stabilité d'un système asservi

7/30/2019 Stabilit d'un systme asservi

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Stabilit des systmes asservis.doc

S tabi l i t d'un s ys tme as s er vi

1. Notion de stabilit et dfinition.

Dfinition n 1 : on dit que le systme est stable si pour une entre borne, la sortie reste borne quelles

que soient les perturbations.

Systme stable

Systme instable

Dfinition n 2 : un systme est stable si la rponse libre du systme tend vers zro quand t tend vers

linfini.

Remarque : ces deux dfinitions sont quivalentes dans le cas de systmes linaires. Quelle dfinitionchoisir ?

Un systme rel instable oscille jusqu la destruction. Ces oscillations peuvent, dans le cas gnral, tre

limites par les diffrentes saturations (limites des ampli-OP, butes physiques) et laisser croire que la

sortie du systme est borne, mais le systme ne peut plus tre considr comme linaire . La premiredfinition ne peut pas tre utilise.

Etudier la rponse libre dun systme revient carter le systme de sa position dquilibre et analysersa rponse.

Un systme stable a tendance revenir dans sa position dquilibre. Un systme instable tendance sen carter. Un systme qui ne revient pas dans sa position dquilibre mais qui ne sen carte pas est dit juste

instable.

temps

entresortie

temps

entre

sortie


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2. Condition fondamentale de stabilit dun systme asservi.

Etudions la stabilit du systme en considrant la deuxime dfinition : ce qui revient considrer que le

systme est soumis linstant t = 0 une impulsion.

S(p) = H(p) car E(p) = 1

Avec FTBF = H(p) =T(p)

1 + G(p).T(p)

Condition ncessaire et suffisante de stabilit :Un systme linaire invariant est stable si est seulement si tous ses ples ont une partie relle ngative.

Position des ples de H(p) dans le repre complexe (ou des zros de FTBO + 1).

Il suffit donc davoir une mthode pour dterminer le signe des parties rellesdes ples de la fonction de

transfert du systme

instablestable

Re

Im

Plesrelles positives

Ples complexes

conjugues partie

relle positive

Ples complexes

conjugues partie

relle ngative

Plesrelles ngativesPles imaginaires pures

Ples nuls


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3. Critres de stabilit.

3.1 Critre algbrique : Routh.

Le critre de Routh est un critre permettant de dterminer partir du polynmes dnominateur de lafonction de transfert le signe des racines de ce polynme sans avoir rsoudre lquation

1 + G(p).T(p) = 0

qui peut se mettre aussi sous la forme :

b0 + b1.p + b2.p + + bn.pn = 0

avec bn > 0

Prsentation du critre de Routh :Crons un tableau :

pn

bn bn 2 bn 4

pn - 1 bn 1 bn - 3 bn 5

Ces deux lignes regroupent tous les coefficients du polynme dnominateur de la FTBF

Crons les lignes suivantes jusqu p0

:pn-2 c1 c2 c3

pn - 3 d1 d2 d3

p0

Avec :

c1 =-1

bn - 1.

bn bn - 2

bn - 1 bn - 3c2 =

-1

bn - 1.

bn bn - 4

bn - 1 bn - 5

d1 =-1

c1.

bn - 1 bn - 3

c1 c2d2 =

-1

c1.

bn - 1 bn - 5

c1 c3

La premire colonne de coefficient (noire) est appeles la colonne des pivots.

Enonc du critre de Routh :Le systme est stable si tous les termes de la colonne des pivots sont du mme signe que bn.

Il y a autant de racines partie relles positives que de changement de signe.

Une ligne de zro indique lexistence de racines imaginaires pures.

Conclusion :Le critre de Routh est un critre de stabilit absolue. Il ne permet pas de prciser les marges de stabilitdu systme.

Sachant quune fonction de transfert est toujours le modle dun systme rel (qui vieilli), et que ce

modle est toujours obtenu partir dapproximations ou dhypothses plus ou moins fortes ( linarisationetc.), montrer la stabilit du modle ne prouve pas toujours celle du systme : en effet, linstabilit peut

tre trs proche, et une erreur sur un coefficient de la FTBF peut tout faire changer.

Les critres graphiques permettent de dterminer une marge de stabilit.


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3.2 Critres graphiques.

Les critres graphiques permettent dtudier la stabilit dun systme en boucle ferme (FTBF) partir de lanalyse

frquentielle de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO).

Remarque : bien que lanalyse se fasse dans le domaine frquentielle, le rsultat est valables pour tous les signauxdentre (voir sries de Fourier).

Rgle du revers (non dmontre) : Exploitable dans les deux graphiques Bode et Black de la FTBO :

(attention on trace les diagrammes de la FTBO pour tudier la stabilit de la FTBF)Stabilit dans Black : un systme asservi linaire est stable si en dcrivant le lieu de transfert en boucle

ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique (-180,0 dB) droite. Dans le

cas contraire, il est instable. Utilis en entreprise.

Stabilit dans Bode :

Remarques :

on voit bienquun gain

trop

important

peut rendre le

systme

instable

On montrealors que les

systmes quiont une

FTBO du 1

ordre et du

second ordre

sont toujours

stables en

FTBF

(diagramme

de Black)


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4. Marges de stabilit.

La force des mthodes graphiques est dans la possibilit de dfinir des rserves de stabilit sous forme de

distances entre le lieu de la FTBO et le point critique.

On dfinit la marge de Gain et la marge de Phase.1.Marge de gain (en dB) : cest la diffrence entre 0 dB et la valeur du gain pour

lequel la phase est gale -180

2.Marge de phase (en degr) : cest la diffrence entre la valeur de la phase pourlaquelle le gain est gal 0 dB et 180.

Les valeurs usuelles de marge de gain et de phase sont :Marge de gain : 10 12 dB

Marge de phase : 45 50

Ces marges sont ncessaires pour prendre des distances de

scurit par rapport aux rsultats des calculs afin de se

prmunir dune modlisation approximative, de lvolution des

systmes (usures, dgradations, jeux mcaniques), et des

utilisations imprvues. Les figures ci-contre montrent comment on peut mesurer

les marges de gain et de phase dans les plans Black et

Bode.

Facteur de rsonance.

Il est possible dajouter aux critres de

marges une limite la rsonance :

La valeur usuelles de rglage est :

QdB = 2.3 dB

Le diagramme de Black permet de

dterminer lamplitude de la fonction

de transfert en boucle ferme (FTBF) partir du lieu de la fonction de transferten boucle ouverte (FTBO).

Le rglage du systme asservi sera

correct si le contour de la FTBO est

tangent au contour 2.3 dB.

Le point de tangence de la FTBO avecun contour damplitude est le point de

rsonance du systme.

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