série emprunt indivis

Les Emprunts Indivis

Ralis par Raoul ADDA Page 45

Chapitre 4 : Les emprunts Indivis

I- Gnralits

1. Dfinition

Un emprunt indivis est un emprunt contract auprs dune seule personne

(physique ou morale). Il tablit ainsi une relation bilatrale entre un seul prteur

et un seul emprunteur. Un emprunt indivis est caractris par trois lments

savoir : le capital emprunt, la dure de remboursement et le taux qui servira

calculer les intrts.

Dans le systme classique lemprunteur rembourse priodiquement son

crancier une fraction du capital emprunt (amortissement) augment des

intrts calculs sur le capital restant d. Ainsi lannuit de remboursement est

lensemble de lamortissement et des intrts. (a = A+ I)

2. Systme dAmortissement

a) Les Donnes

Vo : Capital emprunt

n : La dure de remboursement ou le nombre dannuit i : Le taux dintrt pour 1franc Ak : Amortissement de la priode k

Ik : Intrt de la priode k

ak : Annuit de la priode k

Vk 1 :Capital restant d en dbut de la priode k

b) Tableau damortissement

Priode

Dette de

dbut de

priode

Intrts Amortissement Annuit Dette de Fin de

Priode

1

2

3

k

k + 1

n

Vo

V1

V2

Vk 1

Vk

Vn 1

I1 = iVoI2

= iV1

I3 = iV2

Ik = iVk 1

Ik +1= i Vk

In = i Vn 1

A1

A2

A3

Ak

Ak+1

An

a1 = A1 + I1

a2 = A2 + I2

a3 = A3 + I3

ak = Ak + Ik

ak+1=Ak+1+ Ik +1

an = An + In

V1 = Vo A1 V2 = V1 A2 V3 = V2 A3

Vk = Vk 1 - Ak

V k+1= Vk Ak+1

Vn = Vn-1 - An



c) Relations importantes

Vk 1 = Vk 2 Ak- 1 ; Vk = Vk 1 - Ak ; Vn-1 - An = 0 soit Vn-1 = An

II- LES FORMULES DE REMBOURSEMENT

A- Remboursement par annuits constantes

Dans cette partie du cour limportant est de savoir que lorsque les annuits sont

constantes les amortissements successifs sont en progression gomtrique de

raison (1+i). Ceci dit nous pouvons en dduire quelque formule partir du

tableau damortissement ci-dessus :

1. Formule trs importante retenir

a1 = a2 = a3 = a4 = ----------------- = an = a

A2 = A1 (1+i) 2-1

V0 = A1 ou soit V0 = a1

An = A1 (1+i) n-1 or an = An + In or In = i Vn-1 soit In = i An donc on a

an = An + I An an = An(1+i) An = an (1+i)-1 remplaant cette formule

dans la formule de dpart. Donc on a:

an(1+i)-1 = A1 (1+i) n-1 soit a = A1 (1+i) n

2. Exercices corrigs

(1+i) n - 1

i

1 (1+i)-n

i

Exercice1 :

Du tableau damortissement dun emprunt remboursable par annuit constante, on tire

les informations suivantes

7me amortissement : 729 205,7983

11me amortissement : 1 275 385,499

Dernier amortissement : 2 230 657,208 Suite la page suivante



Dterminer :

1. Le taux dintrt

2. Lannuit constante

3. Le 1er amortissement

4. Le montant de la dette

5. La dure de remboursement

6. Le capital rembours aprs paiement de la 8me annuit

7. Le capital restant d aprs paiement de la 13me annuit.

8. Prsenter la premire et les deux dernires lignes du tableau damortissement

Rsultat1 :

Dterminons :

En utilisant les informations donnes dans lnonc nous pouvons facilement

rpondre toutes les questions poses.

1. Le taux dintrt

A11 = A7 (1+i) 11-7 = 4 soit (1+i) 4 = soit i =

- 1

i = ,

,

- 1 i = 0,15 soit t = 15 %

2. Lannuit constante :

a = An (1+i) soit a = 2 230 657,208 (1,15) soit a = 2 565 255,789 frs

3. Le 1er amortissement

A1 = A7 (1+i) 1-7= -6 soit A1 = 729 205,7983 (1,15)-6 soit A1 = 315 255,7897 frs

4. Le montant de la dette

a1 = A1 + I1 avec I1 = iV0 donc a1 = A1 + iV0 soit V0 = soit

V0 = 2 565 255,789315 255,7897

0,15 soit

V0 = 15 000 000 frs

A11

A7

a1 A1

i

Suite la page suivante



5. La dure de remboursement (n)

V0 = A1 soit (1+i) n = + 1 soit (1,15) n = + 1

soit

(1,15) n = 8,137062 soit n = (,)

(,) soit n = 15 ans

6. Le capital rembours aprs paiement de la 8me annuit (V8)

V8 = A1 (+)

soit V8 = 315 255,7897

(,)

, soit V8 = 4 327 459,190 frs

7. Le capital restant d aprs paiement de la 13me annuit (V13)

Pour calculer V13 on a au moins deux possibilits :

1re Possibilit : si la 13me annuit a t paye cela suppose quil reste deux annuits

savoir a14 et a15 puisque n = 15. Ceci nous permet dcrire la formule suivante :

V13 = a soit V13 = 2 565 255,789 soit

V13 = 4 170 359,128 frs

2me Possibilit : si la 13me annuit a t paye cela suppose quil lui reste payer la

valeur de la dette les 13 premiers Amortissement. Ceci nous permet dcrire la formule

suivante :

V13 = V0 A1 (+)

soit V13 = 15 000 000 315 255,7897

(,)

,

V13 = 4 170 359,128 frs

8. Prsenter la premire et les deux dernires lignes du tableau damortissement.

Priode Dette Dbut

Priode

Intrt Amortissement Annuit Dette Fin Priode

1

14

15

15 000 000

4 170 359,128

2 230 657,208

2 250 000

625 553,8692

334 598,5811

315 255,7897

1 939 701,920

2 230 657,208

2 565 255,789

2 565 255,789

2 565 255,789

14 684 744,21

2 230 657,208

0

(1+i) n - 1

i

0,15 x 15 000 000

315 255,7897

iV0

A1

1 (1 i) -2

i

1 (1,15) -2

0,15



Exercice 2 :

Un emprunt indivis de valeur nominale V0, contract intrts composs au taux

annuel i pour 1F, doit tre rembours en 20 ans par des annualits constantes, la premire

devant tre verse un an plus tard. Chaque annuit contient un intrt et un

amortissement.

On dsigne par I1, I2, I3, .. I20 les intrts successifs et par A1, A2, A3, .. A20 les

amortissements respectifs.

1. Montrer que = (1+i)3

2. On donne :

I7 = I12 + 722 161,090 F

A15 = A10 + 1 014 584,334

Calculer

a) Le taux dvaluation i .

b) Le premier amortissement A1 .

c) La valeur V0 de lemprunt (arrondie au millier de francs le plus proche).

3. Construire les lignes n7 et n15 du tableau damortissement de lemprunt.

Rsultat 2 :

1. Montrons que = (1+i) 3

a7 = A7 + I7 soit I7 = a7 A7 (1)

a12 = A12 + I12 soit I12 = a12 A12 (2)

(1) (2) soit I7 I12 = (a7 A7) - (a12 A12) (3)

Puisque les annuits sont constantes on a : a7 = a12 = a

Donc (3) devient I7 I12 = a A7 a + A12 soit I7 I12 = A12 A7 (4)

Les annuits tant constante alors les amortissements sont en progressions

gomtrique de raison (1+i). Alors on a (4) : I7 I12 = A7 (1+i)5 A7 soit

I7 I12 = A7 [ (1+i)5 1 ] (5)

A15 A10 = A7(1+i)8 A7(1+i)3 soit A15 A10 = A7 (1+i)3 [ (1+i)5 1 ] (6)

= = = en simplifiant on a = (1+i)3

A15 A10

I7 I12

A15 A10

I7 I12

A7 (1+i) 3 [(1+i) 5 1]

A7 [(1+i) 5 1]

(6)

(5)

A15 A10

I7 I12

A15 A10

I7 I12



NB : Dans cette premire partie, limportant est de matriser le tableau

damortissement. Grace ce tableau vous pouvez crire toutes formules possible

pouvant vous aider rpondre aux diffrentes questions.

2. Calculons

a) Le taux dvaluation i

On a

I7 = I12 + 722 161,090 F soit I7 I12 = 722 161,090

A15 = A10 + 1 014 584,334 soit A15 A10 = 1 014 584,334

= = (1+i)3 soit (1+i)3 = 1,404928 soit i = ,

1

Alors i = 0,12 soit t = 12%

b) Le premier amortissement A1

A15 = A10 + 1 014 584,334 soit A15 A10 = 1 014 584,334 soit

A1 [(1+i) 14 (1+i) 9] = 1 014 584,334 soit A1 = =

Donc on a A1 = 479 928,1062

c) La valeur V0 de lemprunt (arrondie au millier de francs le plus proche).

V0 = A1 avec n = 20 , i = 0,12 donc V0 = 479 928,1062

Donc V0 = 34 579 999,97 soit V0 = 34 580 000 F

3. Construire les lignes n7 et n15 du tableau damortissement de lemprunt.

Priode Dette dbut

Priode Intrt Amortissement Annuit

Dette Fin

Priode

7

15

30 685 291,82

19 033 876,21

3 682 235,019

2 284 065,146

947 293,1949

2 345 463,068

4 629 528,214

4 629 528,214

29 737 998,63

16 688 413,15

A7 = A1 (1+i) 6 soit A7 = 947 293,1949

A15 = A1 (1+i) 14 soit A15 = 2 345 463,068

V0 = a n = 20 et i = 0,12 soit V0 = 7,469 444 a soit a = 4 629 528,214

A15 A10

I7 I12

1 014 584,334

722 161,09

0

1 014 584,334

[(1+i) 14 (1+i) 9]

1 014 584,334

2,114034

(1+i) n 1

i

(1,12) 20 + 1

0,12

1 (1+i) -n

i



B- Remboursement par amortissement constant

Dans cette deuxime partie du cour limportant est de savoir que lorsque les

amortissements sont constants, les annuits successives sont en progression

arithmtique de raison r = - i 0

. Avec premier terme a1 = 0

+ i0 Ceci dit nous

pouvons en dduire quelque formule partir du tableau damortissement ci-

dessus :

1. Formule trs importante retenir

A1 = A2 = A3 = A4 = --------------- = An = A

V0 = A1 + A2 + A3 + A4 + ------------------ + An soit V0 = nA soit A =

Vn 1 An = 0 soit Vn1 = An donc on a : an = An + iVn1 , an = An + iAn or

An = A soit an = A(1+i) soit A = an (1+i)1

ak+1 ak = Ak+1 + iVk Ak iVk1 or Ak+1= Ak = A , Vk Vk 1 = Ak donc

on a : ak+1 ak = + i (Vk Vk 1) soit ak+1 ak = iA o ak+1 ak = i

2. Exercices corrigs

Exercice1: Une dette de 900 000 frs est contracte au taux de 10% pour tre rembours en

8 ans par des amortissements constant.

Prsenter les deux lignes extrmes (la premire et la dernire ligne) du tableau

damortissement.

Resultat1 : Prsentons les deux lignes extrmes (la premire et la dernire ligne) du

tableau damortissement.

Priode Dette Dbut

Priode Intrt Amortissement Annuit

Dette Dbut

Priode

1

8

900 000

112 500

90 000

11 250

112 500

112 500

202 500

123 750

697 500

0



NB: Dans cette partie aussi limportant est de matriser le tableau

damortissement. Chaque ligne du tableau damortissement est importante. Et de

plus cette partie semble tre plus facile que la prcdente.

Exercice 2 : Pour un emprunt remboursable par des amortissements constants, on a les

informations suivantes : I1 = 21 000 frs ; I2= 18 000 frs ; an = 78 000 frs

Calculer :

1. Le taux.

2. Le nombre dannuits.

3. Le capital emprunt.

Rsultat 2 :

Nous devons rappeler que les amortissements sont constants

Calculons :

1. Le taux i

I1 = iV0 et I2 = iV1 avec V1 = V0 A1 Alors on a I1 I2 = iV0 i(V0 A1)

soit I1 I2 = iA1 (1)avec A1 = A

an = An +iVn1 avec Vn1 = An = A soit an = A(1+i) Alors A = an(1+i)1 (2)

remplaons (2) dans (1) soit I1 I2 = i an(1+i)1 alors i(1+i) =

=

alors i(1+i)1 = 0,038462 soit

(+) = 0,038462

0,038462 + 0,038462i = i alors i = ,

, = 0,04 soit t = 4%

2. Le nombre dannuit n

I1 I2 = iA1 alors A =

= 75 000 frs

V0 = nA or I1 = iV0 Alors n =

alors n =

21 000

0,0475 000 soit n = 7 ans

3. Le capital emprunt. V0

V0 = nA soit V0 = 7 Alors V0 = 525 000 frs



C- Remboursement en Bloc

Lemprunteur peut sengager rembourser la totalit de la dette une seule fois

la fin de la dernire priode. Trois cas peuvent tre envisags :

1er Cas : Lemprunteur dcide ici de payer la totalit des intrts la fin de la

dernire priode. La valeur de son remboursement S est :

S = ( + )

2me Cas : Pour viter la capitalisation des intrts, lemprunteur peut dcider de

payer priodiquement les intrts de la dette.

iV0 iV0 iV0 iV0+V0 = an

0 1 2 n-1 n

a1 = a2 = ------------------- = an-1 = iV0

an = V0(1+i)

3me Cas (Systme Amricain) : Dans ce cas, lemprunteur dcide de payer en

une seule fois la dette V0 lpoque n et de verser chaque fin de priode

lintrt iV0. Pour tenir son engagement la priode n, le dbiteur sengage de

verser priodiquement dans une autre institution financire de fond

damortissement ( ) rmunr au taux i (taux dpargne)

avec i< i.

iV0 iV0 iV0 iV0

0 1 2 n-1 n

o Fonds damortissement a

V0 = a (+)

soit a =

(+)

o Charge priodique C

C = iV0 + a

o Taux effectif

V0 = C (+)

a a a a



Exercice : Une dette de 10 000 000 est contracte au taux de 9% pour tre rembourse

une seule fois la fin de la 10me anne. Le dbiteur verse paralllement dans une autre

banque des sommes constantes la fin de chaque anne pour pourvoir constitu le

capital emprunt. Le taux utilis par la banque pour lui calculer ses intrts est de 7%.

Calculer :

1. La charge annuelle de lemprunt

2. Le taux effectif

3. En ralit cette dette devrait tre rembourse par des annualits constantes mais

pour tenir compte de lvolution de linflation, le crancier dcide de pratiquer des

taux variant de la manire suivante

11,5% pour les trois premires annes

12% pour les quatre annes suivantes

10,5% pour les trois dernires annes.

Dterminer dans ces conditions la valeur commune des annuits de

remboursement.

Rsultat : Calculons

1. La charge annuelle de lemprunt

C = iV0 + a soit C = 0,0910 000 000 + ,

(,)

C = 1 623 775,027 frs

2. Le taux effectif

V0 = C (+)

soit

(+)

=

=

, = 6,158 489

Daprs la TF4 on a :

6,144 567 6,158 489 6,211116

10 te 9,75

6,158 489 6,144 567

6,211116 6,144 567 =

te10

9,7510 soit te = - 0,20919990,25 + 10 donc te = 9,947%

3. Dterminer la valeur commune des annuits de remboursement. a

10 000 000 = a 1 (1,115)3

,115 + a

1 (1,12)4

0,12(1,115)3 + a

1 (1,105)3

0,105(1,12)4(1,115)3

Soit a = 1 740 970,009 frs

série emprunt indivis

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