signaux-phjgderiodiques

7/25/2019 signaux-phjgderiodiques

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5.1 Les 2 reprsentations des signaux.

Une faon naturelle de connatre un signal est dobserver son allure en fonction du temps : cest la

, donne par exemple par un oscillogrammeLes oscillogrammes nous renseignent sur lamplitude, la valeur crte, la valeur moyenne, etc mais pas sur

les frquences contenues dans le signal.

Dans le domaine des tlcommunications, un problme important est la quantit dinformations (ou dbit)

quil est possible de transmettre sur un support donn (ligne tlphonique, liaison coaxiale, fibre optique)

A titre dexemple, les signaux analogiques images dune conversation tlphonique doivent rester compris

dans la gamme de frquences {300 Hz 3300 Hz} ; un metteur de radiodiffusion FM ne doit pas occuper

une bande de frquence plus large que 150kHz

Pour satisfaire des exigences de cette sorte, il faut reprsenter les signaux, non plus en fonction du temps,

mais en fonction de la frquence : cest la

Le spectre dun signal est la reprsentation en fonction de la frquence des amplitudes des diffrentes

composantes prsentes dans le signal.

Exemples : Voici les 2 reprsentations dune tension triangulaire.

Il sagit dune tension priodique, de frquence 300Hz ; , des frquencesmultiples de 300Hz, de hauteur dcroissant avec la frquence.

Pour un signal musical, le spectre a une allure un peu diffrente : Un tel signal volue de faon quasi alatoire

au cours du temps, tant en amplitude quen timbre.

En consquence, si on tablit son spectre sur un intervalle de temps suffisamment long, nous constateronsquil renferme pratiquement toutes les frquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz (domaine audio).

On parle dans ce cas de .

Temporelle Spectrale


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Ci-dessous, les 2 reprsentations dune dizaine de ms dun signal audio :

5.2 Spectre dun signal priodique.

5.2.1 Le thorme de Fourier.En simplifiant quelque peu les Mathmatiques, on peut dire que toute fonction priodique du temps

peut sexprimer sous la forme dune somme de fonctions sinusodales et ventuellement dune constante.

Ceci constitue une version de lnonc du thorme de Fourier.

Une autre version consiste parler de dcomposition dune fonction priodique en srie de Fourier.

(Rque : Nous admettons ce rsultat, mme en prsence de certaines discontinuits, telles que les fronts)

Soit x(t) un signal de forme quelconque, mais priodique de priode T

Le mathmaticien Fourier a dmontr que la fonction x(t) peut scrire sous la forme suivante :

x(t) = X0+ C1sin(t + 1) + C2sin(2t +2) + C3sin(3t + 3) + ... + CNsin(Nt + N) + ...

X0est la valeur moyenne de x(t): ==T

0

0 dt).t(xT1XX

C1sin(t + 1) est le terme fondamental de x(t) ; sa pulsation est = 2f = 2/T ;.son amplitude est C1.

C2sin(2t +2) est lharmonique de rang 2; sa pulsation est 2; son amplitude est C2.

CNsin(Nt + N) est lharmonique de rang N; sa pulsation est N; son amplitude est CN.

Noter quon ne parle pas dharmonique de rang 1, mais de terme fondamental.

Cette dcomposition peut aussi scrire de la faon suivante :

x(t) = X0+ A1cost + B1sint + A2cos(2t) + B2sin(2t) + + ANcos(Nt) + BNsin(Nt) +

{A1cost + B1sint} reprsente le terme fondamental ; { ANcos(Nt) + BNsin(Nt)} est lharmonique de

rang N ;

Les coefficients de cette nouvelle expression se calculent de la faon suivante :

=T

0

N dt).tNcos().t(xT2A

=T

0N dt).tNsin().t(xT

2B

Les 2 dcompositions sont bien sur quivalentes : On aura : CN2= AN

2+ BN2 et tanN= BN/AN

Temporelle Spectrale


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Lorsque la dcomposition dun signal est dtermine, on peut reprsenter son spectre damplitude :

On reprsente les amplitudes CNen fonction de la frquence ; comme les CNcorrespondent des frquences

multiples du fondamental, on obtient unspectre de raies.Lallure gnrale dun spectre est la suivante :

5.2.2 Quelques proprits simplificatrices.

Intressons nous des fonctions alternatives (pour lesquelles X0= 0)

- Fonctions paires ou impaires.Pour une fonction x(t) paire, nous avons x(-t) = x(t) ; sa dcomposition en srie de Fourier ne peut

renfermer que des fonctions paires.

Consquence :Les coefficients BNsont tous nuls pour une fonction paire.Pour une fonction x(t) impaire, nous aurons x(-t) = - x(t) ; la dcomposition en srie de Fourier ne peut

renfermer cette fois que des fonctions impaires.

Consquence :Les coefficients ANsont tous nuls pour une fonction impaire.

Attention : La parit dpend souvent du choix de lorigine des temps !!

Les 2 signaux triangulaires ci-dessus prsentent videmment le mme spectre damplitude ; les

amplitudes CN des 2 dcompositions sont identiques ; par contre, les phases lorigine Nseront

diffrentes dans les 2 critures.

- Fonctions prsentant une symtrie dalternances Ce type de fonction prsente des alternances positives et ngatives de mme forme et telles quon puisse

crire x(t + T/2) = - x(t) (On parle galement de symtrie de glissement )

En consquence, si une fonction priodique du temps possde la symtrie dalternances, toutes les

harmoniques de sa dcomposition en srie de Fourier doivent la possder.

Dans ces conditions,toutes les harmoniques de rang pair sont damplitude nulle.

On a reprsent 2 tensions u1(t) et u2(t) en haut de la page suivante ; u1possde la symtrie dalternances ;

par contre, u2ne la possde pas mais est toutefois impaire.

on crira : u1(t) = {A2p+1.cos(2p+1)t + B2p+1.sin(2p+1)t}, avec p entier variant de 0 +

et u2(t) = Bp.sin(pt)

t t

xx

0 0

Signal triangulaire pair Signal triangulaire impair


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5.2.3 Dcomposition des signaux les plus courants.

u1 u2

0 0t t

+++

=5

t5sin3

t3sintsinE4)t(x

+

=

222 5t5sin

3t3sintsinE8)t(x

++

=15

t4cos23

t2cos21E2)t(x

+

=3

t3sin2

t2sintsinE2)t(x


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5.3 Notion sur les spectres de signaux non priodiques.

Pour prsenter simplement ce type de spectre, raisonnons sur un exemple : Quel est lallure du

spectre dune impulsion rectangulaire unique ?

On peut trs bien dduire le spectre cherch du spectre du signal priodique correspondant.Considrons ainsi un signal rectangulaire positif de rapport cyclique a ; les reprsentations temporelles et

frquentielles dun tel signal sont donnes ci-dessous :

Le spectre comprend des raies aux frquences Nf, dont lamplitude volue avec la frquence comme une

fonction de typesin . Cette fonction enveloppepasse par 0 aux frquences multiples de linverse de la

largeur des crneaux : 1/aT, 2/aT...

Pour obtenir le spectre dune impulsion unique, il suffit daugmenter infiniment la priode T Dans ce

cas, les raies se rapprochent et le spectre est constitu dune infinit de raies juxtaposes, alors que

lenveloppe ne change pas :

Nous aurons maintenant unspectre de bandeet non plus unspectre de raies.

On ne trace plus les raies, le spectre est maintenant une fonction continue de la frquence F(f).

Lamplitude nest videmment pas la mme dans les 2 cas, puisquun train dimpulsions contient beaucoup

plus dnergie quune impulsion unique.

Remarque: Ce spectre est fugitif puisquil nexiste que pendant le temps trs bref de la dure delimpulsion. Dans le cas dun signal priodique au contraire, le spectre est stable dans le temps.

Le spectre de frquence dune fonction x(t) non priodiquese calcule grce une opration nomme

Transforme de Fourieret que nous noterons X().

Cette fonction complexe est dfinie par : +

= dte)t(x)(X tj

Le module X() reprsente lenveloppe du spectre de la fonction x(t) ; il na de sens que pour les valeurs

positives de la frquence.


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5.4 Lanalyseur de spectre.

Cet appareil permet laffichage du spectre des signaux sur un cran. Il peut tre autonome , intgr au

sein dun oscilloscope ou associ un ordinateur.

On peut distinguer lanalyseur de spectre analogique et lanalyseur de spectre numrique.

Principe de lanalyseur de spectre analogique.

Un gnrateur de dents de scie de trs faible frquence wobule un VCO sinusodal. Un multiplieur effectue le

produit du signal analyser et du signal sinusodal de sortie du VCO. Un filtre permet dextraire la valeur

moyenne de ce produit.

La dent de scie (image de la frquence instantane fBde sortie du VCO) est applique lentre Xdunoscilloscope, tandis que la sortie du filtre moyenneur est applique lentre Y; on obtient ainsi lcran unecourbe reprsentant lamplitude du signal analyser en fonction de la frquence, cest dire son spectre.

Analyseur de spectre numrique.

Cet appareil travaille sur des chantillons du signal traiter, prlevs une cadence rgulire, puis

numriss.

En pratique, on prlve un nombre n dchantillons qui est une puissance de 2 (1024 ou 2048 trs souvent) ;

ce prlvement ncessite une dure nTE, si TEest la priode dchantillonnage.

Il est facile de comprendre que la fentre temporelle nTEdacquisition doit tre suprieure la priode du

signal traiter (si celui-ci est priodique).

Le systme effectue alors une opration appele Transforme de Fourier discrtesur les n chantillons :En nommant XNlchantillon du signal analogique x(t), prlev la date NTE, il vient

=

=1N

0k

kTjkm EeXA

En thorie, la reprsentation de Amen fonction de donnera le spectre de x(t).

En pratique, les diffrents chantillons prlevs sont pondrs par des mthodes diverses (fentre de

Hamming, de Bartlett). On calcule, non pas la transforme de Fourier discrte, mais unetransforme de

Fourier rapide(FFT),qui permet de conserver lessentiel des caractristiques des spectres, tout en rduisantconsidrablement le volume des calculs effectuer. (algorithme de Cooley-Tukey)

Gnrateur dedents de scie

V.C.O

Multi-plieur

Filtrepasse-bas

X

Y

Signal analyser x(t)

Acos Bt


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5.5 Valeur efficace Taux de distorsion harmonique.

Considrons un signal priodique dont la dcomposition est : ++=N

NN )tNsin(CX)t(x .

5.5.1 Valeur efficace.

Par dfinition, sa valeur efficace X se calcule selon : =T

022 dt)t(x

T1X

Exprimons x2(t) : ++

++=

NNN

2

NNN22 )tNsin(CX2)tNsin(CX)t(x

Or, on peut vrifier aisment que :

- La valeur moyenne de toute fonction sinusodale est nulle.- La valeur moyenne du produit de 2 fonctions sinusodales de pulsations diffrentes est nulle.- La valeur moyenne du carr dune fonction sinusodale est gale .

On en dduit alors : +=N

2N

22 C

21X)t(x

Le second terme reprsente la valeur efficace de londulation de x(t), soit =N

2NOND C2

1X

Et la valeur efficace cherche est : )XX(X 2OND2+=

Exemple:

Soit la tension

x(t) = 0,5 + 2sin(200t) +0,25sin(600t) + 0,1sin(1000t)

Sa valeur moyenne est 0,5V

La valeur efficace de son ondulation est :

V43,12

1,025,02X

222OND

++=

La valeur efficace X est :

V51,143,15,0X 22 +=

5.5.2 Taux de distorsion harmonique

Le taux de distorsion harmonique permet de chiffrer la puret spectrale dun signal, par rapport un

signal sinusodal de rfrence.

Le taux de distorsion harmonique ne concerne que londulation des signaux ; les composantes continues

ventuelles ne sont pas prises en compte pour son valuation.Lappareil permettant sa mesure se nommedistorsiomtre.

Soit le signal priodique le plus gnral : ++=N

NN )tNsin(CX)t(x

On appelledistorsion dordre Nle rapport1

NN

CC

d =

On appelledistorsion harmonique totalele rapport1

2N

23

22

C

...C...CCTHD

++++=

Exemple :

Reprenons le signal prcdent : x(t) = 0,5 + 2sin(200t) +0,25sin(600t) + 0,1sin(1000t)

Nous avons C1= 2V, C2= 0, C3= 0,25V, C4= 0 et C5= 0,1V

On peut en dduire les distorsions dordre 3 et 5 : d3=0,125 et d5= 0,05 , ainsi que le taux de distorsionharmonique totale de cette tension : THD 0,135, soit 13,5%.


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Remarque: Pour un signal prsentant un faible taux de distorsion, on peut assimiler la valeur efficace de

londulation la valeur efficace du fondamental du signal ; on obtient ainsi une dfinition approche du taux

de distorsion :...C...CCC

...C...CCTHD

2N

23

22

21

2N

23

22

+++++

++++

Cette approximation est utilise par certains distorsiomtres qui fonctionnent selon le schma suivant :

5.5.3 Classification gnrale des distorsions.

Quand un tage non linaire dforme un signal sinusodal, nous pouvons distinguer 2 cas :

- Apparition majoritaire dharmoniques de rang impair.Cest le cas des tages en saturation, des amplificateurs symtriques (push-pull) ; la distorsion est

symtrique ; on parle dedistorsion dharmonique3.

- Apparition majoritaire dharmoniques de rang pair.Cest le cas des tages amplificateurs un seul transistor, par exemple ; la distorsion est dans ce cas

dissymtrique, et on parle dedistorsion dharmonique 2.

Exemples : Par rapport la sinusode de rfrence u0, les tensions u1, u2et u3prsentent toutes un THD de

15%, et pourtant

Eliminationcomposante

continue

Eliminationdu fondamental

Val effharmoniques

Val effondulation

Rapport

THD

Signal traiter

u0= cos(100t)

u1= cos(100t) + 0,15cos(200t)

u2= cos(100t) + 0,15cos(300t)

u3= cos(100t) - 0,15cos(300t)


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5.6 Oprations de traitement des signaux : Consquences sur les spectres.

5.6.1 Translations.

- Translation temporelle. Cest le cas du traitement dun signal par une ligne retard. Ce type de bloc

fonctionnel apporte un retard constant tout signal.

Toutes les composantes spectrales sont retardes de la

mme faon : Leurs amplitudes ne sont pas modifies.

- Translation de niveau.On ajoute ici un dcalage continu (offset) un signal. Londulation nest pas affecte.

Seule la composante continue est modifie ici.

- Translation de frquence.La translation de frquence est gnralement ralise par fonction produit (multiplieur).

Cest un 1erexemple dopration non-linaire.

Considrons, pour simplifier, le produit de 2 tensions sinusodales :

Soient u1(t) = U12sin(2f1t) et u2(t) = U22sin(2f2t)

Un multiplieur effectue le produit de ces 2 tensions, un facteur dchelle K prs :uS(t) = K.u1(t).u2(t) = 2K.U1.U2.sin(2f1t).sin(2f2t), soit, en linarisant :

uS(t) = K.U1U2.cos[2(f1 f2)t] - K.U1U2. cos[2(f1+ f2)t]

La tension uSainsi produite comporte 2 raies dgale amplitude, aux frquences |f1 f2| et f1+ f2.

Noter que ces 2 raies nexistaient pas dans les spectres de u1et de u2.

Cf. exemple ci-contre :

u1(t) = sin(4000t)

u2(t) = 0,5.sin(250t)

uS(t) = 0,2.u1.u2

Remarque relative aux systmes non linaires : La fonction produit est lopration nonlinaire de base. Les

redresseurs, les dcoupeurs (hacheurs ou choppers), les blocs fonctionnels en rgime de saturation sont

dautres exemples doprateurs non linaires.

Le point commun tous les oprateurs non linaires est de faire apparatre des composantes harmoniques

nouvelles.Ce phnomne est mis profit pour raliser par exemple des multiplieurs de frquence, laide

damplificateurs en saturation, associs un filtre passe-bande adapt.

Retard

e(t) s(t) = e(t - )


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!

K.d / dt

e(t) s(t) = Kde / dt

5.6.2 Drivation.

Un bloc drivateur labore un signal proportionnel

la drive par rapport au temps de son signal dentre.

(Noter que la constante K est homogne un temps)

Avec ++=N

NN )tNsin(.CE)t(e ,

Il vient : )tNcos(.KCdt

de

K)t(s NN N +== Au niveau des spectres, on peut constater que la composante continue est limine et que les harmoniques

sont amplifies dautant plus que leur rang est lev.

Exemple: e(t) = 2sin(100t) + 0,1sin(200t) + 0,05sin(300t) + 0,01sin(400t)

Le THD de e(t) est de lordre

de 5%.

Il nempche que e(t) reste assez

proche dune sinusode.

A linverse, s(t) en diffre assez

fortement.

En conclusion, nous dirons quun

circuit drivateur dgrade le taux

de distorsion harmonique.

5.6.3 Intgration.

Cette fois, le bloc considr labore un signal proportionnel une primitive du signal appliqu.

Avec ++= NNN )tNsin(.CE)t(e ,

Il vient +

+==N

NN

t

)tNcos(.NC

'.Kt.E'.Kdt).t(e'.K)t(s

La constante K a la dimension de linverse dun temps.

Une premire remarque est que la prsence dune composante continue dans e(t) va entraner la saturation de

lintgrateur au bout dun certain temps !

Au niveau de londulation, on peut voir que les harmoniques sont maintenant attnues, dautant plus que leur

rang est lev.

Exemple: e(t) = 2sin(100t) -0,2sin(300t) + 0,1sin(500t) - 0,05sin(700t)

Le THD de e(t) est de 11,5%

(e(t) pratiquement triangulaire)

Lintgrateur labore la tension

=t

dt).t(e10)t(s

Cette tension est bien plus proche

dune sinusode : Lintgration

permet damliorer le THD.

K.

e(t) s(t) = Ke(t)dt


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5.6.4 Somme ou diffrence.

Dans la somme de 2 signaux priodiques e1(t) et e2(t) , on va bien sur trouver toutes les composantes

harmoniques de e1(t) et de e2(t). Par contre, la frquence apparente de la somme s(t) = e1(t) + e2(t) nest pas

aussi simple dfinir.

Raisonnons sur un exemple : Soient e1(t) = sin(200t) et e2= 0,5sin(250t).

e1est sinusodale, de frquencef1= 100Hz (T1= 10ms)

e2est sinusodale, de frquence

f2= 125Hz (T2= 8ms)

s = e1+ e2nest pas sinusodale, et de

priode T = 40ms, soit f = 25Hz.

Le spectre de s contient 2 raies, aux

frquences f1et f2, mais pas de raie la

frquence f !!

(Remarque : 40ms est le plus petit

commun multiple 8ms et 10ms)

5.6.5 Filtrage.

Un filtre transmet une bande de frquences donne ; il transmettra , soit la totalit du spectre dun signal,

soit une partie seulement. Un filtre ne peut quappauvrir le spectre dun signal.

Soit la tension u(t) = sin(200t) + 0,2sin(600t + /6) +0,05sin(1000t + /3) 0,02sin(1400t).

Envisageons diffrents filtrages de u(t) :

Elimination des harmoniques de u(t)

par filtrage passe-bas : Il ne reste que

le fondamental de frquence 100Hz.

Elimination du fondamental de u(t) :

Il subsiste les harmoniques 3, 5 et 7.

(Remarquer la frquence apparente

qui demeure 100Hz toutefois !!)

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