sommaire - latekexostéhessin: ben que deux mois de vacances c’est court, mais c’est suﬃsant...

Sommaire

I. LIMITE D’UNE SUITE RÉELLE 6A.Définition de la convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Qu’est-ce qu’une suite?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Comment traduire qu’une suite diverge vers l’infini?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Comment traduire qu’une suite converge vers 92?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

B.Propriétés élémentaires des limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Comment démontrer les propriétés sur les limites des suites à partir des définitions des limites?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Comment montrer qu’une suite converge vers 32?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Croyable mais faux !. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

C.Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Avec les définitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Avec les propriétés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II. LIMITES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES 17Qu’est-ce qu’un problème local concernant une fonction?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A.Limite finie en un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Comment visualiser la limite d’une fonction en un point a?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

B.Liens entre limites de fonctions et limites de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Quels liens entre lim

x!+1f(x) = ‘ et lim

n!+1f(n) = ‘?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Que dire de la suitef(un)

quand la suite (un) admet une limite?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Comment démontrer que sinx n’a pas de limite quand x tend vers +1?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21C.Limites et graphiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Globalement, qu’est-ce que ça veut dire que le problème est local?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Si limx→+∞

= +∞, alors Cf admet -elle forcément une asymptote au voisinage de +∞?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22D.Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

III. FONCTIONS CONTINUES 25A.Qu’est-ce qu’une fonction continue en un point?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Pourquoi parle-t-on parfois de limite à gauche ou à droite?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25B.Propriétés des fonctions continues sur un intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Quelles sont les fonctions dont le graphe est un trait continu?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Une fonction continue peut-elle changer de signe sans s’annuler?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Une fonction f continue sur [a,b] prend-elle toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b)?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Comment montrer que deux courbes se rencontrent?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Comment montrer qu’une équation admet une unique solution?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Comment résoudre une équation numérique par dichotomie?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

IV. FONCTIONS DÉRIVABLES 33A.Dérivation en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Qu’est-ce que la vitesse instantanée?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Comment calculer la pente d’une tangente?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction en un point?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Le taux d’accroissement a-t-il toujours une limite finie?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Y a-t-il un rapport entre dérivabilité en a et continuité en a?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Comment peut-on approcher f(x) au voisinage de a lorsque f est dérivable en a?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Que peut-on dire de la dérivée d’une fonction en un extremum local?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

B.Variations des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Quel est le lien entre le sens de variation de f et le signe de f 0 ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40À quelle condition sur f ′ la fonction f est-elle strictement croissante?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Faut-il toujours étudier le signe de f 0 pour déterminer le sens de variation de f ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

C.Exercices - Continuité et dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

V. RECETTES À BAC - ANALYSE 45

Comment montrer qu’une fonction est dérivable?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Comment étudier la position relative de deux courbes?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Comment montrer qu’une courbe admet une asymptote d’équation y = ax+b au voisinage de ω?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Quel lien existe-t-il entre tangente et fonction dérivée?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Comment résoudre dans IR l’équation 2x−32 = 0?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Comment montrer qu’une fonction est paire?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Comment montrer qu’une fonction est impaire?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Comment montrer qu’une courbe admet le point A(a,b) comme centre de symétrie?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Comment montrer qu’une fonction est périodique?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Comment étudier le signe d’une expression?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Qu’est-ce qu’une fonction croissante sur I ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Comment lever une indétermination?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Comment montrer qu’une fonction admet un extremum local en a ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Comment résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Comment avoir 20/20 au Bac?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

VI. LES COMPLEXES 49

A.À problème simple, solution...« complexe ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Trouvons deux nombresm et n dont la somme vaut 10 et le produit 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49i, le nombre dont le carré vaut−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

B.Interprétation géométrique des nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Partie réelle, partie imaginaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Effets de la multiplication d’un nombre complexe par−1 et par−i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

C.Un exercice de Bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52D.Un autre exercice de Bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52E. Problème ouvert : calcul de cos(π/8) et sin(π/8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53F.Du dessin aux formules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53G.Le crocodile se mord la queue ou comment visualiser une multiplication complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53H.Les fractales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Dessin du tamis de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Dessin du tapis de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I.Recettes à Bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Qu’appelle-t-on forme algébrique d’un nombre complexe?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Que représente z−32+5i?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Que faire de |32−iz|?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Comment mettre en évidence qu’un nombre complexe est un réel?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Comment traduire qu’un complexe est un imaginaire pur?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Que se cache-t-il derrière le quotient

zC − zAzB − zA ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Comment caractériser géométriquement une égalité du type |z−a| = |z−b|?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Comment détermine-t-on les racines carrées de x+iy?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Comment résoudre une équation du type ax2+bx+c = 0?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Comment « rendre réel » un dénominateur imaginaire?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Comment reconnaître certaines transformations du plan?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Une factorisation souvent très pratique de 1+eiα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

J.Des exercices de Bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

VII. LA FONCTION EXPONENTIELLE 66A.Et l’homme créa l’exponentielle.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Une équation différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Construction approchée du graphe d’une solution par la méthode d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Analyse :étude des propriétés mathématiques d’une solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Unicité de la fonction solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Le bébé est prêt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Conséquences immédiates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68La notation ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Propriétés analytiques de l’exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

B.Exercices - « L’exponentielle à travers les sciences ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69C.Un problème de Bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VIII. GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES - RÉCURRENCE 71A.Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Jouons.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Observons.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Découvrons.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Généralisons.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Dans le même esprit.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Étude d’une suite homographique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Récurrence avec prédécesseurS.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Sommes télescopiques.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Tchernoblues.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Une incursion dans le programme de Math Spé.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Croissante ou décroissante..?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Un exercice de Bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B.Suites homographiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

C.Manipulation du symbole∑

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76D.Tapis de Sierpinski :le retour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76E.Le paradoxe de Zénon et autres gags. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77F.Encore des fractales : flocons de Von Koch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77G.Suites récurrentes du type un+1 = f(un). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Que modélisent les suites récurrentes?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78La relation un+1 = f(un) et la donnée de u0 définissent-ils toujours une suite?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Comment sélectionner les limites possibles d’une suite récurrente?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Étude de la suite (un) telle que un+1 = eun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Étude de a0 = −1/2 et pour tout n ∈ IN an+1 =

√1 + an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Pourquoi des inégalités concernant u0 se conservent-elles?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81H.Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Que sont des suites adjacentes?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82À quoi servent les suites adjacentes?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

I.Exercices sur les suites adjacentes et celles définies par un+1 = f(un). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83J.Méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

IX. LES PRIMITIVES 88A.Exercices d’introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Primitives d’une fonction du type u0 un. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88B.Un beau problème utilisant les primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Recherche d’une primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Étude de la fonction tangente hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Fonction argument tangente hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

X. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 91

A.Formons des couples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.Formons des couples dans un même ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.Arbre pondéré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92D.Quelques exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Pour s’amuser.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Passons aux choses sérieuses :les probas au Bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

XI. DÉNOMBREMENTS 98

A.Permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98B.Combinaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

XII. LOGARITHME NÉPÉRIEN - UNE INTRODUCTION 100

A.Différentes définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Cherchons des fonctions vérifiant f(a×b) = f(a)+f(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Existe-t-il des primitives de x 7→ 1/x?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Quelle est la réciproque de la fonction exponentielle?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B.Construisons le logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102C.Exercices sur la définition des logarithmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

XIII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 106

A.Préambule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.Résolution de l’équation y′ = ay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106C.Résolution de l’équation y′ = ay+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107D.Équations se ramenant à y′ = ay+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107E.Applications diverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

XIV. DROITES ET PLANS DE L’ESPACE 110

A.Construisons le produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110À la recherche d’une définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Produit scalaire et cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Produit scalaire et orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

B.Les énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114C. Comment résoudre ces exercices?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118D.Ah...Si on avait le temps.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Voyage au pays des fonctions-vecteurs.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Résolvons un système de 8 équations et 10 inconnues !.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

XV. APPROCHE INTUITIVE DE L’INTÉGRATION 124

A.Le principe de sommation infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Qu’est-ce qu’une intégrale?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Comment calculer la distance parcourue connaissant les vitesses instantanées?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Quelle est l’aire délimitée par une courbe?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Quel est le volume intérieur à une sphère?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.Exercices :Intégration sans primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127C.Liens entre intégrales et primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128D.Quizz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130E.Le problème de l’ivrogne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Étude de la convergence d’une série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Utilisation du logarithme népérien et des suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Comparaison série - intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

XVI. LOI DE PROBABILITÉ DISCRÈTE - VARIABLE ALÉATOIRE 134A.Un exemple pour découvrir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134B.La théorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.Des exercices pour mettre en pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135D.Paradoxe?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

XVII. UN EXEMPLE DE LOI DISCRÈTE :LA LOI BINOMIALE 137A.Épreuve de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137B.Comment faire plaisir à son correcteur le jour du Bac?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137C.Loi faible des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Inégalité de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Loi faible des grands nombres dans le cas de la loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

D.Exercices Syldaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

XVIII. LOIS CONTINUES 141A.Préambule :le charme discret du continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B.Correspondances discret/continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Du continu au discret et retour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Vers une « équiprobabilité continue ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C.Notion de densité de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Modélisation du choix d’un nombre dans [0,1] - Loi uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Modélisation de la désintégration radioactive - Loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

D.Les définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149E.Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

XIX. ORAL DU BAC 2003 153

Limite d’une suite réelle

Résumé Aujourd’hui, notre héros débute sa formation de chevalier Mataïeauprès de son maître Dark Mathemator en abordant la délicate étude dessuites numériques...

A - DÉFINITION DE LA CONVERGENCE

A - 1 : Qu’est-ce qu’une suite?

Mathémator : Question idiote n’est-ce pas?Téhessix 1 : Ben justement, j’ai un mauvais souvenir à propos des suites. C’est avec des n. Par exemple on aun =

√2n+ 1

Mathémator : C’est tout? Je vois...L’année de formation qui nous attend ne sera pas superflue. Si vous avezéprouvé des difficultés l’an passé, c’est peut-être que vous n’avez pas fait l’effort d’avoir en tête une définitionclaire, précise, rigoureuse. Peut-être n’avez-vous pas compris comment cette définition pouvait être liée aux di-verses propriétés, à quoi tout le tralala pouvait servir, comment cette partie du programme pouvait être reliéeà d’autres notions déjà étudiées. Vous ne semblez pas avoir une vision intuitive de la notion susceptible de vousaider à comprendre comment tout s’imbrique si merveilleusement dans notre magnifique univers mathématiqueà l’esthétique si parfaite. Pourquoi cette notion est-elle apparue? Quelle est sa place dans l’histoire de l’esprithumain? Quelles sont ses applications concrètes? C’est avec ces questions en tête que nous essaierons d’abordertoutes les notions qu’un(e) jeune Mataïe se doit de maîtriser à l’issue de sa formation terminale.Téhessin (à part) : À ce rythme là, dans deux ans on y est encore, et moi j’ai d’autres projets.

Mathémator : Vous dîtes?Téhessin : J’ai hâte d’étancher ma soif de connaissance, ô céleste maître.Mathémator : À la bonne heure ! Pour faire court et rigoureux, on pourrait dire que

DéfinitionUne suite numérique est une fonction de IN vers IR

Qu’est-ce que ça vous inspire?Téhessin : Ben que deux mois de vacances c’est court, mais c’est suffisant pour rester perplexe face à un telénoncé.Mathémator : Reprenons votre exemple initial.La suite u qu’on note encore (un)n∈IN

2 ou même (un) est la fonction qui, à n’importe quel entier n associe leréel

√2n+ 1

Téhessin : Si c’est juste une fonction, pourquoi avoir fait un chapitre spécial dessus? Pourquoi lui avoir donné unnom spécial? Pourquoi avoir utilisé une notation spéciale? On pourrait noter u(x) =

√2x+ 1 et voilà le travail,

1. Si notre héros est un garçon, c’est pour faciliter les accords des adjectifs et participe passé.2. c’est à dire l’ensemble des valeurs prises par un quand n décrit l’ensemble IN qu’on pourrait aussi noter

u0,u1,u2, · · · ,u1000, · · · ,u197895, · · · : on identifie ici la fonction et les valeurs qu’elle prend, ce qui se comprend car on peut « énu-mérer » ces valeurs

LES AVENTURES DE TÉHESSIN LE REZÉEN 7

pas besoin de se prendre la tête. (à part) : les maths c’est vraiment pourquoi faire simple quand on peut fairecompliqué.

Mathémator : Essayons de répondre à vos questions. Enfilons une blouse : et hop ! Nous voici devenus physiciens.Laissons tomber votre téléphone portable dans un tube où nous avons au préalable fait le vide. Notons sa positionchaque seconde :

h0 = 0mh1 = 4,9mh2 = 19,6mh3 = 44,1mh4 = 78,4m

Après avoir reçu une pomme sur la tête, nous remarquons que

hn ' 12gn2

avec g ' 9,81ms−2 et n le rang de la mesure correspondant ici au nombre de secondes écoulées depuis le débutde la chute.Nous avons ainsi tout naturellement construit une suite de mesures qui est en fait une suite numérique de termegénéral hn = 4,9n2.

Téhessin : Il aurait été plus simple de noter h(t) = 4,9t2 avec t le temps en secondes et h(t) la hauteur en mètres.

Mathémator : Attention ! Nous avons pris des mesures chaque seconde. Rien ne nous dit qu’entre chaque mesureil ne se passe pas des choses extrèmement bizarres. Bien sûr le physicien généralisera le résultat à n’importe quellevaleur de t, entière ou non, car il a en poche des lois qui le lui permettent : il passe naturellement du discret aucontinu 3.Hors d’un contexte physique, un mathématicien aura besoin d’être convaincu avant de pouvoir généraliserConsidérez par exemple la suite de terme général

un = sin(nπ)

Téhessin : Pour la trigo, un petit dessin :

Figure I. 1

3. Ce passage du discret au continu est l’un des points forts de votre formation : nous en reparlerons tout au long de l’année,notamment au moment de la découverte du calcul intégral et des lois de probabilité à densité.

8 LIMITE D’UNE SUITE RÉELLE

En fait, un est toujours nul.Mathémator : Considérez maintenant la fonction définie pour tout réel t par f(t) = sin(tπ)...Téhessin : ...OK, je vois : par exemple f(1/2) = sin(π/2) = 1 donc la fonction f n’est pas nulle partout en fait.Mathémator : Imaginez un physicien prenant chaque seconde des mesures d’un phénomène obéissant à cetteloi 4: il pourrait conclure qu’après avoir jeté un portable dans l’eau, la surface reste immobile...Pour en revenir à nos moutons, une suite numérique peut apparaître comme une « suite de mesures » à intervallede temps régulier : garder cette image en tête pourra peut-être vous aider à mieux appréhender l’étude des suites,et l’étude des suites devrait elle-même vous aider à appréhender les propriétés des fonctions définies sur IR.De manière plus abstraite, on peut aussi considérer une suite numérique comme un classement de nombres réels :on prend des réels et on leur colle un dossard.Considérons par exemple la suite des entiers pairs :0 a le dossard n02 a le dossard n14 a le dossard n26 a le dossard n3 etc.ce qui revient à étudier la suite pn de terme général pn = 2n.Téhessin : Oui mais si on prend la suite un = sin(nπ)Mathémator : Effectivement, le pauvre 0 va se retrouver avec une infinité de dossards...Voici un écueil fréquem-ment rencontré par les valeureux pédagogues cherchant un support intuitif concret à une notion mathématiqueabstraite : ça peut aider, mais il faut être conscient des limites. D’ailleurs, en parlant de ça...

A - 2 : Comment traduire qu’une suite diverge vers l’infini?

Mathémator : Retrouvons notre portable en chute libre. Où en est-il depuis tout à l’heure?Téhessin : Ben il s’est lamentablement écrasé.Mathémator : Mouais, alors imaginons un très grand tube.Téhessin : Je veux bien, mais s’il est trop grand, g va varier.Mathémator : Et le portable risque d’être plus attiré par la Lune que par la Terre et se mettre à remonter.Encore une des limites des illustrations physiques d’un phénomène mathématique : pour aborder l’infini, il nousfaut quitter le vulgaire monde physique.Considérons la suite de terme général hn = 5n2. Y a-t-il une valeur que hn ne puisse dépasser? Disons un milliardpour se fixer les idées. Et d’abord, comment traduire ce problème mathématiquement?Téhessin : Bon, disons que « hn plus grand qu’un milliard » revient à résoudre l’inéquation hn > 109.Mathémator : Continuez ! Par commodité, appelez (I) cette inéquation.Téhessin :

(I)⇐⇒ 5n2 > 109

(I)⇐⇒ n2 > 2× 108

(I)⇐⇒ n >√

2× 104 car n est positif

donc d’après ma machine, il suffit d’attendre un peu moins de quatre heures.Mathémator : Je vous l’accorde. En fait, il semble qu’avec un peu de patience, il n’y ait pas valeur que hn nepuisse dépasser. Comment l’interpréter?Téhessin : J’ai vu ça l’année dernière : on dit que hn tend vers +∞.Mathémator : Attention mon petit Téhessin : parlez-vous du réel hn ou de la suite (i.e. la fonction ) (hn)?Téhessin (à part) : Comment peut-il faire la différence à l’oreille? Il se fiche de moiMathémator : Le réel hn est fixe : il ne varie pas .Téhessin (à part) : Chuis pas demeuré non plus.Mathémator : La suite (hn) varie en fonction de n : c’est elle qui tend vers +∞.Le problème maintenant, c’est : comment le prouver?

4. par exemple une onde se propageant à la surface de l’eau


Téhessin : ...Mathémator : Comme vous dîtes. L’ennui, c’est que nous n’avons pas de définition mathématique du fait qu’unesuite tende vers +∞. Qu’à cela ne tienne ! Donnons-en une :

DéfinitionSoit (un)n∈IN une suite réelle. On dit que (un)n∈IN diverge vers +∞ si et seulement si , pour tout réel positif A,il existe un entier N tel que pour tout entier n supérieur à N , on a un > A.

Téhessin (à part) : C’est sûr qu’on est vachement avancé avec son charabia (tout haut) : votre définition melaisse perplexe...Mathémator : Toi yen a pas comprendre? Bon, ça veut seulement dire que, quelque soit la hauteur A de labarre, si on attend N secondes, on est sûr que les termes de la suite seront toujours au-dessus de A

Figure I. 2

Remarquez bien que le temps d’attente N dépend de la hauteur A que l’on veut dépasser.Téhessin : Oui mais concrètement, comment peut-on peut-on appliquer ça à (hn)?Mathémator : Nous atteignons la conclusion de notre réflexion : la mise en forme rigoureuse de notre premièreintuition après s’être mis d’accord sur un point de départ, la définition.Considérons donc la suite (hn)n∈IN de terme général hn = 5n2.Soit A un réel positif quelconque. Nous voudrions savoir s’il existe un rang N à partir duquel les valeurs prisespar la suite (hn)n∈IN sont toujours supérieures à A.Il s’agit donc de résoudre dans IN l’inéquation

(I) : 5n2 > A(I)⇐⇒ n2 > A/5(I)⇐⇒ n >

√A/5 car A > 0

Donc, dès que n sera supérieur à√A/5, on aura hn supérieur à A. Donc, d’après notre définition, on peut dire

que (hn)n∈IN tend vers +∞.Téhessin : Et si je comprend bien, ici le N est égal à

√A/5.

Mathémator : Mouais, enfin presque :√A/5 n’a aucune raison d’être un entier ! N est en fait le premier entier

supérieur à√A/5.

Téhessin : Ouh la ! Une petite pause s’impose.Mathémator : Surtout en sachant ce qui nous attend.


A - 3 : Comment traduire qu’une suite converge vers 92?

Mathémator : Bon, enfilons notre bleu de chauffe et ouvrons le capot moteur de votre 309 customisée. Plongezvotre portable dans le carter d’huile : grâce à ses fonctions thermomètre et chronomètre, vous allez pouvoir releverla température de l’huile toutes les 30 secondes.Téhessin : OK, ça roule.

θ0 = 60Cθ1 ' 83Cθ2 ' 86Cθ3 ' 88Cθ10 ' 90,5Cθ20 ' 91,2Cθ30 ' 91,5Cθ100 ' 91,9Cθ200 ' 91,92Cθ1 000 ' 91,99Cθ10 000 ' 91,999C

Il semble que la température de l’huile se stabilise 5 autour de 92CMathémator : Un physicien dirait qu’on atteint un régime permanent, la température limite valant 92C.Quittons nos bleus et grimpons en haut de l’Olympe mathématique. Pour les dieux que nous sommes, le tempss’écoule à l’infini : 5 minutes, 10 ans, 1 milliard d’années-lumière ne représentent rien si ce n’est un début decommencement.Considérez la suite de terme général tn = 32

√n

n+ 1+ 60.

Téhessin : Je calcule les premiers termes et miracle, on retrouve les résultats de l’expérience, donc la suite tendvers 92.Mathémator : Pauvre Téhessin. Vous regardez encore le monde avec vos yeux de pauvre mortel : qui vous ditqu’après 101010

calculs, t101010 ne se mette pas à s’éloigner de 92? Comme le disait mon maître Marcel : « nedemande pas à la chenille de comprendre le vol du papillon ».Téhessin (à part) : Moi aussi j’en connais : « si ma tante en avait...» (tout haut) : Je ne saisis pas bien lerapport.Mathémator : Élémentaire ! Ce qui est vrai au départ peut s’avérer faux par la suite : un état qui nous semblestationnaire peut subitement se mettre à varier fortement.Un exemple : étudiez la suite définie, pour n ∈ IN, par

un =30n

n× (n− 1)× · · · × 1

Téhessin : Je tapote et j’obtiens u5 ' 2× 106, u10 ' 2× 108, u15 ' 1010 : bon, je pense que cette suite tend vers+∞, mais votre petit sourire me dit qu’il y a un vice caché.Mathémator : Bien joué Callaghan ! Vous essaierez dans la douce quiétude de votre bureau de montrer que la

suite croît jusqu’à u30 puis décroît et même que un+1 612un pour n > 59 ce qui nous permettra bientôt de

montrer que la suite converge en fait vers 0.Imaginons maintenant qu’un physicien effectue une suite de mesures, la nieme mesure étant un. S’il se limitait aux15 premières mesures, il constaterait que les résultats sont de plus en plus grands et il pourrait penser que cela vacontinuer. Il obtiendrait alors une conclusion opposée à celle du mathématicien : la suite n’a pas de limite finie.Les deux raisonnements correspondent à deux visions des choses différentes. Pour un mathématicien, la notionde convergence d’une suite ne dépend pas des p premiers termes, même si p est très grand : le mathématicien

5. Téhessin est très patient


contemple l’infini. Alors que le physicien qui se livre à des observations ne peut s’appuyer que sur un nombre finid’entre elles, et les premiers termes sont donc importants pour lui.

Ceci dit, on peut quand même utiliser des suites pour modéliser certains phénomènes à temps discrets. Toutne se passe pas toujours aussi mal que dans l’exemple précédent qui avait été « choisi pour ». Le physicienpeut également utiliser des suites dans d’autres circonstances que celles d’une suite de mesures temporelles etsa conception de la limite peut alors rejoindre celle du mathématicien. Cela peut se produire lorsqu’il discrétisel’espace, c’est-à-dire lorsqu’il l’assimile à un ensemble fini de points uniformément répartis (un maillage), ce quipermet dans certains cas de simplifier des calculs. En faisant tendre le nombre de points vers l’infini, on espèreque les résultats obtenus comme limites des résultats sur l’espace discrétisé seront valables pour l’espace continu,if you see what I mean.

Téhessin : Ouh ouh, on redescend sur Terre s’il vous plaît...

Mathémator : Ah euh oui oui, bon : comment formuler autrement que les valeurs prises par (tn)n∈IN se rap-prochent inexorablement de 92?

Téhessin : Vous en avez de bonnes. Chais pas moi, en disant qu’elles ne s’en éloignent pas.

Mathémator : Bingo ! Voilà l’idée. Enfin presque. Par exemple, se rapprocher de 92C, c’est dire qu’à partir d’uncertain rang (d’un certain moment), toutes les températures mesurées seront à moins d’un degré de la températurelimite : bref, toutes les valeurs sont à moins d’un degré de 92C sauf un nombre fini de valeurs plus éloignées.On pourrait d’ailleurs tenir le même raisonnement en remplaçant 1C par 0,1C ou encore 10−32C

Figure I. 3

Le problème est de traduire algébriquement ces notions de distance : les intervalles peuvent nous aider.

DéfinitionOn dit qu’une suite (un)n∈IN converge vers le réel ` si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ` contientaussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang

Téhessin : Je ne vois pas trop comment appliquer concrètement cette définition.

Mathémator : Prenons un exemple simple : la suite de terme général vn =n+ 1n

.

Téhessin : v1 = 2, v2 = 3/2, v100 = 1,01, v10 000 = 1,0001 : la suite semble converger vers 1.


Mathémator : Prenons un intervalle centré en 1 : il est de la forme ]1− ε ; 1 + ε[

Figure I. 4

Résolvons alors

(In) : 1− ε < vn < 1 + ε

(In)⇐⇒ 1− ε < 1 + 1/n < 1 + ε

(In)⇐⇒ −ε < 1/n < ε

(In)⇐⇒ 0 < 1/n < ε car n est strictement positif(In)⇐⇒ n > 1/ε

Donc, quelque soit ε, c’est à dire quelque soit l’intervalle ouvert centré en 1, tous les termes vn de la suite serontdans l’intervalle dès que n est supérieur à 1/ε.

B - PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES LIMITES

Mathémator : Vous avez vu l’an passé un certain nombre de propriétés sur les limites qui vont en fait s’avérerdes outils indispensables pour résoudre les exercices, le retour à la définition s’avérant souvent fastidieux.

B - 1 : Comment démontrer les propriétés sur les limites des suites àpartir des définitions des limites?

Téhessin : L’année dernière, on n’avait démontré aucune de ces propriétés.

Mathémator : C’est parce que vous ne disposiez pas encore des définitions des limites. Mais, maintenant, nouspouvons pratiquement toutes les démontrer :

– limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites admettant des limites finies ou non, endehors des cas où apparaît une des formes indéterminées +∞−∞, ∞× 0, 0/0 ou ∞/∞ ;

– théorème des gendarmes ;– si un > vn à partir d’un certain rang et si (vn) diverge vers +∞, alors (un) diverge vers +∞ ;– passage à la limite dans une inégalité ;– toute suite croissante non majorée diverge vers +∞ ;– si (un) converge vers `, alors (|un|) converge vers |`|, etc.


Téhessin : Et le fait que toute suite croissante et majorée est convergente?

Mathémator : Justement, on ne peut pas encore le démontrer, pas plus que le fait que toute suite suite décrois-sante et minorée est convergente. Car les preuves de ces deux propriétés sont très particulières, et vous ne les ferezqu’une fois votre Bac en poche.Maintenant, pour que vous voyez les définitions des limites à l’œuvre, je vais vous exposer deux preuves en détails.

PropriétéSi (un) diverge vers +∞, alors (1/un) tend vers 0.

Pour montrer que (1/un) tend vers 0, on applique la méthode vue dans la partie précédente. On fixe d’abord ε enécrivant « Soit ε > 0 », et on cherche un indice N à partir duquel 1/un ∈]− ε,ε[. On écrit maintenant l’hypothèseQuelque soit A > 0, il existe un rang M tel que, pour tout n >M , un ∈]A,+∞[On doit maintenant choisir avec quelle valeur de A l’utiliser. Pour que 1/un appartienne à ] − ε,ε[, il suffit queun soit supérieur à 1/ε. On décide donc d’utiliser l’hypothèse avec A = 1/ε, ce qui est possible puisque ε est fixé.On pose alors N égal au M correspondant à A = 1/ε. Pour n > N , on a donc un > 1/ε, d’où 1/un 6 ε et donc1/un ∈] − ε,ε[. Nous avons trouvé un N convenable pour le ε que nous nous étions fixé, et comme nous avionschoisi ε strictement positif quelconque, le résultat est démontré. Passons maintenant au deuxième exemple.

Théorème des gendarmesOn suppose que un 6 vn 6 wn pour tout n, et que (un) et (wn) convergent vers un même réel `. Alors (vn)converge aussi vers `.

Comme précédemment, on commence par « Soit ε > 0 », et on cherche un indiceN à partir duquel `−ε 6 vn 6 `+ε.Cette fois-ci, on écrit les hypothèses

Pour tout α > 0 il existe un rang Mα à partir duquel tous les termes de la suite vérifient `− α 6 un 6 `+ α,

Pour tout β > 0 il existe un rang Pβ à partir duquel tous les termes de la suite vérifient `− β 6 wn 6 `+ β

et le problème est de savoir pour quelles valeurs de α et de β nous allons utiliser ces hypothèses. Pour que vn soitsupérieur à l − ε, il suffit que un soit supérieur à `− ε puisque vn > un, donc il suffit que n soit supérieur à Mε.De même, pour que vn soit inférieur à `+ ε, il suffit que wn soit inférieur à `+ ε puisque vn 6 wn, donc il suffitque n soit supérieur à Pε. On applique donc les hypothèses avec α = ε et β = ε, et on pose N = max(Mε,Pε).Ainsi, si n > N , alors n >Mε et n > Pε, d’où `− ε 6 vn 6 `+ ε. Voilà !Téhessin (à part) : Je commence à me demander si je ne ferais pas mieux d’aller jouer aux billes avec mon petitfrère au lieu de vouloir devenir un Mataïe...

B - 2 : Comment montrer qu’une suite converge vers 32?

Téhessin (à part) : Qu’est-ce qui lui prend? On vient d’en parlerMathémator : Je vois que vous trouvez cette question un peu curieuse. Il s’agit juste d’une manière de dire quel’on veut montrer que la suite converge alors que l’on sait déjà quelle doit être sa limite, par exemple 32. Il esteffectivement fréquent que l’on ait a priori une idée de la valeur de la limite soit parce qu’on l’a devinée, soitparce qu’un énoncé a donné cette valeur. On a de plus étudié un problème similaire à l’aide de la définition : nousallons voir que dans la plupart des cas, on peut se contenter d’utiliser des propriétés déjà démontrées.Commençons par une première transformation du problème. On préfère souvent avoir à montrer qu’une suite tendvers 0 plutôt que de montrer qu’elle tend vers 32. De plus, on préfère aussi travailler avec des nombres positifsparce qu’on voit mieux les choses et parce que les majorations sont plus faciles et moins dangereuses avec desnombres positifs. Pour toutes ces raisons, on utilise fréquemment que

limn→+∞

un = 32⇐⇒ limn→+∞

|un − 32| = 0·

On est donc ramené à montrer que |un−32| tend vers 0. Ensuite, il y a bien sûr plusieurs méthodes, mais une desplus courantes consiste à effectuer des majorations successives de |un − 32|, et ceci jusqu’à obtenir un majorantαn dont on sait déjà qu’il tend vers 0,


|un − 32| 6 · · · 6 · · · 6 αn·

Puis on conclut grâce à la propriété suivante qui va nous permettre de résoudre de nombreux exercices :

PropriétéSoit (un) une suite réelle et ` ∈ IR. On suppose qu’il existe une suite (αn) qui converge vers 0 et telle que|un − `| 6 αn à partir d’un certain rang. Alors (un) converge vers `.

C’est en fait une conséquence directe du théorème des gendarmes, une fois que l’on a remarqué que |un− `| 6 αnéquivaut à l − αn 6 un 6 l + αn.

Par exemple, pour θ ∈ IR fixé, on sait que | sin(nθ)| 6 1, donc on a

Pour tout n ∈ IN∗∣∣∣∣

sin(nθ)n

∣∣∣∣ 61n,

or limn→+∞

1n

= 0 donc, d’après la propriété précédente limn→+∞

sin(nθ)n

= 0.

Mais il se fait tard Téhessin : il est temps pour moi de me ressourcer en allant voir Lagaf à la télé.

Téhessin (à part) : Décidément, devenir un Mataïe n’est pas sans risque...

B - 3 : Croyable mais faux !

Mathémator combat les idées reçues sur les suites : une interview exclusive.

Téhessin : Est-il vrai qu’une suite strictement croissante diverge forcément vers +∞?

Mathémator : On pourrait le penser en effet : une suite qui ne fait que croître va forcément monter vers +∞.Et pourtant c’est FAUX !Considérez par exemple la suite de terme général un = 32− 1/n.

Téhessin : Est-il vrai qu’une suite qui diverge vers +∞ est forcément croissante à partir d’un certain rang?

Mathémator : On pourrait le penser en effet : puisqu’il faut aller vers l’infini et au-delà, il va bien falloir montersans s’arrêter. Et pourtant c’est FAUX !Considérez par exemple la suite de la bergère allant au marché de terme général un = n+ (−1)n+1 + 1.

Téhessin : Est-il vrai qu’une suite bornée converge forcément vers un réel?

Mathémator : On pourrait le penser en effet : puisque la suite est bornée, elle ne pourra aller vers l’infini, doncil faut qu’elle se stabilise quelque part. Et pourtant c’est FAUX !Considérez par exemple les suites de termes généraux un = (−323)n et vn = sinn.

Téhessin : Est-il vrai qu’une suite ne prenant qu’un nombre fini de valeurs converge forcément?

Mathémator : On pourrait le penser en effet : puisque la suite ne prend qu’un nombre fini de valeurs, elle va sestabiliser sur l’une d’elle. Et pourtant c’est FAUX !Je vous laisse trouver le contre-exemple.


C - EXERCICES

C - 1 : Avec les définitions.

Exercice I-1

On considère la suite définie par un = 2 + 1/n pour n > 1

1) Calculer les dix premiers termes de la suite et en donner des valeurs approchées à 10−2 près.2) Observer la représentation graphique de la suite (un)n∈IN donnée par une calculatrice ou un ordinateur.

Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (un)n∈IN ?3) On considère l’intervalle ouvert de centre 2 et de rayon 0,01 , c’est-à-dire ]1,99; 2,01[ . Montrer qu’à partir

d’un certain rang n0 à déterminer, tous les termes de la suite (un) appartiennent à cet intervalle.4) On considère l’intervalle ouvert de centre 2 et de rayon r , c’est-à-dire ]2− r,2 + r[.

Montrer qu’à partir d’un certain rang n0 à déterminer en fonction de r , tous les termes de la suite (un)appartiennent à cet intervalle.

5) Démontrer que (un) converge vers 2.

Exercice I-2

On considère la suite (un ) définie par un =n2 + 2n

pour n > 1.

1) Calculer les dix premiers termes de la suite et en donner des valeurs approchées à 10−2 près.2) Observer la représentation graphique de la suite (un ) donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle

conjecture peut-on faire sur la limite de la suite?3) On considère l’intervalle ]a,+∞[ avec a > 10.

Montrer que à partir d’un certain rang n0 à déterminer en fonction de a, tous les termes de la suiteappartiennent à cet intervalle.

4) Montrer que limn→+∞

un = +∞.

Exercice I-3Démontrez que si une suite est convergente, alors elle est bornée.

C - 2 : Avec les propriétés.

Exercice I-4Déterminez les limites des suites de termes généraux suivants :

un = cosn− n vn = 2n+ (−1)n an =sinnn

bn =(

34

)nsinn cn =

3− cosnn

Exercice I-5Soit (un)n∈IN la suite de terme général

un =√n2 + 6n− n

1) Conjecturez la limite de la suite à l’aide de la calculatrice

2) Montrez que un =6√

1 + 6/n+ 1et déduisez-en la limite de (un)n∈IN .


Exercice I-6On considère la suite (sn)n∈IN de terme général

sn =n∑

k=1

n

n2 + k

En déterminant le plus petit et le plus grand terme de sn, montrez que

n

n+ 16 sn 6

n2

n2 + n

et déduisez-en la limite de (sn)n∈IN.

TÉHESSIN IIlimites de fonctions numériques

Résumé Nous retrouvons notre héros en plein doute : les obscures défini-tions de Mathémator sur la convergence des suites l’ont totalement déprimé.Reprendra-t-il confiance en lui? Saura-t-il affronter les nouveaux obstacles desa formation?

Mathémator : Cher disciple, avant de parler de limites, occupons-nous d’une importante notion « politique ».

- 1 : Qu’est-ce qu’un problème local concernant une fonction?

Mathémator : Lorsqu’on s’intéresse à une fonction f définie sur une partie J de IR à valeurs dans IR, il estimportant de bien faire la différence entre un problème local lié à f et un problème global. Pour tout réel a fixé,un problème local en a ne fait intervenir les valeurs f(x) qu’en des x « proches » de a, ne concerne f qu’auvoisinage de a. Par exemple, l’étude de la limite de f(x) quand x tend vers a, la détermination de la tangente augraphe de f au point d’abscisse a, si cette tangente existe, ou le problème du changement de signe de f(x)− f(a)en a, sont des problèmes locaux en a.

Par extension, on considère qu’un problème qui ne fait intervenir f qu’à travers ses valeurs prises pour x indé-finiment grand positif ou indéfiniment grand négatif est un problème local en +∞ ou en −∞. C’est le cas parexemple de l’étude de la limite de f(x) quand x tend vers +∞ ou vers −∞.

À l’opposé d’un problème local, un problème global lié à f ne privilégie aucun point a particulier et concerne lesvaleurs prises par f sur tout son ensemble de définition J . Par exemple, le sens de variation de f sur J , l’étudedu signe de f sur J sont des problèmes globaux.

Téhessin : Mais pourquoi est-ce si important de bien faire la différence entre problèmes globaux et problèmeslocaux?

Mathémator : Il y a deux bonnes raisons pour cela, Téhessin. D’abord, vous ne pourrez jamais résoudre unproblème global en utilisant exclusivement des outils locaux. Par exemple, l’étude de la limite de f en 0 ou en+∞ ne peut pas suffire à déterminer le signe de f sur ]0,+∞[. Et ensuite, il ne sert à rien d’étudier f « loin dea » pour résoudre un problème local en a concernant f . Par exemple, étant donné un réel a, il suffit de connaîtref(x) pour x ∈]a− 1/100,a+ 1/100[ pour savoir si f admet une limite en a.

Téhessin : Aurais-je droit à une petite illustration

Mathémator : Comment vous refuser cette faveur. Considérons la fonction

f :]0,+∞[→ IR, x 7→ x2 − 1x,

ainsi que sa courbe représentative Γ et sa tangente T au point A d’abscisse 2.

18 LIMITES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES

A

x

y

+1

+1

On constate que Γ n’est pas au dessus de T en tout point, mais néanmoins, c’est le cas près du point A. Celatraduit le fait que l’assertion

f(x) > f ′(2)(x− 2) + f(2)n’est pas vraie pour tout x > 0, mais seulement au voisinage de 2. Je vous laisse le démontrer.Téhessin (à part) : C’est toujours les mêmes qui se tapent les corvées...Mathémator : Voici un autre exemple pour satisfaire votre enthousiasme. Regardez la fonction

f : ]0,+∞[→ IR, x 7→ 1x

Elle bornée au voisinage de +∞ car f(x) ∈ [0,1] dès que x > 1 ; et pourtant f n’est pas bornée sur tout l’intervalle]0,+∞[ puisqu’elle tend vers +∞ en 0.Téhessin : Ne brûlez pas les étapes Maître : je ne sais pas encore ce que veut dire « tend vers +∞ en 0 ».

Mathémator : La sénilité me guette. Reprenons les choses dans l’ordre.

A - LIMITE FINIE EN UN RÉEL

Mathémator : Considérons un réel a et une fonction f d’une variable réelle à valeurs réelles. Le problème de lalimite de f(x) quand x tend vers a est un problème local en a. D’après ce que je vous ai expliqué, on peut doncs’y intéresser quand f est définie sur un intervalle contenant a ou sur un intervalle d’extrémité a.

A - 1 : Comment visualiser la limite d’une fonction en un point a?Bien que je ne vous aie pas encore défini l’assertion

limx→a

f(x) = `,

nous allons essayer de comprendre ce qu’elle peut signifier. Elle se lit : la limite quand x tend vers a de f(x) estégale à `. Elle devrait donc signifier que « à mesure que x se rapproche indéfiniment de a, son image f(x) serapproche indéfiniment de ` ». On peut visualiser cette idée sur un exemple. Demandons à notre calculatrice detracer le graphe de la fonction

f1 : [0,2]→ IR, x 7→ cosx

x

y

+1

+1


ainsi que celui de la fonction

f2 : [0,2]→ IR, x 7→

cosx si x ∈ [0,1]cos(x− 1) si x ∈]1,2]

·

x

y

+1

+1

On voit sur le graphe de f1 que, à mesure que x se rapproche indéfiniment de 1, son image f1(x) se rapprocheindéfiniment de f1(1) = cos 1 ' 0,540. Plus précisément, voici un tableau de valeurs approchées qui permet dequantifier ce rapprochement ; j’y ai fait apparaître les valeurs prises par f1 en 1 + h et en 1− h, pour des valeursde h de plus en plus petites.

h 1 0,5 0,1 0,01 0,001f1(1 + h) −0,416 0,071 0,454 0,532 0,539f1(1− h) 1 0,878 0,622 0,549 0,541

En revanche, on voit sur le graphe de f2 que, à mesure que x se rapproche de 1 par valeurs inférieures, c’est àdire en étant strictement inférieur à 1, son image f2(x) se rapproche indéfiniment de cos 1 ' 0,540. Alors que,à mesure que x se rapproche de 1 par valeurs supérieures, f2(x) se rapproche indéfiniment de cos 0 = 1. Et cetableau de valeurs approchées le confirme.

h 1 0,5 0,1 0,01 0,001f2(1 + h) 0,540 0,878 0,999 0,999 0,999f2(1− h) 1 0,878 0,622 0,549 0,541

Alors Téhessin, à votre avis, que peut-on dire des limites de f1(x) et f2(x) quand x tend vers 1?Téhessin : Je ne connais pas encore de définition de la limite d’une fonction, mais j’ai envie de dire que f1(x)admet pour limite cos 1 quand x tend vers 1, et que f2(x) n’a pas de limite quand x tend vers 1.

Mathémator : C’est ça. En effet, à la question « f1(x) se rapproche-t-il indéfiniment d’un réel ` lorsque xse rapproche de 1? », la réponse est visiblement oui avec ` = cos 1. Alors qu’à la même question pour f2, laréponse est visiblement non. Je vous ai proposé ces exemples pour que vous vous fassiez une bonne idée de lanotion de limite d’une fonction en un point. Mais pour avancer, il nous faut maintenant une définition rigoureuse.Malheureusement, l’empire du mal l’a faite disparaître du programme de terminale !Téhessin (à part) : Ils ne sont donc pas si mauvais que ça... (à voix haute) Mais à quoi nous aurait servi unedéfinition rigoureuse?Mathémator : En mathématiques, il n’est pas souhaitable de manipuler une notion qui n’a pas été définieproprement, parce que sinon, on ne peut pas démontrer les théorèmes qui la font intervenir. La définition de lalimite d’une fonction sert donc d’abord à prouver les théorèmes généraux sur les limites : théorème des gendarmes,limite en a d’une somme de fonctions admettant des limites en a, d’un produit de fonctions, etc. Mais dans lesexercices, ces théorèmes généraux suffisent la plupart du temps à répondre aux questions, et vous n’auriez euqu’assez rarement à utiliser la définition de la limite.Téhessin : Ah bon? Donc ce n’est pas catastrophique. Je pense que je pourrai encore patienter un an avant decombler ce vide. Mais il me semble plus urgent de parler de ces théorèmes généraux.

Mathémator : Les auriez-vous donc oubliés pendant les vacances? Tsss...il ne vous reste plus qu’à lire les pages18 à 21 de votre précieux manuel. Je vous conseille également d’adapter ce que nous venons de voir sur les limitesfinies en un réel au cas des limites infinies et des limites en l’infini.Téhessin : Dans le cas des limites en l’infini, je suppose que les résultats devraient recouper ceux vus à proposdes suites.


Mathémator : Votre esprit de synthèse est hors du commun : la force mathématique est avec vous.Penchons-nous un peu plus sur le lien entre fonction et suite.

B - LIENS ENTRE LIMITES DE FONCTIONS ET LIMITES DESUITES

B - 1 : Quels liens entre limx→+∞

f(x) = ` et limn→+∞

f(n) = `?

Téhessin : Malgré tout le respect que je vous dois, Maître, je trouve que vous jouez sur les mots, ou plutôt surles lettres. Quelle différence peut-il y avoir entre x et n puisque ce sont des variables muettes?

Mathémator : Justement, ce n’est pas du tout pareil ! L’écriture limx→+∞

f(x) = ` sous-entend que c’est la fonction

f qui tend vers ` en +∞. Dans ce cas, la variable x prend ses valeurs dans l’ensemble de départ de f , et cetensemble contient en général des réels qui ne sont pas entiers. En revanche, l’écriture lim

n→+∞f(n) = ` sous-entend

que c’est la suite(f(n)

)qui tend vers ` en +∞, et dans ce cas, la variable n ne prend que des valeurs entières.

Téhessin (à part) : S’il y a des sous-entendus maintenant, où allons-nous? (à voix haute) Alors si je comprendsbien, comme la variable x décrit un ensemble plus grand que l’indice n, le fait que la fonction tende vers ` doitentraîner que la suite tend vers `.Mathémator : Exactement, et la preuve est une conséquence directe des définitions des limites de fonctions etde suites. Vous vous en occuperez pendant votre temps libre.Téhessin (à part) : Compte là-dessus (à voix haute) Bien sûr Maître.

B - 2 : Que dire de la suite(f(un)

)quand la suite (un) admet une limite?

Téhessin : J’aurais envie de dire que si (un) tend vers a, alors(f(un)

)tend vers f(a).

Mathémator : Pourquoi pas... Mais regardez ce qui se passe lorsque

un =(−1)n

net f(x) =

1 si x > 00 si x < 0

·

Téhessin : (un) tend vers 0. Ensuite, f(un) = 1 si n est pair, et f(un) = 0 si n est impair. Donc... la suite(f(un)

)diverge !?

Mathémator : Eh oui ! Le problème vient ici de la « discontinuité » (nous en parlerons plus tard) de la fonctionf en 0 alors que la limite de (un) est précisément 0. Pour que votre propriété soit vraie, il faut rajouter unehypothèse sur la fonction f . Comme (un) tend vers a, il faudrait connaître le comportement de f(x) quand x tendvers a pour savoir ce que fait f(un).D’autre part, attention Téhessin : f(a) n’a pas toujours de sens ! C’est le cas quand a vaut +∞ ou −∞, ou quanda est un réel qui n’appartient pas à l’ensemble de départ de f . Il faut aussi envisager ces trois cas pour êtrecomplet.

ThéorèmeSoit I un intervalle de IR, soit f : I → IR, et soit a un élément de I ou une extrémité éventuellement infinie deI. On considère (un) une suite d’éléments de I, et ` ∈ IR ∪ −∞,+∞.

Si limn→+∞

un = a ET limx→a

f(x) = ` alors limn→+∞

f(un) = `

Téhessin : En quelque sorte, c’est une composition de limites.


Mathémator : Exactement. En ce qui concerne la preuve, il faut discuter suivant que a et ` sont finies ou valent+∞ ou −∞, ce qui fait 9 cas. Ensuite, c’est une application directe des définitions des limites de suites et defonctions.

B - 3 : Comment démontrer que sinx n’a pas de limite quand x tend vers+∞?

Téhessin : C’est évident sur le graphe de la fonction sinus, mais ce n’est pas une preuve. Il faut sûrement faireun raisonnement par l’absurde.

Mathémator : Bonne idée : allez-y, Téhessin.

Téhessin : On suppose donc que sinx a une limite ` quand x tend vers +∞. Ensuite, on peut peut-être revenirà la définition de la limite avec les intervalles ouverts.

Mathémator : C’est possible, mais il vaut mieux passer par les suites. On a vu à la question précédente que sila suite (un) tend vers +∞, alors la suite (sinun) tend vers `. On remarque ensuite que

limn→+∞

(2nπ) = +∞ et limn→+∞

sin(2nπ) = 0

de mme limn→+∞

(2nπ + π/2) = +∞ et limn→+∞

sin(2nπ + π/2) = 1

Et donc ` devrait être égal à la fois à 0 et à 1, d’où la contradiction. Ce genre de détour par les suites est souventtrès pratique pour montrer qu’une fonction n’a pas de limite en un point.

C - LIMITES ET GRAPHIQUES

C - 1 : Globalement, qu’est-ce que ça veut dire que le problème est local?

Mathémator : Les petits dessins suivants devraient vous faire réfléchir...

+1

+1x

y


+100

+100

x

y

+100

+100

+1

+100

x

y

+1

+100

Téhessin : Vue de la planète Mars, la courbe ressemble à une croix alors que vu à la loupe, elle semble trèsperturbée : l’étude des limites est bien un problème local; les propriétés peuvent être très différentes selon l’endroitde la courbe qu’on étudie.

Mathémator : Lors de l’épreuve du bac de l’an passé, de nombreux mataïes ont dit que la limite de f valant Men +∞, alors f(x) < M pour tout réel x.Téhessin : Grave erreur : la limite ne donne qu’un renseignement local, on ne peut conclure sur le signe de f surIR si l’on n’a qu’un renseignement local.

Mathémator : Espérons que vous vous en souviendrez dans quelques mois...

C - 2 : Si limx→+∞

= +∞, alors Cf admet -elle forcément une asymptote

au voisinage de +∞?

Téhessin (à part) : Je sens le piège (tout haut) Non, bien sûr !Mathémator : Alors, donnez-moi un contre-exemple.Téhessin : Si j’ai bien compris, la courbe doit « ressembler » à une droite au voisinage de l’infini, or une droiteest la représentation graphique d’une fonction affine. Ainsi, pour que la courbe admette une asymptote en l’infini,il faut qu’elle soit la représentation d’une fonction du style

x 7→ ax+ b+ ε(x)

avec ε(x) qui tend vers 0 en l’infini, c’est à dire une partie affine plus une partie qui compte pour du beurre.

Mathémator : Votre esprit d’analyse m’impressionne, mais vous ne m’avez pas donné de contre-exemple.


Téhessin : Il suffit de prendre une partie non affine plus un bout négligeable. Disons x 7→ x2 + 1/x. Je rentreégalement la courbe d’équation y = x2 et j’obtiens sur l’écran de ma calto :

+1

+100

x

y

Mathémator : Vous obtenez ce que vous appellerez peut-être un jour une branche parabolique. Mais il existedes comportement beaucoup plus irréguliers. Néanmoins vous avez bien compris que l’on peut reconnaître destermes dominants dans une expression. Attention, c’est un problème local. Dans votre exemple, x2 est dominanten +∞, mais au voisinage de zéro, c’est 1/x qui domine.Téhessin (à part) : Ça va, j’ai compris : global vs local. Il commence à radoter.Mathémator : Il ne vous reste plus qu’à vous entraîner sur une petite centaine d’exercices pendant ma pauseméditation. Que la force soit avec vous !

D - EXERCICES

Exercice II-1On considère la fonction f définie sur ]0,+∞[ par f(x) =

2x2 + 1x2

1) Donner des valeurs approchées à 10−3 près de f(1), f(32), f(320) et f(3232).2) Observer la représentation graphique de f donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture

peut-on faire sur la limite de f en +∞?3) On considère l’intervalle ouvert de centre 2 et de rayon 0,01 , c’est-à-dire ]1,99; 2,01[ .

Démontrer que pour x > 10 , f(x) ∈]1,99; 2,01[ (On pourra écrire f(x) sous la forme f(x) = 2 + 1/x2 )4) On considère l’intervalle ]2− r,2 + r[ avec r > 0.

Montrer que pour x supérieur à un certain x0 à déterminer en fonction de r , tous les f(x) appartiennent àl’intervalle ]2− r,2 + r[.

5) Démontrer que limx→+∞

f(x) = 2

Exercice II-2

On considère la fonction g définie sur IR par 3x3 + x2

1) Donner les valeurs de g(32), g(320) et g(3232).2) Observer la représentation graphique de g donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture

peut-on faire sur la limite de g en +∞?3) On considère l’intervalle ]100; +∞[ . Démontrer que pour x > 10, f(x) ∈ ]100,+∞[.4) On considère un intervalle ]A, +∞[ , avec A > 0. Montrer que pour x supérieur à

√A , tous les f(x)

appartiennent à l’intervalle ]A; +∞[ .


Exercice II-3

Soit h définie sur IR par h(x) = −2x+ 3Démontrez que lim

x→+∞f(x) = −∞

Exercice II-4

On considère la fonction h définie sur ]1,+∞[ par h(x) = 2 +3

(x− 1)2

1) Justifiez que l’ensemble de définition de h est ]1,+∞[.2) Observer la représentation graphique de h donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture

peut-on faire sur la limite de h en 1?3) On considère l’intervalle ]1000; +∞[ . Donnez une condition suffisante portant sur x pour que h(x) ∈

]1000,+∞[.4) On considère un intervalle ]A, +∞[ , avec A > 2. Donnez une condition suffisante portant sur x pour que

h(x) ∈]A; +∞[ .5) Justifiez que lim

x→1h(x) = +∞.

TÉHESSIN IIIfonctions continues

Résumé Notre héros s’est familiarisé avec les notions de limite, de problèmelocal ou global. Ces notions vont être amplement réinvesties lors de ce nouvelépisode, encore semé d’embuches...

A - QU’EST-CE QU’UNE FONCTION CONTINUE EN UN POINT?

Mathémator : Cette fois-ci, je vous donne la définition directement.

DéfinitionSoit a un réel, et soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a. On dit que f est continue en alorsque f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a.

Vous savez que x2 tend vers 9 quand x tend vers 3. Eh bien, cela signifie que la fonction carrée est continue en 3.Téhessin : D’après votre définition, il faut que f soit définie en a pour pouvoir parler de la continuité de f en a.

Mathémator : Oui, sinon f(a) n’aurait pas de sens ! En revanche, on peut parler parfois de limite de f en a

même lorsque f n’est pas définie en a. Par exemple limx→0+

1x

= +∞ : la fonction inverse n’est pas définie en 0 mais

admet une limite en 0.Téhessin : Vous m’avez donné la définition mathématique, mais vous ne m’avez pas expliqué ce qu’elle signifie.En fait, je ne vois pas trop où se trouve le problème.

Mathémator : Je suis d’accord avec vous. Cette définition fait double emploi avec la définition de la limite. Enréalité, la notion de continuité d’une fonction en un point a n’est introduite que pour permettre de définir lanotion de fonction continue sur tout un intervalle. Nous verrons que, par définition, une fonction définie sur unintervalle I est continue sur I lorsqu’elle est continue en chaque point de I. Dans ce cas, le mot continu est bienchoisi car les fonctions continues sur un intervalle sont précisément celles dont le graphe se trace à l’aide d’untrait continu.Téhessin : Mais pourquoi m’avez-vous quand même donné la définition de la continuité en un point?

Mathémator : Parce que tout le monde l’emploie, par habitude, et nous devons nous conformer à l’usage pourne pas nous attirer les foudres des forces du mal.

A - 1 : Pourquoi parle-t-on parfois de limite à gauche ou à droite?

Téhessin : Je me souviens avoir vu en Première que la fonction x 7→ 1/x n’a pas de limite en 0, mais que parcontre on a

limx→0+

1/x = +∞ et limx→0−

1/x = −∞

Mathémator : Très bien, mais qu’est-ce que cela signifie précisément?Téhessin : Dire que x tend vers 0+ signifie que x tend vers 0 en restant strictement positif.

26 FONCTIONS CONTINUES

Mathémator : C’est bien l’idée qui est derrière, même si elle reste un peu vague. (Mal)heureusement, la définitionrigoureuse est hors programme.Cette notion a un intérêt lorsque la fonction f présente une discontinuité en a mais a un comportement « régulierà droite de a ». C’était le cas par exemple de la fonction f2 étudiée pendant l’épisode II,

f2 : [0,2]→ IR, x 7→

cosx si x ∈ [0,1]cos(x− 1) si x ∈]1,2]

Cette fonction n’a pas de limite en 1. Mais elle a une limite à droite en 1 égale à 1 et une limite à gauche égale àcos 1.

Téhessin : Mais Maître, quand on écrit limx→1

(x− 1)2 = 0+, ça n’a pas le même sens, n’est-ce pas?

Mathémator : Non, effectivement, mais cette écriture n’est pas très correcte, car la limite de (x− 1)2 quand xtend vers 1, est le réel 0 et rien d’autre. Si on écrit 0+, c’est pour se souvenir que les valeurs de (x − 1)2 pourdes x proches de 1 sont positives. Une telle écriture permet parfois de simplifier le calcul de certaines limites : parexemple,

limx→1

(x− 1)2 = 0+ =⇒ limx→1

1(x− 1)2

= +∞

B - PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN IN-TERVALLE

Mathémator : Tout d’abord, qu’est-ce qu’un intervalle?

Téhessin : Ben c’est quelque chose du style [a,b], ou ]a,b] ou [a,b[, ou ]a,b[, ou ]−∞,b] ou etc.

Mathémator : C’est un peu vague. Malheureusement une définition rigoureuse n’est pas envisageable en Termi-nale. Posons-nous au moins une question : est-ce que IR∗ est un intervalle?

Téhessin : Je pense que non : il n’entre dans aucune des catégories car il a un « trou ».

Mathémator : C’est bien vu. Nous devrons nous contenter de cette absence de « trou » pour caractériser lesintervalles.

B - 1 : Quelles sont les fonctions dont le graphe est un trait continu?

Mathémator : On peut déjà remarquer que c’est le cas de la plupart des fonctions que vous connaissez Téhessin.En effet, on peut considérer que les graphes des fonctions polynômiales, rationnelles, racine carrée, sinus,... sontdes « traits continus », c’est-à-dire qu’on n’a pas à « lever le crayon » pour les tracer.

Mais attention, ce n’est pas toujours le cas. Nous avons déjà étudié la fonction

g : [0,2]→ IR, x 7→

cosx si x ∈ [0,1]cos(x− 1) si x ∈]1,2]

et son graphe n’est pas un « trait continu ».

x

y

+1

+1


Téhessin : Mais cette notion de « trait continu » a-t-elle un sens mathématique?

Mathémator : Pour le moment, cette notion de « trait continu » est juste une notion intuitive que tout le mondecomprend. Et ce que je vous propose de faire maintenant, c’est de chercher quelle propriété une fonction doitvérifier pour que son graphe soit un « trait continu ».

La première condition est que la fonction soit définie sur un intervalle. Vous voyez bien par exemple que le graphede la fonction

f : IR∗ → IR, x 7→ 1x

n’est pas un « trait continu » et la raison en est que IR∗ n’est pas un intervalle.

x

y

On se limite donc à une fonction définie sur un intervalle. Pouvez-vous me dire, Téhessin, à quelle condition songraphe est un « trait continu »?

Téhessin : J’ai peut-être une idée. La fonction g précédente est bien définie sur un intervalle mais elle a un graphe« en deux morceaux » parce que g(x) est défini par deux formules différentes suivant les valeurs de x. Mais s’il n’ya qu’une seule formule, comme pour les fonctions polynomiales, cosinus ..., alors le graphe sera un trait continu.

Mathémator : Non Téhessin. La fonction partie entière

f : IR→ IR, x 7→ E(x)

est définie par « une seule formule », comme vous dites, mais il faut lever le crayon pour tracer son graphe.

x

y

+1

+1

Vous sentez bien que la notion de « fonction définie par une seule formule » est trop vague. Il faudrait préciserson sens, et ce n’est pas facile. Revenons plutôt à la fonction g : à votre avis, pour quelle raison son graphe n’est-ilpas un trait continu?

Téhessin : Peut-être parce que les limites de g à gauche et à droite en 1 sont différentes.

Mathémator : C’est ça, et comme ces deux limites sont différentes, g n’a pas de limite en 1. Plus généralement,si l’on considère une fonction f définie sur un intervalle I, le graphe Γf ne peut être un « trait continu » que sif admet une limite en tout point a de I. Et d’ailleurs, comme f est définie en a, cette limite est nécessairementégale à f(a). On constate que c’est cette condition sur f qui rend compte du fait que Γf est un « trait continu ».Mais plutôt que de dire le graphe de f est un trait continu, on dira la fonction f est continue.


DéfinitionSoit I un intervalle de IR et f une fonction de I vers IR. On dit que f est continue lorsque, pour tout a ∈ I, ona limx→a

f(x) = f(a), ce qui revient à dire que f est continue en tout point de I.

Téhessin : Mais il est impossible de vérifier pour chaque point que la fonction y est continue !

Mathémator : Certes ! Nous pouvons malgré tout aisément vérifier que les fonctions polynômes, sinus, cosinus,valeur absolue, racine carrée sont continues.Dans la pratique nous utiliserons les théorèmes opératoires. Nous pouvons ainsi montrer, grâce aux théorèmesopératoires sur les limites que les sommes, produits, quotients et composées des fonctions de référence sontcontinues là où elles sont définies.

Par exemple, nous écrirons que la fonction x 7→ 2x2 − 3x+ 1x− 2

est continue sur ] −∞,2[ ET sur ]2, +∞[ commequotient de fonctions polynomiales continues.Téhessin : Donc si j’ai bien compris, il faut interpréter la continuité d’une fonction définie sur un intervalle endisant que son graphe est un « trait continu ».

Mathémator : C’est ça.

B - 2 : Une fonction continue peut-elle changer de signe sans s’annuler?

Téhessin : Je pense que non ! Car pour relier par un « trait continu » un point situé en dessous de l’axe Ox àun point situé au dessus, il faudra couper cet axe.

f(b)

f(a)

a

b0

x

y

Mathémator : Très bien ! L’interprétation intuitive de la continuité de f vous a permis de deviner le résultat.Mais il faut maintenant le démontrer rigoureusement en revenant à la définition de la continuité. Autrement dit,étant donnée une fonction f continue, définie sur un intervalle contenant a et b avec a < b et telle que f(a) etf(b) soient de signes opposés, comment montrer l’existence d’un zéro de f sur ]a,b[, c’est-à-dire d’un élément c de]a,b[ tel que f(c) = 0?Cette démonstration étant délicate mais constituant une trés intéressante application du théorème des suitesadjacentes, nous nous en occuperons en TD un peu plus tard cette année.

B - 3 : Une fonction f continue sur [a,b] prend-elle toutes les valeurscomprises entre f(a) et f(b)?

Téhessin : Est-ce que ce n’est pas quasiment le même problème que celui de la question précédente?

Mathémator : Effectivement. Alors voilà le résultat.

Théorème des valeurs intermédiairesSoit f une fonction continue d’un intervalle I vers IR, et soient a et b deux éléments de I tels que a < b. Alorspour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.


f(b)

f(a)

a b0

k

c x

y

La preuve est très simple. Si f(a) ou f(b) est égal à k, on prend c = a ou c = b. Et sinon, on applique le résultatde la question précédente à la fonction auxiliaire

g : I → IR, x 7→ f(x)− k

On peut le faire car g est continue et car g(a) et g(b) sont non nuls et de signes opposés puisque λ est comprisentre f(a) et f(b).

B - 4 : Comment montrer que deux courbes se rencontrent?

Téhessin : Mais c’est encore le même genre de problème, à condition de supposer que les deux courbes sont des« traits continus ».

Mathémator : Ce que nous supposerons. Et vous avez raison, on pourra souvent se ramener au théorème desvaleurs intermédiaires.Montrer que les graphes des fonctions continues f et g se rencontrent revient à montrer qu’il existe c tel quef(c) = g(c). On introduit alors la fonction auxiliaire f − g, et pour montrer qu’elle s’annule, il suffit d’après lethéorème des valeurs intermédiaires de trouver a et b tels que f(a) 6 g(a) et f(b) > g(b).

On peut par exemple utiliser cette technique pour montrer qu’une fonction f continue définie sur [0,1] et à valeursdans ce même intervalle [0,1] admet un point fixe, car cela revient à montrer que son graphe rencontre la premièrebissectrice.

Nous traiterons ces exemples en exercices.

Téhessin : Vous aviez l’air de dire tout à l’heure que le théorème des valeurs intermédiaires ne permettait pastoujours de montrer que deux courbes se rencontrent.

Mathémator : Oui, dans le cas où les deux courbes se rencontrent « sans se croiser ». Par exemple, cela peut seproduire avec le graphe d’une fonction ayant certaines propriétés et l’une de ses tangentes.

c x

y


On peut avoir f(c) = g(c) sans qu’il existe a et b distincts tels que f(a) 6 g(a) et f(b) > g(b).

B - 5 : Comment montrer qu’une équation admet une unique solution?

Mathémator : Le TVI s’avère fort utile comme vous venez de le découvrir, pour montrer qu’une équation admetau moins une solution. Il a pourtant un défaut 6.Téhessin : On sait que l’équation admet au moins une solution, mais on ne sait pas combien de solutions celareprésente 7.Mathémator : Vous avez mis le sabre laser sur la faiblesse du TVI. En fait, il suffit de rajouter une petitehypothèse au TVI pour le voir se transformer en TSU.Téhessin : TSU, TSU, mmmm.... J’y suis ! Théorème de LA solution unique 8.Mathémator : Oui ! Alors, comment être sûr de l’unicité de la solution?Téhessin : Je suppose qu’un petit dessin devrait m’aider.

f(b)

f(a)a b0

k

c1 c2 c3 x

y

En fait, si la courbe joue aux montagnes russes, certains réels de l’intervalle[f(a),f(b)

]auront plusieurs antécé-

dents, ce qui ne sera plus vrai si f est strictement monotone.Mathémator : Nous pouvons à présent énoncer le théorème de LA solution unique 9

Théorème de la solution uniqueSoit f une fonction continue et strictement monotone d’un intervalle I vers IR, et soient a et b deux élémentsde I tels que a < b. Alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c ∈ [a,b] tel quef(c) = k.

La démonstration en est simple : l’hypothèse rajoutée nous indique dans quelle direction chercher. Je vous laissedonc la rédiger...Téhessin : ...à titre d’exercice, je sais.

B - 6 : Comment résoudre une équation numérique par dichotomie?

Mathémator : Fort de ces nouveaux pouvoirs mathématiques, montrer que l’équation

x4 + x = 1

admet une unique solution x0 sur [0,1] ne va vous poser aucun problème.Téhessin : Il doit suffire d’étudier la fonction

f : [0,1]→ IR, x 7→ x4 + x

6. Contrairement à vous, chanceux lecteur, Téhessin ne peut distinguer à l’oreille les caractères en italique7. Vous devez admettre que Téhessin assure un max8. Faut quand même pas pousser : c’est plus un élève, c’est un héros de film américain9. Pour le bac, un tableau de variation complété suivi d’une phrase du style « par lecture du tableau de variation » suffira


D’après les théorèmes généraux elle est continue sur [0,1]. On vérifie aisément qu’elle est srictement croissante surcet intervalle. Enfin f(0) = 0 et f(1) = 2. Je dégaine alors le TSU pour conclure.Mathémator : Vous assimilez vite. Comment feriez-vous, Téhessin, pour déterminer une valeur approchée de x0

à 10−2 près avec votre calculatrice?Téhessin : Rien de plus simple : je tape

solve(x^4+x=1,x)et la calculatrice me répond

-1.220744085, 0.7244919590

Or, comme x0 ∈ [0,1], je ne garde que le deuxième solution.Mathémator : , à part : Il m’a roulé...(à voix haute) Certes, certes...euh...mais imaginons que votre calculatricen’ait pas de touche solve.Téhessin : J’essaie différentes valeurs. Si je tombe sur une image supérieure à 1, je prend un x plus petit, et viceversa.Mathémator : En fait, on peut systématiser la recherche des différentes valeurs de x pour minimiser le nombrede calculs.Considérons une fonction g : [a,b]→ IR strictement croissante, continue et telle que g(a) < k et g(b) > k. Alorsl’équation g(x) = k admet une unique solution c dans ]a,b[ d’après le TSU. Pour obtenir une valeur approchéede c, on va « dichotomer » le segment [a,b], c’est à dire qu’on va le couper en deux, par exemple par le milieum = (a+ b)/2. Le monde alors se sépare en deux catégories :

. si g(m) < k, alors c ∈]m,b[

f(b)

f(a)a b0

k

cm x

y

. si g(m) > k, alors c ∈]a,m]

f(b)

f(a)

a b0

k

c m x

y

En répétant ce procédé, on pourra construire une suite de segments « emboîtés » contenant c, centrés en mn etde longueurs aussi petites que l’on veut. Vous pourrez peut-être démontrer l’année prochaine que la suite (mn)converge vers c, et que les différentes valeurs de mn sont autant de valeurs approchées de c.Téhessin : Mais à quoi sert cette méthode puisque ma calculatrice possède la fonction solve?


Mathémator : Justement, le (la) programmeur(se) de votre calculatrice a probablement utilisé cette méthode,associée à d’autres, pour écrire le programme associé à la touche solve. Un futur scientifique et informaticiencomme vous doit donc connaître la méthode de dichotomie.

Pour mettre tout ceci en pratique, vous allez utiliser un tableur pour déterminer une valeur approchée de x0 à10−7 près. Vous utiliserez la fonction SI, la poignée d’étirement. Vous inscrirez en première ligne n, le nombre de« dichotomies », a, b, (a+ b)/2, f(a), f(b), f

((a+ b)/2

).

TÉHESSIN IVfonctions dérivables

Résumé Nous allons découvrir à travers deux exemples les motivationsqui ont amené les mathématiciens à définir la dérivée d’une fonction en unpoint. Nous verrons quelques-unes des applications concrètes de la dérivationet surtout son lien avec les variations des fonctions.

A - DÉRIVATION EN UN POINT

A - 1 : Qu’est-ce que la vitesse instantanée?

Mathémator : Téhessin, lorsqu’un de nos vaillants représentants de l’ordre établi dit qu’une navette spatiale aété contrôlée à 145 000 km/h par un radar, s’agit-il d’une vitesse moyenne ou une vitesse instantanée?Téhessin : C’est une vitesse instantanée, la vitesse à l’instant précis où la navette est passée devant le radar.Alors qu’une vitesse moyenne se calcule sur tout un trajet. Elle est égale au rapport de la longueur du trajet parsa durée.

Mathémator : En ce qui concerne la vitesse moyenne, d’accord. Plus précisément, pour un mouvement rectiligneoù l’on repère le mobile par son abscisse x(t) à l’instant t, la vitesse moyenne entre les instants t1 et t2 est le tauxd’accroissement de la fonction x entre ces deux instants,

Vmoy =x(t2)− x(t1)

t2 − t1 =∆x∆t

.

Mais comment pourrait faire un radar pour mesurer une vitesse à un instant précis? Il ne peut que chronométrerla navette entre deux points A et B. Et même si ces points sont très proches, la vitesse qu’il affiche est en réalitéla vitesse moyenne du trajet de A à B.Téhessin : Oui, mais comme ce trajet est extrèmement court, on peut considérer que c’est presque une vitesseinstantanée.

Mathémator : C’est une remarque intéressante, mais vous noterez que nous n’avons toujours pas de définitionde la vitesse instantanée V (t) à un instant t. En disant que la vitesse moyenne sur un petit intervalle de temps[t,t+ ∆t] constitue une bonne approximation de V (t), vous donnez l’idée de la définition, mais vous raisonnez làen physicien. Plutôt que de considérer que V (t) est une vitesse moyenne

x(t+ ∆t)− x(t)t+ ∆t− t =

x(t+ ∆t)− x(t)∆t

avec ∆t petit, le mathématicien préfère utiliser l’outil des limites en définissant la vitesse instantanée par

V (t) = limh→0

x(t+ h)− x(t)h

.

C’est une utilisation très importante de la notion de limite, qui a permis à la fin du XVIIe siècle de l’ancienne èrede formuler de manière précise les notions de vitesse et d’accélération.

34 FONCTIONS DÉRIVABLES

A - 2 : Comment calculer la pente d’une tangente?

Mathémator : Observons par exemple la courbe représentative Γf de la fonction f : IR+ → IR, x 7→ x2 etplaçons-nous en A, le point de la courbe d’abscisse a avec a > 0.

Figure IV. 1

Parmi toutes les droites passant par A, peut-on en trouver une qui soit, au voisinage de A, « plus proche de Γfque toutes les autres »?Téhessin : Je pense que oui. En faisant pivoter une droite autour de A, on voit qu’il y a une sorte de positionlimite pour laquelle la droite et le courbe seront « presque confondues » au voisinage de A.

Figure IV. 2

Mathémator : Bonne idée ! Je ne vais pas rentrer dans les détails de la définition de la tangente, mais vous deveztout de même savoir que cette droite T dont nous parlons s’appelle la tangente à la courbe Γf au point A. Lemot tangente vient du latin tangere qui veut dire toucher.Téhessin (à part) : Il aurait mieux valu l’appeler la « touchante ».Mathémator : Il est maintenant naturel de se demander quelle est l’équation cartésienne de T . Puisqu’elle passepar A, vous vérifierez que son équation est de la forme

T : y = p (x− a) + f(a)

où p est sa pente, inconnue pour le moment. Pour calculer p, on peut reprendre votre image des droites qui


pivotent autour de A.

Figure IV. 3

Quand h tend vers 0, le point Mh de Γf d’abscisse a + h se rapproche indéfiniment de A, et la droite (AMh)semble « tendre vers la droite T ». Attention, nous n’avons pas défini comment une droite pouvait tendre versune autre droite, c’est juste une image, mais cela laisse quand même penser que p est la limite de la pente ph dela droite (AMh) quand h tend vers 0. La pente ph est donnée par le taux d’accroissement

ph =yMh− yA

xMh− xA =

(a+ h)2 − a2

h.

En développant (a+ h)2 , on a

ph =a2 + 2ah+ h2 − a2

h= 2a+ h

et on en déduit la valeur de p :p = lim

h→0ph = 2a

Vous pouvez bien entendu refaire le même type de raisonnement pour calculer d’autres pentes de tangentes.

A - 3 : Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction en un point?

Mathémator : Les deux problèmes que nous venons de voir, ceux de la vitesse instantanée et de la tangente,vous ont convaincu, j’espère, de l’importance fondamentale en mathématiques et en physique de la limite du tauxd’accroissement d’une fonction. Il fallait absolument lui donner un nom.

Définition IV-1Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR, et soit a un élément I.

On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissementf(x)− f(a)

x− a admet une limite finie quand x

tend vers a. Cette limite est alors appelée dérivée de f en a, et est notée f ′(a) :

f ′(a) = limx→a, x 6=a

f(x)− f(a)x− a .

ou encoref ′(a) = lim

h→0

f(a+ h)− f(a)h

Ainsi, la vitesse instantanée V (t) n’est autre que x′(t), la dérivée en t de la fonction position x. Et la pente de latangente à la courbe d’équation y = f(x) au point d’abscisse a est égale à f ′(a), la dérivée de f en a.


A - 4 : Le taux d’accroissement a-t-il toujours une limite finie?

Mathémator : Il n’y a aucune raison pour cela ; de la même manière, il est tout à fait possible qu’une courben’admette pas de tangente en un point. Regardez par exemple la courbe représentative Γf de la fonction

f : IR→ IR, x 7→ |x2 − 1|.

Figure IV. 4

Les points de Γf d’abscisses -1 et 1 ont une particularité, laquelle Téhessin?Téhessin : Ils sont anguleux. Si on se promène sur Γf , on change brutalement de direction en traversant l’un deces points.

Mathémator : Exactement, et ce phénomène est lié au fait que le taux d’accroissement en ces points là n’a pasde limite finie. Par exemple, le taux d’accroissement entre 1 et x vaut

f(x)− f(1)x− 1

=|x2 − 1|x− 1

=

x+ 1 si x > 1,−(x+ 1) si x < 1,

et n’a pas de limite quand x tend vers 1.Téhessin : Oui, mais il a une limite à droite et une limite à gauche. On pourrait peut-être dire que Γf a deuxtangentes au point d’abscisse 1.

Mathémator : Non, on préfère dire que Γf a deux demi-tangentes en ce point. Et on dit que f admet unedérivée à droite et une dérivée à gauche en 1, égales par définition aux limites à droite et à gauche en1 du taux d’accroissement. Ces dérivées à droite et à gauche de f en 1 sont bien entendu les pentes des deuxdemi-tangentes.Un autre cas de figure fréquent est celui où le taux d’accroissement de f a une limite infinie en a. Dans ce cas,f n’est pas dérivable en a, mais sa courbe représentative admet au point d’abscisse a une tangente verticale.L’exemple le plus classique est celui de la fonction racine carrée en 0. Vous le vérifierez à titre d’exercice.On pourrait enfin se demander ce qui se passe si f n’est pas continue en a...

A - 5 : Y a-t-il un rapport entre dérivabilité en a et continuité en a?

Mathémator : On se demandait à l’instant s’il était possible que f ne soit pas continue en a mais que son tauxd’accroissement ait quand même une limite finie en a. On peut commencer par examiner un cas particulier, parexemple la fonction

f : IR→ IR, x 7→

1 si x > 0,0 si x 6 0.


Cette fonction n’est pas continue en 0, et le taux d’accroissement

f(x)− f(0)x− 0

=

1x

si x > 0,

0 si x < 0,

n’a pas de limite quand x tend vers 0+.

Téhessin : Il semblerait donc que si f n’est pas continue en a, alors f n’est pas dérivable en a. Ce qui reviendraità dire que la dérivabilité en a entraîne la continuité en a. Encore faudrait-il le prouver !

Mathémator : Eh bien allons-y ! L’hypothèse est que τa(x) =f(x)− f(a)

x− a a une limite finie quand x tend vers

a, et on veut montrer qu’il en est de même pour f(x). L’idée est simple, elle consiste à exprimer f(x) en fonctionde τa(x). On obtient

pour tout x 6= a f(x) = f(a) + τa(x) (x− a)

Or (x− a) tend vers 0 et τa(x) tend vers f ′(a), donc (x− a)τa(x) tend vers 0 d’où f(x) tend vers f(a).On en déduit facilement que f a des limites à droite et à gauche en a égales à f(a), c’est-à-dire que f est continueen a.

Donc toute fonction dérivable en a est continue en a. Mais attention, la réciproque est fausse comme lemontre l’exemple précédent de la fonction x 7→ |x2 − 1| qui est continue mais pas dérivable en 1.

A - 6 : Comment peut-on approcher f(x) au voisinage de a lorsque f estdérivable en a?

Téhessin : Comme f est dérivable en a, elle est continue en a, et on peut approcher f(x) par f(a) carlimx→a

f(x) = a.

Mathémator : C’est vrai, mais on peut faire encore mieux. Appelons A le point de Γf d’abscisse a et T latangente à Γf en A. Par construction de la tangente, T et Γf « se confondent presque au voisinage de A ». Etcomme T a pour équation y = f(a) + f ′(a) (x − a), cela veut dire grossièrement que, si x est proche de a, alorsf(a) + f ′(a) (x− a) est proche de f(x). Il semble même sur un dessin que l’erreur

e(x) = f(x)− (f(a) + f ′(a) (x− a))

soit beaucoup plus petite que x− a.

Figure IV. 5


Le calcul le confirme puisque

limx→a, x 6=a

e(x)x− a = lim

x→a,,x 6=a

(f(x)− f(a)

x− a − f ′(a))

= 0.

Autrement dit, l’erreur e(x) est « négligeable » devant (x− a)Nous ne pouvons pas définir cette notion rigoureusement en Terminale, mais retenons que

0 ' f(x)−(f(a) + (x− a)f ′(a)

)

Approximation locale d’une courbe par sa tangente

f(x) 'af(a) + (x− a)f ′(a)

On peut donc « approcher » localement une fonction dérivable par une fonction affine, c’est à dire géométriquementune courbe par un segment de droite.

Examinons par exemple le cas de la fonction f : x 7→ 11− x au voisinage de 0. Comme f(0) = f ′(0) = 1, on a

11− x '0 1 + x× 1 = 1 + x

La calculatrice donne f(1/100) ' 1,0101010101

1 + 1/100 = 1,01

Donc l’erreur commise en approchant f(1/100) par 1 + 1/100 est de l’ordre de 10−4, et elle est négligeable devant

1/100. Ainsi, s’il s’autorise une incertitude de 10−3, le physicien pourra considérer que1

1− x ' 1 + x lorsque

|x| 6 1/100.

A - 7 : Que peut-on dire de la dérivée d’une fonction en un extremumlocal?

Mathémator : Supposons donc que f est dérivable et qu’elle admet un extremum local en x0. Que peut-on direde f ′(x0)?Téhessin : D’après mon dessin, si x0 est intérieur à I, i.e. distinct des extrémités, alors f ′(x0) = 0.

Figure IV. 6


Mathémator : C’est exact, et la preuve est simple. Comme x0 est intérieur à I, le taux d’accroissement

T (x) =f(x)− f(x0)

x− x0

a une limite à gauche et à droite en x0 toutes deux égales à f ′(x0). Or, si par exemple f admet un minimum localen x0, alors il existe β > 0 tel que ]x0 − β,x0 + β[⊂ I et

pour tout x ∈]x0 − β,x0] f(x) > f(x0) etdonc T (x) 6 0,pour tout x ∈ [x0,x0 + β[ f(x) > f(x0) etdonc T (x) > 0.

Donc en passant à la limite à gauche et à droite en x0, on obtient

f ′g(x0) 6 0 et f ′d(x0) > 0

Or f ′g(x0) = f ′d(x0) = f ′(x0) donc f ′(x0) 6 0 et f ′(x0) > 0. Finalement f ′(x0) = 0.

Théorème IV-1Soit I un intervalle, c un point intérieur à I et f une fonction de I vers IR dérivable en c. Si f admet un extremumlocal en c, alors f ′(c) = 0.

Et maintenant, passons au cas où x0 est une extrémité de I.Téhessin : D’après cet autre dessin, il semble que f ′(x0) ne soit pas nécessairement nul. Donc je pense qu’on nepeut rien dire.Il est vrai que x0 n’est pas nécessairement un zéro de f ′. Par exemple, si I = [a,b] et si f ′ est strictement positive,alors f admet un minimum local en a, un maximum local en b, mais f ′ ne s’annule ni en a ni en b.

Figure IV. 7

Néanmoins, il ne faut pas croire que l’on ne peut rien dire de f ′(x0). Si par exemple f admet un minimum local enx0 et si x0 est l’extrémité gauche de I, on montre comme précédemment que f ′(x0) > 0. Et si x0 est l’extrémitédroite de I, alors f ′(x0) 6 0.Faîtes très attention à la réciproque qui est en général fausse :

Figure IV. 8


B - VARIATIONS DES FONCTIONS

B - 1 : Quel est le lien entre le sens de variation de f et le signe de f ′?

Mathémator : Par définition,

Définition IV-2Une fonction f définie sur une partie D de IR à valeurs dans IR est croissante lorsque

pour tout couple (x,y) ∈ D2 x < y =⇒ f(x) 6 f(y)

Il est facile de voir que c’est équivalent à

pour tout couple (x,y) ∈ D2 x 6= y =⇒ f(y)− f(x)y − x > 0,

ou encore au fait que tous les taux d’accroissements sont positifs ou nuls. Donc, par un simple passage à la limite,on en déduit que si f est croissante et dérivable, alors f ′ est positive. Et de même, si f est décroissante et dérivable,alors f ′ est négative.Et maintenant, que pensez-vous des réciproques, Téhessin?Téhessin : Si par exemple, f est dérivable et f ′ toujours négative, alors les tangentes au graphe de f ont toutesune pente négative.

Figure IV. 9

On doit pouvoir en déduire que f est décroissante.

Mathémator : Attention Téhessin, votre interprétation graphique est bonne, mais elle n’est valable que dans lecas particulier où f est définie sur un intervalle. Car sinon, f n’est pas nécessairement monotone. Par exemple,la fonction

g : IR∗ → IR,x 7→ 1x


a une dérivée toujours négative mais n’est pas décroissante puisque g(−1) < g(1).

Figure IV. 10

En revanche, si D est un intervalle, un théorème hors-programme permet de conclure.Et comme une fonction est constante si et seulement si elle est à la fois croissante et décroissante, on en déduitque f est constante si et seulement si f ′ = 0. On peut donc énoncer ce théorème fondamental.

Théorème IV-2Soit I un intervalle de IR et f une fonction dérivable de I vers IR. Alors• f est croissante si et seulement si f ′ > 0.• f est décroissante si et seulement si f ′ 6 0.• f est constante si et seulement si f ′ = 0.

B - 2 : À quelle condition sur f ′ la fonction f est-elle strictement crois-sante?

Mathémator : On suppose bien sûr pour ce problème que f est dérivable et définie sur un intervalle I. Sinon,aucune condition sur f ′ ne suffira à assurer que f est strictement croissante.Téhessin : Alors je pense que la condition est que f ′ soit strictement positive.

Mathémator : Il est vrai que si f ′ est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I. Maisla réciproque est fausse ! La fonction IR → IR, x 7→ x3 est strictement croissante mais sa dérivée est nulle en 0.J’aimerais que nous trouvions une condition nécessaire et suffisante sur f ′ pour que f soit strictement croissante.Téhessin : Alors autre proposition : f ′ est positive ou nulle, et s’annule au plus en un nombre fini de points.

Mathémator : C’est toujours suffisant..., mais ça n’est toujours pas nécessaire. Il pourrait y avoir une infinité


de « paliers » comme sur ce dessin.

Figure IV. 11

Téhessin (à part) : Il me fatigue avec ses contre-exemples.Mathémator : Néanmoins, vous approchez du but. Voici le résultat.

Théorème IV-3Soit I un intervalle de IR et f une fonction dérivable de I vers IR. Alors f est strictement croissante équivaut à :f ′ est positive ou nulle et il n’existe pas de segment [a,b] de I avec a < b tel que f ′(x) = 0 pour tout x ∈ [a,b].

En effet, si f est strictement croissante, alors elle est croissante et donc f ′ est positive, et d’autre part, f ′ ne peutpas être nulle en tous les points d’un segment [a,b] avec a < b car sinon, f serait constante sur [a,b].Réciproquement, supposons les conditions sur f ′ vérifiées et montrons que f est strictement croissante. On sedonne deux éléments x et y de I tels que x < y. Alors d’une part f(x) 6 f(y) car f est croissante puisque f ′ > 0.Et d’autre part, l’égalité f(x) = f(y) entraînerait que f est constante sur [x,y] compte tenu de la croissance def , ce qui ne serait possible que si f ′ était nulle sur [x,y]. La preuve est finie !

B - 3 : Faut-il toujours étudier le signe de f ′ pour déterminer le sens devariation de f ?

Mathémator : Ce n’est pas toujours la meilleure méthode. Car si par exemple f est composée de fonctionsmonotones, le calcul de f ′ sera souvent plus compliqué qu’un raisonnement direct. Prenons par exemple la fonction

f : IR→ IR, x 7→√

1 +√

1 + x2

La fonction x 7→ x2 est décroissante sur IR− et croissante sur IR+. Donc comme la fonction t 7→ √1 + t estcroissante, f est décroissante sur IR− et croissante sur IR+. On a juste utilisé que la composée de deux fonc-tions croissantes est croissante, et que la composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante estdécroissante.


C - EXERCICES - CONTINUITÉ ET DÉRIVATION

Exercice IV-1Une preuve de la divergence de certaines suites géométrique

1) Montrez que, pour tout réel positif x et tout entier naturel non nul n, on a

(1 + x)n > 1 + nx

déterminezlesignede(1+x)n−1−nxenétudiantunefonction.

2) Que peut-on en déduire concernant les suites géométriques?

Exercice IV-2Étude d’une fonction irrationnelle avec problème de dérivabilité en un point.Étudiez et représentez graphiquement la fonction

f : x→ 25

√25− x2

pourladérivabilitéen5,utilisezlalimitedutauxd’accroissement.

Exercice IV-3Étude d’une fonction trigonométrique.Étudiez et représentez graphiquement la fonction

f : x→ tanx =sinxcosx

commencezparréglerlesproblèmesdedéfinition,depériodicitéetdeparité.

Exercice IV-4Dans l’esprit du Bac...

On considère la fonction f définie sur IR par f(x) =x3 − 4x2 + 1

et on note C sa courbe représentative dans un repèreorthonormé d’unité 1cm.

1) On pose g(x) = x3 + 3x+ 8.a) Étudiez le sens de variation de g et montrez que l’équation g(x) = 0 admet sur IR une unique solution

α dont vous donnerez un encadrement d’amplitude 10−2.

emploiclassiqueduthéorèmedelabijection.

b) Précisez le signe de g(x) suivant les valeurs de x.2) a) Étudiez les limites de f en −∞ et +∞.

b) Calculez f ′(x) et dressez le tableau de variation de f .3) a) Montrez qu’il existe quatre réels a, b, c, et d tels que

f(x) = ax+ b+cx+ d

x2 + 1

b) Déduisez en que (C) admet une asymptote oblique ∆ et étudiez la position de (C) par rapport à ∆.Vérifiez en particulier que (C) rencontre ∆ en un unique point ∆.

4) Déterminez les abscisses des point B et B′ de (C) admettant une tangente parallèle à ∆.

deuxdroitesparallèlesontlemêmecoefficientdirecteur...


5) a) Vérifiez que f(α) = 3α/2. Déduisez en une valeur approchée de f(α).

utilisezlefaitqueg(α)=0.

b) Tracez ∆, (C) ainsi que les points A, B, B′ et M , N , P d’abscisses respectives 1, 2 et −1, sans oublierles six tangentes en ces points.

Exercice IV-5Résolution analytique d’un problème géométrique. Extremum d’une fonction.Un triangle ABC isocèle, de sommet principal A, est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. H est lepied de la hauteur issue de A. On note α la mesure en radian de l’angle HOC. On suppose enfin que 0 6 α 6 π/2.

1) a) Exprimez BC et AH en fonction de α.

sinopphypcosadjhyp

b) En déduire, en fonction de α, l’aire du triangle ABC.2) On considère la fonction f définie sur [0,π/2] par

f(α) = sinα(1 + cosα)

Calculez la dérivée f ′ de f et prouvez que, pour tout réel α de [0,π/2], on a f ′(α) = 2 cos2 α+ cosα− 13) a) Factorisez le polynôme 2X2 +X − 1 et en déduire une factorisation de f ′(α)

b) Dressez alors le tableau de variations de f .4) Démontrez qu’il existe une valeur de α, que vous déterminerez, pour laquelle l’aire du triangle ABC est

maximale. Précisez ce maximum. Quelle est alors la nature du triangle ABC ?

Exercice IV-6Problème d’optimisation : les dents de la mer VIIIAlbert est un fervent adepte de la plongée sous-marine. Alors qu’il se trouve en A et s’émerveille devant la beautédu paysage aquatique, il aperçoit au loin un requin d’une taille qui le dissuade de poursuivre plus avant sonexploration des fonds marins et décide de rejoindre son bateau situé en B. À quel endroit doit-il rejoindre lasurface pour que le temps de parcours soit minimal?

A

H M(x) B

18m

30m

Grâce à l’adrénaline secrétée par la portion médullaire de ses glandes surrénales, Albert se déplace à la vitesse de7,2 km.h−1 sous l’eau et à la vitesse de 9 km.h−1 en surface. On supposera que la surface de l’eau est rectiligne,que la dérive due au courant est nulle et que la trjectoire d’Albert est une ligne brisée.

RECETTES À BAC - ANALYSE

- 1 : Comment montrer qu’une fonction est dérivable?

Là où la fonction est définie, les théorèmes opératoires permettent en général de conclure.Par exemple x 7→ (x+ 1)ex + sinx est dérivable sur IR comme produit et somme de fonctions dérivables.Faîtes néanmoins attention à des fonctions comme x 7→ √x où x 7→ |x| : elles ne sont pas dérivables en zéro, mêmesi elles sont définies et même continues en zéro.

Là où il y a « problème », i.e. là où les théorèmes habituels ne permettent pas de conclure, il faut revenir àla définition utilisant la limite du taux de variation. Ainsi f sera dérivable en a lorsque le taux d’accroissementf(x)− f(a)

x− a admet une limite finie lorsque x tend vers a. Alors

f ′(a) = limx→a, x 6=a

f(x)− f(a)x− a = lim

h→0

f(a+ h)− f(a)h

Par exemple, soit f : x 7→ (x − 1)√

1− x2, définie sur [−1,1]. Les théorèmes opératoires montrent que f estdérivable sur ] − 1,1[ comme composée et produit de fonctions dérivables sur ] − 1,1[ mais ne permettent pas deconclure en −1 et en 1.Au voisinage de 1, étudions la limite du taux de variation

f(x)− f(1)x− 1

=(x− 1)

√x2 − 1

x− 1=√x2 − 1

Alors limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= 0 et donc f est dérivable en 1 avec f ′(1) = 0.

Au voisinage de −1, le taux de variation s’écrit

(x− 1)√

1− x2

x+ 1=

(x− 1)√

1− x√1 + x√1 + x

√1 + x

=(x− 1)

√1− x√

1 + x

Ainsi limx→−1

f(x)− f(−1)x+ 1

= −∞. La fonction f n’est donc pas dérivable en −1. Nous pouvons malgré tout déduire

du résultat que la courbe admet au point d’abscisse −1 une tangente verticale ( car de « pente infinie »).

- 2 : Comment étudier la position relative de deux courbes?

Soit C la courbe d’équation y = f(x) et C′ la courbe d’équation y = g(x). Pour étudier la position relative de Cet C′, il faut étudier le signe de f(x)− g(x).En effet, si nous obtenons par exemple f(x) − g(x) > 0 sur l’intervalle I, alors f(x) > g(x) sur I et donc C estau-dessus de C′ sur I.

- 3 : Comment montrer qu’une courbe admet une asymptote d’équationy = ax+ b au voisinage de ω?

Il suffit de montrer que [f(x)− (ax+ b)] tend vers 0 quand x tend vers ω.

46 RECETTES À BAC - ANALYSE

- 4 : Quel lien existe-t-il entre tangente et fonction dérivée?

Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente au point d’abscisse a d’équation

y = (x− a) · f ′(a) + f(a)

Retenez bien que Ta admet comme coefficient directeur f ′(a).

- 5 : Comment résoudre dans IR l’équation 2x− 32 = 0?

Je ne pense pas que la résolution de cette équation vous pose d’énormes problèmes. Profitons-en pour « décorti-quer » le raisonnement sous-jacent.Tout d’abord, nous pouvons nous demander ce que signifie « résoudre une équation ».Une équation est une proposition mettant en œuvre une égalité, ici 2x− 32 = 0.Cette proposition peut être fausse : si nous donnons à x la valeur 0, nous obtenons −32 = 0.Elle peut être vraie : si nous donnons à x la valeur 16, nous obtenons 0 = 0.Résoudre l’équation dans l’ensemble des nombres réels, c’est donc déterminer les éléments de IR qui rendent vraiela proposition.Nous pouvons décomposer la résolution d’une équation en deux phases. transformer la proposition, i.e. déterminer une proposition réputée plus simple que la première mais qui

admette le même ensemble de solutions;. déterminer l’ensemble des solutions.Ici, appelons (E) la proposition 2x− 32 = 0(E)⇐⇒ 2x− 32 + 32 = 32Le symbole ⇐⇒ signifie ici que les deux prositions ont le même ensemble de solutions

(E)⇐⇒ 2x = 32(E)⇐⇒ 2x/2 = 32/2(E)⇐⇒ x = 16Nous pouvons nous arrêter là car la dernière proposition n’est vraie que si nous donnons à x la valeur 16. Or 16est un nombre réel, donc finalement l’équation proposée admet une unique solution, le réel 16.

- 6 : Comment montrer qu’une fonction est paire?

Il faut vérifier que l’ensemble de définition de f est symétrique par rapport à zéro puis que pour tout réel x del’ensemble de définition f(−x) = f(x).Nous en déduisons que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Il suffira donc d’étudier lafonction sur la « moitié » de l’ensemble de définition, puis de déduire le reste de la courbe par symétrie.

- 7 : Comment montrer qu’une fonction est impaire?

cf le paragraphe précédent en remplaçant f(−x) = f(x) par f(−x) = −f(x) et « symétrique par rapport à l’axedes ordonnées » par « symétrique par rapport à l’origine du repère ».

- 8 : Comment montrer qu’une courbe admet le point A(a,b) commecentre de symétrie?

Faîtes avant tout un dessin pour visualiser que A est le milieu du segment [MM ′] avecM(x,f(x)

)etM ′

(x′,f(x′)

).

Alors d’une partx+ x′

2= a, donc x′ = 2a− x et d’autre part

f(x) + f(x′)2

= b, i.e.

f(x) + f(2a− x) = 2b


- 9 : Comment montrer qu’une fonction est périodique?

Il s’agit de trouver un réel T tel que pour tout réel x appartenant à l’ensemble de définition de f , alors

f(x+ T ) = f(x)

Il suffira alors d’étudier la fonction sur un intervalle de longueur T , par exemple [0,T ], puis de déduire le reste dela courbe par des translations successives de vecteur k

−→i , avec k ∈ ZZ.

Vous connaissez bien sûr la fonction sinus qui vérifie sin(x + 2π) = sinx pour tout réel x et qui est donc 2π-périodique.

- 10 : Comment étudier le signe d’une expression?

Vaste problème...Retenir malgré tout qu’en règle général, nous savons étudier le signe d’un produit ou d’unquotient de polynômes du 1er ou du 2nd degré, d’exponentielles ( qui sont toujours positives ), de cosinus ou desinus, de logarithmes népériens... Vous chercherez donc en général à factoriser ou à réduire au même dénominateurvotre expression.Si cela s’avère impossible algébriquement, on vous suggérera d’étudier une fonction. Alors soit elle admettra commeextremum zéro, soit vous déterminerez une approximation de la valeur d’annulation de f grâce au théorème dela bijection et vous conclurez à l’aide du tableau de variations.

- 11 : Qu’est-ce qu’une fonction croissante sur I ?

C’est une fonction qui conserve l’ordre sur I.

- 12 : Comment lever une indétermination?

Il n’y a pas une méthode mais des méthodes. Il ne s’agit donc pas d’apprendre par cœur des recettes (tiens tiens...),ce qui vous induirait à écrire de grosses sottises.Vous pouvez dans un premier temps repérer des termes « négligeables » devant d’autres et factoriser par le plus« fort » (c’est le cas par exemple des fonctions rationnelles au voisinage de +∞ ou −∞).Vous pouvez minorer ou majorer par des valeurs permettant de conclure à l’aide des théorèmes de comparaison(c’est le cas de la fonction cosinus qui vérifie −1 6 cosx 6 1 pour tout réel x et donc −1/x 6 (cosx)/x 6 1/xpour x 6= 0 et finalement lim

x→+∞(cosx)/x = 0 par application du théorème des gendarmes.

Vous pouvez utiliser les propriétés algébriques de certaines fonctions pour retrouver des limites connues (e−x =1/ex, ln(1/x) = − lnx, x2 + 1 =

√x2 + 1

√x2 + 1...)

Dans le cas de l’étude de limites de fonctions irrationnelles, le recours à la quantité conjuguée peut s’avérer utile.Dans les cas désespérés, vous pouvez essayer de reconnaître la limite d’un taux de variation et donc utiliser ladérivée associée.

- 13 : Comment montrer qu’une fonction admet un extremum local ena ?

Montrer que la dérivée s’annule en a en changeant de signe.

48 RECETTES À BAC - ANALYSE

- 14 : Comment résoudre une équation ou une inéquation trigonomé-trique?

Dessinez un cercle trigonométrique ! N’oubliez pas les « +2kπ » et connaissez parfaitement les lignes trigonomé-triques de 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 2π.

- 15 : Comment avoir 20/20 au Bac?

Ce n’est pas difficile, je vais vous donner le secret :

LES COMPLEXES

A - À PROBLÈME SIMPLE, SOLUTION...« COMPLEXE »

A - 1 : Trouvons deux nombres m et n dont la somme vaut 10 et leproduit 40

Préambule : développez (x−α)(x−β) et en déduire que m et n sont les solutions d’une équation du second degré.

Il y a pourtant un hic, lequel?

Un petit dessin traduisant que m+ n = 10 :

0 5 10x

m n

Nous pouvons donc écrire les deux nombres cherchés sous la forme

m = 5 + x n = 5− xN’oublions pas la deuxième condition

40 = mn = (5 + x)(5− x)

Nous en déduisons que x2 = horreur ! Un carré négatif !Nous nageons en pleine mathématique-fiction, alors allons-y gaiement ! Introduisons une créature extra-réelle.Puisque

x2 = (−1)× 15

alors extrayons la racine carrée de ce monstre√x2 =

√−1√

15 i.e. x = ±√−1√

15

Fichtre, ce√−1 nous fait froid dans le dos, mais rassurons-nous, tout ceci n’est pas...réel.

Revenons à notre problème simple en choisissant par exemple x =√−1

√15, alors

m+ n =(5 +√−1

√15)

+(5−√−1

√15)

=etmn =

A - 2 : i, le nombre dont le carré vaut −1

Diantre ! Nous aurions donc trouvé une solution à notre problème simple !Ce√−1 joue un rôle crucial, c’est le héros de notre aventure de mathématique-fiction, cette version de Frankenstein

à la sauce algébrique. Donnons un nom à cette créature pour masquer son aspect monstrueux. Posons√−1 = i soit encore i2 = −1

i ? Oui, i comme imaginaire, car les savants italiens qui l’ont découvert au XV Ie siècle ont été effarés par cenombre venu d’ailleurs. On doit à Raphaël Bombelli la lumineuse idée de calculer avec ces nombres imaginairesen utilisant les règles usuelles du calcul, mais en tenant compte systématiquement du fait que i2 = −1.

50 LES COMPLEXES

Nous obtenons ainsi, par exemple, que

(1 + i) + (2− 3i) = 3− 2i et (1 + i)(2− 3i) = 2− 3i+ 2i− 3i2 = 5− i

En fait, historiquement, les nombres imaginaires ont été introduits pour être utilisés « momentanément » pourrésoudre des problèmes réels.

Giralomo Cardano a en effet établi en 1547 que

Une solution de l’équation x3 = px+ q est3

√q

2+

√q2

4− p3

27+

3

√q

2−√q2

4− p3

27

Utilisez cette formule pour trouver une solution de

(E1) : x3 = 36x+ 91

Faîtes de même avec (E2) x3 = 15x+ 4

Un léger problème apparait. Pour s’en débarrasser, vérifiez que

(2 + i)3 = 2 + 11i (2− i)3 = 2− 11i (11i)2 = −121

En déduire une solution a de (E2), puis deux autres en factorisant par (x− a).


B - INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COM-PLEXES

B - 1 : Partie réelle, partie imaginaire

Le monde réel est simple : c’est une droite où tous les nombres viennent se ranger à la queue-leu-leu.

Un nombre du type 3 + 2i a un aspect plus complexe, c’est une sorte de centaure, moitié homme, moitié bêteou plutôt moitié réelle, moitié imaginaire.

3 + 2i

Il ne peut tenir tout entier sur l’axe réel. Seule la partie réelle va y prendre place. Quant à la partie imaginaire,il faut la placer dans les airs, dans une nouvelle dimension : un second axe.

Les nombres complexes vivent donc dans un monde à deux dimensions : on les identifie à des points repéréspar leurs coordonnées dans un repère orthonormal direct

(O,−→e1 ,

−→e2

)

B - 2 : Effets de la multiplication d’un nombre complexe par −1 et par−i

Soit z = 3 + 2i, alors −1× z = −3− 2i et i× z = 3i+ 2i2 = −2 + 3i. Notons M , M ′ et M ′′ les points d’affixes

52 LES COMPLEXES

respectives z, −z et iz

Ô monde merveilleux ! Une multiplication par i se traduit par un quart de tour, une multiplication par −1 setraduit par un demi-tour, deux multiplications successives par i, c’est à dire une multiplication par i2 = −1 setraduit bien par deux quarts de tour, i.e. un demi tour.

C - UN EXERCICE DE BAC

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O,−→u ,−→v ).On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z, (z 6= −1), associe le point M ′ d’affixe z′ tel que :

z′ =−iz − 2z + 1

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = −1, b = 2i et c = −i.1) Soit C ′ l’image du point C par f . Donner l’affixe c′ du point C ′ sous forme algébrique puis sous forme

trigonométrique.2) Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D′ d’affixe d′ = 1/2.3) Pour tout nombre complexe z différent de −1, on note p le module de z + 1 et p′ le module z′ + i.

a) Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1, on a pp′ =√

5.b) Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer que, dans ce cas, M ′ = f(M)

appartient à un cercle (Γ′), dont on précisera le centre et le rayon.

4) Pour tout nombre complexe z différent de −1, on considère le nombre complexe ω =z − 2iz + 1

a) Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe ω.b) Montrer que z′ = −iω.c) Déterminer l’ensemble (C) des points M d’affixe z telle que z′ soit un réel non nul.d) Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ)et (C).

5) Représenter les ensembles (Γ), (C) et (Γ′) en prenant 4 cm pour unité graphique.(Bac 2001)

D - UN AUTRE EXERCICE DE BAC

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (O,−→u ,−→v ) d’unité graphique 2cm, on considèreles points A et B d’affixes respectives zA = −1 et zB = 3i.


Soit la fonction f de P privé du point A dans P qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z′ telque

z′ = i

(z − 3iz + 1

)(1)

1) Soit C le point d’affixe zC = 2− i. Montrez qu’il existe un seul point D tel que f(D) = C.2) Déterminez la nature du triangle ABC.3) À l’aide de l’égalité (1), montrez que, pour tout M distinct de A et B

OM ′ =BM

AMet

(−→u ,−−−→OM ′)

=π

2+(−−→MA,

−−→MB

)+ 2kπ, k ∈ ZZ

4) Déduisez-en et construisez les ensembles de points suivantsa) L’ensemble (E) des points M tels que l’image M ′ soit située sur le cercle (Γ) de centre O et de rayon

1.b) L’ensemble (F ) des points M tels que l’affixe de M ′ soit réelle.

5) On considère la rotation R de centre O et d’angle π/2. On note C1 l’image de C par R.a) Déterminez l’affixe de C1.b) Montrez que C1 appartient à l’ensemble (F ).

(Bac 2001)

E - PROBLÈME OUVERT : CALCUL DE cos(π/8) ET sin(π/8)

En utilisant les racines carrées de 1 + i, trouver une méthode pour obtenir une formule donnant cos(π/8) etsin(π/8).

F - DU DESSIN AUX FORMULES

Caractérisez les nombres complexes z appartenant aux ensembles suivants :

G - LE CROCODILE SE MORD LA QUEUE OU COMMENTVISUALISER UNE MULTIPLICATION COMPLEXE

On voudrait comprendre « quel effet cela fait à un nombre complexe de se faire élever au carré ». Pour ça, oncherche à dessiner l’image du crocodile par l’application ϕ :

C → C

z 7→ z2.

54 LES COMPLEXES

Fig. 1 –

a. Écrivez les parties réelles et imaginaires de z2 en fonction de celles de z, puis le module et l’argument de z2

en fonction de ceux de z. Commentaire?

b. Dessinez une demi-droite issue de 0 et son image par ϕ.

c. Quelle est l’image d’un cercle centré en 0? Placez aussi les images de quelques points particuliers du cercle.

d. « Dessinez l’image du crocodile ».

e. (plus facile) Dessinez de même l’image du croco par z 7→ z + 1 + 2i, z 7→ (√

3 + i)z.

H - LES FRACTALES

Les fractales sont des objets irréguliers dont l’étude a débuté il y a une vingtaine d’années. Elles interviennent dansde nombreux domaines : modélisation des matériaux poreux et des semi-conducteurs, description mathématiquede la surface d’un nuage, étude des mécanismes financiers, infographie, c’est à dire création d’algorithmes efficacespour représenter des objets sur un écran d’ordinateur (avec un minimum de données transmises).Nous allons étudier deux fractales simples : le tamis et le tapis de Sierpinski.

H - 1 : Dessin du tamis de Sierpinski

Considérons les trois transformations de C dans C

suivantes :

T1(z) =12z T2(z) =

12z +

12

T3(z) =12z +

14

+12i

Soit E0 le triangle de sommets d’affixes 0, 1 et 1/2 + i.

1) Dessiner E0.2) Dessiner E1 = T1(E0) ∪ T2(E0) ∪ T3(E0)3) Dessiner E2 = T1(E1) ∪ T2(E1) ∪ T3(E1)

...

Si nous voulons transmettre ces dessins informatiquement, il est impossible de donner les coordonnées des sommetsde tous les triangles noircis du tamis puisqu’il y en a une infinité. En fait, il suffit de donner E0, T1, T2 et T3 etle tour est joué. C’est ce qui est utilisé sur internet.Un autre problème : quelle est la resistance électrique du tapis?

H - 2 : Dessin du tapis de Sierpinski


E0 est le carré unité.

T1(z) =13z T2(z) =

13z +

13

T3(z) =13z +

23

T4(z) =13z +

23

+13i

T5(z) =13z +

23

+23i T6(z) =

13z +

13

+23i T7(z) =

13z +

23i T8(z)

13z +

13i

I - RECETTES À BAC

Nous allons voir aujourd’hui comment accommoder les complexes à la sauce Bac.

I - 1 : Qu’appelle-t-on forme algébrique d’un nombre complexe?

C’est l’unique écriture d’un nombre complexe sous la forme a+ ib, avec a et b des nombres réels appelés respec-tivement partie réelle et partie imaginaire.

Ainsi 1,2 +15i est une forme algébrique, mais 3 + i(2− 5i) ne l’est pas, car 2− 5i n’est pas un nombre réel.

! Im(z) est un nombre réel.

I - 2 : Que représente z − 32 + 5i?

Soit A le point d’affixe 32− 5i et M le point d’affixe z, alors z − 32 + 5i = zM − zA = z−−→AM

I - 3 : Que faire de |32− iz|?|32 + iz| = |i(−32i+ z)| = |i| × |z − 32i| = |z − 32i| = AM avec M le point d’affixe z et A le point d’affixe 32i.

I - 4 : Comment mettre en évidence qu’un nombre complexe est un réel?

Nous avons au moins quatre possibilités :. Im(z) = 0. z = z

. arg(z) = kπ k ∈ ZZ

. z = |z|eikπ

I - 5 : Comment traduire qu’un complexe est un imaginaire pur?

De la même manière, nous obtenons :. Re(z) = 0. z = −z. arg(z) = kπ + π/2 k ∈ ZZ. z = |z|e(ikπ+π/2) = |z|eikπeiπ/2 = ±|z|eiπ/2

56 LES COMPLEXES

I - 6 : Que se cache-t-il derrière le quotientzC − zAzB − zA

?

Il suffit de remarquer quezC − zAzB − zA =

z−→AC

z−−→AB

. Or vous serez souvent confronté à l’interprétation d’une égalité du

stylezC − zAzB − zA = λ qui se traduit par z−→

AC= λz−−→

AB, donc

. si λ ∈ IR, alors−→AC = λ

−−→AB et donc A, B et C sont alignés.

. si λ ∈ iIR, z−→AC

= ±|λ|eiπ/2z−−→AB

et donc (AC)⊥(AB). si λ = ±i, alors le triangle ABC est isocèle et rectangle en A. si λ = e±iπ/3, alors le triangle ABC est équilatéral

I - 7 : Comment caractériser géométriquement une égalité du type |z −a| = |z − b|?Soit M d’affixe z, A d’affixe a et B d’affixe b. Alors l’égalité se traduit par AM = BM , donc M est équidistantde A et B, donc M est sur la médiatrice de [AB].

I - 8 : Comment détermine-t-on les racines carrées de x+ iy?

On cherche les réels a et b tels que (a+ ib)2 = x+ iy, ce qui conduit après développement et identification àa2 − b2 = x

2ab = ysans oublier les modules a2 + b2 =

√x2 + y2

On en déduit les valeurs de a2 et b2, puis on garde deux couples (a,b) car le signe de ab est celui de y.Cherchons les racines carrées de 4 + 3i, à savoir les nombres a+ ib tels que

a2 − b2 = 4a2 + b2 = 5

2ab = 3Ainsi a2 = 9/2 et b2 = 1/2, donc a = ±3

√2/2 et b = ±√2/2, or 2ab = 3, donc a et b sont de même signe.

Les solutions sont donc√

22

(3 + i) et −√

22

(3 + i)

I - 9 : Comment résoudre une équation du type ax2 + bx+ c = 0?

Sauf cas particuliers, on calcule le discriminant ∆.. si ∆ > 0, on sait faire;. si ∆ < 0, on obtient deux solutions complexes conjuguées

x1 =−b− i√−∆

2ax2 =

−b+ i√−∆

2a

I - 10 : Comment « rendre réel » un dénominateur imaginaire?

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.3

1 + i=

31 + i

× 1− i1− i =

3(1− i)2


I - 11 : Comment reconnaître certaines transformations du plan?

L’application t vérifie t(z) = z + z−→u si et seulement si t est la rotation de vecteur −→u .L’application h vérifie h(z) = λz λ ∈ IR si et seulement si h est l’homothétie de centre O et de rapport λ.L’application k vérifie k(z) = λ(z − zA) + zA λ ∈ IR si et seulement si k est l’homothétie de centre A et derapport λ.L’application f vérifie f(z) = eiθz si et seulement si f est la rotation de centre O et d’angle θ.L’application g vérifie g(z) = eiθ(z − zA) + zA si et seulement si g est la rotation de centre A et d’angle θ.

I - 12 : Une factorisation souvent très pratique de 1 + eiα

1 + eiα = eiα/2(e−iα/2 + eiα/2

)= 2eiα/2

(eiα/2 + e−iα/2

2

)= 2 cos(α/2)eiα/2

Ainsi, par exemple, il reste à discuter selon le signe de cos(α/2) pour obtenir module et argument de 1 + eiα carselon nos conventions, le module est positif.

J - DES EXERCICES DE BAC

Exercice VI-1trigo - ensembles de pointsLe plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;−→u ,−→v ).Dans tout l’exercice z est un nombre complexe non nul. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixez′ = − 1

z puis le point I milieu du segment [MM ′].

L’affixe de I est donc 12

(z − 1

z

).

Note : Les questions 2,3 et 4 sont largement indépendantes.

1) a) Donner une relation entre les modules de z et z′.Donner une relation entre leurs arguments.

b) Sur la figure jointe est placé le point M1 d’affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquercomment on peut obtenir géométriquement le point M ′1, puis le point I1 milieu du segment [M1M

′1].

Effectuer cette construction.2) Pour cette question , θ est un réel et M est le point d’affixe z = eiθ.

a) Calculer sous forme algébrique l’affixe de I.b) Sur la figure jointe est placé le pointM2 d’affixe z2 sur le cercle (C) de centre O et de rayon 1. Expliquer

comment, en utilisant le résultat de la question 2. a) on peut obtenir géométriquement le point I2 milieudu segment [M2M

′2]. Effectuer cette construction.

c) Donner (sans justification ) l’ensemble décrit par I lorsque M décrit (C).

3) Dans cette question, M est un point du plan distinct de O.

a) Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.b) Développer (z − 2i)2 + 3.

Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l’affixe de I est 2i.

4) Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d’affixe z = x+ iy ( x et y réels ).

a) Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de l’affixe de I.b) Déterminer l’ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l’axe des abscisses.c) Déterminer l’ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l’axe des ordonnées.

58 LES COMPLEXES

O ~u

~v

M2

M1

Exercice VI-2Formes alg., trigo., ensembles de pointsLe plan est rapporté à un repère orthonormal (O;−→u ,−→v ) direct. Soit C1 l’ensemble C

\ −i; i et f la fonctiondéfinie sur C1 par:

f(z) =z

z2 + 1

On appelle A et B les deux points du plan d’affixes respectives i et −i.

1) Soit z1 et z2 les racines dans C de l’équation : f(z) = 1√

3.

Calculer z1 et z2 sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.2) On pose z = x+ iy , f(z) = X + iY avec x,y,X,Y des nombres réels.

Calculer X et Y en fonction de x et y .3) Déterminer l’ensemble E1 des points M d’affixe z tels que f(z) soit réel.4) Déterminer l’ensemble E2 des points M d’affixe z tels que arg [f(z)] = π

2 .

partie le triangle ABC

Exercice VI-3équations 2nd degré - forme trigo.

1) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :

z2 − 8z + 20 = 0.

Les solutions seront notées z1 et z2 ; la partie réelle de z1 étant positive.2) Dans le plan complexe, placer les points A, B et C d’affixes respectives z1, z2 et 2i.

Calculer le module et un argument du complexe :

Z =z2 − z1

2i− z1.

En déduire que le triangle ABC est rectangle et isocèle.3) Soit D le point d’affixe 2(1−√2).

Calculer une mesure de l’angle orienté (−−→DA,−−→DC).


Exercice VI-4Forme trigo., ensembles de pointsOn considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,~u,~v) . Soit f l’application qui à chaquepoint M d’affixe z non nulle associe son image M’ d’affixe z′ telle que :

z′ =1z.

On appelle (C) le cercle de centre O et de rayon 1.

1) Placer sur une figure (en prenant 4 cm pour unité graphique) le point B, d’affixe w =12

(1 + i), et son imageB’ par f .Donner le module et un argument de chacun des complexes w et w′.

2) Soit z un complexe non nul.Comparer les modules et les arguments de z et z′ .

3) Quel est l’ensemble des points M pour lesquels M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe (O,~u)?

4) Soit M un point de la droite D d’équation : x =12.

Montrer que son affixe z vérifie :|1− z| = |z|

puis que : ∣∣∣∣1z− 1∣∣∣∣ = 1.

En déduire que M’ est sur un cercle Γ que l’on déterminera. Placer D et Γ sur la figure.

Exercice VI-5Équations - systèmes

1) Résoudre dans C les équations suivantes:

a)z + 2z + 2i

= i

b) 2z + iz = 5− i2) Résoudre dans C

× C le système suivant:

2iz + z′ = 2i3z − iz′ = 1

Exercice VI-6Équations coeff complexes

1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z2 + 2z + 2 = 02) Soit l’équation (F) d’inconnue complexe z :

(F) : z2 − 2z + 4 + 4i = 0

3) Montrer que (F) admet pour solution un nombre imaginaire pur que l’on déterminera.4) Résoudre l’équation (F).

Exercice VI-7Forme trigo.On considère les nombres complexes suivants :

Z1 =3√

22

(i− 1) et Z2 = −2− 2i√

3

(i étant le nombre complexe de module 1 et d’argument π2 ).

1) Déterminer le module et un argument, exprimé en radians, de chacun des nombres Z1 et Z2.

60 LES COMPLEXES

2) Calculer, sous forme trigonométrique les complexes Z31 et Z2

2 .3) En déduire le module et un argument (en radians) du nombre

U =Z3

1

Z22

.

4) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de l’entier relatif k le complexe Zk1 est un réel.

Exercice VI-8Forme alg. - ensembles de pointsÀ tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe Z défini par :

Z =z − 1 + 2iz − i (z 6= i).

1) Calculer Z pour, successivement : z = 1,z = 1− i.2) On pose z = x+ iy et Z = X + iY (x,y,X,Y sont des nombres réels).

a) Calculer X et Y en fonction de x et y.b) Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tel que Z soit un réel.c) Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z tel que Z soit imaginaire pur.d) Représenter les ensembles E et F dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O,−→u ,−→v )

.

Exercice VI-9Forme trigo - ensembles de pointsDans le plan rapporté au repère orthonormal direct (O; ~u,~v), on considère les points A, B et C d’affixes respectivesa = −2, b = −1 + i

√3 et c = −3 + i

√3.

1) Calculer le module et un argument des complexes a, b et c.2) Quelle est la nature du triangle ABC?3) Déterminer et représenter l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie : |iz + 2i| =

∣∣z + 3− i√3∣∣

Exercice VI-10Équation de degré 4

1) Pour tout nombre complexe z, on considère

f(z) = z4 − 10z3 + 38z2 − 90z + 261.

a) Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de f(ib). En déduireque l’équation f(z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.

b) Montrer qu’il existe deux nombres réels α et β, que l’on déterminera, tels que, pour tout nombrecomplexe z,

f(z) = (z2 + 9)(z2 + αz + β).

c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation f(z) = 0.

Exercice VI-11Équation du 2nd degré - Forme trigo. - transformationsLes questions 2 et 3 sont indépendantes.

1) Résoudre dans C l’équation z2 − 2√

2z + 4 = 0.On désignera par z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et par z2 l’autre solution.

2) a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z1 et z2.


b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe(z1

z2

)2

.

3) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O,~u,~v) (unité : 1 cm), on considère le point

M1 d’affixe√

2(1 + i), le point M2 d’affixe√

2(1− i) et le point A d’affixe zA =√

22

.

a) Déterminer l’affixe du point M3, image de M2 par l’homothétie h de centre A et de rapport -3.

b) Déterminer l’affixe du point M4, image de M2 par la rotation r de centre O et d’angle −π2.

c) Placer dans le même repère les points A, M1, M2, M3, et M4.

d) Calculerz3 − z1

z4 − z1 .e) Soient I le milieu du segment [M3M4] et M5 le symétrique de M1 par rapport à I. Montrer que les

points M1, M3, M5 et M4 forment un carré.

Exercice VI-12Équations du 2nd degré - forme trigo - ensemble de points

1) Dans le plan complexe (P) rapporté au repère orthonormal direct (O;−→u ;−→v ), on considère les quatre pointsA, B, C et D d’affixes respectives 3, 4i, -2+3i et 1-i.a) Placer les points A, B, C et D dans le plan.b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?

2) On considère dans l’ensemble des complexes les équations :

z2 − (1 + 3i)z − 6 + 9i = 0 (1)z2 − (1 + 3i)z + 4 + 4i = 0 (2)

a) Montrer que l’équation (1) admet une solution réelle z1 et l’équation (2) une solution imaginaire purez2.

b) Développer (z − 3)(z + 2− 3i), puis (z − 4i)(z − 1 + i).c) En déduire les solutions de l’équation :

(z2 − (1 + 3i)z − 9 + 9i)(z2 − (1 + 3i)z + 4 + 4i) = 0

.d) Soit z0 la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme trigonométrique

de z0.e) Déterminer les entiers naturels n tels que les pointsMn d’affixe zn0 soient sur la droite d’équation y = x.

3) On appelle f l’application qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′, d’affixe z′ telle que : z′ =z2 − (1 + 3i)z − 6 + 9i.a) On pose z = x+ iy et z′ = x′ + iy′. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.b) Déterminer une équation de l’ensemble (H) des points M pour lesquels f(M) appartient àl’axe des

ordonnées.

Exercice VI-13Équations du 2nd degré - ensembles de points - forme trigo.

1) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes les équations suivantes :

a) z2 − 2z + 5 = 0b) z2 − 2(1 +

√3)z + 5 + 2

√3 = 0

2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O; ~u,~v) les points A, B, C, Dd’affixes respectives :

zA = 1 + 2i, zB = 1 +√

3 + i, zC = 1 +√

3− i, zD = 1− 2i.

a) Placer les points A, B, C et D.

62 LES COMPLEXES

b) Préciser la nature du quadrilarère ABCD.

c) Vérifier que :zD − zBzA − zB = i

√3.

d) Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (BD)?e) Prouver que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et

le rayon. Tracer Γ.3) Etant donné un nombre réel θ de l’intervalle [0; 2π], on considère l’équation :

z2 − 2(1 + 2 cos θ)z + 5 + 4 cos θ = 0 (3)

a) Résoudre l’équation (3) dans C .

b) Prouver que les points images des solutions appartiennent au cercle Γ.

Exercice VI-14Forme alg. - ensemble de pointsLe plan complexe est muni d’un repère (O; ~u,~v).On note A le point d’affixe i.

À tout point M du plan distinct de A, d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe : z′ =iz

z − i .1) a) Déterminer le point B’ associé au point B d’affixe 1.

Déterminer le point C tel que son point associé C’ ait pour affixe 2.b) Déterminer les points M tels que l’on ait M’=M.

2) Etant donné un nombre complexe z distinct de i, on pose : z = x + iy et z′ = x′ + iy′ où x, y, x′, y′ sontdes nombres réels.a) Déterminer x′ et y′ en fonction de x et y.b) Déterminer l’ensemble Γ des points M pour lesquels z′ est un réel.c) Placer les points A, B, B’, C, C’ et tracer Γ sur une figure. (unité graphique : 4 cm)

3) Soit z un complexe différent de i.

a) Prouver que : z′ − i =−1z − i

b) On suppose que M appartient au cercle γ de centre A et de rayon 1. Prouver que M’ appartient aussià γ.

Exercice VI-15Équation du second degré - formes alg. et trigo.

1) On considère dans C l’équation d’inconnue z:

z = (1 + i)z + 3− 2i (4)

a) Calculer en fonction de x et de x les parties réelles et imaginaires de: (1 + i)z + 3− 2i.b) En remarquant que deux nombres complexes égaux ont la même partie réelle et la même partie ima-

ginaire, vérifier que la résolution de l’équation (4) conduit à un système linéaire de deux équations àdeux inconnues. En déduire la solution de (4).

2) a) Mettre le nombre complexe (4− 3i)2 sous forme algébrique.b) En déduire une factorisation de P (z) = z2 − (7− 24i).c) Résoudre dans C

l’équation:P (z) = 0 (5)

3) On désigne par a la solution de (4) et par b et c celles de (4) (b est celle dont la partie réelle est positive).Dans le plan complexe muni du repère orthonormal (O,−→u ,−→v ), d’unité graphique 1 cm, placer les pointsA, B et C d’affixe respectives a, b et c.Montrer que le triangle ABC est rectangle.


Exercice VI-16Forme trigo. - ensembles de pointsLe plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O,−→u ,−→v ).On désigne par A, B et M les points d’affixes respectives −2, 2i et z, où z désigne un complexe différent de −2et de 2i.On pose Z =

z + 2z − 2i

.

1) Exprimer géométriquement |Z| et argZ.2) Déterminer, algébriquement puis géométriquement, l’ensemble E des points M tels que :

a) Z soit réel.b) Z soit imaginaire pur.c) Z soit élément de G∗−.

d) argZ =π

2

e) |Z| = 1

Exercice VI-17Équations du 2nd degré - interprétation géo.

1) Résoudre dans C les équations suivantes:

a) (2− 4i)z = 19− 3i. b) 2z2 + 2z + 1 = 0.

2) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O,−→u ,−→v ) d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 3, zB =52

+72i et zC = −1

2− 1

2i.

a) Placer les points A, B et C.b) Calculer |zB − zA|, |zC − zA| et |zC − zB |.c) Quelle est la nature du triangle ABC?d) Déterminer l’affixe du point I milieu de [BC].e) En déduire l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Quelle est la nature de ce

parallélogramme?

Exercice VI-18Forme trigo. - ensembles de pointsLe plan complexe Π est rapporté au repère orthonormé (O,−→u ,−→v ) d’unité graphique 3 cm.On considère la fonction f de l’ensemble C

dans lui-même définie par:

f(z) = iz + 2

où i est le nombre complexe de module 1 et d’argument π2 .

A tout point M de coordonnées (x; y) du plan Π, on associe son affixe z = x+ iy.

1) a) Calculer f(1).b) Placer dans le plan Π les points A et A′ d’affixe respective 1 et f(1).

2) Résoudre dans C l’équation f(z) = z.

3) Soit Ω le point de Π d’affixe ω = 1 + i.a) Exprimer ω sous forme trigonométrique.b) Placer le point Ω dans le plan Π.c) Calculer ΩA et ΩA′.d) Calculer |f(1)− 1| et en déduire que ΩAA′ est un triangle isocèle rectangle.

4) On pose z = x+ iy avec x et y réels.a) Déterminer X et Y , respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de f(z).b) Déterminer E1 l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit réel. Représenter E1.

64 LES COMPLEXES

c) Déterminer E2 l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit imaginaire pur. Représenter E2.d) Déterminer E3 l’ensemble des points M d’affixe z tels que |f(z)| = 2. Représenter E3.

Exercice VI-19Forme alg. - interprétation géo.Le plan est muni du repère orthonormal (O,−→u ,−→v ) d’unité graphique 2 cm.

Soit A, B et C les points d’affixes respectives zA = 3, zB =52

+72i et zC = −1

2− 1

2i.

1) Placer les A, B et C sur une figure.2) Calculer |zB − zA|, |zC − zA| et |zC − zB |.3) Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.4) Déterminer l’affixe du point I, milieu de [BC].5) Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.

Exercice VI-20Forme trigo - ensembles de pointsLe plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O;−→u ,−→v ) ( unité graphique 2 cm ). On note A le pointd’affixe 1 et B le point d’affixe 3 + 2i.On appelle f l’application qui, à tout point M distinct de A et d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z′ définie par

z′ =z − 1 + 2iz − 1

1) Calculer les affixes des points O’ et B’, images respectives des points O et B par f . Placer les points A, O’,B et B’ dans le plan.

2) a) Calculer, pour tout complexe z différent de 1, le produit

(z′ − 1) (z − 1)

b) En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a :

AM×AM’ = 2 et(−→u ,−−→AM

)+(−→u ,−−→AM’

)=π

2+ 2kπ, k ∈ Z

3) Démontrer que, si M appartient au cercle (C) de centre A passant par O, alors M’ appartient à un cercle(C ′). En préciser le centre et le rayon. Construire (C) et (C ′).

4) a) Déterminer l’angle (−→u ,−→AB).

b) Démontrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite (d) d’origine A, passant par B, alorsM’ appartient à une demi-droite que l’on précisera.

5) On appelle P le point d’intersection du cercle (C) et de la demi-droite (d).Placer son image P’ sur la figure.

Exercice VI-21Équation de degré 4 - Interprétation géo.On considère le polynôme P(z) = z4 + 17 z2 − 28 z + 260, où z est un nombre complexe.

1) Déterminer deux nombres réels a et b tels que :

P(z) = (z2 + az + b)(z2 + 4 z + 20).

2) Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.3) Placer dans un repère orthonormal direct (O;−→u ,−→v ), les images M, N, P et Q des nombres complexes

respectifs m = −2 + 4i, n = −2− 4i, p = 2 + 3i et q = 2− 3i.


4) a) Déterminer le nombre complexe z vérifiantz − pz −m = i. Placer son image K.

b) En déduire que le triangle MPK est isocèle rectangle en K.5) a) Déteminer par le calcul l’affixe du point L, quatrième sommet du carré MKPL.

b) Déterminer l’abscisse du point d’intersection R de la droite (KL) et de l’axe des abscisses.c) Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R.

LA FONCTION EXPONENTIELLE

A - ET L’HOMME CRÉA L’EXPONENTIELLE...

A - 1 : Une équation différentielle

On considère un circuit électrique comprenant une résistance r et une bobine d’inductance L. Soit u la tensionaux bornes de la bobine et soit i(t) le courant qui la parcourt. On suppose qu’au temps t = 0, on coupe la tension.Expérimentalement, on peut vérifier à l’aide d’un ampèremètre que

∆i(t) ' − rLi(t) ∆t

en considérant des intervalles de temps ∆t assez petits.Cela s’écrit encore

i(t+ ∆t)− i(t)∆t

= − rLi(t)

On reconnaît dans le membre de gauche le taux d’accroissement de la fonction i entre les temps t et t + ∆t. Ensupposant que la fonction i est dérivable sur IR+, on obtient donc, en faisant tendre ∆t vers 0

i′(t) = − rLi(t)

Vous apprendrez bientôt qu’il s’agit d’un cas particulier de la première loi de Kirchhoff.Il s’agit maintenant de déterminer i(t) pour tout t ∈ IR+.

L’équation différentielle f ′ = k f se retrouve dans de nombreux problèmes : désintégration des noyaux des atomesd’un corps radioactif, datation au carbone 14, évolution d’une population où la croissance est proportionnelle aunombre d’habitants, etc. Le problème est de trouver une fonction la satisfaisant.Par exemple, certains phénomènes en mécanique conduisent à étudier l’équation différentielle f ′′ = −f . Nousconnaissons au moins deux fonctions la satisfaisant : cosinus et sinus.Le problème avec f ′ = kf , c’est que nous ne connaissons aucune fonction solution.

A - 2 : Construction approchée du graphe d’une solution par la méthoded’Euler

Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant f(0) = 1 et, pour tout x, f ′(x) = f(x).

1) Soit h un réel voisin de zéro. Montrez que, pour tout réel a, l’approximation affine donnée par le calcul desdérivées s’écrit

f(a+ h) ' (1 + h)× f(a)

2) On prend h = 0,001. On note (an) la suite définie par a0 = 0 et an+1 = an + h. Donnez une approximationde f(an+1) en fonction de f(an).Déduisez-en que la suite des approximations de f(an) est une suite géométrique que vous caractériserez.

3) Faîtes de même avec h = −0,001.4) Imaginez alors, à l’aide d’un tableur, une construction point par point de la représentation graphique d’une

approximation de f sur l’intervalle [−2,2].

5) Montrez que f(1) '(

1 +1n

)net calculez la valeur approchée correspondante de f(1) pour n = 10 000.


A - 3 : Analyse : étude des propriétés mathématiques d’une solution

Soit fk une fonction dérivable sur IR vérifiant fk(0) = 1 et, pour tout x, f ′k(x) = k fk(x), avec k 6= 0.

1) Montrez que f ′k(0) = k.2) Soit a un réel fixé et ga la fonction définie par

ga(x) = fk(x+ a)fk(−x)

a) Montrez que ga est dérivable sur IR et calculez g′a(x).b) Calculez ga(0) et déduisez-en que pour tous x et a réels,

fk(x+ a) fk(−x) = fk(a) (1)

3) Montrez alors successivement que

a) pour tout réel x, fk(x)fk(−x) = 1b) fk ne s’annule pas sur IRc) pour tous réels x et a

fk(x+ a) = fk(x) fk(a)

A - 4 : Unicité de la fonction solution

Peut-on trouver une autre fonction, gk, distincte de fk, et vérifiant les mêmes propriétés que fk, à savoir : gk estune fonction dérivable sur IR, vérifiant gk(0) = 1 et, pour tout x, g′k(x) = k gk(x), avec k 6= 0?

Comme fk ne s’annule pas sur IR, on peut définir la fonction ϕk = gk/fk.Vérifiez que ϕk est dérivable sur IR, calculez sa dérivée. Que peut-on en déduire pour ϕk ? Montrez alors quefk = gk.

A - 5 : Synthèse

Nous avons cherché des solutions au problème

fk une fonction dérivable sur IR vérifiant fk(0) = 1 et, pour tout x, f ′k(x) = k fk(x), avec k 6= 0.

Nous avons montré que, si une telle fonction existe (ce que nous prouverons dans un prochain chapitre), alors elleest unique et elle vérifie nécessairement la relation

f(x+ y) = f(x) f(y) (2)

Il reste à vérifier que, réciproquement, une fonction dérivable, non nulle, vérifiant la relation (2) est nécessairementtelle que f(0) = 1 et vérifie pour tout réel x f ′(x) = kf(x), avec k un réel non nul.

Cette vérification n’est pas anodine et conclut notre raisonnement d’analyse-synthèse.

1) Montrez que f ne s’annule pas et que f est à valeurs strictement positives.2) Montrez que, comme f n’est pas la fonction nulle, alors f(0) = 1 en utilisant la relation (2).3) Soit a un réel fixé. On définit la fonction ϕ : x 7→ f(x+ a) et la fonction ψ : x 7→ f(x)× f(a).

Montrez que f ′(x+ a) = f(a)× f ′(x), puis que, pour tout réel a, f ′(a) = k f(a), où k est un réel que vousdéterminerez.

68 LA FONCTION EXPONENTIELLE

A - 6 : Le bébé est prêt

Théorème et définitionIl existe une unique fonction f , dérivable sur IR, telle que f ′ = f et f(0) = 1.On la nomme fonction exponentielle et on la note exp.L’exponentielle est à valeurs strictement positives et vérifie la relation

exp(x+ y) = exp(x)× exp(y)

A - 7 : Conséquences immédiates

Vous pouvez démontrer aisément que

. exp(0) = 1

. exp est dérivable sur IR et exp′(x) = exp(x)

. Pour tout réel x, exp(x) > 0

. La fonction exp est strictement croissante sur IR

. exp(a− b) =exp(a)exp(b)

. exp(−b) =1

exp(b). exp(ka) = [exp(a)]k, avec k ∈ ZZ

. exp(an

)= n√

exp(a)=[exp(a)]1n , avec n ∈ IN∗

A - 8 : La notation ex

On pose e = exp(1). Nous avons obtenu grâce à la méthode d’Euler une approximation de e, car e = limn→+∞

(1 +

1n

)n

e ' 2,718 281 828

Nous avons obtenu précédemment que pour tout entier k,

exp(k) = exp(k × 1) = (exp(1))k = ek

Nous noterons alors, par convention, que

exp(x) = ex

Vous vérifierez que les propriétés vues précédemment sont conformes à l’usage de la notation puissance.

A - 9 : Propriétés analytiques de l’exponentielle

. Prouvez quelim

x→+∞ex = +∞

en étudiant la fonction ϕ : x 7→ ex − x. Déduisez-en que

limx→−∞

ex = 0


. Comparez ex/2 et x/2. Déduisez-en que

limx→+∞

ex

x= +∞

B - EXERCICES - « L’EXPONENTIELLE À TRAVERS LES SCIENCES »

Exercice VII-1La fonction de croissance de von Bertanlanffy donne approximativement la masse W (t) (en kg) à l’âge t (enannées) des éléphants africains femelles. Son expression est

W (t) = 2600(1− 0,51e−0,075 t

)3

1) Évaluez la masse et le taux de croissance d’un nouveau-né (le taux de croissance à l’instant t est évidemmentW ′(t)).

2) Calculez et interprétez limt→+∞

W (t).

Exercice VII-2Les molécules d’un gaz enfermé dans un récipient à la température T sont animées d’une vitesse de v cm.s−1. Cetétat d’équilibre est caractérisé par la fonction de distribution de vitesse de Maxwell-Boltzmann

F (v) = cv2 e−mv2/(2kT )

où T est la température (en K), m la masse d’une molécule et c et k des constantes positives.Montrez que la valeur maximale de F a lieu en v =

√2kT/m.

Exercice VII-3Un modèle de densité urbaine est une formule qui lie la densité de la population (en nombre de personnes parunité de surface) à la distance r (en unité de longueur) du centre ville. La formule

D = a e−br+cr2

où a, b et c sont des constantes positives (a est la densité au centre, b le coefficient de décroissance), convient pourcertaines villes des États-UnisDéterminez l’allure de la courbe représentative de ce modèle.

Exercice VII-4En statistiques, la distribution normale est définie par la fonction de densité de probabilité

f(x) =1

σ√

2πe−z

2/2 où z =x− µσ

µ est la moyenne de cette distribution et σ2 la variance. L’étude de cette fonction est utilisée dans des domainesqui vont de la mécanique quantique à la répartition des notes du baccalauréat.Étudiez cette fonction (sens de variation, limites) et tracez la courbe représentative de f .

Exercice VII-5On considère un circuit électrique composé d’une force électromotrice U , d’une résistance R et d’une inductanceL. L’intensité du courant I varie en fonction du temps t selon la formule

I =U

R

(1− e−Rt/L

)

70 LA FONCTION EXPONENTIELLE

On considère que R est la seule variable indépendante, i.e. U , L et t sont considérés comme des constantes et Rcomme une variable. Calculez lim

R→0 R>0I.

C - UN PROBLÈME DE BAC

On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = (2x+ 1)e−2x et sa courbe représentative (C) dans le repèreorthonormal (O,

−→i ,−→j ).

Partie A - Étude de la fonction f

1) a) Déterminer la limite de f en +∞. Que peut-on en déduire pour (C)?b) Déterminer la limite de f en −∞.

2) Calculer f ′(x) et étudier le signe de f ′ sur IR.3) Dresser le tableau de variation de f .4) a) Déterminer les coordonnées du point A d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses.

b) Étudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

Partie B - Étude d’une tangente

1) On rappelle que f ′′ désigne la dérivée seconde de f .a) Montrer que, pour tout réel x, f ′′(x) = 4(2x− 1)e−2x.b) Résoudre l’équation f ′′(x) = 0.

2) Soit B le point d’abscisse 1/2 de la courbe (C). Déterminer une équation de la tangente (T ) à (C) en B.3) On veut étudier la position relative de (C) et (T ) : pour cela on considère la fonction g définie sur IR par

g(x) = f(x)−(−2ex+

3e

)

a) Déterminer g′(x) et g′′(x).b) Étudier le signe de g′′(x) suivant les valeurs x. En déduire le sens de variation de g′ sur IR.c) Calculer g′(1/2) et en déduire le signe de g′(x) puis le sens de variation de g sur IR.d) Calculer g(1/2) et déterminer alors le signe de g(x) suivant les valeurs de x. Que peut-on en conclure

sur la position relative de (C) et (T )?

(Bac 2001)

GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES -RÉCURRENCE

A - EXERCICES

A - 1 : Jouons...

Prenons un cube, rajoutons trois autres cubes pour former un carré, puis cinq autres cubes pour former un plusgrand carré, puis sept autres cubes pour former un carré encore plus grand...Nous voulons maintenant calculer la somme des n premiers entiers impairs.

1) Proposez une formule générale inspirée du résultat de notre petite activité de maternelle.2) Écrivez la somme des n premiers entiers impairs à l’aide du symbole Σ.3) Démontrez la formule par récurrence.

A - 2 : Observons...

Une suite (un)n∈IN est définie par u0 = 3un+1 = 10un − 9

Observez, conjecturez, prouvez.

A - 3 : Découvrons...

Une suite (un)n∈IN est définie par u0 = 1un+1 = 3un + 1

Posons vn = un + c, avec c un nombre réel.

1) Déterminez c pour que la suite (vn)n∈IN soit géométrique.2) Déduisez zan l’expression du terme général de (vn)n∈IN en fonction de n.3) Exprimez alors un en fonction de n.

A - 4 : Généralisons...

Soient a ∈ IR\1 et b ∈ IR. Une suite (un)n∈IN est définie paru0 = u0

un+1 = aun + b


1) Déterminez c pour que la suite (vn)n∈IN soit géométrique.

72 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES - RÉCURRENCE

2) Déduisez zan l’expression du terme général de (vn)n∈IN en fonction de n.3) Exprimez alors un en fonction de n.

A - 5 : Dans le même esprit...

Étudiez

u0 = 6

un+1 =2un + 3

5et calculez Sn =

n∑

k=0

uk

Mêmes questions avec

u0 = −3/2

un+1 =23un − 1

A - 6 : Étude d’une suite homographique

Considérons une suite (un)n∈IN définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = −7un + 82un + 1

1) Montrez que, pour tout n ∈ IN, un 6= −2.

2) Posons vn =2un + 1un + 2

a) Montrez que la suite (vn)n∈IN est arithmétique.b) Exprimez vn en fonction de n.c) En déduire un en fonction de n.

A - 7 : Récurrence avec prédécesseurS...

Soit (un)n∈IN la suite définie par

u0 = 0 u1 = 1un+2 = 2un+1 − un + 2

Observez, conjecturez, démontrez.

A - 8 : Sommes télescopiques...

Soit (un)n∈IN la suite définie par

u0 = 0 u1 = 1

un+2 =12

(un+1 + un)

Pour tout n ∈ IN, posons vn = un+1 − un1) Montrez que la suite (vn)n∈IN est géométrique et exprimez vn en fonction de n.

2) Calculez, en fonction de n, la somme Sn =n−1∑

k=0

vk et déduisez-en un en fonction de n.

A - 9 : Tchernoblues...

Certains corps aux propriétés si sympathiques pour l’environnement (radium, thorium...) émettent spontanémentdes radiations pour notre plus grand plaisir : production d’électricité, de cancers et autres bienfaits. Vous les avezbiensûr reconnus : ce sont les corps radioactifs.Pour le radium, par exemple, cette émission de radiations donne lieu à une perte de matière de moitié toutes lesvingt minutes.Au bout de combien de temps ne reste-t-il plus que 1% de la matière initiale?

A - 10 : Une incursion dans le programme de Math Spé...

1) Calculez 3,2222222222222222222222222222222222...


2) Calculez 0,3232323232323232323232323232323232...

3) Calculez 1− 13

+19− 1

27+

181

+ ...

A - 11 : Croissante ou décroissante..?

1) un = 1 +1√2

+ ...+1√n

2) un = 0,1n × n2

3) un = n2(3− n)4) un = n− 3n

5) un =12× 3

4× ...× 2n− 1

2n6) un+1 = u2

n, u0 = 7π/227) un = 3n+ (−1)n

8) un+1 =√un + 2, u0 = 5

A - 12 : Un exercice de Bac

On définit deux suites u et v par u0 = 1, v0 = 12 et, pour tout entier naturel n :un+1 =

13

(un + 2vn)

vn+1 =14

(un + 3vn)

1) On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par :

wn = vn − una) Montrez que w est une suite géométrique à termes positifs, dont vous préciserez la raison.b) Déterminez la limite de la suite w.

2) a) Montrez que la suite u est croissante.b) Montrez que la suite v est décroissante.c) Déduisez-en que, pour tout entier naturel n

u0 6 un 6 vn 6 v0

3) Que peut-on dire des suites un et vn. Qu’en déduisez-vous concernant leur convergence?4) On appelle t la suite définie pour tout n ∈ IN par

tn = 3un + 8vn

a) Montrez que t est une suite constante. Déterminez cette constante.b) Déterminez alors les limites de u et v.

(Bac 2002)

B - SUITES HOMOGRAPHIQUES

Il arrive que l’on puisse exprimer explicitement en fonction de n le terme général un d’une suite récurrente. C’estle cas par exemple des suites arithmétiques (un+1 = un + r), des suites géométriques (un+1 = qun), des suites


arithmético-géométriques (un+1 = aun + b). Plus généralement, c’est aussi le cas des suites homographiques quisont les suites vérifiant une relation de récurrence de la forme

un+1 =aun + b

cun + d

avec (c,d) 6= (0,0) et ad− bc 6= 0. Si ad− bc = 0, alors la suite est constante et son étude est sans intérêt.Le problème de l’existence d’une telle suite de premier terme donné est parfois difficile et nous ne l’aborderonspas dans le cas général.Pour exprimer un en fonction de n, on procède comme pour les suites arithmético-géométrique. On effectue unchangement de suite astucieux pour se ramener à une suite dont on peut exprimer le terme général en fonctionde n. En voici deux exemples.

B - 1 : Énoncés

Exercice VIII-1

1) Montrer qu’il existe une suite (un)n∈IN telle que

u0 = 32 et ∀n ∈ IN un+1 =2un − 1un + 4

.

2) Montrer que l’équation x =2x− 1x+ 4

admet une seule solution que l’on notera α.

3) Montrer que un 6= α pour tout n ∈ IN.4) Pour n ∈ IN, on pose

vn =1

un − α.

Montrer que la suite (vn) est arithmétique.5) Exprimer un en fonction de n pour tout n.6) Étudier la convergence de la suite (un).

Exercice VIII-2

1) Montrer qu’il existe une suite (un)n∈IN telle que

u0 = 2 et ∀n ∈ IN un+1 =7un + 6un + 6

.

2) Montrer que l’équation x =7x+ 6x+ 6

admet deux solutions. On notera α la plus grande et β la plus petite.

3) Montrer que un 6= β pour tout n ∈ IN.4) Pour n ∈ IN, on pose

vn =un − αun − β .

Montrer que la suite (vn) est géométrique.5) Exprimer un en fonction de n pour tout n.6) Étudier la convergence de la suite (un).


B - 2 : Solutions

Solution 1

1) Regardez rapidement la tête de la fonction associée et montrez par une rapide récurrence que un > −1 pourtout n ∈ IN.

2) L’équation est équivalente à (x+ 1)2 = 0, d’où α = −1.3) Comme u0 6= −1, alors u1 6= −1,..., d’où pour tout n ∈ IN un 6= −1.4) vn+1 = 1/3 + vn.5) Nous en déduisons que un = (−11n+ 32)/(11n+ 1).6) Finalement lim

n→+∞un = −1.

Solution 2

1) Montrez par récurrence que ∀n ∈ IN un > −2.2) Nous trouvons α = 3 et β = −2.3) Voir exercice précédent.4) vn+1 = 4/9vn.

5) un =1/2 (4/9)n − 3−1/4 (4/9)n − 1

.

6) limn→+∞

un = 3.


C - MANIPULATION DU SYMBOLE∑

Question 1 : écriture avec ou sans signe∑.

f. Ecrire sans∑

:N∑n=0

(−1)n,n∑p=1

p,

n∑p=1

n,

n∑p=1

n

p

g. Ecrire avec∑

:

1− 13

+15− 1

7+ · · ·

Question 2 : variables de comptage. Les égalités suivantes sont-elles vraies :

n∑p=1

(p× n) =n∑

k=1

(k × n) = n×n∑

k=1

k = k ×n∑

k=1

n

Question 3 : substitution. Soit

Sn =2n2∑p=1

1√p.

h. Combien y a-t-il de termes dans cette somme?

i. Ecrire la somme S2n. Combien contient-elle de termes?

j. Soit Simpair2n la somme des termes de S2n d’ordre impair (obtenus pour p=1, 3, 5, ...). On définit de même

Spair2n ; on a donc S2n = Simpair

2n + Spair2n . Ecrire les sommes Spair

2n et Simpair2n .

Question 4. Calculez les sommes suivantes :

n∑

k=1

k∑p=0

p,

n∑

k=1

k∑p=0

k,

n∑

k=1

k∑p=0

n.

D - TAPIS DE SIERPINSKI : LE RETOUR

Monsieur Sierpinski avait ramené d’un voyage en Orient un tapis carré de 1 mètre de côté dont il était très content.Jusqu’au jour où les mites s’introduisirent chez lui.En 24 heures, elles dévorèrent dans le tapis un carré de côté trois fois plus petit, situé exactement au centre dutapis. En constatant les dégats, Monsieur Sierpinski entra dans une colère noire ! Puis il se consola en se disantqu’il lui restait huit petits carrés de tapis, chacun de la taille du carré disparu. Malheureusement, dans les 12heures qui suivirent, les mites avaient attaqué les huit petits carrés restants : dans chacun, elles avaient mangé uncarré central encore trois fois plus petit. Et dans les 6 heures suivantes elles grignotèrent encore le carré central dechacun des tout petits carrés restants. Et l’histoire se répéta, encore et encore ; à chaque étape, qui se déroulaitdans un intervalle de temps deux fois plus petit que l’étape précédente, les mites faisaient des trous de taille troisfois plus petite...

Question 1.

Faire des dessins pour bien comprendre la géométrie du tapis troué. Calculer le nombre total de trous dans letapis de Monsieur Sierpinski après n étapes. Calculer la surface Sn de tapis qui n’a pas encore été mangée aprèsn étapes. Trouver la limite de la suite (Sn)n≥0. Que reste-t-il du tapis à la fin de l’histoire?


Question 2.

Calculer la durée totale du festin « mitique »...

E - LE PARADOXE DE ZÉNON ET AUTRES GAGS

Question 1. Paradoxe de Zénon.

Le paradoxe suivant a été imaginé par Zénon d’Élée (490-430 Avant JC). Achille fait une course avec la tortue. Ilpart 100 mètres derrière la tortue, mais il va dix fois plus vite qu’elle. Quand Achille arrive au point de départde la tortue, la tortue a parcouru 10 mètres. Pendant qu’Achille parcourt ces 10m, la tortue a avancé d’un mètre.Pendant qu’Achille parcourt ce mètre, la tortue a avancé de 10cm... Puisqu’on peut réitérer ce raisonnement àl’infini, Zénon conclut qu’Achille ne peut pas dépasser la tortue.Comment peut-on dépasser ce paradoxe?

Question 2. Une bille qui rebondit. 10

a. Une balle part d’une certaine hauteur h0 au dessus du sol (sans vitesse initiale). Combien de temps met ellepour arriver sur le sol (négliger les frottements)? Quelle est son énergie cinétique lorsqu’elle arrive au niveau dusol?

b. On modélise le rebond de la façon suivante : lorsque la balle rebondit elle perd une certaine proportion pde son énergie cinétique (par exemple p = 10%). Etant partie de la hauteur h0, A quelle hauteur h1 va-t-elleremonter? Quelle est la durée t0 entre les deux premiers rebonds?

c. Combien de fois la balle rebondit-elle? Pendant combien de temps rebondit-elle?

Question subsidiaire. Vous connaissez le bruit d’une bille qui rebondit, avec des rebonds de plus en plusrapprochés. Imaginez maintenant une balle qui rebondit, non plus selon le modèle ci-dessus, mais selon un autreloi. Par exemple la durée du n-ième rebond est donné par 1/n. Que va-t-on entendre? 11

Question 3. La mouche et les trains

Deux trains partent simulanément, et à une même vitesse constante v. Le premier va de Paris à Nantes, et lesecond, de Nantes à Paris.Une mouche part simultanément de Paris à vitesse 3v (elle suit les rails en direction de Nantes). Lorsqu’ellerencontre le train Nantes-Paris, elle fait demi-tour vers Paris. Lorsqu’elle rencontre le train Paris-Nantes, elle faitdemi-tour et de dirige à nouveau vers Nantes, etc. Elle s’arrête lorsque les trains se croisent.

a. Faire un dessin dans l’espace-temps (la position en abscisse, par exemple, le temps en ordonnée)

b. Combien de fois la mouche fait elle demi-tour?

c. Quelle est la longueur de chaque trajet?

d. Quelle distance parcourt-t-elle en tout?

F - ENCORE DES FRACTALES : FLOCONS DE VON KOCH

On considère la suite des polygônes obtenus de la manière suivante :Le premier triangle est équilatéral 12, et on passe d’une étape à la suivante en ajoutant des petits triangleséquilatéraux comme indiqué sur la figure.

10. amener une vraie bille de verre ou métallique (qui rebondit bien et de maniere sonore) en classe pour faire l’expérience !11. voir les résultats du problème de l’ivrogne page 13112. Rappel : ça veut dire que ses trois côtés ont la même longueur...


d

Etape 1 etc...

...

Etape 3

d/3d/3

Etape 2

Fig. 2 –

Calculer le nombre de côtés du polygône à l’étape n (pour tout entier n ≥ 1), son périmètre, et sa surface, enexpliquant les formules obtenues.Trouver la limite de ces trois quantités quand n tend vers +∞.(Qu’en pensez-vous?...)

G - SUITES RÉCURRENTES DU TYPE un+1 = f(un)

G - 1 : Que modélisent les suites récurrentes?

Mathémator : Prenons par exemple l’évolution d’un capital bancaire calculé tous les mois. Chaque mois, labanque verse des intérêts qui dépendent du capital du mois précédent. On note cn le capital au n−ième mois. Sile taux d’intérêt est constant et égal à τ d’un mois à l’autre, alors on a

Pour tout n ∈ IN cn+1 = (1 + τ) cn.

Dans ce cas, (cn)n∈IN est une suite récurrente du type un+1 = f(un) avec f(x) = (1 + τ)x.Téhessin : C’est même une suite géométrique !

Mathémator : C’est vrai... En revanche, si le taux d’intérêt est variable et égal à τn, alors on a

∀n ∈ IN cn+1 = (1 + τn) cn,

et on sort du cadre des suites récurrentes du type un+1 = f(un).Téhessin : Mais on obtient encore une suite géométrique, non?

Mathémator : Sûrement pas, car le réel 1 + τn dépend de n. Alors que la raison d’une suite géométrique ne doitpas dépendre de n.

G - 2 : La relation un+1 = f(un) et la donnée de u0 définissent-ils tou-jours une suite?

Mathémator : Précisons d’abord un peu les choses. On considère une fonction f définie sur une partie I de IRet à valeurs réelles, ainsi qu’un élément a de I. Et la question est de savoir s’il existe une suite (un)n∈IN telle que

u0 = a et ∀n ∈ IN un+1 = f(un).

Téhessin : Il me semble que oui ! Il suffit de définir u1 comme égal à f(a), et ainsi de suite.

Mathémator : C’est tout ce que cela vous inspire, Téhessin? Vous êtes sûr de pouvoir continuer?Téhessin : Ben, oui, je pose u2 = f(u1), puis... !? Ah, je vois le problème : il faudrait que f soit définie en u1 !


Mathémator : Ce qui n’a en effet aucune raison de se produire. Par exemple, il n’existe pas de suite (un)n∈IN

telle que

u0 = −1 et pour tout n ∈ IN un+1 = un +1un.

Car, avec g : IR∗ → IR, x 7→ x+1x, on a g(−1) = 0, donc g n’est pas définie en g(−1).

Il faut également s’assurer qu’aucun des termes suivants ne va être égal à −1.Téhessin : D’accord, mais si on avait pris une valeur strictement positive pour u0, alors on aurait eu g(u0) > 0,donc on pourrait définir g(g(u0)) qui serait lui-même strictement positif, etc. On pourrait donc définir tous lestermes de la suite.

Mathémator : Tout à fait ! Et le point clé dans ce que vous venez de dire est que g(]0,+∞[

) ⊂]0,+∞[, ce qui,avec la définition suivante, se traduit par « ]0,+∞[ est stable par g ».Cela veut donc dire que si on prend uo dans ]0,+∞[, on est sûr que tous les termes resteront dans cet intervalle.

DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie I de IR et à valeurs réelles. On dit qu’une partie S de I est stable parf lorsque

pour tout x ∈ S f(x) ∈ S.

Maintenant, si a est élément d’une partie S de I stable par f , alors on pourra définir f(f(a)) puisque f(a) ∈ S,puis f(f(f(a))) puisque f(f(a)) ∈ S, etc. Il suffit donc de choisir u0 dans S.

G - 3 : Comment sélectionner les limites possibles d’une suite récur-rente?

Téhessin : Je sais : les limites possibles de (un) sont les solutions de l’équation f(x) = x. Car si un+1 = f(un)pour tout n, et si (un) converge vers `, alors (un+1) converge aussi vers `, et comme

(f(un)

)converge vers f(`),

on a donc ` = f(`).

Mathémator : Pas si vite Téhessin. Êtes-vous sûr que(f(un)

)converge vers f(`)?

Téhessin : Euh... Pas tant que ça finalement, il faudrait que limx→`

f(x) = f(`).

Mathémator : Ce qui traduit quelle propriété de f ?Téhessin : Il faut que f soit continue en `.

Mathémator : J’aime mieux ça ! Mais même en supposant f continue sur I, la limite ` n’est pas nécessairementun point fixe de f !Téhessin : Ah bon !? Alors là, je ne vois vraiment pas pourquoi.

Mathémator : La subtilité sort vraiment du cadre de la terminale. Retenez seulement que I doit être un intervallefermé.Sous toutes ces conditions, on peut effectivement affirmer que les limites possibles d’une suite récurrente sont lespoints fixes de la fonction.

ThéorèmeSoit I un intervalle fermé de IR, soit f une fonction continue de I vers I, et soit (un) une suite d’éléments de Itelle que un+1 = f(un) pour tout n. Si (un) est convergente, alors sa limite est un point fixe de f .

Téhessin : Ça y est, j’ai compris ! Pour trouver la limite de (un), on n’a qu’à résoudre l’équation f(`) = ` et (un)convergera forcément vers une solution de l’équation.

Mathémator : Pas si vite mon gars. Vous manquez de rigueur et passez à côté d’importants problêmes.


Tout d’abord, l’équation f(x) = x n’a aucune raison d’admettre une seule solution : elle peut en admettre plusieursou même aucune.Mais surtout, rien ne dit a priori que la suite (un) converge : elle pourrait très bien ne pas avoir de limite !Téhessin : Mais s’il n’y a qu’une solution à l’équation, est-ce que (un) ne va pas toujours converger vers cettesolution?

Mathémator : Non !Téhessin : Non? Aurais-je droit à un exemple?

Mathémator : Comment vous refuser cette faveur...Prenez par exemple la suite définie par

u0 = 1 et, pour tout n ∈ IN un+1 = 32unLa fonction f : x 7→ 32x admet un unique point fixe...Téhessin : ...zéro...

Mathémator : ... et pourtant la suite ne converge pas vers 0.Il faut bien retenir que ce théorème ne permet pas de conclure qu’une suite converge. Mais si l’on sait que la suiteconverge, par exemple en montrant qu’elle est monotone et bornée, alors on peut avoir une idée de la limite.Le théorème permet également de montrer que (un) diverge, par exemple quand f est définie et continue sur bbret qu’elle n’a pas de point fixe.En fait, en terminale, il faut surtout être capable d’avoir une intuition du résultat à partir d’un petit dessin.

G - 4 : Étude de la suite (un) telle que un+1 = eun

Mathémator : Dans un premier temps, nous aurons besoin d’établire que, pour tout réel x on a ex > x. Commentallez-vous vous y prendre?Téhessin : Fastoche ! J’ai déjà résolu des centaines de problèmes similaires. Il suffit d’étudier la fonction ϕ :x 7→ ex − x et d’en déduire son signe. C’est comme si c’était fait.

Mathémator : Admettons... Vous pouvez en déduire deux choses intéressantes pour notre suite : elle est stricte-ment croissante et elle n’admet pas de point fixe. Je vous laisse régler ces menus détails.Téhessin (à part) : Ben tiens, ça m’aurait étonné.Mathémator : Comme elle n’admet pas de point fixe, qu’elle est continue sur IR, le théorème précédent assurequ’elle diverge, mais comment?Téhessin : Comme un devient de plus en plus grand, la suite va diverger vers l’infini.Mathémator : Attention à ce genre d’intuition qui vous a déjà fait dire qu’une suite croissante divergeaitforcément vers +∞. Malgré tout, nous pouvons conclure ici.Téhessin : Je me souviens : le problème, c’était qu’une suite strictement croissante pouvait converger , commepar exemple la suite de terme général un = 1− 1/n. Mais ici, on sait que la suite diverge, qu’elle est strictementcroissante, donc elle diverge forcément vers +∞.Mathémator : Cela mérite une petite preuve. Si la suite était majorée, comme elle est croissante, le fameuxthéorème des suites monotones assurerait que la suite convergerait. Or elle diverge, donc elle ne peut pas êtrebornée. Or une suite croissante non majorée diverge vers +∞ comme nous l’avons vu au début de l’année.Téhessin : Comme le temps passe...Et cette petite illustration? Je dois encore me taper tout le boulot je suppose.Mathémator : J’ai pitié : voici le dessin :

Figure VIII. 1


G - 5 : Étude de a0 = −1/2 et pour tout n ∈ IN an+1 =√

1 + an

Mathémator : On peut commencer par déterminer les points fixes de f : x 7→ √1 + x. Vous montrerez que leseul point fixe est d = (1 +

√5)/2 et même que

√1 + x > x si x ∈ [−1,d[,√1 + d = d√1 + x < x si x ∈]d,+∞[

On peut alors placer les premiers termes de la suite.

Figure VIII. 2

Téhessin : On dirait que la suite (an) est strictement croissante et qu’elle converge vers d.

Mathémator : C’est effectivement le cas, et pour le démontrer, il suffit de montrer que an < d pour tout n. Caralors, la suite sera non seulement majorée par d, mais aussi strictement croissante car si on a montré que an < d,alors comme an ∈ [−1,d[, on a

√1 + an > an pour tout n, c’est à dire an < an+1.

Téhessin : Mais est-ce que le fait que (an) soit croissante et majorée par d suffit à montrer qu’elle converge versd?

Mathémator : Non, bien sûr, cela montre seulement qu’elle converge. Mais comme la limite de (an) est un pointfixe de la fonction x 7→ √1 + x, car cette fonction est continue, la limite ne peut être que d.Téhessin : Il ne reste donc plus qu’à montrer que an < d pour tout n.Effectivement, et pour cela je vous renvoie à la question suivante.

G - 6 : Pourquoi des inégalités concernant u0 se conservent-elles?

Mathémator : C’est un cas de figure très fréquent dans l’étude des suites récurrentes : une certaine inégalité estvraie pour le premier terme u0, et on en déduit par récurrence que la même inégalité reste vraie pour tous les un.Dans l’exemple que l’on vient de voir, celui de la suite définie par

a0 = −1/2 et pour tout n ∈ IN an+1 =√

1 + an,

l’inégalité a0 < d, avec d = (1+√

5)/2, se conserve. En effet, si an < d pour un certain n, alors√

1 + an <√

1 + d,c’est-à-dire an+1 < d. On a donc montré que an < d pour tout n.Téhessin : Oui, mais là ça marchait bien parce que

√1 + d = d.

Effectivement, cette technique est particulièrement efficace pour majorer ou minorer un par un point fixe c de fquand f est croissante.Dans un autre registre, on peut aussi parfois déterminer le sens de variation de la suite (un) par « conservationd’inégalités ». Supposons par exemple que f soit croissante. Alors la position de u0 par rapport à u1 va déterminer


le sens de variation de la suite. En effet, si u0 6 u1, alors f(u0) 6 f(u1), c’est-à-dire u1 6 u2, etc : on obtientdonc par récurrence un 6 un+1 pour tout n... Et de même, u0 > u1 entraîne que la suite (un) est décroissante.Et dans le cas où f est décroissante, que peut-on obtenir par « conservation d’inégalités », Téhessin?Téhessin : Si par exemple on a u0 6 u1, on en déduit u1 > u2, puis u2 6 u3, puis u3 > u4... On va donc avoiru2n 6 u2n+1 et u2n+1 6 u2n+2 pour tout n, mais cela ne permet pas d’en déduire le sens de variation de la suite.

Mathémator : C’est exact. Mais nous n’entrerons pas dans les détails. Retenez plutôt que cette situation cor-respond au dessin suivant, style coquille d’escargot :

Figure VIII. 3

Téhessin : C’est très joli, mais pourquoi ne traitez-vous que les cas « f croissante » et « f décroissante ». Quese passe-t-il si f n’est ni l’un ni l’autre?

Mathémator : Il n’y a pas de réponse générale, le comportement de (un) peut même être très compliqué,« chaotique ». Pour vous amuser, vous pouvez examiner à la calculatrice le comportement d’une suite telle que

pour tout n ∈ IN un+1 = µun (1− un)

pour différentes valeurs de µ dans [3,4] et de u0 dans l’intervalle ]0,1[. Je vous conseille tout particulièrementµ = 3,95 et u0 = 0,01.

H - Suites adjacentes

H - 1 : Que sont des suites adjacentes?

Mathémator : Dire que deux suites sont adjacentes revient à dire qu’elles sont respectivement la suite desextrémités gauches et la suite des extrémités droites d’une suite de segments emboîtés dont la suite des longueurstend vers 0.Téhessin (à part) : Ca y est, il décolle, il faut l’arrêter... (à voix haute) Excusez-moi Maître, est-ce qu’onpourrait l’exprimer de manière plus simple?Mathémator : Si vous voulez mon brave petit Téhessin.

DéfinitionOn dit que deux suites (an)n∈IN et (bn)n∈IN sont adjacentes lorsque. (an)n∈IN est croissante,. (bn)n∈IN est décroissante,. lim

n→+∞(bn − an

)= 0.


Téhessin : Je comprends mieux. Et je vais vous étonner : je vais prendre une initiative et non plus écouterpassivement votre évangile mathématique.Allez hop, je fais un dessin pour illustrer la situation.

Mathémator : Et...Téhessin : Je m’aperçois que an 6 bn pour tout n, non?Mathémator : Vous avez raison, mais le fait que an 6 bn pour tout n est une conséquence des propriétés i), ii)et iii). En effet, sous ces conditions, la suite (bn − an) est décroissante, et comme elle converge vers 0, tous sestermes sont positifs ou nuls.Mais voici le principal, qui se comprend sur le dessin mais qui ne peut être démontré en terminale :

Théorème des suites adjacentesDeux suites adjacentes convergent vers une même limite.

Téhessin (à part) : Je le savais et il le dit avant moi, pffff...

H - 2 : À quoi servent les suites adjacentes?

Mathémator : Prenons un exemple. Pour calculer des valeurs approchées du nombre e, la base du logarithmenéperien, on peut utiliser le résultat classique que e est la limite de la suite de terme général

Sn =10!

+11!

+12!

+ · · ·+ 1n!

=n∑

k=0

1k!.

La suite (Sn)n∈IN est croissante, donc Sn 6 e pour tout n. Mais cela ne suffit pas à dire à quelle précision Sn estune valeur approchée de e.Téhessin : Pour cela, il faudrait majorer e.

Mathémator : Oui, et c’est là que peuvent intervenir les suites adjacentes. Car si l’on trouve une suite (Tn) telleque (Sn) et (Tn) soient adjacentes, alors elles convergeront toutes les deux vers la même limite, forcément égale àe, et on aura aussi Sn 6 e 6 Tn pour tout n. Ce qui permettra d’obtenir une valeur approchée de e à la précisionsouhaitée puisque Tn − Sn tend vers 0.Il reste à trouver une suite (Tn) convenable. D’autres s’en sont chargés avant nous et on montré que l’on pouvaitprendre

Tn = Sn +1

n · n!,

et je vous laisse le vérifier... Ce choix de Tn est particulièrement intéressant car Tn−Sn tend alors très vite vers 0, cequi permet d’obtenir une bonne précision pour des petites valeurs de n. Par exemple, puisque 1/(5 ·5!) = 0,0016...,on obtient une valeur approchée de e par défaut à 2 · 10−3 près, à savoir

S5 =12360

= 2,7166666...

Téhessin : Je comprends, mais j’ai une question : une fois que l’on aura montré que (Sn) et (Tn) sont adjacentes,est-ce qu’on ne pourra pas en déduire ce que vous aviez admis tout à l’heure, à savoir que la suite (Sn) convergevers e?

Mathémator : Que (Sn) converge, oui ! Il suffit d’appliquer le théorème des suites adjacentes. Mais attention,cela ne permettra pas de montrer que la limite de (Sn) est égale à e...

I - Exercices sur les suites adjacentes et celles définies parun+1 = f(un)

Exercice 1Pour tout entier naturel n, on pose Sn =

n∑

k=0

1k!

et Tn = Sn +1nn!

.

1) Montrez que les deux suites sont adjacentes.


2) On peut remarquer que (Tn − Sn) tend « très vite » vers 0. Déduisez-en une valeur approchée à 10−3 prèsde la limite commune de (Sn) et (Tn). Vous admettrez qu’il s’agit en fait du nombre e.

Exercice 2

1) Soient a,b > 0. Montrer que√ab 6 a+ b

2.

2) Montrer les inégalités suivantes sachant que b > a > 0 :

a 6 a+ b

26 b et a 6

√ab 6 b

3) Soient u0 et v0 des réels strictement positifs avec u0 < v0. On définit deux suites (un) et (vn) de la façonsuivante :

un+1 =√unvn et vn+1 =

un + vn2

.

a) Montrer que 0 < un 6 vn quel que soit n ∈ IN.b) Montrer que (vn) est une suite décroissante.c) Montrer que (un) est croissante. En déduire que les suites (un) et (vn) sont convergentes et quelles ont

même limite sans et avec le théorème des suites adjacentes.

Exercice 3

Soient a0 et b0 deux réels fixés tels que a0 6 b0. On définit par récurrence les suites (an) et (bn) par

an+1 =2an + bn

3et bn+1 =

an + 2bn3

1) Montrer que an − bn =a0 − b0

3n.

2) Montrer que ces deux suites sont adjacentes.

3) En calculant an + bn, montrer qu’elles convergent versa0 + b0

2.

Exercice 4

Soit (un)n∈IN la suite définie par u0 = −4 et un+1 =√un2

+ 3

1) Montrez par récurrence que (un)n∈IN∗ est bornée par 0 et 2.2) Montrez que (un)n∈IN est croissante.3) a) Démontrez par récurrence que :

0 < 2− un 6 1/2n−1 pour tout n ∈ IN∗

b) Déduisez-en que (un)n∈IN converge.

Exercice 5

Mathématiques du chaos...Certaines années, les plages sont envahies de méduses, l’année suivante, elles semblent avoir disparues, puis ellesreviennent,... Vers 1950, l’écologie naît en tant que science. Pour décrire l’évolution annuelle d’une populationdans une région donnée, certains mathématiciens proposent le modèle suivant: on suppose que, dans la région, lapopulation ne peut dépasser un seuil maximal. Si l’on note xn la proportion de ce maximum lors de l’année n,alors:

xn+1 = rxn(1− xn) , r étant une constante positive

1) Justifier brièvement que pour tout n ∈ IN on a xn ∈ [0; 1]


2) Soit f la fonction définie sur [0; 1] par:f(x) = rx(1− x)

Etudier ses variations et en déduire que r ∈ [0; 4]

On donne x0 = 0,2. Nous allons étudier l’évolution de la population pour différentes valeurs de r.

3) Dans cette question, on choisit r = 2.a) Tracer C, la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O,−→u ,−→v ) d’unités 10 cm en abscisses

et 30 cm en ordonnées puis représenter graphiquement x0, x1, x2 et x3.b) Quelle conjecture peut-on émettre?c) Établir que pour tout n ∈ IN xn ∈

[0; 1

2

]

d) Montrer que (xn) est convergente puis déterminer sa limite.e) Interpréter les résultats obtenus.

4) Dans cette question, on choisit r = 0,9.a) À l’aide d’un tableur, obtenir une valeur approchée à 10−4 près de chacun des dix premiers termes de

(xn). Quelle conjecture peut-on émettre?b) Vérifier cette conjecture.c) Interpréter les résultats obtenus.

5) Dans cette question, on choisit r = 3,5.À l’aide d’un tableur, obtenir une valeur approchée à 10−4 près de chacun des 50 premiers termes de (xn).Quelle conjecture peut-on émettre?

6) Dans cette question, on choisit r = 3.544.À l’aide d’un tableur, obtenir une valeur approchée à 10−4 près de chacun des 50 premiers termes de (xn).Quelle conjecture peut-on émettre?

7) Dans cette question, on choisit r = 3,831 874 048.À l’aide d’un tableur, obtenir une valeur approchée à 10−4 près de chacun des 50 premiers termes de (xn).Quelle conjecture peut-on émettre?

Exercice 6

Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle toujours une limite rationnelle?

Soit (un) la suite définie sur IN par:

u0 = 2

un+1 =12(un +

2un

) pour tout n ∈ IN

1) Montrez que, pour tout n ∈ IN, un > 0.

2) Montrez que, pour tout n ∈ IN un+1 −√

2 =(un −

√2)2

2un3) En déduire que (un) est minorée par

√2.

4) Déduisez-en que, pour tout n ∈ IN,2u2n

6 1.

5) Etudiez alors les variations de (un) et déduisez-en que cette suite est convergente.6) Déterminez la limite ` de (un).7) Montrez que, pour tout n ∈ IN, un ∈ Q

. Est-ce que ` ∈ Q pour autant? Incroyable, non?

8) Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle toujours une limite rationnelle?

9) Soit (yn) la suite définie sur IN par: pour tout n ∈ IN yn =2un

a) Montrer que (yn) est majorée par√

2 puis étudier ses variations.b) Prouver que pour tout n ∈ IN

√2 + 1 6 un + yn 6

√2 + 2

c) Etablir que pour tout n ∈ IN 0 6 un+1 − yn+1 =(un − yn)2

2(un + yn)6

(un − yn)2

4


d) En déduire que pour tout n ∈ IN 0 6 un − yn 6 (1/4)2n−1

e) Que peut-on dire des suites (un) et (yn)?10) En déduire une valeur approchée rationnelle de

√2 à 10−9 près.

11) Comment qualifieriez-vous la convergence de (un) vers√

2? Justifier.

J - MÉTHODE DE NEWTON

La méthode de Newton (ou méthode des tangentes) est une manière d’obtenir des approximations numériquesd’un “zéro” d’une fonction (c’est-à-dire d’un nombre où la fonction s’annule). Dans cet exercice, on décrit cetteméthode, puis on l’applique au calcul des premières décimales de

√2. La deuxième partie de l’exercice propose

de comparer cette méthode avec la méthode par dichotomie. 13

I. La méthode de Newton

Question 1. Formule

À partir de l’encadré décrivant graphiquement la méthode de Newton, trouver la formule donnant x1 en fonctionde x0.Quelles hypothèses doit-on faire sur f et x0 pour que la formule ait un sens?

La méthode de NewtonToutes les méthodes de recherche numérique de zéro de fonctions suivent le même principe général : à partird’une “première bonne approximation” du zéro recherché, trouver une approximation qui soit encore meilleure,puis recommencer...Voici comment procède la méthode de Newton. Soit f une fonction de IR dans IR.

1) On part d’un nombre “quelconque” x0 ;2) à partir de x0, on calcule un nouveau nombre x1 de la manière suivante (voir figure ) : on trace la tangente

au graphe de f au point d’abscisse x0, et on détermine le point d’intersection de cette tangente avecl’axe des abscisses. On appelle x1 l’abscisse de ce point d’intersection ;

3) et on recommence : on calcule un nouveau nombre x2 en appliquant le procédé décrit au point 2 où l’onremplace x0 par x1 ;

4) et caetera...

x0x1

Le zéro recherché

Question 2. Calcul explicite

On veut utiliser la méthode de Newton pour calculer, à la main, une approximation décimale du nombre√

2. Pourça, on prend la fonction f(x) = x2 − 2 (remarquez que

√2 est bien un zéro de f !), et on part de x0 = 1.

a. Tracer la fonction f , représenter graphiquement les nombres x0, x1, x2 et x3. Calculer, à la main, les nombresx1, x2 et x3 sous forme de fraction.

13. Étant donné le titre de l’exercice, les calculs seront faits sans utiliser de calculatrice...


b. Sachant que le début du développement décimal de√

2 est :

1.414213562

dire, pour x3, combien on a trouvé de “bonnes” décimales.

c. Autres choix d’approximation initiale On considère toujours la fonction f(x) = x2− 2. Que se passe-t-ilsi on part d’une autre valeur que 1 pour x0 ? Décrire, en fonction du choix de x0 dans IR, le comportementde la méthode de Newton (ne pas oublier les cas particuliers !). Pour le zéro

√2 de cette fonction f , comment

préciserait-on la notion de “première bonne approximation” dont parle l’encadré?

Question 3. Preuve

Dans le cas précédent (f = x2−2 et x0 = 1), prouver que la suite (xn) définie par la méthode de Newton convergevers

√2.

II. Partie optionnelle : comparaison avec la dichotomie

Rappel : la méthode par dichotomieVoici une description de la méthode par dichotomie vue au chapitre précédent.Soit f une fonction de IR dans IR, dont on connait le sens de variation autour de α : par exemple, f est négativeavant α et positive après.

1) On commence par choisir un nombre x0 que l’on sait être plus petit que le zéro α recherché ;2) on choisit aussi un nombre x1 plus grand que α ;3) on prend pour x2 le milieu de l’intervalle [x0,x1] : x2 découpe cet intervalle en deux intervalles deux fois

plus petits, l’intervalle de gauche [x0x2] et l’intervalle de droite [x2x1] ;4) le nombre x3 est alors déterminé de la manière suivante : si α est dans l’intervalle de gauche (autrement

dit si f(x2) > 0), alors on choisit pour x3 le milieu de cet intervalle ; sinon, on choisit le milieu del’intervalle de droite.

5) et on recommence : le nombre x3 découpe le nouvel intervalle en deux intervalles deux fois plus petits,et on choisit pour x4 le milieu d’un de ces deux intervalles, selon la position de α.

6) et caetera...

Question 1. Nouveau calcul explicite

On cherche à nouveau une approximation de√

2. Pour ça, on va appliquer la méthode par dichotomie (voirencadré) avec x0 = 1 et x1 = 2.

a. Montrer rapidement (mais rigoureusement) que√

2 ∈ [x0,x1].

b. Calculer les nombres x2, x3, x4, x5 sous forme de fraction. Représenter-les sur un dessin.

c. Dire, pour x5, combien on a trouvé de « bonnes » décimales.

Question 2. Preuve

Dans le cas particulier précédent (f = x2 − 2 et x0 = 1), prouver que la suite (xn) définie par la méthode dedichotomie converge vers

√2.

Question 3. Bilan

Comparer les deux méthodes sur cet exemple.

LES PRIMITIVES

A - EXERCICES D’INTRODUCTION

A - 1 : Primitives d’une fonction du type u′ un

Si vous reconnaissez une forme du style u′ un, alors une primitive seraun+1

n+ 1.

Soit par exemple f(x) =3

(x− 1)2= 3(x − 1)−2. Si nous posons u(x) = x − 1, alors u′(x) = 1, donc f(x) =

3u′(x)(u(x)

)−2 et F (x) = 3

(u(x)

)−2+1

−2 + 1= 3

(u(x)

)−1

−1= − 3

x− 1

Exercice 1f est la fonction définie sur I = [−1,8] par

f(x) =2x3 + 8x2 + 8x− 3

x2 + 4x+ 4

1) Prouvez que pour tout x ∈ I, f(x) = 2x− 3(x+ 2)2

2) a) Déduisez-en une primitive G de f sur I.b) Calculez la primitive F de f telle que F (0) = 2.

Exercice 2Étudiez si F est une primitive de f sur I

1) f(x) =2x2 + 8x− 5(x2 + x+ 3)2

et F (x) =x2 − x+ 2x2 + x+ 3

avec I = IR

2) f(x) =2x− 32x√x

et F (x) =2x+ 3√

xavec I =]0,+∞[

3) f(q) =3q − 4√2q − 4

et F (q) = q√

2q − 4 avec I =]2,+∞[

Exercice 3Le coût marginal est la dérivée du coût total.Le coût marginal d’un produit en milliers d’euros est défini sur [1,10] par

Cm(q) = q2 − 10q +1q2

+ 30

Déterminez le coût total sachant qu’il est de 10 000 euros pour q = 1.


Exercice 4

1) f est la fonction définie sur ]2,+∞[ par f(x) = − 2(x− 2)2

Calculez une primitive F de f sur ]2,+∞[

2) G est la fonction définie sur ]2,+i nfty[ par G(x) =3x− 4x− 2

Calculez la fonction dérivée de G.3) Que pouvez-vous en déduire pour les fonctions F et G?

Vérifiez ce résultat en calculant F (x)−G(x).

Exercice 5Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0,4] dont la représentation graphique, dans un repèreorthonormal (O,

−→i ,−→j ) est la courbe C ci-dessous

M

N

P

S

Q

R

(D)O x

y

+1

+1

Les points M , N , P , Q et R appartiennent à C. Les coordonnées de M sont (0,3/2), celles de N (1,7/2), celles deP (2,2/5) celles de Q (3,3/2) et celles de R (4,7/2).La courbe C admet en chacun des points N et Q une tangente parallèle à l’axe des abscisses.La droite (D) est tangente à la courbe C au point P ; elle passe par le point S de coordonnées (3,1).

1) a) Donnez par lecture graphique f ′(1), f ′(2) et f ′(3).b) Déterminez une équation de la droite (D).

2) Déterminez à l’aide du graphique le nombre de solutions de l’équation f(x) = 3 sur l’intervalle [0,4].3) a) Pour tout x ∈ [0,4], on admet que f ′(x) = a(x− 1)(x− 3), a étant une constante réelle.

Déterminer a à l’aide des résultats de la question 1)a).

b) Vérifiez que pour tout x ∈ [0,4], f ′(x) =32x2 − 6x+

92.

Déterminez l’expression de f(x) pour x ∈ [0,4].

B - UN BEAU PROBLÈME UTILISANT LES PRIMITIVES

La partie A est indépendante de partie B et C.

B - 1 : Recherche d’une primitive

90 LES PRIMITIVES

Le but de la partie est de trouver une fonction définie et dérivable sur ]− 1,1[ telle que

f ′(x) =

11− x2

f(0) = 0(1)

1) Analyse : supposons qu’il existe une telle fonction.

a) Montrez que (1)⇐⇒ (1− x)f ′(x) =1

1 + x

b) Déterminez une primitive F1 de la fonction x 7→ 11 + x

sur ]− 1,1[

c) Montrez que (1− x)f ′(x) = f ′(x) +12−2x

1− x2

d) Déduisez-en une autre primitive F2 de x 7→ (1− x)f ′(x) sur ]− 1,1[ en fonction de f .e) Déduisez de b) et c) l’expression de f en fonction de x.

2) Synthèse : vérifiez que la solution trouvée satisfait les conditions.

B - 2 : Étude de la fonction tangente hyperbolique

Soit ϕ : IR→ IR, x 7→ ex − e−xex + e−x

1) Montrez que ϕ est dérivable et calculez ϕ′. Déduisez-en le sens de variation de ϕ.2) Étudiez limites et asymptotes aux bornes de l’ensemble de définition.3) Dressez le tableau de variation de ϕ.4) Vérifiez que ϕ′ = 1− ϕ2.5) Déterminez une équation de la tangente à Cϕ au point d’abscisse 0.

6) Montrez que ϕ(a+ b) =ϕ(a) + ϕ(b)

1 + ϕ(a).ϕ(b).

7) Tracé de Cϕ, des asymptotes et de la tangente dans le repère qui va bien.

B - 3 : Fonction argument tangente hyperbolique

1) Définition de la fonction

a) Montrez que ϕ(x) = t admet une unique solution pour tout t ∈]− 1,1[.

b) Montrez que x =12

ln1 + t

1− t2) Étude de la fonction

On pose g : ]− 1,1[→ IR, x 7→ 12

ln1 + x

1− xa) Montrez que g est dérivable et calculez g′(x).b) Déduisez-en les variations de g.c) Déterminez une équation de la tangente à Cg au point d’affixe 0.d) Déterminez limites et asymptotes aux bornes de l’ensemble de définition de g.e) Dressez le tableau de variation de g.f) Tracez Cg, les asymptotes et la tangentes sur le même graphique qu’à la question B)7).

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

A - FORMONS DES COUPLES

Pour la fête de l’école, les élèves de CE2 ont préparé une danse qui s’exécute par couples : un garçon, une fille.La maîtresse doit faire des essais pour trouver les couples qui s’accordent le mieux, en appelant d’abord le garçonpuis la fille.Voici l’ensemble des garçons G =

Alain ; Bernard ; Pierre

Voici l’ensemble des filles F =

Lise ; Renée ; Catherine ; Denise

En mathématiques, nous aurons souvent à écrire des couples, appelés aussi 2-listes. Pour cela, nous utiliseronstoujours la même écriture; par exemple, le couple formé du garçon « Alain » et de la fille « Renée » sera écrit : (Alain , Renée ). Dans ce couple, « Alain » est le premier terme et « Renée » le deuxième terme. L’ordre destermes est important.Citons le plus possible de couples. Nous en avons trouvé beaucoup; le travail devient difficile : il faut vérifier pourchaque couple nouveau qu’il n’a pas été cité; sommes-nous sûr(e)s de ne pas en avoir oublié?Il existe un moyen très facile qui nous permettra d’écrire tous les couples : un arbre. Les trois premières branchesreprésentent chacune un garçon. De l’extrémité de chacune de ces branches partent quatre branches représentantchacune une fille. À chaque extrémité de ces dernières branches nous pouvons écrire un couple.

Il y a donc 3× 4 couples distincts : 3 possibilités pour le garçon × 4 possibilités pour la fille.

B - FORMONS DES COUPLES DANS UN MÊME ENSEMBLE

Nous voulons créer un drapeau à deux cases. Pour cela nous disposons de quatre couleurs : bleu, jaune, rouge etvert. Les cases doivent être coloriées de deux couleurs différentes.Avec les éléments de l’ensemble B,J nous pouvons former les deux drapeaux ou plutôt les deux couples (B,J)et (J,B).

92 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Comme nous voulons deux couleurs différentes, la couleur de la case de gauche ne peut pas être réutilisée pour lacase de droite.

L’arbre nous confirme qu’il y a 4× 3 couples (drapeaux) possibles.(D’après « mathématique contemporaine CM1 » - 1975)À partir de cette dernière situation, nous pouvons répondre aux questions suivantes :. On choisit un drapeau au hasard. Quelle est la probabilité p1 qu’il soit jaune et vert, dans cet ordre?

. On choisit un drapeau au hasard. Quelle est la probabilité p2 qu’il soit jaune et vert, l’ordre étant sansimportance?

. Sachant que la case de droite est verte, quelle est la probabilité p3 que la case de gauche soit bleue?

. On choisit un drapeau au hasard. Quelle est la probabilité p4 que la case de gauche soit jaune?

. On choisit un drapeau au hasard. Quelle est la probabilité p5 que la case de droite soit jaune?

C - ARBRE PONDÉRÉ

On peut répondre aux mêmes questions à l’aide d’un arbre pondéré, c’est à dire un arbre dont chaque branche estmarquée de la probabilité (du poids) correspondant.On vérifie que la somme des probabilités de chaque « ramification » est égale à 1.

D - QUELQUES EXERCICES

D - 1 : Pour s’amuser...

Exercice 1Pour réussir une carrière politique en Corrèze, il faut une implantation locale. Dans cette perspective, un jeuneénarque décide d’acquérir un château corrézien. Pour se faire connaître, il hante les commices agricoles du dé-partement. Il a ainsi deux chances sur trois d’être élu député. Si, par dessus le marché, il touche le derrière desvaches, cette probabilité passe à trois chances sur quatre. Il y a trois chances sur cinq pour que, son conseiller encommunication lui ayant refilé le tuyau, il touche le derrière des vaches.

1) Calculez la probabilité pour qu’il soit élu député.

Réponse:43/60

2) Il est député. Calulez la probabilité pour qu’il ait touché le derrière des vaches.

Réponse:27/43


Exercice 2Clotaire est distrait. Quand il part travailler, il oublie parfois de s’habiller et prend le tramway entièrement dévétu.Quand il a voyagé la veille nu, il voyage nu une fois sur cinq le jour même; sinon, une fois sur deux.On note Nn l’événement « il voyage le nième jour nu » et pn sa probabilité.

1) Exprimez pn+1 en fonction de pn.

Réponse:pn+1=1/2−3pn/10

2) On pose un = pn − 5/13a) Exprimez un+1 en fonction de un, puis de u1 et n.

Réponse:un=u1(−3/10)n−1

b) Exprimez alors pn en fonction de n.c) Montrez que la suite (pn) est convergente et calculez sa limite.

Réponse:5/13

Exercice 3Des études morphologiques de la Vénus de Milo montrent qu’il y a cinq chances sur sept pour qu’elle soit droitièreet deux chances sur sept pour qu’elle soit gauchère.

– Si elle est droitière, il y a trois chances sur cinq pour qu’elle épluche des carottes et deux chances sur cinqpour qu’elle dénoyaute des olives.

– Si elle est gauchère, il y a une chance sur deux pour qu’elle épluche des carottes et une chance sur deuxpour qu’elle dénoyaute des olives.

1) Calculez la probabilité pour qu’elle dénoyaute des olives.

Réponse:3/72) Les noyaux trouvés sur le site archéologique de la statue permettent d’affirmer sans hésiter qu’elle dénoyaute

des olives.Calculez la probabilité pour qu’elle soit gauchère.

Réponse:1/3

Exercice 4Rastatopoulos, célèbre poète grec du XXe siècle avant GC, nous rapporte l’anecdote suivante.La Vénus de Milo rangeait ses olives dans trois amphores. Dans la première, il y avait 30 olives vertes et 20 olivesnoires. Les deux autres amphores contenaient, l’une quatre olives vertes (Rastatopoulos ne sait plus laquelle),l’autre quatre olives noires (Rastatopoulos ignore évidemment de quelle amphore il s’agit).Un jour d’éclipse totale du soleil, la Vénus de Milo prend, au hasard, une olive de la première amphore, puisla place dans une des deux autres amphores. Elle prend ensuite dans celle-ci une olive au hasard et le soleilréapparait : l’olive est verte.Calculez la probabilité pour que la dernière amphore visitée contienne plusieurs olives vertes.On pourra considérer les événements suivants

– V1 : « la première olive est verte »– A : « la deuxième amphore contenait les quatre olives vertes »– V2 : « la deuxième olive est verte »

Réponse:23/26

Exercice 5Périclès est goutteur d’olives dans une usine grecque. Un matin, il goutte cent olives au hasard et les replace dansle réservoir.L’après-midi, l’ouzo de l’apéritif lui a fait perdre la mémoire. Il goutte à nouveau cent olives dans le mêmeréservoir. Douze d’entre elles avaient déjà été machées.


On note A l’événement « il y a douze olives machées parmi les cent choisies » et Bn l’événement « il y a n olivesdans le réservoir ».On considère la fonction f définie pour les entiers supérieurs à cent par

f(n) = pBn(A)

et la suite (un) définie pour les entiers supérieurs à 100 par

un = f(n+ 1)/f(n)

1) Comparez un à 1.2) Montrez que la fonction f atteint un maximum sur [[100,+∞[[.3) On appelle maximum de vraissemblance m la valeur de n correspondant à ce maximum. Déterminez m.

Réponse:m=833

Exercice 6Le pokerUne main au poker est constituée de 5 cartes tirées d’un jeu de 52 cartes. Combien y a-t-il de mains contenantdes carrés (XXXXY)? des fulls (XXXYY)? des brelans (XXXYZ)? des doubles paires (XXYYZ)? des paires(XXYZA)?Deux lettres identiques (par exemple XX) correspondent à deux cartes de même hauteur (par exemple deuxdames).

Réponse:624carrés,3744fulls,54912brelans,123552doublespaires,1098240paires.

Exercice 7L’âge du capitaineLe capitaine des pompiers de New-York réside à l’angle de la 7ème rue et de la 33ème avenue. La caserne se trouveà l’angle de la 15ème rue et de la 40ème avenue. Il s’y rend tous les jours à pied et sans perdre de temps (i.e. dans lesens des numéros croissants aussi bien pour les rues que pour les avenues). Sachant qu’il a commencé à travaillerle jour de ses 18 ans, et sachant qu’il n’est jamais passé deux fois par le même chemin, quel est l’âge maximumdu capitaine?

Réponse:maximum35ans.

D - 2 : Passons aux choses sérieuses : les probas au Bac

Exercice 8

1) Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.On tire au hasard un jeton de l’urne, on lit le numéro, noté a, porté sur le jeton, puis on remet le jeton tirédans l’urne.On tire ensuite un deuxième jeton de l’urne et on note b le numéro du jeton tiré.On note P (a,b) = a(1 + b)− 5 + b(1− a)Montez que la probabilité que P (a,b) soit nul est égale à 1/4.

2) Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d’un certain nombre de parties identiques décritesci-après : au cours d’une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la premièrequestion.Si A obtient un P (a,b) nul et B un P (a,b) non nul, A est déclaré vainqueur et le jeu s’arrête.Si A obtient un P (a,b) non nul et B un P (a,b) nul, B est déclaré vainqueur et le jeu s’arrête.Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie; le jeu continue.Pour tout entier n, on désigne par :

– An l’événement : « A gagne la nème partie »


– Bn l’événement : « B gagne la nème partie »– Cn l’événement : « le jeu continue après la nème partie »

a) Calculez les probabilités p(A1), p(B1) et p(C1).b) Exprimez p(Cn+1) en fonction de p(Cn) et montrez que

p(Cn) =(

58

)n

c) Exprimez p(An+1) en fonction de p(Cn) et montrez que

p(An) =316

(58

)n−1

3) a) Déterminez la limite de p(An) quand n tend vers +∞.b) Déterminez le plus petit entier n tel que p(An) soit inférieur ou égal à 0,01.

Exercice 9Une variante de l’exercice précedent utilisant le calcul intégral

1) Le but de cette question est de déterminer la probabilité que la somme de deux nombres choisis au hasarddans l’intervalle [0,1] ne dépasse pas 1 et que le produit fasse au plus 2/9.a) Dans un repère orthonormé d’unité 10cm, construisez la droite (D) d’équation y = −x+ 1 et la courbe

(C) d’équation y =2

9x.

b) Hachurez la partie du plan E = x ∈ [0,1], y ∈ [0,1]∣∣ x+ y 6 1 et xy 6 2/9.

c) Déterminez les coordonnées des points d’intersection de (D) et (C).

d) Montrez que l’aire A de E vaut13

+29

ln 2 u.a.

e) En remarquant que la probabilité p cherchée vautA

aire du carré unité, calculez p. Cette probabilité

dépend-elle de l’unité choisie?2) Jouons : on choisit au hasard et successivement trois couples de nombres compris entre 0 et 1. On gagne

lorsque deux au moins des couples satisfont la condition de la question 1).Calculez la probabilité π de gagner une partie en fonction de p.

3) Deux personnes A et B jouent à ce jeu.Si A gagne une partie et B perd, A est déclaré vainqueur.Si A perd une partie et B gagne, B est déclaré vainqueur.Dans les autres cas, ils recommencent à jouer.On noteAn l’événement : « A est déclaré vainqueur après la nème partie ».Bn l’événement : « B est déclaré vainqueur après la nème partie ».Cn l’événement : « le jeu continue après la nème partie ».

a) Calculez p(A1), p(B1) et p(C1).b) Exprimez p(Cn+1) en fonction de p(Cn).c) Déduisez-en que (Cn)n∈IN est une suite géométrique et exprimez p(Cn) en fonction de n et p(C1).

Donnez une valeur approchée à 10−1 près de p puis de π. Calculez alors limn→+∞

Cn.

d) Exprimez p(An+1) en fonction de p(Cn) et déduisez-en p(An) en fonction de n.

Exercice 10Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale,qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.


Pour tout entier naturel n > 1, on note En l’événement : « Amélie est arrêtée par le nème feu rouge ou orange »et En l’événement contraire (le feu orange est considéré comme un feu rouge).Soit pn la probabilité de En et qn celle de En. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orangevaut 1/8.On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées

– la probabilité que le (n + 1)ème feu tricolore soit rouge ou orange, si le nème feu est rouge ou orange, vaut1/20.

– la probabilité que le (n+ 1)ème feu tricolore soit rouge ou orange, si le nème feu est vert, vaut 9/20.

1) On s’intéresse tout d’abord aux deux premiers feux tricolores. Complétez un arbre pondéré rendant comptede la situation.

2) On se place maintenant dans le cas général.a) Donnez les probabilités conditionnelles pEn(En+1) et pEn(En+1).b) En remarquant que En+1 = (En+1 ∩ En) ∪ (En+1 ∩ En), montrez que, pour tout n ∈ IN∗

pn+1 =120pn +

920qn

c) Déduisez-en l’expression de pn+1 en fonction de pn.3) Soit (un) la suite de nombres réels définie pour tout n ∈ IN∗ par un = 28pn − 9.

a) Montrez que (un) est géométrique et déterminez sa raison.b) Exprimez un puis pn en fonction de n.c) Déterminez la limite, si elle existe, de pn lorsque n tend vers +∞. Interprétez ce résultat.

Exercice 11On considère l’ensemble E = 0,1,2,3,4,5,6,7.Avec deux chiffres distincts x et y de E on crée un unique domino simple noté indifféremment [x,y] ou [y,x].Avec un chiffre z de E, on forme un unique domino double noté [z,z].

1) Combien de dominos peut-on ainsi créer?2) On tire au hasard un domino.

a) Quelle est la probabilité d’obtenir un domino constitué de chiffres pairs?b) Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire?

3) On tire au hasard et simultanément deux dominos.Un élève affirme : « la probabilité d’obtenir un domino double et un simple dont l’un des chiffres est celuidu domino double est égale à 4/45 ».Son affirmation est-elle vraie ou fausse?

Exercice 12On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches ou rouges indiscernables au toucher. L’épreuveconsiste à choisir une urne parmi les urnes a et b proposées (le choix de l’urne est effectué au hasard, les deuxchoix sont équiprobables), puis à effectuer lle tirage d’une boule dans l’urne choisie.On note A l’événement « l’urne a est choisie », B l’événement « l’urne b est choisie » et R l’événement « uneboule rouge est obtenue au tirage ».On note pA(R) la probabilité conditionnelle de l’événement R par rapport à l’événement A.

1) Dans cette question, l’urne a contient une boule rouge et quatre boules blanches, l’urne b contient quatreboules rouges et deux boules blanches.a) Déterminez les probabilités p(A), pA(R), p(A ∩R).b) Montrez que p(R) = 13/30.c) Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne a?

2) Dans cette question , l’urne a contient quatre boules blanches, l’urne b contient deux boules blanches. L’urnea contient en outre n boules rouges et l’urne b en contient (5− n), où n désigne un entier naturel inférieurou égal à 5.a) Exprimez pA(R) et pB(R) en fonction de n.


b) Montrez que p(R) =−n2 + 4n+ 10(4 + n)(7− n)

c) On sait que n ne prend que six valeurs entières.Déterminez la répartition des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus grande valeurde p(R).

DÉNOMBREMENTS

A - PERMUTATIONS

Le Père Noël a offert à ma petite cousine Josette un jeu de cubes où sont inscrits les lettres de l’alphabet.Très pédagogue, je lui donne d’abord les trois cubes A, B et C. Combien de « mots » de 3 lettres peut-elle alorsformer? Et si je lui en donne quatre? vingt-six? trente-deux?

Moralité : avec un ensemble (non ordonné) a,b,c de trois éléments, je peux former 3× 2× 1 listes (ordonnées),comme par exemple (a,b,c), (b,a,c), (c,b,a), etc.Je peux donc permuter 3 cubes de 3× 2× 1 manières différentes.

Soit n un entier naturel non nul. Le nombre n× (n− 1)× · · · × 2× 1 est appelé factorielle n. On note

n! = n× (n− 1)× · · · × 2× 1

Conventionnellement, 0! = 1.

D’après notre petite étude, nous pouvons donc dire maintenant que

le nombre de permutations d’un ensemble contenant n éléments est n!.

Exemples :. il y a trente-deux chaises dans une salle. Dénombrer toutes les manières possibles pour les élèves de TS6

d’occupper les chaises de la salle.

. Combien y a-t-il d’annagrammes du mot ZOÉ?

du mot ANA?


B - COMBINAISONS

Il n’y a pas assez de gagnants au loto. Les règles en sont donc modifiées. Il s’agit maintenant de trouver 3 numérosparmi 5. Combien y a-t-il de grilles (combinaisons) possibles?Par exemple, on pourrait dire que j’ai cinq manières de choisir le premier numéro, quatre choix pour le deuxièmeet trois choix pour le troisième, donc il y a 5× 4× 3 grilles différentes,MAIS

Posons une petite définition pour clarifier les débats. Donnons en fait un nom à une grille du loto, c’est à dire àun sous-ensemble (une partie) contenant p éléments d’un plus grand ensemble contenant n éléments.

Soit n et p deux entiers naturels et E un ensemble contenant n éléments. Un sous-ensemble de E contenant péléments est appelé une combinaison de p éléments de E ou encore une p-combinaison d’éléments de E.

Or ce qui nous intéresse, c’est le nombre de ces combinaisons, donc introduisons une notation

Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté(n

p

)ou encore Cpn

Revenons à notre mini-loto. Considérons une grille quelconque (c’est à dire une 3-combinaison de l’ensemble des5 numéros) : par exemple 2,4,5. Nous avons vu dans le paragraphe précédent qu’il y a 3! facons d’ordonner cesnombres. Finalement, il y a

(53

)× 3! suites de 3 nombres ordonnées. Or nous en avons comptées 5× 4× 3 tout àl’heure. Nous en déduisons finalement que (

53

)=

5× 4× 33!

Il est alors aisé de généraliser la formule suivante :

(n

p

)=n(n− 1

)(n− 2

) · · · (n− (p− 1))

p!

Nous pouvons formuler cette propriété plus synthétiquement. En effet(n

p

)=n(n− 1)(n− 2) · · · (n− p+ 1)

p!× (n− p)(n− p− 1)(n− p− 2)× · · · × 2× 1

(n− p)(n− p− 1)(n− p− 2)× · · · × 2× 1=

n!p!(n− p)!

d’où

(n

p

)=

n!p!(n− p)!

LOGARITHME NÉPÉRIEND’où ça vient?

A - DIFFÉRENTES DÉFINITIONS

Comme souvent en mathématiques, un même objet (ici le logarithme népérien) peut être défini de différentesmanières (nous en verrons trois) mais nous aboutirons malgré tout aux mêmes propriétés : le procédé de fabricationchange, mais le produit fini est le même.

A - 1 : Cherchons des fonctions vérifiant f(a× b) = f(a) + f(b)

Historiquement, le logarithme népérien a été pour la première fois mis en évidence par l’Écossais John Napier(en français Jean Néper..) au tout début du XV IIe siècle. Afin de faciliter la vie des astronomes, navigateurs,financiers de l’époque qui étaient confrontés à des calculs...astronomiques, John rechercha une fonction qui puissetransformer des produits très compliqués à calculer en sommes plus abordables. Il a donc été amené à résoudreune équation fonctionnelle, i.e. il a recherché les fonctions f vérifiant

f(a× b) = f(a) + f(b)

Il a pu alors établir des Tables de logarithmes, complétées au fil des ans par des potes mathématiciens (nousverrons comment ils ont pu se débrouiller en exercice). À partir de deux nombres a et b, on lit sur les Tablesleurs logarithmes ln a et ln b; on calcule facilement ln a+ ln b qui est égal à ln ab, puis on cherche sur les Tables lenombre qui admet pour logarithme ln ab et qui est bien sûr ab.

A - 2 : Existe-t-il des primitives de x 7→ 1/x?

Autre problème : nous connaissons des primitives des fonctions qui à x associent respectivement x2, x1, x0, x−2,x−3, etc. Vous avez tout de suite remarqué que nous avons oublié quelqu’un : quelles peuvent être les primitivesde la fonction qui à x associe x−1 = 1/x? Une rapide enquête mathématique nous conduit à trouver qu’il s’agiten fait de fonctions vérifiant l’équation fonctionnelle du copain John. Nous le verifierons là encore en exercice, etc’était l’approche au programme jusqu’à l’année dernière.

A - 3 : Quelle est la réciproque de la fonction exponentielle?

Cette année, comme d’habitude, nous roulons pour le nucléaire. Nous avons déjà défini une fonction obéissantà la loi de décomposition radioactive, à savoir la fonction exponentielle. Mais de nouveaux problèmes se posentau moment de construire de nouvelles centrales : dans combien de milliards d’années les habitants de Tchernobylne risqueront plus d’attrapper un cancer de la thyroïde en ingérant les légumes irradiés de leurs potagers. LePhysicien est alors amené à résoudre une équation d’inconnue y du type

ey = 32

Quel est donc ce y dont l’exponentielle vaut 32? Alain Pierrot, célèbre physicien du XXIe siècle, vous a déjàdonné la réponse : on l’appelle ln 32.


Extrait des tables portatives de logarithmes publiées en 1795 par François Callet:

102 LOGARITHME NÉPÉRIEN - UNE INTRODUCTION

B - CONSTRUISONS LE LOGARITHME

Résumé Où les mathématiques rejoignent l’alchimie : guidés par la Force,nos héros transforment les produits en somme, créent de nouvelles fonctions.On touche au divin...

Mathémator : Aujourd’hui, cher disciple, nous allons construire pas à pas une nouvelle fonction pour comblerd’horribles trous noirs de l’univers, car nous allons enfin donner une primitive à la fonction inverse, une réciproqueà la fonction exponentielle, une solution à l’équation fonctionnelle f(ab) = f(a) + f(b).Comme l’a déjà fait un collègue à partir de la côte d’Adam, tels des dieux de l’esprit, nous allons créer de nouveauxêtres à partir de la solitaire fonction exponentielle !Téhessin (à part) : Je me demande des fois si un bon coup de sabre laser sur la tête...tout haut Que la Forcede l’Esprit soit avec nous !Mathémator : Vous avez déjà fait le lien entre la primitive de la fonction inverse sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1et les fonctions qui « transforment les produits en somme ». Mais les maîtres de l’Empire ont choisi une troisièmevoie, la fonction exponentielle, que nous allons relier aux deux premières.Premier problème : la fonction exponentielle admet-elle une réciproque? Et d’abord, qu’est-ce que la réciproqued’une fonction?Téhessin : Si une fonction f envoie un nombre x vers un nombre y, sa réciproque f−1 permet de renvoyer y versx.Mathémator : Pouvez-vous me donner un exemple?Téhessin : La fonction carrée envoie 2 vers 4 et la fonction racine carrée renvoie 4 vers 2.Mathémator : Pour reprendre votre exemple, tout nombre réel admet un et un seul carré, donc la « transforma-tion » x 7→ x2 est bien une fonction sur IR. Mais il y a des problèmes pour revenir en arrière : certains nombressont les carrés de deux réels comme 4, d’un seul comme 0 ou même d’aucun comme -32. On ne peut donc pastoujours définir une fonction « retour » : n’oubliez pas en effet que par définition, une fonction numérique faitcorrespondre à un réel de l’ensemble de définition un UNIQUE réel.En fait, on a cherché à résoudre une équation d’inconnue x du type x2 = a qui peut admettre selon la valeur dea deux, une, voire aucune solution réelle.Connaissez-vous un moyen de s’assurer qu’une équation du type f(x) = a admet une unique solution sur unensemble donné?Téhessin : Vous me prenez pour un rigolo : le théorème de LA valeur intermédiaire bien sûr !Mathémator : J’ai du mal à réaliser à quel point la Force est en vous. Vous allez donc pouvoir relier tout ceci àla fonction exponentielle.Téhessin : La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur IR et à valeurs dans ]0,+∞[.Donc, pour tout réel a strictement positif, l’équation exp(x) = a admet une unique solution réelle.Mathémator : Si je résume, à tout réel strictement positif x on peut associer un unique réel y tel que x = exp(y).On notera ce réel lnx (logarithme népérien de x) et nous pouvons maintenant énoncer :

Théorème et définitionLa fonction exponentielle admet une fonction réciproque défine sur ]0,+∞[ et à valeurs dans IR appelée fonctionlogarithme népérien. On note lnx l’image d’un réel strictement positif par cette fonction.Alors,

pour tout x > 0, eln x = x

etpour tout réel x, ln ex = x

Téhessin : Je ne vois toujours pas le lien avec les primitives de la fonction inverse et l’équation fonctionnelle.


Mathémator : Comme la fonction exponentielle ne s’annule pas sur IR, nous admettrons cette année que saréciproque est dérivable. Donc ln est dérivable sur ]0, +∞[. Notons provisoirement ln′ sa dérivée. Nous savonsjuste que exp(lnx) = x. Essayez d’en déduire une expression de ln′ x.

Téhessin : Pour obtenir ln′, il faudrait dériver quelque chose. Or nous n’avons qu’une relation à nous mettre sousla dent, donc je vais dériver chaque membre de l’égalité exp(lnx) = x.J’obtiens ln′ x × exp(lnx) = 1 et donc ln′ x = 1/x...Bingo ! Le lien est fait : ln est une primitive de la fonctioninverse.

Mathémator : Pas si vite mon petit Téhessix. Nous avions considéré lors de notre échauffement LA primitivede la fonction inverse sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1. Pouvez-vous me confirmer que ln 1 = 0?

Téhessin : Sur la machine oui, mais je ne vois pas comment calculer une valeur particulière d’une fonction donton ne connait rien.

Mathémator : Ou plutôt pas grand chose, mais c’est suffisant. Utilisez la seule relation que vous connaissiez enintroduisant 1.

Téhessin : Si vous le dîtes. Alors exp(ln 1) = 1...

Mathémator : Donc exp(ln 1) = exp(0), or la fonction exponentielle est une bijection car elle est continue etstrictement croissante.

Téhessin : Bijection, qu’est-ce que ça veut dire?

Mathémator : Ça veut dire en particulier que f(x) = f(y)⇐⇒ x = y, donc ici exp(ln 1) = exp(0)⇐⇒ ln 1 = 0.

Téhessin : Cette fois-ci on peut relier la fonction ln à la fonction inverse et à l’équation fonctionnelle. J’ose mêmevous devancer en énoncant les propriétés.

Sens de variationLa fonction ln est dérivable sur ]0,+∞[ et ln′(x) = 1/x pour tout x ∈]0,+∞[.On en déduit que la fonction ln est strictement croissante sur ]0,+∞[.

Propriété fondamentalePour tout a > 0 et tout b > 0, on a

ln ab = ln a+ ln b

De plusln 1 = 0

Mathémator : Cette dernière propriété va vous permettre, pendant vos temps libres, de mettre en évidencequelques autres résultats bien pratiques

Propriétés algébriques

ln(1/a) = − ln a ln(a/b) = ln a− ln b ln ap = p ln a avec p ∈ Q

Occupons-nous maintenant des propriétés analytiques du logarithme, en particulier, allons voir ce qui se passe àl’infini.

Mais nous avons beaucoup réfléchi, alors je vous propose un petit jeu sous forme d’énigme pour nous détendre :un cloporte se promène sur le graphe de la fonction ln tracé dans un repère orthonormé d’unité le centimètre.Combien de temps mettra-t-il pour atteindre une hauteur de 30 cm sachant que sa vitesse est de 1cm.s−1?

104 LOGARITHME NÉPÉRIEN - UNE INTRODUCTION

Téhessin (à part) : Voilà un gars qui sait s’amuser ! tout haut : euh...quel jeu distrayant, maître ! Voyons,le problème revient à résoudre l’équation lnx = 30, c’est à dire x = e30, ce qui donne environ 107 millions dekilomètres. Il lui faudra donc à peu près 3386 siècles sans compter ses pauses-jeu.Mathémator : Ah, ah, ah, cette blague me fera toujours rire.Téhessin (à part) : Pauvre homme...Mathémator : Bon, fini de rire. Vous vous rendez compte que la fonction ln n’est pas bien vaillante.Téhessin : En fait, je l’imagine mal monter vers l’infini et au-delà.Mathémator : Résumons-nous : nous savons que ln est strictement croissante, donc que peut-on dire de soncomportement asymptotique, c’est à dire à l’infini?Téhessin : Vous m’avez déjà mis en garde à ce sujet : si ln est bornée, alors elle admet une limite finie, sinon elletend vers +∞. Le problème revient donc à savoir si ln est bornée sur ]0,+∞[.Mathémator : Nous allons raisonner par l’absurde. Supposons qu’il existe un réel A > 0 tel que lnx < A pourtout x ∈]0, +∞[. Cela voudrait dire que x < eA pour tout x > 0 ce qui est pour le moins absurde ! Il suffit dechoisir x = eA + 32.Ainsi ln n’est pas bornée et donc

Limite à l’infini

limx→+∞

lnx = +∞

Occupons-nous maintenant de ce qui se passe du côté de l’autre borne de l’ensemble de définition, au voisinagede zéro. Il n’y a pratiquement rien à faire connaissant les propriétés algébriques de ln et en vous inspirant de ceque nous avions fait pour déduire la limite en −∞ de exp connaissant sa limite en +∞.Téhessin : Ben si x tend vers 0, alors 1/x tend vers +∞ et ln(1/x) = − lnx. En fait, si on remet tout dansl’ordre

limx→0

1/x = +∞lim

X→+∞lnX = +∞

⇒ lim

x→0ln(1/x) = +∞

Or ln(1/x) = − lnx, donc finalement

Limite en zéro

limx→0

lnx = −∞

Mathémator : Très bien. Il ne reste plus qu’à régler un dernier détail : ln croît vers +∞, certes, mais très, très

lentement. À votre avis, que se passe-t-il au voisinage de +∞ pourlnxx

?

Téhessin : La fonction ln ne va pas peser grand chose face aux fonctions monômes : le rapport va sûrement tendrevers zéro.Mathémator : Votre intuition est bonne. Il suffit en fait d’étudier la fonction ϕ : x 7→ lnx−√x pour conclureque

Croissance comparée

limx→+∞

lnxx

= 0


Téhessin : Vous parlez de mon intuition, mais un détail me turlupine : la dérivée de ln tend vers 0 en +∞. J’auraidonc envie de dire que ln se « stabilise » à l’infini puisque sa pente tend vers zéro : elle devrait donc être majoréeà linfini, pourtant nous avons montré qu’elle ne l’était pas.Mathémator : Encore une fois, vous m’impressionez Téhessin. En effet, nous aurions tendance à penser qu’unefonction f vérifiant lim

x→+∞f ′(x) = 0 admette une asymptote horizontale. Malheureusement, les outils permettant

de vous prouver que ce n’est pas toujours vrai ne sont plus au programme de Terminale, donc patience... Néan-moins, retenez que des conjectures qui paraissent évidentes peuvent s’avérer fausses lorsqu’on se trouve trop prèsde l’infini.Téhessin : Après ces paroles, mon cours de philo va me paraître bien fade...

C - EXERCICES SUR LA DÉFINITION DES LOGARITHMES

Exercice 1Oublions tout ce que nous savons sur la fonction ln. Appelons L la primitive sur ]0,+∞[ de la fonction x 7→ 1/xqui prend la valeur 0 en 1. Notre but est de démontrer que L vérifie l’équation fonctionnelle de John.Pour cela nous allons introduire un réel a > 0 et la fonction f : x 7→ L(ax) définie sur ]0,+∞[

1) Montrez que f est dérivable sur ]0,+∞[ et calculez f ′(x) en fonction de x.2) Déduisez zan qu’il existe un réel k tel que pour tout x > 0, f(x) = L(x) + k.3) Montrez finalement que pour tout x > 0, L(ax) = L(a) + L(x).

Exercice 2Le problème de JohnNous allons rechercher les fonctions f telles que. f est dérivable sur ]0,+∞[. f ′(1) = 1. pour tous réels a > 0 et b > 0, f(ab) = f(a) + f(b)

1) Calculez f(1).2) Soit a > 0 un réel fixé. On définit sur ]0,+∞[ la fonction

ga : x 7→ ga(x) = f(ax)− f(x)

Montrez que ga est constante.3) Montrez que ga est dérivable sur ]0,+∞[ et calculez g′a(x).4) Il ne vous reste plus qu’à remarquer que g′a(1) = af ′(a) − f ′(1) pour en déduire que f est la primitive de

x 7→ 1/x sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1.

Exercice 3À l’aide de la Table des logarithmes, donnez une valeur approchée de

1) ln 2,52) ln 2243) ln 0,2 (2 méthodes)

4) ln16521

5) 4× 5 sachant que vous ne savez plus vos tables de multiplications.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

A - PRÉAMBULE

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction dérivable sur un intervalle de IR. Ellefait intervenir la fonction-inconnue notée y, ses dérivées successives notées y′, y′′, · · · et des fonctions connues.Par exemple, considérons l’équation différentielle (E) : y′′ − 2y′ + y = x2

1) Montrez que la fonction f définie sur IR par f(x) = x2 + 4x+ 6 est une solution de (E).2) Montrez que f est la seule fonction polynômiale du second degré solution de (E).3) Montrez que la fonction g définie sur IR par g(x) = (2x− 5)ex + x2 + 4x+ 6 est une autre solution de (E).4) Montrez que la fonction h définie sur IR par h(x) = (32x− 80)ex + x2 + 4x+ 6 est aussi solution de (E).

B - RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION y′ = ay

Il s’agit donc ici de déterminer toutes les fonctions f dérivables sur I telles que, pour tout x de I

f ′(x) = af(x)

. Supposons qu’il existe une solution y et posons z(x) = e−axy(x). Calculez z′(x). Qu’en déduisez-vous surz? sur y?.

. La démonstration précédente suppose qu’il existe une solution au problème. Est-on sûr qu’une telle solutionexiste (dans le cas contraire, nous serions bien embêtés car notre démonstration ne vaudrait plus rien)?Pouvez-vous trouver une solution particulière au problème?

Les fonctions solutions de l’équation différentielle y′ = ay (avec a un réel donné) sont les fonctions

x 7→ λeax

où λ est une constante arbitraire.

Vous aurez donc remarqué qu’il existe une infinité de fonctions vérifiant cette équation différentielle si on ne donnepas d’autre précision.

Question 1.

1) Résolvez par exemple l’équation (E1) : 3y′ + 2y = 0 et tracez plusieurs solutions sur l’écran de votrecalculette.

2) Résolvez cette même équation sachant maintenant que y(0) = 32.

Question 2.

Donnez également une solution (non identiquement nulle...) pour chacune des équations différentielles suivantes :

(E2) : y′ = 32y (E3) : y′ = −32y (E4) : y′′ = −y (E5) : y′ = 32 (E6) : y′′ = 32


Question 3. VRAI ou FAUX ?

Soit f une fonction définie et dérivable sur IR telle que 4f ′ − 3f = 0 et f(0) = 1.

1) La courbe représentative de f passe par le point A de coordonnées (1,3/4).2) La courbe représentative de f a, au point d’abscisse 0, une tangente de coefficient directeur 1.3) La fonction f est croissante sur IR.4) La fonction f est solution de l’équation différentielle 16y′′ − 9y = 0.

Question 4.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I vérifiant f ′(x) + |f(x)| = 0 et f(1) = 1 en supposant que 1 ∈ I.1) Montrez que f est de signe constant sur au moins un intervalle J centré en 1.2) Trouvez une fonction répondant au problème posé sur J .3) Déduisez-en l’unique fonction répondant au problème posé si I = IR.

C - RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION y′ = ay + b

Lorsqu’un élève de TaleS de masse m est lâché en chute libre, sans vitesse initiale, d’un avion bimoteur defabrication malgache piloté par une ancienne nageuse est-allemande, sa vitesse t 7→ v(t) est solution de l’équation

différentielle y′ +k

my = g où k > 0 est le coefficient de freinage et g l’accélération de la pesanteur.

Déterminez tout d’abord le réel c tel que v vérifie pour tout t > 0 v′(t) = − km

(v(t) + c)

On pose alors f(t) = v(t) + c. Montrez que f vérifie une équation différentielle du type y′ = ay.Déduisez-en f puis v.Interprétez physiquement le nombre V =

mg

k

Plus généralement, considérons l’équation différentielle (E) : y′ = ay + b.Montrez que la fonction g : x 7→ −b/a est solution de (E).Alors on a bien g′(x) = ag(x) + b pour tout x.Or une fonction f est solution de (E) si et seulement si f ′(x) = af(x) + b. Déduisez-en que f est solution de (E)si et seulement si f − g est solution d’une équation différentielle simple.trouvez alors la forme générale des solutions de (E).

On considère l’équation différentielle y′ = ay+ b avec b ∈ IR et a ∈ IR∗, et l’équation sans second membre associéey′ = ay. Alors. la fonction g : x 7→ −b/a est une solution particulière de (E). l’ensemble des solutions de (E) s’obtient en ajoutant à g une solution quelconque de l’équation sans second

membre.Les solutions de (E) sont donc les fonctions x 7→ λeax − b/a

D - ÉQUATIONS SE RAMENANT À y′ = ay + b

(E1) : y′ − 2y = 1 − 32x. Montrez qu’il existe une fonction affine solution de cette équation. Déduisez-en lessolutions de (E1).

(E2) : y′ = y(5 − y). On cherche des solutions strictement positives solutions de cette équation différentielle.Montrez que la fonction z = 1/y est solution d’une équation différentielle simple. Déduisez-en les solutionsstrictement positives de (E2).

108 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

(E3) : y” + 4y′+ 3y = 0 est une équation différentielle du second ordre. On cherche les fonctions solutions de cetteéquation vérifiant les conditions initiales y(0) = 3 et y′(0) = −5.

1) On pose, pour tout réel x, z(x) = exy(x).a) Calculez z(0) et z′(0).b) Montrez que z admet sur IR une dérivée seconde et que, pour tout réel x, z”(x) = −2z′(x).c) En intégrant l’égalité précédente entre 0 et t, montrez que z est solution sur IR de l’équation différentielle

f ′ = 4− 2f .d) Exprimez alors z(x) en fonction de x.

2) Montrez qu’il existe une et une seule fonction y vérifiant les hypothèses de départ et exprimez y(x) enfonction de x.

E - APPLICATIONS DIVERSES

Question 1. Circuit RL

Un circuit comprend en série un générateur de force électromotrice E, une bobine d’inductance L et une résistanceR. L’intensité du courant électrique i, exprimée en ampères, est fonction du temps t, exprimé en secondes et estsolution de l’équation différentielle

(D) : L i′(t) +R i(t) = E

L est exprimée en henrys, R en ohms et E en volts. On donne L = 0,2H, R = 100Ω, E = 10V .Écrivez et résolvez l’équation différentielle (E) en sachant qu’à l’instant t = 0 l’intensité du courant est nulle.Quelle est la limite de i(t) lorsque t tend vers +∞?

Question 2. SSSSSSSSSSSSShhhhhhhhhhhhhh........BOUM

Les élèves de TS 6 préparent l’invasion du Château de Rezé. Un commando parachutiste est formé et dirigée parune élève de la classe. Afin d’optimiser le saut, ils ont modélisé le saut de la manière suivante : un élève de massem est lâché (comme d’habitude) en chute libre, sans vitesse initiale ( on négligera la vitesse due au coup de piedde lancement) d’un avion bimoteur de fabrication malgache piloté par une ancienne nageuse est-allemande. Il estsoumis à la force de la pesanteur m−→g et à une force de frottement proportionnelle à la vitesse. On note z(t)l’altitude du parachutiste en fonction du temps.On utilisera les valeurs numériques suivantes: g = 10 ms−2, m = 80 kg et k = 7 kgs−1.

1) En appliquant la Relation Fondamentale de la Dynamique, déterminez l’équation différentielle vérifiée parz(t)

2) Déterminez la vitesse limite théorique du parachutiste. Sachant que le parachutiste quitte l’avion à vitessenulle, déterminez le temps mis pour atteindre 90% de cette vitesse limite ainsi que la distance parcouruependant ce temps. Même question avec 99% de la vitesse limite.

3) Lorsque le parachutiste ouvre son parachute, le coefficient de frottement est multiplié par 20. Il doit arriverau sol avec une vitesse inférieure à 6 ms−1. En supposant qu’il chute à la vitesse limite au moment del’ouverture du parachute, déterminez l’altitude maximale d’ouverture du parachute (on considèrera que leparachute met 2 secondes à se déployer et que pendant ce laps de temps, le parachutiste conserve la vitesselimite).

Question 3. Errare Uranium est

On rappelle la loi de désintégration des noyaux radioactifs

N ′(t) = −λN(t)

où N(t) est le nombre de noyaux à l’instant t. On note τ = 1/λ le temps caractéristique.1) Exprimez en fonction de τ la demi-vie t0,5, temps au bout duquel N(t) a diminué de moitié.


2) Pour remédier aux problème du recyclage des déchets nucléaires, certains pays ont eu la lumineuse idéede fabriquer des obus à l’uranium appauvri et de les faire exploser sur des populations éloignées : on sedébarrasse ainsi d’uranium peu rentable, on fait exploser les chars ennemis, sous l’effet de la chaleur del’explosion l’uranium et ses dérivés se transforment en micro-poussières insolubles facilement assimilablespar les poumons ennemis et amis. Il faut environ 4,5 milliards d’années pour que la moitié de l’uranium 238(principal composant de l’UA) disparaisse. Quelle est la constante radioactive de 238U ?

3) Le carbone 14 est renouvelé constamment chez les êtres vivants. À leur mort, il se désintègre avec unedemi-vie de 5730 ans. Un archéologue martien découvre un fragment de pompier ukrainien contenant 71%de sa quantité initiale de C14. En quelle année l’archéologue a-t-il fait sa découverte? (On rappelle que lacentrale de Tchernobyl a explosé en avril 1986).

Question 4. Modèle de Verhulst

Notre ami belge a modélisé vers 1840 la croissance d’une population dans un milieu clos (bactéries, lapins sur uneîle déserte, profs dans l’Éducation Nationale etc.). La croissance est bien exponentielle au départ comme l’avaitsuggéré Malthus, mais une trop forte concentration crée certains problèmes : rareté de la nourriture, promiscuité,consanguinité, alcoolisme, perte des valeurs occidentales etc.On suppose qu’une population ne peut dépasser une valeur maximum et on note f(t) la fraction de ce maximumà l’instant t. On peut alors montrer que f est solution de l’équation différentielle

(E) y′ = λy(1− y)

1) Résolvez (E) en introduisant z = 1/y.2) Sachant que λ = 0,1 et que f(0) = 0,01, exprimez f(t) en fonction de t et représentez graphiquement la

fonction f . Vous obtiendrez une « courbe logistique », que l’on retrouve dans la description de nombreuxphénomènes plus où moins naturels.

Un peu de culture : l’étude des suites logistiques du type un+1 = λxn(1 − xn) (voir aussi l’autre exercice lesconcernant page 84) montre que si λ 6 1, la population s’éteint, si 1 < λ 6 3, la population se stabilise autourde 1 − 1/λ, entre 3 et une valeur proche de 3,57 on observe une périodicité des valeurs de la population avecun doublement de la période pour des valeurs de λ de plus en plus rapprochées; au delà de cette valeur limite,l’évolution de la population devient totalement imprévisible, car un changement infime de la valeur de λ modifiecomplètement les valeurs de la suite. Tout ceci a été mis en évidence à partir de 1972. On pourrait en dire beaucoupplus, mais...

DROITES ET PLANS DE L’ESPACE

Résumé Après des mois d’entraînement dans le plan, il est temps pourle jeune Mataïe de se lancer à la conquête de l’Espace. Saura-t-il adapterses connaissances à ce nouvel environnement? Saura-t-il relier deux mondesjusqu’ici hermétiques l’un à l’autre : la géométrie pure et l’abstraite algèbre?

A - CONSTRUISONS LE PRODUIT SCALAIRE

A - 1 : À la recherche d’une définition

Mathémator : Avant de se lancer dans l’Espace, récapitulons : que savez-vous du produit scalaire dans le plan?Téhessin : C’est une « opération » qui transforme des vecteurs en un réel.Mathémator : Et de quelle manière?Téhessin : En fait, il y a plusieurs formules.

−→u · −→v = ||−→u || × ||−→v || × cos(−→u ,−→v )

ou encore −→u · −→v = xx′ + yy′

Et puis, il y a des histoires de projection. Si H est le projeté de A sur la droite (OB), alors−→OA · −−→OB = OH ×OB

ou l’opposé, ça dépend si les vecteurs−−→OH et

−−→OB ont ou non le même sens.

Mathémator : Tout ceci me parait bien confus et peu rigoureux. Dans quel cas peut-on utiliser la formule−→u .−→v = xx′+yy′? Vous parlez des vecteurs

−→OA et

−−→OB : est-ce que le calcul reste valable pour d’autres représentant

des vecteurs? Est-ce que ces « formules » sont compatibles entre elles?Téhessin (à part) : Qu’est-ce qu’on en a à faire du moment que ça marche ! Y a vraiment que les profs demaths que ça gène.....tout haut En fait, je me souviens juste qu’on arrivait à résoudre les exercices avec, et jepense que c’est suffisant.Mathémator : Mon petit Téhessix, j’espère que vous ne pensez pas ce que vous venez de dire. Arrivé à ce stadede votre formation, il est temps d’acquérir un esprit critique et une certaine autonomie intellectuelle. Un Mataïene doit pas gober aveuglément les paroles du maître dans l’espoir d’obtenir ses bonnes grâces, à savoir une bonnenote. Cela pourrait vous conduire à vous rendre complices des pires infamies, mathématiques, pour plaire à vossupérieurs.Plus prosaïquement, il faut vous habituer à connaître parfaitement les conditions d’utilisation des théorèmes pourpouvoir les utiliser à bon escient, et le meilleur moyen est de contrôler chaque étape de la construction du cours.Téhessin : Un peu comme nous l’avons fait pour les fonctions exponentielle et logarithme népérien.Mathémator : Tout à fait ! Ici encore, nous allons aller « à la source » et naviguer le long du fleuve de laconnaissanceTéhessin : Trêve de littérature, ô grand chevalier de la science ! Mon esprit est prêt pour l’aventure mathématique.Mathémator : Comme vous l’avez remarqué pour les fonctions étudiées cette année, nous avons souvent le choixdu point de départ, mais nous obtiendrons la même moisson de propriétés car elles sont toutes liées logiquement.Nos outils seront simples : nous utiliserons le théorème de Pythagore et nous admettrons que l’on peut munirl’Espace d’un repère orthonormé.


DéfinitionSoient −→u et −→v de coordonnées respectives (x,y,z) et (x′,y′,z′) dans un repère orthonormé de l’Espace.On appelle produit scalaire de −→u et −→v et on note −→u · −→v le réel

−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′

Téhessin : Je vous arrête tout de suite, mon esprit critique étant à l’affût : vous me donnez une définition duproduit scalaire qui dépend du choix d’un repère. Y a-t-il un produit scalaire par repère?

Mathémator : Cela serait vraiment fort gênant. C’est pourquoi nous allons nous assurer que cette définition enest bien une, c’est à dire qu’elle ne dépend pas du choix du repère.Tout d’abord, un petit dessin :

O −→j−→

i

−→k

M ′

y

x

M

z

Soit−−→OM un représentant du vecteur −→u . Pouvez-vous calculer OM2, c’est à dire le carré de la norme du vecteur−→u en fonction de x, y et z?

Téhessin : Je me souviens encore du théorème de Pythagore : OM2 = OM ′2 +z2 et d’autre part, OM ′2 = x2 +y2.Finalement on obtient que OM2 = x2 + y2 + z2.

Mathémator : Cette formule sent le déjà-vu. Elle permet surtout de prouver, avec un minimum de sens del’observation, que

Norme et produit scalaire

−→u · −→u = ||−→u ||2

Vous aurez remarqué qu’il n’est pas fait mention de repère dans cette propriété et qu’elle est donc indépendantedu repère choisi.Intéressons-nous maintenant à ||−→u +−→v ||2

||−→u +−→v ||2 = (x+ x′)2 + (y + y′)2 + (z + z′)2

= x2 + y2 + z2 + x′2 + y′2 + z′2 + 2(xx′ + yy′ + zz′)= ||−→u ||2 + ||−→v ||2 + 2(−→u · −→v )

Je vous laisse le soin d’obtenir une formule similaire en remplaçant −→v par son opposé.

112 DROITES ET PLANS DE L’ESPACE

Expression du produit scalaire en fonction de la norme

−→u · −→v =12(||−→u +−→v ||2 − ||−→u || − ||−→v ||)

=12(||−→u ||2 + ||−→v ||2 − ||−→u −−→v ||2)

Téhessin : Sauf votre respect, ces expressions ne simplifient pas vraiment les choses. Elles me paraissent plutôttrès compliquées, voire inexploitables.Mathémator : Peut-être, mais elles ont surtout un énorme avantage : elles prouvent que le produit scalaire nedépend pas des coordonnées et donc de la base choisie. Nous pouvons donc utiliser sans retenue la définition quien est bien une finalement.Une petite remarque en passant : remplacez la définition du produit scalaire dans l’Espace par une définitionsimilaire dans le Plan et vous obtiendrez les mêmes résultats. C’est pas beau les maths?Bon, bon, euh..., qu’est-ce que je disais moi? Ah oui, grâce à cette remarque, vous allez prouver que des propriétéstrès importantes sont toujours vraies en utilisant la définition dans une base quelconque.

Propriétés de bilinéarité et de symétrie

−→u · −→v = −→v · −→u(α−→u ) · −→v = −→u · (α−→v ) = α (−→u · −→v ) avec α ∈ IR

−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w

A - 2 : Produit scalaire et cosinus

Mathémator : Nous allons maintenant aborder les interprétations géométriques du produit scalaire.Considérons deux vecteurs non nuls −→u et −→v :

θ

−→u −−→v

−→v

−→u

OB

A

H

Nous allons essayer de prouver le résultat vu en première : −→u ·−→v = OH ×OB. Le théorème de Pythagore permetd’écrire d’une part que OH2 +AH2 = OA2 et d’autre part que (OB −OH)2 +AH2 = AB2.

On élimine AH2 pour obtenir OB ×OH =12(OA2 +OB2 −AB2

)=

12(||−→u ||2 + ||−→v ||2 − ||−→u −−→v ||2) = −→u · −→v

On obtiendrait d’ailleurs un résultat similaire si H était « de l’autre côté » de O, en transformant OH en −OH,puisque dans ce cas HB = OB +OH.Téhessin : Et comme OH = ||−→u || cos θ, on trouve que −→u · −→v = ||−→u || × ||−→v || × cos θ.Mathémator : Vous allez encore trouver que j’en fait trop, mais qu’est-ce que θ? Qu’est-ce que cos θ?Téhessin (à part) : On va peut-être pas revenir au Big Bang...


Mathémator : C’est le problème de la poule et de l’œuf.Téhessin (à part) : Qu’est-ce que je disais : on va jamais s’en sortir !Mathémator : Est-ce que le produit scalaire définit le cosinus qui définit lui-même l’angle au signe près, ou bienest-ce l’inverse? Bon, nous allons trancher dans le vif, et supposer que vous avez fait de la trigonométrie dansvotre jeunesse. Vous avez donc défini angle et cosinus dans le Plan à cette occasion. Vous aviez également obtenula formule

cos(−→u ,−→v ) =−→u · −→v

||−→u || × ||−→v ||Or la définition du produit scalaire à partir des normes étant la même dans le Plan et l’Espace, on va pouvoirparler de l’angle entre deux vecteurs de l’espace à partir de la même formule.On peut noter que deux vecteurs définissant un plan (vectoriel), il est naturel d’étendre la notion d’angle devecteurs du Plan à l’Espace.Demeure un dernier problème : le Plan était orienté, or nous n’avons pas parlé d’orientation de l’Espace (et nousne le ferons pas cette année). Les angles de vecteurs de l’Espace seront donc définis au signe près et mesurés dans[0,π], ce qui rejoint la notion d’angle géométrique vu au Collège.

Produit scalaire et cosinusSoient −→u et −→v deux vecteurs non nuls de l’Espace. On a

cos(−→u ,−→v ) =−→u · −→v

||−→u || × ||−→v ||

avec (−→u ,−→v ) l’unique antécédent de−→u · −→v

||−→u || × ||−→v || par la fonction cosinus dans [0,π].

A - 3 : Produit scalaire et orthogonalitéNous allons maintenant aborder la notion qui a motivé l’introduction du produit scalaire en Terminale, à savoirl’orthogonalité de deux vecteurs .Considérons la figure suivante :

−→u

−→v−→u +−→v

A B

C

Si (AB)⊥(BC), alors le théorème de Pythagore assure que ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2.Or −→u · −→v =

12(||−→u +−→v ||2 − ||−→u || − ||−→v ), donc −→u · −→v = 0.

Inversement, si −→u · −→v = 0, alors ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 et la réciproque du théorème de Pythagore assureque (AB)⊥(AC).Finalement

Théorème et définition : Produit scalaire et orthogonalité

Soient deux vecteurs −→u et −→v non nuls et trois points O, A et B tels que −→u =−→OA et −→v =

−−→OB. Les trois

propositions suivantes sont équivalentes :

(1) (OA) et (OB) sont perpendiculaires(2) −→u · −→v = 0(3) −→u et −→v sont orthogonaux. On notera −→u⊥−→v

Par souci de cohérence, on dira que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.


Vous noterez que ces résultats sont cohérents avec la définition du cosinus.

Téhessin : Que viennent faire ici la poule et son œuf?

Mathémator : C’est toujours le même problème : entre la géométrie « naturelle » dans laquelle nous vivonset l’abstraite cohérence des calculs algébriques notre cœur balance. Qui doit arriver le premier : le théorème dePythagore ou la notion d’orthogonalité? Nous ne ferons qu’effleurer cette année ces subtilités qui seront régléesplus tard. Sachez néanmoins qu’elles existent et que trop se fier à son intuition peut nous amener à passer à côtéde nombreux problèmes.

Nous voici maintenant armés pour aborder un point important de votre formation de Mataïe : relier le langagealgébrique et le langage géométrique.

B - LES ÉNONCÉS DES EXERCICES

Exercice 1On considère deux réels a et b ainsi que les parties de l’espace donnés par leurs équations dans un repère cartésien :

D :

x− z − a = 0y + 3z + 1 = 0 et D′ :

x+ 2y + z − 2b = 0

3x+ 3y + 2z − 7 = 0

Montrer que D et D′ sont des droites.

Exercice 2Dans l’espace muni d’un repère cartésien, on considère :

– les points A(1,2,3) et B(2,− 1,2)

– les droites affines D1 :

x = 3− λy = 1 + 2λz = −1 + λ

et D2 :

x = 1 + 3λy = −2λz = 3 + 5λ

– les plans affines P1 :

x = 1− 2λ+ 3µy = −2 + λ+ µz = 4− λ− 2µ

, P2 : 2x− y + 3z − 1 = 0 et P3 : x+ 2z − 4 = 0.

1) Montrer que P1 est bien un plan dont on donnera une équation cartésienne.2) Donner une équation cartésienne du plan passant par A et contenant D1.3) Donner une représentation paramétrique de P2 ∩ P3.4) Donner une équation cartésienne du plan contenant D1 et tel que D2 lui soit parallèle.5) Déterminer l’intersection de P1 et de la droite (AB).

Exercice 3Dans le plan, on considère les deux cercles

C1 : x2 + y2 = 100 et C2 : x2 + y2 − 24x− 18y + 200 = 0

les équations étant données dans un repère orthonormé.1) Montrer que C1 et C2 ont un seul point d’intersection A dont on donnera les coordonnées.2) Donner l’équation de la droite D, tangente commune à C1 et C2 en A.3) Montrer que C1 et C2 ont, en dehors de D, deux tangentes communes dont on donnera une équation (on

pourra introduire le point d’intersection de ces deux tangentes pour éviter des calculs trop lourds).


T2

T1

I

A

O2

O1

D

Exercice 4Soient A, B, C trois points non alignés du plan.Montrer que, pour tout point M du plan, il existe un unique triplet (α,β,γ) de réels tel que : M est le barycentrede

(A,α), (B,β), (C,γ)avec α+ β + γ = 1.

Exercice 5Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les plans

P : x+ y + z = 3 et P ′ : x− 3y + 2z = 3

1) Calculer la distance de l’origine à P , et la distance de l’origine à P ′.2) Montrer que P ∩ P ′ est une droite. On la notera D.3) Déduire du 1) la valeur de la distance de l’origine à D.

Exercice 6Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère la sphère (S) d’équation x2+y2+z2−2x−4y+6z+5 = 0et le plan (P) d’équation 2x+ y − z − 4 = 0

O

CM

1) Montrez que (S) et (P) sont sécants.2) En considérant le point C, projeté orthogonale de O sur (P), montrez que le plan et la sphère se coupent

en un cercle de centre C.3) Déterminez les coordonnées de C en utilisant la distance de O à (P)

Exercice 7Dans l’Espace, quel est l’ensemble des points équidistants à deux points donnés?


Exercice 8Dans l’Espace, quel est l’ensemble des points équidistants à trois points donnés?

Exercice 9Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, montrer qu’il existe une unique sphère passant par les points

A(4,5,1) B(2,5,− 5) C(−4,5,1) D(4,3,3)

On déterminera le centre et le rayon de cette sphère.

Exercice 10

La molécule de méthane est constituée d’un atome de carbone et de quatre atomes d’hydrogène équidistants ducentre et situés à égale distance l’un de l’autre.

H1

H4

J

H3

H2

K

G

1) Montrer que K est le centre de gravité du triangle H1H3H4.2) En travaillant dans le plan H1H2K, calculer la distance H2K.3) En déduire le « volume » de la molécule.4) Montrez que les arêtes opposées sont orthogonales.5) Où est placé l’atome de carbone?

6) Calculez la mesure de l’angle H3CH4.

7) Déterminez le point L de [H1G] tel que l’angle H3LH4 soit droit.

Exercice 11Vous projetez de passer un coucours de recrutement l’an prochain. Vous avez sous les yeux le tableau de notessuivant :

Candidat A B CMathématiques 7 11 11Anglais 12 6 16Informatique 6 10 14Moyenne 8 9 14

Retrouvez les coefficients de chaque épreuve. La solution est-elle unique? Pourquoi?


Exercice 12

Calculer les courants dans les branches du circuit ci-dessus. On rappelle les lois de Kirchhoff: la somme (algébrique)des courants entrant en un noeud est nulle, et la somme des tensions (algébriques) le long d’une boucle du circuit

est nulle. On a aussi la loi d’Ohm: U = Ri aux bornes d’une résistance : .


C - COMMENT RÉSOUDRE CES EXERCICES

Exercice 1Le but de l’exercice est de distinguer ce qui est du domaine vectoriel et ce qui est du domaine affine (i.e. ponctuel).L’ensemble D est défini comme appartenant à deux plans. Quelle sont les différentes positions relatives de deuxplans? Que peut-on en déduire sur la nature de D dans chaque cas? Comment utiliser intelligemment les vecteursnormaux?Moralité : les valeurs de a et b influent-elles sur les directions des droites (domaine vectoriel)? sur l’appartenancede points à ces droites (domaine affine)?

Exercice 2Le but de l’exercice est de travailler sur la résolution de systèmes n’ayant pas forcément autant d’équations qued’inconnues.

1) Plusieurs méthodes ici : compte-tenu de la pauvreté de nos outils de Terminale, le plus simple est d’éliminerλ et µ pour obtenir une relation entre x, y et z.Nous pouvons par exemple additionner les deux dernières lignes et en déduire µ en fonction de y et z. Avecces deux mêmes équations, nous pouvons éliminer µ et en déduire λ en fonction de y et z. Il ne restera plusqu’à remplacer λ et µ par ces valeurs dans la première équation.

Réponse:x+7y+5z−7=0

2) A et D1 définissent-ils bien un plan? Comment le vérifier?Il existe de nombreuses méthodes pour déterminer une équation de ce plan, malheureusement, les plusefficaces ne sont pas au programme. Il en reste au moins trois. Elles partent de la même constatation : unplan est défini par deux directions (aspect vectoriel) et un point (aspect affine).1ère méthode : Combien faut-il de points au minimum pour définir un plan? Quelle condition doivent-ilsremplir? Quel est le lien avec notre remarque préliminaire? Comment trouver rapidement les coordonnéesde points appartenant à D1? Une équation cartésienne de plan est de la forme ax+by+cz+d = 0 : cela nousfait quatre inconnues. Pour un plan donné, y a-t-il une ou des équations cartésiennes? En utilisant nos troispoints non alignés, nous obtenons trois équations : en quoi est-ce en accord avec la remarque précédente? Ilest temps maintenant de déterminer une équation du plan.Moralité : lorsqu’il y a plus d’inconnues que d’équations, nous trouverons une infinité de solutions. EnTerminale, nous rencontrerons souvent des sytèmes de n équations à n+ 1 inconnues (n valant 2 ou 3): nouschoisirons une inconnue comme paramètre et nous déterminerons les autres en fonction de ce paramètre (lesdifférentes solutions seront donc proportionnelles).2ème méthode : tout serait si simple si nous connaissions un vecteur −→n normal au plan. Notons (a,b,c) sescoordonnées. Nous pouvons en revanche déterminer rapidement deux vecteurs non colinéaires appartenant àla direction du plan. Il suffit donc d’exprimer que −→n est orthogonal à chacun de ces deux vecteurs. Cela nousdonnera deux équations pour déterminer nos trois inconnues : c’est normal, il y a une infinité de vecteurs−→n , leurs coordonnées étant toutes proportionnelles.Cela nous permet donc de déterminer la partie vectorielle de l’équation. Il reste à déterminer la partie affineen utilisant les coordonnées d’un point bien choisi.3ème méthode : il s’agit dans un premier temps de déterminer une représentation paramétrique du plan.Nous pouvons en effet trouver un point E du plan et deux vecteurs −→u et −→v non colinéaires (qui formerontdonc un repère du plan) . Alors un point M appartient au plan si, et seulement si, il existe deux réels λ etµ (ses coordonnées dans le repère du plan) tels que

−−→EM = λ−→u + µ−→v . Ensuite, nous pouvons appliquer la

méthode du 1).

Réponse:7x+2y+3z=20

3) Pouvons-nous savoir quelle sera la nature de l’intersection des deux plans sans calcul?Maintenant que nous savons que les plans sont sécants, nous savons que leur intersection est une droitedéterminée par un point et une direction. Ici encore, plusieurs méthodes existent. La plus simple est sûrementde choisir une inconnue comme paramètre (ici encore, nous avons plus d’inconnues que d’équations).

Réponse:x=−2λ+4,y=−λ+7,z=λ


4) Tout d’abord, il s’agit de vérifier que les données du texte définissent bien un plan.Ensuite, nous pouvons trouver une représentation paramétrique du plan et appliquer la méthode du 1).

Réponse:3x+2y−z−12=0

5) Il s’agit d’abord de réfléchir à la position relative d’une droite et d’un plan.Ensuite, cherchons à obtenir une représentation paramétrique de la droite (AB) puis injectons ces valeursdans une équation cartésienne de P1. Si nous trouvons une valeur unique du paramètre, nous déterminonsainsi un point unique d’intersection; si nous trouvons une infinité de valeurs du paramètre, la droite estincluse dans le plan; si nous ne trouvons pas de solution, la droite est strictement parallèle au plan.

Réponse:unpointd’intersectionG(48/25,−44/25,52/25)

Exercice 3l’exercice utilise le cours sur les barycentres, les cercles, la distance d’un point à une droite.

1) Déterminez les coordonnées de O1 et O2.Pour obtenir les coordonnées de A, déterminez de quel système il est le barycentre et pensez à la balanceromaine.

Réponse:A(8,6)

2) La tangente en A est perpendiculaire au diamètre passant par A, ce qui nous permet d’obtenir un vecteurnormal à la tangente.

Réponse:12x+9y=150

3) Pensez au théorème de Thalès pour déterminer les coordonnées de I.Il reste à exprimer que les tangentes passent par I et sont à une distance 10 de O1.

Réponse:I(24,18)(4+6√2)x+(3−8√2)y=150et(4−6√2)x+(3+8√2)y=150

Exercice 4Les points A, B et C étant non alignés, (A,

−−→AB,−→AC) forme un repère cartésien du plan. Ainsi, pour tout point M

du plan, il existe un unique couple de réels (x,y) tel que−−→AM = x

−−→AB + y

−→AC, d’où

(1− x− y)−−→MA+ x

−−→MB + y

−−→MC =

−→0

La somme des coefficients étant non nulle et égale à 1, nous en déduisons que tout point du plan est barycentrede ce qu’il faut.Si A, B et C étaient alignés, tout point non aligné avec eux aurait les pires difficultés à être barycentre d’unsystème formé de ces trois points...On dit que α, β et γ sont les coordonnées barycentriques de M par rapport à A, B et C.

Exercice 5Il existe une formule pour calculer directement la distance d’un point à une droite dans l’espace, mais elle n’estpas au programme de terminale.

1) Rappel : d(M0,P ) = |ax0+by0+cz0−d|/√a2 + b2 + c2 avec les notations usuelles, le repère étant orthonormé.

Réponse:d(O,P)=3/√3=√3d(O,P′)=3/√14


2) Les deux plans ne sont pas parallèles (en considérant leurs vecteurs normaux par exemple). Ils sont doncsécants selon une droite.Résolvons pour le plaisir le système obtenu avec les équations des deux plans. Nous obtenons, par exemple

x = −5λ+ 3y = λ

z = 4λavec λ ∈ IR

Donc D est la droite dirigée par −→v (−5,1,4) et passant par A(3,0,0).3) Une figure dans un plan orthogonal à D s’impose.

−D

O

dPd

dP ′

P

P ′

Les plans P et P ′ ont l’immense avantage d’être perpendiculaires : en effet, leurs vecteurs normaux sontorthogonaux.

Réponse:d=d(O,D)=√d2(O,P)+d2(O,P′)=

√51/14

Exercice 6La résolution algébrique du système formé par les deux équations s’avère délicate, c’est pourquoi on préfèreraisonner géométriquement.

1) Calculer le rayon de la sphère et d(O,P).

Réponse:O(1,2,−3),R=3,d(O,P)=√62<3

2) Soit M un point de l’intersection de la sphère et du plan, alors le triangle OCM est rectangle en C.

Réponse:R=√

15/2

3) Déterminons les coordonnées de C dans le repère orthonormé (Ω,−→i ,−→j ,−→k ).−→

ΩC =−→ΩO+

−−→OC =

−→ΩO+ d(O,P)−→n , avec −→n un vecteur normé orthogonal à P ayant le même sens que

−−→OC,

d’où −→n (2,1,−1)ε/√

6 avec ε ∈ −1,1. Nous obtenons deux candidats : C1(2,5/2,−7/2) et C2(0,3/2,−5/2).Or seul C2 appartient à P, donc C = C2.Réciproquement, tous les points du cercle appartiennent au plan et à la sphère, donc à leur intersection.

Finalement le plan et la sphère se coupent en le cercle de P de rayon√

15/2 et de centre C(0,3/2,− 5/2).

Exercice 7Intuitivement, si vous faîtes « tourner » la médiatrice du segment, vous obtenez un plan, le plan médiateur.Vérifiez donc que tout point équidistant des deux points est sur ce plan et que réciproquement, tout point de ceplan est équidistant des deux points (ce n’est pas la même chose...).Considérez un repère orthonormé et deux points A(0,0,1) et B(0,1,0) et vérifiez par le calcul le résultat précédent.

Exercice 8Utilisez les plans médiateurs. Prenez-en deux : peuvent-ils être parallèles? Considérez leur intersection et procédezpar analyse-synthèse comme précédemment.


Considérez un repère orthonormé et trois points A(0,0,1), B(0,1,0) et C(1,0,0) et vérifiez par le calcul le résultatprécédent.

Exercice 9Dans l’espace, tout point équidistant des extrémités d’un segment est situé sur le plan médiateur de ce segment.

Soit PAB le plan médiateur de [AB]. Alors il admet−−→AB(−2,0,− 6) comme vecteur normal. Son équation est donc

de la forme −2x − 6z + b = 0, avec b ∈ IR. De plus le milieu IAB(3,5, − 2) de [AB] appartient à PAB . Nousobtenons donc que PAB : x+ 3z + 3 = 0.Nous obtenons de même PAC : x = 0 et PAD : y − z − 2 = 0.La résolution du système associé montre que ces trois plans sont sécants en O(0,1, − 1), donc O est équidistantdes quatre points A, B, C et D.Enfin, OA = OB = OC = OD = 6, donc les quatre points sont situés sur la sphère de centre O(0,1, − 1) et derayon 6.

Exercice 10

1) Notons J le milieu de [H3H4].Il s’agit de montrer que K appartient à (H1J). Le plan médiateur de [H3H4]passe par J , H2 et H1, tous trois équidistants de H4 et de H3. Il contient donc également K car il estorthogonal au plan (H1H3H4) et contient la droite (H1H2).Ainsi K ∈ (H1J), et nous pouvons montrer de la même manière que K appartient aux deux autres médianesdu triangle H1H3H4. Ainsi K est le centre de gravité du triangle H1H3H4.

2) Plaçons-nous à présent dans le plan (H1H2K). La figure suivante résume la situation :

a√

32

a√

32

a

H1J

H2

K

Nous en déduisons que H2K2 = a2 −

(23× a√

32

)2

=2a2

3

3) Finalement V = a3√

2/12

D - AH...SI ON AVAIT LE TEMPS...

D - 1 : Voyage au pays des fonctions-vecteurs...

Nous avons défini le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace E « avec les moyens du bord » du lycée. Vousdécouvrirez bientôt qu’on peut définir un produit scalaire de manière bien plus générale : c’est une « forme »(notons-la ϕ) qui « transforme » deux vecteurs en un réel et qui vérifie certaines propriétés

– ϕ est symétrique : ϕ(u,v) = ϕ(v,u).– ϕ est bilinéaire : ϕ(λu+ µv,w) = λϕ(u,w) + µϕ(v,w) avec λ et µ deux réels quelconques.– ϕ est positive : ϕ(u,u) > 0.– ϕ est définie : ϕ(u,u) = 0⇐⇒ u = 0.


1) Vérifiez que le produit scalaire usuel est un produit scalaire.2) On travaille maintenant dans l’ensemble E des fonctions continues de [−π,π] dans IR.

a) Vérifiez que la fonction nulle appartient à E et que si f et g sont deux fonctions appartenant à E et λet µ deux réels, alors λf+µg appartient encore à E (Vous direz un jour que E a une structure d’espacevectoriel et donc que ses éléments - ici des fonctions - sont des vecteurs).

b) On considère la « forme » ϕ qui à deux fonctions f et g de E associe le réel ϕ(f,g) =∫ π

−πf(t)g(t) dt.

Montrez que ϕ est un produit scalaire sur E.c) On peut, comme on l’a fait dans l’espace E , définir l’orthogonalité de deux vecteurs : deux fonctions

(vecteurs) f et g sont orthogonales si et seulement si ϕ(f,g) = 0.Soit k un entier. On note uk la fonction qui à un réel x de [−π,π] associe uk(x) = cos(kx).Calculez ϕ(un,up) avec n et p deux entiers supérieurs à 1.

D - 2 : Résolvons un système de 8 équations et 10 inconnues !...

Quand vous rencontrez le symbole (*), appelez votre professeur préféré et expliquez-lui vos résultats.Définition et objectifsDans cet exercice, on appellera carré magique un tableau carré contenant 9 nombres réels, tel que les sommes desnombres de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales soient égales :

a b cd e fg h i

aveca+ b+ c = S a+ d+ g = S a+ e+ i = Sd+ e+ f = S . . . c+ e+ g = Sg + h+ i = S . . .

où le nombre S s’appelle la somme du carré. 14

Le but de l’exercice est de trouver tous les carrés magiques.Voici une stratégie possible : le problème revient à résoudre un système de 8 équations linéaires à 10 inconnues,et on a des méthodes pour faire ça. Mais ça n’est pas très agréable : avec un peu d’astuce et de réflexion, on vaessayer de diminuer le nombre de calculs.

Fabrication de quelques carrés magiques

1) Trouvez des exemples de carrés magiques les plus simples possibles. Essayez d’obtenir deux exemples « lesplus différents possibles ».

2) Comment peut-on obtenir de nouveaux exemples à partir de carrés magiques connus? Essayez de trouver leplus possible de tels procédés. (*)

Une réduction du problème

1) Montrez que tout carré magique peut se décomposer comme somme d’un carré magique constant (tous lescoefficients sont égaux) et d’un carré magique de somme nulle.

2) Montrez que cette décomposition est unique.3) Soient λ1 et λ2 deux réels et K1 et K2 deux carrés magiques. Vérifiez que si K1 et K2 sont constants, alors

λ1K1 + λ2K2 l’est aussi.Vérifiez que si K1 et K2 sont de somme nulle, alors λ1K1 + λ2K2 l’est aussi.En quoi ceci permet-il de simplifier le problème?

14. Les amateurs de casse-tête rajoutent d’autres types de conditions, ce qui change radicalement la nature du problème (et le rendbien plus difficile): les coefficients doivent être des entiers distincts compris entre 1 et 9 par exemple.


RésolutionOn va chercher maintenant à déterminer tous les carrés magiques de somme nulle (répétons-le, en évitant derésoudre un « gros » système d’équations : il reste quand même 9 inconnues...).

1) En pratique, quand on essaie de construire un carré magique (de somme nulle), on commence par remplirquelques cases par des valeurs arbitraires (il y a bien sûr énormément de choix possibles), puis, au boutd’un moment, on n’a plus du tout le choix : la suite du remplissage du carré est entièrement déterminée parles valeurs choisies dans les premières cases. Donnez un ou plusieurs exemples de remplissages de quelquescases du carré qui forcent ainsi toute la suite du remplissage du carré.(*)

2) Choisissez l’un des schémas trouvés à la question précédente, et complétez dans le carré les cases restantesen fonction des cases présélectionnées. Obtient-on toujours ainsi un carré magique de somme nulle? Sinon,que faut-il rajouter?

3) À partir de la question précédente, exprimez tous les carrés magiques de somme nulle à partir de quelquescarrés particuliers.Déduisez-en l’ensemble de tous les carrés magiques, sous la même forme. (*)

Quelques notions d’algèbre linéaireCombien faut-il de coefficients, au minimum, pour exprimer l’ensemble des carrés magiques?Ce nombre minimum de paramètres à utiliser pour décrire un « espace vectoriel » s’appelle la dimension del’espace vectoriel. Donnez de même la dimension du « sous-espace vectoriel » des carrés magiques constants, puiscelle des carrés magiques de somme nulle.Les carrés magiques particuliers utilisés pour décrire l’ensemble de tous les éléments de l’espace vectoriel formentune base de l’espace vectoriel (à condition toutefois qu’on en ait pris le moins possible).Quel lien y a-t-il entre une base et la dimension?Un espace vectoriel peut-il avoir plusieurs bases différentes?(*)

En guise de conclusionA quoi sert l’algèbre linéaire? Malheureusement, il n’y a pas de réponse simple au niveau Terminale : en effet, laplupart des problèmes pour lesquels on pourrait utiliser l’algèbre linéaire peuvent aussi se résoudre de manièreélémentaire, la plupart du temps en resolvant un système d’équations ; et ceci peut donner l’impression qu’onremplace des calculs fastidieux mais simples par des arguments et des concepts très compliqués, très abstraits :donc, l’utilité en tant qu’outil n’est pas très claire (au lycée en tout cas !)On peut quand même faire sentir l’intérêt de l’algèbre linéaire : celle-ci permet d’unifier des problèmes et dessituations a priori très différentes, en donnant un cadre général dans lequel ces problèmes vont avoir le mêmeaspect. Une telle démarche s’appelle la méthode axiomatique, et est fondamentale dans les mathématiques récentes.Plus précisément, on commence par remarquer que l’on sait additionner deux vecteurs de l’Espace E , ou deuxfonctions, ou deux polynômes, deux intégrales ou deux suites de réels (comment?...), ou deux carrés magiques ;et qu’on sait aussi multiplier chacun de ces objets par des réels.Puisque ces objets (différents) peuvent subir le même type d’opération, ayant les mêmes propriétés formelles,les raisonnements ou les concepts qui utilisent uniquement ces opérations vont être valables dans chacun des sixcadres cités. Par exemple, les notions de droite, de plan, de repère (on dira base), que l’on connaît déjà dansl’Espace E , vont aussi être valables pour des espaces de fonctions ou de polynômes ! On pourra donc considérerune suite, une fonction continue sur IR, une intégrale, un carré magique comme autant de vecteurs...Ce point de vue donne également un support géométrique, et permet de visualiser les objets : dans l’exercice,l’ensemble des carrés magiques s’avère être un espace vectoriel de dimension 3, ce qui permettra d’y faire exacte-ment les mêmes opérations et les même raisonnements que dans l’Espace E avec ses plans et ses droites, que l’on« voit » beaucoup mieux que l’espace des carrés magiques.Même si le lycée n’en donne qu’un tout petit aperçu, la quantité de situations qui peuvent être modélisées parl’algèbre linéaire est immense, et va de questions purement mathématiques jusqu’à des problèmes très concretsd’écologie (dynamique des populations), de météorologie, d’économie, de physique, d’informatique...

TÉHESSIX VApproche intuitive de l’intégration

Résumé Tout le monde le croyait mort : il est pourtant de retour. Maistrop longtemps prisonnier de la terrible tribu des fisyssiuns, Mathemator aadopté leur langage et semble avoir oublié sa rigueur mathématique...

A - LE PRINCIPE DE SOMMATION INFINIE

A - 1 : Qu’est-ce qu’une intégrale?

Téhessin : Tout d’abord, je suis heureux de vous retrouver sain et sauf aprés ce terrible séjour chez les fizyssiuns.

Mathémator : Merci, cher disciple.Téhessin : Avide de connaissances mathématiques, j’ai jeté un coup d’œil sur mon livre de Terminale pendantvotre absence et j’ai cru comprendre qu’une intégrale était une aire.

Mathémator : C’est un point de vue Téhessin, mais pour bien appréhender la notion d’intégrale, il vaut mieuxrevenir à l’interprétation physique, le seul point de vue en termes d’aire est trop réducteur.Les physiciens utilisent les intégrales pour calculer bien d’autres choses que des aires : une masse, une énergie,un volume ou encore un potentiel électrique peuvent s’écrire comme l’intégrale d’une fonction d’une variable surun segment. Dans tous les cas, y compris celui du calcul d’aire, c’est la notion intuitive de sommation infinie quipermet de faire ce lien entre une grandeur physique et une intégrale. Pour vous faire une idée de ce qu’est unesommation infinie, je vous propose d’examiner ensemble trois exemples : un calcul de distance, un calcul d’aire etun calcul de volume.

A - 2 : Comment calculer la distance parcourue connaissant les vitessesinstantanées?

Mathémator : Supposez, Téhessin, que le compteur kilométrique de votre scooter soit en panne et que vousne disposiez que du compteur des vitesses qui donne à tout instant t la vitesse arithmétique v(t). Pouvez-vouscalculer la distance ` parcourue entre deux instants t1 et t2?Téhessin : Si la vitesse est constante et égale à v0, on a ` = v0 (t2 − t1). Mais sinon..., je ne vois pas.

Mathémator : Eh bien sinon, on se ramène à des intervalles de temps « très petits » où la vitesse est « presqueconstante ». En cela, nous allons raisonner en physicien, le but étant d’avoir une bonne intuition de ce qu’estune intégrale, mais il ne faut pas croire que vous pourrez utiliser ce genre d’arguments dans un raisonnementmathématique. Je m’explique.Nous allons imaginer que l’intervalle [t1,t2] est découpé en une infinité de petits intervalles de temps de durée dt.Pendant l’un de ces intervalles [t,t+ dt], on parcourt approximativement la distance v(t) dt, car l’intervalle étantinfiniment petit, on peut supposer que la vitesse est constante et égale à v(t) entre t et t+ dt. La distance totale` correspond donc à la somme, en nombre infini, de ces distances infiniment petites, pour t variant de t1 à t2. Ennotation intégrale, cela s’écrit

` =∫ b

a

v(t) dt.


Téhessin : Mais pourquoi utilise-t-on le symbole∫?

Mathémator : Parce qu’il représente le S de summa qui signifie somme en latin ; il a été inventé par Leibniz demême que les notations dt, dx... Vous voyez bien qu’une intégrale est avant tout une somme !Téhessin : D’autre part, je ne vois pas bien quel sens précis on pourrait donner à cette somme en nombre infinide quantités infiniment petites...

Mathémator : Il y a effectivement un vrai problème de définition. Mais vous ne saurez exactement ce quereprésente

∫ bav(t) dt que l’année prochaine. En attendant, voici d’autres exemples.

A - 3 : Quelle est l’aire délimitée par une courbe?

Mathémator : Parlons un peu, Téhessin, de l’aire d’une portion de plan délimitée par la courbe représentatived’une fonction. On considère donc une fonction f continue sur [a,b], et pour α et β dans [a,b] avec α < β, onnote A(α,β) l’aire de la portion de plan comprise entre les droites d’équations x = α, x = β, y = 0 et la courbed’équation y = f(x).

Figure XV. 1

Pour comprendre comment peut se calculer A(a,b), nous allons, comme pour le calcul de distance de tout à l’heure,découper l’intervalle [a,b] en une infinité de petits intervalles de la forme [x,x + dx] correspondant à une petiteaire A(x,x+ dx).

Figure XV. 2

126 APPROCHE INTUITIVE DE L’INTÉGRATION

Téhessin : Et j’imagine qu’on va dire que A(a,b) est la somme en nombre infini des aires A(x,x+dx) infinimentpetites pour x variant de a à b.

Mathémator : Quel talent !Téhessin : J’ai compris le principe, mais en quoi suis-je avancé, une fois que j’ai fait ce découpage? Je me retrouveavec une infinité de calculs à faire, au lieu d’un seul.

Mathémator : Certes, mais ce qui est intéressant, c’est qu’on peut donner une valeur approximative de A(x,x+dx). En effet, comme dx est infiniment petit, f est presque constante et égale à f(x) sur tout l’intervalle [x,x+dx].Donc A(x,x+ dx) vaut à peu près l’aire d’un rectangle de base dx et de hauteur f(x), c’est à dire f(x)dx.Avec les mêmes notations que dans le problème précédent, on a donc, en faisant la somme pour x variant de a etb des aires infiniment petites f(x)dx

A(a,b) =∫ b

a

f(x) dx.

Voilà pourquoi un calcul d’aire peut se ramener à un calcul d’intégrale.

A - 4 : Quel est le volume intérieur à une sphère?

Téhessin : Après la dimension 1 et la dimension 2, maintenant la dimension 3, c’est ça?

Mathémator : Oui, une distance, une aire, un volume sont en fait des mesures d’objets à une, deux ou troisdimensions. Et qui dit mesure, dit intégrale.Téhessin : Vous allez donc exprimer le volume intérieur à une sphère comme une intégrale.

Mathémator : Effectivement, nous allons imaginer que l’intérieur de la sphère est découpé en une infinité departies de volume infiniment petit, puis effectuer la somme de ces petits volumes. Il y a plusieurs manières deprocéder : découper l’intérieur de la sphère en une infinité de sphères concentriques, comme des poupées russes,ou alors considérer qu’elle est composée de tranches horizontales infiniment fines.Téhessin : Je préférerais les tranches Professeur, car je ne joue plus à la poupée.

Mathémator : Comme vous voulez. Alors commençons par supposer que la sphère a pour rayon R et pouréquation dans un repère orthonormé x2 + y2 + z2 = R2, et découpons.

Figure XV. 3

Il faudrait maintenant « calculer » le volume de la tranche hachurée qui correspond aux points dont l’altitude estcomprise entre z et z + dz. Et cette fois, Téhessin, en quoi va consister l’approximation?Téhessin : Facile, facile, je vais dire que cette tranche a un rayon constant puisque son épaisseur dz est infinimentpetite, et donc c’est un cylindre.

Mathémator : Oui, poursuivez donc le calcul, je vois que vous êtes bien parti !Téhessin : Cette tranche a approximativement pour volume π r2(z) dz où r(z) est le rayon de la section d’altitudez. Il me reste à calculer r(z), mais là, je suis un peu en panne. Un petit indice, Professeur?


Mathémator : Il tient en un mot : Pythagore.Téhessin : Merci, Professeur.

Figure XV. 4

D’après le théorème de Pythagore, on a r2(z) + z2 = R2 et le volume total est donc

V =∫ R

−Rπ(R2 − z2)dz.

Et j’ai fini !

Mathémator : Très bien, Téhessin, mais ça ne sera fini que lorsqu’on aura simplifié cette intégrale ! Cela se faiten utilisant les techniques de calcul d’intégrales à l’aide de primitives, et avec ces techniques, on obtient facilement

la formule classique V =43π R3.

B - EXERCICES : INTÉGRATION SANS PRIMITIVES

Exercice 1Calculez les intégrales suivantes, après avoir fait un petit dessin.

I1 =∫ b

a

k dx avec k > 0 I2 =∫ 4

0

(3− x) dx I3 =∫ 1

−1

√1− x2 dx

Exercice 2Dans cet exercice, vous pourrez utiliser les résultat suivant :

∫ 1

0x2 dx = 1/3 pour calculer certaines des intégrales

proposées.

1) I4 =∫ 1

0

(5x2 + 3x) dx

2) I5 =∫ 1

−1

x2 dx

3) I6 =∫ 1

−1

(x2 − 3x+ 8) dx

4) I7 =∫ π/2

−π/2sin5 x dx


Exercice 3

1) Prouvez que, pour tout t ∈ [0,1],t2

26 t2

1 + t6 t2.

2) Déduisez-en un encadrement de I =∫ 1

0

t2

1 + tdt.

Exercice 4Soit f une fonction continue sur [0,1] telle que, pour tout x ∈ [0,1], il existe deux réels m et M tels que m 6f(x) 6M .Déterminez la limite de la suite de terme général

un =∫ 1/n

0

f(x) dx

Exercice 5Étudiez la limite de la suite de terme général un =

∫ n+1

n

e−x dx.

Vous pourrez commencer par encadrer e−x sur [n,n+ 1] en fonction de n.

Exercice 6On pose In =

1n!

∫ 1

0

(1− x)ne−x dx, pour tout n ∈ IN.

Prouvez que 0 6 In 61n!

∫ 1

0

e−x dx et déduisez-en limn→+∞

In.

C - LIENS ENTRE INTÉGRALES ET PRIMITIVES

Mathémator : Pour bien comprendre ce lien fondamental, nous allons utiliser l’interprétation de l’intégrale entermes d’aire. On se donne f : [a,b]→ IR continue, et on note, pour x ∈ [a,b],

S(x) =∫ x

a

f(t)dt

l’aire hachurée

Figure XV. 5


Le problème est donc de calculer S(b) connaissant f . Mais nous allons dans un premier temps prendre le problèmeà l’envers, et montrer comment retrouver f à partir de S.Le raisonnement suivant est dû à Newton, mais je vais vous l’exposer en langage moderne. Fixons x dans [a,b[.Examinons ce qui se passe si h est « petit ».

Figure XV. 6

Je pense que vous serez d’accord pour dire que, comme h est petit, l’aire de la région en noir semble négligeabledevant l’aire du rectangle qui est en dessous.Téhessin : Négligeable au sens physique du terme?

Mathémator : Oui. Ensuite, comme le rectangle a pour aire f(x).h, on en déduit

S(x+ h)− S(x) ' f(x)h.

Attention, le symbole ' n’a pas de sens précis en mathématiques. Ce raisonnement s’apparente plutôt aux rai-sonnements des physiciens sur les ordres de grandeurs.Ensuite, en divisant par h, on a

S(x+ h)− S(x)h

' f(x).

On constate alors que le membre de gauche est un taux d’accroissement, qui est « très proche » de la dérivée deS en x puisque h est « petit ». On obtient donc que S semble dérivable en x et que S′(x) = f(x), et comme x aété pris arbitrairement dans [a,b[, on a « montré » que S est une primitive de f . C’était plutôt inattendu, non?Là encore, j’ai laissé de côté les difficultés techniques pour vous faire comprendre l’idée. Je ne vous ai pas montrérigoureusement que S′ = f . En particulier, j’ai sous-entendu que h était positif, et il faudra étudier le cas où hest petit et négatif, sinon nous aurions seulement démontré que la dérivée à droite de S en x existe et vaut f(x).

Téhessin : C’est joli, mais ça ne nous dit toujours pas comment calculer∫ b

a

f(t)dt.

Mathémator : Nous y sommes presque. Considérons une primitive quelconque de f sur [a,b], que nous noteronsF . Vous vous souvenez que nous avons montré que deux primitives d’une même fonction définie sur un intervallediffèrent d’une constante. Donc, il existe un réel k tel que S(x) = F (x) + k pour tout x ∈ [a,b]. Ainsi, commeS(a) = 0, on a

∫ b

a

f(t)dt = S(b) = S(b)− S(a) =(F (b) + k

)− (F (a) + k)

= F (b)− F (a).

La boucle est bouclée ! Maintenant,∫ 1

0

x dx est très simple à calculer.

Avec la notation F (b)− F (a) =[F (x)

]ba, on obtient par exemple :

∫ 1

0

x dx =[x2

2

]1

0

=12.


Finalement :

Soit f une fonction continue de [a,b] dans IR et soit F une primitive de f sur [a,b] , alors

∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a)

D - QUIZZ

Question 1. Vrai ou faux?

L’intégrale d’une fonction continue et impaire est nulle.


Si∫ 2

−2

f(t) dt = 0, alors f est impaire.

Question 3.

Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur [−2,2], telle que∫ 2

−2

f(t) dt = 0.


Si limx→+∞

f(x) = 0, alors∫ x

1

f(t) dt admet une limite finie quand x tend vers +∞.

Question 5.

Trouvez une fonction telle que limx→+∞

f(x) = 0 et limx→+∞

∫ x

1

f(t) dt = +∞

Question 6.

Trouvez une fonction telle que limx→+∞

f(x) = 0 et limx→+∞

∫ x

1

f(t) dt = 32


Soit u un réel strictement positif, alors∫ u

0

E(x) dx ∈ IN, E(x) désignant la partie entière de x.

Question 8. Vrai ou faux?∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t) dt

∣∣∣∣∣ =∫ ba|f(t) dt|

Question 9.

Trouvez une fonction f telle que

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t) dt

∣∣∣∣∣ <∫ ba|f(t) dt|


Question 10.

Trouvez une condition nécessaire et suffisante sur f pour que

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t) dt

∣∣∣∣∣ =∫ ba|f(t) dt|

Question 11. Vrai ou faux?∫ 3

2

xt2 dt =∫ 3

2

xt2 dx

Question 12. Vrai ou faux?∫ 3

2

xt2 dt =∫ 3

2

x2t dx

Question 13.

Trouvez deux fonctions f et g continues sur [1,2], distinctes, telles que∫ 2

1

f(t) dt =∫ 2

1

g(u) du


Si f est bornée sur [a,b], alors la fonction x 7→ ∫ xaf(u) du l’est aussi.


Si f est croissante sur [a,b], alors la fonction x 7→ ∫ xaf(u) du l’est aussi.

E - LE PROBLÈME DE L’IVROGNE

Un ivrogne part à un instant donné d’un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue(et qui peut changer de façon arbitraire à chaque pas). Comme il se fatigue, ses pas sont de plus en plus courts.Peut-on prévoir qu’au bout d’un certain temps il restera à moins d’un mètre d’une certaine position si on admetque la longueur de son n-ième pas est 1/n mètre? 1/n2 mètre?

E - 1 : Étude de la convergence d’une série

1) Soit (un)n∈IN une suite convergeant vers un réel `. On considère la suite (u2n)n∈IN des termes de rang pairde la suite (un)n∈IN . Montrez, à l’aide de la définition de la convergence d’une suite, que (u2n)n∈IN convergeaussi vers `.

2) On pose Sn =n∑

k=1

1k. Quel est le lien avec l’ivrogne?

3) Exprimez S2N − SN . Quel est le plus petit terme de cette somme. Déduisez-en que S2N − SN > 1/2 pourtout N ∈ IN∗.

4) Supposons maintenant que la suite (Sn)n∈IN∗ converge vers un réel `. En utilisant le résultat précédent et lespropriétés des opérations sur les limites, montrez qu’on arrive à prouver que 0 > 1/2. Qu’en concluez-voussur (Sn)n∈IN∗ ?

5) Résolvez alors le premier problème de l’ivrogne.


E - 2 : Utilisation du logarithme népérien et des suites adjacentes

On cherche maintenant à estimer la distance parcourue par l’ivrogne, même si l’on sait qu’elle tend vers l’infini.

1) On définit deux suites (vn)n∈IN∗ et (wn)n∈IN∗ vérifiant pour tout n ∈ IN∗

vn = Sn − ln(n+ 1) et wn = Sn − lnn

a) Montrez que, pour tout t ∈]− 1,+∞[, ln(1 + t) 6 t.b) Prouvez alors que les suites (vn)n∈IN∗ et (wn)n∈IN∗ sont adjacentes.c) Montrez que leur limite commune γ appartient à l’intervalle ]0,1[.

2) Montrez qu’il existe une suite (εn)n∈IN∗ telle que

Sn = lnn+ γ + εn avec limn→+∞

εn = 0

3) Donnez, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de γ à 10−2 près. Donnez également une approxi-mation de la distance parcourue par l’ivrogne au bout de 24 heures.


E - 3 : Comparaison série - intégrale

On note f la fonction définie sur ]0,+∞[ par f(x) = 1/x2.

1) En utilisant le schéma , la relation de Chasles et la décroissance de f , montrez que

N∑n=2

f(n) 6∫ N

1

f(x) dx

2) On pose S′n =n∑

k=1

1k2

. En utilisant la question précédente, prouvez que la suite (S′n)n∈IN∗ converge. On

notera L la limite.3) En utilisant judicieusement des petits rectangles, un peu comme tout à l’heure, montrez que

∫ K+1

N+1

f(t) dt 6K∑

p=N+1

f(p) 6∫ K

N

f(t) dt

4) Soit F une primitive de f sur ]0,+∞[ telle que limx→+∞

F (x) = 0. En utilisant la double inégalité précédente,montrez que

−F (N + 1) 6 L−N∑p=1

f(p) 6 −F (N)

5) Déduisez-en une valeur approchée de L à 10−2 près.6) Que peut-on en déduire pour l’ivrogne?

LOI DE PROBABILITÉ DISCRÈTE -VARIABLE ALÉATOIRE

Historiquement, les calculs de probabilités ont été tout d’abord utilisés pour étudier l’argent que pouvaient espérergagner les princes au jeu.De nos jours, ces calculs sont abondamment utilisés en physique, en chimie, en biologie, en économie, en démo-graphie, etc. Malgré tout, le vocabulaire employé reste lié au jeu.

A - UN EXEMPLE POUR DÉCOUVRIR

L’éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le gouvernement syldave a décidé de se passer à lafois de correcteurs et d’élèves. Tout est simulé dans les bureaux du ministère, le but étant d’obtenir une moyennenationale satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se rueront en Syldavie pour profiter d’une maind’œuvre aussi qualifiée.Le candidat virtuel jette un dé virtuel : s’il sort un 6, il a 20, s’il tombe sur un autre numéro pair il a 10, s’il tombesur un numéro impair, il a 5.Quelle moyenne nationale peut espérer obtenir le ministre? Cette moyenne est-elle une moyenne? Cette moyennesera-t-elle effectivement atteinte?Les derniers syldaves touchant un salaire pour leur travail coûtent encore trop cher aux entreprises. Un nouveausystème de rémunération a donc été mis au point par l’ancien ministre de l’éducation syldave installé aujourd’huiau ministère des finances.Pour garder son emploi, le salarié doit chaque mois verser 1000 neurones à l’entreprise puis doit lancer un dé. S’ilsort un 6, il touche 3000 neurones : les 1000 versés au départ par le salarié plus 2000 versés par l’entreprise. Dansles autres cas, l’entreprise garde les 1000 neurones.Quelle salaire un employé peut-il espérer toucher?Que se passera-t-il si l’entreprise propose 5000 neurones au lieu des 2000? Et si elle propose 1 000 000 000 deneurones avec un dé à 100 faces pour un versement initial de 1 000 000 de neurones?

B - LA THÉORIE

Vous vous souvenez que l’univers probabilisable, souvent noté Ω, est constitué de toutes les « éventualités » ou« issues » d’une expérience aléatoire.Avant de parler de lois de probabilités, penchons nous sur le terme discrètes : il traduit le fait que l’on peut« dénombrer » chacune des issues; on peut leur donner un numéro. Nous étudierons plus tard dans l’année deslois de probabilité continues : on ne pourra pas donner un numéro à chacune des issues; par exemple, on ne peutpas compter tous les nombres réels compris entre 2 et 3.

Soit Ω = ω1,ω2, · · · ,ωn un univers muni d’une probabilité. On appelle variable aléatoire toute fonction de Ωdans IR.

Soit x1, · · · ,xk les différentes valeurs prises par la fonction X.On note X = xi l’événement « la variable aléatoire prend la valeur xi ». Il se note rigoureusement ω ∈Ω | X(ω) = xi, ce qui se lit « l’ensemble des ω tels que X(ω) = xi ».


Soit (Ω,p) un univers muni d’une probabilité p et X une variable aléatoire sur Ω. On appelle loi de probabilitéde X la fonction ϕ de IR dans [0,1] définie par

ϕ : x 7→ p(X = x)

Remarque : si x 6∈ Ω, alors (X = x) = ∅ et donc p(X = x) = 0.Définir la loi de probabilité d’une expérience aléatoire reviendra donc à :. déterminer toutes les valeurs possibles x1, · · · ,xn prises par X;. calculer les probabilités p1, · · · ,pn des événements correspondants;. regrouper les résultats dans un tableau du type

Valeurs prises par X x1 x2 · · · xnProbabilité correspondante p(X = xi) p1 p2 · · · pn

Vous n’oublierez pas de vérifier que p1 + · · ·+ pn = 1 d’après le principe des probabilités totales.

On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre noté E(X) défini par

E(X) = x1 × p(X = x1) + x2 × p(X = x2) + · · ·+ xn × p(X = xn) =n∑

i=1

xi · p(X = xi)

Une mise en pratique de tout ce vocabulaire obscur s’impose...

C - DES EXERCICES POUR METTRE EN PRATIQUE

Exercice 1Le ministre syldave du logement doit faire face à une surpopulation syldave galopante. Il propose donc le jeusuivant à la population :le ministre dispose d’un pistolet à six coups chargé de trois balles. Le joueur tire jusqu’à ce qu’une balle viennefrapper sa boîte crânienne, le ministre faisant tourner le barillet entre chaque essai. Si la tête du candidat explosedès le premier coup, l’État verse 2 neurones à la famille du défunt et le jeu s’arrête; si c’est au deuxième coup, lafamille reçoit 4 neurones; si le bang arrive au troisième coup, le ministre débourse 23 neurones, etc.

1) Soit X la variable aléatoire qui donne le gain en neurones de la famille. Montrez que l’espérance mathéma-tique est infinie et que donc chaque syldave a intérêt à jouer...

2) Que se passe-t-il si le ministre ne dispose que de 1 000 000 de neurones? Quelle participation le ministrepeut-il alors demander pour rentrer dans ses frais?

Exercice 2On considère les deux avions de la compagnie Syldavian Death Air : un biréacteur B et un triréacteur T .On suppose que tous les moteurs sont identiques, ont la même probabilité p de tomber en panne sur une périodedonnée et qu’ils sont indépendants.Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de réacteurs tombant en panne sur B et Y celle qui donne lenombre de réacteurs tombant en panne sur T .

1) Donnez les lois de probabilité de X et Y en fonction de p. (Pour résoudre ce problème d’avions, on pourras’aider d’arbres.)

136 LOI DE PROBABILITÉ DISCRÈTE - VARIABLE ALÉATOIRE

2) Calculez les espérances mathématiques correspondantes.3) B a besoin d’au moins un réacteur, sinon il tombe au milieu de l’océan; T a lui besoin de deux réacteurs

pour arriver à destination.a) Calculez, en fonction de p, la probabilité PB que le biréacteur traverse l’océan sans encombre.b) Calculez la probabilité correspondante PT pour T .c) Dans quel avion préférez-vous monter pour traverser l’océan?

D - PARADOXE?

Exercice 1Le problème est simple : prenons deux boîtes identiques A et B dont l’une contient deux fois plus de balles derevolver que l’autre, mais vous ignorez laquelle. La situation est donc totalement symétrique. Pourtant un expert,qui ignore également quelle est la boîte la mieux lotie en balles de revolver, affirme au ministre syldave qu’il fautchoisir la boîte B ! Son raisonnement semble imparable : soit n le nombre de balles de revolver dans la boîte A,alors la boîte B en contient soit 2n, soit n/2 avec à chaque fois une probabilité de 1/2. Donc on peut calculerl’espérance mathématique du nombre de balles de revolver dans la boîte B.

E =

Stupeur ! Il vaut mieux choisir la boîte B. Or nous aurions pu tenir exactement le même raisonnement en inversantles rôles de A et B pour aboutir à la conclusion inverse. Nous aboutissons à un magnifique paradoxe. Quel est leproblème?

Supposezqu’ilyacinqballesdansA

Exercice 2Un ordinateur affiche un nombre entier à l’écran de manière aléatoire. Peut-il y avoir équiprobabilité dans le choixde cet entier?

Exercice 3En Syldavie, l’élection présidentielle se joue à la cravate. Le candidat qui a la moins longue cravate devient ipsofacto président de la République syldave et garde la cravate de son adversaire.La veille de l’élection, le candidat Joe Max Bill Pol réfléchit, allongé dans son lit : « ma cravate a pour longueurL. Si ma cravate est la plus longue, ce qui a une chance sur deux de se produire, je la perds, donc je perds unecravate de longueur L. Sinon, je gagne la cravate de l’autre qui est plus longue que L. Donc une fois sur deux jeperds L et une fois sur deux je gagne plus que L. Mon espérance est donc positive donc je suis confiant ». Sonadversaire tient bien sûr le même raisonnement...

I. Le modèle fait la probabilitéEncore un problème stupide : Dans un parc il y a trois bancs à deux places. Roger et Ginette vont s’asseoir « auhasard ». Quelle est la probabilité qu’ils se retrouvent sur le même banc?On parle de « hasard », donc d’équiprobabilité, mais de quelles issues : les bancs ou les places? C’est souventle problème des calculs de probabilités : pour un même problème, plusieurs modèles peuvent être utilisés pourarriver à des résultats parfois différents.Ici, montrer que, selon le modèle choisi, la réponse peut-être 1/3 ou 1/5. Y a-t-il un modèle plus pertinent?Il sera donc important de préciser le modèle choisi avant tout calcul.

UN EXEMPLE DE LOI DISCRÈTE : LALOI BINOMIALE

A - ÉPREUVE DE BERNOULLI

Pour faire plaisir à votre correcteur de bac, il faudra faire attention à bien reproduire sur vos copies un modèlede rédaction. Alors, garde à vous et suivez le maître.Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ne comportant que deux issues contraires : pile ou face, aimerou ne pas aimer Mireille Mathieu, avoir ou ne pas avoir son bac, être ou ne pas être, etc, un événement ayant uneprobabilité p et l’autre 1− p.Par exemple, une urne contient 5 oursins et 3 balles en mousse. Le tirage d’un objet dans cette urne a deux issuescontraires:. P : « je me pique » avec la probabilité 5/8. P : « je ne me pique pas » avec la probabilité 3/8.Soit alors X la variable aléatoire à valeurs dans 0,1, prenant la valeur 1 si l’issue de l’épreuve est P et 0 sinon.On appelle alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X loi de Bernoulli de paramètre 5/8. Le calculde l’espérance est aisé (vérifier quand même qu’elle vaut 5/8).Imaginons maintenant que nous répétions cette expérience n fois, en ayant toujours soin de replacer l’objettiré dans l’urne. La répétition de ces n épreuves de Bernoulli est appelé un schéma de Bernoulli. Les issuesélémentaires de ces n tirages sont des « mots » de n lettres, chaque lettre étant un P ou un P . On définitalors la variable aléatoire Y à valeurs dans 0,1,2,...,n, donnant le nombre de tirages « piquants » de ces issuesélémentaires. On dit que Y suit la loi binomiale de paramètres n et 5/8, notée B(n,5/8).On s’intéresse maintenant à l’événement (Y = k), c’est à dire l’ensemble des mots de n lettres écrits avec k P etn− k P . Faîtes un arbre pondéré illustrant la situation (à l’ordi, c’est pénible). Il est aisé de s’apercevoir que laprobabilité d’un de ces tirages est (5/8)k(3/8)n−k.Il reste à déterminer combien il y a de tels mots. Ce sont les anagrammes de PP...P P P ...P . Vous vous rappelez

qu’il y en an!

k!(n− k)!, c’est à dire

(n

k

).

La probabilité de l’événement (Y = k) est donc(n

k

)(5/8)k(3/8)n−k.

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p) et soit k ∈ 0,1,2,...,n. Alors. p(X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k

. on admettra que IE(X) = np.

B - COMMENT FAIRE PLAISIR À SON CORRECTEUR LEJOUR DU BAC

Il ne faut pas oublier de justifier l’utilisation de la loi binomiale.L’énoncé : chaque crocodile qui traverse la clairière séparant les kékés du fleuve a une probabilité 1/3 de périrécrasé par un éléphant sautant en parachute. Un matin, 32 crocodiles quittent les kékés pour rejoindre le fleuve.On note X, le nombre de victimes des éléphants parmi ces crocodiles. Les survivants reviennent le soir par le

138 UN EXEMPLE DE LOI DISCRÈTE : LA LOI BINOMIALE

même chemin. On note Y le nombre total de victimes. Calculez la probabilité que 22 crocodiles se baignent dansle fleuve et la probabilité que 7 crocodiles retournent sains et saufs le soir dans les kékés. Calculez E(Y ). Commentinterpréter ce résultat?

L’expérience qui consiste à traverser la clairière est une épreuve de Bernoulli. On appelle A l’événement « êtreécrasé par un éléphant ». Alors p(A) = 1/3. Les traversées sont indépendantes et ont la même probabilité de finirtragiquement, donc constituent un schéma de Bernoulli. X suit donc la loi binomiale B(32,1/3).La probabilité que 22 crocodiles se baignent dans le fleuve vaut donc p(X = 10). Alors

p(X = 10) =(

3210

)(13

)10(23

)22

=222 × 32!10!22!332

' 0,146

Vérifiez que la probabilité pour un crocodile de sortir indemne de l’aller-retour est (2/3)2, et donc que la probabilitéd’être écrasé est 1 − (2/3)2. Comme il y a 32 crocodiles indépendants, Y suit la loi binomiale B(32,5/9). Il ne

reste plus qu’à calculer p(Y = 25). Enfin, IE(Y ) = 32× 59' 17,8. On peut espérer que 14,2 crocodiles survivent

aux éléphants parachutistes, soit en moyenne 44% des crocodiles.

C - LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES

Souvenez-vous : il y a bien longtemps, vous étiez en classe de seconde et vous découvriez les probabilités. Vouslanciez un dé et notiez la fréquence d’obtention de tel ou tel résultat. Déjà fort perspicace, vous aviez remarquéque plus vous lanciez le dé, plus la fréquence d’obtention de 4, par exemple, tendait vers 1/6 qui, vous l’avezappris depuis, est la probabilité d’obtenir 4 en lançant un dé équilibré.Pour résumer, plus vous répétez une expérience aléatoires dans des conditions identiques et avec indépendancedes résultats, plus la fréquence observée de succès tend vers la probabilité de succès : c’est ce qu’on appelle la loifaible des grands nombres et nous allons essayer de prouver ce résultat.

C - 1 : Inégalité de Markov

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité p et ne prenant que des valeurs positives (rangéescomme d’habitude dans l’ordre croissant) x1,x2, · · · ,xn.Soit ε un nombre 15 strictement positif fixé.Le monde se sépare en deux catégories : les xi strictement inférieurs à ε et ceux qui lui sont supérieurs.Supposons par exemple que x1 6 x2 6 · · ·xk−1 < ε 6 xk 6 · · · 6 xn

1) Rappelez la définition de l’espérance IE(X).

2) Montrez que IE(X) > εn∑

i=k

p(X = xi).

3) Déduisez-en l’inégalité de Markov p(X > ε) 6 IE(X)ε

4) Déduisez-en cette autre formulation : p(X < ε) > 1− IE(X)ε

5) Cas particulier de la loi binomiale

On suppose que X suit la loi binomiale B(n,p). Donnez une majoration de p(X

n> ε)

et une minoration

de p(X

n< ε

)à l’aide de l’inégalité de Markov.

15. qui sera notre seuil d’erreur fréquence/probabilité


C - 2 : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1) VarianceLa variance d’une variable aléatoire est la quantité qui mesure la dispersion de X autour de sa moyenne,c’est à dire son espérance. Plus les valeurs sont dispersées, plus sa variance augmente. On attend donc quesi X est une variable aléatoire constante, sa variance sera nulle.

VarianceLa variance de la variable aléatoire X est définie par

V ar(X) = IE((X − IE(X)

)2)

On aura remarqué que la variance est « homogène » à X2. On a donc défini√V ar(X) qu’on appelle

écart-type de X et qu’on note souvent σ(X)2) Appliquez l’inégalité de Markov astucieusement pour obtenir l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

p(|X − IE(X)| > ε) 6 V ar(X)

ε2

3) Une application de ces inégalitésLes inégalités de nos amis franco-russes permettent d’avoir une estimation de certaines probabilités sansqu’on connaisse la loi de probabilité. il faut toutefois être conscient que la probabilité exacte peut être assezéloignée de la borne proposée.Par exemple, le nombre de caleçons molletonnés fabriqués dans une usine syldave en une semaine est unevariable aléatoire d’espérance 50 et de variance 25.Estimez, grâce à l’inégalité de Markov, la probabilité que la production de la semaine à venir dépasse 75caleçons molletonnés.Estimez, grâce à l’inégalité de Bianaymé-Tchebychev, la probabilité que la production de la semaine à venirsoit strictement comprise entre 40 et 60 caleçons molletonnés.

C - 3 : Loi faible des grands nombres dans le cas de la loi binomiale

1) Soit λ un réel strictement positif et X une variable aléatoire quelconque. Montrez que IE(λX) = λIE(X)puis que V ar(λX) = λ2V ar(X).

2) Considérons maintenant le cas où X obéit à la loi binomiale B(n,p).Intéressons-nous à la probabilité d’obtenir k succès au cours des n répétitions de l’épreuve.Le rapport k/n est alors le nombre relatif (la fréquence) de succès.Nous allons essayer de confirmer notre étude expérimentale, à savoir que, plus n est grand, plus le rapportk/n est proche de la probabilité p de succès à chacune des épreuves.On admettra que la variance de X vérifie V ar(X) = np(1− p)Montrez que

p

(∣∣∣∣X

n− p∣∣∣∣ > ε

)6 p(1− p)

nε2

puis que

limn→+∞

p

(∣∣∣∣X

n− p∣∣∣∣ 6 ε

)= 1

Qu’en déduisez-vous?

140 UN EXEMPLE DE LOI DISCRÈTE : LA LOI BINOMIALE

D - EXERCICES SYLDAVES

I. Manipulation des coefficients binomiauxChaque dimanche, pendant n semaines, le Père Thurbais, archevêque de Syldavie, parle de mythes à l’abbesse,pour les novices qui doutent de leur foi. Après la confession de leurs torts, le bon père ne peut plus les quitter.Aussi, les n nonnes qui se sont passées de pain jusqu’aux matines proposent à l’abbé parasite une petite collationdont l’effet est embarrassant. Il a la trouille des cuites, mais elles aiment le goût du blanc et lui offrent un vin bienseyant. La probabilité pour que ce coup de blanc le grise et lui donne la pire nausée est pn = 1− λ/n. On noteXn le nombre de dimanches où ce curé précis passe pour matines sans avoir ce petit ennui (0 < λ < n). Précisezla loi de probabilité de Xn. Montrez que pour tout entier k compris entre 1 et n on a

IP(Xn = k) =λk

k!

(k−1∏

i=0

(1− i

n

))(

1− λ

n

)n

(1− λ

n

)k

II. Bac syldave : toujours plus d’économiesLe ministre syldave de l’Éducation décide de donner le bac à 80% des enfants dès leur naissance. C’est vrai !Pourquoi attendre 18 ans et dépenser tant d’argent quand on est même pas sûr du résultat, tout ça pour permettreà des profs d’être payés à être en vacances la moitié de l’année?Le ministre découpe donc dans du carton dix carrés numérotés de 1 à 10 et propose au nouveau-né de tirer uncarton au hasard.. si c’est un multiple de cinq, il est recalé,. si c’est un sept,il obtient la mention « très bien »,. si c’est un multiple de quatre, il obtient la mention « bien »,. si c’est un multiple de trois, il obtient la mention « assez bien ». sinon, il obtient la mention « passable ».

1) Calculez la probabilité pour un nouveau-né syldave d’obtenir le bac avec la mention « passable ».Le village natal du beau-frère du ministre attend sept naissances pour l’année qui suit. On sait qu’il y auratrois filles et quatre garçons 16. On note X la variable aléatoire égale au nombre de garçons bacheliers et Yla variable aléatoire égale au nombre de filles bachelières parmi ces bébés.

2) Déterminer les lois de probabilité de X et Y .3) Calculez la probabilité d’avoir plus de bachelières que de bacheliers.4) Calculez la probabilité pour que ce village dépasse l’objectif du ministre.

III. Le blues du dentiste syldaveAprès le lycée, l’université : le ministre syldave a supprimé la faculté de médecine. L’unique dentiste de Gattacaest un ancien boxeur, aveugle et parkinsonien. Il arrache les dents de ses patients au hasard. Les syldaves venant leconsulter ont toujours une seule dent de malade parmi les trente-deux qu’ils possèdent encore avant l’interventiondes tenailles ou des poings, c’est selon. On considère les dix premiers clients, en notant X le nombre de dentsmalades extraites à bon escient.

1) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Calculez la probabilité pour qu’aucun de cespatients n’y laisse la dent malade.

2) Combien doit-il traiter de personnes pour extraire au moins une dent malade avec une probabilité supérieureà 0,6?

3) Le dernier client est assez obstiné : il se laisse arracher les dents une à une tant que la dent malade n’a pasété extraite. On note Y le nombre de dents saines que ce vaillant patriote voit tomber des mâchoires de laredoutable paire de tenailles.Calculez la probabilité pour qu’il reparte complètement édenté, puis IE(Y ) et σ(Y ).

16. Comme chacun sait, la capitale syldave s’appelle Gattaca

LOIS CONTINUES

A - PRÉAMBULE : LE CHARME DISCRET DU CONTINU

Résumé Où nos deux rigolos nous prennent la tête pour la dernière fois.

Mathémator : Nous allons être amenés à distinguer les variables aléatoires 17discrètes et les variables aléatoirescontinues. Une variable discrète prend des valeurs dans un ensemble discret, c’est à dire « qu’on peut dénombrer ».Téhessin : Pouvez-vous être plus explicite?Mathémator : Premier cas : la variable prend un nombre fini de valeurs. Considérez par exemple un jeu de pileou face et la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si on obtient pile et la valeur 0 si on obtient face. C’est unevaleur discrète : elle prend ses valeurs dans l’ensemble 0,1.Deuxième cas : la variable prend ses valeurs dans un ensemble infini, mais dont on peut lister les éléments, leurattribuer un rang. On peut donc écrire ces valeurs sous la forme v1,v2, · · · ,vn, · · · . L’ensemble discret le plus« naturel » est l’ensemble IN : v1 = 1,v2 = 2,v3 = 3 · · · . En connaissez vous d’autres?Téhessin : Tout simplement des parties de IN : l’ensemble des entiers pairs, des entiers multiples de 32 etc.Mathémator : En effet, il y a le premier entier pair, le deuxième, etc. Tiens, pour rigoler : y a-t-il plus d’entiersque de multiples de 32?Téhessin : Oui, évidemment, pourquoi cette question?Mathémator : Parce que la réponse n’est pas aussi évidente. En effet, chaque multiple de 32 peut être mis encorrespondance avec chacun des éléments de IN : v1 = 32,v2 = 64, · · · ,vn = 32n, · · · . Il y aurait donc « autant »d’entiers multiples de 32 que d’entiers tout court ! Plus fort : on peut aussi montrer que l’ensemble Q

est dénom-brable, et donc qu’il y a « autant » de rationnels que d’entiers, alors qu’on vous a appris que l’ensemble IN étaitstrictement inclus dans Q

! Mais nous abordons des notions extrêmement complexes qui débordent largementnotre cours.Téhessin : Dans ces conditions, je suppose qu’il y a autant de nombres réels que d’entiers et donc tout ensembleest dénombrable : il y a le premier réel, puis le deuxième, etc.Mathémator : Bon, je suis allé trop vite et de manière trop vague. J’ai précisé qu’on pouvait montrer que Q

étaitdénombrable. Eh bien allons-y ! L’idée est toute simple : un rationnel peut être représenté par un couple d’entier.Par exemple 2/3 sera représenté par le couple (2,3). Dans un repère du plan, un rationnel sera donc un point àcoordonnées entière et Q

sera représenté par l’ensemble des points à coordonnées entières. Prenez une feuille monpetit Téhessix et représentez quelques-uns de ces points. Et maintenant, un petit jeu qui me rappellera mes follesaprès-midis à dévorer Pif-gadget : reliez par un trait les points suivants

(0,0)− (1,0)− (0,1)− (0,2)− (1,1)− (2,0)− (3,0)− (2,1)− (1,2)− (0,3)− (0,4)− · · ·Nous allons donc pouvoir « numéroter » chaque rationnel (1/2 porte par exemple le dossard 9) en prenant soinde « sauter » le couple (2,4) par exemple car il représente le même rationnel que le couple (1,2). L’ensemble Q

vadonc pouvoir être mis en correspondance, terme à terme, avec l’ensemble IN, donc il y a « autant » de rationnelsque d’entiers !Téhessin : Excusez-moi, mais si 1/2 porte déjà le numéro 9, on risque de ne pas avoir assez d’entiers pour lesnuméroter tous.Mathémator : N’oubliez pas cher disciple que nous avons une réserve inépuisable d’entiers. L’important, c’estd’avoir trouvé une correspondance terme à terme (une bijection) entre les deux ensembles.

17. N’oubliez pas qu’en probabilités, les variables sont des fonctions...

142 LOIS CONTINUES

Téhessin : Mais vous avez oublié les rationnels négatifs.Mathémator : Un détail ! Il suffit d’intercaler l’opposé de chaque terme entre deux couples de notre suite :

(0,0)− (1,0)− (−1,0)− (0,1)− (0,− 1)− (0,2)− (0,− 2)− (1,1)− (−1,1)− (2,0)− (−2,0)− · · ·

Téhessin : Mais ce n’est qu’un dessin.Mathémator : Effectivement, il reste à mettre tout ça en forme en introduisant une bijection bien choisie,mais le plus dur est fait : c’est Cantor qui a eu cette intuition à la fin du XIXème siècle. C’est encore à lui quenous devons une preuve que IR n’est pas dénonbrable grâce au raisonnement diagonal de ... Cantor. Notre amirusso-dano-allemand 18 a prouvé que J = [0,1] n’était pas dénombrable de la manière suivante :Raisonnons par l’absurde et supposons que l’ensemble des points de J soit dénombrable. Il existe alors au moinsune suite (un)n∈IN de nombres réels vérifiant la propriété suivante : pour tout réel x deJ , il existe un entier npour lequel x = unExplicitons de la sorte la suite (un)n∈IN :

u1 = 0,u11u12u13u14 · · ·u1n · · ·u2 = 0,u21u22u23u24 · · ·u2n · · ·u3 = 0,u31u32u33u34 · · ·u3n · · ·u4 = 0,u41u42u43u44 · · ·u4n · · ·... =

......

......

La première décimale du premier terme est u11, sa seconde décimale est u12, ... La première décimale du secondterme est u21, sa seconde décimale est u22, ... ... La première décimale du nème terme est un1, sa seconde décimaleest un2, ...Considérons alors le réel x de l’intervalle J ainsi défini : x = 0,x1x2x3 · · ·xn · · · et la décimale xi de rang i sera 1si uii est différent de 1 et 2 dans le cas contraire.Par conséquent, x ne peut égaler u1 (il en diffère au moins par u11), x ne peut égaler u2 (il en diffère au moinspar u22), x ne peut égaler u3 (il en diffère au moins par u33),... : l’égalité x = un n’a lieu pour aucun entier n,donc nous avons trouvé un élément de J ...qui n’est pas dans J : belle contradiction. Notre supposition de départest donc fausse et [0,1] n’est pas dénombrable, donc a fortiori IR non plus.Téhessin : Tout ceci est passionnant, mais qu’est-ce que cela a affaire avec les probabilités?Mathémator : Et bien quand une variable prend ses valeurs dans un ensemble continu - IR par exemple - on nepeut plus définir les probabilités comme dans le cas discret.Téhessin : Je ne vois pas pourquoi.Mathémator : Supposez que vous disposiez de 100 jetons identiques numérotés de 1 à 100 dans un sac opaqueet que vous en tiriez un au hasard. La probabilité de tomber sur le jeton 32 est 1/100. Pouvez-vous maintenant,même en disposant d’un temps infini, inscrire tous les réels sur des jetons?Téhessin : Non, car nous venons de voir qu’on ne peut les numéroter.Mathémator : Donc il faut procéder autrement. Par exemple, vous voulez mesurer la longueur de votre sabrelaser. Même avec le meilleur instrument de mesure imaginable, vous n’obtiendrez qu’un intervalle dans lequel sesitue le résultat exact 19 (au cm près, au µm près, à l’A près,...). De même, si vous demandez à votre calculatricede vous donner un nombre réel au hasard dans [0,1], elle se contentera de vous donner un intervalle.Téhessin : Pourtant un nombre s’affiche.Mathémator : Oui mais l’événement « obtenir 0.3232 sur l’écran de la calculatrice » est en fait l’événement« obtenir, lors du choix au hasard, un nombre situé dans l’intervalle [0,32315 ; 0,32325[ ». De même qu’on peutpenser que la « probabilité » (on ne l’a pas encore définie) de rencontrer une personne mesurant exactement1,88m est nulle, et d’ailleurs vous vous en fichez, puisqu’il n’existe aucun moyen de vérifier quelle est exactementsa taille. En fait, la probabilité d’obtenir exactement 32 doit logiquement être nulle 20.

18. Cantor a ensuite proposé l’hypothèse du continu en 1878 : il y a deux sortes de sous-ensembles infinis de IR : ceux qui sont encorrespondance terme à terme avec IN et ceux qui sont en correspondance terme à terme avec IR : il n’y aurait donc pas « d’infiniintermédiaire » entre IN et IR. Ce résultat contribua a rendre fou ce génial mathématicien...19. D’ailleurs, la probabilité pour que le résultat exact soit un nombre décimal est nulle (voir encadré)20. Comme la définition de la page ?? le confirmera


Téhessin : Ça me fait un peu penser à ce que j’ai entendu dire de la physique quantique : on peut prévoir où setrouve à peu près une particule élémentaire, mais on ne peut pas savoir exactement où elle se trouve à un momentdonné.Mathémator : En effet ! D’ailleurs, les notions mathématiques que nous abordons et les théories physiquesque vous évoquez ont été développées presque simultanément. De plus, l’équation quantique par excellence, lafameuse équation de Schrödinger, fait en fait intervenir la densité de probabilité de présence de la particule aupoint considéré.

Incroyables réels : quelques quasi-paradoxesVous connaissez déjà des nombres réels particuliers : les entiers, les rationnels, les irrationnels. D’autres ca-tégories (pouvant recouper les ensembles habituels) sont utilisées. Ainsi, les nombres racines de polynômes àcoefficients entiers sont appelés nombres algébriques : c’est le cas de 1 (solution de x− 1 = 0), de 1/3 (solutionde 3x − 1 = 0), de

√2 (solution de x2 − 2 = 0), etc. On connaît des nombres qui ne sont pas algébriques, on

les appelle les nombres transcendants. C’est le cas par exemple de π et de e. Au premier abord, il semble qu’ily ait beaucoup plus de nombres algébriques que de nombres transcendants (vous n’en connaissez que deux !).Un jour de pur délire, on pourrait même envisager qu’il y ait autant de nombres de chaque catégorie. Or, si onprend un nombre au hasard dans l’intervalle [0,1], vous calculerez peut-être un jour que la probabilité d’obtenirun nombre transcendant vaut ....1!!!! En effet, la « mesure » de l’ensemble des nombres algébriques est nulle.Pourtant, demandez à un ordinateur de vous donner un milliard de nombres au hasard entre 0 et 1, l’écranne vous affichera que des nombres algébriques (décimaux même !). Mathémator a déjà parlé de ce problème.L’ensemble IR recèle bien d’autres résultats étonnants. Il existe une famille de nombres correspondant elleaussi à une probabilité de 1, pourtant, les mathématiciens ne connaissent qu’un seul de ces nombres dont ilsne peuvent calculer que quelques décimales (d’ailleurs ils ne pourront jamais en trouver plus car il est paressence non calculable !). L’étude de l’intervalle [0,1] renvoie donc à des résultats parfois plus philosophiquesque techniques...

B - CORRESPONDANCES DISCRET/CONTINU

B - 1 : Du continu au discret et retourOn joue au palet avec un palet de rayon r et une cible carrée de côté a. On gagne si le palet est tout entier comprisdans le carré. On suppose que le joueur est adroit et que le centre du palet atteint toujours la cible.Un premier problème est de traduire le problème « ponctuellement », c’est à dire passer d’une propriété concernantun solide tout entier (le palet à l’intérieur de la cible) à une propriété concernant un point censé les représentertous : on pense au centre.Le problème revient en effet à calculer la probabilité que le centre O du palet soit à l’intérieur du carré de mêmecentre que la cible et de côté a− 2r. On appellera A′B′C ′D′ ce carré et ABCD la cible. Faîtes un dessin.On supposera que tous les points intérieurs de A′B′C ′D′ ont la même « chance » d’être atteints par O 21.Selon un modèle continu, l’ensemble des issues du problème est l’ensemble des points intérieurs de A′B′C ′D′.Mais comment faire pour calculer : on ne peut pas attribuer une même probabilité à chaque point car il y en aune infinité. 22On va alors adopter momentanément un modèle discret pour mieux revenir au continu « en passant à la limite ».Tapissons la cible à l’aide de petits carrés de côté a/100 par exemple. L’ensemble des issues possibles n’estplus l’ensemble des points du carré, mais l’ensemble des petits carreaux 23 : il y en a 100 × 100 = 104. Il y aéquiprobabilité 24 donc la probabilité p de gagner est

p =nombre de carreaux de A′B′C ′D′

104=

Aire de A′B′C ′D′

Aire de ABCDLe passage au continu va alors de soit : en faisant tendre le nombre de petits carreaux vers +∞, le résultat reste

inchangé 25 p =(a− 2r)2

a2.

21. ce qu’on traduirait dans un modèle discret par : équiprobabilité22. voir par exemple l’exercice 2 page 13623. pensez à votre beau visage et à l’ensemble des pixels qui le représente sur une photo numérique24. on sait ce que ça représente dans un modèle discret25. car la cible est un carré...

144 LOIS CONTINUES

B - 2 : Vers une « équiprobabilité continue »

Problème : Sur un parquet lisse formé de planches de largeur 2a séparées par des rainures droites, parallèles etéquidistantes, on jette une aiguille de longueur 2` avec ` < a. Quelle est la probabilité que l’aiguille coupe l’unedes rainures?

O

` sin θx

θ

O

` sin θ

x

θ

O

` sin θxθ

Comment modéliser l’expérience? On pourrait repérer la position de l’une des extrêmités de l’aiguille, mais ilfaudrait distinguer les cas, selon que l’extrêmité choisie touche ou dépasse une rainure, celle du « haut » ou celledu « bas ».On va plutôt s’occuper du milieu O de l’aiguille et mesurer la distance x de O à la rainure la plus proche : x prenddonc une valeur aléatoire dans [0,a].Soit θ l’angle formé par la rainure la plus proche et l’aiguille. L’angle θ prend une valeur aléatoire dans [0,π]Notons A l’événement : « l’aiguille coupe l’une des rainures ».Une issue correspond au tirage aléatoire et simultané d’une valeur de θ et d’une valeur de x dans le rectangle[0,a]× [0,π].L’événement A correspond alors aux valeurs du couple (x,θ) vérifiant 0 6 x(θ) 6 ` sin θ.Dans un repère cartésien, on place l’angle θ en abscisse et la distance x(θ) en ordonnée. On trace la courbed’équation x = ` sin θ. On cherche donc à « comptabiliser » l’ensemble des valeurs de x inférieures à ` sin θ. Il yen a « autant » 26 que de points situés sous la courbe (aire grisée). Or l’ensemble total des valeurs possibles dex(θ) sont représentées par le rectangle hachuré.

πΩ

a

θ

x

On peut supposer que la répartition des points sur le parquet est uniforme : O peut se trouver de manière aléatoireà n’importe endroit. Comme on l’a vu avec le jeu du palet, on obtient

p(A) =aire grisée

aire hachurée

Or l’aire grisée vaut∫ π

0

` sin θ dθ et l’aire du rectangle vaut πa, donc

26. Pourquoi tous ces guillemets?


p(A) =∫ π

0

` sin θπa

dθ =2`πa

Il ne vous aura pas échappé que la probabilité dépend de π ce qui n’avait rien d’évident a priori. Elle peut mêmepermettre de calculer pas mal de décimales de π à l’aide d’une simulation (voir encadré).

Vous aurez surtout remarqué que l’équiprobabilité discrètenombre de cas favorablesnombre de cas possibles

se traduit ici par un rapport

d’aire et fait donc intervenir une sommation infinie, c’est à dire une intégrale...

Des probabilités pour calculer πC’est Buffon, au XVIIIème siècle, qui proposa l’expérience précédente et la formule associée. Certains ont pensél’utiliser pour mesurer π. Par exemple, en 1850, l’ami Wolf lança 5 000 aiguilles pour obtenir π ' 3,1596. Mal-heureusement, l’expérience sous-entend que l’espace physique est euclidien, c’est à dire parfaitement plan, sansattraction gravitationnelle, sans déformation de l’espace relativiste etc. L’efficacité est en fait très mauvaise : ilfaudrait lancer 900 000 aiguilles pour obtenir 4 décimales de π avec une probabilité de 95%. Il faut donc faireattention aux expériences physiques ou bien ruser en prenant par exemple ` = 39,26990817cm, a = 50cm etlancer deux aiguilles : si une seule sur les deux croise une rainure, vérifiez qu’on obtient π ' 3,141592654 avecseulement deux lancers !Mieux vaut s’appuyer sur des objets mathématiques : par exemple, vous montrerez peut-être un jour que laprobabilité que deux nombres entiers choisis au hasard entre 0 et n soient premiers entre eux (c’est à dire sansfacteur premier commun pour les non-spécialistes) tend vers 6/π2 quand n tend vers +∞. Il ne reste plus qu’àtrouver dans la nature des paires de nombres entiers, mais la méthode est très lente et on ne peut guère obtenirplus de quatre décimales en utilisant un million de paires d’entiers.Sinon, à notre niveau, on peut utiliser un tableur simulant le choix d’un nombre entre 0 et 180 et d’unautre entre 0 et a. On utilise ensuite les fonctions ALEA, NB.SI, NB, SI, SIN par exemple. Faîtes-le sur unéchantillon de 30 000 couples (θ,x). Pourquoi une telle méthode pose intrinsèquement un problème?

C - NOTION DE DENSITÉ DE PROBABILITÉ

C - 1 : Modélisation du choix d’un nombre dans [0,1] - Loi uniforme

Nous venons de voir que, dans des situations planes, un modèle continu de loi de probabilité pouvait se résumerà un rapport d’aire.Intéressons-nous maintenant à une situation linéaire. Calculons en effet la probabilité qu’un nombre quelconquedu segment [0,1] se trouve dans un certain intervalle [a,b] inclus dans [0,1].Par analogie aux situations homogènes (ou uniformes) vues précédemment, et en se souvenant des élucubrationsde nos deux hurluberlus du préambule, on peut subdiviser le segment [0,1] en 100 petits segments de mêmelongueur ∆x (1mm par exemple). La probabilité qu’un nombre se trouve dans l’une des subdivisions vaut donc1/100 compte-tenu de l’uniformité de la répartition. Notons na,b le nombre de subdivisions « recouvertes » par[a,b] et λ([a,b]) la longueur du segment [a,b]. Notons enfin p([a,b]) la probabilité que le nombre se trouve dans lesegment [a,b].

Alors p([a,b]) =n(a,b)100

. On s’aperçoit que p([a,b]) est indépendante de « l’unité » ∆x choisie par proportionnalité,donc

p([a,b]) =λ([a,b])λ([0,1])

On peut ainsi faire tendre ∆x vers 0 pour obtenir un modèle continu où on se rappelle que λ([a,b]) =∫ badx 27.

Finalementp([a,b]) =

b− a1− 0

= b− a

On peut alors écrire p([a,b]) = b− a =∫ b

a

1 · dx. On admettra qu’il s’agit d’une loi de probabilité.

27. voir page 124

146 LOIS CONTINUES

Qu’est-ce qu’une loi de probabilité?Cette question est hors programme mais nécessite une réponse pour votre « confort » intellectuel. Une définitionrigoureuse n’est pas envisageable, mais nous allons donner l’idée générale.Notons Ω l’ensemble des issues possibles d’une expérience (l’univers).On appelle probabilité sur Ω toute « transformation » p allant de l’ensemble des « parties » de Ω dans [0,1] etvérifiant p(Ω) = 1 et p(A ∪B) = p(A) + p(B) pour toute « partie » A et B de Ω disjointes.Vous vérifierez qu’à partir de cette définition, on obtient les propriétés usuelles

p(∅) = 0, p(A) = 1− p(A), p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

Cette loi de probabilité sur [0,1], qu’on appelllera loi uniforme sur [0,1], est associée à une fonction constante(dans le cas présent la fonction constante et égale à 1) qui caractérise la probabilité : on l’appelle la densité de p

C - 2 : Modélisation de la désintégration radioactive - Loi exponentielleEn TP de physique, vous avez étudié la désintégration du césium 137 à l’aide d’un compteur de désintégration βet γ et d’un logiciel adapté. Vous avez alors vérifié expérimentalement les résultats suivants.

I. Hypothèse de travailSoit une matière fissile contenant N atomes radioactifs . Dans le cas de la radioactivité « naturelle », on peutconsidérer que les désintégrations des atomes sont indépendantes et que pour un intervalle de temps donné, chaqueatome a la même probabilité d’être désintégré. De plus le phénomène est homogène : il n’y a pas de momentsprivilégié où les désintégrations auraient plus de « chances » de se produire. Enfin, la probabilité qu’un noyau sedésintègre dans un intervalle de temps ]t,t + ∆t[ ne dépend pas de t. On parle alors de loi de durée de vie sansvieillissement : un atome ne connaît ni d’adolescence (ouf!) ni de troisième âge. Il est en perpétuel âge mûr puismeurt brusquement.

II. Hypothèse de modèleSoit ∆t un intervalle de temps « très petit » fixé. D’après ce qui précède, on peut MODÉLISER la désintégrationradioactive en disant que la probabilité qu’un atome se désintègre dans l’intervalle de temps ∆t vaut

p(∆t) ' λ∆t

avec λ une constante positive ne dépendant que de la nature du noyau. Ainsi, pour une matière donnée, laprobabilité pour le noyau de se désintégrer durant un intervalle de temps ∆t ne dépend que de ∆t et pas dumoment où a été fait la mesure.

III. Calcul « discret »Soit t un temps donné. On peut l’exprimer comme multiple du ∆t choisi initialement (par exemple la seconde).On pose alors

t = n∆t

Soit T le temps d’attente avant d’être désintégré. Calculons la probabilité pour un atome de ne pas être désintégréau temps t. On la notera p(T > t).

p(T > t) = p(T > n∆t)= p(T > ∆t)× p(T > ∆t)× · · · × p(T > ∆t)︸︷︷︸

n fois

car la loi est sans mémoire

= [p(T > ∆t)]n

= [1− p(∆t)]n= (1− λ∆t)n

=(

1− λ tn

)n


IV. Comment « passer au continu »?

Comme nous l’avons vu lors de la découverte de l’intégration, nous allons faire tendre ∆t vers 0. Or t = n∆t et test une valeur finie, donc si ∆t tend vers 0, alors forcément n doit tendre vers +∞. Donc

p(T > t) = limn→+∞

(1− λt

n

)n

Preuve de limn→+∞

(1 +

x

n

)n= ex

Montrez que limu→0

ln(1 + u)

u= 1 en reconnaissant un taux de variation. Alors

(1 + x/n)n = en ln(1+x/n)

= en

ln(1 + x/n)

x/n× x/n

= ex×

ln(1 + x/n)

x/n

Or limn→+∞

x

n= 0, donc lim

n→+∞ln(1 + x/n)

x/n= 1 et lim

n→+∞

1 +

x

n

n= ex

Grâce à ce petit aparté, vous pouvez comprendre que

p(T > t) = e−λt

Il existe un autre moyen de se laisser convaincre en utilisant des résultats de probabilité conditionnelle 28(cf exercice1 page 150).

Mais ce n’est pas fini...

p(T > t) = e−λt

= 1− (− e−λt − (−e0))

si si, c’est plus simple comme ça...

= 1− [−e−λτ ]t0

= 1−∫ t

0

λe−λτ dτ

Évidemment, c’est bien beau, mais on en vient à regretter les délires de Mathémator. Mais, on se souvient del’introduction de la fonction de densité de la loi uniforme sur [0,1], donc on essaie de s’en rapprocher dans le butde trouver un modèle général de l’étude des phénomènes continus.Est-ce que ce p a des chances d’être une loi de probabilité?On peut remarquer que p(T > 0), c’est à dire en fait la probabilité qu’un atome se désintègre à un moment ou àun autre 29 vaut

p(T > 0) = 1−∫ 0

0

λe−λτ dτ = 1

On peut vérifier sans problème que 0 6 p(T > t) 6 1 pour tout réel t. Donc, on tient le bon bout.Toutefois, cette écriture sous la forme « 1− intégrale » est assez déroutante 30.Considérons deux instants a et b tels que a < b et essayons de calculer la probabilité que l’atome se désintègreentre les temps a et b, c’est à dire p(T ∈]a,b]). Vous remarquerez que p(T ∈]a,b]) = p(T > a)− p(T > b) : l’atome

28. on pourra modéliser de la même manière les arrivées successives de clients à un guichet : vous verrez ça au bac...29. personne n’est éternel...30. vous ne manquerez pourtant pas de faire le parallèle avec p(A) = 1− p(A)

148 LOIS CONTINUES

doit se désintégrer après a mais pas après b. Ainsi

p(T ∈]a,b]) = p(T > a)− p(T > b)

= 1−∫ a

0

λe−λτ dτ −(∫ b

0

λe−λτ dτ

)

=∫ b

0

λe−λτ dτ −∫ a

0

λe−λτ dτ

=∫ b

a

λe−λτ dτ

ce qui est cohérent avec ce que nous avons établi pour la loi uniforme sur [0,1] en prenant comme fonction dedensité de ce qu’on appellera la loi exponentielle la fonction f définie sur [0,+∞[ par f(τ) = λe−λτ .

Une intégrale avec borne infinieNous aurions pu procéder autrement : si la désintégration n’a pas lieu avant t, c’est qu’elle a lieu après, doncen un certain temps appartenant à l’intervalle [t,+∞[. Donc, on a envie d’écrire que

p(T > t) =

Z +∞

t

λe−λτ dτ

...sauf que cette écriture n’a pas de sens en Terminale 31

...maisZ u

t

λe−λτ dτ =h−e−λτ

iut

= −e−λu + e−λt

...et limu→+∞

e−λu = 0, donc limu→+∞

Z u

t

λe−λτ dτ = e−λt = p(T > t) OUF! L’honneur est sauf 32.

On peut en effet écrire

p(T > t) = p(T ∈]t,+∞[) =

Z +∞

t

λe−λτ dτ

ce qui est encore cohérent avec la définition qui suit.


D - LES DÉFINITIONS

DéfinitionUne loi de probabilité p sur un intervalle I = [a,b] est déterminée par une fonction f continue, positive sur Iappelée densité de p qui vérifie ∫ b

a

f(t) dt = 1

Pour tout intervalle [α,β] contenu dans I, la probabilité de l’intervalle[α,β] est

p([α,β]

)=∫ β

α

f(t) dt

Mathémator : 33 Est-ce que ça vous convient?

Téhessin : Il faut vérifier que p est à valeurs dans [0,1]. Déjà, comme f est positive, l’intégration conservantl’ordre, on a bien p positive. Pour le reste, il faudrait montrer que p est maximum pour [a,b].

Mathémator : un petit dessin vous aidera peut-être

p([α, β])

a bα β

Cf

Téhessin : Mais oui ! J’y suis ! En fait p([α,β]) est une aire. Et on voit bien que l’aire maximum correspond à[a,b].

Mathémator : Tssss..., Téhessix, combien de fois faudra-t-il vous le répéter : de la rigueur, que diable ! Croyez-vous que je vais prendre au sérieux votre « on voit bien que » ? La fonction f est positive, donc...

Téhessin : ...la fonction F : x 7→∫ x

a

f(t) dt est croissante sur [a,b] car F ′(x) = f(x) > 0, donc c’est bon.

Mathémator : Vous allez m’en vouloir, mais, c’est pour votre bien : p et F , ce n’est pas la même chose. Lafonction F est définie pour tout réel appartenant à [a,b], alors que p est définie pour tout intervalle inclus dans[a,b]. Mais, pour tous nombres α et β inclus dans [a,b], on a

p([α,β]) =∫ b

a

f(t) dt−∫ α

a

f(t) dt−∫ b

β

f(t) dt 6∫ b

a

f(t) dt = p([a,b])

donc nous pouvons conclure.Vous aurez sûrement remarqué qu’ainsi p(α) = p([α,α]) = 0 ce qui corrobore notre intuition du début dechapitre. Vous aurez aussi deviné que les problèmes de lois continues en Terminale se résumeront le plus souventà des problèmes d’intégration.

33. Oh non, encore eux!

150 LOIS CONTINUES

Loi uniformeOn appelle loi uniforme sur [a,b] la loi de probabilité dont la densité est la fonction constante f définie sur [a,b]par

f(x) =1

b− a

Loi exponentielleSoit λ un réel strictement positif.On appelle loi exponentielle de paramètre λ la loi de probabilité dont la densité est la fonction f définie sur [0,+∞[par

f(t) = λe−λt

Variable aléatoire et loi continueSoit une loi de probabilité p sur I = [a,b] et de densité f .Soit X une variable aléatoire à valeurs dans I.On dit que X suit la loi de probabilité p si, pour tout x ∈ [a,b]

p(a 6 X 6 x) =∫ x

a

f(t) dt

Fonction de répartitionSoit une loi de probabilité p sur I = [a,b] et de densité f .Soit X une variable aléatoire à valeurs dans I suivant la loi de probabilité p.On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X la fonction F définie sur I par

F (x) = p(a 6 X 6 x) =∫ x

a

f(t) dt

E - EXERCICES

I. Approche différentielle de la loi exponentielleLa durée de vie d’un clone de lombric syldave est une variable aléatoire T à valeurs dans [0,+∞[ où l’événementT > t, avec t > 0, signifie que le clone de lombric syldave est vivant à l’instant t. On suppose que T suit la loide durée de vie sans vieillissement P , c’est à dire que la probabilité que le clone de lombric syldave soit vivant àl’instant t+ h (avec t et h des réels positifs) sachant qu’il est vivant à l’instant t, ne dépend que de t. Ainsi

PT>t(T > t+ h) = P (T > h)

On note ϕ la fonction définie sur [0,+∞[ par ϕ(t) = P (T > t). On suppose que ϕ est dérivable sur [0,+∞[.

1) Montrez que ϕ(t+ h) = ϕ(t)× ϕ(h) (ça ne vous rappelle rien?).

2) Calculezϕ(t+ h)− ϕ(t)

h.

3) On pose ϕ′(0) = k. Montrez que ϕ′(t) = kϕ(t) et déduisez-en une expression simple de ϕ(t). Justifiez quek < 0.


II. Exercice classique sur la loi exponentielleLa durée de vie, exprimée en jours, des avions de fabrication syldave est une variable aléatoire qui suit une loiexponentielle de paramètre 0,002.

1) Donnez la fonction de répartition F de T .2) Calculez la probabilité pour qu’un avion syldave ait une défaillance avant 500 jours - après 800 jours.3) Quel est le taux moyen de défaillance entre 500 et 800 jours 34

4) Déterminez l’instant t où F (t) = 0,5.

III. Loi uniforme sur [0,π]

Un pointM est pris au hasard sur un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1. Nous modéliseronscette situation en supposant que l’angle θ = AOM suit la loi uniforme sur [0,π].Quelle est la probabilité p que le triangle AOM ait une aire inférieure à 1/4?

IV. Même problème - Modèle différentÀ tout réel x pris au hasard dans [0,2] en suivant la loi uniforme sur [0,2], on associe le point M du demi-cerclede diamètre [AB], de centre O et de rayon 1, tel que AM = x.

1) Montrez que

(1− (x/2)2

)(x/2)2 6 1/16 ⇐⇒ x ∈

[0,√

22

(√

3− 1)

]∪[√

22

(√

3 + 1),2

]

2) Déduisez-en que la probabilité que le triangle AOM ait une aire inférieure à 1/4 est 1−√2/2.

V. Espérance de la loi uniformeSoit X une variable aléatoire continue de densité f définie sur [a,b]. On appelle espérance de X (sous certainesconditions) et on note E(X)

E(X) =∫ b

a

tf(t) dt

Calculez l’espérance d’une variable aléatoire de loi uniforme sur [a,b]

VI. Espérance de la loi exponentielleOn admettra que dans le cas d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ et de densitéf sur [0,+∞[, l’espérance de X vaut

E(X) = limx→+∞

∫ x

0

tf(t) dt

Montrez que E(X) existe et calculez-la en fonction de λ.

VII. De la loi uniforme à la loi exponentielleSoit Y une variable aléatoire continue de loi uniforme sur [0,1].Montrez que la variable aléatoire continue X définie, pour un réel λ strictement positif par

X = − 1λ

ln(1− Y )

suit la loi exponentielle de paramètre λ.Ce résultat permet en particulier de simuler une loi exponentielle à l’aide d’un générateur de nombres « pseudo-aléatoires » : comment?34. Le taux moyen de défaillance entre les instants t1 et t2 est le quotient de la probabilité pour qu’un avion ait sa première panne

entre les instants t1 et t2 divisée par la durée t2 − t1.

152 LOIS CONTINUES

VIII. Loi normaleUne variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite si X a pour densité de probabilité la fonction f définiesur IR par

f(x) =1√2πe−x

2/2

Étudiez et représentez f . À votre avis, que vaut∫ +∞

−∞e−x

2/2 dx?

ORAL DU BAC 2003

Voici la liste des exercices que j’ai proposés aux candidats qui sont passés à l’oral en juillet 2003. Ils devaientpiocher deux exercices au hasard, un devant traiter des intégrales.

Exercice 1Calculer

∫ π/3

−π/4sinx cosx dx

Exercice 2Calculer

∫ π/4

π/6

cosxsin2 x

dx

Exercice 3Calculer

∫ π/2

0

sinx cos5 x dx

Exercice 4

Calculer∫ 1

0

3x ex2+3 dx

Exercice 5Calculer

∫ 3

1

e1/x

x2dx

Exercice 6Calculer

∫ e

1

1 + lnxx

dx

Exercice 7Calculer à l’aide d’une intégration par parties

∫ π

0

x cosx dx

Exercice 8Calculer à l’aide d’une intégration par parties

∫ 2

−1

(3x+ 1)e−x dx

Exercice 9Développer le produit (z2 + 3z + 1)(z2 − z + 6) puis résoudre dans C

l’équation

z4 + 2z3 + 4z2 + 17z + 6 = 0

Exercice 10Résoudre dans C

l’équation z4 + 4z2 − 21 = 0

Exercice 11Déterminer l’écriture complexe de

1) l’homothétie de rapport -1/2 et de centre V d’affixe i

154 ORAL DU BAC 2003

2) la rotation d’angle −π/2 et de centre J d’affixe −2 + i

3) la symétrie centrale de centre K d’affixe −44) la translation de vecteur −→w d’affixe −5 + 2i.

Exercice 12n et p désignent deux entiers tels que 0 6 p 6 n. Démontrer par le calcul que

(n

p

)=(

n

n− p)

Exercice 13On lance une pièce de monnaie équilibrée 10 fois de suite. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 6 fois pile.

Exercice 14P est une loi de probabilité sur [1; 10] de densité f définie par f(x) = λ/x2. Déterminer λ.

Exercice 15f est la fonction définie sur [−3; 5] par f(x) = |x|f est-elle continue sur [−3; 5] ?Soit C la courbe représentative de f . Calculer l’aire du domaine situé entre C, l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = −3 et x = 5.

Exercice 16Sans utiliser de primitives, calculer la valeur moyenne de la fonction f sur I avec f(x) = 2x+ 1 et I = [−1; 1].

Exercice 17Sans utiliser de primitives, calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle I avec f(x) = |x| etI = [−2; 2].

Exercice 18f est la fonction définie sur [−3; 3] par

f(x) = −x si x ∈ [−3; 2]f(x) = 2x− 6 si x ∈ ]2; 3]

f est-elle continue sur [−3; 3]? dérivable?

Tracer la courbe représentant f et calculer sans utiliser de primitives∫ 3

−3

f(x) dx

Exercice 19p est un entier supérieur ou égal à 1. fp est la fonction définie sur [0; +∞[ par

fp(x) = 1 + ln(x+ p)

1) Étudier la limite de fp en +∞.2) Dresser le tableau des variations de fp.3) Étudier les positions relatives des courbes Cp et Cp+1.

Exercice 20f est la fonction définie sur ]0; +∞[ par

f(x) = ln(x+ 1x

)− 1x+ 1

1) Étudier la limite de f en 0 et en +∞.


2) Dresser le tableau des variations de f .

Exercice 21f est la fonction définie sur ]0; +∞[ par

f(x) = ln(

3 + x

3− x)

1) Montrer que le centre du repère est un centre de symétrie de Cf2) Étudier la limite de f en −3 et 3.3) Dresser le tableau des variations de f .

Exercice 22Résoudre (lnx)2 + 3 ln(1/x) = 10

Exercice 23Résoudre ln(2x+ 3) + 2 ln(x− 1) = ln(x+ 3)

Exercice 24Résoudre ex

2=(e3)4e−x

Exercice 25Soit C la courbe représentative de la fonction exponentielle. Montrer que la tangente à C au point d’abscisse 1passe par l’origine du repère.

Exercice 26Résoudre

ex − 2ey = −53ex + ey = 13

Exercice 27

Résoudre le système

x− y + 4z = 02x+ y − z = 0−x− y + 2z = 0

Exercice 28On lance deux dés et on considère les deux jeux suivants

1) On gagne 8 euros si un cinq ou un six sort, on perd 10 euros sinon. On note X le gain réalisé. Donner la loide X, calculer son espérance.

2) On gagne 350 euros si le double-six sort, on perd 10 euros sinon. On note Y le gain réalisé. Donner la loi deY , calculer son espérance.

3) À quel jeu joueriez-vous ?

Exercice 29Une suite (un)n∈IN est définie par

u0 = 1un+1 = 3un + 1


1) Déterminez c pour que la suite (vn)n∈IN soit géométrique.2) Déduisez zan l’expression du terme général de (vn)n∈IN en fonction de n.3) Exprimez alors un en fonction de n.

sommaire - latekexostéhessin: ben que deux mois de vacances c’est court, mais c’est suﬃsant...

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