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Master - Automatique - Chap. II : 1

Chapitre II : Les outils mathématiques

II-1 Les signaux analogiques et

échantillonnés

II-2 Produits de signaux

II-3 Transformées de Fourier

II-4 Transformée de Laplace

II-5 Transformation en Z


Chapitre II : Les outils mathématiques

II-1 Les signaux - Les différents états d’un signal

1 Signal analogique

Il est représenté par une fonction continue f(t) de la variable continue t (f et t prenant leurs valeurs dans ).

t

f

2 Signal échantillonné

Il est obtenu à partir d’un signal analogique par discrétisation de la variable générique t. C’est donc une suite de valeur f(kT) prélevée sur f(t) aux instants t=kT (k est entier etT période d’échantillonnage)

Symbole de l’opération échantillonnage :f(t) f(kT), fe(t), fk T

Le modèle mathématique d‘un échantillon de valeur f(kT) est la distribution singulière de Dirac kT=(t-kT) d’amplitude f(kT). Un signal échantillonné s’écrit donc :

k

kTk

kTk

e tftfkTtkTftf

fe(t)=f(t).T t

fe

1 2 3 4 5 6 7Peigne de Dirac


3 Signal numérique

c’est une suite de nombres obtenue à partir d’un signal échantillonné après discrétisation de l’amplitude f(kT) de l’échantillon (c’est donc le nombre mis en mémoire dans l’ordinateur). f(kT) ne peut prendre qu’une suite de valeurs séparées du pas de quantification q. L’exemple le plus courant est celui des signaux délivrés par un convertisseur analogique-numérique (CAN) et traités ensuite par un ordinateur.

Le modèle mathématique du signal numérique est le même que celui du signal échantillonné. Cependant le signal numérique peut etre décomposé en 2 contribution.

Signal Numérique = Signal Echantillonné + bruit de quantification de variance

On supposera dans la suite du cours que q<<1, aussi ne fera-t-on pas de différence entre un signal numérique et un signal échantillonné.

12q2

4 Signal quantifié (Convertisseur Numérique Analogique CNA)

C’est le signal obtenu après le convertisseur numérique analogique. Il peut être obtenu aussi à partir de f(t) après quantification de l’amplitude de f au pas q (troncature, arrondi, ....).


tf(t)

Continu Discret

Continu Analogique Echantillonné

discretQuantifié

(CNA)Numérique

(CAN)

II-2 Produits de signaux

1 Le produit de convolution

a Définition

Le produit de convolution modélise la relation entrée sortie d’un système linéaire invariant (SLI)

dtgftftgtgtftz

h(t) représente la réponse impulsionnelle du système considéréL’élément neutre du produit de convolution est la distribution de Dirac:

tethts

2121

0

tttt

0t

0

ttftf

tftf


b Convolution de signaux discrets (échantillonnés)

nnmnm

mmTm

mmT

nnmn

n,mmTnmne

k,nTknkn

kkTk

nnTne

eee

kkTe

nnTe

gfz avec z

gfgftz

nmk encore ou knm posons

gfgftz

tgtftz

kTgtg

nTftf Le produit de convolution de 2 signaux échantillonnés est un signal échantillonné dont la suite des échantillons est :

n

nnmnm

TnmgmTfmTz

ou

gfz

2 Produit Scalaire de deux signaux analogiques

Soit f et g deux fonctions réelles ou complexes, le produit scalaire de ces deux fonctions est :

P est un nombre réel ou complexe. On dit que P représente la projection de f sur g.

Si P=0, on dit que les deux fonctions sont orthogonales.

Si f=g, P représente l’énergie de f (Ef).

gfdttgtfP

dttfdttftfffEP2

f


Exemple : La Transformée de Fourier (voir II-3) représente l’ensemble des projections d’une fonction f(t) sur la base des fonction cissoïdale (qui forment une base de fonctions orthonormée).

t2je

Remarque : On peut définir le produit scalaire de 2 signaux numériques :

k

kTgkTfP

k

kTj2e ekTfF

3 Energie et Puissance

Les produits précédents n’existent que si au moins l’un des signaux est dit à énergie finie.

k

2

2

f

kTf

dttfE

2N

2Nk

2

N

2T

2T

2

Tf

kTfT1N

1 lim

dttfT1

limP

Donc la Transformée de Fourier d’un signal échantillonné s’écrit :

FFT


II-3 Transformée de Fourier

1 Définition

deFFTFtf

dtetfFtfTF

t2j1

t2j

F() existe si f(t) est absolument sommableQuelques cas particuliers :

1TF eTF 02j

TF[ ]=T 1/T

1

T

nn Tn T

nT1

T1

2 Propriétés principales

FejFFImjFReF F de phase : F avec

FF

de impaires F et FIm

de paires F et FRe réelle est tf Si

impaire pure imaginaire Fimpaire réelle est tf Si

paire réelle Fpaire réelle est tf Si

2jeF=tfTF

Y.XZtytx=tz TF

Convolution (l’un au moins des signaux est d’énergie finie) :

Retard :

dXdttx 22

Energie:


k

kT2jee

kkTe

ekTf=F=tfTF

kTf=tfTransformée de Fourier d’un signal échantillonné :

On remarque que la TF d’un signal échantillonnée est périodique de période . Le développement précédent est le développement en série de Fourier complexe de Fe() ; les f(kT) sont les coefficients de ce développement et donc :

T1

T21

T21

kT2je deFkTf

3 Conséquences de l'échantillonnage et Théorème de Shannon

L'échantillonnage est une nécessité pour pouvoir traiter les signaux analogiques par calculateur numériques (traitement plus simple et moins coûteux), la contre partie est la perte d’information entraînée par L'échantillonnage.La suite numérique f(kT) est censée représenter la signal analogique f(t). Or on vient de voir que la TF de fe() =Fe() est périodique de période (T période d'échantillonnage) alors que F() n’a aucune raison de l'être. L'échantillonnage dans le domaine temporel se traduit par une périodisation de spectre dans le domaine fréquentiel.

T1e


Relation entre Fe() et F()

fe(t)=f(t).T

Fe() = F()*1/T

1

T

n TnT

1F TF

n

e TnF

T1

F

Fe() est le répétition périodique de F(), qui représente le motif élémentaire, avec la période T1e

Exemple:Fe()

T

F

M ee/2

T

FFe

Dans l’exemple ci-dessus, on voit que , dans ce cas il n ’est pas possible de

connaître F() à partir de Fe() donc il est impossible de remonter à f(t) à partir de la

suite des f(kT). Ce problème est provoqué par le repliement des signaux.


Fe() T

F

M ee/2

A l’inverse dans le cas ci-dessous on constate que les deux signaux sont identiques car M

e

2

La suite f(kT) est une représentation suffisante de f(t), si :

1- f(t) doit-être à bande limité (donc existence de M)

2- la fréquence d’échantillonnage doit vérifiée :

f(t) peut alors être extrait de f(kT) à partir d’un filtre passe bas de gain T et donc la

fréquence de coupure vaut

Théorème de Shannon

Me 2

2e

Fe() T

F

M ee/2


Remarque : En pratique, le signal f(t) n’est pas à bande limitée. De plus fréquemment un signal est entaché de bruit à large spectre. On aura donc toujours recouvrement des fréquences du à la périodisation du spectre du signal échantillonné.Donc pour éviter le repliement du spectre autour de e/2 (appelée fréquence de Nyquist).

- Il est nécessaire de décider qu’il existe une fréquence maximum M au delà de laquelle f(t) ne contient plus d’information utile.

- Il faut alors filtrer le signal analogique avant échantillonnage = utilisation d’un filtre passe bas anti-repliement dont le rôle est de couper les fréquences supérieures à M.Restitution du signal

On désire donc reconstituer un signal à temps continu à partir des valeurs aux instants nT. Pour cela il est nécessaire d’effectuer une interpolation entre 2 instants de discrétisation.1 Interpolateur idéal

Comme nous l’avons vu précédemment pour obtenir le signal f(t) à partir du signal échantillonné fe(kTe) il suffit d’éliminer les bandes translater de F() par une fonction fenêtre :

Fe()

F T

M ee/2

T1

eTF

Te

e

T

TFtftf.FF

ailleurs02

siT : Filtre

1


La transformée de Fourier inverse du filtre est bien connue, notamment lorsque l’on veut calculer la diffraction d’une fente, donc on obtient la formule de l’interpolateur idéale :

k e

e

k e

e

k e

ekT

kkT

kkTe

e

eT

1

ktktsin

kTfkTt

kTtsinkTftf

ttsin

kTftfkTftff

ttsin

TF

Remarque : L’utilisation de la formule de l’interpolateur idéale est impossible en temps réel car pour calculer f(to) il faut connaître les valeurs de f(t) aux instants tel que kT>to2 Interpolateur réalisable en temps réel = Bloqueur d’ordre 0 (B0)

B0

Réponse impulsionnelle du B0

0

Tththtb0


Exemple de filtre antirepliement:

filtre de Butterworth :

Représentation fréquencielle :

2T

j2T

j

0 e2T

csinTe

2T2T

sinTtbTF

T21

T1

T2

Filtre idéal

21n2fcf1

1G

filtre de Tchebychev : 212

n2 fcfC1

1G

: constante caractérisant l’ondulation dans la BP

Cn : polynôme de Tchebychev du premier ordre et de degré n


II-4 Transformée de Laplace d’un signal analogique

1 Définition

La variable de Laplace est jrj2rp

jr

jr

pt1

rtpt

dpepFj2

1tfpFTL

etfTFdtetfpFtfTL r,rr si existe pF

Abscisses de convergence:

La transformée de Laplace (TL) définit ci-dessus est la TL bilatère, la TL monolatère ou TL (sans plus de précision) est :

0

ptdtetfpF

Il est à noter qu’une TL bilatère n’a de sens que si l’on précise le domaine de convergence de Re(p)=r

Exemple:

2,- et 2, différents econvergenc de domaine un dans mais

2-p

1 TL même ont tUe et tUe t2t2

Lorsqu’on travaille avec des sommes de signaux, l’intersection des domaines de convergence () doit être non nul pour que l’on puisse travailler avec la TL.


a – Les signaux sont sommables en valeurs absolue alors est non vide puisque r=0. On pourra alors remplacer p par j, donc TL et TF se déduisent l’une de l’autre

b – Les signaux sont nuls t<0 (signaux causals) et sont de croissance au plus exponentielle alors la convergence de la TL est assurée. Donc est non vide puisque la borne supérieur est l’infini (+), pas de problèmes existence, par contre le passage à la Tf n’est pas assuré contrairement au cas précédent.

En fait les signaux auxquels nous sommes confrontés rentrent dans l’une des deux classes suivantes:

2 Propriétés de la TL

Linéarité

Le produit de convolution :

La dérivation :

pY.pXpZtytx=tz TL

dtetfpXtftx

pX.ptx

pXtx

pt

nTLn

TL

Quelques TL:

1tTL 0>pRe si p1

tUTL -a>pRe si ap

1tUeTL at

tyTL.btxaTLty.btx.aTL

ppFpX

: partie par intégrant En

0etf Donc

pRe si sommable est etf hypothèse Part

t

pt

pt


Cas des fonctions rendues causales

0fppFtUtfTL

0ftUtfTLppFt0ftUtftf

tUtftf SoitTL

L'intégration

PpF

txTL

tftUdftUdftxt

t0t si 1tU

Théorème de la somme :

pFlimdttf

pFlimdtetflimdttf

converge dttf Si

0p

0p

pt

0p

Théorème de la valeur finale et initiale :

ppF0p

limtft

lim

ppFp

limtf0t

lim

pFTL

tf Si


Théorème du retard :

ppp

pt

p

epFtfTLdeeftfTL

t posant en

dtetftfTL

epF= tfTL

Formule d’inversion pour les fonctions causales :

pF de pôles

pt epFde résidus= tf

ordred’ p pôle un pour

epFppdpd

!1-1

=r

i

pppt

i1-

1-

i iLe ième résidu a pour valeur :


II-5 Transformation en Z (TZ)

1 Définition

Pour les signaux analogiques, l'outils mathématiques utilisé est la TL. L’une de ces propriétés notable est de remplacer le produit de convolution par un produit simple et de substituer l’opérateur dérivée (d/dt) par la seule multiplication de la variable p ... Un outil analogue a donc été développé pour le traitement des signaux échantillonnés :

- A une suite d'échantillons {xn} on fait correspondre X(Z) de la variable complexe où T est la période d'échantillonnage.

- Sachant que le modèle mathématique d’un signal échantillonné s’écrit:

pTeZ

k

pkTe

pkT

ke

ekTfpFTL la de linéarité la Par

ekTTL que sait On

kTkTftf

k

ke

pT

ZkTfZF

e=Z pose On

Remarque : est un opérateur avance du temps T, c’est-à-dire l’opérateur avance d’un échantillonLa TZ s’identifie à la TF pour . On dit que la TZ est TF évaluée sur le cercle unité.

pTeZ

1Z donceZ T2j


2 Condition d’existence

1Ulim Cauchy aprèsd’ si converge U suite Une n1

nn0=n

n

Appliquons ce critère à F(Z)

1ZlimflimZflim si existe S

SSZfZfZfZF

1

kk1

kk

k1

kkk

2

210k

kk

1

k

kk

k

kk

econvergenc de Rayon RflimZ k1

kk

1ZlimkTflimZnTflim si existe ZnTf=Zf= S

-n=k pose on S Pour

kk1

k

n1

n

n1n

n1

k

kk1

1

R

nTflim

1Z si existe S

n1

n

1

RZ<R si existe ZF Donc -R+

R-

Remarque : Si f(kT) est causal R+

La zone de convergence est un anneau délimité par les rayons R- et R+ qui représentent l’équivalent des abscisses de convergence de la TL


Exemples:

Définir les rayons de convergence des suites :

0k si 0

0k si TkkTr :rampe

0k si 0

0k si 1kTU

ax nn

3 Transformée en Z inverse

a - Formule d’inversion

mk C

1mk

C

1

C

1-m

mk

1mk1+

-=k

1mk1-m1-m

+

-=k

k

dZZkTfdZZmTf=dZZZF

originel’ entourant econvergenc de anneaul’ de (C) contour un sur Intégrons

ZkTfZmTfZkTf=ZZF Z par membre à membre smultiplion

ZkTf=ZF Soit

j2dZZ 1=résidu 0=Z pôledZZC

1

C

1


cas les tous

dans nulle Intégrale

nulle est intégralel’ ,0résidu

2 ordred’ pole 0Z

m)k (car m>k donc 1-m>k01-m+k-

nulle intégralel’ pôle, de Pas1-m<k0>1-m+k-

dZZC

1mk

C

1m

C

1m

dZZZFj2

1mTf

mTf.j2dZZZF

Cette relation a valeur de définition

Cas des signaux causals

R+ = +,donc tous les pôles de F(z) sont à l’intérieurs du contours (c), on peut évaluer l’intégrale :

ZZF

de pôles

ZF de pôles

1m

ZZF

de résidus0f 0m

ZZF de résidusmTf 0mUniquement valable pour les

signaux causals


Exercice: kT.hakTf : suivant causal signal le Soit kT

Trouver les rayons de convergence, l’expression de F(Z)

b – Inversion numérique directe pour un signal causal

0k

kZkTfZF

Si F(Z) se présente sous la forme d’un rapport de 2 polynômes en Z :

On calcul le quotient en divisant N(Z) par D(Z) suivant les puissance croissante de Z-1.

La suite f(kT) est la suite des coefficients du quotient

ZDZN

ZF

Exemple: Rampe

1Z2Z

ZT

1ZTZ

ZF 22

32

321

21

21

1

1

Z3Z40

Z3Z6Z3

Z2Z30

Z2Z42

Z20

Z2Z

Z

1Z2Z2

321 Z3Z2Z

321 Z3Z2ZTZF

3, 2, 1, 0,

TkTf

Remarque : pour un signal causal degrés de N degrés de D


4 Obtention de la TZ à partir de la TL

pF de pôles

pT1- eZ-1

pF de résiduspFTZZF

Exemple:

T

1p

pT1-1

pôles

pT1-

TLt

eZ

ZZF

eZ-11

eZ-1

pF de résidusZF : précédente formule la applique On

1p

1pFetf

5 Propriétés de la TZ

Linéarité : ktyTZ.bktxaTZkty.bktx.aTZ


Avance / Retard :

ZF.Z

Z3fZ2f1fZ0fZ1ft1kfTZ

ZF.Z

Z1fZ0f1fZ2fZ3ft1kfTZ

Z2fZ1f0fZ1fZ2fktfTZ

2112

1

2112

2112

retard -

avance

ZF.ZtkkfTZ 0k0

Remarque : k0=1 correspond à l’avance ou le retard d’un échantillon. La variable Z joue le rôle d’opérateur avance au même titre que la variable p joue le rôle d’opérateur dérivation en TL

La variable Z-1 joue le rôle d’opérateur retard au même titre que la variable 1/p=p-1 joue le rôle d’opérateur intégration en TL


Avance / Retard (suite) : Cas de la transformation monolatère ou d’une suite rendue causale

Le décalage à gauche (avance) fait disparaître un certain nombres d’échantillon:

1k0

1k0

00 Z1kfZ1f0fZFZtkkfTZ

Le décalage à droite (retard) fait apparaître un certain nombres d’échantillon qu’il faut ajouter :

00 k0

2k0 ZkfZ2fZ1fZFZtkkfTZ

Exemple:

0k si akT

0k si 1kTf

Rappel:

0k

kZkTfkTfTZ

2

22 ZZ

1ZZ

aTZT2kfTZ

0

2 0f1Z

ZaTZT1kfTZ

Retard:

Avance:


Multiplication par ak :

aZ

FaZ

fZfafaTZ

aZ

FfaTZ

k

k

kk

kk

kk

k

kk On se déplace sur un rayon suivant la valeur de a.

Une des applications possible est de multiplier un signal par ak afin de modifier la position des pôles et des zéros de sa TZ

Multiplication par le temps (t) :

kTkTfTZ

k

k

k

1k

k

k

ZkTf.T.kT.Z

1ZkTf.k

dZZdF

: dérivée la Prenons

ZkTfZF

ZFdZd

Z.TkTkTfTZttfTZ

Valeurs limites

ZFlimflimZk0k

Valeurs initiales

ZFZ1limZF1Zlimflim 1

1Z1Zkk

Valeurs finales


Produits de signaux

ZFZFf.fTZ

ZF.ZFffTZ

2121

2121

Equation de récurrence

tx ty

2kx1kxkx2ky1kykyT

2ky1ky2kyT

1kykyy

T1kyky

y

: approche On

xbxbxbyayaya

210210

012012

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