
D'où les relations machines :
A K2 = o ir
,_a2_ 200_ „
Pour des raisons de simplicité nous avons pris A x = Ex = 0. Les autres coefficients ont été choi-sis, tels que les points remarquables des courbes de phase de l'équation adjointe soient bien repé-ra blés et surtout de manière à obtenir sur l'enregistreur une courbe parcourue d'une manière suf-
102
Fig. 78
schema
Fig. 79
103
~-S,l
• • • • ' /
î r *
, - • \ /
J / • • • • • • ' \• A :• • / • / \ \ . - \ -
i - \
Courktt : cts .O,2ft
Cou.rW«* • a s ^ .
£ s 4. 0,01
£=—O,O1
u.(o) = -
Fig. 80
104
fisamment lente et d'amplitude aussi grande que possible, en particulier en u, de façon à diminuerau maximum les défauts de l'enregistreur et augmenter la précision.
Pour cela nous avons pris l'équation y" + 0,28. S. y - 0,01. Sy3 - 0 et la figure 80 montrela solution périodique expérimentale trouvée (1). L'allure de cette solution correspond bien topo-logiquement à celle prévue sur la figure 78, comme le prouve sur la figure 80 le tracé en poin-tillé des différentes courbes de phase de l'équation adjointe.
Le calcul démarre lors d'une commutation du générateur de créneau soit ici pour le passagede la valeur + 1 à la valeur - 1 de la fonction S et pour des conditions initiales y (0) = - 1,25 .u (0) = 0,775, la période expérimentale étant de T = 18,18 secondes. Pour une certaine zone deconditions initiales pas trop différentes de celles indiquées, nous avons obtenu des solutions phy-siquement quasi-périodiques (tout au moins dans la limite de durée des expériences). Pour des con-ditions initiales trop différentes le point de phase correspondant à l'instant de commutation tombeau bout d'un temps assez court sur une branche non fermée et l'amplitude croît très rapidementhors des limites de l'enregistreur.
Le calcul des points théoriques remarquables des courbes de phase de l'équation adjointe nousdonne :
. VT- 7, 5
u = 0 (. u = 0 V.u =
On en conclut que dans le cas de la courbe périodique expérimentale, la moitié du mouvements'effectue sur l'ovale ayant l'origine pour point double ou sinon à son très proche voisinage. Lamesure de l'intersection avec l'axe des y redonne en effet y~7 ,5 .
De plus le point initial (y = - 1,25 ; u = - 0,775) étant situé sur deux courbes de phase dif-férentes doit nous redonner les points d'intersection de la solution périodique avec les axes. Leurcomparaison avec les valeurs expérimentales donnera une mesure de la cohérence de l'expérience .Nous avons donc :
2KX = u2 - 0,28. y2 + ^-^ . y1» = (0, 775)2 - 0,28 (1.25)2 + ^ ^ ( 1 , 2 5 ) " = + 1,0259
2K2 = u2 + 0,28. y2 ^—. y1* = (0, 775)2 + 0,28 (1,25)2 - ^ ~ - (1,25)"* = + n, 1753
On en déduit les points d'intersection avec les axes :
(y # 1,985 f y = 0 (y § - 7 ,
( u = 0 l u # 1,013 ( u « 0
52
en bon accord avec les points expérimentaux.
Nous allons maintenant passer au calcul théorique de la solution périodique et pour cela ex-
pliciter les conditions de périodicité déjà indiquées.
VIII-3-4 - Recherche théorique effective d'une solution périodique de l'équation non linéaire crénelée :y" -H ay + P.y3= 0.
Nous allons donc écrire d'une manière explicite les conditions de périodicité données par laméthode générale. Pour cela nous considérons les courbes de phase de l'équation adjointe, qui s'é-crivent :
u2 + ay2 + j - y1» = 2 Kou
105
soit :
VTK. t = r dyv 2 K
y 4 K y
Pour identifier cette relation avec la fonction elliptique y = A. sn {u ; m} nous devons avoir
1 - 2 -
soit le système
» • * ' - -2TF • /
D'où la relation :
m.a2 + (m + l)2. e . K = 0
En conséquence nous pouvons écrire :
r- Y =
d'où :
t =dY
V( l - Y2) (1 -
et :
y = ± sn
Finalement, nous obtenons les équations paramétriques de la courbe de phase :
^ ; mj / y (0) = 0
: en . dn | y ^ \ m j (. u (0) = ±
y -
u = ±
Ces équations conviennent si l'on veut prendre l'origine des temps sur l'axe des y. Si l'on veutavoir l'origine des temps sur l'axe deé u, cette forme ne convient pas, nous devons prendre (paraddition d'un quart de période) :
y = . VI +m . ^-
u = ± V 2 K . (1 - m). 1IL
Nous sommes ainsi capables d 'écrire les conditions de périodicité. Les relations paramétriquesindiquées ne sont toutefois valables que pour a > 0 ; e >0 ; K > 0 et 0 < m < l . Elles prennent desformes différentes suivant les valeurs et signes de a, e , K, m. Ces formes effectives seront don-nées par des transformations elliptiques classiques. Ces formes pouvant être t r è s nombreuses nousnous contenterons des formes de principe indiquées plus haut et ne donnerons les formes effectivesque dans les deux cas expérimentaux qui nous intéressent et qui sont :
106
1/ Ç*x = - 0,28 K1 # 0,087666
( e , = +0,01 d'où f m ' ^ - 1/91,436 t {m11! # - 91,43
2/ / a2 = +0,28 K2# 0,512959
1 e2 = -0,01 d'où ( m',# 1/13,2076
et| m'2# 1/13,207
\m" 2 # 13,2076
Le calcul de la condition de périodicité nous amène à prendre le couple (m" § - 91,43 ; m' §1/13,2076). Dans ces conditions les équations paramétriques prennent la forme :
y,=
u1= - CTX. f ^ n y T T . sn . d n ^ y Π3 ^ ^ + *> t ;
ena2
2 * dn î VI + m'2
Les constantes K2 et K2 étant liées par la relation :
2 Kx + 2 a y2 = 2 K2 + e yH
La condition de périodicité (de période T) est alors donnée par :
( yx (+T/4) = y2 (-T/4)
^ U l (+T/4) = u2 (-T/4)
Le plus simple est de diviser membre à membre. Nous obtenons ainsi :
V -- m "
m x - î * - - m1
_ _ VI + m'2 en dn(1 - m'2) " sn
En se fixant certains paramètres comme a, e , T, nous pouvons trouver des couples (m,, m )donc (Klf K2), donc des points (y (0) ; u (0)) satisfaisant à la condition de périodicité. Ces courbessont longues à calculer et ne peuvent être universelles. Nous nous sommes contentés par raison desimplicité-a, e , y (0) et u (0) étant fixés aux valeurs déjà indiquées-de rechercher la période Tpar la relation de périodicité.
Nous nous sommes servis des tables de Milne-Thomson. En supposant les valeurs expérimen-
tales rigoureusement exactes et en posant X = V 0,28 -J-, nous obtenons :
(0,98912) . _ £ ^ _ { i , 0 1 0 9 9 X ; 0 ,98918}= - (1,12143). C " d " {0,96434 X ; 0, 07531}
L'argument (0,96434 X) doit être pris supérieur au quart de période, la fonction en devientalors négative, les autres gardant leurs signes. On trouve que la relation numérique est bien véri-fiée pour X # 2,375, ce qui nous donne :
Tth # 17", 95
107
L'expérience nous donne T,,p § 18", 18 ce qui donne une erreur relative inférieure à 1,5%.La précision expérimentale ne laissant pas espérer une si bonne concordance, l'accord doit doncêtre considéré comme bon (1).
VIII-4 - CONCLUSIONS.
Nous pouvons donc considérer cette théorie comme bien vérifiée.
Il reste toutefois à discuter la stabilité orbitale et la stabilité par rapport aux conditions ini-tiales. Il reste surtout à savoir si les conditions de périodicité mènent en général, comme pour lecas linéaire, à la connaissance des frontières séparant les solutions stables des solutions instables.Cette question se complique beaucoup dans le cas non linéaire, car l'obtention d'une solution pério-dique n'est plus du tout indépendante des conditions initiales. Nous n'étudierons pas ces problèmes ,les réservant pour une étude ultérieure.
Par contre, nous allons essayer d'étendre cette méthode aux cas des systèmes d'équationsdifférentielles du deuxième ordre à coefficients crénelés, couplés non linéairement. Cette extensionest possible dans la mesure où nous connaissons les solutions des systèmes adjoints à coefficientsconstants. Nous commençons donc par l'étude de ces systèmes.
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE VIII
(1) VALAT J. - CRAS 247, 1958, p : 1961-1964.
108
CHAPITRE IX
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIEME ORDRE, COUPLÉESN O N LINEAIREMENT, A COEFFICIENTS CONSTANTS
Pour obtenir quelques renseignements sur les équations différentielles du deuxième ordre àcoefficients crénelés, nous avons été amenés à considérer leurs équations adjointes à coefficientsconstants. De même avant d'essayer d'étudier un système couplé non linéairement et à coefficientspériodiques crénelés du genre de celui indiqué dans l'introduction, il semble raisonnable de com-mencer par l'étude des systèmes adjoints à coefficients constants, pour les motifs indiqués au cha-pitre précédent.
Pour des raisons de simplicité nous nous limiterons aux systèmes :
/ x " = X (x, y)
\ y " = Y (x. y)
où X et Y sont des polynômes en x et y, et pour obtenir des résultats effectifs exploitables ceux-ci seront pris du troisième degré au plus.
Nous commencerons par étudier les cas où le système se ramène à une équation différentiellecomplexe. Nous tenterons ensuite une résolution par des fonctions elliptiques, résolution possi-ble dans certains cas particuliers seulement. Cette tentative nous amènera à considérer les solu-tions x (t), y (t) du système, menant à des courbes f (x, y) = 0 algébriques et nous préciseronsquelles fonctions uniformisent ces courbes algébriques. Puis nous étudierons le cas du découplageet plus précisément le cas des courbes de Lissajous non-linéaires qui mènent généralement à descourbes f (x, y) = 0 non algébriques. Enfin les recherches précédentes nous suggéreront une mé-thode pouvant apporter quelques lueurs sur des solutions plus générales, dont nous donnerons unexemple. Pour terminer nous donnerons quelques indications sur les systèmes non linéaires coupléspar des polynômes à coefficients périodiques.
IX-1 - RECHERCHE DES MOUVEMENTS ALGEBRIQUES.
IX-1-1 - Systèmes se ramenant à une équation.
Nous commencerons donc par étudier les cas où le système se ramène à une seule équationdifférentielle complexe et intégrable par des fonctions connues et tabulées, comme les fonctions cir-culaires et elliptiques. Nous obtiendrons les solutions paramétriques x (t), y (t), en appliquant lesformules d'addition de ces fonctions et en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires(1). Bien entendu, ces solutions seront des solutions particulières, le nombre de paramètres indé-pendants n'étant pas suffisant. Nous allons détailler la méthode sur les exemples suivants :
dza) L'équation : - — + z2 + 1 =0.
dt
où z est complexe mène au système :
/ x " - 2x = 2x3 - 6 xy2
\ y" - 2y = - 2y3 + 6 yx2
Mais cette équation admet la solution
z = x + iy = cotg •& = cotg (t - t0 + ix )
109
en prenant une constante d'intégration {- t0 + ix ) complexe. En développant cotg$ et en identifiantles parties réelles et les parties complexes pures nous obtenons :
[1 - th2x]. [cotg (t - to)]1 +[th2x].[cotg2 (t - to)3
_ [- th xj. [1 + cotg2 (t - to)3. y 1 +[ th 2 xj . [cotg* (t - to)3
qui sont bien solutions du système généré par l'équation du premier ordre .
dzb) De même l'équation : -TT- + z2 - 1 = 0
qui admet la. solution z = x + iy = th (t - to + ix) mène au système :
ix" + 2x = + 2x3 - 6 xy2
y" + 2 y = - 2 y3 + 6 y xc
ce qui, en développant th, nous donne les équations paramétriques :
_ [i +tg2*],, [th (t - t , ) ]" l +[ tg 2 x] . [th2 (t - to)3
. [tg x]. [ i - th2 (t -%,)}' 1 +[tg2x] . [th2 (t - to)3
c) L'équation plus générale : (z1)2 = (1 - z2). (1 - mz2) qui admet :z = x + iy = sn (t - t0 + i x ; m), nous mène au système :
( x" = - (m + 1) x + 2 m x3 - 6 m x y2
y" = - (m + 1) y - 2 m y 3 + 6 m y x2
En développant sn, nous obtenons ( les fonctions sn u, en u, dn u étant les fonctions de Jacobi) :
[sn (t - tn ; m a . [dn ( x ; 1 - m)]x =• [en2 ( T ; 1 - m)] + m. [sn* (x ; 1 - m)], [snz (t - to ; m)]
[sn (x ; 1 - m)3. [en (x ; 1 - m)], [en (t - to ; m)3. [dn (t - tB ; m)]y [en2 (x ; 1 - m)3 + m. [sn? (x ; 1 - m)], [sn2 (t - t0 ; m)]
d) Si dans le système précédent nous changeons y en - iy, x restant invariant, nous ob-tenons le système :
( x" = - (m + 1 ) x + 2 m x3 + 6 m x y2
\ y" = - (m + 1 ) y + 2 m y3 + 6 m y x2
qui dérive d'ailleurs du potentiel
V = | . (m + 1). (x2 +y2) - ^. m. (x* + 6x 2y 2 + y l f) + K
En développant z = x + y = sn (u + v) au lieu de z = x + iy = sn (u + iv), nous obtenons les solutionsparamétriques suivantes :
x =_ [en (x ; 1 - m)], [dn (x ; 1 - m)]. [ sn (t - to ; m)]
1 - m. [sn2 (x ; 1 -m)], [sn2 (t - to ; m)]
[sn (X ; 1 - m)]. [ en (t - t0 ; m)], [dn (t - to ; m)]y 1 - m. [sn2 (x ; 1 - m)3. [sn2 (t - t ; m)]
110
e) L'équation (z')2 = 4. z3 - g^. z - g de la fonction z = x + i y = p (t - to + i x ; g2 ; g )mène au système :
t x" = 6 x2 - 6 y 2 - g2 /2
( y" = 12 xy
qui admet ainsi les solutions paramétriques (pu et p'u étant la fonction de Weierstrass et sa dérivée) :
_ - { 4 [ p ( t -x = •
t o : g : g ) ] . [ P ( T : g, : - g , ) ] + g ?> . {[p (t - to ; g7 ; g , ) ] - [ p ( T ; g ? : - g , ) ] ) - 2g^4 { [ p (t - t o ; g 2 ; g 3 ) ] + [p (T ; g 2 : - g 3 ) ]}2
. - 2. [p1 (t - t . ; g, : g3)] . [P1 ( t ; gg : - gQ]4{[p (t - to ; g2 : g3)] + [P (t : g2 ^ " g3>]>a
f) Si dans le système précédent nous changeons y en - iy, x restant invariant, nous obtenons le système :
f x" * 6 x2 +6 y2 - gj/2
\ y" = 12 x y
qui dérive du potentiel :
V = 2 x3 + 6 y2 x - (g /2) . x + K
En développant z = x + y = p (u + v) au lieu de z = x + iy = p (u + iv) nous obtenons les solutionsparamétriques :
x - <4 tp (* ' * 0;g 2;gj] [P (T •> g2 : 8j)] - g z}-{[P (t - K - g2 • g3)] + [P (T • g2
: gQ3> - 2 g,4{LP (t - to ; g2 ; g3)] - LP (x ; g2 ; gj)]}*
_ - 2 [p' (t - t . ; g, ; g,)], [p1 ( T ; g, ; g3)]
Cette méthode permet ainsi de trouver quelques solutions, i l est vrai, très particulières puis-qu'elles dépendent de deux paramètres au lieu de quatre. Mais si la portée de cette méthode semblepar nature assez restreinte, elle suggère cependant un certain nombre d'idées comme nous allonsle voir.
IX-1-2 - Intégration par des fonctions elliptiques.
Nous avons pu dans le paragraphe précédent trouver quelques solutions particulières pour cer-tains systèmes particuliers et nous avons vu que les plus générales de ces solutions s'exprimaientau moyen des fonctions elliptiques sn2 (u) ou p (u), ces deux fonctions se ramenant d'ailleurs l'uneà l'autre puisque :
Ce résultat ne doit pas étonner, les fonctions elliptiques de mêmes périodes et leurs dérivésétant liées par une relation algébrique. Il semble donc raisonnable de chercher à étendre les ré-sultats précédents en essayant de trouver les fonctions elliptiques les plus générales qui puissentrépondre à un système du genre x" = X ; y" = Y défini plus haut (cette tentative appelle toutefoisdes réserves que nous préciserons plus tard). Or nous savons que ces fonctions elliptiques xx = x ;x2 = y les plus générales doivent être de la forme :
_ N, (p) Qj (p)4 "P~WI R T I P T P
où p et p' sont la fonction de Weierstrass et sa dérivée et N4, P t, Qit Rt des polynômes entiersen p (u). Mais cette recherche nécessite une véritable analyse dimensionnelle, les puissances lesplus élevées et les plus basses des Ni, P4, Qit Rt ne pouvant être quelconques pour répondre au
111
système x" = X, y" = Y. Une telle méthode conduit à une véritable algébrisation du système diffé-rentiel, celui-ci se transformant en un système d'équations algébriques non linéaires ayant pour in-connues les coefficients des huit polynômes N t, IJ , Qit Rj, (1). C'est ce que nous allons voir surl'exemple du système suivant :
( x" + a . x = E1 .x2 + E2 .y2
1 y" + b.y = 6 .x .y
Nous commençons par effectuer l'analyse dimensionnelle de ce -ystème en posant symbolique-ment avec (p1)2 = (3).
Ç x = (e) + (f). p'
\ y = (g) + (h), p1
où e, f, g, h représentent la différence des degrés les plus élevés des polynômes en p des numé-rateurs et des dénominateurs. La forme du système choisi impose certaines relations entre cesquantités. Il suffit pour les trouver d'effectuer les dérivations et les produits et d'identifier. Cetteanalyse, simple en principe, est en réalité fort longue car les combinaisons possibles sont nom-breuses : elle mène finalement aux valeurs suivantes :
e = g = ( D f< ( - 1 ) h , (- |
De même l'analyse des puissances les plus basses mène aux valeurs suivantes :
e = f = g = h = (- 2)
Nous nous bornerons au cas le plus simple : nous prendrons comme fractions rationnelles, des sé-ries de Laurent de pôles nuls, c'est-à-dire que nous rechercherons des solutions x et y, telles que
x =
En portant ces valeurs dans le système couplé et en identifiant, nous obtenons le système suivantde 24 équations algébriques non linéaires à 12 inconnues :
(1) 6A = E, (A2) +e 2 (L2)
(2) aA = ej (4I 2 +2AC) + e2 (4U2 + 2 LN)
(3) 2E - -f*A + aC = ex (C2 + *? AE + 8IK) + £2(N2 + 2 LQ + 8 UW)
(4) 12G+aE = Ej ( 4 K 2 + 2 A G + 2 C E - gjl2)+ E2(4W2 + 2 L S + 2 N Q - g2U2)
(5) - | g2 E + aG= e1 (E2 + 2CG - g3l2- 2g2IK) + e2 (Q2 + 2 NS - gjU2 - 2g2UW)
(6) - 5g2G -2g j E = ex (- g2K2 + 2EG - 2 gjIK) + e, (- g2W
2 + 2 QS - 2g3UW)
(7) - 6 ^ 0 = ex (G2 - g3K2) + e2 (S2 - gjW
2)
(8) 21= ex (AI) + e2 (2 LU)
(9) a l = ex (2 AK + 2 CI) + e2 (2LW + 2 NU)
(10) -Jh. I +aK= Ej (2 CK + 2 El) + £2 (2 NW + 2 QU)
112
(11) - 3g2K - 2gl = ex (2 EK + 2 GI) + e2 (2 QW + 2 SU)
(12) - 6g^K = e2 (2 GK) + e2 (2 SW)
(13) 6L = 6 (AL)
(14) bL = 6 (AN + CL + 4 IU)
(15) 2Q - i b - L + bN = 6 (AQ + CN + EL + 4 IW + 4 KU)
(16) 12 S + b Q = 6 (AS + CQ + EN + GL - g2IU + 4 KW)
(I?) - | ^ Q + bS =6 (CS + EQ + GN - g,IW - g3IU - g2KU)
(18) - 5g2S - 2g3Q= 6 (ES + GQ - g^W - g3KU - gjKW)
(19) -6g3 S = 6 (GS - gjKW)
(20) 2U = ô (AU + IL)
(21) bU = 6 (AW + CU + IN + KL)
(22) - ^ . U + b W = 6 (CW + EU + IQ + KN)
(23) - 3g2W - 2g3U = 6 (EW + GU + IS + KQ)
(24) - 6g3W = 6 (GW + KS)
L'étude des solutions possibles d'un tel système n'est pas t r è s commode car les combinaisonsqui apparaissent au cours de la discussion sont nombreuses. Nous devons nous attendre à priori àl'impossibilité d'une solution générale puisque pour 12 coefficients inconnus, plus deux quantités get g , nous avons 24 relations. Toutefois des solutions sont peut être possibles pour certaines va-leurs particulières des coefficients inconnus et des coefficients a, b, e^ , e2 , 6 . Pour être in té res-santes ces solutions ne devront pas supprimer le couplage, le cas 6 = 0 pouvant être à la rigueuradmis (le cas e2 = 0 est déjà connu). La discussion confirme ces prévisions. Nous nous contente-rons de donner la solution suivante : ( A = I = K = L = S = U = 0 ) :
cette solution n'étant valable que pour des coefficients a, b, ex , e2 , 6 liés par la relation (le casa = b ; 6 = 2 ex mis à part) : /
3.b. (b. EX - a . 6 ) . (2 ex - 6 )2 + 6 . (a. 6 - 2 .b . e 1 ) 2 = 0
p et p ' étant la fonction de Weiers t rass et sa dérivée, liées comme on le sait par la relation :
P'2 = 4 P3 - g2p - g3
g et g étant donnés par les relations :
18 g = f a . 6 - 2.6.6, }g* l 2. EX - 6 3
24 g . - jë 3 l 2. Ej - 6
113
Ces résultats et ceux du paragraphe précédent nous amènent à la constatation suivante : larésolution d'un système par des fonctions elliptiques ne semble possible que si nous imposons cer-taines valeurs particulières ou au mieux une certaine relation particulière aux coefficients a, b, E1 ,e2, 6 . Ce fait semble général. Nous pouvons nous en rendre compte en essayant des développe-ments en série de Laurent de la variable ou bien d'une fonction f du genre f'2 = 2 p" plus compli-quée que p (u) ou sn (u). La conclusion en est simple : le développement devant être limité souspeine de rendre le calcul effectif impraticable, les coefficients ne peuvent être quelconques.
Pour s'en convaincre plus rapidement et plus simplement que par des tentatives de ce genre,nous devons remarquer que cette recherche de fonctions elliptiques comme solutions x, y, nousamène nécessairement à des courbes f (x, y) = 0 algébriques. C'est ainsi que les solutions para-métriques du paragraphe précédent correspondent à deux coniques, deux quartiques, deux cubiques .
Or il suffit de considérer le cas e = e2 = 6 = 0 du système / Xn * ^ ~ Q des courbes de Lissajous
pour nous rendre compte que cette recherche d'intégration par des fonotioos elliptiques ne peut nousfournir des solutions générales. Comme il est bien connu, les courbes de Lissajous ne sont fermées(et algébriques) que pour une relation bien particulière entre a et b. Nous reviendrons plus loin surces courbes (IX-2-1).
IX-1-3 - Recherche des courbes algébriques du système par la connaissance d'une intégrale pre-mière.
Les fonctions elliptiques ne sont pas les fonctions uniformes les plus générales permettant deparamétrer, d'uniformiser une courbe algébrique f (x, y) = 0 donnée. Or ces fonctions plus géné-rales ne se rencontrent guère dans l'arsenal du praticien et de plus les fonctions elliptiques sontà peu près les seules à être tabulées. C'est pourquoi, dans l'étude des systèmes couplés non li-néairement, il serait peut-être agréable de pouvoir s'imposer et rechercher à priori, une courbef (x, y) = 0 algébrique, sinon parcourue périodiquement dans le temps, du moins fermée en x, y,évitant certaines régions ou permettant dans une certaine mesure certaines conditions initiales, etc .saus chercher à la paramétrer. Dans le cas où il est possible de trouver une intégrale premièredu mouvement, nous allons montrer que cette recherche à priori est possible.
IX-1-3-1 - Recherche d'intégrales premières.
Nous allons donc rechercher des intégrales premières du mouvement pour un système du gen-re considéré. Il nous faut tout de suite remarquer que les coefficients des polynômes X et Y ayantété supposés quelconques, les équations canoniques fondamentales de la dynamique analytique ordi-naire ne sont plus valables. Le système pourra toutefois s'écrire :
soit :
dt 3 q . U *
Le mouvement d'un tel système s'apparente donc aux mouvements avec conditions supplémentairesimposées. Bien entendu, H sera choisi pour obtenir les GJf les plus simples possibles (nuls éventuel-lement) et les équations canoniques fondamentales s'écriront (1) :
iËU - a H
dt " ~
dpt _dt
dH _3H J dqfx dt 3t i ' ' dt
Dans notre cas -rrr = 0. S'il est possible d'intégrer les GJi.dqi, nous obtiendrons une intégrale pre-ot
mière. Donnons en des exemples :
114
a) Le système
{ x" + ax = E 1 . x2 + e 2 . y2
y" + by = 6 .. xy
admet les H, n i suivants :
H = \ • (x'2 + y'2) + | .x2 + | -y2 - 4" x y 2 - -f -x' + este
ô'.•('. - fGTy = 0
ce qui nous donne :
i-(ô/2)>H - S i / o i . dq t = es te = H - ( ^ 7 ' ) • f {x" + ax - e x . x2) dx
• H -
soit finalement en posant u = dx/dt et v = dy/dt :
3 .6 .U 2 + 6. e 2 . v 2 + 3 . a . ô . x 2 + 6.b. £2-y2 - 2 . 6 . e^x* - 6 . 6 . e2.xy2 = este
b) De même le système
Îx" + a x = Y x3 + \i xy2
y " + Py =ôy3 + v yx2
admet les H, CJ4 suivants :
H = \ (x-2 +y'2) + | -x 2 + | -y 2 --J-x* -- '^y* + este
œ , ! ( Ji - v ). x . y2
GTy = 0
ce qui nous mène à l ' in tégrale p r e m i è r e :
2 ( v u 2 + |iv2) + 2 ( a v x 2 + P|i y2) - ( v y x ' + 2nvx 2 y 2 + (ioy") = este
II nous faut aborder maintenant la question des conditions d ' intégrat ion des coi dq i # Remarquonsque dans les deux exemples cons idérés les t e r m e s de couplage interviennent, aux coefficients p r è s ,comme pa r t i e s complémenta i res d'une différentielle totale d'une fonction algébrique des deux fonc-tions x et y. Nous allons généra l i se r ce fait. Pour cela considérons le système généra l :
2:" = a3(Jx3 + a2ix2y + ai2xy2 + a^y 3 + a2Qx2 + a^xy + aQ2y
2 T «xo* r a ^ . *00
ky" = ^ 3 y 3 + b12xy2 + \^2y + b30x
3 + b02y2 + bxlxy + b2Ox2 + b10x + b o i y + boO
Posons u = x ' ; v = y1. Le système peut alors s ' écr i re :
("udu - (a^x 3 + a20x2 + a1Qx + ^ dx = (a21x2y + a12xy2 + a^yS + a l ixy + a02y2 + aQ1y) dx
|_vdv - (b^y3 + bjjjy2 + boly + ^ dy = (b3Qx3 + b21x2y + b^xy2 + b
2 0x 2 + b
u xy + bl o
x ) d y
Les membres du système situés à gauche sont des différentielles totale:s, que nous appellerons dUet dV. Quant aux membres de droite, remarquons qu'ils interviennent, aux coefficients près , com-
115
me parties complémentaires d'une différentielle totale, à condition de les prendre dans l'ordre quenous indiquons.
Nous avons donc le système suivant de 8 équations à 12 inconnues dX4, dY. :
dU
dV
d (x3y) =
d (x2y2) =
d (xy3) =
d (x2y) =
d(xy 2 ) =
d (x y) =
a
h
3
2
d
2
d
d
'30 d Y i
dX.
dX2 H
X 3 +
d X H
x5 +
X 6 +
H
_
+
3
+
2
d
H a 1 2 d X 2 H
H b 2 1 dY2 H
d Y l
2 d Y 2
d Y3
d Y ,
d Y 5
Y6
> b i 2 d Y3 "
f a u dX, •
«• b 2 0 d Y 4 -
•• a0 2 dX 5 +
f b u dY5 +a,,! dX,
bio d Y 6
permettant en principe de déterminer les d Xt, dY., en fonction des quantités de gauche, qui sonttoutes des différentielles totales exactes. La discussion d'un tel système étant longue à priori mal-gré le grand nombre de termes nuls, nous nous contenterons de ces indications générales en fai-sant toutefois remarquer que pour des systèmes un peu compliqués les coefficients a{ , bkI ne peu-vent en général être absolument quelconques.
IX-1-3-2 - Recherche à priori d'une courbe algébrique.
Nous allons rechercher dans quel cas la courbe f (x, y) = 0 du mouvement est une courbealgébrique de degré n, en supposant toutefois que nous connaissions une intégrale première du mou-vement que nous écrivons :
au2 + |3 v2 = F (x, y)
où F (x, y) est un polynôme en x et y de degré (p + 1), p étant le degré le plus élevé des polynô-mes X (x, y), Y (x, y) du système x" = X ; y" = Y. Nous aurons donc en dérivant une fois f (x, y) = 0 ;
( f . u + f . v = 0» y
au2 + pv2 = Fd'où nous tirons les valeurs de u2, uv et v2, soient :
oc(f')2 + p(f )2 a ( f ' ) 2 + p(f')2 v a ( f )2 + p(f )2
Par conséquent en dérivant une deuxième fois f (x, y) = 0 nous obtenons :
(f"x2). u2 + 2 (f"xy). uv + (f"y2). v2 + (f 'x)x" + (f 'y)y" = 0
D'où en portant les valeurs de u2, uv, v2 déjà trouvées, l'identité :
0 « (f"x2). ( f y ) 2 . F - 2 (f"xy). (f'x). (f'y). F + (f"y2). (fx)2 . F +
+ [a(f'y)2 + P(f'x)2j. [(f'x). X + (f'y). YJ
Cette relation sera donc de degré :
(n - 2) + 2 (n - 1) + (p + 1) = 3 n - 3 + p = 2 (n - 1) + (n - 1) + (p)
La courbe algébrique ayant été choisie de degré n, possède donc au maximum :
1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = \. {1 + (n + 1)}. {(n + 1)} = \. (n + 1). (n + 2)2 &
coefficients, soit par conséquent :
116
£. (n + 1). (n + 2) - 1 = \ . n. (n + 3)
coefficients indépendants inconnus, à déterminer par un système de :
\. ((3 n + p - 3) + 1) . ((3 n + p - 3) + 2) = | . (3 n + p - 1) . (3 n - p - 2)
relations algébriques non linéaires. Il est facile de voir que pour 0 <P< 3 (et même pour une gam-me plus étendue dans les deux sens) nous avons toujours :
(3 n + p - 1). (3 n + p - 2). > n. (n + 3)
Nous aurons donc (beaucoup) moins d'inconnues que de relations et les coefficients du système et laconstante de l'intégrale première ne pourront être quelconques (1).
Nous avons recherché des courbes algébriques fermées pour des systèmes analogues à ceuxdéjà étudiés. Toutefois la discussion des systèmes obtenus se révèle longue, même pour de sim-ples coniques.
En résumé ces résultats confirment ceux que nous avions déjà trouvés pour les fonctions el-liptiques. Dans la mesure où l'on connaît une intégrale première, ils les généralisent même puis-qu'ils s'appliquent à une courbe algébrique à priori quelconque, donc à des fonctions encore plusgénérales que les fonctions elliptiques. Une étude plus approfondie va nous montrer quelles sont cesfonctions.
IX-1-4 - Recherche des fonctions fuchsiennes uniformisant les courbes f (x, y) = 0 algébriques dusystème.
Nous avons déjà dit au paragraphe IX-1-3 que les fonctions elliptiques n'étaient pas les fonc-tions uniformes les plus générales permettant de paramétrer une courbe algébrique donnée.
Poincaré (2) a montré que ce problème de l'uniformisation d'une courbe algébrique quelconqueétait résolu par les fonctions fuchsiennes-kleinéennes créées par lui-même pour la recherche dessolutions des équation^ différentielles linéaires à coefficients rationnels. Pour résumer les travauxde Jacobi, Bertini, Picard et Poincaré sur l'uniformisation, nous énoncerons le résultat suivant (3) :
Si la courbe est du genre 0, elle est unicursale et ses coordonnées peuvent s'exprimer enfonctions rationnelles d'un paramètre.
Si la courbe est du genre 1, ses coordonnées s'expriment en fonctions rationnelles de p (u) etp' (u), fonctions (uniformes) de Weierstrass et sa dérivée.
Si la courbe est du genre supérieur à l'unité, ses coordonnées s'expriment par des fonctionsfuchsiennes.
Rappelons que le genre d'une courbe algébrique de degré n est donné par la relation :
g ! | . (n - 1). (n - 2) - (d + r)
d et r étant le nombre effectif de points doubles et de rebroussements de la courbe.
Nous allons maintenant essayer de préciser quelles fonctions fuchsiennes uniformisent les cour-bes f (x, y) = 0 algébriques du système. Pour cela nous allons rappeler brièvement, sans aucuneprétention à la rigueur, quelques définitions possibles et quelques propriétés de ces fonctions quinous semblent uti.'es pour la suite de notre exposé (2).
Nous introduirons les fonctions thêtafuchsiennes par l'équation de définition suivante (z est lavariable complexe) :
où la notation zK signifie que l'on effectue sur z l'opération
117
zK = T-T-cz + d
c'est-à-dire que l'on substitue (zK) à z. Nous prendrons a, b, c, d liés par la relation : ad - bc = + 1.En ce cas la substitution (z ; zK) forme un groupe au sens de la théorie des groupes et la relationfondamentale devient :
Par contre, nous appellerons fuchsienne une fonction restant invariante pour un groupe de substi-tution —, donné. Une fonction fuchsienne peut donc être considérée comme quotient de deux fonc-
ez + ations thêtafuchsiennes de même groupe et de même exposant et nous avons :
• az + b
Plus précisément, si a, b, c, d sont entiers, la fonction est dite modulaire ; si a, b, c, d sontréels, la fonction est dite fuchsienne et si a, b, c, d sont complexes, la fonction est dite kleiné-enne. Dans toute la suite nous ne ferons pas de distinctions entre ces fonctions et nous les englo-berons sous le nom général de fuchsiennes.
Cela étant, nous allons voir comment se transforment les dérivées premières et secondes d'une
fonction thetafuchsienne lorsque l'on effectue sur elle une substitution (z ; zK = ;—ri d'un grou-\ CZ + U /
pe fuchsien. Le cas des fonctions fuchsiennes s'en déduira immédiatement en faisant m = 0 dansles formules obtenues. Nous avons :
d (zK) _ _d_ /az + b \ _ ad - bc _ 1dz dz V cz + d / (cz + d)2 (cz + d)z
Par suite la nouvelle dérivée devient en fonction des anciennes quantités :
En répétant une nouvelle fois l'opération nous obtenons la dérivée seconde :
= (cz + d)2m+2x | ( cz + d ) 2 - "^ - | z T- + 2c- ( 2 m + H- (cz +d). ^p-± 2.m.c2(2m
et les dérivées premières et secondes d'une fonction fuchsienne deviennent :
_ A _ { F ( z K ) } = ( c z + d f . çLgLiïi
d2
d (zKf * " * ' ' dz* ' l ' ' dz
Nous sommes maintenant en mesure d'obtenir des renseignements sur les fonctions fuchsienneset les courbes f (x, y) = 0 algébriques les plus générales d'un système couplé non linéairement(même si sa forme est plus compliquée que celle à laquelle nous nous sommes en principe limités).En effet d'une part x et y vérifient le système non linéaire, mais d'autre part restent invariantesdans une substitution (z ; zK) d'un groupe fuchsien en tant que fonctions fuchsiennes coordonnéesparamétriques d'une courbe algébrique. Que devient le système dans cette transformation ? Nousavons :
c ( z ) } = X [ x ( z ) , y ( z ) ] = x "
' ( z ) } = Y [ x ( z ) , y ( z ) ] = y "
118
Pour une substitution (z ; zK) du groupe, il devient :
, 2
--7-—-5 { x (zK)} = X[x (zK), y (zK) ] = X[x (z), y (z)] = (cz + d) l t.x" + 2c (cz + d?.x«d(zK)
d2
{y (zK)} = Y[x (zK), y (zK)] = Y[x (z), y (z)] = (cz + d ) \ y " + 2c (cz l d ) l y 'd(zK)2
En remplaçant x" et y" par leurs valeurs t i rées du système primitif nous obtenons
( 2. c. (cz + d)3. x1 = {1 - (cz + d)1*}. X
l 2. c. (cz + d)3. y; = { 1 - (cz + df]. Y
II nous faut alors considérer deux cas principaux :
Dans le cas : c = 0 , dH = 1 nous retombons sur le cas déjà longuement étudié des fonctionselliptiques. Nous renvoyons donc aux paragraphes précédents.
Dans le cas général nous remarquons immédiatement que : x, y, x1, y1 restent liées par larelation, intégrale première :
x1. Y (x, y) = y1. X (x, y)
En particulier les conditions initiales ne peuvent être absolument quelconques : x'o . Yo = y'o . Xo .Supposons maintenant x et y l iées par une relation algébrique de degré n :
f (x, y ; n) = 0
Par dérivation nous obtenons :
fi v i _ n _ / fi v + f v \ ( 1 ~ (cz + d)f y . y 0 - i f , . X + f y .Y>. |
Par suite nous obtenons la relation :
f'M. X + f . Y = 0
qui est une relation algébrique de degré (n + p - 1). Comme x et y ne peuvent vérifier simultané-ment ces deux relations, il en résulte que la dernière relation algébrique est une identité.
Les -. n. (n + 3) coefficients indépendants inconnus de la courbe algébrique f (x, y ; n) = 0 de
degré n, devront dont être déterminés par un système de :
| . (n +p - 1 +1). (n +p - i +2» = \. (n +p). (n + p + 1)
relations. Ce nombre de relations est supérieur au nombre de coefficients inconnus à déterminer,si nous avons :
(n + p). (n + p + 1)> n (n + 3)
soit :
n. (2 p - 2) + p. (p + 1) > 0
ce qui est bien vérifié dans notre cas. Il en résulte que les coefficients des polynômes X et Y nepeuvent être quelconques, constatation à rapprocher de certains phénomènes physiques.
Ces résultats généralisent donc ceux déjà trouvés dans les derniers paragraphes : Ni les coef-ficients des polynômes X et Y, ni les conditions initiales ne peuvent être quelconques (1).
Nous limiterons là notre étude des fonctions fuchsiennes, car nous allons maintenant essayerd'aborder l'étude des mouvements f (x, y) = 0 non algébriques.
119
D'après ce que nous venons de voir pour les mouvements algébriques, il semble donc que nousne puissions plus rien espérer des fonctions elliptiques car celles-ci, liées par une relation algé-brique, ne peuvent nous mener qu'à ce genre de mouvements. Pourtant il n'en est rien. Et celaprovient du fait que nous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions de mêmes périodes. Il suffitpour nous en rendre compte de nous reporter, au cas très particulier du découplage total entre lesdeux dimensions c'est-à-dire au cas des mouvements de Lissajous (éventuellement non linéaires)dans le plan.
En l'absence d'une théorie sur la forme des solutions générales des systèmes couplés non li-néairement, nous étudierons les cas les plus simples. Nous commencerons par les cas du décou-plage, qui nous mènera à ce que nous pouvons appeler des courbes de Lissajous généralisées. Puisnous rappelerons ie cas d'un couplage orienté, c'est-à-dire d'une action d'une dimension sur l'au-tre , cette dernière ne pouvant toutefois réagir sur la première.
Puis dans un autre paragraphe nous nous inspirerons de notre étude des mouvements algé-briques par les fonctions fuchsiennes pour esquisser une méthode pouvant nous apporter quelqueslueurs sur la forme des solutions générales d'un système couplé non linéairement. Nous montreronslès difficultés d'interprétation auxquelles nous mène cette méthode. Nous lèverons ces difficultéset donnerons dans certains cas particuliers la solution générale du mouvement couplé.
IX-2 - RECHERCHE DE MOUVEMENTS f (x, y) = 0 NON ALGEBRIQUES.
IX-2-1 - Mouvements de Lissajous non linéaires.
Nous allons rappeler les propriétés bien connues des courbes de Lissajous, dont les coordon-nées paramétriques s'écrivent :
x = A cos ut y = B cos (u)'t - •& )
La trajectoire de ce mouvement est évidemment inscrite dans un rectangle de côtés (A), (B), lespoints de contacts successifs avec ses côtés étant donnés par cot - kïï et w't - Q = k'rt. Nous sa-vons de plus que cette trajectoire n'est fermée et périodique que dans le cas où le rapport p = w'/cuest commensurable. Du fait des propriétés des fonctions trigonométriques, la courbe est aussialgébrique, puisque les arguments de ces fonctions sont multiples d'un argument commun. Mais sile rapport p est incommensurable, le mouvement n'est ni périodique ni fermé. On peut démontrerque le point M (x, y) passe une infinité de fois aussi près que l'on veut de tout point P (x , y ) in-térieur au rectangle (A, B). Nous avons pu étendre cette démonstration aux mouvements non linéaires .
Les courbes de Lissajous correspondent à des valeurs positives des coefficients de x et de y(u)2 et U)k). Dans les trois autres cas des équations linéaires découplées, l'une au moins des di-mensions x et y tend vers l'infini. Ces autres trajectoires sont donc physiquement moins intéres-santes sauf peut-être si l'un des mouvements étant harmonique, l'autre mouvement croît très len-tement.
Passons maintenant aux cas nouveaux des mouvements non linéaires découplés, dont les équa-tions générales s'écrivent :
/ x" + ax - a . x3 + u. x2 + a0
\ y " + by = P.y3 +v y2 + bo
et qui se ramènent évidemment aux équations en snu ou pu. Nous classons les mouvements en deuxgenres. Tout d'abord ceux pour lesquels une au moins des dimensions tend vers l'infini. Nous con-sidérons ces mouvements comme moins intéressants physiquement, sauf peut être le cas indiquéplus haut. Puis les mouvements bornés dont il importe de déterminer les conditions d'existence en(a, a , |i , a ) et (b, P , v , bo). Il nous suffit pour cela de nous ramener aux fonctions snu, cnu ,dnu(ou bien pu,p'u), ce qui peut s'effectuer sans difficultés par des transformations classiques. Ilnous est alors possible d'après les variations de ces fonctions, de séparer les mouvements non bor-nés des mouvements bornés. Cette séparation peut également se faire directement par l'étude del'intégrale première dans le plan de phase. Parmi les mouvements bornés nous pourrons distinguerles trajectoires algébriques (fermées) des trajectoires non algébriques (non fermées). Les trajec-toires algébriques seront évidemment celles pour lesquelles x et y peuvent se ramener à des fonc-tions elliptiques de mêmes périodes et d'arguments multiples. Sinon la trajectoire ne sera ni al-gébrique ni fermée. Précisons sur le mouvement découplé suivant :
120
i x" + a x + yx3 = 0
y" + Py + 6y3 = 0
dont la solution de principe s'écrit :
X =
y • vnr. fi+p. sn[/I|r. t -1. : «,}où 2M et 2N constantes des intégrales premières en x et y représentent donc les conditions initia-les par les relations :
u2 + ccx2 +-yx* = 2 M
v2 + py2 +-f-y* = 2 N
tandis que les paramètres m, et my sont donnés par les relations :
(1 +m,f + m,. •} YM) =
Les différents mouvements possibles ont déjà été étudiés au chapitre (VIII-3), par l'étude de l'in-tégrale première dans le plan de phase, dans la recherche des solutions périodiques des équationsnon linéaires à coefficients crénelés. Rappelons brièvement les quatre cas où les mouvements sontstables. Nous le ferons par exemple sur l'équation en x, en nous ramenant à un paramètre 0 < a < 1 .
Premièrement, le mouvement défini par (a >0 ; Y > 0) est toujours stable. La constante 2Mest positive. Les paramètres possibles m1 et m" sont réels et négatifs, mais il y en a toujours untel que : 1 + m > 0. La solution s'écrit :
x =J 1+m sn ( Ja(\ -nV) . / ( - m ) ) )
' V a(l - m)' dn ^ V 1 +m - 1 '((1 - m)))
Deuxièmement, le mouvement défini par (a > 0 ; Y < 0) n'est stable qu'à la condition suivante :-a2
0 < 2M < -Ty- Les paramètres possibles m' et m" sont alors réels et positifs et il y en a toujours
un tel que:0< m < 1. La solution s'écrit :
= NT2M. / î ± » r . s n { / ^ Z t ; (m)}
Troisièmement et quatrièmement, le mouvement défini par (a < 0 ; Y > 0) est toujours stable.Mais il nous faut distinguer les mouvements (2M > 0) extérieurs à une certaine quartique à pointdouble à l'origine, des mouvements (2M < 0) intérieurs aux deux ovales de cette courbe.
Pour les mouvements (2M > 0), les paramètres m' et m" sont réels et négatifs, mais il y ena toujours un tel que :1 +m> 0. Le mouvement s'écrit :
x = vW J l +m sn (J g(1 " m). tV^M. y . a ( 1 . m ) . - ^ | V i + m ' l •
Pour les mouvements (2M < 0), les paramètres sont réels et positifs et il y en a toujours untel que : 0< m< 1. La solution s'écrit en ce cas :
121
X =
Tous les autres mouvements étant instables nous avons donc en principe 16 combinaisons pos-sibles (xi# y.) de mouvements bidimensionnels bornés. Or les périodes fondamentales de sn$ sontdonnées par s'n (•& + 4K + 2iK') = snd ; celles de dn •& sont données par dn (•& + 2K + 4iK') = dn$. Pour
-r— (•&) nous aurons donc -r— (.& + 4K + 4iK') = ——($). Mais nous remarquerons par contre que lesdn dn ansn2
carrés sn2, dn2, -7-7 possèdent les mêmes périodes fondamentales (2K) + (2iK'). Par suite tant pour
les 4 combinaisons i = j , que pour les 12 autres combinaisons i f j , les conditions :
( M., • M,,
[p.. = rapport des arguments = nombre commensurable ~
nous donnerons des courbes algébriques fermées.
(k k • entiers)
Le tableau suivant traduit les conditions u.xi = u . en fonction de quantités m, i> m . :
V. X
\ ^
y ^ s .
P> 06 > 0N> 0
P> 06< 0 g2
p <oô >0
N > 0
p < o6>0
N <0
a > 0Y> 0
M> 0
m = m» y
m, + my = mx. my
m,. my = 1
1 = my. (1 - mx)
a > 0Y < 0
0<2M<-1|i
m + m = m . m
m, = my
1 = mx. (1 - my)
1 = mx + my
a < 0Y > 0
M> 0
mx. my = 1
1 = my. (1 - mx)
m x = my
mx + my = my. my
a < 0Y > 0M< 0
1 = m^ (1 - m )
1 = mx + my
mx +m y = mx. my
mx = my
II nous faut de plus exprimer que le rapport p t. est commensurable. Nous n'expliciterons pascette condition ni celles du tableau. Seule la diagonale principale i = j nous donne immédiatementdes conditions simples qui sont les suivantes : (k1# k2 entiers) :
( a 2 . 6 . N = p 2 . Y . M
Remarquons, avant de passer au cas des courbes non algébriques, que les relations du tableaupeuvent se trouver directement, sans expliciter x et y, en considérant l'invariant modulaire absoluJ de Félix Klein. En effet nous avons :
1 VW 1 W\
Par suite si m est solution de cette équation, les quantités ; 1 - m ; ; —m m m - 1
1 - mle sont aussi. Nous avons ainsi 36 combinaisons qui nous redonnent les 6 relations déjà trouvées .(4).
122
Que se passe-t- i l maintenant si pour [iMi - ^n- . le rapport pi. se révèle incommensurable ?Que se passe- t - i l également si d'une façon plus générale \iti f |iy.J ? Nous allons montrer que lepoint M (x, y) de la trajectoire passe en général une infinité de fois aussi près que l'on veut detout point P (x , y ) intérieur au domaine borné permis au mouvement. Pour cela nous allons gé-néraliser le cas linéaire des courbes de Lissajous.
Appelons X et Y les fonctions x et y et soient u = ux, v = Vj des arguments (éventuellementcomplexes) fixés de sorte que :
xx = X { U l ; JIM> y, = Y { V i ; jiy}
Prenons pour argument du "mouvement" en x :
u = Ut = ux + a. (GîJ + b. ( iw'J
a et b étant des nombres entiers et (ro, ) et (ira,)) les périodes fondamentales de la fonction X (Ut ; H,).Nous avons donc x = xx, quelques soient a et b . Considérons alors la différence :
y - y , = Y{Vt - t 0 ; u y } - Y { V l ; a ,}
et posons, avec P1, P2 commensurables ou non :
V/U = P = 9X + iP2
Nous avons alors :
y - y x = Y{ p .u a + p . [a. (CD,) + b. ( io 1 , ) ] - t0 ; ^ } - Y { vx : uy}
Et le point M (x, y) sera aussi voisin que l'on veut du point P (xx, yx) si la différence :
p . ux + P.[(arox) + b. (ira1,)] - t0 - V l
peut être rendue aussi voisine que l'on veut de :
c. (roy) + d. (iGJ'y)
où c et d sont des entiers et (tuy) et (ico' ) les périodes fondamentales de la fonction Y{Vt ; u } .Posons alors ,A et B étant rée ls quelconques :
- p . i^ + to + vx = A. (roy) + B. (ioa'y)
Nous obtenons pour la différence D = D1 + i D2
- c -
- b - " S 1 + P • a - " 5 ^ " d " B
Or dans les différentes combinaisons possibles de mouvements bornés, nous avons pu nousramener à des paramètres nx et \i compris entre 0 et 1 d'une part et d'autre part à des argumentsU et V réels. Nous en concluons que le rapport p est réel, p = 0, p = p . De plus ux et vx sontréels puisque t (donc to) e«;t réel. Par suite B = 0 et - p . ux + to + vx = A. (CJy) et nous avons :
* ={
c "
y
La deuxième différence est nulle si ro'y est nulle, ce qui ne nous intéresse pas, ou bien sila parenthèse est nulle, ce qu'il est toujours possible d'obtenir en prenant b = d = 0 ce qui mani-festement n'entraîne aucun inconvénient, que la quantité r' = p . —p- soit commensurable ou non .
123
Nous sommes alors ramenés au problème suivant, qui est celui des courbes de Lissajous l inéa i res :
Trouver deux nombres entiers a et c tels que la différence D = D i = a r - c - A puisse êtrerendue aussi petite que l'on veut.
Ce problème admet effectivement une solution que nous emprunterons à Haag (5).
D'après la théorie des fractions continues nous pouvons trouver une fraction irréductible telleque (P et Q étant premiers entre eux) :
P 1 . 1 10 < c - r < —f= • —5 < —5-
Q \[5 Q2 Q2
Q étant aussi grand que nous le voulons. Prenons alors : a = Q + R, R étant entier. Nous avons :
ar = ( E + - ) . (Q +R) = P + " ^ + e . (Q + R)
Les nombres P et Q étant premiers entre eux, nous savons que si nous donnons à R les va-leurs 0,1 (Q - 1), les restes de la division de PR par Q sont, dans un certain ordre , lesnombres ci-dessus.
Appelons 6 la différence entre A et sa partie entière E ; A = E + 6 et 0 <ô < 1. Par suitela partie entière s de 6 .Q est un des nombre 0 , 1 . . . . (Q - 1). Donnons à R la valeur correspon-dante. Nous avons donc (F entier) :
Q <aLa différence D s'écrit alors, en prenant c = P + F - E :
D =-J~- 6 + e . (Q+R)
C r nous avons : 0< ô . Q - s = t < 1. P a r sui te :
s - Ô . Q < Ô . Q - s < l e t - J - " o < 4 r
De plus :
e < 757 et Q + R ^ 2 Q - 1
La différence s 'écri t donc finalement :
• D < J_Q Q2
Q étant arbitrairement grand, D est arbitrairement petit.
Si r est commensurable la démonstration est encore valable: e = 0 et D<——. Si de plus A estQ
commensurable, ô l'est aussi, 6 = P- et nous avons : D =—-- 6 =-^- • (s - -E- • Q) < -^- . La différenceQ Q Q q Q
ne pourra s'annuler qu'exceptionnellement.
Cette démonstration étant rappelée, il nous faut examiner les différents cas possibles dans le
problème non linéaire. En effet nous avons : r = p . —ÎL_= p .% et (- p .ux +to + v ) - A. De plus D2
d' y
peut toujours être annulée quel que soit u1 = . Donc :a) Si p , 7i et u1 sont commensurable s le mouvement est algébrique et r est commen-
surable.
124
b) Si p ou il est incommensurable, le mouvement est non algébrique et r est incommen-surable.
c) Si p et n sont .incommensurables le mouvement est non algébrique : r généralementincommensurable, peut toutefois être exceptionnellement commensurable.
En conséquence nous aurons donc physiquement deux sortes de mouvements :
a) Les mouvements algébriques, périodiques et fermés. Ces mouvements ne peuventévidemment couvrir d'une manière dense tout le domaine. Toutefois il est toujours possible par unchoix judicieux de la "différence de phase" to, (s = (A - E).Q), de faire passer ces courbes par unpoint quelconque P (xx, yx ) donné à l'avance.
P) Les mouvements non algébriques, non fermés. Ces mouvements couvrent d'une ma-nière quasi-dense tout le domaine borné : il est toujours possible de les faire passer aussi prèsque nous le voulons d'un point quelconque P (x , y ) donné à l'avance.
Exceptionnellement nous pouvons avoir une deuxième sorte de mouvements non algébriques ,ceux pour lesquels : r = p . n = k /k et s = (A - E). Q. En ce cas (par un choix judicieux de to)ces courbes passent par tout point donné à l'avance mais ne couvrent pas pour cela d'une manièredense tout le domaine : to étant fixé la courbe passe par P, passe aussi près que l'on veut de toutautre point P' sans toutefois y passer forcément : le mouvement couvre d'une façon quasi-dense ledomaine.
Nous bornerons là notre étude des mouvements de Lissajous généralisés, nous contentant defaire remarquer que ces questions sont en rapport avec le théorème Ma"'"°de Stoeckel et les théo-ries ergodiques. (6).
Après ce que nous venons de dire, il nous semble que l'étude des autres mouvements deLissajous non linéaires,en particulier (pu ; pu) et (snu ; pu) ou bien des cas plus généraux, ne doi-vent pas présenter de difficultés.
IX-2-2 - Couplage orienté.
Si l'une des dimensions peut réagir sur l'autre sans que cette dernière puisse réagir sur lapremière, nous obtenons un couplage orienté du genre :
x" = a3O.x3 + a20.x2 + alo.x + ao
y" = V y 3 + (b3i-x + b2oVy2 + (b32.x2 + b21.x + bloï.y + b^.x* + b22.x
2 + b^.x + bo
Ce couplage correspond donc en fait à l'étude d'une équation non linéaire à coefficients ellip-tiques avec second membre elliptique.
Dans le cas où elle se réduit à une équation linéaire sans second membre, cette équation,pour être régulière, doit satisfaire aux conditions de Fuchs, ce qui n'est pas toujours le cas, dufait de l'existence du terme b,2. Si les conditions de Fuchs sont vérifiées, l'intégrale générale estméromorphe. L'équation entre alors dans la classe des équations de Picard (3), et l'on sait que sonintégrale générale s'exprime par une combinaison linéaire de deux fonctions doublement périodiquesde seconde espèce c'est-à-dire de deux fonctions à multiplicateurs constants, soit dans la notation
de Weierstrass, des fonctions du type : y = A. -^—7^- exP (bx)- f (x)» * (x) étant une fonction ellip-tique. Dans les cas les plus simples nous avons des équations de Mathieu, de Lamé ou de Hermite .Nous nous bornons à rappeler que les équations de ce genre peuvent présenter des mouvements ins-tables. La recherche des conditions de stabilité paramétrique n'est généralement pas simple.
Dans le cas général du couplage orienté, l'équation reste non linéaire et rentre dans une ca-tégorie d'équations dont nous savons d'après les recherches de Painlevé et de Gambier, qu'elles nepossèdent pas d'intégrale générale méromorphe, sauf pour cinq types particuliers. Mais même dansces cas, ces équations définissent, des- transcendantes nouvelles. (3).
IX-2-3 - RECHERCHE DE CERTAINES SOLUTIONS GENERALES.
La recherche de la solution générale du couplage le plus général semble donc devoir intro-duire de nouvelles transcendantes. Tout au plus pouvons nous espérer que pour des systèmes cou-plés relativement simples, cette solution générale n'introduise que des transcendantes connues.
125
Mais cette recherche nécessite un fil directeur pouvant nous apporter quelques lueurs sur unequestion où une information, même partielle, serait la bienvenue. Nous nous sommes inspirésde notre étude des mouvements algébriques par les fonctions fuchsiennes ; plus exactement nousavons généralisés les équations de définition des fonctions thêta et zêta fuchsiennes de la façon sui-vante : (7).
Nous opérons sur la variable z d'une fonction f (z), une transformation T (z). La fonction setransforme alors en une autre fonction plus ou moins simple que nous avons toujours le droit d'é-crire par analogie avec ce que nous avons déjà vu :
f [T (z)] - f [z] .M (zï + P {z)
cette écriture ne présentant évidemment un certain intérêt que pour un multiplicateur M (z) et unepériode P (z), relativement simples.
Il est facile de nous rendre compte comment se transforment les dérivées premières et se-condes de f [z], lorsque nous effectuons sur la variable z cette opération T(z). Nous obtenons succes-sivement :
~-{f [T (z)]}=-L.{fM« + f'M + P'}
[T (z)] - ( $ F ) . f» + (-^5) • (2M< - M-£'
Ces relations et la relation de définition nous permettent alors de trouver à quel système nou-veau, un système couplé non linéaire quelconque donne naissance, lorsqu'on effectue sur la variablez une transformation U (z) pour x et V (z) pour y, c'est-à-dire lorsque nous posons :
x tU (z)] = xfz]. M (z) + P (z)
y [V (z)] = yfzL N (z) + Q (z )
Comment obtenir des informations d'une telle transformation ? Nous nous bornerons dans cequi suit à rechercher pour quelle transformations U, V et quels multiplicateurs M, N et périodesP, Q, le système reste invariant. Mais il nous faut bien voir que cette recherche ne peut nous me-ner, si toutefois elle y mène,aux formes de solution les plus générales. Car :
1/ le système n'a en ce cas aucune raison de rester invariant pour une transformation (U, V).
2/ ur tel système invariant dans une transformation (U, V) n'a aucune raison d'admettre dessolutions invariantes dans (U, V).
Pourtant cette opération va nous rendre de grands services. Effectuons cette transformationsur le système suivant :
f x" + ax = ex . x 2 + e 2 . y 2
y " + by = ô xy
Nous obtenon.3
e1 (Mx + P) 2 + e2 (Ny + Q)2
= à (Mx + P). (Ny +Q)
Pour un système invariant, nous trouvons immédiatement les conditions suffisantes
M N U" v"•Û7T- 1 = 2M' - M^r- 0 = 2N' - N X -
126
M2 = 1 = N2 = MN P = 0 = Q
M ' 0 a - M = . a
^ ) . (N" - N ' . - ^ ) + b.N = b
Ces conditions nous mènent finalement à :
M = N = 1
U'2 = V'2 = 1
et par suite à :
{M = 1 (N = 1
U = ± z + este \ v = ± z +este
A première vue nous n'obtenons rien d'autre que le résultat déjà obtenu dans le paragraphe(IX-1) : certaines solutions algébriques s'uniformisent par les fonctions elliptiques.
L'interprétation nous semble devoir être beaucoup plus nuancée (6). En effet dans le cas pré-sent les constantes complexes d'intégration n'ont aucune raison d'être les mêmes. Mais alors unedifficulté s'élève. Si les constantes d'intégration sont les mêmes, x et y restent invariants pour unemême transformation elliptique U = V =± z + este et nous obtenons des courbes algébriques. Si cesconstantes sont différentes, x et y n'ont plus \ss mêmes périodes fondamentales et nous avons vuque les mouvements de Lissajous généralisés répondaient à cette question. Mais le résultat que nousvenons d'obtenir pour une transformation (U,V), ne nous oblige en rien à prendre 6 = e2 = 0. Ilest donc valable, sinon pour le système général, au moins pour : 6 f 0 / e2 . Mais ce fait sem-ble en contradiction avec ce que nous savons des fonctions elliptiques. Comment obtenir une rela-tion algébrique par exemple : x" + ax = ex . x
2 + Ej .y2, entre deux fonctions qui manifestement nesont liées par aucune relation algébrique puisque leurs périodes sont supposées incommensurables ?
Il nous faut pour cela reconsidérer l'interprétation du résultat obtenu. Nous avons déduit denos relations :
U = ± z + k ) ( V = ± z + k y
En réalité notre interprétation n'est pas exacte. Le résultat brutal obtenu plus haut est le sui-vant : (U')2 = + 1 = (V1)2. Ce qui veut dire qu'à l'intérieur même de l'expression de x (ou y), rienne nous oblige à prendre partout la même constante d'intégration. Pour une certaine partie de x,nous dériverons (par exemple) par rapport à : ± z + k,i pour une autre par rapport à : ± z + kti
etc. Autrement dit à l'intérieur même de l'expression de x, rien ne nous interdit d'avoir une fonc-tion elliptique de période KKl, une autre de période Kx2 etc..Kxi. Et de même pour y, K V..K,.Bien plus, rien ne nous dit que x ou y doivent s'écrire, directement, au moyen de fonctionselliptiques. Les conditions que nous avons trouvées nous disent simplement qu'il est possible quex puisse s'exprimer, (directement ou par des moyens beaucoup plus indirects) par des fonctionselliptiques de périodes différentes (éventuellement commensurables, d'où éventuellement les courbesalgébriques). De même pour y.
Le résultat de cette analyse est assez satisfaisant, car nous concevons mieux maintenant qu'ily ait manifestement et nécessairement, quelque chose de commun entre x et y, ce lien s'évanouis-sant éventuellement d'une certaine manière par l'introduction du couplage et n'ayant en tous cas rienà voir avec la commensurabilité des périodes.
Reprenons par exemple le système suivant :
{ x" + ax = z1 .x2 + e2 .y2
y " + by = 6 . xy
Comment déterminer ce lien nécessaire entre x et y ? L'idée la plus simple est de supposerque x et y sont des combinaisons linéaires de deux fonctions f et g, à priori quelconques (mais s'ex-
127
primant comme nous le verrons, au moyen de fonctions elliptiques de périodes différentes) et d'es-sayer d'éliminer les couplages indésirables intervenant par les produits x2, y2, xy, par un choixjudicieux des constantes.
Posons donc :
' x = Af + Bg
y = Cf +Dg
Nous trouvons :
^Af" + aAf + Bg" + aBg = (eaA2 +e2 C
2) f2 + (£x B2 + £2 D
2) g2 + (ei 2AB-+ 2E2CD)fg
1 Cf" + bCf + Dg" + bDg = 6ACf2 + 6 BD g2 + 6 (AD + BC) fg
Nous obtenons alors un véritable découplage du système si nous imposons les conditions :
( Ea. AB +e2 . CD = 0
1 AD + BC = 0
ce qui nous donne deux constantes indépendantes A, B les deux autres s'écrivant :
iC VTË; = ± A\fë[
D VTT2 = ± BVË7
Malheureusement les coefficients a, b, £ , £ , ô ne peuvent encore une fois être quelconquescar nous avons :
' A . (f" + af) = (E1. A2 +£2 . C2). f2 = 2E X . A2, f2
C. (f" + bf ) = ô . ACf2
B. (g" + ag) = (£2 . B2 +£2 . D2). g2= 2 ^ . B2. g«
D. (g" + bg) =ô . BD. g2
ce qui nous impose a = b ; ô = 2 ^ . Toutefois les solutions obtenues sont cette fois-ci les solutionsgénérale du système :
( x" + ax = e 1 . x2 +e2 . y 2
y" + ay = 2. xy
Elles s'écrivent en effet (7) :
x = Af + Bg
' - i_ . (Af - Bg)
A et B étant deux constantes indépendantes et f, g deux fonctions elliptiques définies par :
C f" + af = 2.£x . A.f2
l g" + ag = 2 .£ a . B.g2
c'est-à-dire par :
(=p{v-v--t +tfo ; g2 -3a2
g = p + t3a2
90 ' 4£ 2 B 2 "
3M
128
p { } étant la fonction de Weierstrass et tfo, t o , étant deux autres constantes indépendantes. Quantà M et N ce sont les constantes des intégrales premières suivantes :
M s'exprime donc en fonction de f0, f'0 , A et N en fonction de g , g1 , B c'est-à-dire XQ, X'Q, yo,y1, A d'une part et xo, x , yo, y , B d'autre part, car nous avons :
\! 21 o X o + Vo
go - x0 yo «Y"^—
En résumé nous avons quatre constantes indépendantes A, tf0, B, tgo, qui seront déterminéesen fonction des conditions initiales par les quatre équations ci-dessus.
Remarquons que pour : a = 0 = b ; ex = 6 = e2 ; A = = = B ; tfo = - t0 + T ; t = - t0 - T ; nous
retrouvons bien les solutions (IX-l-l-f) du système :
6y :
ce qui est satisfaisant.
f x" = 6 x2 +
(y" = 12 xy
On pourrait penser que le mouvement f (x, y) = 0 est algébrique du fait de l'intégrale premièredu § IX-1-3. On peut vérifier qu'il n'en est rien.
Nous avons donc, par un véritable découplage, réussit à obtenir une solution générale, dansun cas encore restreint, il est vrai. Ce résultat nous incite à penser qu'il existe d'autres systèmespouvant être intégrés de cette manière. Une recherche systématique ne semble pas devoir souleverde difficultés, en principe tout au moins. Nous nous proposons de revenir un peu plus tard dans uneautre recherche sur diverses méthodes de découplage et leurs applications.
Il faut toutefois remarquer que les relations qui viennent d'être obtenues entre les coefficientsne correspondent pas à celles du système obtenu pour un synchrotron dans l'hypothèse d'un champmagnétique linéaire. Le choix d'un champ magnétique différent permettrait peut-être de s'y ramenerjusqu'à un certain point.
En résumé nous avons trouvé un certain nombre de méthodes menant dans certains cas à dessolutions effectives exactes tant pour les solutions algébriques que non algébriques. Nous limiteronslà notre étude, mais pour conclure notre travail, nous allons très brièvement donner quelques indi-cations sur les systèmes à coefficients périodiques.
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE IX
(1) VALAT J. - CRAS - 251, i960, p. 198.
(2) POINCARE - Oeuvres.
(3) VALIRON - Tomes I et II.
(4) VALAT J. - CRAS - 251, 1960, p. 630.
(5) HAAG - Les mouvements vibratoires - Tome I p. 53.
(6) MERCIER -.Principe de Dynamique Analytique (Gauthier-Villars).
(7) VALAT J. - CRAS - 251, 1960, p. 840.
129
CHAPITRE X
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE,COUPLÉESN O N LINÉAIREMENT, A COEFFICIENTS PÉRIODIQUES
Un des cas les plus importants des systèmes à coefficients variables nous semble devoir êtreau point de vue physique les systèmes à coefficients périodiques, tant sinusoïdaux que crénelés .ouimpulsionnels.
Dans le cas des systèmes à coefficients crénelés, si nous connaissons les coordonnées para-métriques des systèmes adjoints à coefficients constants, nous pouvons par une généralisation de laméthode que nous avons indiquée en VIII pour une seule équation non linéaire, rechercher des so-lutions périodiques du système crénelé. Mais de plus les conditions liant les coefficients des sys-tèmes à coefficients constants devront être vérifiées (la 'solution générale étant supposée non con-nue). Une recherche effective nécessitera donc beaucoup de tâtonnements.
C'est pourquoi il importe de se rendre compte que la recherche de ces mouvements périodi-ques n'est pas vaine à priori.
Montrons-le sur le système suivant à coefficients périodiques quelconques (de période T) :
* /W\ l^Vt uuk
( x" + oc.x = Y .x3 + \i x.y2
( y " + p\y = ô\y3 + T.y .x 2
Cherchons des multiplicateurs M (t) et N (t) tels que :
(x (t + T) = M (t). x (t)
( y (t + T) = N (t). y (t)
fNous obtenons :
'M"* + 2 M'x1 +Mx" +"oMx = T. M3.x^ + £.MN2. xy2
|N"y + 2 N'y' + Ny" + pMSfy = o*.N3. y3 + T. NM2. yx2
En combinant ce système avec le système primitif nous trouvons :
(M"x + 2 M'x' = 7-M.x3. (M2 - 1) + *£. M. x.y2. (N2 - 1 )
N"y + 2 N'y' = ô\ N.y3. (N 2 - 1) + T. N.y. x2. ( M 2 - l )
Si M = este et N = este le système est vérifié pour :
( M2 - 1 =0
\ N2 - 1 =0
Par conséquent le système peut être vérifié par des solutions périodiques de période T, ainsi quepar diverses sortes de solutions périodiques de période 2T. La recherche de solutions périodiquesest donc justifiée.
D'autre part les méthodes que nous avons employées pour les systèmes à coefficients cons-tants nous semblent pouvoir être étendues assez facilement aux systèmes à coefficients périodiqueset devoir donner des indications intéressantes. Nous nous proposons d'y revenir dans une recher-che ultérieure.
130
Dans le cas où les coefficients périodiques ne sont pas trop profondément modulés par rap-port à leur valeur moyenne, il est d'ailleurs possible d'obtenir quelques indications sur le compor-tement du système en se ramenant par les transformations de Sigurgeirson (1) ou de Schoch (2) àdes systèmes à coefficients constants. Cette possibilité augmente encore l'importance des systèmesà coefficients constants et justifierait leur étude, s'il en était besoin.
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE X
(1) SIGURGEIRSON - CERN, T/TS, 1 et 3. 1952 et 1953.
(2) SCHOCH - CERN, 57 - 23, 1958.
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CONSIDERATIONS FINALES
Dans le premier chapitre de ce travail, nous avons décrit un simulateur d'une équation liné-aire de Hill-Meissner à coefficient créneau. Les difficultés de mise au point ont été nombreuses .
Dans le deuxième chapitre, nous avons comparés les résultats expérimentaux obtenus, avecle diagramme de stabilité théorique de Meissner-Strutt-Van der Pol, que nous avons d'ailleurs étéobligés de recalculer à grande échelle. Nous avons constaté certains désaccords et nous avons penséqu'il fallait faire intervenir l'amortissement interne.
Dans le troisième chapitre nous avons calculé un réseau de diagramme universels plus géné-raux faisant intervenir l'amortissement et tracés en gardant le produit (oc.T) invariant. Ces dia-grammes ont nécessité des calculs importants. Toutefois le simulateur travaillant naturellement àamortissement a = este, nous avons calculé d'autres diagrammes, particuliers cette fois-ci au si-mulateur. Malgré une concordance meilleur de l'expérience et des résultats théoriques, nous avonsconstaté un désaccord résiduel.
Dans un quatrième chapitre nous avons fait intervenir les dissymétries internes du simulateur .Mais ces défauts, qui expliquent certaines difficultés expérimentales, ne peuvent être l'origine dudésaccord résiduel constaté.
Dans un cinquième chapitre, nous avons finalement incriminé la dissymétrie des créneauxfournis par le générateur. Pour ce faire nous avons construit de nouveaux diagrammes universels
T - Tà oc.T = este, en fonction également de la dissymétrie algébrique d = 1 — - (- 1^ d.$ 1 ), T étant
la période totale, Tx et T2 étant l'une et l'autre des "demi-périodes". Ces diagrammes (d = -0 ,4 ;- 0, 1 : + 0, 1 ; + 0, 4) ont nécessité des calculs encore plus considérables que précédemment (d = 0).Pour les vérifier now: avons utilisé une machine analogique différentielle universelle, alliée à desmultiplieurs de haute précision du Laboratoire de Calcul Analogique du C.E.N. de Saclay.
Dans un sixième chapitre, nous sommes revenus au simulateur. Nous avons construit un pé-riodemètre permettant de mesurer avec finesse la période et les deux demi-périodes du créneau.Les derniers désaccords ont pu alors être expliqués et les courbes théoriques vérifiées avec unebonne précision expérimentale par le simulateur.
Dans un septième chap'cre nous avons montré que le simulateur fonctionnait comme un sys-tème bouclé asservi. En étudiant son comportement, nous avons pu donner une présentation origi-nale du théorème de Floquet.
Dans un huitième chapitre, nous avons étudié le comportement de l'équation linéaire de Hill-Meissner dans le plan de phase (y ; u = y1). Nous avons mis en évidence la facilité avec laquelleon pouvait, grâce à lui, écrire les conditions de périodicité d'un mouvement régi par une telleéquation. Nous avons réussi à étendre cette méthode aux équations nor. linéaires à coefficients cré-nelés. Les solutions périodiques dépendent maintenant des diverses conditions initiales. Cette mé-thode est valable quelle que soit l'importance de l'amplitude des non-linéarités. Nous l'avons appli-quée à l'équation :
y" + a\ y + £ \ y3 = 0
Grâce aux machines de Saclay, nous avons effectué des vérifications expérimentales dans le plan dephase, tant pour l'équation linéaire du début que pour l'équation non linéaire que nous venons d'in-diquer. Les résultats expérimentaux ont très bien vérifié les prévisions théoriques.
Dans un neuvième chapitre, pour préparer la généralisation de ces résultats aux systèmesd'équations non linéaires couplées par coefficients crénelés, nous avons étudié les systèmes adjointsà coefficients constants.
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Nous avons tout d'abord étudié des cas où le système se ramenait à une seule équation (com-plexe) et dans ces cas particuliers, nous avons donné des solutions paramétriques effectives. Lesfonctions elliptiques de même période étant liées par une relation algébrique, nous avons ensuiterecherché les fonctions elliptiques x et y, les plus générales répondant à un système donné. Nousavons montré que cette méthode menait à une véritable algébrisation du système mais que ces so-lutions n'existaient que pour des coefficients liés par certaines relations et pour certaines condi-tions initiales. Nous avons donné un exemple et mené la discussion jusqu'à obtention d'une solutioneffective. Puis nous avons recherché si nous pouvions nous imposer à priori une courbe algébriquef (x, y) = 0, si possible fermée, évitant certaines régions etc. Nous avons montré que cette re-cherche était possible dans le cas où nous connaissions une intégrale première du mouvement. Nousavons donné les conditions d'existence de cette intégrale première et nous avons montré encore unefois que les mouvements algébriques n'existaient que pour certaines valeurs des coefficients et desconditions initiales. Pour trancher la question, nous avons finalement considéré les fonctions les plusgénérales uniformisant une courbe algébrique f (x, y) = 0 d'un système. Pour cela nous avons re-cherché les fonctions fuchsiennes x, y, solutions du système. Nous avons trouvé une intégrale pre-mière (autre que la précédente) et cette intégrale première existe toujours. Nous avons indiqué com-ment trouver à priori une courbe algébrique et nous avons montré que ces solutions fuchsiennes nepouvaient effectivement exister que pour des coefficients liés par certaines relations, les conditionsinitiales étant évidemment liées par l'intégrale première.
Ayant éclairci le problème de l'existence de solutions algébriques et donné diverses méthodesde recherche effective, nous nous sommes tournés vers la question plus délicate des mouvementsnon algébriques. Nous avons tout c ,bord étudié les mouvements découplés, c'est-à-dire, les mou-vements de Lissajous non linéaires en recherchant particulièrement les mouvements physiquementintéressants c'est-à-dire les mouvements bornés. Nous avons explicité les conditions d'existencedes divers mouvements algébriques bornés et montré que les mouvements non-algébriques bornés re-couvraient d'une manière quasi-dense le domaine borné.
Puis pour les systèmes quelconques non découplés nous avons recherché la forme possible decertaines solutions générales. Les recherches précédentes nous ont amener à généraliser les équationsde définition des fonctions thêta - et zêtafuchsiennes. Cette analyse fonctionnelle nous a amené àimaginer une méthode de découplage qui nous a permis dans un cas déjà intéressant de trouver etd'expliciter la solution générale du système considéré.
Sur ce résultat nous avons pratiquement arrêté notre travail. Dans un dixième et très brefchapitre nous avons montré que les systèmes non linéaires à coefficients périodiques admettaienteffectivement diverses solutions périodiques et que par suite pour les coefficients périodiques cré-nelés l'extension de la méthode du chapitre VIII était parfaitement justifiée. L'existence de trans-formations approchées permettant pour des coefficients périodiques pas trop modulés de se ramenerà des systèmes à coefficients constants, augmente encore l'importance de ces systèmes et justifie-rait à elle seule leur étude, s'il en était besoin.
En vu de ces résultats, il semble désormais possible d'obtenir des renseignements théoriquessur des systèmes un peu plus compliqués comme le système non linéaire suivant qui représented'une manière encore plus précise les oscillations bétatroniques des synchrotrons (ro>> 1) :
1 _ 1 1 4 1 _
x" .
au moins en ce qui concerne les mouvements algébriques et les mouvements périodiques. Des solu-tions plus générales ne correspondant pas aux valeurs des coefficients pourraient être éventuellementexploités, suivant une remarque déjà faite.
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TABLE DES MATIÈRES
Pages
REMERCIEMENTS 4
INTRODUCTION 5
CHAPITRE I - LE SIMULATEUR 7Principe et Description 7Etude et Mise au point 11
CHAPITRE II - DIAGRAMME DE STABILITE DE L'EQUATION SANS AMORTISSEMENTET A CRENEAUX SYMETRIQUES 37
Calcul à grande échelle du diagramme de stabilité 37Vérifications expérimentales par le simulateur 39
CHAPITRE III - DIAGRAMME DE STABILITE DE L'EQUATION AVEC AMORTISSEMENTET A CRENEAUX SYMETRIQUES 45
Etablissement des conditions de Stabilité 45Calcul d'un Diagramme Universel a . T = Cste 48Calcul d'un Diagramme particulier a = Cste 51Etude générale du Montage avec Amortissement quelconque 51Vérifications expérimentales du Diagramme à a = Cste 55
CHAPITRE IV - STABILITE DU SIMULATEUR SOUMIS A UNE PERTURBATION CRENELEEDUE AUX DISSYMETRIES 58
Origine des Dissymétries 58Stabilité de l'équation avec amortissement, à créneaux symétriques et à second membrepériodique et crénelée 58Vérifications expérimentales 60
CHAPITRE V - DIAGRAMME DE STABILITE DE L'EQUATION AVEC AMORTISSEMENTPOUR DES CRENEAUX DISSYMETRIQUES DE DISSYMETRIE ALGEBRI-QUE d 66
Etablissement des conditions de Stabilité 66Calcul des diagrammes universels a . T = Cste pour différentes valeurs de la dissy-métrie algébrique 67Vérifications expérimentales 67
CHAPITRE VI - VERIFICATION FINALE ET CONCLUSION 76
CHAPITRE VII - LES SYSTEMES ASSERVIS A COEFFICIENTS PERIODIQUES ET LETHEOREME DE FLOQUET 79
Le Simulateur considéré comme système asservi 79Formes des solutions 82
134
Pages
CHAPITRE VIII - LE PLAN DE PHASE ET LES SOLUTIONS PERIODIQUES DES EQUATIONSDIFFERENTIELLES NON LINEAIRES, DONT LES COEFFICIENTS VA-RIENT SUIVANT UNE FONCTION CRENELEE 85
Méthode de recherche des solutions périodiques 85Solutions périodiques de l'équation bétatronique linéaire, à coefficients crénelés 87Vérifications Expérimentales 90Solutions périodiques d'une équation bétatronique non linéaire à coefficients crénelés. . 96Vérifications Expérimentale s , 105
CHAPITRE IX - SYSTEME D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU DEUXIEME ORDRE A
COEFFICIENTS CONSTANTS, COUPLEES NON LINEAIREMENT 109
Recherche des Mouvements algébriques 109
Système se ramenant à une équation 109Intégration par les fonctions elliptiques 111Recherche à priori d'une courbe algébrique, connaissant une intégrale première 114Recherche des fonctions fuchsiennes uniformisant les courbes (f (x, y) = 0 algébriquesdu système , 117Recherche de Mouvements Non Algébriques 120
Mouvements de Lissajous Non Linéaires 120Couplage orienté 125Recherche de certaines Solutions générales par Analyse Fonctionnelle et par la Méthodedu Découplage 125
CHAPITRE X - SYSTEMES D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE, ACOEFFICIENTS PERIODIQUES, COUPLEES NON LINEAIREMENT 130
Existence de Mouvements Périodiques 130
CONSIDERATIONS FINALES 132
IMP. LOUIS-JEAN - GAPDépôt légal n- 103 - 1964
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