stereovision note de cours
TRANSCRIPT
Cours de Vision
Vision par ordinateur
Stereovision - geometrie epipolaire
– Reconstruction 3D par stereovision
– Principe, motivation
– Exemples, applications
– Reconstruction 3D, triangulation
– Geometrie epipolaire
Vision par ordinateur 1
Cours de Vision
Stereovision
Definition 1
On designe par stereovision (ou vision stereoscopique) le processus qui
permet de combiner entre elles plusieurs images d’une meme scene pour en
extraire des informations geometriques tridimensionelles
Definition 2
On appellera images stereoscopiques tout ensemble d’images d’une meme
scene prises depuis des points de vue differents
Systeme a 2 cameras Systeme a 3 cameras
Vision par ordinateur 2Cours de Vision
Motivations
Aspect anthropomorphique
etude du fonctionnement du systeme visuel
humain et de ses mecanismes
(psychovision).
Restitution numerique du relief
Vision par ordinateur 3
3-1
Cours de Vision
Exemples
Vision par ordinateur 4
Cours de Vision
Application de la stereovision
– Cartographie automatique d’images aeriennes
– Imagerie biomedicale
– reconstruction du reseau vasculaire (angiographie)
– microscopie electronique
– Vision robotique
– perception de l’environnement (auto-
nomie de fonctionnement)
– localisation de piece industrielle
– robotique spatiale
Vision par ordinateur 5Cours de Vision
Reconstruction 3D par stereovision
Principe : triangulation apres calibration (et mise en correspondance)
Le cas d’un point
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I1
I2
C1
m1(x1, y1)
M(X, Y, Z)
C2
m2(x2, y2)
M = (C1m1) ∩ (C2m2)
ou (Cimi) exprimees dans le meme repere.
⇒ 4 equations lineaires (2 par droite)
a 3 inconnues (X,Y, Z)
resolution par moindre carres
Vision par ordinateur 6
Cours de Vision
Equations associees (1)
Donnees Inconnues :
–m1(x1, y1) dans l’image 1
–m2(x2, y2) dans l’image 2
en pixel M(X,Y, Z)
– les parametres extrinseques et intrinseques des cameras en metre
Etape 1: Passage pixels - metres
on a
u = u0 + pxXZ
= u0 + pxx dans le repere de la camera associee
v = v0 + pyYZ
= v0 + pyy
d’ou u−u0
px= x et v−v0
py= y
Vision par ordinateur 7
Cours de Vision
Equations associees (2)
Etape 2 : Triangulation
m1 ⇒
x1Z1 = X1
y1Z1 = Y1
m2 ⇒
x2Z2 = X2
y2Z2 = Y2
(X1, Y1, Z1) dans RC1(X2, Y2, Z2) dans RC2
X1
Y1
Z1
1
= c1Mo
X
Y
Z
1
X2
Y2
Z2
1
= c2Mo
X
Y
Z
1
⇒ 2 equations lineaires en (X,Y, Z) pour m1 et m2
Vision par ordinateur 8
Cours de Vision
Etape 2 : Triangulation
m1 ⇒
x1 = X1
Z1
y1 = Y1
Z1
M2 ⇒
x2 = X2
Z2
y2 = Y2
Z2
(X1, Y1, Z1) dans RC1(X2, Y2, Z2) dans RC2
x1Z1 = X1
y1Z1 = Y1
(1)
x2 = X2
Z2= r11X1+r12Y1+r13Z1+tx
r31X1+r32Y1+r33Z1+tz
y2 = Y2
Z2
= r21X1+r22Y1+r23Z1+tyr31X1+r32Y1+r33Z1+tz
(2)
car (X2, Y2, Z2, 1)T = c2Mc1 (X1, Y1, Z1, 1)
T
Vision par ordinateur 9Cours de Vision
en utilisant (1) dans (2) et en posant p = (x1, y1, 1)T , on simplifie:
x2 = Z1r1.p+txZ1r3.p+tz
y2 = Z1r2.p+tyZ1r3.p+tz
une seule inconnue Z1 et deux equations
Et enfin
et donc (si tout est parfait) Z1 =tx − tzx2
(r3.p)x2 − r1.p
Vision par ordinateur 10
Cours de Vision
Triangulation
Cas d’une droite
D = (C1D1) ∩ (C2D2)
Cas de primitives volumetriques
meme principe : ∩ de deux cones generalises.
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Vision par ordinateur 11
Cours de Vision
Erreur de reconstructionInfluence des erreurs de mise en correspondance
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Vision par ordinateur 12
Cours de Vision
Erreur de reconstructionInfluence des erreurs de calibration
��� ���
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Vision par ordinateur 13Cours de Vision
Erreur de reconstructionInfluence de la position des cameras
Vision par ordinateur 14
Cours de Vision
Geometrie epipolaire
Soit m1 un point de l’image 1. Les points 3D se projetant en m1 sont situes
sur la droite (C1m1). L’image de cette droite sur π2 est une droite, appelee
droite epipolaire associee a m1 et notee De2.
Le point M2, correspondant de M1 appartient a cette droite De2.
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π1
π2
m1
M
m2
De2
C2
C1
La geometrie epipolaire induit une contrainte forte sur le probleme de la
mise en correspondance.
Vision par ordinateur 15
Cours de Vision
Geometrie epipolaire (2)
Reciproquement, les correspondants possibles de m2 sont situes sur la
droite epipolaire De1, appelee droite epipolaire conjuguee de De2
:
De1(M) = (C1C2M) ∩ π1 (1)
De2(M) = (C1C2M) ∩ π2 (2)
plan epipolaire
m1
C1
De1
De2
e2
e1
m2
M
C2
Vision par ordinateur 16
Cours de Vision
Epipoles
Epipole e2 : projection de C1 dans π2
Epipole e1 : projection de C2 dans π1
Propriete : toutes les droites epipolaires de π2 sont l’image de
droites passant par C1 Elles passent toutes par e2
plan epipolaire
m1
C1
De1
De2
e2
e1
m2
M
C2
C1 C2
π2π1
e2e1
Vision par ordinateur 17Cours de Vision
Epipoles (2)Cas general et cas particuliers
Faisceaux d’epipolaires Faisceaux d’epipolaires
paralleles paralleles
Cas general dans une des images dans les deux images
1 epipole a l’∞ 2 epipoles a l’∞
C1 C2
π2π1
e2e1
C1
C2 π2
π1
C1 C2
π2π1
C1C2 parallele a π2 C1C2 parallele a π1 et π2
|| a l’axe des x de π1 et π2
Vision par ordinateur 18
Cours de Vision
Exemple de faisceaux epipolaire
Vision par ordinateur 19
Cours de Vision
RectificationSi
– Epipolaires paralleles entre elles
– Epipolaires paralleles a l’axe des x
– Choix des reperes images tel (x1, y1) dans π1 ait
pour epipolaire conjuguee y2 = y1 dans π2
π1 ‖ π2 ‖ (C1C2), et donc e1 et e2 sont l’infini
alors
La mise en correspondance se ramene a la re-
cherche du correspondant sur la meme ligne de
base.
La transformation des images pour atteindre cette
configuration s’appelle la rectification� �� �
M
M
M
m1
De2
C2C1
C1 C2
m1 m2
m′
2m′
1
Vision par ordinateur 20
Cours de Vision
Rectification
Avant rectification
Apres rectification
Vision par ordinateur 21Cours de Vision
Rectification (sur des images de contours)
Avant rectification
Apres rectification
Vision par ordinateur 22
Cours de Vision
Rectification (sur des triplets d’images)
Avant rectification Apres rectification
Vision par ordinateur 23
Cours de Vision
Disparite
La disparite δ est la distance entre les deux projetees de M dans π1 et π2.
δ = d(m1,m2)
plan epipolaire
m1
C1
De1
De2
e2
e1
m2
M
C2
La disparite δ est bornee.
La mise en correspondance sur une droite epipolaire se ramene donc a
une recherche sur un intervalle de cette droite seulement.
Vision par ordinateur 24
Cours de Vision
Disparite (2)
Quand les images sont rectifiees (y1 = y2),la disparite est donnee par
δ = x2 − x1 (3)
Intervalle de recherche des disparites. La disparite δ est limitee par :
– la dimensions des images
– le points observes sont situes necessairement au devant des plans images
et des centres optiques des deux cameras
– par les dimensions de la scene
Vision par ordinateur 25Cours de Vision
Relation disparite-profondeurCas d’images rectifiees
Rappel: on avait etabli les relations permettant de calculer la profondeur d’un
point
x2 = Z1r1.p+txZ1r3.p+tz
y2 = Z1r2.p+tyZ1r3.p+tz
et donc Z1 =tx − tzx2
(r3.p)x2 − r1.p
Si les images sont rectifiees alors on a :
c2Mc1 =
1 0 0 tx
0 1 0 0
0 0 1 0
On en deduit z1 =
tx
x2 − r1.p=
tx
x2 − x1=
tx
δ
la profondeur est inversement proportionnelle a la disparite
Vision par ordinateur 26
Cours de Vision
Exemple de chaıne de reconstruction (1)
Images brutes
Images Rectifiee
Vision par ordinateur 27
Cours de Vision
Exemple de chaıne de reconstruction (2)
Carte de disparite disparite lissee maillage
Vision par ordinateur 28
Cours de Vision
Conclusion: systeme a 2 cameras
Il est possible de reconstruire la geometrie spatiale d’une scene 3D a partir de
deux cameras.
⇒recherche de deux points homologues le long des deux
epipolaires conjuguees
Mais, pour un point de I1, ∃ une infinite de points homologues dans I2
⇒ ambiguites : probleme de mise en correspondance
Vision par ordinateur 29Cours de Vision
Systeme a 3 cameras
Un systeme trinoculaire permet de lever les ambiguıtes possibles par une
simple verification dans la troisieme image. En effet, pour verifier que
(M1,M2) forment un couple de points homologues, il suffit de verifier que
M3 obtenu par intersection des droites epipolaires associees a M1 et M2
dans la 3eme est un point homologue plausible pour M1 et M2.
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Vision par ordinateur 30
Cours de Vision
Systeme a 3 cameras
Pour verifier que M1 et M2 forment un couple de points homologues il suffit
de verifier que M3 = D31 ∩ D32 est un point homologue plausible pour M1
et M2.
Problemes :
– Calibration plus delicate
– Champ de vision plus reduit par rapport a deux cameras
– Traitement d’image plus couteux
Vision par ordinateur 31
Cours de Vision
Systeme a 5 ou 6 cameras (CMU)
Vision par ordinateur 32
Cours de Vision
Systeme a N camera (dome du CMU)
Vision par ordinateur 33Cours de Vision
Formulation matricielle de la contrainte epipolaire
– La matrice essentielle
– La matrice fondamentale
– Les homographies
Vision par ordinateur 34
Cours de Vision
Formulation matricielle de la contrainte epipolaire
plan epipolaire
m1
C1
De1
De2
e2
e1
m2
M
C2
Contrainte epipolaire :
C1,C2,m1,m2 et M sont copla-
naires
C1m1.(C1C2 × C2m2) = 0
Dans Rc1
– C1m1/Rc1= mT
1 = (x1, x1, 1)T
– C1C2/Rc1= c1tc2
– C2m2/Rc1= c1Rc2C2m2/Rc2
= c1Rc2m2 = c1Rc2(x2, y2, 1)T
mT1 .(c1tc2 ×
c1Rc2m2) = 0
Vision par ordinateur 35
Cours de Vision
Formulation matricielle de la contrainte epipolaire(matrice essentielle)
mT1 .(T× Rm2) = 0
En posant
S = T =
0 −t3 t2
t3 0 −t1
−t2 t1 0
on obtient T ×Rm2 = SRm2
et donc
mT1 SRm2 = 0 E = SR est appelee matrice essentielle
Vision par ordinateur 36
Cours de Vision
Formulation matricielle de la contrainte epipolaire(matrice fondamentale)
Dans l’espace discretise
mp1 = K1m1 et donc m1 = K−11 mp1
mp2 = K2m2 et donc m2 = K−12 mp2
La contrainte epipolaire
mT1 SRm2 = 0
se reecrit
(K−11 mp1)
TSRK−12 mp2 = 0
mTp1 K−T
1 SRK−12︸ ︷︷ ︸
F
mp2 = 0
F3×3 est la matrice fondamentale
Vision par ordinateur 37Cours de Vision
Formulation matricielle de la contrainte epipolaire(matrice fondamentale)
La matrice fondamentale lie les coordonnees pixels des points homologues
dans les deux images.
u1
v1
1
T
F
u2
v2
1
= 0
Remarque : F ne depend pas du point (F = K−T1 SRK−1
2 )
Vision par ordinateur 38
Cours de Vision
Formulation matricielle de la contrainte epipolaireEquation des droites epipolaires
Posons:
F
u2
u2
1
=
a
b
c
On a
mTp1Fmp2 = 0 ⇔ au1 + bv1 + c = 0
Fmp2 est l’equation de la droite epipolaire De1associee au point m2.
⇔ si F est connu, on peut calculer n’importe quelle droite epipolaire
Vision par ordinateur 39
Cours de Vision
Formulation matricielle de la contrainte epipolaireCalcul de la matrice fondamentale
F peut se calculer a partir de :
– de la calibration du systeme (K1,K2 et c1Mc2)
– a partir d’un ensemble de points en correspondance
– resolution au moindres carres
– Algorithme des 8 points [Longuet Higgins 81]
– resolution non-lineaire avec minimisation du critere
C = d2(m1, De1) + d2(m2, De2
)
Vision par ordinateur 40
Cours de Vision
Cas des rotations puresExistence de la matrice fondamentale
– Rappel
F = K−T1 TRK−1
2
– Que se passe t’il sans translation ?
T = 0 ⇒ F = 0
ce qui sert pas a grand chose
Vision par ordinateur 41Cours de Vision
Cas des rotations pures
Revenons aux equations initiales
Z1mp1 = K1M1
Z2mp2 = K2M2
M2 = 2R1M1
⇒
M1 = Z1K−11 mp1 (1)
Z2mp2 = K22R1M1 (2)
En combinant (1) et (2) :
Z2mp2 = Z1K22R1K
−11 mp1
mp2 =Z1
Z2
K22R1K
−11
︸ ︷︷ ︸H
mp1
mp2 = Hmp1
La matrice H est une matrice d’homographie
Vision par ordinateur 42
Cours de Vision
Cas de points coplanaires
– Supposons que les points appartiennent a un plan P(n, d)
M1 ∈ P(n, d) ⇔ nTM1 = d
M2 = RM1 + T
⇒ M2 = RM1 + T
nT
dM1
– or
Z1mp1 = K1M1 et Z2K2mp2 = K2M2
– d’ou la relation homographique
λmp2 = Hmp1
avec
H = K2RK−11 + K2T
nT
dK−1
1 et λ =Z2
Z1
Vision par ordinateur 43
Cours de Vision
Homographie du plan a l’infini
H = K2RK−11 + K2T
nT
dK−1
1
quand d tend vers l’infini (points situes sur un plan a l’infini) le terme TnT
dtend
vers 0
H tend vers l’expression correspondant au cas des rotation pure :
limd→∞
H = K2RK−11 = H∞
H∞ represente l’homographie du plan a l’infini
Vision par ordinateur 44
Cours de Vision
Application : Synthese d’images
+ = H
Vision par ordinateur 45Cours de Vision
Calcul de la matrice essentielle ou fondamentaleL’algorithme des huit points [Longuet-Higgins88]
Contrainte epipolaire :
mT2 Em1 = 0
Le systeme peut se reecrire :
Ae = 0 (4)
avec le vecteur e contenant les termes a determiner de
e =(
E11 E12 ... E32 E33
)T
E et la matrice n × 9 fonction des donnees.
A =
...
xi2xi1 xi2yi1 xi2 yi2xi1 yi2yi1 yi2 xi1 yi1 1
...
Vision par ordinateur 46
Cours de Vision
Calcul de la matrice essentielle ou fondamentaleL’algorithme des huit points [Longuet-Higgins88]
Ce systeme lineaire se resoud aux moindres carres, en posant la contrainte
‖ E ‖= 1.
Soit E la matrice ainsi obtenue.
Or E est de rang 2, il faut donc s’assurer que le resultat obtenue est bien une
matrice essentielle.
On force cette contrainte en calculant la SVD de E : E = UDVT .
Soit D = diag(r, s, t) et r ≥ s ≥ t, alors la matrice essentielle finale est
E = U.diag(r, s, 0).VT
Vision par ordinateur 47
Cours de Vision
Calcul d’une homographie : Algorithme DLTDirect Linear Transformation
Pour chaque point on a (en coordonnees homogenes) :
mi2 = Hmi1 (5)
Ce qui est equivalent a :
mi2 × Hmi1 = 0 (6)
si la j ieme ligne de la matrice H est notee hTj , on peut ecrire :
Hmi1 =
hT1 mi1
hT2 mi1
hT3 mi1
(7)
Vision par ordinateur 48
Cours de Vision
Calcul d’une homographie : Algorithme DLT
mi2 × Hmi1 = 0 (8)
En posant mi2 = (xi2 , yi2 , wi2) (wi2 etant la troisieme coordonnee
homogene), le produit vectoriel donne par (??) se developpe ainsi :
mi2 ×Hmi1 =
yi2hT3 mi1 − wi2h
T2 mi1
wi2hT1 mi1 − xi2h
T3 mi1
xi2hT2 mi1 − yi2h
T1 mi1
(9)
0T −wi2mTi1
yi2mTi1
wi2mTi1
0T −xi2mTi1
−yi2mTi1
xi2mTi1
0T
︸ ︷︷ ︸Ai(3×9)
h1
h2
h3
︸ ︷︷ ︸h(9×1)
= 0 (10)
Vision par ordinateur 49Cours de Vision
Calcul d’une homographie : Algorithme DLTDirect Linear Transformation
0T −wi2mTi1
yi2mTi1
wi2mTi1
0T −xi2mTi1
−yi2mTi1
xi2mTi1
0T
︸ ︷︷ ︸Ai(3×9)
h1
h2
h3
︸ ︷︷ ︸h(9×1)
= 0 (11)
Seul 2 equations sont lineairement independantes.
Resolution
Pour n correspondances Ah = 0 avec A =(AT
1 , ...,ATi , ...,AT
n
)T. Il se
resoud classiquement par la decomposition SVD :
A = UDVT
h est le vecteur de V associe a la plus petite valeur singuliere de A
Vision par ordinateur 50