SIPSIPCPATCPAT

Chapitre 4Chapitre 4

SIPSIPCPATCPAT

RappelRappel

€

E =F

S

€

E = Icosθ

R2

SA

O

R

h

€

E = LΩcosθ

SIPSIPCPATCPAT

Calcul d’éclairement moyenCalcul d’éclairement moyenSource Ponctuelle - Surface Source Ponctuelle - Surface

« circulaire »« circulaire »

Hypothèse de départ: Flux constant

S

O

h

€

E =F

S=

F

πh2 tan2 α m

€

S = πab

x 2

a2+

y 2

b2=1

€

a =h

2tan(θ + α m ) − tan(θ −α m )[ ] =

h

2

sin2α m

cos2 α m − sin2 θ

b = a 1−sin2 θ

cos2 α m

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

1/ 2

S

O

h

M

M

ba

SIPSIPCPATCPAT

ProjecteurProjecteur

€

E =I

R2cosθ

R =d

cosθ

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪⇔ E =

I

d2cos3 θ

€

cosθ = cos(α + ω)cosβ

SH

P

P’

O

d

R

€

SP =SP '

cosβ

cosθ =SH

SP

SH = SP ' cos(ω + α )

€

E =I

d2cos3(α + ω)cos3 β

SIPSIPCPATCPAT

Calcul d’éclairementCalcul d’éclairementSource Ponctuelle - Surface Source Ponctuelle - Surface

rectangulairerectangulaire

€

dΩ =dxdy

R2cosθ

€

cosθ =h

R

€

R = x 2 + y 2 + h2

€

dF = I(θ)h

x 2 + y 2 + h2{ }

3 / 2 dxdy

€

F = q1

h

x 2 + y 2 + h2{ }

3 / 2 dxdy0

a

∫0

b

∫

avec x'= x /h; y'= y /h et a'= a /h; b'= b /h

F = q1

1

x'2 +y'2 +1{ }3 / 2 dx 'dy

0

a '

∫0

b '

∫ '

€

E =F

S=

F

abdF = I(θ)dΩ

S

P

x

y

O

a

b

Z

X

Y

d

R

dS

h

€

F = q1 arctana'b'

a'2 +b'2 +1= q1Y1

€

F =q2

2

a'

a'2 +1arctan

b'

a'2 +1+

b'

b'2 +1arctan

a'

b'2 +1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥= q2Y2

€

I(θ) = q1

€

I(θ) = q2 cos(θ)

SIPSIPCPATCPAT

Calcul d’éclairement ponctuelCalcul d’éclairement ponctuelSource Etendue circulaire (orthotrope)Source Etendue circulaire (orthotrope)

O

P

m

rm

r

Rm

R

h

€

dE = LcosαdΨ

€

dΨ =2πrdr cosα

R2

€

R2 =h2

cos2 α avec r = h tanα

€

dΨ = 2π cosαdα

€

dE = 2πLsinα cosαdαd

d

d’

€

h → 0 ⇒ E = πL

€

E '=I

h2=

πLrm2

h2

€

E '−E

E=

rm

h

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

si h =10rm ⇒ΔE

E=1%

€

E = dE = 2πLsinα cosαdα = π sin2 α m0

α m

∫s

∫

sin2 α m =rm

2

rm2 + h2

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

⇔ E = πLrm

2

rm2 + h2

SIPSIPCPATCPAT

Calcul d’éclairement ponctuelCalcul d’éclairement ponctuelSource Etendue rectangulaire Source Etendue rectangulaire

(orthotrope)(orthotrope)

€

cosα =h

R

dE = Lh2 dxdy

(x 2 + y 2 + h2)2 ⇒ E = Lh2 dy dx

1

(x 2 + y 2 + h2)2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭0

a

∫ ⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭0

b

∫

€

E =L

2

b

b2 + h2arctan

a

b2 + h2+

a

a2 + h2arctan

b

a2 + h2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

sinα =x

R

dE = Lhxdxdy

(x 2 + y 2 + h2)2 ⇒ E = Lh dy dx

x

(x 2 + y 2 + h2)2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭0

a

∫ ⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭0

b

∫

€

E =L

2arctan

a

h−

h

b2 + h2arctan

a

b2 + h2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Z

X

Y Rh

S

x

y

O

b

a

P

€

dΨ =dxdy

R2cosα

€

R = x 2 + y 2 + h2€

dE = LcosαdΨ

SIPSIPCPATCPAT

Bande lumineuseBande lumineuse

€

cosα =h

R

dE = Lδ cos2 α

R2dx ⇒ dE = L

h2δ

(x 2 + d2 + h2)2dx ⇒

E =L

2

δh2

(d2 + h2)

1

d2 + h2arctan

Δ

d2 + h2+

Δ

Δ2 + d2 + h2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Z

X

Y Rh

S

O

P

∆

d

∆

d

€

sinα =d

R

E =L

2

δdh

(d2 + h2)

1

d2 + h2arctan

Δ

d2 + h2+

Δ

Δ2 + d2 + h2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

€

E =L

2

δh

(d2 + h2)

Δ

Δ2 + d2 + h2

SIPSIPCPATCPAT

RemarquesRemarques

€

'=δ

h; Δ'=

Δ

h; d'=

d

hL = 2

E =δ '

(d'2 +1)

1

d'2 +1arctan

Δ'

d'2 +1+

Δ'

Δ'2 +d'2 +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

’

’

E

E

’

’=1’=1

’=1E

’

’=1’=1

SIPSIPCPATCPAT

z0

y0

P

x0

A

B C

D

Quelques simplificationsQuelques simplificationsEEHH

€

E H =L

2

x0

z02 + x0

2arctan

y0

z02 + x0

2+

y0

z02 + y0

2arctan

x0

z02 + y0

2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

On pose:

€

x0

z02 + x0

2= sinα 1 arctan

y0

z02 + x0

2= β1

y0

z02 + y0

2= sinα 2 arctan

x0

z02 + y0

2= β 2

€

E H =L

2β1 sinα 1 + β 2 sinα 2[ ]

Si B et C s'éloignent à l’infini on a:

€

1 = α 1 β1 = π /2

α 2 = π /2 β 2 = 0

€

E H∞ =πL

4sinα 1

€

E

L

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟∞

=π

4= 0,785

SIPSIPCPATCPAT

Quelques simplificationsQuelques simplificationsEEVV

€

EV =L

2arctan

y0

x0

−x0

x02 + z0

2arctan

y0

x02 + z0

2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

z0

y0

P

x0

A

B

C

D

On pose:

€

arctany0

x0

= β 0 arctany0

z02 + x0

2= β1

x0

z02 + x0

2= cosγ1

€

EV =L

2β 0 − β1 cosγ1[ ] y0/x0=0.1

0.5

1.0

1.52.02.5

z0/x0

E/L

y0/x0

z0/x0

(EV/L) π/4

SIPSIPCPATCPAT

Le principe de laLe principe de la« décomposition »« décomposition »

P

A

B

C

DB’

D’

A’

C’

O

Eclairement dû au OB’CC’ = E1

Eclairement dû au OD’DC’ = E2

Eclairement dû au OB’BA’ = E3`

Eclairement dû au OD’AA’ = E4`

€

EP = E1 − E2 − E3 + E4 = E1 + E4 − (E2 + E3)

€

EP =L

2cosγdβ

Γ

∫

P

A

B C

B’

D’

A’C’

O

D

Généralisation(formule de Yamauti)

SIPSIPCPATCPAT

Principe de réciprocitéPrincipe de réciprocité

d1 induira en P2 un éclairement:

€

dE = L1

dσ 1

r 2cosθ1 cosθ 2

r

P1

P2

d1

d2

1

2

L1

L2

1

2

Eclairement en P2 dû à 1 :

€

EP 2 = L1

cosθ1 cosθ2

r2Σ1

∫ dσ 1

Flux reçu en P2 :

€

dFP 2 = EP 2dσ 2 = L1

cosθ1 cosθ2

r2Σ1

∫ dσ 1dσ 2

Flux reçu en 2 dû à :

€

F21 = L1

cosθ1 cosθ2

r2Σ1

∫Σ2

∫ dσ 1dσ 2 = L1G

Flux reçu en 1 dû à :

€

F12 = L2

cosθ1 cosθ2

r2Σ2

∫Σ1

∫ dσ 2dσ 1 = L2G

Coefficients d’échange (CIE)

€

g12 =F12

M2

g21 =F21

M1

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Mais M=πL alors

€

g12 = g21 =G

π€

F21

F12

=L1

L2

SIPSIPCPATCPAT

Le cas d’une cavité diffusante Le cas d’une cavité diffusante

€

ρd E = πL

E =Φ

S

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪⇔ ρ d

Φ

S= πL

€

FR = ρ dΦΣ

SSurfaceS

SurfaceApparente

Flux incidentFI

Flux dans la cavité €

FI = FR + Fabs = ρ dΦΣ

S+ (1− ρ d )Φ

€

ξ =FR

FI

=ρ d

Σ

S

1+ ρ d

Σ

S−1

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

/S

ρd=0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

€

g11 = S − Σ = S(1−Σ

S)

Coefficient d’auto-échange