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AUTOMATIQUE 3 Systemes Asservis

AUTOMATIQUE 3Systemes Asservis

F. Bateman

Ecole de l’Air

15 decembre 2016

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1 AsservissementNotion de boucle ouverteNotion de boucle fermee

2 PerformancesStabilite en BF

Marges de stabilite

Precision

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asservissement

Notion d’asservissement - Objectif

Objectif

Commander un systeme pour obtenir une sortie desiree sdes1 sdes = s0 ⇒ probleme de regulation

2 sdes(t) = s(t)⇒ probleme de poursuite

Exemples :

1 maintenir constantes l’altitude et la vitesse d’un avion enpresence de perturbations aerologiques

2 controler l’attitude d’un satellite en vue d’orienter une optique

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asservissement

Notion de boucle ouverte

Commande en boucle ouverte

Soit le systeme decrit par H(p)

H(p)- -U(p) S(p)

Definition

Commande en boucle ouverte : U(p) = H−1(p)Sdes(p)

Determination a priori en fonction du modele et de la sortiedesiree, sans prise en compte du deroulement du processus

faible tolerance aux perturbations

faible tolerance aux erreurs/imperfections de modelisation

⇒ Utilisation pratique marginale

⇒ Commande en boucle fermee4 / 28

asservissement

Notion de boucle fermee

Structure de commande en boucle fermee

sortie mesuree

capteur

transducteur systemeconsigne- sortie

erreur--

commandecorrecteur

−perturbation

Definition d’un systeme asservi

Commande en boucle fermee : la commande u est elaboree a partirde l’erreur ε.

Objectifs d’un asservissement

Sortie

Consigne≈ 1 ∀ω

Sortie

Perturbation≈ 0 ∀ω

BO Vs. BF

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asservissement

Considerations sur les systemes constitutifs de la boucle

Systeme a commander

mal identifiegain statique souvent grandsujet aux perturbations, au vieillissement, etc.

Capteur et chaıne de traitement

precisfideles

Transducteur

adapte la consigne au signal mesure

Comparateur

elabore l’erreur ε entre la consigne et la sortie mesuree

Correcteur

il traite l’erreur et genere un signal de commande u qui amenela sortie vers sa valeur desiree (consigne) (par traitement onentend traitement mathematique du signal : amplification,integration, derivation, etc.) 6 / 28

asservissement

Exemples d’asservissement

Les moteurs du quadrirotor (la vitesse du rotor est asservie car lavitesse du moteur en BO tend a diminuer avec le niveau de chargedes batteries)

Servocommande (la position de la servocommande est asservie aune position de consigne ou demande tandis que la gouverne etsoumise a un moment resistant du aux efforts aerodynamiques)

Le pilote automatique d’un avion (asservissement de l’altitudebarometrique, vitesse verticale, vitesse air, tenue de pente et de cap)

La boucle a verrouillage de phase (la frequence de l’oscillateur locald’un recepteur est asservie a celle de l’emetteur pour s’affranchir desvariations de frequence dues par exemple a l’effet Doppler)

La boucle OODA (Orientation, Observation, Decision, Action) oucycle de Boyd, (les operations sont conduites afin d’atteindre unesituation conforme aux objectifs souhaites i.e les orientations)

Systeme Missile-Cible : missile-cible

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asservissement

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asservissement

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asservissement

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asservissement

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asservissement

7 / 28

asservissement

Pilote Automatique

δlc+-

φφc δl-

servo +-

Servo-commande

potentiometre

CorrecteurCorrecteur

gyroscope

avionverin

Figure – Pilote automatique

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asservissement

La boucle OODA : Orientation Observation DecisionAction

Orientation+-

Decision, Action

Observation

ForcesCdt

Capteurs

? Situation+−

Action adversaire

Figure – La boucle OODA

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asservissement

Remarques

On pilote desormais en CONSIGNE et plus en COMMANDE

Les perturbations peuvent intervenir en tout point de laboucle (dans le systeme, sur la mesure...etc)

Structure intuitive et reproduisant le comportement humain

→ Suite du travail

se doter d’outils pour evaluer les performances d’un systemeasservi : stabilite, amortissement, rapidite, precision.synthetiser le correcteur qui genere la bonne commande au vudes performances desirees.

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asservissement

Remarques

On pilote desormais en CONSIGNE et plus en COMMANDE

Les perturbations peuvent intervenir en tout point de laboucle (dans le systeme, sur la mesure...etc)

Structure intuitive et reproduisant le comportement humain

→ Suite du travail

se doter d’outils pour evaluer les performances d’un systemeasservi : stabilite, amortissement, rapidite, precision.synthetiser le correcteur qui genere la bonne commande au vudes performances desirees.

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asservissement

Fonction de transfert en boucle ouverte

C (p) H(p)

E(p) + ε(p) ++

U S(p)

Fonction de transfert en boucle ouverte ou FTBO

FTBO(p) =Sm(p)

E (p) B=0

= C (p)H(p)M(p)

Utilisee pour etablir les performances du systeme en bouclefermee

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asservissement

Fonction de transfert en boucle fermee

C (p) H(p)

E(p) + ε(p) ++

U S(p)

Fonctions de transfert

FTBF (p) =S(p)

E (p)B=0

=C (p)H(p)

1 + C (p)H(p)M(p): poursuite de trajectoire

B(p)E=0

1 + C (p)H(p)M(p): rejet des perturbations

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asservissement

Considerations sur la FTBO et la FTBF

Pratiquement

M(p) = M = cte

|C (0)H(0)| >> 1 ⇒ limp→0

E (p)B=0

En regime permanent, la chaıne de retour definit la relationentree/sortie (ex : amplificateur a AOP, synthese de frequence).

Les systemes en BF sont plus robustes qu’en BO. Le systeme decritpar H(p) est mal identifie :

∆FTBO = CMdH << ∆FTBF =C

(1 + CHM)2∆H

Rejection des perturbations en regime permanent ⇒ gain statiquedu correcteur C (0) eleve

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asservissement

Pratiquement

M(p) = M = cte

|C (0)H(0)| >> 1 ⇒ limp→0

E (p)B=0

(1 + CHM)2∆H

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asservissement

Pratiquement

M(p) = M = cte

|C (0)H(0)| >> 1 ⇒ limp→0

E (p)B=0

(1 + CHM)2∆H

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asservissement

Boucle fermee a retour unitaire

C (p) H(p)

E(p) + ε U(p) S(p)

M(p)C(p)H(p)M(p)

E(p) + S(p)

Tout ensemble Correcteur - Systeme - Capteur peut se ramenera un systeme a retour unitaire

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asservissement

Application a la commande de l’assiette du quadrirotor

IT pK(1 + Tp)

quadrirotor

gyroscope

correcteur

- --θrefθ

6bruit de mesure n(p)

Identification des sous-systemes et signaux :consigne erreur commande reponse

chaıne directe chaine de retour

Fonctions de transfert :

FTBO(p) =

en poursuiteθ(p)

θref (p) n(p)=0

en regulationθ(p)

n(p) θref (p)=0

Remarque : les fonctions de transfert ont le meme denominateur →meme dynamique en poursuite et en regulation

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asservissement

IT pK(1 + Tp)

quadrirotor

gyroscope

correcteur

- --θrefθ

FTBO(p) =

en poursuiteθ(p)

θref (p) n(p)=0

en regulationθ(p)

n(p) θref (p)=0

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asservissement

IT pK(1 + Tp)

quadrirotor

gyroscope

correcteur

- --θrefθ

FTBO(p) =

en poursuiteθ(p)

θref (p) n(p)=0

en regulationθ(p)

n(p) θref (p)=0

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Performances

Performances attendues des systemes asservis

Pour ameliorer les performances, synthese d’un correcteur defonction de transfert C (p) tq :

U(p) = C (p)ε(p)

Ce correcteur asssure en BF fermee des performances :. dynamiques (transitoire)

StabiliteRapidite : controle du tR5%Amortissement : controle du D1%

. statique (permanent)

Precision : ε = consigne - sortie mesuree → 0

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Performances

U(p) = C (p)ε(p)

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Performances

U(p) = C (p)ε(p)

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Performances

Stabilite

Stabilite en BFSoit le systeme boucle :

C (p) H(p)

E(p) + ε(p) ++

U S(p)

L’instabilite procede :

d’un gain de la FTBO elevede la presence d’un retard important dans la FTBOd’un gain important et de la presence d’un retard

Deux approches possibles pour etudier la stabilite en BF

Calcul de la FTBF (p) et examen du signe des polesCritere de Nyquist : l’etude de la FTBO conclusion surstabilite de la FTBF

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Performances

Stabilite

C (p) H(p)

E(p) + ε(p) ++

U S(p)

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Performances

Stabilite

C (p) H(p)

E(p) + ε(p) ++

U S(p)

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Performances

Stabilite

Approche qualitative de l’instabilite en BF

Systeme soumis a une perturbation sinusoıdale de pulsation ωπ tq :

arg(C (jωπ)H(jωπ)M(jωπ)) = −π

|C (jωπ)H(jωπ)M(jωπ)| > 1 : systeme instable en BF

|C (jωπ)H(jωπ)M(jωπ)| < 1 : systeme stable en BF

|C (jωπ)H(jωπ)M(jωπ)| = 1 : systeme astable

e(t) = 0

C (jω) H(jω)

M(jω)6 -

ε(t) = −m(t)

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Performances

Stabilite

e(t) = 0

C (jω) H(jω)

M(jω)

ε(t) = −m(t)

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Performances

Stabilite

e(t) = 0

C (jω) H(jω)

M(jω)

ε(t) = −m(t)

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Performances

Stabilite

Critere du Revers - traduction dans diagramme de Bode

Critere de stabilite

Tracer diagrammes de Bode en BO d’un systeme stable en BO

Relever ω0dB tq GdB(ω0dB ) = 0dB et ωπ tq ϕ(ωπ) = −180

Le systeme est stable en boucle fermee si :

GdB(ωπ) < 0ϕ(ω0dB ) > −180

−150

−100

10−2

10−1

−270

−225

−180

−135

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

(ωπ)>0

instable en BF

(ωπ)<0

stable en BF

Figure – Diagramme de Bode de systemes en BO

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Performances

Stabilite

Marges de stabilite

Marges de stabilite : quantification de la stabilite et de larobustesse aux perturbations et imperfections de modelisation

Marge de gain : Gain que l’on peut ajouter en BO (a phaseconstante) avant de destabiliser la BF. (En pratiqueMG ≥ 10dB)

MG = −|FTBO(jωπ)|dB et < FTBO(jωπ) >= −π

Marge de phase : Phase que l’on peut enlever en BO (a gainconstant) avant de destabiliser la BF. (En pratique Mφ ≥ 45)

Mφ = 180+ < FTBO(jω0dB ) > et |FTBO(jω0dB )| = 0dB

Marge de retard : retard avant destabilisation (du aux tempsde traitement par exemple)

Mret(s)=

Mφ(rad)

ω0dB(rad/s)

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Performances

Stabilite

Marges de stabilite

Mret(s)=

Mφ(rad)

ω0dB(rad/s)

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Performances

Stabilite

Marges de stabilite

Mret(s)=

Mφ(rad)

ω0dB(rad/s)

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Performances

Stabilite

Marges de stabilite - Bode

Diagramme de Bode

Pulsation (rad/sec)

Figure – Marges de gain et de phase dans Bode21 / 28

Performances

Precision

Precision : un apercu

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Performances

Precision

Definition de la precision

Un systeme asservi stable en BF est qualifie de precis lorsque sonerreur en regime permanent ε(t →∞) est nulle

E(p)C (p) H1(p)

Smes(p)

U(p) S(p)H2(p)- -

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Performances

Precision

Precision d’un systeme asservis - Notion de classe

Definition

Soit G (p) la fonction de transfert d’un systeme (par exemple laFTBO)

G (p) =bmp

m + bm−1pm−1 + ...+ b1p + b0

(anpn−k + an−1pn−k−1 + ...+ ak+1p + ak)pk

Avec n < m et k ∈ [0..n]

G (p)∼

p→0b0

le systeme est dit de classe k, il possede k integrations.

on pose K =b0

a0Kv =

a1Ka =

a2gain en position gain en vitesse gain en acceleration

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Performances

Precision

Precision d’un systeme asservis - Notion de classe

Definition

Soit G (p) la fonction de transfert d’un systeme (par exemple laFTBO)

G (p) =bmp

m + bm−1pm−1 + ...+ b1p + b0

(anpn−k + an−1pn−k−1 + ...+ ak+1p + ak)pk

Avec n < m et k ∈ [0..n]

G (p)∼

p→0b0

le systeme est dit de classe k, il possede k integrations.

on pose K =b0

a0Kv =

a1Ka =

a2gain en position gain en vitesse gain en acceleration

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Performances

Precision

Precision d’un systeme asservis - influence de l’entree

E(p)C (p) H1(p)

Smes(p)

U(p) S(p)H2(p)- -

ε(p) =E (p)

1 + C (p)H1(p)H2(p)M(p)︸︷︷︸FTBO(p)

Entree e(t) E (p) Erreur

echelon e1U(t)e1

pposition ε1

rampe e2tU(t)e2

p2traınage ε2

acceleration e3t2

p3acceleration ε3

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Performances

Precision

Erreurs de position et de trainage

0 2 4 6 8 100

Temps (s)

réponseconsigne

0 2 4 6 8 100

consigneréponse

ε(+∞)

Figure – Erreur de position et de trainage

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Performances

Precision

Calcul de l’erreur en regime permanent

L’erreur permanente est fonction de la classe k et de la nature del’entree

ε(p) =E (p)

1 + FTBO(p)︸︷︷︸classe k

limt→∞

ε(t) = limp→0

pε(p) =pE (p)

Classe 0 Classe 1 Classe 2

Entree E (p)

pε1 =

1 + Kε1 = 0 ε1 = 0

p2ε2 =∞ ε2 =

Kvε2 = 0

p3ε3 =∞ ε3 =∞ ε3 =

Ka27 / 28

Performances

Precision

ε(p) =E (p)

limt→∞

ε(t) = limp→0

pε(p) =pE (p)

Entree E (p)

pε1 =

1 + Kε1 = 0 ε1 = 0

p2ε2 =∞ ε2 =

Kvε2 = 0

p3ε3 =∞ ε3 =∞ ε3 =

Ka27 / 28

Performances

Precision

ε(p) =E (p)

limt→∞

ε(t) = limp→0

pε(p) =pE (p)

Entree E (p)

pε1 =

1 + Kε1 = 0 ε1 = 0

p2ε2 =∞ ε2 =

Kvε2 = 0

p3ε3 =∞ ε3 =∞ ε3 =

Ka27 / 28

Performances

Precision~Precision d’un systeme asservi - Remarques

Resultats du tableau applicables seulement si

systeme stable (Conditions d’application du Th de la VF)schema fonctionnel equivalent a celui donne

Pour un schema fonctionnel different (erreur due aux perturbationspar exemple) ⇒ calcul a refaire

Etablir ε(p) en fonction de B(p) : ε(p) =−M(p)H2(p)

1 + FTBO(p)B(p)

Particulariser pour l’entree B(p) proposee, H2(p) est supposeede classe jAppliquer le Th de la VF

limt→∞

ε(t) = limp→0

pε(p) = p−M(0)β(0)

1 + b0

Pour un type d’entree donnee l’erreur depend de k − j laclasse de C (p)H1(p) (amont de la perturbation)

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