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PSI Moissan 2013 TD correction Dynamique des fluides Septembre 2013

TD correction Dynamique des fluides

I Tubes de Venturi

1. L’ecoulement est permanent, incompressible puisque l’eau est un fluide incompressible, et parfait. Onpeut donc appliquer le theoreme de Bernoulli a une ligne de courant passant par A et B, qui se trouventa la meme altitude

µv2A2` PA “

µv2B2` PB ñ PA ´ PB “

µ

2pv2B ´ v

2Aq

En dehors du retrecissement, l’ecoulement est permanent, incompressible et unidirectionnel, donc sur uneaxe vertical, la pression suit la loi de l’hydrostatique

• •A B C•

zA zB

On peut donc ecrire

PA “ P0 ` µgzA PB “ P0 ` µgzB ñ PA ´ PB “ µgpzA ´ zBq

Le fluide etant incompressible, il y a conservation du debit volumique, donc

vASA “ vBSB

et donc, en remplacant

µgpzA ´ zBq “µ

2

˜

ˆ

SASB

˙2

´ 1

¸

v2A

ce qui donne finalement l’expression de la vitesse en A

vA “

g

f

f

e

2gpzA ´ zBq´

SASB

¯2´ 1

La lecture de la difference zA´zB permet donc de calculer la vitesse et de construire un appareil permettantla mesure du debit.

2. Si la section est la meme en C, alors l’altitude zC est egale a zA. En pratique, les effets de viscosite(dissipatifs) font que la charge (qui est une energie volumique totale) diminue au cours du mouvement.La hauteur zC est donc inferieure (voir cours viscosite).

II Forme d’une surface libre d’un liquide en rotation

1. L’equation d’Euler dans un referentiel non galileen est

µD~v

Dt“ ´

ÝÝÑgradP ` µ~g ´ µ~ae ´ µ~ac

1


avec ~ae “ ~apO1q ` d~ω

dt ` ~ω ^ p~ω ^ÝÝÝÑO1Mq et ~ac “ 2~ω ^ ~v. Ici, le fluide est au repos, donc ~v “

ÝÑ0 , D~v

Dt “ÝÑ0 ,

~ω est constant et le point O1 est confondu avec O donc

ÝÑ0 “ ´

ÝÝÑgradP ` µ~g ´ µω2r~ez ^ p~ez ^ ~erq “ ´

ÝÝÑgradP ` µ~g ` µω2r~er

que l’on reecrit´ÝÝÑgradP ´ µg~ez ` µω

2r~er “ÝÑ0

On projette cette equation sur les differents axes du systeme de coordonnees

´BP

Br` µω2r “ 0 ;

1

r

BP

Bθ“ 0 ; ´

BP

Bz´ µg “ 0

P ne depend donc pas de θ (symetrie de revolution), on integre la premiere relation

P pr, zq “ µω2 r2

2` fpzq

On utilise ensuite la projection sur Oz

BP

Bz“df

dz“ ´µg ñ fpzq “ ´µgz ` C

ou C est une constante. On a donc


2´ µgz ` C

En appelant h la hauteur de la surface libre en r “ 0, et en utilisant la condition sur la pression, onobtient

P0 “ ´µgh` C ñ C “ P0 ` µgh

et donc


2´ µgpz ´ hq ` P0

2. L’equation de la surface libre est donnee par le lieu des points ou P pr, zq “ P0, donc

µω2 r2

2´ µgpz ´ hq ` P0 “ P0 ñ ω2 r

2

2´ gpz ´ hq “ 0 ñ z “

ω2r2

2g` h

qui est l’equation d’un paraboloıde de revolution autour de l’axe z

r

z

h

R

c

3. Le creusement c est donne par

c “ zpRq ´ h “ω2R2

2g` h´ h “

ω2R2

2g

Numeriquement,

c “102 ¨ 0.12

2 ¨ 10“

1

20“ 0.05m “ 5 cm

2


III Vidange d’un recipient : regime transitoire

1. L’ecoulement est incompressible, donc div~v “ 0 et ~v “ vpx, tq~ex, donc

Bv

Bx“ 0

et donc la vitesse est uniforme ~v “ vptq~ex.

2. On ecrit l’equation d’Euler

µ

ˆ

B~v

Bt`ÝÝÑgrad

ˆ

v2

2

˙

` pÝÑrot~vq ^ ~v

˙

“ ´ÝÝÑgradP ` µ~g

On ecrit tous les termes possibles sous la forme de gradients

µ

ˆ

B~v

Bt`ÝÝÑgrad

ˆ

v2

2

˙

` pÝÑrot~vq ^ ~v

˙

`ÝÝÑgradP ` µ

ÝÝÑgradpgzq “ 0

soit en regroupant les termes

µ

ˆ

B~v

Bt` pÝÑrot~vq ^ ~v

˙

`ÝÝÑgrad

ˆ

P ` µgz ` µv2

2

˙

“ 0

On integre sur une ligne de courant passant par les points A, B et C

S

hptq

s

L

•

• •

A

B

C

ce qui donneż C

A

„

µ

ˆ

B~v

Bt` pÝÑrot~vq ^ ~v

˙

`ÝÝÑgrad

ˆ

P ` µgz ` µv2

2

˙

¨ d~l “ 0

Le terme en gradient s’integre facilement. Le terme pÝÑrot~vq ^ ~v est un terme orthogonal a la vitesse, donc

a d~l, ce qui donne une contribution nulle. Il reste donc

ż C

Aµ

ˆ

B~v

Bt

˙

¨ d~l `

„

P ` µgz ` µv2

2

C

A

“ 0

Compte tenu du caractere incompressible de l’ecoulement, on peut ecrire SvA “ svB, et donc vA “ vBsS !

vB. En derivant cette expression par rapport au temps, on obtient que

BvABt

“BvBBt

s

S!BvBBt

La vitesse et l’acceleration locale dans le reservoir sont donc tres faibles devant les meme grandeurs dansle tuyau d’evacuation. On neglige donc dans l’integrale la partie de l’integrale sur AB, donc

ż C

Aµ

ˆ

B~v

Bt

˙

¨ d~l “

ż C

Bµ

ˆ

B~v

Bt

˙

¨ d~l

3


Dans cette partie, ~v “ vptq~ex et d~l “ dx~ex doncż C

Bµ

ˆ

B~v

Bt

˙

¨ d~l “

ż C

Bµ

ˆ

dv

dt

˙

¨ dx

Par consequent,

µdv

dt

ż C

B¨dx`

„

P ` µgz ` µv2

2

C

A

“ 0

Or, PA “ PC “ P0, vA “ vCsS ! vC . En posant h “ zA ´ zC et vC “ v, on obtient

Lµdv

dt´ µgh` µ

v2

2“ 0

qui se simplifie par µ

Ldv

dt´ gh`

v2

2“ 0

En regime permanent, dvdt “ 0, et on retrouve la vitesse de la vidange de Torricelli

vl “a

2gh

3. Pour obtenir vptq, on separe les variables

dv

2gh´ v2“

1

2Ldt

On fait apparaitre la vitesse limitedv

v2l ´ v2“

1

2Ldt

et on integre chaque membreż vptq

0

dv

v2l ´ v2“

ż t

0

1

2Ldt

On reconnait a gauche l’integrale fournie dans l’enonceż vptq

0

dv

v2l ´ v2“

ż vptq

0

1

v2l

dv

1´ v2

v2l

en posant u “ vvl

et du “ dvvl

, l’integrale devient

ż vptqvl

0

1

vl

du

1´ u2“

1

vlargth

ˆ

v

vl

˙

` cste

et donc, finalement1

vlargth

ˆ

v

vl

˙

` cste “1

2Lt

A t “ 0, v “ 0, donc la constante d’integration est nulle, et donc

vptq “ vlth´ vl

2Lt¯

Le temps caracteristique apparaissant dans cette formule est τ “ 2Lvl

, qui vaut donc en fonction desdonnees de l’enonce

τ “2L?

2gh

Numeriquement, τ « 0.4 s. On peut donc considerer que le passage au regime permanent est tres rapide.

4


4. On considere qu’a chaque instant, la relation de Torricelli est verifiee

vptq “a

2ghptq

Le fluide etant incompressible, vAS “ vptqs. Par ailleurs, vA “ ´dhdt , donc

vptq “ vAS

s“ ´

dh

dt

S

s“

a

2ghptq

que l’on transforme afin de separer les variables

´dh?h“s

S

a

2g

On integre entre t “ 0 et tv le temps de vidange

ż 0

h0

´dh?h“

ż tv

0

s

S

a

2gdt

ce qui donne”

´2?hı0

h0“

a

h0 “s

S

a

2gtv

On en deduit le temps de vidange

tv “S

s

d

h

g

IV Effet Magnus

1. Le potentiel est φ2 “ kθ. par ailleurs, ~v “ÝÝÑgradφ, on a donc, en coordonnees cylindriques

vr “Bφ2Br

“ 0 vθ “1

r

Bφ2Bθ

“k

rvz “

Bφ2Bz

“ 0

Par ailleurs, sur la surface de contact, l’enonce precise que le cylindre entraine le fluide (effet de viscosite).La vitesse du cylindre en r “ R est donc egale a la vitesse du fluide. On calcule la vitesse du cylindre enrotation uniforme

~vcyl “ Ω^ÝÝÑOM “ Ω~ez ^ r~er “ rΩ~eθ

En egalisant les deux expressions en r “ R, on obtient

k

R“ RΩ ñ k “ ΩR2

2. On a l’expression du laplacien en coordonnees cylindriques

∆φ “B2φ

Br2`

1

r

Bφ

Br`

1

r2B2φ

Bθ2`B2φ

Bz2

On calcule donc chacun des termes

B2φ

Br2“B2φ1Br2

`B2φ2Br2

“B2

Br2

ˆˆ

1`R2

r2

˙

rv0 cos θ

˙

` 0 “ R2v0 cos θ2

r3

5


1

r

Bφ

Br“

1

r

Bφ1Br

“1

r

B

Br

ˆˆ

1`R2

r2

˙

rv0 cos θ

˙

“v0 cos θ

r´R2v0 cos θ

r3

1

r2B2φ

Bθ2“

1

r2B2φ1Bθ2

“1

r2B2

Bθ2

ˆˆ

1`R2

r2

˙

rv0 cos θ

˙

“ ´

ˆ

1

r`R2

r3

˙

v0 cos θ

B2φ

Bz2“ 0

Finalement, le laplacien s’ecrit

∆φ “ R2v0 cos θ2

r3`v0 cos θ

r´R2v0 cos θ

r3´

ˆ

1

r`R2

r3

˙

v0 cos θ

et en developpant

2R2v0 cos θ

r3`v0 cos θ

r´R2v0 cos θ

r3´v0 cos θ

r´R2v0 cos θ

r3“ 0

Or, l’ecoulement etant incompressible et irrotationnel, div~v “ 0 et ~v “ÝÝÑgradφ “ 0 impliquent

divpÝÝÑgradφq “ ∆φ “ 0

ce qui est bien demontre.

3. En coordonnees cylindriques, on exprime les composantes du gradient de φ qui s’identifient auxcomposantes de la vitesse

$

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

%

vr “Bφ

Br“ v0 cos θ ´

R2

r2v0 cos θ “ v0 cos θ

ˆ

1´R2

r2

˙

vθ “1

r

Bφ

Bθ“ ´

1

r

ˆ

1`R2

r2

˙

rv0 sin θ `k

r“ ´

ˆ

1`R2

r2

˙

v0 sin θ `k

r

vz “Bφ

Bz“ 0

4. a “ kpRv0q “ ΩRv0 est un parametre qui compare la vitesse angulaire de rotation du solide et lavitesse de l’ecoulement a l’infini.

Les points d’arrets sont les points ou la vitesse est nulle$

’

’

’

’

&

’

’

’

’

%

vr “ v0 cos θ

ˆ

1´R2

r2

˙

“ 0

vθ “ ´

ˆ

1`R2

r2

˙

v0 sin θ `k

r“ 0

ñ vr “ 0 si

$

’

’

’

’

&

’

’

’

’

%

r “ Rou

θ “ π2

ouθ “ ´π

2

Si r “ R

vθ “ ´

ˆ

1`R2

R2

˙

v0 sin θ `k

R“ ´2v0 sin θ ` ΩR “ 0 ñ sin θ “

a

2

On a donc 3 cas :– si a ą 2, il n’y a pas de solution,– si a “ 2, il y a une solution θ “ π2,– si a ă 2, il y a deux solutions, θ “ θ0 et θ “ π ´ θ0 avec θ0 “ arcsinpa2q.

6


Si θ “ π2

vθ “ ´

ˆ

1`R2

r2

˙

v0 `k

r“ ´v0 ´

R2v0r2

`k

r“ 0 ñ ´r2v0 ` ΩRr ´R2v0 “ 0

On doit donc resoudre l’equation du seconde degre suivante

´r2 ` aRr ´R2 “ 0

dont le determinant vaut ∆ “ a2R2 ´ 4R2 “ R2pa2 ´ 4q On a donc 3 cas :– si a ă 2, ∆ ă 0 il n’y a pas de solution reelle,– si a “ 2, ∆ “ 0 il y a une solution pour r “ áR

´2 “ R,

– si a ą 2, il y a deux solutions, r “ áR˘R?a2´4

´2 “ aR˘R?a2´4

2 Pour a ą 2, la seule solution telle

que r ą R est la solution r “ aR`R?a2´4

2 .

Si θ “ ´π2

vθ “

ˆ

1`R2

r2

˙

v0 `k

r“ v0 `

R2v0r2

`k

r“ 0 ñ r2v0 ` ΩRrR2v0 “ 0

On doit donc resoudre l’equation du seconde degre suivante

r2 ` aRr `R2 “ 0

dont le determinant vaut ∆ “ a2R2 ´ 4R2 “ R2pa2 ´ 4q On a donc 3 cas :– si a ă 2, ∆ ă 0 il n’y a pas de solution reelle,– si a “ 2, ∆ “ 0 il y a une solution pour r “ áR

2 “ ´R ă 0, donc une solution qui ne convient pasphysiquement,

– si a ą 2, il y a deux solutions, r “ áR˘R?a2´4

2 . La solution negative est evidemment impossible

physiquement, la solution positive aussi car r ą 0 imposerait?a2 ´ 4 ą a, soit a2 ´ 4 ą a2, soit

´4 ą 0, ce qui n’est pas possible.Pour resumer– si a ă 2, il y a deux solutions, r “ R et θ “ θ0 ou θ “ π ´ θ0 avec θ0 “ arcsinpa2q,– si a “ 2, il y a une solution r “ R et θ “ π2,

– si a ą 2, il y a une solution r “ aR`R?a2´4

2 et θ “ π2 decollee de la surface du solide.

5. L’ecoulement est irrotationnel, donc la quantite

P `µv2

2` gz

est constante dans tout l’ecoulement. En negligeant la pesanteur

P `µv2

2“ P1 `

µv212

Au point de coordonnees pr “ R, θ “ π2q

~v1 “ v0 cos θ

ˆ

1´R2

r2

˙

~er ´

ˆ

1`R2

r2

˙

v0 sin θ~eθ `k

r~eθ “ 0~er ´ 2v0~eθ ` ΩR~eθ

doncv21 “ pΩR´ 2v0q

2 “ v20pa´ 2q2

7


A la surface du cylindre r “ R

~v “ v0 cos θ

ˆ

1´R2

r2

˙

~er ´

ˆ

1`R2

r2

˙

v0 sin θ~eθ `k

r~eθ “ 0~er ´ 2v0 sin θ~eθ ` ΩR~eθ

doncv2 “ pΩR´ 2v0 sin θq2 “ v20pa´ 2 sin θq2

ce qui permet d’ecrire l’expression de la pression a la surface du cylindre

P pθq “ P1 `µv202ppa´ 2q2 ´ pa´ 2 sin θq2q “ P1 `

µv202pa4 ´ 4a` 4´ pa4 ´ 4a sin θ ` 4 sin2 θqq

qui se simplifie

P pθq “ P1 `4µv20

2papsin θ ´ 1q ` 1´ sin2 θq “ P1 ` 2µv20papsin θ ´ 1q ` cos2 θq

6. La force exercee par unite de surface par le fluide est donnee par

δÝÑF “ ´P pθqd

ÝÑS

ou dÝÑS “ hRdθ~er est l’element de surface a la surface du cylindre de hauteur h. On s’interesse aux forces

dans le repere cartesien, on decompose donc ~er “ cos θ~ex ` sin θ~ey et donc

Fx “

ż 2π

0´“

P1 ` 2µv20papsin θ ´ 1q ` cos2 θq‰

Rh cos θ dθ

et

Fy “

ż 2π

0´“

P1 ` 2µv20papsin θ ´ 1q ` cos2 θq‰

Rh sin θ dθ

On calcule la premiere integrale

Fx “

ż 2π

0´P1Rh cos θ dθ ´ 2µv20apsin θ ´ 1qRh cos θ dθ ` 2µv20a cos2 θRh cos θ dθ

Les termes en cos θ donnent des integrales nulles par symetrie de la fonction cos. De meme pour le termeen cos2 θ cos θ. Le terme en sin θ cos θ est nul aussi, donc Fx “ 0. On calcule ensuite la deuxieme integrale

Fy “

ż 2π

0´P1Rh sin θ dθ ´ 2µv20apsin θ ´ 1qRh sin θ dθ ` 2µv20a cos2 θRh sin θ dθ

Les termes en sin θ donnent des integrales nulles par symetrie de la fonction sin. De meme pour le termeen cos2 θ sin θ. Il reste le terme en sin2 θ

Fy “ ´

ż 2π

02µv20a sin2 θRhdθ “ ´2µv20aRh

ż 2π

0

1´ cos 2θ

2dθ “ ´2µv20aRhπ

Finalement, il reste doncÝÑF “ ´2µv20aRhπ~ey “ ´2µv0ΩR

2hπ~ey

8


7. ~v0 “ v0~ex etÝÑΩ “ Ω~ez, donc

ÝÑF “ 2mv0Ω~ex ^ ~ez “ ´2mv0Ω~ey

Par identification avec la formule de la question 6.

m “ µπR2h

qui represente la masse de fluide deplacee par l’immersion du cylindre.

8.ÝÑF “ ´2mv0Ω~ey

Si Ω ą 0, alors le cylindre tourne dans le sens direct et la force est dirigee vers le bas, si Ω ă 0, alors lecylindre tourne dans le sens indirect et la force est dirigee vers le haut.

V Cavitation

1. On pose τ “ kaα0µβpγ8 avec

ras “ L rµs “ML´3 rp8s “rF s

L2“MLT´2

L2“ML´1T´2

car ~f “ m~a. On obtient alors le systeme suivant

$

&

%

longueur : LαL´3βL´γ “ 1temps : T´2γ “ Tmasse : MβLγ “ 1

ñ

$

&

%

α´ 3β ´ γ “ 0´2γ “ 1β ` γ “ 0

qui se resout facilement$

&

%

γ “ ´12

β ` γ “ 0 ñ β “ 12

α´ 3β ´ γ “ 0 ñ α “ 1

et donc

τ “ ka0

c

µ

p8

Plus la taille de la bulle est grande, moins elle implose vite. Au contraire, la pression exterieure fait imploserla bulle d’autant plus vite qu’elle est grande. Ces deux premiers resultats s’interpretent facilement. Enfin,plus la masse volumique est grande, plus le temps d’implosion est grand.

Numeriquement, avec les donnees de l’enonce

τ “ 10´3c

103

105“ 0.1ms

9


2. Le fluide etant incompressible, le debit volumique a travers deux spheres concentriques de rayonsa (surface de la bulle) et r est le meme. Le mouvement etant radial, comme l’orientation de la surfaceelementaire, on a

vpa, tq4πa2 “ vpr, tq4πr2

ce qui permet d’exprimer la vitesse a une distance r, en constatant que vpa, tq “ 9aptq

vpr, tq “a2 9a

r2

et vectoriellement

~vpr, tq “a2 9a

r2~er

L’ecoulement est irrotationnel, donc ~v “ÝÝÑgradφ et en ecrivant les composantes du gradient en coor-

donnees spheriques$

’

’

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

’

’

%

Bφ

Br“a2 9a

r2

1

r

Bφ

Bθ“ 0

Bφ

Bz“ 0

Le potentiel φ ne depend donc que de r et de t

dφ

dr“a2 9a

r2ñ φpr, tq “ ´

a2 9a

r` fptq

et en utilisant la condition a la limite φp8, tq “ 0 , on obtient fptq “ 0 donc

φpr, tq “ ´a2 9a

r

3. On ecrit l’equation d’Euler en negligeant l’effet de la pesanteur

µ

ˆ

B~v

Bt`ÝÝÑgrad

ˆ

v2

2

˙

` pÝÑrot~vq ^ ~v

˙

“ ´ÝÝÑgradP

L’ecoulement est irrotationnel, donc

µ

ˆ

B~v

Bt`ÝÝÑgrad

ˆ

v2

2

˙˙

“ ´ÝÝÑgradP

avec ~v “ÝÝÑgradφ

µ

˜

BÝÝÑgradφ

Bt`ÝÝÑgrad

ˆ

v2

2

˙

¸

“ ´ÝÝÑgradP

et en intervertissant les derivees spatiales et temporelles

ÝÝÑgrad

ˆ

µBφ

Bt` µ

v2

2` P

˙

“ÝÑ0

10


d’ou, en integrant

µBφ

Bt` µ

v2

2` P “ fptq

On remplace alors les grandeurs par leurs expressions

´µB

Bt

ˆ

a2 9a

r

˙

`µ

2

ˆ

a2 9a

r2

˙2

` P “ fptq

donc

´µa2:a

r´ µ

2a 9a2

r` µ

a4 9a2

2r4` P “ fptq

On utilise les conditions aux limites. A la surface de la bulle (r “ a), la pression est nulle, donc

´µa2:a

a´ µ

2a 9a2

a` µ

a4 9a2

2a4“ fptq ñ ´µa:a´ µ2 9a2 ` µ

9a2

2“ ´µa:a´

3

2µ 9a2 “ fptq

et en r Ñ8, P “ p8p8 “ fptq

En identifiant les deux dernieres equations

p8 “ ´µa:a´3

2µ 9a2 ñ 2µa:a` 3µ 9a2 ` 2p8 “ 0

4. On fait apparaitre dpa3 9a2qdt “ 3a2 9a3 ` 2a3 9a:a en multipliant notre equation par a2 9a

2µa3 9a:a` 3µa2 9a3 ` 2a2 9ap8 “ 0 ñ µdpa3 9a2q

dt`dpa3q

dt

2

3p8 “ 0

On obtient donc une nouvelle integrale premiere du mouvement (ou constante du mouvement)

µa3 9a2 `2

3a3p8 “ C

On utilise les conditions initiales sur a “ a0 et 9a “ 0 a t “ 0

C “2

3a30p8

On reecrit l’equation

µa3 9a2 `2

3p8pa

3 ´ a30q “ 0

et on divise par a3 ą 0

9a2 “2

3µp8

ˆ

a30a3´ 1

˙

La bulle implose, donc 9a ă 0

9a “da

dt“ ´

d

2

3µp8

ˆ

a30a3´ 1

˙

On integre cette equation entre 0 et t en separant les variables

ż τ

0dt “ τ “ ´

ż 0

a0

dac

23µp8

´

a30a3´ 1

¯

“

c

3µ

2p8

ż a0

0

dab

a30a3´ 1

11


En posant x “ aa0, dx “ daa0

τ “

c

3µ

2p8

ż 1

0a0

dxb

1x3´ 1

On obtient une expression en accord avec celle trouvee par analyse dimensionnelle

τ “ a0J

c

3µ

2p8

12

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