seriefoureno

Exercices - Series de Fourier : enonce

Exercice 1 - Comprendre le cours - L2/Math Spe - ?

1. Donner la decomposition en serie de Fourier de la fonction f definie par f(x) = cos(5x).2. En utilisant le theoreme de Parseval, prouver que deux fonctions continues 2π-periodiques

ayant les memes coefficients de Fourier sont egales.

3. Soit f une fonction continue 2π−periodique. Montrer que (cn(f)) tend vers 0 lorsque |n|tend vers +∞.

4. On suppose de plus que f est de classe Ck. Prouver que cn(f) = o(1/nk).5. Soit f la fonction ”creneau” definie par f(x) = 1 si x ∈ [0, π[, f(x) = −1 si x ∈ [−π, 0[,

et prolongee par 2π-periodicite. Quelle est la regularite de cette fonction ? Que dire de laserie de Fourier de f en 0 ? Peut-on avoir convergence normale de la serie de Fourier de fvers f sur [−π, π] ?

6. Soit f la fonction paire 2π-periodique definie par f(x) =√x sur [0, π]. f est-elle C1 par

morceaux ?

Exercices de calcul

Exercice 2 - Quelques decompositions en series de Fourier - L2/Math Spe - ?Determiner les series de Fourier (termes en sinus et cosinus) des fonctions suivantes :

1. f 2π−periodique, definie par f(x) = x si −π ≤ x < π.

2. la fonction creneau : f est 2π-periodique, definie par f(x) = 1 si x ∈ [0, π[, et f(x) = −1si x ∈ [−π, 0].

3. la fonction L−periodique, ou L > 0, definie par f(x) = |x| si x ∈ [−L/2, L/2].

Exercice 3 - Application aux calculs de series - L2/Math Spe - ?Determiner la serie de Fourier de la fonction periodique de periode 2π definie par f(x) = x2

pour −π ≤ x ≤ π. En deduire la somme des series∑n≥1

1n2 ,

∑n≥1

(−1)n+1

n2 ,∑n≥1

1n4 .

Exercice 4 - Une variante - L2/Math Spe - ?Soit f la fonction 2π−periodique, definie pour x ∈ [0, 2π[ par f(x) = x2.

1. Determiner la serie de Fourier de f .

2. Calculer∑n≥1

1n2 , puis

∑n≥1

1n4 .

Exercice 5 - Termes impairs - L2/Math Spe - ?Determiner la serie de Fourier de la fonction 2π−periodique definie sur [−π, π] par f(x) = |x|.

En deduire la valeur des sommes suivantes :

+∞∑n=0

1(2n+ 1)2 et

+∞∑n=0

1(2n+ 1)4 .

http://www.bibmath.net 1


Exercice 6 - Exponentielle - L2/Math Spe - ?Soit f la fonction 2π-periodique telle que f(x) = ex si x ∈ [−π, π[. Determiner la serie de

Fourier de f . En deduire la valeur des sommes suivantes :∑n≥1

1n2+1 et

∑n≥1

(−1)nn2+1 .

Exercice 7 - Avec une autre periode - L2/Math Spe - ?Soit f la fonction periodique de periode 2 verifiant f(x) = x− x3 pour tout x ∈]− 1, 1].

1. Determiner les coefficients de Fourier de f .

2. En deduire la somme de la serie∑+∞p=0

(−1)p(2p+1)3 .

Exercice 8 - Une egalite etonnante ! - L2/Math Spe - ??Soit f la fonction 2π-periodique definie par f(x) = π−x

2 si x ∈ [0, 2π[, et soit g definie sur Rpar g(x) = f(x+ 1)− f(x− 1).

1. Determiner les series de Fourier de f et de g.

2. En deduire que∑n≥1

sinnn =

∑n≥1

sin2 nn2 .

Exercice 9 - Avec des series entieres - L2/Math Spe - ??

1. Developper en serie entiere la fonction f(x) = 1x+ea , a > 0.

2. Demontrer que, pour tout x ∈ R et tout a > 0, on a

1cosx+ cosh a = 1

sinh a

(ea

eix + ea− e−a

eix + e−a

).

3. En deduire le developpement en serie de Fourier de la fonction g definie par

g(x) = 1cosx+ cosh a, a > 0.

Exercice 10 - Decomposition de sinus en produit infini - L2/Math Spe - ???Soit α ∈ R\Z.

1. Prouver que la serie de Fourier de la fonction f : R → R definie par f(t) = cos(αt) pourt ∈ [−π, π[, et prolongee par 2π-periodicite est :

sin(απ)απ

(1 + 2α2

+∞∑n=1

(−1)n

α2 − n2 cos(nt)).

2. En deduire que

cotan(απ) = 1απ

++∞∑n=1

2απ(α2 − n2) .

3. Demontrer que la serie∑n≥1 ln

(1− t2

n2

)converge pour tout t ∈] − 1, 1[. On note, pour

t ∈] − 1, 1[, g(t) la somme de cette serie. Prouver que g est une fonction de classe C1, etcalculer g′.

4. En deduire que, pour tout t ∈]− 1, 1[, on a

sin(πt)πt

=+∞∏k=1

(1− t2

k2

).



Series de Fourier - exercices theoriques

Exercice 11 - Des sommes partielles a f - L3/Math Spe - ?Soit f une fonction continue 2π−periodique telle que, pour chaque n, on ait ‖Sn(f)‖∞ ≤ 1.

Montrer que ‖f‖∞ ≤ 1.

Exercice 12 - Regularite et decroissance des coefficients - sans indications -L2/L3/Math Spe/Oral Mines - ???

Soit f : R→ R une application continue et 2π-periodique. Montrer que f est de classe C∞

si et seulement si, pour tout k ∈ N, on a cn(f) = o(1/nk) quand |n| tend vers +∞.

Exercice 13 - Regularite et decroissance des coefficients - avec indications -L2/L3/Math Spe/Oral Mines - ?

Soit f : R→ R une application continue et 2π-periodique.

1. Demontrer que (cn(f)) tend vers 0 lorsque |n| tend vers +∞.

2. On suppose que f est Ck. Etablir une relation entre les coefficients de Fourier de f etceux de f (k).

3. En deduire que si f est de classe C∞, alors cn(f) = o(1/nk) pour tout entier k.

4. Reciproquement, on suppose que cn(f) = o(1/nk) quand |n| → +∞ pour tout entier k eton pose S(x) =

∑n∈Z cn(f)einx.

(a) Calculer les coefficients de Fourier de S.

(b) Demontrer que S est de classe C∞.

(c) En utilisant le theoreme de Parseval, demontrer que deux fonctions continues qui ontles memes coefficients de Fourier sont egales.

(d) En deduire que f = S et donc que f est de classe C∞.

5. Quel theoreme a-t-on demontre dans cet exercice ?

Exercice 14 - Regularite et fonctions holderiennes - L3/Math Spe - ??Soit f : R → C 2π-periodique. On suppose qu’il existe α > 0 et C > 0 tels que, pour tous

x, y ∈ R,|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α.

1. Pour a ∈ R et n ∈ Z, exprimer ∫ 2π

0f(t+ a)e−int

en fonction de cn(f).2. En deduire l’existence de M > 0 tel que, pour tout n ∈ Z∗,

|cn(f)| ≤ M

nα.

Exercice 15 - Phenomene de Gibbs - L2/Math Spe - ??On se propose dans cet exercice d’etudier la convergence de la serie de Fourier de la fonction

impaire, 2π-periodique, definie par

f(x) ={

1 si x ∈]0, π[0 si x = kπ, k ∈ Z.



1. Question preliminaire :

(a) Montrer que, pour tout x ∈ [0, π/2], on a sin(x) ≥ 2πx.

(b) Montrer que, pour tout x ∈ R, on a | sin x− x| ≤ |x|3

6 .

(c) Soit hn la fonction definie sur [0, π] par

hn(t) ={ sin t

(2n) sin( t2n) si t 6= 0

1 si t = 0.

Deduire des questions precedentes que (hn) converge uniformement sur [0, π] versune fonction h que l’on precisera.

2. Calculer la serie de Fourier de f et prouver qu’elle converge simplement vers f . Y-a-t-ilconvergence uniforme ?

3. Soit Sn la (2n− 1)-ieme somme partielle de la serie de Fourier de f ,

Sn(x) = 4π

n∑k=1

sin((2k − 1)x

)2k − 1 .

Justifier que Sn est derivable sur R et que sa derivee verifie

S′n(x) ={

2π ×

sin(2nx)sinx si x /∈ πZ

(−1)q4nπ si x = qπ, q ∈ Z.

En deduire que Sn presente (2n− 1) extrema locaux sur l’intervalle ]0, π[. Montrer que lepremier d’entre eux est un maximum et qu’il est atteint en xn = π

2n . On posera pour lasuite an = Sn(xn).

4. Montrer que, pour tout x ∈ [0, π[, on a

Sn(x) = 2π

∫ x

0

sin(2nt)sin t dt.

En deduire que

an = 2π

∫ π

0

sin t(2n) sin

(t

2n)dt.

5. Montrer que limn→+∞ an = 2π

∫ π0

sin tt dt.

On peut verifier que 2π

∫ π0

sin tt dt > 1.

Exercice 16 - Series trigonometriques qui convergent uniformement - L2/L3/MathSpe - ??

1. Soit une serie de fonctions∑n un uniformement convergente sur un intervalle I. Demontrer

que les fonctions un sont toutes bornees sur I pour n assez grand, et que ‖un‖∞ tend vers0 lorsque n tend vers +∞.

2. Soit I un intervalle ferme de longueur au moins egale a π, et a, b deux reels quelconques.Montrer que le maximum de |a cosx+ b sin x| sur I est

√a2 + b2.



3. Soit I = [α, β] un intervalle ferme de longueur strictement positive. On suppose que laserie de fonctions

∑n≥0

(an cos(nx) + bn sin(nx)

)converge uniformement sur I. Montrer

que limn→+∞ an = limn→+∞ bn = 0.

Exercice 17 - Theoreme de Fejer - L2/L3/Math Spe - ???Si f et g sont deux fonctions continues et 2π-periodiques, on definit leur produit de convo-

lution par

f ? g(x) = 12π

∫ π

−πf(x− t)g(t)dt.

Dans toute la suite, f designe une telle fonction continue 2π−periodique. Pour k ∈ Z, on noteek(x) = eikx. On note

Sn = e−n + e−(n−1) + · · ·+ e0 + · · ·+ en−1 + en, Cn = S0 + S1 + · · ·+ Snn+ 1 .

1. Montrer que f ? Sn est un polynome trigonometrique. Quel nom donne-t-on usuellementa f ? Sn ?

2. Montrer que si x /∈ R\2πZ, on a :

Cn(x) = 1n+ 1

(sin((n+ 1)x/2)sin(x/2)

)2.

3. Montrer que Cn ≥ 0, que 12π∫ π−π Cn(t)dt = 1, et que pour tout α ∈]0, π], Cn converge

uniformement vers 0 sur [−π, π]\[−α, α].4. Montrer que f ? Cn converge uniformement vers f sur R.

Ainsi, cet exercice prouve le theoreme de Fejer : toute fonction continue 2π−periodique estlimite uniforme sur R de polynomes trigonometriques. En outre, il donne une suite qui realisel’approximation uniforme - la suite des moyennes de Cesaro de la serie de Fourier de f .

Applications des series de Fourier

Exercice 18 - Inegalite entre f et sa derivee - L2/L3/Math Spe - ?Soit f : R→ R une fonction 2π-periodique de classe C1 et telle que∫ 2π

0f(t)dt = 0.

1. Rappeler le lien entre les coefficients de Fourier cn(f) et cn(f ′).2. En deduire que, pour tout t ∈ R, on a

|f(t)| ≤∑n∈Z∗

1|n||cn(f ′)|.

3. En deduire l’inegalite suivante :

‖f‖2∞ ≤π

6

∫ 2π

0

(f ′(t)

)2dt

(on rappelle que∑n≥1

1n2 = π2

6 ).



Exercice 19 - Inegalite de Wirtinger - L2/Math Spe - ??Soit f : R→ C une application 2π−periodique de classe C1 telle que

∫ 2π0 f(t)dt = 0. Montrer

que ∫ 2π

0|f(t)|2dt ≤

∫ 2π

0|f ′(t)|2dt,

et caracteriser l’egalite.

Exercice 20 - Lien entre f et sa derivee seconde - L2/Math Spe - ??Trouver toutes les fonctions f de classe C2 sur [0, 2π] verifiant

∫ 2π0 f(t)dt = 0 et |f ′′| ≤ |f |.

Exercice 21 - Fonctions 2π−periodiques et croissances des derivees - L2/Math Spe- ??

Trouver les fonctions f ∈ C∞(R,C) 2π−periodiques pour lesquelles il existe λ ∈ R∗+ etM ∈ R∗+ tels que :

∀n ∈ N, ∀x ∈ R,∣∣∣f (n)(x)

∣∣∣ ≤Mλn.

Exercice 22 - Inegalite de Bernstein - L2/Math Spe - ???

1. Soit S la fonction 2π−periodique definie par S(t) = t si −π/2 ≤ t ≤ π/2, et S(t) = π − tsi π/2 ≤ t ≤ 3π/2. Calculer ck(S) et en deduire que

∑k∈Z |ck(S)| = π

2 .

2. Soient λ1, . . . , λn des reels distincts tels que maxj |λj | ≤ π2 , a1, . . . , an ∈ C, et h(t) =∑n

j=1 ajeiλjt. Prouver que

‖h′‖∞ ≤π

2 ‖h‖∞.

3. En deduire le theoreme de Bernstein suivant : si P (t) =∑j=1 aje

iλjt, avec λj des reelsdistincts et maxj |λj | ≤ λ, alors

‖P ′‖∞ ≤ λ‖P‖∞.

Exercice 23 - Series de Fourier et equations differentielles - L2/L3/Math Spe - ??Le but de l’exercice est de determiner si l’equation differentielle (E)

y′′ + eity = 0

admet des solutions 2π-periodiques.

1. (a) Montrer que la serie trigonometrique∑n≥0

1(n!)2 e

int converge uniformement sur Rvers une fonction f 2π-periodique.

(b) Montrer que la fonction f est de classe C2 et qu’elle est solution de (E).2. Soit g : R→ C une solution 2π-periodique de classe C2 de (E). On designe par

∑n∈Z cn(g)eint

et∑n∈Z cn(g′′)eint les series de Fourier respectives de g et de g′′.

(a) Exprimer cn(g′′) en fonction de cn(g).(b) En utilisant que g est solution de (E), exprimer cn(g′′) en fonction de cn−1(g).(c) En deduire que l’ensemble des solutions 2π-periodiques de (E) est l’espace vectoriel

de dimension 1 engendre par la fonction f .



3. (E) possede-t-elle des solutions qui ne sont pas 2π-periodiques ?

Exercice 24 - Solutions periodiques d’une equation differentielle - L2/L3/Math Spe- ??

Soit f : R→ C 2π-periodique, derivable, telle qu’il existe λ ∈ R verifiant

∀t ∈ R, f ′(t) = f(t+ λ).

1. Demontrer que, pour tout n ∈ Z,

(in− einλ)cn(f) = 0.

2. En deduire pour quelle(s) valeur(s) de λ on peut effectivement trouver une telle fonctionnon identiquement nulle.

Exercice 25 - Equation de la chaleur - L3 - ???On considere une barre metallique de longueur L, qu’on represente par le segment [0, L]. La

temperature a l’instant t au point d’abscisse x est notee u(x, t). On pose Q =]0, L[×]0,+∞[.La fonction u est supposee continue sur Q, et de classe C∞ sur Q. Elle verifie en outre lesconditions suivantes :

∂u

∂t− ∂2u

∂x2 = 0, si (x, t) ∈ Q (1)

(equation de la chaleur)

u(x, 0) = h(x) si x ∈ [0, L] (2)

(condition initiale), ou h est une fonction de classe C1 sur [0, L] avec h(0) = h(L) = 0

u(0, t) = u(L, t) = 0 si t ∈ [0,+∞[. (3)

On va demontrer l’existence d’une solution a ce probleme.

1. Montrer que si la fonction u s’ecrit sous la forme u(x, t) = f(x)g(t) (ou f et g ne s’annulentpas sur Q) et si u est solution de (1), alors les fonctions f et g verifient chacune uneequation differentielle simple.

2. Resoudre ces equations differentielles en tenant compte de (3). En deduire qu’une fonction

qui s’ecrit u(x, t) =∑n≥1

an sin(nπ

L

)e

−n2π2L2 t (en admettant que la serie converge et qu’on

peut la deriver terme a terme) est une solution de (1) et de (3).3. Soit h la fonction deduite de h par imparite et 2L−periodicite. Developper h en serie de

Fourier. Quelle valeur donner aux an ?

4. Justifier que la fonction ainsi exhibee est bien solution du probleme.

Special L3/Master



Exercice 26 - Formule sommatoire de Poisson - L3/M1 - ???Soit F ∈ L1(R) ∩ C0(R). On note F sa transformee de Fourier. On suppose que F verifie

les deux conditions suivantes :

∃M > 0, ∃α > 1, ∀x ∈ R, |F (x)| ≤M(1 + |x|)α,∑n∈Z|F (n)| < +∞.

Le but de l’exercice est de demontrer la formule sommatoire de Poisson, a savoir l’identite∑n∈Z

F (n) =∑n∈Z

F (n).

1. Soit f la fonction definie sur R par f(x) =∞∑−∞

F (x + n). Verifier que ceci definit une

fonction continue sur R, 1-periodique.

2. Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de f .

3. Justifier que f est partout somme de sa serie de Fourier.

4. En deduire la formule sommatoire de Poisson.

Exercice 27 - Theoreme de Wiener-Levy - M1 - ???Si f ∈ L1(T), on note (f(n))n∈Z la suite de ses coefficients de Fourier. Soit A(T) l’ensemble

des elements de L1(T) tels que (f(n)) est un element de `1(Z),∑n∈Z |f(n)| < +∞. A(T) est un

espace de Banach pour la norme ‖f‖ =∑n∈Z |f(n)|.

1. Montrer que si f ∈ A(T), alorsf =

∑n∈Z

f(n)eint.

2. Montrer que si f et g sont elements de A(T), alors fg est element de A(T) et que

‖fg‖ ≤ ‖f‖‖g‖.

3. Soit f une fonction continue, 2π−periodique, et C1 par morceaux. Montrer que f ∈ A(T),et que l’on a

‖f‖ ≤ |f(0)|+ C

(∫ 2π

0|f ′(x)|2dx

)1/2

(C est une constante qui ne depend pas de f).

4. Montrer que les polynomes trigonometriques sont denses dans A(T).5. Soit f une fonction continue 2π−periodique telle que, pour tout x ∈ [0, 2π], il existe un

voisinage Vxde x et une fonction gx ∈ A(T) telle que gx(y) = f(y) pour tout y ∈ Vx.Montrer que f appartient a A(T) (on pourra utiliser une partition de l’unite associee aun recouvrement bien choisi de [0, 2π]).

6. Pour tout entier k ≥ 1, on considere la fonction 2π−periodique ∆k telle que ∆k(x) =max(1− k|x|, 0) pour |x| ≤ π.



(a) Calculer les coefficients de Fourier de ∆k ; en deduire que ∆k ∈ A(T) et supk≥1 ‖∆k‖ <+∞ - on pourra etablir que

∑n∈Z|∆k(n)| ≤ 1

2π + 2π

k k∑n=1

12k2 + 2k

+∞∑n=k+1

1n2

(b) On pose Vk = 2∆k − ∆2k, et soit f ∈ A(T) telle que f(0) = 0. Montrer que, dans

A(T), la suite (Vk(f))k≥1 converge vers 0. On pourra commencer par le cas ou f estde classe C∞ et utiliser le resultat de la question 3.

7. Soit f ∈ A(T) telle que f(0) = 0, et soit F une fonction analytique au voisinage de 0.On pose F (z) =

∑+∞n=0 cnz

n. Montrer que, pour k assez grand, la serie∑+∞n=0 ck(Vkf)n

converge dans A(T). En deduire que F ◦ f coıncide, au voisinage de 0, avec une fonctionappartenant a A(T).

8. Deduire des resultats precedents le theoreme de Wiener-Levy (1934) : si f est un elementde A(T) et si F est une fonction analytique au voisinage de f(T), alors F ◦ f ∈ A(T).

Exercice 28 - Une serie trigonometrique qui n’est pas une serie de Fourier... - M1- ???

1. Soit f une fonction continue 2π−periodique telle que cn(f) ≥ 0 pour tout n ∈ Z. Justifierque

∑n∈Z cn(f) < +∞ - on pourra ecrire

∑n∈Z

cn =∑n∈Z

lim infN→+∞

(1− |n|

N

)+cn,

et utiliser le theoreme de F....

2. Soit∑n≥2

1lnn sin(nt). Justifier que cette serie trigonometrique converge pour tout t ∈ R.

3. Soit∑+∞

1 an sin(nt) une serie trigonometrique, ou an ≥ 0 pour tout n ≥ 1. On supposeque cette serie est la serie de Fourier de f ∈ L1(T), c’est-a-dire que c0(f) = 0, cn(f) = an

2isi n ≥ 1 et c−n(f) = −an

2i si n ≥ 1. Soit F =∫ t

0 f(u)du. Calculer cn(F ), et en deduire que∑+∞1

ann < +∞.

4. Montrer que la serie trigonometrique (partout convergente)∑n≥2

1lnn sin(nt) n’est pas une

serie de Fourier.

Exercice 29 - Divergence de la serie de Fourier d’une fonction continue - M1 - ???On noteDn le noyau de Dirichlet, et Tn l’application lineaire qui a f ∈ C(T) associe Sn(f)(0).

1. Montrer que ‖Tn‖L(C(T)) = ‖Dn‖1.

2. Montrer que ‖Dn‖1 → +∞.

3. En utilisant le theoreme de Banach-Steinhaus, en deduire l’existence d’une fonction conti-nue dont la serie de Fourier diverge en 0.


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