suites arithmetiques. un bureau détude a en charge le projet de construction dune pyramide du style...

SUITESARITHMETIQUES

Un bureau d’étude a en charge le projet deconstruction d’unepyramide du stylede celle du Louvre(base carrée).

Combien de plaques de verre, toutes identiques, et ayant la forme de triangleséquilatéraux sont-elles nécessaires pour la réalisation de la base d’une tellepyramide ?

ACTIVITE PREPARATOIRE


Un comptage systématiquedes plaques s’avérant long et fastidieux, nous vous proposons une méthodede calcul.

Pour cela, on note :

u1 , le nombre de plaques constituant le niveau le plus haut ;u2 , le nombre de plaques du niveau suivant (le 2ème) ;u3 , le nombre de plaques du niveau suivant (le 3ème) ;

un , le nombre de plaques du niveau suivant (le nème).

1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .


11 u

32 u

11 u

32 u

53 u

11 u

32 u

53 u

74 u

11 u

32 u

53 u

74 u

95 u


2°) Quelle est la relation permettant de calculer u2 à partir de u1 ? u3 à partir de u2 ... ?


11 u 32 u 53 u 74 u 95 u

+ 211 u

32 u

53 u

74 u

95 u

212 uu

+ 2

+ 2

+ 2

223 uu

234 uu

245 uu


2°) Quelle est la relation permettant de calculer u2 à partir de u1 ? u3 à partir de u2 ... ?

3°) Exprimer le nombre de plaques un du niveau n en fonction de un-1 .


11 u 32 u 53 u 74 u 95 u

212 uu

223 uu

234 uu

245 uu

21 nn uu

4°) Exprimer u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u1 ; un en fonction de u1 …


212 uu

223 uu 221 u

234 uu 231 u

245 uu 241 u

21 nn uu 2)1(1 nu

5°) Calculer le nombre de plaques constituant le niveau de base, sachant que la pyramide est constituée de 12 niveaux.


2)1(1 nuun

211112 uu

211112 u

2312 u

Il faut donc 234 = 92 triangles pour former la base de la pyramide.

A RETENIR

Une suite arithmétique est une suite de nombresdont chaque terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant un nombre constant appelé raison r.

Chacun des termes est désigné par un n indiquant le rang dans la suite.

ruu nn 1 rnu )1(1

EXEMPLESLes premiers termes d’une suite de nombres sont :2; 5; 8; 11; 14;...

• Montrer que cette suite est arithmétique

• Déterminer u1 et la raison r

• Calculer u6

31114 3811 358 325 La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 3donc la suite est arithmétique

u1= 2 et r = 3

u6 = u5 + r = 14 +3 =17

• Calculer u20

u20 = u1 +19 r = 2 +193 = 59

APPLICATION

CHUTE D’UNE BILLE

Lors de la chute libre d’une bille, la distance parcourue dest relevée en fonction de la durée t de la chute.

t (s) d (m)

1 4,9

2 19,6

3 44,1

4 78,4

t = 0

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

t = 4 s

t = 0

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

t = 4 s

4,9 m

19,6 m

44,1 m

78,4 m

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1

t = 0

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

t = 4 s

u1 4,9 m


9,41 u


- La deuxième seconde soit u2

9,41 u

t = 0

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

t = 4 s

u1

u2

4,9 m

19,6 m


9,41 u

7,149,46,192 u



- La troisième seconde soit u3

9,41 u

7,149,46,192 u


t = 0

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

t = 4 s

u1

u2

u3

4,9 m

19,6 m

44,1 m


9,41 u

7,149,46,192 u

5,246,191,443 u




- La quatrième seconde soit u4

9,41 u

7,149,46,192 u

5,246,191,443 u



t = 0

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

t = 4 s

u1

u2

u3

u4

4,9 m

19,6 m

44,1 m

78,4 m


9,41 u

7,149,46,192 u

5,246,191,443 u

3,341,444,783 u

- La quatrième seconde soit u4



b) Montrer que les nombres u1 , u2 , u3 , u4 forment une suitearithmétique; en préciser la raison :

9,41 u

7,142 u

5,243 u

3,344 u

8,99,47,1412 uu

8,97,145,2423 uu

8,95,243,3434 uu

La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 9,8donc la suite est arithmétique de raison r = 9,8.

c) Calculer dans ses conditions u5 :

d) En déduire la distance totale parcourue par la bille au coursd’une chute de cinq secondes :

ruu nn 1

ruu 45

8,93,345 u

1,445 u

m 122,51,444,78 d

suites arithmetiques. un bureau détude a en charge le projet de construction dune pyramide du style...

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