la correction des systèmes asservis. 1.1 structure dun système asservi
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La correction des systèmes asservis
1.1 Structured’un système asservi
Correcteur Actionneur Procédé Capteur
Mesure
MesurandeActionCommandeConsigne
Perturbations
+
-
Régulateur
– Régulation : la consigne est fixe– Asservissement : la consigne varie
Schéma général
Schéma simplifié
C(p)
Mesure
Consigne+
-KG(p)
1.2. Performances
Critères de régulation Une régulation doit :
– être précise :– suffisamment stable :
• Met MG (diagrammes de Bode et Nyquist)
– la plus rapide possible, sous contrainte des deux critères précédents :
• tr, temps de réponse, minimum (réponse indicielle)
• B, bande passante, maximum (diagramme de Bode)
0)(mesureconsigne)( ttt
Critère d’asservissement
En plus des critères précédents, un asservissement doit avoir une erreur de traînage suffisamment petite
0 5 10 15 200
5
10
15
20
25
30
35
Time (secs)
Am
plit
ude
Consigne
Mesure
Erreur de traînage
Régulation : la précision statique
Système non intégrateur
1
1
1
1
1
)p(C
papa
)pbpb(K)p(GK:BOFT
nn
mm
Régulation : la précision statique
Cas 2 : système intégrateur ou système non intégrateur avec correcteur intégrateur
Il faut une intégration en chaîne directe pour que le système soit précis
!! : Attention aux perturbations
1
1
1
1
)p(C
paa(p
)pbpb(K)p(GK:BOFT
nn
mm
Asservissement : l’erreur de traînage
Pour que l ’erreur de traînage soit nulle, il faut deux intégrations en chaîne directe
La stabilité
Pôles doivent être à partie réelle non positive Critères algébriques : ROUTH
– s ’applique à la fonction de transfert en BO ou en BF
Critère graphique : Nyquist (critère du Revers)– Ne s’applique que pour un système en BF
Equation caractéristique Soit un système à retour unitaire :
Sa FT en BF vaut :
Les zéros de « l ’équation caractéristique » :
correspondent aux pôles de la FT en BF, ils doivent être à partie réelle négative
Consigne+
-H(p)
)(1
)(
pH
pH
Critère du revers
Equation caractéristique :
lorsque le lieu de transfert H(p) passe par le point (-1,0), dit « point critique », le système est à la limite de la stabilité
1)( pH
R
I
-1
Stable
R
I
-1
Limite de stabilité
R
I
-1
Instable
Marges de stabilité
-180°
dB
°
A B
Marge de phase
Marge de gain
R
I
-1
A
B
Marge de phase
Marge de gain
M = 45 °
MG = 12 dB
Valeurs courantes :
- marge de phase : M = 30 à 50 °
- marge de gain : MG = 8 à 15 dB
Dans les calculs, on privilégie l ’utilisation de la marge de phase
Le dilemme stabilité-rapidité
Le réglage du gain est déterminant dans la synthèse d ’un correcteur et résulte d ’un compromis :– Kc faible : système stable mais « mou », erreurs de
position (si pas d ’intégration) et de traînage (si une intégration) importantes
– Kc élevé : système plus réactif, erreurs plus faibles mais risque d ’instabilité
Exemple : 2ème ordre avec correc. P
Kc
Mesure
Consigne+
- )2)(1(
1
pp
0 5 10 15 20
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Real Axis
Ima
g A
xis
Diagramme de Nyquist
K M 1 50 Inf.
5 16.7 55.8
10 9.1 38.9
20 4.8 27.3
: erreur en régime permanent
1.3. Les actions de base
Action proportionnelle
C(p)
Mesure
Consigne+
-KG(p)
- On réagit proportionnellement à l ’erreur- Action toujours présente
200
2
20
2
pzp
K)p(KG
K)p(C c
Action Proportionnelle Intégrale
C(p)
Mesure
R=0+
- KG(p) + +
TN
Y
)fJp(p)p(KG
pT
)pT(K
pTK)p(C
i
ic
ic
1
11
Action proportionnelle et dérivée
C(p)
Mesure
Consigne+
-KG(p)
01
1
f,)fJp(p
)p(KG
)pT(K)p(C
K)p(C
dc
c
Différentes structures d ’un PID
Série :
Mixte :
Parallèle :
)1()1(
)( pTpT
pTKpC d
i
ic
)1
1()( pTpT
KpC di
c
pTpT
KpC di
c 1
)(
PI PD
D
I
P
D
I
P
1.4. Réglage parapproximations successives
Principe
S ’applique en boucle fermée avec un correcteur PID sur un système quelconque
3 étapes :– réglage de l ’action P (actions I et D inhibées)– réglage de l ’action D (action I inhibée)– réglage de l ’action I (sauf si le procédé est
intégrateur)
Réglage de l ’action P
Après le réglage, il reste une erreur de position0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (secs)
Am
plit
ude
Action P trop forte
Action P trop faible
Réglage correct
Réglage de l ’action D
l ’action D doit minimiser le dépassement0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (secs)
Am
plit
ude
Action D trop faible
Action P seule
Action D correcte
Action D trop forte
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (secs)
Am
plit
ude
Réglage de l ’action I
Action I trop forte
Action I trop faible
1.5. Méthodes approchées de réglage
Méthode de Ziegler et Nichols (BO)
• On utilise la réponse indicielle qui doit être apériodique
• Une table donne les coefficients du PID à partir de Tu et Ta et K
• Résultats obtenus empiriquement, réglage « dur »
• D1% = 30 à 60 %, rapport d ’amplitude entre dépassements : 1/4
Tu Ta
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (secs)
Am
plit
ud
e
ud
ui
u
ac
di
c
TT
TT
TK
TK
pTpT
KpC
5.0
2
2.1
)1
1()(:mixtePID
Exemple
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (secs)
Am
plit
ude
Réponse indicielle
du système en BO
)101)(51)(1(
2)(
ppppKG
0 10 20 30 40 50 60 700
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Time (secs)
Am
plit
ude
D2 = D1 /4
Réponse indicielle
du système corrigé en BF
Méthode de Ziegler et Nichols (BF)
• On ajuste le gain Kc pour amener le système à la limite de la
stabilité : Kc = K0 et oscillations de période T0
• Une table donne les coefficients du PID à partir de K0 et T0
• Résultats obtenus empiriquement, réglage « dur »
• D1% = 30 à 60 %, rapport d ’amplitude entre dépassements : 1/4
Kc
Mesure
Consigne+
-KG(p)
T0
00
00
00
33.0125.0
5.05.0
33.06.0
)1
1()(:mixtePID
TTTT
TTTT
KKKK
pTpT
KpC
dd
ii
cc
di
c
Réglage Réglage original « léger dépassement »
Exemple )21)(1(
5.0)(
ppppKG
Système intégrateur donc méthode en BF plus adaptée
Réponse indicielle
du système corrigé en BF
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Time (secs)
Am
plit
ude
Oscillations limites en BF avec
un correcteur P (Kc = 3)
0 10 20 30 40 50 60 700
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (secs)
Am
plit
ude
Comparaison réglages Z. et N.
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Time (secs)
Am
plit
ude
Réglage original
Réglage « léger dépassement »
Intérêts et limites de la méthode
Pas de modélisation fine– BO : procédé à comportement stable et apériodique
– BF : aucun pré-requis
Essai facile à réaliser Réglage adapté à une grande gamme de systèmes Réglage pour les régulations uniquement Peut servir de point de départ pour un réglage plus
fin
1.6. Correction par compensation directe des pôles
Principe
Les correcteurs PD, PID et à avance/retard de
phase introduisent un ou deux zéros dans la
chaîne directe
Si on positionne le zéro à une valeur identique à
un pôle réel, le zéro compense le pôle et la FT
résultante est plus simple et plus rapide
Permet de supprimer un (ou deux) pôle(s) lent
Exemples 1er ordre :
2ème ordre apériodique :
précisordre11
1:BFenFT
1)(
,avec))(1(
)(:PIDcorrecteur
er
12
cii
c
dii
dic
KKTppT
KKpKG
TTTTpT
pTTpTKpC
précisordre11
1:BFenFT
1)(
avec)1(
)(:PIcorrecteur
er
cii
c
ii
ic
KKTppT
KKpKG
TTpT
pTKpC
1221
avec)1)(1(
)( TTpTpT
KpKG
)1()(
Tp
KpKG
1.7. Systèmes à retard
Prédicteur de Smith
– Utilisé pour les systèmes à faible réglabilité– La présence du retard dans la boucle limite
l ’augmentation du gain du correcteur– le retard ne peut être supprimé– Objectif : trouver une structure de réglage qui permette
de sortir « artificiellement » le retard de la boucle et donc de rendre le réglage du correcteur indépendant du retard :
+
-C1(p) KG(p) e-p
+
-C2(p) KG(p) e-p
Prédicteur de Smith
En identifiant les 2 schémas, on trouve :
Ex : 1er ordre retardé avec correcteur PI :
)1)(()(1
)()(
2
21 pepKGpC
pCpC
TTpT
pTKpC
Tp
KpKG i
i
ic
:prendon,)1(
)(,1
)( 2
Tpe
KpC
pCpC p
1)1(
)(1
)()(
2
21
+
-C2(p) KG(p)
Tp
eK
p
1
)1(
+
C1(p)
Réalisé avec un compensateur de temps
mort (CTM)
1.8 Représentation normaliséedes procédés
Norme NF E 04-203
Codets d ’identification
Identification des variables
Identification des affichages et actions
Affichages– A : alarme– I : indication– L : signalisation lumineuse– R : enregistrement– Q : intégration
Actions– C : régulation– K : sélection auto/manu– T : transmission– V : dispositif réglant– Y : relais– Z : actionneur
Exemples
Exemple : colonne à distiller
Charge
Résidu
Rebouilleur
Condenseur
Distillat
Vapeur de tête
Incondensables
Reflux externe
Colonne
Ballon de tête
Exemple : colonne à distiller
Débit
Niveau
Débit
Pression
Débit
1.9. Stratégies de régulation
Régulation cascade• Utilisée pour les procédés à inertie importante
• On maîtrise une variable intermédiaire
• Permet de modifier une partie de la chaîne directe
• La boucle interne doit être la plus rapide, elle est réglée en premier
C1(p)+
-
+
-C2(p) G1(p) G2(p)
Boucle interne, esclave, secondaire
Boucle externe, maître, primaire
Résultats
Step Response
Time (min)
Am
plitu
de
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Sans boucle interne
Illustration uniquement avec correcteurs P
Régulation a priori
On utilise la mesure d ’une perturbation pour essayer de compenser « a priori » son effet sans attendre qu ’il se manifeste à la sortie
Vient en complément d ’une boucle classique
+
-C(p) KG(p)
H(p)
+
+
perturbation
Régulation a priori– Autres appellations : prédictive, par anticipation,
feedforward
– Pour que la perturbation soit sans effet, il faut que :
+
-C1(p) K1G1(p)
C2(p)
+
+
K2G2(p)
+
+
K3G3(p)
perturbation
Capteur de mesure de la perturbation
)()(
)()()()()()(
31
2
31
222211233 pGpG
pG
KK
KpCpGKpGKpCpGK
Régulation a priori– Pour réaliser C2(p) on utilise un correcteur à avance/retard de
phase :
– Détermination des paramètres :
– Outre le capteur supplémentaire, il faut 3 modules de calcul :• un module avance/retard de phase
• un module sommateur
• un module de commande auto/manu
pT
pTKpC C
2
122 1
1)(
3
))()((
3
))(( 312
21
31
22
pGpGtT
pGtT
KK
KK rr
C
Ex. : régulation de température– Le four a une inertie importante– Le débit de la charge est susceptible de varier
TIC
T T
T Y
Charge
Air
Fuel
Boucle simple
Boucle simple + a priori
HIC
T T
T Y
Charge
Air
Fuel
F T
F Y
TIC
FYLL /
Modules de calcul
Commande auto/manu
Ex. : régulation de température– Le module de commande
auto/manu permet de conserver la maîtrise de la vanne en manuel
– Sur le sommateur, il faut soustraire la valeur moyenne de l ’effet de la perturbation :
HIC
T T
T Y
Charge
Air
Fuel
F T
F Y
TIC
FYLL /
Modules de calcul
Commande auto/manu
Q
202
12 1
1)(PIDsortie)( CC KQ
pT
pTKpQpS
1.10 Régulation de moteursà courant continu
Régulation cascade d ’un moteur CC
– Boucle interne de courant avec correcteur de type PI– Boucle externe de vitesse avec correcteur de type PI
Capteur de vitesse
LpR 1
k
fJp 1
kaV
rC
elmCI
pT
K
t10 V
tK
iK
mIm
cI
c bV
Capteur de courant
Convertisseur
MoteurCorrecteur
courantCorrecteur
vitesse
Sécurités
)(1 pC )(2 pC)( pS
pT f1
1
Filtre
Les sécurités
Limitation du courant max
Limitation du di/dt
maxcI
cIbV
Si < max alors Ic = Vb
Si = max alors dIc /dt = K1 max
maxcI
bVp
K1