1 signaux et systemes
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cours signaux et systèmesTRANSCRIPT
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I. Signaux et Systèmes 1 - Signaux Temps Continu et Temps Discret
2 - Transformation de la variable indépendante
3 - Signaux exponentiel et sinusoïdaux
4 - Impulsion unité et fonction échelon unité
5 - Systèmes Temps Continu et Temps Discret
6 - Propriétés de bases des systèmes
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I.1. Signaux Temps Continu et Temps Discret A) Exemples de signaux et représentation mathématique
signal = toute entité qui véhicule une information
Exemples: onde acoustique Musique,
parole, ...
onde lumineuse source lumineuse (étoile, gaz, …) ...
courant électrique délivré par un microphone
courant électrique délivré par un spectromètre
suite de nombres Mesures physiques
Photographie ...
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Signaux Temps Continu:
Signal = fonction d ’une ou plusieurs variables indépendantes:
ex: (Voix) Pression Acoustique = f(temps)
(Image) Luminosité= f(x,y:variables spatiales)
par la suite: 1 seule variable indépendante = temps
Représentation mathématique:
La variable indépendante est continue t
ex: la voix en fonction du temps,
la pression atmosphérique en fonction de l ’altitude
Signaux Temps Discret:
Définis seulement pour des temps discrets
La variable indépendante est un ensemble discret de valeurs n
ex: indice Dow-Jones du marché boursier
études démographiques ...
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Remarques:
Exemples: a) d ’un signal continu x(t) b) d ’un signal discret x*n+:
x[n] n ’est défini que pour des valeurs entières de n.
x[n] : signal Temps Discret ou séquence Temps Discret.
2 types de signaux discrets:
a) Signaux représentant un phénomène dont la variable indépendante est discrète
b) Signaux provenant d ’une opération d ’échantillonnage:
x[n] représente les échantillons successifs d ’un phénomène pour lequel la
variable indépendante est continue (niveau quantifié ou non...)
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3 Classes de signaux:
B) Energie et puissance d ’un signal
Définition: par analogie avec les signaux électriques
Energie
dttxEx
2
Puissance moyenne
T
TT
x dttxT
P2
2
1lim
Temps Continu Temps Discret
2
nxEx
N
NnN
x nxN
P2
12
1lim
- Signaux à Energie finie - Signaux à Puissance moyenne finie - Signaux à Energie et Puissance moyenne infinies
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- Signaux à Energie finie
- Signaux à Energie et Puissance Moyenne infinies
t 0 1
1
- Signaux à Puissance moyenne finie
0
... ...
4
n
t
1
1
0 xx PE
xx EP
xx EP
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I.2. Transformation de la variable indépendante
A) Exemples de transformations
Décalage temporel
t 0 < 0 : AVANCE n 0 > 0 : RETARD
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Changement d ’échelle
Inversion temporelle
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B) Signaux périodiques
)()( Ttxtx
xx EP
Remarques:
Nnxnx
T0 = période fondamentale = plus petite valeur possible de T
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C) Signaux Pairs et Impairs
Pairs Impairs
nxnx
txtx
)()(
nxnx
txtx
)()(
Propriété:
Tout signal se décompose en la somme: - d ’un signal pair xpair(t) et - d ’un signal impair ximpair(t)
txtxtx
txtxtx
impair
pair
2
1
2
1
)()()( txtxtx impairpair
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I.3. Signaux exponentiels et sinusoïdaux
A) En Temps Continu
Signaux à exponentielle réelle:
Signaux à exponentielle complexe périodiques et signaux sinusoïdaux:
réelsaetCavecatCetx )(
tjetx 0)(
TjtjTtjtjeeee 0000 )(
10 Tj
e
0
00
22
Tf
tjjtjj
tj
e
eeA
eeA
tA
eAtAtx
00
0
22cos
cos
0
)(
0
xE
phénomènes physiques
0a 0a
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Remarques :
- Signaux à exponentielle complexe périodiques appelés aussi signaux harmoniques
- Ensemble d ’exponentielles harmoniquement reliées =
Ensemble d ’exponentielles périodiques ayant en commun la période T0 :
,...2,1,0,0 kettjk
k
Signaux à exponentielle réelle et complexe :
jat eCetx CCetjraavec 0
)(
0r 0r
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B) En Temps Discret
Signaux à exponentielle réelle: réelsetCavecnCnx
1 10
01 1
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Signaux à exponentielle complexe et sinusoïdaux: )cos( 00 nAnxenx nj
Propriétés liées au Temps Discret:
njnjnjnjeeee 000 22
njnjnjeee
42 000
0 < 0 < 2 0 < f0 < 1
1)
même signal pour des pulsations différentes!...
nje 0
Le taux d ’oscillations de n ’augmente pas en fonction de 0 !…
Basses fréquences k20
Hautes fréquences 120 k
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Sinusoïdes Temps Discret à différentes fréquences www.almohandiss.com
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2) Périodicité: Pas toujours!...
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00 )(
Nj
njTnj
eSi
ee
N
m
2
0
Alors
m
0 Fréquence fondamentale
Signal périodique si 0 / 2 est un entier ou une fraction rationnelle
6/cos nnx Non périodique!
périodique périodique non périodique
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Signaux à exponentielle réelle et complexe : jjn eeCnx CCetavec 0
3) Exponentielles reliées harmoniquement
,...1,0
2
kn
Njk
k en
neeen k
njn
Njkn
NNkj
Nk
2
22)(
seulement N exponentielles distinctes...
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I.4. Impulsion unité et fonction échelon unité
A) En Temps Discret
0,1
0,0
n
nn
Impulsion Unité:
0
1
n
Echelon Unité:
0,1
0,0
n
nnu
n
1
0 n
...
nu
Relations:
1 nunun
0k
knnu
nxnnx 0
000 nnnxnnnx
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B) En Temps Continu
Impulsion Unité ou Dirac:
Echelon Unité:
0,1
0,0
t
ttu
u(t)
t
dt
tdut On veut: Problème!...
tt
0
lim
Signal Pulse
Impulsion de Dirac
t
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Propriétés du Dirac:
Modélisation mathématique issue de la théorie des Distributions (Laurent Schwarzt)...
- (t) n ’a pas de durée, sa hauteur est infinie et son aire est égale à l ’unité
1
dtt
- (t) peut être pondéré par un scalaire
- représentation de (t): (t)
t
1
k. (t) a une aire de k
fonction singulière
Besoin des physiciens: (t) modélise par exemple le courant i(t) d ’un filtre RC lors de la charge d ’un condensateur...
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txttx 0
0xdtttx
dttu
0
000 tttxtttx
00 txdttttx
dt
tdut
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I.5. Systèmes Temps Continu et Temps Discret
Système Temps Continu
x(t) y(t) Système Temps Discret
x[n] y[n]
x(t) y(t) x[n] y[n]
Exemples:
- Relation entre la tension aux bornes d ’un condensateur et la tension d ’entrée
- Relation entre la vitesse d ’un véhicule et la force appliquée
- Evolution d ’un compte bancaire
équations différentielles linéaires du 1er ordre: tbxtay
dt
tdy
nxnyny 101.1
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Interconnexions de systèmes
Idée: des systèmes complexes peuvent être construits en interconnectant des sous ensembles plus simples...
Interconnexion Série Interconnexion Parallèle
Interconnexion Rétro-actionnée
Systèm
e 1 Systèm
e 2 E S
Systèm
e 1
Système 2
+ E S
Systèm
e 1
Systèm
e 2
+ E S
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I.6. Propriétés de base des systèmes
Système sans mémoire:
La sortie y à l ’instant t ou n ne dépend que de l ’entrée x à ce même instant
Système inversible:
Des entrées distinctes conduisent à des sorties distinctes
Système
Système inverse
x[n] y[n]
w[n]=x[n]
Système causal:
La sortie à n ’importe quel instant ne dépend que des valeurs de l ’entrée aux instants présent et passés
n
nxny ][][ ]1[][][ nxnxny ][][ nxny
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Système stable:
A une entrée bornée: |x(t)| M t correspond une sortie bornée |y(t)| N t
Système temporellement invariant :
n
nxny ][][)1()()( txtxty
Système
x[n-n0] y[n-n0] Système
x(t-t0) y(t-t0)
Système linéaire: Propriété de superposition
)()(
)()(
22
11
tytx
tytx
Soit
nynx
nynx
22
11
Alors )(.)(.)(.)(. 2121 tybtyatxbtxa
][.][.][.][. 2121 nybnyanxbnxa
Un décalage temporel sur le signal d ’entrée entraîne le même décalage temporel sur le signal de sortie
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