RAPPEL DE QUELQUES NOTIONS ESSENTIELLES DE MATHEMATIQUES

Chapitre IV

Le March Obligataire

I-Prsentation gnrale

Il sagit dun march sur lequel smettent (march primaire) puis se ngocient (march secondaire) des titres long terme, appels obligations (bonds en anglais). Les obligations sont des titres ngociables qui matrialisent une part dun emprunt de la socit mettrice. Une obligation est donc un titre de crance et donne lieu des paiements dintrts(ou coupons) et, quand elle est appele remboursement, un remboursement du principal.

Les obligations peuvent tre mises par lEtat, des socits par actions et par dautres

personnes morales telles que des collectivits publiques, tablissements publics, des

associations, des mutuelles, II- gnralits et dfinitionsdes obligations:

A-Caractristiques

La valeur nominale : cest le montant de la valeur emprunte. Elle sert de base au calcul des intrts.

Le prix dmission : cest le prix auquel lobligation est mise. Si ce prix est gal la valeur nominale, on dit que lobligation est mise au pair. Cependant, pour inciter les pargnants souscrire lemprunt, le prix dmission peut tre infrieur la valeur nominale de lobligation. Par ailleurs, de la mme manire, si le prix de remboursement de lobligation est suprieur la valeur nominale, on parle de prime de remboursement,.

La dure : cest la priode de vie de lobligation.

Le taux : cest dire les intrts perus. Ils peuvent tre fixes ou variables.

Lamortissement : le remboursement de lemprunt, il se fait :

soit in-fine : remboursement la fin de la priode, seul lintrt est

pay annuellement ;

soit annuellement : chaque anne un certain nombre dobligations sont tires au sort et rembourses aux porteurs.Les obligations sont ngociables. Linvestisseur, outre la valeur du cours de lobligation,devra orienter son choix en fonction du niveau du taux dintrt.

Exemple :

Soit une obligation B dont la valeur nominale est de 1500 dinars et le taux dintrt de 10%.Chaque souscripteur recevra comme intrts annuels :

1500 * 10% = 165 dinarsSi les taux dintrts augmentent jusqu' atteindre 13%, cela signifie quune obligation C de mme valeur nominale rapporterait au souscripteur :

1500 * 13% = 195 dinars dintrts par an

Lobligation B rapportant moins dintrts, cest dire quelle offre un rendement plus faible que C, son cours va diminuer par excs doffre (les possesseurs de titres B veulent les revendre pour investir dans des titres C).

Le montant des intrts verss ne pouvant pas varier, cest le cours du titre B (son prix

dchange) qui va fluctuer : le calcul du cours de B offrant un rendement similaire celui de C sera : 165 / 13% = 1269 dinars.

En rgle gnrale, la valeur dune obligation varie de manire contraire la variation du taux dintrt. Quand le taux dintrt du march augmente, la valeur du cours de lobligation diminue, et inversement.

Cependant, les conditions dmission tant trs diffrentes dun emprunt obligataire

lautre, les souscripteurs potentiels ont besoin de pouvoir tablir des comparaisons

entre plusieurs titres. Il va tre alors particulirement intressant de calculer des taux

de rendement. Pour ce faire on dfinit le Taux de rendement actuariel brut.

Dfinition : A une date donne, le taux de rendement actuariel brut dun emprunt est le taux pour lequel il y a quivalence entre la valeur cote de lemprunt cette date et lensemble des annuits qui restent verser.En dautres termes la valeur dune obligation note V est gale la valeur prsente (VP) de ses flux futurs F actualiss au taux dinteret i en vigueur sur le march:

V = VP (F, i ) = F1___ + F2___ + F3___ +.. + FT___ 1 +i (1 +i )2 (1 +i )3 (1 +i )TLe taux i sappelle le taux de rendement actuariel ( ou taux actuarial). Il varie en fonction du prix de lobligation.Exemple : Une obligation a une valeur nominale de 1000 dinars, son chance est 5

ans, et lintrt quelle rapporte est de 6% par an.

Si le cours de cette obligation est alors de 950 dinars, son taux de rendement actuariel

brut r est gal :

950 = (70/(1+r)) + (70/(1+r)2) + (70/(1+r)3) + (70/(1+r)4) + ((1000+70)/(1+r)5)

Les tables dactualisation financire ou une calculatrice financire permettent de

connatre rapidement le rsultat : r= 7,26%Lors dune mission, le taux de rendement actuariel brut est indiqu sil est diffrent

du taux facial. En effet, il peut exister une diffrence entre le prix dmission ou de

remboursement de lobligation et sa valeur nominale.

B-Les risques spcifiques aux obligations.

Ces risques sont de natures diffrentes :

risques de cessation de paiement de lentreprise

risque de dprciation due linflation. En effet, lchance lemprunteur

rembourse la somme emprunte, mais en cas dinflation consquente cela se

traduit par une baisse de pouvoir dachat de lobligataire.

risque de perte dune partie du capital. En fait si les taux dintrts augmentent, la valeur dune obligation diminue, donc linvestisseur qui souhaite vendre avant lchance une obligation dont le taux dintrt est infrieur ceux du march va subir une perte de capital.

Nous allons plus particulirement nous intresser ici au risque li aux variations des taux dintrts.

La sensibilit.

Dfinition : La sensibilit dune obligation est la variation de la valeur de cette

obligation provoque par la variation de 1 point (de 8 9 par exemple ) gal 100 points de base, au niveau du taux dintrt. Cette variation est exprime en pourcentage.Autrement dit limpact dune variation du taux dintrt sur la valeur dune obligation est mesure par sa sensibilit S dfinie par:

dV

V

S= - _______________

di

Intrt de la notion de sensibilit :

La sensibilit est un paramtre trs important pour la gestion dun portefeuille dobligation. En effet, si le gestionnaire anticipe une baisse des taux dintrts, il recherchera des obligations forte sensibilit de manire profiter pleinement de la hausse des cours... et inversement sil anticipe une baisse des taux dintrt.

Les dterminants de la sensibilit.

La sensibilit dpend :

du taux d intrt : lexamen de la courbe dvolution de la valeur

dune obligation quand varient les taux dintrt montre que plus le taux dintrt est faible, plus la sensibilit est grande.

de la duration : la duration est une mesure de la dure de vie des obligations non encore rembourses la date considre.

Dfinition : la duration D est la moyenne pondre des dates dchance de diverses

annuits. Chaque date est pondre par la valeur actuelle de lannuit correspondante.

Il sagit donc de la dure au bout de laquelle le taux de rendement actuariel lchance correspond au taux de rendement calcul lachat.

Si les taux du march nvoluent pas, la duration est gale la dure de vie de lemprunt. La duration permet de comparer des emprunts mis des conditions diffrentes.La duration D est dfinie par:

T

D= 1__ . t. Ft V i=1 (1+i)t La relation entre la sensibilit S et la duration D est donne par :

S = - D/(1+i)(avec i = taux dintrt du march)

On peut ainsi dire que la sensibilit est directement proportionnelle la duration. Lasensibilit dun emprunt diminue au fur et mesure que lon se rapproche de son chance. Il sagit l doutils trs utiliss par les gestionnaires de portefeuilles dobligations devant arbitrer entre une multitude de placements.

Exemple :

Considrons un emprunt obligataire ayant les caractristiques suivantes :

Nominal des obligations : 1000

Prix de remboursement : 1010

Taux dintrt nominal : 7%

Remboursement par amortissement constant.

Plaons-nous, exactement , 3 ans avant sa date dchance. A cette date, le tableau

damortissement relatif aux trois dernires annes se prsente ainsi :AnnesNombre dobligations vivantes au dbut de lanneIntrts ( coupons)Nombre dobligations amortiramortissementsannuits

n-21208400404040048800

n-1805600404040046000

n402800404040043200

Si sur le march, les taux dintrts pour les emprunts 3 ans, sont de 8%, la valeur

thorique C de lobligation sera donne par la relation :

120*C = 48800*(1+0,08)-1 + 46000*(1+0,08)-2 + 43200*(1+0,08)-3Do C = 990,97 euros

Si, 3 ans avant lchance, lobligation de lemprunt cte 1000 euros. Le taux actuariel brut r correspondant sera de :

120 * 1000 = 48800 * (1+r)-1 + 46000 * (1+r)-2 + 43200 * (1+r)-3Do r = 7,49%

Calcul de la sensibilit :

C = 48800 * (1+i)-1 + 46000 * (1+i)-2 + 43200 * (1+i)-3(on rappelle que la drive de y=Un est y=n*Un-1*U)

C= -48800 * (1+i)-2 -2 * 46000 * (1+i)-3 -3 * 43200 * (1+i)-4

pour i = 8%, on a C = 118 916,32 et C = - 210 130,57

do S = C / C = -210 130,57 / 118 916, 32 = -1,77

Interprtation :

Si les taux dintrts passent de 8 9%, la valeur de lobligation

diminue de 1,77%

Si les taux dintrts passent de 8 7%, la valeur de lobligation

augmente de 1,77% Calcul de la duration.

S = -D/(1+i)

do D = - S * (1+i) = - (-1,77 * (1+0,08)) = 1,91

soit 1 an et 11 moisC- Les principaux types dobligations

Les obligations taux fixes.

Le montant de lintrt est connu ds le jour de lmission. Que les taux dintrts augmentent ou diminuent, le taux dintrt de lobligation reste inchang. Cela est avantageux quand les taux dintrts du march diminue, par contre cela est dommageable quand ils augmentent.

Les obligations taux variables.

Leur taux dintrt varient suivant lvolution gnrale des taux dintrt.

De nombreux taux de rfrences sont utiliss :

taux moyen mensuel du march montaire (T4M)

taux de rendement moyen des obligations taux fixes (TMO)

taux de rendement moyen des emprunts dEtat et assimils (TME)

Les obligations indexes.

Leurs taux sont indexs sur un indice, les cours dune matire premire, un chiffre

daffaires,...

Les obligations coupons zro.

Lintrt est distribu lchance de lemprunt. III) La lecture de la cote

Les journaux financiers publient quotidiennement la cote officielle qui donne des

informations dtailles sur les titres financiers.

La cote des obligationsCours

veille

Valeurs

Cours

du

jourTaux

actuariel

Vie

moyenne

en annes

Sensibilit

Coupon

couru

Date du

prochain

coupon

122,55CA 7,5% 00/2015 CB122,514,9411,77,9822,44526/06/08

Les obligations sont cots en pourcentage de la valeur nominale ainsi 122,55 signifie que le cours se situe 22,55% en dessus de la valeur nominale. La cotation se fait au pied du coupon, cest dire que le titre est cot aprs dduction de lintrt couru. La cotation au pied de coupon permet de comparer diffrentes obligations dont le coupon se dtache des dates diffrentes.

Dans le tableau de cotation sont indiqus successivement :

- le cours prcdent de lobligation ;

- le nom de la valeur, le taux dintrt fixe ou variable, dates dmission et de fin de vie,

la catgorie de cotation ;

- le cours du jour ;

- le taux actuariel ;

- la dure de vie moyenne en annes. Cette dure reprsente la dure moyenne de

lemprunt pour un investisseur qui conserverait ses titres en subissant les

remboursements prvus par le tableau damortissement de lemprunt ;

- La sensibilit : variation du titre attendue si le taux dintrt du march varie dun

point ;

- Le coupon couru en pourcentage. Le coupon couru est calcul en tenant compte du

taux dintrt et du nombre de jour courus depuis le versement du dernier coupon.

Dans notre exemple le taux est de 7,5 %, 119 jours se sont couls depuis le dernier

coupon vers, le coupon couru sera calcul ainsi : 7,5% * (119j / 365j) = 2,445 %.

- La date du prochain couponIV-Les emprunts obligataires

Les emprunts obligataires sont des emprunts qui se distinguent par lexistence dun grand nombre de prteurs et ce contrairement aux emprunts indivis qui se caractrisent par la prsence dun seul.

En effet, quand le montant est faible, on peut sadresser un seul individu pour lui demander le montant sollicit mais quand celui ci est lev, il est difficile de le trouver auprs dun seul prteur.

Dans ce cas, on sadresse plusieurs prteurs et le montant total emprunt est divis en fractions gales appeles obligations matrialises par des titres en papier portant chacun un numro didentification .

Ainsi, pour constituer un capital de nominal C, une entreprise qui emprunte, met N obligations gales dun montant V ( C = V.N) et nimporte quelle personne ( physique ou morale) peut acheter le nombre quelle veut dobligationsLacte dachat constitue ce quon appelle la souscription et le souscripteur est la personne qui achte une ou plusieurs obligations

Quant au remboursement , il se fait par le rachat des obligations mises. Lentreprise mettrice, la fin de chaque priode, dtermine le nombre dobligations rembourser et les rachte auprs des divers porteurs. Le rachat constitue ce quon appelle lamortissement de lemprunt

Par ailleurs, les obligations qui sont appels parfois des titres demprunt se caractrisent par les trois valeurs ci aprs:

- valeur nominale: ( ou valeur faciale): V n qui constitue la valeur imprime sur la face de lobligation . Cette valeur est unique pour toutes les obligations mises ( 10 D, 100 D,.) et sert de base pour le calcul des intrts.

- valeur dmission ou valeur de souscription: Ve qui reprsente la somme effectivement prte par lobligataire cest dire paye par lui. Cette valeur peut tre : gale la valeur nominale ( Ve= Vn) et dans ce cas lmission serait dite au pair

infrieure la valeur nominale ( V e Vn ) et dans ce cas lmission serait dite au dessus du pair - valeur de remboursement: V r qui reprsente la somme que versera lentreprise en contre partie de chaque obligation rcupre, cest dire la valeur de rachat de lobligation en question. Dans le cas o la valeur rembourse est gale la valeur nominale ( V r = V n) , on dit que le remboursement est effectu au pair. Par contre, si elle est suprieure la valeur nominale on dit quelle est au dessus du pair.

Le remboursement se fait gnralement par tirage au sort ou par rachat en bourse des obligations rembourser selon les trois faons suivantes:

remboursement par amortissement in fine qui consiste rembourser toutes les obligations en bloc la fin de lemprunt et payer uniquement les coupons matrialisant les intrts sur les obligations chaque priode pendant toute la dure de lemprunt.

remboursement par annuits constantes qui consiste verser chaque priode une somme constante compose des coupons des obligations encore vivantes et du remboursement dun certain nombre dobligations tires au sort.

remboursement par amortissement constant qui consiste rembourser chaque priode un nombre constant dobligations, par tirage au sort et payer les coupons sur les obligations encore vivantes en dbut de priode.

Les deux modalits les plus utilises sont celles relatives aux remboursements par amortissement in fine et par annuits constantes. Mais par souci de simplification on va se limiter , dans ce chapitre, ltude de la modalit de remboursement par annuits constantes uniquement et on va supposer que les valeurs nominale Vn , dmission Ve et de remboursement Vr sont gales (Vn = Ve = Vr ) .

II- Remboursement dun emprunt obligataire par annuits constantes:

1 ) tableau damortissement type

Si on dsigne par:

N : le nombre dobligations mises i : le taux dintrt des obligations V: la Valeur nominale de chacune des obligations a: le Montant de lannuit constante n: le nombre de priodes de remboursement C ou D0: la Dette initiale vis vis de lensemble des porteurs dobligations

m p : l Amortissement de la priode p

NP : le Nombre dobligations rembourses la fin de la priode p

N p-1: le Nombre dobligations en circulation ( vivantes) au dbut de la priode p

Le tableau damortissement serait:

PriodeDette en dbut

de priode

D Nombre obligations vivantes en dbut de priode

nNombre entier obligations amorties

NAmortis

sement de la priode

m Coupons (intrts) de la priode

IAnnuits

a

1

2

.

.

p

.

.

nC ou D0

D1= D0 m1

Dp = Dp-2 mp-1

Dn-1= Dn-2 mn-1n0

n1

np-1

nn-1N1

N2

Np

Nnm1

m2

mpmnI1 = D0 . i

I2 = D1. i

Ip = Dp-1 . i

In = Dn-1 . ia1 = I1 + m1

a2 = I2 + m2ap = Ip + mp

an = In + mn

La faon de construire ce tableau damortissement est la mme que celle des emprunts indivis avec la seule particularit que pour les emprunts obligataires le tableau comporte deux colonnes supplmentaires qui sont rserves respectivement au nombre dobligations en circulation en dbut de priode et au nombre dobligations amortir. Par ailleurs, le nombre dobligations amorties chaque priode est un nombre entier en raison du fait quon ne peut pas rembourser des fractions dobligations ou des fractions de coupons. Les diffrents amortissements sont ainsi arrondis lunit suprieure ou infrieure mais en tenant compte que le total gnral des obligations est gal la fin de la dure de remboursement au nombre dobligations mises.

Pour chaque ligne on a :

La dette au dbut de la priode ou le capital restant d D = la dette se trouvant dans la ligne prcdente lamortissement m.

Cette dette est aussi gale aunombre dobligations encore vivantes n multipli par la valeur de remboursement Vr

A la premire ligne, la dette restante D0 est gale au capital entier C.

le nombre dobligations vivantes est gal

au nombre total d obligations mises le nombre total d obligations amorties

lamortissement m est gal au nombre dobligations N amortir la fin de la priode multipli par la valeur de remboursement Vr

les coupons ( ou intrts) de la priode sont gaux la dette en dbut de priode multipli par le taux dintrt unitaire i

Lannuit a = lamortissement m + les coupons I Par ailleurs la somme des amortissements m est gale au capital emprunt C ou D0 cest dire que m1 + m2 + m3 ++mp + .+mn = C = D0

En outre , le dernier amortissement m n est gal la dette du dbut de la priode n cest dire Dn-1 du fait qu aprs paiement du dernier amortissement mn la dette sannule

Dn-1 = mn

En plus, tant donn que an = In + mn et In = m n . i alors an = mn.i + mn cest dire que an = mn ( 1 + i )

2) formules fondamentales:

a) formule de lannuit:

dans le cas dannuits constantes , l annuit note a est gale :

a = C. i_____ avec C : le capital initial 1 ( 1+i )-n i : lintrt unitaire

n : le nombre de priodes Or, dans ce chapitre on a: C = V.N

Donc en remplaant C par sa valeur on aura:

a = V . N. i__ avec i qui peut tre dtermin partir

1 ( 1+i )-n 1 ( 1+i )-nde la table financire 5

b) formule des amortissements :

En procdant de la mme faon quau niveau des emprunts indivis, on aboutit aux rsultats suivants:

Les amortissements sont en progression gomtrique de raison (1+i)

lamortissement de rang p soit mp est gal : mp = m1 ( 1 +i )p 1 ( selon ce qui a t vu au niveau du chapitre sur les suites )

Lamortissement de rang 1 est gal : m1 = V . N . i

( 1 + i )n 1

( sachant que i est linverse de ( 1 + i )n 1 fournie par la

( 1 + i )n i i

table financire 3)

la dette initiale D0 = V.N = m1 . ( 1 +i)n 1 avec ( 1 +i)n 1 une quantit

i i

dtermine partir de la table financire 3

en effet,

Si on part de 2 annuits de rangs p et p+1

On a :

ap = Ip + mp = Dp-1.i + mp

et ap+1= Ip+1 + mp+1 = Dp.i + mp+1

or , puisque Dp = Dp-1 mp ou aussi Dp-1 = Dp + mp

alors au cas o on remplace Dp-1 par sa valeur dans lquation de ap on aura:

ap = ( Dp + mp) . i + mp = Dp . i + mp . i + mp = Dp . i + mp.(1 + i )

et tant donn que les annuits sont constantesc'est--dire que ap = ap+1

alors : Dp . i + mp.(1 + i ) = Dp . i + mp+1

ou , si on supprime Dp . i des 2 membres de lgalit, que: mp .(1+i) = mp+1 Ce qui veut dire que les amortissements sont en progression gomtrique de raison (1+i)

Si, maintenant, on exprime le capital emprunt en fonction des amortissements, on trouve ce qui suit:

V.N = D0 = m1 + m2 + m3 + mnOr, on vient de dmontrer que les amortissements sont en progression gomtrique de raison ( 1+i ) c'est--dire que chaque amortissement est gal celui qui le prcde multipli par ( 1+i )

Donc on peut crire ce qui suit:

V.N = D0 = m1 + m1( 1+i ) + m1( 1+i )2 + m1( 1+i )3 + m1( 1+i )n-1

Ou aussi, en mettant m1 en facteur:V.N = D0 = m1 [ 1 + ( 1+i ) + ( 1+i )2 + ( 1+i )3 + + ( 1+i )n-1 ]Or, [ 1 + ( 1+i ) + ( 1+i )2 + ( 1+i )3 + + ( 1+i )n-1 ] nest autre que la somme S de la suite gomtrique de 1er terme U1 = 1 et de raison q = ( 1+i )

Cette somme, selon la formule des suites gomtriques est gale :

S = U1 qn 1 = 1 (1+i)n 1 = 1 (1+i)n 1 = (1+i)n 1

q 1 ( 1+i ) 1 1 + i - 1 i

ce qui implique que:

V.N = D0 = m1 (1+i)n 1

i

ou aussi que m1 = D0 . i

(1+i)n 1

Et tant donn que D0 = V.N alors m1 = __V.N.i____ suite au remplacement de

( 1 + i )n 1 de D0 par V.N

cest dire V.N = m1 . ( 1 + i ) n - 1

i

A partir de cette formule, il est possible de dterminer nimporte quel amortissement en fonction de D0 (ou V.N ) et de i

En effet:

Soit mp un amortissement de rang p , et puisque les amortissements sont en progression gomtrique, on peut crire partir des formules des suites gomtriques:

mp = m1 (1+i)p-1 cest dire m1 = mp = mp( 1+i)1-p (1+i)p-1et si on remplace m1 par sa valeur, on aura:

mp( 1+i)1-p = D0 i_____ cest dire en divisant par (1 +i)1-p que (1+i)n 1 mp = D0 i_____ = ___ D0 i__________

[(1+i)n 1] ( 1+i)1-p [(1+i)n( 1+i)1-p - 1. ( 1+i)1-p

mp = ____ D0 i______ et suite au remplacement de D0 par V.N on aura: (1+i)n-p+1 - (1+i)1-p

mp = ___ V.N.i______ ( 1 + i )n-p+1 - (1 + i ) 1-p c) formule du capital rembours aprs versement de la p me annuit:

Si on dsigne le capital rembours aprs la p me annuit par Cp on aura:

Cp = m1 + m2 + m3 + m4 + +mp

et puisque les amortissements sont en progression gomtrique de premier terme m1 et de raison ( 1+i ) et que la somme S dune suite gomtrique est gale :

S = U1 . qn - 1 avec U1 comme premier terme et q la raison q 1

alors:

Cp = m1 . (1 +i)p 1

i

Cest dire, si on remplace m1 par sa valeur m1 = D0 . i (1+i)n 1

on aura: Cp = D0 . i . ( 1 + i )p - 1 ou aussi aprs dveloppement Cp = D0 . (1 + i)p - 1

( 1 + i)n 1 i (1 + i)n 1

avec (1 + i)p et (1 + i)n qui se dterminent partir de la table financire 1.

d) formule du capital restant d aprs paiement de la p me annuit (ou calcul de la dette vivante):

Si on veut calculer la dette vivante Dp qui est gale la diffrence entre le capital emprunt ( V.N ou D0) et la dette dj rembourse Cp on aura:

Dp = D0 - CpCest dire, en remplaant CP par sa valeur Dp = D0 - D0 . (1 + i)p - 1

(1 + i)n 1

Soit en rendant les deux fractions au mme dnominateur

Dp = D0. [ (1+i)n - 1] - D0 [ (1 + i)p - 1]

(1 + i)n 1

et en mettant D0 en facteur:

Dp = D0 . [ (1+i)n - 1 - (1 + i)p +1]

(1 + i)n 1

cest dire, aprs dveloppement:

Dp = D0 . [ (1+i)n - (1 + i)p ]

(1 + i)n 1

avec (1 + i)n et (1 + i)p qui se calculent partir de la table financire 1 .

remarque:

La dette vivante Dp nest autre que la valeur actuelle des ( n p) annuits non payes cest dire que:

Dp = a . 1 - ( 1 + i )-(n-p) ( partir de la formule de la valeur actuelle des annuits)

i

e) formule de m1 en fonction de lannuit a:

On sait que:

m1 = V . N . i

( 1 + i )n 1

et que a = V . N. i cest dire que a [ 1 ( 1+i )-n ] = V . N. i 1 ( 1+i )-nsi on remplace V.N.i dans lquation m1 = V . N . i____ par sa valeur dans la 2me

( 1 + i )n 1

quation on aura:

m 1 = a [ 1 ( 1+i )-n ] et au cas o on multiplie en haut et en bas par ( 1+i ) n ( 1+i )n 1

on aura:

m 1 = a [ 1 ( 1+i )-n ] ( 1+ i )n

[( 1+i )n 1] ( 1+ i )n cest dire aprs dveloppement:

m1 = a _ (1+i)n - 1___

[( 1+i )n 1] ( 1+ i )n

ou aussi, aprs simplification par [ (1+i)n - 1] :

m1 = a _ 1 ou m1 = a ( 1+i)-n

( 1+ i )n

(( 1+i)- n se trouve dans la table financire 2 ) f) formule du Nombre dobligations amortir la fin dune priode p:

On sait que le nombre dobligations rembourser par priode est gal lamortissement de la priode, divis par la valeur de lobligation V cest dire que pour une priode p et au cas o on dsigne par:

V: la valeur dune obligation

Np: le nombre des obligations amortir au cours de la priode p

mp: lamortissement au cours de la priode p

on a: N p = m p

V

Or on sait que mp = m1 ( 1 +i )p-1 daprs ( b) ci haut

Donc, si on remplace mp par sa valeur on aura :

N p = m1 . ( 1+i) p-1 ou aussi sachant que m1 = N1 V V

N p = N1 . ( 1 + i ) p-1

Cest dire que les nombres des obligations amorties la fin de chaque priode sont en progression gomtrique de raison q = (1+i )

g) formule du nombre dobligations amorties la fin dune priode p:

Si on dsigne par Xp le nombre dobligations amorties aprs le pm tirage

On a: Xp = N1 + N2 + N3 + ..+ NPOr les nombres des obligations N1, N2, N3,Np sont en progression gomtrique de raison q = ( 1 + i ) comme on vient de le dmontrer en (f) ci haut

Alors, selon la formule de la somme dune suite gomtrique :

N1 + N2 +N3 +..NP = N1 .(1 + i )p - 1 = N1 . ( 1 + i )p - 1 ( 1 + i) 1 i

donc Xp = N1. (1+i)p - 1

i

mais on sait que N1 = ___m1____ et m1 = V . N . i____ V ( 1 + i )n 1 Ce qui donne N1 = V . N . i____= N . i____

V ( 1 + i )n 1 ( 1 + i )n 1

Donc si on remplace N1 par sa valeur on trouve:

Xp = ___N . i____ . (1+i)p - 1

( 1 + i )n 1 i

cest dire aprs simplification par i : Xp = N . (1 + i )p - 1

( 1 + i )n - 1

((1 + i)n et (1 + i)p se calculent partir de la table financire 1 )

h) formule du nombre dobligations encore vivantes la fin dune priode p:

Soit Zp le nombre dobligations en circulation au dbut de la priode p+1 cest dire que Zp constitue la diffrence entre le nombre dobligations mises et le nombre dobligations amorties la fin de la priode p.

Zp = N Xp

Or on a vu que Xp = N . (1 + i )p - 1 ( voir point (g) ci haut)

( 1 + i )n - 1 donc en remplaant Xp par sa valeur on aura:

Zp = N - N . (1 + i )p - 1 = N ( 1 - (1 + i )p - 1 ) aprs mise en facteur de N ( 1 + i )n - 1 ( 1 + i )n - 1

cest dire aprs mise au mme dnominateur:

Zp = N . (1 + i )n - 1 - (1 + i )p + 1 ( 1 + i )n - 1

et aprs simplification:

Zp = N . (1 + i )n - (1 + i )p avec ((1 + i)n et (1 + i)p qui se trouvent dans

( 1 + i )n - 1la table financire 1 ).

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