chapitre 5 -la cinétique ponctuelle des réacteurs

8/4/2019 Chapitre 5 -La cintique ponctuelle des racteurs

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Chapitre 5 - La cintique ponctuelle desracteurs

5.1 Introduction

5.2 Les quations de la cintique ponctuelle

5.3 Lquation inhour


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5.1 Introduction

Dans ce chapitre nous tudions leffet de neutrons retards sur lecomportement transitoire dun milieu multiplicateur.

Nous avons vu au Chap.2 que certains produits de fission dcroissent par

mission dun neutron. Cest le cas du Br87 qui admet les deux schmas dedcroissance suivants (voir Figure 5.1) :

(1)

et

(2)

Figure 5.1


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3

Dans le schma (2) un neutron est libr par le noyau de Kr87*. Ce neutron

participe lentretien de la raction en chane. Les neutrons librs de la sorte

sont considrs comme des neutrons de fission, bien quils ne soient pas lis

directement au processu de fission. Pour les distinguer des neutrons de fission,

on les appelle neutrons retards.

Les neutrons de fission sont les neutrons prompts. Les nuclides tels Br87 sontles prcurseurs de neutrons retards.

On distingue I familles de prcurseurs de neutrons retards dont les paramtres

physiques sont:

(3)(+)

Le coefficient est la fraction de neutrons retards dans la famille de prcurseurs

i dont la constante de dsintgration (schma (2)) est .

La Table 5.1 donne les paramtres de familles de prcurseurs pour les

principaux isotopes fissiles (U233, U235, et Pu239), avec I=6. Ces paramtres sont

relatifs la fission thermique.


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4

Table 5.1 : Les constantes physiques des prcurseurs deNeutrons retards pour les principaux isotopes fissiles


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5

La quantit est la fraction totale des neutrons retards. La source de

fission scrit :

(+)

La source de neutrons retards se manifeste cependant travers la production

(suivie de la dcroissance) des prcurseurs. Soit la concentration desprcurseurs de la famille i. Cette concentration varie dans le temps selon:

(4)(+)

quation dans laquelle le premier terme du membre de droite reprsente le nombre

de neutrons retards librs par la famille i et le second terme reprsente le

nombre de prcurseurs de la famille i produits par fission.

Le point important rside dans le fait que la fission prompte et la fission retarde

se situent sur des chelles de temps dont les rapports sont trs levs:

fission prompte

fission retarde

De tels systmes dynamiques sont connus sous le noim de systmes stiffs


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6

5.2 Les quations de la cintique ponctuelle

Nous considrons nouveau le modle de diffusion une vitesse dontlquation dpendant du temps scrit sous forme condense:

(5)

avec conditions aux limites et initiale :

(6)

Les oprateurs J et K de (5) sont les oprateurs de cration et de destruction

dfinis par (4.67) et (4.68) en supposant tous les neutrons de fission prompts.

Dans le cas prsent une fraction b des neutrons de fission tant retarde, le

terme JF de (5) doit tre remplac par :

expression dans laquelle

(7)

(+)

(+)

(+)

(+)

(+)


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7

En incluant (7) dans (5), le modle de diffusion une vitesse devient :

(8)(+)

(9)(+)

avec les conditions (6).

On peut montrer qu ltat stationnaire, les neutrons retards ne jouent aucun

rle. En effet, en annulant les drives par rapport au temps, (9) devient :

(+)

qui, introduite dans (8) donne:

(+)

Le milieu tant critique, cette quation admet par hypothse une solution non-

nulle,


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8

Cherchons une solution de (8)-(9) sous forme sparable :

dans laquelle est le flux ltat critique (6).

(+)

(10)(+)

Nous admettons lhypothse que le transitoire (d une modification dunedes proprits physiques du milieu) ne change pas la forme spatiale du flux

de neutrons. En dautres termes, le transitoire naffecte que lamplitude du

flux et le milieu se comporte donc comme sil tait rduit un point.

Le modle de la cintique ponctuelle est donc, dans la grande majorit des

cas, un modle approch. Il ne fournit la solution exacte que dans le cas du

milieu homogne pour lequel la modification dun paramtre physique

intervient dans tout le domaine.

On introduit (10) dans (8)-(9), on multiplie les quations par une fonction

poids donne arbitrairement et on intgre sur tout le volume V du milieu.


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Dsignons par le produit scalaire des fonctions u et v

(11)(+)

Il vient :

(+)

(+)

cest--dire, en divisant ces quations respectivement par les quantits

et :

(+) (12)

(13)(+)


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10

A lorigine du transitoire il y a une modification dune des sections efficaces

contenues dans les oprateurs J et/ou K. Suite cette modification, lefacteur de multiplication du milieu (k1) est:

(+)

do

(14)(+)

Par ailleurs, on peut montrer que :

(+) (15)

On a vu dans le modle P1 mono-nergtique (Chap. 4) que :

(+)


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Comme , ceci correspond en effet au membre de gauche de (15).

Compte tenu des relations (14) et (15), et en introduisant les variables

les quations (12)-(13) scrivent :

(17)

(16)(+)

(+)

Les quations (16) et (17) sont connues sous le nom dquations de la cintique

ponctuelle.

Les quations de la cintique ponctuelle forment un systme de (I+1) quationsdiffrentielles ordinaires couples avec les conditions initiales :

(18)(+)


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En rgle gnrale ce systme ne peut pas tre rsolu analytiquement. Il est

ncessaire dutiliser un algorithme numrique (one-step, multistep, Runge-

Kutta, ) adapt aux systmes stiffs caractriss par des chelles de temps

trs diffrentes.

Le seul cas pour lequel une solution analytique existe est celui de lchelonde ractivit.


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5.3 Lquation inhour

Considrons un chelon (positif) de ractivit

reprsent la figure 5.2

Les quations (16)-(17) peuvent tre rsolues laide de la transformation de

Laplace. Soient :

les transformes de Laplace de et , la variable p tant complexe.

(19)

(20)

(+)

(+)

(+)

Figure 5.2 : Lchelon positifde ractivit


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14

Comme pour la drive dune fonction dont la transforme de Laplace

est , on a :

(21)(+)

en prenant la transforme de Laplace de (16)-(17), on obtient :

(+)

(+)

(22)

(23)

En liminant les concentrations entre (22) et (23), on obtient :

(+) (24)

o est la fonction de transfert du problme :

(25)(+)


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On remarquera que est un quotient de polynmes

de degrs I et (I+1). La transforme de Laplace inverse de est donnepar :

(26)(+)

expression dans laquelle dsigne un contour de Bromwich englobant toutesLes singularits de la fonction dans le plan de la variable complexe.

Comme est mromorphe, lintgrale est fournie par le thorme des rsidus

et lon a :

tant le rsidu au ple de la fonction , zro du polynme ,

cest--dire racine de lquation :

(27)(+)

(28)(+)

Cette quation est connue sous le nom dquation inhour.


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La Fig. 5.3 fournit une reprsentation graphique de la courbe dfinie

par (28) pour 6 familles de prcurseurs de neutrons retards de U235.

On constate que pour r>0, il y a une racine positive et 6 racines ngatives. Par

contre, pourr


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17

O

Figure 5.3 : Reprsentation graphique de lquation inhour


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Revenons lquation inhour et posons p=1/t pour la racine algbriquement

la plus grande (positive ou ngative) : t est appele priode du racteur.

Cest le temps ncessaire pour que le niveau du flux soit multipli (ou divis)

par e :

(+)(30)

Lorsque la ractivit est faible (rb), la priode t1. En effet, pourr=0, la

priode est infinie, le racteur tant stable. On peut mme supposer que dans

ce cas lit1. En introduisant ces hypothses dans (30), on en dduit:

(31)(+)

Lorsque la ractivit est plus forte (rb), la priode devient beaucoup plus courte

et on peut mme supposer que lit1. Dans ce cas, on en dduit :

(+)

cest--dire


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(32)(+)

La priode t est trs courte et est directement lie la vie moyenne des

neutrons prompts L.

Un chelon de ractivit pour lequel r < b est suivi dune variation instantane

de la puissance, du fait de la croissance des neutrons prompts.

Nanmoins, ce sont les neutrons retards qui fixent long terme le rythme de

Croissance du flux. Ceci se comprend aisment si on pense quen supprimant

Les neutrons retards, le milieu serait sous-critique et de ractivit (r-b).

La ractivit r=b est le seuil de criticit prompte. En effet, pourr > b, les

neutrons retards nont plus aucun effet sur la dynamique du systme, le

racteur tant critique laide des seuls neutrons prompts puisque (r-b)>0.

Etant donn limportance des neutrons retards, on a choisi une unit de

ractivit appele dollartelle que:

(+)


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La Fig. 5.4 montre la dpendance de la priode t en fonction de la ractivit.

Elle illustre les diffrents remarques effectues plus haut.

5.3.1 Exemple : modle un groupe de neutrons retards

A partir des paramtres des la table 5.1, on peut valuer des donnes correspondant

un groupe de neutrons retards. Ainsi, par exemple, on dduit la valeur moyenne

de la constante de dcroissance telle que pour :

(+)

on a :

(33)(+)

Les quations de la cintique ponctuelle (16)-(17) deviennent :


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Figure 5.4 :


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avec les conditions initiales :

(+)

(34)(+)

(35)(+)

Lquation inhour scrit :

(+) (36)

On peut vrifier que, dans le cas rb, la racine en valeur absolue la plus

leve de (36) est :

(+)

Comme par ailleurs, on doit avoir on en conclut que :

(+)

En utilisant les relations (29), on montre que la solution de lquation delamplitude (34) scrit :


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(37)(+)

La forme analytique (37) de lamplitude comporte 2 termes dont le premier est

La croissance asymptotique (au rythme impos par les neutrons retards), tandis

que le second donne la croissance du flux lchelle de temps des neutrons

prompts. La figure 5.5 illustre graphiquement lexpression (37).

Figure 5.5 : Un transitoirede ractivit avec r < b.

Le rapport

est appel saut prompt du flux linstant initial.

(+)

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