similitude et dissimilitude dans les systèmes dinformation philippe balbiani institut de recherche...
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Similitude et dissimilitude dans les systèmes d’information
Philippe Balbiani
Institut de recherche en informatique de Toulouse
Introduction
Information : définie en termes d’objets et de propriétés
Propriété : décrite en termes d’attributs et de valeurs d’attributs
Plan
Systèmes d’information
Relations dérivées des systèmes d’information
Opérateurs dérivés des systèmes d’information
Logiques dérivées des systèmes d’information
Systèmes d’information
Ensemble des « objets » : OB
Ensemble des « attributs » : AT
Ensemble des « valeurs de l’attribut a » : VALa
f : (x,a)OBAT f(x,a)VALa
Système d’attributs : (OB,AT,(VALa)aAT,f)
Systèmes d’information
S=(OB,AT) est :« total » ssi xOB aAT a(x)≠« déterministe » ssi xOB aAT Card(a(x))≤1
xOB, AAT :x est « A-déterministe » ssi aA Card(a(x))≤1
D(A)={xOB : x est A-déterministe}
Systèmes d’information
Couleur des pétales
Mois de plantation
F1 {rose} {février, mars}
F2 {jaune, rose} {mars, avril, mai}
F3 {jaune, rose, rouge}
{mars, avril, mai}
F4 {rouge} {février, mars}
F5 {jaune, rouge} {mars, avril, mai}
Systèmes d’information
Langue étrangère Langage de programmation
P1 {français, italien} {Ada, C++, Java}
P2 {allemand, anglais} {Ada}
P3 {français, italien, russe}
{Ada, C++}
P4 {français, italien} {Prolog, Scheme}
P5 {français, italien} {Prolog, Scheme}
P6 {anglais} {Ada, C++}
Systèmes d’information
S=(OB,AT), AAT :S est « A-séparable » ssi aA u,vVALa ({xOB :
ua(x)}=({yOB : va(y)} ssi u=v)
S est « séparable » ssi S est AT-séparable
Systèmes d’information
Ensemble des « objets » : OB
Ensemble des « propriétés » : PR
f : xOB f(x)PR
Système de propriétés : S=(OB,PR,f)
Systèmes d’information
Langage de programmation
P1 {Ada, C++, Java}
P2 {Ada}
P3 {Ada, C++}
P4 {Prolog, Scheme}
P5 {Prolog, Scheme}
P6 {Ada, C++}
Relations dérivées
Relations de similitude
S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x ind(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « indiscernabilité forte »
x fin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion avant forte »
x bin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion arrière forte »
Relations dérivées
Relations de similitude
S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x wind(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « indiscernabilité
faible »
x wfin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion avant faible »
x wbin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion arrière faible »
Relations dérivées
Relations de similitude
S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x icom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « incomplémentarité
forte »
x sim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité positive forte »
x nim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité négative forte »
Relations dérivées
Relations de similitude
S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x wicom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « incomplémentarité
faible »
x wsim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité positive faible »
x wnim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité négative faible »
Relations dérivées
Relations de dissimilitude
S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x div(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « diversité forte »
x rnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative droite forte »
x lnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative gauche forte »
Relations dérivées
Relations de dissimilitude
S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x wdiv(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « diversité faible »
x wrnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative droite faible »
x wlnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative gauche faible »
Relations dérivées
Relations de dissimilitude
S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x com(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « complémentarité
forte »
x rort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « orthogonalité droite forte »
x lort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « orthogonalité gauche forte »
Relations dérivées
Relations de dissimilitude
S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x wcom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « complémentarité
faible »
x wrort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « orthogonalité droite faible »
x wlort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « orthogonalité gauche faible »
Relations dérivées
S=(OB,AT), x,yOB, AAT, Bool expression booléenne :
x R(=,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))=x R(≠,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))≠x R(=,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))=x R(≠,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))≠
Relations dérivées
S=(OB,AT), AAT, aAT :ind(A) est réflexive, symétrique et transitive
fin(A) et bin(A) sont réflexives et transitives
icom(A) est symétrique; si A≠ alors icom(A) est réflexive; icom(a) est co-3-transitive
sim(A) et nim(A) sont faiblement réflexives et symétriques; si S est total alors sim(A) est réflexive
Relations dérivées
S=(OB,AT), AAT, aAT :wind(A) est réflexive et symétrique; wind(a) est transitive
wfin(A) et wbin(A) sont réflexives; wfin(a) et wbin(a) sont transitives
wicom(A) est réflexive, symétrique et co-3-transitive
wsim(A) est réflexive et symétrique
wnim(A) est faiblement réflexive et symétrique
Relations dérivées
S=(OB,AT), AAT, aAT :div(A) est symétrique; si A≠ alors div(A) est irréflexive;
div(a) est co-transitive
Si A≠ alors rnim(A) et lnim(A) sont irréflexives; rnim(a) et lnim(a) sont co-transitives
com(A) est symétrique et 3-transitive; si A≠ alors com(A) est irréflexive
rort(A) est symétrique; si A≠ alors rort(A) est irréflexive
lort(A) est faiblement co-réflexive et symétrique
Relations dérivées
S=(OB,AT), AAT, aAT :wdiv(A) est irréflexive, symétrique et co-transitive
wrnim(A) et wlnim(A) sont irréflexives et co-transitives
wcom(A) est irréflexive et symétrique; wcom(a) est 3-transitive
wrort(A) est symétrique; si S est total alors wrort(A) est irréflexive
wlort(A) est faiblement co-réflexive et symétrique
Relations dérivées
S=(OB,AT), A,BAT, Bool expression booléenne, R{R(=,,Bool), R(≠,,Bool)} :
R()=OBOB
R(AB)=R(A)R(B)
Si AB alors R(A)R(B)
Relations dérivées
S=(OB,AT), A,BAT, Bool expression booléenne, R{R(=,,Bool), R(≠,,Bool)} :
R()=R(AB)=R(A)R(B)
Si AB alors R(A)R(B)
Relations dérivées
ind(a) : {x1, x2}, {x3, x4}, {x5, x6, x7}
ind(b) : {x1, x3}, {x2, x4}, {x5}, {x6, x7}
ind(a)ind(b) : {x1}, {x2}, {x3}, {x4}, {x5}, {x6, x7}
ind(a)ind(b) : {x1, x2, x3, x4}, {x5, x6, x7}
a b
x1 1 1
x2 1 2
x3 2 1
x4 2 2
x5 3 3
x6 3 4
x7 3 4
Relations dérivées
S=(OB,AT), x,yOB, A,BAT :cx,y={aAT : x div(a) y}
cx,x=
cx,y=cy,x
x ind(A) y ssi cx,yA=
Relations dérivées
a b c d e
x1 - + + + +
x2 + 0 - - -
x3 + - - - 0
x4 0 - - 0 -
x5 + - - - -
x6 0 + - 0 +
Relations dérivées
ind(a) : {x1}, {x2, x3, x5}, {x4, x6}
ind(b) : {x1, x6}, {x2}, {x3, x4, x5}
ind(c) : {x1}, {x2, x3, x4, x5, x6}
ind(d) : {x1}, {x2, x3, x5}, {x4, x6}
ind(e) : {x1, x6}, {x2, x4, x5}, {x3}
Relations dérivées
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 // // // // //
x2 AT // // // //
x3 AT {b, e} // // //
x4 AT {a, b, d}
{a, d, e}
// //
x5 AT {b} {e} {a, d} //
x6 {a, c, d}
{a, b, d, e}
{a, b, d, e}
{b, e} {a, b, d, e}
Relations dérivées
S=(OB,AT), x,yOB :x fin y ssi x fin(AT) y
x bin y ssi x bin(AT) y
x wfin y ssi x wfin(AT) y
x wbin y ssi x wbin(AT) y
x sim y ssi x sim(AT) y
x nim y ssi x nim(AT) y
x wsim y ssi x wsim(AT) y
x wnim y ssi x wnim(AT) y
Relations dérivées
S=(OB,AT), x,yOB :x fin x
Si x fin y et y fin z alors x fin z
Si x sim y alors y sim y
Si x sim y alors y sim x
Si x sim y et y fin z alors x sim z
x sim x ou x wfin y
x sim y ou y wnim z ou x wfin z
Relations dérivées
S=(OB,AT), x,yOB :x wfin x
Si x wfin y et y fin z alors x wfin z
Si x fin y et y wfin z alors x wfin z
Si x wsim y alors y wsim y
Si x wsim y alors y wsim x
Si x wsim y et y fin z alors x wsim z
x wsim x ou x fin y
x wsim y ou y wnim z ou x fin z
Relations dérivées
S=(OB,AT), x,yOB :x bin x
Si x bin y et y bin z alors x bin z
Si x nim y alors y nim y
Si x nim y alors y nim x
Si x nim y et y bin z alors x nim z
x nim x ou x wbin y
x nim y ou y wsim z ou x wbin z
Relations dérivées
S=(OB,AT), x,yOB :x wbin x
Si x wbin y et y bin z alors x wbin z
Si x bin y et y wbin z alors x wbin z
Si x wnim y alors y wnim y
Si x wnim y alors y wnim x
Si x wnim y et y bin z alors x wnim z
x wnim x ou x bin y
x wnim y ou y wsim z ou x bin z
Relations dérivées
S=(OB,PR,f), x,yOB :x fin y ssi f(x)f(y)
x bin y ssi f(x)f(y)
x sim y ssi f(x)-f(y)
x nim y ssi f(x)-f(y)
Relations dérivées
S=(OB,PR,f), x,yOB :x fin x
Si x fin y et y fin z alors x fin z
Si x sim y alors y sim y
Si x sim y alors y sim x
Si x sim y et y fin z alors x sim z
x sim x ou x fin y
x sim y ou y nim z ou x fin z
Relations dérivées
S=(OB,PR,f), x,yOB :x bin x
Si x bin y et y bin z alors x bin z
Si x nim y alors y nim y
Si x nim y alors y nim x
Si x nim y et y bin z alors x nim z
x nim x ou x bin y
x nim y ou y sim z ou x bin z
Opérateurs dérivés
S=(OB,AT), XOB, A,BAT :L(A)(X)={ind(A)(x) : xOB et ind(A)(x)X}
U(A)(X)={ind(A)(x) : xOB et ind(A)(x)-X}
L(A)(X)=-U(A)(-X)
U(A)(X)=-L(A)(-X)
Si AB alors :ind(A)ind(B)
L(A)(X)L(B)(X)
U(A)(X)U(B)(X)
Opérateurs dérivés
S=(OB,AT), X,YOB, AAT :L(A)(X)X
XU(A)(X)
L(A)(XY)=L(A)(X)L(A)(Y)
U(A)(XY)=U(A)(X)U(A)(Y)
L(A)(L(A)(X))=L(A)(X)
U(A)(U(A)(X))=U(A)(X)
L(A)(OB)=OB
U(A)()=
Opérateurs dérivés
S=(OB,AT), XOB, A,BAT :L(AB)(X)L(A)(X)L(B)(X)
U(AB)(X)U(A)(X)U(B)(X)
L(AB)(X)L(A)(X)L(B)(X)
U(AB)(X)U(A)(X)U(B)(X)
Si X≠OB alors L()(X)=; L()(OB)=OB
Si X≠ alors U()(X)=OB; U()()=
Opérateurs dérivésTaille Distance Satellite
Mercure S Proche Non
Vénus S Proche Non
Terre S Proche Oui
Mars S Proche Oui
Jupiter L Lointaine Oui
Saturne L Lointaine Oui
Uranus M Lointaine Oui
Neptune M Lointaine Oui
Pluton S Lointaine Oui
Opérateurs dérivés
A={Taille, Distance, Satellite}, X={Mercure, Vénus, Jupiter, Saturne, Pluton} :
L(A)(X)={Jupiter, Saturne}
U(A)(X)={Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Pluton}
Opérateurs dérivés
S=(OB,AT), XOB, A,BAT :Pos(A)(X)=L(A)(X)
Neg(A)(X)=-U(A)(X)
BL(A)(X)=X-L(A)(X)
BU(A)(X)=-XU(A)(X)
B(A)(X)=BL(A)(X)BU(A)(X)
Si AB alors :BL(A)(X)BL(B)(X)
BU(A)(X)BU(B)(X)
Opérateurs dérivés
S=(OB,AT), X,YOB, AAT :BL(A)(XY)BL(A)(X)BL(A)(Y)
BU(A)(XY)BU(A)(X)BU(A)(Y)
BL(A)(XY)BL(A)(X)BL(A)(Y)
BU(A)(XY)BU(A)(X)BU(A)(Y)
BL(A)()=BU(A)()=OB
BL(A)(OB)=OB
BU(A)(OB)=
Opérateurs dérivés
S=(OB,AT), XOB, A,BAT :BL(AB)(X)BL(A)(X)BL(B)(X)
BU(AB)(X)BU(A)(X)BU(B)(X)
BL(AB)(X)BL(A)(X)BL(B)(X)
BU(AB)(X)BU(A)(X)BU(B)(X)
Si X≠OB alors BL()(X)=X; BL()(OB)=Si X≠ alors BU()(X)=-X; BU()()=
Logiques dérivées
Logique SIM1 :
Syntaxe :::=P()[fin][bin][sim][nim]
Sémantique :M=((OB,PR,f),V)
V(P)OB
M, x sat [fin] ssi yW si x fin y alors M, y sat …
M, x sat [all] ssi yW M, y sat
Logiques dérivées
Logique SIM2 :
Syntaxe :::=P()[fin][bin][wfin][wbin][sim]
[nim][wsim][wnim]
Sémantique :M=((OB,AT),V)
V(P)OB
M, x sat [fin] ssi yW si x fin y alors M, y sat …
Logiques dérivées
Logique S4+5 :Syntaxe :
::=P()[ind][fin][bin]
Sémantique :M=((OB,PR,f),V)
V(P)OB
M, x sat [ind] ssi yW si x ind y alors M, y sat …
Logiques dérivées
Logique IL :Syntaxe :
::=P()[ind][fin][sim]
Sémantique :M=((OB,PR,f),V)
V(P)OB
M, x sat [ind] ssi yW si x ind y alors M, y sat …
Logiques dérivées
Logique MLSim :Syntaxe :
::=P()[ind][wind][wsim]
Sémantique :M=((OB,AT),V)
V(P)OB
M, x sat [ind] ssi yW si x ind y alors M, y sat …
Logiques dérivées
REL :Syntaxe :
Bool::=e-Bool(BoolBool)
::=ind(Bool)()
::=P()[]
Sémantique :M=((OB,AT),V)
V(e)AT
V(P)OB
R(ind(Bool))=ind(V(Bool))
R()=R()R()
M, x sat [] ssi yW si x R() y alors M, y sat
Logiques dérivées
DAL :Syntaxe :
Bool::=e-Bool(BoolBool)::=ind(Bool)()()::=P()[]
Sémantique :M=((OB,AT),V)V(e)ATV(P)OBR(ind(Bool))=ind(V(Bool))R()=R()R()R()=R()R()M, x sat [] ssi yW si x R() y alors M, y sat
Conclusion
Représentabilité des relations dérivées
Axiomatisation et complétude des logiques dérivées
Décidabilité et complexité des logiques dérivées