correction - td n 7bis - induction 1 questions de cours

Physique Correction - TD n°7bis - Induction

Correction - TD n°7bis - Induction

1 Questions de cours"Exercice" corrigé en cours.

2 Analyse qualitative du phénomène d’induction1. (a) Si l’aimant n’est pas en mouvement, aucun phénomène d’induction ne peut avoir lieu et UAB = 0.(b) Quand on approche l’aimant dans le sens précisé sur la figure, le flux du champ magnétique à travers

la bobine augmente (on rappelle que le champ magnétique "sort par la face nord" d’un aimant). Ilapparaît donc dans celle-ci un courant induit qui crée un champ magnétique s’opposant à cetteaugmentation de flux, d’après la loi de Lenz, donc dirigé en sens contraire de −→v : le courant induitest positif de A vers B et UAB est donc positive dans la résistance.

2. Le sens du courant est déterminé en utilisant la f.e.m de Lorentz ou la loi de Lenz.

R

B

z

O

R

Bv

vO

B

R

v

a) b) c)

ii

i

3 Rail de Laplace

R

B0g ux

u z

ABl

FLaplace

PeAB

R

ii

uy

i

1. Étude qualitative :

(a) Sous l’effet de son poids, le barreau tombe.

Le barreau étant conducteur, il existe des charges libres dans le matériau. On est en présence d’uncas d’induction de Lorentz : le circuit fermé par le barreau est mobile dans le champ permanent −→B 0.

Il y a alors apparition d’un courant induit dans le circuit sous l’effet du champ électromoteur deLorentz.

MP2 - Année 2021/2022 1 Lycée Janson de Sailly


(b) Loi de Lenz : le phénomène d’induction a tendance à s’opposer au phénomène qui lui a donnénaissance.

Détermination du sens réel du courant induit pour le choix de la convention 1 :

(c) Méthode 1 : En présence de ce courant induit, le barreau est alors soumis à une force de Laplacequi s’oppose au déplacement qui lui a donné naissance d’après la loi de Lenz. On en déduit donc quele courant induit est orienté dans le sens horaire sur la figure précédente, et nous choisirons donc laconvention d’orientation dans ce sens : iAB > 0.

(d) Méthode 2 : Le flux de −→B augmente selon la direction −→u y lors de la chute du barreau, donc −→B induit

est nécessairement selon −−→u y pour s’opposer à cette variation d’après la loi de Lenz. Finalement,le courant induit réel est iAB > 0 si on choisit la convention d’orientation dans le sens horaire.

2. Mise en équation :(a) Recherche de l’équation électrique :

Le barreau étant en mouvement, il apparaît entre ses extrémités une f.e.m. de Lorentz eAB qu’onpeut calculeravec la convention précisée sur le schéma à partir de la loi de Faraday 2

eAB = −dΦB

dt= −

d

dt

�S(t)

−→B 0·d

−→S = −

d

dt

�S(t)

B0−→u y·(−dS−→u y) = B0

dS

dt= B0

d [`(z + cste)]dt

= B0z` > 0

Le schéma électrique équivalent est donné sur la figure précédente. La loi des mailles permetd’écrire 3 :

eAB = Ri soit B0z` = Ri équation électrique

(b) Recherche de l’équation mécanique :

Le barreau parcouru par un courant étant en déplacement dans un champ magnétique, celui-ci estsoumis à une force de Laplace donnée par :

−→F Laplace =

� B

Aid−→` ∧−→B 0 =

� B

A(−idx−→u x) ∧B0

−→u y = −B0`i−→u z

On voit donc que la force de Laplace s’oppose à la chute du barreau, ce qui est bien cohérent avecla loi de Lenz. On notera que c’est ce principe qui est utilisé dans les freinages par induction utilisésnotamment pour les poids lourds à la place des freins à disques utilisés pour les voitures.

L’application du principe fondamental de la dynamique au barreau dans le référentiel terrestresupposé galiléen s’écrit en projection sur −→u z :

mz = mg −B0`i équation mécanique

3. Résolution :

(a) On obtient ainsi un système de deux équations couplées, ce qui sera toujours le cas dans un problèmed’induction électromécanique 4.

1. On rappelle que la convention de signe pour le courant n’a aucune conséquence sur le résultat final, mais permet d’interpréterplus facilement chaque étape.

2. On a là encore négligé le terme de flux propre par rapport au flux de −→B 0 car φpropre est proportionnel au coefficientd’auto-induction L du circuit, supposé négligeable.

3. On vérifie bien que les deux termes de l’équation sont positifs.4. On a obtenu :

— l’équation électrique obtenue à partir de la loi des mailles (ou parfois à l’aide de la loi des noeuds).— l’équation mécanique obtenue à partir du principe fondamental de la dynamique (ou parfois à partir du théorème du moment

cinétique).



• En réinjectant la variable i dans l’équation mécanique, on obtient une équation différentielle dupremier ordre en z :

z +z

τ= g avec τ =

Rm

B20`

2

La résolution de l’équation différentielle du premier ordre en v = z donne :

z = Ae−t

τ + gτ

Or le barreau est lâché sans vitesse initiale à t = 0, la résolution conduit à :

z = gτ

1− e−t

τ

La vitesse tend donc vers une vitesse limite −→v ∞ = gτ−→u z au bout de quelques τ . La force de Laplaceagit bien comme une force de freinage car elle permet au barreau de ne pas accélérer indéfinimentsous l’effet de la chute dans le champ de pesanteur 5.

v(t)v

tτ0

freinage par induction

chute libre

(b) On peut également en déduire l’évolution du courant, à partir de l’équation électrique :

i =B0z`

R=mg

B0`

1− e−t

τ

Le courant tend également vers une valeur constante 6 i∞ =mg

B0`.

4. Bilan énergétique :

La multiplication de l’équation électrique par idt et de l’équation mécanique par dz permet d’obtenir :

B0z`idt = Ri2dt et mzdz = mgdz −B0`idz

et sachant que zdt = dz, on obtient le bilan énergétique suivant (on notera que Ep = −mgz car l’axe zest dirigé vers le bas) :

d

(12mz

2)

︸︷︷︸dEc

+−mgdz︸︷︷︸dEp︸︷︷︸

dEm

= −Ri2dt︸︷︷︸δWJoule

< 0

5. Dans le cas d’une chute libre dans le champ de pesanteur, v = gt si la barre est lâchée avec une vitesse initiale nulle, et les

deux pentes à l’origine sont donc identiques :dv

dt

∣∣∣∣t=0

= g.

6. On vérifie bien que cette valeur est cohérente avec celle obtenue avec l’équation mécanique lorsque z = 0.



On en déduit que dEm < 0, et donc que l’énergie mécanique diminue au cours du temps. Cette variationde l’énergie mécanique s’explique donc par la dissipation par effet Joule. Le ralentissement de la barres’accompagne donc d’une dissipation d’énergie dans la résistance et d’un échauffement.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

On notera que l’une des grandes applications de l’induction est le freinage par induction, utilisénotamment dans les freins de camion. Expérience illustrative : chute d’un aimant dans un tubemétallique et disque freiné dans un électro-aimant.

Remarque

4 Déplacement d’un cadre dans un champ extérieur

Le fil crée un champ ~B = µ0I

2πr~eθ. Si r0(t) est la distance du fil au côté du cadre le plus proche, on a :

Φ =�

~B · d~S = µ0Ia

2π ln(r0 + a

r0

)

Il apparaît donc une fem e = −dΦdt

, et un courant

i = e

R= µ0Iav

2πR

( 1r0 + vt

− 1r0 + a+ vt

)> 0

On vérifie que le courant est bien positif avec une orientation du flux suivant −→e θ : lorsque le cadre s’éloigne, leflux (> 0) diminue, et un courant induit tend à compenser cette diminution en tournant dans le sens positif.

Si le cadre est immobile, v = 0, et le courant induit est nul. Il n’y a pas d’induction car le flux dans lecadre est constant.

5 Oscillateurs couplés par induction mutuelle

Attention : dans les deux circuits, on a i = −dq

dtet u =

q

C, et donc bien i = −C

du

dtcar l’orientation est en

convention générateur. En effet, la charge (et la tension de la même façon puisque la différence de potentiel

diminue au cours du temps) diminue au cours du temps, soitdq

dt< 0, alors que le courant est positif dans le

sens du schéma.



6 Pince Ampèremétrique1. La distribution de courant dans la bobine torique est invariante par rotation autour de l’axe Oz, et

donc le champ −→B ne dépend pas de θ. De plus, tout plan passant par un point M à l’intérieur du tore,et passant par l’axe Oz, est plan de symétrie de la distribution de courants, donc le champ magnétiqueest perpendiculaire à ce plan, et donc dirigé suivant le vecteur −→u θ. On en déduit donc :

−→B = Bθ(r, z)−→u θ

2. Appliquons le théorème d’Ampère 7 sur un cerle centré sur l’axe Oz, de rayon r, et situé à la hauteurz dans le tore, tournant dans le sens trigonométrique autour de l’axe Oz (avec cette orientation, lescourants traversant le contour sont comptés positivement) :

�C

−→B · d

−→` = 2πrBθ(r, z) = µ0

∑Ienlacés = µ0Ni+ µ0I

On en déduit que le champ magnétique est finalement indépendant de z à l’intérieur du tore, et s’écrit :

−→B =

µ0(Ni+ I)2πr

−→u θ

3. Le flux magnétique ϕ à travers une seule spire est donné par :

ϕ =� 2a

r=a

� a

z=0

−→B · d

−→S =

µ0aln22π (Ni+ I)

Le flux total φ à travers les N spires est donc donné par :

φ =µ0aln2

2π (N2i+NI)

Or la loi des mailles sur le circuit portant la bobine permet d’écrire 8 : e = (R + r0)i, avec e = −dφ

dt.

On en déduit(R+ r0)i = −

µ0 a

2π ln(2)ddt (N2i+NI) ≈ −

µ0 aN

2π ln(2)dIdt

soit 9

im cos(ωt+ ψ) =µ0 aN

2π(R+ r0) ln(2) ω Im sin(ωt)

Le déphasage ψ est donc fixé à ψ = +π/2 et l’on a

iM

IM=

µ0aln22π(R+ r0)Nω

4. Un tel dispositif permet de mesurer l’amplitude d’un signal sinusoïdal sans insérer un ampèremètredans le circuit, soit parce que le circuit ne peut être débranché, soit car le courant est trop importantpour pouvoir y insérer un ampèremètre classique sans dommage.

La pince ampèremétrique fonctionne d’autant mieux que la surface du tore est importante, pour que leflux du champ créé à l’intérieur de celle-ci soit le plus important possible. Ceci explique que iM augmenteavec a. Il faut également le plus grand nombre de tours de fils possible, pour les mêmes raisons. Plus la

7. On se place dans le cadre de l’ARQS, donc on peut négliger le courant de conduction, ce qui revient à considérer que lechamp électrique créé par les variations du champ magnétique est très faible.

8. On notera qu’on ne néglige pas pour l’instant le coefficient d’autoinduction de la bobine puisque la présence de i correspondà la prise en compte du flux propre.

9. L’approximation qui consiste à négliger le terme en Ni devant I correspond justement à négliger le coefficient d’auto-induction, comme nous montrerons dans la question 4.



fréquence est importante, plus la détection est bonne, avec une détection nulle en régime statique. C’estla variation du champ magnétique induit qui génère un courant dans la pince. Finalement, le courantmesuré sera d’autant plus grand que le courant à mesurer l’est, et d’autant plus grand que les résitancesdu dispositif sont faibles.

La position du fil dans la bobine torique n’est absolument pas critique ; la mesure sera identique tant quele fil passe à l’intérieur du tore. Ceci explique encore la facilité d’utilisation de la pince ampèremétrique.


correction - td n 7bis - induction 1 questions de cours

Documents